Embed Size (px)
DESCRIPTION
Matematika Dasar
Citation preview
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
0 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
1 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
PENGANTAR LOGIKA
MATEMATIKA(PLM)
Drs. I. M. Tirta, Dip.Sc, M.Sc., [email protected]
November 2, 2010
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
2 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
3 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
DAFTAR ISI
1 PERNYATAAN 17
1.1 Pengertian Umum Logika . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.1.1 Notasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.1.2 Definisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.2 Pernyataan Tunggal dan Negasinya . . . . . . . . . . . . 28
1.2.1 Pengertian Pernyataan . . . . . . . . . . . . . . . 28
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
4 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
1.2.2 Pernyataan Tunggal . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.2.3 Negasi Pernyataan Tunggal . . . . . . . . . . . . 33
1.3 Pernyataan majemuk dan negasinya . . . . . . . . . . . . 36
1.3.1 Perakit Konjungsi (dan) . . . . . . . . . . . . . . 36
1.3.2 Perakit Disjungsi (atau) . . . . . . . . . . . . . . 39
1.4 Tautologi dan Kontradiksi . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.5 Aljabar pernyataan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.6 Bentuk Rangkap dan Prinsip Kerangkapan . . . . . . . . 49
1.7 Perakit-perakit Lain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
1.7.1 Perakit Disjungsi eksklusif . . . . . . . . . . . . . 54
1.7.2 Fungsi / Operator Stroke dan Dagger . . . . . . . 56
1.8 Bacaan Lebih Lanjut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1.9 Soal-soal Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2 PERNYATAAN BERSYARAT/KONDISIONAL 67
2.1 Implikasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.2 Implikasi dan variasinya . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.3 Biimplikasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.4 Implikasi Logis dan Ekuivalensi Logis . . . . . . . . . . . 83
2.5 Negasi Pernyataan Bersyarat . . . . . . . . . . . . . . . . 87
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
5 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
2.6 Hirarki perakit dan Notasi Lukasiewicz . . . . . . . . . . 90
2.6.1 Hirarki perakit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
2.6.2 Notasi Lukasiewicz . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
2.7 Bacaan Lebih Lanjut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2.8 Soal-soal Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3 KARAKTERISTIK, BENTUK NORMAL DAN APLIKASINYA 103
3.1 Karakteristik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.2 Bentuk Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.2.1 Bentuk Normal Disjungtif (DNF) . . . . . . . . . 110
3.2.2 Bentuk Normal Konjugtif (CNF) . . . . . . . . . 113
3.3 Komplemen Bentuk Normal . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.4 Translasi Bentuk Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.5 Aplikasi Bentuk Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.6 Aplikasi Logika dalam Aljabar Himpunan dan Listrik . . . 125
3.7 Aljabar Jaringan Listrik atau Saklar . . . . . . . . . . . . 128
3.8 Bacaan Lebih Lanjut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
3.9 Soal-soal Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
6 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
4 KUANTOR 143
4.1 Tetapan dan Peubah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.2 Kalimat matematika, kalimat terbuka, kalimat tertutup . . 150
4.3 Kuantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.3.1 Kuantor Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.3.2 Kuantor Eksistensial . . . . . . . . . . . . . . . . 156
4.4 Negasi Kuantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.5 Notasi lain untuk ∀ dan ∃ . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
4.6 Kuantor, Disjungsi, Konjungsi dan Implikasi . . . . . . . . 164
4.7 Contoh Penyanggah/ Contoh Kontra . . . . . . . . . . . 167
4.8 Kuantor dan kalimat terbuka lebih dari satu peubah . . . 169
4.9 Beberapa Bentuk Khusus . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
4.10 Bacaan Lebih Lanjut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
4.11 Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
5 PENALARAN LOGIS 187
5.1 Argumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
5.2 Bentuk-Bentuk Argumen Yang Valid . . . . . . . . . . . 195
5.3 Pembuktian Tidak Langsung . . . . . . . . . . . . . . . . 204
5.3.1 Pembuktian dengan Negasi . . . . . . . . . . . . 204
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
7 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
5.3.2 Pembuktian dengan Kontradiksi . . . . . . . . . . 206
5.3.3 Pembuktian dengan Kontra Positif . . . . . . . . 207
5.4 Induksi Matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
5.5 Argumen berkuantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
5.5.1 Translasi kuantor universal dan eksistensial . . . . 212
5.5.2 Spesifikasi Universal, Spesifikasi Eksistensial . . . 214
5.5.3 Generalisasi Universal dan Generalisasi Eksistensial 215
5.6 Sesat Pikir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
5.7 Sistem Deduktif dalam Matematika . . . . . . . . . . . . 220
5.8 Bacaan Lebih Lanjut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
5.9 Soal-soal Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
6 HIMPUNAN 229
6.1 Definisi dan Jenis Himpunan . . . . . . . . . . . . . . . . 233
6.2 Relasi Himpunan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
6.3 Operasi Himpunan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
6.3.1 Operasi Dasar Himpunan . . . . . . . . . . . . . 246
6.3.2 Sifat-sifat Operasi Himpunan . . . . . . . . . . . 252
6.3.3 Operasi Jumlah dan Selisih Himpunan . . . . . . . 256
6.4 Sifat-sifat Lanjut Relasi Himpunan bagian . . . . . . . . 260
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
8 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
6.5 Penggunaan Himpunan dalam Silogisme . . . . . . . . . . 268
6.6 Bacaan Lebih Lanjut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
6.7 Soal-soal Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
7 HIMPUNAN BILANGAN 285
7.1 Himpunan Bilangan Asli . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
7.2 Himpuan Bilangan Cacah . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
7.3 Himpuan Bilangan Bulat . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
7.4 Himpuan Bilangan Rasional . . . . . . . . . . . . . . . . 298
7.5 Himpunan Bilangan Irasional dan Himpunan Bilangan Riil 300
7.6 Perkembangan perhitungan π . . . . . . . . . . . . . . . 304
7.7 Bacaan Lebih Lanjut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
7.8 Soal-soal Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
8 PERKALIAN KARTESIUS, RELASI DAN FUNGSI 311
8.1 Perkalian Kartesius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
8.2 Relasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
8.3 Sifat-sifat Relasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
8.4 Penyajian Relasi dengan Matriks . . . . . . . . . . . . . . 328
8.5 Fungsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
9 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
8.6 Jenis-Jenis Fungsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
8.7 Bentuk, Skala dan Lokasi Fungsi . . . . . . . . . . . . . 340
8.8 Bacaan Lebih Lanjut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
8.9 Soal-soal Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
9 PENGANTAR LOGIKA DAN HIMPUNAN SAMAR 347
9.1 Konsep Dasar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
9.2 Logika bernilai tiga atau lebih . . . . . . . . . . . . . . . 354
9.3 Himpunan Samar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
9.3.1 Himpunan dengan tiga atau lebih kategori keang-
gotaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
9.3.2 Memodelkan tingkat keanggotaan kontinu dari him-
punan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
9.4 Bacaan Lebih Lanjut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
GLOSARIUM 373
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
10 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
11 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
DAFTAR GAMBAR
1.1 Diagram Pembagian kalimat . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1 Diagram Venn mengilustrasikan A ∩B . . . . . . . . . 127
6.1 Diagram Venn mengilustrasikan himpunan dan him-
punanbagiannya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
6.2 Diagram Venn mengilustrasikan relasi himpunan . . . . 243
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
12 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
6.3 Diagram Venn mengilustrasikan Ac . . . . . . . . . . . 247
6.4 Diagram Venn mengilustrasikan A ∩B . . . . . . . . . 249
6.5 Diagram Venn mengilustrasikan A ∪B . . . . . . . . . 251
6.6 Diagram Venn mengilustrasikan A/B dan A+B . . . 258
6.7 Diagram pohon mengilustrasikan subset himpunan . . 266
6.8 Diagram Venn untuk A ⊂ B atau A ∩Bc = ∅ . . . . . . . 270
6.9 Diagram Venn A|| atau A ∩B = ∅ . . . . . . . . . . . . . 271
6.10 Diagram Venn untuk A ∩B 6= ∅ . . . . . . . . . . . . . . 272
6.11 Diagram Venn untuk A ∩Bc 6= ∅ . . . . . . . . . . . . . . 273
6.12 Diagram Venn untuk A||B dan B||C1;B||C2, namun A||C1, A GC1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
6.13 Diagram Venn untuk A||B, C ⊂ B, maka A||C . . . . . 276
6.14 Diagram Venn untuk A G B, B G C1 dan B G C2. Namun,
A 6G C1 dan A G C2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
6.15 Diagram Venn untuk A G B dan B ⊆ C, maka A G C . . 277
7.1 Diagram Venn mengilustrasikan < . . . . . . . . . . . . 300
7.2 Diagram mengilustrasikan < . . . . . . . . . . . . . . . 304
8.1 Diagram kartesius mengilustrasikan A×B . . . . . . . 316
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
13 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
8.2 Diagram panah mengilustrasikan relasi A ke B . . . . 319
8.3 Diagram panah mengilustrasikan relasi A ke A . . . . 326
8.4 Contoh Grafik Relasi dari suatu himpunan ke dirinya
sendiri dengan Software R . . . . . . . . . . . . . . . . 330
8.5 Contoh Grafik Relasi dari {a, b, c, d, e} ke {u, v, w, x, y, z}dengan Software R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
8.6 Diagram panah mengilustrasikan fungsi . . . . . . . . . 334
8.7 Fungsi kuadrat yang mempunyai persamaan berbeda
walau sebenarnya bentuk dan skalanya sama, tetapi
lokasi berbeda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
9.1 Grafik keanggotaan M1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
9.2 Grafik keanggotaan M2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
9.3 Grafik fungsi keanggotaan K . . . . . . . . . . . . . . . 368
9.4 Grafik fungsi keanggotaan J . . . . . . . . . . . . . . . 369
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
14 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
15 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
DAFTAR TABEL
1.1 Tabel Kebenaran Stroke dan Dagger . . . . . . . . . . 59
2.1 Notasi Lukasiewicz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.1 Tabel kebenaran konjungsi, disjungsi, implikasi dan bi-
implikasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.2 Aljabar Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
16 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
7.1 Perhitungan π secara analitik . . . . . . . . . . . . . . 306
7.2 Perhitungan π dengan mesin . . . . . . . . . . . . . . . 307
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
17 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
BAB 1
PERNYATAAN
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
18 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tujuan Umum
Setelah menyelesaikan materi pada bab ini diharapkan pembaca mema-
hami pengertian umum logika, pengertian pernyataan tunggal maupun
majemuk dan negasinya serta mampu menilai kalimat.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
19 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tujuan Khusus
Setelah menyelesaikan materi pada bab ini diharapkan pembaca dapat:
1. menyebutkan definisi logika;
2. menyebutkan pengertian pernyataan tunggal;
3. menentukan negasi sebuah pernyataan tunggal;
4. membentuk kalimat majemuk dengan perakit “dan”, “atau”;
5. menentukan negasi kalimat mejemuk dengan perakit “dan”, “atau”;
6. menerapkan prinsip ganda pada kalimat majemuk;
7. menentukan apakah suatu pernyataan merupakan kontradiksi
atau tautologi;
8. membuktikan ekuivalensi bentuk logika;
9. menyebutkan definisi perakit disjungsi eksklusif, dagger dan stroke.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
20 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Materi
1. Pengertian Umum Logika
2. Pengertian Pernyataan
3. Pernyataan Tunggal dan Negasinya
4. Pernyataan majemuk dan negasinya
5. Tautologi dan Kontradiksi
6. Aljabar pernyataan
7. Bentuk Ganda dan Prinsip Kegandaan
8. Perakit-perakit Lain
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
21 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
1.1. Pengertian Umum Logika
Definisi mengenai logika diberikan oleh para ahli dengan rumusan yang
agak berbeda satu sama lain, tetapi artinya tidak jauh berbeda mis-
alnya menurut Soekadijo [18] “Logika adalah suatu studi yang sisti-
matik tentang struktur proposisi dan syarat-syarat umum mengenai
penalaran yang sahih dengan menggunakan metode yang mengesamp-
ingkan isi atau bahan proposisi dan hanya membahas bentuk logis-
nya saja”. Sejalan dengan pendapat di atas, menurut kamus matem-
atika oleh Borowsky & Borwein [1], dijelaskan bahwa logika adalah
prinsip dan metode khas yang dipergunakan dalam argumentasi atau
penalaran yang tidak memperhatikan isi atau konteks dari bentuk
penalaran. Logika yang mengesampingkan isi dari pernyataan dan
hanya melihat bentuknya saja (terutama pada saat mengadakan pe-
nalaran), lebih dikenal dengan istilah logika formal, logika simbolik,
logika modern atau logika matematika. Ciri lain dari logika matem-
atika adalah penalarannya berdasarkan penalaran deduktif, yang di-
dasarkan atas sejumlah unsur tak terdefinisi (undifine term), unsur
terdefinisi, asumsi dasar/ aksioma serta aturan-aturan tertentu yang
daripadanya dapat diturunkan teorema-teorema. Keseluruhan ini mem-
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
22 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
bangun suatu sistem yang disebut sistem matematika. Lebih lan-
jut, dalam menetapkan defininsi maupun aksioma seorang matematisi
sesungguhnya, tidak harus menghubungkannya dengan keadaan ny-
ata (real world/ concrete situation), namun demikian yang terpent-
ing, aksioma atau definisi yang dirumuskan haruslah konsisten tidak
bertentangan satu dengan yang lain. Beberapa buku teks tentang
logika simbolik atau logika matematika diantaranya adalah Copi [2],
Gemignani [6], Thomas [20], dan Polimeni & Straight [15].
1.1.1. Notasi
Notasi adalah alat bantu untuk menyatakan sesuatu. Notasi meny-
ingkat kalimat verbal yang panjang dengan suatu simbol yang ringkas.
Tanpa menggunakan simbol kita akan mengulang-ulang beberapa kali-
mat seperti : “Sembarang mahasiswa Universitas Jember” atau “Sem-
barang bilangan real” dan lain-lain. Hal ini bukannya tidak mungkin
dilakukan, tetapi tentu saja akan tidak efisien. Sementara, dengan
menggunakan simbol, istilah itu bisa dipersingkat menjadi “Si-X”
atau X.
Beberapa hal yang harus diperhatikan dalam penggunaan notasi
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
23 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
yang baik, antara lain, seperti diuraikan berikut.
1. Beberapa simbol tertentu, secara tetap sudah digunakan untuk
menunjukkan hal-hal tertentu. Misalnya, notasi π biasa digu-
nakan sebagai lambang bilangan irasional 3,1415.... Demikian
pula konsensus lainnya yang telah disepakati oleh para ahli harus
tetap diikuti. Sebagai contoh dalam hubungannya dengan teta-
pan dan peubah, seperti pada y = ax2 + bx + c, disepakati
bahwa hurup-hurup pertama abjad dipergunakan untuk melam-
bangkan tetapan, sedangkan hurup-hurup akhir dipergunakan
sebagai lambang peubah.
2. Sekali simbol telah diperkenalkan sebagai wakil suatu objek,
maka secara konsisten, simbol tersebut sebisanya digunakan un-
tuk objek tersebut. Jika suatu objek dapat disimbolkan den-
gan lebih dari satu macam simbol dan semua simbol itu akan
digunakan tanpa suatu pengkhususan maka hal ini biasanya di-
jelaskan sejak awal. Sebaliknya jika suatu notasi terpaksa di-
gunakan untuk objek lain, selain yang telah didefinisikan, maka
definisi baru harus diberikan. Hal ini mungkin terjadi mengingat
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
24 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
terbatasnya jumlah simbol yang bisa digunakan sebagai notasi
sebaliknya sangat banyak objek yang harus dinotasikan.
1.1.2. Definisi
Supaya arti istilah-istilah yang dipergunakan jelas, perlu ditetapkan
definisi yang benar. Sekali suatu istilah didefinisikan maka untuk se-
lanjutnya istilah tersebut dipergunakan dalam arti yang sama. Jika
suatu istilah tidak jelas definisinya maka tidak mustahil dia dipergu-
nakan dalam arti yang berbeda-beda, hal ini dapat mengantarkan kita
kepada hal yang salah.
Menurut Borowsky & Borwein [1] definisi adalah pernyataan
yang tepat tentang suatu istilah (disebut definiendum) dengan meng-
gunakan istilah lain yang ekuivalen (disebut definien).
Untuk merumuskan suatu definisi ada beberapa aturan yang
perlu diikuti antara lain (Copi [2]):
1. Definisi sebaiknya menyatakan konotasi yang konvensional (yang
disepakati) dari istilah yang didefinisikan. Yang dimaksud den-
gan konotasi adalah sifat, karakteristik atau kualitas dari suatu
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
25 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
benda.
2. Definisi mestinya tidak berbelit-belit (tidak circular). Contoh
definisi yang kurang baik adalah : Manusia adalah orang. Bi-
natang adalah hewan dan sebagainya.
3. Definisi haruslah tidak terlalu luas ataupun terlalu sempit. Con-
toh definisi terlalu luas : Manusia adalah binatang berkaki dua.
Definisi yang terlalu sempit misalnya : Mamalia adalah binatang
berkaki empat.
4. Definisi tidak boleh menggunakan kata-kata yang samar-samar,
harus lebih jelas dari yang didefinisikan. Definisi tidak boleh
dinyatakan dalam bahasa metaphora(kiasan /figurative) juga tidak
boleh menggunakan kata-kata yang samar-samar (obscure). Salah
satu tujuan perumusan definisi adalah menghilangkan ketidak-
jelasan dari istilah bukan sebaliknya membuat menjadi lebih
samar/tidak jelas.
5. Definisi seharusnya tidak dinyatakan dalam kalimat negatif jika
masih dapat dinyatakandengan kalimat positif. Definisi yang
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
26 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
kurang baik misalnya, “bangku adalah mebel kayu tetapi bukan
kursi dan bukan meja”. Akan tetapi memang ada istilah yang
harus didefinisikan dalam bentuk kalimat negatif seperti“botak
adalah kepala yang tidak mempunyai rambut”.
Unsur yang didefinisikan disebut juga definiendum dan sejumlah sym-
bol yang dipergunakan untuk menjelaskan definiendum tersebut dina-
makan definien. Definisi yang menyatakan hubungan atara definien-
dum dengan definien degan tanda sama dengan (=) disebut definisi
eksplisit.
Contoh 1.1.definisi︷ ︸︸ ︷
xn︸︷︷︸definiendum
= x× x× x× · · · × x︸ ︷︷ ︸definien
Mendefinisikan suatu istilah berarti menjelaskan istilah tersebut
dengan menggunakan kata-kata (istilah) yang lain, maka ada tahapan
kita harus menerima suatu istilah tertentu tanpa suatu definisi (selan-
jutnya ini disebut istilah tak terdefinisi, undefined term atau premitive
symbol). Sebagaimana dikatakan oleh Bertrand Russel berikut :
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
27 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Since all terms that defined, are defined by means of other
terms, it is clear that human knowledge must always be
content to accept some terms as an intelligible definition,
in order to have a starting-point for its definition.
Selain definisi, dalam matematika atau logika ada beberapa isti-
lah lain yang sering dipergunakan diantaranya adalah:aksioma,teorema
atau dalil, asumsi.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
28 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
1.2. Pernyataan Tunggal dan Negasinya
1.2.1. Pengertian Pernyataan
Pernyataan disebut juga : kalimat deklaratif, stetemen, proposisi, atau
verbal assertion. Beberapa ahli ada yang membedakan istilah perny-
ataan dan proposisi, ada pula yang menyamakan saja. Dalam buku
ini istilah-istilah tersebut dipergunakan dengan arti yang sama dan
dipakai secara acak. Sebelum kita membicarakan lebih lanjut tentang
kalimat deklaratif ini, ada baiknya kita lihat pembagian kalimat yang
umum dilakukan dalam matematika.
Definisi 1.1. Pernyataan adalah suatu kalimat yang bernilai benar
atau salah tetapi tidak dua-duanya.
Istilah benar dan salah dapat dijadikan sebagai suatu istilah tak
terdefinisikan karena bisa kita anggap jelas pernyataan yang bernilai
benar dan pernyataan yang bernilai salah. Dengan demikian, tidak
perlu lagi didefinisikan apa yang dimaksud pernyataan bernilai benar
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
29 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
� � � � � � �
� � � � � � �� � � � � � �
� � � � � � � � � �� � � � � � �
� � � � � � � � � � � � � � � �
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � �
Gambar 1.1: Diagram pembagian kalimat dilihat dari nilai logikanya
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
30 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
atau pernyataan bernilai salah.
Contoh 1.2. Contoh pernyataan diantaranya:
1. Lima(5) adalah bilangan prima
2. Jakarta adalah ibukota negara Republik Indonesia
3. Dua (2) adalah bilangan prima yang genap
4. Saat ini di ruang 1 Matematika MIPA sedang ada kuliah.
Benar tidaknya kalimat pertama sampai ketiga dapat segera di-
tentukan, sedangkan pada kalimat terakhir untuk menentukan be-
nar atau tidaknya perlu diadakan observasi. Pernyataan yang lang-
sung dapat dinyatakan benar atau tidaknya disebut pernyataan abso-
lut/mutlak. Sedangkan pernyataan yang tidak segera diketahui kebe-
naran atau tidaknya dinamakan pernyataan empirik. Untuk memu-
dahkan pembahasan, kita lebih banyak membicarakan pernyataan yang
absolut.
Dari segi matematika atau logika, kalimat-kalimat seperti: “lima
(5) mencintai 3”; “ayah habis dibagi anak”; tidak dikatakan sebagai
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
31 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
pernyataan salah, tetapi disebut kalimat yang tidak bermakna (tidak
benar, tidak salah). Hal ini akan menjadi lebih jelas setelah kita mem-
bicarakan nilai kebenaran suatu pernyataan.
1.2.2. Pernyataan Tunggal
Secara tata bahasa, sebuah kalimat atau pernyataan harus memiliki
pokok kalimat atau pokok persoalan dan kata kerja yang menggam-
barkan apa yang dilakukan atau terjadi pada pokok persoalan tadi.
Pernyataan yang hanya memuat satu pokok persoalan disebut perny-
ataan tunggal.
Definisi 1.2. Pernyataan tunggal adalah pernyataan yang hanya memuat
satu pokok persoalan atau satu ide.
Pernyataan tunggal pada umumnya dinyatakan dengan huruf-
huruf kecil seperti p, q, dan r.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
32 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Contoh 1.3. Berikut ini adalah beberapa contoh kalimat tunggalp : Lima (5) adalah bilangan prima
q : Sembilan (9) adalah bilangan sempurna
r : Sepuluh (10) adalah bilangan berlebih/abundan abundan
Kebenaran atau ketidakbenaran suatu pernyataan dinamakan
nilai kebenaran atau nilai logik (truth value) dari pernyataan terse-
but dan diotasikan dengan τ(p). Sebagai simbol dari benar biasa di
pakai B (benar), R (right), T (true) atau 1 sedangkan simbol salah
digunakan S (salah), W (wrong), F (false) atau 0. Penggunaan no-
tasi nilai kebenaran ini harus berpasangan (B-S, R-W,T-F, l-0). Jadi,
pada contoh di atas
(i) nilai kebenaran p adalah benar,τ(p) = 1;
(ii) nilai kebenaran q adalah salah, τ(q) = 0 dan
(iii) nilai kebenaran r adalah salah, τ(r) = 0.
Nilai kebenaran pernyataan dapat pula disusun dalam suatu tabel
yang disebut tabel kebenaran (truth table).
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
33 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
p ¬p1 0
0 1
1.2.3. Negasi Pernyataan Tunggal
Definisi 1.3. Negasi dari pernyataan p adalah suatu pernyataan
yang bernilai salah jika p benar dan bernilai benar jika p salah.
τ(¬p) = 1 jika τ(p) = 0 dan τ(¬p) = 0 jika τ(p) = 1. (1.1)
Negasi dari p dinotasikan dengan p′ atau ∼ p atau ¬p. (dibaca
“negasi p” ,“tidak p ” , “ bukan p” atau “ingkaran p”).
Jika pernyataan p dan negasinya di buat tabel kebenarannya
maka kita peroleh tabel kebenaran dari ¬p seperti tabel di sebelah
kiri.
Contoh 1.4. Buatlah negasi dari kalimat/ pernyataan-pernyataan berikut
:
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
34 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
p : Lima (5) adalah bilangan prima;
q : sepuluh (10) adalah bilangan abundan.
Jawab :
Untuk mencari negasi yang tepat dari pernyataan-pernyataan
tersebut pertama kita buat pernyataan berikut :¬p : tidak benar 5 adalah bilangan prima;
: lima (5) adalah bukan bilangan prima;
¬q : tidak benar 10 adalah bilangan abundan/ berlebih;
: sepuluh (10) adalah bukan bilangan abundan/berlebih.Babarapa hal yang harus diperhatikan terkait definisi dan negasi.
1. Kata sifat tidak bisa dijadikan sebagai unsur tak terdefinisi (un-
defined term). Jika kata-kata seperti ini dibuat untuk membuat
pernyataan, maka harus didefinisikan terlebih dahulu. Misal-
nya pada kalimat “Ani anak yang pandai”, selain butuh ob-
servasi juga harus didefinisikan terlebih dahulu tentang kriteria
“pandai”, sehingga tidak menimbulkan penafsiran berbeda1.
1Logika yang berkaitan dengan kata sifat dibahas pada bagian logika samar(fuzzy logics)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
35 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
2. Jika suatu pernyataan bernilai benar, maka negasinya bernilai
salah. Jika pernyataan dan negasinya tidak bisa dinilai benar
atau salah maka kalimat tersebut dikatakan kalimat tak bermakna
(lihat pembangian kalimat pada Gambar 1.1). Misalnya, kalimat-
kalimat berikut
p : kakak habis dibagi adik, dan
¬p : kakak tidak habis dibagi adik,
keduanya tidak bisa dinilai benar atau salah sehingga keduanya
bukan merupakan pernyataan.
3. Dilihat dari jumlah faktor-faktor sejatinya (termasuk 1) bilan-
gan dibedakan menjadi bilangan abundan, bilangan sempurna,
dan bilangan defisien berkurang
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
36 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
1.3. Pernyataan majemuk dan negasinya
Beberapa kalimat tunggal, p, q, dapat digabung dengan menggunakan
kata penghubung sehingga membentuk pernyataan baru seperti: p
dan q, p atau q, p yang q dan sebagainya. Pernyataan baru ini disebut
pernyataan majemuk. Kata-kata penghubung kedua pernyataan bi-
asa disebut konektor atau perakit. Berikut dibahas beberapa perakit
dasar beserta tabel kebenarannya.
1.3.1. Perakit Konjungsi (dan)
Salah satu cara menggabungkan pernyataan adalah dengan menggu-
nakan kata hubung dan. Dalam logika penghubung ini disebut kon-
jungsi.
Definisi 1.4. Konjungsi dari p dan q (ditulis :p ∧ q, dibaca “p dan
q”) adalah pernyataan majemuk yang bernilai benar hanya apabila
masing-masing p, maupun q bernilai benar. Sedangkan untuk keadaan
lain maka dia bernilai salah.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
37 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
p q p ∧ q1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
Beberapa simbol yang sering digunakan untuk perakit dan ini adalah
: p ∧ q, p× q, p& q atau pq.
Dari definisi di atas dapat dibuat tabel kebenaran untuk p ∧ qseperti pada tabel di sebelah. Dalam membuat tabel kebenaran,
banyaknya pasangan yang bisa dibuat dari n pernyataan/ kalimat
penyusun adalah 2n, ini disebabkan karena untuk setiap pernyataan
hanya ada 2 nilai yang mungkin (0 atau 1). Perakit konjungsi disebut
juga perakit penyertaan, karena harus menyertakan semua komponen-
komponennya dan bernilai benar hanya jika semua komponennya be-
nar. Dalam kehidupan sehari -hari banyak kata hubung lain yang
mempunyai arti yang sama dengan “dan” yaitu : yang, tetapi, meskipun,
maupun.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
38 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Contoh 1.5. Diketahui:p : dua (2) adalah bilangan genap
q : dua (2) adalah bilangan prima.
Konjungsi p ∧ q dapat dinyatakan sebagai:
p ∧ q : dua (2) adalah bilangan genap dan prima;
p ∧ q : dua (2) adalah bilangan genap yang prima.
Contoh 1.6. Diketahui :r : Ani adalah anak yang rendah hati;
s : Ani adalah anak yang pandai.Maka konjungsi r dan s adalah
r ∧ s : Ani adalah anak yang rendah hati meskipun pandai.
Dalam matematika ada beberapa konsep yang harus dihubungkan
dengan konjungsi.
Contoh 1.7.
Jika xy < 0 maka x > 0 dan y < 0, atau
x < 0 dan y > 0.
Jika xy ≥ 0 maka x ≥ 0 dan y ≥ 0, atau
x ≤ 0 dan y ≤ 0.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
39 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
1.3.2. Perakit Disjungsi (atau)
Selain dengan kata hubung dan pernyataan-pernyataan dapat juga
digabung dengan menggunakan kata hubung atau. Kata hubung ini
dalam logika disebut perakit disjungsi.
Definisi 1.5. Disjungsi dari pernyataan p dan q adalah pernyataan
yang dibaca “p atau q”. Pernyataan ini bernilai salah hanya apabila
masing-masing p dan q salah. Sedangkan untuk keadaan lain ia berni-
lai benar.
Notasi : notasi yang umum digunakan untuk perakit disjungsi
adalah : p ∨ q; p+ q.
τ(p ∨ q) = 1 jika[τ(p) = 1 atau τ(q) = 1 atau τ(p) = τ(q) = 1
](1.2)
Sesuai dengan definisinya, maka tabel kebenaran disjungsi ini adalah
seperti pada tabel di sebelah.
Disjungsi disebut juga alternatif, karena cukup salah satu saja
komponennya benar maka disjungsinya benar. Disjungsi yang didefin-
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
40 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
p q p ∨ q1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
isikan seperti di atas disebut disjungsi inklusif (lemah/ weak). Dis-
jungsi ini yang banyak dibicarakan dalam matematika dan jika dikatakan
p atau q maka yang dimaksud adalah disjungsi inklusif ini.
Contoh 1.8. Diketahui:
(i) . Jakarta ada dipulau Jawa atau 2 + 3 = 5;
(ii) . sin 90o = 1 atau 2× 3 = 9;
(iii) . akar sembilan (√
9) adalah irasional atau 3 + 7 = 9;
(iv) . tujuh (7) adalah bilangan komposit atau 8 adalah bilangan prima.
Tentukan nilai kebenaran pernyataan di atas.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
41 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Jawab:
Dengan mudah dapat dipahami bahwa nilai kebenaran kalimat-
kalimat di atas adalah :(i) . B , (ii) . B (iii) . B dan (iv). S
Contoh 1.9. Diketahui :p : 2 adalah bilangan genap
q : cos 60o = 1, 5
r : matahari terbit dari barat
s : jumlah sudut-sudut segitiga adalah 180o
Tentukan
p ∨ r dan q ∨ s.Jawab :
(i) p∨ r : 2 adalah bilangan genap atau matahari terbit dari barat;
(ii) q ∨ s : cos 60o = 1, 5 atau jumlah sudut-sudut segitiga adalah
180o.
Dalam matematika ada kalimat yang harus dihubungkan dengan
disjungsi seperti pada contoh berikut.
Contoh 1.10. 1. Jika xy = 0, maka x = 0 atau y = 0.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
42 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
2. x2 = 4, maka x = 2 atau x = −2.
Setelah kita mengetahui tiga perakit dasar dalam logika (¬,∧,∨),
kita tinjau kembali definisi pernyataan dalam matematika yaitu bahwa
pernyataan itu harus bernilai benar atau salah tetapi tidak mungkin
sekaligus benar dan salah, prinsip ini merupakan prinsip dasar logika
yang dapat dinyatakan dalam suatu persamaan berikut ini.
τ(p) =(0 ∨ 1
)∧[¬(0 ∧ 1)
](1.3)
Prinsip di atas dapat dinyatakan secara lebih luas dan dikenal dengan
prinsip excluded middle yang dinyatakan seperti berikut ini.
Definisi 1.6 (Prinsip Excluded Middle). Salah satu dari pernyataan
p atau q benar tetapi tidak dua-duanya.[p ∨ q
]∧[¬(p ∧ q
)](1.4)
Contoh yang paling jelas adalah ketika q = ¬p, yaitu[p ∨ (¬p)
]∧[¬(p ∧ (¬q)
)]
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
43 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
1.4. Tautologi dan Kontradiksi
Sebagaimana telah disampaikan sebelumnya, bahwa beberapa perny-
ataan dapat digabung untuk membentuk pernyataan majemuk. Pernyataan-
pernyataan tunggal p1, p2, · · · , pn dapat membentuk suatu pernyatan
majemuk yang dihubungkan oleh berbagai perakit dan dinotasikan
dengan P (p1, p2, · · · , pn). Dilihat dari nilai kebenarannya, ada dua
jenis kalimat majemuk yang istimewa, yaitu kalimat majemuk yang
selalu bernilai benar dan kalimat majemuk yang selalu bernilai salah,
terlepas dari nilai kebenaran masing-masing komponennya.
Definisi 1.7. Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu
bernilai benar (dalam segala hal) tanpa memandang nilai kebenaran
komponen-komponennya.
P (p1, p2, · · · , pn) = T, jika τ[P (p1, p2, · · · , pn)
]= 1 (1.5)
untuk semua kemungkinan τ(pi).
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
44 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Definisi 1.8. Kontradiksi adalah pernyataan majemuk yang selalu
bernilai salah (dalam segala hal) tanpa bergantung nilai kebenaran
dari komponennya.
P (p1, p2, · · · , pn) = F, jika τ[P (p1, p2, · · · , pn)
]= 0 (1.6)
untuk semua kemungkinan τ(pi).
Kita menggunakan notasi T dan F untuk menunjukkan bahwa
nilai pernyataan majemuk tersebut selalu benar atau selalu salah un-
tuk semua kombinasi nilai p1, p2, · · · , pn.
Contoh 1.11.
(i) . p ∨ (¬p) adalah suatu tautologi.
(ii) . p ∧ (¬p) adalah suatu kontradiksi.
Tabel kebenaran untuk tautologi dan kontradiksi di atas dapat
ditunjukkan dalam dua tabel berikut.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
45 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tabel kebenaran p ∨ (¬p) dan p ∧ qp ¬p p ∨ (¬p) p ∧ q1 0 1 0
0 1 1 0
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
46 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
1.5. Aljabar pernyataan
Susunan pernyataan majemuk dapat juga dianggap sebagai hasil op-
erasi dari beberapa pernyataan dengan perakit-perakit pernyataan se-
bagai operasi hitung. Sedangkan sebagai pengganti kesamaan dalam
logika kita mengenal ekuivalensi, (≡). Operasi beserta pernyataannya
ini dikenal dengan istilah aljabar pernyataan atau kalkulus pernyataan.
Definisi 1.9. Dua pernyataan dikatakan ekuivalen jika pernyataan-
pernyataan tersebut mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk se-
tiap keadaan komponennya
Jika τ[P (pl, p2, ..., pn)
]= τ[Q(ql, q2, ..., qn)
]maka
P (pl, p2, ..., pn) ≡ Q(ql, q2, ..., qn) (1.7)
Definisi yang lain tentang ekuivalensi juga disampaikan pada
Definisi 2.5 persamaan (2.4) halaman 84 setelah membicarakan ekuiv-
alensi logis.
Jadi dalam aljabar pernyataan kita memiliki:
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
47 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
1. objek: pernyataan-pernyataan, p1, p2, · · · , pn;
2. operator: ¬,∧,∨;
3. kesamaan: ≡.
Pada bagian ke dua buku ini, akan ditunjukkan bahwa ≡ meru-
pakan relasi ekuivalensi.
Teorema 1.1. Relasi ≡ ini adalah relasi ekuivalensi yaitu :
(i) . p ≡ p (refleksif)
(ii) . Jika p ≡ q maka q ≡ p (simetris)
(iii) . Jika p ≡ q dan q ≡ r maka p ≡ r (transitif)
Contoh 1.12. Buatlah tabel kebenaran dari ¬(p∨ q) serta (¬p)∧ (¬q).Tunjukkan/ selidiki bahwa ¬(p ∨ q) ≡ (¬p) ∧ (¬q).
Jawab :
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
48 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tabel kebenaran ¬(p ∨ q) dan (¬p) ∧ (¬q)p q (p ∨ q) ¬(p ∨ q) ¬p ¬q (¬p) ∧ (¬q)1 1 1 0 0 0 0
1 0 1 0 0 1 0
0 1 1 0 1 0 0
0 0 0 1 1 1 1
Karena nilai kebenaran ¬(p ∨ q) dan (¬p) ∧ (¬q) sama untuk setiap
pasangan nilai komponennya, maka ¬(p ∨ q) ≡ (¬p) ∧ (¬q)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
49 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
1.6. Bentuk Rangkap dan Prinsip Kerangkapan
Salah satu sifat yang sangat menarik dalam aljabar logika adalah sifat
rangkap atau dual dari suatu pernyataan majemuk.
Definisi 1.10. Bentuk rangkap (dual) dari kalimat majemuk P (p1, p2, · · · , pn)
adalah bentuk yang diperoleh dengan menggantikan tanda ∨ dengan
∧ dan sebaliknya, demikian juga F dengan T dan sebaliknya secara
serempak.
Contoh 1.13.
(i) bentuk rangkap dari p ∧ (q ∨ r) adalah p ∨ (q ∧ r);
(ii) bentuk rangkap dari p ∨ (¬p) ≡ T adalah p ∧ (¬p) ≡ F
Teorema 1.2 (Prinsip kerangkapan/dualitas). Jika suatu pernyataan
(teorema) sudah terbukti kebeharannya maka bentuk rangkapnya juga
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
50 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
valid.
Contoh 1.14.
(i) Bentuk p ∨ (¬p) ≡ T adalah valid (merupakan tautologi), maka
bentuk p ∧ (¬p) ≡ F juga valid (merupakan kontradiksi);
(ii) Bentuk p∧p ≡ p adalah valid, maka bentuk p∨p ≡ p juga valid.
Berikut disampaikan beberapa sifat dasar aljabar kalimat yang
dapat dibuktikan dengan membuat tabel kebenaran dari bentuk al-
jabar yang bersangkutan.
Teorema 1.3 (Negasi ganda).
¬(¬p)) ≡ p (1.8)
Teorema 1.4 (Hukum Komutatif/ pertukaran).
(p ∧ q) ≡ (q ∧ p) (1.9a)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
51 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
(p ∨ q) ≡ (q ∨ p) (1.9b)
Teorema 1.5 (Hukum Assosiatif/ pengelompokan).
p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ r (1.10a)
p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r (1.10b)
Teorema 1.6 (Hukum Identitas).
p ∧ F ≡ F dan p ∧ T ≡ p (1.11a)
p ∨ T ≡ T dan p ∨ F ≡ p (1.11b)
Teorema 1.7 (Hukum Komplemen/invers).
p ∧ (¬p) ≡ F dan (¬F ) ≡ T (1.12a)
p ∨ (¬p) ≡ T dan (¬T ) ≡ F (1.12b)
Teorema 1.8 (Hukum De Morgan).
¬(p ∧ q) ≡ ¬(p) ∨ (¬q) (1.13a)
¬(p ∨ q) ≡ (¬p) ∧ (¬q) (1.13b)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
52 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Teorema 1.9 (Hukum Distributif).
p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) (1.14a)
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) (1.14b)
Teorema 1.10 (Hukum Idempoten).
p ∧ p ≡ p (1.15a)
p ∨ p ≡ p (1.15b)
Teorema 1.11 (Hukum Absorpsi /Penyerapan).
p ∧ (p ∨ q) ≡ p dan p ∨ (p ∧ (¬q)) ≡ p (1.16a)
p ∨ (p ∧ q) ≡ p dan p ∧ (p ∨ (¬q) ≡ p (1.16b)
Teorema 1.12 (Komplementasi Gabungan).
p ∧ ((¬p) ∨ q) ≡ p ∧ q (1.17a)
p ∨ ((¬p) ∧ q) ≡ p ∨ q (1.17b)
Hukum-hukum di atas dapat dibuktikan dengan membuat tabel
kebenarannya. Selanjutnya hukum-hukum di atas dapat digunakan
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
53 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
untuk membuktikan ekuivalensi yang lain. Jika diminta, maka pem-
buktian harus diturunkan dari kesepuluh hukum diatas (bukan den-
gan tabel kebenaran). Bahkan dalam sistem deduksi yang akan kita
pelajari pada bab berikutnya asumsi dasar (aksioma) yang kita pakai
sebagai dasar lebih terbatas lagi dan yang lainnya harus kita turunkan
dengan menggunakan aksioma-aksioma atau definisi yang diketahui.
Sebenarnya hukum absorpsi dapat dibuktikan secara deduktif (bukan
menggunakan tabel kebenaran) dengan menggunakan sifat-sifat se-
belumnya. Dalam logika sangat penting sekali menunjukkan alasan
yang dipergunakan pada setiap langkah. Bukti hukum absorpsi/ peny-
erapan adalah sebagai berikut ini (lihat Sulistyaningsih [19]).
p ∧ (p ∨ q) ≡ (p ∨ F ) ∧ (p ∨ q) identittas
≡ p ∨ (F ∧ q) distributif
≡ p ∨ F identitas
≡ p identitas
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
54 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
1.7. Perakit-perakit Lain
Selain perakit-perakit yang telah disampaikan di depan, ada lagi per-
akit lain yang memang tidak banyak dipakai atau dibicarakan yaitu:
perakit disjungsi eksklusif, perakit Stroke dan perakit Dagger (lihat
Copi [2]). Perakit-perakit ini pada prinsipnya dapat didefinisikan se-
bagai fungsi dari perakit dasar (¬,∧,∨).
1.7.1. Perakit Disjungsi eksklusif
Selain disjungsi yang telah dibicarakan sebelumnya, yang dikenal den-
gan istilah disjungsi inklusif, dalam logika ada juga disjungsi yang lain
yang disebut disjungsi eksklusif, seperti didefinisikan berikut ini.
Definisi 1.11. Disjungsi eksklusif dari p dengan q (dibaca “atau
p ....atau q”) adalah pernyataan yang berarti p atau q tetapi tidak
keduanya.
Disjungsi eksklusif p dengan q dinotasikan dengan p∨ q
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
55 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Secara simbolis dapat dituliskan :
p∨ q = (p ∨ q) ∧[¬(p ∧ q)
](1.18a)
= (p ∨ q) ∧(p ∧ q
)(1.18b)
Dari definisi di atas, dapat ditentukankan tabel kebenaran dari
disjungsi eksklusif ini, seperti pada tabel berikut.
Tabel Kebenaran Disjungsi Eksklusif
p q r = s = t = r ∧ t = p∨ q(p ∨ q) (p ∧ q) ¬(s)
1 1 1 1 0 0
1 0 1 0 1 1
0 1 1 0 1 1
0 0 0 0 1 0
Dengan demikian, jika seseorang mengajukan alternatif dengan
maksud hanya dipilih salah satu tidak boleh keduanya, maka sebaiknya
dan seharusnya dinyatakan dengan disjungsi eksklusif ini. Misalnya,
secara matematis, gadis-gadis, kepada pacarnya, sebaiknya mengatakan
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
56 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
: “Silahkan pilih atau dia atau aku !”, jika dia ingin pacarnya hanya
memilih salah satu dari mereka. Sebab, jika mereka mengatakan :
“Pilih dia atau aku !” maka sang lelaki tidak salah kalau memilih
keduanya. Namun, secara alami memang ada kejadian yang sifatnya
eksklusif (saling asing), misalnya seperti contoh berikut ini.
1. Pak Amir saat ini sedang memberi kuliah atau rapat.
2. Tiga (3) adalah bilangan ganjil atau genap.
3. Sembilan (9) adalah bilangan prima atau komposit.
4. Adik sedang bersiul atau gosok gigi.
1.7.2. Fungsi / Operator Stroke dan Dagger
Operator Stroke (/)
Operator Stroke dinotasikan dengan “/ ”. Fungsi atau operator Stroke
ini disebut juga pengingkaran alternatif (The alternative denial). Dalam
bentuk notasi dasar yang telah kita pelajari operasi Stroke ini dapat
dinyatakan sebagai
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
57 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Definisi 1.12 (Operator Stroke).
p/q = (¬p) ∨ (¬(q)) (alternatif) (1.19)
Operator Dagger (↓)Operator Dagger dinotasikan dengan “↓” atau “†”. p ↓ q dibaca
“bukan p dan bukan pula q”, neither p nor q. Operator Dagger dise-
but juga the joint denial atau pengingkaran bersama atau konjungsi
ingkaran. Dalam bentuk notasi dasar yang telah kita pelajari operasi
dagger ini dapat dinyatakan sebagai
Definisi 1.13 (Operator Dagger).
p ↓ q = ¬p ∧ ¬q (bersama-sama) (1.20)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
58 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Dari Definisi 1.12 dan Definisi 1.13, kita dapat turunkan sifat
atau aksioma berikut.
Teorema 1.13.
p/q = ¬(p ∧ q) (1.21)
p ↓ q = ¬(p ∨ q) (1.22)
Dari definisi sebelumnya maupun dari teorema di atas, kita da-
pat menentukan nilai kebenaran dari operator Stroke dan Dagger
seperti Tabel Kebenaran 1.1.
Catatan: Untuk menghindarkan penggunaan kurung yang ter-
lalu banyak, maka diadakan kesepakatan bahwa dalam aljabar perny-
ataan, urutan/hirarki operasi ¬,∧,∨ adalah yang pertama ¬, lalu
diikuti ∧ dan ∨.
Contoh 1.15.
¬p ∧ ¬q ∨ p ∧ q ≡[(¬p) ∧ (¬q)
]∨ (p ∧ q)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
59 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tabel 1.1: Tabel Kebenaran Operator Stroke dan Daggerp q ¬p ¬q p/q p ↓ q1 1 0 0 0 0
1 0 0 1 1 0
0 1 1 0 1 0
0 0 1 1 1 1
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
60 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
1.8. Bacaan Lebih Lanjut
Untuk mendalami lebih jauh materi pada bab ini selai beberapa sum-
ber yang telah dikutip sebelumnya, dapat juga dibaca beberapa sum-
ber lain diantaranya Enderton [4], Thomas [20], Gemignani [6]. Defin-
isi umum beberapa istilah dalam buku ini selain diambil dari kamus
matematika oleh Borowsky & Borwein [1]. juga diambil dari eksiklo-
pedia matematika oleh Negoro & Harahap [12].
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
61 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
1.9. Soal-soal Latihan
Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan berikut kemu-
dian tentukan negasinya.
1. 7 + 3 =10.
2. 7 + 5 > 10− 4.
3. Sembilan (9) adalah bilangan ganjil.
4. Bujur sangkar adalah persegi panjang.
5. Jumlah sudut-sudut segitiga adalah 180.
6. Seratus dua puluh satu (121) adalah bilangan prima.
7. Gajah adalah binatang berkaki dua.
8. Jumlah dua bilangan ganjil adalah bilangan genap.
9. Tujuh (7) adalah bilangan komposit (bukan prima).
10. Matahari terbit dari sebelah timur.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
62 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
11. Diketahui :
p : Jakarta adalah ibu kota negara RI
q : 3 + 4 =10
r : persegi panjang adalah suatu bujur sangkar
s : 7 adalah bilangan ganjil
t : 8 adalah bilangan genap
Tentukan :
(i) . p ∧ q(ii) . q ∧ r(iii) . r ∧ s(iv) . s ∧ t
12. Buktikan bahwa :
(a) ¬p ≡ p/p
(b) p ∧ q ≡ (p/q)/(p/q)
(c) ¬p ∨ q ≡ (p/p)/(q/q)
(d) p/q ≡[(p ↓ p) ↓ (q ↓ q) ↓ (p ↓ p) ↓ (q ↓ q)
]
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
63 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
(e) p ↓ q ≡[(p/p)/(q/q)/(q/q)/(p/p)/(q/q)
]13. Buatlah tabel kebenaran dari :
(a) p ∨ ¬q
(b) p ∧ ¬q
(c) (p ∧ q) ∨ (¬p ∧ q)
(d) ¬(¬p ∨ ¬q)
14. Buktikan dengan hukum-hukum aljabar proposisi
(a) ¬(p ∨ q) ∨ p ≡ T
(b) p ∧ ¬(p ∨ q) ≡ F
(c) (p ∧ q) ≡ ¬(¬p ∨ ¬q)
(d) (p ∧ q) ∨ ¬p ≡ ¬p ∨ q
(e) Hukum komplementasi gabungan dan hukum absorpsi yang
belum dibuktikan.
15. Buktikan bahwa (p ∨ q) ∨ (¬p ∧ ¬q) = T
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
64 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
16. Buktikan bahwa :
(a) ¬p ≡ p ↓ p(b) p ∧ q ≡ (p ↓ p) ↓ (q ↓ q)(c) p ∨ q ≡ (p ↓ q) ↓ (p ↓ q)(d) p ≡ (p ↓ p) ↓ (p ↓ p(e) p ↓ (p ↓ p) ≡ F
(f) p/(p/p) ≡ T
17. Misalkan
p : Angin bertiup
q : Cuaca cerah
Tulis kalimat yang disimbolkan seperti berikut ini :
(a) ¬p(b) ¬p ∧ ¬q(c) p ∧ q(d) ¬(p ∧ q)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
65 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
(e) ¬(p ∨ q)
(f) ¬p ∨ q
(g) p ∨ q
(h) ¬p ∨ ¬q
18. Diketahui
p : Ani anak yang cantik
q : Ani anak yang pandai
r : Ani anak yang disiplin
Tulis notasi dari pernyataan-pernyataan berikut :
(a) Ani adalah anak yang cantik dan pandai.
(b) Meskipun tidak pandai, Ani disiplin
(c) Ani adalah anak yang pandai dan disiplin tetapi tidak can-
tik.
(d) Ani adalah anak yang cantik atau sekaligus pandai dan
disiplin.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
66 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
(e) Mustahil Ani sekaligus pandai dan cantik
(f) Ani tidaklah cantik dan tidak pula pandai.
19. Selidikilah pasangan-pasangan kalimat berikut, tentukan apakah
kalimat yang kedua merupakan ingkaran dari kalimat pertama.
(a) Saya haus. Saya tidak haus.
(b) Siti berbaju merah. Siti berbaju putih.
(c) 7 adalah bilangan ganjil dan prima. 7 bukan bilangan ganjil
dan bukan bilangan prima.
(d) Ayah atau Ibu menjemput adik. Ayah menjemput adik
tetapi ibu tidak menjemput adik.
(e) Hari ini cuaca cerah. Hari ini hujan deras.
(f) 2 + 3 > 7− 6. 2 + 3 < 7− 6.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
67 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
BAB 2
PERNYATAAN BERSYARAT/KONDISIONAL
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
68 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tujuan Umum
Setelah menyelesaikan materi pada bab ini pembaca diharapkan mema-
hami bentuk-bentuk, penilaian serta negasi pernyataan bersyarat, hi-
erarki perakit-perakit termasuk perakit bersyarat.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
69 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tujuan Khusus
Setelah menyelesaikan materi pada bab ini pembaca diharapkan dapat
1. menyebutkan definisi implikasi dan variasinya
2. menyebutkan definisi biimplikasi
3. menentukan apakah suatu implikasi merupakan implikasi logis
4. menentukan apakah suatu biimplikasi merupakan biimplikasi lo-
gis
5. menentukan hubungan implikasi dengan perakit dasar (dan, atau,
negasi)
6. menentukan negasi kalimat bersyarat
7. menerapkan hierarki perakit
8. menerapkan notasi Lukasiewicz
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
70 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Materi
1. Implikasi dan variasinya
2. Biimplikasi
3. Implikasi Logis dan Ekuivalensi Logis
4. Ekuivalensi dengan perakit dasar
5. Negasi pernyataan bersyarat
6. Hirarki perakit dan Notasi Lukasiewicz
Banyak pernyataan-pernyataan dalam matematika berbentuk “jika
... maka...”. Kalimat atau pernyataan seperti ini disebut kalimat
bersyarat atau kondisional. Pernyataan berbentuk “jika ... maka ... ”
ini disebut implikasi. Sedangkan pernyataan berbentuk “jika ... maka
dan jika ... maka ...” disebut pernyataan berbentuk implikasi dua arah
atau biimplikasi. Biimplikasi ini lebih umum dinyatakan dengan “...
jika dan hanya jika ...” .
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
71 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
2.1. Implikasi
Secara matematis kalimat dalam bentuk “jika p maka q” dinotasikan
dengan “p→ q” disebut implikasi. Selanjutya “p→ q” dapat dibaca:
1. jika p maka q;
2. setiap kali p, (maka) q;
3. p hanya jika q;
4. p syarat cukup (sufficient) untuk q;
5. q syarat perlu (necessary) untuk p.
Selanjutnya, pada pernyataan p→ q:
1. p disebut anteseden/ hipotesis,
2. q disebut konsekuen/ konklusi/ kesimpulan.
Nilai kebenaran implikasi diberikan pada definisi berikut.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
72 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tabel kebenaran implikasip q p→ q
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
Definisi 2.1. Implikasi adalah pernyataan yang bernilai salah hanya
apabila hipotesisnya benar tetapi diikuti oleh konklusi yang salah.
Untuk keadaan lain implikasinya benar.
τ(p→ q) =
{0 jika τ(p) = 1 ∧ τ(q) = 0, dan
1 untuk yang lain.(2.1)
Dari definisi diatas dapat kita buat tabel kebenaran untuk imp-
likasi ini seperti tabel sebelah.
Sebagaimana telah disinggung dalam bab pendahuluan bahwa
seorang matematisi sebenarnya dapat secara bebas mendefinisikan
istilah-istilahnya secara abstrak (tanpa terikat situasi konkrit), yang
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
73 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
penting dia konsisten dan kosekuen dengan definisi yang dibuat. Sepin-
tas penetapan nilai kebenaran untuk keadaan ketiga (yaitu : anteseden
salah, konklusi benar implikasi kedengarannya agak janggal dan tidak
sesuai dengan kondisi riil, akan tetapi jika kita pikirkan lebih dalam
sebenarnya tidak terjadi pertentangan antara nilai kebenaran yang
didefinisikan dengan tabel implikasi dengan logika umum (common
sense) dan penetapan nilai kebenaran ini masuk akal.
Contoh 2.1. Seseorang berjanji kepada orang lain : “Jika hari tidak
hujan, (maka) saya akan datang.” Yang kita pertanyakan sekarang adalah
: kapan orang yang bicara tadi dikatakan ingkar janji (menyalahi yang
diucapkan)? Jawaban kita adalah jika hari tidak hujan (p benar) tetapi ia
tidak datang (q salah). Hanya dalam keadaan ini saja. Itu berarti untuk
tindakannya yang lain ia tidak dapat dipersalahkan, yaitu jika hari hujan
dan ia tetap datang ia tidak dapat dipersalahkan.
Kita menetapkan nilai kebenaran dari suatu implikasi selanjut-
nya adalah berdasarkan definisi diatas tanpa memperhatikan hubun-
gan antara p dan q. (tidak harus sebab akibat atau janji). Karena
penetapan nilai kebenaran implikasi maka implikasi ini disebut imp-
likasi material atau implikasi formal.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
74 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Contoh 2.2. Tentukan nilai kebenaran pernyataan-pernyataann berikut:
(i) jika 2 + 3 = 5, maka 5 + 3 = 8
(ii) jika ika 2 adalah bilangan prima, maka matahari terbit dari barat.
(iii) jika saya lahir di Amerika Serikat, maka sayalah presiden negara
tersebut.
(iv) jika matahari terbit dari barat, maka manusia tidak akan pernah
mati.
Nilai kebenaran implikasi-implikasi diatas adalah
(i) B, �(ii) S �(iii) B dan (iv) B.
Perhatikan bahwa dalam implikasi, jika antesedennya salah maka
implikasinya selalu benar tanpa memperhatikan konklusinya. Ini be-
rarti dari anteseden yang salah kita dapat bebas menentukan konklusi.
Contoh 2.3. “Jika matahari terbit dari barat” (salah), kita dapat mem-
buat kesimpulan misalnya:
1. maka manusia bisa terbang;
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
75 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
2. maka manusia tidak pernah mati;
3. maka manusia tidak perlu makan;
dan implikasi yang dibentuk bernilai benar.
Untuk memahami pengertian syarat perlu dan syarat cukup ada
baiknya kita perhatikan definisi berikut :
Definisi 2.2. Pernyataan p dikatakan syarat cukup bagi q, apabila
q selalu muncul setiap kali p muncul. Pernyataan q dikatakan sebagai
syarat perlu untuk p apabila p muncul hanya jika q muncul, jika q
tidak muncul maka p juga tidak bisa muncul.
Contoh 2.4. Jika suatu bilangan prima maka bilangan itu bulat. Bilan-
gan prima adalah syarat cukup untuk bilangan bulat. Pernyataan bahwa
bilangan itu prima sudah cukup untuk menyatakan bilangan tersebut bu-
lat. Artinya juga, jika kita ingin bilangan bulat cukup kita mengambil
bilangan prima, karena bilangan prima pasti bulat. Sebaliknya, jika kita
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
76 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
mengambil bilangan yang tidak bulat maka tidak mungkin kita memper-
oleh bilangan prima. Akan tetapi untuk memperoleh bilangan bulat tidak
perlu (tidak harus) mengambil bilangan prima (4;1 juga bulat). Supaya
suatu bilangan itu prima tidak cukup hanya dikatakan bulat (4, 8, bu-
lat tetapi tidak prima). Jadi, kita juga peroleh kenyataan bahwa syarat
cukup belum tentu perlu dan syarat perlu belum tentu cukup.
Perhatikan bahwa pernyataan-pernyataan berikut mempunyai
arti yang sama.
1. Jika matahari bersinar maka udara hangat.
2. Udara hangat, jika matahari bersinar
3. Setiap kali matahari bersinar, udara hangat
4. Matahari bersinar hanya jika udara hangat.
5. Matahari bersinar adalah syarat cukup untuk udara hangat.
6. Udara hangat adalah syarat perlu untuk matahari bersinar.
7. Matahari bersinar secara implisit berarti udara hangat.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
77 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
2.2. Implikasi dan variasinya
Dari implikasi p → q, kita dapat membentuk berbagai pernyataan-
pernyataan yaitu:(i) ¬p→ ¬q yang disebut invers
(ii) q → p disebut konvers
(iii) ¬q → ¬p disebut kontra posisi/ kontra positifdari implikasi tadi. Dari definisi di atas dapat dibuat tabel kebenaran
untuk invers, konvers dan kontra positif sebagai berikut:
Tabel kebenaran invers, konvers dan kontra positif.p q ¬p ¬q p→ q ¬p→ ¬q q → p ¬q → ¬p1 1 0 0 1 1 1 1
1 0 0 1 0 1 1 0
0 1 1 0 1 0 0 1
0 0 1 1 1 1 1 1
Dari tabel di atas terlihat bahwa :
1. p→ q ≡ ¬q → ¬p dan
2. ¬p→ ¬q ≡ q → p.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
78 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Sebenarnya dari definisi syarat cukup dan syarat perlu, sudah
jelas bahwa “jika p maka q” artinya sama dengan “jika tidak ada q
maka tidak ada p” (artinya implikasi ekuivalen dengan kontra positif).
Hubungan antara implikasi, invers, konvers dan kontra positifnya di-
tunjukkan dengan gambar berikut.
p → q ¬p →¬ q invers
konvers konvers
invers
Kontra positif
q → p ¬q → ¬p
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
79 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Diagram Venn mengilustrasikan variasi implikasi, invers, konvers dan
kontrapositip
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
80 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
2.3. Biimplikasi
Pada implikasi p dengan q, pernyataan p maupun q dua-duanya sekali-
gus merupakan syarat cukup dan perlu dari yang lainnya.
Definisi 2.3. Biimplikasi dari pernyataan p dan q (dinotasikan dengan
p↔ q dan dibaca “p jika dan hanya jika (jhj) q” atau “p bila dan hanya
bila (bhb) q”) adalah pernyataan yang bernilai benar jika komponen-
komponennya bernilai sama, serta bernilai salah jika komponen-komponennya
bernilai tidak sama, yaitu
τ(p↔ q) =
{1 jika τ(p) = τ(q) dan
0 jika τ(p) 6= τ(q).(2.2)
Tabel kebenaran biimplikasi adalah seperti tabel sebelah.
Contoh 2.5. (i) 2 + 3 = 5↔ 3× 5 = 15 (Benar)
(ii) 2 adalah prima ↔ 4 adalah ganjil (Salah)
(iii) Matahari terbit dari barat ↔ 2 + 3 = 5 (Salah)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
81 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tabel kebenaran biimplikasip q p↔ q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
(iv) 2× 5 = 6↔ 33 = 9 (Benar).
Contoh 2.6.
Biimplikasi banyak dipergunakan dalam mendefinisikan sesuatu,
misalnya: “Persegi panjang disebut bujur sangkar jika dan hanya
jika masing-masing sudutnya 90o dan keempat sisinya sama panjang”.
Disini terkandug pengertian bahwa jika suatu persegi panjang adalah
bujur sangkar, maka keempat sudutnya masing-masing 90o dan keem-
pat sisinya sama panjang. Sebaliknya jika suatu persegi panjang
masing-masing sudutnya 90o dan keempat sisinya sama panjang, maka
persegi panjang itu disebut bujur sangkar.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
82 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
“Suatu bilangan asli (yang tidak sama dengan 1) dikatakan bi-
langan prima jika dan hanya jika bilangan itu hanya bisa dibagi oleh 1
dan bilangan itu sendiri”. Definisi ini mengandung pengertian bahwa,
jika bilangan asli selain 1, hanya bisa dibagi oleh 1 dan bilangan itu
sendiri, maka bilangan itu disebut bilangan prima. Sebaliknya, jika
suatu bilangan adalah prima, maka bilangan itu (tidak sama dengan
1) dan hanya bisa dibagi oleh 1 dan bilangan itu sendiri.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
83 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
2.4. Implikasi Logis dan Ekuivalensi Logis
Sejauh ini kita memahami bahwa nilai kebenaran suatu implikasi bergan-
tung pada nilai kebenaran hipotesis dan konklusinya. Ada bentuk
khusus dari suatu implikasi yang nilainya selalu benar tanpa bergan-
tung pada nilai kebenaran dari hipotesis dan konklusinya. Implikasi
semacam ini disebut implikasi logis.
Definisi 2.4. Suatu implikasi dikatakan implikasi logis (dinotasikan
dengan p⇒ q), jika implikasinya merupakan tautologi tanpa meman-
dang nilai kebenaran komponen-komponennya. Dengan kata lain
P (pl, p2, ...)⇒ Q(ql, q2, ...) jika P (pl, p2, ...)→ Q(ql, q2, ...) ≡ T.
(2.3)
Seperti halnya nilai kebenaran implikasi, nilai kebenaran biim-
plikasi juga ditentukan oleh nilai kebenaran masing-masing kompo-
nennya. Jika suatu biimplikasi selalu bernilai benar maka dia disebut
ekuivalensi logis, yang dinotasikan dengan ⇔.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
84 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Definisi 2.5. Suatu biimplikasi dikatakan ekuivalensi logis, jika biim-
plikasinya merupakan tautologi, yaitu :
P (pl, p2, ...)⇔ Q(ql, q2, ...) jika P (pl, p2, ...)↔ Q(ql, q2, ...) ≡ T.
(2.4)
Bandingkan definisi di atas dengan Definisi 1.9 persamaan (1.7)
pada halaman 46. Perhatikan bahwa kedua definisi tersebut meskipun
perumusannya agak berbeda namun keduanya konsisten dan sesung-
guhnya ekuivalen satu dengan lainnya.
Selanjutnya untuk membuktikan bahwa suatu implikasi atau bi-
implikasi adalah logis atau tidak, perlu dibuktikan bahwa implikasi
atau biimplikasinya adalah suatu tautologi. Untuk memudahkan pem-
buktian ini diperlukan ekuivalensi antara implikasi atau biimplikasi
dengan perakit-perakit dasar. Penurunan secara lebih sistimatis diberikan
pada Bab 3.
Teorema 2.1 (Ekuivakensi disjungsi dan implikasi (EDI)).
p→ q ≡ ¬p ∨ q (2.5)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
85 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Teorema 2.2 (Ekuivalensi biimplikasi dengan disjungsi, konjungsi).
p↔ q ≡ (¬p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬q) (2.6)
Contoh 2.7.
Buktikan bahwa :
1. p⇒ (p ∨ q)
2. (p ∧ q)⇒ p
3. (p ∨ q)⇔ (q ∨ p)
4. (p ∧ q)⇔ (q ∧ p)
5. (p↔ q)⇔[(p→ q) ∧ (q → p)
]6.[(p→ q) ∧ ¬q
]⇒ (¬p)
7.[(p→ q) ∧ (p→ r)
]⇒[p→ (q ∧ r)
]
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
86 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Bukti:
Salah satu cara untuk membuktikan adanya implikasi logis adalah
dengan membuktikan bahwa implikasinya adalah suatu tautologi.
p→ (p ∨ q) ≡ ¬p ∨ (p ∨ q) persamaan (2.5)
≡ (¬p ∨ p) ∨ q hukum asosiatif
≡ T ∨ q hukum komplemen
≡ T hukum identitas
Maka p⇒ (p ∨ q).
(p ∧ q)→ q ≡ ¬(p ∧ q) ∨ q persamaan (2.5)
≡ (¬p ∨ ¬q) ∨ q hukum De Morgan
≡ ¬p ∨ (¬q ∨ q) hukum Asosiatif
≡ ¬p ∨ T hukum komplemen
≡ T hukum identitas.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
87 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
2.5. Negasi Pernyataan Bersyarat
Negasi kalimat bersyarat dicari melalui negasi dari ekuivalensinya
yang terdiri atas perakit-perakit dasar. Ingat bahwa negasi tidak sama
baik dengan invers maupun konvers.
Teorema 2.3 (Negasi Implikasi). Negasi implikasi adalah
¬(p→ q) ≡ p ∧ ¬q. (2.7)
Bukti:
¬(p→ q) ≡ ¬(¬p ∨ q) persamaan (2.5)
≡ ¬(¬p)) ∧ ¬q De Morgan
≡ p ∧ ¬q negasi ganda
Contoh 2.8. Negasi dari pernyataan: “Jika matahari bersinar maka
udara hangat.” adalah “Matahari bersinar tetapi udara tidak hangat.”
Ada beberapa variasi bentuk negasi biimplikasi seperti diny-
atakan dalam teorema berikut.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
88 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Teorema 2.4 (Negasi biimplikasi). Negasi bimplikasi adalah
¬(p↔ q) ≡ ¬(p→ q) ∨ ¬(p→ q) (2.8a)
≡ (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q) (2.8b)
≡ ¬p↔ q (2.8c)
≡ p↔ ¬q (2.8d)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
89 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Bukti:
¬(p↔ q) ≡ ¬[(p→ q) ∧ (q → p)
≡ ¬(p→ q) ∨ ¬(p→ q) De Morgan
≡ (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q) Teorema 2.7
≡[(p ∧ ¬q) ∨ ¬p
]∧[(p ∧ ¬q) ∨ q
]distributif
≡[T ∧ (¬q ∨ ¬p)
]∧[(p ∨ q) ∧ T
]distributif
≡[(¬q ∨ ¬p)
]∧[(p ∨ q)
]identitas
≡[(¬q ∨ ¬p)
]∧[(p ∨ q)
]identitas
≡[(¬q ∨ ¬p)
]∧[(¬¬p ∨ q)
]negasi dobel
≡ ¬p↔ q atau,
≡[(¬q ∨ ¬p)
]∧[(p ∨ ¬¬q)
]negasi dobel
≡ p↔ ¬q.
Dengan demikian pernyataan “Saya datang jika dan hanya jika
cuaca cerah” mempunyai negasi : “Saya datang jika dan hanya jika
cuaca tidak cerah” atau “Saya tidak datang jika dan hanya jika cuaca
cerah”. Untuk meyakinkan ekuivalensi variasi bentuk-bentuk negasi
biimplikasi, kita dapat membuat tabel kebenarannya.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
90 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
2.6. Hirarki perakit dan Notasi Lukasiewicz
2.6.1. Hirarki perakit
Untuk menghindari penggunaan tanda kurung yang terlalu banyak
maka dalam pembicaraan logika diadakan konsensus tentang hirarki
pengerjaan operasi logika (perakit). Urutan yang harus dikerjakan
dalam operasi logika jika tidak menggunakan tanda kurung adalah :
1. Negasi: ¬
2. Konjungsi: ∧
3. Disjungsi: ∨
4. Implikasi: →
5. Biimplikasi: ↔
6. Implikasi logis: ⇒
7. Ekuivalensi logis: ⇔ atau ≡
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
91 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Contoh 2.9. Jika ditulis:
r ∧ ¬p ∨ q → p↔ q ∧ ¬r
maka diartikan sebagai:(((r ∧ (¬p)
)∨ q)→ p
)↔(q ∧ (¬r)
).
Sedangkan
p ∧ q ⇒ r ≡ p ∧ q → r
diartikan sebagai ((p ∧ q)⇒ r
)≡((p ∧ q)→ r
).
2.6.2. Notasi Lukasiewicz
J. Lukasiewicz adalah seorang logisi Polandia yang memperkenalkan
suatu cara penulisan pernyataaan-pernyataan logika, yang juga menghin-
darkan penggunaan kurung yang banyak. Notasinya juga sering dise-
but notasi Polandia (Polish Notation) atau notasi Lukasiewicz seperti
pada Copi [2]. Notasi perakit menurut Lukasiewicz diberikan pada
Tabel 2.1
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
92 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tabel 2.1: Notasi Lukasiewicz untuk perakit logika
Perakit Notasi Lukasiewicz Notasi biasa Notasi Lukasiewicz
Negasi N ¬p Np
Konjungsi K p ∧ q Kpq
Disjungsi A (=Alternasi) p ∨ q Apq
Implikasi C p→ q Cpq
Biimplikasi E p↔ q Epq
(Ekuivalensi)
Contoh 2.10. Tentukan Notasi Lukasiewicz dari :
(i) ¬p ∨ (q → ¬r)
(ii) p→ ¬(q ∨ ¬r) ≡ (¬q ∧ r) ∨ (¬s ∧ t)
Jawab :
(i) (a) implikasi q dengan negasi r : CqNr
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
93 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
(b) selanjutnya dialternasikan dengan negasi p : ANpCqNr
(ii) a. Alternasi q dengan negasi r : AqNr
b. Negasi a. : NAqNr
c. Implikasi dp dengan a. : CpNAqNr
d. Konjungsi, Negasi q dengan r : KNqr
e. Konjungsi Negasi s dengan t : KNst
f. Alternasi d. dengan e. : AKNqrKNst
g. Equivalensi c. dengan f. : ECpNAqNrAKNqrKNst
Jadi notasi terakhir yang porelah : ECpNAqNrAKNqrKNst. Un-
tuk memudahkan mengingat notasi Polandia ini kita ingat N (untuk
uner) dan C,A,K,E untuk binernya sehingga sering disebut sebagai
huruf roti (CAKE Letters)
Contoh 2.11. Tulis Notasi berikut dalam bentuk standar ! CCNqqq
dan ApKrEsCtu
Jawab :
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
94 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
1. (a) Nq = ¬q
(b) CNqq = ¬q → q
(c) CCNqqq = ¬q → q → q
2. (a) Ctu = t→ u
(b) EsCtu = s↔ (t→ u)
(c) KrEsCtu = r ∧(s↔ (t→ u)
)(d) ApKrEsCtu = p ∨
[r ∧(s↔ (t→ u)
)]
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
95 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
2.7. Bacaan Lebih Lanjut
Untuk mendalami lebih jauh materi pada bab ini selain beberapa sum-
ber yang telah dikutip sebelumnya, dapat juga dibaca beberapa sum-
ber lain diantaranya Enderton [4], Thomas [20], Gemignani [6], Copi
[2].‘
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
96 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
2.8. Soal-soal Latihan
1. Nyatakan penyataan-pernyataan berikut dalam bentuk jika . .
. maka . . .
(a) Saya akan pergi hanya jika kamu menyuruh.
(b) Setiap kali saya memikirkan pelajaran, saya ingin bermain.
(c) Kamu akan menemukan jika mencari.
(d) Tidak ada manusia yang bisa terbang.
(e) Setiap bilangan asli adalah bulat.
(f) Adalah perlu bagi kita makan, untuk hidup.
(g) Untuk membuat segitiga sama kaki adalah cukup dengan
membuat segitiga sama sisi.
2. Buatlah pernyataan-pernyataan konversi, inversi dan kontra posi-
tif dari pernyataan-pernyataan berikut :
(a) Jika n bilangan asli maka 2n adalah bilangan asli
(b) Jika turun hujan maka tanah basah.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
97 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
(c) Jika 12 adalah bilangan prima, maka 9 adalah bilangan
sempurna.
3. Jika syarat cukupnya sekaligus merupakan syarat perlu dan seba-
liknya maka dikatakan implikasi tersebut dapat diganti dengan
biimplikasi (dua-duanya benar) misalnya “Jika x < 0 maka 2x
dapat dikatakan sebagai: x < 0 jhj 2x < 0. Nyatakan apakah
implikasi-implikasi berikut dapat diubah dengan biimplikasi :
(a) Jika n genap maka 2n genap
(b) Jika x2 positif maka x adalah positif.
(c) Jika ketiga sisi segitiga sama, maka ketiga sudutnya sama
besar.
(d) Jika x = 3 maka x2 = 9.
(e) Untuk sembarang himpunan A,B, jika A//B maka A ⊂B = ∅.
(f) Jika x1 adalah jawab dari persamaan ax + b = 0 maka
ax1 + b = 0.
4. Buatlah negasi dan invers dari pernyataan-pernyataan berikut :
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
98 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
(a) Jika 6 adalah bilangan sempurna, maka 7 adalah bilangan
ganjil.
(b) Jika n adalah bilangan genap maka 2n adalah genap.
(c) 2x+ 3 = 4x− 5 jhj 2= 8.
(d) Saya akan datang jhj kamu menyuruh.
5. Diketahui :
p : segitiga ABC sama kaki
q : segitiga ABC sama sisi
r : 5 adalah bilangan prima
s : sudut-sudut segitiga ABC masing-masing 600.
Tulis kalimat yang disimbolkan oleh notasi berikut :
(a) ¬p→ q
(b) q ↔ s
(c) ¬(p→ r)
(d) p ∨ q ↔ r ∧ s
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
99 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
(e) ¬q → ¬r
(f) p ∧ q → q ∧ s
6. Selidikilah valid tidaknya pernyataan berikut:
(a) p⇒ p ∨ q
(b) (p→ q) ∧ (p→ r)⇒ (p→ (q ∧ r)
(c) (p→ q) ≡ (q → p)
(d) (p ∧ q)→ r ≡ (p→ r) ∧ (q → r)
(e) (p ∨ q)→ r ≡ (p→ r) ∨ (q → r)
(f) (p→ q)→ r ≡ p→ (q → r)
(g) p⇒ p
(h) (p→ q) ∧ p⇒ q
(i) (p ∨ q) ∧ p⇒ ¬q
(j)[¬(p ∧ q) ∧ p]⇒ ¬q
7. Ubah dari notasi Lukasiewicz ke notasi biasa.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
100 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
(a) KcpNqNApq
(b) ECpNNpNANqNq
(c) CCCKpNqKNrsKANpNrsq
(d) ENCpNKNprANpKpNq
8. Ubah dari notasi standart ke notasi Lukasiewicz
(a) ¬p ∧ q → q ∧ ¬p
(b) ¬(p ∧ q)→ ¬p↔ ¬(p ∧ q)→ ¬q
(c) p→ q”(p→ q)
(d) ¬p→ ¬q ∨ r
9. Diketahui :
p : udara segar
q : cuaca cerah
r : matahari bersinar
Nyatakan kalimat-kalimat berikut dengan simbol-simbol yang
tepat.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
101 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
(a) Mustahil, jika udara segar cuaca tidak cerah.
(b) Jika cuaca tidak cerah udara tidak segar.
(c) Matahari bersinar hanya jika cuaca cerah.
(d) Cuaca cerah jhj matahari bersinar dan udara segar.
(e) Mustahil jika cuaca cerah, udara tidak segar.
10. Diketahui:
r : 2 adalah bilangan genap
t : 3 adalah bilangan ganjil
s : 6 adalah bilangan sempurna
Nyatakan kalimat-kalimat yang dinotasikan seperti berikut ini.
(a) ¬(r → s)
(b) r → s
(c) r → ¬s(d) s→ r ∧ t(e) s ∨ t→ r
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
102 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
103 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
BAB 3
KARAKTERISTIK, BENTUK NORMAL DAN
APLIKASINYA
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
104 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tujuan Umum
Setelah menyelesaikan materi pada bab ini pembaca diharapkan mampu
memahami konsep karakteristik dan bentuk normal serta mengap-
likasikannya dalam aljabar logika, himpunan maupun aljabar jaringan
listrik.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
105 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tujuan Khusus
Setelah menyelesaikan materi pada bab ini pembaca diharapkan dapat
1. menentukan karakteristik suatu bentuk logika
2. mengubah bentuk logika ke bentuk Normal
3. mencari komplemen bentuk Normal
4. mengubah bentuk normal disjungtif ke bentuk normal konjungtif
dan sebaliknya
5. mengaplikasikan bentuk Normal baik dalam aljabar logika, him-
punan maupun aljabar jaringan listrik
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
106 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Materi
1. Karakteristik
2. Bentuk Normal
3. Komplemen Bentuk Normal
4. Translasi diantara bentuk normal
5. Aplikasi bentuk Normal
6. Aplikasi Logika dalam aljabar himpunan dan listrik
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
107 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tabel 3.1: Tabel kebenaran konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimp-
likasi
p q p ∧ q p ∨ q p→ q p↔ q
1 1 1 1 1 1
1 0 0 1 0 0
0 1 0 1 1 0
0 0 0 0 1 1
3.1. Karakteristik
Dalam keadaan tertentu kita membutuhkan cara penulisan yang lebih
ringkas untuk menunjukkan nilai kebenaran suatu pernyataan ma-
jemuk. Perhatikan tabel kebenaran konjungsi, disjungsi, implikasi
maupun biimplikasi pada Tabel 3.1
Dari Tabel 3.1, dikatakan bahwa:
1. karakteristik dari p ∧ q adalah 1000;
2. karakteristik dari p ∨ q adalah 1110;
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
108 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
3. karakteristik dari p→ q adalah 1011, dan
4. karakteristik dari p↔ q adalah 1001.
Untuk menentukan karakteristik suatu perakit, perlu diadakan
kesepakatan atau konvensi bagaimana kita mengurut nilai logika dalam
tabel kebenaran. Dalam diktat ini, kita sepakat bahwa nilai kebenaran
pernyataan disusun berdasarkan urutan yang sistematis yaitu dari be-
nar (1) ke salah (0).
Definisi 3.1. Karakteristik suatu pernyataan majemuk adalah nilai
logika dari pernyataan tersebut dalam tabel kebenaran dengan urutan
kemungkinan nilai yang disepakati.
Contoh 3.1. Dari definisi di atas, kita dapat mencari karakteristik dari
bentuk yang lain misalnya karakteristik dari p∨ q adalah 0110 karakteristik
dari p ↓ q adalah 0001 dan seterusnya.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
109 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
3.2. Bentuk Normal
Sejauh ini yang telah kita lakukan adalah membuat tabel kebenaran
dari suatu pernyataan yang diberikan. Dengan kata lain, kita mencari
karakteristik dari suatu pernyataan. Kita akan mencoba mengerjakan
hal yang sebaliknya yaitu bagaimana mencari bentuk suatu perny-
ataan yang diketahui karakteristiknya. Misalnya bagaimana bentuk
persamaan yang mempunyai karakteristik 1101 ?
Permasalahan yang dikemukakan diatas dapat diselesaikan den-
gan menggunakan bentuk normal. Bentuk normal dibedakan menjadi
dua yaitu normal konjungtif dan normal disjungtif. Untuk memu-
dahkan pembicaraan bentuk normal ini kita memilih penggunaan sim-
bol dan atau sebagai notasi disjungsi. Sedangkan negasi (¬) dino-
tasikan dengan ′. Selanjutnya bentuk yang dipisahkan oleh + disebut
sebagai suku sedangkan bentuk yang dipisahkan oleh × atau . kita
sebut sebagai faktor. Misalkan jika pernyataannya hanya 2, p dan q
maka bentuk suku-sukunya adalah : pq, pq′, p′q dan p′q′ jadi bentuk
faktornya adalah (p+q), (p+q′), (p′+q) dan (p′+q′). Dengan demikian
pernyataan majemuk dapat dianggap sebagai kumpulan suku-suku
atau faktor-faktor.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
110 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
3.2.1. Bentuk Normal Disjungtif (DNF)
Bentuk pernyataan majemuk ada yang dapat dianggap sebagai sepenuh-
nya jumlah dari suku-suku yang setiap sukunya memuat secara lengkap
unsur-unsur penyusunnya.
Definisi 3.2. Bentuk normal disjungtif ( DNF = Disjunctive Normal Form
) ditandai dengan ciri-ciri berikut :
1. disusun dalam bentuk jumlah suku-suku.
2. tiap-tiap suku memuat secara lengkap semua unsur atau perny-
ataan yang dibicarakan dalam bentuk konjungsi.
Contoh 3.2. Berikut ini adalah contoh pernyataan dalam bentuk DNF
(i) pqr + p′qr + pqr′;
(ii) p′q + pq + pq′;
(iii) p;
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
111 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
(iv) p+ q;
(v) pqr.
Tetapi, bentuk-bentuk seperti : p+qr dan p+pq bukan berbentuk
normal sebab suku-sukunya tidak memuat semua pernyataan (perny-
ataan yang dibicarakan tidak ada pada setiap sukunya), yaitu ada
suku yang hanya mengandung p tanpa mengandung q. Selanjutnya
perlu diingat bahwa pq sendiri merupakan bentuk normal dengan
hanya satu suku.
Definisi 3.3. Apabila semua kemungkinan/ semua bentuk suku-suku
termuat dalam bentuk normal tersebut dikatakan bentuk normal terse-
but adalah lengkap, dalam hal ini disebut Bentuk Normal Dis-
jungtif Lengkap (CDNF = Complete Disjunctive Normal Form).
Contoh 3.3. Berikut adalah pernyataan-pernyataan yang berbentuk
CDNF
(i) pq + pq′ + p′q + p′q′ dan
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
112 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
(ii) pqr + pqr′ + pq′r + pq′r′ + p′qr + p′qr′ + p′q′r + p′q′r′
Dapat ditunjukkan bahwa bentuk Normal Disjungsi Lengkap
(CDNF) ini adalah suatu tautologi. Kita mungkin juga mengubah
bentuk tidak normal menjadi suatu bentuk normal atau sebaliknya
menyederhanakan suatu bentuk normal sehingga diperoleh bentuk
yang meskipun tidak normal tetapi lebih sederhana.
Contoh 3.4.
(i) Ubahlah p+ pq′ ke bentuk normal
(ii) Sederhanakan bentuk p′q + pq′ + pq
Jawab:
Untuk mengerjakan hal-hal diatas kita harus menggunakan hukum-
hukum aljabar kalimat / proposisi yang telah diberikan, hanya saja
harus diingat dengan baik bahwa untuk menyederhanakan notasi kita
menggunakan p.q = pq untuk p ∧ q, p+ q untuk p ∨ q, 1 untuk T dan
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
113 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
0 untuk F .
p+ pq′ ≡ p.1 + pq′ identitas
≡ p(q + q′) + pq′ komplemen
≡ pq + pq′ + pq′ distributif
≡ pq + pq′ (DNF) idempoten
pq + pq′ + p′q ≡ p(q + q′) + p′q distributif
≡ p.1 + p′q komplemen
≡ p+ p′q identitas
≡ (p+ p′).(p+ q) distributif
≡ 1.(p+ q) ≡ (p+ q) komplemen, identitas
3.2.2. Bentuk Normal Konjugtif (CNF)
Bentuk pernyataan majemuk ada yang dapat dianggap sebagai sepenuh-
nya hasikali faktor-faktor yang setiap faktornya memuat secara lengkap
unsur-unsur penyusunnya dalam bentuk jumlah.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
114 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Definisi 3.4. Bentuk Normal Konjungtif (CNF = Conjunctive
Normal Form) adalah bentuk yang ditandai oleh ciri-ciri berikut :
1. disusun dalam bentuk perkalian faktor-faktor.
2. tiap-tiap faktor memuat secara lengkap semua unsur atau perny-
ataan yang dibicarakan.
Contoh 3.5. Beberapa pernyataan yang berbentuk CNF
(i) (x+ y)(x+ y′)
(ii) (p+ q + r)(p+ q′ + r)(p+ q + r)
(iii) (p+ q)
Tetapi, p(p+ q); p(p+ r) bukan dalam bentuk normal.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
115 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Definisi 3.5. Bentuk Normal Konjungsi dikatakan Lengkap (
CCNF = Complete Conjunctive Normal Form) jika memuat se-
cara lengkap semua bentuk faktor-faktornya.
Contoh 3.6. Bentuk CCNF untuk dua unsur p dan q adalah
(x+ y)(x+ y′)(x′ + y)(x′ + y′)
Dapat ditunjukkan bahwa betuk CCNF adalah suatu kontradiksi.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
116 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
3.3. Komplemen Bentuk Normal
Definisi 3.6. Komplemen dari suatu bentuk normal adalah suku-
suku atau faktor-faktor dari bentuk lengkap yang tidak dimuat dalam
bentuk normal tersebut.
Contoh 3.7. Tentukan komplemen dari:
(i) pq′ + p′q
(ii) xyz + xyz′ + xy′z + xy′z′
Jawab:
Suku-suku yang tidak termuat dari dua bentuk di atas adalah
masing- masing:
(i) pq + p′q′
(iii) x′yz + x′yz′ + x′y′z + x′y′z′
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
117 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Contoh 3.8. Tentukan komplemen dari :
(i) (x+ y′)(x′ + y)(x′ + y′)
(ii) (x+ y)
Jawab :
Faktor- faktor dari bentuk lengkap yang tidak termuat masing-
masing adalah:
(i) (x+ y)
(ii) (x+ y′)(x′ + y)(x′ + y′)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
118 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
3.4. Translasi Bentuk Normal
Suatu bentuk CNF dapat diubah atau ditranslasikan ke bentuk DNF
atau sebaliknya baik dengan menggunakan sifat- sifat perakit maupun
dengan membuat negasi dari komplemennya.
Contoh 3.9. Translasikan bentuk CNF ke DNF atau sebaliknya.
(i) (x+ y)(x′ + y′), CNF;
(ii) xy + x′y′, DNF.
Jawab:
(x+ y)(x′ + y′) ≡ (x+ y)x′ + (x+ y)y′ distributif
≡ xx′ + yx′ + xy′ + yy′ distributif
≡ 0 + yx′ + xy′ + 0 komplemen
≡ yx′ + xy′ DNF identitas
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
119 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
xy + x′y′ ≡ (xy + x′)(xy + y′) distributif
≡ (x+ x′)(y + x′)(x+ y′)(y + y′) distributif
≡ 1.(y + x′)(x+ y′).1 komplemen
≡ (y + x′)(x+ y′) CNF identitas
Dapat dibayangkan bahwa semakin kompleks bentuknya, operasi yang
dilibatkan juga semakin kompleks sehingga tidak semua bentuk dapat
diselesaikan dengan mudah dengan cara di atas. Untuk itu dapat
dipergunakan cara negasi komplemen.
Aturan 3.1. Langkah langkah untuk mengubah dari bentuk CNF ke
DNF dan sebaliknya
1. Tentukan komplemen dari bentuk yang dimiliki, yaitu suku atau
faktor dari CDNF atau CCNF yang tidak ada dalam pernyataan
yang dimiliki;
2. Tentukan negasi dari komplemen yang diperoleh
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
120 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Maka bentuk yang diperoleh sudah berubah dari CNF ke DNF atau
sebaliknya, tetapi masih ekuivalen dalam artian nilai kebenarannya
masih sama.
Contoh 3.10. Ubah bentuknya dengan aturan di atas.
1. Bentuk CNF (x+ y)(x′ + y′),
(a) komplemen:(x′ + y)(x+ y′)
(b) negasi komplemen:[(x′ + y)(x+ y′)
]′.
(c) Selanjutnya dengan menerapkan hukum De Morgan, diper-
oleh xy′ + x′y yang merupakan bentuk DNF.
2. Diketahui bentuk DNF xyz + xyz′ + xy′z + xy′z′ + x′yz
(a) komplemennya x′yz′ + x′y′z + x′y′z′
(b) negasinya:[x′yz′ + x′y′z + x′y′z′
]′.
(c) Hukum De Morgan menghasilkan bentuk CNF (x + y′ +
z)(x+ y + z′)(x+ y + z).
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
121 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
3.5. Aplikasi Bentuk Normal
Sebagaimana telah disampaikan di depan, manfaat utama bentuk Nor-
mal ini adalah dalam menentukan bentuk persamaan yang diketahui
karakteristiknya. Sebagimana telah dipelajari sebelumnya nilai karak-
teristik terdiri atas 0 dan 1.
Aturan 3.2. Jika kita perhatikan nilai 1 dari karakteristiknya maka
aturannya adalah sebagai berikut :
1. bentuk yang diperoleh adalah DNF;
2. tiap baris yang bernilai 1 merupakan satu suku dengan nilai 1
berarti bentuk adalah positif dan nilai 0 berarti negasi (′ ).
Aturan 3.3. Jika yang kita perhatikan adalah nilai 0 dari karakter-
istiknya maka aturannya adalah:
1. bentuk yang diperoleh adalah bentuk CNF;
2. tiap baris yang bernilai 0 berbentuk positif dan yang bernilai 1
berbentuk negasi (′ ).
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
122 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Untuk mengerjakan yang lebih sederhana kita memilih bentuk
CNF atau DNF sesuai dengan jumlah yang lebih sedikit dari yang lain
yaitu :
1. jika 1 lebih sedikit, gunakan DNF
2. jika 0 lebih sedikit gunakan CNF
Contoh 3.11. Tentukan persamaaan yang mempunyai karakteristik 10001001
Karena 1 lebih sedikit, maka kita menggunakan bentuk DNF.
p q r y
p 1 1 1 1 pqr
1 0 1 0
1 0 0 0
1 0 0 0
p′ 0 1 1 1 p′qr
0 1 0 0
0 0 0 0
p′ 0 0 0 1 p′q′r′ y = pqr + p′qr + p′q′r′
q′ r′
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
123 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Kita peroleh bentuk DNF dengan 3 suku ( ada tiga karakteristik 1 )
yaitu
y = pqr + p′qr + p′q′r′.
Tugas kita selanjutnya adalah menyederhanakan bentuk normal ini
dengan hukum-hukum yang telah dipelajari. Kita bisa periksa ( cek
) kebenarannya dengan membuat tabel kebenarannya.
Contoh 3.12. Tentukan persamaan dengan karakteristik 01111110
Karena 0 lebih sedikit kita menggunakan bentuk CNF
p q r y
p′ 1 1 1 0 p′ + q′ + r′
1 0 1 1
1 0 0 1
1 0 0 1
0 1 1 1
0 1 0 1
0 0 0 1
p 0 0 0 0 p+ q + r y = (p+ q + r)(p′ + q′ + r′)
q r
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
124 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Maka bentuk yang kita peroleh adalah CNF dengan dua faktor yaitu
y = (p+ q + r)(p′ + q′ + r′).
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
125 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
3.6. Aplikasi Logika dalam Aljabar Himpunan dan
Listrik
Hukum-hukum logika dapat diterapkan dalam aljabar jaringan listrik
(electrical network atau electrical switching). Pada dasarnya semua
pembahasan ini didasari oleh aljabar Boole. Keharmonisan aljabar
Boole, logika himpunan dan aljabar jaringan listrik dapat ditunjukkan
dengan tabel berikut :
Dalam himpunan didefinisikan bahwa A ∩ B adalah himpunan
yang hanya beranggotakan unsur-unsur yang yang sekaligus ∈ A dan
∈ B. Tabel keanggotaan untuk A ∩ B dilihat pada tabel berikut.
Perhatikan bahwa tabel kebenaran A ∩ B ini ekuivalen dengan tabel
kebenaran konjungsi p ∧ q.
Tabel Keanggotaan A ∧B dan tabel kebenaran A ∩BA B A ∧B1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
dan
A B A ∩B∈ ∈ ∈∈ /∈ /∈/∈ ∈ /∈/∈ /∈ /∈
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
126 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tabel 3.2: Hubungan antara aljabar Boole, Aljabar Himpunan, Al-
jabar Proposisi dan aljabar jaringan listrikNo Aspek Aljb. Proposisi Aljb. Himpunan Aljb. Listrik
1 Unsur pernyataan himpunan saklar
p, q, r A,B,C A,B,C
2 Negasi ¬p ()c saklar balik
3 Konjugsi ∧ ∩ seri
4 Disjungsi ∨ ∪ paralel
5 Implikasi logis ⇒ ⊆6 Ekuivalensi ekuivalensi kesamaan ekuivalensi
7 Nilai global T S tertutup
8 Nilai global F ∅ terbuka
9 nilai lokal 1 ∈ tertutup
9 nilai lokal 0 6 in terbuka
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
127 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
A
B
Gambar 3.1: Diagram Venn mengilustrasikanA ∩B
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
128 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
3.7. Aljabar Jaringan Listrik atau Saklar
Rangkaian seri
Dalam aljabar jaringan listrik rangkaian seri identik dengan konjungsi
seperti diilustrasikan pada gambar berikut
Jaringan/ rangkaian listrik mengilustrasikan AB
A B
L
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
129 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Keterangan :
1. Jika suatu jaringan dirangkai seri dan salah satu saja saklarnya
dibuka (off) maka arus listrik tidak dapat lewat dan lampu
padam (off).
2. Dalam pembicaraan jaringan listrik ini kita hanya memperhatikan
susunan. rangkaian saklarnya, sumber listrik dan lampu bi-
asanya diabaikan.
Kondisi aliran listrik berdasarkan terbuka dan tertutupnya sak-
lar A dan B ditunjukkan dalam tabel berikut. Bandingkan tabel terse-
but dengan tabel kebenaran A ∧B dan tabel keanggotaan A ∩B.
Tabel aliran listrik (kondisi menyala/tidaknya lampu L
dilihat dari kondisi tertutup/terbukanya saklar Adan B
A B L
tertutup (1) tertutup(1) menyala (1)
tertutup (1) terbuka(0) padam (0)
terbuka (0) tertutup(1) padam (0)
terbuka (0) terbuka(0) padam (0)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
130 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
p q A+B
on on on
on off on
off on on
off off off
Rangkaian paralel
Rangkaian paralel seperti pada Gambar identik dengan aljabar perakit
disjungsi
Keterangan :
1. Pada rangkaian paralel arus listrik bisa lewat jika salah satu
saklarnya di on/ ditutup.
2. Jika salah satu/semua dibuka/on arus listrik dapat lewat dan
lampu menyala.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
131 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Rangkaian negasi
Rangkaian A dan A′ dipasang sedemikian sehingga jika p on maka
otomatis p′ off dan sebaliknya.
Ketiga rangkaian di atas (negasi, seri , paralel ) yang meru-
pakan rangkaian dari bentuk dasar (negasi, konjungsi, dan disjungsi)
disebut rangkaian dasar. Rangkaian-rangkaian lain seperti implikasi,
biimplikasi, Nor (Not Or), Nand (Not And) dan lain-lainnya, dapat
diturunkan dari rangkaian-rangkaian dasar diatas. Sebagai aplikasi
dari bentuk normal, kita juga dapat merangkai jaringan listrik dengan
bermacam-macam hasil (out put/karakteristik ) yang kita inginkan.
Contoh 3.13. Tiga buah saklar dirangkai dan dihubungkan pada sebuah
bel. Ternyata bel tersebut hanya berbunyi apabila tepat satu saja dari
ketiga saklar diatas di tekan (on). Jika sekaligus dua saklar atau lebih
di-on-kan bel tidak mau berbunyi. Tentukan bagaimana saklar-saklar tadi
dirangkai.
Jawab:
Misalkan ketiga saklar itu adalah x, y, z (kita juga bisa menggu-
nakan huruf besar A,B,C) hasil yang terjadi adalah sebagai berikut:
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
132 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
x y z keluaran
1 1 1 0
1 1 0 0
1 0 1 0
1 0 0 1*)
0 1 1 0
0 1 0 1 *)
0 0 1 1*)
0 0 0 0
Tanda *) menunjukkan bahwa dalam keadaan ini bel berbunyi (out-
put = 1), yang lain padam, tidak berbunyi (output= 0). Karena
banyaknya berbunyi ( 1 ) lebih sedikit kita gunakan bentuk DNF dan
persamaan rangkaiannya adalah:
xy′z′ + x′yz′ + x′y′z
atau
(x(¬y(¬z)((¬x(y(¬z)((¬x(¬y(z).
Contoh 3.14.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
133 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Ubah ekspresi berikut ke bentuk DNF
(i) (x+ y′)
(ii) (pqr′) + (pr) + (pq)
Jawab :
(i) Bentuk (x + y′) adalah berbentuk CNF , maka cara merubah
ke bentuk DNF nya kita lakukan dengan mencari negasi dari
komplemennya. Komplemen bentuk ini adalah: (x + y)(x′ +
y)(x′ + y′). Negasi komplemennya adalah:
= ((x+ y)(x′ + y)(x′ + y′)′)′
= (x+ y)′ + (x′ + y)′ + (x′ + y′)
= x′y′ + xy′ + xy(DNF)
(ii) Bentuk pqr′ + pr + pq, suku pertamanya sudah lengkap, tinggal
suku kedua dan ketiga yang tidak lengkap. Suku kedua tidak
mengandung q. Kita bisa menganggap pr = pr.1
pr = pr(q + q′) identitas
= pqr + pq′r distributif
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
134 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Suku ketiga tidak mengandung r, maka
pq = pq.1
= pq(r + r′) ident. & komp.
= pqr + pqr′ distributif
Jadi kita peroleh :
pqr + pq′r + pqr′
Contoh 3.15. Ubah ekspresi berikut ke bentuk CNF.
1. p′q + pq
2. p(q + r)
Jawab:
1. Bentuk p′q + pq adalah DNF , karenanya kita translasikan den-
gan menggunakan negasi komplemennya. Komplemennya adalah
: (pq′ + p′q′). Negasinya:
(pq′ + p′q′)′ = (pq′)(p′q′)′
= (p′ + q)(p+ q).
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
135 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Jadi bentuk CNF nya adalah :
(p′ + q)(p+ q)
2. p(q + r) ; terdiri atas dua faktor, yaitu faktor pertama p tidak
lengkap, dan faktor kedua (q + r) juga tidak lengkap
p = p+ 0 identitas
= p+ (q.q′) komplemen
= (p+ q)(p+ q′) distributif
= ((p+ q) + 0)((p+ q)′ + 0) identitas
= ((p+ q) + (rr′))((p+ q′) + (rr′)) komplemen
= (p+ q + r)(p+ q + r′)(p+ q′ + r)(p+ q′ + r′) distributif.
(q + r) tidak mengandung p
(q + r) = (q + r) + 0 identitas
= (q + r) + pp′ komplemen
= (q + r + p)(q + r + p′) distributif
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
136 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
p q keluaran
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 1 1
Jadi bentuk keseluruhannya adalah :
(p+ q+ r)(p+ q+ r′)(p+ q′+ r)(p+ q′+ r′)(q+ r+ p)(q+ r+ p′)
atau
(p+ q + r)(p′ + q + r)(p+ q′ + r)(p+ q + r′)(p+ q′ + r′)
( dengan menerapkan hukum distributuf dan idempoten )
Contoh 3.16. Tentukan persamaan yang mempunyai karakteristik 1001.
Jawab :
Misalkan unsur-unsurnya adalah p dan q, maka
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
137 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Banyaknya 1 dan 0 sama jadi bisa memakaiDNF maupun CNF.
Misalkan 0 kita jadikan pedoman maka kita peroleh :
y = (p′ + q)(p+ q′) (CNF).
Contoh 3.17. Suatu alat peraga logika terdiri atas tiga saklar dan sebuah
lampu. Ternyata lampu tersebut menyala hanya apabila ketiga saklar
tersebut di-on-kan atau jika ketiga saklar di-off-kan. Tentukan persamaan
rangkaiannya.
Jawab:
Lampu menyala (1 ) hanya pada dua keadaan A = B = C =
1atau A = B = C = 0 (A,B,C menunjukkan saklar-saklarnya ).
Dengan menggunakan nilai 1 berarti kita menuju bentuk DNF dan
unsur-unsur bernilai 1 adalah positif, yang bernilai 0 adalah beerben-
tuk negasi. Dengan demikian kita peroleh persamaannya :
y = ABC + A′B′C ′.
Contoh 3.18. Empat orang anak masing-masing Ali , Budi , Citra dan
Didiek menghadapi saklar yang dihubungkan pada sebuah lampu. Terny-
ata lampu tersebut dalam keadaan:
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
138 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
(i) Jika Ali dan Citra meng-on-kan saklarnya sedangkan Budi dan
Didiek tidak, lampu menyala.
(ii) Jika Citra sendiri meng-onkan saklarnya sedang yang lainnya
tidak, lampu menyala.
(iii) Jika keempat-empatnya serempak meng-on-kan saklarnya lampu
menyala. Untuk keadaan yang lain-lainnya lampu padam. Ten-
tukan persamaan rangkaiannya.
Jawab:
Misalkan saklar yang mereka hadapi adalah A,B,C,D. Untuk
menyelesaikan ini kita bisa membuat semacam tabel kebenarannya
atau langsung dengan hanya memperhatikan keadaan-keadaan pada
saat lampunya menyala yaitu :
(i) hanya Ali dan Citra yang meng-onkan lampu
AB′CD′ (B dan D dalam bentuk negasi)
(ii) hanya Citra sendiri yang meng-onkan saklar
A′B′CD′ ( hanya C yang tidak negasi )
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
139 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
(iii) Keempat-empatnya serempak meng-onkan saklar
ABCD
Jadi persamaannya y = ABCD+AB′CD′+A′B′CD′. Langkah
berikutnya tinggal menyederhanakan bentuk tadi jika memang di-
angggap perlu.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
140 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
3.8. Bacaan Lebih Lanjut
Untuk mendalami lebih jauh aplikasi logika atau aljabar Boole dalam
aljabar jaringan listrik selain beberapa sumber yang telah dikutip se-
belumnya. Selain itu dapat juga dibaca beberapa sumber lain di-
antaranya Lipschutz [9], Nissanke [14], Sulistyaningsih [19] dan Siang
[17].
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
141 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
3.9. Soal-soal Latihan
1. Tentukan persamaan yang paling sederhana dari bentuk yang
mempunyai karakteristik berikut:
(a) 01010001
(b) 01101111
(c) 00110011
(d) 00111011
2. Pikirkan persamaan rangkaian listrik dengan tiga saklar A,B,C
dengan ketentuan:
(a) Arus mengalir setiap kali A on dan C off kecuali jika sekali-
gus A dan B on (arus tidak mengalir).
(b) Jika B on dan A dan C off arus mengalir.
3. Empat peserta cerdas cermat masing-masing menghadapi se-
buah saklar yang dihubungkan pada sebuah bel. Juri ingin agar
bel tersebut berbunyi hanya apabila salah satu saja dari keempat
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
142 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
kelompok tersebut yang meng-onkan saklarnya. Sedangkan jika
lebih dari satu kelompok mengonkan saklarnya bersama-sama
bel tidak boleh berbunyi. Cobalah anda bantu juri merangkaikan
bel dan saklarnya tersebut.
4. Seorang bapak berhasrat agar lampu kebunnya dapat dimatikan
maupun dihidupkan masing-masing dari tiga tempat (ruang tamu
(T) , garasi (G) , ruang tengah (H)). Jadi jika ia ingin menghidup-
kan atau mematikan lampu kebunnya ia harus dapat melakukan-
nya melalui saklar T , saklar G maupun H. Bantulah bapak ini
membuat persamaan rangkaiannya.
5. Buatlah rangkaian dari persamaan berikut :
(a) (A+B)(A′((B′ + (A′B′)
(b)[((A+B)C)
]+ (A′B′C ′)
(c)[((A+B)↔ C)
](A+ C)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
143 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
BAB 4
KUANTOR
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
144 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tujuan Umum
Setelah menyelesaikan materi ada bab ini diharapkan memahami kuan-
tor serta mampu menggunakannya dalam menyelesikan soal-soal logika
yang mengandung kuantor.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
145 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tujuan Khusus
Setelah menyelesaikan materi ada bab ini diharapkan dapat
1. memberi contoh tetapan dan peubah
2. memberi contoh kalimat matematika terbuka maupun tertutup
3. memberi kuantor universal maupun eksistensial yang sesuai un-
tuk suatu kalimat
4. mencari negasi suatu pernyataan berkuantor
5. mencari contoh penyanggah suatu pernyataan berkuantor
6. menentukan kuantor untuk pernyataan yang mengandung per-
akit
7. menentukan kuantor untuk pernyataan dengan lebih dari 1 peubah
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
146 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Materi
1. Tetapan dan peubah
2. Kalimat matematika, kalimat terbuka, kalimat tertutup
3. Kuator universal dan Kuantor eksistensial
4. Negasi kuantor
5. Contoh penyanggah
6. Kuantor dengan disjungsi, konjungsi dan implikasi
7. Kuantor lebih dari satu peubah
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
147 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
4.1. Tetapan dan Peubah
Dalam matematika, notasi yang melambangkan unsur dibedakan atas
dua macam yaitu yang mewakili unsur yang bersifat tetap dan unsur
yang berubah.
Definisi 4.1. Tetapan atau konstanta adalah lambang yang mewak-
ili suatu elemen tertentu yang bersifat khusus atau bersifat tetap
dalam suatu semesta pembicaraan.
Definisi 4.2. Semesta pembicaraan adalah kumpulan yang men-
jadi sumber atau asal unsur-unsur yang dibicarakan.
Dalam matematika, terutama dalam bentuk umum fungsi maupun
persamaan, tetapan biasanya disimbolkan dengan huruf-huruf per-
tama dari abjad seperti : a, b, c, ...
Contoh 4.1. Dalam pernyataan-pernyataan berikut, simbol yang digaris
bawahi adalah suatu tetapan.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
148 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
((i) 2 adalah bilangan asli.
(ii) Ani berbaju merah.
(iii) Betuk umum pungsi linier adalah y = ax+ b.
Pada contoh di atas, Ani meskipun kita tidak tahu persis siapa
orangnya, namun Ani tidak dikatakan sebagai peubah karena jelas
Ani menunjukkan nama seseorang tertentu tidak semua orang dapat
disebut Ani. Pada contoh (iii) a, b meskipun tidak diketahui dengan
persis, tetapi keduanya adalah suatu tetapan yang tidak berubah se-
bagaimana halnya x dan y.
Definisi 4.3. Peubah atau variabel adalah lambang yang masih
mewakili suatu elemen umum yang belum dikhususkan atau yang ni-
lainya berubah-ubah pada semesta pembicarannya.
Contoh 4.2. Bagian-bagian yang digarisbawahi pada contoh kalimat
berikut adalah peubah. Pada umumnya peubah dilambangkan dengan
huruf-huruf terahkir dari abjad seperti : x, y, z.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
149 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
(i) x adalah bilangan asli
(ii) Manusia berbaju merah
(iii) Bentuk umum fungsi linier adalah y = ax+ b
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
150 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
4.2. Kalimat matematika, kalimat terbuka, kali-
mat tertutup
Dalam pembahasan matematika, banyak dilibatkan kalimat-kalimat
ataupun pernyataan-pernyataan yang memuat simbol-simbol matem-
atika. Kalimat-kalimat tersebut ada yang berbentuk pernyataan ada
yang tidak.
Definisi 4.4. Kalimat matematika adalah kalimat yang memuat
simbol-simbol matematika seperti peubah, tetapan dan operator lain-
nya.
Definisi 4.5. Kalimat matematika terbuka adalah kalimat matem-
atika yang belum bisa dinilai benar atau salah.
Definisi 4.6. Kalimat matematika tertutup (disebut juga perny-
ataan matematis) adalah kalimat matematika yang sudah bisa dinilai
benar atau salah.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
151 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Contoh 4.3. Kalimat p(x) : x + 2 ≥ 7, adalah suatu kalimat matem-
atika terbuka, karena belum bisa dinilai bear atau salah. Misalkan semesta
pembicaraannya adalah himpunan semua bilangan real. Berarti x adalah
anggota dari himpunan bilangan real. Jika kita gantikan x dengan sem-
barang bilangan real x ≥ 5 maka terbentuklah pernyataan yang bernilai
benar. Sebaliknya jika kita gantikan x dengan bilangan-bilangan x < 5 ,
maka terbentuk pernyataan yang bernilai salah.
Pada kalimat terbuka p(x) dengan semesta U , setiap kali kita
mengambil elemen u dari U , maka p(x) = p(u) bernilai tepat salah
satu benar atau salah . Semua elemen x ∈ U yang menyebabkan p(x)
bernilai benar disebut himpunan penyelesaian/ himpunan kebenaran
(truth set/ solution set) dari p dan dinotasika dengan Tp.
Teorema 4.1. Untuk p, kalimat terbuka pada U , maka untuk setiap
u ∈ U atau τ(p(u)) = 1, atau τ(p(u)) = 0.
Definisi 4.7. Himpunan kebenaran atau himpunan penyelesa-
ian adalah himpunan semua unsur dari semesta pembicaraan yang
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
152 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
menyebabkan terjadinya kalimat/ pernyataan yang bernilai benar.
Tp = {u ∈ U, τ(p(u)
)= 1}
Contoh 4.4.
(i) Perhatikan kalimat terbuka : x + 2 ≥ 10, x bilangan asli, maka
Tp = {x ≥ 8, x bilagan asli }.
(ii) Misalkan p(x);x2 < 0 ; x bilangan real, maka Tp = ∅
(iii) Misalkan p(y); y2 ≥ 0; y bilangan real, maka Tp = U = <. Semua
bilangan real jika dikuadratkan akan lebih atau sama dengan nol.
Teorema 4.2. Suatu kalimat terbuka dapat dinyatakan kalimat ter-
tutup dengan menggantikan peubahnya dengan tetapan dari semesta
pembicaraannya.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
153 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Contoh 4.5.
(i) Misalkan p(n) : n+2 > 8 adalah kalimat terbuka, misalnya pada
semesta N (himpunan semua bilangan asli), maka
(a) p(2) : 2 + 2 > 8 adalah pernyataan salah.
(b) p(8) : 8 + 2 > 8 adalah pernyataan benar.
(ii) q(x) : x2 − 2x+ 1 = 0 adalah kalimat terbuka pada <, maka:
(a) q(2) : 22 − 2.2 + 1 = 0 adalah pernyataan salah dan
(b) q(1) : 12 − 2.1 + 1 = 0 adalah pernyataan benar
Telah disampaikan diatas bahwa jika p(x) kalimat terbuka pada
semesta U maka p(x) bisa benar untuk semua x ∈ U , yaitu Tp = U .
Benar untuk beberapa atau tak satu pun x ∈ U . Secara implisit ini
berarti dengan memberikan kata -kata : Setiap, beberapa atau tak
satupun , di depan kalimat terbuka tasi maka kalimat terbuka tadi
maka kalimat terbuka tadi akan menjadi pernyataan yang bernilai
benar atau salah.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
154 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Contoh 4.6.
1. p(x) : x+ 2 ≥ 8 adalah kalimat terbuka pada N , maka :
(a) untuk semua x ∈ N berlaku x+ 2 ≥ 8, adalah pernyataan
salah,
(b) ada x bilangan asli yang bersifat x+ 2 ≥ 8 adalah benar.
2. p(x) : x2 < 0; x bilangan asli adalah kalimat terbuka, maka:
(a) ada x bilangan asli yang bersifat x2 < 0 adalah salah;
(b) tidak satupun x bersifat x2 < 0 adalah benar.
Jadi istilah-istilah terdapat, semua, taksatupun dapat megubah kali-
mat terbuka menjadi peryataan.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
155 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
4.3. Kuantor
Istilah-istilah : terdapat , semua/ setiap, dengan demikian, dan se-
jenisnya, dapat digunakan untuk mengukur keberadaan himpunan
penyelesaian (unsur-unsur yang menyebabkan p(x) bernilai benar).
Kata-kata ini dalam logika disebut kuantor/ quantifier (to quantify =
mengukur). Kuantor dibedakan menjadi kuantor universal dan kuan-
tor eksistensial.
4.3.1. Kuantor Universal
Misalkan p(x) adalah suatu kalimat terbuka pada semesta U maka
∀x ∈ U, p(x) atau ∀x, p(x) atau ∀x, τ(p(x)) = 1
adalah pernyataan yang dibaca : “untuk semua/ setiap x ∈ U x bersi-
fat p” atau “semua x bersifat p”, atau “untuk semua x pernyataan p(x)
adalah benar”. Notasi ∀ yang dibaca “setiap” atau “semua” disebut
kuantor universal. Perlu kita catat bahwa p(x) sendiri adalah su-
atu kalimat terbuka, akan tetapi akan tetapi ∀x, p(x) adalah suatu
pernyataan.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
156 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Definisi 4.8. Nilai kebenaran pernyataan yang mengandung kuantor
universal adalah
τ(∀x, p(x)
)= 1 jika dan hanya jika Tp = U.
Contoh 4.7. Misalkan
(i) p(x) : x + 2 ≥ 3 dengan semesta N , maka Tp = N . sehingga
∀x ∈ N, x+ 2 ≥ 3 adalah benar. Demikian juga dengan
(ii) p(x) : x+ 2 = 10 dengan semesta N maka Tp = {8}, sehingga
∀x ∈ N, x+ 2 = 10 adalah salah.
Dengan cara yang sama dapat dibuktikan bahwa
(iii) ∀x ∈ <, x2 < 0 adalah salah dan
(iv) ∀x ∈ <, x2 + 2x+ 8 > 0 adalah benar.
4.3.2. Kuantor Eksistensial
Misalkan p adalah suatu kalimat terbuka pada semesta U , maka:
∃x ∈ U, p(x) atau ∃x,3 p(x) atau ∃x,3 τ(p(x)) = 1
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
157 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
adalah pernyataan yang dibaca : “terdapat x yang bersifat p”, atau
“beberapa x bersifat p”, atau “paling sedikit satu x bersifat p. Notasi
∃ yang dibaca : “beberapa” , “terdapat”, “paling sedikit satu ” disebut
kuantor eksistensial.
Definisi 4.9. Nilai kebenaran kuantor eksistensial adalah
τ(∃x, p(x)
)= 1, jika dan hanya jika Tp 6= ∅.
Contoh 4.8.
(i) p(x) : x2− 4x+ 4 = 0 untuk semesta <, dengan Tp = {2}, maka
∃x, x2 − 4x+ 4 = 0 untuk semesta < adalah benar.
(ii) p(x) : x2 − 2x + 4 = 0 untuk semesta <, dengan Tp = ∅, maka
∃x, x2 − 4x+ 4 = 0 adalah salah.
Dalam menggunakan kata-kata “terdapat x”, biasanya ditambahkan
juga istilah “sedemikian sehingga” yang dalam logika dinotasikan den-
gan “3 ”
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
158 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Contoh 4.9. Notasi logika dari pernyataan “terdapat bilangan asli sedemikian
sehingga kuadratnya lebih dari 26 tetapi tidak lebih dari 100” adalah
∃x ∈ N,3 26 < x2 ≤ 100.
Kuantor Universal dan eksistensial masing-masing dapat digu-
nakan untuk mendefinisikan Irisan dan gabungan dari keluarga him-
punan {Ai, i = 1, 2, 3, · · · };
(i) Irisan (Interseksi) keluarga himpunan. adalah himpunan yang
beranggotakan unsur-unsur yang muncul pada setiap himpunan,
yaitu: ⋂i∈I
Ai = {x|x ∈ Ai, ∀i ∈ I}
(ii) Gabungan (Union) dari keluarga himpunan adalah himpunan
yang beranggotakan unsur-unsur yang cukup muncul pada salah
satu himpunan Ai tadi⋃i∈I
Ai = {x|∃i ∈ I 3 x ∈ Ai}
Pembahasan yang lebih rinci akan disampaikan pada Bab Pada Bab
6.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
159 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
4.4. Negasi Kuantor
Seperti halnya pada pernyataan tanpa kuantor, pada dasarnya negasi
diperoleh dengan melakukan penyangkalan terhadap kalimat bersangku-
tan. Misalnya penyangkalan terhadap pernyataan : “Semua manusia
berhati dengki”, mengandung pengertian bahwa tidak semua manusia
berhati dengki, atau, “setidak-tidaknya ada satu manusia yang tidak
berhati dengki”. Secara simbolis dapat dituliskan:
(∀x ∈M)(x berhati dengki )) ≡ ∀x ∈M,d(x)
¬(∀x ∈M)(x berhati dengki )
)≡ ¬
(∀x ∈M,d(x)
)∃(x ∈M)(x tidak berhati dengki) ≡
(∃x ∈M 3 d(x)
)Kita peroleh kesimpulan bahwa :
¬[(∀x)
(p(x))
)]= ∃x,3 p(x). (4.1)
Hasil di atas dapat diangap sebagai penerapan hukum De Morgan
pada pernyataan yang mengandung kuantor. Pernyataan/ kalimat x
tidak bersifat p biasa dinotasikan dengan“¬p(x)” atau “p(x)” atau
“6 p(x)”.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
160 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Contoh 4.10. Tuliskan Kalimat / pernyataan berikut dengan tanda
kuantor yang tepat dan tentukan negasinya. Demikian pula tulis secara
lengkap bagaimana pengucapan negasinya.
(i) “Semua bilangan asli n bersifat n+ 2 ≥ 10.”
Jawab
Notasi p : ∀n ∈ N, n+ 2 ≥ 10.
Negasi ¬p : ∃n ∈ N,3 n+ 2 � 10
≡ ∃n ∈ N,3 n+ 2 < 10
Pernyataan di atas dapat diucapkan sebagai “beberapa bilangan
asli jika ditambah 2 hasilnya kurang dari 10”, atau “beberapa
bilangan asli n bersifat n+ 2 < 10”.
(ii) “Setiap manusia dapat mati”
Jawab:
Notasi : p ≡ (∀x ∈M)(x dapat mati)
≡ (∀x ∈M)m(x)
Negasi : ¬p ≡ (∃x ∈M),3 (xtidak dapat mati)
≡ (∃x ∈M),3 (m(x))
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
161 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Ada manusia yang tidak dapat mati.
Selanjutnya negasi dari pernyataan yang mengandung kuantor
eksistensial dicari dengan cara yang sama. Misalnya sanggahan ter-
hadap pernyataan:“Ada manusia yang bisa terbang” adalah: “Tidak
benar (mustahil) ada manusia yang dapat terbang”. Pernyataan ini
mengandung arti bahwa semua manusia tidak dapat terbang. Secara
simbolis kita dapat ditulis:∃x ∈M 3 x dapat terbang ≡ ∃x ∈M, t(x)
¬[∃x ∈M(xdapat terbang)
]≡ ¬
[x ∈M, t(x)
]∀x ∈M(x tidak dapat terbang) ≡ ∀x ∈M, t(x)
Jadi, secara umum kita peroleh
¬[(∃x) 3
(q(x))
)]= ∀x, q(x). (4.2)
Perhatikan bahwa nilai kebenaran p dengan ¬p untuk p yang
mengandung kuantor adalah saling berlawanan, sebagaimana p yang
tidak mengandung kuantor.
Contoh 4.11. Tuliskan notasi pernyataan berikut dengan tepat. Selan-
jutnya tentukan negasi dan pengucapannya.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
162 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
i Ada bilangan prima yang genap
Jawab :
misalkan P adalah bilangan prima, dan g : bersifat genap.
Notasi : ∃x ∈ P, g(x)
Negasi : ∀x ∈ P, g(x)
: semua bilangan prima, tidak genap.
ii Semua bujur sangkar adalah persegi panjang
Jawab :
misalkan B : bujur sangkar p : persegi panjang.
Notasi : ∀x ∈ B, p(x)
Negasi : ∃x ∈ B,3 p(x)
Ada bujur sangkar yang bukan persegi panjang.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
163 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
4.5. Notasi lain untuk ∀ dan ∃Misalkan U = {2, 3, 5} dan p(x): x adalah bilangan prima, maka
pernyataan : “2 adalah bilangan prima dan 3 adalah bilangan prima
dan 5 adalah bilangan prima” dapat dinotasikan dengan : p(8)∧p(3)∧p(5) = ∀u ∈ U, p(u). Pernyataan ini berarti: “setiap u ∈ U bersifat
p(u). Jadi kita peroleh :
∀u ∈ U, p(u) ≡∧u∈U
p(u) (4.3)
Demikian pula kalimat : “2 adalah bilangan prima atau 3 adalah bilan-
gan prima atau 5 adalah bilangan prima” dapat dinotasikan :p(2) ∨p(3) ∨ p(5) ≡
∨u∈U p(u). Pernyataan di atas sama artinya dengan
setidaknya (paling tidak) ada satu elemen U yang bersifat p yaitu :
∃u ∈ Up(u). Jadi
∃u ∈ U, p(u) ≡∨u∈U
p(u) (4.4)
Jadi notasi∧ dan ∨ juga dapat dipergunakan selain notasi ∀ dan ∃.Catatan : Jika U adalah himpunan yang berhingga maka perny-
ataan (4.3) dan (4.4) dapat dibuat. Tetapi untuk U yang takberhingga
hanya (4.4) yang dibuat.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
164 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
4.6. Kuantor, Disjungsi, Konjungsi dan Implikasi
Penggunaan kuantor dapat bersama-sama dengan konektif atau per-
akit -perakit pernyataan seperti dijungsi, konjungsi maupun implikasi.
Contoh 4.12. Berikut ini adalah beberapa contoh kuantor yang bergabung
dengan beberapa perakit logika yang telah dipelajari.
1. Untuk semua bilangan asli, jika dia prima (P), maka dia ganjil
(G)
∀x ∈ <, P (x)→ G(x)
2. Semua segitiga sama sisi (S) adalah sama kaki(K). Pernyataan
ini ekuivalen dengan “untuk semua segitiga, jika dia sama sisi
maka dia sama kaki”.
∀x ∈ G, S(x)→ K(x)
3. Ada bilangan prima (P) yang genap (A). Pernyataan ini ekuiv-
alen dengan “ada bilangan asli (N) yang sekaligus prima (P) dan
genap (A)”.
∃x ∈ N 3[P (x) ∧ A(x)
]
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
165 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
4. Untuk semua bilangan bulat, jika tidak ganjil, pastilah dia genap
dan tidak mungkin dua-duanya.
∀x ∈ B, G(x)∨A(x)
Apabila P (x) adalah kalimat majemuk yang mengandung per-
akit, maka negasinya adalah
¬[(∀x)
(P (x))
)]= ∃x,3 p(x). (4.5)
demikian juga
¬[(∃x) 3
(q(x))
)]= ∀x, q(x). (4.6)
dengan P (x) maupun Q(x) mengikuti aturan negasi perakit seperti
hukum De Morgan.
Berikut adalah negasi dari pernyataan berkuantor yang bergabung
dengan beberapa perakit logika seperti pada contoh-contoh berikut
Contoh 4.13. Ada bilangan asli yang prima(P) tetapi tidak ganjil(G)
∃x ∈ N,3[P (x) ∧ ¬G(x)
]
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
166 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Contoh 4.14. Ada segitiga sama sisi (S) yang tidak sama kaki(K).
∃x ∈ G, S(x) ∧ ¬K(x)
Contoh 4.15. Semua bilangan prima (P) tidak genap (A). Pernyataan
ini ekuivalen dengan “untuk semua bilangan asli (N) jika dia prima (P)
maka dia tidak genap (A)”.
∀x ∈ N,(P (x)→ ¬A(x)
)Contoh 4.16. Ada bilangan bulat yang tidak ganjil dan tidak genap atau
ada bilangan bulat yang sekaligus ganjil dan genap.
∃x ∈ B,
[(¬G(x) ∧ ¬A(x)
)∨(G(x) ∧ A(x)
)]
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
167 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
4.7. Contoh Penyanggah/ Contoh Kontra
Perhatikan bahwa ¬∀x, P (x) ≡ ∃x, P (x) yang dapat diartikan bahwa
pernyataan “tidak benar bahwa semua x bersifat P , ekuivalen den-
gan pernyataan“ada x tidak bersifat P”. Jadi untuk mengatakan
bahwa kalimat ∀x, P (x) salah, ekuivalen dengan menunjukkan bahwa
¬∀x, P (x) benar. Pernyataan terakhir ini ekuivalen dengan menun-
jukkan bahwa paling tidak ada satu x yang tidak bersifat P . x yang
tidak bersifat P disebut contoh penyanggah/ kontra (counter example)
dari pernyataan ∀x, P (x).
Teorema 4.3. Pernyataan ∀x, p(x) bernilai salah jika ada contoh
penyanggahnya dan bernilai benar jika tidak ada contoh penyanggah-
nya.
∃x, 6 p(x)⇒ τ(∀x, p(x)
)= 0
6 ∃x, 6 p(x)⇒ τ(∀x, p(x)
)= 1
Pada contoh-contoh berikut kita dapat menentukan nilai kebe-
naran pernyataannya dengan menentukan contoh penyanggahnya.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
168 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Contoh 4.17. Pernyataan ∀x, |x| > 0 bernilai salah karena ada x = 0
dengan |x| ≯ 0.
Contoh 4.18. Pernyataan ∀x, x2 > x bernilai salah karena ada x = 12
dengan(x2 = 1
4
)≯(x = 1
2
)Contoh 4.19. Semua bilangan prima (P) adalah ganjil (G) atau untuk
setiap bilangan riil, jika dia prima pastilah ganjil.
∀x, x ∈ P →∈ G
Pernyataan ini adalah salah karena ada contoh penyanggahnya, yaitu
∃x = 2 3(x ∈ P ∧ x /∈ G
)Contoh 4.20. Pernyataan berikut adalah benar, karena tidak ada contoh
penyanggahnya.
∀x, x ∈ P →∈ G
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
169 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
4.8. Kuantor dan kalimat terbuka lebih dari satu
peubah
Untuk kalimat terbuka dengan lebih dari satu peubah, pada prinsip-
nya tiap-tiap peubah disajikan dengan kuantor masing-masing. Mis-
alkan ada beberapa himpuan A1, A2, · · · , An. Suatu kalimat terbuka
pada A1×A2× · · · ×An dinotasikan dengan p(x1, x2, · · · , xn) dengan
sifat bahwa p(x1, x2, · · · , xn) bernilai benar atau salah (tetapi tidak
keduanya) untuk suatu (x1, x2, · · · , xn) ∈ A1 × A2 × · · · × An
Contoh 4.21. Misalkan M adalah himpunan laki-laki dan W adalah
himpunan perempuan, maka: “x suami dari y” adalah kalimat terbuka
pada M ×W dan kalimat : “x istri dari y” adalah kalimat terbuka pada
W ×M .
Contoh 4.22. Tentukan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan berikut
untuk semesta U = {1, 2, 3}.
i ∀x,∃y, x2 + y2 < 14
ii ∃x,∀y, x2 + y2 < 14
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
170 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
iii ∀x,∀y, x2 + y2 < 14
Jawab:
i Pernyataan ini mengandung pengertian bahwa setiap kali kita
mengambil x ∈ U , kita dapat mengambil beberapa y ∈ U ,
sedemikian sehingga x2 + y2 < 14.
Jika kita ambil x = 1 maka kita bisa ambil y = 1, 2, 3
x = 2 y = 1, 2, 3
x = 3 y = 1, 2
Jadi pernyataan [i] bernilai:benar.
ii Pernyataan ini mengandung pengertian bahwa ada x ∈ U yang
berlaku untuk semua y ∈ U sedemikian sehingga x2 + y2 < 14.
Dari pernyataan [i] di atas terlihat bahwa jika kita ambil x =
1, 2, maka nilai x ini berlaku untuk semua y ∈ U sedemikian
sehingga x2 + y2 < 14. Jadi pernyataan [ii] bernilai benar.
iii Pernyataan ini mengandung pengertian bahwa untuk semua x ∈U dan semua y ∈ U berlaku x2 + y2 < 14. Dari pernyataan [i]
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
171 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
di atas terlihat bahwa jika kita ambil x = 3 dan y = 3 tidak
berlaku x2 + y2 < 14. Jadi pernyataan [iii] bernilai salah.
Contoh 4.23. Untuk semesta U = {1, 2, 3} selidiki apakah pernyataan
berikut benar atau salah
∀x, ∀y, ∃z,3 x2 + y2 ≤ 2z2
Jawab:
Untuk sembarang atau semua x, y ∈ U terdapat atau dapat
diambil z ∈ U sedemikian sehingga x2 + y2 ≤ 2z2. Pernyataan ini
benar karena tidak ada contoh penyanggahnya. Namun untuk lebih
jelasnya kita dapat memeriksa semua pasangan x dan y seperti berikut
ini:
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
172 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
x y z x2 + y2 ≤ 2z2 Nilai(B/S)
1 1 3 2 18 B
1 2 3 5 18 B
1 3 3 10 18 B
2 1 3 5 18 B
2 2 3 8 18 B
2 3 3 13 18 B
3 1 3 10 18 B
3 2 3 13 18 B
3 3 3 18 18 B
Teorema 4.4. Jika x dan y berasal dari semesta yang sama, maka
berlaku
1. ∀x,∀y p(x, y) ≡ ∀x, y p(x, y) ≡ ∀y,∀x p(x, y)
2. ∃x,∃y p(x, y) ≡ ∃x, y p(x, y) ≡ ∃y,∃x p(x, y)
3. ∀x,∃y p(x, y)⇒ ∃y, forallx p(x, y)
4. ∀x p(x)⇔ ¬[∃x 3 p(x)
]
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
173 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
5.[∀x p(x)
]∧[∀x q(x)
]⇔ ∀x
[p(x) ∧ q(x)
]6.[∃x p(x)
]∨[∃x q(x)
]⇔ ∃x
[p(x) ∨ q(x)
]7.[∀x p(x)
]∨[∀x q(x)
]⇒ ∀x
[p(x) ∨ q(x)
]
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
174 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
4.9. Beberapa Bentuk Khusus
Selain kuantor dalam bentuk umum ∀ dan ∃ ada bentuk kuantor
khusus seperti pada berikut ini, yang berlaku apabila peubahnya be-
rasal dari semesta yang sama. Apabila semestanya tidak sama, maka
sifat-sifat tersebut belum tentu berlaku.
1. Terdapat dengan tunggal x yang bersifat p.
∃!x p(x)
2. Ada sebanyak-banyaknya satu objek bersifat p. Ini berarti jika
ada x dan y masing-masing bersifat p, maka x = y.
(∀x, y)(p(x) ∧ p(y)
)⇔ x = y
3. Setidaknya ada dua objek bersifat p. Berarti ada dua objek yang
tidak sama masing-masing bersifat p.
∃x, y (x 6= y) ∧(p(x) ∧ p(y)
)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
175 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
4. Tepat ada dua objek bersifat p. Berarti ada dua objek yang
tidak sama masing-masing bersifat p dan setiap objek ketiga
yang bersifat p, maka objek ketiga ini pasti sama dengan salah
satu dua objek pertama.
∃x, y (x 6= y) ∧(p(x) ∧ p(y)
)∧ (∀z)
[p(z)⇒ (z = x ∨ z = y)
]5. Sebanyak-banyaknya ada dua objek bersifat p. Berarti bisa ada
dua, satu atau tidak ada objek yang bersifat p.
∀x, y, z(p(x) ∧ p(y) ∧ p(z)
)⇒[(x = y) ∨ (x = z) ∨ (y = z)
6. Setidaknya ada satu objek bersifat p
∃x p(x)
Contoh 4.24.
Misalkan M = { Pak Ali, Pak Amir,Pak Budi } merupakan
himpunan suami
W = { Ny. Budi, Ny. Amir, Ny. Ali, Ny. Ton, Ny. Hasan }merupakan himpunan istri.
s(x, y) : x suami y
t(x, y) : x istri y
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
176 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Us = M ×W dan Ut = W ×M. Selanjutnya selidiki nilai kebenaran
pernyataan-pernyataan
i ∀x ∈M,∃y ∈ W, s(x, y).
ii ∃y ∈ W,∀x ∈M, s(x, y).
iii ∃x ∈ W,∃y ∈M, s(x, y).
iv ∃x ∈ W,∃y ∈M, t(x, y).
v ∀x ∈ W,∃y ∈M, t(x, y).
Jawab:
i Pernyataan ∀x ∈M,∃y ∈ W, s(x, y) berarti bahwa untuk setiap
orang anggota M terdapat perempuan anggota W sedemikian
sehingga x suami y. Dengan kata lain setiap suami di M ada
istrinya di W . Pernyataan ini benar.
ii Pernyataan ∃y ∈ W,∀x ∈ M, s(x, y) berarti ada perempuan
anggota W yangberlaku untuk semua laki-laki angggota M se-
hingga laki-laki tersebut suami perempuan tadi. Dengan kata
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
177 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
lain ada beberapa perempuan yang menjadi istri semua laki-laki
di M . Pernyataan ini salah.
iii Pernyataan ∃x ∈ W,∃y ∈M, s(x, y) berarti dari anggotaM dan
W dapat dibuat pasangan suami-istri. Pernyataan ini benar.
iv Pernyataan ∃x ∈ W,∃y ∈M, t(x, y) identik dengan pernyataan
(iii) jadi bernilai benar.
v Pernyataan ∀x ∈ W,∃y ∈M, t(x, y) berarti bahwa untuk semua
perempuan anggota W dapat ditentukan laki-laki anggota M
sehingga dia menjadi istri laki-laki ini. Pernyataan ini salah
karena ada contoh penyanggah yaitu untuk Ny. Hasan tidak
dapat ditentukan laki-laki anggota M sehigga Ny. Hasan istri
laki-laki tersebut.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
178 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
4.10. Bacaan Lebih Lanjut
Untuk mendalami lebih jauh materi pada bab ini dapat dibaca be-
berapa sumber yang telah dikutip sebelumnya. Slain itu dapat juga
dibaca beberapa sumber lain di antaranya Enderton [4], Thomas [20],
Gemignani [6], Polimeni & Straight [15], Fletcher et al. [5].
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
179 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
4.11. Latihan
1. Bubuhkan tanda kuantor yang paling tepat (6 ∃,∃!,∃,∀) sehingga
pernyataan-pernyataan berikut menjadi benar untuk semesta
pembicaraan <. Selanjutnya berikan himpunan penyelesaian-
nya.
(a) (. . . x) x2 = 0
(b) (. . . x) cos xo = 3
(c) (. . . x) x2 + 2x+ 1 = 0
(d) (. . . x) x2 + 5x+ 6 = 0
(e) (. . . x) x2 + 2x+ 4 = 0
(f) (. . . x) (. . . y) x > y
(g) (. . . x (. . . y) xy = y
(h) (. . . x (. . . y) (. . . z) x = y = z
(i) (. . . x (. . . y) (. . . z) x+ y = z
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
180 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
2. Bubuhkan tanda kuantor yang paling tepat (6 ∃,∃!,∃,∀) sehingga
pernyataan-pernyataan berikut menjadi benar untuk semesta
pembicaraan himpunan manusia. Selanjutnya tentukan negasinya.
(a) (. . . x) (x ada yang melahirkan).
(b) (. . . x) (x berkaki lima).
(c) (. . . x) (. . . y) (x adalah saudara kandung y).
(d) (. . . x) (. . . y) (x tepat sama dengan y).
(e) (. . . x) (. . . y) (x adalah suami y).
(f) (. . . x) (. . . y) (. . . y) (x, y, z saling mengenal).
3. Misalkan
M(x) : x adalah manusia
P (x) : x adalah pria
W (x) : x adalah wanita
r(x) : x suka merokok
q(x, y) : x dan y saling mencintai
t(x, y) : x lebih cerdas dari y
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
181 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Untuk masing-masing soal berikut tentukan simbol logikanya,
simbol negasinya dan pengucapan negasinya. Selanjutnya den-
gan menggunakan dunia riil sebagai semesta tentukan yang mana
dari pernyataan (atau negasinya) yang bernilai benar.
(a) Setiap pria lebih cerdas dari setiap wanita.
(b) Ada wanita yang lebih cerdas dari beberapa pria.
(c) Setiap manusia adalah pria atau wanita tetapi tidak dua-
duanya.
(d) Setidaknya ada satu wanita yang suka merokok.
(e) Ada beberapa pria dan wanita yang saling menciantai.
(f) Setiap pria tidak lebih cerdas dari setiap wanita.
(g) Paling tidak ada 3 laki-laki yang suka merokok.
(h) Paling banyak hanya ada 2 wanita yang suka merokok.
4. Buatlah negasi dari pernyataan-pernyataan berikut:
(a) ∀x, |x| > 0
(b) ∃x 3 x2 = x
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
182 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
(c) ∀x∃y 3 xy
= 1
(d) ∀x∃y 3 xy = x
(e) ∃x∀y 3 xy = y
(f) ∀(x, y)[p(x) ∨ q(x)
](g) ∀(x, y)
[p(x, y)→ q(x, y)
]5. Diketahui:
N(x) : x adalah bilangan asli.
P (x) : x adalah bilangan prima.
G(x) : x adalah bilangan genap.
I(x) : x adalah bilangan ganjil.
C(x) : x adalah bilangan cacah.
S(x) : x adalah bujur sangkar.
J(x) : x adalah persegi panjang.
Tentukan notasi pernyataan-pernyataan berikut:
(a) Setiap bilangan asli adalah ganjil atau genap, tetapi tidak
keduanya.
(b) Setiap bilangan asli aalah bilangan cacah.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
183 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
(c) Terdapat bilangan yang sekaligus prima dan genap.
(d) Tidak ada bilangan asli yang ganjil.
(e) Semua bujur sangkar adalah persegi panjang.
(f) setiap bilagan prima adalah bilangan asli.
6. Nyatakan pernyataan-pernyataan berikut dengan notasi yang di-
tunjuk:
(a) Orang yang bangun pagi memperoleh udara segar. O(x) :
x adalah orang, S(x) : x adalah udara segar, p(x, y) : x
memperoleh y.
(b) Setiap mawar memiliki duri. M(x) : x adalah mawar,
D(x) : x adalah duri, p(x, y) : x memiliki y.
(c) Singa yang mati lebih berbahaya dari anjing hidup. S(x) :
x adalah singa, M(x) : x adalah mati, A(x) : x adalah
anjing, H(x) : x adalah hidup, B(x, y) : X lebih berbahaya
dari y.
(d) Semua manusia tidak mengetahui sesuatu, sebelum dia mem-
pelajarinya. M(x) : x adalah manusia,T (x, y) : x tidak
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
184 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
mengetahui y, B(x, y) : x mempelajari y.
7. Nyatakan apakah kalimat-kalimat berikut merupakan suatu kali-
mat terbuka (bermakna) pada himpunan yang diberikan.
(a) x+ 2 < 1 untuk semesta himpunan bilangan asli.
(b) x2 + 2x+ 1 = 0 untuk semesta bilangan riil.
(c) x+ 3 > 5 untuk semesta bilangan kompleks.
(d) sin2 xo + cos2 xo = 1 untuk semesta bilangan riil.
(e) x mencintai y untuk semesta bilangan kompleks.
(f) tanxo =sinxo
cosxountuk semesta bilangan riil.
8. Tentukan negasi dari pernyataan-pernyataan berikut:
(a) ∀x ∈ <, x+ 3 > 3
(b) ∃x ∈ < 3 x− 5 < 4
(c)[∃x, p(x)
]∨[∀y, q(y)
](d) ∀x, y
[p(x, y)→ q(x, y)
]
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
185 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
(e) ∃x, y[p(x, y) ∧ q(x, y)
](f) ∀ε > 0,∃N0,3 ∀N,
[N > N0 → |aN | < ε
]9. Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5, }. Tentukan himpunan penyelaian
dari kalimat-kalimat terbuka berikut.
(a) ∃x 3 2x+ 3 < 7.
(b) ∃x 3 x adalah genap.
(c) ∃x 3 x bukan prima.
(d) ∃x 3 xx = x
10. Untuk semesta U = {2, 3, 4, . . . , 8, 9} tentukan contoh penyang-
gah pernyataan-pernyataan berikut.
(a) ∀x, x+ 5 < 12.
(b) ∀x, x adalah prima.
(c) ∀x, x2 > 1.
(d) ∀x, x+ 5 > 7.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
186 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
187 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
BAB 5
PENALARAN LOGIS
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
188 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tujuan Umum
Setelah meyelesaikan materi pada bab ini pembaca diharapkan mema-
hami tehnik-tehnik penarikan kesimpulan yang valid baik secara lang-
sung (deduktif), tak langsung, maupun secara induktif. Nantinya di-
harapkan mampu menerapkannya dalam pembuktian teorema-teorema
di berbagai bidang matematika.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
189 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tujuan Khusus
Setelah meyelesaikan materi pada bab ini pembaca diharapkan dapat
1. menyebutkan definisi argumen
2. mengguakan berbagai bentuk argumen yang valid dalam menrik
kesimpulan
3. menggunakan pembuktian tidak langsung
4. menggunakan Induksi Matematika
5. menggunakan tehnik Argumen yang mengandung kuantor
6. menghindarkan sesat Pikir
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
190 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Materi
1. Argumen
2. Bentuk-Bentuk argumen yang valid
3. Pembuktian tidak langsung
4. Induksi Matematika
5. Argumen berkuantor
6. Sesat Pikir
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
191 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
5.1. Argumen
Definisi 5.1. Argumen adalah suatu proposisi/ pernyataan majemuk
yang memuat sekumpulan pernyataan-pernyataan P1, P2, ...Pn (dise-
but premis) dan diikuti suatu pernyataan lain Q yang disebut disebut
konklusi /kesimpulan.
Notasi : Argumen secara umum dinotasikan dengan:
P1, P2, . . . Pn ` Q
Karena argumen itu adalah suatu proporsi/ pernyataan maka ia dapat
bernilai benar atau salah. Argumen yang benar disebut argumen valid
/sah /sahih. Sedangkan argumen yang tidak benar disebut argumen
yang invalid /sesat /fallacy.
Definisi 5.2. Suatu argumen dikatakan valid jika kesimpulannya meru-
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
192 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
pakan implikasi logis dari premis-premisnya, yaitu:
P1, P2, . . . Pn ` Q jhj P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ · · · ∧ Pn⇒ Q atau
P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ · · · ∧ Pn→ Q ≡ T
Karena suatu tautologi akan tetap benar tanpa bergantung pada
isi pernyataan-pernyataannya maka vadilitas argumen juga tidak bergan-
tung pada isi pernyataan-pernyataan baik pada premis maupun kon-
klusinya. Ia hanya bergantung pada bentuknya, apakah suatu tau-
tologi atau tidak. Ini adalah ciri khas dari logika matematika yang
bersifat formal. Untuk lebih jelasnya berikut dikutipkan pendapat
Lipschutz (1974:27) berikut :
We emphasize that the validity of an argument does not
depend upon the truth values nor the content of the state-
ment appearing in the argument, but upon the particular
form of the argument.
Contoh 5.1.
P1 : Jika orang hidup membujang maka ia akan tidak bahagia
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
193 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
P2 : Jika orang tidak bahagia maka ia akan mati muda
Q : Jadi (∴)orang yang hidup membujang akan mati muda.
Untuk menyelidiki valid tidaknya argumen di atas kita buat ben-
tuk/ simbol, misalkan:
p : hidup membujang (orang hidup membujang)
q : orang hidup bahagia
r : orang mati muda
Kita peroleh :
(p→ q, q → r)→ (p→ r)
Kita bisa membuktikan/ menunjukkan bahwa:
(p→ q, q → r)⇒ (p→ r)
Jadi penalaran diatas adalah benar/ logis/ valid, terlepas dari
keadaan yang sebenarnya (the concrete situation).
kata-kata jadi, oleh karena itu, kesimpulan, dalam matematika
sering dinotasikan dengan ∴.
Contoh 5.2.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
194 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
P1 : Jika dua sisi segitiga sama panjang maka sudut-sudut
dihadapannya sama besar
P2 : Sudut dihadapannya sama besar
Q : Jadi sisi (dua sisi) segitiga sama panjang.Sepintas kesimpulan di atas nampak valid, karena pernyataan
kesimpulan sesuai dengan kenyataan sifat-sifat dalam geometri. Tetapi
dilihat dari cara penarikan kesimpulannya, penalaran diatas tidak sah
/sesat. Kita dapat menyelidiki bahwa bentuk:((p→ q) ∧ q
)→ r
bukan tautologi.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
195 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
5.2. Bentuk-Bentuk Argumen Yang Valid
Telah diuraikan di depan bahwa validitas suatu argumen bergantung
pada bentuknya apakah merupakan implikasi logis atau tidak. Den-
gan demikian sembarang implikasi logis dapat dijadikan argumen yang
valid. Berikut ini diberikan beberapa bentuk implikasi logis yang
umum dipakai dalam penarikan kesimpulan.
1. Simplifikasi
Bentuk umum
p ∧ q ` p
p ∧ q ` q
Simplifikasi ini merupakan penalaran yang paling sederhana dan
dengan mudah dapat dipahami bahwa jika p∧q benar maka baik
p maupun q adalah benar.
Contoh 5.3.
2 dan 5 adalah bilangan prima
2 adalah bilangan prima
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
196 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
2. Konjungsi
Bentuk umum :
p, q ` p ∧ q
Contoh 5.4.
2 adalah bilangan prima
2 adalah bilangan genap
2 adalah bilangan prima dan genap
3. Adisi
Bentuk umum :
p ` p ∨ q
q ` p ∨ q
Contoh 5.5.
2 adalah bilangan prima
2 atau 8 adalah bilangan prima
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
197 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
4. Silogisme disjungtif
Bentuk umum :
p ∨ q,¬p ` q
Pernyataan p ∨ q benar jika salah satu atau keduanya benar,
karena itu, jika p tidak benar maka logis kita simpulkan q benar.
Contoh 5.6.
2 atau 8 adalah bilangan prima
8 bukan bilangan prima
2 adalah bilangan prima
Contoh 5.7.
Ayah atau ibu menjemput adik
Ayah tidak menjemput adik
Ibu menjemput adik
5. Silogisme Disjungsi Eksklusif
Bentuk umum :
p∨q, p ` ¬q
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
198 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Pada disjungsi eksklusif kebenaran komponennya tidak terjadi
bersama-sama. Jadi jika p benar haruslah q salah (tidak terjadi).
Contoh 5.8.
Ayah sedang di pasar atau di kantor
Ayah sedang di kantor
Ayah tidak sedang di pasar
6. Modus Ponens/ Hukum Detasemen
Bentuk umum :
p→ q, p ` q
Bukti validitasnya dapat ditunjukkan berikut :
(p→ q) ∧ p ≡ (¬p ∨ q) ∧ p ekuivalensi
≡ (¬p ∧ p) ∨ (q ∧ p) distributif
≡ 0 ∨ (q ∧ p) komplemen
≡ q ∧ p identitas
⇒ q simplifikasi
Jadi (p→ q) ∧ p⇒ q dan p→ q, p ` q.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
199 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Contoh 5.9.
Jika matahari terbit dari barat maka manusia tidak pernah mati
Matahari terbit dari barat
Manusia tidak pernah mati
7. Modus Tolens
Bentuk umum :
p→ q,¬q ` ¬p
Bukti :
(p→ q) ∧ ¬q ≡ (¬p ∨ q) ∧ ¬q EDI
≡ (¬p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ ¬q) distributif
≡ (¬p ∧ ¬q) ∨ 0 komplemen
≡ (6= p ∧ ¬q) identitas
⇒ ¬p simplifikasi
Pada penerapan hukum simplifikasi di atas ¬p ∧ ¬q karena ¬qdiketahui, maka tidak perlu digunakan sebagai kesimpulan dan
kesimpulan kita adalah ¬p.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
200 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
8. Silogisme Hipotetik
Bentuk umum :
p→ q, q → r ` p→ r
Salah satu cara untuk membuktikannya adalah sebagai berikut
ini. Misalkan:
P1 : p→ r
P2 : q → r
Di lain pihak secara keseluruhan implikasinya dapat diubah
Andaikan p
⇒q berdasar P1 dan Modes Ponen
⇒r berdasar P2 dan Modes Ponen
⇒p→ r
Dengan kata lain pengandaian p akan menghasilkan kesimpulan
r.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
201 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
9. Dilema Kontruktif
Bentuk umum :
p→ q, r → s, p ∨ r ` q ∨ s
Dilema kontruktif ini adalah merupakan bentuk Modus Ponens
yang lengkap (gabungan dua modus ponen). Ini dapat dipahami
sebagai berikut : p syarat cukup untuk q dan r syarat cukup
untuk s, jika salah satu dari p atau r muncul pastilah salah
satu q atau s muncul.(Bisa juga dilakukan dengan membuktikan
tautologinya)
Contoh 5.10.
Jika hari hujan maka tanah basah
Jika kamu datang maka saya senang
Hari ini hujan atau kamu datang
Tanah basah atau saya senang
Bentuk lain, yang lebih sederhana dari Dilema konstruktif ini
adalah:
(p→ q), (r → q), (p ∨ r) ` q
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
202 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Yang merupakan bentuk modus ponen. Untuk membuktikan va-
liditasnya kita harus membuktikan implikasi logisnya kita harus
membuktikan bahwa :
(p→ q) ∧ (r → q) ∧ (p ∨ r)⇒ q
Contoh 5.11.
Jika hari hujan maka tanah basah
Jika tanah disiram maka tanah basah
Hari hujan atau tanah disiram
Maka tanah basah
10. Dilema Destruktif
Bentuk umum :
(p→ q), (r → s), (¬q ∨ ¬s) ` (¬p ∨ ¬r)
Karena q adalah syarat perlu untuk p dan s syarat perlu untuk
r maka, jika q atau s tidak terjadi maka p atau r juga tidak
terjadi.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
203 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Contoh 5.12.
Jika hari hujan maka tanah basah
Jika kamu datang maka saya senang
Tanah tidak basah atau saya tidak senang
Hari tidak hujan atau kamu tidak datang
Bentuk lain yang termasuk dilema destruktif adalah :
(p→ q), (p→ r),¬(q ∧ r) ` ¬p
Contoh 5.13.
Jika suatu bilangan asli maka bilangan itu bulat
Jika suatu bilangan asli maka bilangan itu rasional√2 tidak sekaligus bulat dan rasional√2 bukan bilangan asli
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
204 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
5.3. Pembuktian Tidak Langsung
Kadang-kadang dalam membuktikan suatu pernyataan matematis kita
tidak dapat/ tidak praktis membuktikan langsung dari premis-premisnya.
Beberapa cara pembuktian yang umum dikelompokkan ke dalam bukti
tidak langsung ini adalah :
1. Bukti negasi atau bukti dengan contoh kontra/ penyanggah
2. Bukti kotradiksi (Absurditas/ Reduksio ad Absurdum/ Argu-
ment by cotradiction)
3. Bukti kontra positif
4. Bukti pemilihan dan pencoretan.
5.3.1. Pembuktian dengan Negasi
Kita telah mengetahui bahwa p dan ¬p mempunyai nilai kebenaran
yang bertentangan. Jika p benar maka ¬p salah. Dengan demikian
jika kita dapat membuktikan ¬p salah sama halnya membuktikan ¬pbenar, sebaliknya jika kita dapat menunjukkan ¬p benar berarti kita
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
205 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
telah membuktikan p salah. Dalam argumen berkuantor universal
kita dapat menunjukkan valid/ tidaknya dengan menunjukkan contoh-
contohnya.
∃xo ∈ U, p(xo) ` ¬(∀(x ∈ U, p(x)
)@xo ∈ U, p(x) ` ∀x ∈ U, p(x)
Di sini xo dikatakan sebagai contoh penyanggah dan pembuk-
tian dengan cara menunjukkan contoh penyanggah disebut pembuk-
tian dengan negasi.
Contoh 5.14.
p: setiap bilangan prima adalah ganjil.
Jika kita ingin menunjukkan bahwa p adalah salah, maka kita
dapat melakukannya dengan menunjukkan bahwa ¬p adalah benar,
dengan ¬p adalah “ada bilangan prima yang tidak ganjil”. Pernyataan
ini (¬p) adalah pernyataan yang bernilai benar, yaitu ada xo = 2 yang
merupakan bilangan prima tidak ganjil. 2 disebut contoh penyanggah
dari pernyataan p.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
206 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Contoh 5.15. p: setiap bilangan asli adalah bulat.
Negasi pernyataan tersebut, ¬p adalah: “terdapat bilangan asli
yang tidak bulat”. Penyataan ¬p tidak benar, karena tidak ada bi-
langan asli yang tidak bulat (contoh kontranya tidak ada, ∅). Jadi
pernyataan p benar.
5.3.2. Pembuktian dengan Kontradiksi
Untuk membuktikan kebenaran suatu pernyataan kita dapat juga
mengandaikan bahwa pernyataan itu salah, dari pengandaian ini akan
ditemukan suatu kontradiksi. Dari kontradiksi yang terjadi disim-
pulkan bahwa pengandaian ini salah. Bukti ini sering juga disebut
bukti pengandaian .
Bentuk pembuktian ini adalah :(¬p→ F
)` p
Pengambilan ¬p disini adalah suatu pengandaian.
Contoh 5.16.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
207 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Buktikan bahwa “himpunan kosong adalah subset sembarang
himpunan H”, ∅ ⊆ H.
Bukti :
Misalkan pernyataan “himpunan kosong adalah subset sembarang
himpunan H” adalah p. Andaikan yang benar adalah ¬p, “∅ bukan
subset dari H”. Ini berarti (dari definisi tentang subset):
∃x ∈ ∅, tetapi x ∈ H.
Pernyataan x ∈ ∅ adalah suatu kontradiksi, sebab ∅ tidak pernah
memiliki suatu elemen. Ini berarti pengandaian harus diingkar, yaitu
yang bear adalah ¬(¬p) ≡ p. Kesimpulannya, yang benar adalah
p : ∅ ⊆ H
5.3.3. Pembuktian dengan Kontra Positif
Membuktikan bahwa p adalah syarat cukup untuk q sama halnya
membuktikan q adalah syarat perlu untuk p. Ini berarti jika q tidak
muncul, maka p tidak muncul. Jadi:
¬q → ¬p⇒ p→ q
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
208 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Contoh : Jika Abang tidak punya uang maka adik tidak sayang
Kesimpulannya : Jika adik sayang abang berarti (maka) Abang lagi
punya uang. Kita menganggap ruas kanan adalah kesimpulan/ kon-
sekuensinya logis dari ruas kiri. Meskipun kenyataan berlaku≡, tetapi
dalam hal ini kita hanya memperhatikan → saja.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
209 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
5.4. Induksi Matematika
Dalam matematika khususnya yang menyangkut himpunan bilangan
asli dikenal juga pembuktian lain yang disebut Induksi Matematika/
Induksi Lengkap. Sebenarnya pembuktian ini bukanlah induksi tetapi
suatu deduksi yang di dasarkan atas aksioma/ postulat Peano tentang
bilangan asli. Postulat dari Peano menyatakan bahwa
Sembarang subset K dari N dengan sifat
1. 1 ∈ K.
2. jika untuk sembarang k ∈, maka k∗ = k + 1 ∈ K,
3. maka K = N Postulat ini dapat dipakai sebagai suatu pembuk-
tian
P (1), (p(k)→ p(k + 1) ` p(n),∀n ∈ N
Secara rinci langkah-langkah induksi matematika untuk membuktikan
bahwa P (n) berlaku untuk semua n ∈ N adalah sebagai berikut:
Langkah 1 (awal) buktikan P (1)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
210 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Langkah 2 (hipotesis induktif) andaikan P (k)
Langkah 3 (kesimpulan induktif) buktikan P (k + 1)
Contoh 5.17.
Buktikan, bahwa untuk semua n ∈ N berlaku
1 + 2 + 3 + · · ·+ n = 1/2n(n+ 1)
Bukti :
i Periksa untuk n = 1
1 = 1/2(1 + 1) (Benar)
ii Misalkan untuk sembarang k berlaku :
1 + 2 + ...+ k = 1/2k(k + 1)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
211 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
iii Maka untuk k∗ = k + 1
1 + 2 + ...+ k + k + 1 =1
2k(k + 1) + (k + 1)
= (k + 1)(1
2k + 1)
=1
2(k + 1)(k + 2)
=1
2(k + 1)(k + 1 + 1)
=1
2k∗(k∗ + 1) untuk k∗ = k + 1
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
212 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
5.5. Argumen berkuantor
5.5.1. Translasi kuantor universal dan eksistensial
Perhatikan empat pernyataan berikut :
(i) Setiap/ semua P bersifat Q
(ii) Taksatupun P bersifat Q
(iii) Sebagian P bersifat Q
(iv) Sebagian P tidak bersifat Q
Pernyataan-pernyataan tersebut dapat dinyatakan baik dengan kuan-
tor universal maupun eksistensial.
Dengan kuantor universal
(i) ∀x, P (x)→ Q(x)
(ii) ∀x, P (x)→ Q(x)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
213 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
(iii) ¬(∀x)(P (x)→ Q(x)
(iv) ¬[(∀x)(P (x)→ Q(x))]
Pernyataan sebagian P bersifat Q sama artinya bahwa tidak benar
bahwa untuk semua x jika x bersifat P maka x tidak bersifat Q. Ingat
bahwa ¬(p→ q) ≡ (p ∧ ¬q) dan ¬(p ∧ ¬q) ≡ (p→ q).
Dengan kuantor eksistensial
Kalimat atau pernyataan (i), sama artinya dengan tidak benar bahwa
ada x yang bersifat P tetapi tidak bersifat Q. Pernytaan (ii) sama
artinya dengan : tidak benar bahwa ada x yang sekaligus bersifat P
dan Q. Jadi notasinya :
(i) ¬[∃x,3
(P (x) ∧Q(x)
)](ii) ¬
[∃x,3
(P (x) ∧Q(x)
)](iii) ∃x,3 P (x) ∧Q(x)
(iv) ∃x,3 P (x) ∧Q(x).
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
214 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Kita peroleh kesamaan berikut :
(i) (∀x)(P (x)→ Q(x)) ≡ ¬(∃x)[P (x) ∧Q(x)
](ii) (∀x)
[P (x)→ Q(x)
]≡ ¬(∃x)
[P (x) ∧Q(x)
](iii) ¬(∀x)
[P (x)→ Q(x)
]≡ (∃x)
[P (x) ∧Q(x)
](iv) ¬(∀x)
[P (x)→ Q(x)
]≡ (∃x)
[P (x) ∧Q(x)
]5.5.2. Spesifikasi Universal, Spesifikasi Eksistensial
Perhatikan pernyataan : (∀x)(P (x)), yang berarti kita dapat mengam-
bil tetapan a ∈ U , secara bebas dan kita peroleh P (a). Jadi kita telah
mengkhususkan dari peubah x ke suatu tetapan a, dengan kata lain
kita memberikan contoh. Prinsip ini disebut dengan Spesifikasi Uni-
versal (US = Universally Specified = UI = Universal Instantiation).
Perhatikan bahwa pemunculan a di sini adalah bebas (free occurrence)
karena P (x) berlaku untuk semua x.
US : (∀x)(p(x)) ` P (a), a ∈ U(bebas)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
215 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Sebaliknya dari pernyataan (∃x)(P (x)), kita hanya dapat mengam-
bil elemen (tetapan) a tertentu yang bersifat P atau P (a). Den-
gan demikian kita juga dapat mengambil contoh ataupun menspe-
sifikasikan yang disebut pengambilan
Spesifikasi Eksistensial (ES = EI = Existentially Specified = Exis-
tentially Instantiation).
ES : (∃x)(P (x)) ` P (a), a ∈ U(terbatas)
5.5.3. Generalisasi Universal dan Generalisasi Eksistensial
Apabila untuk sembarang (arbitrary) a kita menemukan P (a) maka
kita dapat menggeneralisasikan bahwa setiap x, P (x). Ingat bahwa a
diambil secara sembarang (arbitrarily selected). Generalisasi ini dise-
but Generalisasi Universal (UG).
UG : a ∈ U, P (a)(∀x)(P (x))asembarang
Apabila a adalah elemen teretentu (diambil dengan memilih be-
berapa saja ), maka kita dapat mengadakan generalisasi yaitu terda-
pat x yang bersifat P , prinsip ini disebut Generalisasi Eksistensial
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
216 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
(EG)
EG : (a ∈ U), P (a)(∃x)(P (x))atertentu
Secara umum apabila premis-premisnya hanya memuat kuantor
universal dan kita hanya menggunakan US dan UG persoalannya agak
mudah dibandingkan dengan penggunaan kuantor universal dan ek-
sistensial bersama-sama ES dan EG. Untuk itu perlu diperhatikan
dalam penggunaannys:
(i) Tidak benar
(∃x)(x 6= y) ` (y 6= y)
Ada suatu x yang tidak sama dengan y. x yang dimaksud adalah
x 6= y jadi x tidak dapat digantikan dengan y
(ii) Kita tidak dapat menggunakan ES sebagai kesimpulan dari
(∀x)(∃y)F (x, y) ` (∃y)(∀x)F (x, y)
(iii) Kita tidak dapat menggunakan ES untuk menyimpulkan
(∃x)P (x), (∃x)Q(x) ` (∃x)[P (x) ∧Q(x)
]
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
217 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
(iv) Kita tidak dapat menggunakan ES untuk menyimpulkan sem-
barang unsur
(∃x)P (x) ` P (y)
Kesimpulan-kesimpulan (generalisasi) di atas dikenal sebagai konsekuensi
(kesimpulan) yang tidak diinginkan yang sering mengelirukan (un-
wanted consequences).
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
218 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
5.6. Sesat Pikir
Penarikan kesimpulan dengan menggunakan argumen yang tidak valid
dikatakan sesat pikir.
Contoh 5.18.
Jika hari hujan maka tanah basah
Tanah basah
Hari hujanPenarikan kesimpulan hari hujan dari tanah basah adalah tidak
sah / sesat. Kita dapat membuktikan bahwa[(p→ q)∧q
]→ p adalah
bukan tautologi.
Contoh 5.19.
Jika hari hujan maka tanah basah
Hari tidak hujan
Tanah tidak basahAdalah penarikan kesimpulan yang tidak sah / sesat. sebab[
(p→ q) ∧ (¬p)]→ ¬q bukan tautologi. Akan tetapi berbeda halnya
jika premis mayornya dinyatakan dengan biimplikasi seperti misalnya
:
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
219 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
P1 : Suatu banguan segiempat disebut bujur sangkar Keempat
sudutnya = 90o dan keempat sisinya sama panjang.
P2 : Segi empat ABCD , AB = CD = BC = AD dan ∠A =
∠B = ∠C = ∠D = 90o
K1 : ABCD bujur sangkar
atau
P3 : PQRS bukan bujur sangkar
K2 : Salah satu sisinya tidak sama dengan yang lain atau Salah
satu sudutnya bukan 90o
Dapat dibuktikan bahwa
(p↔ q),¬p ` ¬q
(p↔ q), q ` p
dua-duanya valid.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
220 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
5.7. Sistem Deduktif dalam Matematika
Teori matematika (yang lebih sering disebut sebagai matematika murni)
dapat dipandang suatu sistem deduktif yang tidak harus terkait den-
gan dunia nyata. Sebagai sistem deduktif matematika terdiri atas
beberapa komponen diantaranya:
1. unsur primitif atau unsur tak terdefinisi;
2. definisi yang biasanya terdiri atas sekumpulan aksioma atau
postulat;
3. aturan yang mengatur bagaimana suatu operasi dalam sistem
tersebut diberlakukan;
4. teorema atau proposisi yang merupakan sekumpulan sifat-sifat
yang diturunkan dari definisis dan aturan yang ada;
5. lemma yang merupakan teorama bantu yang diperlukan untuk
membuktikan teorema utama;
6. korolari yang merupakan konsekuensi logis dari suatu teorema
yang dianggap terlalu dekat untuk dipisah menjadi teorema lain;
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
221 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
7. konjektur yang belum bisa dibuktikan.
Aksioma dalam sistem matematika harus memenuhi syarat utama
yang disebut syarat konsistensi yaitu antara satu aksioma den-
gan aksioma lain dalam suatu sistem tidak boleh ada kontradiksi.
Dengan demikian, dapat juga dijamin bahwa teorema-teorama yang
diturunkan juga terbebas dari kontradiksi. Syarat yang kedua, na-
mun tidak dianggap mendesak adalah syarat independensi yaitu
aksioma-aksioma yang menjadi definisi tidak ada yang dapat ditu-
runkan dari aksioma lainnya. Karena kalau terjadi demikian, maka ak-
sioma tersebut sesungguhnya telah menjadi suatu teorema. Kegiatan
mendefinisikan suatu sistem (misalnya Aljabar Boole, Grup atau Ring)
dengan jumlah aksioma seminim mungkin, merupakan suatu topik
penelitian tersendiri yang cukup menarik dalam bidang matematika
murni.
Beberapa sistem aksioma yang penting yang banyak dikenal dalam
matematika diantaranya adalah Sistem Aksioma Aljabar Boole
dan beberapa struktur dalam matematika seperti grup/kelompok,
ring/gelanggang dan field/medan. Sistem aksioma ini banyak
dibahas dalam aljabar abstrak.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
222 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
5.8. Bacaan Lebih Lanjut
Untuk mendalami lebih jauh materi pada bab ini selain beberapa sum-
ber yang telah dikutip sebelumnya, dapat juga dibaca beberapa sum-
ber lain diantaranya Enderton [4], Thomas [20], Gemignani [6], Lip-
schutz [9], dan Polimeni & Straight [15]. Sedangkan untuk melihat
beberapa contoh sistem aksioma dalam matematika dapat dibaca be-
berapa referensi tentang aljabar boole maupun aljabar abstrak.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
223 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
5.9. Soal-soal Latihan
1. Selidiki apakah argumen-argumen beriku valid atau tidak.
(a) p→ q, q → p ` p↔ q
(b) p→ q,¬p ` ¬q
(c) p→ q,¬p ` q
(d) p→ q, r → q ` r → ¬p
2. Selidiki apakah penarikan kesimpulan ini sah / valid atau tidak.
(a) Argumen
Jika saya belajar maka saya lulus ujian
Jika saya tidak menikah maka saya tidak lulus ujian
Jika saya belajar maka saya menikah
(b) Argumen
Jika 2 bilangan genap maka 7 bilangan prima
7 bukan bilangan prima atau 9 bilangan sempurna
9 adalah bilangan sempurna
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
224 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
(c) Argumen
Setiap manusia adalah makhluk Tuhan
Setan adalah makhluk Tuhan
Setan adalah manusia
(d) Argumen
Semua bujur sangkar adalah persegi panjang
Tidak ada persegi panjang yang bukan jajaran genjang
Bujur sangkar adalah jajaran genjang
(e) Argumen
Jika matahari terbit dari barat maka 2 + 2 = 5
Jika manusia bermuka dua maka matahari terbit dari barat
2 + 2 6= 5
Manusia tidak bermuka dua
3. Jika dapat berikan kesimpulannya agar argumen-argumen berikut
valid. Tentukan prinsip apa yang dipakai.
(a) Argumen
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
225 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Setiap manusia adalah hewan
Einstein adalah manusia
K ...............................................
(b) Argumen
Siti adalah mahasiswa
Siti adalah pegawai negeri
K ..................................................
(c) Argumen
Saya naik kelas atau tidak diberi hadiah
Saya tidak naik kelas atau saya senang
Saya tidak senang
K ........................................................
(d) Argumen
Atau ayah atau ibu menjemput adik (tapi tidak keduanya)
Ayah menjemput adik
K ..............................................................
(e) Argumen
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
226 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Jika 2 + 3 = 5 maka 6 adalah bilangan sempurna
Jika 2× 7 = 14 maka 8 adalah bilangan asli
6 bukan bilangan sempurna atau 8 bukan bilangan asli
K .................................................................
(f) Argumen
Jika Paris ada di Perancis maka 3 + 5 = 6
Jika 4 + 5 = 9 maka 72 = 14
Paris ada di Perancis atau 4 + 5 = 9
K .....................................................................
(g) Argumen
Jika 2 = 3 maka 62 = 12
Jika 3 + 2 = 6 maka 62 = 12
62 6= 12
K ..........................................................
4. Selidiki valid (sah) atau tidaknya penarikan kesimpulan berikut
:
(a) Argumen
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
227 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Jika London tidak di Denmark, maka Paris tidak di Perancis
Paris di Perancis
London di Denmark
(b) Argumen
Jika saya belajar, maka saya tidak jatuh (gagal) dalam matematika
Saya tidak belajar
Saya jatuh dalam matematika
(c) Argumen
Jika 6 adalah genap, maka 2 adalah bukan pembagi 7
5 bukan prima atau 2 adalah pembagi 7
5 adalah prima
6 adalah bukan genap
(d) Argumen
Pada hari ini ulang tahun istriku, kuberikan dia bunga
Hari ini ulang tahun istriku atau saya terlambat ke kantor
Saya tidak memberikan bunga istriku hari ini
Hari ini saya terlambat ke kantor
(e) Argumen
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
228 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Jika saya bekerja, saya tidak dapat belajar
Saya belajar atau saya lulus ujian
Saya bekerja
Saya lulus ujian
(f) Argumen
Jika saya bekerja, saya tidak dapat belajar
Saya belajar atau saya lulus ujian
Saya lulus ujian
Saya bekerja
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
229 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
BAB 6
HIMPUNAN
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
230 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tujuan Umum
Setelah mempelajari materi pada bab ini diharapkan agar pembaca
memahami konsep himpunan beserta operasinya serta menggunakan-
nya dalam menyelesaikan permasalahan yang berhubungan dengan
himpunan.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
231 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tujuan Khusus
Setelah mempelajari materi pada bab ini diharapkan agar pembaca
dapat:
1. memberi contoh berbagai jenis himpunan;
2. menentukan relasi dua himpunan;
3. menyelesaikan operasi dasar himpunan;
4. menentukan sifat-sifat operasi himpunan;
5. menyelesaikan jumlah dan selisih himpunan;
6. menunjukkan sifat-sifat relasi ⊆;
7. menggunakan himpunan untuk memeriksa validitas silogisme.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
232 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Materi
1. Definisi dan jenis himpunan
2. Relasi himpunan
3. Operasi dasar himpunan
4. Sifat-sifat operasi himpunan
5. Operasi jumlah dan selisih himpunan
6. Sifat-sifat relasi himpunan bagian/ subset (⊆)
7. Pengguaan himpuan dalam silogisme
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
233 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
6.1. Definisi dan Jenis Himpunan
Himpunan pada dasarnya adalah kumpulan objek, namun dalam him-
punan ‘tradisional’ kumpulan ini dibatasi dengan jelas, dalam arti den-
gan jelas dapat ditentukan apakah suatu objek termasuk dalam suatu
kumpulan atau tidak. Selain itu dalam himpunan ‘tradisional’ (un-
tuk membedakan dengan pengertian himpunan samar atau fuzzy set)
tidak ada perbedaan tingkat keangggotaan suatu objek pada suatu
himpunan. Berbeda dengan himpunan organisasi yang anggotanya
mungkin dibedakan atas anggota aktif, pasif dan lain sebagainya.
Himpunan sering juga disebut gugus (Lihat misalnya Nasoetion [11]).
Orang yang dianggap sebagai pengenal himpunan adalah matem-
atikawan Jerman George Cantor (1845-1918). Cantor menggunakan
istilah ”menge” dalam bahasa German yang berarti “Hasil usaha penghim-
punan beberapa benda yang memiliki ciri pembeda tertentu, menjadi
kesatuan”. Dalam bahasa Inggris “menge” disebut set (Nasoetion [11,
hal.15]).
Definisi 6.1. Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang dibatasi
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
234 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
dengan tegas.
Himpunan pada umumya dinotasikan dengan huruf besar dan
objek yang menjadi angggota ditulis diatara kurung kurawal, {}. Ob-
jek yang menjadi anggota suatu himpunan disebut unsur atau ele-
men. Unsur-unsur suatu himpunan dapat dinyatakan dengan menulis
keseluruhannya (disebut cara tabulasi atau dengan menulis aturan
yang menjadi ciri (disebut cara rumusan atau deskripsi).
Contoh 6.1. A = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17}, maka dengan jelas dapat di-
tentukan
i 2 merupakan unsur dari himpunan A, ditulis: 2 ∈ A.
ii 3 merupakan unsur dari himpunan A, ditulis: 3 ∈ A.
iii 4 bukan merupakan unsur dari himpunan A, ditulis: 2 6∈ A.
Himpunan A dapat juga dinyatakan sebagai himpunan bilangan prima
sama atau dibawah 17, dalam notasi matematika
A = {x|x ≤ 17 ∧ x : prima} atau
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
235 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
A = {x : x ≤ 17 dan x adalah prima} atau
A = {x;x ≤ 17 dan x adalah prima}
Antara x dan deskripsinya umumnya digunakan tanda “|”, na-
mun ada juga yang menggunakan tanda “:” dan “;”. (Ruseffendi [16])
Contoh 6.2. G adalah kumpulan Gadis-gadis dengan tinggi badan an-
tara 150 cm sampai dengan 165 cm dan dengan berat badan dari 50kg
sampai dengan 60 kg. Dalam kumpulan ini jelas kriteria untuk men-
jadi anggota, dalam arti, setiap kita mengambil seorang gadis, berat
dan tingginya dapat diukur dengan pasti, dengan demikian dapat diten-
tukan dengan jelas apakah dia termasuk dalam kategori dimaksud. Jadi
G adalah suatu himpunan.
Contoh 6.3. M adalah kumpulan Gadis-gadis manis. Dalam kumpulan
ini tidak jelas kriteria untuk menjadi anggota, sehingga M bukan meru-
pakan suatu himpunan, karena jika kita mengambil seorang gadis, tidak
jelas apakah dia termasuk gadis manis atau tidak.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
236 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Definisi 6.2. Himpunan semesta, dinotasikan dengan S atau U
adalah himpunan dari semua objek yang dibicarakan (menjadi pem-
bicaraan)
Himpunan semesta disebut juga himpunan universal (universal
set).
Contoh 6.4. Beberapa contoh himpunan semesta misalnya
i U adalah himpunan bilangan riil,
ii U adalah himpunan manusia.
Definisi 6.3. Kardinal suatu himpunan adalah banyaknya unsur dari
himpunan tersebut. Kardinal himpunan A dinotasikan dengan #(A)
Contoh 6.5. Untuk A = {1, 3, 5, 7, 9}, maka #(A) = 5.
Dilihat dari kardinalnya himpunan dapat dibedakan menjadi
himpunan kosong, himpunan berhingga dan himunan takhingga.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
237 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Definisi 6.4. Himpunan kosong atau empty set atau void set,
dinotasikan dengan ∅ atau {} adalah himpunan yang tidak memiliki
unsur dengan kata lain
A = ∅ jika dan hanya jika #(A) = 0
Definisi 6.5. Himpunan berhingga atau finite set adalah him-
punan yang kardinalnya 0 atau merupakan bilangan asli tertentu
A himpunan berhingga jika dan hanya jika 0 ≤ #(A) <∞
Definisi 6.6. Himpunan takhingga adalah himpunan yang kardi-
nalnya tak hingga
A himpunan takhingga jika dan hanya jika #(A) =∞
Contoh 6.6. H adalah himpunan manusia berkaki lima adalah meru-
pakan himpunan kosong.
Contoh 6.7. A = {2, 3, 5, 7} adalah merupakan himpunan berhingga.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
238 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Contoh 6.8. N himpuan seluruh bilangan bulat adalah merupakan him-
punan takhingga.
Himpunan dapat diilustrasikan dengan diagram yang disebut
diagram Venn. Diagram Venn terdiri atas persegi panjang untuk
mengambarkan himpunan semesta, kurva tertutup untuk menggam-
barkan himpunan dan titik-titik untuk menggambarkan unsur-unsur
himpunan seperti pada Gambar 6.1.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
239 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
A
S = U
Gambar 6.1: Contoh Diagram Venn
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
240 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
6.2. Relasi Himpunan
Dilihat dari unsur-unsur yang menyusun himpunan-himpunan, beber-
apa himpunan mungkin sama sekali tidak memiliki unsur yang sama,
memiliki beberapa unsur yang sama, atau semua unsur-unsurnya sama.
Definisi 6.7 (Himpunan Saling lepas). Dua himpunan dikatakan sal-
ing lepas disjoint set jika kedua himpunan itu sama sekali tidak
memiliki unsur bersama.
A||B jika dan hanya jika ∀x, (x ∈ A→ x 6∈ B) ∧ (x ∈ B → x 6∈ A)
Definisi 6.8 (Himpunan berpotongan). Dua himpunan dikatakan berpo-
tongan (dinotasikan G) jika kedua himpunan itu memiliki beberapa
unsur bersama.
A G B jika dan hanya jika ∃x 3 x ∈ A ∧ x ∈ B
Definisi 6.9 (Himpunan sama). Dua himpunan dikatakan sama jika
semua unsur masing-masing himpunan merupakan unsur bersama.
A = B jika dan hanya jika ∀x, x ∈ A↔ x ∈ B
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
241 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Definisi 6.10 (Himpunan ekuivalen). Dua himpunan dikatakan ekuiv-
alen jika keduanya memiliki kardinal yang sama.
A ≡ B ↔ #(A) = #(B)
Definisi 6.11 (Himpunan bagian). Suatu himpunan dikatakan him-
punan bagian (subset) dari himpunan lain, jika seluruh unsurnya
merupakan unsur himpunan lain tadi.
A ⊆ B ↔ ∀x, (x ∈ A⇒ x ∈ B)
Teorema 6.1 (Kesamaan dua himpunan).
A = B ⇔ (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A)
Bukti:
Berdasarkan definisi maka jika A = B berlaku:
⇒∀x, x ∈ A⇔ x ∈ B⇒∀x, (x ∈ A⇐ x ∈ B) ∧ (x ∈ A⇒ x ∈ B)
⇒(A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
242 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Sebaliknya jika (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A) berlaku:
⇒∀x, (x ∈ A⇐ x ∈ B) ∧ (x ∈ A⇒ x ∈ B)
⇒∀x, x ∈ A⇔ x ∈ B⇒A = B
Contoh 6.9. Jika A = {2, 3, 5} dan B = {1, 2, 3, 4, 5} maka A ⊆ B.
Ilustrasi himpunan bagian, himpunan lepas dan himpunan berpo-
tongan diberikan pada Gambar 6.2. Pada gambar tersebut diilus-
trasikan A ⊆ B, A maupun B masing-masing lepas dengan C maupun
D, namun C berpotongan dengan D.
Teorema 6.2. Jika A dan B adalah himpunan-himpunan berhingga
yang bersifat A ⊆ B dan A ≡ B, maka A = B
Definisi 6.12 (Keluarga himpunan). Keluarga himpunan adalah him-
punan yang unsur-unsurnya adalah himpunan-himpunan.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
243 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
U=S
B
A
C
D
Gambar 6.2: Diagram Venn mengilustrasikan relasi himpunan
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
244 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Definisi 6.13 (Himpunan kuasa). Himpunan kuasa dari suatu him-
punan adalah keluarga himpunan yang beranggotakan semua subset
dari himpunan tadi.
PA = {B|B ⊆ A}
Contoh 6.10. Jika A = {1, 3, 5} dan B = {2, 4, 6, 8}, maka A||B.
Contoh 6.11. Jika C = {4, 5, 7, 9} dan D = {5, 7, 11, 12, 15}, maka A
berpotongan dengan (G)B
Contoh 6.12. A = {2, 3, 5} dan B = {3, 2, 5} adalah merupakan him-
punan yang sama.
Contoh 6.13. Jika A = {2, 3, 4}, B = {2, 3, 5}, C = {a, b, c} maka
i A ≡ B ≡ C
ii A G B
iii A||C dan B||C
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
245 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Contoh 6.14. Jika A,B,C adalah suatu himpunan, maka K = {A,B,C}adalah keluarga himpunan.
Contoh 6.15. Jika A = {1, 2}, maka PA = {{}, {1}, {2}, {1, 2}}. Jika
B = {a, b, c}maka PB = {{}, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}
Teorema 6.3. Jika #(A) = n maka #(PA) = 2n.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
246 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
6.3. Operasi Himpunan
6.3.1. Operasi Dasar Himpunan
Ada tiga operasi dasar dalam himpunan yaitu: operasi uner kom-
plemen (()c), operasi biner irisan (∩) dan gabungan (∪). Ketiga op-
erasi ini ekuivalen dengan operasi negasi, konjungsi dan disjungsi pada
logika. Selain itu pada himpunan juga dikenal operasi selisih dan
perkalian himpunan.
Definisi 6.14 (Operasi Komplemen). Komplemen suatu himpunan
adalah himpuan yang beranggotakan unsur-unsur dari semesta pem-
bicaraan yang tidak menjadi unsur himpuan bersangkutan.
Ac = {x|x ∈ U ∧ x 6∈ A}
Contoh 6.16. Jika U = {1, 2, 3, · · · , 10} A = {1, 3, 5} dan B =
{5, 7, 9}
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
247 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
A
A A
Gambar 6.3: Diagram Venn untuk Ac
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
248 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
maka
1. Ac = {2, 4, 6, 7, 8, 9, 10}
2. Bc = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 10}
Ilustrasi grafis komplemen himpunan diberikan pada Gambar 6.3.
Definisi 6.15 (Operasi Irisan). Irisan dua buah himpunan adalah
himpunan yang beranggotakan unsur-unsur yang menjadi unsur bersama
kedua himpunan.
A ∩B = {x|x ∈ A ∧ x ∈ B}
Teorema 6.4.
A ⊆ B ⇔ A ∩B = A
Contoh 6.17.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
249 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
A
B
Gambar 6.4: Diagram Venn A ∩B
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
250 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Jika U = {1, 2, 3, · · · , 10} A = {1, 3, 5} dan B = {5, 7, 9} maka A ∩B = {5}
Diagram Venn irisan dua himpunan diberikan pada Gambar 6.4.
Definisi 6.16 (Operasi Gabungan). Gabungan dua buah himpunan
adalah himpunan yang beranggotakan semua unsur-unsur yang men-
jadi unsur salah satu atau kedua himpunan.
A ∪B = {x|x ∈ A ∨ x ∈ B}
Contoh 6.18.
Jika U = {1, 2, 3, · · · , 10} A = {1, 3, 5} dan B = {5, 7, 9} maka A ∪B = {1, 3, 5, 7, 9} Ilustrasi diagram Venn dari gabungan himpunan
diberikan pada Gambar 6.5.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
251 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
A
B
Gambar 6.5: Diagram Venn A ∪B
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
252 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
6.3.2. Sifat-sifat Operasi Himpunan
Secara prinsip, himpunan dengan operasinya merupakan Aljabar Boole,
sehingga dalil-dalil yang berlaku pada opersi perakit logika dan aljabar
Boole juga berlaku pada operasi himpunan. Demikian juga sifat du-
alitas berlaku pula pada himpunan. Dengan demikian pembuktian
sifat-sifat operasi pada himpunan analog dengan pembuktian pada
aljabar perakit.
Teorema 6.5 (Komplemen Ganda). Untuk sembarang himpunan A
berlaku:
(Ac)c = A (6.1)
Teorema 6.6 ( Sifat Komutatif/ Pertukaran). Untuk sembarang him-
punan A dan B berlaku:
A ∩B = B ∩ A (6.2a)
A ∪B = B ∪ A (6.2b)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
253 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Teorema 6.7 ( Sifat Asosiatif/ Pengelompokan). Untuk sembarang
himpunan A,B dan C berlaku:
(A ∩B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (6.3a)
(A ∪B) ∪ C = A ∩ (B ∪ C) (6.3b)
Teorema 6.8 ( Sifat Identitas). Terdapat identitas untuk interseksi
(∅) dan identitas untuk gabungan (U) dan untuk setiap himpunan A
berlaku
A ∩ U = A dan A ∩ ∅ = ∅ (6.4a)
A ∪ U = U dan A ∪ ∅ = A (6.4b)
Teorema 6.9 ( Sifat Komplemen). Untuk setiap A terdapat dengan
tunggal Ac sehingga
(A ∩ Ac) = ∅ (6.5a)
(A ∪ Ac) = U (6.5b)
Teorema 6.10 (Komplemen identitas).
∅c = U (6.6a)
U c = ∅ (6.6b)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
254 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Teorema 6.11 (Hukum De Morgan). Untuk sembarang himpunan A
dan B berlaku
(A ∩B)c = Ac ∪Bc (6.7a)
(A ∪B)c = Ac ∩Bc (6.7b)
Teorema 6.12 ( Hukum Distributif). Untuk sembarang himpunan
A,B dan C berlaku:
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C) (6.8a)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C) (6.8b)
Teorema 6.13 ( Sifat Idempoten). Untuk sembarang himpunan A
berlaku
A ∩ A = A (6.9a)
A ∪ A = A (6.9b)
Dalam membuktikan sifat-sifat di atas kita menggunakan hasil
pada Teorema 6.1 yaitu A = B jika dan hanya jika A ⊆ B dan B ⊆ A.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
255 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Berikut diambil salah satu sifat sebagai contoh pembuktian, misalnya
A ∩B = B ∩ A.
Bukti:
Ambil sembarang unsur x ∈ (A ∩B)
⇒(x ∈ A) ∧ (x ∈ B) definisi A ∩B⇒(x ∈ B) ∧ (x ∈ A) komutatif konjungsi
⇒x ∈ (B ∩ A) definisi B ∩ A⇒(A ∩B) ⊆ (B ∩ A) definisi A ⊆ B
Sebaliknya, ambil sembarang unsur y ∈ B ∩ A
⇒(y ∈ B) ∧ (y ∈ A) definisi B ∩ A⇒(y ∈ A) ∧ (y ∈ B) komutatif konjungsi
⇒y ∈ (A ∩B) definisi A ∩B⇒(B ∩ A) ⊆ (A ∩B) definisi B ⊆ A
Karena (A ∩ B) ⊆ (B ∩ A) dan (B ∩ A) ⊆ (A ∩ B), berdasarkan
Teorema 6.1, maka (B ∩ A) = (A ∩B)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
256 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
6.3.3. Operasi Jumlah dan Selisih Himpunan
Selain operasi dasar komplemen, gabungan dan irisan, dalam operasi
himpunan dikenal juga operasi jumlah dan selisih yang definisinya
dapat dirumuskan dengan menggunakan operasi dasar tadi.
Definisi 6.17 (Operasi Selisih). Selisih dua buah himpunan adalah
himpunan yang beranggotakan unsur-unsur yang menjadi unsur him-
punan pertama yang tidak menjadi unsur himpunan pengurang.
A/B = A−B = {x|x ∈ A ∧ x 6∈ B}
Teorema 6.14.
A/B = A ∩Bc
Definisi 6.18 (Operasi Jumlah). Jumlah dua himpunan adalah him-
punan yang beranggotakan semua unsur yang menjadi anggota salah
satu himpunan.
A+B = {(x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ x 6∈ (A ∩B)}
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
257 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Contoh 6.19. Jika A = {1, 3, 5, 7, 9} dan B = {4, 5, 6, 8, 10} maka
1. A ∩B = {5}
2. A ∪B = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
3. A/B = {1, 5, 7, 9}
4. B/A = {4, 6, 8, 10}
5. A+B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10}
Beberapa sifat yang terkait dengan opersi selisih dan jumlah
serta hubungannya dengan operasi dasar sebelumnya diberikan pada
teorema-teorama berikut. Ilustrasi dapat menggunakan diagram Venn
sedangkan pembuktian secara formal dapat menggunakan definisi ke-
samaan dua himpunan.
Teorema 6.15. Untuk sembarang himpunan A,B
A+B = (A ∪B)/(A ∩B)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
258 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
A
B
A
B
Gambar 6.6: Diagram Venn A/B dan A+B
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
259 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Teorema 6.16. Untuk sembarang himpunan A,B
A+B = (A/B) ∪ (B/A)
Teorema 6.17 (Komutatif jumlah). Untuk sembarang himpunan A,B
A+B = B + A
Teorema 6.18 (Distributif Selisih). Untuk sembarang himpunan A,B,C
(A ∪B)/C = (A/C) ∪ (B/C) (6.10a)
(A ∩B)/C = (A/C) ∩ (B/C) (6.10b)
Definisi 6.19 (Partisi himpunan). Himpunan A dan B dikatakan
partisi dari himpunan C jika dan hanya jika A dan B saling lepas dan
gabungannya sama dengan C.
A,B partisi dari C ↔[(A ∩B = ∅) ∧ (A ∪B = C)
]
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
260 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
6.4. Sifat-sifat Lanjut Relasi Himpunan bagian
Konsep himpunan bagian (⊂) ekuivalen dengan konsep implikasi lo-
gis pada himpunan, karenanya implikasi logis dan penalaran dapat
dimanfaatkan untuk mempelajari sifat-sifat himpunan bagian seperti
diuraikan berikut ini.
Teorema 6.19. Relasi ⊆ adalah relasi yang bersifat refleksif, transitif
tetapi non simetrik yaitu:
∀A, A ⊆ A (6.11a)
∀(A,B,C)[(A ⊆ B) ∧ (B ⊆ C)
]⇒ (A ⊆ C) (6.11b)
∀(A,B)[(A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A)
]⇒ (A = B) (6.11c)
Teorema 6.20. Untuk sembarang himpunan A dari semesta U maka
1. A ⊆ A
2. ∅ ⊆ A
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
261 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
3. A ⊆ U
Pembuktian butir 1. jelas dari definisi. Sedangkan pembuktian
butir 2. dan butir 3. dapat dilakukan dengan menggunakan bukti
pengandaian.
Bukti 3.:
Andaikan A 6⊆ U berarti ∃x ∈ A, 3 x 6∈ U . Tetapi berdasarkan
definisi U tidak ada x /∈ U . Oleh karena itu terjadi kontradiksi dan
pengandaian harus diingkar. Artinya untuk sembarang himpunan A,
maka A ⊆ U
Teorema 6.21.
A ⊆ B ⇔ A ∪B = B
Bukti: Teorema ini mengandung beberapa pengertian dintaranya
1. (A ⊆ B)⇒ A ∪B = B
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
262 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
2. A ⊆ B ⇐ (A ∪B = B)
3. (A ∪B) ⊆ B)
4. B ⊆ (A ∪B)
Jika A ⊆ B maka ∀x ∈ A ⇔ x ∈ B. Ambil sembarang y ∈(A ∪B)
⇒(y ∈ A) ∨ (y ∈ B) definisi A ∩B⇒(y ∈ B) ∨ (y ∈ B) A ⊆ B
⇒(y ∈ B) idempoten ∨⇒(A ∪B) ⊆ ∩B) definisi B ⊆ A
Ambil sembarang z ∈ B
⇒(z ∈ A) ∨ (z ∈ B) sifat additif ∨⇒(y ∈ (A ∪B) A ⊆ B
⇒(y ∈ B) idempoten ∨⇒(A ∪B) ⊆ ∩B) definisi B ⊆ A
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
263 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Berarti kita telah membuktikan bahwa
A ⊆ B ⇒ A ∪B = B
Untuk hal sebaliknya, misalkan A ∪ B = B, berarti A ∪ B ⊆ B,
karenanya
⇒∀x x ∈ (A ∪B),⇒ x ∈ B⇒ 6 ∃x 3 x ∈ (A ∪B),∧x 6∈ B⇒ 6 ∃x 3 (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ x 6∈ B⇒(6 ∃x ∈ A) ∧ (6 ∃x ∈ B) 3 x 6∈ B⇒(6 ∃x ∈ A) 3 x 6∈ B⇒∀x, x ∈ A⇒ x ∈ B⇒A ⊆ B
Teorema 6.22. Untuk himpunan semesta U dan himpunan A
U ⊆ A⇔ A = U
Teorema 6.23.
A ⊆ ∅ ⇔ A = ∅
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
264 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Teorema 6.24. Untuk sembarang himpunan A dan B,
A ⊆ A ∪B dan B ⊆ A ∪B
Teorema 6.25. Untuk sembarang himpunan A dan B,
(A ∩B) ⊆ A dan (A ∩B) ⊆ B
Teorema 6.26. Untuk sembarang himpunan A dan B,
(A/B) ⊆ A dan (B/A) ⊆ B
Teorema 6.27. Untuk A,B,C ⊆ U
(A ⊆ C) ∧ (B ⊆ C)⇒[(A ∩B) ⊆ (A ∪B) ⊆ C
](6.12)
Teorema 6.28. Untuk A,B,C ⊆ U
(A ⊆ C) ∨ (B ⊆ C)⇒[(A ∩B) ⊆ C
](6.13)
Teorema 6.29. Untuk A,B,C ⊆ U
(A ⊆ B) ∧ (B ⊆ C)⇒(A ⊆ C
)(6.14)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
265 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Selain dengan diagram Venn, hubungan subset dapat juga di-
ilustrasikan dengan menggunakan diagram subset yang pada dasarnya
merupakan pohon subset. Dengan pohon subset, himpunan-himpunan
digambarkan dalam diagram pohon. Himpunan yang mejadi subset
dari himpunan yang lain ditulis lebih rendah dari himpunan yang
menjadi supersetnya dan dihubungkan dengan garis. Apabila sudah
ada jalur yang menghubungkan suatu hubunganantara sutu himpunan
dengan himpunan lain, maka tidak perlu membuat garis kusus yang
menghubungkan kedua himpunan tadi. Selain itu, dalam hal hubun-
gan “subset dari” maka ada dua hal yang selalu benar yaitu:
1. setiap himpunan adalah subset dari Himpunan semesta S dan
2. himpunan kosong, yaitu himpunan yang tidak memiliki anggota,
(∅) adalah subset dari setiap himpunan.
Oleh karena itu puncak atas dari pohon subset adalah himpunan
semesta dan puncak bawahnya adalah himpunan kosong.
Misalkan diketahui subset-sebset A,B,C,D,E dari S mempun-
yai hubungan sebagai berikut: A ⊆ B, B ⊆ C, D ⊆ B. maka
diagram pohon lengkapnya adalah seperti pada bagian kiri Gambar
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
266 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
U
A
{}
E C
B
D
U=S
X Y Z
W
V
{}
Gambar 6.7: Diagram pohon untuk A,B,C,D (kiri) dan untuk
S,X, Y, Z dan V (kanan)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
267 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
6.7, sedangkan jika S = {1, 2, 3, · · · , 10} X = {1, 3, 5, 7, 9}, Y =
{2, 4, 6, 8, 10}, Z = {2, 3, 5, 7} W = {2, 4} dan V = {2} maka dia-
gram pohhon lengkapnya adalah seperti pada bagian kanan Gambar
6.7.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
268 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
6.5. Penggunaan Himpunan dalam Silogisme
Pada Subbab 5.5 telah dibicarakan tata cara penarikan kesimpulan
dengan argumen yang mengandung kuantor. Dalam subbab ini kita
akan membahas hal serupa dengan menggunakan bantuan himpunan
khususnya relasi himpunan dan diagram Venn. Berikut diberikan
rangkuman kondisi unsur dua himpunan (A dan B) beserta hubungan
yang terjadi diantaranya
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
269 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
No Unsur A dan B Relasi A
dengan
B
A ∩B Diagram
Venn
1 semua unsur A menjadi
unsur B (universal affir-
mative)
A ⊂ B A ∩ B = A
atau A∩Bc =
∅
Gambar 6.8
2 semua unsur A tidak
menjadi unsurB (univer-
sal negative)
A ⊂ Bc A ∩B = ∅ Gambar 6.9
3 sebagian unsur A men-
jadi unsur B (particular
affirmative)
A G B A ∩B 6= ∅ Gambar 6.10
4 sebagian unsur A tidak
menjadi unsur B (partic-
ular negative)
A G B A ∩Bc 6= ∅ Gambar 6.11
Berikut diuraikan sifat-sifat relasi himpunan yang terkait dengan
penarikan kesimpulan secara silogisme.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
270 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
A
B
Gambar 6.8: Diagram Venn untuk A ⊂ B atau A ∩Bc = ∅
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
271 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
A
B
Gambar 6.9: Diagram Venn A|| atau A ∩B = ∅
Teorema 6.30. Untuk A,B,C ⊆ U jika A himpunan bagian dari B
dan A himpunan bagian dari C maka A himpunan bagian dari C
(A ∩Bc = ∅) ∧ (B ∩ Cc = ∅)↔ (A ∩ Cc = ∅) (6.15)
Teorema 6.31. Untuk A,B,C ⊆ U jika A beririsan dengan B dan
B beririsan dengan C,
(A ∩B = ∅) ∧ (B ∩ C = ∅) (6.16)
maka tidak ada yang dapat disimpulkan tentang A ∩ C
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
272 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
A B
Gambar 6.10: Diagram Venn untuk A ∩B 6= ∅
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
273 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
A
B
Gambar 6.11: Diagram Venn untuk A ∩Bc 6= ∅
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
274 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Teorema 6.32. Untuk A,B,C ⊆ U jika A lepas dengan B dan B
lepas dengan C,
(A ∩B 6= ∅) ∧ (B ∩ C 6= ∅) (6.17)
maka tidak ada yang dapat disimpulkan tentang A ∩ C
Aturan 6.1. Secara umum ada 7 aturan mendasar dalam penarikan
kesimpulan seperti di atas
1. Tidak ada kesimpulan yang dapat diambil dari dua pernyataan
negatif. Jika A||B (Tidak ada unsur A menjadi unsur B), dan
B||C (tidak ada unsur B menjadi unsur C), maka tidak ada
kesimpulan yang dapat diambil tentang hubungan A dan C (bisa
berhubungan, bisa tidak, lihat Gambar 6.12).
2. Jika salah satu premis negatif, maka kesimpulan juga negatif.
Jika A||B (tidak ada unsur A yang menjadi B dan C ⊆ B (C
bagian dari B, maka A||C (tidak ada unsur A yang menjadi C.
(lihat Gambar 6.13.
3. Jika kedua premis positif, maka kesimpulannya juga positif. Jika
A ⊆ B (semua unsur A menjadi unsur B dan B ⊆ C (semua
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
275 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
A B
C1
C2
Gambar 6.12: Diagram Venn untuk A||B dan B||C1;B||C2, namun
A||C1, A G C1
unsur B menjadi unsur C, maka A ⊆ C (semua unsur A menjadi
unsur C).
4. Dalam sillogisme harus ada Unsur (terma/ term) tengah/ antara
dan harus terdistribusi setidaknya sekali dalam premis mayor
atau premis minor.
5. Semua unsur yang muncul dalam kesimpulan, harus juga muncul
dalam premis mayor atau premis minor.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
276 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
A B
C
Gambar 6.13: Diagram Venn untuk A||B, C ⊂ B, maka A||C
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
277 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
A B
C1
C2
Gambar 6.14: Diagram Venn untuk A G B, B G C1 dan B G C2. Namun,
A 6G C1 dan A G C2
A B
C
Gambar 6.15: Diagram Venn untuk A G B dan B ⊆ C, maka A G C
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
278 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
6. Tidak ada kesimpulan yang dapat diambil dari dua premis khusus
(particular premises), baik yang positif (afirmatif) maupun
yang negatif. Jika A ∩ B 6= ∅ (Jika ada unsur A yang menjadi
unsur B) dan B ∩C 6= ∅ (ada unsur B menjadi unsur C), maka
tidak ada kesimpulan yang bisa diambil tentang A∩C (lihat
Gambar 6.14.)
7. Jika salah satu premis betuknya khusus (eksistensial), maka kes-
impulan juga berbentuk khusus (eksistensial). Jika A ∩ B 6= ∅(ada unsur A menjadi unsur B) dan ada beberapa kondisi lain
(B ⊂ C, semua unsur B menjadi unsur C ), maka kesimpulan
yang pasti, yang dapat diambil adalah A ∩ C 6= ∅ (ada unsur A
menjadi unsur C, lihat Gambar 6.15).
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
279 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
6.6. Bacaan Lebih Lanjut
Untuk mendalami lebih jauh materi pada bab ini selain beberapa sum-
ber yang telah dikutip sebelumnya, dapat juga dibaca beberapa sum-
ber lain diantaranya Ruseffendi [16], Nasoetion [11], Lipschutz [9],
Polimeni & Straight [15] dan Courant & Robbins [3] . Secara umum
hampir semua buku teks tetang matematika mulai dengan pemba-
hasan tentang himpunan.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
280 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
6.7. Soal-soal Latihan
1. Nyatakan benar atau salah pernyataan-pernyataan berikut ini:
(a) ∅ ∈ {2, 3}
(b) {1, 2, 3} = {2, 3, 1}
(c) {x ≤ 16|x : prima} ⊆ {0, 1, 2, · · · , 13}
(d) {1, 3, 5, · · · } ≡ {1, 2, 3, · · · }
(e) {1, 3, 5, · · · } ⊆ {1, 2, 3, · · · }
2. Untuk himpunan-himpunan berikut, tentukan semua subset-subsetnya.
Selanjutnya buat masing-masing diagram subsetnya.
(a) {2, 3, 4}
(b) {∅, {2, 3}}
(c) {a, b, c, d}
3. Buktikan Teorema 6.19 pada halaman 260.
4. Buktikan Teorema 6.22 pada halaman 263.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
281 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
5. Buktikan Teorema 6.28 pada halaman 264.
6. Tentukan apakah hubungan antara A dan C bisa dibuat, jika ya
tentukan hubungannya, jika tidak, sebutkan alasannya (aturan
mana yang tidak terpenuhi, atau yang menyebabkan tidak bisa
disimpulkan):
(a) A ⊆ B,B ⊆ C
(b) A ⊆ B,C ⊆ B
(c) A G B,B G C
(d) A||B,B||C
7. Tentukan kesimpulan yang bisa diambil dari premis-premis berikut.
Jika tidak ada kesimpulan yang bisa diambil sebutkan alasannya.
(a) P1: Semua burung bisa tertawa; P2: Semua cecak bisa
tertawa (Simpulkan hubungan burung dengan cecak)
(b) P1: Semua yang bertelor bisa terbang; P2: Ada binatang
berkaki empat yang bertelor (adakah binatang berkaki em-
pat yang bisa terbang?).
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
282 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
(c) P1: Ada mahasiswa yang menjadi wartawan, P2: Ada
wartawan yang suka memeras (apakah ada mahasiswa yang
suka memeras?)
(d) P1: Tidak ada mahasiswa yang menjadi pelawak, P2: tidak
ada pelawak yang serius (apakah maahasiswa serius atau
tidak ?)
(e) P1: semua bujur sangkar memiliki 4 sudut siku-siku; P2:Semua
persegi panjang memiliki 4 sudut siku-siku (apakah bujur
sangkar itu (sama dengan) persegi panjang?)
8. Buat gambar subset dari serangkaian himpunan-himpunanA,B,C,D,E
dan ∅ berikut:
(a) A = {1, 2, 3, 5}, B = {1, 3, 5}, C = {2, 3, 5}, D = {2, 5}, E =
{1, 5}
(b) A = {a, b, c, d}, B = {b, c, d}, C = {a, b, c}, D = {b, c}, E =
{b, d}
9. Buatlah himpunan yang memenuhi struktur subset seperti pada
gambar berikut:
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
283 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
U=S
X Y Z
W
V
{}
P
U
A
{}
E C
B
D
F
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
284 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
285 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
BAB 7
HIMPUNAN BILANGAN
Bilangan walaupun merupakan konsep yang sangat abstrak, namun
penggunaannya tidak bisa dilepaskan dengan kehidupan manusia sejak
dini. Untuk menggambarkan bilangan, kita menggunakan lambang bi-
langan (angka). Dalam kaitan dengan operasi hitung dan matematka
umumnya, lambang bilangan yang kita pakai adalah lambang bilan-
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
286 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
gan Hindu-Arab yang terdiri atas sembilan angka 0,1,2,...9. Selain itu,
untuk menunjukkan tingkatan dan urutan ada lambang bilagan lain
yang disebut lambang bilangan Romawi (i,ii,iii,iv,v ...). Pada subbab
ini akan dibahas beberapa himpunan bilangan yang penting.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
287 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tujuan Umum
Mahasiswa memahami himpunan-himpunan bagian dari himpunan bi-
langan riil.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
288 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tujuan Khusus
Mahasiswa dapat menyebutkan ciri-ciri, contoh, dan sifat-sifat operasi
hitung dalam himpunan-himpunan bagian dari himpunan bilangan
riil.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
289 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Materi
1. himpunan Bilangan Asli;
2. himpunan Bilangan Cacah;
3. himpunan Bilangan Bulat;
4. himpunan Bilangan Rasional;
5. himpunan Bilangan ;
6. himpunan Bilangan Riil;
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
290 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
7.1. Himpunan Bilangan Asli
Bilangan Asli disebut juga bilangan Alam (Natural numbers). Bilan-
gan ini merupakan bilangan yang kita kenal paling awal, ketika kita
ingin menghitung banyaknya sesuatu yang ada di sekuitar kita.
Himpunan bilangan Asli N = {1, 2, 3, · · · }
Operasi hitung yang dapat dilakukan pada bilangan asli adalah
penjumlahan dan perkalian dengan beberapa sifat berikut:
Sifat 1 Bilangan asli tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian
∀x, y ∈ N, x+ y ∈ N∀x, y ∈ N, (x.y ∈ N)
Sifat 2 Bilangan asli memenuhi sifat kumutatif dan assosiatif baik
penjumlahan dan perkalian, yaitu:
∀x, y ∈ N x+ y = y + x
x.y = y.x
∀x, y, z ∈ N x+ (y + z) = (x+ y) + z
x.(y.z) = (x.y).z
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
291 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Sifat 3 Bilangan asli memenuhi sifat distributif perkalian atas pen-
jumlahan.
∀x, y, z ∈ N (x+ y)z = xz + yz
Sifat 4 Bilangan asli memiliki unsur identitas perkalian tetapi tidak
identitas penjumlahan.
∃1, 3 ∀x ∈ N x.1 = 1.x = x
tetapi
6 ∃ e ∈ N, 3 ∀x ∈ N x+ e = e+ x = x
Tetapi himpunan bilangan asli tidak memiliki beberapa sifat berikut:
1. Bilangan asli (kecuali 1) tidak memiliki invers baik penjumlahan
maupun perkalian.
∀x(6= 1) ∈ N, 6 ∃x′ ∈ N, 3 x.x′ = 1
2. Bilangan asli tidak tertutup terhadap pengurangan dan pemba-
gian.
∃x, y ∈ N 3 (x− y) 6∈ N dan
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
292 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
∃x, y ∈ N 3 (x/y) 6∈ N
Bilangan Asli dibedakan menjadi bilangan prima dan bilangan
komposit. Bilangan prima1 adalah bilangan yang hanya dapat dibagi
bilangan itu sendiri dan 1. Bilangan 1 tidak termasuk bilangan prima.
Sedangkan sisanya (termasuk 1) disebut bilangan komposit. Jadi
1. Himpunan bilangan Prima = P = {2, 3, 5, 7, 11, 13 · · · }
2. Himpunan bilangan Komposit = N/P
Definisi 7.1. Pengurut bilangan asli k, dinotasikan k∗ adalah bilan-
gan asli berikutnya setelah bilagan asli k. Jadi k∗ = k + 1.
Ada suatu hasil dalam bilangan asli yang sangat terkenal yang
disebut Postulat Peano yang mengatakan bahwa Untuk S ⊆ N , berlaku[(1 ∈ N) ∧ (∀ k ∈ S ⇒ k∗ ∈ S)
]⇒ (S = N) (7.1)
1Teori tentang himpunan bilangan prima dapat dilihat pada beberapa sumberdiantaranya Courant & Robbins [3, hal 21-31]
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
293 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Persamaan (7.1) pada dasarnya mengatakan bahwa jika pada suatu
himpunan bagian S dari N , berlaku 1 pada S dan untuk setiap k
pada S maka pengurutnya (k∗) juga pada S, maka S adalah himpunan
seluruh bilangan asli.
[(n1 ∈ N)∧(∀ (k > n1) ∈ S ⇒ k∗ ∈ S)
]⇒ (S = {n1, n1+1, n1+2, · · · })
(7.2)
Persamaan (7.2) pada dasarnya mengatakan bahwa jika pada suatu
himpunan bagian S dariN , berlaku n1 pada S dan untuk setiap k > n1
pada S maka pengurutnya (k∗) juga pada S, maka S adalah himpunan
bilangan asli mulai dari n1, yaitu S = {n1, n1 + 1, n1 + 2, · · · }.Postulat Peano di atas menjadi dasar dari pembuktian dengan
menggunakan induksi matematika, yang telah dibicarakan pada bab
penalaran, yang dapat dirumuskan sebagai berikut:
[(P (1)
)∧(∀ k, P (k)⇒ P (k∗)
)]⇒(P (n),∀n ∈ N
)(7.3)
Ada pengelompokan jenis himpunan yang kardinalnya terkait
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
294 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
dengan himpunan bilangan Asli, yaitu himpunan terhitung dan him-
punan tak terhitung.
Definisi 7.2. Himpunan dikatakan terhitung (denumerable) atau him-
punan diskrit, jika himpunan tersebut kosong atau ekuivalen dengan
sebagian atau seluruh himpunan bilangan Asli. Jika tidak demikian
maka himpunan dikatakan himpunan takterhitung yang merupakan
himpunan kontinu.
Contoh 7.1. H = {1, 3, 5, · · · },Himpunan bilangan Prima, himpunan
Bilangan bulat adalah termasuk himpunan bilangan terhitung. Sedangkan
H = {x|1 < x < 2, x ∈ <}, himpunan bilangann Rasional, himpunan
bilangan Riil adalah himpunan tak terhitung.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
295 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
7.2. Himpuan Bilangan Cacah
Sebagaimana dikatakan sebelumnya bahwa Bilangan Asli tidak mem-
punyai identitas penjumlahan. Apabila himpunan bilangan Asli diga-
bung dengan 0 sebagai unsur identitas penjumlahan, maka terbentuk-
lah himpunan bilangan Cacah. Himpuan bilangan cacah disebut juga
himpunan bilangan kardinal, karena bilangan cacah ini dipergunakan
untuk mementukan kardinal suatu himpunan. Kardinal himpunan ∅adalah 0. Jadi bilangan cacah atau bilangan kardinal mulai dari 0.
Himpunan bilangan Cacah(C) =(N ∪ {0}
)= {0, 1, 2, · · · }
Semua sifat operasi yang berlaku pada himpunan bilangan asli
juga berlaku pada himpunan bilangan cacah. Beberapa sifat yang
tidak berlaku pada himpunanbilangan asli (identitas penjumlahan,
berlaku pada himpunan bilangan cacah. Himpunan bilangan cacah
meskipun memiliki identitas penjumlahan dan perkalian tetapi tidak
memiliki invers penjumlahan maupun invers perkalian.
Sifat 5 Identitas Penjumlahan
∃ 0 ∈ C, 3 ∀c ∈ C, 0 + c = c+ 0 = c
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
296 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tetapi
∀ c( 6= 0) ∈ C, 6 ∃ c′ ∈ C 3 c+ c′ = 0
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
297 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
7.3. Himpuan Bilangan Bulat
Apabila himpunan bilangan cacah digabung dengan himpunan inverse
penjumlahannya, maka terbentuklah himpunan bilangan bulat, Z.
Z = C ∪ {−1,−2, · · · } = {· · · ,−2,−1, 0, 1, 2, · · · }
Jadi himpunan pada bilangan semua unsur memiliki invers penjumla-
han, tetapi bukan invers perkalian.
Sifat 6 Invers Penjumlahan.
∀ c ∈ C, ∃ c′ ∈ C 3 c+ c′ = 0
Tetapi,
∀ c(6= 0) ∈ C, 6 ∃ c′ ∈ C 3 c.c′ = 1
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
298 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
7.4. Himpuan Bilangan Rasional
Apabila himpunan bilangan bulat digabung dengan himpunan in-
vers perkaliannya, maka terbentuklah himpunan bilangan Rasional,
Q. Disamping itu bilangan rasional juga tertutup terhadap penjumla-
han dan perkalian (termasuk perkalian dengan inversdari unsur lain-
nya). Secara umum bilangan rasional didefinisika seperti pada definisi
berikut ini.
Definisi 7.3. Bilangan rasional q adalah bilangan yang dapat diny-
atakan dalam bentuk a/b dengan b 6= 0. Dalam bentuk desimal q
dapat dinyatakan sebagai pecahan desimal berhingga atau pecahan
desimal takhingga tapi berulang.
Contoh 7.2. 1/5 = 0, 20 dan 1/3 = 0, 33333... = 0, 33 adalah bilangan-
bilangan rasional
Jadi pada himpunan bilangan Rasional, semua unsur memiliki
invers penjumlahan, maupun invers perkalian.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
299 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Sifat 7 Invers Perkalian
∀x ∈ Q, ∃x′ ∈ Q 3 x+ x′ = 0 dan
∀x( 6= 0) ∈ C, ∃x′ ∈ Q 3 c.c′ = 1
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
300 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
7.5. Himpunan Bilangan Irasional dan Himpunan
Bilangan Riil
N C Z Q
U=R
Gambar 7.1: Diagram Venn mengilustrasikan himpunan Bilangan Riil
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
301 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Dalam himpunan bilangan rasional persamaan xn = y untuk
n ≥ 2 tidak memiliki penyelesaian. Pernyataan ini ekuivalen dengan
pernyataan bahwa tidak ada bilangan rasional x sedemikian sehingga
xn = 2. Dengan kata lain, n√
2 bukan bilangan rasional. Bilangan-
bilangan yang tidak rasional, yaitu bilangan yang tidak dapat diny-
atakan sebagai rasio dua bilangan bulat (a/b), disebut bilangan ira-
sional. Bilangan rasional selain merupaka bilangan akar ( n√a) juga
termasuk didalamnya adalah bilangan yang dinyatakan dalam bentuk
pecahan desimal takhingga tapi tak berulang. Ada dua bilangan ira-
sional yang sangat penting yaitu bilangan Euler e yang diperkenalkan
Euler tahun 1748 dan bilangan Archimedes π. Bilangan e didefinisikan
sebagai
e =∞∑
n=0
1
n= 1 +
1
1!+
1
2!+
1
3!+ · · ·
dan pendekatan π diberikann oleh banyak matematisi diantaranya
adalah John Wallis dengan rumus
π
2=∞∏
n=1
(2n
2n+ 1
2n
2n− 1
)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
302 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
(Courant & Robbins [3]) Gabungan antara himpunan bilangan Ra-
sional dan himpunan bilangan Irasional disebut bilagan Riil R. Secara
diagram struktur Himpunan Bilangan dapat digambarkan pada Gam-
bar 7.1.
Sifat-sifat yang berlaku dalam himpunan bilangan dapat dirangkum
seperti pada Tabel berikut.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
303 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
No Sifat-sifat Operasi Himpunan Bilangan
N C Z Q <1 Identitas Penjumlahan (0), 0 +
a = a+ 0 = a
× X X X X
2 Identitas Perkalian(1), 1a = a1 =
a
X X X X X
3 Kumutatif Penjumlahan a + b =
b+ a
X X X X X
4 Kumutatif Perkalian ab = ba X X X X X5 Asosiatif Penjumlahan (a + b) +
c = a+ (b+ c)
X X X X X
6 Asosiatif Perkalian (ab)c = a(bc) X X X X X7 Invers Penjumlahan a+ (−a) = 0 × × X X X8 Invers Perkalian a(1/a) = 1 × × X X X9 Distributif Perkalian terhadap
Penjumlahan a(b+ c) = ab+ ac
X X X X X
10 Tertutup terhadap Operasi Invers
Penjumlahan a+ (−b) = c
× × X X X
11 Tertutup terhadap Operasi Invers
Perkalian a(1/b) = c
× × × X X
12 Tertutup terhadap Operasi ab = c × × × × X
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
304 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
7.6. Perkembangan perhitungan π
Riil
Irasional Rasional Q
Pecah Bulat Z
Cacah C Bulat Neg
Asli N 0
Gambar 7.2: Diagram struktur mengilustrasikan pembagian himpunan
Bilangan Riil
Sejak zaman dahulu diketahui bahwa rasio luas lingkaran ter-
hadap kuadrat jaraknya dan rasio keliling lingkaran dengan diame-
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
305 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
ternya adalah konstan. Namun, pada awalnya belum diketahui bahwa
kedua konstanta tersebut adalah sama. Buku-buku kuno menggu-
nakan konstanta yang berbeda untuk kedua rasio tersebut.
Perhitungan π menarik perhatian sejak zaman sebelum masehi
(sekuitar 1650 SM, di Mesir Kuno digunakan pendekatan π = 3, 16.).
Kalkulasi teoritis sepertinya dimulai oleh Archimedes (287-212 SM)
yang mendapatkan pendekatan
223/71 < π < 22/7.
Sejak itu sampai sekarang banyak sekali para matematisi yang melakukan
perhitungan baik secara analitik maupun dengan menggunakan kom-
puter. Pada zaman modern sekarang akurasi perhitungan π sem-
pat dijadikan salah satu tes untuk mengukur kecanggihan komputer
maupun suatu algorithma. Beberapa hasil perhitungan π diberiikan
pada Tabel 7.1 dan Tabel 7.2
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
306 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tabel 7.1: Perhitungan π secara analitikMatematisi Waktu Desimal Nilai
Rhind papyrus 2000 SM 1 3.16045 (= 4(8/9)2)
Archimedes 250 SM 3 3.1418
Aryabhata 499 4 3.1416 (= 62832/2000)
Brahmagupta 640 1 3.1622 (=√
10)
Fibonacci 1220 3 3.141818
Madhava 1400 11 3.14159265359
Newton 1665 16 3.1415926535897932
Rutherford 1824 208 hanya 152 benar
Shanks 1874 707 hanya 527 benar
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
307 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tabel 7.2: Perhitungan π dengan mesinMatematisi Waktu Desimal MesinFerguson 1947 710 KalkulatorFerguson, Wrench 1947 808 KalkulatorSmith, Wrench 1949 1120 KalkulatorReitwiesner dkk. 1949 2037 ENIACNicholson, Jeenel 1954 3092 NORACFelton 1957 7480 PEGASUSGenuys 1958 10000 IBM 704Felton 1958 10021 PEGASUSGuilloud 1959 16167 IBM 704Shanks, Wrench 1961 100265 IBM 7090Guilloud, Filliatre 1966 250000 IBM 7030Guilloud, Dichampt 1967 500000 CDC 6600Guilloud, Bouyer 1973 1001250 CDC 7600Miyoshi, Kanada 1981 2000036 FACOM M-200Guilloud 1982 2000050Kanada, Yoshino, Tamura 1982 16777206 HITACHI M-280HUshiro, Kanada 1983 10013395 HITACHI S-810/20Gosper 1985 17526200 SYMBOLICS 3670Bailey 1986 29360111 CRAY-2Kanada, Tamura, Kubo 1987 134217700 NEC SX-2Kanada, Tamura 1988 201326551 HITACHI S-820/80Chudnovskys 1989 525229270Kanada, Tamura 1989 536870898Chudnovskys 1989 1011196691Kanada, Tamura 1989 1073741799Chudnovskys 1994 4044000000Kanada, Tamura 1995 3221225466Kanada 1995 6442450938Kanada, Takahashi 1999 206158430000 HITACHI SR8000
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
308 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
7.7. Bacaan Lebih Lanjut
Untuk mendalami lebih jauh materi pada bab ini selai beberapa sum-
ber yang telah dikutip sebelumnya, dapat juga dibaca beberapa sum-
ber lain diantaranya Ruseffendi [16], Nasoetion [11], Lipschutz [9],
Polimeni & Straight bk:PolimeniStraight85 dan Courant & Robbins
[3]. Bagi yang berminat mempelajari bilangan dari sisi sejarahnya da-
pat membaca Haza’s et al. [7]. Secara umum hampir semua buku teks
tetang matematika mulai dengan pembahasan tentang himpunan.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
309 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
7.8. Soal-soal Latihan
1. Berikan dua contoh bilangan desimal yang takberhingga dan
berulang.
2. Tentukan bentuk pecahan biasa dari contoh di atas.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
310 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
311 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
BAB 8
PERKALIAN KARTESIUS, RELASI DAN FUNGSI
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
312 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tujuan Umum
Setelah mempelajari materi pada bab ini diharapkan agar pembaca
memahami konsep dan sifat-sifat relasi dan fungsi serta menggunakan-
nya dalam menyelesaikan permasalahan yang berhubungan relasi dan
fungsi.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
313 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tujuan Khusus
Setelah mempelajari materi pada bab ini diharapkan agar pembaca
dapat
1. menyelesaikan perkalian Kartesius dua himpunan
2. memberi contoh berbagai jenis relasi dengan sifat-sifatnya
3. memberi contoh berbagai jenis fungsi dengan sifat-sifatnya
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
314 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Materi
1. Perkalian Kartesius
2. Relasi dan sifat-sifatnya
3. Fungsi
Selain operasi himpunan yang telah dibicarakan sebelumnya, ada
juga operasi himpunan yang disebut perkalian himpunan, yang disebut
perkalian kartesius.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
315 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
8.1. Perkalian Kartesius
Definisi 8.1 (Operasi Perkalian). Perkalian (atau disebut juga perkalian
kartesius) dua buah himpunan adalah himpunan yang beranggotakan
semua pasangan berurut unsur pertamanya berasal dari himpunan
terkali dan unsur keduanya berasal dari himpunan pengali.
A×B = {(x, y)|x ∈ A ∧ y ∈ B}
Contoh 8.1. Jika A = {1, 3, 5} dan B = {4, 5} maka
1. A×B = {(1, 4), (1, 5), (3, 4), (3, 5), (5, 4), (5, 5)}
2. B × A = {(4, 1), (4, 3), (4, 5), (5, 1), (5, 3), (5, 5)}
Hasil perkalian himpunan selain dinyatakan dengan himpunan
pasangan terurut, dapat juga dinyatakan dengan grafik kartesius. seperti
pada Gambar 8.1.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
316 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
A
B
0 2 4 6
02
46
Gambar 8.1: Diagram kartesius mengilustrasikan A×B
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
317 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Teorema 8.1. Untuk sembarang A dan B, secara umum berlaku:
1. A×B 6= B × A
2. A×B ≡ B × A
3. (A×B) = (B × A)⇔ A = B
Definisi 8.2.
A× A = A2 = {(a1, a2)|a1, a2 ∈ A} (8.1a)
A× A× . . .× A︸ ︷︷ ︸n
= An = {(a1, a2, . . . , an)|ai ∈ A, i = 1, 2, . . . , n}
(8.1b)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
318 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
8.2. Relasi
Relasi atau hubungan antara dua himpunan merupakan himpunan
bagian dari perkalian dua himpunan bersangkutan. Relasi dari him-
punan A ke B dinotasikan dengan RA×B atau R : A → B. Ada tiga
komponen yang harus dipenuhi oleh suatu relasi R : A→ B yaitu:
1. Adanya daerah definisi atau daerah asal yang disebut domin,
yaitu himpuan A yang yang akan dihubungkan dengan suatu
himpunan lain.
2. Adanya daerah kawan yang disebut kodomin, yaitu himpunan B
yang menjadi kawan himpunan A.
3. Adanya aturan pengawanan antara himpunan asal A dan him-
punan kawan B.
Bentuk aturan pengawanan dapat dilakukan dengan berbagai
cara diantaranya adalah dengan mengguakan diagram panah, him-
punan pasangan berurut. Jika pasangan berurut (x, y) merupakan
ang-gota dari R maka dinotasikan dengan (x, y) ∈ R, jika tidak maka
dinotasikan (x, y) 6∈ R.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
319 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
A B
Gambar 8.2: Diagram panah untukrelasi A ke B, atau ARB
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
320 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Contoh 8.2. Misalkan R adalah relasi dari N ke N dengan aturan pen-
gawanan
R = {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2), (3, 3), · · · }
atau
R = {(x, y)|y ≤ x; x, y ∈ N}
Contoh 8.3. Misalkan R adalah relasi dari N ke N dengan aturan
R(n) = 2n dapat dinyatakan dengan R = {(x, y)|y = 2x, x ∈ N}
Himpunan bagian dari himpunan kawan yang dipilih menjadi
kawan disebut daerah hasil/ range dari R. Pada contoh diatas daerah
hasilHR adalah himpunan bilangan bulat positif, yaituHR = {2, 4, 6, · · · }.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
321 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
8.3. Sifat-sifat Relasi
Relasi dari suatu himpunan ke dirinya sendiri dapat dibedakan men-
jadi beberapa jenis diantaranya dilihat dari banyaknya unsur yang
berkawan kedirinya sendiri, kesimetrisan perkawanan. Berikut adalah
definisi formal dari beberapa sifat relasi himpunan ke dirinya sendiri.
Definisi 8.3. Relasi R dikatakan bersifat refleksif jika
∀x, (x, x) ∈ R
Definisi 8.4. Relasi R dikatakan bersifat non-refleksif jika
∃x, (x, x) 6∈ R
Definisi 8.5. Relasi R dikatakan bersifat irrefleksif jika
∀x, (x, x) 6∈ R
Definisi 8.6. Relasi R dikatakan bersifat simetrik jika
∀x, y (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
322 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Definisi 8.7. Relasi R dikatakan bersifat non-simetrik jika
∃x, y (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) 6∈ R
Definisi 8.8. Relasi R dikatakan bersifat asimetrik jika
∀x, y (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) 6∈ R
Definisi 8.9. Relasi R dikatakan bersifat transitif jika
∀x, y, z[(x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R
]⇒ (x, z) ∈ R
Definisi 8.10. Relasi yang sekaligus bersifat reflektif, simetrik dan
transitif disebut relasi ekuivalensi.
Contoh 8.4. Berikut adalah beberapa contoh relasi yang merupakan
relasi refleksif.
1. Relasi sama dengan (=) pada himpunan bilangan riil.
∀x, x = x yaitu (xRx)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
323 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
2. Relasi kongruensi pada himpunan segitiga.
3. Relasi faktor dari, pada himpunan bilangan bulat selai 0.
∀x, x faktor dari x yaitu (xRx)
4. Relasi mirip pada himpunan manusia. Setiap orang mirip dirinya
sendiri.
Contoh 8.5. Berikut adalah beberapa contoh relasi non-reflektif.
1. Relasi faktor dari pada himpunan semua bilangan bulat. (Ada 0
tidak dapat dibagi 0)
2. Relasi mencintai pada himpunan manusia. Ada orang yang tidak
mencintai dirinya sendiri.
Contoh 8.6. Berikut adalah beberapa contoh relasi irreflektif.
1. Relasi tidak sama pada himpunan bilangan riil. Tidak ada bilangan
yang tidak sama dengan dirinya sendiri.
2. Relasi kurang dari pada himpunan bilangan riil. Tidak ada bilangan
yag kurang dari dirinya sendiri.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
324 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
3. Relasi lebih gemuk pada himpunan manusia. Tidak ada orang yang
lebih gemuk dari dirinya sendiri.
4. Relasi lebih cantik pada himpunan manusia. Tidak ada orang yang
lebih cantik dari dirinya sendiri.
Contoh 8.7. Berikut adalah contoh relasi yang bersifat simetrik.
1. Relasi sama dengan pada himpunan bilangan riil.
2. Relasi kongruensi pada himpunan segitiga.
3. Relasi kenal dengan (pernah berkenalan) pada himpunan manusia
Contoh 8.8. Berikut adalah contoh relasi yang bersifat non-simetrik.
i Relasi lebih besar atau sama dengan pada himpunan bilangan riil.
ii Relasi mencintai pada himpunan manusia
Contoh 8.9. Berikut adalah contoh relasi yang bersifat asimetrik.
i Relasi lebih besar dari pada himpunan bilangan riil.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
325 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
ii Relasi lebih tinggi pada himpunan manusia
iii Relasi lebih tua pada himpunan manusia
Contoh 8.10. Berikut adalah contoh relasi yang bersifat transitif.
i Relasi lebih besar dari pada himpunan bilangan riil.
ii Relasi lebih tinggi pada himpunan manusia
iii Relasi lebih tua pada himpunan manusia
Definisi 8.11. Relasi R dikatakan bersifat non-transitif jika
∃x, y, z[(x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R
]⇒ (x, z) 6∈ R
Contoh 8.11. Berikut adalah contoh relasi yang bersifat non-transitif.
i Relasi berpotongan pada himpunan.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
326 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
ii Relasi mengenal pada himpunan manusia
Definisi 8.12. Relasi R dikatakan bersifat intransitif jika
∀x, y, z[(x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R
]⇒ (x, z) 6∈ R
Gambar 8.3: Diagram panah mengilustrasikan relasi A ke A
Secara grafik, dalam bentuk diagram panah, beberapa jenis re-
lasi dari A ke A digambarkan dalam Gambar 8.3. Dalam diagram
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
327 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
tersebut panah melingkar menunjukkan pengawanan ke dirinya sendiri
(refleksif).
Contoh 8.12. Berikut adalah contoh relasi yang bersifat intransitif.
i Relasi pangkat kuadrat dari pada himpunan bilangan riil selain 0
dan 1.
i Relasi akar kuadrat dari pada himpunan bilangan riil selain 0 dan 1.
ii Relasi pacar dari pada himpunan manusia.
Contoh 8.13. Berikut adalah contoh relasi yang bersifat ekuivalensi.
i Relasi sama dengan pada himpunan bilangan riil.
ii Relasi kongruensi pada himbunan segitiga.
iii Relasi kesejajaran pada himbunan garis.
iv Relasi sama tinggi pada himpunan manusia.
v Relasi sama berat pada himpunan manusia.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
328 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
8.4. Penyajian Relasi dengan Matriks
Selain dengan cara diagram panah, reasi juga dapat disajikan dalam
bentuk matriks. Dalam hal ini matriks representasinya memiliki ciri-
ciri sebagai berikut.
1. Baris matriks menunjukkan unsur-unsur himpunan domain;
2. Kolom matriks menunjukkan unsur-unsur himpunan kodomain;
3. Jika dua unsur memiliki relasi maka unsur matriks yang bers-
esuaian adal 1, jika tidak maka unsurnya adalah 0.
Contoh 8.14.
Misalkan R1 adalah relasi dari A = {1, 2, 3, 4} ke B = {a, b, c} dengan
aturan
R1 = {(1, a), (1, b), (2, c), (3, a), (4, b)}
.
Misalkan pula R2 adalah relasi dari A ke dirinya sendiri dengan aturan
R2 = {(1, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (3, 3), (4, 4)}
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
329 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
, maka dalam bentuk matriks dapat disajukan sebagai berikut:
R1 =
a b c
1 1 1 0
2 0 0 1
3 1 0 0
4 0 1 0
, R2 =
1 2 3 4
1 1 0 1 0
2 0 1 0 0
3 1 0 1 0
4 0 0 0 1
Representasi relasi dengan matriks merupakann bidang yang berkem-
bang melalui teori graph. Matriks representasi tersebut biasda dise-
but matriks ajasen adjacent matrix. Representasi dengan matriks
memungkinkan kita memanfaatkan perangkat lunak (software) untuk
menggambar grafik dari relasi. Hal ini bermanfaat ntuk menggambar
relasi dengan unsur yang cukup banyak. Pada contoh berikut baik
matriks relasi maupun grafiknya seperti pada Gambar 8.4 dihasilkan
dengan program R.
y x z u v p r t s q a c b
y 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
x 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0z 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
330 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
y x
z
u
v
p
r
t
s
q
a
c
b
Gambar 8.4: Contoh Grafik Relasi dari suatu himpunan ke dirinya
sendiri dengan Software R
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
331 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
u 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
v 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
p 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0
r 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0
t 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0
s 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0
q 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0
a 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
c 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
b 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
Selanjutnya relasi dari {a, b, c, d} ke {x, y, z} dapat juga dis-
ajikan dalam bentuk matriks, dengan mendefinisikan unsur matriks
yang bersesuaian. Lihat matriks berikut dan grafiknya pada Gambar
8.5.x a b c d y z u e v w
x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
a 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0
b 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
c 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0d 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
332 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
y 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
z 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
u 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
e 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1
v 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
w 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
333 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
x
a
b
c
d
y
z
u
e
v
w
Gambar 8.5: Contoh Grafik Relasi dari {a, b, c, d, e} ke {u, v, w, x, y, z}dengan Software R
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
334 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
A B
Gambar 8.6: Diagram mengilustrasikan fungsi dari A ke B
8.5. Fungsi
Perhatikan bahwa relasi R : A → B adalah himpunan bagian dari
A × B. Dalam keadaan demikian bisa jadi ada unsur A yang tidak
mempunyai kawandi B atau suatu unsur di A memiliki lebih dari satu
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
335 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
kawan di B. Beberapa relasi yang sifatnya khusus disebut, yaitu tidak
memiliki sifat tadi disebut fungsi. Dengan kata lain, setiap unsur di
A memiliki satu dan hanya satu kawan unsur B.
Definisi 8.13. f : A→ B adalah suatu hubungan yang memiliki sifat
bahwa
∀a ∈ A, ∃!, b ∈ B, 3 b = f(a)
Dalam fungsi ada tiga komponen yang harus dipenuhi yaitu
1. Domain (daerah asal), misalnya himpunan A.
2. Kodomain (daerah kawan), misalnya himpunan B.
3. Aturan pemetaan b = f(a) atau y = f(x) jika fungsinya dari X
ke Y.
Dilihat pada diagram panah, maka diagram panah suatu fungsi memi-
liki ciri-ciri sebagai berikut:
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
336 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
1. ada panah yang keluar dari domain,
2. panah yang keluar untuk masing-masing unsur hanya ada 1,
3. tidak ada unsur yang tidak memiliki panah keluar.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
337 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
8.6. Jenis-Jenis Fungsi
Dalam fungsi tidak disyaratkan bahwa semua unsur kodomain harus
memiliki prakawan di domain. Demikian juga tidak ada keharusan
bahwa dua unsur asal harus memiliki kawan yang berbeda. Dilihat
dari cara pengambilan unsur daerah kawan, fungsi dapat dibedakan
menjadi beberapa macam yaitu surjektif, injektif dan bijektif. Fungsi
injektif dari suatu himpunan ke dirinya sendiri sering disebut sebagai
permutasi.
Definisi 8.14. Fungsi f dari X ke Y dikatakan fungsi satu-satu (in-
jektif), jika setiap unsur berbeda memiliki kawan yang berbeda pula.
f : injektif ↔ ∀x1, x2
[(x1 6= x2)⇒ f(x1) 6= f(x2)
]Definisi 8.15. Fungsi f dari X ke Y dikatakan fungsi pada (surjektif),
jika setiap unsur daerah kawan memiliki prakawan atau prabayangan.
f : surjektif ↔ ∀y ∈ Y, ∃x ∈ X 3, y = f(x)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
338 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Definisi 8.16. Fungsi f dari X ke Y dikatakan fungsi korespondensi
satu-satu (bijektif), jika f sekaligus injektif dan surjektif.
f : bijektif ↔ ∀y ∈ Y, ∃x ∈ X 3, y = f(x) dan (f(x1) = f(x2))⇒ (x1 = x2)
Teorema 8.2. Jika suatu fungsi f dari X yang berhingga ke dirinya
sendiri bersifat injektif, maka dia akan bersifat surjektif, sehingga dia
juga merupakan korespondensi satu-satu.
Bukti:
Andaikan f tidak bersifat surjektif, berarti ada x1 ∈ X sedemikian
sehingga tidak ada x sehingga x1 = f(x), sehingga RA 6= A. Tetapi
karena f satu-satu berarti DA = A ≡ RA. Karena RA ⊆ A, RA ≡A berarti RA = A(lihat Teorema 6.2). Ini merupakan kontradiksi
(A 6= A). Oleh karena itu haruslah juga f bersifat surjektif. Sifat ini
tidak berlaku untuk himpunan tak hingga. Misalnya jika X = N dan
f(n) = 2n− 1, maka f bersifat injektif, tetapi tidak surjektif, karena
bilangan asli dipetakan satu-satu ke subsetnya, himpunan bilangan
asli ganjil.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
339 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Teorema 8.3. Jika suatu fungsi dari X yang berhingga ke dirinya
sendiri bersifat surjektif, maka dia akan bersifat injektif, sehingga dia
juga merupakan korespondensi satu-satu.
Dilihat dari bentuk hubungan antara x ∈ X dengan y ∈ Y pada
fungsi dari X ke Y., fungsi dapat dibedakan atas:
1. fungsi aljabar (polinomial), yaitu fungsi yang berbentuk y =∑ni=0 aix
i. beberapa fungsi istimewa termasuk dalam kelompok
ini adalah
(a) fungsi konstan, yaitu bila ai = 0,untuk ∀i 6= 0;
(b) fungsi linier, yaitu bila n = 1 dan a1 6= 0
(c) fungsi kuadrat, yaitu bila n = 2 dan a2 6= 0
2. fungsi transenden, yaitu fungsi-fungsi selain fungsi aljabar seperti
fungsi trigonmetri (mengandung fungsi sin, cos, dll), fungsi log
dan exponensial ( [10]).
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
340 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
8.7. Bentuk, Skala dan Lokasi Fungsi
. Fungsi memiliki tiga karakteristik utama yaitu bentuk skala dan
lokasi. Sebagai contoh ambil fungsi yang sederhana yaitu fungsi kuadrat,
y = x2. Fungsi memiliki bentuk khas yag disebut parabola. Skala
parabola pada suatu nilai a apakah membuka lebar atau sempit, mem-
buka ke atas atau ke bawah. Sehingga bentuk yang lebih umum
y = ax2, a 6= 0 tetap mempunyai bentuk sama tetapi dengan sekala
berbeda tergantung nilai a. Selanjutnya jika lokasi fungsi digeser sep-
anjang sumbu X maupun sumbu Y , maka menghasilkan persamaan
fungsi dengan bentuk fungsi lebih umum yaitu y = a(x − xp)2 + yp.
Fungsi ini adalah fungsi kuadrat dengan puncak (xp, yp) dengan ben-
tuk parabola dan membuka (skala) sesuai dengan nilai a. Dengan kata
lain parabola yang dihasilkan hanya berbeser lokasi tanpa mengubah
bentuk, maupun skala (jika a tetap). Ilustrasi tentang bentuk, skala
dan lokasi fungsi diberikan pada Gambar 8.7.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
341 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
−4 −2 0 2 4
−5
05
1015
2025
Y=a(x−xp)^2+yp
X
Y
Gambar 8.7: Fungsi kuadrat yang mempunyai persamaan berbeda
walau sebenarnya bentuk dan skalanya sama, tetapi
lokasi berbeda
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
342 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
8.8. Bacaan Lebih Lanjut
Untuk mendalami lebih jauh materi pada bab ini selain beberapa sum-
ber yang telah dikutip sebelumnya, dapat juga dibaca beberapa sum-
ber lain diantaranya Ruseffendi[16], Nasoetion [11], Lipschutz[9], Poli-
meni & Straight [15]. Secara umum hampir semua buku teks tentang
kalkulus, pada bagian awalnya membahas relasi dan fungsi. Khusus
untuk perangkat lunak program R dapat dilihat lansung pada situs
http://www.r-project.org.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
343 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
8.9. Soal-soal Latihan
1. Diketahui A = {a, b, c, d} dan B = {1, 3, 5} tentukan
(a) A×B(b) B × A
2. Diketahui H adalah himpunan bilangan asli kurang dari 17. Bu-
atlah relasi dari H kedirinya sendiri yang menggambarkan:
(a) h1 kelipatan dari h2
(b) h1 faktor dari h2
3. Buatlah relasi (daerah asal dan aturannya) yang bersifat
(a) refleksif dan simetrik tetapi non-transitif
(b) irefleksif tetapi simetrik dan transitif
(c) refleksif dan non-simetrik tetapi transitif
4. Buatlah fungsi (daerah asal dan aturannya) yang bersifat
(a) injektif dan surjektif
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
344 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
(b) injektif tetapi tidak surjektif
(c) tidak injektif dan tidak surjektif
5. Buatlah fungsi dari suatu himpunan ke dirinya sendiri yang
bersifat
(a) injektif dan surjektif
(b) injektif tetapi tidak surjektif
(c) tidak injektif dan tidak surjektif
Kesimpulan apa yang dapat anda petik dari soal ini.
6. Buktikan Teorema 8.3 pada halaman 339.
7. Diketahui A = {1, 3, 5} dan B = {a, b, c}. Tentukan berapa
banyaknya fungsi (sebutkan fungsi apa saja) yang bisa dibuat
dari A ke B yang bersifat
(a) umum (fungsi biasa)
(b) injektif
(c) surjektif
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
345 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
(d) bijekttif
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
346 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
8. Sebutkan ada berapa kondisi relasi yang menyebabkan dia tidak
menjadi fungsi.
9. Perhatikan diagram relasi berikut. Tentukan sifat-sifat relasi
yang diwakili. Apakah bersifat refleksif, simetrik atau transitif?
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
347 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
BAB 9
PENGANTAR LOGIKA DAN HIMPUNAN SAMAR
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
348 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tujuan Umum
Setelah mempelajari materi pada bab ini diharapkan agar pembaca
mengenal dan memahami konsep logika dan himpunan samar serta
mampu membedakannya dengan himpunan atau logika yag telah dibicarakan
pada bab sebelumnya.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
349 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tujuan Khusus
Setelah mempelajari materi pada bab ini diharapkan agar pembaca
dapat
1. menyebutkan definisi logika samar
2. menyebutkan definisi himpunan samar
3. memberi contoh logika samar
4. memberi contoh himpunan samar
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
350 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Materi
1. Konsep Dasar
2. Logika bernilai-3 atau lebih
3. Memodelkan tingkat keanggotaan himpunan
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
351 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
9.1. Konsep Dasar
Sejauh ini kita telah mempelajari logika dengan nilai kebenaran yang
mutlak, 0 atau 1. Logika ini selanjutnya disebut logika biner (bernilai
2). Padahal di masyarakat dikenal banyak hal yang sulit ditentukan
secara mutlak apakah suatu itu benar atau salah. Masyarakat biasa
menyebut sebagai wilayah abu-abu (grey area. Demikian juga dalam
hal himpunan, kita belum bisa membicarakan himpunan dengan krite-
ria bersifat kualitatif. Sifat-sifat atau keadaan seperti:“cantik, manis,
muda, tinggi” adalah merupakan kondisi yang tidak bisa dinilai se-
cara mutlak. Setiap orang mungkin saja mempuyai penilaian yang
berbeda terhadap objek yang sama. Logika samar maupun himpunan
samar fuzzy logics & fuzzy set logika atau himpunan yang mempertim-
bangkan nilai keberan atau keanggotaan yang bersifat samar (tidak
mutlak). Namun, dalam kenyataan justru fenomena samar-samar ini
yang banyak dijumpai di masyarakat.
Nilai kebenaran suatu pernyataan p yang dinotasikan dengan τppada logika biner dapat dianggap sebagai suatu fungsi indikator yang
memetakan p ke himpunan {0, 1}, seperti dinyatakan dalam definisi
berikut.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
352 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Definisi 9.1. Nilai kebenaran p pada logika biner didefinisikan sebagai
τp : p→ {0, 1} dengan
τp(p) =
{1 jika p benar
0 jika p salah(9.1)
Demikian juga keanggotaan suatu unsur x pada himpunan biner,
A dapat dianggap sebagai fungsi karakteristik atau fungsi indikator ξAyang memetakan setiap anggota ke salah satu dari dua kategori, yaitu
menjadi anggota (1) atau bukan anggota (0). Jadi daerah kawan atau
hasilnya hanyalah {0, 1}. Formalnya, fungsi indikator keanggotaan
dalam himpunan A didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 9.2. Keanggotaan pada himpunan biner A didefinisikan se-
bagai ξA : S → {0, 1} dengan
ξA(x) =
{1 jika x ∈ A0 jika x 6∈ A (9.2)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
353 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Ide fungsi indikator di atas lalu diperluar untuk memungkinkan
suatu unsur memperoleh nilai antara 0 dan 1. Ada banyak hal yang
tidak dapat diukur secara mutlak dengan hanya dua kategori, di-
antaranya adalah:
1. kondisi sifat seseorang atau sesuatu seperti kecil, tinggi, muda;
2. kondisi keberadaan sesuatu seperti tidak ada, sedikit, banyak,
kebanyakan, sebagian besar semua;
3. kondisi hubungan seperti sama, mirip, lebih baik dan lain-lain;
4. kondisi kebenaran seperti salah, relatif benar, benar sekali;
5. kondisi kemungkinan seperti, tidak mungkin, mungkin, mungkin
sekali, pasti.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
354 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
9.2. Logika bernilai tiga atau lebih
Logika matematika tradisional1 dapat juga dikatakan sebagai logika
dengan 2 kategori, yaitu 0 dan 1. Salah satu bentuk generalisasi
yang paling sederhana adalah dengan menambahkan satu kategori lagi,
misalkan s yang menyatakan bahwa nilai kebenarannya masih samar
(ragu-rahu).
Dengan logika bernilai tiga ini maka nilai kebenaran pada logika
ini merupakan fungsi indikator dengan definisi berikut.
Definisi 9.3. Nilai kebenaran p pada logika matematika ‘bernilai-3’
didefinisikan sebagai τs : p→ {0, s, 1} dengan
τs(p) =
1 jika p benar
0 jika p salah
s jika p bukan salah satu di atas.
(9.3)
1Sebenarnya logika matematika sendiri sudah termasuk kategori logika modern,namun dengan munculnya logika samar, maka dari kaca mata logika samar, logikamatemtika dapat dianggap sebagai logika tradisional
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
355 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Karena nilai kebenaran dapat dianggap sebagai bilangan riil,
atau setidaknya bilangan rasional, 0 < s < 1, maka operator ¬,∧,∨dapat didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 9.4. Nilai kebenaran logika samar dari pernyataan-pernyataan
p, q, r, · · · , masing-masing dengan nilai kebenaran kontinu pada [0,1]
didefinisikan sebagai
τs(¬p) = 1− τs(p) (9.4)
τs(p ∧ q) = minimum{τs(p), τs(q)} (9.5)
τs(p ∨ q) = maksimum{τs(p), τs(q)} (9.6)
x dan y merupakan nilai dari suatu pernyataan, yang berada
pada interval [0,1], maka nilai kebenaran dari hasil operasi konektif
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
356 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
dasar seperti pada Definisi 9.4 dapat dinyatakan sebagai berikut:
¬x = 1− xx ∧ y = min{x, y}x ∨ y = min{x, y}
Dengan demikian, untuk kategori penilaian 3, yaitu 0,s dan 1,
maka tabel kebenaran ¬p, p ∧ q dan p ∨ q dapat didefinisikan sebagai
berikut ini.
∧ 0 s 1
0 0 0 0
s 0 s s
1 0 s 1
∨ 0 s 1
0 0 s 1
s s s 1
1 1 1 1
¬0 1
s s
1 0
Dengan cara yang sama kita juga dapat membuat tabel kebe-
naran untuk implikasi→ dan biimplikasi↔. Sebagaimana pada logika
biasa, maka p → q ≡ (¬p ∨ q), maka s → 0 ≡ ¬s ∨ 0 ≡ s sedangkan
dan seterusnya.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
357 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
→ 0 s 1
0 1 1 1
s s 1 1
1 0 s 1
↔ 0 s 1
0 1 s 0
s s 1 s
1 0 s 1
Contoh 9.1. Diketahui pernyataan-pernyataan berikut:p : Ani adalah gadis cantik
q : Ali adalah pemuda cerdas
r : Setiap manusia perlu makan
t : Ada negara dengan tiga ibukotaJika pernyataan emperik yang belum diketahui kebenarannya, nilainya
dinyatakan dengan s, maka nilai kebenaran pernyataan berikut adalah:
1. τ(p) = s, τ(q) = s, τ(r) = 1, τ(t) = 0;
2. τ(p ∧ r) = s,τ(p ∨ r) = 1;
3. τ(q ∧ t) = 0, τ(q ∨ t) = s.
Sebagaimana disinggung pada pembukaan subbab sebelumnya
bahwa fungsi keanggotaan atau kebenaran dapat diberi nilai secara
bebas pada interval [0,1]. Hal ini memungkinkan kita membuat sistim
logika dengan lebih dari 3 nilai.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
358 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Definisi 9.5. Nilai kebenaran samar dari pernyataan p, dinotasikan
dengan fs adalah suatu fungsi dari p ke [0, 1]. Selanjutnya fs dikatakan
sebagai fungsi kebenaran.
Definisi 9.6. Nilai kebenaran p pada logika matematika dapat didefin-
isikan sebagai τs : p→ [0, 1] dengan
τs(p) =
1 jika p benar
0 jika p salah
0 < f(s) < 1 jika p bukan salah satu di atas.
(9.7)
f(s) dapat berupa fungsi yang menunjukkan derajat keyaki-
nan seseorang terhadap nilai kebenaran p. Jika P adalah himpunan
pernyataan-pernyataan dengan nilai kebenaran berada pada interval
[0,1], maka operasi pernyataan dengan konektif ¬,∧,∨ maupun yang
lainnya dapat dilakukan dengan menggunakan Definsi 9.4. Dengan
kata lain definisi tersebut juga berlaku untuk sistim yang mempunyai
nilai lebih dari 3 kategori, bahkan untuk sistim yang mempunyai nilai
kebenaran kontinu.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
359 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Teorema 9.1. Pada logika samar, berlaku hukum komutatif baik un-
tuk ∧ maupun ∨
Bukti:
x ∧ y = min(x, y)
= min(y, x)
= y ∧ x
Teorema 9.2. Pada logika samar, berlaku hukum asosiatif baik untuk
∧ maupun ∨
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
360 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
9.3. Himpunan Samar
9.3.1. Himpunan dengan tiga atau lebih kategori keang-
gotaan
Seperti halnya pada logika samar. Himpunan samar juga mempunyai
tingkat keanggotaan yang lebih luas dari sekedar ∈ dan /∈. Perluasan
yang paling sederhana adalah mengelompokkan keanggotaan menjadi
tiga kategori:
1. anggota (pasti) (∈)
2. anggota (ragu-ragu) (s)
3. bukan anggota (/∈)
Contoh 9.2. Misalkan kita memiliki sejumlah calon mahasiswa dengan
kondisi Niai Ujian matematika (M) dan Penghasilan orang tua dalam
jutaan rupiah (P ) sebagai berikut:
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
361 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Calon M P
a 6,5 25,0
b 4,0 0,1
c 9,0 10,0
d 6,0 1,0
e 8,0 1,5
Jika A adalah himpunan calon mahasiswa cerdas dan B adalah him-
punan calon mahasiswa kaya, maka keanggotaan dari a, b, · · · , e terhadap
A dan B salah satunya dapat ditentukan sebagai berikut:
Unsur A B
a s ∈b /∈ /∈c ∈ ∈d s s
e ∈ s
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
362 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
9.3.2. Memodelkan tingkat keanggotaan kontinu dari him-
punan
Tingkat keanggotaan himpunan selain dapat dikategorikan menjadi
beberapa kategori, juga dapat didefinisikan secara kontinu.
Definisi 9.7. Keanggotaan samar dari suatu himpunan S adalah su-
atu fungsi dari S ke [0, 1].
Untuk suatu himpunan samar, misalnya S, fungsi A : S → [0, 1]
dikatakan fungsi keanggotaan dan nilai A(x) disebut tingkat keang-
gotaan dari x pada himpuan samar A. Tentu saja fungsi keang-
gotaan untuk suatu masalah yang sama dapat berbeda-beda. Jika
x merupakan suatu kualitas/ sifat yang dapat diukur secara kuanti-
taif (misalnya umur, tinggi badan, berat badan), maka fungsi derajat
keanggotaan ini dapat didefinisikan sebagai fungsi dari kuantitas tadi
yag dipetakan ke [0,1]. Dengan kata lain kita dapat membuat model
keanggotaan secara kontinu untuk sesuatu sifat yang dapat dinyatakan
dalam bentuk angka.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
363 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Contoh 9.3. Misalkan kita ingin membuat model keanggotaan dari him-
punan orang muda. Status muda atau tidak dapat dilihat dari umur yang
dinyatakan dalam bentuk angka. Dengan demikian kita dapat membuat
model yang menghubungkan umur dengan keanggotaan himpunan. Mis-
alkan pula untuk membuat himpunan orang muda seperti ini ada beber-
apa pendapat. Satu kelompok masyarakat sepakat/ yakin bahwa umur
dibawah 25 tahun adalah muda, dan di atas 45 tahun bukan muda lagi.
Tetapi banyak diantara mereka yang menganggap antara 25 sampai 45
tahun juga masih tergolong muda. Kenggotaan ini dapat dirumuskan den-
gan Mi(x). Kelompok lain misalnya mempunyai kriteria berbeda. Mereka
sepakat/ yakin bahwa dibawah 30 tahun adalah muda sedangkan di atas
50 tahun sudah tidak muda lagi. Sedangkan mereka juga menganggap
antara 30 dan 50 tahun juga masih bisa dikelompokkan muda (walaupun
samar-samar). Fungsi keanggotaan M diberikan pada persamaan (9.8a)
dan grafiknya diberikan pada Gambar 9.1.
M1(x) =
1 jika x < 2545−x
20jika 25 < x < 45
0 jika x > 45
(9.8a)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
364 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Gambar 9.1: Grafik keanggotaan M1
Umur
Mud
a
10 20 30 40 50
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
Misalkan pula bagi kelompok yang lebih senior memiliki model
yang sedikit berbeda (tidak ada keraguan kategori muda untuk usia
dibawah 30 dan tidak ada keraguan tidak muda untuk usia di atas
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
365 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Gambar 9.2: Grafik keanggotaan M2
Umur
Mud
a
10 20 30 40 50
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
366 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
50 tahun), maka salah satu modelnya adalah seperti pada persamaan
(9.8b) dengan grafik seperti Gambar 9.2.
M2(x) =
1 jika x < 30
1−(
x−3020
)2jika 30 < x < 50
0 jika x > 50
(9.8b)
Contoh 9.4. Misalkan kita ingin membuat keanggotaan himpunan orang
kaya. Untuk ini misalkan pula masyarakat sepakat bahwa penghasilan
dibawah Rp 1 juta tidak dapat dikatakan kaya, sedangkan penghasilan
diatas 5 juta sebulan sudah pasti termasuk kelompok kaya. Maka salah
satu fungsi keanggotaan untuk masalah ini adalah seperti persamaan (9.9)
dengan grafik seperti Gambar 9.3.
K(x) =
0 untuk x < 0, 5× 106√
x−0,5×106
4,5×106 untuk 0, 5× 106 < x < 5106
1 untuk x > 5× 106
(9.9)
Contoh 9.5. Misalkan pula kita membuat model keanggotaan himpunan
jarang ditentukan dengan mendefinisikan istilah jarang dengan proporsi
keberadaan x sebagai berikut:
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
367 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
1. benar mutlak (bernilai 1, berarti benar jarang) jika tidak ada sama
sekali;
2. mutlak tidak benar (bernilai 0, berarti tidak benar jarang) jika ada
lebih dari 1/2
3. 1−4x22 untuk situasi diantara dua di atas, dengan x adalah proporsi
keberadaan.
Maka bentuk fungsi secara keseluruhan adalah seperti persamaan (9.10)
dengan grafik seperti pada Gambar 9.3.
J(x) =
1 jika x < 0
1− 4x2 jika 0 < x < 1/2
0 jika x > 1/2
(9.10)
Grafik dari fungsi ini dapat dilihat pada Gambar 9.4
Contoh 9.6. Misalkan kita ingin membuat keanggotaan himpunan se-
bagian besar. Maka pertama kita tentukan karakteristik dari keberadaan
2kita dapat memilih definisi atau bentuk yang lain, misalnya 1− 12x2 + 16x3
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
368 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Gambar 9.3: Grafik fungsi keanggotaan K
Penghasilan
Kay
a
0 1 2 3 4 5
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
369 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Gambar 9.4: Grafik fungsi keanggotaan J
Proporsi
Jara
ng
0.0 0.5 1.0 1.5
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
370 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
tersebut. Salah satu yang bisa dilakukan adalah dengan melihat prosen-
tase keberadaan objek yang kita jadikan perhatian. Misalkan pula kita
didefinisikan sebagai berikut:
1. benar mutlak (sebagian besar, bernilai 1) jika adanya lebih dari
separuh (0.5);
2. salah mutlak (tidak benar sebagian besar, bernilai 0) jika adanya 0
(tidak ada);
3. 8x33 untuk situasi diantara dua di atas, dengan x menunjukkan
proporsi keberadaan.
Maka bentuk fungsi secara keseluruhan adalah seperti pada persamaan
(9.11).
S(x) =
0 jika x < 0
8x3 jika 0 < x < 1/2
1 jika x > 1/2
(9.11)
3kita dapat memilih definisi atau bentuk yang lain, misalnya 4x2
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
371 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
9.4. Bacaan Lebih Lanjut
Teori tentang himpunan samar (fuzzy sets) dimulai oleh L.A. Zadeh,
seorang ahli teori kontrol, pada tahun 1965. Walaupun pada awalnya
mendapat banyak penolakan, terutama dari kalangan statistisi, de-
wasa ini teori samar berkembang cukup pesat dan banyak diapliasikan
dalam automatisasi alat-alat elektronika. Automatisasi dengan sistim
atau logika samar diklaim mendapatkan hasil yang lebih sempurna
(dibandingkan dengan tehnik digital yang berdasarkan logika 2 nilai)
dan dalam pengendalian robot akan menghasilkan robot yang lebih
cerdas dan lebih mendekati prilaku manusia.
1. mesin cuci, yang dipelopori oleh perusahan Matsushita tahun
1990. Dengan kontrol menggunakan logika samar mesin cuci
lebih cerdas dalam membaca jenis dan tingkat kotoran pakaian
serta mengatur prilaku mesin cuci;
2. pengatur transmisi automatis pada mobil dipelopori oleh perusa-
han mobil Nissan. Dengan sistim ini mobil dapat menghemat
bahan bakar sampai 12 sampai 17 %. Tahun 1992 perusahan mo-
bil Mitsubishi menerapkan logika samar bukan saja pada trans-
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
372 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
misi tetapi juga pada suspensi, kemudi dan daya 4 roda serta
pengatur udara;
3. kamera dan video. Kamera dan video yang dilengkapi dengan
sistim logika samar dapat menghasilkan perhitungan penyinaran
yang dan kontrol yang lebih sempurna sehingga menghasilkan
gambar yang lebih baik.
Bagi pemula, buku tulisan Nguyen & Walker [13] cukup memadai se-
bagai tahap awal mendalami logika samar. Aplikasi logika samar pada
pengambilan keputusan dapat dibaca pada Kusumadewi & Purnomo
[8]. Sedangkan aplikasi dalam sistim dan kontrol dapat dibaca pada
Wang [21]. Pada buku yang sama Wang juga menguraikan arah dan
cabang pengembangan teori samar.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
373 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
GLOSARIUM
A
abundan Bilangan abundan/berlebih adalah bilangan yang memi-
liki jumlah faktor sejati (termasuk 1), melebihi bilangan itu
sendiri.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
374 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
aksioma Aksioma adalah pernyataan yang diterima kebenarannya
dalam rangka membangun suatu teori, yang menghasilkan
teorema-teorema dalam buku ini aksioma dianggap sama
dengan postulat.
asumsi Asumsi adalah pernyataan yang dianggap benar dalam
argumentasi tertentu dan dipergunakan sebagai hipotesis
untuk menurunkan suatu kesimpulan.
D
defisien Bilangan defisien/berkurang adalah bilangan yang memi-
liki jumlah faktor sejati (termasuk 1), kurang dari bilangan
itu sendiri.
K
konjektur Konjektur adalah pernyataan tentang sifat suatu sistem
yang diduga benar tetapi belum bisa dibuktikan secara
deduktif.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
375 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
korolari Korolari/akibat langsung adalah konsekuensi logis dari su-
atu teorema yang sangat dekat kaitannya dengan teorema
sebelumnya.
L
lemma Lemma adalah suatu sifat yang bergantung pada sistem
di luar yang dibahas yang dibuktikan untuk menyeder-
hanakan pembuktian teorema yang diperlukan.
P
proposisi Proposisi dalam sistem matematika adalah suatu perny-
ataan tentang sifat-sifat suatu sistem, hampir sama den-
gan teorema hanya saja pembuktiannya tidak seformal teo-
rema.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
376 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
S
sempurna Bilangan sempurna adalah bilangan yang memiliki jum-
lah faktor sejati (termasuk 1), sama dengan bilangan itu
sendiri.
T
teorema Teorema adalah pernyataan atau rumus yang dapat di-
turunkan dari suatu sistim aksioma dengan menerapkan
aturan-aturan yang berlaku pada sistim bersangkutan.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
377 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
DAFTAR PUSTAKA
[1] E.J. Borowsky and J.M. Borwein. Collins Dictionary Mathemat-
ics. Collins, Great Britain, 1989.
[2] I. M. Copi. Symbolic Logic. The Macmillan Company, New York,
1961.
[3] R. Courant and H. Robbins. What is Mathematics? An Elemen-
tary Approach to Ideas and Methods. Oxford University Press,
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
378 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Oxford, 1978.
[4] H.B. Enderton. Mathematical Introduction to Logic. Academic
Press, 1972.
[5] P. Fletcher, H. Hoyle and C.W. Patty. Foundation of Discrete
Mathematics. PWS-Kent Pub. Co., Boston, 1991.
[6] M.C. Gemignani. Basic Concept of Mathematics and Logic. Ad-
dison Wisley Pub.Co., 1968.
[7] S.K. Haza’s, S. Dyastriningrum & I. Ngathoillah. Sejarah Matem-
atika, Klasik dan Modern. UAD Presss, Yogyakarta, 2004.
[8] S. Kusumadewi and H. Purnomo. Aplikasi Logika Fuzzy untuk
pendukung Keputusan. Graha Ilmu, Yogyakarta, 2004.
[9] S. Lipschutz. Set Theory and Relatd Topics. Schaum’s Outline
Series, McGraw-Hill Book Co., New York, 1974.
[10] M.A. Munem and D.J. Foulis. Calculus with Analytic Geometry.
Worth Publisher, Inc, New York, 1978.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
379 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
[11] A.H. Nasoetion. Landasan Matematika. Bharata Karya Aksara,
Jakarta, 1980.
[12] S. Negoro & B. Harahap. Ensiklopedia Matematika. Ghalia In-
donesia, Jakarta, 1990.
[13] H.T. Nguyen and E. A. Walker. A First Course in Fuzzy Logic.
Chapman & Hall/CRC, London, 2nd edition, 2000.
[14] N. Nissanke. Introductory Logic and Sets for Computer Scientists.
Addison-Wesley Longman Lmt., England:Harlow, 1999.
[15] A.D. Polimeni and H.J. Straight. Foundations of Discrete Math-
ematics. Brooks/Cole Pub. Co., California, 1985.
[16] E.T. Ruseffendi. Dasar-dasar Matematika Modern untuk Guru.
Tarsito, Bandung, 3 edition, 1982.
[17] J.J. Siang. Matematika Diskrit dan Aplikasinya pada Ilmu Kom-
puter. Andi, Yogyakarta, 2002.
[18] R. Soekadijo. Logika Dasar. Gramedia, Jakarta, 1983.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
380 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
[19] S. Sulistyaningsih. Mengenal Tehnik Dasar Komputer. M2S, Ban-
dung, 1984.
[20] N.L. Thomas. Modern Logic-an Introduction. Barnes & Noble,
New York, 1968.
[21] L-X. Wang. A Course in Fuzzy Systems and Control. Prentice-
Hall International Inc., London, 1997.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
381 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
INDEKS PENULIS
Borowsky, 21, 24, 60
Borwein, 21, 24, 60
Copi, 22, 24, 54, 91, 95
Courant, 263, 285, 291
Dyastriningrum, 291
Enderton, 60, 95, 178
Fletcher, 178
Gemignani, 22, 60, 95, 178
Harahap, 60
Haza’s, 291
Lipschutz, 263, 291, 324
Nasoetion, 217, 263, 291, 324
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
382 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Negoro, 60
Ngathoillah, 291
Nguyen, 354
Polimeni, 22, 178, 263, 291, 324
Robbins, 263, 285, 291
Ruseffendi, 219, 263, 291, 324
Soekadijo, 21
Straight, 22, 178, 263, 291, 324
Sulistyaningsih, 53
Thomas, 22, 60, 95, 178
Walker, 354
Wang, 354
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
383 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
INDEKS SUBJEK
anteseden, 71
argumen
kesimpulan, 191
premis, 191
bentuk normal, 109
CCNF, 115
CDNF, 111
CNF, 114
disjungtif, 110
lengkap, 111
DNF, 110
konjungtif, 114
lengkap, 115
biimplikasi, 70
bilangan
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
384 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
abundan, 32, 34, 35
Archimedes, 284
defisien, 35
Euler, 284
komposit, 61
prima, 61
sejarah, 291
sempurna, 35
biner, 93
bukti
tak langsung, 204
kontradiksi, 206
negasi, 205
pengandaian, 206
penyanggah, 205
Dagger, 57, 58
definisi, 24
diagram
kartesius, 298
panah, 301, 316
pohon, 250
Venn, 222, 231, 233, 235,
242, 283, 287
diagram Venn, 127, 227
dilema
destruktif, 202, 203
konstruktif, 201
dual, 49
ekuivalen, 46
ekuivalensi
biimplikasi, 85
implikasi, 84
logis, 83
faktor, 109
fungsi
aljabar, 321
karakteristik
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
385 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
bentuk, 322
lokasi, 322
skala, 322
transenden, 321
trigonometri, 321
fuzzy, 333
gabungan, 158
gugus, 217
himpunan, 217
bagian, 225
berhingga, 221
berpotongan, 224
bilangan
asli, 153
cacah, 278
kardinal, 278
diskrit, 276
ekuivalen, 225
elemen, 218
deskripsi, 218
tabulasi, 218
keluarga, 226
kontinu, 276
kosong, 221
kuasa, 228
partisi, 243
penyelesaian, 151
saling lepas, 224
sama, 224
samar, 217
semesta, 220
subset
sifat-sifat, 244, 248, 255,
258
takhingga, 221
terhitung, 276
unsur, 218
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
386 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
hipotesis, 71
hirarki
perakit, 58, 90
implikasi, 70
formal, 73
logis, 83
material, 73
induksi
lengkap, 209
matematika, 209, 276
irisan, 158
jaringan
listrik, 125
kalimat
matematika, 150
terbuka, 150
tertutup, 150
karakteristik, 108
kardinal
himpunan, 220
kebenaran
nilai, 32
tabel
konjungsi, 37
negasi, 33
kesimpulan, 71
konklusi, 71
konsekuen, 71
konstanta, 147
kontra, 205
kontradiksi, 44, 115
kuantor
eksistensial, 155
universal, 155
kuantor eksistensial, 212
kuantor universal, 212
negasi, 33
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
387 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
biimplikasi, 88
implikasi, 87
tunggal, 33
notasi, 22
Lukasiewicz, 91
operasi himpunan
gabungan, 234
irisan, 232
jumlah, 240, 243
kartesius, 297
komplemen, 230
selisih, 240, 243
sifat-sifat, 236
parabola, 322
Peano, 209
pengingkaran
alternatif, 56
bersama, 57
pengurut, 275
penyanggah, 205
perakit, 36
dan, 36
dasar, 42
disjungsi, 39
eksklusif, 54
konjungsi, 36, 37
permutasi, 319
pernyataan
aljabar, 46
kalkulus, 46
kondisional, 70
majemuk, 36
tunggal, 31
peubah, 148
rangkap, 49
samar, 333
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J I II
388 dari 388
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
himpunan, 342, 344
logika, 336, 340
assosiatif, 341
komutatif, 341
konektif, 337
semesta
pembicaraan, 147
seri, 128
simbol, 22
Stroke, 56, 58
subset, 225
suku, 109
syarat
cukup, 75
perlu, 75
tautologi, 43, 112
tetapan, 147
translasi, 118
uner, 93
variabel, 148
