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matematicas para primes semestre
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UNIVERSIDAD CENTRAL
DEL ECUADOR
FACULTAD DE
CIENCIAS
ADMINISTRATIVAS
CONTABILIDAD Y AUDITORA
PORTAFOLIO DE MATEMTICA I
PRIMER HEMISEMESTE
ARQUITECTO ALBERTO ARROYO
JESSICA PAULINA SANTACRUZ TOASA
CA 1 - 1
1
NDICE
Hoja de vida 3
Slabo 4
Filosofa Corporativa 5
Datos Informativos 6
Descripcin de la Asignatura 7
Competencia de la Asignatura y aprendizaje 8
Objetivos de la Asignatura 9
Contribucin de la asignatura 10
Competencias genricas 10
Componentes que deben ser considerados 10
Conocimientos 11
Programacin de unidades de competencia 11
Estrategias metodolgicas 18
Recursos para el aprendizaje 19
Evaluacin 20
Fuentes bibliogrficas 20
Materia 21
Nmeros Reales 22
Intervalo 23
Ecuaciones de Primer grado 25
Costos 26
Desigualdades 28
Funciones y Grficas 29
Dominio 30
Formas de representar una funcin 31
Diagrama de flechas 31
Funcin constante 32
Funcin identidad 32
Funcin cuadrtica 32
Tabulacin 32
Grfica 33
Tipos de funciones 34
Funcin identidad 34
Funcin constante 34
Funcin raz cuadrada 35
Funcin escaln unitario 35
Funcin mximo entero 36
Funcin cuadrtica 36
Funcin exponencial 36
Funcin logartmica 37
Lugar Geomtrico 37
Intercepcin a los ejes 37
Simetras 37
Campos de variacin 38
Asntotas 38
Grfico 38
Funcin Lineal 39
Aplicacin De La Funcin Lineal 40
3
HOJA DE VIDA
NOMBRES: Jessica Paulina Santacruz Toasa
LUGAR Y FECHA DE NACIMIENTO: Quito Ecuador, 22 de Julio de 1994
EDAD: 20 aos
ESTADO CIVIL: Soltera
CDULA DE IDENTIDAD: 1726314121
TELFONO: 3430185
CELULAR: 0987793028
ESTUDIOS PRIMARIOS: Colegio Franciscano Particular Alvernia
ESTUDIOS SECUNDARIOS: Colegio Franciscano Particular Alvernia
TTULO: Qumico Bilogo
ESTUDIOS UNIVERSITARIOS: Universidad Central del Ecuador
FACULTAD: Ciencias Administrativas
CARRERA: Contabilidad y Auditora
5
UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS CARRERA DE
CONTABILIDAD Y AUDITORIA
SLABO
EJE BSICO
MATEMTICA I
SEMESTRE: OCTUBRE 2014- MARZO 2015
6
FILOSOFA CORPORATIVA DE LA FACULTAD
Visin de la UCE
La Universidad Central del Ecuador continuar en el liderazgo de la educacin
superior, de la produccin de ciencia, tecnologa, cultura y arte y en la formacin de
profesionales con profunda responsabilidad social.
Misin de la UCE
La Universidad Central del Ecuador forma profesionales crticos de nivel
superior, comprometidos con la verdad, justicia, equidad, solidaridad, valores ticos y
morales, genera ciencia, conocimientos, tecnologa, cultura y arte; y, crea espacios para
el anlisis y solucin de problemas nacionales.
Visin de la FCA
Mantener a la Facultad de Ciencias Administrativas como la primera del pas y
una de las mejores de Amrica, impartiendo una formacin excelente que permita que
las nuevas generaciones lideren los sectores pblico y privado, desarrollndoles
destrezas y habilidades para optimizar los recursos del pas y de las empresas que
impulsan el desarrollo nacional, a largo plazo.
Misin de la FCA
Formar administradores competitivos y comprometidos con el desarrollo del
pas, con conocimientos cientficos y tecnolgicos, con principios y valores, que
respondan a las necesidades del sector pblico y privado y el bienestar de la comunidad.
Visin de la Carrera
Mantener el liderazgo en la formacin profesional de la administracin
financiera, siendo un modelo educativo de mayor influencia a nivel nacional y de
Latinoamrica, con competencias que propicien el desarrollo econmico del Pas.
Misin de la Carrera
Formar profesionales e investigadores en el mbito Contable-Financiero, con
conciencia tica y solidaria, contribuyendo con la administracin pblica y privada del
pas a la vigencia del orden legalmente constituido y a estimular su vinculacin con la
sociedad.
7
Perfil de egreso de la carrera
Diseo, asesoramiento y solucin de sistemas y problemas de carcter contable y
financiero; habilidad de razonar e interpretar datos e informacin sobre negocios;
anlisis e interpretacin de estados financieros; manejo de informacin oficial as como
la capacitacin y riesgo del origen y aplicacin de los recursos utilizados en las diversas
transacciones. Debe as mismo poseer una visin y criterio analtico para recopilar,
examinar y evaluar informacin sobre las diversas transacciones y emitir opiniones
sobre su razonabilidad.
1. DATOS INFORMATIVOS
1.1. Nombre de la Asignatura: Matemtica I
1.2. Nombre del Docente: Arq. Alberto Arroyo V.
1.3. Cdigo de asignatura Cdigo
UNESCO
Cdigo Facultad
5.CA1.5.5
1299
1.4. Nmero de crditos: 6
1.5. Semestre: Primero
1.6. Eje de formacin: Bsico
1.7. Ciclo de estudios: Octubre 2014 a Marzo 2015
1.8. Nmero de horas presenciales: 100
1.9. Nmero de horas de tutoras: 20
1.10. Horario De Lunes a Viernes de 7:00 a 12:00 horas
1.11. Prerrequisitos: (Cdigo
de cada una de las asignaturas)
1.12. Correquisitos:
(Cdigo de cada una de las asignaturas
Contabilidad General I 5.CA1.2.4 Metodologa de la Investigacin 5.CA1.6.2 Administracin I 5.CA1.1.5 Lenguaje y Tcnicas de Comunicacin 5.CA1.4.2
2. DESCRIPCIN DE LA ASIGNATURA (Descripcin del curso)
La matemtica es una forma de conceptualizar la realidad y representar
relaciones. Esta ha tenido un desrrollo y evolucin tan antigua como la evolucin de
nuestra especie es el lenguaje en el que se expresan las leyes de todas las ciencias.
8
Tiene dinmica propia, no necesita referente para justificar su existencia Valentina
Aguilar (2002).
La matemtica es una ciencia que permite conceptualizar la realidad, se considera
el insumo de todas las dems ciencias, entonces la matemtica le proporcionar al
estudiante herramientas para comprender las reas de especialidad y problemas de su
entorno.
El profesional de las ciencias administrativas requiere modelar e interpretar la
realidad, resolver aplicaciones en las diferentes esferas econmicas, financieras y
sociales, desarrollar su pensamiento formal, razonamiento logico, as como tambin
perfeccionar hbitos de exactitud, orden, perseverancia, optimizacin de recursos y de
trabajo en equipo. Aqu yace la importancia de la matemtica en su formacin profesional
y personal, ya que sta es herramienta e insumo que posibilita la modelacin de las
aplicaciones de las diferentes reas.
3. COMPETENCIA DE LA ASIGNATURA Y RESULTADOS DE APRENDIZAJE
3.1. Competencia de la asignatura:
Modela e interpreta problemas profesionales del rea de Contabilidad y Auditora,
aplicando las conceptualizaciones de Inecuaciones, Funciones, algebra de Matrices y
Sistema de Ecuaciones con orden, autonoma y exactitud.
3.2. Competencia por cada Unidad
3.2.1. Plantea y resuelve Inecuaciones con rigor cientfico, aplicando
conceptualizaciones matemticas y contables.
3.2.2. Conceptualiza y aplica las funciones lineales y cuadrticas, vinculando los
principios matemticos con el rea contable, con veracidad.
3.2.3. Conceptualiza y aplica las funciones exponenciales y logartmicas, vinculando los
principios matemticos con el rea contable, con precisin.
3.2.4. Caracteriza los diferentes tipos de ejercicios de algebra de matrices con exactitud y
orden, vinculando con modelos empresariales reales.
9
COMPETENCIAS ESPECFICAS RESULTADOS DEL
APRENDIZAJE
Resuelve Inecuaciones para afianzar
las temticas revisadas y de esta
manera comprender las problemticas
del rea, aplicando
conceptualizaciones matemticas y
contables, con rigor cientfico.
Comprende el planteamiento y
la resolucin de Inecuaciones,
aplicados a la empresa en el
rea contable.
Caracteriza los diferentes tipos de
funciones, con la finalidad de generar
modelos reales en el mbito
empresarial con exactitud y precisin,
aplicando funciones lineales,
cuadrticas y sistema de ecuaciones
no lineales.
Identifica grficos y funciones
aplicados a problemas
empresariales en el rea
contable.
Aplica las funciones exponenciales y
logartmicas vinculando los
principios matemticos con el rea
contable, con veracidad.
Plantea, resuelve e interpreta
casos empresariales y del
entorno en el rea contable,
econmica, financiera y social
con aplicacin de funciones
exponenciales y logartmicas.
Organiza con efectividad informacin
identificando variables cualitativas y
cuantitativas en matrices, para una
comprensin y comunicacin.
Plantea matrices que relacionen
variables cuantitativas y
cualitativas de forma efectiva.
4. OBJETIVOS DE LA ASIGNATURA
4.1. GENERALES: El estudiante que apruebe esta asignatura ser capaz de:
4.1.1. Modelar e interpretar situaciones actuales del entorno econmico, contable y social,
permitiendo conocer la realidad nacional, lo que promover el desarrollo de su
pensamiento lgico y crtico, despertando el compromiso y responsabilidad con su
formacin profesional.
4.2. ESPECFICOS: Al terminar el semestre, el estudiante ser capaz de:
4.2.1. Identificar algoritmos de solucin a problemas profesionales aplicando los
conceptos de matemticas.
4.2.2. Interpretar casos polmicos que estn representados por rectas, parbolas,
funciones exponenciales y logartmicas para toma de decisiones efectivas.
10
4.2.3. Determinar el valor de las variables que intervienen en el sistema de ecuaciones
planteado.
5. CONTRIBUCIN DE LA ASIGNATURA EN LA FORMACIN DEL
PROFESIONAL
5.1. La asignatura de Matemtica, aplicada a la Contabilidad y Auditora capacitar al
alumno para tomar decisiones de inversin, financiamiento y gestin de recursos
financieros en el sector pblico y privado.
5.2. Capacita para aplicar conocimientos matemticos en el anlisis cuantitativo y
cualitativo de los problemas empresariales.
6. COMPETENCIAS GENRICAS
6.1. Resuelve con solvencia problemas de inecuaciones aplicados a la empresa para
entregar soluciones efectivas con responsabilidad y solidaridad.
6.2. Identifica y resuelve con precisin problemas de funciones y grficas aplicados a la
empresa para la toma de decisiones.
6.3. Interpreta con orden problemas de funciones exponenciales y logartmicas para
evidenciar tendencias y comportamientos.
6.4. Organiza con exactitud, informacin y datos en matrices, que se pueda representar
como un sistema de ecuaciones lineales.
7. COMPONENTES QUE DEBEN SER CONSIDERADOS EN LA
ELABORACIN DE LAS COMPETENCIAS
HABILIDADES ACTITUDES
Identificar
Analizar
Graficar
Explicar
Interpretar
Resolver problemas
Precisin
Exactitud
Orden
Iniciativa
Perseverancia
Responsabilidad
Honestidad
Solidaridad
11
8. CONOCIMIENTOS
UNIDAD I: Desigualdades e Inecuaciones
UNIDAD II: Funciones y Grficas. Funcin lineal y cuadrtica. Sistemas No Lineales
UNIDAD III: Funcin exponencial y logartmica
UNIDAD IV: Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales.
9. PROGRAMACIN DE UNIDADES DE COMPETENCIA
12
UNIDAD I DESIGUALDADES O INECUACIONES
OBJETIVO: Resuelve con solvencia problemas de inecuaciones aplicados a la empresa para dotar de soluciones efectivas con responsabilidad y
solidaridad.
COMPETENCIA
DE LA UNIDAD
N DE
HORAS
ELEMENTOS DE
COMPETENCIA (contenidos)
TRABAJO AUTNOMO TCNICAS/INSTRUMENTOS
DE EVALUACIN
CRITERIO DE
VALORACIN
Resuelve
Inecuaciones para
afianzar las
temticas revisadas
y de esta manera
comprender las
problemticas del
rea, aplicando
Conceptualizaciones
matemticas y
contables, con rigor
cientfico.
2
4
4
4
4
1.1 Ecuaciones, propiedades y
aplicaciones.
1.2 Inecuaciones,
Conceptualizacin y
propiedades.
1.3 Desigualdades lineales,
propiedades y aplicaciones.
1.4 Desigualdades cuadrticas,
propiedades y aplicaciones.
1.5 Inecuaciones con Valor
absoluto, propiedades,
ejercicios y aplicaciones.
Realiza trabajos siguiendo
modelos resueltos en clase.
Formula problemas con
uso de desigualdades.
Plantea y resuelve
aplicaciones de problemas
cotidianos de la empresa
aplicando desigualdades e
inecuaciones.
Trabajo individual - Prueba
escrita. Estudio de casos Procedimiento de resolucin.
Clase magistral
Exposicin Material de soporte. Participacin en el aula virtual.
Tcnica de Cuestionamiento -
Cuestionario.
Pruebas Formato de evaluacin. Taller Conjunto de ejercicios de aplicacin.
Proyecto Integrador Perfil de Presentacin y Defensa (Medios
de soporte).
Dominio
Avance
Proceso
Inicio
METODOLOGA :
Estrategias:
Trabajar hacia atrs.
Analogas problema ms simple.
RECURSOS
Aula de clase
Aula virtual de cada docente.
Libros y folletos.
Net grafa
Pizarra y tiza liquida de varios colores
Computador y Proyector
BIBLIOGRAFA
Haeussler.Jr., E. F., & Wood, R. S. (2008). Matemticas para
Administracin y Economa. Mxico: Prentice Hall - Decimosegunda
edicin.
Arya-Lardner, J. C. (1993). Matemticas Aplicadas a la
Administracin y a la Economa. Mxico: PRENTICE HALL
HISPANOAMERICANA S.A.-
Tercera edicin.
13
Resultado de Aprendizaje: Comprende el planteamiento y la resolucin de Inecuaciones, aplicados a la empresa en el rea contable.
Juicio de valor: Rigor cientfico, responsabilidad, nivel de interpretacin de informacin y datos.
UNIDAD II FUNCIONES Y GRFICAS
OBJETIVO: Identifica y resuelve con precisin problemas de funciones y grficas aplicados a la empresa para la toma de decisiones.
COMPETENCIA
DE LA UNIDAD
N DE
HORAS
ELEMENTOS DE
COMPETENCIA
(contenidos)
TRABAJO AUTNOMO TCNICAS/INSTRUMENTOS
DE EVALUACIN
CRITERIO DE
VALORACIN
Caracteriza los
diferentes tipos de
funciones, con la
finalidad de generar
modelos reales en el
mbito empresarial
con exactitud y
precisin, aplicando
funciones lineales,
cuadrticas y sistema
de ecuaciones no
lineales.
6
6
4
4
4
4
2.1 Funciones:
conceptualizacin y
caracterizacin.
2.2 Funciones Especiales:
conceptualizacin. Lugares
Geomtricos.
2.3 Funciones Lineales:
conceptos y aplicaciones.
2.4 Funciones Cuadrticas:
conceptos y aplicaciones.
2.5 Combinacin de
funciones: operaciones,
ejercicios, aplicaciones y
composicin de funciones.
2.6 Sistema de ecuaciones
lineales y no lineales.
Aplicaciones.
Identificacin de
funciones. Elaboracin de
grficas y anlisis de
frmulas.
Caractersticas de las
grficas: Dominio,
recorrido, ceros, signo,
crecimiento,
decrecimiento, mximos,
mnimos, tendencia.
Determinar reglas de
correspondencia de
variables que estn
relacionadas mediante una
funcin lineal y
cuadrtica.
Construir nuevas
funciones mediante la
combinacin de funciones.
Trabajo individual - Prueba
escrita.
Estudio de casos Procedimiento de resolucin.
Clase magistral
Exposicin Material de soporte. Participacin en el aula
virtual. Tcnica de
Cuestionamiento - Cuestionario.
Pruebas Formato de evaluacin. Taller Conjunto de ejercicios de aplicacin.
Proyecto Integrador Perfil de Presentacin y Defensa (Medios
de soporte).
Dominio
Avance
Proceso
Inicio
Proceso
Inicio
14
METODOLOGA :
Estrategias:
Algoritmo: Hacer figuras,
esquema, diagrama, tabla.
Buscar regularidades o
patrones. Utilizar el lgebra
para expresar relaciones.
Imaginar el problema resuelto -
grfica.
RECURSOS
Aula de clase
Aula virtual de cada docente.
Libros y folletos.
Net grafa
Pizarra y tiza liquida de varios colores
Computador y Proyector
BIBLIOGRAFA
Haeussler.Jr., E. F., & Wood, R. S. (2008).
Matemticas para Administracin y Economa.
Mxico: Prentice Hall - Decimosegunda edicin.
Arya-Lardner, J. C. (1993). Matemticas Aplicadas
a la Administracin y a la Economa. Mxico:
PRENTICE HALL HISPANOAMERICANA S.A.-
Tercera edicin.
Resultado de Aprendizaje: Identifica grficos y funciones aplicados a problemas empresariales en el rea contable.
Juicio de valor: Exactitud, Precisin, responsabilidad y honestidad.
UNIDAD III FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARITMICA
OBJETIVO: Resolver problemas de funciones exponenciales y logartmicas
COMPETENCIA
DE LA UNIDAD
N DE
HORAS
ELEMENTOS DE
COMPETENCIA
(contenidos)
TRABAJO
AUTNOMO
TCNICAS/INSTRUMENTOS DE
EVALUACIN
CRITERIO DE
VALORACIN
4 4.1 Funcin exponencial. Dominio
15
Aplica las
funciones
exponenciales
y
logartmicas
vinculando los
principios
matemticos con
el rea contable,
con veracidad.
4
4
6
4
4.2 Funciones logartmicas
4.3 Propiedades de
los
logaritmos
4.4 Ecuaciones
logartmicas y
exponenciales.
4.5 Aplicaciones de
funciones logartmicas y
exponenciales.
Graficas de curvas
exponenciales y
logartmicas con
valores enteros y
fraccionarios.
Resolucin de
problemas de
aplicacin.
Trabajo individual - Prueba escrita.
Estudio de casos Procedimiento de resolucin.
Clase magistral
Exposicin Material de soporte. Participacin en el aula virtual.
Tcnica de Cuestionamiento -
Cuestionario.
Pruebas Formato de evaluacin. Taller Conjunto de ejercicios de aplicacin.
Proyecto Integrador Perfil de Presentacin y Defensa (Medios de
soporte).
Avance
Proceso
Inicio
METODOLOGA :
Estrategias:
Algoritmo: Hacer figuras, esquema,
diagrama, tabla.
Buscar regularidades o patrones.
Utilizar el lgebra
para expresar relaciones.
Imaginar el problema resuelto -
grfica.
Estudio de casos.
RECURSOS
Aula de clase
Aula virtual de cada docente.
Libros y folletos.
Net grafa
Pizarra y tiza liquida de varios colores
Computador y Proyector
BIBLIOGRAFA
Haeussler.Jr., E. F., & Wood, R. S. (2008).
Matemticas para Administracin y Economa.
Mxico: Prentice Hall - Decimosegunda edicin.
Arya-Lardner, J. C. (1993). Matemticas
Aplicadas a la Administracin y a la Economa.
Mxico: PRENTICE HALL
HISPANOAMERICANA S.A.-
Tercera edicin.
Resultado de Aprendizaje: Plantea, resuelve e interpreta casos empresariales y del entorno en el rea contable, econmica, financiera y social con
aplicacin de funciones exponenciales y logartmicas.
Juicio de valor: Veracidad, competitividad, solidaridad.
16
UNIDAD IV MATRICES Y SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
OBJETIVO: Resolver problemas aplicados a la empresa con el fundamento de matrices.
COMPETENCIA
DE LA UNIDAD
N DE
HORAS
ELEMENTOS DE
COMPETENCIA
(contenidos)
TRABAJO AUTNOMO TCNICAS/INSTRUMENTOS
DE EVALUACIN
CRITERIO DE
VALORACIN
Organiza con
efectividad
informacin
identificando
variables
cualitativas y
cuantitativas en
matrices, para una
comprensin y
comunicacin.
6
6
2
4
6
4.1 Matrices: conceptos,
clases, ejercicios.
4.2 Operaciones con
matrices: ejercicios,
aplicaciones.
4.3 Matriz Inversa.
4.4 Resolucin de sistemas
de ecuaciones lineales, por
mtodos matriciales y
determinantes.
4.5 Resolucin de
problemas aplicados a la
empresa.
Desarrollo de inventarios en
Pymes del sector de
residencia del estudiante.
Levantar informacin de
tiempos, existencias,
materiales de produccin en
unidades de al menos dos
productos de una mini
industria del sector plantear y
resolver el sistema de
ecuaciones que optimice los
recursos disponibles de la
industria para estos
productos.
Trabajo individual - Prueba
escrita.
Estudio de casos Procedimiento de resolucin.
Clase magistral
Exposicin Material de soporte. Participacin en el aula
virtual. Tcnica de
Cuestionamiento - Cuestionario.
Pruebas Formato de evaluacin. Taller Conjunto de ejercicios de aplicacin.
Proyecto Integrador Perfil de Presentacin y Defensa (Medios
de soporte).
Dominio
Avance
Proceso
Inicio
17
METODOLOGA :
Estrategias:
Algoritmo: Hacer figuras, esquema,
diagrama, tabla.
Buscar regularidades o patrones.
Utilizar el lgebra
para expresar relaciones.
Estudio de casos.
Imaginar el problema resuelto -
grfica.
RECURSOS
Aula de clase
Aula virtual de cada docente.
Libros y folletos.
Pizarra y tiza liquida de varios colores
Computador y Proyector
BIBLIOGRAFA
Haeussler.Jr., E. F., & Wood, R. S. (2008). Matemticas para
Administracin y Economa. Mxico: Prentice Hall -
Decimosegunda edicin.
Arya-Lardner, J. C. (2008). Matemticas Aplicadas a la
Administracin y a la Economa. Mxico: PRENTICE HALL
HISPANOAMERICANA S.A.-
Tercera edicin.
Larson Ron Tan
Resultado de Aprendizaje: Plantea marices que relacionen variables cuantitativas y cualitativas de forma efectiva.
Juicio de valor: Veracidad, competitividad, solidaridad.
18
10.- ESTRATEGIAS METODOLGICAS
Ensear exige respeto a los saberes de los educandos.
Ensear exige respeto a la autonoma del ser del educando
Ensear exige seguridad, capacidad profesional y generosidad.
Ensear exige saber escuchar. Paulo Freire.
La importancia de la metodologa radica en su papel de organizar la forma en la cual se
manejan y dictan los contenidos para alcanzar el objetivo de formacin de profesional en
Contabilidad y Auditora.
Las estrategias metodolgicas para la enseanza son secuencias integradas de
procedimientos y recursos utilizados por el formador con el propsito de desarrollar en
los estudiantes capacidades para la adquisicin, interpretacin y procesamiento de la
informacin; y la utilizacin de estas en la generacin de nuevos conocimientos, su
aplicacin en las diversas reas en las que se desempean la vida diaria para, de este
modo, promover aprendizajes significativos.
Las Estrategias Metodolgicas recomendadas son:
La cooperacin: Genera una forma de interaccin centrada en el logro de
objetivos comunes, beneficiosos para todos y para cada uno. La interaccin positiva
redunda en un fortalecimiento personal a la vez que en un mejor desarrollo e integracin
grupal, aumentando la autoestima y la capacidad de relaciones solidarias y
comprometidas. El estmulo recproco coopera para realizar el mximo esfuerzo
acadmico por parte de los estudiantes.
Tanteo y error organizados (mtodos de ensayo y error): Consiste en elegir
soluciones u operaciones al azar y aplicar las condiciones del problema a esos resultados
u operaciones hasta encontrar el objetivo o hasta comprobar que eso no es posible.
Despus de los primeros ensayos ya no se eligen opciones al azar sino tomando en
consideracin los ensayos ya realizados.
Resolver un problema similar ms simple: Para obtener la solucin de un
problema muchas veces es til resolver primero el mismo problema con datos ms
19
sencillos y, a continuacin, aplicar el mismo mtodo en la solucin del problema
planteado, ms complejo.
Hacer una figura, un esquema, un diagrama, una tabla: En otros problemas se
puede llegar fcilmente a la solucin si se realiza un dibujo, esquema o diagrama; es decir,
si se halla la representacin adecuada. Esto ocurre porque se piensa mucho mejor con el
apoyo de imgenes que con el de palabras, nmeros o smbolos.
Buscar regularidades o un patrn: Esta estrategia empieza por considerar
algunos casos particulares o iniciales y, a partir de ellos, buscar una solucin general que
sirva para todos los casos. Es muy til cuando el problema presenta secuencias de
nmeros o figuras. Lo que se hace, en estos casos, es usar el razonamiento inductivo para
llegar a una generalizacin.
Trabajar hacia atrs: Esta es una estrategia muy interesante cuando el problema
implica un juego con nmeros. Se empieza a resolverlo con sus datos finales, realizando
las operaciones que deshacen las originales.
Imaginar el problema resuelto: En los problemas de construcciones geomtricas
es muy til suponer el problema resuelto. Para ello se traza una figura aproximada a la
que se desea. De las relaciones observadas en esta figura se debe desprender el
procedimiento para resolver el problema.
Utilizar el lgebra para expresar relaciones: Para relacionar algebraicamente
los datos con las condiciones del problema primero hay que nombrar con letras cada uno
de los nmeros desconocidos y en seguida expresar las condiciones enunciadas en el
problema mediante operaciones, las que deben conducir a escribir la expresin algebraica
que se desea resolver.
11.- RECURSOS PARA EL APRENDIZAJE
Aula de clase
Aula virtual
Biblioteca, pginas web
Videos utilitarios computacionales, conferencias y videoconferencias, talleres
Proyector
Computador
Graficadores: o Graph o Geogebra
20
12.- EVALUACIN
INSTRUMENTOS DE
EVALUACIN
Primer
Hemi
Puntaje Segundo
Hemi
Puntaje
Examen 50% 10 50% 10
Pruebas 12,5% 2,5 12,5% 2,5
Trabajo individual
(Exposicin-Tareas-
Lecciones)
12,.5% 2,5 12,5% 2,5
Trabajo grupal 12,5% 2,5 12,5% 2,5
Proyecto de Integracin con
la Sociedad
12,5% 2,5 12,5% 2,5
TOTAL 100% 20 100% 20
13.- FUENTES BIBLIOGRAFCAS
Larson, Ron; Edwards, Bruce H.: CLCULO 9na. Edicin, Editorial McGraw-Hill,
Mxico D. F., 2011.
Miller, Charles D.; Heeren Vern E.; Hornsby, John: MATEMTICA:
RAZONAMIENTO Y APLICACIONES, Dcimo Segunda Edicin, Ed. Pearson
Educacin, Mxico, 2013.
Tan, Soo T.: MATEMTICAS APLICADAS, A LOS NEGOCIOS, LAS CIENCIAS
SOCIALES Y LA VIDA, Quinta Edicin, Ed. Cengage Learning, Mxico 2011.
21
22
Nmeros Reales (R)
Racionales (Q):
Es todo nmero que se pueda expresar en forma
fraccionaria siendo cualquier nmero entero.
Naturales : sirven para contar y son los numeros primos y compuestos.
Enteros: se dividen en: +,-y 0.
Irracionales (Q')
todos los nmeros imposibles de contar.
Aporte personal: En conclusin podemos decir que los nmeros reales
son todos aquellos que nos permiten contar, sumar, restar, dividir y
multiplicar.
23
Intervalo:
Todos los valores que puede tomar la variable.
( = Incluye = ) Excluye
1. Df: XR, (2,10) 2. Interpretacin matemtica.
Pasos:
1. Identificar el lmite inferior y el superior.
2. Ubicamos la variable a la izquierda el lmite inferior y a la derecha el superior.
3. Relacionamos las variables con respecto a los lmites y utilizamos los smbolos o
lmites de las desigualdades. ,,
4. Se lee el intervalo del centro a la izquierda y del centro a la derecha.
Ejercicios:
2 x 10
XR; [2,10]
Incluye: ,
Excluye:
Li Ls X
2 10
0 2 10
24
-12 < x 4
XR; (-12,4]
- < x -6
XR; (-,-6]
2 > x >6
XR; (,2) U (6, )
- < x < 2 ^ 6 < x <
0 -12 4
0 -6
2 0 6
G
A
B
C
F
E
D
25
A= XR; (a, b] a < x b
B= XR; (b, ) b< x <
C= XR; [-c, a] -c x a
D= XR; (-, d) - < x < d
E= YR; [0, f) 0 x < f
F= YR; (-g, -h) -g > y >-h
G=YR; (-, ) - < y <
ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Es una expresin que indica una igualdad a=b.
Ecuacin: 3x 10 = 2x + 6
Inecuacin: 3x 10 2x + 6
La solucin de una ecuacin constituyen sus races las mismas que al ser
reemplazadas hacen vlida la ecuacin.
3x 2x = 6 + 10
x = 6
Ecuacin identidad:
La misma cantidad es vlida para cualquier valor numrico asignado a las
variables.
2 = 2
Ecuacin condicional:
Es vlida nicamente para un nmero limitado de valores de la variable.
X + 3 = 5
x = 2
Ecuacin de enunciado falso o contradiccin:
Nunca es verdad ya que no hay valor que pueda asignarse a las variables.
26
X = x + 5
Ecuaciones equivalentes:
Las que tienen las mismas races.
Grado de un polinomio:
Es el grado del trmino elevado a la mayor potencia.
3x + 5y = 3
2x2+ y 2 = 0
X3 + 2x2 + 5 = 3
COSTOS
Costos fijos (cf):
Es la suma de todos los costos que son independientes del valor de produccin.
Costos variables (cv):
Suma de todos los costos dependientes del nivel de produccin.
CF m= 0
m = + 1er grado
2do grado
27
Costos Totales (ct):
Es igual a la suma de los costos fijos ms los variables.
Ingresos totales (it):
Es el dinero que recibe un fabricante por la venta de su producto.
Punto de equilibrio:
Es el punto donde intercepta el ingreso y los costos.
Utilidad:
Todo lo que recibimos menos los gastos.
U = IT - CT
CT
Ingresos
Punto de equilibrio
Aporte personal: Las ecuaciones, costos
punto de equilibrio y utilidad tambin
son importantes para el mejor desarrollo
de las llamadas cuentas financieras.
28
Ejercicios:
17
9
( )
>
+
3(2 2)
2>
12 6 +
10
60 60 > 26 12
60 26 > 60 12
34 > 48
>48
34
DESIGUALDADES
Para una compaa que fabrica calentadores el costo combinado de mano de obra y de
material es de $21 por calentador. Los costos fijos son de 70000, si el precio de venta de
un calentador es de $35. Cuntos debe vender para que la compaa genere utilidades?
I= p*q
I=35q
U< IT CT
0 < 35q (21q+70000)
-70000 < 14q
5000 < q
R: debe vender 5001 calentadores para que la empresa genere utilidades.
Aporte personal: con las desigualdades
podemos determinar el valor mximo o
mnimo de un producto que debemos
vender.
29
FUNCIONES Y GRAFICAS
Funcin:
Una funcin es una regla que asigna a cada nmero de entrada exactamente un nmero
de salida.
A todos los nmeros de entrada se los llama dominio Dom (fx) y a todos los posibles
nmeros de salida se los llama rango o co-dominio Ran (fx).
Entrada Salida
Dom (fx) Ran (fx)
x+2y-3=0
Independiente Independiente
Dependiente Dependiente
Ejemplo:
Un hombre pesa 180 libras y bebe 4 cervezas una tras otra. Se sabe que su concentracin
de alcohol en la sangre, primero se elevara y luego se disminuir en forma paulatina hasta
0.
a) Cul es la mejor manera de describir que tan rpido se eleva la CAS?
b) En donde alcanza su nivel mximo
c) Qu tan rpido disminuye de nuevo?
d) Cuntas horas deben de pasar para que pueda conducir si el mnimo permitido es
de 0,05%?
Ecuacin: CAS=-0,1025t2+0,1844t
CAS=-0,102t+,047
TIEMPO 1 2 3 4 5 6
CAS 0,0826 0,067 0,0516 0,036 0,021 0.016
A
B
c
1
2
3
X=3-2y
X=3-2y
X=3-2y
X=3-2y
30
Dominio d(x):
El dominio consiste en todos los nmeros reales para los cuales la regla de la funcin
tenga sentido; esto es el conjunto de todos los nmeros reales para los cuales la regla
proporciona valores de la funcin y tambin son nmeros reales.
Ejemplo:
h(x)=1
6
x-6=0 D(x): R - 6
x=6
Ejercicios:
f(x)=3x2-2 D(x)= R
f(x)=
x-20 D(x): (2,+( x2
I(x)= + 25+2x0 2x-25 x-12,5 D(x): (-12,5; + (x-12,5
f(x)=
2x-3=0 D(x): R - 1, 5
2x=3
x=1,5
31
G(t)= 2t-10 2t1 D(x): (0,5; + ( t0,5
f(x)=
x2-x-2=0
(x-2)(x+1)=0 D(x): R- -1; 2
x=2 x=-1
f(x)= x-10 x1D(x): (1,+ (
f(x)=
D(x): R
FORMAS DE REPRESENTACIN DE UNA FUNCIN.
Diagrama de flechas:
Es importante recalcar que un diagrama de flechas representa una funcin si y
solo si de cada elemento del dominio sale una sola fecha.
Si a cada uno de los elemento del dominio se le asigna dos o ms elementos la
relacin no es una funcin.
Edad Altura
FUNCIN NO ES FUNCIN
10
11
15
1
1,20
1,40
A
B
C
11
15
20
F(a)
F(b)
F(c)
F(d)
1,20
1,40
1,80
32
Funcin constante:
Es la funcin que asocia todos los elementos del dominio con una sola imagen.
Funcin identidad:
A cada elemento del dominio se le asocia el mismo elemento de la imagen.
Funcin cuadrtica:
En esta funcin a algunos elementos del dominio se le asocian la misma imagen.
Tabulacin:
Consiste en representar los valores de la variable dependiente al asignar valores
arbitrarios a la variable independiente par que la tabla represente una funcin es
necesario que a cada valor de x no le corresponda ms de un valor de y.
-2
-1
1
2
11
15
20
2
-2
-1
1
2
11
15
20
-2
-1
1
2
11
15
20
-2
-1
1
2
11
15
20
4
1
33
Funcin
No es funcin
Grfica:
II I
(- +) (+ +)
III VI
(- -) (+ -)
Ejercicios:
Graficar las funciones:
f(x)=x
f(x)=x-3
f(x)=x+5
x y
2010 300
2011 200
2012 250
2013 350
x y
2010 300
2011 200
2010 250
2013 350
x -2 0 2
F(x) -2 0 2
x -2 0 2
F(x) -5 -3 -1
x -2 0 2
F(x) 3 5 7
TEOREMA DE LA RECTA
VERTICAL:
Consiste en pasar una recta vertical y
comprobar si corta en un solo punto es
funcin t si corta en ms de un punto
no es funcin.
34
Graficar:
f(x)=-1
Graficar las funciones valor absoluto
f(x)=|x-1|
f(x)=|x|
TIPOS DE FUNCIONES:
Funcin identidad:
Es una funcin lineal, la cual pasa por el origen de coordenadas, forma un ngulo de 45
y tiene una pendiente positiva.
Ejemplo: graficar las funciones:
a) f(x)=x
b) f(x)=x-2
c) f(x)=x+3
Funcin constante:
Esta funcin es paralela al eje x, su pendiente es igual a cero y tiene un punto pendiente
que corta en y b=n.
Ejemplo: f(x)=3
Funcin valor absoluto:
x -2 0 2
F(x) 3 1 1
x -2 0 2
F(x) 3 1 1
x -2 0 2
F(x) -2 0 2
x -2 0 2
F(x) -4 -2 0
x -2 0 2
F(x) -1 3 5
35
Graficar las funciones:
f(x)=|x|
f(x)=|x+3|
Su rango son todos los reales positivos y si x es un nmero real, el valor absoluto
de x es un nmero real positivo denotado por |x|.
Ejemplo:
a) f(x)=|x|
b) f(x)=|x-2|
Funcin raz cuadrada:
Siempre su rango va a ser todos los reales positivos es decir del cero hasta el ms
infinito y su grafica va a ser una semi-cncava.
Ejemplo:
f(x)= 4
x f(x)
2 0
3 2,23
5 4,58
Funcin escaln unitario:
En esta funcin se presenta una condicin para poder graficar cada una de las rectas y du dominio son todos los reales.
Ejemplo: () {0, < 61, 6
}
1
36
-4 -2 2 4 6 8 10
Funcin mximo entero:
Es cuando existen dos condiciones donde la primer es el punto mnimo y la segunda el punto mximo de todas las funciones que se encuentran en una sola.
Ejemplo:
() {
1 2 + 1 00 < 2 + 1 11 < 2 + 1 22 < 2 + 1 3
}
Funcin cuadrtica:
Es toda funcin cuya expresin algebraica es de la forma f(x)=ax2+bx+c, donde
a, b y c R, a0.
Ejemplo:
f(x)=4x2+12x+9
Funcin exponencial:
Si a es un nmero positivo (a1) y b es un nmero real; entonces, para x todo
nmero real x, la funcin de la forma f(x)=b ax
Ejemplo:
f(x)=(1/3)^
x F(x)
-2 9
0 1
2 1/9
x F(x)
-4 25
-3 9
-1 1
0 9
1 25
37
Funcin logartmica:
Si a> 0, a1 y x>0, se llama logaritmo de un nmero x, en base a, al exponente c
al que hay que elevar la base a para obtener el nmero x y se denota c=logax
Ejemplo:
f(x)=log2x
LUGAR GEOMTRICO
Lugar geomtrico a grafica de una ecuacin de dos variables es una lnea resta o
curva que contiene todos los puntos que satisfacen a la ecuacin dada.
Para hallar el lugar geomtrico es necesario:
a) Intercepcin a los ejes
b) Simetras
c) Campos de variacin
d) Asntotas
e) Grfico
Intercepcin a los ejes:
Es el punto en el que la curva o recta corta a los ejes y se la saca reemplazando en
la ecuacin x=0 y y=0.
Simetras:
Es el punto en donde existe una misma longitud desde all hacia los extremos y se
saca con:
-x por x = no altera la ecuacin hay simetra en y.
-y por y = no altera la ecuacin hay simetra en x.
(-x, -y) por (x.y)= no altera la ecuacin.
x F(x)
1 0
2 1
3 1,58
38
Campos de variacin:
Se refiere al dominio y al rango de la funcin.
Asntotas:
Son lneas imaginarias auxiliares que no se pueden llegar a tocar con la curva,
existen tres tipos de asntotas:
Asntota vertical: si es paralela o coincide al eje y.
Asntota horizontal: si es paralela o coincide al eje x.
Asntota oblicua: si no es paralela al eje de coordenadas.
Grfico:
Es la representacin de la ecuacin en el plano cartesiano.
Ejercicio:
Hallar del lugar geomtrico de 4x2-9y-36=0
1) 2) 4x2-9y-36=0 3) 4x2-9y-36=0 (-x)=no altera, hay simetra en y
(-y)= no altera, hay simetra en x
(-x,-y)= hay simetra
x=9+36
4 y==
436
9
R(x): R 436
9 0 D(x):x3
4x2 -36 0 = 4x2 6 x2 9 = x3
1) Asntota oblicua 1
2
3
-3 -2 -1 -1 1 2 3
-2 -3
X 0 3
Y i 0
39
FUNCIN LINEAL
La funcin lineal es aquella que se expresa de la forma y= mx + b, donde m y b son nmeros reales y contiene una pendiente m. Las frmulas que intervienen en
la funcin lineal son:
d= (2 1) + (2 1)
m= tg
m=2121
m=-a/b b=-c/a
m1m2=-1
Ecuacin punto pendiente:
y-y1 = m(x-x1)
Ejercicios:
Hallar la distancia entre A (6,8) y B (-4,2)
d=(4 6)2 + (2 8) m=2121
m=tg
d=102 + 6 m= 28
46 0,6=tag
= 100 + 36 m=0,6 tg-10,6=
= 136 =11,66 30.96= 30,57, 49=
Hallar la distancia entre A (-4,6) y B (6,-3)
d=(6 + 4)2 + (3 6) m=2121
m=tg
d=102 + (9) m= 36
6+4- 0, 9=tag
= 100 + 81 m=-0,9 tg-1-0,9=
= 181 =13,45-41,99= = 180-41, 99 = 138, 01 =138, 0, 46
Hallar m si tenemos la ecuacin -3x+5y-1=0
a= -3 b=5 c=-1
m=-a/b m=-(3)/5 m=3/5 m=0,6
Demostrar si es que las dos rectas son perpendiculares:
Recta 1= (-3,-3) (4,4) recta 2= (-2,3) (4,-2)
m1=2121
m2=2121
m1m2= -1
40
m1= 4+3
4+3m2=
23
4+2 1(-5/6)=-0,833
m1= 1 m2=-5
6
Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto:
a) (5,-4) y tiene una m=-2 b)(-2,1) y tiene una pendiente m=2/5
y-y1=m(x-x1) y-y1=m(x-x1)
y+4=-2(x-5)y-1=2/5(x+2)
y+4=-2x+10 5y-5=2x+4
y=-2x+6 5y=2x+9
c) (0,3) y tiene una m=2,58d)(0,10) y tiene una pendiente m=-2
y=mx+b y=mx+b
y=2,58+3 y=-2x+10
e)(3,-2) y (-1,10)
m=2121
y-y1=m(x-x1)
m= 10+2
13 y+2=-3(x-3)
m=-3 y+2=-3x+9
y=-3x+7
APLICACIN DE LA FUNCIN LINEAL
Encuentre la oferta, demanda, la ecuacin de la oferta, la ecuacin de la demanda,
el punto de equilibrio y las ventas mximas y mnimas de la oferta y demanda:
Cuadro 1 Cuadro 2
Ecuaciones:
DEMANDA
m=2121
y-y1=m(x-x1) m=2121
y-y1=m(x-x1)
m= 45001500
25008500 y-1500=-0,5(x-8500) m=
50003000
1500500 y-3000=2(x-500)
m=-0,5 y-1500=-0,5x+4250 m=2 y-3000=2x-1000
y=-05x+5750 y=2x+2000
Punto de equilibrio:
-05x+5750=2x+2000y=2x+2000
periodo ventas Cant. vendida
A 3000 500
B 5000 1500
periodo ventas Cant. vendida
A 1500 8500
B 4500 2500
Se debera vender 1500
unidades y obtener un ingreso
de $5000 para estar en nuestro
punto de equilibrio.
OFERTA
41
-2,5x=-3750 y=2(1500)+2000
x=1500 y=5000
Puntos mximos de:
Demanda Oferta:
Un comerciante puede vender 20 rasuradoras al da al precio de $25 cada una,
pero puede vender 30 si les fija un precio de 420 cada una.
Determine la ecuacin de demanda suponiendo que es lineal.
P1 (20,25) p2(30,20)
m=2121
y-y1=m(x-x1)
m= 2025
3020 y-25=-0,5(x-20)
m=-0,5 y-25=-0,5x+10
y=-0.5x+35
Un fabricante produce artculos a un costo variable de 0,85 cada uno y los costos
fijos $280 al da si cada artculo puede venderse a 1,10 encuentren el punto de
equilibrio.
CV=0,85x 0,85x+280=1,10x y=1,10(1120)
Ct=0,85x+280 0, 85x-1,10x=-280 y=1232
I=p.q -0,25x=-280
I=1,10x x=1120
La ecuacin de demanda es 3p+5x=22 y de oferta 2p-3x=2. Hallar el punto de
equilibrio.
5+22
3=
3+2
2 3p+5(2) =22
X 0 11500
y 5750 0 X -1000 0
y 0 2000
Si la cantidad vendida es cero
las ventas no pueden bajar de
$2000, y si las ventas son de
cero la cantidad vendida no
puede sobrepasar de 11500, y
si la cantidad de ventas es cero
las ventas no pueden
sobrepasar de 5750.
El fabricante tiene que
producir 1120 unidades
o tener un ingreso de
$1232 para estar en un
punto de equilibrio.
42
-10x+44=9x+6 3p+10=22
44-6=10x+9x 3p=12
38=19x p=4
2=x
La demanda para los bienes producidos est dada por p2+x2=169, la oferta es
p=x+7. Cules son el precio y cantidad para el punto de equilibrio?
P2+x2=169 p=x+7
(x+7)2+x2=169 p=5+7
X2+14x+49+x2=169 p=12
2x2+14x-120=0
X2+7x-60=0
(x+12)(X-5)=0
X=-12 x=5
A un precio de $2,50 por unidad, una empresa ofrecer 8000 camisetas al mes, a
$4 cada una la empresa producir 14000 camisetas al mes. Determine la ecuacin
de la oferta suponiendo que es lineal.
P1 (8000; 2,50) p2 (14000; 4)
m=2121
y-y1=m(x-x1)
m= 42,50
140008000 y-2,50=0,00025(x-8000)
m=0,00025 y-2,50=0,00025x-2
y=0,00025x+0,50
La curva de oferta de un artculo es x=1,1y-0,1.Hallar:
a) El precio si la cantidad de oferta es 0,5
b) La cantidad ofrecida si el precio es 8
c) Cul es el menor precio al que se ofrecer este artculo?
a) x=1,1y-0,1 b) x=1,1y-0,1 c) x=1,1y-0,1 0,5=1,1y-0,1 x=1,1(8)-0,1 0=1,1y-0,1
0,6=1,1y x=8,8-0,1 0,1=1,1y
0,545=y x=8,7 0,09=y
Un artesano vende su producto a $5 la unidad
a) Cul es el ingreso de ventas de 5000 unidades, la ecuacin y grafique?
b) Los costos fijos son de $3000, hallar al funcin y superponerla en la grfica
c) Cul es el costo total cuando se venden 5000 unidades si se estima que el costo
variable es el 40% de los ingresos? Grafique
43
d) Cul es el punto de equilibrio y grafique?
e) Cul es la cantidad de precio en que este artesano cubre los costos fijos?
a) I=p.q b) y=3000 c) CV=40%I CT=CF+CV m=2 b=3000
I=5x CV=40 %( 25000) CT=3000+10000 y= mx + b
I=5(5000) CV=10000 CT=13000
y=2x+3000
I=25000
d) I=CT y=5x e) CV I=5X 5X=2X+3000 y=5(1000) y=3000 y=5X
3X=3000 y=5000 5X=3000
X=1000 X=600
El artesano debe
vender 1000
unidades tener
un ingreso de
$5000 para estar
en el punto de
equilibrio.
Para que el
artesano cubra
los costos fijos
debe de vender
600 unidades
tener un ingreso
de $3000.
44
45
UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS
CONTABILIDAD Y AUDITORA
MATEMTICA I
DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO Y
RESOLUCIN DE ECUACIONES CUADRTICAS
INTEGRANTES:
PAOLA NEZ
JHERSON QUICHIMBO
JESSICA SANTACRUZ
ARQUITECTO ALBERTO ARROYO
CA1 1
Grupo N 2
46
Desigualdades con valor absoluto
Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor
absoluto con una variable dentro.
Tambin observamos en dicho captulo que representa la distancia del origen al
punto , y de forma ms general que representa la distancia entre y .
Las propiedades siguientes del valor absoluto nos indican que este se comporta muy
bien con respecto a la multiplicacin y la divisin, pero no as con respecto a la adicin
y la sustraccin.
Propiedades del valor absoluto.
Si y son nmeros reales arbitrarios entonces
1.
2.
3. ,
4. (Desigualdad triangular)
5. y 1
Desigualdades de valor absoluto (
47
As, x > -4 Y x < 4. El conjunto solucin es.
Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresin dentro de los smbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresin dentro de los smbolos de valor absoluto es negativa.
La solucin es la interseccin de las soluciones de estos dos casos.
En otras palabras, para cualesquiera nmeros reales a y b, si | a | < b, entonces a < b Y a >
- b.
Ejemplo 1:
Resuelva y grafique.
|x 7| < 3
Para resolver este tipo de desigualdad, necesitamos descomponerla en una desigualdad
compuesta.
x 7 < 3 Y x 7 > 3
3 < x 7 < 3
Sume 7 en cada expresin.
-3 + 7 < x - 7 + 7 < 3 + 7
4 < x
48
Desigualdades de valor absoluto (>):
La desigualdad | x | > 4 significa que la distancia entre x y 0 es mayor que 4.
As, x < -4 O x > 4. El conjunto solucin es.
Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresin dentro de los smbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresin dentro de los smbolos de valor absoluto es negativa.
En otras palabras, para cualesquiera nmeros reales a y b , si | a | > b, entonces a > b O a <
- b .
Ejemplo 2:
Resuelva y grafique.
Separe en dos desigualdades.
Reste 2 de cada lado en cada desigualdad. (Hotmath, s.f.)2
La grfica se vera as:
Desigualdades Cuadrticas
Una desigualdad se llama cuadrtica si tiene alguna de las formas siguientes:
2 (Hotmath, s.f.)
49
Con .
Antes de indicar como se resuelven estas desigualdades, recordamos que las soluciones
de la ecuacin cuadrtica donde son
Adems, fcilmente se verifica que y satisfacen las siguientes relaciones
La ltima frmula nos proporciona un mtodo para factorizar cualquier trinomio de la
forma en todos los casos posibles.
Veamos ahora como se resuelven las desigualdades cuadrticas. Una primera
simplificacin que podemos hacer es suponer que , pues en caso contrario,
multiplicando la desigualdad por , esta se transforma en otra desigualdad cuadrtica
con .
Se presentan dos casos
Caso 1 Si .
En este caso la ecuacin cuadrtica tiene races reales y ,
podemos factorizar el trinomio en la forma , y la
desigualdad se resuelve como en el ejemplo 2.39.
Caso 2 Si .
En este caso las races de la ecuacin no son reales, sino complejas,
y la factorizacin no sirve para resolver la desigualdad.
Para resolver la desigualdad en este caso procedemos de la siguiente forma:
Completando el cuadrado tenemos
50
Por lo tanto las desigualdades cuadrticas se transforman en su orden en
Como estamos suponiendo que y sabemos que , las dos primeras
desigualdades son vlidas para todo nmero real y las dos ltimas para ninguno.
Ejemplo
Resolvamos la desigualdad
.
En este caso . Por lo tanto la
ecuacin tiene races reales que son
Luego la factorizacin de es
51
Y la desigualdad original es equivalente a
Elaborando el diagrama de signos tenemos
Vemos que la solucin de la desigualdad es el intervalo 3
3 (Bogot, s.f.)
52
Desigualdades con valor absoluto
Una desigualdad de valor absoluto es una
desigualdad que tiene un signo de valor
absoluto con una variable dentro.
Tambin observamos en dicho captulo
que representa la distancia del origen al
punto , y de forma ms general
que representa la distancia
entre y .
Propiedades del valor absoluto.
Si y son nmeros reales arbitrarios
entonces
1.
2.
3. ,
4. (Desigualdad
triangular)
y
Ejemplo 1:
Resuelva y grafique.
|x 7| < 3
Para resolver este tipo de desigualdad,
necesitamos descomponerla en
una desigualdad compuesta.
x 7 < 3 Y x 7 > 3
3 < x 7 < 3
Sume 7 en cada expresin.
-3 + 7 < x - 7 + 7 < 3 + 7
4 < x
53
54
55
56
57
58