ANALISIS MARKOVPertemuan 12TANTRI WINDARTI AnalisisMarkov(disebutsebagaiProseskhususStokastik) merupakansuatu bentukdari model probabilistik. ProsesStokastikmerupakansuatuterjadiprosessecaraperubahanprobabilistik yangterusmenerus,dimanaperubahan-perubahan variabel di waktu yang lalu.perubahan variabel di masa yang akan datang didasarkan atas perubahan-Perubahan di saham Pada awalnya, Analisis Markov digunakan sebagai alat dalam analisis perubahan cuaca. Saat ini, Analisis Markov sering digunakan untukmembantu pembuatan bisnis atau industri.keputusandalamdunia Misal, sebagai alat untuk menganalisis: Perpindahan merek yang digunakan oleh konsumen. Masalah operasi dan pemeliharaan mesin produks. Perubahan harga di pasar saham. Dan lain-laindil k kM t k Terdapat3prosedurutamauntukMenghitungprobabilitassuatu kejadian diwaktu yang akan datang. Menentukan kondisi steady state.dilakukan, yaitu : Menyusun matriks probabilitas transisi. Bilamakadiketahuipadastatuskondisisuatukondisiawal,periodeberikutnyamerupakandinyatakansuatudalamprosesrandomyangdisebutprobabilitas,yangdengan probabilitastransisi. Probabilitas transisistatus awal.hanyatergantungpada Probabilitas transisi tidak akan berubah untuk selamanya.(status) mungkin cerah hujanMisalnya diketahuiContoh :Masalah perubahan cuaca di Indonesia Misalhanyaterdapat2macamcuaca,yaituhujandancerah. Diketahui bahwaIndonesia selalu beradadalammasalah ini, cuaca dipada salah satu dari dua stateberikutnyamerupakansuatuprosesrandomyangprobabilitas transisi.(status) yang mungkin, yaitu cerah atau hujan. Perubahan dari satu state ke state yang lain pada periode dinyatakandalam probabilitas, yang disebut dengan Misalnya saja diketahui : P(hujan | hujan ) = 0,6 P(hujan | cerah ) = 0,8 P(cerah | hujan ) = 0,4 P(cerah | cerah ) = 0,2 Merupakan probabilitasmatriks(tabel)yangberisinilai dapatperubahanstatetersebutdituliskan dalam bentuk matriks (tabel), yang disebut dengan Matriks Probabilitas Transisi, yaitu:StateState BesokHari iniHujanCerahHujan0,60,4Cerah0,80,2dsbContoh 1 : Misal,diambilsampelsebanyak 1000 konsumen Dalammasalah ini, konsumendapatberpindahdarisatumerekkemereklain.Perpindahaninibisa disebabkan karena adanya promosi khusus, perbedaan harga, iklan yang terus menerus di TV, dsb.yang tersebar dalam 4 merek sabun mandi yang digunakan, yaitu merek A, B, C, dan D. Tabeldibawahinimenunjukkanpolaperpindahansabun mandikonsumenmerek A, B,dalamC, dan D.penggunaanJml konsumenPerubahan selama periodeJmlMerekBulan inikonsumenBulan depanMendapatkanKehilanganA2205045225B3006070290C2302525230D2504035255Jumlah10001751751000 Daritabeltersebut,tidakdiketahuiberapadiantara 45konsumenmerekA yang berpindahdiantara 50konsumenyang berpindah kemerek Olehkarenaitu,dibutuhkaninformasiyang dalamlengkap tentang perpindahan konsumen penggunaan sabun mandike merek B, C, atau D. Dan sebaliknya, juga tidak diketahui berapaA berasal dari konsumen merek B, C, atau D.B 20 25 40 5 290 Atas dasarsurveykonsumen,diperolehhasilyang dituliskan dalam tabel sbb.:MerekJml konsumenBulan iniMendapatkan dariKehilangan keJml konsumen bulan depanABCDABCDA2200400100201015225B3002002515400525290C23010501002500230D2501525001015100255Jumlah10001000 Daridatapadatabeldiatasdapatmerekdibuatsabunmatriksperpindahan/perubahanmandi, yaitu:StateState Bln depanJumlahBulan iniABCDA175201015220B40230525300C0252050230D101510215250B l i i B D Jadi, matriks probabilitas transisinya adalah :StateState Bln depanBulan iniABCDA0,7960,0910,0450,068B0,1330,7670,0170,083C00,1090,8910D0,0400,0600,0400,860k j i d khih d tContoh Misal,2 :sebuah perusahaandistributor beras yang Pihakmanajemenmencurigaiadanyaperpindahan pelanggan.jenisberasyangdikonsumsiolehpenurunan. Untuk mengetahui sebab penurunan penjualan tersebut, perusahaan mengumpulkan data dari beberapakeluarga dengan cara mengambil sampel dari daerah yang paling besar mengalamimemasarkan beras jenis rojolele pada akhir-akhirini menyadari adanya penurunan penjualan. Data yang berhasil dikumpulkan adalah :NoNamaKeluargaStatusSebelumnyaSaat Ini10JIR. 36Cisedani11KIR. 36IR. 3612LIR. 36IR. 3613MIR. 36Rojolele14NIR. 36Rojolele15ORojoleleCisedani16PRojoleleIR. 3617QRojoleleRojolele18RRojoleleRojoleleNoNamaKeluargaStatusSebelumnyaSaat Ini1ACisedaniCisedani2BCisedaniCisedani3CCisedaniCisedani4DCisedaniIR. 365ECisedaniIR. 366FCisedaniIR. 367GCisedaniRojolele8HCisedaniRojolele9IIR. 36Cisedanistate konsumsi diperolehJ l h Biladituliskandalambentuktabel perubahanstate (perpindahan konsumsi beras), diperoleh:Dari status(Sebelumnya)Ke status berikutnya (saat ini)JumlahRojoleleIR. 36CisedaniRojolele2114IR. 362226Cisedani2338Jumlah666180 250 Dianggapdianggapbahwa perpindahankonsumsiberasstabil,sehinggamatriksprobabilitastransisinya adalah :Dari status Ke status berikutnya (saat ini) (Sebelumnya) Rojolele IR. 36 CisedaniRojolele 0,500 0,250 0,250IR. 36 0,333 0,333 0,334Cisedani 0,250 0,375 0,375Catatan:Sel diagonal (warna kuning), merupakan probabilitas konsu en tetap setia(tetap dalam pemilikan atau retentions). InformasiyangdihasilkandariAnalisisMarkov adalahprobabilitassuatustatepadaperiode ke depan. Informasiinidapatdigunakanolehmanajeruntukdenganmembantupengambilankeputusanperubahan-caramemperkirakanvariabel di waktu yang lalu.perubahan variabel di waktu yang akan datang berdasar atas perubahan-perubahan Terdapat2carauntukmenemukan Perkalian matriksinformasi tersebut, yaitu: Probabilitas treet ) h jContoh:Diketahui probabilitastransisi sebagaiberikut:StateStateBesokIngin dihitungprobabilitascuacaakan berstatushujanpadaharike-3,jikapadahariini(haripertama) berstatus hujan.Hari iniHujanCerahHujan0,60,4Cerah0,80,20 6 HujanPenyelesaian:Hujan0, 4HujanCerahHujan0,080,40,6Hujan0,320,40,4 Cerah0,80,2 Cerah0,60,60,36Hari ke-1Hari ke-3Hari ke-2H 3 = 36 0 = 68Jadi, ProbabilitascuacaakanberstatushujanCH(3) = 0,24 +0,08 = 0,32padahari ke-3, jika pada hari ini (hari pertama) berstatus hujan adalahHH(3) = 0,36 + 0,32 = 0,68 Probabilitas cuaca akan berstatus cerah padahari ke-3, jika pada hari ini (hari pertama) berstatus hujan adalahkarena lembar yang Probabilitastreeakansangatmembantubilaperiode ke-t di masadepan cukup kecil. Bilaingindiketahuiprobabilitasstatuspada cukupperiodeke-tdimasadepan,dimanat Untukitu,digunakancaralain yaitudenganmenggunakan perkalian matriksbesar, maka untuk menyelesaikan dengan probabilitas tree akan menjadi tidak efisien karena membutuhkan lembar kertas yang besar.ki tContohmasalah pengoperasiankendaraanumum (angkota): Angkotasedang masalahakanberoperasi(jalan)bilatidakmogok,artinyabahwadalaminiangkotaselaluberadadidalamsalahsatudariduastate(status)yang mungkin, yaitu jalan atau mogokb bilit b it b t (h i 1Perubahan dari satustate ke state yang lain pada periode(hari)berikutnyadituliskandalammatriks/tabel(besok)Pemiliksebuahusaha angkota tersebutangkota berstatus jalaningin mengetahuiprobabilitaspada hari ke-3, jika angkotatersebut berstatus jalan pada hari ini (hari ke-1).probabilitas transisi sebagai berikut:state sekarang(hari ini)Ke status berikutnyaJalanMogokJalan0,60,4Mogok0,80,2P b bilit k t ki b l ( )Penyelesaian: Probabilitas sebuah angkota berstatus jalan padaharike-3,jikaangkotatersebutberstatusjalanpada hari ini (hari ke-1), dapat dituliskan dengansimbol JJ(3). Probabilitas sebuah angkota berstatus mogok padahari ke-3, jika angkota tersebut berstatus jalanpada hari ini (hari ke-1), dapat dituliskan dengan simbol MJ(3). Dan seterusnya dengan penalaran yang serupa. Probabilitassebuahangkotaberstatusjalan dalamataupunmogok padaharike-1,ditulisvektor baris sbb. :J J (1) M J (1) 1 02 M ( ) 1 M ( ) 0 Probabilitassebuahangkotaberstatusjalanataupun mogok pada hari ke-2, bila angkotdicari dengan mengalikanvektorbarisdenganM (1) 0,60,40 0,60,4J (2)M (2) J (1) 1 0,60,4J J J J 0,8 0,2 0,8 0,2 tersebut berstatus jalan pada hari ke-1, dapatmatriks probabilitas transisi, diperoleh : Dan, probabilitas sebuah angkota berstatus jalantersebutberstatusjalanpadaharike-1,dapat0,80,20,80,2JJJJJ (3) M (3) J (2) M (2)0,6 0,4 0,6 0,40,6 0,4 0,68 0,32ataupun mogok pada hari ke-3, bila angkotadicari dengan penalaran serupa, diperoleh :menuju kondisi ( Dalambanyakkasus,AnalisisMarkovakanmenuju suatukondisikeseimbangan (Steadyprosesmarkovberjalanselamabeberapasuatu state akan bernilai tetap.kondisi Steady State.State), yaitu suatu kondisi di mana setelah periode, maka akan diperoleh nilai probabilitas Suatu Analisis Markov dapat saja tidak mencapaipengoperasian umumJ J Contoh untuk menentukan kondisi steady statepengoperasian kendaraan umum (angkota).:ataupuntersebutmogokpada harike-4,bilaangkotaberstatus jalan padahari ke-1, adalah :0,80,20,80,2JJJJJ (4) M (4) J (3) M (3) 0,6 0,4 0,68 0,32 0,6 0,4 0,664 0,336 Seandainya perhitungan dilanjutkan, maka probabilitas sebuah angkota berstatus jalan Probabilitas status periode selanjutnyaadalah:J J (7) M J (7)0,6667 0,3333 steady stateJ J (8) M J (8) 0,6667 0,3333J J (5) M J (5) 0,6672 0,3328J J (6) M J (6)0,6666 0,3334makin sampai tidak Darihasiltersebut statusterlihatbahwa perubahanprobabilitasuntukperiodeselanjutnya Sehingga,pemilikusahaangkotadapatmenyimpulkan bahwa jika pada awalnya angkotaberstatusjalan, maka setelah beberapa periode dimasa depan probabilitas akan jalan adalah0,6667 dan probabilitas mogok adalah 0,3333.makin kecil sampai akhirnya tidak tampakadanya perubahan tercapai mulai periode ke-7. Probabilitasstatusdimasadepan,jika caraawalnya serupa.mogokdapatdilakukandengan0,80,20,80,2MMMMJ (4) M (4) J (3) M (3) 0,6 0,4 0,64 0,36 0,6 0,4 0,672 0,328M M M M 0,8 0,2 0,8 0,2M M M M 0,8 0,2 0,8 0,2Diperoleh:J M (1) M M (1) 0 1J (2) M (2) J (1) M (1) 0,6 0,4 0 1 0,6 0,4 0,8 0,2J (3) M (3) J (2) M (2) 0,6 0,4 0,8 0,2 0,6 0,4 0,64 0,36J 7 ( ) 6666 3334Probabilitas status periode selanjutnyaadalah:J M (5) M M (5)0,6656 0,3344J M (6) M M (6)0,6669 0,3331J MM M (7) 0,6666(7)0,3334J M (9) M M (9)0,6667 0,3333J M (8) M M (8) 0,6667 0,3333steady statek kh k Darihasildiatasterlihatbahwa perubahanprobabilitasstatusuntukperiodeselanjutnya Dalamhalini,pemilikusahaangkota dapatmenyimpulkanbahwajikapadaawalnyaangkotberstatus mogok, maka setelah beberapa periode dimasa depan probabilitas akan jalan adalah0,6667 dan probabilitas mogok adalah 0,3333.makin kecil sampai akhirnya tidak tampakadanya perubahan tercapai mulai periode ke-8.status0 Dari kedua hasiltersebut, terlihat bahwa apapunstatusawalnya,makanilaiprobabilitasstatusditercapai,makaprobabilitasstatusperiodeke-iakansama denganprobabilitas statusperiodeberikutnya,yaituperiodeke-(i+1),ataudapatdituliskan sebagai :JJ(i+1) = JJ(i) dan MJ(i+1) = MJ(i)masa depan akan konstan, yaitu probabilitas akan jalan adalah 0,6667 dan probabilitas mogok adalah 0,3333. Jadi, dapat disimpulkan jika kondisi steady stateperiode (i 1 dilakukan Untukperiodemencariprobabilitasstatusdenganke-(i+1),dilakukanMJ(i+1) = MJ(i)cara: diketahui bahwa dalam kondisisteady state berlaku :JJ(i+1) = JJ(i) dan Untukcontohpengoperasiankendaraanumum,nilai probabilitasstatusperiode i+1 adalah:0,80,2Menjadi :[ JJ(i)MJ(i) ] = [ JJ(i)MJ(i) ]0,6 0,4 0,8 0,2[ JJ(i+1) MJ(i+1) ] = [ JJ(i) MJ(i) ]0,6 0,4 JM = 4 (i) 0 M Diketahui bahwa : JJ(i) + MJ(i)=1,maka:JJ(i) = 1 -MJ(i) sehingga:MJ(i)= 0,4 JJ(i) + 0,2 MJ(i)diperoleh :MJ(i)= 0,4 -0,4 MJ(i)+ 0,2MJ(i)1,2 MJ(i) = 0,4JJ(i) = 0,6 JJ(i) + 0,8 MJ(i)Dengan mensubstitusi JJ(i) = 1 - MJ(i) ke persamaan terakhir, MJ(i) = 0,4 (1 - MJ(i)) + 0,2 MJ(i)MJ(i) + 0,4 MJ(i) - 0,2 MJ(i) = 0,4MJ(i) = 0,3333Dan JJ(i) = 1 - MJ(i) = 1 0,3333 = 0,6667.ArtinyaJadi, Kondisisteady state untuk permasalahan di atasMJ(i+1)= MJ(i) = 0,3333 Artinyajikapada awalnyaangkotaberstatusprobabilitas mogok adalah 0,3333.jalan, maka setelah beberapa periode di masa depan probabilitas akan jalan adalah 0,6667 danadalah:JJ(i+1) = JJ(i) = 0,6667Dan mogok : Misalperusahaanangkotamempunyai100setiapkendaraan,makajumlahangkotayangJJ(i) x 100 = 0,6667 x 100 = 66,67 67Dan yang mogok adalah :MJ(i) x 100 = 0,3333 x 100 = 33,33 33.hari diharapkan dapat :berjalan adalah :k di i d Bilapemilikangkotamerasatidakpuasdengantersebut,makapemilikangkotaberusahauntukperawatankendaraan,sehinggadiperoleh0,70,80,30,2kondisi tersebut dan ingin meningkatkan kondisimenggunakan suku cadang asli dalam setiap matriks transisi yang baru yaitu :d k Probabilitassteadystatebilaberdasarawalnyamatriksangkotatransisiyangbaru,MJ(i) =0,27danJJ(i) =1 -MJ(i) = 1 0,27= 0,73.JM(i) = 0,73 dan MM(i) = 0,27jika pada awalnya angkota berstatus mogok,maka akan diperoleh hasil :berstatus jalan adalah:Sehingga menggunakan transisi Dari kedua hasilstatus awalnya,di atas, diperoleh hasil bahwa apapunmaka probabilitasakanjalanadalahJJ(i) x 100 =0,73 x 100 = 73Dan yang mogok adalahMJ(i) x 100 = 0,27 x 100 = 27.0,73 dan probabilitas mogok adalah 0,27. Sehingga dengan menggunakan matriks transisi yang baru,maka jumlah angkot yang setiap hari diharapkan dapat berjalan adalah :bertambahnya angkot jalan Jadi, terdapat pertambahan jumlah angkota yangdapatberoperasipadahariiniyaitusebanyak6 Dalamhalini,manajemenperlubiayamempertimbangkanapakahpertambahankarena membeli suku cadang asli dengan kenaikan penerimaan sebagai akibat bertambahnya jumlah angkot yang jalan telah sesuai.angkot per hari (dari 67 kendaraan menjadi 73 kendaraan).penduduknya Jawa dan Dari yangDikotaSurabayaterdapat2 suratkabar yangdibaca olehpenduduknya, yaitu Jawa Pos dan Surya. Dari sampel yangdiambil secara acak, terlihat bahwa telah terjadi perpindahan merk surat kabar yang dibaca oleh penduduk setiap minggunya. Dibawah ini dituliskan matriks probabilitas transisi untuk perpindahan merk surat kabar yang dibaca penduduk.b b l b Sa.Denganmenggunakanmetodeprobabilitas tree, tentukanprobabilitas seorang penduduk membaca surat kabar Jawa Pospada minggu ke-3, jika pendudukSurya pada minggu ke-1tersebut membaca surat kabarb.Denganmenggunakanmetodeperkalianmatriks,tentukanc.Tentukan probabilitas steady state dengan menggunakan metodeperkalian matriks dan jelaskan maksudnyad.MisalperusahaanJawaPosmemproduksi1000suratkabar,berapa jumlah surat kabar Jawa Pos yang setiap hari diharapkandibaca oleh penduduk?probabilitas seorang penduduk membaca surat kabar Surya padaminggu ke-4, jika penduduk tersebut membaca surat kabarSurya pada minggu ke-1Riset Operasional