Sucesiones y Progresiones Geometricas

Sucesiones y progresiones

Sucesiones y progresionesSucesin

Dada las sucesiones infinitas, averiguar las frmulas del n-simo trmino:

INCLUDEPICTURE "E:\\MATERIAS\\mat09\\Gmat09\\mat9275.jpg" \* MERGEFORMATINET Sumatoria

Como en una sucesin n es un nmero entero positivo, la suma de los n primeros trminos de una sucesin se denota porSn.

Propiedades de la sumatoria

Sucesiones creciente y decrecientePara explicar la diferencia entre las dos sucesiones veamos:

Sean las sucesiones:

Observemos que en la primera sucesin a medida que aumenta el valor de n, aumentael correspondiente trmino de la sucesin, a diferencia de la segunda sucesin, que amedida que aumenta el valor de n, disminuye el correspondiente trmino de la sucesin.Al primer caso es lo que se llama una funcin creciente y al segundo caso funcin decreciente.En forma general se tiene que:

ProgresionesUna progresin es una sucesin de trminos formados de acuerdo con una propiedad.Las progresiones se clasifican en progresiones aritmticas y progresiones geomtricas.

Progresin aritmticaEs una sucesin cuyos trminos tienen de diferencia el mismo nmero real. Es decirqueen cada trmino a excepcin del primero, se obtiene al sumar al trmino anteriorel mismonmero real, que es una constante. El signo de la progresin aritmtica es,y entre cadatrmino y el siguiente se escribe un punto.As,1. 4. 7. 10.. .es una progresin aritmtica creciente cuya razn es 3porque1 + 3 = 4, 4 + 3 = 7, 7 + 3 = 10, etc.En toda progresin aritmtica, la razn se halla restndole a un trmino cualquiera eltrmino anterior.As en la progresin

Trmino n - simo de una progresin aritmticaSi se tiene la progresin aritmtica a. b. c. d. eu, en la que u es el trminon-simo y cuya razn es r, se puede decir que: Se sabe por definicin que cada trminoes igual al primer trmino a de la progresin ms tantas veces la razn como trminosle preceden.

Hallar el 14 trmino de la progresin 4. 7. 10+Para esta progresin setieneque. a = 4, n = 14, r = 7 - 4 = 3Luego entonces:u = a + (n - 1) r= 4 + (14 - 1) 3= 4 + (13) 3= 4 + 39= 43

INCLUDEPICTURE "E:\\MATERIAS\\mat09\\Gmat09\\estrela2.gif" \* MERGEFORMATINET

Ahora, a partir de la frmula generalu = a + (n - 1) r, se pueden deducir las frmulasparahallar el primer trmino, la razn y el nmero de trminos de una progresin aritmtica.Seau = a + (n - 1) rdespejando cada una de las variables que se necesitan:

El 15 trmino de una progresin aritmtica es 20 y la razn 4. Hallar el primer trmino.Se tiene que:a = u - (n - 1) rDonde u = 20n = 15r = 4Luego entonces:a = u - (n - 1) r= 20 - (15 - 1) 4= 20 - (14) 4= 20 - 56= - 36




Suma de los trminos de una progresin aritmticaEn toda progresin aritmtica la suma de dos trminos equidistantes de los extremos es igual a la suma de los extremos. Sea la progresina. b. c. r. s. u, queconsta dentrminos. Ahora si se designa por S la suma de todos los trminos de laprogresin, se tiene que:S = a + b + c + r + s + uY tambin: S = u + s + r+..+ c + b + aY sumando estas igualdades, tenemos:2S = (a + u) + (b + s) + (c+ r) ++ (r + c) + (s + b) + (u + a)stos binomios son iguales a(a + u)porque en toda progresin aritmtica la sumade dos trminos equidistantes de losextremos es igual a la suma de los extremos.Como hay tantos binomios como trminostiene la progresin, se tendr entoncesque:

InterpolacinEs el proceso mediante el cual se hallan medios aritmticos.

Interpolar tres medios aritmticos entre 3 y 11.Interpolar medios aritmticos entre dos nmeros dados es desarrollar una progresinaritmtica donde los extremos de la progresin sean los nmeros dados.Entonces Interpolar tres medios aritmticos entre 3 y 11 es hallar los tres trminos quehay entre 3 y 11. Para realizar este proceso hallamos la razn y se la sumamos al primertrmino, y as sucesivamente hasta completar los trminos pedidos. La razn se hallamediante la frmula:

Teniendo en cuenta que n es el nmero de trminos de la progresin,es decir los medios aritmticos que se van a interpolar ms los dos extremos.

Ahora, si sumamos esta razn con cada trmino se obtiene el trmino siguiente:3 + 2 = 5 segundo trmino.5 + 2 = 7 tercer trmino.7 + 2 = 9 cuarto trmino.Interpolando estos medios en la progresin inicial3 ..11Se tendr3.5. 7. 9. 11Progresin geomtricaEs una sucesin en la que cada trmino a excepcin del primero, se obtiene multiplicandoel trmino anterior por el mismo nmero real, que es una constante que corresponde a la razn. Una progresin geomtrica es creciente cuando el valorabsoluto de la razn es mayor que uno y decreciente cuando el valor absoluto de larazn es menor que uno, es decir una fraccin propia. En toda progresin geomtricala razn se halla dividiendo un trmino cualquiera por el anterior.

n - simo trmino de una progresin geomtricaEn una progresin geomtrica cada trmino es igual altrmino anterior multiplicadopor la razn, entonces si tenemos una progresin geomtrica:a : b: c:..:u,e n donde u es el trmino n-simo y cuya razn es r, se tienequeun trmino cualquiera es igual al primeroa, multiplicado por la razn elevada a unapotencia igual al nmero de trminos que la preceden. El anterior enunciado se resumeen la frmula:

Hallar el 7 trmino de la progresin geomtrica 3: 6: 12:Se tiene que:a = 3r = 6 / 3 = 2n = 7, luego entonces:

Para deducir la frmula del primer trmino y de la razn, basta despejar de la frmulageneral los valores que se necesiten.De la frmula:

Despejando a, se tiene:

Ahora despejando r:

Al igual que en las progresiones aritmticas para las geomtricas tambin se deducela frmula de la suma de los trminos de la progresin geomtrica, que viene dada por:

Interpolacin de medios geomtricosInterpolar medios geomtricos entredos nmeros dados es desarrollar una progresingeomtrica donde los extremosde la progresin sean los nmeros dados. Entoncespor ejemplo Interpolar 3 mediosgeomtricos entre 5 y 3125 es hallar los tres trminosque hay entre 5 y 3125.Pararealizar este proceso hallamos la razn y multiplicamos el primer trmino, y assucesivamente hasta completar los trminos pedidos. La razn se halla mediante lafrmula:

Teniendo en cuenta que n es el nmero de trminos de la progresin, es decirlos medios aritmticos que se van a interpolar ms los dos extremos, n = 5.

Ahora sise multiplica sta razn con cada trmino se obtiene el trmino siguiente:

El nmeroCul es el nmero de 3 cifras, que cumple la condicin de que elproducto de dichas cifras es igual a su suma?

INCLUDEPICTURE "E:\\MATERIAS\\mat09\\Gmat09\\estrela2.gif" \* MERGEFORMATINET A falta la luzEn un cajn hay 12 pares de calcetines negros y doce pares blancos.No habiendo luz en la habitacin, quiere usted coger el mnimo nmero decalcetines que le asegure que obtendr al menos un par del mismo color.Cuntos calcetines deber coger del cajnSolucionesEl nmero:1, 2 y 3A falta la luz:Tres.

Curiosidad matemticaEsta es la demostracin de que 0,999999... = 1:Demostracin:1 = 11 = 1/3 + 1/3 + 1/3 = 3/3 = 10,3333... + 0,3333... + 0,3333... = 1Sumando:0,9999... = 1

En ciertas demostraciones matemticas, cuando se comete algn error enuno de los pasosnos pueden llevar a confusiones...Demostracin de que:=Suponemos que a = b. Entonces, al multiplicar por b ambos lados de laecuacin:ab = ba - ab = a - ba(a-b) = (a+b)(a-b)a = (a+b)Como a = b;Sustituyendo b:a = (a+a)a = 2a1 = 2

Dnde est el error?

Sucesiones y series

Puedes leer una introduccin sencilla a las sucesiones enpautas comunes de nmeros.Qu es una sucesin?

Una sucesin es un conjunto de cosas (normalmente nmeros) una detrs de otra, en un cierto orden.

Finita o infinita

Si la sucesin sigue para siempre, es unasucesin infinita,si no es unasucesin finitaEjemplos

{1, 2, 3, 4 ,...} es una sucesin muy simple (y es unasucesin infinita)

{20, 25, 30, 35, ...} tambin es una sucesin infinita

{1, 3, 5, 7} es la sucesin de los 4 primeros nmeros impares (y es unasucesin infinita)

{4, 3, 2, 1} va de 4 a 1hacia atrs{1, 2, 4, 8, 16, 32, ...} es una sucesin infinita donde vamos doblando cada trmino

{a, b, c, d, e} es la sucesin de las 5 primeras letrasen order alfabtico{a, l, f, r, e, d, o} es la sucesin de las letras en el nombre "alfredo"

{0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesin quealterna0s y 1s (s, siguen un orden, en este caso un orden alternativo)

En orden

Cuando decimos que los trminos estn "en orden", nosotros somos los que decimosqu orden! Podra ser adelante, atrs... o alternando... o el que quieras!

Una sucesin es muy parecida a unconjunto, pero con los trminosen orden(y el mismo valor s puede aparecer muchas veces).

Ejemplo: {0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es lasucesinque alterna 0s y 1s. Elconjuntosera slo {0,1}

La regla

Una sucesin sigue unareglaque te dice cmo calcular el valor de cada trmino.

Ejemplo: la sucesin {3, 5, 7, 9, ...} empieza por 3 y salta 2 cada vez:

Pero la regla debera ser una frmula!

Decir que "empieza por 3 y salta 2 cada vez" no nos dice cmo se calcula el:

10 trmino,

100 trmino, o

n-simo trmino(dondenpuede ser cualquier nmero positivo que queramos).As que queremos una frmula con "n" dentro (dondenser la posicin que tiene el trmino).

Entonces, cul sera la regla para {3, 5, 7, 9, ...}?

Primero, vemos que la sucesin sube 2 cada vez, as que podemos adivinar que la regla va a ser "2 n". Vamos a verlo:

Probamos la regla: 2n

nTrminoPrueba

132n= 21=2

252n= 22=4

372n= 23=6

Estocasifunciona... pero la regla da todo el tiempo valores 1 unidadmenosde lo que debera, as que vamos a cambiarla un poco:

Probamos la regla: 2n+1

nTrminoRegla

132n+1 = 21+ 1 = 3

252n+1 = 22+ 1 = 5

372n+1 = 23+ 1 = 7

Funciona!As que en vez de decir "empieza por 3 y salta 2 cada vez" escribimos la regla como

La regla para {3, 5, 7, 9, ...} es:2n+1Ahora, por ejemplo, podemos calcular eltrmino 100: 2 100 + 1 =201Notacin

Para que sea ms fcil escribir las reglas, normalmente lo hacemos as:

Posicin del trmino

Es normal usarxnpara los trminos:

xnes el trmino

nes la posicin de ese trmino

As que para hablar del "quinto trmino" slo tienes que escribir:x5

Entonces podemos escribir la regla para {3, 5, 7, 9, ...} en forma de ecuacin, as:

xn= 2n+1

Ahora, si queremos calcular el 10 trmino, podemos escribir:

x10= 2n+1 = 210+1 = 21

Puedes calcular el 50 trmino? Y el 500?Ahora veamos algunas sucesiones especiales y sus reglas:Tipos de sucesionesSucesiones aritmticas

El ejemplo que acabamos de usar, {3,5,7,9,...}, es una sucesin aritmtica (o progresin aritmtica), porquela diferencia entre un trmino y el siguiente es una constante.

Ejemplos

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ...

Esta sucesin tiene una diferencia de 3 entre cada dos trminos.La regla esxn= 3n-23, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38,...

Esta sucesin tiene una diferencia de 5 entre cada dos trminos.La regla esxn= 5n-2

Sucesiones geomtricas

En una sucesin geomtrica cada trmino se calcula multiplicando el anterior por un nmero fijo.

Ejemplos:

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ...

Esta sucesin tiene un factor 2 entre cada dos trminos.La regla esxn= 2n3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, ...

Esta sucesin tiene un factor 3 entre cada dos trminos.La regla esxn= 3n

4, 2, 1, 0.5, 0.25, ...

Esta sucesin tiene un factor 0.5 (un medio) entre cada dos trminos.La regla esxn= 4 2-n

Sucesiones especiales

Nmeros triangulares1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ...

Esta sucesin se genera a partir de una pauta de puntos en un tringulo.Aadiendo otra fila de puntos y contando el total encontramos el siguiente nmero de la sucesin.

Pero es ms fcil usar la regla

xn= n(n+1)/2

Ejemplo:

El quinto nmero triangular es x5= 5(5+1)/2 =15,

y el sexto es x6= 6(6+1)/2 =21Nmeros cuadrados1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ...

El siguiente nmero se calcula elevando al cuadrado su posicin.

La regla esxn= n2

Nmeros cbicos1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, ...

El siguiente nmero se calcula elevando al cubo su posicin.

La regla esxn= n3

Nmeros de Fibonacci0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...

El siguiente nmero se calcula sumando los dos que estn antes de l.El 2 se calcula sumando los dos delante de l (1+1)El 21 se calcula sumando los dos delante de l (8+13)

La regla esxn= xn-1+ xn-2Esta regla es interesante porque depende de los valores de los trminos anteriores.

Por ejemplo el 6 trmino se calculara as:

x6= x6-1+ x6-2= x5+ x4= 5 + 3 = 8Series

"Sucesiones" y "series" pueden parecer la misma cosa... pero en realidad una serie es lasumade una sucesin.

Sucesin: {1,2,3,4}

Serie: 1+2+3+4 = 10

Las series se suelen escribir con el smboloque significa "smalos todos":

Esto significa "suma de 1 a 4" = 10

Esto significa "suma los cuatro primeros trminos de la sucesin2n+1"

Que son los cuatro primeros trminos de nuestro ejemplo {3,5,7,9,...} = 3+5+7+9 = 24

Sucesiones - Encontrar la regla

Para encontrar un nmero que falta en una sucesin, primero tienes que conocerla reglaDefinicin rpida de sucesin

Lee sobresucesiones y seriespara conocer el tema bien, pero por ahora:

Una sucesin es un conjunto de cosas (normalmente nmeros) que estn en algn orden.

Cada nmero en la sucesin es untrmino(a veces "elemento" o "miembro"):

Encontrar nmeros que faltan

Para calcular un nmero que falta primero necesitas saberla reglaque sigue la sucesin.

A veces basta con mirar los nmeros y ver el patrn.

Ejemplo: 1, 4, 9, 16, ?

Respuesta: soncuadrados(12=1, 22=4, 32=9, 42=16, ...)

Regla: xn= n2Sucesin: 1, 4, 9, 16,25, 36, 49, ...Has visto cmo escribimos la regla con "x" y "n"?

xnsignifica "el trmino en la posicin n", as que el tercer trmino serax3Y tambin hemos usado "n" en la frmula, as que para el tercer trmino hacemos 32= 9. Esto se puede escribir

x3= 32= 9

Cuando sepamos la regla, la podemos usar para calcular cualquier trmino, por ejemplo trmino 25 se calcula "poniendo dentro"25donde haya unan.

x25= 252= 625

Qu tal si vemos otro ejemplo:

Ejemplo: 3, 5, 8, 13, 21, ?

Son la suma de los dos que estn delante, o sea 3 + 5 = 8, 5 + 8 = 13 y sigue as (en realidad es parte de laSucesin de Fibonacci):

Regla: xn= xn-1+ xn-2Sucesin: 3, 5, 8, 13, 21,34, 55, 89, ...Qu significaxn-1aqu? Bueno, slo significa "el trmino anterior" porque la posicin (n-1) es uno menos que (n).

Entonces, sines6, serxn= x6(el 6 trmino) yxn-1= x6-1= x5(el 5 trmino)

Vamos a aplicar la regla al 6 trmino:

x6= x6-1+ x6-2x6= x5+ x4Ya sabemos que el 4 es 13, y que el 5 es 21, as que la respuesta es:

x6= 21+ 13 = 34

Muy simple... slo pon nmeros en lugar de "n"

Muchas reglas

Uno de los problemas que hay en "encontrar el siguiente trmino" de una sucesin es que las matemticas son tan potentes que siempre hay ms de una regla que vale.

Cul es el siguiente nmero de la sucesin 1, 2, 4, 7, ?

Hay (por lo menos) tres soluciones:

Solucin 1: suma 1, despus suma 2, 3, 4, ...

Entonces, 1+1=2, 2+2=4, 4+3=7, 7+4=11, etc...

Regla: xn= n(n-1)/2 + 1Sucesin: 1, 2, 4, 7,11, 16, 22, ...(La regla parece complicada, pero funciona)

Solucin 2: suma los dos nmeros anteriores ms 1:

Regla: xn= xn-1+ xn-2+ 1Sucesin: 1, 2, 4, 7,12, 20, 33, ...

Solucin 3: suma los tres nmeros anteriores

Regla: xn= xn-1+ xn-2+ xn-3Sucesin: 1, 2, 4, 7,13, 24, 44, ...As que tenemos tres soluciones razonables, y cada una da una sucesin diferente.

Cul es la correcta?Todas son correctas.Y habr otras soluciones.

Hey, puede ser una lista de nmeros ganadores... as que el siguiente ser... cualquiera!

La regla ms simple

Cuando dudes, eligela regla ms simpleque funcione, pero menciona tambin que hay otras soluciones.

Calcular diferencias

A veces ayuda encontrardiferenciasentre los trminos... muchas veces esto nos muestra una pauta escondida.

Aqu tienes un ejemplo sencillo:

Las diferencias siempre son 2, as que podemos adivinar que "2n" es parte de la respuesta.

Probamos2n:

n:12345

Trminos (xn):79111315

2n:246810

Error:55555

La ltima fila nos dice que siempre nos faltan 5, as que sumamos 5 y acertamos:

Regla: xn= 2n + 5

OK, podas haber calculado "2n+5" jugando un poco con los nmeros, pero queremos unsistemaque funcione, para cuando las sucesiones sean complicadas.

Segundas diferencias

En la sucesin{1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, ...}tenemos que calcular las diferencias...

... y despus calcular las diferencias deesasdiferencias (se llamansegundas diferencias), as:

En este caso lassegundas diferenciasson 1.

Con las segundas diferencias multiplicamos por "n2/ 2".

En nuestro caso la diferencia es 1, as que probamosn2/ 2:

n:12345

Trminos (xn):124711

n2:1491625

n2/ 2:0.524.5812.5

Error:0.50-0.5-1-1.5

Estamos cerca, pero nos estamos desviando en 0.5 cada vez ms, as que probamos ahora:n2/ 2 - n/2n2/ 2 - n/2:013610

Error:11111

Ahora nos sale 1 menos, as que sumamos 1:

n2/ 2 - n/2 + 1:124711

Error:00000

La frmula n2/ 2 - n/2 + 1 se puede simplificar an(n-1)/2 + 1As que, con "prueba y error" hemos conseguido descubrir la regla.

Sucesin: 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22,29, 37, ...Otros tipos de sucesiones

Adems de las que se explican ensucesiones y series:

Sucesiones aritmticas

Sucesiones geomtricas

Sucesin de Fibonacci

Sucesiones triangulares

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Sucesiones y Progresiones Geometricas