7/23/2019 Mate 0-14 Progresiones Geometricas (1)
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Matemticas Cero para economistas
Progresiones geomtricas
DefinicinUna sucesin es una progresin geomtricacuando cada
trmino se obtiene multiplicando elanterior por un nmero fijo,
llamado raznde la progresin. Por tanto, en una progresingeomtrica,
el cociente entre dos trminos consecutivos siempre es igual a la
razn. En
consecuencia, una progresin geomtrica queda determinada dando
cualquier trmino y la razn.
i el primer trmino de una progresin geomtrica es a! y la razn es
r, la progresin ser"#
a! raa !$ = raa $% = raa %& = ... raa nn !=
raa !$ = $
!% raa = %
!& raa = ... !
!= n
n raa
El trmino generalde la progresin geomtrica es# !!= n
n raa
Ejemplo#
'a sucesin !, $, &, !(, %$, ... es una progresin geomtrica
de razn r ) $.
u trmino general ser"# !! $$*! == nnna .
+on esto, por ejemplo# !$$-! ==a /
&&!(!0-$!1(&$&&
& ==a .
EJERCICIO DE APICACI!"0. +omprueba que las siguientes sucesiones
son progresiones geomtricas, 2alla el trmino general
y el valor del trmino duodcimo.
a3 ,$
!,
&
&,
1
!%, ... b3 4!, !, 4!, !, ... c3 !, 4!, !, 4!, ...
olucin#
Una sucesin es una progresin geomtrica si el cociente entre dos
trminos consecutivos essiempre constante.
a3 Para ,$
!,
&
&,
1
!%, ... se cumple que#
$
%
!
!
$5!
!
$===
a
a, y lo mismo sucede para
$
%
(.
-.
$5!,
&5&,
$
%===
a
a
y para%
&
a
a6comprubalo3
+omo a!) y r)$
%, su trmino general ser"#
!
$
%*
=
n
na .
Por tanto,$&1
110%
$
%*
!!
!$ =
=a
b3 Para 4!, !, 4!, !, ..., el cociente entre dos trminos
consecutivos es siempre !/ por tanto, r ) !.
u trmino general es !! 3!63!*6! == nn
na / luego !3!6 !!!$ ==a
c3 Para !, 4!, !, 4!, ... que tambin tiene razn !, su trmino
general esnn
na 3!63!3*6!6 ! == / siendo !!$ =a
Res#el$e t%0. +omprueba si las siguientes sucesiones son
progresiones geomtricas, 2alla el trmino general y
el valor del trmino noveno.a3 $, !, !5$, !5&, b3 !,$, !,$$,
!,$%, ... c3 %, %,%, %,%%, %,%%%, 7
8os 9ar:a 9art:nez 9ediano
!
7/23/2019 Mate 0-14 Progresiones Geometricas (1)
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Res#el$e t%1. @alla las siguientes sumas#
a3 ! 4 $ 4 & 4 1 4 7. 6$ trminos3
b3 ! 4 $, !,$ 4 7 6infinitos trminos3
;sol< a3 !&10(, b3 $5%
Pro'#cto 'e n trminos consec#ti$os 'e #na progresin geomtricaea
una progresin geomtrica de primer trmino a!y razn r.
Para 2allar el valor del producto
nn aaaaaP **...*** !%$! =
puede procederse as:#
!. e observa que ...*** $%!$! === nnn aaaaaa , pues#
n
n
n aar
araaa *** !!!$ == / nn
n
n aaaa
r
araaa **** !!$
!$$% ===
/ 7
$. e 2alla 3**...***3*6**...***6 !%$!!%$!$
nnnn aaaaaaaaaaP =
3*3*6*3*6*3*...*6*3*6*3*6*6 !$!%$$%!$!$
aaaaaaaaaaaaPnnnnnn
= nnaaP 3*6 !
$=
nnaaP 3*6 !=
Ejemplo#
El producto de los ! primeros trminos de la progresin geomtrica
%, (, !$, %(, .. es#&!-$!-!
!! $*%$*%3$*%*%63*6 ==== aaP 6Abserva que-
! $*%=a 3
El producto de los !1 primeros trminos de la progresin geomtrica
$(, !$1, (&, .. es#0!&!(!!(
!(! $3$63$*$(*$(63*6 ====
aaP
8os 9ar:a 9art:nez 9ediano
%
