MAT-4110-1 Les quatre opérations fractions algébriques · de visualiser le chemin parcouru ou qui vous reste à parcourir selon l’objectif ... MAT-4108-1 Fonction quadratique

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Lcyan magenta jaune noir

es quatre

opérationssur les

fractions algébriques

MAT-4110-1

0404_MAT-4110 3/16/07 9:11 AM Page 1


LES QUATRE

OPÉRATIONS

SUR LES

FRACTIONS

ALGÉBRIQUES

MAT-4110-1

Rédactrice : Suzie Asselin

Réviseurs du contenu : Daniel GélineauJean-Paul GroleauNicole Perreault

Mise à jour : Jean-Paul Groleau

Réviseures linguistiques : Marie Rose ViannaFrancine Cardinal

Consultant en andragogie : Les productions C.G.L. enr.

Coordonnateur pour la D.F.D. : Jean-Paul Groleau

Coordonnateur pour la D.G.E.A. : Ronald Côté

Photocomposition et montage : Multitexte Plus

Édition électronique de la mise à jour : P.P.I. inc.

Impression : 2007

© Société de formation à distance des commissions scolaires du Québec

Tous droits de traduction et d’adaptation, en totalité ou en partie, réservés pour touspays. Toute reproduction, par procédé mécanique ou électronique, y compris la micro-reproduction, est interdite sans l’autorisation écrite d’un représentant dûment autoriséde la Société de formation à distance des commissions scolaires du Québec (SOFAD).

Dépôt légal — 2007Bibliothèque et Archives nationales du QuébecBibliothèque et Archives CanadaISBN 978-2-89493-276-6

0.3

MAT-4110-1 Les quatre opérations sur les fractions algébriques

© SOFAD

TABLE DES MATIÈRES

Présentation de l’ordinogramme .............................................................. 0.4Ordinogramme du programme ................................................................. 0.5Comment utiliser ce guide? ...................................................................... 0.6Introduction générale ................................................................................ 0.9Objectifs intermédiaires et objectif terminal du module ........................ 0.11Épreuve diagnostique sur les préalables ................................................. 0.13Corrigé de l’épreuve diagnostique sur les préalables .............................. 0.17Analyse des résultats de l’épreuve diagnostique ..................................... 0.19Suivez-vous ce cours en formation à distance?. ....................................... 0.21

SOUS-MODULES

1. Simplification de fractions algébriques .................................................... 1.12. Produit et quotient de fractions algébriques ........................................... 2.13. Multiplication et division de fractions algébriques ................................. 3.14. Somme et différence de fractions algébriques ......................................... 4.15. Chaînes d’opérations dans les fractions algébriques............................... 5.1

Synthèse finale .......................................................................................... 6.1Corrigé de la synthèse finale .................................................................... 6.5Objectif terminal ....................................................................................... 6.6Épreuve d’autoévaluation ......................................................................... 6.7Corrigé de l’épreuve d’autoévaluation...................................................... 6.13Analyse des résultats de l’épreuve d’autoévaluation .............................. 6.17Évaluation finale ....................................................................................... 6.18Corrigé des exercices ................................................................................. 6.19Glossaire .................................................................................................... 6.41Liste des symboles ..................................................................................... 6.45Bibliographie ............................................................................................. 6.46

Activités de révision .................................................................................. 7.1

0.4


© SOFAD

PRÉSENTATION DE L’ORDINOGRAMME

BIENVENUE AU ROYAUME DES MATHÉMATIQUES!

Ce programme de mathématiques a été élaboré pour la clientèle adulte desServices d’éducation des adultes des commissions scolaires et de la formation àdistance. Les activités d’apprentissage qu’il contient ont été conçues pour êtreréalisées en apprentissage individualisé. Toutefois, si vous éprouvez desdifficultés, n’hésitez pas à consulter votre formatrice ou votre formateur ou àtéléphoner à la personne-ressource qui vous a été assignée. Le tableau qui suitsitue dans le programme le module que vous avez entre les mains. Il vous permetde visualiser le chemin parcouru ou qui vous reste à parcourir selon l’objectifprofessionnel que vous poursuivez. Suivant les exigences de votre objectifprofessionnel, plusieurs voies de sortie du royaume des mathématiques sontprévues.

Les premières voies, les routes MAT-3003-2 (MAT-314) et MAT-4104-2(MAT-416), vous permettent d’entreprendre des études menant à un diplômed’études professionnelles (DEP) et certains programmes de niveau collégial(cégep) pour la route MAT-4104-2.

Les routes MAT-4109-1 (MAT-426), MAT-4111-2 (MAT-436) et MAT-5104-1(MAT-514), vous permettent d’obtenir un diplôme d’études secondaires (DES)qui donne accès à certains programmes d’études collégiales (cégep) n’exigeantpas de compétences particulières en mathématiques avancées.

Finalement, les routes MAT-5109-1 (MAT-526) et MAT-5111-2 (MAT-536) vouspermettent d’accéder au collège (cégep) dans des programmes qui exigent desolides connaissances en mathématiques et où d’autres défis vous attendent.Bonne route!

Si c’est votre premier contact avec ce programme de mathématiques, après avoirexaminé l’ordinogramme du programme, lisez « Comment utiliser ce guide »;sinon, passez directement à la partie intitulée « Introduction générale ». Bontravail!

0.5


© SOFAD

MAT-5110-1 Introduction aux vecteurs

MAT-5109-1 Géométrie IV

MAT-5108-2 Fonctions et équations trigonométriques

MAT-5107-2 Fonctions et équations exponentielles et logarithmiques

MAT-5106-1 Fonctions réelles et équations

MAT-5105-1 Coniques

MAT-5104-1 Optimisation II

MAT-5103-1 Probabilités II

MAT-5102-1 Statistiques III

MAT-5101-1 Optimisation I


MAT-4109-1 Ensembles, relations et fonctions

MAT-4108-1 Fonction quadratique

MAT-4107-1 Droite II

MAT-4106-1 Factorisation et fractions algébriques

MAT-4105-1 Exposants et radicaux

MAT-4103-1 Trigonométrie I

MAT-4102-1 Géométrie III

MAT-536

MAT-526

MAT-514

MAT-436

MAT-426

MAT-416

MAT-314

MAT-216

MAT-116

MAT-3002-2 Géométrie II

MAT-3001-2 Les quatre opérations sur les polynômes

MAT-2008-2 Statistiques et probabilités I

MAT-2007-2 Géométrie I

MAT-2006-2 Équations et inéquations I

MAT-1007-2 Les nombres décimaux et le pourcentage

MAT-1006-2 Les quatre opérations sur les fractions

MAT-1005-2 Les quatre opérations sur les entiers

MAT-5111-2 Complément et synthèse II

MAT-4111-2 Complément et synthèse I

MAT-4101-2 Équations et inéquations II

MAT-3003-2 Droite I

Métiers(DEP)

MAT-5112-1 Logique

25 heures = 1 unité

50 heures = 2 unités

Cégep

MAT-4104-2 Statistiques II

ORDINOGRAMME DU PROGRAMME

Vous êtes ici

0.6


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COMMENT UTILISER CE GUIDE?

Bonjour! Mon nom est Monique et on m'ademandé de te présenter ce module de mathé-matiques. Quel est ton nom?

Je me nomme André.Merci pour ta gentillesse.

Que tu sois inscritdans un centred'éducation desadultes ou enformation àdistance, ...

Tu verras qu'avec cette méthode, lesmathématiques... c'est un vrai charme!

... tu as probablement passé untest de classement dont lesrésultats permettent de te situerexactement dans l'ensembledes modules que tu dois faire.

Oui, les résultats disent que jedois commencer avec cemodule.

Maintenant, le module que tu asentre les mains est séparé en troisparties. La première partie est...

... l’activité d'entrée qui contientl'épreuve diagnostique sur lespréalables.

En corrigeant soigneusement cetteépreuve à l'aide du corrigé qui suit et enreportant les résultats sur la fiched'analyse, ....

0.7


© SOFAD

A R RIVÉ E

as bien assimilé les apprentissages réalisés.l’auto-évaluation pour vérifier si tuindique qu’il est temps de passer àFinalement, la ligne d’arrivéeFinalement, la ligne d’arrivéeindique qu’il est temps de passer àl’autoévaluation pour vérifier si tuas bien assimilé les apprentissages réalisés.

?

Le bloc-notes indique un rappel desnotions que tu as étudiées auparavant.

La calculatrice te rappelle à quel momentt’en servir.

La gerbe de blé identifie une synthèse qui te permetde faire le point sur ce que tu viens d’apprendre. Celogo répété plusieurs fois signifie que tu approchesde la fin du module. C’est la synthèse finale qui tepermet de faire le lien entre tous les apprentissagesdu module.

La ligne de départmontre le débutde l’apprentissage.

Le petit point d’interrogation blanc identifie les ques-tions dont les réponses sont à l’intérieur du texte.?

... tu peux savoir si tu es suffisammentpréparé pour faire toutes les activitésde ce module.

Le point d’interrogation en grasidentifie les exercices de con-solidation qui te permettront demettre en pratique ce que tuviens d’apprendre.

Et si je ne suis passuffisamment préparé, si j’aibesoin d’une petite révisionavant de me lancer à l’attaque,qu’est-ce qui se passe?

Dans ce cas, avant de débuter lesactivités du module, la fiched’analyse des résultats te renvoie àdes activités de révision placées àla fin du module.

De cette façon, je suiscertain d'avoir tout ce qu’ilfaut pour commencer.

Exact! La deuxième partie contientles activités d’apprentissage; c’estle corps du module.

Observe bien le tableauci-contre : il représente leslogos identifiant les diffé-rentes activités.

La cible signalel’objectif à atteindre.

OUF!

?

DÉPART

0.8


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«Saviez-vous que...?»

Plus tard...

... ainsi, les mots en italiquesgras apparaissent dans leglossaire à la fin du module...

PARFAIT!

... les passages encadrés t’indiquent qu’ils’agit de points à retenir comme desdéfinitions, des formules, des règles, etc.Je te le dis, c’est plus facile.

Enfin, la troisième partie contient lasynthèse finale qui vient faire le lien entreles différentes parties du module.

Oui, par exemple, de petitesnotes sur l’histoire des mathé-matiques, des jeux amusants.C’est intéressant et cela tecalme en même temps.

Non, cela ne fait pas partiede l’apprentissage; c’est unpeu comme un moment dedétente.

Il y a aussi beaucoup de chosesamusantes dans ce module.Par exemple, lorsque tu vois lafigure d'un sage, c'est un«Saviez-vous que...?».

Dois-je mémoriser ce que dit le sage?

C’est la même chose pour «Lapage des mathophiles» quisignifie : qui aiment lesmathématiques.

C’est tellement stimulant que,même si tu n’es pas obligé dela travailler, tu as envie de lafaire.

Et puis, tout au long dumodule, les auteurs se sontarrangés pour te faciliter latâche...

De plus, tu y trouveras uneépreuve d’autoévaluation ainsique son corrigé. Tu sauras à cemoment-là si tu es prêt pourl’examen final.

Merci, Monique, tu m’as renduun grand service.

Maintenant,je me sauve.Au revoir!

Tout le plaisir est pour moi. C’est fantastique! Je n’aurais jamaiscru aimer les mathématiques autant queça.

0.9


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INTRODUCTION GÉNÉRALE

UN PAS DE PLUS EN MATHÉMATIQUES

AVEC LES FRACTIONS ALGÉBRIQUES

Si vous poursuivez des études en mathématiques ou si vous suivez des cours de

sciences, vous aurez à traiter des expressions mathématiques à une ou plusieurs

variables. Certaines auront la forme d’une fraction dont le numérateur ou

le dénominateur sont des monômes ou des polynômes. Ce sont de telles

expressions algébriques que nous nommons fractions algébriques. Les

expressions

x2 + 6x + 82x + 4 , 4ab2

9 , 19m2 – 4n2 et p2q2

2p2q2 – 5pq2 – 3q2

sont des fractions algébriques.

Dans ce module, vous apprendrez à effectuer diverses opérations sur les frac-

tions algébriques. En premier lieu, vous verrez comment vous devrez vous y

prendre pour les simplifier. Il est important de développer cette habileté dès

le début, car vous devrez y recourir tout au long du module. En effet, tous vos

résultats devront être réduits à leur plus simple expression.

Dans les sous-modules qui suivent, vous aborderez la multiplication, la division

de fractions algébriques, la simplification d’expressions algébriques comportant

des multiplications et des divisions de fractions algébriques, l’addition et la

soustraction de fractions algébriques et, pour terminer, la simplification

d’expressions algébriques pouvant contenir les quatre opérations sur les frac-

tions algébriques. Dans ce dernier cas, vous devrez appliquer les règles de

priorité des opérations qui vous sont sans doute familières.

0.10


© SOFAD

Il va sans dire que les connaissances déjà acquises au sujet des opérations sur les

fractions numériques vous faciliteront grandement la tâche. De plus, vous

trouverez profit à vous remémorer les cinq cas de factorisation des polynômes ou,

si vous préférez, les cinq cas de décomposition en facteurs, soit :

• la simple mise en évidence,

• la double mise en évidence,

• la factorisation de trinômes de la forme x2 + bx + c ou x2 + bxy + cy2,

• la factorisation de trinômes de la forme ax2 + bx + c ou ax2 + bxy + cy2,

• la factorisation d’une différence de deux carrés.

Ce sont les principales notions auxquelles nous ferons appel dans ce module

portant sur les fractions algébriques.

0.11


© SOFAD

OBJECTIFS INTERMÉDIAIRES ET TERMINAUXDU MODULE

Le module MAT-4110-1 comporte cinq sous-modules et prévoit une durée

d’apprentissage de 25 heures réparties, tel qu’il est indiqué dans le tableau ci-

dessous. L’objectif terminal est en caractègres gras.

Objectifs Nombres d’heures* % (évaluation)

1 à 5 24 100 %

* Une heure est réservée à l’évaluation finale.

1. Simplification de fractions algébriques

Réduire à sa plus simple expression une fraction algébrique rationnelle dont

le numérateur et le dénominateur sont des polynômes factorisables formés

chacun de trois termes au maximum. Chaque terme contient au plus deux

variables. Les étapes de la simplification doivent être décrites.

2. Produit de fractions algébriques et quotient de fractions algébriques

Multiplier trois fractions algébriques rationnelles et trouver le quotient de

deux fractions algébriques rationnelles. Les polynômes des numérateurs et

des dénominateurs sont factorisables et renferment au maximum trois

termes. Chaque terme contient au maximum deux variables. Le produit ou

le quotient doivent être réduits à leur plus simple expression et les étapes de

la résolution doivent être décrites.

0.12


© SOFAD

3. Simplification d’expressions algébriques comportant des multiplications et

des divisions de fractions algébriques

Réduire à sa plus simple expression une expression algébrique renfermant

au maximum quatre fractions algébriques rationnelles reliées par les

opérations de multiplication et de division. Les numérateurs et les

dénominateurs sont des polynômes factorisables dont chacun renferme au

maximum trois termes. Chaque terme contient au maximum deux variables.

Les étapes de la simplification doivent être décrites.

4. Simplification d’expressions algébriques comportant des additions et des

soustractions de fractions algébriques

Réduire à sa plus simple expression une expression algébrique renfermant

au maximum trois fractions algébriques rationnelles reliées par les

opérations d’addition et de soustraction. Les numérateurs et les

dénominateurs sont des polynômes factorisables dont chacun renferme au

maximum trois termes. Chaque terme contient au maximum deux variables.

Les étapes de la simplification doivent être décrites.

5. Chaînes d’opérations dans les fractions algébriques

Réduire à sa plus simple expression une expression algébrique

renfermant au maximum trois fractions algébriques rationnelles, en

effectuant les opérations appropriées et en appliquant la règle de

priorité des opérations. L’expression algébrique contient au maxi-

mum deux jeux de parenthèses. Les numérateurs et les

dénominateurs sont des polynômes factorisables formés chacun de

trois termes au maximum. Chaque terme contient au maximum

deux variables. Les étapes de la simplification doivent être décrites.

0.13


© SOFAD

ÉPREUVE DIAGNOSTIQUE SUR LES PRÉALABLES

Consignes

1° Répondez autant que possible à toutes les questions de ce test.

2° N’utilisez pas de calculatrice.

3° Inscrivez vos réponses directement sur la feuille.

4° Ne perdez pas de temps. Si vous ne pouvez répondre à unequestion, passez immédiatement à la suivante.

5° Dès que vous aurez répondu à toutes les questions auxquelles ilvous est possible de répondre, corrigez vos réponses à l’aide ducorrigé qui suit l’épreuve diagnostique.

6° Vos réponses devront être exactes pour être considérées commecorrectes. De plus, les différentes étapes de la résolutiondevront être équivalentes à celles qui sont suggérées.

7° Transcrivez vos résultats sur la fiche d’analyse des résultats del’épreuve diagnostique qui suit le corrigé.

8° Prenez connaissance des activités de révision proposées pourchacune des réponses incorrectes.

9° Si toutes vos réponses sont exactes, vous possédez les préalablesnécessaires pour entreprendre l’étude de ce module.

0.14


© SOFAD

1. Réduisez à leur plus simple expression chacune des fractions suivantes.

a) 6080 =

..........................................b) 26

65 =...........................................

2. Factorisez chacun des polynômes ci-dessous.

a) 4a2 + 8ab = ...................................................................................................

b) x2 + 2x – 3 = .................................................................................................

c) h2 – 25k2 = ...................................................................................................

d) uw + 2vw – 3uv – 6v2 = ...............................................................................

e) 4 – 9j2 = ........................................................................................................

f) 2z2 – 13z – 7 = .............................................................................................

g) –d2 – d + 2 = ................................................................................................

h) 4m2 – 5mn + n2 = .........................................................................................

.......................................................................................................................

i) –r2 + 14rs – 49s2 = .......................................................................................

j) –36p2 + 4q2 = ...............................................................................................

3. Effectuez les multiplications et les divisions suivantes. Votre résultat doit

être réduit à sa plus simple expression.

a) 910 × 2

45 =....................................................................................................

b) 37 × 14

15 × 58 =

...............................................................................................

c) 34 ÷ 7

8 =........................................................................................................

d) 29 ÷ 2

3 =........................................................................................................

0.15


© SOFAD

4. Effectuez les additions et les soustractions suivantes. Votre résultat doit être

réduit à sa plus simple expression.

a) 38 + 7

32 =......................................................................................................

b) 25 + 3

7 =........................................................................................................

c) 56 – 7

15 =......................................................................................................

d) 113 – 1

10 =....................................................................................................

5. Effectuez les opérations ci-dessous.

a) (c2 + 3cd) + (2c2 – 5cd) = ..............................................................................

.......................................................................................................................

b) (t2 – 7t + 2) – (t2 + 7t – 10) = ........................................................................

.......................................................................................................................

c) (2d2 + 3dg) + (g2 – 3g2) – (d2 – g2 – 2d2) =

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

d) 3y(2y2 + 4xy + 2x2) = ....................................................................................

e) (a + 2b)(3a – b) = .........................................................................................

f) 13 x2 – 1

2

2

=................................................................................................

0.16


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g) 25a3b2

5ab+ (3a2 + 2b)2b =

..............................................................................

h)

12 xy 1

3 x2y – 12 xy + 2

3 x2y ÷ 23 xy =

.......................................................................................................................

.......................................................................................................................

.......................................................................................................................

0.17


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1

5

1

5

1

1

2

3

1

1

1

4

2

1

1

3

1

1

CORRIGÉ DE L’ÉPREUVE DIAGNOSTIQUESUR LES PRÉALABLES

1. a) 6080 = 3 × 20

4 × 20 = 34 b) 26

65 = 2 × 135 × 13 = 2

5

2. a) 4a2 + 8ab = 4a(a + 2b)

b) x2 + 2x – 3 = (x + 3)(x – 1)

c) h2 – 25k2 = (h + 5k)(h – 5k)

d) uw + 2vw – 3uv – 6v2 = w(u + 2v) – 3v(u + 2v) = (u + 2v)(w – 3v)

e) 4 – 9j2 = (2 + 3j)(2 – 3j)

f) 2z2 – 13z – 7 = 2z2 – 14z + z – 7 = 2z(z – 7) + 1(z – 7) = (z – 7)(2z + 1)

g) –d2 – d + 2 = –(d2 + d – 2) = –(d + 2)(d – 1) ou (d + 2)(1 – d)

h) 4m2 – 5mn + n2 = 4m2 – 4mn – mn + n2 = 4m(m – n) – n(m – n) =

(m – n)(4m – n)

i) –r2 + 14rs – 49s2 = –(r2 – 14rs + 49s2) = –(r – 7s)2

j) –36p2 + 4q2 = –4(9p2 – q2) = –4(3p + q)(3p – q)

3. a) 910 × 2

45 = 1 × 15 × 5 = 1

25

b) 37 × 14

15 × 58 = 1 × 1 × 1

1 × 1 × 4 = 14

c) 34 ÷ 7

8 = 34 × 8

7 = 3 × 21 × 7 = 6

7

d) 29 ÷ 2

3 = 29 × 3

2 = 1 × 13 × 1 = 1

3

0.18


© SOFAD

4. a) 38 + 7

32 = 1232 + 7

32 = 1932 b) 2

5 + 37 = 14

35 + 1535 = 29

35

c) 56 – 7

15 = 2530 – 14

30 = 1130 d) 1

13 – 110 = 10

130 – 13130 = –3

130

5. a) (c2 + 3cd) + (2c2 – 5cd) = c2 + 2c2 + 3cd – 5cd = 3c2 – 2cd ou c(3c – 2d)

b) (t2 – 7t + 2) – (t2 + 7t – 10) = t2 – 7t + 2 – t2 – 7t + 10 = –14t + 12 ou –2(7t – 6)

c) (2d2 + 3dg) + (g2 – 3g2) – (d2 – g2 – 2d2) =

2d2 + 3dg + g2 – 3g2 – d2 + g2 + 2d2 = 3d2 + 3dg – g2

d) 3y(2y2 + 4xy + 2x2) = 6y3 + 12xy2 + 6x2y

e) (a + 2b)(3a – b) = 3a2 + 6ab – ab – 2b2 = 3a2 + 5ab – 2b2

f) 13 x2 – 1

2

2

= 13 x2

2

– 2 13 x2 × 1

2 + –12

2

= 19 x4 – 1

3 x2 + 14

g) 25a3b2

5ab+ (3a2 + 2b)2b = 5a2b + 6a2b + 4b2 = 11a2b + 4b2

h)

12 xy 1

3 x2y – 12 xy + 2

3 x2y ÷ 23 xy = 1

6 x3y2 – 14 x2y2 + 1

3 x3y2 ÷ 2xy3 =

x3y2

2 – x2y2

4 × 32xy = 3x2y

4 – 3xy8 ou 3

4 x2y – 38 xy

0.19


© SOFAD

ANALYSE DES RÉSULTATSDE L’ÉPREUVE DIAGNOSTIQUE

QuestionsRéponses Révision

À faire avantCorrectes Incorrectes Section Page

1.a) 7.1 7.4 Sous-modules 1 à 5b) 7.1 7.4 Sous-modules 1 à 5

2.a) 7.2 7.7 Sous-modules 1 à 5b) 7.2 7.7 Sous-modules 1 à 5c) 7.2 7.7 Sous-modules 1 à 5d) 7.2 7.7 Sous-modules 1 à 5e) 7.2 7.7 Sous-modules 1 à 5f) 7.2 7.7 Sous-modules 1 à 5g) 7.2 7.7 Sous-modules 1 à 5h) 7.2 7.7 Sous-modules 1 à 5i) 7.2 7.7 Sous-modules 1 à 5j) 7.2 7.7 Sous-modules 1 à 5

3.a) 7.3 7.23 Sous-modules 2, 3 et 5b) 7.3 7.23 Sous-modules 2, 3 et 5c) 7.3 7.23 Sous-modules 2, 3 et 5d) 7.3 7.23 Sous-modules 2, 3 et 5

4.a) 7.4 7.28 Sous-modules 4 et 5b) 7.4 7.28 Sous-modules 4 et 5c) 7.4 7.28 Sous-modules 4 et 5d) 7.4 7.28 Sous-modules 4 et 5

5.a) 7.5 7.37 Sous-modules 3 à 5b) 7.5 7.37 Sous-modules 3 à 5c) 7.5 7.37 Sous-modules 3 à 5d) 7.5 7.37 Sous-modules 3 à 5e) 7.5 7.37 Sous-modules 3 à 5f) 7.5 7.37 Sous-modules 3 à 5g) 7.5 7.37 Sous-modules 3 à 5h) 7.5 7.37 Sous-modules 3 à 5

• Si toutes vos réponses sont correctes, vous possédez les préalables

nécessaires à l’étude de ce module.

• Pour chaque réponse incorrecte, référez-vous aux activités proposées dans

la colonne « Révision ». Effectuez les activités de révision avant d’entre-

prendre l’étude de chaque sous-module proposée dans la colonne de droite

« À faire avant ».


0.21


© SOFAD

SUIVEZ-VOUS CE COURS EN FORMATIONÀ DISTANCE ?

Vous avez présentement entre les mains le matériel didactique du cours

MAT-4110-1 ainsi que les devoirs qui s’y rattachent. À ce matériel est jointe une

lettre de votre tutrice ou de votre tuteur. Cette lettre vous indique les différents

canaux par lesquels vous pourrez communiquer avec elle ou lui (lettre,

téléphone, etc.) ainsi que les heures réservées à ces prises de contact. En plus de

corriger vos travaux, la tutrice ou le tuteur est la personne-ressource qui vous

aidera dans votre apprentissage. Donc, n’hésitez pas à faire appel à ses services

si vous éprouvez quelque difficulté.

UNE MÉTHODE GÉNÉRALE DE TRAVAIL

L’enseignement à distance est un processus d’apprentissage d’une grande

souplesse, mais il exige de votre part un engagement actif. Il requiert en effet

de la régularité dans l’étude et un effort soutenu. Une méthode efficace de travail

vous facilitera la tâche. Un cheminement d’apprentissage constant et productif

ne peut échapper aux règles suivantes.

• Fixez-vous un horaire qui vous permet d’étudier selon vos possibilités tout en

tenant compte de vos loisirs et de vos activités.

• Astreignez-vous à une étude régulière et assidue.

0.22


© SOFAD

Pour vous aider à réussir ce cours de mathématiques, voici quelques règles à

suivre concernant la théorie, les exemples, les exercices et les devoirs.

La théorie

Pour assimiler correctement les notions théoriques, portez attention aux points

suivants.

1° Lisez attentivement le texte et soulignez les points importants.

2° Mémorisez les définitions, les formules et les marches à suivre pour résoudre

un problème donné; cela facilitera la compréhension du texte.

3° Notez, à la fin du devoir, les points que vous ne comprenez pas. Votre tutrice

ou votre tuteur vous donnera alors des explications pertinentes.

4° Essayez de poursuivre votre étude même si vous butez sur un obstacle

particulier. Cependant, si une difficulté importante vous empêche de

poursuivre la démarche d’apprentissage, n’attendez pas d’envoyer votre

devoir pour demander des explications : adressez-vous à la tutrice ou au

tuteur selon les modalités prévues dans sa lettre.

Les exemples

Les exemples sont des applications de la théorie. Ils illustrent le cheminement

à suivre pour résoudre les exercices. Aussi, étudiez attentivement les solutions

proposées dans les exemples et refaites-les pour vous-même avant

d’entreprendre les exercices.

0.23


© SOFAD

Les exercices

Les exercices d’un sous-module respectent généralement le modèle des exemples

donnés. Voici quelques suggestions pour réussir ces exercices.

1° Rédigez les solutions en prenant pour modèle les exemples présentés dans le

texte. Il est important de ne pas consulter le corrigé qui se trouve à la fin du

texte sur des feuilles de couleur avant d’avoir terminé les exercices.

2° Évaluez vos solutions à l’aide du corrigé uniquement après avoir fait tous les

exercices. Attention! Vérifiez attentivement les étapes de votre solution,

même si votre réponse est exacte.

3° Si vous relevez une erreur dans votre réponse ou votre solution, revoyez les

notions que vous n’avez pas comprises ainsi que les exemples qui s’y

rattachent. Ensuite, recommencez l’exercice.

4° Assurez-vous d’avoir réussi tous les exercices d’un sous-module avant de

passer au suivant.

Les devoirs

Le cours MAT-4110-1 comprend trois devoirs. La première page de chaque

devoir indique à quels sous-modules se rapportent les questions posées. Les

devoirs servent à évaluer votre degré de compréhension de la matière étudiée.

Ils sont également un moyen de communication avec votre tutrice ou votre

tuteur.

Quand vous aurez assimilé la matière et réussi les exercices qui s’y ratta-

chent, rédigez sans délai le devoir correspondant.

1° Faites d’abord un brouillon. Apportez à vos solutions toutes les modifications

nécessaires avant de mettre au propre la réponse finale.

0.24


© SOFAD

2° Transcrivez au crayon à mine, de préférence, les réponses ou les solutions

dans les espaces en blanc du document à retourner.

3° Accompagnez chaque réponse d’une solution claire et détaillée s’il s’agit d’une

question qui exige un développement.

4° Ne postez que un devoir à la fois; nous vous le retournerons après correction.

Écrivez, dans la section « Questions de l’élève », les questions que vous désirez

poser à la tutrice ou au tuteur. Cette dernière ou ce dernier vous prodiguera des

conseils. Elle ou il pourra vous guider dans vos études et vous orienter, si

nécessaire.

Dans ce cours

Le devoir 1 porte sur les sous-modules 1 à 4.

Le devoir 2 porte sur le sous-module 5.

Le devoir 3 porte sur les sous-modules 1 à 5.

SANCTION

Lorsque vous aurez complété tous les travaux et si vous avez maintenu une

moyenne d’au moins 60 %, vous serez autorisé à passer l’examen.

1.1


© SOFAD

SOUS-MODULE 1

SIMPLIFICATION DE FRACTIONSALGÉBRIQUES

1.1 ACTIVITÉ D’ACQUISITION

Des fractions particulières

Vous êtes depuis longtemps un as en matière de simplification de fractions!

Vous pouvez, en un clin d’œil, réduire à leur plus simple expression chacune

des fractions qui suivent.

Complétez les énoncés ci-dessous pour vous en persuader.

? La plus simple expression de 48 est ............. .

? Si nous simplifions la fraction 570 , nous obtenons .............. .

? En réduisant 13143 à sa plus simple expression, nous trouvons .............. .

? Après simplification, la fraction 18171 devient ............... .

DÉPART

1.2


© SOFAD

Vous avez probablement obtenu les résultats suivants : 12 , 1

14 , 111 et 2

19 .

Pour y arriver, il vous a fallu trouver, pour

chacune de ces fractions, le plus grand

facteur commun au numérateur et au

dénominateur.

• Nous nommons « facteur commun d'une fraction » un

nombre qui peut en diviser les deux termes.

• Dans toute fraction de la forme ab

, le terme a est appelé

« numérateur » et le terme b « dénominateur ».

Sauriez-vous simplifier des fractions algébriques telles que :

4x8x2 , 42ab2c3

3a2b, 2m + 8

m2 + 6m + 8?

La simplification de fractions algébriques vous sera très utile si vous poursuivez

des études en mathématiques ou en sciences. Cette nouvelle habileté vous

permettra, entre autres, de résoudre divers problèmes de trigonométrie, de

géométrie, de calcul différentiel et intégral.

Pour atteindre l’objectif de ce sous-module, vous devrez être capable de

réduire des fractions algébriques à leur plus simple expression.

13143 = 1

1118171 = 1

19

48 = 1

25

70 = 114

1.3


© SOFAD

Les fractions algébriques sont des fractions dont le

numérateur et le dénominateur sont des monômes ou des

polynômes.

• Un monôme est une expression algébrique formée d’un

seul terme dans lequel n’intervient que la multiplication de

lettres, de chiffres ou de lettres et de chiffres.

Ex. : 2m, 42ab2c3 , 8, m2.

• Un polynôme est une expression algébrique composée d’un

terme ou d’un groupe de termes reliés entre eux par des signes

d’addition ou de soustraction.

Ex. : 5x2, 2m + 8, 36a2b3c2 + 6abc + bc2.

Pour réduire une fraction algébrique à sa plus simple expression, il suffit

d’appliquer la méthode que nous utilisons avec une fraction numérique, c’est-à-

dire simplifier le plus grand facteur commun au numérateur et au dénomi-

nateur.

Exemples 1

Réduisons à leur plus simple expression les fractions algébriques suivantes :

4x8x2 , 42ab2c3

3a2b, 2m + 8

m2 + 6m + 8.

a) 4x8x2 = 1 × 4x

2x × 4x = 12x

• L’expression algébrique 4x est le plus grand facteur commun au

numérateur et au dénominateur.

1.4


© SOFAD

b) 42ab2c3

3a2b= 14bc3 × 3ab

a × 3ab= 14bc3

a

• 3ab est le plus grand facteur commun au numérateur et au dénomi-

nateur.

c) 2m + 8m2 + 6m + 8

= 2 × (m + 4)(m + 2) × (m + 4)

= 2m + 2

• (m + 4) est le plus grand facteur commun au numérateur et au dénomi-

nateur.

Pour simplifier des fractions algébriques, il est nécessaire de factoriser le

numérateur et le dénominateur.

Factoriser une expression algébrique signifie la décomposer en

un produit de facteurs premiers, c’est-à-dire en des facteurs

irréductibles.

Les cinq cas de factorisation sont les suivants.

• La simple mise en évidence

Ex. : m2 + 3m = m(m + 3)

• La double mise en évidence

Ex. : p2 + 2pq + pr + 2qr = (p + 2q)(p + r)

• La factorisation d’un trinôme de la forme x2 + bx + c ou de la

forme x2 + bxy + cy2

Ex. : a2 + 7ab + 12b2 = (a + 3b)(a + 4b)

• La factorisation d’un trinôme de la forme ax2 + bx + c ou de

la forme ax2 + bxy + cy2

Ex. : 2z2 – 9z – 5 = (2z + 1)(z – 5)

• La différence entre deux carrés

Ex. : 4x2 – 9y2 = (2x + 3y)(2x – 3y)

1.5


© SOFAD

Pour réduire une fraction algébrique à sa plus simple

expression, nous devons :

1° factoriser le numérateur et le dénominateur, s’il y a lieu;

2° simplifier la fraction en éliminant les facteurs communs

au numérateur et au dénominateur.

Étudions attentivement l’exemple 2 avant de passer aux exercices.

Exemples 2

a) Simplifions la fraction algébrique p2 – 42p2 + 7p + 6

.

1° Factorisons le numérateur et le dénominateur.

p2 – 4 = (p – 2)(p + 2) (différence de deux carrés)

2p2 + 7p + 6 = (2p + 3)(p + 2) (trinôme da la forme x2 + bx + c)

La fraction algébrique devient (p – 2)(p + 2)(2p + 3)(p + 2)

.

2° Le facteur commun au numérateur et au dénominateur est (p + 2).

Éliminons ce facteur.

(p – 2)(p + 2)(2p + 3)(p + 2)

= p – 22p + 3

Nous obtenons la plus simple expression de la fraction p2 – 42p2 + 7p + 6

.

b) Simplifions la fraction algébrique 2x – 143x – 21 + bx – 7b

.

2x – 143x – 21 + bx – 7b

= 2(x – 7)(x – 7)(3 + b)

= 23 + b

1.6


© SOFAD

N.B. – Les deux cas de décomposition en facteurs sont la simple mise en évidence

pour le numérateur et la double mise en évidence pour le dénominateur.

À vous de mettre cette méthode en application dans l’exercice suivant.

Exercice 1.1

Réduisez à sa plus simple expression chacune des fractions algébriques ci-

dessous.

1. 6g9g =

2. 15s2tu5

27stu2 =

3. a2 – a2bc3 – c3b

=

4. 2x + 6x2 + 5x + 6

=

5. v2 – v – 12v – 4 =

6. 6m – 128m – 16 =

7. ab + bc + a2 + acb2 – a2

=

8. r2 – 2r – 154r2 + 13r + 3

=

1.7


© SOFAD

N.B. – Si vous avez éprouvé de la difficulté à résoudre les problèmes précédents,

relisez attentivement les explications et les exemples du début de ce sous-

module. En particulier, exercez-vous à factoriser des polynômes, car vous

devrez le faire tout au long de ce module. N’hésitez pas à entreprendre les

activités de révision ou à consulter une personne-ressource, si nécessaire.

Remarques

La simplification de fractions algébriques n’est pas toujours évidente, et nous

devons prendre garde de ne pas tomber dans certains pièges parfois habilement

tendus.

1. La simplification ne s’effectue que sur des facteurs identiques placés au

numérateur et au dénominateur de la fraction et non sur des termes de

polynômes. Par exemple, dans la fraction algébrique a2 + b2

b2 , les termes b2

ne peuvent pas être simplifiés puisque b2 n’est pas un facteur du polynôme

a2 + b2. En effet, a2 + b2

b2≠ a2.

2. Le facteur (a + b) est identique au facteur (b + a), car l’ordre dans lequel les

termes sont placés n’a aucune importance. Ainsi, (a + b) = (b + a).

3. Les facteurs (a – b) et (b – a) ne sont pas identiques. Nous pouvons

cependant transformer l’un des facteurs. Ainsi :

(b – a) = + b – a = –1(–b + a) = – (a – b)

Nous pouvons toutefois nous assurer de l’application correcte de la loi des

signes en effectuant l’opération inverse : –(a – b) = –a + b = b – a.

1.8


© SOFAD

Loi des signes pour la multiplication et la division

+ × + = + + ÷ + = +

– × – = + et – ÷ – = +

+ × – = – + ÷ – = –

– × + = – – ÷ + = –

Exemple 3

Simplifions la fraction y2 – 1y – y2 .

1° Factorisons le numérateur et le dénominateur.

(y + 1)(y – 1)y(1 – y)

= (y + 1)(y – 1)–y(–1 + y)

= (y + 1)(y – 1)–y(y – 1)

2° Simplifions en éliminant le facteur commun.

(y + 1)(y – 1)–y(y – 1)

.

Le résultat obtenu est y + 1–y ou – (y + 1)

y ou 1 – yy .

N.B. – Certaines fractions algébriques ne peuvent pas être simplifiées. Pour

le savoir, nous devons toutefois effectuer la factorisation du numérateur et du

dénominateur.

Exemple 4

La fraction algébrique r2 + 8rs + 12s2

r2 + 7rs + 12s2 ne peut pas être simplifiée puisque,

après factorisation, nous obtenons la fraction (r + 6s)(r + 2s)(r + 4s)(r + 3s) qui ne ren-

ferme aucun facteur commun au numérateur et au dénominateur. Nous

disons alors que cette fraction est « irréductible ».

1.9


© SOFAD

Exercice 1.2

Réduisez à leur plus simple expression chacune des fractions algébriques ci-

dessous.

1. h2 – h2k2

h3 – h3k2 =

2. ab – bc–b

=

3. 4 – jj2 – 16

=

4. 4x2 – 8xy – 12y2

3y – x =

5. 21m – 3nn2 – 49m2 =

6. 2d – 62d2 – 7d + 6

=

N.B. – Avant d’effectuer les exercices de consolidation, assurez-vous d’avoir

compris chacun des exercices de cette série. Il est indispensable de maîtriser

parfaitement l’objectif de ce sous-module, car vous aurez à l’appliquer dans

chacun des sous-modules suivants.

1.10


© SOFAD

Saviez-vous que...

... parfois un peu de logique permet de garder la vie

sauve?

Supposez que vous vous trouviez dans la malencontreuse

situation suivante : vous êtes en présence d’un bourreau un peu trop zélé

qui veut absolument expérimenter sur vous son savoir-faire. Pour ajouter

du piquant à l’affaire, il s’avise de vous laisser le choix du châtiment. La

règle est celle-ci :

• si vous dites une vérité, vous serez pendu;

• si vous dites un mensonge, vous serez décapité.

Le bourreau sait cependant que vous

pouvez prononcer une phrase qui le met-

trait dans l’impossibilité de vous exécuter.

Empressez-vous de découvrir cette

phrase!

Vous voilà suffisamment outillé pour entreprendre les exercices de

consolidation!

SolutionLa phrase est: «Je serai décapité.»•S’il s’agit d’une vérité, vous devrez être pendu. Mais si vous êtes pendu, ce que vous

avez dit précédemment est un mensonge; le châtiment n’est donc pas approprié.•S’il s’agit d’un mensonge, vous serez décapité. Mais si vous êtes décapité, ce que vous

avez dit précédemment est une vérité; le châtiment n’est donc pas approprié.Dans un cas comme dans l’autre, le bourreau se trouve alors dans l’impossibilité de vousexécuter... Ouf!

1.11


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?1.2 EXERCICES DE CONSOLIDATION

Réduisez à leur plus simple expression chacune des fractions algébriques ci-

dessous.

1. 6x2 – 8xy9xy – 12y2 =

2. 15a2b3

–3a3b=

3. 2m + 2n(m + n)2 =

4. c2 – 4d2

2d + c=

5. (2 j + 6)2

4 j2 – 36=

6. 3p – 93p2 + 6p – 9

=

1.12


© SOFAD

7. 2v – 32v2 + v – 6

=

8. z + 2z2 + 4z + 4

=

9. g – 55 – g =

10. 2xy + 3xz– x =

11. 8k – hh2 – 64k2 =

12. 2q2 + 17qr + 21r2

3q2 + 26qr + 35r2 =

13. 5u – u2

3u3 – 9u2 – 30u=

14. – s2 + 7st – 12t2

s2 – 5st + 6t2=

1.13


© SOFAD

15. 4t2 – 36t + 80(4t – t2)(5 – t)

=

16. 2y2 – 4yz + 2z2

10x2y – 10yz2 =

1.14


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1.3 ACTIVITÉ DE SYNTHÈSE

1. Qu’est-ce qu’une fraction algébrique?

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

2. Donnez les deux étapes de l’algorithme qui permet de réduire une fraction

algébrique à sa plus simple expression.

1° .....................................................................................................................

2° .....................................................................................................................

.....................................................................................................................

3. En simplifiant chacune des fractions algébriques ci-dessous, une erreur a été

volontairement commise. Dans chacun des cas, expliquez pourquoi la

simplification est erronée.

a) 2x – 3y2y – 3x = 2x – 3y

2y – 3x = 1

.......................................................................................................................

.......................................................................................................................

.......................................................................................................................

1.15


© SOFAD

b) n + 1n + 2 = n + 1

n + 2 = 12

.......................................................................................................................

.......................................................................................................................

.......................................................................................................................

c) a – 3b – 3

= a + 3b + 3

= ab

.......................................................................................................................

.......................................................................................................................

.......................................................................................................................

d) 5t – 7u7u – 5t = 5t – 7u

7u – 5t = 1

.......................................................................................................................

.......................................................................................................................

.......................................................................................................................

1.16


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1.4 LA PAGE DES MATHOPHILES

Du mordant pour les mordus!

Voici cinq exercices qui vous donneront du fil à retordre.

Réduisez à leur plus simple expression chacune des fractions

algébriques suivantes.

1. (3x2 + 7xy + 2y2)(2x2 + 15xy + 28y2)(2x2 + 11xy + 14y2)(3x2 + 13xy + 4y2)

=

1.17


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2. 24a3c2d2(2d2 – d – 3)

(18a2d2 – 12a2d3)(1 – d2)=

3. 4 – (m + n)2

8(2 + m + n)(2 – m – n)=

1.18


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4. (r – s)2 – t2

r2 – (s – t)2 =

5. h2 + hkh2 – k2 – h – k

=

Documents

MAT-4110-1 Les quatre opérations fractions algébriques · de visualiser le chemin parcouru ou qui vous reste à parcourir selon l’objectif ... MAT-4108-1 Fonction quadratique