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CEIPRU
CENTRO DE INSTRUCCIN PROFESIONAL UNIVERSITARIA
MATEMTICA V
SABANA GRAMDE: Final Calle Villaflor Edif. La Roca, Piso 5, Of. 5-A Tlf. 761 23 99 / 415 99.18 / 0414 -229-2036
1
OBJETIVO # 1
1)
Determinar si la serien Ln n
nn
3
11
es convergente.
2) Determinar si la serie1
7 6 2331
n nn
es convergente.
3) Determine todos los valores de b > 0, (si los hay), para los cuales converge la serie
Ln(n)
n=1
b
Recuerdeque x = eLn(x)
4) Estudiar la convergencia de la serie
1
2
2 n Ln n
n
.
5)
Como se comporta la siguiente serie:
n
n
n
n!*2 converge o diverge
6)
Estudie, para cuales valores de p, la serie converge o diverge
n
nn=1
p (n!) con p 0n
.
7) Determine si las siguientes series son convergentes:
a)n=1
1.4.7....(3n 2)
2.4.6....2n
b) n(n + (-1) )
n = 0
1
2
8) Determine la convergencia o divergencia de la serie 2 1 2 1
3 11
n n
n
n
.
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2
9) Estudiar la convergencia de la serie Cosn
n nSen
n nn
2 1 1
2 2
1
.
10)
Estudiar la convergencia absoluta y condicional de la siguiente serie ( )
1 1 11
nn
n
Ln
11) Estudiar la convergencia absoluta y condicional de las series :
a) ( )
1 13
5
1
n
n
n
n b) ( )
1 13
1
n
n
n
n .
12)
Determine si las siguientes series convergen: a)1
2
1 n n
n
b)n
e nn
n
5
5 3
1
2
.
13)
Estudiar la convergencia absoluta y condicional de la siguiente serie ( )
1 11
nn
n
Tg
14) Estudiar la convergencia absoluta y condicional de las siguientes series :
a) ( )n Sen
n n
n
n
n
2
5 6
2 1
2
1
b) ( )
1 12
1
n
n
n
n
n .
15)
Determine si la serie1
9 621
n nn
converge.
16)
Determine si la serie8 7
1
2
2
1
n
e nnn
( ) converge.
17) Determine si la serien n n n
nn
2 2
1
1 1
es convergente.
18) Dadas las siguientes series numricas: a) nn
n
2
3
11
b)15 6
2
1n n
n
.
Determinar la convergencia o la divergencia de las mismas. En caso de que haya convergencia, calcule la suma
19) Estudiar la convergencia o divergencia de la serie1
5 41
nn
.
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3
20) Determinar si las siguientes series son convergentes o divergentes: a)
n
nn
!
!
2
12
b)1
1e
n
n
.
21)
Calcule la suma de la siguiente serie numrica
1
8 1521
n nn
.
22) Determinar si la serie ( )2 1 3 1
2 11
n n
n
n
es convergente.
23) Determine si la serie1
5 4
2n Ln n
n( )
converge.
24)
Determine si la serie 11
2
2 n n
n
converge.
25)
Determine si la siguiente serie converge o diverge
n 1
2n=1
2n( 1)
4n 3
26) Determinar si la serie5 13 2
5
1
n n n
nn
converge.
27) Para qu valores enteros positivos k la serie2
n=1
(n!)
(k n)!
converge?
28) Estudiar la convergencia de la serie ( )
1 11
nn
n
Sen .
29) Estudie la convergencia o divergencia de la siguiente serie
pn 3
1
n Ln(n) (Ln(Ln(n)))
con p > 0.
30) Calcule( )
12 11
n
n
n
. Sugerencia: Use el ejercicio anterior, tomando: an
n
n
( )1
2 .
31) Determine si la serie:
1
6 2n Ln n( ) es convergente
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4
32) Use el criterio de la razn (cociente) para establecer la convergencia de la serie.
..................2
1
22
4
2
3
2
2 2
4
2
3
2
2
2
n
n
33) Estudiar la convergencia absoluta o condicional de la serien
n 1
( 1)
n 3
.
34) Aplique el criterio que ms le guste para establecer la convergencia o divergencia de la serie:
1+ ...............432
222 321
35) Determine la convergencia o divergencia de la serien
n 1
1 n
n! a
con a > 0.
Recuerde,
n
n n 1n
n 1 1 n!
lim e yn e (n 1)
OBJETIVO # 2
36) Determinar el dominio de convergencia de la serie ( )( )
11
4
2 1
2
1
n
n
n
x
n .
37)
Halle el radio y el intervalo de convergencia de la serie k x k
k
! ( )
101
.
38) Determine el intervalo de convergencia de la serie de potencian 1 2 n
n 0
4 . x
n 3
.
39) Encuentre el radio de convergencia de la siguiente serie de potencias:
10 + 100x2 + .+ 10nxn +
40)
Encuentre la serie de MacLaurin de f(x) = sen ( x6
).
41) Calcule la integral
0 ,5
2
0
cos(x ) dx
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5
42) Sea f(x) =Sennx
nn
3
1
x R . Verificar que f(x) = Cosnxnn
2
1
, x R .
43)
Determine si la serie
n
enxn
1 converge uniformemente en el intervalo [1 , +) .
44) Sabiendo que la serie n
n 1
x
converge uniformemente para x r < 1, pruebe que la serien
n 1
x
n
converge
uniformemente para x r < 1 y quen
n 1
x 1Ln
n 1 x
.
45) Expanda (desarrolle) el polinomio f(x) =x3 - 6x+2 en potencias de x-2 (alrededor de x=2). Use la expans
para calcular f(2,003).
46)
Determine si la serie de funcionesCosnx
enx
n
0
converge uniformemente en el intervalo [a ,+ ), donde a
R+.
47)
Calcular el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de la serie
n 1 n
n=1(2 n) x
48)
Sea f xe
x nn
n x
( )
2 2
2 2 , n =1,2,3, ... y x R . Verificar si la siguiente relacin es cierta:
f x dx f x dxnn
n
n
( ) ( )
11 1
1
4 4
.
49)
Demostrar que la serie funcional
e
n Ln n
n x
n
( )2
2 converge uniformemente en (-, +) .
50) Verificar que la seriex e
x
n
n2
0
converge uniformemente en el intervalo [0 , Ln 2] .
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6
Pruebe que:x e
dx
x
n
n
Ln
20
0
2
= - 2 + Ln 16 .
51) Hallar el desarrollo de Taylor alrededor del punto a = 0 de la funcin f xLn x
x( )
( )
1
1,
Con x 1 .
52) Encontrar la serie de Taylor para la funcin f(x) = Sen x en potencias de x 6
.
53) Determine si la seriex
x
x
x
x
x
2
3
2
3
2
31
2
8
3
27
. .. es uniformemente convergente en el intervalo [0 , R]
54)
Calcular el radio y el dominio de convergencia de la seriex
n n n
n
n( )( )
1 21
.
55) Sea f(x) = n Cos nxn
n
31
x R . Verificar que f(x) =
Sennx
nn
2
1
.
56) Determine el dominio de convergencia de la serie1
2 5 3 2 11
1
n
n
nn
x
( ) .
57) Analizar la convergencia de la serie funcional1
1 2
1
x
n
n
.
58)
Sea a un nmero real negativo. Determinar si la serie de funciones1 2
1
Cos nxenxn
es uniformeme
convergente en el intervalo [a , 0) .
59)
Dada la funcin f(x) =x
)x(senpara x 0, y f(0) = 1.
a)
Halle la serie de Taylor de la derivada de la funcin f, centrada en x0= 0.
b)
Evale en x = la serie hallada en la parte (a), para calcular el valor de la serie
1n
1n2
1n
)!1n2()n2()1(
AYUDA: Utilice el desarrollo en serie de Maclaurin de la funcin g(x) = sen(x).
60) Calcular la integral1
2
1
2
0
ex dxx
.
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61)
Determinar el dominio de convergencia de la serie de potencias:
1 3 3 3 32 3 4 5 1 1
x x x x x x x xn n n
... .
62) Hallar la serie de Taylor de la funcin f(x) = Ln x1 2 .
63)
Analizar la convergencia uniforme de la siguiente serie de funciones1
2 110
n
nnx
.
64) Calcular le radio y el intervalo de convergencia de la serie xx x x
3 5 7
3 3 5 5 7 7. ! . ! . !...
65)
Determine el dominio de convergencia de la serie( )3 4
3 40
x
n
n
n
.
66) Determinar el dominio de convergencia de la serie ( )( )
x
n
n
n
n
1
2 3 11
.
67) Determinar el dominio de convergencia de la serie( )x
n
n
n
n
3
4 21
.
68) Determine un desarrollo en x que permita aproximar el valor de , usando los cinco primeros trminos
del desarrollo .
69) Calcular el radio de convergencia de la serie de potencias( !)
( )!
n
kn x
k
n
n
1
donde k es un entero positivo.
70) Calcular el intervalo de convergencia de la serie: ( )( ) ( ) ( )
...xx x x
11
2
1
3
1
4
2 3 4
.
71) Dada la serie: Sen n x
nn
3
2
1
Puede la derivada (en caso de que exista) de la funcin: f x Sen nnn
( )
3
2
1
, ser representada por la serie de las derivadas de los trminos de f(x)?
72) Encuentre el desarrollo en serie de TAYLOR de la funcin
f(x) = cosx alrededor de x=3
.Use el desarrollo para calcular cos61.
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73) Dada la serie x- .......)12(
)(.....53
1253
1
r
xxx r
r
Halle la regin de convergencia y el radio de convergencia.
74)
Obtenga la serie de Maclaurin de f(x) =(1-x)-2
75) Calcular el radio de convergencia de la serie( )!
( )!
2
30
n
n xn
n
.
76) Desarrolle en serie de Fourier la funcin f, de perodo T = 4, definida mediante la relacin f(t) = t2+ 4 c
2 < t 2.
77) Demuestre que la serien
n 1
cos (x)
n
con x 3
44,
converge uniformemente en ese intervalo.
78) A partir del desarrollo en serie de Mac Laurin de ln(1+x) obtenga la suma de la siguiente serie.
1n
12n
12n
x .
79) Calcule la integral
41 x
4
0
1 ed x
x
.
80) Halle los nmeros reales x tales que la serie 3 n
n 0
(x 2)
sea convergente .
81) Encuentre el radio de convergencia de la serie de potencia zn
n
n !
1
2
OBJETIVO # 3
82) Considere la funcin definida por: f x x con( ) ; 3 x
Grafique la extensin peridica de f . Desarrolle la serie de Fourier de la funcin f .
Analizar la convergencia de la serie de Fourier de f .
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9
83) Desarrollar en serie de Fourier de cosenos la funcin f x
x si x
x si x
( )
0 4
8 4 8
.
84)
Sea f: R R , la funcin definida por: f(x) = Sen x . Hallar la serie de Fourier de f.
85)
Halle la serie de Fourier de cosenos para la funcin
f(x) =1
x si 0 x 12
.
86)
Desarrollar en serie de Fourier la funcin f, de perodo T = 10, definida por:
f t
si t
t si t
t si t si t
( )
0 5 1
1 0
0 10 1 5
.
87)
Desarrollar en serie de Fourier la funcin f, de perodo T = 6, definida por:
f t
si t
si t
si t
( )
0 3 2
3 2 2
0 2 3
.
88)
Sea f: R R , la funcin definida por: f x
x si x
x si x
( )
1 0
1 0
y f(x) = f(x + 2) para todo x. Halle la serie de Fourier de f.
89) Sea f: [- , ] R , definida por:
f x
x si x
xsi x
( )
,
,
2 0
2 0
Usar la frmula de Fourier para verificar que f xSennx
nn
( )
1
x - , .
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10
90) Desarrollar en serie de Fourier la funcin f, de perodo T = 4, definida por:
f t
si t
si t
si t
( )
,
,
,
0 2 1
2 1 1
0 1 2
.
91) Desarrollar en serie de Fourier la funcin f, de perodo T = 2, definida por:
f x e x( ) , -1 x 1 .
92) Desarrollar en serie de Fourier la funcin f, de perodo 2, definida mediante la relacin:
f(x) = Ax 2 + Bx + C ; - x < , donde A , B y C son constantes.
93) Considere la funcin definida por: f(t) =
0 1 0
0 1
t
Sen t t
,
,
Grafique la extensin Peridica de f.
Desarrolle en serie de Fourier la funcin f.
Analizar la convergencia de la serie de Fourier de f .
94) Estudiar la convergencia de la serie de Fourier de la funcin f: R R , de perodo 8, definida por: f(t) =
0 4 0
2 0 4
si t
si t
,
,.
95) Exprese la funcin f(x) =1+xcomo una serie de senos valida en el intervalo (0,].
96) Sea f una funcin peridica de perodo 2 , definida por:
f(x) = x si xsi x
2
20 2
2 0
,
.
Halle la serie de Fourier correspondiente.
97) Desarrollar la funcin f(x) = - x 2 ; -< x 0 en serie de Fourier de senos.
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11
98)
Desarrollar en serie de Fourier de senos la funcin siguiente:
f(x) =
Cos si x
si x L
x
L
L
L
0
0
2
2
,
, .
99)
Desarrollar en serie de Fourier la funcin f, de perodo T = 2, definida por:
f(t) =
3 0 1
3 2 1 2
t si t
t si t
,
( , ) .
100) Desarrollar en serie de Fourier la funcin, de perodo 2, definida por:
f tt si t
si t( )
,
0
0 0 .
101)
Considere la funcin definida por: f(x) = x3
, con - < x .
Grafique la extensin peridica de f .
Desarrolle en serie de Fourier la funcin f.
102) Considere la funcin definida por:
f x
x si x
si x
si x
( )
,
2 0 2
2 0
2 2
Grafique la extensin peridica de f .
Desarrolle en serie de Fourier la funcin f .
Generalizar la convergencia de la serie de Fourier .
103) Desarrolle la funcin f(x) en serie de Fourier de cosenos y trace la grfica de la extensin perid
correspondiente de f(x). f(x) = Sen (-x) con x 0 , .
104)
Desarrolle en serie de Fourier la siguiente funcin:
f(x) = x; x(-2,2)
105) Desarrolle en serie de Fourier a la funcin f, de perodo T = 2, definida por:
f tsi t
t si t ( )
,
,
0 0 1
2 1 2.
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12
106) Desarrolle en serie de Fourier la funcin f, de perodo 2, definida mediante la relacin f(x) = senh(x)
< x .
107) Desarrolle en serie de Fourier la siguiente funcin: f(x) =1; x(0, ).
108)
Desarrolle en serie de Fourier la funcin peridica f, de periodo 2 , definida mediante la relacin:
f(x) = x x con x
109) Desarrolle en serie de Fourier la siguiente funcin: f(x)=
)(0,xsi
,0)(-xsi0
x
110) Desarrolle en serie de Fourier la funcin f, de periodo T = 2, definida por:
f(x) = | x | , < x .
Evale, en x = 0, la serie de Fourier obtenida anteriormente, para verificar que
1n2)1n2(
1=
8
2
.
111) Desarrolle en serie de Fourier la funcin f, de periodo T = 10, definida por:
f(t) =1 5 t 0
1 t 0 t 5
OBJETIVO # 4
112)
Calcular v(x,y) de modo que la funcin: f(z) = u + iv = e x Sen y y Cos y i v x yx ( , ) sea analtica.
113) Demuestre que la funcin u(x, y) = x2e cos(y) es armnica. Determine adems la funcin v(x, y) conjug
armnica de u(x, y), y la correspondiente funcin analtica f (z) tal que f (0) = 2.
114) Encontrar los puntos de discontinuidad de la funcin f definida por:
f zz
z( )
Re
2 2
2 y determ
si es posible definir la funcin en tales puntos de manera que sea continua.
115) Estudiar la analiticidad de la funcin f(z) = x i y2 2 .
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13
116)
Dadas las funciones
g(z) = g( rei ) = Ln(r) + i ; r > 0,2 2
,
f (z) = f( x + iy ) = 2z 2 + i
Probar que la funcin compuesta g(f(z)) es analtica en el semiplano x > 1.
117)
Encontrar una funcin analtica tal que , y
118) Sea CCf : , definida por:
f (z) =
21 z
si z iz i
4i si z i
Estudie la continuidad de la funcin f (z) en todo el plano complejo.
119) Determine si la funcin de variable compleja f(z) = Re (z - 1) es derivable en z0 = 1 .
120)
Sea f(z) = xy + i y2
(z = x + iy). Determine los puntos donde f es derivable y calcule la derivada de fdichos puntos.
121) Sea f(z) = z2 Im z (z = x + iy). Determine los puntos donde f es derivable y calcule la derivada de f en dic
puntos.
122) Determine los valores de apara que la funcin f(z) = 1||||||, z = x + iy es derivable.
123) Sea f: C C , definida por: f(z) = f(x + iy) = xy
Probar que la funcin f verifica las ecuaciones de Cauchy-Riemann en (0,0).
Determine si f es derivable en (0,0).
124) Probar que la funcin f(z) = ez2
es derivable en todo punto y calcular f(z) .
125) Halle los valores que deben tomar las constantes ay bpara que la funcin f(z) sea analtica:
f(z)= cosx(coshy+asenhy)+isenx(coshy+bsenhy).
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14
126) Usar las ecuaciones de Cauchy-Riemann para probar que la funcin f(z) = Sen h(4z) es derivable en to
punto y calcular f(z) .
127) Sea f la funcin definida por: f(z) = f(x + iy) = x - i y 2 .Determinar para que valores de zexiste la func
primera derivada y calcularla.
128)
Determine en qu puntos es derivable la funcin f(z) = z Im z .129) Dada la parte imaginaria v(x,y) = x y x2 2 , de una funcin diferenciable f(x,y), donde (x,y) C , ha
la funcin f(x,y) .
130)
Determinar para cules valores de a, la funcin: f(z) = 3x a e Cos x i a y a e Sen xy y ,
z = x + iy es derivable.
131) Sea f: C C , definida por:
f x i y
x xy
x y
y x y i
x y si x y
si x y
( )
3 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
3 3
0
0 0
Probar que la funcin f verifica las ecuaciones de Cauchy - Riemann en (0,0) .
Determine si f es derivable en (0,0) .
OBSERVACIN : La funcin f se puede expresar de la forma: f z
z
z si z
si z
( )
0
0 0
132) Demostrar que la funcin u(x,y) = e Cos y e Cos xx y , es armnica y determinar la funcin v(x
conjugada armnica de u(x,y) y la correspondiente funcin analtica f(z) .
133) Sea w = f(z) =z
z
1
1; calcule
dz
dw. Determine donde f(z) noes analtica
134) Use las ecuaciones de Cauchy - Riemann en forma polar, para verificar que: Si f(z) =1
z
z 0 , entonces: f(z) = 1
2z
.
135) Sea f zz
z( ) , ( z = x + iy ; z 0 ) . Determine los puntos donde f es derivable.
136) Describa la regin de analiticidad de la funcin:
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15
f(z) =yx
iyx22
)1(
)1(
.
137) Es analtica la funcin:f(x) =exe-iy?
138)
Sea 2 21 x iyf (z) 1 2x x y
( z = x + iy, z -1). Determine los puntos donde f es derivable.
139) Halle los valores que deben tomar las constante a, b y c para que la funcin f definida por
f( z ) = x + ay + i(bx + cy), sea analtica y calcule f (z) donde z = x + iy.
OBJETIVO # 5
140) Calcule la siguiente integral:
z
z zdz
C
5
1 22 2
2 , donde C es la circunferencia definida por:
z = 4, orientada positivamente .
141) Calcule la integral Sen z Cos z
z z
dzC
2 2
1 2
( )( )
, donde C = { z : z = 3 } .
142) Determine
2
C
z z dz , donde C es la frontera del conjunto B = { z / | z | = 2 ; | Re(z) | | Im(z) | y Re(z) 0}
143) Usar la frmula de la integral de Cauchy para calcular la integralCosz
z zdz
C3 , donde
C = z z: 3 .
144) Usar la frmula de integral de Cauchy para calcular la integraldz
zC2
9 donde C es un contorno simcerrado, tal que el punto z = -3i est en el interior de C y el punto z = 3i est en el exterior de C.
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16
145) Resuelva la integral 2
2
3
1z z
dzz.
146) Calcule la siguiente integral
2
C
(z ) dzz z , donde C es el arco de la circunferencia | z | = 1 con 0 arg z .
147) Usar la frmula de integral de Cauchy para calcular la integral
1
2 33
i
e
z z
dz
z
C , donde C es
contorno simple cerrado, tal que el punto z = 3 est en el interior de C y el punto z = 0 est en el exte
de C.
148) Calcule la integral
C
(1 i 2 z )dz , Donde C es el contorno formado por la parbola de ecuacin y = x2que va desde el pu
(0,0) al punto (1,1).
149) Evale la siguiente integral
z z
nC
e edz
z
, donde n es un numero entero positivo y i tC : e con 0 t 2.
150) Calcular la integral: I z iz dzC
12 42 , donde C es el trozo de la curva de ecuacin:z(t) = t + (t3 - 3 t2 + 4t - 1)i , que va desde el punto 1 + i hasta el punto 2 + 3i .
151) Integrar la funcin dada por: f(z) = z (z - 1), a lo largo del contorno C dado por:
z(t) = t + i t2 , t e [0 , 1] .
152) Calcule la integralSen iz Cos iz
zdz
C
( ) ( )
2 4 , donde C = z z i: 2 .
153) Calcule la integral )1(
2
cos
zz
zdz. Donde : z =
3
1.
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154) Calcular, usando la frmula integral de Cauchy, la integral
1
2 12
2
e
z
dz
zt
C , t > o , donde C es
circunferencia definida por: z 3 , orientada en sentido antihorario.
155)
Desarrolle f(z) = ln(3-iz) en potencias de (z-2i) .escogiendo la rama del logaritmo para la cual f(0) =
Determine la regin de convergencia.
156) Utilizando la frmula de Cauchy aplicada a la circunferencia C de radio r y centro en z . Pruebe que:
= 1
2 0
2
f z r e dti t , donde f es una funcin analtica en C y en el interior de C.
157) Sean C un contorno simple cerrado orientado en sentido positivo y g la funcin definida por g(z)
s s
s zds
C
3
3
2
( ) . Pruebe que g(z) = 6iz , cuando z est en el interior de C y
g(z) = 0 si z est fuera de C .
158) Utilizar la frmula integral de Cauchy para calcular la siguiente integrale
zdz
z
C ( )2 1 3 , donde
es la circunferencia de radio 1 orientada en sentido antihorario.
159) Usar la frmula integral de Cauchy para calcular la integralz z
z zdz
C
2
3
5
1
( ) , donde C es un contosimple cerrado, tal que el punto z = 1 est en el interior de C y el punto z = 0 est en el exterior de C .
160) Usar la frmula integral de Cauchy para calcular la integral1
2 1 3
i
Cos z
z zdz
C ( ) , donde C es
contorno simple cerrado tal que los puntos z = 1 y z = 0 estn en el interior de C.
161) Calcular f z dzC
( ) , donde f(z) = y - x - i3x 2 y C es el segmento de recta que va desde z = 0 hasta z + i .
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18
162) Calcular la integral I =
z
z z idz
C 9 2
, donde C es la circunferencia definida por: z 2 , orientpositivamente.
163)
Calcular la integrali
z zdz
C2 4 8 , donde C es la circunferenciadefinida por: z 3 , orient
positivamente.
164) Calcule dzzzC
zz
)2)(1(
cossen 22
, C es el crculo IzI=3.
165) Calcule,C
f (z)dz donde f (z) = 2sen(z 1)
z 2z 2
y C es la circunferencia definida por
| z 1 i | = 1.
166) Utilice:ds
sC2
1 , donde C es el contorno simple cerrado, formado por la parte del eje real desdehasta r y la semicircunferencia definida por: z r ( 0 arg z ), para calcular:
dxx1 2
.
167) Calcule la siguiente integral usando la frmula integral de Cauchy:
e
zdz
z
C 2 2
2
, donde C es
circunferencia definida por: z 4 , orientada en sentido antihorario.
168) Evale la siguiente integral:
4
C
zdz
z 1
Donde C es el contorno definido por la ecuacin z a = a, con a > 1, Orientado en sentido antihorario.
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169) Use la frmula integral de Cauchy para calcular la integral2
3
C
z z 5dz
z ( z 1)
donde C es un contorno sim
cerrado, tal que los puntos z = 0 y z = 1 estn dentro de C
170) Determine
C
zd ze
Donde C es el segmento de la recta y = x que une los puntos z1= 0 y z2= i.
OBJETIVO # 6
171) Hallar la serie de Taylor de f(z) = Lnz
z
1
1
, alrededor de z0 = 0 para z 1 .
172)
Dada la seriez
n r
n
n k
n
1
, donde k Z y r R son fijos, determine cul es el radio de convergen
R , y halle algn otro punto sobre la circunferencia de centro 0 y radio R para el cual la serie es divergent
173) Halle el radio de convergencia de la serie zn
n
n
2 1
02 1
( )! .
174) Desarrolle la funcin1
f (z)(z 2)
en serie de Laurent en potencias de (z i) y proporcione una expres
para el n-simo trmino de la serie.
175)
Pruebe si para 0 < | z | < 4 se cumple la siguiente igualdad
n
2 n 2n 0
1 1 z
4z4z z 4
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20
176) La funcin23
1
2 zz
es analtica en todas partes, excepto en z =1 ,2. Encuentre su serie de Laurent en
regin z a .
185) Encontrar la serie de Laurent de la funcin f(z) =1
2 1 1( )( )z z en el anillo definido por:
0 < z 12 3 .
190) Defina el radio de convergencia de una serie compleja. Desarrolle en serie de Taylor, la funcin: f(z) =z
z
, en z0
1 .
191) Desarrolle, en serie de Taylor, la funcin f(z) =2
z
z 2z 2 alrededor del punto z = 0.
192)
Desarrolle, en serie de Laurent, la funcin f(z) =2
2z 3
z 3z 2
en el anillo 1 < | z | < 2.
193) Desarrolle en serie de Laurent la funcin5
5f ( z )
z (3 z)
, en el anillo 3 < | z |.
194)
Desarrolle la siguiente funcin f (z) en serie de Laurent en el anillo 2 < z < +
2
1f (z)
z (z 1) (z 2)
OBJETIVO # 7
195) Defina la singularidad y polo de una funcin analtica. Determine qu tipo de singularidad tiene la funcin f(z
1
2 4e
z
z
, en z = 0 . En caso de ser un polo, determine el orden y el residuo.
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196)
Calcule la integral x Cos x
x xdx
4
24 20
.
197) Encuentre el residuo de la funcin f(z) =z
1senz
2 .
198) Determine que tipo de singularidad tiene la funcin1
f ( z) cosec(z) con z 0z
. En caso de ser un polo
determine el orden y el residuo.
199) Encuentre los residuos de f(z) =)4(
222
)1(
zz
zz
200) Calcular
e
z
dz
z
C 2 2
2
, donde C es la circunferencia definida por: z = 4 , orientada en sent
antihorario.
201) Encuentre y clasifique las singularidades de la funcin. F(z)=zz
z
2
.
202)
Calcule la integral z
3
C
edz
z (z 2) ,
Donde C es la circunferencia | z + 1 | = 2, orientada en sentido antihorario.
203) Usando el mtodo de los residuos, calcular Ie
z z z dz
z t
C
2 2 2 2( ) , donde C es la circunferen
definida por: z = 3 , orientada en sentido antihorario.
204) Hallar los residuos de la funcin f(z) =Sen z
z z
2
3
4
2
.
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205) Evale la siguiente integral: I =
3 2
1 9
3
2
z
z zdz
C
, donde C es el contorno definido por la ecuac
z = 4 , orientado en sentido antihorario.
206)
Determinar qu tipo de singularidad tiene la funcin: f(z) = 13
e
z
z
, en z0 = 0 . En caso de ser un po
determinar el orden y el residuo.
207) Determine qu tipo de singularidad tiene la funcin f(z) = 1
1Cos
z
. En caso de ser un polo, calcular el residu
208)
Determine qu tipo de singularidad tiene la funcin f(z) =1
3z e
z , en z = 0 . En caso de ser un polo, calc
el residuo.
209)
Determine qu tipo de singularidad tiene la funcin f(z) =1
1 ez
, en z = 0. En caso de ser un po
calcular el residuo.
210) Calcule el residuo de la funcin f(z) =Cosz
z10
, para z = 0 .
211) Determine qu tipos de singularidades tiene la funcin f(z) =Cos z
Sen z . En caso de polos, determine el orde
el residuo.
212) Determinar qu tipo de singularidad tiene la funcin f(z) =1
6
e
z
z
en z = 0 . En caso de ser un po
determinar el orden y el residuo.
213) Evalez
z z z
dz
C
13 2
3 2 , donde C es el contorno indicado por: z 3
2 , orientado en sent
antihorario.
214) Evale I =
dz
zC 2
2
4 , C es el contorno:
z = i + 2 ei t , orientado en sentido antihorario.
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z = ei t donde 0 < t < 2 , orientado en sentido antihorario.
215) Calcule la integralz
edz
z
C
3 , donde C es la circunferencia definida por: z 1 4 , orient
positivamente.
216) Sea f la funcin definida por f(z) =8
z sen z
z
. Halle los puntos singulares y especifique de que tipo son.
217) Evale la integral2
C
1z 1(1 z z )e , donde C es un contorno orientado en sentido antihorario que contiene
su interior al punto z = 1.
218)
Evale la siguiente integral:
I =2
C
n z1 z e dz2 , con n > 1
Donde C es el contorno definido por la ecuacin z = 1, orientado en sentido antihorario.
219) Halle los residuos en los puntos singulares en el plano complejo de la funcin
f(z) =
21
4
ze
1 z
OBJETIVO # 8
220) Demostrar que si a > b , entoncesd
a b Cos a b
02 2
.
221) Calcularx Sen x
x xdx
22 2
.
222) Calcular la siguiente integral:Senx
x dx
.
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223)
Calcular la siguiente integral:
022
2
1
)3(dx
x
xCosx
224) EvaluarCos
Cos
d
2
0 5 4
2
.
225) Calcular el valor de la integrald
Sen
20
2
.
226) Calcule I= dt2
0 3cost5
cosmt
, (mIN).
227) Verifique si se cumple la siguiente igualdad
2
dx
2x 2) 2I
2(x
228) Calcule el valor de la integral
x
x xdx
2
2 2
20 4 9
.
229)
Aplicar el mtodo de los residuos para calcular la siguiente integralSen
Cos d
20
2
.
230) Evale la integral I =2
0
sen(2x)dx
5 4sen(x)
231) Calcular, aplicando el mtodo de los residuos, la integral
4
1
2
2 2
0
x
x
dx
.
232) Calcular el valor de la integral
dx
x x x2 4 3 1
.
233) Calcule la siguiente integral: x Cos x
x x dx
4
2 4 20
.
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234) Calcule la integrald
Cos
5 40
2
.
235)
Calcular
x
x x dx
2
2 2
3
1 4
.
236) Aplicar el mtodo de los residuos para calcular la integral
dx
x x2
2
4 5
.
237)
Aplicar el mtodo de los residuos para calcular la integralCos
Sen
30
2
.
238)
Calculard
a Sen
10
2
, 0 a 1 .AYUDA: Considere la siguiente desigualdad como cierta
1 | a | < 21 a < 1 + | a |
239) Calcularx
xdx
2
41
.
240) Calcular Sen x Sen x
x dx
( )
1 20
.
241) EvaluarCos
Cos d
3
5 40
2
.
242)
Calcule la siguiente integral:x
x dx
2
4
0
1
1
.
243)
Aplique el mtodo de los residuos para calcular la integral
4 2
cos x x
x 5x 4I
d
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244) Calcule I= xdbx
xsenax
0
22, a>0 , b>0.
245) Calcule la integral I =
2
0
2222
sencosa
d
b
, a,b>0.
246) Calcula el valor de la integral4 2
x dx
x 7x 18
.
247) Aplique el mtodo de los residuos para calcular la integral
0 cos23
d
248)
Evale la integral I =2 2d x
(x 1)
.
249)
Calcule
2x
5 3 cos
0
I
2sen x d
+ (x)
250) Aplique el mtodo de los residuos para calcular la integral2
2
0
1d
(5 3sen )
OBJETIVO # 9
251) Encuentre L 1 1arc stg .
252) Halle
))((
12222
1
bsasL . a b
253)
Halle la transformada inversa de Laplace de la funcin dada por: f s Lnw
s( )
1
2
2 .
254) Calcular la transformada de Laplace de la funcin
F tCos t si t
si t( )
2
3
2
3
2
30
.
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255) Verifique el siguiente resultado L{a+bx} =2s
bas .
256) Determine la transformada inversa de Laplace de:
f( s ) =
2
12
s
s
257) Aplique el teorema de convolucin para encontrar la transformada inversa de Laplace de la funcin definida p
f s
s
s( )
3
1
2
2 2
.
258) Obtenga la transformada inversa de
259) Hallar la transformada inversa de la funcin dada por: f ss
s s
( )
3 5
4 4 37 2 .
260) Calcule
L {3 e2 tcos(6t) 5 e2 tsen(6t) }
261) Utilizar el teorema de convolucin para calcular la transformada inversa de Laplace de la funcin dada p
f s
s
s( )
2 2
1 .
262)
Calcular: L
1
2
2 2
1
1
s
s s , usando el teorema de convolucin .
263)
Hallar la transformada inversa de Laplace de la funcin definida por: f ss
s s( )
4 12
4 2 92 .
264) Sea: L
F ts s w
( )
12 2 2
, encontrar F(t) .
265) Calcular la transformada inversa de Laplace de la funcin
f ss
s( )
3
2 2
3
1 , sabiendo que:
1
1
1
2
1
1
1
12 2 2
2
2 2
s s
s
s
.
266) Calcular la transformada de Laplace inversa de la funcin definida por: f ss s
s s( )
2
3
1
16 .
267) Usando la definicin de transformada de Laplace, verificar que:
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L e Senbt b
s a ba t
( )2 2 .
268) Demostrar que L
Cos t
s s
s s
3
2 2
7
9 1
. Sugerencia : Puede usar los siguientes hechos a) Cos 3
Cos t - Cos Sen2 t y b) L { F(t) } = s L { F(t) } - F(0) .
269)
Sea F: [0 , +) R una funcin continua y de orden exponencial y tal que F es continua por trozos y
orden exponencial en [0 , +) . Si L F t f s( ) ( ) , entonces se verifica que:
L 1 s f s F t t F' t' ( ) ( ) ( ) .Utilice el resultado anterior para hallar L
1
2
2 2 2
2s
s a
270) Hallar la transformada de Laplace inversa de la funcin definida por: f s Lns
( ) 1 12 .
271)
Calcular la transformada de Laplace inversa de la funcin f ss
( )
1
13 .
272)
Sea f una funcin de orden exponencial y peridica, con perodo P. Usar la definicin de transforma
de Laplace para probar que L f =
e f t dt
e
st
o
P s
P
( )
1
AYUDA: Hacer el cambio: t = x + np . Recuerde que r r para rn
n
0
1
1, 1 .
273)
Encontrar la transformada de Laplace de f t e te e
u dut
u u
o
t
( ) 3
2 3
.
274)
Evaluar L
1
3 2
1
1s s .
275) Verifique que L t Coswts w
s w
2 2
2 2 .
276) Determine la transformada inversa de Laplace de:
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f( s ) =2 2
3 2
6s - 26s + 26
s - 6s + 11s - 6
277) Halle
)2( 3
2
1 1
sL
s
s
278) Pruebe que L t es
t
1
1 2( ) , s 1.
279) Halle
)34)(2(
422
1
sss
s
L . L 1
es la transformada inversa de Laplace.
280) Determine la transformada inversa de Laplace de:
f( s ) = 2 22 s - 4
s + s s + 1
281) Halle
3221
ss
s
L . L 1
denota transformada inversa de Laplace.
282) Determine la transformada inversa de Laplace de:
F( s ) =1)3
2
s(s
283)
Obtenga la transformada inversa de la funcin f(s) =2
3 2
s
2s 14s 40s 100
284) Calcule
L {3 e2 tcos(6t) 5 e2 tsen(6t) }.
OBJETIVO # 10
285) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales usando transformada de Laplace:
x = 3x - y ; y = x + y , con las condiciones iniciales y(0) = 0 , x(0) = 1 .
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31
286) Resolver la ecuacind Y
dt
dY
dt
2
2
40 , con las condiciones iniciales Y(0) = 2 , Y(0) = -3
287)
Resolver, usando transformada de Laplace, la siguiente ecuacin diferencial: Y + 5Y = f(t) , con: Y(0)
. Donde: f tSen t si t
Sen t Cost si t ( )
0 323
2
.
288)
Usando el mtodo de la transformada de Laplace, resuelva el siguiente sistema de ecuaciones diferencia
Y Y Y Y
Y Y et1 1 2 2
1 2
' '
' ' ' '
, con las condiciones iniciales:
Y Y Y Y 1 1 2 20 0 0 1 0 1 0 0( ) ; ( ) ; ( ) ; ( )' '
289) Resolver, usando el mtodo de la transformada de Laplace, el siguiente sistema de ecuaciones diferencia
Y Y Cost
Y Y
1 2
1 2
2
0
'
'
, con Y Y1 20 0 0 1( ) ; ( ) .
290)
Resuelva la siguiente ecuacin diferencial aplicando el mtodo de la transformada de Laplace
Y+ Y = 4x , Y(0) = 1 , Y(
2 ) = 2.
291) Resolver, aplicando el mtodo de la transformada de Laplace, el problema:
y y y y t e
y y y
t' ' ' ' ' '
( ) ; ' ( ) ' ' ( )
3 3
0 0 0 0 1
2
.
292)
Resolver la ecuacin y y y SentIV 2 '' , con las condiciones iniciales:
y(0) = 1 , y(0) = -2 , y (0) = 3 , y (0) = 0 .
293) Aplique el mtodo de la transformada de Laplace para resolver la ecuacin diferencial
y y t e t'' ' 4 4 3 2 , con las condiciones iniciales: y(0) = 0 , y(0) = 0 .
294) Aplique el mtodo de la transformada de Laplace para resolver la ecuacin diferencial
y y y t e t'' ' 6 9 2 3 , con las condiciones iniciales: y(0) = 2 , y(0) = 6 .
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295) Resuelva la ecuacind y
dt
dy
dt y
2
2 2 0 , con las condiciones iniciales: y(0) = 1 ; y(0) = 0 .
296) Calcule la solucin de la ecuacin diferencial :
y +y = 8 2 sen(t+4
)+(t-3) ,que satisface y(0)=0 ;y(0)=-4.
NOTA : L [(t-3)] =e -3s
297) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales usando el mtodo de la transformada de Lapla
x t x t y t Cost
x t y t x t y t
' ' ( ) ' ( ) ' ( )
'' ( ) '' ( ) ( ) ( )
0
. x(0) = 1 ; x(0) = -1 ; y(0) = 0 ; y(0) = 2.
298) Use la transformada de Laplace para resolver el problema de valores iniciales:
-2xy + 4y + 4y = 4e , y(0) = - 1, y (0) = 4
299) Resolver, usando el mtodo de la transformada de Laplace, la ecuacin diferencial
y y et'' ' , con las condiciones iniciales: y (0) = 1 ; y(0) = y(0) = 0 .
300) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales, usando la transformada de Laplace:
x x y
y x y
'
'
2
3 , con las condiciones iniciales: x(0) = 1 ; y(0) = 2 .
301) Use el mtodo de la transformada de Laplace para resolver la ecuacin diferencial
y + 2 y = Cos 3t , con las condiciones iniciales: y(0) = 1 , y(0) = 0 .
302) Aplique el mtodo de la transformada de Laplace para resolver la ecuacin diferencial
y + 4 y + 13 y = 2t + 3 e t 2 Cos 3t.
NOTA: L Cosats
s a
2 2 ; L t s
1
2 ; L 11
s
.
303) Aplique el mtodo de la transformada de Laplace para resolver la ecuacin diferencial
y - 2a y + a b2 2 y = 0 (a y b constantes no nulas), con las condiciones iniciales:
y(0) = 2 , y(0) = -3 .
304)
Resolver, aplicando el mtodo de la transformada de Laplace, la ecuacin diferencial:
7/21/2019 MATE-5 EJERCICIOS.pdf
33/34
CEIPRU
33
x + 16 x = f (t) , donde f(t) = Cos t si t
si t
4 0
0
,
, sujeta a las condiciones iniciales:
x(0) = 0 , x(0) =1 . Represente grficamente tanto f(t) como la solucin x(t).
305)
Resolver la ecuacin y + 4 y + 13 y = te
t
, con: y(0) = 0 , y(0) = 2 .306) Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones usando transformada de Laplace
t
t
x x y e
y y x e
Con las condiciones iniciales x(0) = y(0) = 1
307) Resuelva la ecuacin diferencial x + 2x = t Sen t , con: x(0) = 0 ; x (0) = 0 .
308)
Resuelva la siguiente ecuacin diferencialY3 Y+ 3 YY 2 tt e
con las condiciones iniciales
Y(0) = 1, Y(0) = 0, Y(0) = 2.
309)
Usando el mtodo de transformada de Laplace encuentre la solucin general de la ecuacin diferencial
Y (t) 4Y(t) 9 t
Con las condiciones iniciales
Y(0) = 0, Y (0) = 7.
310) Resuelva la ecuacin diferencial aplicando la Transformada de Laplace:
y 6y + 9y = t ,
Con condiciones iniciales: y( 0 ) = 0, y ( 0 ) = 1.
311)
Use el mtodo de la transformada de Laplace para resolver la ecuacin diferencialY + 2Y+5Y = e-tsen(t)
Con las condiciones iniciales Y(0) = 0, Y (0) = 1.
312)
Resuelva: y +4y+ 6y =1+ e-t, Y (0)=0 ; Y (0)=0.
313) Use la transformada de Laplace para resolver el problema de valor inicial:
7/21/2019 MATE-5 EJERCICIOS.pdf
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y + y = 2 sen 2 t , y(0) = 10, y (0) = 0
Resuelva la siguiente ecuacin diferencial aplicando la Transformada de Laplace:
y + 2y 3y = e t, con las condiciones iniciales: y( 0 ) = 0, y( 0 ) = 1.