MẠNG ĐẢO

Mạng đảo – tập hợp điểm ảo được xây dựng trên

cách mà hướng của một véctơ từ điểm này đến

điểm khác trùng với hướng của pháp tuyến của

mặt mạng thực và khoảng cách của những điểm

đó (giá trị tuyệt đối của véctơ) bằng với nghịch

đảo của khoảng cách mặt mạng thực.

Mạng đảo Mạng tinh thể

0 2 -2 2

-2 0

-2 -2 0 -2

2 -2

2 0

2 2

(Imaginary)

Reciprocal Lattice Crystal Lattice

0 2 -2 2

-2 0

-2 -2 0 -2

2 -2

2 0

2 2

d N

g = 2/d

g

Reciprocal Lattice Crystal Lattice

0 2 -2 2

-2 0

-2 -2 0 -2

2 -2

2 0

2 2

d N

g

g = 2/d

Reciprocal Lattice Crystal Lattice

0 2 -2 2

-2 0

-2 -2 0 -2

2 -2

2 0

2 2

g = 2/d

d N

g

Reciprocal Lattice Crystal Lattice

0 2 -2 2

-2 0

-2 -2 0 -2

2 -2

2 0

2 2 N d

g

g = 2/d

0 2 -2 2

-2 0

-2 -2 0 -2

2 -2

2 0

2 2

Reciprocal Lattice Crystal Lattice

0 2 -2 2

-2 0

-2 -2 0 -2

2 -2

2 0

2 2

g

g = 2/d

N d

0 2 -2 2

-2 0

-2 -2 0 -2

2 -2

2 0

2 2

Reflection Planes in a Cubic Lattice

1CO

2

* )230(dOA

/1

2/*sin

)230(d

CO

OA

)230(*

sin2

d

)230(

)230(*

1

dd

sin2 )230(d

Hình 3.7 cho thấy sự sắp xếp ở đó điểm (230) được mang vào tiếp xúc

với cầu Ewald.

Bằng cách định nghĩa và

Do vậy

Suy ra kết quả

Từ định nghĩa của vector đảo

Mối liên hệ Bragg!

Reciprocal Lattice Crystal Lattice

Reciprocal

unit cell

Reciprocal unit cell

Real unit cell

Real unit

cell

c*

b*

a* a

b

c

a*

b*

c*

c

b

a

Vector mạng đảo mặt mạng thực tương ứmg

*

3

*

2

*

1

* blbkbhghkl

hkl

hklhkld

gg1**

Chiều dài của vector mạng đảo tỉ lệ nghịch với khoảng cách mặt mạng thực

tương ứng

Mặt tinh thể trở thành điểm mạng đảo

luân chuyển thành cấu trúc mạng đảo

Điểm mạng đảo đặc trưng cho hướng và khoảng cách của tập hợp mạng.

Mô hình vật lý của tán xạ tia X

Xem hai sóng phẳng song song tán xạ đàn hồi từ hai

nguyên tử A và B cận nhau trong mạng tinh thể:

k

k

A

B

P

O

)( trki

incident e

)( trki

scattered er

f

Tán xạ đàn hồi: f = hệ số hình thành nguyên tử

(công suất tán xạ của nguyên tử) kk

Độ lệch pha giữa hai sóng

Đôi với các sóng cầu tán xạ từ A và B (của cùng một loại):

)( trki

A er

f

ở đó: = vị trí thu đối với A

= vị trí thu đối với B

= vị trí của B đối với A

= hiệu số pha giữa và

)( trki

B

B er

f

r

Br

A B

kkkkk

)(

Chậm pha

từ O B

Nhanh pha từ

A P

Véctơ tán xạ

Tổng sóng tán xạ

Vì thế sóng tán xạ từ nguyên tử thứ j: )( ktrki

j

j

jje

r

f

Đối với mẫu nhỏ, khoảng cách tất cả rj thì tương đương ( R). Do đó

chúng ta thấy rằng giao thoa cực đại và cực tiểu giữa những sóng tán xạ

đạt đến điểm thu nhờ vào tổng nguyên tử. Vị trí điểm thu được xác định

bởi vectơ sóng được tán xạ và do đó ..

= vị trí của nguyên tử thứ j so với A

Do đó sóng tán xạ toàn phần ở điểm thu là:

atomsall

kitrkijki

atomsall

trki

j

j jj eeR

fee

r

f )()()()(

k

k

Tổng đối với tất cả nguyên tử

Bây giở giả sử một tinh thể mạng của nó

có 3 vectơ cơ bản , với số nguyên tử

tổng dọc theo mỗi trục M, N, và P, tương

ứng:

cba

,,

Chúng có thể được sắp xếp lại:

Do đó biên độ của sóng tổng hợp ở điểm thu tỉ lệ với:

1

0

1

0

1

0

])[()(M

m

N

n

P

p

kcpbnami

atomsall

kiee j

a

bc

31

0

1

0

1

0

1

0

M

m

kaimM

m

N

n

P

p

kcipkbinkaim eeee

Tính tổng

Chúng ta chỉ cần tính

tổng bên trong dấu

ngoặc:

Ướt lược ta có:

Bây gìơ cường độ

của sóng tổng hợp

ở điểm thu được

cho bởi:

kaikai

kaiMkaiM

ee

eeI

11

11*

2

kai

kaiMM

m

mkai

M

m

kaim

e

eee

1

11

0

1

0

ka

kaM

ee

eeI

kaikai

kaiMkaiM

cos22

cos22

2

2

ka

kaMI

cos1

cos1

Ta có:

Kết quả thu được:

Kết quả có cùng cường độ như cách tử nhiễu xạ M khe. Nếu M lớn ( 108

đối với tinh thể vĩ mô), khe rất hẹp, đỉnh cường độ ở đó mẫu số tiến tới 0.

giữa hai đỉnh cường độ bằng không. Nhớ rằng có ba số hạng trong

phương trình cường độ, đỉnh xảy ra khi:

xxxx 222 sin21sincos2cos

ka

kaM

ka

kaMI

212

212

sin

sin

cos1

cos1

n1, n2, n3 số nguyên 12 nka

22 nkb

32 nkc

So mối liên hệ này với

tính chất của vectơ mạng

đảo: lcG

kbG

haG

hkl

hkl

hkl

2

2

2

Tính tổng

Điều kiện Laue

Đặt lại n1n2n3 với họ hkl, ta có:

ClBkAhGk hkl

Điều kiện Laue (Max von Laue, 1911)

Vì thế, điều kiện để cường độ bằng không trong tia X được tán là vectơ

tán xạ là vectơ tịnh tiến của mạng đảo. Bởi vì mỗi điểm mạng đảo

được ký hiệu bởi hkl tương ứng với họ mặt mạng (hkl), chúng ta thấy

rằng tia X được tán xạ từ mặt mạng (hkl) chịu giao thoa tăng cường chỉ

ở một vị trí duy nhất của điểm thu.

k

Xác nhận thí nghiệm đầu tiên của nhiễu xạ tia X bởi tinh thể rắn đến từ

đồng nghiệp trẻ của von Laue là Friedrich và Knipping vào năm 1911.

dù như thế, von Laue nghiêng về toán học hơn là phân tìch thực nghiệm

tán xạ tia X. ứng dụng thực tế công trình của von Laue thông quả nổ

lực của thành viên khác.

Từ Laue đến Bragg

Tại sao là góc 2 ?

Bây giờ độ lớn của vector tán xạ phụ tguộc vào góc giữa vectơ sóng

tới và vectơ sóng tán xạ:

k

k

k

k

2

hkld

k

k

Tán xạ đàn hồi đòi hỏi:

2 kkk

Vì thế từ góc vectơ sóng và điều

kiện Laue chúng ta thấy:

sin

4sin2 kk

sin2 hkldĐưa ra định luật Bragg:

hkl

hkld

G2

Đối với mỗi họ (hkl) tia X chỉ

nhiễu xạ một góc

Diễn giải sau cùng

Tuy nhiên, trong thực tế ta cần chỉ xem giá trị n = 1, bởi vì n = 2 và

những giá trị cao của mặt (hkl) tương ứng đối với giá trị n = 1 đối với

mặt (nh nk nl), và điều này là dư thừa.

Khoảng cách giữa hai mặt (hkl) là . Bằng cách kiểm tra chúng ta

thấy rằng khoảng cách giữa hai mặt (nh nk nl) là . Điều này có

nghĩa rằng chúng ta có thể viết điều kiện Bragg cho các mặt:

hkld

ndhkl /

sin/2 ndhkl ,...3,2,1sin2 ndn hkl

Câu hỏi: bạn có thể thấy nguồn

gốc đơn giản của định luật

Bragg bởi yêu cầu giao thoa

tăng cường giữa đường dẫn 1 và

2?

hkld

k

k

1 2

B. Hệ số cấu trúc Shkl

Chúng ta biết rằng cường độ tán xạ tia X tỉ lệ với:

Laue và Bragg nhắc chúng ta

rằng đối với I 0 ở điểm thu:

ỉơ đó tổng chạy cho toàn bộ các điểm mạng và chúng ta giả sử rằng chỉ

có một nguyên tử đơn ở mỗi điểm mạng.

21

0

1

0

1

0

])[(

2

)(

M

m

N

n

P

p

kcpbnami

atomsall

kieeI j

sin2dorGk hkl

Nhưng nếu chúng ta có nhiều hơn một nguyên tử mỗi nút mạng, chúng ta

phải tổng tất cả các nguyên tử!

HỆ SỐ CẤU TRÚC Shkl

Tổng số tia X tán xạ được

tìm là:

Hệ số cấu trúc là tổng của tất

cả các nguyên tử cơ bản:

atomsall

ki

j

trki jefeR

)()(

lattice basis

Gi

j

atomsall

ki

jhkljj efefA

)()(

Vì thế biên độ tổng là:

Hệ số cấu trúc hklS

j

Gi

jhklhkljefS

)(

Vị trí của tất cả các nguyên

tử cơ bản được cho bởi: cwbvau jjjj

Ví dụ

Đối với mạng lập phương

đơn giản với một nguyên

tử cơ bản:

22)0( fSIfefS hklhkl

i

hkl

Vì thế cường độ tia X không bằng không đối với tất cả các gia trị (hkl), tuỳ

thuộc vào điều kiện Bragg, mà có thể biễu diển. sin2 hkld

2/1222 lkh

adhkl

Bây giờ chúng ta biết mạng lập phương:

Thay vào và bình phương hai vế 222

2

22

4sin lkh

a

Do đó, nếu chúng ta biết bước

sóng tia X và có thể đo được góc

ở đó mỗi đỉnh cường độ nhiễu

xạ xảy ra, chúng ta có thể xác

định hằng số mạng như thế nào?

2sin

222 lkh

Ví dụ

Xem mạng lập phương tâm khối

với một nguyên tử cơ bản. Giống

mạng lập phương đơn giản với hai

nguyên tử cơ bản, những nguyên

tử ở vị trí [000] và [½½½]:

hklcba Gkjiii

hkl feefS

)ˆˆˆ()0( 222

)()( 11 lkhilkhi

hkl efefS

Véctơ mạng đảo: lcGkbGhaG hklhklhkl 222

Chúng ta nhận:

Chỉ có hai giá trị: hklS2f if h+k+l is even

0 if h+k+l is odd

Kết quả

Có thể xác địng hằng số mạng : 2sin

222 lkh

Đối với một tinh thể mạng bcc và một nguyên tử cơ bản, cường độ tia X

không bằng không cho tất cả các mặt (hkl), tuỳ vào điều kiện Bragg, trừ

những mặt ở đó h+k+l is lẽ. Do đó, đỉnh nhiễu xạ sẽ được quan sát đối với

những mặt sau:

(100) (110) (111) (200) (210) (211) (220) (221) (300) …

The Ewald Sphere

Điểm mạng đảo là giá trị của sự truyền xung lượng khi phương trình

Bragg được thõa

Khi nhiễu xạ xảy ra vectơ tán xạ phải bằng với vecto mạng đảo

Nếu nguồn gốc của không gian đảo được đặt ở đầu ki thì nhiễu xạ sẽ

xảy ra chỉ đối với những điểm mạng nằm trên bề mặt cầu Ewald

See Cullity’s book: A15-4

hklhkl Sindn 2

2

12 hkl

hkl

hkl

d

dSin

Vẽ vòng tròn đường kính 2/

Xây dựng một góc với đường kính như là một đường huyền và 1/dhkl như là

cạnh : AOP

Góc đối diện với cạnh 1/d là hkl

Phương trình Bragg đảo

hkl

hklhkld

gg1**

2

12 hkl

hkl

hkl

d

dSin

Bức xạ liên quan đến thông tin được hiển thị trên cầu Ewald

Thông tin tinh thể liên quang được thể hiện qua tinh thể mạng đảo

Cấu trúc cầu Ewald sinh ra hình ảnh nhiễu xạ

Cấu trúc cầu Ewald

01

10

02

00 20

2

(41)

Ki

KD

K

Reciprocal Space

K = K =g = Diffraction Vector

Cầu Ewald

Cầu Ewald Sphere tiếp xúc với

mạng đảo (đối với điểm 41)

Phương trình được thỏa mãn

với điểm 41

(Cu K) = 1.54 Å, 1/ = 0.65 Å−1 (2/ = 1.3 Å−1), aAl = 4.05 Å, d111 = 2.34 Å, 1/d111 = 0.43 Å−1

Cầu Ewald tia X

Phương pháp bột

Hình nón của tia nhiễu xạ

http://www.matter.org.uk/diffraction/x-ray/powder_method.htm

Hình nón nhiễu xạ và cấu hình Debye-Scherrer

Màng có thể được thay bằng đầu thu

Hình nón khác nhau cho nhiễu xạ khác nhau

Phương pháp bột

The 440 reflection is not observed

The 331 reflection is not observed