A csoport

1. Adottak az f(x) = lnx �es a g(x) = 6 � 7x f�uggv�enyek. Hat�arozza meg az (f � g)(x) �es (g � f)(x)�osszetett f�uggv�enyeket, (f �g)(x) �ertelmez�esi tartom�any�at, g(x) inverz�et �es

p(g � f)(x) deriv�altj�at! (5�1

pont)

2. Sz�am��tsa ki az al�abbi hat�ar�ert�ekeket! (3� 1 pont)

limx!1

x2 � 2

x2 + x; lim

x!1

�1� 3

2x� 1

��x+1

; limx!0

cosx� 1

3x2:

3. �Irja fel a h(x) = 1px+2

f�uggv�eny �erint}oegyenes�enek egyenlet�et �es a f�uggv�eny elaszticit�as�at az x0 = 2

pontban! (2� 2 pont)

4. Vizsg�alja meg az a(x) = 2xx2�1 f�uggv�eny monotonit�asi �es konvexit�asi viszonyait, tov�abb�a hat�arozza

meg a lok�alis sz�els}o�ert�ekeket �es in exi�os pontokat! (4 pont)

5. Valamely �arucikk ir�anti keresletet a k(x) = e�0:001x+9 keresleti f�uggv�eny fejezi ki, ahol 0 � x � 9000az egys�eg�arat jelenti. Milyen �ar mellett lesz a b(x) = x � k(x) �arbev�etel maxim�alis �es mekkora az ehheztartoz�o kereslet? (4 pont)

B csoport

1. Adottak az f(x) =px �es a g(x) = 4x � 3 f�uggv�enyek. Hat�arozza meg az (f � g)(x) �es (g � f)(x)

�osszetett f�uggv�enyeket, (f � g)(x) �ertelmez�esi tartom�any�at, g(x) inverz�et �es e(g�f)(x) deriv�altj�at! (5 � 1pont)

2. Sz�am��tsa ki az al�abbi hat�ar�ert�ekeket! (3� 1 pont)

limx!�1

x2 + 2x

x2 � 3x+ 2; lim

x!1

�1 +

2

x+ 2

��3x�1; lim

x!0

ex � x� 1

1� cosx:

3. �Irja fel a h(x) = 3x3+2 f�uggv�eny �erint}oegyenes�enek egyenlet�et �es a f�uggv�eny elaszticit�as�at az x0 = 1

pontban! (2� 2 pont)

4. Vizsg�alja meg az a(x) = 4x2�4 f�uggv�eny monotonit�asi �es konvexit�asi viszonyait, tov�abb�a hat�arozza

meg a lok�alis sz�els}o�ert�ekeket �es in exi�os pontokat! (4 pont)

5. Egy term�ek �arbev�eteli f�uggv�enye b(x) = xp9000� 0:2x. �Allap��tsa meg, hogy milyen 0 � x � 45000

mellett lesz az �arbev�etel maxim�alis? Mekkora ez a maximum? (4 pont)

A csoport

1. Hat�arozza meg az an = 4n2�73n2�2 sorozatn�al az " = 0:002 �ert�ekhez tartoz�o k�usz�obindexet! (4 pont)

2. P = 9% �es 8 �evre vesz�unk fel �otmilli�o Ft hitelt. Mennyi az �eves t�orleszt}or�eszlet? (3 pont)

3. Sz�am��tsa ki az f(x; y) = 1 + x� 4y � x2 � 2y2 f�uggv�eny lok�alis sz�els}o�ert�ekeit! (4 pont)

4. Adja meg pontosan a P1(0; 4), P2(0; 3), P3(1; 3), P4(1; 2), P5(2; 2), P6(2; 1) pontokhoz legk�ozelebbmen}o egyenes egyenlet�et! (3 pont)

5. (3� 2 pont)R7x sinx dx =?

Rxp

1�2x2 dx =?R

43x�2 dx =?

B csoport

1. Hat�arozza meg az an = 2n2�53n2�1 sorozatn�al az " = 0:001 �ert�ekhez tartoz�o k�usz�obindexet! (4 pont)

2. P = 9% �es 8 �evig �evente betesz�unk a bankba 500000 Ft-ot. Mennyi p�enz�unk lesz v�eg�ul? (3 pont)

3. Sz�am��tsa ki az f(x; y) = x2 + 6y2 � 2x� 24y + 1 f�uggv�eny lok�alis sz�els}o�ert�ekeit! (4 pont)

4. Adja meg pontosan a P1(�1; 5), P2(�1; 4) P3(0; 4), P4(0; 3), P5(1; 3), P6(1; 2) pontokhoz legk�ozelebbmen}o egyenes egyenlet�et! (3 pont)

5. (3� 2 pont)R

23�4x dx =?

R �x cosx dx =?R

3xpx2�3 dx =?

C csoport

1. Hat�arozza meg az an = n2�43n2+1 sorozatn�al az " = 0:02 �ert�ekhez tartoz�o k�usz�obindexet! (4 pont)

2. P = 8% �es 9 �evig �evente betesz�unk a bankba 400000 Ft-ot. P�enz�unk h�anyszoros�at kapjuk vissza?(3 pont)

3. Sz�am��tsa ki az f(x; y) = x2 + 3y2 f�uggv�eny lok�alis sz�els}o�ert�ekeit, ha 2x� y = 1! (4 pont)

4. Adja meg pontosan a P1(�1; 5), P2(�1; 4) P3(0; 4), P4(0; 3), P5(1; 3), P6(1; 2) pontokhoz legk�ozelebbmen}o egyenes egyenlet�et! (3 pont)

5. (3�2 pont) R �2 sin(2x�1) dx =?Rx2 lnx dx =?

R3x�1

x2�4x�5 dx =?

D csoport

1. Hat�arozza meg az an = 3�2n23n2+1 sorozatn�al az " = 0:01 �ert�ekhez tartoz�o k�usz�obindexet! (4 pont)

2. P = 7% �es 5 �evre vesz�unk fel k�etmilli�o Ft hitelt. A felvett p�enz h�anyszoros�at �zetj�uk vissza? (3pont)

3. Sz�am��tsa ki az f(x; y) = 2x2 � 3y2 f�uggv�eny lok�alis sz�els}o�ert�ekeit, ha 3x� y = 2! (4 pont)

4. Adja meg pontosan a P1(0; 4), P2(0; 3), P3(1; 3), P4(1; 2), P5(2; 2), P6(2; 1) pontokhoz legk�ozelebbmen}o egyenes egyenlet�et! (3 pont)

5. (3� 2 pont)R3e2�x dx =?

Rx3 lnx dx =?

R3x�1

x2�4x+4 dx =?

I. p�otdolgozat

1. Adottak az f(x) = ex+2 �es a g(x) = x � 2 f�uggv�enyek. Hat�arozza meg az (f � f)(x) �es (g � g)(x)�osszetett f�uggv�enyeket �es (g2 � f)(x) deriv�altj�at! (3� 1 pont)

2. Sz�am��tsa ki az al�abbi hat�ar�ert�ekeket! (3� 1:5 pont)

limx!�2

x2 + 3x+ 2

x2 � 4; lim

x!1

�1 +

x

3

�2; lim

x!1

�px2 + x�

px2 + 4x

�:

3. Mekkora sz�ogben metszik egym�ast a c(x) = ex �es a d(x) = e�2x f�uggv�eny gra�konjai? (4 pont)

4. Vizsg�alja meg az a(x) = 3x5 � 5x4 + 4 f�uggv�eny monotonit�asi �es konvexit�asi viszonyait, tov�abb�ahat�arozza meg a lok�alis sz�els}o�ert�ekeket �es in exi�os pontokat! (4 pont)

5. D�obr�ogi sz}ol}ot termel a birtok�an, �es azt tapasztalja, hogy a q(x) = 5 + 20498 x + 1

5x5

2 �osszef�ugg�esadja meg, hogy x kg tr�agya felhaszn�al�asa ut�an h�any m�azsa sz}ol}o terem hekt�aronk�ent. Mennyi tr�agy�athaszn�aljon fel ahhoz, hogy a sz�uret ut�an a bev�etelb}ol a legt�obb p�enzt tudja �zetni bizonyos LudasM�aty�asnak a v�as�arban? Azt m�ar tudja, hogy a sz}ol}o �ara k�et aranytall�er lesz, egy kg tr�agya pedig 1

10aranytall�erba ker�ul. (4.5 pont)

II. p�otdolgozat

1. Vizsg�alja meg az an = 2n2+1n2�9 sorozatot monotonit�as �es korl�atoss�ag szempontj�ab�ol! Konvergens-e

az an sorozat, �es ha igen, akkor mennyi a hat�ar�ert�eke? (2+1+1 pont)

2. P = 7%-os kamatl�ab �es folytonos kamatoz�as mellett 5 �evre betesz�unk a bankba k�etmilli�o Ft-ot.Mennyi lesz a futamid}o v�eg�en felvehet}o p�enz, �es ennek h�anyadr�esze a betett �osszeg? (3 pont)

3. Sz�am��tsa ki az f(x; y) = x2 � 2x + y2 � 4y f�uggv�eny abszol�ut sz�els}o�ert�ekeit az x = 0, y = 0 �esy = 4� x egyenesek �altal k�ozrefogott tartom�anyon! (4 pont)

4. Mekkora a g(x; y) = x+yx�y f�uggv�eny hib�aja, ha x = 4� 0:1, y = 5� 0:3? (3 pont)

5. (3�2 pont)Rxpx� 2 dx =?

R(x2�1) shx dx =?

Rx�1

x2+2x+2 dx =?