Mate Ma Tic as 09

Aplicación de software para la enseñanza de las Ciencias Básicas

Matemáticas parte teórica

En el presente documento se encuentran plasmados una serie de ejercicios de cada uno de los cursos de Matemáticas, los cuales están planteados para opción múltiple, respuesta corta o ensayo.

Cálculo diferencial en una variable

1. El valor de x

x

x 4

3sinlim

0→es:

a) 3

4

b) 4

3−

c) 3

4−

d) 4

3

2. El valor de h

h

h

8)2(lim

3

0

−+→

es:

a) 12 b) 6 c) -3 d) -12 3. Si se cuenta con 1200 cm2 de material para hacer una caja con base cuadrada y la parte superior abierta, el volumen máximo de la caja que puede construirse de tal modo es: a) 2000 cm3 b) 1500 cm3 c) 2500 cm3 d) 4000 cm3



4. La ecuación de la recta tangente a la parábola 2xy = en el punto (-2,4) es: a) 044 =++ yx b) 044 =+− yx c) 044 =−− yx d) 044 =−+ yx

5. Determine cuál de los siguientes números es un número natural, un entero o un número racional.

i) 4

9

6

8 −

ii) ( ) ( )11 −÷−

iii)

−

+3

1

2

1

3

1

2

1

iv) 2

1−π

6. Escriba los siguientes números en orden ascendente (no use calculadora) 81

90, 8, , 90, 9, 9, 88

− − − −

7. El área de un triángulo equilátero se incrementa a razón de 4 min/2in . La razón a la cual se incrementa uno de sus lados cuando el lado mide 5 in es:

a) 38

5

b) 35

8

c) 85

3

d) 53

8



8. Determine todos los valores de 0A > para los cuales el enunciado es cierto a) si 2 1x − < , entonces 2 4x A− <

b) Si 2x A− < , entonces 2 4 3x − <

9. El conjunto de números para los cuales 65)( 2 +−= xxxf es no negativo es: a) [2,3] b) ( ] [ )+∞∪∞− ,32, c) ( ] [ )+∞∪−∞− ,22, d) ( ] [ )+∞∪−∞− ,23, 10. La energía cinética K de una partícula de masa m que se mueve a una

rapidez v es 2

2

1mvK = . Una partícula con masa 10 gramos tiene, en cierto

momento una velocidad de 30 cm/s y aceleración 5 cm/s2 ¿A qué razón está cambiando la energía cinética en ese momento?

11. Si x

xf1

)( = , entonces =)()( xf n

a) n

n

x

n )!1()1(

+−

b) 1

!( 1)n

n

n

x +−

c) 1

)!1()1( +

+−n

n

x

n

d) 1

1 !)1( +

+−n

n

x

n

12. Un número positivo sumado con el cuadrado de otro da 48. Los números que deben elegirse de tal forma que su producto sea máximo son a) 23, 5 b) 32, 4 c) 12, 6 d) 39, 3



13. Encuentre )(lim xfx ∞→

si 2

2 34)(

14

x

xxxf

x

x +<<− para toda x>5.

a) -4

b) 4

1

c) 4

1−

d) 4 14. Las desigualdades zyyx ≤≤ , y xz ≤ reunidas implican a) zyx == b) zyx ≤≤ c) zyx ≤< d) Ninguna

15. ¿Cuál es el valor de la asíntota horizontal de la función 2

2

1

1

x

xy

+−= ?

a) y=1 b) y=-1 c) y=0.5 d) y=2

16. El dominio de la función x

xxxf

31)(

2 −+= es:

a) [ )∞,0 b) ( )0,∞− c) ( )∞,0 d) ( )∞∞− ,



17. Determine 2

2

0 2

tanlim

x

x

x→.

a) 2

1

b) 2 c) 0 d) No existe 18. Sea ))(()( xgfxh = , donde f y g son funciones derivables. Si

4)2(',3)1(',2)1( −==−=− fgg . ¿Cuál es el valor de )1(' −h ? 19. La impedancia Z (en ohms) de un circuito en serie se relaciona con la resistencia R (en ohms) y la reactancia X (en ohms) mediante la ecuación

22 XRZ += . Si R crece 3 ohms/s y X decrece a 2 ohms/s, ¿cuál es la razón de cambio de Z cuando 10=R ohms y 20=X ohms?

a) 35

1

b) 55

1

c) 35

1−

d) 55

1−



20. El área A de un triángulo con lados de longitudes a y b adyacentes a un ángulo que mide θ es

θsin2

1abA = .

¿Cómo se relaciona dt

dA con

dt

dθ si a y b son constantes?

a) dt

dab

dt

dA θθsin2=

b) dt

dab

dt

dA θθsin2

1=

c) dt

dab

dt

dA θθcos2

1=

d) dt

dab

dt

dA θθcos2=

21. Si 12

5)(lim

4=

−−

→ x

xf

x, entonces =

→)(lim

4xf

x

a) 4 b) 6 c) 7 d) 10



22. Si u y v son funciones de x y que son diferenciables en 0=x , y que

2)0(',1)0(,3)0(',5)0( =−=−== vvuu , entonces el valor de

u

v

dx

d en 0=x es

a) 25

7

b) 25

13

c) 25

7−

d) 25

13−

23. Si dos resistores de

1R y 2R ohms, se conectan en paralelo en un circuito

eléctrico para hacer un resistor de R ohms, el valor de R puede hallarse con la ecuación

21

111

RRR+= .

Si

1R decrece a razón de 1 ohm/s y 2R aumenta a razón de 0.5 ohms/s. ¿Cuál

es la razón de cambio de R cuando 751 =R ohms y 502 =R ohms? a) sohm / 02.0 b) sohm / 002.0 c) sohm / 0002.0 d) sohm / 00002.0



24. Dos lados de un triángulo tienen a y b de largo y el ángulo entre ellos es θ. ¿Qué valor de θ maximizará el área del triángulo? a) 0

b) 4

π

c) 2

π

d) π

25. El valor de ππ 3

1coslim

3 −+

→ x

x

x

a) 0 b) 1 c) -1 d) no existe 26. Sólo uno de estos cálculos es correcto. a) ( ) 00lnlim

0=∞−⋅=

+→xx

x

b) ( ) −∞=∞−⋅=

+→0lnlim

0xx

x

c) 1/1

lnlimlnlim

00−=

∞∞−==

++ →→ x

xxx

xx

d) ( ) 0lim/1

/1lim

/1

lnlimlnlim

02

000=−=

−==

++++ →→→→x

x

x

x

xxx

xxxx

27. Si 3)0( =h y 2)0(' =h , calcule el valor de )0('f si xxhxxf 5)(3)( 2 −= .



28. Sea 1122)( 234 +−+= ttttf . Los valores de t tal que 0)('' <tf son a) 12 <<− t b) 21 << t c) 12 −<<− t d) 1>t o 2−<t 29. Determine los puntos en los cuales la tangente a la curva 23)( uuuf −= es perpendicular a la recta 025 =++ uv . 30. Una partícula se mueve a lo largo de la parábola ( )242 += xy . Cuando pasa por el punto ( )6,7 su coordenada y se está incrementando a razón de 3 unidades por segundo. ¿Con qué velocidad está variando su coordenada x en ese instante? a) -3 unidades/segundo b) 0 unidades/segundo c) 6 unidades/segundo d) 9 unidades/segundo

31. La función L tiene la propiedad de que u

uL1

)(' = para toda 0≠u . La

derivada de ( )12 +uL es

a) 12 +u

u

b) 1

22 +u

u

c) 12 +

−u

u

d) 1

22 +

−u

u



32. (i) Si k y l son números positivos, muestre que

llk

11

1

11

1

+>

++

(ii) Usando el resultado del ejercicio anterior, muestre que si k y l son números

positivos, entonces )()( lflkf >+ donde 1

)(+

=x

xxf .

33. Una caja de herramientas cae desde lo alto de un edificio, en la que su altura y es pies desde el piso después de t segundos está dado por

216100 ty −= .

(i) Encuentre el tiempo de impacto ∗t , esto es, el valor de 0>t para el cual 0=y .

(ii) Determine la velocidad de impacto, es decir, la velocidad en ∗t .

(iii) El momentum p se define por 32

Wvp = , donde W es el peso en libras y v es

la velocidad en pies por segundo. Encuentre el momentum de impacto para una caja de 20 libras. 34. Derive las siguientes funciones:

(i) 2

246789 25149)(

x

xxxxxxxf

+++++−=

(ii) ( )( )142

132

1

1)(

−

+=t

ttf

35. Pruebe las siguientes afirmaciones acerca de la función 1

1)(

2

3

−−=

x

xxf :

(i) f puede ser definida en 1=x así que f sea continua y diferenciable en ese punto pero no puede decirse lo mismo en 1−=x . (ii) f es creciente en ( ]2,−∞− y decreciente en [ )1,2 −− .

(iii) Si 1−<a , entonces 31

12

3

−≤−−

a

a .

(iv) f es creciente en [ )∞,0 y decreciente en ( ]0,1− . 36. Demuestre que si a, b, c y d son números positivos, entonces

( )( )( )( )2 2 2 21 1 1 116

a b c d

abcd

+ + + +≥ .



37. En cada uno de los siguientes ejercicios sea A el área de las regiones sombreadas mostradas en las figuras (A) – (D)

(A) (B)

(C) (D) Rectángulo con 1/4 de disco Removido Encuentre la primera y la segunda derivada de A. 38. Sea P el perímetro de las regiones del ejercicio anterior. Encuentre la primera y segunda derivada de P. 39. En cada una de las siguientes gráficas, diga si 0x es un máximo local, un mínimo local, o ninguno de ellos.



40. Encuentre los puntos de inflexión para nx , donde n es un entero positivo. ¿Cómo depende la respuesta de este valor? 41. ¿Es siempre un punto de inflexión un punto crítico? Argumente su respuesta. 42. Dados n números naaa ,,, 21 ⋯ , encontrar un número x el cual se aproxima mejor a ellos, en el sentido de que la suma de los cuadrados de las diferencias entre x y los n números sea lo más pequeña posible.



43. De un ejemplo de una función en la que el mínimo local sea mayor o igual que el mínimo local. 44. Es cierto o falso que si )(' rf existe, entonces )()(lim rfxf

rx=

→.

45. Determine 3

3lim

23 −−

→ u

u

u

a) 3

1

b) 32

c) 32

1

d) 3

46. ¿Cuál es el dominio de la función 73

52)(

++=

x

xxf ?

a) no tiene dominio

b)

∞− ,3

7

c)

∞− ,2

5

d) ( )∞,0



47. Un montón de basura de forma cúbica, está siendo prensado. Sabiendo que el volumen decrece a razón de 2 metros cúbicos por minuto. Hallar la tasa de variación de una arista del cubo cuando el volumen es exactamente 27 metros cúbicos.

a) m/min 27

2−

b) m/min 27

1−

c) m/min 27

1

d) m/min 27

2

48. Un cilindro circular recto varía de tal manera que su radio r crece a una tasa de 3 cm por minuto y su altura h decrece a una tasa de 5 cm por minuto. ¿A qué tasa varía el volumen cuando el radio es de 10 cm y la altura de 8 cm? a) π20− b) π2− c) π2 d) π20



49. Para las funciones )(),(),( xhxgxf definidas como siguen:

11 para )(

0 para 0

0 11 para 1

sin)(

0 para 0

0 11 para 1

sin)(

3

2

≤≤−=

=

≠≤≤−

=

=

≠≤≤−

=

xxxh

x

xxx

xxg

x

xxx

xxf

¿Cuál de éstas funciones es diferenciable en x=0? a) f y g solamente b) g y h solamente c) f y h solamente d) f solamente

50. Para RRfx

xxxxf →

+++++++= :,

10

)100()2()1()(

1010

101010⋯ , ¿cuál de las

siguientes expresiones es la correcta? a) 0)(lim =

−∞→xf

x

b) 1)(lim =

∞→xf

x

c) ∞=

∞→)(lim xf

x

d) 100)(lim =

−∞→xf

x



51. Abajo aparece la gráfica de la derivada '( )f x de una función continua ( )f x . ¿En qué intervalos f es decreciente?

a) ( ) ( )0,2 4,∪ +∞

b) ( )2,4

c) ( ) ( )1,3 5,∪ +∞

d) ( ) ( )0,1 3,5∪

52. ¿En qué puntos es continua la función 1

32

y xx

= −−

?

a) ( ),−∞ +∞

b) ( ),0−∞

c) ( )2,+∞

d) 2x ≠



53. Si ( ) ( )25 3 4g x x+ < − para toda x, el 4

lim ( )x

g x→

es

a) No existe b) 5 c) 0 d) -5 54. Para la desigualdad 2 22xy x y≤ + , ¿cuándo se cumple la igualdad? a) cuando x y> b) cuando x y= c) cuando y x> d) cuando una de las dos es igual a cero

55. La derivada n-èsima de 1

( ) lnf xx

=

es

a) ( ) ( )1 1 !

n

n

n

x

− −

b) ( )

1

1 !n

n

n

x +

−

c) ( ) ( )1

1

1 1 !n

n

n

x

−

−

− −

d) ( ) 1

1

1 !n

n

n

x

+

+

−



56. 4

1 1 1lim

4 4x x x→

− = −

a) −∞

b) 1

16−

c) 1

16

d) +∞ 57. Determine las funciones f y g tales que ( ) ( )f g x x≠ .

a) 2( ) , ( )f x x g x x= = b) 3 3( ) , ( )f x x g x x= = c) 2( ) , ( )f x x g x x= =

d) 1 1

( ) , ( )f x g xx x

= =

58. ¿Cuál es el valor de 0

1lim , 0

x

x

aa

x→

− > ?

a) ln a b) 0

c) 1

a

d) No existe



59. El dominio de la función ( )2( ) ln 2 15f x x x= + − es:

a) ( )5,− +∞

b) ( )5,3−

c) ( ) ( ), 5 3,−∞ − ∪ +∞

d) ( )3,+∞

60. ¿Cuál de las siguientes funciones cumple ( ) 21 3 2f x x x+ = − + ?

a) ( )f x x= b) 2( ) 5f x x x= − c) 2( ) 5 6f x x x= − + d) 2( ) 5f x x= + 61. Sea x una cantidad positiva pequeña, ¿cuál de las siguientes

desigualdades es correcta?

a) sin 1xx x e< < − b) sin 1xx x e< < − c) 1 sinxe x x− < < d) sin 1xx e x< − <

62. El valor de ( ) ( ) ( )5 5 5

5 5

1 2limx

x x x n

x n→∞

+ + + + + ++⋯

donde n es un número natural,

es a) 0 b) 1 c) n d) +∞



63. La solución de la desigualdad ( ) ( )( ) ( )2153234216 2 +<+−−+ xxxx es a) ( )∞− ,7 b) [ ]7,7− c) [ )∞− ,7 d) ( ]7,−∞− 64. Para la función 32)( +−−= xxf , ¿cuánto vale la derivada en el punto

A(2,3)? a) 0 b) 1 c) 3 d) No existe 65. La cantidad de carga Q, en Coulombs (C) que ha pasado por un punto de un alambre hasta el tiempo t (medido en segundos) se expresa por

1262 23 ++−= tttQ . La corriente cuando st 1= es a) 3 A b) 4 A c) 5 A d) 6 A 66. Si ( ) 1 1f x x x= − + − el dominio de f es a) 0x ≥ b) )0,+∞

c) 0x ≤ d) [ ]1,1



67. Si ( ), ( )d f d es un punto de inflexión de la gráfica de la función

( ) ( )( )( )f x x a x b x c= − − − , entonces el valor de d es

a) 2

a b cd

+ +=

b) 6

a b cd

+ +=

c) 4

a b cd

+ +=

d) 3

a b cd

+ +=

68. ¿Para qué valores de las constantes h y k, la función definida por

( )1

x kf x

hx+=−

, es su propia inversa?

a) Para cualquier h b) Para cualquier k c) Para cualquier valor de h y k d) Para ningún valor de h y k 69. Un globo esférico de juguete se infla con helio. El radio del globo aumenta a razón de 1.5 cm/s, expresar el volumen V del globo como función del tiempo t (en segundos). 70. Una estrella variable es aquella cuyo brillo aumenta y disminuye alternadamente. Para la estrella variable más cercana Delta Céfida, el tiempo entre periodos de brillo máximo es de 5.4 días, el brillo promedio (o magnitud) es 4.0 y su brillo varía en una magnitud de 0.35± . Halle una función que modele el brillo de esta estrella en términos del tiempo.



Cálculo integral de una variable 1. Una partícula se mueve a lo largo del eje x por la acción de una fuerza que mide 15 2 +x libras en un punto a x pies del origen. El trabajo realizado al moverla desde el origen hasta una distancia de 10 ft es:

a) ftlb ⋅3

5030

b) ftlb ⋅0

c) ftlb ⋅−3

5030

d) ftlb ⋅5030

3

2. El valor medio de xexf =)( en el intervalo [0,2] es:

a) 12

1 2 −e

b) ( )12

1 2 +e

c) ( )12

1 2 −e

d) 12

1 2 +e

3. El área limitada por las curvas 2xy = , xy −= 2 y 0x = es

a) 2

9

b) 6

59

c) 2

11

d) 6

7



4. ∫ =+−− 822 xx

dx

a) Cx ++− )3(sin 1

b) Cx ++−

3

1sin 1

c) Cx +−− )3(sin 1

d) Cx +−−

3

1sin 1

5. El volumen del sólido generado al rotar la región acotada por la curva

3=+ yx , y los ejes coordenados al rededor del eje x es: a) π45 b) π36 c) π27 d) π9

6. El valor de ∫ ++ 12 xx

xdx es

a) Cx

xx +

+−++ −

3

12tan

3

11ln

2

1 12

b) Cx

xx +

−+++− −

3

12tan

3

11ln

2

1 12

c) Cx

xx +

−+++ −

3

12tan

3

11ln

2

1 12

d) Cx

xx +

−−++− −

3

12tan

3

11ln

2

1 12



7. Si la curva )(xfy = pasa por el origen y por el punto (1,1), entonces el valor

de ∫1

0)(' dxxf es

a) 1 b) -1 c) 0 d) No existe

8. ∫ + 222 xba

dx donde a y b son reales diferentes de 0

a) Cb

ax

a+arctan

1

b) Ca

bx

b+arctan

1

c) Cb

ax

ab+arctan

1

d) Ca

bx

ab+arctan

1

9. Las gráficas de xxf =)( y 2)( kxxg = se cortan en los puntos (0,0) y

kk

1,

1.

El valor positivo de k de tal forma que el área de la región comprendida entre

las gráficas de esas funciones sea 3

2 es

a) 2

1

b) 2 c) 3

d) 3

1



10. El aire escapa de un balón a scmtt / 23 32 + para 31 ≤≤ t ¿Cuánto aire escapa durante este periodo? a) 34 cm3 b) 36 cm3 c) 38 cm3 d) 40 cm3 11. Una fuerza xxF 3)( −= newton actúa sobre una partícula entre las posiciones x = 1 y x = 0. ¿Cuál es el cambio en la energía cinética de la partícula entre esas posiciones? a) 1 joule b) 1.5 joule c) 2 joule d) 2.5 joule

12. =−−− ∫∫ dxxdxx2

0

21

0

2 22

a)

−2

12

1 π

b)

+2

12

1 π

c) 2

1π−

d)

+2

13

1 π



13. Sea nR la región acotada por el eje x, la línea 1=x y la curva nxy = . El

valor de 1R

Rn es

a) 1

1

+n

b) )1(2

1

+n

c) 1

2

+n

d) 2

2

+n

14. =+∫ dxxx 3

a) Cxx ++− 2/3)3)(2(5

2

b) Cxx +−+ 2/3)3)(3(5

2

c) Cxx +++ 2/3)3)(2(5

2

d) Cxx +−− 2/3)2)(3(5

2



15. Resolver la siguiente integral: dxxxx

x∫ ++−

+3

523

2

a) cx

arctgx +

−+−2

121ln

b) cx

arctgx +

+++2

121ln

c) cx

arctgx +

++−2

121ln

d) cx

arctgx +

−−−2

121ln

16. Encuentre una función f y un número a tales que xdtt

tfx

a

2)(

62

=+ ∫ .

a) 6;)( 3/2 == axxf b) 9;2)( 2/3 == axxf c) 12;2)( 2/3 == axxf d) 9;)( 2/3 == axxf

17. Si ∫− −=t

dtg1

21

2

1)( σσ

, entonces =−− )1()1( gg a) 0

b) 3

22

.

c) 3

2

d) 3

22

.



18. ( )

( )( ) =++

+++∫

−

dxxx

xxxx22

312

119

93tan1

a) ( )( )211 1tan 3 ln 1

6 1x x C

x

− + + − ++

b) ( )( )211 1tan 3 ln 1

6 1x x C

x

− − + − ++

c) ( )( )211 1tan 3 ln 1

6 1x x C

x

− + + + ++

d) ( )( )211 1tan 3 ln 1

6 1x x C

x

−− + + + ++

19. Si ∫=2

2cos)(x

dttxF , entonces =)(' xF

a) 2cos x b) 2sin x c) 2cos x− d) 2sin x−

20. El valor de )4(f si xxdttf

x

πcos)(

2

0

=∫ es

a) 2

1

b) 4

1

c) 6

1

d) 8

1



21. Si sec

2

0

1

x

y u du= −∫ , la derivada dy

dxestá dada por

a) 0 b) sec x

c) ( ) 1/221

12u

−−

d) 2sec tanx x

22. El dominio de la función 1

( ) ln

x

f x udu−

= ∫ es

a) 1x > o 1x < − b) 1x < c) 1 0x− < < d) 0x < 23. El valor de b para que el área indicada sea igual a 9 es:

a) 9 b) 27 c) 3 d) 3



24. El dominio de la función

= ∫

x

tdtxf0

ln)( es

a) ( )0,∞− b) ( ) ( ),0 0,−∞ ∪ +∞

c) ( )1,0 d) ( )0,1−

25. Si ∫ +=x

dttxF0

21)( , entonces h

hF

h

)(lim

0→ es igual a:

a) 1 b) -1 c) 0 d) 2

26. Si dtt

txxF

x

∫ ++=

2

0

21

2sin2)( entonces =)0(F

a) -1 b) 0 c) 1 d) ∞



27. =

−−

−∫ dxbxax

x2222

11

a) Cbx

ax +−−

ln2

1

b) Cax

bx +−−

2

2

ln2

1

c) Cbx

ax +−−

22

22

ln2

1

d) Cax

bx +−−

22

22

ln2

1

28. ∫ =duugug )(')(

a) Cug +)( b) ( ) Cxg +2

)(

c) ( )

Cxg +2

)(2

d) Ninguna

29. Una partícula se mueve a lo largo del eje x con velocidad tttv += 2

2

1)( .Si

está en x = 0 cuando t = 0, la posición al tiempo t está dada por:

a) 23

6

1

2

1)( ttts +=

b) 12

1

6

1)( 2 ++= ttts

c) 23

2

1

6

1)( ttts +=

d) 12

1

6

1)( 23 −+= ttts

30. El área limitada por las gráficas de 32)( −= xxf y 6)( 2 −= xxg se calcula

por medio de:



a) ( )∫−

−3

3

fg

b) ( )∫−

−3

1

fg

c) ( )∫−

−3

3

gf

d) ( )∫−

−1

3

gf

31. Calcular( )

∫ +−−

dxxx

x

24

22

.

32. Determine duu

u∫

−

1

2

5

71

2.

33. Halle

2

πf de la siguiente información:

i) f es positiva y continua. ii) El área bajo la curva )(xfy = desde 0=x hasta ax = es

aaaa

cos2

sin22

2 π++ .

34. El resultado de x dxπ

∫ es

a) 0

b) ln

xC

x

π

+

c) 1

1

xC

π

π

+

++

d) ln xe Cπ +

35. Dada la gráfica de f en el intervalo indicado, calcular el valor de2

0

( )f x dx∫ .



36. La región de la figura anterior gira con respecto al eje y. Escriba (no es necesario calcular) el volumen del sólido así generado. 37. ¿Cuál de los siguientes enunciado es verdadero?

a) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx=∫ ∫ ∫

b) 4 ( ) ( ) 4f x dx f x dx=∫ ∫

c) ( )( )

( ) ( )

f x dxf xdx

g x g x dx= ∫∫∫

d) [ ]( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx− = −∫ ∫ ∫

38. Si 2

0

( ) 3f x dx =∫ y 2

0

( ) 4g x dx = −∫ , el valor de [ ]2

0

3 ( ) 4 ( )f x g x dx+∫ es

a) -1 b) 0 c) -7 d) 7 39. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones son ciertas? i) Si f es integrable en [ ],a b , entonces f es continua en [ ],a b .

ii) Si f es continua en [ ],a b , entonces f es integrable en [ ],a b .



40. ¿Por qué el valor de 1

2

0

sin( )x dx∫ no puede ser 2?

41. Utilizando el método de sustitución se tiene que 2

1

sinsin cos

2

xx xdx C= +∫ y

2

1

cossin cos

2

xx xdx C= − +∫ . ¿A qué se debe la diferencia de resultados?

42. Si 1

0

( ) 3f x dx =∫ y f es par, el valor de 0

1

( )f x dx∫ es

a) -3 b) 0 c) 3 d) 100

43. ¿Cuál es el valor de 2 3

2

2

sinx

x xdx

x e

−+∫ ?

a) 3 b) 0

c) 4

π

d) 2

3

44. Si 5

2

( ) 8f x dx =∫ entonces 2

5

( )f x dx− =∫

a) 8 b) -8 c) 0 d) 3

45. ¿Por qué ln xedx x C

x= +∫ ?



46. Determine 33u

u du+∫ .

47. El valor de 5000

5001

5000

w dw−∫ es

a) 501.2 10× b) 601 10× c) 0

d) e

48. Verifique 2

cos sin

cos cos

x x x xdx C

x x

+ = +∫ .

49. Determine el área de la región sombreada en la figura.

X= y 2

X= y 3 (1,1)

X

Y

10

1

50. ¿Para qué valores de x es 1

4

240

x

dtt

− <∫ ?

a) ( )0,+∞

b) ( ),1−∞

c) ( )1,1−

d) ( )0,1



51. ¿Cuál es el planteamiento correcto para integrar la función 3 2

2

3 3( )

4 3

x x xf x

x x

− − +=− +

en [ ]2,5− ?

a) ( )5

2

1x dx−

−∫

b) 5 2

2

2 3

3

x xdx

x−

− −−∫

c) 5 3 2

2

2

3 3

4 3

x x xdx

x x−

− − +− +∫

d) ( ) ( ) ( )1 3 5

2 1 3

1 1 1x dx x dx x dx−

+ + + + +∫ ∫ ∫

52. Calcule ∫ −

3

0 29 x

dx

a) π3

2

b) π2

3

c) π2

1

d) π4

3



53. Obtenga la longitud de arco de la curva definida por 6

cosh6x

y = desde el

punto 0x = hasta 6x = a) 36 b) ( )6sinh 1

c) 6 d) ( )6cosh 1

54. Determine el valor de ( )

dxx

∫∞

−2

21

1.

a) ∞ b) 0 c) 1 d) -∞

55. Calcule la siguiente integral ∫ dxex x2 .

a) cxxe x ++− )22( 2 b) cxxex +++ )22( 2 c) cxxex +−− )22( 2 d) cxxex ++−− )22( 2



56. Calcule la siguiente integral ∫ +dx

x24

1

a) cxx +−+22

4ln

2

b) cxx +++22

4ln

2

c) cxx ++

−+

22

4ln

2

d) cxx ++−22

4ln

2

57. Calcule el área de la figura limitada por las curvas , cosy sin x y x= = y

0=x

58. Calcule

3

0

40

sin

lim

x

x

t dt

x→

∫ .



59. La velocidad de transferencia de datos ( )v x , de un disco dura a un CD en una PC, en KB por segundo se representa en la siguiente gráfica en el intervalo [ ]1,7 segundos. ¿Cuál de los siguientes modelos permite calcular los KB que

se transfirieron en el intervalo citado?

a) 3 5 7

1 3 5

( ) ( ) ( )d d dv x v x v x

dx dx dx+ +

b) 7

1

( )dv x

dx

c) ( )v x dx∫

d) 3 5 7

1 3 5

( ) ( ) ( )v x dx v x dx v x dx+ +∫ ∫ ∫



60. Un tanque colocado en el ala de un avión jet se forma al hacer girar la

región limitada por la grafica xxy −= 28

1 2 y el eje x, alrededor del eje x. Si x

esta en metros calcule el volumen del tanque.



Cálculo multivariable 1. Si θφρθφρ cossin),,( =h entonces

φθ∂∂∂ h

2

=

a) θφρ sincos− b) θφρ sincos c) θφρ sinsin d) θφρ coscos 2. Si f y g son funciones escalares diferencíables, ¿cuál de los siguientes enunciados sobre el gradiente es cierto?

a) g

f

g

f

∇∇=

∇

b) gffg ∇⋅∇=∇ )( c) gfgf +∇=+∇ )(

d) 2g

gffg

g

f ∇−∇=

∇

3. El valor promedio de xyxyxf cos),( = sobre el rectángulo R:

10 ,0 ≤≤≤≤ yx π es

a) π1

b) π2

c) π2−

d) π1−



4. Si B ,

A yC

son vectores, ¿Cuál de los siguientes enunciados tiene sentido? a) CBA

⋅× )(

b) )( CBA

⋅×

c) )( CBA

××

d) )( CBA

×⋅

5. Un vector normal al plano 5=+ yx es a) kji ˆˆˆ −+ b) ji ˆˆ + c) kji ˆˆˆ ++ d) ji ˆˆ + 6. Si kzjyixr ˆˆˆ ++= y rr

= ¿cuál de los siguientes enunciados es verdadero?

a) 2

rr

=∇

b) rnrr

nn 2)(

−=∇ c) rr

=∇ d) rnrr n =∇



7. El volumen de la región que se encuentra bajo el paraboloide 22yxz += y

arriba del triángulo encerrado por las rectas 0 , == xxy y 2=+ yx en el plano xy es

a) 4

3

b) 4

1

c) 3

4

d) 3

1

8. El ángulo entre los planos 105 =−+ zyx y 132 −=+− zyx es a) 0

b) 2

π

c) π

d) 4

π

9. Los cosenos directores del vector kji ˆ2ˆˆ −+ son respectivamente a) 1, 1, -2

b) 6

2 ,

6

1 ,

6

1

c) 6

2 ,1 ,

6

1 −

d) 6

2- ,

6

1 ,

6

1



10. Si kjiA ˆˆˆ2 ++=

y kjiB ˆˆ3ˆ4 ++−=

entonces =× BA

a) kji ˆ10ˆ6ˆ2 +− b) kji ˆ10ˆ6ˆ2 −− c) kji ˆ10ˆ6ˆ2 −− d) kji ˆ10ˆ6ˆ2 +−− 11. La rapidez de una partícula que se mueve a lo largo de la trayectoria

ktjtittr ˆ2ˆ)1(ˆ)1()( 2 +−++= en 1=t es

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 12. Si kzjxyixzyxF ˆˆ3ˆ),,( ++=

entonces la divergencia en le punto (0,1,0) es

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 13. Suponer que 0=⋅∇ F

y que 0=⋅∇ G

¿Cuál de las siguientes tiene

necesariamente divergencia cero? a) GF

+

b) GF

×

c) )(FGF

⋅

d) Ninguna



14. Al intercambiar le orden de integración de ∫ ∫ +4

1 1

22 )(x

dydxyx queda:

a) ∫ ∫ +x

dydxyx1

4

1

22 )(

b) ∫ ∫ +2

1

422

2)(

ydxdyyx

c) ∫ ∫ +4 2

1

22

2)(

ydxdyyx

d) ∫ ∫ +x

dydxyx1

4

1

22 )(

15. Una ecuación para el plano tangente a la gráfica de

22),(

yx

eyxf

x

+=

en x = 1, y = 2 es

a) )2(25

4)1(

25

3

5−−−+= y

ex

eez

b) )2(25

4)1(

25

3

5−−++= y

ex

eez

c) )2(25

4)1(

25

3

5−+−+= y

ex

eez

d) )2(25

4)1(

25

3

5++−+= y

ex

eez

16. El valor de ∫ ∫ ∫2/

0

2/

0

1

0

2 sinπ π

φθρφρ ddd es

a) 6

π

b) 5

π

c) 4

π

d) 3

π



17. Al escribir ∫∫∫E yzdV donde 20,20,10:),,( +≤≤≤≤≤≤= zxzyzzyxE

como una integral triple iterada y calcular su valor da:

a) ∫ ∫ ∫+

=1

0

2

0

2

0 5

7z z

yzdxdydz

b) ∫ ∫ ∫+

=1

0

2

0

2

0 5

3z z

yzdydxdz

c) ∫ ∫ ∫+

=1

0

2

0

2

0 5

7z z

yzdzdxdy

d) ∫ ∫ ∫+

=1

0

2

0

2

0 3

5z z

yzdzdydx

18. Para una ( ) KFjFiFzyxF 321,, ++= , el valor del determinante de la matriz

∂∂

∂∂

∂∂

321 FFFzyx

kii

corresponde a:

a) El gradiente de F

b) La derivada direccional de F

c) El rotacional de F d) La divergencia de F

19. La derivada parcial, rvru ∂∂∂∂ /3 , de rtvu sin= es:

a) rttrvru tan/ 23 =∂∂∂∂

b) rttrvru cos/ 23 −=∂∂∂∂

c) rttrvru sin/ 23 =∂∂∂∂ d) Ninguna de las anteriores



20. ¿Cuál es la derivada direccional de 224),,( xzyzxxyxf += en el punto

)1,2,1( −− y en la dirección kji

22 −− .

a) 3

73

b) 7

73

c) 3

37

d) 7

37

21. Para kzjxyixztF

642)( −+ y 322

23),( yyxxyxg ++= , ¿cuál de las siguientes operaciones no es válida? a) F

×∇

b) g∇

c) F

⋅∇

d) g×∇

22. Una lámina tiene una densidad de masa por unidad de área 2

),( xyx =ρ . Entonces, la masa de la lámina que ocupa la región R limitada por la parábola

22 xy −= y la recta xy = se calcula mediante la expresión:

a) ∫ ∫=

−=

−=

=

1

2

2

2

2x

x

xy

xy

dydxx

b) ∫ ∫=

=

−=

=

1

0

2

0

2

2x

x

xy

y

dydxx

c) ∫ ∫=

=

−=

=

1

0

2

2

2x

x

xy

xy

dydxx

d) ( )∫ ∫=

=

−=

=

−1

0

2

22

2

2

x

x

xy

xy

xdydxxx



23. La ecuación del plano perpendicular al plano yz que contenga al punto

(2,1,1) y que forme un ángulo

3

2arccos con el plano 0322 =−+− zyx viene

dada por: a) 0134 =−− zy b) 2=x c) 1=y d) 0586 =+− yz 24. El valor más grande de a que cumple la relación

∫ ∫ ∫−− −−

=1

0

4

0

42 2

15

4xa yx

adzdydx

es a) 3

b) 3

13

c) 13

3

d) 1 25. Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie 2132

222 =++ zyx en el punto (4,-1,1). a) 21324 −=−+ zyx b) 213422 =++ zyx c) 21324 =+− zyx d) 142 =+− zyx



26. Los valores de m y n para los cuales el plano 823 =++ zmyx es tangente a

432 =+ zxy en el punto (1,n,1) son

a) m=3, n=2 b) m=-3, n=2 c) m=3, n=1 d) m=1, n=3 27. Siendo 2

2),,( zexzzyxy+=ϕ la razón de cambio de ϕ en la dirección

kji −+ 32 en (2,1,1) es:

a) 14

8e−

b) 14

58

e−

c) 14

5e

d) 14

e

28. Dado 22

23),(

yx

yxyxf

+= , hallar

( ) ( )),(lim

0,0,yxf

yx →.

a) 0

b) 2

1

c) 1 d) No existe



29. Seleccione que gráfica corresponde a la función vectorial ktjtsenitcos)t(r ++= 4 para π40 ≤≤ t .

-1 -0.5 0 0.5 1

-1 -0.5 0 0.5 1 0

5

10

15

a)

-1-0.5

00.5

1

-1

-0.5

0

0.5

1-15

-10

-5

0

b)

-1-0.5

00.5

1

-4

-2

0

2

40

5

10

15

c)

-1-0.5

00.5

1

-4

-2

0

2

40

5

10

15

d)

30. Un vector ortogonal unitario al plano 126 =+− zyx es a) (1,-6,1)

b) )1,6,1(

38

1 −

c) )1,6,1(

38

1 −

d) (-1,6,-1)



31. Si 222

1),,(

zyxzyxf

++=

entonces =∇×∇ )( f

a) kji ++ b) j c) 0

d) kji +−

32. La longitud de la curva π≤≤= tttttr 0 );,sin2,cos2()( es

a) 2π

b) 3π c) π2

d) 5π 33. El valor de

y

zyxzyyx

y ∆++−∆+++

→∆

))(3()(3lim

22

0

es a) zyx )(2 + b) .2 yzx + c) zyx )2( + d) yzx 22 +



34. Calcular la distancia del punto (1,2,3) al plano 2x – y + z = 4

a) 14

7

b) 14

1

c) 14

6

d) 14

3

35. Resuelva la siguiente integral triple:

dzθddrcosθr4

0

2

π

0

2

0∫ ∫ ∫

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 36. El vector velocidad y el vector aceleración de una partícula que se mueve a

lo largo de la curva C del plano descrita por jt

it

tr2

cos22

sin2)( +=

a) jt

it

tajt

it

tv2

cos2

1

2sin

2

1)(,

2sin

2cos)( +−=+=

b) jt

it

tajt

it

tv2

cos2

1

2sin

2

1)(,

2sin

2cos)( +−=−=

c) jt

it

tajt

it

tv2

cos2

1

2sin

2

1)(,

2sin

2cos)( −−=−=

d) jt

it

tajt

it

tv2

cos2

1

2sin

2

1)(,

2sin

2cos)( −=−=



37. El valor de ∫ ∫−

+1

0

1

0

2

22x

yx dydxe es

a) ( )18

1 −eπ

b) ( )14

1 −eπ

c) ( )1−eπ d) ( )12 −eπ 38. El valor de

( ) ( )( )235

2,5,54lim xyyxx

yx−+

−→ es

a) 2025 b) 4225 c) -2025 d) -4225 39. Una carga eléctrica está distribuida sobre el disco unitario 1

22 ≤+ yx de

modo que la densidad de carga en ( )yx, es ( ) 221, yxyx ++=σ en 2/mC .

Determine la carga total sobre el disco. 40. Encuentre N de tal manera que ˆˆ ˆx xF yze i /j ye k= + +

sea un campo vectorial

irrotacional: a) y/ xe= b) x/ ze= c) z/ xe= d) x/ ye=



41. Las funciones tangente y cotangente forman áreas iguales intersectadas con el eje de las abcisas a lo largo de los números reales. La expresión que determina el área de acotación en un período es:

a) cos /sin

0 tan

x x

x

dydx

π

∫ ∫

b) /4 tan /2 cot

0 0 /4 0

2

x x

dydx dydx

π π

π

+

∫ ∫ ∫ ∫

c) cot

0 tan

2

x

x

dydx

π ∫ ∫

d) /4 tan /2 cot

0 0 /4 0

x x

dydx dydx

π π

π

+∫ ∫ ∫ ∫

42. Sean la superficie ( , )z f x y= y P un punto de ella. Entonces la única proposición falsa es: a) ( )f P∇ indica la dirección de máximo crecimiento de f

b) La derivada direccional ( )df P

ds representa la pendiente de una tangente a la

superficie en P c) El vector ( )f P∇ es normal a la superficie en P d) El vector ( )f P∇ está en el plano ( )z f P= 43. El área de la región limitada por la curva 2 2 16x y+ = y 2 6y x= en el plano xy es

a) 16 6

43

π +

b) ( )23 4

3π+

c) 6.9 d) 9.5



44. El área del paralelogramo que tiene por lados adyacentes a los vectores kji ++++++++ 33 y ki ++++3 es

a) 20

b) 20 c) 40

d) 90 45. Hallar el volumen del paralelepípedo que tiene como lados adyacentes los siguientes vectores kjiwkjvkjiu ++++++++====−−−−====++++−−−−==== 3,22,53 a) 36 b) 34 c) 38 d) 32

46. Si

++++====

y

xyxf

1sin),( , calcule

x

f

∂∂∂∂∂∂∂∂

y y

f

∂∂∂∂∂∂∂∂

a) (((( ))))211cos,

1

1

1cos

y

x

y

x

yy

x

++++⋅⋅⋅⋅

++++−−−−

++++⋅⋅⋅⋅

++++

b) (((( ))))211sin,

1

1

1sin

y

x

y

x

yy

x

++++⋅⋅⋅⋅

++++++++⋅⋅⋅⋅

++++

c) (((( ))))211cot,

1

1

1cot

y

x

y

x

yy

x

++++⋅⋅⋅⋅

++++++++⋅⋅⋅⋅

++++

d) (((( ))))211tan,

1

1

1tan

y

x

y

x

yy

x

++++⋅⋅⋅⋅

++++++++⋅⋅⋅⋅

++++



47. Las derivadas parciales en x y en y de la función 22),( yxyxf ++++==== es

a) 0,2

22====

++++==== yx f

yx

xf

b) 2222

2,

2

yx

yf

yxf yx

++++====

++++====

c) 2222

,yx

yf

yx

xf yx

++++====

++++====

d) 22

2,0

yx

yff yx

++++========

48. El punto donde la recta tztytx ++++====−−−−====++++==== 1,2,23

8 intersecta al plano

6623 ====++++++++ zyx es:

a)

0,2,

3

2

b)

−−−− 2,2,3

14

c)

−−−− 0,2,3

2

d)

−−−− 0,2,3

2

49. La longitud de la curva dada por teytex

ttsin,cos ======== para ππππ≤≤≤≤≤≤≤≤ t0 es

a) ππππ−−−−2e

b) (((( ))))12 −−−−eππππ c) 1−−−−ππππe d) (((( ))))12 −−−−ππππe



50. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones acerca de la función )2sin( 21 nnxxxu ⋯++= es cierta?

a) (((( ))))ni

nxxxx

u⋯++++++++====

∂∂∂∂∂∂∂∂

21 2cos

b) (((( ))))ni

nxxxix

u⋯++++++++====

∂∂∂∂∂∂∂∂

21 2cos

c) (((( ))))ni

nxxxx

u⋯++++++++−−−−====

∂∂∂∂∂∂∂∂

21 2sin

d) (((( ))))ni

nxxxix

u⋯++++++++−−−−====

∂∂∂∂∂∂∂∂

21 2sin

51. ¿Cuál es el dominio de 492222 −−−−++++++++−−−−−−−−==== yxyxz ?

a) 3

22 ≥≥≥≥++++ yx b) 43

22 ≤≤≤≤++++≤≤≤≤ yx c) 94

22 ≤≤≤≤++++≤≤≤≤ yx d) Ninguna

52. Una integral equivalente a dxdyey

x

∫∫∫∫ ∫∫∫∫1

0

3

3

2

es

a) dydxe

x

x

∫∫∫∫ ∫∫∫∫3

0

3/

0

2

b) dydye

x

x

∫∫∫∫ ∫∫∫∫1

0

3/

0

2

c) dxdye

y

x

∫∫∫∫ ∫∫∫∫3

0

3/

0

2

d) dydye

y

y

∫∫∫∫ ∫∫∫∫1

0

3/

0

2



53. ¿Cuál es el dominio de la función 2

2

2

1

2

11n

n

a

x

a

xu ⋯−−−−−−−−==== ?

a) 12

2

2

2

2

2

2

1

2

1 ≤≤≤≤++++++++++++n

n

a

x

a

x

a

x⋯

b) 12

2

2

2

2

2

2

1

2

1 ≥≥≥≥++++++++++++n

n

a

x

a

x

a

x⋯

c) 12

2

2

2

2

2

2

1

2

1 ≤≤≤≤++++++++−−−−n

n

a

x

a

x

a

x⋯

d) 12

2

2

2

2

2

2

1

2

1 ≥≥≥≥++++++++−−−−n

n

a

x

a

x

a

x⋯

54. ¿Cuánto tiempo se mantiene en el aire un balón lanzado desde el suelo a 57 mph con un ángulo de 68º? (1 milla ≈ 5280 pies). a) 4.7801t s≈ b) 15.296t s≈ c) 76.481t s≈ d) 3.6241t s≈ 55. Si u, v y w son vectores y su triple producto escalar cumple que

( ) 0w u v⋅ × = , entonces los vectores son

a) ortogonales b) paralelos c) idénticos d) coplanares



56. Calcule el volumen de la pirámide formada por el plano 2x-3y+6z-12=0 y los planos coordenados a) 16 b) 8 c) -16 d) -8 57. Determine si las dos rectas siguientes se cortan y, si lo hacen ¿cuál es su punto de intersección?

tztytx −=−=+= 5 ,41 ,21 vzvyvx 41 ,61 ,4 +=+=−=

a) No se cortan b) Se cortan en el punto (5, -7, 3) c) Se cortan en el punto (5, -7, -3) d) Se cortan en el punto (5, 7, 3) 58. Una lámina tiene la forma de una región R en el plano xy, acotada por las gráficas de x=y2 y x = 4. Encuentre el centro de masa suponiendo que la densidad en el punto P(x,y) es directamente proporcional a la distancia de P al eje y.

59. Si 2xyez = , cos , sin x t t y t t= = , calcule dt

dz

en 2

π=t.

60. Una pelota se mueve sobre una superficie ( , )z f x y= . Los puntos P y Q de la superficie en los cuales, respectivamente, la pelota no se mueve y resbala más rápidamente son aquellos donde se cumple que: a) ( ) ( ) , ( ) 0u uD f P P D f Q= − ∇ =

b) ( ) 0, ( ) 0uD f P f Q> ∇ =

c) ( ) 0, ( ) 0uf P D f Q∇ = <

d) ( ) 0, ( ) ( )u uD f P D f Q f Q= = ∇



Álgebra lineal 1. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta sobre el sistema dado?

10333

6222

3

=++=++

=++

zyx

zyx

zyx

a) Tiene una solución única b) Es inconsistente c) Tiene un número infinito de soluciones d) Ninguna

2. La matriz inversa de

01

21 es

a)

02

11

2

1

b)

−

11

20

2

1

c)

−−

−11

20

2

1

d) No tiene inversa



3. Una matriz cuadrada A se dice que es simétrica si jiij aa = los números α

y β para los cuales la matriz

−42

265

32

β

α

es simétrica son a) 5,3 == βα b) 3,5 == βα c) 3,5 −=−= βα d) 3,3 −== βα

4. =

− 60

14

21

32

a)

− 114

208

b)

−−

114

208

c)

−114

208

d)

−−114

208



5. Diga cuál de las siguientes afirmaciones es cierta sobre el sistema

476

354

=−=−

yx

yx

a) No tiene solución porque

−−76

54 no es invertible

b) Tiene la solución )2/1,1( −−

c) Si tuviera una solución, se encontraría resolviendo

=

−−

4

3

76

54

y

x

d) Su solución es

−−

4

3

76

54

6. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre la matriz

−−=

32

43A es

cierta? a) A es simétrica b) A es diagonal c) A es invertible d) A es su propia inversa 7. ¿Cuál de los siguientes es 0 para toda a y b?

a) ab

ba

−

b) ba

ba

−−

c) bb

aa

−

d) los determinantes no se pueden establecer porque no se conocen los valores de a y b



8. Si

−

−

=

1000

15200

4230

6512

A entonces =Adet

a) 12 b) -12 c) 6 d) -6

9. Si

−−

=23

12A entonces el resultado de nA cuando n es par es:

a)

00

11

b)

10

01

c)

−−23

12

d)

−− 23

12

10. Si IAA =+ 22 entonces =−1A a) A+2 b) A+2I c) A-2I d) No se puede determinar



11. La inversa de la matriz

−−−−

153

132

543

es:

a)

−−−−

131

7185

11298

b)

−−−

−−

131

7185

11298

c)

−−−−−

131

7185

11298

d)

−−−

131

7185

11298

12. Si n

A

=

λλ0

1 entonces =nA

a)

−10 n

nn

λλλ

b)

−

n

nnn

λλλ

0

1

c)

−

n

nnn

λλλ

0

1

d)

−

λλλ

0

1nnn



13. Si 2=dc

ba entonces

dcdc

baba

432

432

++++

a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 14. La solución del sistema

432

963

21

21

=+−=+xx

xx

es

a)

7

10,

7

1

b)

10

7,

7

1

c)

7

10,7

d)

10

7,7

15. El sistema

642

963

21

21

=+−=−xx

xx

es a) Homogéneo b) Compatible c) Equivalente d) Incompatible



16. La solución del sistema

04

032

321

321

=+−=−+

xxx

xxx

es

a)

1,

3

7,

3

13x , x3 arbitraria

b)

33 ,

3

7,

3

1xx , x3 arbitraria

c)

333 ,

3

7,

3

1xxx , x3 arbitraria

d)

33 ,

3

7,

3

1xx , x3 arbitraria

17. Determine la siguiente operación de matrices 5A +3B

−−

−=

−=4212

8510

1258

,

564

591

1264

BA

a)

−−=+

373616

496035

961544

35 BA

b)

−−=+

373616

496035

961544

35 BA

c)

−−=+

373616

496035

961556

35 BA

d)

=+373616

496035

961544

35 BA



18. ¿Cuál de los siguientes sistemas es homogéneo?

a) 0552

0634

123

321

=++=−−+

xxx

xxx

b) 4834

0102

312

213

+=++=−+−

xxx

xxx

c) 1552

0634

123

321

=++=−−+

xxx

xxx

d) 4834

1102

312

1213

+=++−+=−+−

xxx

xxxx

19. Con base en las operaciones de matrices, ¿cuál de las siguientes opciones es equivalente a la expresión ( )2BA + ? a) 22

2 BBAA ++ b) 22 BBAABA +++ c) 22 BABA ++ d) 22 BA + 20. Un sistema de ecuaciones lineales con más incógnitas que ecuaciones tendrá siempre: a) Una infinidad de soluciones b) Ninguna solución c) Solución única d) Ninguna de las anteriores



21. Si a y b son números reales, y, a y b son diferentes de cero en la matriz

−=

ab

baA

entonces el enunciado verdadero es :

a)

− ab

ba

es la transpuesta de A b) si a = b la matriz no tiene inversa

c)

−+ ab

ba

ba 22

1

es la inversa de A

d)

−+ ab

ba

ba 22

1

es la inversa de A 22. Si A, B, C y X son matrices cuadradas y θ=− AXBC (donde θ es la matriz cero), ¿cuál de las siguientes expresiones puede obtenerse a partir de ésta? a) BXAC = b) 11 −− = CBXA c) 11 −−= CBAX d) AXCB =

23. Sea

−=

10

21A . Si IBA =3 , ¿cuál es el valor del elemento 12b ?

a) -1 b) 2 c) 1 d) 0



24. Considerando que A, B y C son matrices, determina cuál de las siguientes afirmaciones es falsa: a) Si existe AB entonces BA existe b) Si AB=I entonces BA=I c) Si existe AB y AC entonces A(B+C)=AB+AC d) SI existe AB y AB=BA entonces 222

2)( BABABA ++=+

25. Si

−=

11

01A , cuál de las siguientes respuestas corresponde a la

operación nAAAAS ++++= ⋯32

a)

+−

nnnn

2

)1(0

b)

+

nnnn

2

)1(0

c)

−−

nnnn

2

)1(0

d)

−

nnnn

2

)1(0



26. Sabiendo que 3

333231

232221

131211

=aaa

aaa

aaa

y aplicando las propiedades de los

determinantes. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?

a) 3

323331

222321

121311

−=aaa

aaa

aaa

b) 6

222 333231

232221

131211

−=−−−aaa

aaa

aaa

c) 3

332313

322212

312111

=aaa

aaa

aaa

d) 12424242

131211

132312221121

133231

−=−−−aaa

aaaaaa

aaa

27. Encuentre el determinante de la matriz nA definida por:

1 2 3

1 0 3

1 2 0

-1 -2 -3 0

n

n

n

A n

− = − −

⋯

⋯

⋯

⋮ ⋮ ⋮ ⋮⋮ ⋮

⋯

.

a) ( )!1+n b) ( )!1−n c) !n d) )!1( +nn



28. El valor de

k

n

λ

λλ

0

0

2

1

⋱ donde los ceros significan que todos los

elementos de la matriz que se encuentran fuera de la diagonal principal son nulos.

a)

k

n

k

k

λ

λλ

0

0

2

1

⋱

b)

n

k

λ

λλ

0

0

2

1

⋱

c)

nλ

λ

0

01

2

⋱

d)

n0

2

01

⋱



29. El valor del determinante

0111

1011

1101

1110

⋯

⋯

⋯

⋯

⋯

es a) ( ) ( )11 +− n

n b) ( ) ( )11

1 −− −n

n c) ( ) ( )11

1 +− −n

n d) ( ) ( )11 −− n

n 30. ¿Cuál de las siguientes agrupaciones no forma un conjunto ortogonal?

a) (2,0,1,3),(-2,4,1,1),(-3,-2,0,2) b) (3,1),(2,-6) c) (4,-1,0),(2,3,-5),(-8,7,1) d) (a,0),(0,b) en donde a y b son números dados 31. Sean A y B matrices 3 3× . Si 4 400A = y 1 ( ) 36A Adj B− = , entonces el valor

de B es

a) 60 b) 30 c) 45 d) 15



32. Si A y B son matrices de orden n, entonces la única propiedad que es verdadera es a) det( ) det( )kA k A= b) det( ) det( )mA m A= c) det( ) det( ) det( )A B A B+ = +

d) [ ] 1det( ( )) det( )

nadj A A

−=

33. Calcule el determinante de

−−−−1393

402

431

a) -6 b) 6 c) 5 d) -5 34. ¿Para cuál de las siguientes matrices:

1 2 3 4

0 2 10 5 5 3 4 1, , ,

3 1 4 2 1 2 8 2A A A A

− = = = = − −

El sistema 0====XAi tiene infinitas soluciones? a)

1A y 2A

b)

1A y 4A

c)

2A y 4A

d)

1A y 3A



35. El valor de

2524232221

2019181716

1514131211

109876

54321

es

a) 251997 ⋅⋅⋅ b) 1 c) 0 d) 5

36. Si

−−−−−−−−

====

−−−−====

105

321,

40

31BA y

−−−−====

017

542C . Si CABD 2++++====

entonces 12d es

a) 0 b) -6 c) 6 d) 12

37. La solución del sistema 221

121

53

2

bxx

bxx

====++++====++++

para

====

7

3

2

1

b

b es

a) 2,1 21 −−−−======== xx b) 2,1 21 ======== xx c) 2,1 21 ====−−−−==== xx d) 2,1 21 −−−−====−−−−==== xx



38. Supóngase que A y B son matrices de 4 x 5 y que C, D y E son matrices de 5 x 2, 4 x 2 y 5 x 4, respectivamente. ¿Cuál de las siguientes expresiones no está definida? a) AC+D b) E(A-B) c) C(A+B) d) E(AC) 39. Sean A y B matrices no nulas. De las propiedades siguientes, la única con la cual no se cumple ( ) 222

ABAB = , es: a) A y B son matrices diagonales b) BAAB = c) 0=AB d) 1−= BA

40. ¿Cuál es el valor de

nxxxx

xxxx

xxxx

xxxx

++++

++++++++

++++

⋯

⋯

⋯

⋯

⋯

3

2

1

?

a)

++++++++++++++++++++n

xxxxn ⋯

321!

b)

++++++++++++++++++++n

xxxxn ⋯

321

c) (((( ))))

++++++++++++++++++++−−−−n

xxxxn ⋯

321!1

d)

++++++++++++−−−−++++n

xxxxn ⋯

321!



41. El valor del determinante

1 1 1

a b c

b c c a a b+ + + es

a) 1 a b c+ + +

b) 0

c) a b c+ +

d) 1

42. Dada la matriz

1 1 1

1 1 1

1 1

x

A

x

+ =

. Determine el valor o valores de x que

hacen que A no sea invertible.

a) 0, 2

b) 0, -1

c) 1, 2

d) 0, 1

43. Para cuales valores de k el siguiente sistema no tiene solución.

104

532

=+=+−

kyx

yx

a) 6−≠k b) 6k = c) 6≠k d) 6k = −



44. Sea A=

000

00

0

c

ba

donde a, b y c son tres números reales arbitrarios.

Calcule A n para todo número natural 2n > .

a)

c

b

a

00

00

00

b)

000

000

000

c)

000

00

0

c

ba

d)

0

00

000

ba

c

45. ¿Para qué valor de k la matriz

=k

A

02

101

023

su rango es diferente de 3?

a) 4k = b) 1k = − c) 2k = d) 0k = 46. Si C es una matriz cuadrada de orden 1n > y CT es su transpuesta, tal que CCT = CTC=I (matiz identidad), la matriz C se denomina “matriz ortogonal”. Determine el valor absoluto del determinante de C. a) 0 b) 2 c) -1 d) 1



47. Sea 1 1

1 1A

=

, ¿cuál de las siguientes opciones es verdadera?

a) 1

1

xA

y =

, representa un sistema consistente determinado

b) x

Ay = Ι

, nunca tiene solución

c) 0x

Ay =

, representa un sistema homogéneo

d) 3

1

xA

y =

, representa un sistema inconsistente

48. Para la siguiente matriz 2 1 13 3 31 1 13 6 61 1 13 6 6

A

−−−− = −= −= −= − − −− −− −− −

¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? a) A es triangular superior

b) A es idempotente c) A es antisimétrica

d) A es ortogonal



49. Si 0

110

det =+−

= xbxx

axba

A , ¿cuál es el valor de x ?

a) 0 b) a c) b d) a y b

50. El valor de 5det B , si

=121

211

101

B es:

a) -32 b) 32 c) -2 d) 2 51. En la siguiente matriz, ¿qué condición debe cumplir α para que la matriz tenga inversa?

=α

α00

01

021

A

a) 2,0 == αα b) 2,0 ≠≠ αα c) 2,0 −== αα d) Es una matriz inconsistente



52. Sean

−=

13

52A y

−=

kB

3

54, ¿Qué valor (es) de k, hacen que AB=BA?

a) 0k = b) 5k = − c) 5k = d) No existe. 53. ¿Cuál de los siguientes enunciados es verdadero? a) AAt detdet −= b) ( ) AA detdet −=− c) Si A es invertible, entonces AA detdet 1 =− d) 0det ≥AAt 54. Calcule el valor de los siguientes determinantes.

a) 1

1

n n

n n

+−

b) cos sin

sin cos

α αα α

−

c) 1 log

log 1

b

a

a

b

55. Calcule

1 1 1 1

1 2 1 1

1 1 3 1

1 1 1 1

x

x

n x

−−

+ −

⋯

⋯

⋯

⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

⋯

.

56. Determine

1

2

4

2n

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

++

+

+

⋯

⋯

⋯

⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

⋯

.



57. Investigue si el sistema es determinado (tiene una solución única) , indeterminado (tiene una cantidad infinita de soluciones o contradictorio (no tiene solución).

a) 4 6 2

6 9 3

x y

x y

+ =+ =

b) 9 6

10 10

ax y

x by

− =− =

58. Halle el valor de α de tal forma que el sistema dado tenga solución:

3 0

2 3 5

7 9

x y z

x y z

x y z α

+ + =+ − =

− + + =

59. Con los datos del siguiente diagrama (donde los porcentajes están dados en peso), encuentre los posibles valores de la corriente M1, M2, M3, si M4 = 100 Kg

60. Encuentre la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales

2 4 5 12

5 6 8 15

2 4 4 20

x y z

x y z

x y z

− + =− − − =

+ + =

a) -46.9, 23.92, 25.9 b) -46.9, -4.05, 24.4 c) -46.9, 4.05, 24.4 d) No tiene



Ecuaciones diferenciales

1. ¿Cuál de los siguientes funciones es una solución de la ecuación 2' xyxy =−

a) xy 3= b) 23 xxy += c) 23 xxy −=

d) 2

2

13 xxy −=

2. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones de primer orden no lineal no es homogénea? a) 0)2( 22 =+− xydydxyx b) 0)2( 2 =+− xydydxyx c) 023' 22 =−− yxyyx

d) xx

yy

dx

dy

x

yx += sinsin

3. El valor de n para el cual la ecuación

0)()( 2322 =+++ dyyxxdxynxxy es exacta es a) n=0 b) n=1 c) n=2 d) n=3



4. Una solución de la ecuación 0')('' 2121 =++− mmymmy

cuando 21 mm ≠

a) 21

21

mm

eey

xmxm

−+=

b) 21

21

mm

eey

xmxm

+−=

−

c) 1 2

1 2

m x m xe e

ym m

− +=+

d) 21

21

mm

eey

xmxm

−−=

−

5. ¿Cuál de las siguientes funciones da el factor integrante para la ecuación

0')1( 232 =++ yyxyx

a) 2

1

xy

b) yx 2

1

c) 3

1

xy

d) yx3

1



6. Las raíces de la ecuación característica son imm +=−= 3,2

121 y im −= 33 .

La ecuación diferencial correspondiente es a) 010'14''11'''2 =++− yyyy b) 010'14''11'''2 =+−+ yyyy c) 010'14''11'''2 =−+− yyyy d) 010'14''11'''2 =−−− yyyy 7. Si se usa el método de los coeficientes indeterminados, la solución particular de xeyy +=− 1'' adopta la forma a) x

p BeAy +=

b) )( x

p BeAxy +=

c) x

p BxeAy +=

d) x

p xeAy +=

8. La solución general de la ecuación 03'2''2 =++ yyy es

a) xecxecy xx

2

5cos

2

5sin )2/1(

2

)2/1(

1

−− +=

b) xecxecy xx 5cos5sin )2/1(

2

)2/1(

1 += c) xecxecy xx cossin )2/1(

2

)2/1(

1

−− += d) xecxecy xx 2cos2sin )2/1(

2

)2/1(

1

−− +=



9. La solución de la ecuación 2

1

−+=x

y

x

y

dx

dyes

a) 1

)1(2

2

+−=

cx

xcxy

b) 1

)1(2

2

+−=

cx

cxxy

c) cx

xxy

+−=

2

2 )1(

d) )1(

)1(2

2

+−=

xc

xcxy

10. Si k y b son constantes positivas, la solución general de bxyky sin'' 2 =+ cuando bk ≠ es

a) 2221

sincossin

bk

bxkxckxcy

+++=

b) 2221

sincossin

bk

kxbxcbxcy

−++=

c) 2221

sincossin

bk

bxkxckxcy

−++=

d) Ninguna de las anteriores 11. La solución general de xeyyy 2410'7'' =+− es a) xxx eececy 65

2

2

1 ++= b) xxx eececy 65

2

2

1 −+= − c) xxx eececy 65

2

2

1 −+= −− d) xxx eececy 65

2

2

1 ++= −



12. Un factor integrante para la ecuación 0ln)( =++ xdyxdxyx así como su solución general se encuentra en el inciso

a) factor: x

1 solución: cxyx =− ln

b) factor: y

1 solución: cyxy =+ ln

c) factor: y

1 solución: cxyx =+ ln

d) factor: x

1 solución: cxyx =+ ln

13. El isótopo radiactivo plutonio 241 decae de forma que satisface la ecuación diferencial

Qdt

dQ0525.0−=

en donde Q se mide en miligramos y t en años. La vida media del plutonio 241 es a) 13 años b) 13.20 años c) 1.32 años d) 132 años 14. Una masa que pesa 2lb alarga 6 in un resorte. Si se tira hacia abajo la masa otras 3 in y luego se suelta, y si no hay resistencia del aire, la posición de la masa en cualquier instante t es:

a) ttx 8cos4

1)( =

b) ttx 8sin4

1)( =

c) tttx 8cos8sin4

1)( −=

d) ( )tttx 8cos8sin4

1)( +=



15. La curva cuya pendiente de la tangente en cada punto es proporcional a la abscisa del punto de tangencia es: a) caxy += 3 b) caxy +=

c) cx

ay +=

d) caxy += 2 16. Las trayectorias ortogonales a la familia de curvas cxy =− 22 está representada por la familia a) cxy = b) cxy =2 c) cxy =−1 d) cyx =−1 17. Un cultivo de bacterias se inicia con 500 y crece con una rapidez proporcional a su tamaño. Después de 3 horas hay 8 000 bacterias. El instante para el cual habrá 30 000 ejemplares es a) 4 h b) 4.1 h c) 4.3 h d) 4.4 h



18. ¿A qué tasa de interés, compuesto de manera continua, se duplicará un depósito bancario en 8 años? a) )%2ln12( b) )%2ln5(

c) %2ln2

25

d) %2ln25

2

19. Un termómetro se lleva de una habitación en la que la temperatura está a

F70 a un congelador en el que la temperatura es de F12 . Después de 30 segundos el termómetro registra F40 . ¿Qué temperatura registrará después de 2 minutos? a) F15 b) F1.15 c) F15.15 d) F2.15 20. La corriente para un circuito RLC dado que 0)( =tE para 0>t y los valores

AICFCHLR 2 ,0Q ,01.0,1.0 ,3 00 ====Ω= está dada por la expresión:

a) 15 62cos5 31 sin5 31

31

tI e t t− = +

b) 15 62sin5 31 cos5 31

31

tI e t t− = +

c) 15 62cos5 31 sin5 31

31

tI e t t− = −

d) 15 62sin5 31 cos5 31

31

tI e t t− = −



21. Seleccione la ecuación diferencial que corresponde a la solución:

+=3

sin3

cos2 xB

xAey x

a) 037'36''9 =++ yyy b) 037'36''9 =+− yyy c) 03'4'' =+− yyy d) 037'4'' =++ yyy

22. Las raíces de una ecuación auxiliar son 41 =m , 532 −== mm . ¿Cuál es la ecuación diferencial correspondiente? a) 0100'15''6''' =+−− yyyy b) 0100'15''6''' =−−− yyyy c) 0100'15''6''' =+−+ yyyy d) 0100'15''6''' =−−+ yyyy 23. Los valores de λ para los cuales λAxy = (A es una constante distinta de

cero) es una solución de la ecuación diferencial 06'2''2 =−+ yxyyx son: a) -3, -2 b) -2, 3 c) -3, 2 d) 2, 3



24. Determinar una función ),( yx/ tal que la siguiente ecuación diferencial sea exacta

0),(2

2/12/1 =+

++− dyyx/dx

yx

xxy

a) ( ) 122/12/1

2

1),(

−− ++= yxxyyx/

b) ( ) 122/12/1

2

1),(

−− ++= yxxyyx/

c) ( ) 122/12/1

2

1),(

−− −−= yxxyyx/

d) ( ) 122/12/1

2

1),(

−− −+= yxxyyx/

25. En un cultivo de levadura, la cantidad de fermento activo crece a una velocidad proporcional a la cantidad presente. Si se duplica la cantidad en una hora, ¿cuántas veces puede esperarse que se tenga la cantidad original al

cabo de 4

32 horas?

a) 5.5 b) 5.727 c) 6.727 d) 7.5



26. De las siguientes gráficas: a) b)

c) d)

¿cuál corresponde a la solución de la ecuación diferencial )(xfkydx

dy =+

cuando k es una constante positiva y xAxf sin)( = ?

27. La solución de 02 2

2

2

=++ xdt

dx

dt

xd ωλ para λω > es

a) tectecy 22

2

22

1 cossin λωλω λλ −+−=

b) tectecy 22

2

22

1 cossin ωλωλ λλ −+−= −−

c) tectecy 22

2

22

1 cossin λωλω λλ −+−= −−

d) tectecy 22

2

22

1 cossin ωλωλ λλ −+−=



28. La solución particular de 62'3'' =++ yyy es a) xxy p 6)( =

b) xxy p 3)( =

c) 6)( =xy p

d) 3)( =xy p

29. La solución de yxedx

dy 23 +=

es

a) Cee xy +=− − 32

3

1

2

1

b) Cee xy +−=− 32

3

1

2

1

c) Cee xy += −32

3

1

2

1

d) Cee xy +=− 32

3

1

2

1

30. La solución del problema de valor inicial

0)0(, iiERidt

diL ==+ ,

Donde L, R y E son constantes es:

a) ( )/

0( )R L tE E

i t i eR R

− = − +

b) ( )R

Ee

R

Eiti tLR +

−= /

0)(

c) ( )R

Ee

R

Eiti tLR −

+= /

0)(

d) ( )R

Ee

R

Eiti tLR −

+= − /

0)(



31. La solución particular de

Axdt

dx

dt

xd =++ 2

2

2

2 ωλ

Donde A es una constante es

a) 2

( )p

Ay t

ω=

b) ( )2

p

Ay t

λ=

c) 2

( )py tA

λ=

d) 2

( )py tA

ω=

32. Si una ecuación diferencial homogénea de coeficientes constantes tiene las raíces solución: -2 de multiplicidad 3 y 2±3i de multiplicidad 2. ¿Cuántas constantes tiene su solución general?

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 33. Hugo, Paco y Luis están tomando café, cuando uno de sus estudiantes les

pregunta como resolver la ecuación diferencial 1

1

dy y

dt t

+=+

. Después de mucha

discusión, Paco dice ( )y t t= , Hugo contesta ( ) 2 1y t t= + y Luis contradice 2( ) 2y t t= − . ¿Quién de todos tiene la razón?

a) Luis b) Hugo y Paco c) Hugo d) Luis y Hugo



34. La gráfica muestra la solución particular de una ecuación diferencial, ¿A qué ecuación corresponde?

a) '' 0y y+ =

b) '' 2 ' 0y y+ =

c) '' 3 ' 4 0y y y− − =

d) '' 2 ' 2 0y y y+ + =

35. Una ecuación diferencial tiene por solución particular 4 xy e= . Si una raíz de la ecuación auxiliar es 1 2r i= − , la ecuación diferencial está dada por: a) ''' 3 '' 2 ' 0y y y− + = b) ''' 3 '' 7 ' 5 0y y y y− + − = c) ''' 2 '' 0y y y− + = d) Faltan datos para determinarlo



36. Es la solución de la ecuación no homogénea: 284'' xyy ====++++

a) xBxAy 2sin2cos ++++==== b) 122sin2cos

2 −−−−++++++++==== xxBxAy c) 122sin2cos

2 ++++−−−−++++==== xxBxAy d) 122sin2cos

2 −−−−−−−−++++==== xxBxAy 37. Dos funciones f y g de manera que la ecuación diferencial

0)(sin)(2 ====++++ dyxfyxdxyg sea exacta son:

a) 3

)(,cos)( yygxxf ====−−−−====

b) 3

)(,sin)(

3y

ygxxf ====−−−−====

c) 3

)(,cos)(

3y

ygxxf ====−−−−====

d) 3

)(,sin)( yygxxf ====−−−−==== 38. De las siguientes ecuaciones diferenciales indique cuál de ellas tiene solución a xxx exxececy 2/7

21 4++++++++==== a) 2/3

35'2'' xeyyy x====++++−−−− b) 2/1

35'2''−−−−====++++−−−− xeyyy x

c) 2/3

35'2''−−−−====++++−−−− xeyyy x

d) 2/1

35'2'' xeyyy x====++++−−−−



39. Resuelva la siguiente ecuación de segundo orden 0'3''2 ====++++−−−− yyy a) (((( ))))xx ececy 2/1

21 ++++==== b) xx ececy 2

2

1 ++++==== c)

2

2

3

1

xx ececy ++++====

d) (((( ))))xx ececy 3/1

21

2

++++====

40. Solución general de ( )954 += xdx

dy

a) ( )1054 += xy

b) 10

4

54

+= xy

c) ( )1014 5

40y x C= + +

d) ( )1014 5

4y x C= + +

41. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones no es separable?

a) yxdx

dysinsin====

b) y

x

dx

dy

sin

sin====

c) ydx

dysin====

d) yxdx

dysinsin ++++====



42. La solución de la ecuación x

yx

dx

dy ++++====2

se encuentra en el inciso:

a) (((( ))))xCxy ++++==== ln b) (((( )))) 2

ln2 xCxy ++++==== c) (((( )))) 2

ln xCxy ++++==== d) (((( ))))xCxy ++++==== ln2

43. La solución general de xey

dx

dy 52 ====−−−− es

a) xxeCey52

3

1++++==== −−−−

b) xxeCey52

3

1++++====

c) xxeCey

52

3

1 −−−−++++====

d) Ninguna

44. Solución de yxxe

dx

dy ++++−−−−−−−−====

a) (((( )))) Cxe yx ++++++++====−−−− 1 b) (((( )))) Cxee yx ++++++++==== 1 c) Ninguna d) (((( )))) Cxe yx ++++++++−−−−====−−−− 1



45. Un fabricante de dulce hace 500 libras de dulce por semana, mientras que

su familia come el dulce a una razón igual a (((( ))))10

tQ libras por semana, donde

(((( ))))tQ es la cantidad de dulce presente en el tiempo t. ¿Cuál es la ecuación diferencial que cumple (((( ))))tQ ?

a) (((( ))))

50010

====−−−−tQ

dt

dQ

b) (((( ))))

50010

−−−−====++++tQ

dt

dQ

c) (((( ))))

50010

====++++tQ

dt

dQ

d) (((( ))))

50010

−−−−====−−−−tQ

dt

dQ

46. El valor de k para el cual la ecuación diferencial ( )( ) ( )' ln ln lny x y kxy= + es

de variables separables es: a) e b) 1 c) 0 d) 2 47. Suponga que dos estudiantes (E1 y E2) memorizan una lista de palabras

de acuerdo con el modelo )1(2 Ldt

dL −= , en donde, si L(t) es la fracción de la

lista aprendida en el tiempo t, L=0 corresponde a no saber nada del listado y L = 1 corresponde a saberlo por completo Si E1 aprende la mitad de la lista en el tiempo t = 0 y E2 no memoriza nada de ella, ¿qué estudiante está aprendiendo más rápidamente en este instante? a) E1 b) E2 c) Están aprendiendo igual de rápido d) Ninguna de las anteriores



48. Se cree que para muchas clases de bacterias la velocidad de crecimiento es proporcional a la población de bacterias en un tiempo t. ¿Cuál es el periodo que se requiere para que una población inicial 0P triplique su tamaño, sabiendo que la constante de crecimiento de un tipo de bacteria es de 0.4? a) 2.75 ht ≈ b) 1.28 ht ≈ c) 10.2 ht ≈ d) 3.22 ht ≈ 49. Cuando nació el primer hijo que tiene la familia Martínez, depositó en una cuenta de ahorros $10,000.00 bajo interés compuesto continuo al 6%. Determine a cuanto ascenderá la cuenta cuando el primogénito de la familia mencionada cumpla la mayoría de edad. a) $ 29,446.8 b) $ 30,345.9 c) $ 15,549.8 d) $ 25,456.7 50. Un cultivo de bacterias se inicia con 500 y crece con una rapidez proporcional a su tamaño. Después de tres horas hay 8000 bacterias. Determine el instante para el cual habrá 30000 ejemplares.

51. Es solución de la ecuación tutudt

du +++= 22

a) 122

2

−=+t

t

Aeu

b) 2tAeu =

c) 122 += −ttAeu

d) Ninguna



52. Indicar cuál de las funciones dadas es solución es solución de la ecuación diferencial ' 1y y+ =

a) 2xcey =

b) 1xy ce−= + c) 4 1xy ce−= + d) 2y cx= 53. Resuelva 2 3'' 6 ' 9 , (0) 2, '(0) 6yy y y t e y y− + = = =

a) tt etety 343

12

12)( += −

b) tt etety 343

12

12)( +=

c) tt etety 343

12

12)( −− +=

d) tt etety 343

12

12)( −+=

54. La razón con que se disemina una medicina en el torrente sanguíneo se describe con la ecuación diferencial:

kxrdt

dx −=

r y k son constantes positivas. La función ( )x t describe la concentración del fármaco en la sangre en el momento t, determine el valor límite de ( )x t cuando t tiende a infinito. a) r

b) 1

k

c) r

k

d) k

r



55. La solución de la ecuación diferencial de orden superior con coeficientes constantes y homogénea 0'22 ''' =−−+ yyyy IV a) xxxx eCeCeCeCy 4321 +++= −−−

b) xxxx exCexCeCeCy 2

4

2

321 +++= −−

c) xxxx eCexCexCeCy 4

2

321 +++= −−−

d) ( ) xx eCexCxCCy −+++= 4

2

321

56. Si 5,3 21 −== mm y 13 =m son raíces de multiplicidad uno, dos y tres respectivamente de una ecuación característica, la solución general de la ecuación diferencial con coeficientes constantes correspondiente es: a) xxxxxx excxecececxececy 2

654

5

3

3

2

3

1 +++++= − b) xxxxxx xececexcxecececy 65

52

4

5

3

5

2

3

1 +++++= −−− c) xxxxxx ecxececexcxececy 6

5

5

5

4

32

3

3

2

3

1 +++++= −− d) xxxxxx ecexcxececxececy 3

6

2

543

5

2

5

1 +++++= −− 57. Si xx 2cos,2sin es un conjunto fundamental de soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden, entonces, ¿cuál de las siguientes funciones no es solución para dicha ecuación? a) xy 2sin4= b) xxy 2cos52sin3 −= c) xxy cossin6= d) xxy cos2sin2 +=



58. La solución de la ecuación diferencial ( )( )XXkdt

dX −−= βα que describe

las reacciones de segundo orden cuando βα < es

a) ( )

( )kt

kt

e

eX βα

βα

αβαβαβ

−

−

+−=

b) ( )

( )kt

kt

e

eX βα

βα

αβαβαβ

−

−

++=

c) ( )

( )kt

kt

e

eX βα

βα

αβαβαβ

−

−

−−=

d) ( )

( )kt

kt

e

eX βα

βα

αβαβαβ

+

+

−−=

59. En un cultivo el número de bacterias se duplica en 2 horas. ¿Cuánto demorará en triplicarse? a) 2.75 h b) 3.17 h c) 3.75 h d) 4.00 h 60. Señale la ecuación de la curva que pasa por (1,1), tal que la pendiente de su recta tangente en cualquier punto sea el doble de su ordenada. a) 12 −= xey b) 12 −= xy c) ( )12 −= xy d) )1(2 −= xey



Soluciones cálculo diferencial una variable

1. Para determinar x

x

x 4

3sinlim

0→, se ocupa el hecho de que 1

sinlim

0=

→ u

u

u, mediante

las siguientes transformaciones:

( )4

31

4

3

3

3sinlim

4

3

3

3sinlim

3

4

1

3

43

3sinlim

4

3sinlim

0000====

=

→→→→ x

x

x

x

x

x

x

x

xxxx.

La respuesta es a).

2. Para encontrar h

h

h

8)2(lim

3

0

−+→

, reconozcamos que tal límite es la derivada de

una función en un punto. Tal función es 3)( xxf = y el punto es 2. Por tanto, tal

límite es el valor de )2('f . Como 23)(' xxf = entonces 12)2(3)2(' 2 ==f . La respuesta es a). 3. Si x denota la longitud de los lados de la base cuadrada y y la longitud de la altura de las otras caras de la caja, el área A de la caja sin tapa está dada por:

xyxA 42 += . Por lo datos del problema, 120042 =+ xyx .

Despejando y, de esta relación se tiene que 4

300

4

1200 2 x

xx

xy −=−= .

Por otro lado, el volumen V de esta caja es 4

3004

3003

22 xx

x

xxyxV −=

−== .

El valor máximo de V se encuentra resolviendo 0'=V . Como

4

31200

4

3300)('

22 xxxV

−=−= , entonces 0)(' =xV cuando 031200 2 =− x , o bien

cuando 4002 =x y 20=x . Puesto que xxV2

3)('' −= , entonces 0)20('' <V y por

tanto en 20=x se alcanza el máximo.

En consecuencia 105154

20

20

300 =−=−=y . Por lo tanto el volumen máximo es

( ) ( ) 32

max cm 4000cm 10cm 20 ==V . La respuesta correcta es d), 4. La ecuación de la recta tangente está dada por ))((')( 000 xxxfxfy −=− .

Para este caso 20 −=x , 4)( 0 =xf y ( ) 422)(' 0 −=−=xf , por lo que la ecuación

es ( )244 +−=− xy de donde se obtiene la expresión 044 =++ yx . La respuesta es a). 5.

i) 12

11

4

9

3

4

4

9

6

8 −=−=− . Es un número racional.



ii) ( ) ( ) 111 =−÷− . Es un número natural, entero y racional.

iii) 6

1

3

1

2

1

3

1

2

1

3

1

2

1

3

1

2

122

=−=

−

=

−

+ . Es un número racional.

iv) 2

1−π es un número irracional. Para demostrarlo, supongamos que 2

1−π es

racional, entonces 2

1

2

1 +

−= ππ sería racional, contrario al hecho de que π

es irracional. 6. Primero ordenamos los números positivos. Resulta claro que 98 < y que

909 < , pues ( ) 909098122 =<= . Por tanto tenemos que 90980 <<< . De

la desigualdad anterior se tiene que 8990 −<−<− . Ahora bien, como 8

81

8

80 <

entonces 108

81 −<− y además 1090 < implica que 9010 −<− entonces

901010

81 −<−<− . Por consiguiente el orden pedido es

9098899010

81 <<<−<−<−<− .

7. El área A de un triángulo equilátero de lado x, está dada por 2

4

3xA = .

Derivando esta relación con respecto al tiempo, se tiene que dt

dxx

dt

dA

2

3= . De

aquí se obtiene que

3

2

x

dt

dA

dt

dx = . Por los datos del problema 5=x y 4=dt

dA, por lo que entonces

( )( )in/min

35

8

35

42 ==dt

dx. La respuesta es b).

8. Por las propiedades del valor absoluto se tiene que 2 4 2 2x x− = − , por lo

que si 1 1x − < entonces 2 4 2x − < . Por tanto los valores de A son tales que

2A > ; por otro lado si 2 4 3x − < entonces 3

22

x − < , por lo que los valores de

A son los que cumplen 3

02

A< <

9. Lo que se quiere resolver es 0652 ≥+− xx . Como ( )( )23652 −−=+− xxxx , entonces esta última expresión es no negativa cuando ambos factores son no negativos o bien cuando son no positivos.



En la primera opción la solución es el intervalo [ )+∞,3 . En el segundo caso la solución es el intervalo ( ]2,∞− . Por tanto la solución es la unión de ambos, esto es, la respuesta es b).

10. Derivando con respecto al tiempo se tiene que:dt

dvmv

dt

dK = . Recordando

que la derivada de la velocidad es la aceleración entonces

cm/s-dina 1500)5)(30)(10( ==dt

dK.

11. Se tiene que:

13

3

412

2

311

1

2

!3)1(

6)(''' ,

!2)1(

2)('' ,

1)1(

1)(' +++ −=−=−==−=−=

xxxf

xxxf

xxxf . Esto

sugiere que ( ) ( )1

)( !1 +−=

n

nn

x

nxf . La respuesta es b).

12. Sean u y v números tales que 482 =+ vu . En consecuencia 248 vu −= . Por otro lado, el producto P, de los números es ( ) 32 4848 vvvvuvP −=−== . El valor

máximo buscado se encuentra resolviendo 0'=P , es decir cuando 0348 2 =− v o 162 =v . Esta última relación da 4±=v . Pero como vv 6'' −= entonces en

4=v , se alcanza el máximo. El otro número buscado es entonces ( ) 32448

2 =−=u . La respuesta es b).

13. Puesto que xx

x 14

14 −=−, entonces 4

14lim

14lim =

−=−∞→∞→ xx

x

xx y como

43

4lim34

lim22

2

=

+=

+∞→∞→ xx

xx

xx se tiene que 4)(lim =

∞→xf

x.

14. Las desigualdades implican que zyx == . La respuesta es a). 15. La asíntota horizontal se obtiene calculando el límite cuando la x tiende a infinito. Es decir:

11

1

11

11

lim1

1

lim1

1lim

2

2

2

2

2

2

2

2

−=−=

+

−=

+

−

=

+−

∞→∞→∞→

x

x

x

x

x

x

x

x

xxx. La ecuación de la asíntota

horizontal es en consecuencia 1−=y . La respuesta es b).



16. El dominio de x

xxxf

31)(

2 −+= se obtiene haciendo que la expresión x

sea diferente de cero, lo que se hace siempre que 0>x . Por tanto el dominio es ( )+∞,0 . La respuesta es c). 17.

( )2

1

1

11

2

1

cos

1sinlim

2

1

cos

1sinlim

2

1cos

sin

2

1lim

2

tanlim

2

2

2

022

2

02

2

2

02

2

0

=

=

=

==

→→→→ xx

x

xx

x

x

x

x

x

x

xxxx

La respuesta es a). 18. Por la regla de la cadena

12)3)(4()1(')2(')1('))1((')1(' −=−=−=−−=− gfggfh . 19. La ecuación dada es equivalente a 222 XRZ += , de modo que

dt

dXX

dt

dRR

dt

dZZ 222 += , o bien

22 XR

dt

dXX

dt

dRR

Z

dt

dXX

dt

dRR

dt

dZ

+

+=

+= . Así

( )( ) ( )( )5

5

1

5

1

510

10

500

10

1020

220310

22−=−=−=−=

+−+=

dt

dZ. La respuesta es d).

20. Derivando con respecto al tiempo:

dt

dab

dt

dA θθcos2

1= .

La respuesta es c).

21. Como 12

5)(lim

4=

−−

→ x

xf

x, entonces ( ) ( )2lim5)(lim

44−=−

→→xxf

xx. De aquí se

obtiene ( ) 7245)(lim4

=−+=→

xfx

. La respuesta es c).

22. ( )( )( ) ( )( )

25

7

5

1325

)0(

)0()0(')0(')0(22

0

=−−−=−=

= u

vuvu

u

v

dx

d

x

. La respuesta es a).

23. Derivando la ecuación dada con respecto a t, obtenemos

dt

dR

Rdt

dR

Rdt

dR

R

2

2

2

1

2

1

2

111 −−=− , lo que es equivalente a

dt

dR

Rdt

dR

Rdt

dR

R

2

2

2

1

2

1

2

111 += . Despejando dt

dR de esta relación:

+

+=

+=

dt

dR

Rdt

dR

RRRdt

dR

Rdt

dR

RR

dt

dR 2

2

2

1

2

1

2

21

2

2

2

1

2

1

2 111111.



Por consiguiente:

( ) ( ) 02.05.050

11

75

1

50

1

75

1

1222

=

+−

+=

dt

dR ohm/s. La respuesta es a).

24. El área A del triángulo está dada por θsin2

1abA = , donde πθ <<0 . En

esta región 1sin ≤θ , por lo tanto el máximo se da cuando 1sin =θ o bien

2

πθ = . La respuesta es c).

25. En este caso se tiene la forma 0

0, por lo por la regla de L’Hopital:

01

sinlim

3

1coslim

33=−=

−+

→→

x

x

x

xx ππ π. La respuesta es a).

26. La respuesta correcta es d), pues se muestra correctamente la aplicación de la regla de L’Hopital:

( ) 0lim/1

/1lim

/1

lnlimlnlim

02

000=−=

−==

++++ →→→→x

x

x

x

xxx

xxxx.

27. Se tiene que 5)(6)('3)(' 2 −+= xxhxhxxf . Por tanto 5)0(' −=f . 28. Como ( ) ( )( )1212212241212)('' 22 −+=−+=−+= tttttttf , entonces

0)('' <tf , cuando ( )( ) 012 <−+ tt . De aquí, si 2−>t y 1<t , harán que el producto sea negativo. Por lo tanto la solución es el intervalo ( )1,2− . La respuesta es a). 29. La pendiente de la recta tangente en el punto ( )( )00 , ufu se determina

mediante )(' 0uf .

Por consiguiente 0

2

00 23)(' uuuf −= . La pendiente de la recta dada es 5

1− y

para que ambas rectas sean perpendiculares, el producto de sus pendientes es -1. Por tanto:

523 0

2

0 =− uu , cuyas soluciones son 3

5 y 1− . En consecuencia los puntos

buscados son

27

50,

3

5 y ( )2,1 −− .

30. Derivando la ecuación de la parábola con respecto a t:



dt

dx

dt

dyy 42 = ,

o bien

2

dt

dyy

dt

dx = .

Sustituyendo valores en la expresión anterior, se tiene: ( )( )

92

36 ==dt

dx.

La respuesta es d). 31. Por la regla de la cadena:

( ) ( )1

21

1

11'

2

2

2

2

+=+

+=+

u

uu

du

d

uuL .

La respuesta es b). 32. (i) Como k y l son números positivos, entonces lkl +<<0 . De esta

relación se obtiene llk

110 <

+< , por lo que

llk

11

110 +<

++< y así

lkl ++

<+

<1

1

1

11

10 .

(ii) Como 11

1

1

+=

+ l

l

l

y 11

1

1

+++=

++ lk

lk

lk

, la desigualdad en (i) implica que

)()( lflkf >+ .

33. (i) El tiempo de impacto satisface 016100 2 =− t , de donde 16

1002 =t y así

s 2

5* =t .

(ii) La velocidad al tiempo t, está dado por tdt

dy32−= , por lo que la velocidad

de impacto es entonces m/s 802

532* =

−=v .

(iii) El momentum de impacto está dado por ( )( )

5032

8020 ==p .

34. (i) Se escribe f como:

2

24567

2

246789 215149

25149)(

xxxxxx

x

xxxxxxxf +++++−=+++++−= , por

lo que 3

3456 410470663)('

xxxxxxxf −+++−= .



(ii)

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )

−

+−−

+

=−

−+−+−

=−

−−+−++−

=−

−+−+−=

152

2

142

122

282

132132122142

282

21321322122142

2142

142132132142

1

114

1

1312

1

11281126

1

1114111131

1

1111)('

t

t

ttt

t

tttttt

t

tDtttDtt

t

tDttDttf

tt

tt

35. Para el inciso (i) el 3

21

1 3lim

1 2x

x

x→

− =−

(se puede usar L’Hopital), mientras que el

3

21

1lim

1x

x

x→−

−−

no existe (aquí se puede usar el método algebraico), de tal modo que

la función sólo se define en 1. Para el inciso (iii) se realizan lo siguiente:

3 2 2

2

1 ( 1)( 1) 1 ( 1) 1 1 1( 1) 1

1 ( 1)( 1) 1 1 1 1

a a a a a a a aa a

a a a a a a a

− − + + + + + += = = = + = + + −− − + + + + +

.

Ahora bien, de la desigualdad 1

2xx

+ ≤ − , (ver figura de abajo) válida para los

números negativos, se tiene que 1

( 1) 21

aa

+ + ≤ −+

para 1 0a + < o bien 1a < − .

-2 -1 1 2

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5



De 1

( 1) 21

aa

+ + ≤ −+

se obtiene que 3

2

1 1( 1) 1 2 1

1 1

aa

a a

− = + + − ≤ − −− +

o bien

3

2

13

1

a

a

− ≤ −−

, si 1a < − . Por tanto la gráfica de la función dada, es una traslación a

la izquierda una unidad de la gráfica presentada arriba y posteriormente una traslación hacia abajo una unidad, quedando así:

-3 -2 -1 1 2 3

-10

-5

5

De lo cual se desprende fácilmente (ii) y (iv).

36. La demostración se basa en el hecho de que si 0x > entonces 1

2xx

+ ≥ .

Como esta desigualdad se repite cuatro veces (para diferentes números positivos) se tiene la desigualdad dada. 37. Para la figura A) la función del área total depende de la variable x , y se obtiene tiene restando el área del cuadrado, 225x , menos el área del triángulo

interno, ( )( ) 23 2

32

x xx= , por lo tanto la función del área total queda ( ) 222A x x= .

De aquí, la primera y segunda derivadas, respectivamente, son: ( )( )

44

44

A x x

A x

′ =′′ =

Para la figura B) la función del área total depende de la variable r , y se obtiene tiene restando el área del círculo mayor, 2rπ , menos el área del círculo menor,

2 2

2 4

r rπ π =

, por lo tanto la función del área total queda ( ) 23

4A r rπ= . De aquí,

la primera y segunda derivadas, respectivamente, son: ( )

( )

3

2

3

2

A r r

A r

π

π

′ =

′′ =



Para la figura C) la función del área total depende de la variable x , y se obtiene tiene restando el área del cuadrado que se forma con los lados exteriores mayores, ( ) ( ) 24 5 20x x x= , menos el área del cuadrado no sombreado que se

forma en la esquina superior derecha, ( )( ) 22 2 4x x x= , y menos el área del

rectángulo que se forma en el centro de la figura sombreada, ( ) 23 3x x x= , por lo

tanto la función del área total queda ( ) 2 2 2 220 4 3 13A x x x x x= − − = . De aquí, la

primera y segunda derivadas, respectivamente, son: ( )( )

26

26

A x x

A x

′ =′′ =

Para la figura D) la función del área total depende de la variable y , y se obtiene

tiene restando el área del rectángulo, ( )( ) 210 6 60y y y= , menos el área del

cuarto de círculo, ( )2 25 25

4 4

yy

ππ= , por lo tanto la función del área total queda

( ) ( )2 2 225 560 48 5

4 4A y y y yπ π= − = − . De aquí, la primera y segunda derivadas,

respectivamente, son: ( ) ( )

( ) ( )

548 5

2

548 5

2

A y y

A y

π

π

′ = −

′′ = −

38. Para la figura A) la función del perímetro total depende de la variable x , y se obtiene tiene sumando el perímetro del cuadrado, ( )4 5 20x x= , mas el

perímetro del triángulo interno, ( )3 2 13 5 13x x x x+ + = + , por lo tanto la

función del perímetro total queda ( ) ( )25 13P x x= + . De aquí, la primera y

segunda derivadas, respectivamente, son: ( )( )

25 13

0

P x

P x

′ = +′′ =

Para la figura B) la función del perímetro total depende de la variable r , y se obtiene tiene sumando el perímetro del círculo mayor, 2 rπ , mas el perímetro

del círculo menor, 22

rrπ π =

, por lo tanto la función del perímetro total queda

( ) 3P r rπ= . De aquí, la primera y segunda derivadas, respectivamente, son:

( )( )

3

0

P r

P r

π′ =′′ =

Para la figura C) la función del perímetro total depende de la variable x , y se obtiene tiene sumando los lados de todo el contorno de la figura, por lo tanto la función del perímetro total queda



( ) 2 3 4 5 2 3 2 24P x x x x x x x x x x x x= + + + + + + + + + = . De aquí, la primera y

segunda derivadas, respectivamente, son: ( )( )

24

0

P x

P x

′ =′′ =

Para la figura D) la función del perímetro total depende de la variable y , y se obtiene tiene sumando el perímetro del rectángulo,

( ) 5 5 6 10 6 32P y y y y y y y= + + + + = , mas el perímetro del cuarto de círculo,

( )2 5 5

4 2

yy

ππ= , por lo tanto la función del perímetro total queda

( ) 5 532 32

2 2P y y y yπ π = + = +

. De aquí, la primera y segunda derivadas,

respectivamente, son: ( )( )

532

2

0

P y

P y

π′ = +

′′ =

39. (a) máximo local; (b) mínimo local; (c) ninguno; (d) máximo local; (e) máximo local; (f) ninguno; (g) ninguno; (h) mínimo local. 40. Los puntos de inflexión se encuentran cuando 0)('' =xf y cuando hay cambio de signo en los valores de la segunda derivada antes y después de los puntos que cumplen la primera condición. Las funciones constantes (potencia cero) y las funciones identidad (potencia 1) no pueden tener puntos de inflexión. Por consiguiente analizamos cuando

2≥n . Como 2)1()('' −−= nxnnxf entonces 0)('' =xf solamente cuando 0=x Se nota que cuando n es par, ''f no sufre cambios de signo al pasar x de negativo a positivo, mientras que cuando n es impar, si hay cambios de signo. Por tanto para n impar, nxxf =)( tiene un único punto de inflexión en 0=x . 41. No necesariamente, como ejemplo consideremos la siguiente gráfica.



42. Se quiere obtener el mínimo local de ( )2

1

)( ∑=

−=n

i

iaxxf . Para obtenerlo, se

obtienen primero los puntos críticos, los que se encuentran resolviendo 0)(' =xf . Esto lleva a la ecuación:

( )∑=

=−n

i

iax1

02 .

Esta ecuación es equivalente a ( )∑=

=−n

i

iax1

0 , lo que equivale a decir que

∑∑==

=n

i

i

n

i

ax11

, o bien ∑=

=n

i

ianx1

, de donde el único punto crítico es n

a

x

n

i

i∑== 1 . Por

otro lado 2)('' =xf , por lo que en el promedio de los números dados se alcanza el valor mínimo de f.

43. Un ejemplo podría ser la función x

xxf1

)( += . Observe la gráfica que

aparece abajo.

44. Es cierto, pues si )(' rf existe, entonces f es continua en r, pues

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )lim ( ) ( ) lim lim lim

0 '( ) 0

x r x r x r x r

f x f r f x f rf x f r x r x r

x r x r

f r

→ → → →

− − − = ⋅ − = − = − −

⋅ =

Lo que demuestra que lim ( ) ( )x r

f x f r→

= .



45. Se tiene que

( )( ) 32

1

3

1lim

33

3lim

3

3lim

3323=

+=

−+−=

−−

→→→ uuu

u

u

u

uuu. La respuesta es c).

46. El dominio de f se encuentra resolviendo 073 >+x , lo cual ocurre cuando

3

7−>x . El dominio es el intervalo

∞− ,3

7, lo que dice que la respuesta es b).

47. El volumen del cubo, V , cambia con respecto al tiempo a una razón de

3

2min

dV m

dt= − (ya que decrece); mientras que el mismo volumen, ( ) 3V x x= ,

cambia respecto a una arista como 2 23 mdV

xdx

= , por lo tanto la variación de

una arista respecto del tiempo es 2

2

3 min

dx m

dt x= − , pero como 3x = se tiene un

valor de 2

27 min

dx m

dt= − , que es el inciso a)

48. El volumen V de un cilindro circular recto de radio r y altura h está dado por

hrV 2π= , por lo que al derivar esta última relación con respecto a t, se tiene

que

+=dt

drrh

dt

dhr

dt

dV22π y así ( ) ( )( )( )( ) ππ 20381025102 −=+−=

dt

dV. La

respuesta es a). 49. De acuerdo a la definición de derivada:

( ) ( )

=−

=−→→→ hh

hh

h

fhf

hhh

1sinlim

01

sin

lim0

lim000

.

Este último límite no existe, por lo que f no es diferenciable en 0=x . Sin embargo:

( ) ( )0

1sinlim

01

sin

lim0

lim0

2

00=

=−

=−→→→ hh

h

hh

h

ghg

hhh, pues para 0≠h ,

11

sin1 ≤

≤−h

, por lo que si 0>h , hh

hh ≤

≤− 1sin y como los límites de

ambos extremos son cero cuando h tiende a cero por la derecha,

01

sinlim0

=

+→ hh

h. Análogamente se demuestra 0

1sinlim

0=

−→ hh

h.

Lo anterior afirma que g es diferenciable en 0=x .



Para la última ( ) ( )

0lim0

lim0

lim 2

0

3

00==−=−

+++ →→→h

h

h

h

ghg

hhh y

( ) ( ) ( ) 0lim0

lim0

lim 2

0

3

00=−=−−=−

++− →→→h

h

h

h

ghg

hhh, lo que asegura la existencia de

( ) ( )h

ghg

h

0lim

0

−→

, por lo que g también es derivable en 0=x . La respuesta es b).

50. Para resolver este ejercicio hay que tener en cuenta que cuando se tienen polinomios del mismo grado en un límite al infinito, su valor es el cociente de los coeficientes de las potencias más altas. En virtud de que ambos polinomios son de grado 10 y el término de este grado aparece 100 veces en el numerador y sólo una en el denominador, el límite al infinito vale 100. La respuesta es d). 51. De la gráfica sólo hay que observar el intervalo en los cuales la derivada es negativa, de lo que se deduce que está en el intervalo ( )3,1 junto con ( )+∞,5 . La respuesta es c). 52. La solución es d), pues la función deja de definirse en 2x = .

53. Si ( ) ( )25 3 4g x x+ < − para toda x, entonces ( ) ( )22435)(43 xxgx −<+<−− ,

por lo que ( ) ( ) 543)(54322 −−<<−−− xxgx . Puesto que los límites de los

extremos son cero, entonces el límite de g también es cero. La respuesta es c). 54. Notemos que ( )20 yx −≤ , lo que equivale a la desigualdad dada, por lo que

se obtiene que la igualdad se da cuando ( ) 02 =− yx o bien cuando yx = . La

respuesta es b).

55. Se reescribe f como xxf ln)( −= y así, x

xf1

)(' −= , 2

2

2

)1(1)(''

xxxf

−== ,

( )3

3

3

!212)('''

xxxf

−=−= , lo que sugiere que ( ) ( ) ( ) ( )n

n

n

x

nxf

!11 −−= . La respuesta

es a). 56. Para calcular este límite se procede como sigue:

16

1

4

1lim

4

1

4

4lim

4

1

4

4lim

4

1

4

11lim

4444−=

−=

−

−−=

−

−=

−

−→→→→ xxx

x

xx

x

xx xxxx.

La respuesta es b). 57. En este ejercicio, la respuesta es c), pues

( )( ) ( ) ( ) xxxfxgfxgf ==== 22)( .



58. Recordando nuevamente este límite como una derivada en un punto, se trata que la función es xaxf =)( y el punto es 0=x . Por tanto el valor buscado

es ( ) aaa lnln 0 = . La respuesta es a). 59. La función logaritmo natural se define para los números positivos, por tanto, el dominio es el conjunto de números que satisface 01522 >−+ xx . Como ( )( )351522 −+=−+ xxxx , entonces ambos factores deben tener el mismo signo. Para el primer caso en que ambos son positivos se tiene la condición 5−>x y 3>x de donde se obtiene la solución el intervalo ( )+∞,3 . En el segundo caso se tiene 5−<x y 3<x de donde se obtiene la solución al intervalo ( )5,−∞− . La solución buscada es la unión de ambos intervalos, o sea que la respuesta es c).

60. Si hacemos 1+= xu , entonces ( ) ( )2 2( 1) 1 3 1 2 5 6f u u u u u− = − − − + = − + . La

respuesta es c). 61. La expansión en serie de Mcluarin nos dará la respuesta a este ejercicio. Sólo hay que recordar que

( )

1

(0)( ) (0)

!

nn

n

ff x f x

n

∞

=

= +∑ ,

por lo que

3

2 3

sin ...3

12 3

x

xx x

x xe x

= − +

− = + +,

de lo que se desprende inmediatamente que sin 1xx x e< < − . La respuesta es b).



62. En el numerador se tienen n quintas potencias, por lo que al dividirse con el denominador el cociente será precisamente n, por lo tanto el límite requerido es ese valor. La respuesta es c). 63. Resolviendo las operaciones indicadas, la desigualdad es equivalente a la expresión x749 <− , de donde se obtiene que la solución es el intervalo ( )+∞− ,7 . La respuesta es a). 64. La función xxf =)( no es derivable en 0=x , por lo que la función dada, no

es derivable en el punto A(2,3). La respuesta es d). 65. La corriente es la derivada de la carga, por lo que la corriente en s 1=t .

Por consiguiente ( ) A 56436431

2

1

=+−=+−===

=t

t

ttdt

dQi . La respuesta es c).

66. El dominio de la función f, es tal que 1 0x − ≥ y 1 0x− ≥ . Ambas desigualdades implican 1 1x≤ ≤ . La respuesta es d). 67. Se tiene que ( ) ( )3 2( )f x x a b c x ab ac bc x abc= − + + + − − − . De esto se

desprende que ( )''( ) 6 2f x x a b c= − + + . El punto de inflexión se da cuando

''( ) 0f d = , de lo cual se desprende que 3

a b cd

+ += . La respuesta es d).



68. Se calcula f f . Puesto que

( ) ( )( )

( ) ( )

( )

1

1 111 1

11 1

1

1 1

x k k hxx kk

x k x k hkx khx hxf f x fh x k hxx khx hx hk hx

hhx hx

hx xx hkxx

hk hk

+ + −+ ++ + + − − −= = = = = + − −+− + − + − − −

++ = =+ +

Esto demuestra que f es su propia inversa para cualquier valor de h y k. La respuesta es c).

69. El volumen V del globo está dado por 34

3V rπ= , donde r es el radio del

mismo. Como el radio aumenta a una razón de 1.5cm/s entonces al tiempo t, el radio será 1.5r t= , por lo que el volumen será en consecuencia

( )3 341.5 4.5

3V t tπ π= = .

70. Se trata de una función senoidal con periodo 2

5.4

π. La amplitud es 0.35 y se

le agrega 4 que es el brillo promedio. Por lo tanto la función buscada es 2

4 0.35sin5.4

tπ +

. Su representación gráfica se encuentra a continuación



Soluciones cálculo integral una variable

1. El trabajo está dado por

( ) ( ) ftlb 3

503010

3

50001010

3

5

3

515 3

10

0

3

10

0

2 ⋅=+=+=

+=+= ∫ xxdxxW . La respuesta

es a). 2. El valor medio de una función f en un intervalo [ ]ba, está dado por:

∫−

b

a

dxxfab

)(1

.

De modo que el valor buscado es

( ) ( )12

1

2

1

2

1 2

2

0

2

0

−==∫ eedxe xx .

3. Las gráficas de las funciones dadas se encuentra en la figura mostrada abajo:

De esta vemos entonces que el área está dada por

( )6

7

3

1

2

12

3222

1

0

321

0

2 =−−=

−−=−−∫xx

xdxxx .

La respuesta es d). 4. Se realiza el proceso de completar el cuadrado perfecto como sigue:

( ) ( )222 19121882 +−=++−+=+−− xxxxx . Puesto que

∫ +=−

− Ca

x

xa

dx 1

22sin , entonces C

x

xx

dx ++=+−−

−∫ 3

1sin

82

1

2. La respuesta

es d).



5. El volumen del sólido está dado por

( ) ( ) ( ) πππππ 9927273

39693

3

0

32

3

0

2

3

0

2 =+−=

+−=+−=− ∫∫x

xxdxxxdxx . La

respuesta es d). 6. Se completa el cuadrado perfecto como sigue:

( )4

3

2

1

4

3

4

111

2

222 +

+=+

++=++=++ xxxxxxx , por lo que se hace la

sustitución 2

1+= xu y la integral dada se transforma en:

Cxx

xCu

uCu

udu

u

u

u

dudu

u

u

xx

xdx

++++

+−=+++−=++

+

−=+

++

−=+−=

++

−−

−∫ ∫ ∫∫

1ln2

1

3

12tan

3

1

4

3ln

2

1

3

2tan

3

1

4

3ln

2

1

2

3tan

2

3

1

2

1

4/34/32

1

4/3

2/1

1

2

1212

1

2222

La respuesta es a). 7. Por el Teorema Fundamental del cálculo

101)0()1()()('1

0

1

0=−=−==∫ ffxfdxxf . La respuesta es a).

8. Se escribe ( )22222 bxaxba +=+ , se hace la sustitución bxu = , por lo que la integral se reduce a:

( )C

a

bx

abC

a

u

abua

du

bbxa

dx

xba

dx +=+

=+

=+

=+

−−∫ ∫∫

11

2222222tan

1tan

111. La

respuesta es d). 9. El área se calcula a partir de la siguiente forma integral:

( ) ( )1 1 1 1

2

0 0 0 0

Area

k k k k

f x dx g x dx xdx kx dx= − = −∫ ∫ ∫ ∫

resolviendo para el valor del área, se tiene: 1 1

2 3

2 2 2

0 0

2 1 1 1

3 2 3 2 3 6

k k

x kx

k k k= − = − =

De donde se obtiene: 1

2k = , inciso a)



10. El aire que escapa en el intervalo dado está dado por:

( ) ( ) ( ) ( ) 323233

1

23

3

1

2cm 34113323 =+−+=+=+∫ ttdttt . La respuesta es a).

11. El cambio en la energía cinética es equivalente al trabajo que realiza la partícula al desplazarse entre las posiciones dadas. Como el trabajo está dado

por 2

3

2

333

1

0

0

1

1

0

2

===−= ∫ ∫x

xdxxdxW , la respuesta es b).

12. De acuerdo a las propiedades de la integral definida:

42

1

42

1

2

2sin2

2222

2

1

12

2

1

22

0

21

0

2

πππ −=

+−−

=

+−−=−−=−−− −∫∫∫

xx

xdxxdxxdxx

La respuesta es a).

13. Para n un número natural, 1

1

1

1

0

11

0 +=

+==

+

∫ nn

xdxxR

nn

n , de lo cual 2

11 =R ,

por lo que 1

2

2

11

1

1 +=+=n

n

R

Rn , la respuesta es b).

14. Se realiza la sustitución 3+= xu , por lo que

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) CxxCxxCx

xCuuduuuduuudxxx

++−=+−++=++

−+=+−=−=−=+ ∫∫∫2/32/32/3

2/52/32/52/12/3

325

2533

5

232

35

22

5

2333

La respuesta es a). 15. En virtud de que ( )( )3213 223 +−+=++− xxxxxx y como

( ) ( )12325 22 +++−=+ xxxx , entonces

( ) ( )( )( ) dx

xxxdx

xxx

xxxdx

xxx

x∫∫∫

+−+

+=

+−++++−=

++−+

32

2

1

1

321

1232

3

522

2

23

2

Para la última integral se completa el cuadrado perfecto y así:

( ) ( )∫ ∫ ∫

−=+−

=++−

=+− 2

1

2

2

21

2

212

2

32

2222

xarctg

xdx

xxdx

xx.



En consecuencia

cx

arctgxdxxxx

x +

−++=++−

+∫

2

121ln

3

523

2

. La respuesta es b).

16. Primero que nada la función f buscada es tal que 2

)(

t

tf sea proporcional a

2/1−t . Como la integral de esta última función es justamente t2 , la función buscada es entonces 2/3)( xxf = . La única respuesta posible es d). 17. Por las propiedades de la integral indefinida, 0)1( =−g y

( )3

22

3

112

321

2

21

2

1)1(

1

0

31

0

2

1

1

2 =

−=

−=−=−= ∫∫

−

σσσσσσ ddg . La

respuesta es b). 18. Se procede como sigue:

( )( )( ) ( )

dxx

x

x

xdx

xx

xxxx∫∫

++

+=

+++++ −−

22

1

22

312

119

3tan

119

93tan1.

Para la primera se realiza la sustitución 1tan 3u x−= , por lo que 2

3

9 1

dxdu

x=

+ y

así

( )( )1

22 1

2

tan 3 1 1 1 1tan 3

9 1 3 3 2 6

xdx udu u x

x

−− = = = +

∫ ∫ .

Para la segunda se realiza la sustitución 1+= xu , por lo que

( )C

xx

uudu

uudu

u

udx

x

x ++

++=+=

−=−=+ ∫∫∫ 1

11ln

1ln

111

1222

. La respuesta

es c). 19. Por el Teorema Fundamental del Cálculo:

( ) 22

2

2 coscoscos)(' xxdttdx

dxF

x

−=−=

−= ∫ . La respuesta es c).

20. Por el Teorema Fundamental del Cálculo se tiene:

( ) ( )2

2

0

( ) cos 0

x

f t dt x x G x Gπ= = −∫ (Ec. 1)

por otro lado se sabe que:

( ) ( )f t dt G t=∫ y si 2

2

t x

dt xdx

==

, entonces ( ) ( )2 22xf x dx G x=∫ , por lo tanto

( ) ( )2 22xf x G x′= (Ec. 2)



La derivada de la ecuación 1 es: ( )2sin cosx x x G xπ π π ′− + =

Que al igualar con la ecuación 2, se tiene: ( )22 sin cosxf x x x xπ π π= − +

O bien: ( )2 cossin

2 2

xf x x

x

π ππ= − +

Para un valor de 2x = , se obtiene: ( ) cos 2 14 sin 2

2 4 4f

π ππ= − + = , inciso b)

21. ( ) xxxxxxdx

dx

dx

dy 222 tansectansectansec1sec ==−= . La respuesta es d).

22. Para que x pertenezca al dominio de f, e l valor de ∫−

x

udu1

debe ser positivo.

El valor de esta integral representa el área de una región, de modo que para que esta integral sea positiva es necesario que 1>x . Véase la figura de la siguiente página.

Sin embargo para 1x < − , la integral en comento es positiva, pues

1

1

x

x

udu udu

−

−

= −∫ ∫ y

1

0x

udu

−

<∫ como se ve en la siguiente figura.



La solución es pues 1x > o bien 1x < − . La respuesta es a).

23. El área buscada A está dada por 2/3

0

3

0

2

3

1

3

1bydyy

bb

==∫ , por lo que

93

1 2/3 =b , de donde 32/3 327 ==b y en consecuencia 9=b . La respuesta es a).

24. Primero el valor de la integral debe ser positivo. Además esta integral representa el área (positiva) de una región si 0>x . Como en el ejercicio 22 de esta sección para 0x < se tiene que esa integral es positiva. La respuesta es b).

25. El límite representa la derivada de F en 0=x . Como 21)(' xxF += , entonces 1)0(' =F . La respuesta es a).

26. Se tiene que ( ) 01

2sin02)0(

0

0

2=

++= ∫ dt

t

tF . La respuesta es b).

27. Cbx

axCbxaxdx

bxaxx +

−−=+−−−=

−−

−∫ 22

222222

2222ln

2

1ln

2

1ln

2

111. La

respuesta es c).

28. Por el método de sustitución ( ) Cugduugug +=∫2

)(2

1)(')( . La respuesta es

c). 29. La posición s al tiempo t está dada por

Cttdtttdttvts ++=

+== ∫∫232

2

1

6

1

2

1)()( . Como 0)0( =s entonces 0=C y la

función buscada se encuentra en el inciso c).



30. Los puntos de intersección de estas gráficas tienen abscisas 3± . Ahora bien, gf ≥ en el intervalo comprendido entre los valores encontrados. Por tanto, el área buscada se calcula mediante la integral en la opción c).

31. Al denominador de la integral se le completa un trinomio cuadrado perfecto:

( )22 2

2 2 2

4 2 4 4 2 2 2

x x xdx dx dx

x x x x x

− − −= =− + − + − − −∫ ∫ ∫

haciendo el cambio de variable 2x v− = , la integral se convierte en: 2 2

vdv

v −∫

para resolver esta integral se hace un nuevo cambio de variable

2 sec

2 sec tan

v

dv d

θθ θ θ

=

=, que al sustituir y simplificar queda:

cot tan ln sin ln secd d cteθ θ θ θ θ θ+ = + +∫ ∫ ,

regresando al cambio de variable de v , simplificando, y luego al de x , se tiene: 2

2

2 1 4 2ln

4 2 2 2

x x xdx cte

x x

− − += +− +∫

Otra forma de resolver la integral 2 2

vdv

v −∫ es la siguiente.

( )( )( ) ( )( ) ( )

( )

2

2 2

2 21 1 1 1

2 2 2 2 22 2 2 2

1 1 1ln 2 ln 2 ln 4 ln 4 2

2 2 2

v vvdv vdvdv dv

v v vv v v v

v v C v C x x C

+ + − = = = + = − − + + − + −

− + + + = − + = − + +

∫ ∫ ∫ ∫



32. La integral queda: 11 7 8

5 4

2 2

1 1 3

2 16 4 4

u udu

u u

− = + = −

∫

33. El área bajo la curva es la función siguiente: ( )2

sin cos2 2 2

a ag a a a

π= + +

usando el Teorema Fundamental del Cálculo se tiene que:

( ) ( ) ( )1cos 1 sin

2 2

af a g a a a aπ′= = + + −

por lo tanto: ( )1 1cos 1 sin

2 2 4 2 2 2 2f

π π π π ππ = + + − =

.

34. Por la fórmula de la potencia, la respuesta es c).

35. El área buscada es el área del triángulo que es igual a ( )1 1 12

2 3 3

=

.

36. Se tiene que el radio de uno de los discos es el valor de x, por lo que el

volumen del sólido es 22 2 2

2 2

0 0 0

3 9

2 4

yx dy dy y dy

ππ π = =

∫ ∫ ∫ .

37. La respuesta es d). 38. Se tiene que

[ ]2 2 2

0 0 0

3 ( ) 4 ( ) 3 ( ) 4 ( ) 3(3) 4( 4) 9 16 7f x g x dx f x dx g x dx+ = + = + − = − = −∫ ∫ ∫ . La respuesta

es c). 39. La afirmación i) es falsa. Notemos que la función cuya gráfica se encuentra

abajo es discontinua y sin embargo 2

0

( ) 3f t dt =∫

1

2



ii) La afirmación ii) es verdadera. 40. Por el teorema del valor medio para integrales, existe un valor c en el

intervalo [ ]0,1 tal que 1

2 2

0

sin( ) (1 0)sinx dx c= −∫ . Puesto que la función seno a lo

más toma el valor 1, se concluye que dicha integral no puede ser 2.

41. Lo que dice la primera integral es que una primitiva de sin cosx x es 2sin

2

x.

Análogamente para la segunda integral. La diferencia de resultados se debe a que ambas primitiva difieren en una constante:

2 2sin cos 1

2 2 2

x x − − =

.

42. Como f es par, ambas integrales deben ser iguales. La respuesta es c). 43. De la definición de integral definida, el valor se encuentra en la opción b). 44. Por las propiedades de la integral 2 2 5 5

5 5 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) 8f x dx f x dx f x dx f x dx

− = − = − − = =

∫ ∫ ∫ ∫ . La respuesta es a).

45. Por las propiedades de la exponencial ln xe x= . Por lo que ln

1xe

x= .

46. 3 33 3 3u u

u udu du+ =∫ ∫ . Se realiza la sustitución 3uz = (exponente), por lo que

13

ln 3

udz du= y así ( )

3 3

2

1 1 1 13 3 3 3

ln3 ln3 ln3 ln3

u uu z zdu dz C C+ = = + = +

∫ ∫ .

47. Por las propiedades de la integral para funciones impares, esta integral vale 0. La respuesta es c).

48. Calculemos la derivada de cos

x

x. Como

( )

2 2 2

cos sincos cos cos sin

cos cos cos cos

x xx x xxD x xD xd x x x x

dx x x x x

− −− + = = =

. Esto

demuestra el enunciado.

49. El valor del área está dado por ( )1

2 3

0

1 1 1

3 4 12y y dy− = − =∫ .



50. Se tiene que 11

4 3 3

24 8 88

xx

dtt t x

− = = −∫ . Ahora bien si 0 1x< < , entonces 3 1x < ,

de donde 3

11

x< . En consecuencia

3

88

x< lo que implica que

3

88 0

x− < . La

respuesta es d).

51. Como ( ) ( ) ( )

( ) ( )3 2

2

1 3 13 31

4 3 3 1

x x xx x xx

x x x x

− − +− − + = = +− + − −

, el planteamiento correcto

se encuentra en d).

52. 31

1 1 1

200

1sin sin 1 sin 0

3 29

dx x

xπ− − −= = − =

−∫ . La respuesta es c).

53. La longitud de arco está dada por 26

0

1dy

dx

+

∫ . Puesto que sinh6

dy x

dx= ,

entonces 2

2 21 1 sinh cosh cosh6 6 6

dy x x x

dx

+ = + = =

, la longitud de arco es

pues 66

00

cosh 6sinh 6sinh16 6

x xdx = =∫ . La respuesta es b).

54. ( ) ( )2 2

22 2

1 1lim lim lim 1 1

1 11 1

aa

a a a

dx dx

x ax x

∞

→∞ →∞ →∞

= = − = − = − − − − ∫ ∫ . La respuesta es c).

55. Por la fórmula de integración 11n au n n aunu e du u u e du

a a

−= −∫ ∫ con 2n = y 1a = :

( ) ( )2 2 2 22 2 2 2x

x x x x x xx e dx x e xe dx x e xe e C x x e C= − = − − + = − + +∫ ∫ . La respuesta

es a).

56. Aplicando la fórmula de integración 2 2

2 2ln

duu a u C

a u= + + +

+∫ , se tiene

que la respuesta equivalente se encuentra en el inciso b). 57. El (primer) punto de intersección (positivo) de las curvas seno y coseno se

da cuando sin cosx x= , es decir, tan 1x = . En consecuencia 4

xπ= . De modo

que el área pedida está dada por:

( ) ( )/4

/4

00

2 2cos sin sin cos sin cos 1 1 2 1

4 4 2 2x x dx x x

ππ π π− = + = + − = + − = −∫ .



58. Al aplicar el límite se tiene la forma indeterminada 0/0. Por la regla de L’Hopital y la primera forma del Teorema Fundamental del Càlculo:

3

3 3

0

4 3 30 0 0

sinsin 1 sin 1 1

lim lim lim 14 4 4 4

x

x x x

t dtx x

x x x→ → →= = = ⋅ =

∫.

59. El total de KB que se transfieren en el intervalo [3,7] está dada por la integral de la velocidad de transmisión en ese intervalo. La respuesta es d). 60. El volumen en metros cúbicos está dado por:

( ) ( )22 5 6

4 6

0 0

2 1 12 2

64 64 5 6 64 5 6 30

x xx x dx

π π π π − = − = − =

∫ .



Soluciones cálculo multivariable

1. Se tiene que θφρφ

coscos=∂∂h

, por lo tanto θφρφθ

sincos2

−=∂∂

∂ h. La

respuesta es a). 2. Como el gradiente es el vector de derivadas parciales y a su vez cumplen con las reglas de derivación, resulta entonces que la respuesta correcta se encuentra en d). 3. El valor promedio de xyxyxf cos),( = sobre el rectángulo R:

10 ,0 ≤≤≤≤ yx π está dado por

( )( ) πππππ

ππππ2

cos1

sin1

sin1

cos010

1

00

1

000

1

0

=

−===−− ∫∫∫ ∫

=

=xdxxxydxxydydxx

y

y. La

respuesta es b). 4. La respuesta es b), pues el producto interno es un número real, por lo que la operación producto cruz no existe, 5. La respuesta es d), pues los coeficientes de las variables x, y, z determinan las componentes de un vector normal al plano.

6. La respuesta correcta es b), pues la derivada de ( ) 2/222 nn zyxr ++= llevará

un factor 2−nr .

7. El volumen buscado está dado por ( )∫ ∫−

+1

0

222

x

xdydxyx . La figura de abajo,

da los límites de integración. Como:



( )1 22 2

0

4

3

x

xx y dydx

−+ =∫ ∫

La respuesta es c). 8. Un vector normal al primer plano es kjin

−+= ˆ51 mientras que para el segundo plano es kjin

322 +−= , por lo que el ángulo θ entre los planos está

dado por.

( )( ) ( )( ) ( )( )0

1427

312115cos =−+−+=θ .

Esto afirma que los planos son ortogonales y por consiguiente la respuesta es b). 9. Se tiene que la norma del vector dado es 6 . Por consiguiente los cosenos directores se encuentran en la opción d). 10. Se tiene que

kjikji

kji

BA

1062

34

12

14

12

13

11

134

112 +−−=−

+−

−=−

=× . La respuesta

es d). 11. La rapidez es la norma del vector velocidad. Como la velocidad está dada por kjti

22 ++ , el vector velocidad en 1=t es kji

22 ++ . La rapidez por

consiguiente es 3221 222 =++ , la respuesta es c). 12. Se tiene que xxFdiv 32131 +=++=

, por lo tanto, la divergencia en el

punto dado es 2. La respuesta es c). 13. La respuesta es a), pues la divergencia de suma de campos vectoriales es la suma de las divergencias de ambos campos. 14. Si xy = entonces 2yx = , por lo que si 1=x entonces 1=y ; si 4=x da

2=y , por lo tanto ∫ ∫∫ ∫ +=+2

1

4

224

1 1

22

2

)()(

y

x

dxdyyxdydxyx , la respuesta es b).



15. Una ecuación al plano tangente a la gráfica de ),( yxfz = en el punto

( )( )0000 ,,, yxfyx es ( )( )

( )( )

( )0

,

0

,

00

0000

, yyy

fxx

x

fyxfz

yxyx

−∂∂+−

∂∂+= .

Como ( ) ( )

( )( )

( )222

22

222

2222

2

yx

eyxx

yx

yxx

eex

yx

x

f xxx

+

+−=+

+∂∂−

∂∂+

=∂∂

, entonces

( ) 25

3

2,1

e

x

f =∂∂

, ( ) ( )

( ) ( )222222

2222

2

yx

ye

yx

yxy

eey

yx

y

f x

xx

+−=

+

+∂∂−

∂∂+

=∂∂

y así

( ) 25

4

2,1

e

y

f −=∂∂

y 5

)2,1(e

f = , la ecuación del plano pedido se encuentra en la

opción a). 16. Aplicando las propiedades de la integral triple:

( )( )

61

6

cos3

1

2sinsin

2/

0

1

0

2

2/

0

2/

0

2/

0

2/

0

1

0

2

ππ

φπρρθφφφθρφρ ππππ π

=

=−

=

= ∫∫∫∫ ∫ ∫ dddddd

La respuesta es a).

17. Se tiene que dxdydzyzyzdVz z

E ∫ ∫ ∫∫∫∫+

=1

0

2

0

2

0, por lo que la respuesta es a).

18. La respuesta es c). Es la definición de rotacional.



19.

rttrvr

u

rttrv

u

rtvtr

u

sin

cos

cos

23

2

−=∂∂∂

∂

=∂∂

∂

=∂∂

. La respuesta es d).

20. La derivada direccional fDu

en el punto dado, se encuentra mediante el producto punto del gradiente en el punto dado y el vector unitario de dirección. Como ( ) ( )kxzyxjzxizxyzf

842 222 ++++=∇ , entonces

( ) kjif

1081,2,1 −−=−−∇ . El vector unitario de dirección es kji

3

2

3

1

3

2 −− . Por

lo tanto ( ) ( ) ( )3

37

3

210

3

11

3

28 =

−−+

−−+

=fDu . La respuesta es c).

21. La respuesta es d). El rotacional de un campo escalar no existe.

22. De la figura se tiene que la masa está dada por dxdyx

x

x

∫ ∫−

−1

2

2

2

2

. La respuesta

es a).

23. La respuesta es b), pues un vector normal al plano dado en el enunciado es

1ˆˆ ˆ2 2n i j k= − + mientras que para el plano 2x = un vector normal es 2

ˆn i= . El ángulo entre ellos es:

( )( )( )1 2

22 21 2

(2)(1) (1)(0) (2)(0) 2cos

32 1 2 1

n n

n nθ ⋅ − += = =

+ − +

. El plano 2x = evidentemente contiene

al punto (2,1,1).



24. Resolviendo la integral triple, se tiene:

( )( )

2 2 21 4 4 1 42

0 0 0 0

22

12

0

4

4 203 22

2 15 3

a x x y a x

adzdydx x y a dydx

a xdx a a

− − − − − −= − − −

− −= − +

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫

esta ecuación se iguala al valor de 4/15, para obtener una nueva ecuación:

2 2213 0

3a a− + = , al resolverla se tienen dos valores:

13

3

3

a

=

, y como se quiere

el valor más grande, entonces la respuesta es el inciso b) 25. Sea 222 32),,( zyxzyxf ++= . La ecuación del plano tangente a la curva de nivel 21),,( =zyxf en el punto dado está dada por:

)1)(1,1,4()1)(1,1,4()4)(1,1,4()1,1,4(0 −−∂∂++−

∂∂+−−

∂∂+−= z

z

fy

y

fx

x

ff .

Como zz

fy

y

fx

x

f6 ,4 ,2 =

∂∂=

∂∂=

∂∂

, la ecuación del plano tangente es:

( ) ( ) ( )

21324

042648

1614480

=+−=−+−

−++−−=

zyx

zyx

zyx

La respuesta es c). 26. La ecuación del plano tangente a la curva de nivel 43),,( 2 =+= zxyzyxf en el punto (1,n,1) está dada por:

( )( ) ( )( ) ( )( )(1, ,1) 1, ,1 1 1, ,1 1, ,1 1 0f f f

f n n x n y n n zx y z

∂ ∂ ∂+ − + − + − =∂ ∂ ∂

.

Como yx

f3=

∂∂

entonces se debe cumplir que 1=n . La respuesta correcta es

c). 27. Tenemos que encontrar la derivada direccional de ϕ en la dirección del vector dado y en el punto dado.

( ) ( ) ( )kzexjzeix yy 222 2 +++=∇ϕ , de donde ( ) ( )kejei

2421,1,2 +++=∇ϕ y el

vector unitario en la dirección dada es kjiu

14

1

14

3

14

2 −+= , por lo que la

razón de cambio es: 1414

2

14

4

14

3

14

4 eee =−−+ . La respuesta es d).



28. Se tiene la forma 0

0. Calculemos el límite a través del eje x, esto es

haciendo 0=y , de donde claramente se ve que este límite vale 0. Por otro lado a través del eje y se nota que tal límite es cero. Nuevamente por cualquier curva ( )y f x= el límite es cero y análogamente con cualquier curva ( )x g y= . El límite buscado vale 0. La respuesta es a) 29. La respuesta es b), pues cuando 0=t el punto correspondiente es ( )0,0,1 . 30. Un vector ortogonal al plano es ( )1,6,1 − por lo que al hacerlo unitario se encuentra que la respuesta es la opción c), 31. El rotacional de un gradiente es cero, la respuesta es el inciso c) 32. La longitud de la curva ( )tr en el intervalo [ ]ba, es

( ) ( ) ( ) dttztytx

b

a

∫ ++ 222)´()(')(' . Como 1)( ,cos2)(' ,sin2)(' ==−= tzttyttx , por lo

que la longitud de arco está dado por πππ

551cos4sin400

22 ==++ ∫∫ dtdttt . La

respuesta es d). 33. Este límite se trata de la derivada parcial con respecto a y, de la función

( ) zyxzyxf2

3),,( ++= que es ( )zyx +2 . La respuesta es a).

34. La distancia está dada por la cantidad( )

( ) 14

3

312

3212

222=

+−+

+−. La respuesta

es d). 35. Por las propiedades de la integral triple:

( )( )( ) 8214coscos

2

0

2/

0

4

0

4

0

2/

0

2

0

==

= ∫∫∫∫ ∫ ∫ rdrddzdzdrdr

ππ

θθθθ . La respuesta es d).

36. Se tiene que ( ) ( ) jt

it

jt

it

trtv

2sin

2cos

2sin

2

12

2cos

2

12' −=

−

== y así

jt

it

trtvta

2cos

2

1

2sin

2

1)('')(')( −−=== . La respuesta es c).

37. Para encontrar esta integral se realiza el cambio a coordenadas polares. La región de integración se muestra en la siguiente figura.



Por lo tanto:

( )182

1

4

1

0

1

0

4/

0

1

0

4/

0

1

0

1

0

222

2

22

−=

=

== ∫∫∫ ∫∫ ∫

−+ eedrreddrdredydxe rrr

x

yx ππθθππ

. La

respuesta es a).

38. Se tiene que ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) 2025255254554lim235235

2,5,=−−−+=−+

−→xyyxx

yx. La

respuesta es a).

39. La carga total será la integral doble de la densidad de carga sobre el disco unitario. Para calcular dicha integral, se procede pasando a coordenadas polares quedando como sigue:

( ) ( ) ( )2

3

4

32

4

1

2

12

4221

1

0

421

0

3

2

0

1

0

2

0

2 ππππθθπ π

=

=

+=

+=

+

=+ ∫∫ ∫ ∫

rrdrrrddrdrr

40. Para que un campo vectorial sea irrotacional se cumple 0F∇× =

, entonces al resolver se tiene:

( )ˆˆ ˆ

ˆˆ ˆ 0x x x x

x x

i j k

/ /F e i ye ye j ze k

x y z x x

yze / ye

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇× = = − − − + − = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

al integrar la componente en i y la componente en k , se obtiene que x/ ze= , por lo tanto el resultado es el inciso b)

41. La respuesta es el inciso b), ya que hay dos regiones en cuestión de igual

área, comprendidas en los intervalos 0,2

π

y ,2

π π

, entonces se puede

calcular la integral del primer intervalo y multiplicarlo por dos. En este caso, la integral del primer intervalo se puede dividir en dos subintervalos de integración



respecto de x , que son: 0,4

π

y ,4 2

π π

, acotado en el eje y por los intervalos

respectivos: [ ]0, tan x y [ ]0,cot x .

p€€€€4

42. La respuesta es d). 43. De la figura se tiene que el área buscada está dada por

22 6 4 16 2 4

2

0 0 2 0 0 2

4 166 16 3

3 3

x x

dydx dydx xdx x dx π−

+ = + − = +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ . La respuesta es b).

44. El área es la norma del producto cruz de ambos vectores. Se tiene que



ki

kji

93

103

133 −= , por lo que el área es ( ) 909322 =−+ . La respuesta es d).

45. El volumen del paralelepípedo se encuentra con el producto escalar triple:

( )V A B C= ⋅ ×

, donde los vectores representan los lados del paralelepípedo.

Entonces la forma matricial del producto escalar triple, es:

3 5 1

0 2 2 36

3 1 1

V

−= − = , por lo tanto la respuesta es el inciso a)

46. La respuesta es a) pues yy

x

y

x

xy

x

x

f

+⋅

+=

+∂∂

+=

∂∂

1

1

1cos

11cos y

( )

+−⋅

+=

+∂∂

+=

∂∂

211

cos11

cosy

x

y

x

y

x

yy

x

x

f.

47. La respuesta es c), pues ( ) ( )22

2/122 22

1

yx

xxyxf x

+=+= −

. De manera

análoga con la derivada respecto a y.

48. Sustituyendo la forma paramétrica de la recta tztytx ++++====−−−−====++++==== 1,2,23

8,

en el plano 6623 ====++++++++ zyx , se tiene: ( ) ( )8

3 2 2 2 6 1 63

1

t t t

t

+ + − + + =

= −, por lo

tanto los valores son:

2

3

2

0

x

y

z

=

==

, la respuesta es el inciso a)

49. La longitud de una curva descrita por ecuaciones paramétricas

( ) ( ), ,x f t y g t tα β= = ≤ ≤ , está dada por: 2 2

dx dyL dt

dt dt

β

α

= +

∫ , para nuestro

caso se tiene:

( )

( )2

2

cos sin

1 2sin cos

t

t

dxe t t

dt

dxe t t

dt

= −

= −

y

( )

( )2

2

sin cos

1 2sin cos

t

t

dye t t

dt

dye t t

dt

= +

= +

, al sustituir en la integral:



( )0

2 2 1tL e dt e

ππ= = −∫ , la respuesta es el inciso d)

50. La respuesta correcta es b), pues la derivada parcial de nnxxx ⋯++ 21 2

con respecto a ix es justamente i.

51. Se tiene que cumplir que 49 22 ≥+≥ yx . La respuesta es c).

52. La región de integración se encuentra en la figura de abajo. De aquí que al

cambiar el orden de integración queda como dydxe

x

x

∫∫∫∫ ∫∫∫∫3

0

3/

0

2

. La respuesta es a).

53. El dominio de u debe satisface 012

2

2

1

2

1 ≥−−−n

n

a

x

a

x⋯ , de donde se obtiene

que el dominio es 12

2

2

2

2

2

2

1

2

1 ≤≤≤≤++++++++++++n

n

a

x

a

x

a

x⋯ , la respuesta es a).

54. El tiempo en el que la pelota dura en el aire está dado por 02 sinvt

g

α= ,

donde 0v es la velocidad inicial de la pelota, α es el ángulo con el que se

lanza; de modo que( )

2

2 83.6 / sin 68º4.84

32 /

ft st s

ft s= ≈ . La respuesta es a).

55. El triple producto da el volumen del paralelepípedo que forman los vectores. Como éste es cero entonces se encuentran sobre el mismo plano, i. e. son coplanares. La respuesta es d).



56. El volumen está dado por el valor absoluto de la integral triple 2 2 12 2 3

6 3 6

0 0 0

x x y

dzdydx

− − +

∫ ∫ ∫ . Como

2 12 12 2 3 2 2 2 12

6 6 6 23 6 3 3

0 0 0 0 0 0 0

66 62 2 2 3 2

0 0 0

12 2 32

6 3 4

4 24 2 12 4 48 144 4 24 4

3 9 36 9 3 27 3

216 7224 8 24 24 8

27 3

x x y x xy

y

x y xy ydzdydx dydx y dx

x x x x x x x x xdx dx x

− − + − −=

=

− + = = − + =

− − − +− + = − + − = − + − =

− + − = − + − = −

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

El volumen es 8, que se encuentra en la opción b).

57. Igualando las coordenadas de ambas rectas se tiene el sistema

2 3

4 6 0

4 4

t v

t v

t v

+ =+ =

+ =.

La solución de las primeras dos es 9

4t = − y

3

2v = − . Estos valores no son

soluciones de la tercera ecuación. Por tanto las rectas no se cortan. La respuesta es a). 58. Se tiene que ( ),x y xρ = . Por lo tanto, las coordenadas del centro de masa

están dadas por

( )( )

4 4 4

2 2 5/27/2

00 0 0 0

4 445/23/2

0

0 00 0

4 2 44 4 3

2

0 00 0 0 0

45/2 5/2 5/2

0 0

24

5 207 42 7 74

5

642 3 1032 1 1 32 34 4 4

5 5 5 5

xy x

y

xy x

y

y xx

y

x

x dydx x y dx x dx

x

xy dx x dxxdydx

xy xxydydx x dx

y

xdydx

=

=

=

=

=

=

= = = = = =

= = = = = =

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫∫ ∫

∫∫ ∫ ∫

∫ ∫

59. Por el primer caso de la regla de la cadena:

( )( ) ( )( )2 22 sin cos 2 cos sinxy xydz z dx z dyy e t t t xye t t t

dt x dt y dt

∂ ∂= + = − + + +∂ ∂

Cuando , 0, 2 2

t x yπ π= = = , por lo que

2 3

2 2 8

dz

dt

π π π = − = −

.



60. La respuesta es d), pues en el punto donde la pelota no se mueve la derivada direccional es cero, mientras en la que resbala más rápidamente es el valor de la norma del gradiente.



Soluciones de Álgebra Lineal

1. Tenemos la matriz aumentada

10333

6222

3111

y realizando la operación

13 3RR − se llega a la matriz

1000

6222

3111

, de lo que se deduce que el sistema

es inconsistente. La respuesta es b).

2. El determinante de la matriz dada es 2− , por lo que por el método de la

adjunta, la inversa es

−−

−11

20

2

1. La respuesta es c).

3. 521 == aα y 313 == aβ . La respuesta es b).

4. ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

−=

+−+−++

=

− 114

208

62110241

63120342

60

14

21

32. La respuesta es

a).

5. La respuesta es c), pues a) no puede ser ya que

−−76

54 si es invertible (su

determinante es 2); b) tampoco es pues )2/1,1( −− no es solución y d) tampoco ya que no es su propia inversa. 6. La matriz es invertible, pues su determinante es -1. La respuesta es c).

7. La respuesta es b), pues ( )( ) 0=−=−−−=−

−ababbaab

ba

ba.

8. La matriz dada es triangular, por lo que su determinante es el producto de los elementos en su diagonal principal. Tal valor es ( )( )( )( ) 121232 −=− . La respuesta es b).

9. Se tiene que

=

−−

−−

=10

01

23

12

23

122A . La respuesta es b).

10. ( ) IIAAAA =+=+ 222 , de modo que la respuesta se encuentra en b).

11. Como I=

−−−−−

−−−−

131

7185

11298

153

132

543

, la respuesta es c).



12. Se tiene que

=

=

2

2

2

0

2

0

1

0

1

λλλ

λλ

λλ

A , de modo que

=

−

n

nn

n nA

λλλ

0

1

. La respuesta es b).

13. Como

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

2 3 42 3 4 3 4 2

2 3 4

6 8 3 4 6 3 8 4

8 3 8(2) 3( 2) 10

a b a ba b c d a b c d

c d c d

ac ad bc bd ac ad bc bd

ad bc bc ad

+ += + + − + + =

+ +

+ + + − + + + =

− + − = + − =

,

, el resultado es el inciso c) 14. La solución se encuentra en el inciso a), lo cual se realiza mediante sustitución directa en el sistema dado.

15. La matriz aumentada es de la forma

−−

642

963. Si se divide la primera

fila por 3 se tiene la matriz

−−

642

321 y al sumar la segunda fila de esta

matriz con 2 veces la primera se tiene la matriz

−1200

321, de lo que resulta

que el sistema es incompatible. La respuesta es d). 16. La respuesta es c), ya que al sustituir la opción en el sistema se tiene una identidad en ambas ecuaciones. 17. La respuesta es a). 18. La opción a) no es. La opción b) es la respuesta correcta ya que la ecuación 2 del sistema es equivalente a una cuyo segundo miembro es cero. 19. Se tiene que ( ) ( )( ) 222

BBAABABABABA +++=++=+ . La respuesta es b). 20. La respuesta es a). 21. La respuesta es d). El método de la adjunta da la inversa de la matriz dada. 22. Se tiene que CAXB = , de donde CAXB 1−= y de aquí 11 −−= CBAX . La respuesta es c).



23. Se tiene

2

3

1 2 1 2 1 0

0 1 0 1 0 1

1 2

0 1

A

A A

= = − −

= = −

, como IBA =3 , entonces

1 2

0 1B

= − . Luego entonces

12 2b = , la respuesta es el inciso b)

24. La respuesta es a)

25. La respuesta es a), ya que 1 0

1

nAn

= −

. Se utiliza el hecho de que

( )11 2

2

n nn

++ + + =⋯ .

26. La afirmación a) es correcta ya que si se cambia el orden de dos columnas (o filas) el valor del determinante cambia de signo. La afirmación b) es correcta ya que al multiplicar por un escalar el determinante queda multiplicado por dicho escalar. La afirmación c) es correcta ya que el determinante de una matriz y su transpuesta son iguales. La afirmación falsa es entonces la que se encuentra en d).

27. Para 2n = se tiene que 1 2

1 0A

− = − y su determinante es 2 2!= . Mientras

que para 3n = se tiene que

1 2 3

1 0 3

1 2 0

A

= − − −

y su determinante es

0 3 1 3 1 01 2 3 6 3!

2 0 1 0 1 2

− −− + = =

− − − −. La respuesta es c).

28. puesto que 2 2

1 1 1 1

22 2 2 2

0 0 0 0

0 0 0 0

λ λ λ λλ λ λ λ

= =

y como

2 2

1 1 1 1

2

2 2 2 2

2

3 3 3 3

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

λ λ λ λλ λ λ λ

λ λ λ λ

= =

, la respuesta es a).

29. Para 2n = tenemos

( ) ( )10 11 1 2 1

1 0= − = − − .

Para 3n =



( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

0 1 11 1 1 0

1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 3 11 0 1 1

1 1 0

= − + = − − + = + = = − − . De esto se

deduce que la respuesta es b). 30. La respuesta correcta es c) ya que ( ) ( )4, 1,0 2,3, 5 8 3 0 5− ⋅ − = − + = .

31. Si 4 400A = , entonces 3

400 400

4 64A = = . Por otro lado

( )1

36 36225

64

400

Adj BA−

= = = . Puesto que ( ) 225 15B Adj B= = = . La

respuesta es d). 32. La respuesta es d). 33. Desarrollando el determinante por la segunda columna: 1 3 4

2 4 1 4 1 42 0 4 3 0 9 3(38) 9( 12) 6

3 13 3 13 2 43 9 13

−− = − + − = − − − = −

−. La respuesta es

a). 34. Un sistema homogéneo tiene infinitas soluciones cuando el determinante de la matriz de coeficientes es cero. Puesto que 0 2

63 1

10 50

4 2

5 37

1 2

4 10

8 2

= −−

=

=

−=

−

La respuesta es c). 35. Si realizamos la operación de la segunda fila menos la primera obtenemos la matriz



1 2 3 4 5

5 5 5 5 5

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20

21 22 23 24 25

.

Si se realiza la operación de la cuarta fila menos la tercera se obtiene la matriz: 1 2 3 4 5

5 5 5 5 5

11 12 13 14 15

5 5 5 5 5

21 22 23 24 25

.

Por lo tanto su determinante vale cero. La respuesta es c). 36. Se tiene que ( )

12(1)(2) ( 3)(0) 2AB = + − = y

122 2( 4) 8C = − = − , por lo tanto

12 2 8 6d = − = − . La respuesta es b). 37. La solución es c), lo que se comprueba sustituyendo cada valor en el sistema dado. 38. La matriz C es 5 2× y A B+ es 4 5× , por lo tanto ( )C A B+ no está definida.

La respuesta es c). 39. La respuesta es c), pues el hecho de que el producto de dos matrices sea cero no implica que alguna de ellas sea cero. 40. Cuando 2n = se tiene que

2 2 21 3

( 1)( 2) 3 2 3 2 2 12 2

x xx x x x x x x x

x x

+ = + + − = + + − = + = + + . Mientras que

cuando 3n =

( ) ( ) ( )

( ) ( )2 2 2

12 1

2 1 1 4 33 3

3

3

115 11 6 3 2 11 6 6 1 3! 1

6 2 3

x x xx x x x x x

x x x x x x x xx x x x x x

x x x

x x x x

x xx x x x x x x

++ +

+ = + − + = + ++ +

+

− + − =

+ + − − = + = + = + + +

La respuesta es a). 41. Por las propiedades de los determinantes



( )

( )( )

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1

0 0

a b c a b c a b c a b c

b c c a a b a b c a b c a b c

a b c

= = + + =+ + + + + + + + +

+ + =

La respuesta es b).

42. Si 0x = , la matriz A tiene dos filas iguales (la primera y la segunda) por lo que su determinante es cero y no puede ser invertible. Análogamente, si 1x = , las filas que se repiten son la segunda y la tercera, por lo que también esta matriz no es invertible. La respuesta es d).

43. El sistema dado no tendrá solución cuando 2 3

04 k

−= . Esto equivale a la

ecuación 2 12 0k− − = , cuya solución es 6k = − . La opción correcta es d).

44. Se tiene que 3 0A = , de lo cual se desprende fácilmente que 0nA = para 2n > . La opción correcta es b).

45. Si 2k = , el determinante de la matriz es cero, por lo que su rango es diferentes de 3. La respuesta es c).

46. Se tiene que TC C= , de modo que al ser una matriz ortogonal, 2

1C = y

por lo tanto el valor absoluto del determinante es uno. La opción correcta es d).

47. La opción correcta es d).

48. Claramente la matriz dada no es triangular superior. Tampoco es antisimétrica, puesto que es simétrica. No puede ser ortogonal puesto que es equivalente por filas a una matriz con una fila de ceros, por lo que su determinante es cero (recordar el ejercicio 46). La única opción es que sea idempotente, que se encuentra en b).

49. La respuesta es d), pues si x a= , entonces

0 0 0

0 0 1 1 0

0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1

a b x a a b a b a b

x x b x a a b a a a a

−+ = + = = = .

Por otro lado si x b= , se tiene que



2 2 2 0

0 1 1 0 1 1 0 1 1

a b x a a b b a a b b

x x b x b b b b b b

− −+ = = = .

50. Por las propiedades de los determinantes, ( ) ( )55det det( )B B= . Ahora bien,

1 0 1 1 0 11 1

det 1 1 2 1 1 2 ( 2) 21 2

1 2 1 0 2 0

B = = = − = − . En consecuencia

( )55det 2 32B = − = − . La respuesta es a).

51. Si 0α = , la matriz dada tiene la tercera fila de ceros, por lo que no puede tener inversa. Por otro lado si 2α = , la matriz dada tiene las primera dos filas repetidas, por lo que tampoco puede tener inversa. En consecuencia la matriz es invertible si α es diferente de estos dos valores. La opción correcta es b).

52. Realizando las multiplicaciones indicadas:

2 5 4 5 23 15 5

3 1 3 9 15

4 5 2 5 23 15

3 3 1 6 3 15

k

k k

k k k

− − + = − − +

− = − − +

.

Para que las matrices sean conmutativas es necesario que 10 5 15k− + = y 6 3 9k− = − , cuya solución en ambos casos es 5k = . La opción correcta es c).

53. La opción correcta es la d), pues como det dettA A= y

( ) ( )( ) ( )2det det det det 0t tA A A A A= = ≥ .

54. a) ( )2 21

1 11

n nn n

n n

+= − − = −

−.

b) 2 2cos sin

cos sin 1sin cos

α αα α

α α−

= + = .

c) ( )( )1 log1 log log 1 1 0

log 1

b

b a

a

aa b

b= − = − = .



55. Se tiene que 1 1

11 2

xx

= −−

. Por otro lado,

( )( )1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 1 1 2 1 0 1 0 1 2

1 1 3 0 0 2 0 0 2

x x x x x

x x x

− = − = − = − −− − −

. En

consecuencia

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

1 1 1 1

1 2 1 1

1 2 1 1 21 1 3 1

1 1 1 1

n

x

x x n x x x x nx

n x

−= − − − = − − − −−

+ −

⋯

⋯

⋯ ⋯⋯

⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

⋯

.

56.

( )1(2)

21

2(3)

22

1 1 12 1 3 2 2 1 2

2 1 2 2

1 1 1 0

2 2 2 2 2 2( 4) 4 (8)

4 0 4 0 4 4

114 8 2 1 2

2

x x x xx x x x

x x

x x x x x x

x x x x x x x x x

x x x x x x

x x

+ + = = + + = + = + − + −

++ = − + = − = + + + =

+ + − +

+ = + −

Esto sugiere que:

( 1)

2

1

21

2 1 242

2

n n

n

n

x x x x

x x x x

xx x x x

x x x x

+

++

= + −+

+

⋯

⋯

⋯

⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

⋯

.

57. a) Ambas ecuaciones son equivalentes 2 3 1x y+ = , por lo que el sistema es

indeterminado.

b) Para 90ab ≠ , el sistema está determinado, para 6, 15a b= = , está

indeterminado y para 90ab = pero 6a ≠ y 15b ≠ , es contradictorio.



58. Se realizan las siguientes operaciones elementales de fila

1 1

2

3 2

3

2

2

1 3 1 0 1 3 1 0 1 3 1 0

2 1 3 5 2 1 3 5 0 5 5 5

1 7 9 0 10 10 0 10 10

1 3 1 0

0 5 5 5

0 0 0 10

R R

R

R R

R

α α α

α

+ −

+

− → − → − − −

→ − − +

Por lo tanto, el sistema tendrá solución sólo cuando 10 0α + = , esto es cuando 10α = − .

59. Se trata de un problema de balance de materia, en la que se plantea el hecho de que la cantidad de materia que entra al tanque de mezclado es la misma que sale después de realizar el proceso. Esto se realizará para cada uno de los componentes de la mezcla: etanol, metanol y agua.

Para el etanol se tiene que lo que entra es 1 30.83 0.55M M+ mientras lo que se

obtiene es 58, por lo que la ecuación para este compuesto es

1 30.83 0.55 58M M+ = .

De manera análoga se obtienen expresiones para el metanol y agua, obteniéndose así el sistema:

1 3

2 3

1 2 3

0.83 0.55 58

0.61 0.24 21

0.17 0.39 0.27 21

M M

M M

M M M

+ =+ =

+ + =.

La solución de este sistema es 1 2 319, 4.23, 76.77M M M= = = .

60. La respuesta es c).



Soluciones ecuaciones diferenciales

1. Si se escribe la ecuación dada como

1'y y xx

− = ,

la ecuación dada es lineal, por lo que la solución general es pues:

( )

1 1

ln ln

2

dx dxx xx xy C xe dx e C xe dx e C dx x

C x x Cx x

− − ∫ ∫ = + = + = + =

+ = +

∫ ∫ ∫

Por lo que una solución se encuentra en b).

2. La respuesta es b), pues xy

x

xy

yx

dx

dy 222

−−=−−= .

3. Puesto que ( ) 222 2 nxxyynxxyy

+=+∂∂

y ( ) xyxyxxx

23 223 +=+∂∂

, se concluye

que para que estas derivadas sean iguales y por consiguiente la ecuación sea exacta, 3=n . La respuesta es d). 4. Las soluciones de la ecuación característica son 1m y 2m . Por tanto, la respuesta es a).

5. La respuesta es c), ya que al multiplicar la ecuación dada por ( ) 3

1,x y

xyµ =

se obtiene la ecuación 3

1 10xdx dy

y y

+ + =

, que es exacta pues

( ) 3

1 10x

y x y y

∂ ∂= = + ∂ ∂ .

6. La ecuación característica es ( )( ) ( )( ) 0332

1 =−−+−

+ imimm , o bien

( )( ) ( )( ) 0332

1 =−−+−

+ imimm . Como

( )( ) ( )( ) ( ) 106196333 2222 +−=++−=−−=−−+− mmmmimimim , entonces

( ) 01062

1 2 =+−

+ mmm , es decir, ( )( ) 010612 2 =+−+ mmm , de donde se

obtiene que la ecuación característica es 01014112 23 =++− mmm . La ecuación pedida se encuentra en la opción a). 7. Como puede apreciarse, las soluciones de la ecuación homogénea correspondiente son xe y xe− , por lo que la solución particular para el caso de una exponencial, será de la forma xBxe y de una constante es de la forma A ,



por lo que entonces la suma da la solución particular para el problema. La respuesta es c). 8. La ecuación característica es 22 2 3 0m m+ + = , cuya solución por la fórmula general es

( ) ( )( )

22 2 4 2 3 2 20 2 2 5 1 15

2 2 4 4 2 2

im i

− ± − − ± − − ±= = = = − ± . Por lo tanto la

solución general de la ecuación dada se encuentra en la opción a).

9. La ecuación dada es homogénea, por lo que al realizar la sustitución y

ux

= ,

la ecuación dada se convierte en 21du

u x u udx

+ = + − , que se reduce a

21du

x udx

= − , que es de variables separables. Al aplicar este procedimiento

queda:

21

du dx

u x=

−∫ ∫ , y como 2

1 1ln

1 2 1

du u

u u

+=− −∫ y ln ln

dxx c

x= +∫ , entonces

1 1ln ln

2 1

ucx

u

+ =−

y por las propiedades de los logaritmos ( )21ln ln

1

ucx

u

+ =−

, de

donde 2 21

1

uc x

u

+ =−

. Realizando la sustitución indicada arriba se tiene que la

solución es

2 2

2 2

1

1

y

x c xy

x

x yc x

x y

+=

−

+ =−

.

Despejando y se tiene que

( )( )

( )

2 2

2 2

2 2 2 3

2 2

2 2

1

1

1

x yc x

x y

x y c x x y

c x y c x x

x c xy

c x

+ =−+ = −

+ = −

−=

+

La respuesta es b).



10. La solución de 2'' 0y k y+ = es 1 2sin coscy c kx c kx= + . Por lo tanto la solución

particular de la ecuación dada tendrá la forma: sin cospy A bx B bx= + . Puesto

que '' 2 2sin cospy Ab bx Bb bx= − − , entonces

( ) ( )( )

2 2 2 2 2

2 2

sin cos sin cos sin

cos sin

Ab bx Bb bx k A bx B bx A k b bx

B k b bx bx

− − + + = − +

− =, de donde

0B = y 2 2

1A

k b=

−, por lo tanto la respuesta es c).

11. La solución de la ecuación homogénea correspondiente es

2 5

1 2

x x

cy c e c e= + . La solución particular tendrá la forma x

py Ae= y puesto que

sus derivadas son iguales, al sustituir esta expresión en la ecuación dada obtenemos 4 24x xAe e= de donde 4 24A = y 6A = . Por tanto 6 x

py e= y en

consecuencia la solución general es xxx eececy 65

2

2

1 ++= . La respuesta es a). 12. En este caso ( ),M x y x y= + y ( ), ln/ x y x x= . Puesto que

( )1 1 ln 1

ln

y xM / x

/ x x x

− − += = − , la ecuación tiene un factor integrante que depende

de x, el cual está dado por 1

ln 1dxxxe e

x

− −∫ = = .

Al multiplicar la ecuación por este factor resulta 1 ln 0ydx xdy

x

+ + =

, por lo que

existe una función ϕ tal que 1y

x x

ϕ∂ = +∂

y ln xy

ϕ∂ =∂

. Integrando esta última

relación con respecto a y, se tiene que ( ) ( ), lnx y y x f xϕ = + , y al derivarla con

respecto a x, se llega a que '( ) 1f x = , de donde ( )f x x= . Por lo tanto

( ), lnx y y x xϕ = + y la solución es entonces lny x x c+ = . La respuesta es d).

13. Si

0Q representa la cantidad inicial de plutonio 241, la cantidad Q estará

dada por 0.0525

0( ) tQ t Q e−= . Se quiere el tiempo T, tal que 0

1( )

2Q T Q= , de donde

se obtiene la ecuación 0.0525 1

2

Te− = y así

1ln

213.2

0.0525T

= =

−. La respuesta es b).

14. La ecuación del sistema masa - resorte es 2'' 0y yω+ = , donde 2 k

mω = y k

es la constante del resorte y m la masa del objeto. De la ley de Hooke 2 0.5k= ,

(se hace la conversión a pies) de donde 4k = . Por otro lado 2 1

32 16m = = y así

2 64ω = . Por lo tanto la ecuación del resorte es '' 64 0y y+ = sujeta a las



condiciones ( ) 10

4y = y '(0) 0y = (suponiendo que hacia abajo las cantidades

son positivas). La solución de la ecuación es sin8 cos8y A t B t= + , por lo que de la primera

condición se ve que 1

4B = . Derivando la solución se obtiene

' cos8 sin8y A t B t= − de donde 0A = . Por lo tanto la solución se encuentra en a). 15. Como la pendiente de la recta tangente en un punto es la derivada de la función en ese punto, las condiciones del problema conducen a la ecuación dy

axdx

= , por lo que la respuesta es d).

16. Se obtiene la ecuación de la familia de curvas derivando implícitamente la ecuación dada con respecto a x:

2 2 0dy

y xdx

− = , de donde se obtiene dy x

dx y= . Las trayectorias ortogonales

satisfacen la ecuación dy y

dx x= − , que al aplicar separación de variables se

obtiene 0dy dx

y x+ = , que al integrarla da ln ln lny x c+ = o bien ( )ln lnxy c= , que

por las propiedades de la exponencial da la solución a).

17. La ecuación que rige el crecimiento del cultivo es dQ

kQdt

= , sujeta a la

condición inicial (0) 500Q = .La solución del problema de valor inicial es

( ) 500 ktQ t e= . Como (3) 8000Q = entonces 3500 8000ke = , de donde

8000ln

5000.924

3k

= = . Por lo tanto 0.924( ) 500 tQ t e= .

Para determinar el tiempo T para el cual ( ) 30000Q T = , hay que resolver la

ecuación 0.924500 30000Te = , o bien

30000ln

5004.43

0.924T

= = . La respuesta es d).

18. La cantidad de dinero a cualquier instante t que se genera por un interés

de 100

r de manera continua se obtiene mediante 100( )

rt

oQ t Q e= donde 0Q es la

cantidad inicial (o depósito). Se busca r de tal manera que

0(8) 2Q Q= , de lo cual se obtiene la ecuación 8

1000 02

r

Q e Q= , de donde 100ln 2 25

ln 28 2

r = = . La respuesta es c).



19. La descripción de este problema está dada por la ecuación ( )m

dTk T T

dt= − ,

donde 0k < (constante) y 12mT = . La solución de esta ecuación es

( ) 12 ktT t ce= + . Como (0) 70T = , se tiene que 58c = y con 1

402

T =

obtenemos 14

2 ln29

k =

. Así 14

( ) 12 58exp 2ln29

T t t = +

.

Por tanto, (2) 15.15T = . La respuesta es c). 20. Con los datos proporcionados, la ecuación a resolver es 1

'' 3 ' 100 010q q q+ + = . Por lo que la ecuación característica es

2 30 1000 0m m+ + = . Resolviendo esta ecuación, 15

1 2( ) cos5 31 sin5 31tq t e c t c t− = + , pero la condición (0) 0q = , da la solución

15

2( ) sin 5 31tq t c e t−= . Derivando esta relación se obtiene la corriente y con la condición de que 2I = , se llega a la solución que es d).

21. Las raíces de la ecuación característica son 1

12

3z i= + así como su

conjugado, de esta manera ( )( ) 2

1 1

374

9m z m z m m− − = − + . Por lo tanto la

ecuación diferencial buscada es 9 '' 36 ' 37 0y y y− + = . La respuesta es b). 22. La ecuación característica es ( )( )2 3 24 5 6 15 100m m m m m− + = + − − . La

ecuación pedida es d). 23. Derivando 2 veces la función dada y sustituyendo sus derivadas en la ecuación dada se obtiene ( ) ( ) ( )2 6 3 2Ax Axλ λλ λ λ λ+ − = + − , por lo que se

debe tener que 3λ = − y 2λ = . La respuesta es c). 24. La ecuación dada es exacta pues

( )( ) 1

1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 2

22 2

1 1

2 2

x xy x y x y x x y

y x y xx y

−− − − − ∂ ∂ + = − = + + ∂ + ∂ +. La

respuesta es b). 25. Si P es la cantidad de fermento, la ecuación que describe su crecimiento es dP

kPdt

= , sujeta a la condición inicial 0(0)P P= ,donde

0P es el fermento inicial y

k es una constante. La solución de este problema de valor inicial es

0( ) ktP t P e= .



Como 0(1) 2P P= , ln 2k = . Así ( )ln 2

0( )t

P t P e= . Para la cantidad pedida se tiene

que ( ) 11ln2

4

0 0

116.72

4P Pe P

= =

. La respuesta es c).

26. La fórmula para resolver ecuaciones lineales en este caso lleva la integral de una trigonométrica multiplicada por una exponencial, lo que lleve a que esta función también es trigonométrica por una exponencial, lo que afirma que las opciones b), c) y d) no pueden ser. Por lo tanto la respuesta es a). 27. La respuesta es c). 28. La respuesta es d).

29. Se escribe la ecuación dada como 3 2x ydye e

dx= , de donde 2 3y xe dy e dx− = , que

al integrar da la respuesta que es a).

30. Se escribe la ecuación como di R E

idt L L

+ = que es lineal, por lo que:

( )R R R R R R Rdt dt t dt t t t

L L L L L L LE E E L E

i t C e dt e C e dt e C e e CeL L L R R

− − − − ∫ ∫ ∫= + = + = + = +

∫ ∫ .

La condición 0(0)i i= , da que 0

EC i

R= − . Por tanto la solución es a).

31. La solución particular debe ser de la forma x c= y puesto que sus derivadas son cero, se tiene que 2c Aω = , de donde la solución particular es la que se encuentra en a). 32. La raíz -2 genera una ecuación de tercer grado y la compleja de multiplicidad 2 genera una de cuarto grado, entonces la respuesta es d).

33. Paco tiene razón pues si ( )y t t= entonces 1 1

11 1

dy y t

dt t t

+ += = =+ +

. Hugo

también tiene razón porque ( )2 11 2 1 1

21 1 1

tdy y t

dt t t t

++ + += = = =+ + +

. La respuesta es

b). 34. Como la gráfica tiene intersecciones con el eje x, la solución lleva funciones seno y coseno, por lo que las raíces de la ecuación característica son complejas, pero además dichas intersecciones no están igualmente espaciadas, la solución también lleva una exponencial. La única ecuación cuyas raíces cumplen las condiciones dadas es la que se encuentra en d),



35. Un factor de la ecuación característica es 1m − . Los otros dos son ( )( )1 2m i− − y ( )( )1 2m i− + . La ecuación característica es entonces

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2

3 2

1 1 2 1 2 1 1 4 1 2 5

3 7 5 0

m m i m i m m m m m

m m m

− − + − − = − − + = − − +

= − + − =

La ecuación pedida se encuentra en b). 36. La ecuación homogénea correspondiente tiene por solución

cos 2 sin 2y A x B x= + . La solución particular de la no homogénea tendrá la

forma 2

py a bx cx= + + , como '' 2py c= , entonces se tiene que

( )2 22 4 8c a bx cx x+ + + = , de donde se obtiene el sistema

4 8

4 0

4 2 0

c

b

a c

==

+ =,

y así 1a = − , 0b = y 2c = . La solución particular es pues 22 1py x= − . En

consecuencia la solución es la que se encuentra en b).

37. Se tiene que ( )2 2( ) '( )y f x y f xx

∂ =∂

y ( )( ) sin '( ) sing y x g y xy

∂ =∂

. De modo

que estas parciales son iguales si '( ) sinf x x= y 2'( )g y y= . Por consiguiente

( ) cosf x x= − y 3

( )3

yg y = . La respuesta es c).

38. La respuesta es a), pues al derivar la potencia 7

2, queda como resultado

una potencia 5

2, que al volverse a derivar queda un potencia

3

2.

39. La solución se obtiene mediante la solución de la ecuación característica

22 3 1 0m m− + = , cuyas soluciones son ( ) ( )( )

( )

23 3 4 2 1 3 1

2 2 4m

± − − ±= = o bien,

1 1m = y 2

1

2m = . La solución es a).

40. La solución general se obtiene mediante ( ) ( )9 1014 5 4 5

40y x dx x C= + = + +∫ .

La respuesta es c). 41. La respuesta es d).

42. Se escribe 2dy y

dx x= + , por lo que es homogénea. Mediante la sustitución

yu

x= , la ecuación dada se transforma en 2

duu x u

dx+ = + , o bien 2

duxdx

= y así



2du dx

x= , por lo que 22ln lnu x x C= = + y de aquí ( )2lny C x x= + . La solución

es d).

43. 2 25 3 2 3 2 2 51 1

3 3

dx dxx x x x x x xy C e e dx e C e dx e C e e Ce e− ∫ ∫ = + = + = + = +

∫ ∫ . La

respuesta es b). 44. Recordando las propiedades de los exponentes la ecuación se escribe

como x ydyxe e

dx

−= − , que al utilizar el proceso de separación de variables da

y xe dy xe dx− −= − , que da como resultado ( )1y xe x e c− −− = + + , de donde se

obtiene que ( )1x ye x C− = − + + . La respuesta es d).

45. La razón a la que produce el dulce está dado por dQ

dt , por lo cantidad de

dulce que le queda al tiempo t es 10

dQ Q

dt− y esta cantidad es igual a 500. Por lo

tanto la respuesta es a). 46. La opción correcta es a), pues ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( )ln ln ln ln ln ln( ) ln( ) ln( ) ln ln ln( ) ln( ) 1

ln 1 ln 1

x y exy x y e x y x y x y

x y

+ = + + + = + + +

= + + 47. El estudiante 2 es el que está aprendiendo más rápido en el instante 0t = . La respuesta es b). 48. La población a cualquier instante de tiempo está dada por 0.4

0

tP e . El tiempo

T para el que la población se triplica es 0.4

0 03TP e P= . De donde ln 3

2.750.4

T = ≈ .

La respuesta correcta es a). 49. El capital al tiempo t (en años) estará dado por 0.0610000 te . De modo que el capital a los 18 años es ( )0.06 (18)

10000 29446.8e ≈ , que se encuentra en el inciso a). 50. Si ( )/ t representa el número de bacterias al tiempo t, entonces

( ) 500 kt/ t e= , donde k es una constante que se ha de determinar. Puesto que,

cuando 3, 8000t /= = , entonces 1 8000ln 0.924

3 500k

= =

. En consecuencia

0.924( ) 500 t/ t e= . El tiempo para el cual 30000/ = se obtiene mediante

1 30000ln 4.43

0.924 500t

= =

(en horas).



51. La EDO dada es separable pues ( )( )2 2 2 1du

u t tu t udt

= + + + = + + . Se tiene

entonces que ( )21

dut dt

u= +

+, que al integrar da ( )

2

ln 1 22

tu t C+ = + + . Aplicando

exponencial a ambos lados, se tiene que la respuesta se encuentra en a). 52. La respuesta es b), pues ' xy ce−= − y ' 1 1x xy y ce ce− −+ = − + + = . 53. La opción correcta es b). La condición inicial (0) 2y = es trivialmente cumplida por la función. La derivada de un polinomio por una exponencial nuevamente es de esa forma, por lo que la evaluación en cero, es cero. 54. La solución de la EDO dada es

( )( ) kt kt kt kt ktr rx t C re dt e C e e Ce

k k

− − − = + = + = +

∫ . De esto se deduce que el

límite pedido es r

k que se encuentra en c).

55. Ocupando la regla de Horner se ve que la ecuación característica

4 32 2 1 0m m m+ − − = es equivalente a ( ) ( )31 1 0m m+ − = , lo que la solución de la

EDO dada se encuentra en c). 56. La respuesta es d). 57. La respuesta es d), pues esta cantidad no puede expresarse como combinación lineal de las funciones dadas. 58. La respuesta es c), ya que al aplicar separación de variables, integrar entre 0 y x, se obtiene

( )ktXe

X

α βαβ βαβ α

−− =−

,

de donde se obtiene ( )

( )

kt

kt

eX

e

α β

α βαβ αβ

α β

−

−

−=−

, que es equivalente a lo dicho.

59. La población crece de acuerdo a la expresión 0

ktP e , donde k, es la constante de crecimiento. Como a las dos horas la población se duplica,

entonces 2

0 02kP e P= , de donde se obtiene que ln 2

0.34662

k = ≈ . El tiempo para

el cual, la población se triplica es 0.3466

0 03tP e P= , o bien ln 3

3.170.3466

t = ≈ , que se

encuentra en b).



60. El PVI correspondiente es 2

(1) 1

dyy

dx

y

=

=. La solución de la EDO es 2x cy e += . Al

sustituir la condición inicial y aplicar logaritmo se llega a que 2c = − . La respuesta correcta es d).

Documents

Mate Ma Tic as 09