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MODELO DE MARKOV

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MODELO DE MARKOV

Esta formado por una serie de eventos, en la cual laprobabilidad de que ocurra un evento depende del eventoinmediato anterior.

Esta serie de eventos se denomina cadena de Mrkov, enhonor al matemtico ruso Andrei Andreevitch Markov(1856-1922),

Busca determinar en forma secuencial las probabilidadesde ocurrencia de eventos.

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/Rusiahttp://es.wikipedia.org/wiki/Andr%C3%A9i_M%C3%A1rkovhttp://es.wikipedia.org/wiki/Andr%C3%A9i_M%C3%A1rkovhttp://es.wikipedia.org/wiki/Andr%C3%A9i_M%C3%A1rkovhttp://es.wikipedia.org/wiki/Andr%C3%A9i_M%C3%A1rkovhttp://es.wikipedia.org/wiki/Andr%C3%A9i_M%C3%A1rkovhttp://es.wikipedia.org/wiki/Andr%C3%A9i_M%C3%A1rkovhttp://es.wikipedia.org/wiki/Rusiahttp://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tico

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Ingeniera de Sistemas3

TIPOS DE CADENAS DE MARKOV

FINITAS

Caracterizadas por que la ocurrencia de los eventos terminan en los estadosabsorbentes

INFINITAS

La ocurrencia de los eventos se considera indeterminado , pero tienden a unasituacin de estabilizacin.

Dependiendo del nmero de estados del sistema pueden ser:

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4

COMPONENTES

Estado : Condiciones iniciales y finales del proceso de Markov.

4

1

2

3

Ensayo: Ocurrencias repetidas del evento que se estudia.

Probabilidad de Transicin (pij): Probabilidad de pasar del estado actual alsiguiente.

Matriz de transicin (P): Es una matriz cuadrada cuyos elementos son pij

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5

SIMBOLOS UTILIZADOS

pij: Probabilidad de cambiar del estado i al estado j.

4

1

2

3

P : Matriz formada por los valores de pij(Matriz de transicin).

Si(t) : Probabilidad de encontrarse en el estado i en el periodo t

S(t) : Vector de probabilidad de estado en el periodo t.

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S1(t) + S2(t) + + Sn(t) = 1 n estados .pi1 + pi2 + + pin = 1

La transicin de un periodo al siguiente se expresa como:

S (t + 1) = S (t) P

Para el primer periodo : S (1) = S (0) PPara el segundo periodo : S (2) = S (1) P = S (0) P2

Para un periodo largo : S = SP

MODELO MATEMATICO: CADENA INFINITA

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1

.

iS

PSS

El estado estacionario se obtiene mediante resolviendo :

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Una empresa que quiere lanzar al mercado un nuevo producto

desea contratar los servicios de una emisora de su mbito para locual realiza un estudio markoviano con el propsito de elegir la

emisora mas sintonizada para lo cual toma una muestra de 100

personas y obtiene la siguiente matriz de transicin

Caso 1

Amistad FM98 Ritmo

Amistad 0.7 0.2 0.1

FM98 0.3 0.5 0.2

Ritmo 0.3 0.3 0.4

Qu decisin tomara la empresa?

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Segu imiento a un a persona que sintoniza la emiso ra amistad

Estado inicialSo = [1, 0, 0] indica que se ha empezado a realizar los ensayos partiendo de las

personas que escuchan la emisora Amistad.

S = S * P

S1 = S0* P

S2 = S1 * P

S3 = S2* P

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S4 = S3 * P

S5 = S4 * P

S6 = S5 * P

S7 = S6 * P

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11/20

S8 = S7 * P

S9 = S8 * P

S10 = S9 * P

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MATRIZ ESTACIONARIA

S1= 0.5000

S2 = 0.3125

S3 = 0.1875

1.

iS

PSS

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RBOL MARKOVIANO

Aplicando el mtodo del

rbol en 3 nivelesobtendremos resultados.

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Caso Prctico 1

Resumen de resultados:

MtodoRecursivo Mtodo EstadoEstacionario Mtodo del rbol3 niveles

S1 Amistad 0.5000524288 0.50000 0.532S2 FM98 0.3124737792 0.31250 0.296S3 Ritmo 0.1874737920 0.18750 0.172

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15/2015

ESTADOS ABSORVENTES ESTADOS DEL PROCESO

M : Muertos B : Bebitos

V : Vendidos A : Adultos

Caso 1: crianza de cuyes

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16/2016

A continuacin se tiene la siguiente Matriz de Transicin:

M V B A

M 1 0 0 0

V 0 1 0 0

B .10 .15 .05 .70

A .15 .80 0 .05

B A

Si : S0= [ 200 500 ] ; determinar la cantidad de cuyes que mueren en lasiguiente campaa.

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CASO 2

Se ha elaborado la siguiente matriz de transicin utilizando datos recopilados

en aos anteriores y referentes a la forma en que los televidentes tienden acambiar de un canal a otro , semana a semana para un programa noticiero:

Trace el diagrama de rbol de dos periodos para un televidente que vio sunoticiero la ltima semana en PANTEL. Analice sus resultados.Determine la matriz estacionaria.Si la ltima semana 2000 vieron ATV, 5000 PANTEL y 4000 AMRICA. Despusde 2 semanas cunto estn observando cada uno de estos programas.

ATV PANTEL AMRICA

ATV 0.2 0.4 0.4

PANTEL 0.3 0.3 0.4

AMRICA 0.2 0.2 0.6

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CASO 3

Un vivero con 5000 rboles de los cuales 1500 rboles son pequeos, mientras

que los 3500 restantes estn disponibles para su corte. Estos rboles terminansiendo vendidos o por enfermedad.La siguiente matriz resulta apropiada:

P=

Cunto de los 5000 rboles del vivero se vendern en algn momento dado ycuntos se perdern?

1 0 0 0

0 1 0 0

0.1 0.5 0.2 0.20.4 0.1 0 0.5

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Un comerciante posee un puesto de frutas, especficamente de papayas, en el mercadoModelo de Barranca. En su puesto posee frutas maduras y frutas por madurar(verdes),se sabe que se llegan a perder frutas por diversos factores. Con respecto aperiodos mensuales anteriores se obtuvo informacin para realizar la siguiente matriz detransicin apropiada para este caso. El comerciante desea saber cul ser la cantidad de

frutas que vender este mes, si inicia con 60 frutas verdes y 120 frutas maduras.

Los Estados Absorbentes:A. Fruta PerdidaB. Fruta Vendida

Los Estados del Proceso:C. Fruta VerdeD. Fruta Madura

EJERCICIO 3

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EstadosAbsorbentes

Estadosdel proceso

A B C D

1 0 0 00 1 0 0

.12 0 .08 .8

.15 .7 0 .15

AB

C

D

P =

solucinHallar la Matriz Fundamental:

EstadosAbsorbentes

Estadosdel proceso

A B C D

1 0 0 0

0 1 0 0

.12 0 .08 .8

.15 .7 0 .15

A

B

C

D

P =

I

ML