- ( ) 150509 MAT II Gıda Final Soru ve Cevapları

1

MAT-II (Gıda) Final Soruları 15 Mayıs 2009

Soru 1. 2 3x

dxx

+∫ integralini hesaplayınız.

Soru 2. 3sin

dx

x∫ integralini hesaplayınız.

Soru 3. tanx Arc x dx⋅ ⋅∫ integralini hesaplayınız.

Soru 4. 2

2

4 6 11

( 4)( 1)

x xdx

x x

+ ++ +∫ integralini hesaplayınız.

Soru 5. 4

2 2

09cos 4sin

dx

x x

π

+∫ integralini hesaplayınız.

Soru 6. Parametrik denklemi ( sin )x a t t= − ve (1 cos )y a t= − olan çevrim (cycloid)

eğrisinin [0,2 ]aπ aralığındaki çizgisi ile ekseniOx − tarafından sınırlanan

düzlemsel bölgenin alanını hesaplayınız.

Soru 7. 1

( ) (3 )3

y f x x x= = − eğrisinin ekseniOx − ile kesişme noktaları arasındaki

parçasının uzunluğunu bulunuz.

Soru 8. ( ) siny f x x= = eğrisi ile eksenininOx − , [ ]0,π aralığında sınırladıkları düzlemsel

bölgenin ekseniOx − etrafında döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmini

bulunuz.

. . . . . . . . . . …. . . .. . . .. . . . . . . …. . . . . . .. . .. . . . . . .. .. . . …. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

NOT: * Herhangi YEDİ SORUyu çözünüz.

* Cevap kağıdınızı 1’den 8’e kadar sıra ile numaralandırınız. Her bir soruyu ait

olduğu sayfaya çözünüz. Sayfayı taşan sorularınız olursa, çözmediğiniz soruya ait sayfayı kullanabilirsiniz.

* Çözmediğiniz soru için, cevap kağıdının ilk sayfasındaki çizelgede o soru numarasının altındaki not kutucuğuna X işareti koyunuz.

* Sorular eşit puanlıdır. Süre 70 dakikadır.

- ( ) 150509 MAT II Gıda Final Soru ve Cevapları

2

MAT-II (Gıda) Final 15 Mayıs 2009 Sorularının Cevapları

Cevap 1.

2 2 22 2 2

2 2 2

3 3 3 3

3 32 2

x x xdx t tdt t dtx t veya x tdx

x x t txdx tdt xdx tdt

+ + ⋅ ⋅ + = + == = = = − −= ⇒ = ∫ ∫ ∫ ∫

=2

2 2 2 2

( 3) 3 3 3 3(1 ) 3

3 3 ( 3) 2 3 3

t dt tdt dt dt t C

t t t t

− + −= + = + ⋅ = + ⋅ +− − − +∫ ∫ ∫ ∫ ln

22

2

3 3 332 3 3 3

xx C

x

+ += + + ++ −

ln bulunur

Cevap 2.

3sin

dx

x∫ integralinin hesabında tan2

xt= dönüşümü uygulanabilir. Bu durumda

2

2sin

1

tx

t=

+ ve

2

2

1

dtdx

t=

+ olup bunları integralde yerine koymakla

2 3 2 2 2 42 2

3 33 3 2 3 3

2 32

22

3 2 2

2 2

(1 ) 2 (1 ) 1 21 1

8sin 8 1 4 42

(1 )1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

4 2 4 4 2 2 4 2 8 2 8

dt dt

dx t dt t t tt t dt dttx t t t tt

tt

dt dt ttdt t C t t C

t t t t

+ + + ++ += = = = =+

++

−= + + = ⋅ + + ⋅ + = − ⋅ + + +

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ln ln

2

2

1 1 1 1tan tan

8 2 2 8 2tan

2

x xC

x= − ⋅ + + +ln bulunur

- ( ) 150509 MAT II Gıda Final Soru ve Cevapları

3

Cevap 3.

2 2 2 22

2 22

tan 1 1 (1 ) 11

tan tan tan2 2 1 2 2 1

2

dxu Arc x du

x x x xxx Arc x dx Arc x dx Arc x dx

x xxdv xdx v

= ⇒ = + − +⋅ ⋅ = = − = − + + = ⇒ =

∫ ∫ ∫

2 2 2

2 2

1 1 1 1 1tan (1 ) tan tan tan

2 2 1 2 2 2 1 2 2 2

x x dx x xArc x dx Arc x dx Arc x Arc x C

x x= − − = + − = + − +

+ +∫ ∫ ∫

2 1tan

2 2

x xArc x C

+= + + bulunur.

Cevap 4.

A integralinde 2

2 2

4 6 11

( 4)( 1) 4 1

x x A Bx C

x x x x

+ + += ++ + + +

özdeşliğinden

2 24 6 11 ( 1) ( )( 4)x x A x Bx C x+ + = + + + + ⇒ 2 24 6 11 ( ) (4 ) ( 4 )x x A B x B C x A C+ + = + + + + +

4 4 4

4 6 16 4 24 17 17 den 1- 16 13

4 11 4 11

A B A BA B

B C B C B BA B

A C A C

+ = + = + = + = ⇒ + = ⇒ ⇒ = = + = + = + =

bulunur. Bunun ilk denklemde yerine konulması ile 1 4 den A=3A+ = ve yine

1B = değerinin ikinci denklemde yerine konulmasıyla 4 1 6 dan 2 bulunur.C C⋅ + = =

Böylece 2

2 2

4 6 11 3 1 2

( 4)( 1) 4 1

x x x

x x x x

+ + += ++ + + +

dir. O halde

2

2 2 2 2

4 6 11 3 2 1 23 4 2

( 4)( 1) 4 1 2 1 1

x x x xdx dxdx dx dx n x

x x x x x x

+ + += + = + + ++ + + + + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫l

= 213 4 1 2 tan

2x x Arc x C+ + + + +ln ln 3 2( 4) 1 2 tanx x Arc x C= + ⋅ + + +ln bulunur.

- ( ) 150509 MAT II Gıda Final Soru ve Cevapları

4

Cevap 5.

4 4 4 4

22 2 2 2 2 220 0 0 0

2

1

sin9cos 4sin (9 4 tan )cos 9 4 tan coscos (9 4 )

cos

dx dx dx dx

xx x x x x xx

x

π π π π

= = = ⋅ =+ + +⋅ +

∫ ∫ ∫ ∫

1 11

2

2 2 2 00 0

1 1 2 24

1 13 2

23

tan = tan = cos

9 4 3 (2 )0 0 ve 1

x

dxx t dt dx dx

Arcxt t

x t x tπ

= ⇒ = = = = ⋅ + + = ⇒ = = = ⇒∫ ∫

201 21 1 26 3 3 6 3

) tan( tan - tan ArcArc Arc ⋅⋅= = ⋅ bulunur.

Cevap 6. (Bkz.: http://en.wikipedia.org/wiki/Cycloid)

( sin )x a t t= − ve (1 cos )y a t= − parametrik denklemli çevrim eğrisinin [0, 2 ]aπ aralığındaki

yayı ile ekseniOx − arasında kalan bölgenin alanı 1 0x = ’ dan 2 2x aπ= ’ ya kadar aşağıdaki

belirli integral olup;

2

1 1

0 0

2 2

2( sin ) (1 cos )

(1- cos ) , 0 0 (1 cos ) (1 cos )

2 2 t

ax a t t dx a t

y dx y a t x t ve a t a t dt

x a olmak üzere

π π

π π

= − ⇒ = − ⋅ = = = ⇒ = = − ⋅ − = = = ⇒

∫ ∫

2 2 2

2 2 2 2 2

0 0 0

2

2

1 cos(1 cos ) (1 2cos cos ) (1 2cos )

ta t dt t t dt a t dta

π π π += − = − + == − +∫ ∫ ∫0

22 22 2 2

000 00

2

3 3 31 1 12 2 2 2 2 2

2

2 2

sin 2 2( cos 2 ) ( 2sin ) ( 2 2 2 )

sin ( )2 cos sin

ta dt a at t tt

ππ π

π

π ππ= = − + ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅ =− + +∫

64748

123

2 23 a brπ= ⋅ bulunur.

- ( ) 150509 MAT II Gıda Final Soru ve Cevapları

5

Cevap 7.

1( ) (3 )

3y f x x x= = − ise 1 2

1( ) (3 ) 0 0 ve x 3

3y f x x x x= = − = ⇒ = = noktalarında

eğri Ox − eksenini keser. (0,0) ve (3,0) noktaları arasındaki eğri yayının uzunluğu istenmektedir.

Yay uzunluğunu veren formül 21 [ ( )]

b

a

f x dx′= +∫l olduğundan,

1 13 3

2 2 2 2

1 2 3 3 3 1( ) (3 ) ]

3[

x x x xf x x x

x x x x

− + − − −′ = + − = ⋅ = =⋅

− olup, buradan

2 2 2 2

2 1 2 4 1 2 1 2 (1 ) 11 [ ( )] 1

4 4 4 4 2

x x x x x x x x xf x

x x x x x

− + + − + + + + +′+ = + = = = = bulunur

([0,3] de 1 0x+ > dır). Böylece

32

33 3 3 3

32

00 0 0 0

0

1 12 2 3

22 2

11 [ ( )]

x dx xf x dx dx x dx x

x x

+′= + = ⋅ = + ⋅ = + ⋅∫ ∫ ∫ ∫l =32

33

0 0

13x x= + ⋅

3 3 32 2 21 1 1

3 3 3( 3 0) (3 0 ) 3 3 3 3 3 3 3 2 3 .br= − + − = + ⋅ = + ⋅ ⋅ = + = bulunur.

Cevap 8.

Hacim formülü 2

b

a

V y dxπ= ∫ ve ( ) siny f x x= = olup,

2 2 2

0 00 0 0 0 0 0

2 2 2 4( ) sin (1 cos 2 ) ( cos 2 ) sin 2xV y dx f x dx x dx x dx dx x dx x

π π π π π ππ ππ π π ππ π π= = = ⋅ = − ⋅ = − ⋅ = −∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

3

0 0

2 2

2 4 2 2(sin 2 sin 2 0) ( 0) 0 brπ π π πππ= − ⋅ =− − − =123 123 bulunur.