Manual de Reglas (1)

¡Que no te digan que el cielo es el límite cuando hay huellas en la luna! Página 1


MANUAL TUTORÍAS DE MATEMÁTICAS

MÓDULO 1: ARITMÉTICA

1.1 Números Naturales: Son todos aquellos números normales que utilizamos

diariamente, en la recta numérica van desde el cero “0” hasta infinito positivo “+∞”, se

representan con la letra “N”:

* +

1.1.2 Operaciones con números Naturales: En éste caso las operaciones son simples y

no tienen reglas básicas, incluyen: suma, resta, multiplicación, división, potencia y

radicación:

Ejercicio # 1: Realiza las siguientes operaciones con números Naturales:

1. 3,567,456+5,789,567= R// 9,357,023

2. 345,678,123-234,567,977= R// 111,110,146

3. 456*678= R// 309,168

4. 391,132/458= R// 854

5. = 9*9*9*9*9= R// 59,049

6. √ = R// 235

7. √

= R// 36

1.2 Números Enteros: Son todos aquellos números que indican magnitud y sentido,

pueden ser positivos y negativos, en la recta numérica van desde menos infinito

“-∞” hasta infinito positivo “+∞”, se representan con la letra “Z”:

* +

NOTA IMPORTANTE: Todos los números Naturales también son Enteros, pero no

todos los números Enteros son Naturales, ver el diagrama.

1.2.1 Inverso Aditivo (Simétrico): Consiste en cambiar el signo del número al que se le desea

aplicar el Simétrico, es decir si es positivo pasa a negativo, y si es negativo pasa a positivo:

Ejemplo: Aplicar inverso aditivo a los siguientes números:

1. -2=2

2. 3=-3

3. -34=34

4. 567=-567


1.2.2 Operaciones con números Enteros:

1.2.2.1 SUMA/RESTA: Se siguen las siguientes reglas:

a. Si ambos números tienen el mismo signo (-ó+), se suman y se copia el mismo

signo: Ejemplo:

23+15=38

b. Si ambos números tienen distinto signo (-ó+), se restan y se copia el signo del

mayor: Ejemplo:

-23+15=-8

1.2.2.2 MULTIPLICACIÓN/DIVISIÓN: Se multiplican los signos siguen se siguen las

siguientes reglas:

Signo Por Signo Igual Resultado

+ * + = +

+ * - = -

- * - = +

- * + = -

Ejemplo:

(-2)*(2)=-4

(-3)*(-2)=6

1.2.2.3 POTENCIA: Se aplican las siguientes Reglas:

a. Base positiva y Exponente Positivo: La respuesta siempre es positiva.

b. Base negativa y Exponente Positivo: La respuesta puede ser positiva ó negativa,

dependiendo del exponente, si es exponente par, la respuesta es positiva, si el

exponente es impar la respuesta es negativa.

Ejemplos:

( )( )

( ) ( )( )( )

c. Base Positiva Exponente negativo: Se aplica INVERSO MULTIPLICATIVO, la

respuesta siempre es positiva.

Ejemplo:

( )( )

d. Base Negativa Exponente negativo: Se aplica INVERSO MULTIPLICATIVO, si el

exponente es impar la respuesta es negativa, si el exponente es par la

respuesta es positiva.


Ejemplo: ( )

( )

( )( )( )

1.2.2.4 RADICACIÓN: Se realizan las siguientes reglas:

a. Base positiva Radical Positivo: La respuesta siempre es positiva.

Ejemplo: √

b. Base Negativa Radical Positivo: Éste es un caso especial:

1. Radical Impar: La respuesta es negativa

2. Radical Par: No tiene solución en el sistema de números Reales

Ejemplo: 1. √

2. √

c. Base Positiva Radical Negativo: Se realiza INVERSO MULTIPLICATIVO, la

respuesta es positiva.

Ejemplo: √

( )

( )

√

d. Base Negativa Radical Negativo: Se realiza INVERSO MULTIPLICATIVO, éste es

un caso especial:

1. Radical Impar: La respuesta es Negativa.

Ejemplo: √

( )

( )

√( )

2. Radical Par: No tiene solución en el sistema de números Reales

Ejemplo: √

1.3 Números Racionales: Son todos aquellos números que indican fracción o decimales,

pueden ser positivos y negativos, en la recta numérica van desde menos infinito “-∞” hasta

infinito positivo “+∞” incluyendo decimales y fracciones, se representan con la letra “Q”:

Tienen 2 tipos de formas:

1. Fracciones:

2. Decimales:


{

}

NOTA IMPORTANTE: Todos los números Naturales y Enteros también son Racionales,

pero no todos los números Naturales y Enteros son Racionales, ver el diagrama.

1.3.1 Inverso Multiplicativo (Recíproco): Consiste en cambiar numerador por

denominador y denominador por numerador en las fracciones.

Ejemplos:

1.

2.

3.

4.

1.3.2 TIPOS DE FRACCIONES

1.3.2.1 Fracción Propia: Es aquella fracción en la que el numerador es menor que el

denominador, Ejemplo:

,

,

.

1.3.2.2 Fracción Impropia: Es aquella fracción en la cual el numerador es mayor que el

denominador, normalmente se convierte a Mixto.

Ejemplo:

,

,

,

1.3.2.3 Fracción Mixta: Es aquella fracción que posee un número entero y una fracción:

Ejemplo:

1.3.2.4 Conversión de Impropia a Mixta: Se realiza la División de numerador dentro del

denominador, del resultado de la división: el cociente es el entero de la nueva

fracción, el residuo es el numerador de la nueva fracción y el divisor es el

Denominador de la nueva fracción.

Ejemplo: Convertir a Mixto:


1.3.2.5 Conversión de Mixta a Impropia: Para el nuevo numerador se multiplica el

denominador de la fracción mixta con el entero y se le suma el numerador de la

fracción mixta, para el nuevo denominador se copia el mismo denominador de la

fracción Mixta.

Ejemplo: Convertir a fracción Impropia.

1. -4

1.3.3 COLOCACIÓN DE SIGNO MENOS EN FRACCIONES:

a. El signo menos que antecede a una fracción indica que ésta es negativa.

b. Una fracción sólo puede llevar un signo menos.

c. Éste signo puede colocarse antes del número entero, del numerador o bien

antes en medio de la fracción.

Ejemplo:

,

,

.

1.3.4 TIPOS DE DECIMALES: Existen 3 tipos de decimales:

1. Decimales Finitos ó Exactos: Son aquellos en los cuales las cifras decimales

tienen fin y pueden contarse.

Ejemplo: , .

2. Decimales Periódicos Puros: Son aquellos en los cuáles las cifras decimales no

tienen fin y empiezan a repetirse a partir del punto decimal.

Ejemplo:

3. Decimales Periódicos Mixtos: Son aquellos en los que las cifras decimales no

tienen fin, dichas cifras tienen una parte no periódica y otra que se repite

infinitamente.

Ejemplo: 3.5990990990…

1.3.5 CONVERSIÓN DE FRACCIÓN A DECIMAL: Para convertir un número fraccionario en

decimal, simplemente se realiza la división de numerador dentro del denominador:

Ejemplo: Convertir a decimal los siguientes números:

a.

b.

1.3.6 CONVERSIÓN DE DECIMALES A FRACCIÓN: Existen 3 casos dependiendo del tipo

de decimal que se desea convertir:

A. Conversión Decimal Finito ó Puro a fracción: En el numerador se coloca el

número decimal obviando el punto, en la parte del denominador se coloca el


número “UNO” acompañado de tantos ceros como cifras decimales tenga,

luego se simplifica a su mínima expresión.

Ejemplo: Convertir a fracción las siguientes cantidades:

1.

2.

B. Conversión Decimal periódico puro a Fracción: En el numerador se coloca el

número sin punto decimal restándole las cifras que están antes del punto

decimal, en el denominador se colocan tantos nueves como cifras sean las que

se repiten.

Ejemplo: Convertir a fracción los siguientes números.

1.

2.

C. Conversión de Decimal periódico mixto a Fracción: En el numerador se coloca

el número obviando el punto decimal y se le resta la parte que no se repite

incluyendo los enteros, en el denominador se coloca tantos nueves como cifras

decimales se repiten, acompañado de tantos ceros como cifras decimales no se

repiten.

Ejemplo: Convertir a fracción los siguientes Decimales:

1.

2.

1.3.7 MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD): Se utiliza cuándo se tiene una serie de

números y se desea encontrar la mayor cantidad de divisores en común, al realizar

la búsqueda, siempre se inicia intentando dividir a los números con los divisores

más pequeños, luego multiplicamos todos los divisores comunes.

Ejemplo: Encontrar el MCD de los siguientes números:


1.3.8 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM): Consiste en encontrar la mayor cantidad de

divisores de cada número, en una serie de números dada, se empieza del número

más pequeño hasta convertir cada número en “1”, luego multiplicamos todos los

divisores, es así como encontramos el MCM.

Ejemplo: Encontrar el MCM de los siguientes números:

1.3.9 OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES

A continuación se presentan las reglas que deben tomarse en cuenta para realizar

las operaciones con los números racionales:

1. Regla #1: Siempre simplificar: Está 100% comprobado que es mucho más fácil

realizar operaciones con números simplificados, siempre que inicies una

operación y simplifiques verás como todo se te hace más simple.

2. Regla #2: Racionales ó Decimales: Si en un problema cualquiera, te aparecen

operaciones cualesquiera entre Racionales y Decimales, debes elegir una clase

de números y convertirlos a todos, es decir; convertir a todos en decimales o a

todos en racionales, depende de cómo se te haga más sencillo de operar.

1.3.9.1 SUMA y RESTA DE RACIONALES: Existen 2 casos:

a. Mismo denominador: Se suman ó restan los numeradores de los números

racionales, se colocan en el nuevo numerador, luego copiamos el denominador

y simplificamos.

Ejemplo: Realizar la suma de las siguientes cantidades.

1.

2.


b. Distinto denominador: No podemos sumarlos normalmente porque no tienen

el mismo denominador, entonces lo que prosigue es hacer que los

denominadores se parezcan, ya sea simplificando o ampliando, es decir

multiplicando o dividendo ambos (numerador y denominador) hasta hacer que

todos los denominadores se parezcan.

Ejemplo: Realizar las siguientes operaciones:

1.

(

) (

) (

) (

) (

)

2.

.

/

.

/

.

/

?

1.3.9.2 MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES: Para obtener el nuevo numerador se

multiplican todos los numeradores, para obtener el nuevo denominador se

multiplican todos los denominadores.

Ejemplo: Realizar las siguientes multiplicaciones:

1. .

/ .

/

( )

1.3.9.3 DIVISIÓN DE FRACCIONES: Aplicamos reciproco al divisor, luego operamos como

una multiplicación de fracciones.

Ejemplo: Realice las siguientes operaciones:

1. .

/ .

/

NOTA: Existe una gran diferencia entre “Cancelar” y “Anular”, usamos Cancelar

en operaciones como divisiones, cuando cancelamos los factores toman el

valor de “1”, usamos Anular en operaciones como sumas, cuando anulamos los

factores toman el valor de “0”.

1.3.9.4 POTENCIA DE FRACCIONES: Se enumeran los siguientes casos:

a) Base racional y exponente entero: El exponente entero afecta tanto el

numerador como el denominador:

Ejemplo: (

)


b) Base entera y exponente racional: El numerador del exponente es ahora el

exponente de la base y el denominador del exponente es la raíz de la base.

Ejemplo: ( )

⁄ ( )

√

c) Base racional y exponente racional: Ambos términos son afectados por el

exponente (numerador y denominador), de igual forma el numerador del

exponente es el exponente de ambos y el denominador del exponente es la

raíz de ambos.

Ejemplo: .

/

.

/

√

√

√

1.3.9.5 RAÍZ DE FRACCIONES: La raíz indicada afecta a toda la base, tanto numerador

como denominador.

Ejemplo: √

√

√

NOTA IMPORTANTE: Si el exponente o la raíz son negativas, a la base se le aplica

recíproco y se opera normalmente.

1.3.10 OPERACIONES CON DECIMALES: Estas operaciones sólo se pueden efectuar con

decimales finitos, si en algunos problemas aparecen decimales periódicos, todos

deben convertirse en fracciones y operarse como tal.

1.3.10.1 Sumas de Decimales: Para sumarlos únicamente debemos alinear el punto

decimal de cada número, así como alinear las unidades de ellos es decir, unidad bajo

unidad, decena debajo de cada decena, centena debajo de cada centena y así

sucesivamente, si no hay números colocamos “0”.

Ejemplo:

0.250

1.200

+34.001

35.451

1.3.10.2 Resta de Decimales: Al igual que en la suma de decimales, el punto debe

alinearse y realizar la operación, también se colocan “0” en lugares vacíos.

Ejemplo:


13.010

-21.003

-7.993

1.3.10.3 Multiplicación de Decimales: Se realiza una multiplicación normal obviando el

punto decimal, al finalizar la multiplicación se suman las cantidades de decimales

que tengan todos los multiplicandos, y ésa cantidad de decimales tendrá la

respuesta final.

Ejemplo:

2.34

* 25.1

234

1170

+468__

58.734

1.3.10.4 División de Decimales: Se deben eliminar las cifras decimales tanto en el

dividendo como en el divisor, primero debes ver cuál de éstos dos tiene más cifras

decimales, luego debes correr el punto decimal la cantidad de veces que sea

necesario para eliminar toda las cifras, ésta misma cantidad de veces que se corre

el punto decimal debes aplicarla con el otro número agregando “0” como sea

necesario, luego realizamos una división normal.

Ejemplo:

=22.98701299…

1.3.10.5 Potencia de Decimales: El proceso es sencillo, se realiza multiplicación normal,

dependiendo de la cantidad de decimales de la base y la cantidad de beses que

ésta se multiplique, así será la cantidad de decimales de la respuesta final.

Ejemplo:

( )

NOTA: En algunas ocasiones, es mejor convertir los decimales a fracciones y

operarlos normalmente como fracciones, depende de cuál sea la ocasión.


1.4 JERARQUÍA DE OPERACIONES Y SIGNOS DE AGRUPACIÓN: Cuando en un problema

matemático hay varias operaciones incluyendo signos de agrupación, debe llevarse

un orden, el cuál es el siguiente:

No. Operaciones

1. Raíces y Potencias

2. Multiplicaciones y Divisiones

3. Sumas y Restas

No. Signos de Agrupación

1. Paréntesis

2. Corchetes

3. Llaves

Nota: Cabe mencionar que predomina el orden de Signos de agrupación sobre el

orden de Operaciones, es decir que se debe seguir el orden de los signos antes que el

orden de las operaciones.

Ejemplo: Realice los siguientes problemas.

1. * ,( ) )-+ ( ) ( )

* , -+ ( ) ( )

* , -+ ( ) ( )

* , -+ ( ) ( )

* +

* +

1.5 PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES

1.5.1 PROPIEDADES DE LA SUMA:

1.5.1.1 Propiedad Conmutativa: Cuando se suman dos números, el resultado es el

mismo independientemente del orden en que se sumen.

Ejemplo:

1.5.1.2 Propiedad Asociativa: Cuando se suman 3 o más números, el resultado es el

mismo no importando la agrupación que realicemos para sumarlos.

Ejemplo:

( ) ( )


1.5.1.3 Elemento Neutro: La suma de cualquier número con “0” el resultado siempre

es el mismo número.

Ejemplo:

1.5.1.4 Propiedad Distributiva: La suma de dos números multiplicada por un tercero

es igual a la suma de cada sumando multiplicado por el tercer número.

Ejemplo:

( ) ( ) ( )

1.5.2 PROPIEDADES DE LA RESTA:

1.5.2.1 Propiedad Conmutativa: La resta no es conmutativa, el orden de los factores si

altera el producto.

Ejemplo:

1.5.2.2 Propiedad Asociativa: La resta no es asociativa, es decir no podemos asociar

números para encontrar el resultado.

Ejemplo:

( ) ( )

1.5.2.3 Elemento Neutro: La resta de cualquier número y “0”, da como resultado el mismo

número.

Ejemplo:

1.5.3 PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN:

1.5.3.1 Propiedad Conmutativa: Cuando se multiplican dos números, el resultado es el

mismo, no importando el orden de éstos:

Ejemplo:

1.5.3.2 Propiedad Asociativa: Cuando se multiplican 3 o más números, el resultado es el

mismo no importando cómo se agrupen los factores.

Ejemplo:

( ) ( )

1.5.3.3 Elemento Neutro: Todo número multiplicado por la unidad, tiene como resultado

el mismo número.

Ejemplo:

1.5.4 PROPIEDADES DE LA DIVISIÓN:


1.5.4.1 Propiedad Conmutativa: La división no es conmutativa, es decir no podemos

cambiar el orden de los factores.

Ejemplo:

1.5.4.2 Propiedad del Cero: Cero dividido entre cualquier número, el resultado siempre es

cero “0”.

Ejemplo:

1.5.4.3 División entre Cero: No se puede dividir dentro de cero, no existe en el conjunto

de números reales.

1.5.5 PROPIEDADES DE LA POTENCIA

1.5.5.1 Multiplicación de potencias de misma base: Cuando hay una multiplicación de

mismas bases pero distintos exponentes, se puede copiar la base y sumar

exponentes:

Ejemplo:

1.5.5.2 División de potencias de igual base: Cuando tenemos una división de potencias

con misma base pero distinto exponente, los exponentes se restan, al exponente

del numerador se le resta el exponente del denominador.

Ejemplo:

1.5.5.3 Potencia elevada a otra potencia: Cuando tenemos una potencia de otra potencia,

sencillamente multiplicamos exponentes.

Ejemplo:

( )

1.5.5.4 Potencia de un producto ó división: Cuando en la base de una potencia hay un

producto o división, podemos colocarle la potencia a cada producto y realizar la

multiplicación o división dependiendo el caso.

Ejemplo:

( ) .

/

1.5.6 PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN

1.5.6.1 Raíz de un producto: La raíz de una multiplicación es igual a la multiplicación de

ambas raíces.

Ejemplo:

√ √ √ √ √


1.5.6.2 Raíz de un cociente: La raíz de un cociente es igual al cociente de ambas raíces, es

decir, podemos colocar la raíz al numerador y denominador.

Ejemplo:

√

√

√

√

1.5.6.3 Raíz de una raíz: Cuando tenemos una raíz dentro de otra raíz, multiplicamos los

radicandos y se conserva el radicando.

Ejemplo:

√√

√

√

1.6 NÚMEROS IRRACIONALES: Son todos aquellos números que no se pueden escribir en

forma de fracción, tienen cifras decimales infinitas y éstas no se repiten, El conjunto

de números Irracionales se representa con la letra “ I ” éste conjunto de números no

pertenece absolutamente a ninguno de los otros mencionados anteriormente (Ver el

Diagrama).

{ √ }

1.7 1.7 NÚMEROS REALES: Nos referimos a la unión de números Racionales e

Irracionales (Ver el diagrama).

1.8 POTENCIAS DE DIEZ: Cuando un número es muy pequeño o muy grande, utilizamos

la potencia de diez, podemos mover el punto decimal a la izquierda o a la derecha,

dependiendo de cuántas unidades se mueva así será el exponente de la base diez, si


se mueve a la derecha el exponente es negativo, si se mueve a la izquierda el

exponente es positivo.

Ejemplo:

1.8.1 SUMA Ó RESTA DE POTENCIAS DE DIEZ: Sólo se pueden sumar o restar cuando

los exponentes de las bases 10 son iguales.

Ejemplo:

1.8.2 MULTIPLICACIÓN DE POTENCIAS DE DIEZ: Los números que anteceden la base

diez se multiplican normalmente, los exponentes de las bases se suman.

Ejemplo:

( )( )

1.8.3 DIVISIÓN DE POTENCIAS DE DIEZ: Los números que anteceden a la base diez, se

dividen normalmente, al exponente de la base diez del numerador se le resta el

exponente de la base diez del denominador.

Ejemplo:

( )

1.8.4 POTENCIA CON POTENCIAS DE DIEZ: A los números que anteceden a la potencia

de diez se le aplica la potencia normalmente, el exponente de la base diez se

multiplica con el exponente general.

Ejemplo:

( )

1.8.5 RADICACIÓN DE PONTECIAS DE DIEZ: A los números que anteceden a la potencia

de diez se le aplica la raíz normalmente, el exponente de la base diez se le divide

con el índice de la raíz.

Ejemplo:

√

√ √


1.9 LA RECTA NUMÉRICA: Una recta numérica indica el orden de todos los números

conocidos anteriormente, entre mas a la izquierda se encuentren indica que es más

pequeño, entre mas a la derecha se encuentre indica que es más grande.

1.9.1 INTERVLOS Y NOTACIÓN DE INTERVALOS: Conociendo el concepto de recta

numérica, podemos encontrar conjuntos de números que pueden representarse en

una recta numérica, los intervalos se pueden representar de 3 formas:

1. De Intervalo

2. De Conjunto

3. Forma Geométrica

1.9.1.1 De Intervalo: Son los que se representan mediante una pareja ordenada,

utilizamos paréntesis o corchetes, designamos paréntesis cuando éste no contiene el

último número del intervalo, designamos corchete cuando éste contiene el último

número del intervalo.

Ejemplo:

( ) Éste es un intervalo desde -2 hasta 3 no incluyéndolos.

, ) Éste es un intervalo desde -2 hasta 9 incluyendo sólo a -2.

, - Éste es un intervalo desde -3 hasta 4 incluyendo a ambos.

Nota: Cuando hablamos de infinitos, siempre utilizamos paréntesis, ya que infinito es

no es un número y no puede ser contenido en el intervalo.

( ) Éste es un intervalo desde hasta 3 no incluyéndolos.

( ) Éste es un intervalo desde -4 hasta no incluyéndolos.

1.9.1.2 De conjunto: Indica desde dónde hasta donde se encuentra éste conjunto,

utilizamos símbolos como (≤,≥,>,<)

Donde “≥,≤” indican que si contiene dichos números y “>,<” indican que no los

contiene.

Ejemplo:

Éste conjunto representa desde -3 hasta 2 pero incluye solo a 2.


Éste conjunto representa desde -3 hasta infinito positivo incluyendo -3.

1.9.1.3 Forma Geométrica: Es la representación en una recta numérica mediante un

dibujo sobre ella, utilizamos círculos vacíos o círculos sombreados, los círculos vacíos

indican que éste número no ésta contenido en éste conjunto, y el círculo sombreado

significa que éste si se encuentra contenido en el conjunto:

Ejemplos: Analizar y comprender las siguientes imágenes.

Notación de

intervalo

Notación de

conjunto

Representación geométrica en una recta

numérica

( a, b ) a < x < b

[ a, b ) a ≤ x < b

( a, b ] a < x ≤ b

[ a, b ] a ≤ x ≤ b

( a, ∞ ) a < x

[ a, ∞ ) a ≤ x

( - ∞, a ) x < a

( - ∞, a ] x ≤ a

1.10 VALOR ABSOLUTO: El valor absoluto de un número entero es el número natural que

resulta al suprimir su signo, se escribe dentro de barras verticales.

Ejemplo:


1.10.1 Intervalos (Inecuaciones con valor absoluto): El procedimiento es el siguiente:

1. Aislar la expresión con valor absoluto a un lado de la inecuación.

2. Hallar los intervalos de prueba. Esto se logra resolviendo la ecuación que resulta de

cambiar el signo de desigualdad por el signo de igualdad. La solución de dicha ecuación

determina los límites de los intervalos en la recta numérica.

3. Seleccionar un punto de prueba en cada intervalo para determinar el signo en cada

intervalo.

4. La solución la conforman todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea cierta. La

solución se puede expresar de distintas formas:

Como intervalo

Como conjunto

Gráficamente

Ejemplos: Encuentre el intervalo de las siguientes inecuaciones:

1.

2.

3.

4.

5.

1.11 PROPORCIONES: Éste tema se ve reflejado en problemas en donde se manifiesta

proporcionalidad directa e inversa, cuando nos referimos a directa significa que

cuando un valor sube de uno de los lados de la igualdad, del otro lado sube en la

misma proporción, cuando nos referimos a inversa es cuando de uno de los lados de

la igualdad aumenta pero del otro lado disminuye en una misma proporción,

dependiendo de la situación utilizamos una de las siguientes ecuaciones:

a. Directamente Proporcional

b. Inversamente Proporcional

Dónde: Primer variable

Segunda variable

Constante de proporcionalidad


PROCEDIMIENTO DE RESOLUCIÓN:

1. Determinar cuál de las dos ecuaciones antes mencionadas corresponde al

problema.

2. Sustituir las variables mencionadas en el problema en la ecuación que elegimos.

3. Sustituir en la ecuación los valores proporcionados en el problema

4. Despejamos “K” y encontramos su valor.

5. Colocamos una nueva ecuación con el nuevo valor de “K”.

6. Sustituimos el valor proporcionado en el problema y despejamos la variable que

nos solicitan en el problema.

EJEMPLO: Son inversamente proporcionales cuando determinar el

valor de si

( )

(

) ( )

(

) (

)

1.11 REGLA DE TRES SIMPLE: Ésta puede ser Directa e Inversa. Consiste en que dadas dos

cantidades correspondientes a magnitudes inversamente proporcionales ó directamente

proporcionales, calcular la cantidad de una de estas magnitudes correspondiente a una

cantidad dada de la otra magnitud.

1.11.1 Regla de tres Simple Directa: La regla de tres directa la aplicaremos cuando

entre las magnitudes se establecen las relaciones:

A más más.


A menos menos.

Ejemplo: Un automóvil recorre 240 km en 3 horas. ¿Cuántos kilómetros habrá

recorrido en 2 horas?

Distancia (km) Tiempo (h)

240 3

X 2

1.11.2 Regla de tres Simple Inversa: La regla de tres inversa la aplicaremos cuando

entre las magnitudes se establecen las relaciones:

A más menos.

A menos más.

Debemos Invertir las magnitudes.

Ejemplo: Un grifo que mana 18L de agua por minuto tarda 14 horas en llenar un

depósito. ¿Cuánto tardaría si su caudal fuera de 7L por minuto?

Caudal (L/min) Tiempo (h)

18 14

7 x


NOTA: Como a mayor sea el caudal, menor tiempo será el que se tarde en llenar,

la relación es inversa, entonces cambiamos el orden de la siguiente manera:

Caudal (L/min) Tiempo (h)

18 x

7 14

1.12 PORCENTAJES: El porcentaje o tanto por ciento (%), es una de las aplicaciones más

usadas de las proporciones o razones.

El porcentaje es una forma de comparar cantidades, es una unidad de referencia que

relaciona una magnitud (una cifra o cantidad) con el todo que le corresponde (el todo es

siempre el 100), considerando como unidad la centésima parte del todo. El porcentaje es

una de los ejemplos más sencillos de regla de tres.

Ejemplos:

1 centésimo =

5 centésimos =

50 centésimos =

1. ¿Cuál (cuanto) es el 20% de 80?

Recordemos que 20% = 0.2, entonces:

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Proporcionalidad.htm


( )( )

1.12 REGLA DE TRES COMPUESTA: La regla de tres compuesta se emplea cuando se

relacionan tres o más magnitudes, de modo que a partir de las relaciones establecidas

entre las magnitudes conocidas obtenemos la desconocida. Una regla de tres

compuesta se compone de varias reglas de tres simples aplicadas sucesivamente, las

cuales pueden ser directas y/o inversas. Hacemos una comparación de cada magnitud

con la que se desea encontrar, si la relación es inversa, se invierte.

Ejemplo: Si 8 obreros realizan en 9 días trabajando a razón de 6 horas por día un muro

de 30 m. ¿Cuántos días necesitarán 10 obreros trabajando 8 horas diarias para realizar

los 50 m de muro que faltan?

NOTA: ÉSTE EJEMPLO SE VERÁ EN CLASE MAGISTRAL #2

1.13 RAZONES: Éste tema es utilizado en pequeños problemas de aplicación, en los

cuales se mencione que existen razones entre distintas cantidades, para poder

resolver razones utilizamos sencillamente el máximo común divisor (MCD).

Ejemplo: La edad de 3 jóvenes está a razón de 3:4:5 si la edad del menor hace tres

años era seis. ¿Qué edad tiene el mayor?

NOTA: ÉSTE EJEMPLO SE VERÁ EN CLASE MAGISTRAL #2

MANUAL DE TRABAJO TUTORÍAS DE MATEMÁTICAS

MÓDULO 2: ÁLGEBRA

1.1 ÁLGEBRA: Es la rama de la matemática que involucra números, símbolos y letras, a

las letras las denominaremos “Variables, Incógnitas ó Literal” a los números

“Coeficientes o constantes” los símbolos pueden ser (+,-,/,*).


1.2 DEFINICIONES: Para poder resolver los distintos problemas de matemática

utilizando álgebra, debemos conocer algunas definiciones ó propiedades.

1.2.1 Término: Denominamos término a la mínima expresión del álgebra, éste está

formado siempre por 3 elementos, coeficiente, literal, y signo (+ó-).

Ejemplo:

a.

b.

c.

d.

e. 5

NOTA: Un término siempre debe llevar un coeficiente y signo (+ó-), pero no necesaria mente una

literal, también puede llevar más de una literal, en álgebra, cuando el número “1” está

acompañado de una literal no se escribe, una literal puede estar elevada a cualquier exponente,

cuando el término no lleva signo se interpreta que es “+”.

1.2.2 Expresión algebraica: Es la que se encuentra formada por varios términos, los

términos en una expresión de álgebra están separados por los signos +ó-.

Ejemplo:

1. Tiene un término

2. Tiene 2 términos.

3. Tiene 3 términos

4. Tiene 4 términos

1.2.3 Clasificación de expresiones: Dependiendo de la cantidad de términos que posea

la expresión recibe su nombre:

1. MONOMIO: Cuando posee un solo término.

2. BINOMIO: Cuando posee 2 términos.

3. TRINOMIO: Cuando posee 3 términos.

4. POLINOMIO: Cuando posee 4 o más términos.

1.2.4 Términos semejantes: Dos términos son semejantes cuando ambos tienen

exactamente las mismas literales elevadas al mismo exponente.

1.3 OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRÁICAS: Cabe mencionar que en todas las

operaciones del álgebra se manejan las mismas reglas que los problemas con potencias de

diez.

1.3.1 SUMA Y RESTA: En álgebra podemos sumar ó restar únicamente términos

semejantes.


1.3.2 MULTIPLICACIÓN: En la multiplicación de expresiones, debemos multiplicar cada

término del multiplicador por cada término de multiplicando, luego sumamos términos

semejantes, si los términos que se multiplican poseen distintas literales, el nuevo término

debe llevar ambas literales, si ambos términos llevan la misma literal, los exponentes

deben sumarse.

1.3.3 DIVISIÓN: Puede ser de monomios o polinomios, cuando se trata de monomios los

coeficientes se dividen normalmente y a los exponentes de las literales del numerador se

le restan los exponentes de las literales del denominador, cuando se trata de expresiones

más complejas y polinomios utilizamos el procedimiento de una división en aritmética

aplicando los conocimientos de álgebra.

Ejemplo:

1.3.4 POTENCIA: El exponente afecta a todo el término, tanto signos, números y

literales, a los coeficientes se les aplica el exponente normalmente, y al exponente de las

literales se les suma el exponente que les afecta. Cuando dentro de la Potencia hay una

expresiones de 2 o más términos, aplicamos productos notables.

1.3.5 RADICACIÓN: La raíz afecta a todo el término, al coeficiente se le aplica raíz normal

y el radical de la raíz pasa a ser el denominador del exponente de las literales.

2.4 PRODUCTOS NOTABLES: Sabemos que se llama producto al resultado de una

multiplicación. También sabemos que los valores que se multiplican se llaman factores. Se

llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran

frecuentemente y que es preciso saber factorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad

de hacerlo paso por paso.

Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente porque son

muy utilizados en los ejercicios.

A continuación veremos algunas expresiones algebraicas y del lado derecho de la igualdad

se muestra la forma de factorizarlas (mostrada como un producto notable).

1.4.1 Cuadrado de la suma de dos cantidades o binomio cuadrado:

( )

El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, más

el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la

segunda cantidad.

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/AlgebraFactorizacion.htm


1.4.2 Cuadrado de la diferencia de dos cantidades:

( )

El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad,

menos el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la

segunda cantidad.

1.4.3 Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades (o producto de dos

binomios conjugados):

( ) ( )

El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera

cantidad, menos el cuadrado de la segunda.

1.4.4 Cubo de una suma:

( )

El primer término elevado al cubo más la multiplicación por 3 del primer término elevado

al cuadrado por el segundo término, mas la multiplicación por 3 del primer término por el

segundo elevado al cuadrado, más el segundo término elevado al cubo. Cubo de una

diferencia:

( )

El primer término elevado al cubo menos la multiplicación por 3 del primer término

elevado al cuadrado por el segundo término, mas la multiplicación por 3 del primer

término por el segundo elevado al cuadrado, menos el segundo término elevado al cubo.

NOTA: En los ejemplos anteriores se muestran los productos notables más utilizados en

ejercicios diarios, pero también pueden utilizarse otros que a continuación adjuntamos en

una tabla que muestra el resumen de algunos de ellos.


1.5 FACTORIZACIÓN: Consiste en descomponer una expresión algebraica en factores

que indiquen multiplicación, existen varios casos los cuales se enumeran a continuación.

1.5.1 Factor Común: Cuando todos los términos de la expresión tienen un término en

común:

Ejemplo:

1.5.2 Factor común por agrupación de Términos: Se da cuando es necesario agrupar

términos para encontrar distintos factores comunes, si al momento de agrupar los

resultados que nos quedan dentro del paréntesis son iguales, entonces el factor común

está bien.

Ejemplo:

1.5.3 Trinomio cuadrado perfecto: Es el resultado contrario al producto notable de

binomio elevado al cuadrado, el procedimiento es el mismo sólo que al revés.

Ejemplo:

1.5.4 Diferencia de cuadrados: Es el resultado de multiplicar dos factores con los

mismos términos pero separados por signos distintos.

Ejemplo:


1.5.5 Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción: Éste caso aparece de

combinar trinomio cuadrado perfecto y diferencia de cuadrados.

Ejemplo:

2.5.6 Suma de cuadrados: El procedimiento es parecido al procedimiento anterior, únicamente

que para encontrar el término que sumaremos, la multiplicación por 2 de la raíz cuadrada

de cada término.

Ejemplo:

2.5.7 Trinomio de la forma x2+bx+c: Como no es trinomio cuadrado perfecto,

procedemos a descomponer los factores de manera que encontremos la pareja perfecta.

Ejemplo:

2.5.8 Trinomio de la forma ax2+bx+c: El procedimiento es el mismo que el caso anterior.

Ejemplo


2.5.9 Cubo perfecto de Binomios: Es el caso contrario del producto notable binomio elevado al

cubo.

Ejemplo:

NOTA: TODOS LOS EJEMPLOS DE FACTORIZACIÓN SE VERÁN EN LA CLASE #3

2.9 Problemas de aplicación utilizando Álgebra: Para poder resolver problemas de

aplicación debemos leer paso a paso cada oración del problema y comprender qué es lo

que nos quiere decir e ir formando el sistema de ecuaciones, luego resolverlo de manera

que podamos encontrar las soluciones, recordemos que dependiendo de la cantidad de

incógnitas así debe ser la cantidad de ecuaciones.


MÓDULO 3: GEOMETRÍA

3.1 GEOMETRÍA: Parte de las matemáticas que estudia la extensión, la forma de medirla,

las relaciones entre puntos, líneas, ángulos, planos y figuras, y la manera cómo se miden.

3.2. Plano Cartesiano: El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen. El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados.

Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las equis a uno de las yes, respectivamente, esto indica que un punto (P) se puede ubicar en el plano cartesiano tomando como base sus coordenadas, lo cual se representa como: P(x,y).

http://www.profesorenlinea.cl/quinto/matematica/ParOrdenado.htm


Ejemplo:

NOTA: Las ecuaciones pueden graficarse en el plano cartesiano, dependiendo de su grado

así es como será su forma.

3.3 GRÁFICA DE ECUACIONES: Consiste en sustituir valores de una variable, pueden ser

varios pero normalmente son únicamente 2 los cuales nos brindan 2 puntos en el plano

cartesiano, al tener éstos 2 puntos procedemos a graficar dicha ecuación.

3.4 PENDIENTE DE ECUACIONES: La pendiente de una ecuación es la interpretación del

grado de inclinación de la recta, se representa con la letra “m”, cuando una ecuación se

encuentra ordenada de la forma y=mx+c, el número que se encuentra a la par de “X” es la

pendiente de dicha ecuación. Podemos encontrar la pendiente de una recta cuando

tenemos 2 puntos en el plano cartesiano por donde pasa dicha recta mediante la siguiente

fórmula:

3.5 ECUACIÓN RECTA-PENDIENTE: Existen dos formas de encontrar la ecuación de una

recta, la primera es cuando tenemos 2 puntos por donde pasa la recta y la segunda

cuando tenemos un punto por donde pasa esa recta y la pendiente de la misma ,

utilizamos la siguiente ecuación:

( )


3.6 ENCONTANDO ECUACIÓN DE LA RECTA OBSERVANDO GRÁFICA: Podemos encontrar

una ecuación de la recta solamente observando la gráfica, empleando los elementos

vistos anteriormente.

3.7 PENDIENTE DE RECTAS PARALELAS: Cuando en un plano cartesiano tenemos 2 rectas

que son paralelas entre sí, ambas tienen la misma pendiente, es decir:

3.8 PENDIENTE DE RECTAS PERPENDICULARES: Cuando en un plano cartesiano tenemos 2

rectas que son perpendiculares entre sí, la pendiente de la segunda es el recíproco y

aditivo de la pendiente de la primera, utilizamos la siguiente ecuación.

( )

3.9 DISTANCIA ENTRE PUNTOS: Podemos encontrar la distancia entre puntos en un plano

cartesiano mediante la siguiente ecuación:

√( ) ( )

3.10 PUNTO MEDIO ENTRE PUNTOS EN UN PLANO: Podemos encontrar el punto medio

que hay entre dos puntos en un plano cartesiano mediante la siguiente ecuación:

(

)

3.11 FIGURAS GEOMÉTRICAS: Para poder resolver problemas con figuras geométricas, es

indispensable conocer de memoria todas las fórmulas que sean posibles, también cabe

mencionar que dependiendo de la cantidad de incógnitas, así deben ser nuestras

cantidades de ecuaciones, al finalizar éste folleto te adjuntamos una serie de fórmulas que

debes memorizar.



MÓDULO 4: TRIGONOMETRÍA

4.1 TEOREMA DE PITÁGORAS: Es aplicable en triángulos rectángulos, nos dice que el

cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de sus catetos, es decir:

4.2 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN TRIÁNGULOS: En resolución de triángulos de

alguna forma para resolverlos podemos emplear funciones trigonométricas, las cuales nos

dice lo siguiente:

1.

2.

3.

4.3 CIRCULO TRIGONOMÉTRICO: Para poder resolver triángulos también es necesario

recordar que podemos utilizar los ángulos que nos proporciona el círculo trigonométrico,

el cual nos dice que en la circunferencia total contamos con .

4.4 LEY DE ÁNGULOS INTERNOS: Éste otro teorema nos ayuda a resolver problemas de

trigonometría, la cual nos dice que la suma de los ángulos internos de un triángulo

siempre es .

4.5 LEY DE ÁNGULOS EN RECTAS PARALELAS: Cuando tenemos dos rectas paralelas y las

cruza una recta inclinada, podemos observar que los ángulos se repiten en los extremos.

http://dms.mcoe.org/glossary/images/pythagorean_theorem1.gif


4.6 CONCEPTO DE ÁNGULO Y UNIDAD DE MEDIDA: Los ángulos pueden medirse en

grados o bien radianes, pero debemos recordar la siguiente conversión:


ÁREASY VOLÚMENES DE FIGURAS



PERÍMETROS DE FI GURAS

Documents

Manual de Reglas (1)