Mapas K y Tablas Mcluskey Sistemas Digitales

CAPITULO 2

Métodos tabu lares de s impl ¡ f i cac iónde ecuaciones

2.I. METODOS TABULARES DE SIMPLIFICACION

Existen bastantes métodos para realizar la simplificación de ecuaciones booleanas, si bien, en lapráctica, son sólo dos los más empleados:

. Mapas de Karnaugh: Se pueden utilizar para simplificar funciones de dos a seis variables,aunque habitualmente sólo se los emplee para funciones de dos a cinco variables.

. Tablas de Quine-McCluskey: Se pueden emplear en la simplihcación de ecuaciones de cual-quier número de variables, pero se suelen utilizar solamente a partir de cinco variables.

2.2. MAPAS DE KARNAUGH

Están constituidos por una cuadrícula en forma de encasillado cuyo número de casillas dependedel número de variables que tenga la función a simplihcar.Cada una de las casillas representa lasdistintas combinaciones de las variables que puedan existir.

En la ligura 2.1 aparecen las distintas formas que adoptan los mapas de Karnaugh en funcióndel número de variables.

b)

d)c)

F igura 2 .1 . a) Mapa de dos var iab les. b) Mapa de t res var iab les. c ) Mapa de cuat ro var iab les.d) Mapa de c inco var iab les.

001 01 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0

28 ELECTRONICA D IG ITAL

2.3. REPRESENTACION DE ECUACIONES BOOLEANASEN MAPAS DE KARNAUGH

Cada una de las casillas que forman el mapa puede representar términos tanto minterms como

maxterms. El convenio que se emplea es el mismo que ya enunciamos en el Capítulo 1 para obtener

la ecuación booleana de una tabla de verdad; éste aparece en la Tabla 1.4 de dicho capítulo.

En la Figura 2.2 aparece, a modo de ejemplo, la equivalencia de cada una de las casillas de un

mapa de cuatro variables expresada en términos minterms y en términos maxterms.

d -

00

01

1 1

1 0

a . 6 - e . d a ' b ' c ' d a ' b ' é ' d a . 5 ' e ' d

a ' 6 . e . ¿ á . b . e . d a ' b ' c ' d a ' 6 ' e ' d

á ' 6 ' c ' d á ' b ' c ' d a ' b ' c ' d a ' 6 ' c ' d

á ' 6 ' c ' d á ' b ' c ' d a ' b ' c ' l I a ' 5 ' c ' d

bc

00o00

01

1 1

1 0

a + b + c + d a+6+c+d á+5+c+d á + b + c + d

a+b+c+d a + 5 + c + d a+6+c+d á + b + c + d

a + b + c + d a+6+e+d a+6+e+ d a + b + e + d

a + b + C + d a + 6 + c + d a+6+e+d e + b + e + d

Figura 2.2. Equivalencia de las casi l las de un mapa de cuatro var iables. a) Términos minterms.

b) Términos maxterms.

Cuando ua))amos a representar una ecuación en forma minterms, pondremos I en la casilla

correspondíente a cada térmíno. Por el contrario, si la representamos en.forma maxterms, pondremos

un 0 en la casilla correspondiente a cada término.por último, hay que destacar que cuando uaj'amos o representar una funcíón booleana, ésta tiene

que estar en su forma canónica (minterms o maxterms ) completa y, por tanto, todos los térmihos

han de contener todas las uariables que interuienen en la función. En el caso de tener que representar

funciones incompletas, habrá que obtener previamente la forma canónica completa o representar

todas las casillas que correspondan a término incompleto.

2.4. SIMPLIFICACION DE ECUACIONESEN MAPAS DE KARNAUGH

1 01 101

a)

1101

El principio de simplificación deley es la (9) de la Tabla 1.3 del

los mapas se basa en una de las leyes del álgebra de Boole. Dicha

Capítulo 1, que dice:

a ' b + a ' b : a

METODOS TABULARES DE S IMPL IF ICACION DE ECUACIONES 29

Como podemos observar en las Figuras 2.2a y 2.2b, todas las casillas contiguas, según los ejescoordenados, se caracterizan por diferenciarse sólo en una variable, que se encuentra negada enuna de ellas y sin negar en la otra. Esta característica, que se cumple en todos los mapas, permiteaplicar de una forma automáticalaley anterior, consiguiendo así simplifrcar las casillas contiguaspor sus variables comunes.

Generalizando este proceso de si¡nplificación, podemos afirmar que en los mapas de Karnaughse pueden simplihcar entre sí, por sus variables comunes, los siguientes grupos de casillas:

. Grupos de 2, 4,8, 16, 32 o 64 casil las contiguas según los ejes coordenados, pero nunca segúnejes diagonales.

. Los grupos de casillas de los bordes del mapa opuestas entre sí.

. El grupo de casil las constituido por las cuatro esquinas del mapa.

Cuando en un mapa de Karnaugh tratemos de agrupar casillas para simplificar, deberemosprocurar conseguir grupos del maximo número de casilla.s, pero respetando siempre las normascitadas. Al hacer los agrupamientos, procuraremos incluir, si es posible, todos los términos represen-tados, no existiendo ningún problema en que un término pertenezca a más de un agrupamiento.

Por último, hay que mencionar que todo lo dicho es válido tanto para funciones mintermscomo para funciones maxterms.

2.5. TABLAS DE QUINE-McCLUSKEY

Este método consiste en una serie de tablas que, utilizando la representación binaría equiualentede cada uno de los términos que componen la función booleana a simplíJicar, expresada síemprebajo la forma minterms, tratan de encontrar las relaciones de similitud existentes entre dichostérminos paÍa,, así, poderlos reducir aplicando la misma ley que en los mapas de Karnaugh.

El proceso de simplificación exige la obtención ordenada de las siguientes tablas:

. Tabla de agrupamientos base.

. Tabla de agrupamientos de orden: primero, segundo, tercero, etc.

. Tabla reductora final.

Para poder comprender el proceso de reducción veamos un ejemplo. Supongamos que se deseasimplificar o reducir la siguiente función:

6 . ¿ . d + a . 6 . ¿ . d + a . 6 - c . d * a ' b . . . d +

b ' c . d + a . 6 . c . d + a . 6 . c . d * a ' b ' c . d

En primer lugar, obtendremos la Tabla 2.1, o tabla de agrupamientos base, en la cual se clasificacada uno'de los términos de la función según el número de unos que contiene su equivalentebinario.

F : a

+ a


Tabla 2.1. Tabla de agrupamientos base

o ' o ' c ' a 0 0 0 0 0 Indice 0

-a ' b ' c ' d

a ' 5 ' ¿ ' d0 0 1 01 0 0 0

28

Indice 1

- t

o ' D ' c ' aa ' 6 ' c ' d

0 1 0 11 0 1 0

51 0

Indice 2

,ü ' D ' c ' A

a ' b ' c ' d0 1 1 11 1 0 1 1 3

lndice 3

a ' b ' c ' d 1 1 1 1 1 5 Indice 4

Seguidamente obtendremos la Tabla 2.2, o tabla de agrupamientos de primer orden. Esta tabla

se obtiene buscando, en la tabla de agrupamientos base y entre grupos de índices contiguos,

combinaciones que sólo difieran en una cifra. Estas combinaciones se pondrán en la tabla de

agrupamientos de primer orden, sustituyendo por un guión la cifra en que diheren'

Tabla 2.2. Tabla de agrupamientosde pr imer orden

00-0-000

( 0 , 2 )(0, 8)

Indice 0

-01010-0

(2, 10)(8, 10)

Indice I

0 l - l- 1 0 1

(5, 7)(5, 13)

lndice 2

- 1 1 11 l - l

(7, t5)( 1 3 , 1 5 )

Indice 3

De forma similar obtendremos la Tabla 2.3, o tabla de agrupamientos de segundo orden.

Tabla 2.3. Tabla de agrupamientosde segundo orden

-0 -0-0-0

( o , 2 ) , ( 8 , 1 0 )(0, 8) , (2 , 1o) l nd i ce 0

1 - 11 - 1

( 5 , 7 ) , ( 1 3 , 1 5 )( 5 , 1 3 ) , ( 7 , 1 5 )

I nd i ce 2


Cuando en una tabla aparecen términos repetidos, se pueden eliminar, si bien conservando

siempre su procedencia. Según lo dicho, la Tabla 2.3 se transforma en la Tabla 2'4.

Tabla 2 .4 . Tabla de agrupamientosde segundo orden s imPl i f icada

-0-0 (0, 2, 8, 10) Indice 0,

t-t (5,7, 1 3 ,1s) Indice 2

En las sucesivas reducciones, se van eliminando grupos de índices, pudiendo eliminarse incluso

grupos de índices intermedios. El proceso de reducción deberá seguir hasta que no sea posible

iruliru, más agrupamientos; en este momento se obtendrá la Tabla 2.5, o tabla reductora final'

Esta tabla se obtiéne poniendo todos los agrupamientos del orden superior realizados; si con ellos

no están cubiertos todos los términos de la tabla de agrupamientos base, se añadirán agrupa-

mientos del orden inmediatamente inferior, y así sucesivamente, hasta que estén cubiertos todos

los términos de la tabla de agrupamientos base.

Tabla 2.5. Tabla reductora f inal

a b c d 0 2 5 7 8 1 0 1 3 1 5

0 01 - 1

El resultado de la simplificación se obtiene de la tabla reductora final, formando términos

equivalentes a las combinaciones binarias indicadas en la tabla y empleando para ello el convenio

dé tas ecuaciones minterms (0 : variable negada y I : variable sin negar), de manera que todos

los términos de la tabla de agrupamientos base estén incluidos en las reducciones que dichas

combinaciones equivalentes representan.. Por todo ello, el resultado final será

F : 5 ' d + b ' d : b @ d

2.6. TERMINOS INDIFERENTES EN UNA FUNCION BOOLEANA

Las funciones booleanas estudiadas en el Capítulo 1 tienen su campo de aplicación, como ya

dijimos, en los circuitos digitales. En estos circuitos, cada una de las variables que componen la

ec.uación booleana de funcionamiento se corresponde con las entradas del circuito, siendo su salida

la propia función.Sucede a veces en los circuitos digitales que ciertas combinaciones de sus variables de entrada

no pueden producirse nunca debido a que otros circuitos anteriores impiden su l legada a nuestro

32 E L E C T R O N I C A D I G I T A L

circuito. A estas combinaciones de entrada que, apareciendo en la tabla de verdad de funciona-

miento del mencionado circuito, no producen en la salida ni 0 ni 1 las denominamos combittaciones

indiferentes, y se represenf an en las tablas de uerdad por x o Ó. A su vez, estas combinaciones

indiferentes dan lugar a términos indiferentes, que pueden ser representados en los mapas de

Karnaugh y se los puede considerar bien como 0 o como I según convenga para las simplif ica-

ciones y sin que ello conlleve alteraciones en la respuesta de la función; es decir, del circuito.

P R O B L E M A S R E S U E L T O S

2.1. Representar en un mapa de Karnaugh la siguiente función booleana y simplif icarla:

F : a ' b + a ' 6 * c t ' 6

Solución: La función a representar está bajo la forma de minterms completo de dos variables, causa

por la que emplearemos el mapa de dos variables, poniendo un I en la casi l la correspondiente a cada

término, tal como aparece en la Figura 2.3.

F i g u r a 2 . 3 . M a p a d e l P r o b l e m a 2 . 1 .

Si se agrupan las casi l las contiguas que se indican en la Figura 2.3, el resultado de la simpli f icación será

F : a + F : t t l

2.2. Dada la siguiente función, representarla en un mapa de Karnaugh y simplificarla:

F : ( a + ó r ) . @ + b ) . ( a + b )

Solución: La función está bajo la forma de maxterms completo, luego emplearemos un mapa de dos

variables, poniendo un 0 en la casi l la correspondiente a cada término. La Figura 2.4 nos muestra la

representación.

a

aD

0

1

10

GlU

a0 1',b

0

1

Cñ

b/Figura 2 .4 . Mapa de l Prob lema 2.2.

METODOS TABULARES DE SIMPLIFICACION DE ECUACIONES 33

Agrupando casillas, se obtiene

F : a ' b

2.3. Realizar la representación de la siguiente función en un mapa de Karnaugh:

F : A ' b ' c + a ' 6 ' ¿ + a ' b ' E * a ' 6 ' c

Solucién: Se trata de una ecuación en la forma de minterms completo de tres variables. Emplearemos,

por tanto, un mapa de tres variables, colocando un 1 en las casillas correspondientes. La Figura 2.5 nos

da el resultado final.

b 0 0 0 1 1 1 1 0

0

1

1 1

1 1

Figura 2.5. Resul tado del Problema 2.3.

2.4. Dada la función siguiente, representarla en un mapa de Karnaugh:

F : ( a + b + d ' @ + b + c ) ' ( a + 6 + c ) ' ( a + 5 + a \

Solución: La ecuación a representar está expresada bajo la forma de maxterms completo de tres

variables, y nosotros representaremos cada uno de sus términos por un 0 en la casilla correspondiente

de un mapa de Karnaugh de tres variables. En la Figura 2.6 aparece el resultado del problema.

1 ¿ o o 0 1 1 1 1 0

Figura 2 .6 . Resul tado de l Prob lema 2.4.

2.5. Representar la siguiente función en un mapa de Karnaugh:

F : a ' b + a ' c * a ' 5 ' ¿

Solución: La función que ha de representarse está bajo la forma de minterms incompleto de tres

variables, causa por la que no podemos proceder como en los problemas anteriores, teniendo dos

opciones para realizar la representación:

Método l; Obtener la ecuación minterms completa por la aplicación del álgebra de Boole.

Método 2; Analizar cada término incompleto para razonar las casillas del mapa, cuya simplifica-

ción daría lugar a dicho término.

0

1

0 0

0 0

34 ELEc rRoNtcA D lG t rAL

A modo de ejemplo, resolveremos este problema por ambos métodos, aunque lo más habitual esresolverlo por el método 2.

Método L' Procediendo como se explicó en el Problema I.29 del Capítulo l, la función dada setransforma en

F : a . b . ( , + c l + a . c . ( b + 6 ) + a . 6 . ¿

F : a . b . c * a . b . a + a . b . c + a . 6 . c + a . 6 . ¿

F : a . b ' c * a . b . a + a . 6 . c * a . 6 . ¿

ecuación que representa el misterms completo de la función.Método 2: En la función dada, los dos primeros términos están incompletos; por tanto, debemos

deducir de la simplificación de qué términos provienen.Al término a ' b le falta la variable c, luego debe provenir de la simplificación de los dos términos

que se pueden formar añadiéndole dicha variable en las formas negada y sin negar, esto es,

a ' b - r s . b . c * a . b . c

De igual forma, al término a . c le falta b,luego

a ' c - - + a ' h - c * a . F . c

La función completa se logra añadiendo a los términos completos la suma de los equivalentes alos incompletos obtenidos anteriormente

F : a . b ' t ' - t a . b . a + a . 6 . c I a . 6 . e

Una vez obtenida la función en su forma minterms completa se procede a su representación enun mapa de tres variables, tal y como aparece en la Figu ra 2.7 .

( ¿ o o 0 1 1 1 1 0

Figura 2.7. Resul tado del problema 2.5.

2.6. Dada la siguiente función booleana, representarla en un mapa de Karnaugh:

F : b ' ( a + . ) . @ + b + a )

S o l u c i ó n : C o m o s e t r a t a d e u n a f i r n c i ó n e n l a f o r t n a d e m a x t e r m s i n c o m p l e t o . á c } > c r e ñ ó s , a l i g . a lque en el problema anterior, tratar de obtener los términos de los que proviene cada términoincompleto.

El término á, al que le faltan dos variables, proviene de la simplificación de todos los términosformados, añadiéndole todas las posibles combinaciones de dichas variables, es decir,

h - - + ( a + b + a ) . @ + b + c ) . ( a + b + a \ . ( a + b + c \

c

0

1

I 1

1 1


De igual modo, el otro término incompleto proviene de

@ + 4 - - + ( a * b + d ' @ + 6 + ¡ )

luego la función completa será

F : ( a + b + a \ ' ( a + b + r : ) ' ( a + b + a ) ' ( a + b + c ) ' \ a + á + a )

Por último, pasemos a represen tar la función en un mapa de tres variables, poniendo un 0 en las

casillas correspondientes, obteniendo así la Figura 2.8.

3 - ¿ o o 0 1 1 1 1 0

F igura 2 .8 . Resu l tado de l Prob lema 2 .6 .

2.7. Partiendo del mapa de Karnaugh de la Figura 2.9, obtener la función minterms y maxterms

completas que representa.

3 - ¿ o o 0 1 1 1 1 0

F igu ra 2 .9 . Mapa de l P rob lema 2 '7 .

Solución: La función en su forma minterms se obtiene partiendo de las casillas del mapa que

contengan 1, sustituyendo los ceros de la parte superior de la columna, y del margen izquierdo de

la f-rla, por la variable negada, y los unos por la variable sin negar. Con este convenio formaremos una

suma de términos constituidos por el producto de las variables de cada casilla con l. El resultado será

F : a ' 6 ' e + a ' 6 ' c l - a ' b ' i * a ' 6 ' ¿ * a ' 6 ' c

La ecuación en la forma maxterms se obtiene de las casillas que no tengan l, formando un

producto de términos en forma de suma de las variables, empleando el convenio contrario al que se

utilizó para obtener los términos minterms. El resultado será, finalmente,

F : ( a + 6 + c ) ' ( a + 6 + 4 ' ( a + 5 + . )

Ambas ecuaciones representan la misma función, hecho que se puede comprobar aplicando a la

función en forma maxterms las leyes del álgebra de Boole.

2.8. Partiendo del mapa de la Figura 2.10, obtener la ecuación que representa, tanto en su forma

minterms como maxterms completas.

0

1

0 0

0 0 0

0

1

1 1 1

1 1

36 ELECTRONICA DIGITAL

3-¿ 0 0 0 1 1 1 1 0

0

1

0 0 0 0

0

Figura 2 .1O. Mapa de l prob lema 2.g.

Solucién: La función en forma maxterms será

F : ( a + b + c ) . ( a + 6 + c ) . @ + 6 + c ) . ( a + b + c ) . ( a + 6 + e ¡

Partiendo de las casillas vacías, se obtiene el minterms:

F : a . 6 . c * a . b . c * a . 6 . c

2-9. Simplificar la función siguiente empleando los mapas de Karnaugh:

F : a . b . c * a . 6 . c * a . b . a + o . 6 . ¿ + A . b

Solución: Comenzaremos por representar la función en el mapa, teniendo en cuenta que su últimotérmino está incompleto. El término incompleto proviene de

a ' b ' - a ' b ' c * a ' b ' e

La'función representada aparece en la Figu ra 2.11.

b

a . c

a' -Ó

F igu ra 2 .11 . Mapa de l p rob lema 2 .9 .

Aplicando las normas de simplificación que se exponen en el Apartado 2.4de la introducción teóricade este capítulo' se obtienen los agrupamientos iniicados en la Figu ra 2.11, dando como resultado dela simplificación la siguiente ecuación

F : b * a . c * a . c - b + a . c + ( a + c )

obteniéndose esta última simplificación de la aplicación de las leyes de De Morgan.-. También se podrían haber realizado otros agrupamientos, por ejemplo, loJ que aparecen en laFigura 2'12, pero estos agrupamientos darian iugur a una ecuación menos simplificada. por nohaberse realizado el agrupamiento de cuatro casillas.

00 01 1 1 1 0

0

1

e I r)tr-d D

METODOS TABULARES

a

DE S IMPL IF ICACION DE ECUACIONES 37

c 0 0 0 1 1 1 1 0

0

1

C ñ ntt U l

a ' b

a . b a ' c

Figura 2.12. Resul tado del Problema 2.9.

2.10. Simplificar la función del Problema 2.6 empleando los mapas

Solución: Según dedujimos en el Problema 2.6,Ia función completa

F : ( a + b + 4 ' ( a + b + c ) ' ( a + b + a ) ' ( a + b

y su representación en un mapa de tres variables es el de la Figuralos agrupamientos oportunos.

de Karnaugh.

era

* c ) ' ( 0 + b + a )

2.13, en la cual hemos realizado

F igu ra 2 .13 . Mapa de l P rob lema 2 .10 .

La función simplificada será, por tanto, la siguiente:

F : b ' ( a + a )

En el anterior mapa podríamos haber realizado la simplihcación también bajo la forma minterms,

ya que en un mapa de Karnaugh todas las casillas que no corresponden a términos maxterms son

términos minterms. Por tanto, de haber simplificado por maxterms los agrupamientos realizados,

hubieran sido los señalados en la Figura 2.14.

b ' c a ' b

c

01 1 1 1 000

0 0 C ñ 0

1 0 0 U 0

F igu ra 2 .14 . Mapa va r i ado de l P rob lema 2 .1O.


La ecuación resultante sería

F : b . E * a . b

ecuación de la que es muy tácil comprobar que se trata de la misma obtenida por simplificación desdela representación maxterms.

2.11. Obtener la función simplificada correspondiente a la Tabla de verdad 2.6 empleando losmapas de Karnaugh.

Tabla 2 .6 . Tabla de verdadde l P rob lema 211

Solución: Cuando se desea simplificar una función desde su tabla de verdad, no es preciso obtenerpreviamente la ecuación de la función sin simplifi car para seguidamente representarla en el mapa yproceder a su simplificación. En la práctica, se puerle representar la./unción, directamente desde la tablade uerdad al mapa, sin más que ir cr¡locando los unos o los ceros en las casillas correspondientes a losualores que toma la func'ión para cada una de las combinaciones binarias cle las uaria'bles que .formandicha -función. Por último, se procederá a la simplificación por los métodos habituales.

Otro punto a tener en cuenta al simplificar una función booleana desde su tabla de verdacl es sidebemos representar la ecuación bajo la forma de minterms o de maxterms. La norma práctica queen principio debemos apl icar ya se expl icó en el Capítulo 1, y consiste en representar la ecuación enla forma canónica que menos términos tenga en la sal ida de dicha tabla. Esta norma no impide quea veces se obtengan ecuaciones más simplifrcadas representando en el mapa la forma canónica quemás términos tiene en la tabla de verdad.

En este problema representaremos la forma canónica minterms, al ser la de menos términos en latabla de verdad, tal y como aparece en la Figura 2.15.

a b c F

0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1

1000II00

F i g u r a 2 . 1 5 . M a p a d e l P r o b l e m a 2 . j 1


La ecuación simpl i f icada será F : a ' 6 + 6 ' ¿

2.12. Dada la Tabla de verdad 2.7, obtener la ecuaciónrepresenta.

mas simplificada de la función que

Tabla 2.7. Tabla de verdadde l P rob lema 2 .12

a b c F

0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1

1100II11

Solución: En este caso deberemos representar en el mapa la ecuación en forma maxterms, tal y como

aparece en la Figura 2.16.

( a + 6 )

F i g u r a 2 . 1 6 . M a p a d e l P r o b l e m a 2 . 1 2 .

Siendo la simplihcación hnal F : a I b

2.13. Simplif icar por mapas de Karnaugh la función definida por la Tabla 2.8.

Tabla 2.8. Tabla de verdadde l Prob lema 2 .13

a b c F

0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1

X

I0I0I0X


Solución: En la Tabla 2.8 aparecen por primera vez términos indiferentes que deberán ser siemprerepresentados en la tabla, independientemente de realizar la simplificación por minterms o maxterms.El tratamiento de estos términos indiferentes se explicó en el Apartado 2.6 de la introducción teóricade este capítulo.

Si analizamos la Tabla2.8, nos damos cuenta de que el número de términos minterms es igual alnúmero de términos maxterms. En estos casos debe intentarse simplifrcar por ambos tipos de ecuacio-nes y decidir cuál de los resultados es el más simplihcado.

En la Figura 2.I7 aparecen ambas representaciones y las simplihcaciones correspondientes.

F igu ra 2 .17 . Mapas de l P rob lema 2 .13 . a ) S imp l i f i cac ión po r m in te rms .b) S impl i f icac ión por maxterms

Como vemos en las Figuras 2.17a y 2. l7b,los términos indiferentes han sido ut i l izados unas vecescomo I y otras como 0, incluso no se los utilizó a todos en las simplifrcaciones. Las ecuaciones son:

. Ecuación por minterms, F : c.

. Ecuación por maxterms, .F : c.

2.14. Dada la Tabla de verdad 2.9, simplificar por Karnaugh la ecuación que representa.

Tabla 2 .9 . Tabla de verdadde l P rob lema 2 .14

Solución: Según la Tabla 2.9 deberiamos representar la ecuación maxterms por tener menos tér-minos. En la Figura 2.18 tenemos dicha representación

( á + c )

a b c F

0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1

110X

01X

I

( a + 6 )

F i g u r a 2 . 1 8 . M a p a d e l P r o b l e m a 2 1 4 ,

METODOS TABULARES DE SIMPLIFICACION DE ECUACIONES 41

. siendo la ecuación resultante

F : ( a + 0 . @ + c )

Sin embargo, si hubiéramos realizado la simplificación por minterms, hubiéramos obtenido la siguienteecuación

F : c + A . 5

ecuación que resulta más simplificada que la anterior, lo cual nos demuestra lo ya advertido en elProb lema 2.11.

Las ecuaciones resultantes cumplen ambas la tabla de uerdad, pero en los casos donde se emplea-ron términos indiferentes no siempre son equiualentes; es decir, no se puede llegar de una ecuación ala otra por aplicación del álgebra de Boole, tal y como ocurría en los problemás anteriores.

2.15. Representar la siguiente función en una mapa de Karnaugh:

F : a u * u o ' : :

u o * ' " : : : u u * ' " ' ; : : ' ' d +

Solución: La función a representar se trata de un minterms completo de cuatro variables, por lo cualemplearemos un mapa de cuatro variables. La Figura 2.19 nos muestra la representación de la función

l J o o 0 1 1 1 1 0d

00

01

1 1

1 0

Figura 2 .19 . Mapa con e l resu l tado de l p rob lema 2 .15 .

2.16. Realizar la representación de la función .F en un

F : ( a + b + c + d ) . @ + b +

( a + 6 + c + d l . ( a

0 1 1 1 1 0

00

01

1 1

1 0

mapa de Karnaugh

c + d ) . @ + F + e + A )

+ b + ¿ + d )

F igu ra 2 .2O . Mapa con e l r esu l t ado de l p rob lema 2 .16 .


Solución: En este caso se trata de una ecuación en la forma de maxterms completo de cuatrovariables, siendo su representación la de la Figura 2.20.

2.17. Emplear un mapa de Karnaugh para represent ar la siguiente función:

F : a ' r l + b . d

Solución: Al tratarse de una ecuación en la forma de minterms incompleto, deberemos, en primerlugar, analizar los términos de cuya simplihcación provienen cada uno de los sumandos incompletosque constituyen la función

a . d - - a . 5 . e . d + u ' 6 c . d + a . b . ¿ . d + a . b . r : . d

b . d - - , a . b . ¿ ' d + a ' b . c . d + a . b . ¿ . d + a . b . c . d

Por tanto, la función completa será

F : a . 6 . e . d + a . 6 ' c . d + a . b . a . A + a . b . c . d

+ a ' b ' a ' d + a ' b ' c ' d

Seguidamente, en la Figura 2.21 se obtiene la representación de la función.

F igu ra 2 .21 . Mapa con e l r esu l t ado de l P rob lema 2 .17 .

2.18. Representar la función definida por la siguiente ecuación en un mapa de Karnaugh:

F : ( a * c ) ' ( a * n - ) . g + b + d )

Solución: En primer lugar, obtendremos ia ecuación maxterms completa

( a i c ) - - + ( a * 6 + c + ü . @ + 5 + c + d ) . ( u + b + c + d ) . ( a

( a + 6 ) - - + ( a - t 6 + ¿ + ü . @ + 6 + . + c t ) . ( a + 6 + c . + d ) . ( a

(c1 + b + d) - ' @ + b * c * ü - (a + b + e + d)

+ b + t ' + d )

+ 6 + c + d )

<-d

00

01

1 1

1 0

METODOS TABULARES DE S IMPL IF ICACION DE ECUACIONES

Por tanto, la función completa será

43

F : ( a + 5 + c + d ) ' ( a + 6 + c + d ) ' ( a + b * c * J ) ( , ¿ + l ) + c + d ) '

' ( a + 6 + ¿ + d ) ' @ + 6 + ¡ + ü ' @ + b + c + d ¡ ' ( ¿ l * h * t - r J ¡

En la Figura 2.22 aparece la representación de la función.

1 ¿ 0 o 0 1 1 1 1 0

F igu ra 2 .22 . Mapa con e l r esu l t ado de l P rob lema 2 .18 .

2.19. Simplificar la siguiente función con mapas de Karnaugh:

F : q . 6 ' ¡ ' d + a ' 6 ' a ' A + a ' 6 ' ¿ ' d + a ' b ' c ' d +

t a ' b ' a ' d + a ' 5 ' c ' d + a ' F ' c ' d * a ' 6 ' c ' d

Solución: Representando en un mapa de cuatro variables esta ecuación minterms completa, obten-

dremos la Fisura 2.23.

5 . d

a ' Db . e . d


Si aplicamos las simplifrcaciones indicadas en la Figura 2.23, se obtiene la

función

F : a ' 5 + 6 ' d + b ' a ' d

d00

01

11

1 0

0 0

0 0 0

0 0

0

sisuiente ecuación de la

I e+ ELEcrRoNrcA DrGrrAL

2-20. Representar y simplificar la siguiente función en un mapa de Karnaugh:

F : ( , a + b + c + d ) . ( a + b + c + A . @ + b + e + ü .. ( a + b + ¿ + d ) . ( a + 6 + c + d ) . ( a + 6 + c + i l .. ( a + 6 + ¿ + d ) . ( a + 6 + ¿ + d ) . ( a + 6 + ¿ + A \

Solución: En primer lugar, representaremos el maxterms completo de cuatro variables en el mapa deKarnaugh de la Figura 2.24.

3-¿

( 5 + e + d )

Figura 2.24. Mapa del problema 2.2O.

De las simplificaciones aplicadas en la Figu ra 2.24 se obtiene la siguiente ecuación:

F : a . ( 6 + ¿ + d \

2.21, Aplicando los mapas de Karnaugh, simplificar la siguiente función:

o : u * : ; ! . o u * l ; : * n o * : : * , 1 , '

*

Solución: Completaremos, en primer lugar, los sumandos incompletos de la ecuación

a ' c ' d - - a ' 6 ' ¿ ' d + a ' b ' E ' d

a ' c - - + a . 6 . c . d + a . 6 . c . d + a ' b . c . d + a . b . c . d

La ecuación minterms completa correspondiente a la función será

F : a . 5 . e . d + a . 6 . a ' d + a . 6 . c . d + a . 6 . c . d + a . b . ¿ . d + a . b . ¿ . d +

r a . 6 - ¿ ' d + a . 5 - c . d + a . b . c . d + a . b . c . d + a . 6 . c . d

En la Figura 2.25 se encuentra la representación y simplificación de la función anterior.

d

00

01

1 1

1 0

00 01 1 1 1 0

tr ¡

0 0

0€ 3

lL j

d -00

01

1 1

1 0

00 01 1 1 1 0

6 1 1 l1

1 I-}|

U t: j


b n n n 1 1 1 r ^

45

e . d

a ' c

A , D


La ecuación simplifrcada será, por fin,

F : a ' 6 + a ' c - f c ' 7

2.22. Simplificar en un mapa de Karnaugh la siguiente función:

F : ( a + 6 + c + d ) . @ + F + ¡ + d ) ' ( h + d l

Solución: Sustituyendo el término incompleto de la función por sus formas canónicas, tendremos

( b + d ) - - + ( a + b + . + d ) ' ( a + b + c + d ) ' ( a + b + a + d ) ' ( a * b + c + d )

de donde la función completa será

F : ( a + 6 + c ' + c l ) . @ + 6 + e + ü ' @ + b + a + d ) '

' ( a + b + c ' + d l ' ( a + b + c + d ) ' ( a + b + c + d )

La Figura 2.26 nos muestra la representacióny agrupamientos simplifrcativos realizados.

1 1 1 0

( á + d )11

1

( b + d )

Figura 2 .26 . Mapa de l Prob lema 2 .22 .

Del mapa anterior, se obtiene la siguiente ecuación:

F : ( b + d ) . ( a + d )

l t o o 0 1

46 ELEcrRoNtcA Dtc t rAL

2.23. Obtener la ecuación simplificada de la función booleana que aparece representada en laTabla 2.10.

Tabfa 2 .1O. Tabla de verdaddel Prob lema 2.23

Solución: Teniendo en cuenta que el número de ceros de la función es menor que el de unos,representaremos la forma canónica maxterms. Para ello, pasaremos directamente las combinacionesde entrada que hacen 0 la sal ida a las casi l las correspondientes, como se observa en la Figura 2.27.

( á + c )

( b + c )

a b c d F

0 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 11 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 01 1 0 1l 1 l 0l t l l

00I1II0I001100I1

F igu ra 2 .27 . Mapa de l P rob lema 2 .23


Teniendo en cuenta el convenio de representación de un maxterms (0 variable sin negar y 1 variable

negada), así como los agrupamientos realizados, la ecuación ltnal será

F : ( a + c ) ' ( b + c ) ' ( a + 6 + e + ¿ )

2.24. Dado el mapa de Karnaugh de la Figura 2.28, realizar las simplifrcaciones oportunas y

obtener la función'en él representada.

Figura 2.28. Mapa del Problema 2.24.

Solución: El mapa de la Figura 2.28 representa una

que existen términos indiferentes. En la Figura 2.29

mientos simplifrcativos:

función booleana bajo la forma minterms en la

se representa la manera de realizar los agrupa-

b . e

c ' c l

Figura 2.29. Mapa con el resul tado del Problema 2.24.

La ecuación resultante del mapa antertor es

F : c . d + b . c : ¿ . ( b + d )

48 ELEcrRoNtcA DtGtrAL

2.25. Simplifrcar la función representada por la Tabla de verdad 2.1 1.

Tab f a 2 .11 . Tab la de ve rdadde l P rob lema 2 .25

I

s b c d F

0 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 00 t 0 l0 1 1 00 1 1 I1 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 01 1 0 11 1 1 0r 1 1 l

I1111

0IX

X

0IX

0000

Solución: Tenienoo enrepresentaremos en elFigura 2.30.

cuenta que el número de ceros demapa la función maxterms y los

la sal ida de la tabla es inferior al de unos,términos indiferentes. obteniendose así la

G + 5 )

G + d )( 5 + d )

F igura 2 .30. Mapa con e l resu l tado

del Prob lema 2.25.


Del anterior mapa se deduce la siguiente ecuación:

49

F : ( a + 6 ) ' ( 6 + A ' @ + A )

2.26. Representar la siguiente función booleana en un mapa de Karnaugh:

F : a ' b ' c ' d ' e + a ' 5 ' e ' d ' e - l a ' b ' c ' d ' é + a ' b ' c ' d ' ¿ I a ' b ' a ' d ' ¿ *

+ a ' F ' ¿ ' d ' e * a ' 6 ' c ' A ' e * a ' b ' c ' d ' e * a ' 6 ' ¿ ' d ' e i a ' 5 ' c ' t l ' é

Solución: Al tratarse de una función bajo la forma de minterms completo de cinco variables. utili-

zaremos por prime ra vez el mapa de Karnaugh de cinco variables con las mismas normas de

representación hasta ahora empleadas. El resultado del problema podemos verlo en la Figura 2.31.

0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0

F igura 2 .31 . Resu l tado de l Prob lema 2 '26 .

2.27. Simplificar en un mapa de Karnaugh la siguiente función booleana:

F : a ' 6 ' ¿ + A ' 6 ' c - f d ' e + A ' b ' d ' e * a ' b ' d ' e * a ' F

Solución: Comenzaremos por completar los términos incompletos de la función dada

a ' 6 ' c - - + a ' 6 ' e ' d ' ¿ + a ' 6 ' e ' d ' e * a ' 5 ' E ' d ' e + a ' 6 ' e ' d ' e

a ' 6 ' c - - + a ' 6 ' c ' d ' ¿ + a ' 6 ' c ' d ' e * a ' 5 ' c ' d ' e + a ' 6 ' c ' d ' e- d '

e - - ' a ' 6 ' a ' d ' e * a ' 5 ' c ' d ' e + A ' b ' a ' d ' e * a ' b ' c ' d ' e *

* a ' 6 ' ¿ ' d ' e * a ' 5 ' c ' d ' e * a ' b ' a ' d ' e * a ' b ' c ' d ' e

a ' 6 - - a ' 6 ' e ' d ' é * a ' 6 ' ¿ ' d ' e * a ' 6 ' ¿ ' d ' é + a ' 6 ' ó ' d ' e *

+ a ' 5 ' c ' d ' ¿ + a ' 6 ' c ' d ' e + a ' 6 ' c ' d - ¿ * a ' 6 ' c ' d ' e

Luego la función completa será

F : a ' 6 ' e ' d ' ¿ + a ' 6 ' ¿ ' d ' é + a ' 6 ' a ' A ' e * a ' 5 ' e ' d ' e + a ' 6 ' c ' d ' ¿ +

+ A ' 6 ' c ' d ' e ' f A ' 6 ' c ' d ' é + A ' 6 ' c ' d ' e + A ' b ' c ' d ' e * A ' b ' E ' d ' e *

* a ' b ' e ' d ' e * a ' b ' c ' d ' e * a ' 5 ' c ' d ' ¿ * a ' 6 ' c ' d ' e * a ' 6 ' c ' d ' é +

t a ' 6 ' c ' r J ' e * a ' 6 ' a ' A ' e * a ' 6 ' ¿ ' d ' e + a ' 6 ' c ' d ' e * a ' 5 ' c ' d ' e

Q" oooe


Representándola seguidamente en el mapa de cinco variables, obtenemos la Figura 2.32.

d ' e

d-X

00

01

1 1

1 0

000 001 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0

1 T) F 1

C 1 1 1 1 1 1 -D1 1 L 1

1 J tr 4

Figura 2 .32. Representac ión de l prob lema 2.27.

La simplificación en un mapa de cinco variables sigue las normas, vistas en anteriores mapas,de simplificar casillas contiguas por sus variables .o.nun.r. Sin embargo, la estructura de columnas deeste mapa hace que se puedan considerar contiguas, además de las citadas anteriormente, las quese producen por simetría desde la línea central dél mapa, mostradas en la Figu ra 2.33.

001 0 1 1 1 0 0

Figura 2 .33. co lumnas cont iguas en un mapa de Karnaughde c inco var iab les.

Si realizamos a continuación los agrupamientos pertinentes en la función representada, se obtiene elsiguiente resultado:

0 1 0 1 0 11 1 11 1 0

00

1 0

x x

x x

x x

X X

F : 6 * d . e


2.28. Obtener la ecuación simplihcada de la función dehnida por la Tabla de verdad 1 12.

Solución: En primer lugar, representemos directamente la

como lo hicimos en los mapas de tres y cuatro variables.tabla en un mapa de cinco variables, tal y

La Figura 2.34 muestra la representación.

rya ' b ' c ' e c . d

b ' c ' é

Figura 2 .34. Representac ión de l Prob lema 2.28.

00

01

1 1

1 0

a . 6 . e . ¿

Tab la 2 .12 . Tab la de verdad lde l Prob lema 2 .28

a b c d e F a b c d e F

0 0 0 0 00 0 0 0 10 0 0 1 00 0 0 1 10 0 1 0 00 0 1 0 10 0 1 1 00 0 1 1 10 1 0 0 00 1 0 0 10 1 0 1 00 l 0 l I0 1 1 0 00 1 1 0 10 1 1 1 00 1 1 1 1

10I01I000000III0

1 0 0 0 01 0 0 0 11 0 0 1 01 0 0 1 11 0 1 0 01 0 1 0 11 0 1 1 01 0 1 1 11 1 0 0 01 1 0 0 11 1 0 1 01 1 0 1 11 1 1 0 01 1 1 0 11 1 1 1 01 1 1 1 1

I0111I000000II01

52 ELEcTRoNIcA D IG ITAL

Su forma simplificada es la siguiente:

F : a . b . c . e I a . 6 . a . d + A . b . c . é + 6 . e

2.29- Partiendo de la Tabla de verdad 2.13, que representa a unaecuación de la forma más simplificada poiibl..

' e * c

función

. a

lógica, obtener su

Tabla 2.13. Tabla de verdaddel Problema 2.29

solución: Haciendo la representación de los términos indiferentes y de la ecuación maxterms, por serésta la que menos términos posee en la tabla, se obtiene la Figura 2.35, donde se realizan losagrupamientos simplificativos.

0 0 0 0 00 0 0 0 10 0 0 1 00 0 0 1 10 0 1 0 00 0 1 0 1

0 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 1

0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 0

0X

0IX

I0I0IX

00I0


@ + e + d + e )

á + é

( b + e )

Figura 2.35. Representación del Problema 2.29.

La ecuación hnal simplifrcada es la siguiente:

F : ( a + ¿ ) . ( b + e ) ' ( 6 + i + d + e )

2.30. Empleando las tablas de Quine-McCluskey, simplificar la siguiente función booleana:

F : a ' 5 ' ¿ ' d + a ' 6 ' a ' A + a ' 6 ' ¿ ' d + a ' b ' c ' d + a ' b ' c ' d

Solución: Comenzaremos por obtener la tabla de agrupamientos de base, clasificando los términos

de la función por el número de unos que posean. La citada tabla corresponde a la Tabla 2.14.

Tabfa 2 .14. Tabla de agrupamientos base

del Prob lema 2.30

a ' 5 ' e ' A 0 0 0 0 0 Indice 0

a . 6 . . . da ' 6 ' ¿ ' d

0 0 0 11 0 0 0

I8

lndice I

a ' b ' c ' d 0 1 1 0 6 Indice 2

a ' b ' c ' d 1 1 1 1 1 5 lndice 4

Seguidamente obtendremos la Tabla de agrupamientos de primer orden 2.15.

Tabla 2.15. Tabla de agrupamientosde pr imer orden del Problema 2.30

i

T9: I f9' 1) | In¿i.. o-000 I (0, 8)

54 ELEcrRoNrcA DrGrrAL

Como no es posible realizar más reducciones, pasamos a realizar la Tabla reductora final 1.16.

Tabfa 2 .16. Tabla reductora f ina lde l Prob lema 2.30

a b c d 0 | 6 8 1 5

0 0 00 0 0

0 1 1 01 1 1 1

X XX X

XX

Como podemos observar en la Tabla2.16, para que todos los términos de la función estén representa-dos en la tabla, ha sido necesario añadir los términos equivalentes a las combinaciones binarias 0110y 1 1 1 1 .

La ecuación de la función simplificada será

F : a . b . c . d + a . b . c . d + 0 . F . a + 6 . e . A

2.31. Simplificar la siguiente función empleando las tablas de Quine-McCluskey:

F : a . 6 ' e . d + a ' 6 . c . d + a . b . c . d + a . b . c . d +* a . 6 . ¿ . d + a . 6 . e . d + a . b . e . d + a . b . c . t l

solución: La tabla de agrupamientos base aparece en la Tabla 2.17.

Tabf a 2 .17. Tabla de agrupamientos base, de l Prob lema 2.31

a ' 6 . ¿ . d 0 0 0 0 0 Indice 0

a ' 6 ' c ' dr - f

a ' D ' c ' d

0 0 1 0r 0 0 0

28

Indice I

a ' b ' c ' da ' b - ' e ' d

0 1 1 01 0 0 1

69

Indice 2

a ' b ' c ' da ' b ' E ' d

0 1 1 11 1 0 1

71 3 Indice 3

a ' b ' c ' d 1 1 1 1 l 5 lndice 4

M E T O D O S T A B U L A R E S D E S I M P L I F I C A C I O N D E E C U A C I O N E S 5 5

A continuación obtendremos la Tabla de agrupamientos de primer orden 2.18.

Tab la 2 .18 . Tab la de ag rupamien tosde p r ime r o rden de l P rob lema 2 .31

Como no es posible real izar agrupamientos de segundo orden, pasaremos a obtener la tabla reductorafrnal que se muestra en la Tabla 2.19.

Tab la 2 .19 . Tab la reduc to ra f i na lde l P rob lema 2 .31

a b c d 0 2 6 7 8 9 t 3 1 5

0 0 00 0 0

0 1 01 0 00 1 1l - 0 1

l l 1l l l

X XX

X X

X X

X

X

X X

X XX

X X

Trataremos seguidamente de obtener una ecuación con los valores l i terales equivalentes a las combina-ciones binarias de la Tabla 2.19, de forma que con el menor número posible de el las se represententodos los términos de la tabla de agrupamientos base. Existen dos soluciones posibles. La primera deellas, señalacla en la Tabla 2.19 con óvalos continuos, da lugar a la siguiente ecuación

00-0-000

(0, 2)(0, 8)

Indice 0

0 - 1 0100-

( 2 , 6 )(8 , 9 )

lndice 1

0 l l -1 - 0 1

(6, 7)( e . 1 3 )

Indice 2

- l I II l - l

( 7 , 1 5 )( 1 3 , 1 5 ) Indice 3

56 ELEcrRoNtcA DtGt rAL

La segunda, marcada en la Tabla 2.I9 con óvalos de trazos, da lugar a la ecuación

F : 5 ' a ' d + a ' c ' d + a ' c ' d + b ' c ' d

2.32. Reducir por el método de Quine-McCluskey la función que representa la Tabla de verdad 2.20.

Tabla 2 .2O. Tabla de verdaddel Prob lema 2.32

Solución: Agrupando las combinaciones que hacen 1 la tabla, y clasihcándolas según la cantidad de

unos que poseen, se obtiene la Tabla 2.21 de agrupamientos base.

a b c d e F

0 0 0 0 00 0 0 0 10 0 0 1 00 0 0 1 10 0 1 0 00 0 1 0 10 0 1 1 00 0 t 1 10 1 0 0 00 1 0 0 10 1 0 1 00 1 0 1 10 l 1 0 00 1 1 0 10 1 1 1 00 1 1 1 11 0 0 0 01 0 0 0 11 0 0 1 01 0 0 1 1r 0 1 0 01 0 1 0 11 0 1 1 01 0 1 1 1r 1 0 0 01 1 0 0 11 1 0 1 01 1 0 1 11 1 1 0 01 1 1 0 r1 1 1 1 01 1 1 1 1

1I0000II1I0I00III100001100110000

Tabf a 2.21. Tabla de agrupamientos base del problema 2.32

- T - 1a ' D ' c ' c l . e 0 0 0 0 0 0 Indice 0

0 0 0 0 10 1 0 0 01 0 0 0 0

I8

T6Indice I

a ' 6 ' c ' d . é- 1

o ' D ' c ' d . e

a ' 6 . 8 . d ' e

0 0 1 1 00 1 0 0 11 0 0 0 1

69

t 7Indice 2

A ' 6 ' c ' d . eA ' b ' e ' d - ea ' D ' c ' c l . e

a ' 6 ' c ' d ' é, -

a ' o ' c ' d ' e

0 0 1 1 10 1 0 1 10 1 1 1 01 0 1 1 01 1 0 1 0

1 1l42226

Indice 3

A ' b ' c ' d . ea ' 6 ' c ' d . ea ' b ' e ' d . e

0 1 1 1 11 0 1 1 11 1 0 1 1

1 5

27Indice 4


Seguidamente obtendremos la Tabla de agrupamientos de primer ord,en 2.22.

Tabla 2 .22. Tabla de agrupamientosde pr imer orden de l Prob lema 2.32

0000-0-000-0000

(0, 1)(0, 8)

(0, 16)Indice 0

0-001-00010100-1000-

(1 , 9 )(1, 17)(8, 9)

(16, t7)

Indice 1

0 0 1 1 -0-1 10- 0 1 1 0010-1

( 6 , 7 )(6, 14)(6,22)(9 , 11)

Indice 2

0 - 1 1 1- 0 1 1 10 1 - 1 1- 1 0 1 10 1 1 1 -1 0 1 1 -1 1 0 1 -

(7, 15)(7 ,23)

( 1 1 , 1 5 )(tI, 27)(14, 15)(22,23)(26 ,27)

Indice 3

58 ELEcrRoNrcA Dtc t rAL

Y después pasaremos a realizar la Tabla de agrupamientos de segundo orden 2.23,

Tabfa 2.23. Tabla de agrupamrentosde segundo orden del Problema 2.32

0-00--000-0-00--000-

(0, l , 8, 9)( 0 , l , 1 6 , l l )(0 , 8 , l , 9 )

(0, 16, l , l7)

Indice 0

0-1 I- 0 1 I0-1 r- 0 1 I

(6, 7, 14, 15)(6, l, 22, 23)(6, 14, 7, 15)(6, 22, l, 23\

Indice 2

La Tabla 2.23 se puede simpli f icar al exist ir en el la términos repetidos, dando lugar a la Tabla 2.24

Tab la 2 .24 . Tab la s imp l i f i cada de segundoorden de l Prob lema 2.32

0-00--000-

(0, 1, 8, 9)(0 . l , 16 , 17)

Indice 0

0 -1 I- 0 1 1

(6, 7, 14, 15)(6, 7, 22, 23)

Indice 2

Puesto que no son posibles más agrupamientos reductores, pasamos a obtener la Tabla reductora

ftnal 2.25.

Tabfa 2 .25. Tabla reductora f ina l

a b c d e 0 | 6 7 8 9 l r 1 4 1 5 1 6 1 7 2 2 2 3 2 6 2 7

0 0 00 0 0

0 1 10 1 1

I l 0 l1 0 1 1

De la anterior tabla se obtiene una de las posibles ecuaciones f inales

F : t 7 ' a ' d + 6 ' ¡ " d + u ' t " r l + 6 ' t " t l * a ' b ' a ' d + b ' t ' d ' e


PROBLEMAS PROPUESTOS

2.33. Reducir a través de los mapas de Karnaugh la siguiente función booleana:

F : a ' b ' c + a ' b + a ' b ' e * a ' b ' E

Solución: F : b.

2.34. Simplihcar por Karnaugh la siguiente función:

F : e * a ' 6 ' c * a ' b * c

S o l u c i ó n : F : a + b + c .

2.35. Aplicando los mapas de Karnaugh, simplifrcar la siguiente ecuación lógica:

F : b * a ' c * a ' c

S o l u c i ó n : F : b + c .

2.36, Simplifrcar la siguiente función por el método de Karnaugh:

F : a ' b ' c + b ' ( a + c \ + a ' 6

S o l u c i ó n : F : E I a ' b .

2.37. Aplicando Karnaugh, simplificar la siguiente función:

F : a ' ( a + c ' ) ' ( a + 6 + d ' ( a + 6 + a )

Se luc ión : F : a ' ( 6 + c ) .

2.38. Simplificar la siguiente función con los mapas de Karnaugh:

F : ( a + b + c ) ' ( a + b + a ) ' @ + b + c ) ' ( a + b + a )

Solución: F : b.

2.39. Reducir la función booleana siguiente con un mapa de Karnaugh:

F : a ' c * A ' b + a ' d + b ' d

' S o l u c i ó n : F : a ' b + a ' c * c ' d .

2.40. Representar y simplificar en mapa de Karnaugh la función:

F : x ' y ' z + Z + x ' y ' z ' u

Sche ión : F : I * x ' t r + x ' u .

60 ELEcrRoNtcA DlclrAL

2.41. Aplicando los mapas de Karnaugh, reducir la siguiente función booleana:

F : a ' b + a ' b ' E * a ' b ' c ' d

S o l u c i ó n : F : a ' b + b ' e + b ' d .

2.42. Reducir la siguiente función booleana a través de mapas de Karnaugh:

F : a ' b + 6 ' c * 6 ' c ' d + a ' b ' c ' d

S o l u c i ó n : F : a ' b + 5 ' c .

2.43. Simplificar la siguiente función aplicando Karnaugh:

F : ( 6 + c ) ' ( 6 + ¿ ) ' @ + b + d ) '

' ( a + b + A )

S o l u c i ó n : F : 6 ' d '

2.44. Aplicando Karnaugh, simplihcar la siguiente función:

F : ( a + b + c + d ) . ( a + 5 + c + d ) ' @ + 6 * c ) ' ( a + b + c ) ' ( a + a )

S o l u c i ó n : F : ( a + c ) ' ( a + a ) ' ( a + d ) .

2.45. Obtener la ecuación simplificada de la Tabla de verdad 2.26 aplicando los mapas de Karnaugh.

Tabfa 2.26. Tabla de verdaddel Problema 2.46

a b c d

00000000

0000

0000

0 00 11 01 10 00 11 0l 10 00 11 01 10 00 1l 01 1

0I0I0000

S o l u c i ó n : F : a + 6 ' d .


2.46. Simplificar la siguiente función lógica por la aplicación del mapa de Karnaugh de cinco variables:

F : a . 5 . ¿ . d . e + a . 6 . c . d . e * a . b . c . d . ¿ + A - b . a - d . e * a . b . c d . e + a . b . c . d . é +

+ a ' b . c . d . e + a . 6 . e ' d ' ¿ * a ' 6 . c . A ' e * a . 6 . ¿ . d . e * a . b . a . A . e + a . b . a . d . e +

* a ' b ' c ' d ' e

Solución: Existen dos posibles:

F : c ' d + 6 . ¿ . e * a . b . c . d + a . b ' d . e * a . b . d ' e

F : E ' d + 5 ' e . e * a . b . c . d + a . b . d - e + a - b ' c ' e

2.47. Partiendo de la Tabla de verdad 2.27, que representa una función booleana, obtener la ecuaciónsimplificada aplicando los mapas de Karnaugh.

Tabla 2.27. Tabla de verdaddel Problema 2.47

a b c d F

0 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 11 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 01 1 0 11 1 1 01 1 1 1

010I1I110I01100I

S o l u c i ó n : F : ( a + 5 + d ) . ( b + d ) . ( a + 5 + c + d ) .

2.48. Simplificar por el método de Quine-McCluskey la siguiente función booleana:

F : a . 6 . c . d + a ' 5 . c . d + a . b . ¿ . d + a . b . c . d + a . b . c - d + a . 6 . a . d + a . b . E . d

S o l u c i é n : F : a . 6 . ¿ . d + a . b . d + b . a . d * a . c .

2.49. Aplicando las tablas de Quine-McCluskey, simplifrcar la siguiente función booleana:

I ' : a . 5 . ¿ . d + a . 6 . c . d + a . 5 . c - d + a . 5 . c . d + a . b . ¿ . d + a . b . e . d +* a ' b ' c . d + a ' 5 . ¿ ' d

S o l u c i ó n : F : a . 6 + a . c ' d + a ' b . A .

6 2 E L E c r R o N r c A D r c r r A L

2.50. Simplihcar, a través de las tablas de Quine-McCluskey, la siguiente función booleana:

F : a ' 5 ' ¿ ' d + a ' b ' a ' d + a ' 6 ' a ' d + a ' 6 ' c ' d + a ' b ' a ' d + o ' b ' c ' t l

S o l u c i ó n : F : c ' d , + a ' d .

2.51. Obtener la ecuación más simplificada posible de la siguiente función booleana:

F : a ' 6 ' e ' d ' ¿ ' f + a ' 5 ' ¿ ' d ' e ' f + a ' 6 ' e ' d ' e ' Í + a ' 6 ' c d ' e ' f +

+ a ' b ' a ' d ' e ' f + a ' b ' . ' d ' a ' f + a ' b ' c ' d ' e ' - f + o ' 6 ' ¿ ' d ' ¿ f +

* a ' 5 ' c ' d ' e ' . f + a ' b ' a ' d ' e ' . 1 ' + a ' b ' a ' d ' e ' f + o ' b ' c d e ' f

Solución: Una de las oosibles soluciones es:

F : a ' 6 ' c ' d ' a ' f ' + a ' b ' c ' d ' e ' . 1 + a ' b ' c ' d ' e ' f + 6 ' a ' A ' ¿ ' f +

+ a ' . ' A ' e ' f + a ' 6 ' d ' e ' . 1 + b ' . ' d . é ' . f * a ' b ' . ' é ' I

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