MARMARA ÜNİVERSİTESİ TEKNİK EĞİTİM FAKÜLTESİ fileMARMARA ÜNİVERSİTESİ TEKNİK EĞİTİM FAKÜLTESİ ... Bir koordinat sisteminde ... Kinematik benzerlik şartının sağlanması,

MARMARA ÜNİVERSİTESİ TEKNİK EĞİTİM FAKÜLTESİ

Aerodinamik Özellikler ve

Direnç Katsayısının Ölçülmesi

HAZIRLAYAN:

Yrd. Doç. Dr. Abdullah DEMİR

Aerodinamik

Geometrik benzerlik:

Boyutlar (uzunluklar) arasındaki oranı esas alır. Bir koordinat sisteminde b“t“n boyutlar genişlik, uzunluk ve

derinlik) aynı lineer ölçek oranına

sahipse model ve prototip geometrik

olarak benzer kabul edilir.

Aerodinamik Dinamik benzerlik Akışkanlar mekaniğinde Reynolds

sayısı, bir akışkanın, atalet

kuvvetlerinin (vsρ) viskozite

kuvvetlerine (μ/d) olan oranıdır. Dinamik benzerliği tanımlamak için kullanılır. İki geometrik olarak benzer akış modeli, akış değerleri farklı olan

iki farklı sıvı içinde olsalar bile, eğer aynı ilgili katsayıya sahip iseler, bunlara

dinamik benzer denir.

Dynamic Similarity exists between the model and the prototype when forces at corresponding points are similar

Kinematik viskozite

SI birimi v= m2·s−1 pascal-saniye (Pa·s)

olup 1 kg·m−1·s−1

http://tr.wikipedia.org/wiki/Pascal

http://tr.wikipedia.org/wiki/Saniye

Aerodinamik Kinematik benzerlik: Kinematik benzerlik şartının sağlanması için prototip ve model “zerindeki hız vektörleri paralel ve

mutlak değerlerinin oranlarının sabit olması gerekir.

Kinematik benzerlik şartının sağlanması, akış çizgilerinin

aerodinamik deneylerde model ve prototip için aynı olduğu

anlamına gelir. Kinematik benzerliğin sağlanması blokaj

etkisine de bağlıdır. Gerçekte durağan halden hareketli hale geçen otomobil çevresinde oluşan hava hareketi, aracın dış y“zeyinde bir sınır tabaka oluşmasına neden olur. Akışkanın sınır tabaka içindeki hızı plaka y“zeyinden yukarı doğru

parabolik bir oranla artar, plaka y“zeyinden itibaren belirli bir δ y“ksekliğinde hız serbest akış hızına eşit olur. Bu δ y“ksekliğine

"sınır tabakası kalınlığı" denir

Aerodinamik

Professor Fred Stern Fall 2010, Chapter 7: Boundary Layer Theory

Aerodinamik

Akış ayrılması: Akış ayrılması, sınır tabakanın ters basınç gradyanından

yeteri kadar uzakta hareket etmesi

durumunda oluşur ki bu durumda sınır tabakasının hızı neredeyse sıfıra d“şer. Akışkan akımı cisim y“zeyinden ayrılır ve bunun yerine

girdaplar ve çevrimler oluşturur. • vs - akışkanın hızı • d - boru çapı • - akışkanın dinamik viskozitesi • - akışkanın kinematik viskozitesi: = / ρ

• ρ - akışkanın yoğunluğu

http://www.grc.nasa.gov/WWW/BGH/Images/reynolds.gif

Bosch Automotive Handbook

Effect of cd · A on fuel consumption (mid-sized vehicle)

Araç Aerodinamiği

Bosch Automotive Handbook Aerodynamic effects on vehicle functions

Araç Aerodinamiği

Araç Aerodinamiği

Prof. Tamás Lajos, “Basics of vehicle aerodynamics”, Budapest University of Technology and Economics Department of Fluid Mechanics University of Rome „La Sapienza” 2002

Influence of flow characteristics on the operation of vehicles Objectives of improvement of flow past vehicle bodies: • reduction of fuel consumption • more favourable comfort characteristics (mud deposition on

body, noise, ventilating and cooling of passenger compartment)

• improvement of driving characteristics (stability, handling, traffic safety)

Vehicle aerodynamics includes three interacting flow fields: • flow past vehicle body • flow past vehicle components (wheels, heat exchanger,

brakes, windshield), • flow in passenger compartment


Characteristics of flow past vehicle bodies Complex 3D turbulent flow in relative co-ordinate system. Classification of flow field: Flow past • front, • side walls and roof, • in underbody gap, • behind the rear wall (wake). Front: stagnation point, overpressure, accelerating flow Side walls, roof: boundary layer separation depending on the rounding up of leading edges around the front. Rear wall: in separation bubble nearly constant pressure below the ambient, strong turbulent mixing Underbody gap: surrounded by „rough” and moving surfaces, decreasing velocities downstream, sideward outflow

Araç Aerodinamiği Composed of:

1. Turbulent air flow around

vehicle body (85%)

2. Friction of air over vehicle body

(12%)

3. Vehicle component resistance,

from radiators and air vents

(3%)

P M V Subbarao, Energy Consumption & Power Requirements of A Vehicle


1900-1920 Adaptation of shapes from other fields

Torpedo Airship

Boot


1920-1970 Adaptation of results of airplane and airship development: streamlining

Járay experimental cars


1970-1990 Detail optimisation


1990 - Basic form optimisation


Change of drag coefficient of cars

Araçlarda aerodinamik direncin en önemli kaynakları Gövde direnci: Basınç dağılımının yatay bileşeninden dolayı oluşur. Akışkan direnci: T“rb“lansların oluşmasından ve aerodinamik kaldırma kuvvetinden dolayı oluşur. Sürtünme direnci: Taşıt dış y“zeyinin hava ile temasından dolayı oluşur

İç hava akımı: Taşıt sistemi içindeki boşluklarda havanın dolaşmasından dolayı oluşur.

Mak. Müh. Tayfur Kerem Demircioğlu, “Bir Araç Modelinin Aerodinamik Analizi ve Sonlu Elemanlar Yöntemi İle Simülasyonu”, Balıkesir Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Makine Mühendisliği Anabilim Dalı, Yüksek Lisans Tezi, Balıkesir, Ağustos–2007.


Relation between curvature of streamlines and pressure distribution

If the streamlines are curved pressure increases perpendicular to them, outwards from the centre of curvature


Relation between curvature of streamlines and pressure distribution

If the streamlines are curved pressure increases perpendicular to them, outwards from the centre of curvature

Figure (a) Typical static pressure coefficient distribution; (b) The force acting on a surface element

An Introduction to Modern Vehicle Design Edited by Julian Happian-Smith

Araç Aerodinamiği

Figure (a) Typical static pressure coefficient distribution; (b) The force acting on a surface element


Araç Aerodinamiği

Araç Aerodinamiği

Araçlarda aerodinamik direncin en önemli kaynakları Gövde direnci: Basınç dağılımının yatay bileşeninden dolayı oluşur. Akışkan direnci: T“rb“lansların oluşmasından ve aerodinamik kaldırma

kuvvetinden dolayı oluşur. S“rt“nme direnci: Taşıt dış y“zeyinin hava ile temasından dolayı oluşur İç hava akımı: Taşıt sistemi içindeki boşluklarda havanın dolaşmasından dolayı oluşur. Tekerleklerin dönmesinden dolayı ve taşıtın altından geçen hava aerodinamik

direnci arttırır. Akışın bölgesel olarak hızlanmasına ve yavaşlamasına sebep olan

veya akışın yön“n“ değiştiren taşıt y“zeyindeki her şekil gövde direncine eklenir.

Yolcu böl“m“nde hava ön cama geldiği zaman ivmelenir ve yön değiştirir bu y“zden taşıtın kesit alanındaki ani değişiklikler m“mk“n olduğu kadar azaltılmalıdır. Hava akışının kanallardan iletilmesi işleminden kaçınılmalıdır. Bölgesel hava akışlarını taşıt “zerinden kolaylıkla ileten şekiller bölgesel hız artışlarına sebep

olurlar. Bunun gibi bölgesel hava jetleri taşıtın “zerindeki ana hava akış şeklini keserler ve çevresindeki havadan daha hızlı hareket etmesinden dolayı t“rb“lansa

sebep olurlar, bu da gövde direncine eklenir.

Kaynak: Mak. M“h. Tayfur Kerem Demircioğlu, Bir Araç Modelinin Aerodinamik Analizi ve Sonlu Elemanlar Yöntemi İle Sim“lasyonu , Balıkesir Üniversitesi Fen Bilimleri Enstit“s“ Makine M“hendisliği Anabilim Dalı, Y“ksek Lisans Tezi, Balıkesir, Ağustos–2007.

Araç Aerodinamiği

Araçlarda aerodinamik direncin en önemli kaynakları Taşıtın arka tarafında, kesit alanındaki ani değişiklikten dolayı hava akışının yavaşladığı bir viskoz sınır tabaka vardır. Bu basıncın artmasına ve ayrılma noktasına kadar

ya da hava akışı dış ortamın hava şartlarına uyana kadar akışın basınca karşı iş yapmasına yol açar. Ayrılma

çizgisi (separation line) y“zey “zerindeki oldukça k“ç“k objeler sebebiyle veya tasarımdaki ufak

detaylardan dolayı aniden meydana gelebilir, bunun için

bu bölgenin tasarımına oldukça dikkat edilmelidir. Taşıtın arka tarafının tasarımının aerodinamik direncinin d“ş“r“lmesi; deneysel ölç“mlerden taşıtın arka kısmının bölgesel hava akışına göre negatif eğimli olması gerektiği gör“l“r. Gelen hava akımındaki t“rb“lans oranı veya y“zeyin p“r“zl“l“ğ“ gibi durumlar kritik açının değerini belirler, taşıtın arka tarafında y“zeyin bölgesel hava akımına göre eğimi 3° ila 5° yi geçmemelidir, geçilirse

hava akışı ayrılışı tetiklenir. Bu fast-back olarak bilinen taşıt tasarımlarının ortaya çıkmasına sebep olmuştur Şekil: a, b). Taşıtın yan kısımlarının tasarımı da gözön“ne alındığı takdirde taşıtın arka y“zey alanı k“ç“l“r ve aerodinamik direnç d“şer. Şekil: a Fastback otomobil, (b)

normal binek otomobil


Araç Aerodinamiği

Figure: a Squareback large scale flow separation. b (atchback/Fastback vortex generation


Figure demonstrates two alternative flow structures that may occur at the rear of the

vehicle. The first (Figure a) occurs for squareback shapes and is characterized by a

large, low pressure wake. Here the airflow is unable to follow the body surface around

the sharp, rear corners. The drag that is associated with such flows depends upon the

cross-sectional area at the tail, the pressure acting upon the body surface and, to a lesser

extent, upon energy that is absorbed by the creation of eddies. Both the magnitude of the

pressure and the energy and frequency associated with the eddy creation are governed

largely by the speed of the vehicle and the height and width of the tail. A very different

flow structure arises if the rear surface slopes more gently as is the case for hatchback,

fastback and most notchback shapes (Figure b).


Reduction of forebody drag (decrease of overpressure on the front)

Boundary layer separation is a good indicator of high drag



Rounding up of upper horizontal leading edge



Rounding up of vertical leading edges



Conclusions: 1. The most significant drag reduction can be achieved by rounding up

the vertical and upper horizontal leading edges on the front face. 2. Relatively small amendments can result considerable drag reduction. 3. The drag reduction of front spoiler is large if its use is combined with

rounded leading edges.

Changing the shape of the front end Use of front spoiler


Reduction of base drag (increase of pressure on the rear end)


Reduction of base drag (increase of pressure on the rear end)

Longitudinal vortices can develop over slanted trailing edges, causing increase of drag and lift

Conclusions: 1. Tapering of rear part results is

reduction of the size of rear separation bubble and increase of pressure

2. Rear spoiler and increase of boot height reduces drag and lift simultaneously

3. Slanted trailing edges can cause longitudinal vortices increasing the drag and lift.


Reduction of side wall, roof and underbody drag (decrease of shear stresses)

Conclusions 1. Roof and side wall drag can be reduced by reduction of roughness of the

wall (no protruding parts, frames) 2. Underbody drag can be reduced by reducing the roughness (covering) and

reducing the velocity in underbody gap (tight underbody gap, front spoiler )


Effect of add-on devices and limits of aerodynamic drag reduction


Example: wind tunnel investigations aiming at reduction of aerodynamic drag of buses

Wind tunnel: recirculating, 2.6 m x 5 m open test section, vmax= 50 m/s wind velocity, 6 component overhead balance, when necessary, ground simulation with moving belt, flow visualisation with oil smoke. Bus model: 1:5 scale bus models with rotating wheels, detailed underbody and interchangeable parts.


Increase of driving stability reducing aerodynamic lift

Airfoils, side box provided with wing increase the

negative lift: acp= v^2/R = 2-3


Increase of driving stability reducing aerodynamic lift

Conclusions 1. Aerodynamic lift is particularly important at high performance and

racing cars where the negative lift increases the speed in curves 2. Lift can be reduced by spoilers under the front bumper and at the

upper horizontal trailing edge 3. At racing cars airfoils and underbody devices increase the negative

lift


Increase of driving stability influencing yawing moment

Conclusions 1. Yawing moment is caused

mainly by the depression on the leeward rounded leading edge

2. Yawing moment can be reduced by generating BL separation or

3. By using fin at the rear part of the car

Rüzgar Tüneli

Lift, drag and pitching moment

Side force, yawing moment and

rolling moment

Bosch Automotive Handbook Aerodynamic effects on vehicle functions

Araç Aerodinamiği

Aerodynamic drag is

calculated as

FL = . · ρ · cd · A (v + v0)2 ρ = 1.226 kg/m^3 hava

yoğunluğu ( . 33 bar ve 5 oC da)

Cd*: hava direnci katsayısı Otomobillerde : 0.3 - 0,4;

kamyonlarda : 0.8

A : kesit alanı. Otomobillerde 1.85 m^2 ; kamyonlarda 8 m2

alınabilir.

Not: Bazı kaynaklarda cd bazı kaynaklarda cw olarak kullanılmaktadır

A taşıt kesit alanını, V taşıtın r“zgâra göre bağıl hızını, ρ havanın yoğunluğunu (1,255 kg/m³ göstermektedir.

Automotive Handbook

1) No headwind (υ0 = 0).


Vehicle (Examples) cd A / m2

Audi A8 0,29 2,25

Porsche 911 0,29 1,95

Mercedes C 200 D 0,30 2,05

Table 1. cw values for various vehicles

Araç Aerodinamiği


Effect of Δcd in %

Lowering vehicle height by 30 mm approx. –5

Smooth wheel covers –1...–3

Wide tires +2...+4

Windows flush with exterior approx. –1

Sealing body gaps –2...–5

Underbody panels –1...–7

Concealed headlamps +3...+10

Outside rear-view mirrors +2...+5

Airflow through radiator and engine compartment +4...+14

Brake cooling devices +2...+5

Interior ventilation approx. +1

Open windows approx. +5

Open sunroof approx. +2

Roof-mounted surfboard rack approx. +40

Note: During the early stages in the design and development process most testing is performed using

small scale models where ¼ scale is the most popular.

Araç Aerodinamiği


Etkileri

cd [%]

Taşıtın Yüksekliğini 30 Mm Düşürme

Yaklaşık –5

Düzgün Teker Jantları

-1...-3

Geniş Lastikler

+2...+4

Harici Cam Parlatmayla

Yaklaşık –1

Contalı Gövde / Karoseri Boşlukları

-2....-5

Düşük Gövde Panelleri

-1...-7

Gizlenebilir Farlar

+3...+10

Dışarıdaki Arkayı Gösteren Farlar

+2...+5

Radyatör Ve Motor Kompartmanı Arasındaki Hava

Akışı

+4...+14

Fren Soğutma Tertibatları

+2...+5

Harici Havalandırma

Yaklaşık +

Açık Camlar

Yaklaşık +

Açık Tavan

Yaklaşık +

Dikey Açılı Olan Tavan

Yaklaşık +

Araç Aerodinamiği


α cd Δcd in %

50° 0.345 –

55° 0.342 – 0.8

65° 0.340 – 1.4

40° 0.349 + 1.1

30° 0.349 + 1.1

0° 0.369 + 7.0

Effect of windshield slope α on the cd value see Table (– = better, + = worse)

Araç Aerodinamiği

Araç Aerodinamiği

Okuma Parçası: Araçlarda aerodinamik direncin en önemli kaynakları Bu tasarım bize ayrılma çizgisinin hemen hemen taşıtın arka kenarında oluşmasından dolayı bir optimizasyon sağlar. Hava akışının ayrılmasına diğer bir etkende arka y“zeyler “zerine yerleştirilen çeşitli çıkıntılardır. Örnek olarak taşıt gövdesine iyi yerleştirilememiş camlar ayrılma çizgisini taşıtın arka kenarından daha önce olmasına yol açar ve

aerodinamik direnci arttırır. Lastiklerin oluşturduğu ark, içinde bulundukları boşluktan hava akışının geçmesiyle meydana gelmektedir. Lastiğin dönmesi ve alttan gelen hava

ile karşılaşması ön ve arka tekerleklerde havanın lastik boşluğunu

izlemesine ve t“rb“lanslar oluşturarak uzaklaşmasına yol açar. Yağışlı bir g“n sonrasında taşıtın ön ve arka çamurluklarına bakıldığında oluşan bölgesel t“rb“lans, çamur ve diğer pisliklerin çamurluğa yapışmasına yardımcı olurlar.


Araç Aerodinamiği Okuma Parçası (dvm) Şekil den gör“ld“ğ“ gibi ön lastikten sonra

hava akımı, oluşan t“rb“lanslarla taşıtın yan kenarı boyunca hareket ederken tekrar birleşirler. Arka lastiklerde meydana gelen

hava akımı ayrılması genellikle taşıtın arka tarafındaki hava akımı ile birleşir. Bu durum

arkada meydana gelen hava boşluğunun daha

da b“y“mesine yol açar ve aerodinamik

kuvveti artırır. Lastiklerin bulunduğu boşluğu kısmen veya tamamen kapatmak bu sorunu çözebilir. Arka lastiklerde tamamen kapatılabilinmesine rağmen ön lastikler

hareketli olduğu için çok zordur. Üst“ açık spor otomobillerde hava akışının ayrılması genellikle ön camın bittiği noktada başlar. Taşıtın neredeyse t“m kesit alanında

hava boşluğu meydana gelmesini sağlar ve oluşan aerodinamik direnç oldukça artar.

Maksimum kesit alanını m“mk“n olduğunca

azaltmak aerodinamik direnci d“ş“rmenin en

iyi yoludur.


Şekil: Taşıtın lastik boşluklarında

meydana gelen hava akımı ayrılmasının şekli

Rüzgar Tüneli

R“zgar t“neli testleri k“ç“k ölçekli modeller ile başlamıştır. K“ç“k ölçekli modeller ile test işlemi tam ölçekli modellere göre daha ucuz

ve basit olması bakımından avantajlıdır. Ancak ölçekli modeller ile

elde edilen sonuçlar tam ölçekli modeller ile elde edilen sonuçların doğruluğunu verememektedir. Bunun temel nedeni geometrik

benzerliğin tam olarak sağlanamaması ve Reynolds sayısının

beklenmeyen etkileridir. Ayrıca k“ç“k ölçekli test işleminde model

ve prototip arasında Reynolds sayısı eşliğinin sağlanabilmesi oldukça g“çt“r.

Rüzgar Tüneli

Taşıtların direnç katsayıları hava r“zgar t“neli yardımıyla ölç“l“r. Direnç katsayısı bulunurken hava t“nelinin b“y“kl“ğ“ne göre orijinal veya model taşıt kullanılmaktadır. Direnç kuvvetini ölçmek için uzama telli kuvvet ölçer/ler/ kullanılmaktadır.

Coast-Down Test

Not: Ür“n doğrulama ve test pistleri kısmında incelendi.

Propulsion Systems for Hybrid Vehicles, IET Power and energy series 45

Series Editors: Professor A.T. Johns Professor D.F. Warne

EK KISIMLAR

Rüzgar Tüneli

Wind tunnel testing

Very few new cars are now developed without a significant

programme of wind tunnel testing.

There are almost as many different wind tunnel configurations as

there are wind tunnels and comparative tests have consistently

shown that the forces and moments obtained from different facilities

can differ quite considerably. However, most manufacturers use only

one or two different wind tunnels and the most important

requirement is for repeatability and correct comparative

measurements when aerodynamic changes are made. During the

early stages in the design and development process most testing is

performed using small scale models where 1/4 scale is the most

popular. The use of small models allows numerous design features to

be tested in a cost effective manner with adequate accuracy.

For truly accurate simulation of the full scale flow it is necessary to

achieve geometric and dynamic similarity. The latter requires the

relative magnitudes of the inertia and viscous forces associated with

the moving fluid to be modelled correctly and the ratio of those forces

is given by a dimensionless parameter known as Reynolds number

(Re):


Rüzgar Tüneli

where ρ is the fluid (air) density, u is the relative wind speed, d is a characteristic

dimension and is the dynamic viscosity of the fluid. For testing in air this expression

tells us that the required wind speed is inversely proportional to the scale of the model but in

practice the velocities required to achieve accuracy (using the correct Reynolds number) for

small scale models are not practical, and Reynolds number similarity is rarely achieved.

Fortunately, the Reynolds numbers achieved even for these small models are sufficiently high

to create representative, largely turbulent vehicle surface boundary layers, and the failure to

achieve Reynolds number matching rarely results in major errors in the character of the flow.

The highest wind speeds at which models can be tested in any particular wind tunnel are

more likely to be limited by the ground speed than by the air speed. The forward motion of a

vehicle results not only in relative motion between the vehicle and the surrounding air

but also between the vehicle and the ground. In the wind tunnel it is therefore necessary to

move the ground plane at the same speed as the bulk air flow, and this is usually achieved by

the use of a moving belt beneath the model.

At high speeds problems such as belt tracking and heating may limit the maximum running

speed, although moving ground plane technology has improved rapidly in recent years with

the developments driven largely by the motor racing industry for whom ground effect is

particularly important. A considerable volume of literature is available relating to the

influence of fixed and moving ground planes upon the accuracy of automotive wind tunnel

measurements (for example Howell, 1994, Bearman et al., 1988).


Rüzgar Tüneli

The use of larger models has benefits in terms of Reynolds number modelling and also

facilitates the modelling of detailed features with greater accuracy, but their use also requires

larger wind tunnels with correspondingly higher operating and model construction costs.

The forces acting upon a wind tunnel model are usually measured directly using a force

balance which may be a mechanical device or one of the increasingly common strain

gauge types. The latter has clear benefits in terms of electronic data collection and their

accuracy is now comparable to mechanical devices. Electronic systems are also essential if

unsteady forces are to be investigated. Lift, drag and pitching moment measurements are

routinely measured and most modern force balances also measure side force, yawing

moment and rolling moment.

These latter three components relate to the forces that are experienced in cross-wind

conditions. Although direct force measurements provide essential data they generate only

global information and provide little guidance as to the source of the measured changes or of

the associated flow physics. That additional information requires detailed surface and wider

flow-field measurements of pressure, velocity and flow direction if a more complete

understanding is to be achieved.

Such data are now becoming available even from transient flow studies (e.g. Ryan and

Dominy, 1998), but the measurements that are necessary to obtain a detailed understanding

of the flows remain surprisingly rare despite the availability of well-established

measurement techniques.


Okuma Parçası - 2

Gerçek daimi olmayan akıma iyi bir örnek olarak k“t cisimlerin arkasındaki akım alanlarını göstermek m“mk“nd“r. Örneğin, şekildeki gibi bir otomobilin arkasında çok karışık ve

zamanla çok çabuk değişim gösteren bir akım bulunduğunu özellikle tozlu bir yolda veya yağmurlu bir havada fark etmek m“mk“nd“r. Silindir etrafındaki akım da bu tip cisimler için iyi bir örnek teşkil eder. Silindirin gerisinde girdaplı bir bölge oluşur ki bu bölgeye iz adını veririz. Bu bölgedeki herhangi bir P(x,y) noktasındaki akım karakteristikleri zamana önemli bir şekilde bağlıdır ve akım daimi değildir. Buna karşılık silindirin ön tarafında göz ön“ne alınan diğer bir Q(x,y) noktasında ise akımın zamanla değişimi ihmal edilebilir

mertebelerdedir. Bu nedenle bu kısımdaki akım "daimi" kabul edilebilir.

M. Adil Y“kselen, UCK 351 Aerodinamik Ders Notları Sekil: Gerçek daimi olmayan akım

Documents

MARMARA ÜNİVERSİTESİ TEKNİK EĞİTİM FAKÜLTESİ fileMARMARA ÜNİVERSİTESİ TEKNİK EĞİTİM FAKÜLTESİ ... Bir koordinat sisteminde ... Kinematik benzerlik şartının sağlanması,