Mate Zapandí Fascículo N 1.pdf

III CICLO

ANTOLOGA PARA

MATEMTICA

ZAPAND

FASCCULO N1

Colegio Universitario Boston Nmeros Reales

1

Conjunto de los Nmeros

Reales


2

Conjunto de los Nmeros Reales.

Conjunto de los Nmeros Naturales

Este es el primer conjunto de los nmeros reales, est compuesto por los nmeros

enteros positivos y el cero; se denota por la letra :

= {0,1,2,3,4,5,6, }

Los tres puntos que utilizamos al final de la definicin de este conjunto indican que

el mismo seguir sin fin.

Caractersticas:

Es ordenado. Es discreto. Es infinito.

En algn momento de la historia los nmeros naturales ya no fueron suficientes para

la cantidad de aplicaciones que surgieron como lo son utilizar cantidades que

indicaban deudas, profundidades, temperaturas, etc. Esta necesidad origino la

aparicin de un nuevo conjunto.

Conjunto de los Nmeros Enteros

Este conjunto est compuesto por los nmeros naturales (positivos y el cero) y los

negativos, se denota por la letra , es decir:

= { , 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4, }

Adems se puede definir como:

= {0} +

: indica nmeros enteros. : indica nmeros enteros negativos. {0}: indica al conjunto que contiene al cero. +: indica nmeros enteros positivos.

Los tres puntos que utilizamos al final de la definicin de este conjunto indican que

el mismo seguir sin fin.

JosuResaltar

JosuResaltar

JosuResaltar

JosuResaltar

JosuResaltar

JosuResaltar

JosuResaltar


3

Caractersticas:

Es ordenado. Es discreto. Es infinito.

Luego de esto surgi la necesidad de medir magnitudes continuas como lo son:

longitudes, reas, volmenes, pesos, tiempos, etc. Lo que llevo a los matemticos

antiguos a fraccionar la unidad y por consiguiente promovieron la aparicin de un

nuevo conjunto, como lo es el de los nmeros racionales.

Conjunto de los Nmeros Racionales

Este conjunto estar compuesto por todos los nmeros que puedan ser expresados

como fracciones es decir:

= {

, , , 0}

: representa al numerador de la fraccin. : representa al denominador de la fraccin.

Dependiendo del valor del numerador o del denominador estas pueden ser propias,

es decir su numerador es menor a su denominador ( < ), o impropias, lo que indica que su numerador es mayor a su denominador ( > ).

Adems se puede definir como:

= {0} +

: indica nmeros racionales. : indica nmeros racionales negativos. {0}: indica al conjunto que contiene al cero.

+: indica nmeros racionales positivos.

Como caractersticas de este conjunto tenemos que:

Es ordenado. Es infinito. Es continuo.

JosuResaltar

JosuResaltar

JosuCuadro de texto a b

JosuLnea

JosuLeyendaNumerador menor que el denominor = Fraccin propia.

JosuLeyendaNumerador mayor que el denominor = Fraccin impropia.

JosuResaltar

JosuResaltar

JosuResaltar

JosuResaltar


4

Es importante observar las siguientes caractersticas entre los tres conjunto

estudiados hasta ahora, por ejemplo:

Donde podemos observar que:

Nmeros Irracionales

Al conjunto de todos los nmeros que poseen una expansin decimal infinita no

peridica se les llama nmeros irracionales, este conjunto se denota por . Como su propio nombre lo dice son nmeros muy distintos en cuanto a

caractersticas a los nmeros presentes en cualquiera de los conjuntos estudiados

anteriormente los cuales podemos resumir en el conjunto de los nmeros racionales.

Algunos elementos de este conjunto:

Las races no exactas por ejemplo:

2 7 303

154

255

Los valores de algunos nmeros trigonomtricos y de algunos logaritmos por

ejemplo:

40 10 25 21

log2 5 log 20 log5 4 log 15

JosuLeyendaracionales

JosuLeyendaenteros

JosuLeyendanaturales

JosuResaltar


5

Los valores de dos nmeros trascendentes, como lo son:

El cociente entre la longitud de la circunferencia y su dimetro, conocido

como :

= 3.1415926

El numero irracional de la matemtica superior, conocido como :

= 2.7182818

Adems de estos conjuntos matemticamente fue necesario manejar tambin el

concepto de conjunto vaco.

Conjunto Vaco

El conjunto vaco es el conjunto que no posee ningn elemento, se denota por o por { }.

No es correcto referirse al conjunto vaco de la siguiente forma {}.

Conjunto de los Nmeros Reales

Al conjunto que est formado por la unin entre el conjunto de los nmeros

racionales y el conjunto de los nmeros irracionales se conoce como el conjunto de

los nmeros reales. Se denota por .

=

Como ya sabemos los elementos de no poseen caractersticas similares con los elementos de por lo que podemos afirmar que:

=

JosuResaltar

JosuResaltar

JosuResaltar

JosuResaltar

JosuResaltar

JosuResaltar

JosuResaltar

JosuResaltar

JosuResaltar

JosuResaltar


6

Adems se puede definir a como:

= {0} +

: indica nmeros racionales. : indica nmeros racionales negativos. {0}: indica al conjunto que contiene al cero. +: indica nmeros racionales positivos.

Como caractersticas de este conjunto tenemos que:

Ordenado: esto pues sigue una secuencia lgica. Infinito: pues es un conjunto incontable. Continuo: cada nmero tiene un antecesor y un sucesor. Denso: entre cada dos nmeros podemos encontrar infinita cantidad de

nmeros.

Completo: pues incluye a todos los nmeros.

De la grafica anterior podemos deducir algunas relaciones entre conjuntos:

JosuResaltar

JosuResaltar

JosuResaltar

JosuResaltar

JosuResaltar

JosuResaltar


7

Relacin de inclusin y pertenencia.

Simbologa

1. 2. 3. : 4. :

Para denotar que un nmero pertenece a un conjunto determinado utilizamos el

smbolo si no pertenece y si lo que queremos es indicar que un conjunto se

encuentra dentro de otro utilizamos y si no lo est .

# Ejemplo # Ejemplo # Ejemplo # Ejemplo

1 ___

6 0.25 ____ 11 1.20 ____ 16 7 ____

2 10 ____

7 ____ 12 {1,0,3} ____ 17 ____

3 ____

8 0 ____ 13 {4,5} ____ 18 + ____

4 1.4 ____

9 {2} ____ 14 {10,15} ____+ 19 + ____

5 {0,2,4} ___

10 ____ 15 + ____ 20 ____

Nmeros opuestos.

Utilizando el cero como el punto de origen podemos decir que dos nmeros

opuestos son aquellos que se ubican sobre la recta numrica a la misma distancia del

cero con signos contrarios, es decir el opuesto de un nmero se define como:

Por ejemplo:

El opuesto de 10 es (10) es decir 10.

El opuesto de 2 2 es (2 2) es decir 2 2

El opuesto de 3 es ( 3) es decir 3

El opuesto de + 4 es ( + 4) es decir 4

El opuesto de 2 3 es (2 3) es decir 2 + 3

JosuCuadro de texto= 3,14159265369

JosuCuadro de textoe= 2.71828182846

EXPxy()%AC789456123-0.=+

JosuCuadro de texto

JosuCuadro de texto


8

Nmero Opuesto Nmero Opuesto Nmero Opuesto

2

7 + 10 9

5 3

2 6 13 3

2 7

5 5 3

11 + 2 5 3

2 + 3

15 2 + 6

Valor Absoluto Si tenemos que representa a un nmero real entonces el valor absoluto de denotado por || se define como:

|| = {, 0

., < 0

Ejemplos

|12| =

Como 12 0, se puede afirmar que:

|12| = 12

|15| =

Como 12 < 0, entonces trabajar con el opuesto de ese numero y se puede afirmar que:

|15| = (15) = 15

JosuCuadro de texto 5 + 3

JosuCuadro de texto 7 - 2

JosuCuadro de texto e -

JosuCuadro de texto 2 -

JosuCuadro de texto2 - 3

JosuCuadro de texto-7 - 10





JosuCuadro de texto + 9






9

|1 2| =

Como 1 2 < 0, entonces trabajar con el opuesto de ese nmero y se puede afirmar que:

|1 2| = (1 2) = 2 1

| 3| =

Como 3 0, se puede afirmar que:

| 3| = 3

Determine en valor absoluto de las siguientes expresiones.

# Ejemplo # Ejemplo

1 |14| =

6 |1 | =

2 |1 3| =

7 |4| =

3 |3 5| =

8 |1 5| =

4 |10| =

9 |0| =

5 |1 | =

10 | 3| =

JosuCuadro de texto14

JosuCuadro de texto - 1







JosuCuadro de texto e - 1

JosuCuadro de texto - 3


10

Intervalos Reales

Un intervalo real es un conjunto de todos los nmeros comprendidos entre dos

nmeros y con < , donde se le conoce como extremo inferior y b se conoce como extremo superior.

Los intervalos se denotan de dos formas por compresin o por notacin de

parntesis cuadrados.

Tipos de intervalos

Los smbolos > < se usaran para indicar que el intervalo est abierto en el nmero.

Los smbolos se usaran para indicar que el intervalo est cerrado en el nmero.

Intervalos Abiertos

Nos referimos a un intervalo abierto cuando sus extremos no se toman en cuenta

como elementos del conjunto.

], [ = { / , < < }

Ejemplos

]3,5[ = { / , 3 < < 5 }

]0,4[ = { / , 0 < < 4 }

]5, 2[ = { / , 5 < < 2 }

JosuResaltar

JosuResaltar

JosuResaltar

JosuResaltar

JosuCuadro de texto]1,2[= {x/x e R, 1< x


11

Intervalos Cerrados

Nos referimos a un intervalo cerrado cuando sus extremos si se toman en cuenta

como elementos del conjunto.

[, ] = { / , }

Ejemplos

[3, 7] = { / , 3 7}

[4,1

2] = { / , 4

1

2}

[0,6] = { / , 0 6}

Intervalos Semi-abiertos

Se consideran intervalos semi-abiertos a aquellos intervalos donde uno de sus

extremos se incluye como elemento del conjunto y el otro se excluye.

[, [ = { / , < }

], ] = { / , < }

Ejemplos

[2,3[ = { / , 2 < 3}

[53

, 1[ = { / , 53

< 1}

]0,5] = { / , 0 < 5}

]4

5,

1

3] = { / ,

4

5<

1

3}

JosuResaltar

JosuResaltar


12

Intervalos Infinitos

Nos referimos a un intervalo infinito cuando alguno o ambos extremos son un

infinito ya sea o +.

], [ = { / , < }

], ] = { / , }

], +[ = { / , < }

[, +[ = { / , }

Ejemplos

], 3[ = { / , < 3}

], 1] = { / , 1}

]4, +[ = { / , < 4}

[3, +[ = { / , 3}

Intervalos Especiales

Se conocen como intervalos especiales a los siguientes intervalos.

], +[ =

], 0[ =

]0, +[ = +

JosuResaltar

JosuResaltar


13

Exprese los intervalos segn corresponda.

# Ejemplo # Ejemplo

1 [1, 4] =

8 ]2, [ =

2 { / , 5 < 7} =

9 ], 1] =

3 { / , < 0} =

10 { / , 3} =

4 ]10, 7] =

11 ]8, +[ =

5 [21, [ =

12 { / , 3 < < 2 } =

6 { / , < 6} =

13 ]3,12[ =

7 { / ,

2

5<

1

8} =

14 { / , 5 11} =

JosuCuadro de texto{x / x ,1 x 4}

JosuCuadro de texto[ 5,7 [

JosuCuadro de texto ] -, 0 [ = R-

JosuCuadro de texto

JosuCuadro de texto

JosuCuadro de texto

JosuCuadro de texto{ x / x , -10 < x -7 }

JosuCuadro de texto

JosuCuadro de texto{ x / x , -2 x < e }

JosuCuadro de texto

JosuCuadro de texto] -, 6 [

JosuCuadro de texto

JosuCuadro de texto

JosuCuadro de texto

JosuCuadro de textoR+

JosuCuadro de textoR-


14

Prctica

1. Considere las siguientes proposiciones.

I. 23 es un nmero racional.

II. 4

es un nmero irracional.

Cules de ellas son verdaderas?

A) Ambas B) Ninguna C) Solo la I D) Solo la II


I. 5,24681012

II. 3,1415 Cules de ellas son verdaderas?



I. 72

2

II. 50 Cules de ellas son verdaderas?


JosuCuadro de texto x

JosuCuadro de textox



15


I. II. III. = IV. =

Cul de ellas es verdadera?

A) Solo la I B) Solo la II C) Solo la III D) Solo la IV


I. { , , 3}

II. {9, 18, 81}




I. pertenece a II. no pertenece a

Cules de ellas son VERDADERAS?






16


I. es un conjunto ordenado II. es un conjunto completo

Cul de ellas son VERDADERAS?

A) Ambas B) Ninguna C) Sola la I D) Solo la II


I. 4

5

4

5

II. 3

2

3

2




I. 7

8>

2

3

II. 035,3 < 350.3







17


I. 814

es un nmero racional.

II. 6253

es un nmero irracional.




I. 3 > 2

II. 2

5>

5

2




I. N3

15

II. Z3 8







18


I.

2

1,

2

1

4

1

II. 4,3

De ellas Cules son VERDADERAS?



I. 2, 35 < 2,35 II. > 3,14



15. Un nmero irracional est representado por

A) 0,432

B) 0,010101. . .

C) 1,112112. . .

D) 1,23233233323333. . .





19

16. Un nmero racional est representado por

A) 24

B) 324

C) 663

D) (1

8)

1

17. Si Za

5

4entonces un posible valor de a es

A) 4

B) 5

C) 5

1

D) 5

9

18. Un nmero que pertenece a { / , 2 < 3} es:

A.

B. 16

5

C. 3

D. 2

19. Si x

2

1,1 y x Z entonces un posible valor para x es

A) 2

B) 2

C) 2

1

D) 1




JosuCuadro de texto?


20

20. El valor absoluto de |5 3| es:

A. 3 5

B. 5 3

C. 5 + 3

D. 5 3

21. El valor absoluto de |2 | es:

A. 2

B. 2

C. 2 +

D. 2

22. El valor absoluto de |5 7| es:

A. 7 5

B. 5 7

C. 5 + 7

D. 5 7

23. El valor absoluto de |2 | es:

A. 2

B. 2

C. 2 +

D. 2






21

24. El opuesto de |2 3| es:

A. 3 2

B. 2 3

C. 2 + 3

D. 2 3

25. El opuesto de 2

3 es:

A. 2

3

B. 3

2

C. 3

2

D. 2

3

26. El opuesto de |5 6| es:

A. 6 5

B. 5 6

C. 5 + 6

D. 5 6

27. El opuesto de 3

7 es:

A. 7

3

B. 7

3

C. 3

7

D. 3

7






22

28. Cul es un elemento de [2, 2[?

A. 2

B. 3

C. 5

D. 1

2


A. 2

B. 3

C. 5

D. 1

2


A. 2

B. 3

C. 5

D. 1

2

31. La expresin { / , 3 < 0}corresponde a

A. ]3,0[

B. ]3,0]

C. [3,0[

D. [3,0]






23

32. El conjunto { / , 5 < < 2} escrito en notacin de intervalo es:

A. ]5,2[

B. ]5,2]

C. [5,2[

D. [5,2]

33. El conjunto { / , 4 6} escrito en notacin de intervalo es:

A. ]4,6[

B. ]4,6]

C. [4,6[

D. [4,6]

34. La expresin { / , 2 < 1}corresponde a

A. ]2,1[

B. ]2,1]

C. [2,1[

D. [2,1]

35. El conjunto { / , 0 < } escrito en notacin de intervalo es:

A. ]0, [

B. ]0, ]

C. [0, [

D. [0, ]

36. El conjunto { / , < 5} escrito en notacin de intervalo es:

A. ], 5[

B. ], 5]

C. [, 5[

D. [, 5]







24

Propiedades de las potencias

Potencia Cero

Todo nmero diferente de cero elevado a la cero nos da como resultado 1.

0 = 1 0

Ejemplos

(4)0 = 1

(2

5)

0

= 1

(5)0

= 1

()0 = 1, con 0

(0)0 =

Potencia Uno

Todo nmero elevado a la uno nos da como resultado el mismo nmero.

1 =

Ejemplos

71 = 7

(5

3)

1=

5

3

(25

)1

= 25

1 =


25

Potencia de Uno

Uno elevado a cualquier nmero nos da como resultado 1.

1 = 1

Ejemplos

12 = 1

11000 = 1

115 = 1

Potencia de una Potencia

Mantengo la base y multiplico los exponentes.

( ) =

Ejemplos

(23)2 = 26 = 64

(4)3 = 12

(5)3 = 15

Potencia de un Producto

En potencia de un producto elevamos cada uno de los factores al exponente.

( ) = Ejemplos

(53)2 = 52(3)2 = 256

(345)2 = 32(4)2(5)2 = 9810

(22)4 = 24(2)44 = 1684


26

Potencia de un Cociente

En potencia de un cociente elevamos al dividendo y al divisor al exponente.

(

)

=

Ejemplos

(5

3)

3=

53

33=

125

27

(2

)

3

=6

3

(23

74)

3

=239

7312=

89

34312

Multiplicacin de Potencias de Igual Base

Mantengo la base y sumo los exponentes.

= +

Ejemplos

32 33 = 32+3 = 35 = 243

(2)4 (2)6 = (2)4+6 = (2)10 = 1024

(4)2 (4)4 = (4)2+4 = (4)6 = 40966


27

Divisin de Potencias de Igual Base

Mantengo la base y resto los exponentes.

=

Ejemplos

(3)3

(3)1 = (3)31 = (3)2 = 9

(2)9

(2)4 = (2)94 = (2)5 = 325

(2)

12

(2)5 = (2)125 = (2)7 = 714

Potencia Negativa de una Fraccin

Invertimos la base y ponemos el exponente positivo.

(

)

= (

)

Ejemplos

(

)

3= (

)

3=

()3

()3=

33

3

(2

3)

5

= (3

2)

5

= (2

3)

5

=(2)

5

(3)5=

105

15

(2

2)

4= (

2

2)

4

=(2)

4

(2)4=

48

164


28

Potencia Fraccionaria

Transformo la potencia en un radical de forma que el denominador pase a ser el

ndice y el numerador pase a ser el exponente.

() =

Ejemplos

(5)3

4 = (5)34

= 12534

(4)1

2 = (1

4)

1

2=

1

4

(5)2

5 = (5)25

= 2525

Notas

Base positiva elevada a cualquier tipo de exponente nos dar siempre un resultado positivo.

Base negativa elevada a un exponente par nos dar como resultado un nmero positivo, pero si el exponente es impar el resultado ser un nmero

negativo.


29

Realice las siguientes operaciones aplicando las propiedades de las potencias.

Ejercicio Ejercicio

1 1 =

11 (2)2 =

2 2 4 =

12 3 2 =

3 (2)3 =

13 0 =

4 ( )2 =

14 (

2

)

3

5 (

4

3)

2

=

15 ( )2 =

6 (

3

2)

3

= 16

(2

52)

3

=

7 100 =

17 6 4 =

8 (

3

3)

4

=

18 (10)2 =

9 9 6 =

19 (5)32 =

10

34 =

20 (5)2 =


30

Radicacin

Un radical es una expresin matemtica de la forma:

Donde:

: coeficiente del radical.

: se conoce como raz y representa al signo del radical.

: representa al ndice del radical.

a: es el subradical de la expresin.

m: representa al exponente del subradical.

Para trabajar con radicales de ndice par es importante tomar en cuenta que el

nmero que representa al subradical sea un nmero positivo, puesto que si este es

negativo este nmero no est definido en el conjunto de los nmeros reales, por lo

cual cuando trabajemos con letras en races de ndice par asumiremos que estn bien

definidas.

Ejemplos

54

10

710

Radicales Semejantes

Dos o ms radicales son semejantes si sus ndices y sus subradicales son iguales

respectivamente.

Ejemplos

52, 72, 1

22

3

5

3, 8

3,

3


31

Radicales Homogneos

Dos o ms radicales son homogneos si sus ndices son iguales.

Ejemplos

435

, 3105

, 95

, 1

33, 3

Propiedades de los Radicales

Propiedad 1: Extraccin de un subradical de una raz.

= {,

.||,

Ejemplos

(4)55

= 4

164

= (2)44

= |2| = 2

33

=

2 = ||


32

Propiedad 2: La n-sima potencia de la raz n-sima de un nmero real.

(

)

= Ejemplos

(24

)4

= 2

(1

42

3)

3

=1

42

(37 )

7= 3

( 215

)15

= 2

Propiedad 3: Factor comn entre el ndice y el exponente de un radical.

=

Ejemplos

24

= 2

2

42

=

()1015

= ()10

5

155

= ()23

= 223

()48

= ()4

4

84

=


33

Propiedad 4: Introduccin del coeficiente en el radical.

=

Ejemplos

53 = 52 3 = 25 3 = 75

2 325

= (2)5 325

= 325 325

= 9675

237

= 7237

= 2107

Propiedad 5: Raz de una raz.

=

Ejemplos

1

3

34

= 1

3

43=

1

3

12

535

= 553

= 515

= 3

23

= 232 = 2

6


34

Propiedad 6: Raz de un producto.

=

Ejemplos

433

= 43

33

= 43

168124

= 164

84

124

= 223

24 = 6 4 = 6 4 = 26

Propiedad 7: Raz de un cociente.

=

Ejemplos

32

243

5=

325

2435 =

2

3

2063

1043 =

206

104

3= 22

3

4

2=

4

2=

2

Conociendo estas propiedades podemos realizar operaciones bsicas.


35

Aplique las propiedades anteriores segn corresponda

Ejercicio Ejercicio

1 123

=

11 612

=

2

36 =

12 ( )2

=

3 23

=

13

4=

4 26

=

14

6

3

3

=

5 (3

)6

=

15 44

6 43

= 16

8

12

4

=

7 10155

=

17 693

=

8 33

=

18 (

)

=

9 242

=

19 325

=

10

20

10

5

=

20 334

=


36

Operaciones con Radicales

Suma o Resta de Radicales

Para sumar o restar radicales lo primero que hay que verificar es que estos sean semejantes entre s, s lo son entonces se suman o se restan los

coeficientes y se conserva el radical.

En algunos casos no se puede decir a simple vista si los radicales involucrados son semejantes entre si, por lo que debemos trabajar con los

subradicales de manera que al factorizarlos podamos extraer parte de ellos

del subradical de forma que podamos conseguir radicales semejantes.

Si esto se logra se pueden sumar o restar si no ya no se podr realizar la operacin y este ser el resultado.

Por ejemplo:

350 1172 + 2200

Iniciamos factorizando los subradicales buscando encontrar radicales semejantes

50 2 72 2 200 2 25 5 36 2 100 2 5 5 18 2 50 2 1 9 3 25 5 52 2 3 3 5 5 1 22 32 2 1 52 22 2

Los transformamos al producto de sus potencias agrupndolos de acuerdo al ndice

del radical

= 352 2 1122 32 2 + 252 22 2

Aplicando las propiedades de las potencias extraemos los trminos que se puedan

del subradical

= 3 52 11 2 32 + 2 5 22


37

Realizamos las multiplicaciones indicadas

= 152 662 + 202

Finalmente efectuamos las sumas y resta y obtenemos:

= 312

Por lo tanto

350 1172 + 2200 = 312

2 1653

+ 6283

32 2 2723

Iniciamos factorizando los subradicales buscando encontrar radicales semejantes

16 2 27 3 8 2 9 3 4 2 3 3 2 2 1 33 1 23 2

Los transformamos al producto de sus potencias agrupndolos de acuerdo al ndice

del radical

= 2 23 2 3 23

+ 623 3 23

32 2 3323

Aplicando las propiedades de las potencias extraemos los trminos que se puedan

del subradical

= 2 2 223

+ 6 223

3 3 2 223

Realizamos las multiplicaciones indicadas

= 42 223

+ 62 22 3

92 223

Finalmente efectuamos las sumas y resta y obtenemos

= 2 23


38

Realice las operaciones indicadas

Ejercicio Ejercicio

1 448 1018 227 =

6 83 33 + 23 =

2 12 227 + 375 =

7 6 + 2 =

3 0,04 20,01 + 30,16 =

8 210243

20003

=

4 1

2163

1

32503

=

9 3

41893

1

54483

=

5 345 1020 + 80 =

10 58 162 + 232 =


39

Multiplicacin y Divisin de Radicales

Para multiplicar o dividir radicales estos deben ser homogneos, si lo son se deben multiplicar o dividir los coeficientes con los coeficientes y los

subradicales con los subradicales, es decir:

=

o

=

En caso que los radicales no sean homogneos debemos proceder a

homogenizarlos antes de realizar la multiplicacin o la divisin.

Para homogenizar radicales seguimos el siguiente procedimiento:

Calculamos el mnimo comn mltiplo de los ndices involucrados, el cual se convertir en el nuevo ndice de las races.

Luego tomamos este nuevo ndice y lo dividimos por cada uno de los ndices anteriores y el cociente de esta divisin se convertir en el nuevo

exponente de los subradicales.

Ahora luego de haber realizado este proceso podemos realizar la multiplicacin o la divisin correspondiente.

Ejemplos

350 22 =

Verificamos inicialmente si los radicales son homogneos al ser lo

procedemos a la multiplicacin segn la regla anterior

= 3 250 2

Luego de esto obtenemos:

= 621002

En este caso podemos extraer trminos del subradical por lo que procedemos

a factorizarlos para expresarlos como potencias

= 621022


40

Se extraen los trminos posibles y tenemos:

= 62 10

Finalmente se realizan las multiplicaciones indicadas y el resultado es:

= 603

Por lo tanto 350 22 = 603

524

223

Verificamos inicialmente si los radicales son homogneos, como en este caso

no lo son procedemos a buscar el mnimo comn mltiplo de los ndices.

m. c. m

4 3 2 2 3 2 1 3 3 1 1 12

De lo anterior que tenemos que el nuevo ndice es 12. Luego tomamos este nuevo ndice y lo dividimos por cada uno de los ndices anteriores es decir

12 4 = 3 y 12 3 = 4. Estos cocientes sern los nuevos exponentes de los subradicales. Por lo que obtenemos:

= (52)312

(22)412

Desarrollamos las expresiones obteniendo:

= 125612

16812

Realizamos la multiplicacin:

= 20001412

En este caso podemos extraer trminos del subradical por lo que procedemos

a factorizarlos para expresarlos como potencias

= 20002 1212

Se extraen los trminos posibles y tenemos:

= 2000212

Por lo tanto 524

223

= 2000212


41

En el caso de las divisiones tenemos que:

1543

33

Verificamos inicialmente si los radicales son homogneos al serlo

procedemos a la divisin segn la regla estudiada.

= 154

3

3

Luego de esto obtenemos:

= 533

En este caso podemos extraer trminos

= 53

Por lo tanto 1543

33 = 5

3

856

2

Verificamos inicialmente si los radicales son homogneos, como en este caso

no lo son procedemos a buscar el mnimo comn mltiplo de los ndices.

m. c. m

6 2 2 3 1 3

1 1 6

De lo anterior que tenemos que el nuevo ndice es 6. Luego tomamos este nuevo ndice y lo dividimos por cada uno de los ndices anteriores es decir

6 6 = 1 y 6 2 = 3. Estos cocientes sern los nuevos exponentes de los subradicales. Por lo que obtenemos:

=(85)6

(2)36

Desarrollamos las expresiones obteniendo:

= 85

83

6


42

Realizamos la divisin:

= 26

Finalmente aplicamos la propiedad del factor comn entre el ndice y el

exponente de un radical, ya que ambos son divisibles entre 2 y obtenemos:

= 3

Por lo tanto 856

2=

3

Realice las operaciones indicadas

Ejercicio Ejercicio

1 43 10423 =

2 2543

53 =

3 23

236

34

=

4 946

34 =


43

5 3 323 =

6 8023

1026=

7 1

23

1

334

=

8 43

63 =

9 35 1020 8 =

10 453

23 =


44

Racionalizacin de denominadores

El proceso de racionalizacin consiste en convertir un denominador irracional en un

denominador racional.

Caso 1.

Cuando el denominador de la fraccin es un solo radical, debemos multiplicar el

numerador y es denominador por un radical que posea el mismo ndice del radical

del denominador, y cuyo subradical sea un trmino complete lo necesario para poder

convertir este radical en un nmero racional.

Ejemplos

4

2=

Iniciamos la racionalizacin observando que el trmino que necesitamos para

poder convertir a un nmero racional al radical es un nmero que lo convierta

en una potencia al cuadrado. Por esto multiplicaremos por un radical cuyo

subradical sea el mismo trmino del inicial.

=4

2

2

2

Realizamos la multiplicacin y tenemos:

=42

(2)2

Ahora extraemos el subradical.

=42

2

Finalmente simplificamos la expresin y por lo tanto.

4

2= 22


45

2

3 =

Iniciamos la racionalizacin observando que el trmino que necesitamos para

poder convertir a un nmero racional al radical es un nmero que lo convierta

en una potencia al cubo. Por esto multiplicaremos por un radical cuyo

subradical sea el mismo trmino inicial elevado a la 2.

2

3

23

23 =


2 23

33 =


2 23

=

Finalmente simplificamos la expresin y por lo tanto.

2

3 =

23

3

5=

Iniciamos la racionalizacin nuevamente observando que el trmino que

necesitamos para poder convertir el radical a un nmero racional es un

nmero que lo convierta al trmino en una potencia al cuadrado. Por esto

multiplicaremos por un radical cuyo subradical sea el mismo trmino inicial.

=3

5

5

5


=35

52


46


=15

5

Por lo tanto: 3

5=

15

5

Caso 2.

Cuando nuestro denominador es compuesto por dos trminos debemos multiplicar el

numerador y el denominador por el conjugado de su denominador, que se consigue

de la siguiente forma si los trminos estn unidos por suma el conjugado ser los

mismos trminos pero ahora unidos por resta, y viceversa.

Ejemplos

15

72

Iniciamos multiplicando el numerador y el denominador por el conjugado del

denominador.

=15

72

(7+2)

(7+2)

Realizamos las operaciones y tenemos:

=15(7+2)

(7)2

(2)2

Efectuamos lo indicado en la expresin:

=15(7+2)

72

De lo anterior obtenemos:

=15(7+2)

5

Simplificamos y finalmente obtenemos:

15

7 2= 3(7 + 2)


47

21

2+1


denominador.

=21

2+1

(21)

(21)


=(21)(21)

(2)2

(1)2


=(21)(21)

21


2 1

2 + 1= 2 1

54

5+2


denominador.

=54

5+2

(52)

(52)


=(54)(52)

(5)2

22


(54)(52)

54


5 4

5 + 2= 5 2


48

Racionalice los denominadores de las siguientes expresiones.

Ejercicio Ejercicio

1 3 16

3 + 4=

2 20

7 + 2=

3 2

4 =

4 9

3=

5 12

7 5

6 2

=

7 2 3

2 + 3

8 27

11 2=


49

Prctica

37. La expresin (5)3

(5)2

equivale a

A) (5)6

B) (5)5

C) 1

(5)6

D) 1

(5)5


(3)5

equivale a

A) (3)9

B) (3)20

C) 1

(3)20

D) 1

(3)9


(6)2

equivale a

A) (6)2

B) (6)3

C) 1

(6)3

D) 1

(6)2


50

40. La expresin 43

2 es equivalente a:

A) 6

B) 8

C) 1

6

D) 1

8

41. La expresin 251

2 es equivalente a:

A) 5

B) 50

C) 1

5

D) 1

50

42. La expresin 272

3 es equivalente a:

A) 6

B) 1

C) 1

6

D) 1

9

43. La expresin (33

()34)

1

2 es equivalente a:

A)

B) 1

C) 2

D) 1

2


51

44. La expresin (24

()48)

1

2 es equivalente a:

A)

B) 1

C) 2

D) 1

2

45. La expresin ( 3

)3

()4 es equivalente a:

A) 5

B) 74

C) 77

D) 58

46. La expresin ()2

(2)4 es equivalente a:

A) 5

B) 211

C) 212

D) 216

47. La expresin 3268 es equivalente a:

A) 84

10

B) 163

4

C) 432

4

D) 4234


52

48. La expresin 8812 es equivalente a:

A) 84

10

B) 166

4

C) 262

4

D) 2234

49. La expresin 108 3

es equivalente a:

A) 2273

B) 343

C) 633

D) 123

50. La expresin 243 3

es equivalente a:

A) 393

B) 333

C) 633

D) 93

51. El resultado de 56 (23)63

es:

A) 100

B) 108

C) 1600

D) 3200


53

52. El resultado de 106 (33)63

es:

A) 300

B) 308

C) 2700

D) 72900


I. 63

= 1

II. 23 = 124




I. 64

= 68

II. 33 = 274




54

55. El resultado de 81 (25)2 44

es

A) 30

B) 450

C) 152

D) 3024

56. El resultado de 32 (5)5 35

es

A) 30

B) 103

C) 2535

D) 1035

57. La expresin 223

es equivalente a

A) 45

B) 43

C) 166

D) 165

58. La expresin 42 es equivalente a

A) 84

B) 324

C) 164

D) 44


55

59. La expresin 4852 es equivalente a

A) 43

B) 423

C) 423

D) 4223

60. El resultado de 18 + 232 + 572 es:

A) 686

B) 352

C) 356

D) 2433

61. El resultado de 75 248 + 27 es:

A) 102

B) 103

C) 104

D) 105

62. El resultado de 50 92 8 es:

A) 62

B) 82

C) 92

D) 162


56

63. El resultado de 1

2

3

16

4 +3

1

27

3 es:

A) 3

4 3

4

B) 34

+ 9

C) 1

4 3

4+ 1

D) 1

8 3

4+

1

3

64. La expresin (0,3)2 + 0,02733

es equivalente a:

A) 33

B) 2

3

C) 3

5

D)

3

65. La expresin (0,4)2 0,00833

es equivalente a:

A) 33

B) 2

3

C) 3

5

D)

5


57

66. El resultado de 50 + 32 es:

A) 324

B) 924

C) 2504

D) 33624

67. Una expresin equivalente a 253

3 es:

A) 326

B) 35 23

C) 32 46

D) 34 23

68. La expresin 1

5

1

2523 es equivalente a:

A) 5

B) 55

C) 56

D) 5

6


23 corresponde a

A) 23

B) 2 23

C) 233

D) 83


58


43 corresponde a

A) 33

B) 2 33

C) 333

D) 63


6 corresponde a

A) 6

B) 26

C) 26

D) 6


3 es:

A. 73

B. 633

C. 73

3

D. 21+3

3


59


5 es:

A. 2

B. 25

C. 2

10

D. 10

5

74. La expresin de 14

7 es equivalente a

A. 27

B. 147

C. 27

7

D. 77

2

75. La expresin 52732

es equivalente a

A. 1206

B. 156

8

C. 527

16

D. 153

6


60


3+2 es:

A. 3 + 2

B. 2(3 + 2)

C. 3 2

D. 2(3 2)


2 es:

A. 3

2

B. 3+2

4

C. 3(+2)

4

D. 3

+2


11+5 es:

A. 11 5

B. 6(11 5)

C. 11 + 5

D. 6(11 + 5)


61

Soluciones

Pregunta Respuesta Pregunta Respuesta Pregunta Respuesta Pregunta Respuesta

1 A 26 B 51 C 76 D

2 C 27 D 52 D 77 C

3 D 28 B 53 D 78 A

4 C 29 C 54 A

5 C 30 A 55 C

6 A 31 B 56 D

7 A 32 A 57 C

8 B 33 D 58 B

9 C 34 C 59 C

10 C 35 C 60 B

11 D 36 B 61 B

12 A 37 D 62 A

13 A 38 D 63 C

14 D 39 C 64 C

15 D 40 D 65 D

16 A 41 C 66 A

17 D 42 D 67 C

18 C 43 B 68 D

19 C 44 A 69 A

20 B 45 C 70 A

21 A 46 B 71 C

22 A 47 C 72 A

23 A 48 C 73 D

24 B 49 B 74 A

25 D 50 B 75 B

Colegio Universitario Boston lgebra

62

lgebra


63

Suma y resta de polinomios

Para sumar o restar polinomios se deben agrupar por trminos semejantes.

Entonces se suman o restan los coeficientes numricos y se conserva exactamente

igual el factor literal.

De aparecer parntesis en la expresin se deben sacar los trminos de ellos de

manera que si el parntesis esta multiplicado por un nmero positivo los signos de

los trminos no se vern afectados, sin embargo si el signo del nmero que est

delante del parntesis es negativo afectar los signos de todos los trminos que estn

dentro del parntesis.

Por ejemplo:

5 + 2 3 + 4 =

En este caso podemos observar que los factores literales de 5 + 2 son

iguales por lo que los monomios involucrados son semejantes entonces

realizamos la suma 5 + 2 = 7 y conservamos el factor literal y luego

de manera similar con 3 + 4 y realizamos la resta 3 + 4 = 1 y se

conserva el factor literal .

Por lo tanto 5 + 2 3 + 4 = 7 + .

9 62 (4 22) =

Para este caso se tiene que dos trminos de la expresin aparecen dentro

de parntesis por lo que primero debemos sacarlos del mismo tomando en

cuenta el signo negativo que hay delante del parntesis.

9 62 4 + 22

Ahora agrupamos los que los trminos cuyos factores literales son

iguales por lo que 9 4 son semejantes entonces realizamos la

resta 9 4 = 5 y conservamos el factor literal . Y de manera similar

con 62 + 22, de forma que 6 + 2 = 4, y se conserva el factor

literal 2.

Por lo tanto 9 62 (4 22) = 5 42.


64

Realice las siguientes operaciones.

# Ejemplo # Ejemplo

1 3 + 9 4 =

6 (3 + 52) (7 112) =

2 64 + 54 + 24 =

7 (10 62) ( 22) =

3 22 4 + =

8 ( 82 + 4) (4 2 + 32) =

4 84 34 3 + 24 =

9 (14 32) (5 222) =

5 3 + 22 + 52 42 =

10 4 62 (4 22) =

Multiplicacin de expresiones algebracas.

Para multiplicar expresiones algebraicas, se deben realizar los siguientes pasos:

Multiplicar los signos (ley de los signos para la multiplicacin). Multiplicar los coeficientes numricos. Multiplicar las letras (multiplicacin de potencias de igual base).


65

Multiplicacin de monomios

La multiplicacin de monomios se realiza de la siguiente manera: Se multiplican los

coeficientes numricos y si existen factores o coeficientes literales en comn en los

trminos o monomios a multiplicar, el producto de ellos se consigue aplicando la

regla de multiplicacin de potencias de igual base se mantiene la base y se suman

los exponentes ( = +). Por ejemplo:

(423) (52) =

En primera instancia se multiplican los coeficientes numricos y con los

factores literales aplicamos la regla de multiplicacin de potencias de igual

base, de manera que tenemos:

= 4 5 2+1 3+2

Finalmente se concluyen las operaciones y tenemos que:

(423) (52) = 2035

(243)(73) =

Iniciamos multiplicando los coeficientes numricos y con los factores

literales aplicamos nuevamente la regla de multiplicacin de potencias de

igual base, de manera que tenemos:

= 2 7 4+3 3+1


(243)(73) = 1474


66

(2

543) (113) =

Iniciamos multiplicando los coeficientes numricos y con los factores

literales aplicamos nuevamente la regla de multiplicacin de potencias de

igual base, de manera que tenemos:

=2

5 11 4+3 3+1


(2

543) (113) =

2

5 74

Multiplicacin entre polinomios.

Ahora bien si tenemos que realizar la multiplicacin entre polinomios lo realizamos

de la siguiente forma:

Multiplicamos cada trmino del primer polinomio por cada uno de los trminos del segundo polinomio.

Luego de esto sumamos o restamos todos los monomios semejantes que aparezcan despus de realizar la multiplicacin.

Finalmente lo ordenamos de forma descendente.


67

Por ejemplo:

2(2 5 + 3) =

En este caso aplicaremos la distribucin en la multiplicacin de forma que se

realizan las siguientes operaciones:

2 2 = 23, 2 5 = 52, 2 3 = 6.

Por lo tanto se tiene que 2(2 5 + 3) = 23 52 + 3.

(3 + 1)(2 5 + 4) =


realizan inicialmente las siguientes operaciones con el primer trmino:

3 2 = 33, 3 5 = 152, 3 4 = 12.

Luego de manera similar realizamos las operaciones con el segundo trmino

1 2 = 2, 1 5 = 52, 1 4 = 4.

De los pasos anteriores se obtiene que:

= 33 152 + 12 2 5 + 4

Ahora se realizan las sumas de los trminos semejantes:

152 2 = 162 12 5 = 7

Finalmente se concluye que:

(3 + 1)(2 5 + 4) = 33 162 + 7 + 4.


68

( + 3)( 2) =



= 2, 2 = 2,


3 = 3, 3 2 = 6.


= 2 2 + 3 6


2 + 3 =


( + 3)( 2) = 2 + 6.


69


# Ejemplo # Ejemplo

1 3(2 + 5 + 3) =

6 6(22 + 5) =

2 ( + 2)(2 2 + 4) =

7 (2 + 3)(2 5 4) =

3 ( + 5)( 7) =

8 (633) (95) =

4 (2 + 1) =

9 ( + 11)( 4) =

5 (423) (52) =

10 3(22 3 + 7) =


70

Productos Notables.

Al realizar operaciones en Algebra, notamos la necesidad de realizar

multiplicaciones en repetidas ocasiones, a este tipo de producto se le conoce con el

nombre de productos notables.

Cuadrado de la suma de dos monomios.

Si tenemos un binomio de la forma ( + )2 elevado al cuadrado, esto es

equivalente a expresarlo como el producto de sus factores.

( + )2 = ( + )( + )

Al realizar la multiplicacin de estos binomios obtenemos:

( + )( + ) = 2 + + + 2

= 2 + 2 + 2

De ah que:

( + )2 = 2 + 2 + 2

Adems de lo anterior podemos decir que:

El cuadrado de la suma de dos trminos es igual al cuadrado del primer trmino

ms el doble del primero trmino por el segundo, ms el cuadrado del segundo

trmino.

Por ejemplo:

( + 5)2 =

Iniciamos expresndolo como el producto de sus factores:

= ( + 5)( + 5)


71



= 2, 5 = 5,


5 = 5, 5 5 = 25.


= 2 + 5 + 5 + 25


5 + 5 = 10


( + 5)2 = 2 + 10 + 25.

.

(2 + )2 =


= (2 + )(2 + )



2 2 = 42, 2 = 2,


72


2 = 2, = 2.


= 42 + 2 + 2 + 2


2 + 2 = 4


(2 + )2 = 42 + 4 + 2.

Cuadrado de la diferencia de dos monomios.

Si tenemos un binomio de la forma ( )2 elevado al cuadrado, esto es

equivalente a expresarlo como el producto de sus factores.

( )2 = ( )( )


( )( ) = 2 + 2

= 2 2 + 2

De ah que:

( )2 = 2 2 + 2


73

Adems de lo anterior podemos decir que:

El cuadrado de la diferencia de dos trminos es igual al cuadrado del primer

trmino menos el doble del primero trmino por el segundo, ms el cuadrado del

segundo trmino.

Por ejemplo:

( 4)2 =


= ( 4)( 4)



= 2, 4 = 4,


4 = 4, 4 4 = 16.


= 2 4 4 + 16


4 + 4 = 8


( 4)2 = 2 8 + 16.


74

.(2 3)2 =


= (2 3)(2 3)



2 2 = 42, 2 3 = 6,


3 2 = 6 3 3 = 9.


= 42 6 6 + 2


6 + 6 = 12


(2 3)2 = 42 12 + 9.

Producto de la suma por la diferencia de dos monomios.

La suma de dos monomios multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado del

primer monomio menos el cuadrado del segundo monomio.

( + )( ) = 2 2


75


( + )( ) = 2 + + 2

= 2 2

Por ejemplo:

( 3)( + 3) =



= 2, 3 = 3,


3 = 3, 3 3 = 9.


= 2 + 3 3 9


3 + 3 = 0


( 3)( + 3) = 2 9.


76

(2 + 5)(2 5) =



2 2 = 42, 2 5 = 10,


5 2 = 10, 5 5 = 25.


= 42 10 + 10 25


10 + 10 = 0


(2 + 5)(2 5) = 42 25.


77

Efectue las siguientes operaciones

# Ejemplo # Ejemplo

1 (5 + 3)2 =

6 (2 3)2 =

2 (10 6)2 =

7 (4 + 11)2 =

3 ( + 5)( 5) =

8 (2 + 9)2 =

4 (2 + 4)2 =

9 ( 7)( + 7) =

5 ( 11)( + 11) =

10 (5 3)2 =

Divisin de Polinomio por un Monomio.

Para calcular el cociente de dividir un polinomio entre un monomio se realizan los

siguientes pasos:

Se ordena el polinomio del dividendo de forma decreciente.

Se divide cada trmino del polinomio por el monomio del divisor, aplicando la propiedad de la divisin de potencias de igual base donde se mantiene la

base y se restan los exponentes, adems de la regla de signos.

Los resultados de lo anterior es el cociente de la divisin.


78

Por ejemplo:

(166 325 82 + 243 44) (42) =

Iniciamos ordenando el dividendo de forma descendente, y tenemos que:

166 325 44 + 243 82

Ahora realizamos la divisin

=166

42

325

42

44

42+

243

42

82

42

Trmino a trmino se tiene:

166

42= 462 = 44,

325

42= 852 = 83

44

42= 42 = 2

243

42= 632 = 6

82

42 = 222 = 2

Finalmente se obtiene que:

(166 325 82 + 243 44) (42) = 44 + 83 + 2 6 + 2.


79

(64 93 + 2) (32) =

Como el dividendo esta ordenado realizamos la divisin:

=64

32

93

32+

2

32

Trmino a trmino se tiene:

64

32= 242 = 22

93

32 = 332 = 3

2

32 =

122

3=

1

3

Finalmente se obtiene que:

(64 93 + 2) (32) = 22 3 + 1

3


# Ejemplo

1 (646 482 + 123 44) (42)

2 (184 723 + 332) (32) =


80

3 (306 65 + 603 484) (63)

4 (104 753 + 456) (52) =

5 (726 815 904) (94)

Divisin de Polinomio entre Polinomio

Para realizar una divisin de polinomios debemos seguir una serie de pasos al pie de

la letra, esto con el objetivo de ejecutar con xito este tipo de ejercicios.

Para iniciar debemos ordenar el dividendo y el divisor de forma descendente y completar con un cero los trminos que no aparezcan representados entre el

de mayor exponente y el de menor exponente.

Dividimos el primer trmino del dividendo y entre el primer termino del divisor, este cociente se multiplica por cada uno de los trminos de divisor,


81

estos resultados se ubican bajo el monomio semejante que les corresponda

cambindoles el signo y se realiza la suma correspondiente.

Con el polinomio obtenido de esta suma se aplica nuevamente el paso anterior, aplicando esto hasta que el polinomio que obtengamos en el

dividendo sea de un grado menor al polinomio que aparezca en el divisor.

Ejemplos

(9 + 122) ( + 3)

Iniciamos ordenando de manera descendente y completando tanto el

dividendo como el divisor.

(122 + 0 9) ( + 3)

Se divide el primer trmino del dividendo por el primer termino del divisor,

es resultado de esto es el primer termino del cociente.

122

= 12

Este resultado se ubica en el cociente:

122 + 0 9 + 3

12

Ahora multiplicamos el 12( + 3) = 122 + 36. Y colocamos el opuesto del resultado anterior debajo de dividendo 122 36 .

122 + 0 9 + 3

122 36 12

Una vez realizado este pas, se suman el dividendo y el opuesto del producto

y se baja el siguiente trmino.

122 + 0 9 + 3

122 36 12

0 36 9

Ahora dividimos nuevamente el primer trmino del dividendo entre el

primero del divisor:


82

36

= 36

Este resultado se ubica en el cociente:

122 + 0 9 + 3

122 36 12 36

0 36 9

Multiplicamos el 36( + 3) = 36 108. Y colocamos el opuesto del resultado anterior debajo de dividendo 36 + 108.

122 + 0 9 + 3

122 36 12 36

0 36 9

36 + 108

Se suman el dividendo y el opuesto del producto.

122 + 0 9 + 3

122 36 12 36

0 36 9

36 + 108

0 + 99

En este momento se detiene el procedimiento ya que el primer trmino del

dividendo es de un grado menor que el primer termino del divisor. De no ser

as se debe continuar con el procedimiento.

Por lo tanto se tiene que:

12 36, es el cociente de la divisin. 99, es el residuo de la divisin.

# Ejemplo

1 (143 2) (2 + 4) =


83

2 (163 44 + ) ( 1) =

3 (5 + 23 + 32) (3 + 2) =

4 (123 + 6 2) ( 2) =

5 (3 + 10 + 42) (3 + )

Prctica

1. El resultado de resolver ( + + ) ( + ) es


84

A) 2 + 2 + 2

B) 2 2

C) 2 2 2

D) 2 2

2. El resultado de efectuar (53 12 + 36) + ( 10 73) obtenemos como resultado

A) 123 2 + 36

B) 23 2 + 36

C) 23 + 2 + 36

D) 23 + 22 + 36

3. Al reducir (2) + 6 3 el resultado es igual a

A) 3

B)

C) 5

D) 53

4. La expresin 32 5 + 8 2 2 + 2 es equivalente a

A) 7 + 13

B) 22 7 + 10

C) 22 + 7 + 10

D) 24 7 + 10

5. La expresin ( 5) ( 2 4) es equivalente a


85

A) 1

B) 9

C) 2 + 1

D) 2 + 9

6. La expresin 63 42 nmm 235

1

4

3 es equivalente a

A) nmm 235

3

4

3

B) 2465

19

4

21nmm

C) nmm 235

19

4

21

D) nmm 235

21

4

21

7. El resultado de resolver ( + + ) ( + ) es A) 2

B) 2 2

C) 2 2 2

D) 2 2

8. El resultado de efectuar (63 11 + 30) + ( 3) obtenemos como resultado

A) 73 10 + 30

B) 53 10 + 30

C) 53 10 + 30

D) 53 + 12 + 30

9. Al reducir (5) + 6 3 el resultado es igual a


86

A) 3

B)

C) 2

D) 23

10. La expresin 52 3 + 9 22 2 + 1 es equivalente a

A) 5 + 10

B) 32 5 + 10

C) 32 + 5 + 10

D) 34 5 + 10

11. La expresin ( 3 15) ( 32 4) es equivalente a

A) 11

B) 19

C) 32 + 3 11

D) 32 + 3 19

12. La expresin 53 42 + nmm 232

1

4

1 es equivalente a

A) nmm 235

3

4

3

B) 2462

7

4

21nmm

C) nmm 232

7

4

21

D) nmm 235

21

4

21

13. La expresin

63

4

3

1

5

1 22 amam es equivalente a


87

A) 4230

61ma

B) 130

11 2

am

C) 3

5

30

1 2

am

D) 3

5

30

11 2

am

14. El resultado de resolver 2( + 2) es

A) 2 + 4

B) 22 + 4

C) 22 + 4

D) 2 + 4

15. El resultado de efectuar 25

7

2

3

3

2yyxy

es igual a

A) 0

B) 45

7xy

C) 2y2

D) y2

16. Al resolver la potencia (3b3)3


88

A) 27b3

B) 9b3

C) 273b9

D) 93b9

17. La expresin 2(3 1)(3 + 1) es equivalente a

A) 183 + 1

B) 183 2

C) 183 6 1

D) 183 122 2

18. La expresin 25

7

7

5

2

3

3

2babab

se simplifica en

A) 0

B) 2

C) 2

D) 22

19. La expresin ()(72)(22) es equivalente a

A) 742

B) 753

C) 753

D) 742

20. La expresin 3(25 2 + 1) es equivalente a


89

A) 9

B) 28 2 + 1

C) 25 + 23 1

D) 28 + 24 + 3

21. La expresin

xyxyyx

2

12

8

7 22 es equivalente a

A) 223 244

7xyyxyx

B) 2232

1

16

7xyyxyx

C) 222

1

16

7yxyyx

D) 232

1

16

7xyxyyx

22. La expresin 34

3yxx

es equivalente a

A) 324

3yx

B) 324

3yx

C) 324

3

4

3xyx

D) 324

3

4

3xyx


90

23. La expresin (2x 1) (22x +1) es equivalente a

A) 122

4 x

B) 122

2 x

C) 23x 1

D) 23x

24. La expresin (723)(34) es equivalente a

A) 1037

B) 2137

C) 2127

D) 21212

25. La expresin (5 + 3)2 es equivalente a

A) 52 + 3

B) 252 + 3

C) 252 + 9

D) 252 + 30 + 9

26. La expresin (6 7)2 es equivalente a

A) 62 7

B) 362 84 + 49

C) 362 49

D) 362 + 84 + 49


91

27. La expresin (9 + 4)2 es equivalente a

A) 92 + 4

B) 812 + 16

C) 812 + 72 + 16

D) 812 72 + 16

28. La expresin (8 5)2 es equivalente a

A) 82 5

B) 642 80 + 25

C) 642 25

D) 642 + 80 + 25

29. La expresin (5 3)(5 + 3) es equivalente a

A) 252 9

B) 252 + 9

C) 252 + 30 + 9

D) 252 30 + 9

30. La expresin (4 + 13)(4 13) es equivalente a

A) 162 + 104 + 169

B) 162 169

C) 162 + 169

D) 162 104 + 169


92

31. Si 0 la expresin x

xx

6

612 3 es equivalente a

A) 33

B) 123

C) 2 + 1

D) 22 + 1

32. La expresin 54

36

6

18

ba

bacorresponde a

A) 322

B) 622

C) 322

D) 2

23

b

a

33. La expresin 2

23

12

1224

x

xx es equivalente a

A) x

1

B) 243

C) 2 1

D) 2 122

34. La expresin x

xxx )1(2 es equivalente a

A) 3 1

B) + 1

C) 3 3

D) 2 2


93

35. El cociente de ( -20a3b5 + 15a2b) (-5a2b) es igual a

A) 4 + 3

B) 35

C) 44 3

D) 4 1

36. Al dividir aaaa 5

3

4

1

5

3

3

1 23

obtenemos como cociente

A) 12

5

9

5 2

aa

B) 12

5

9

5 2

aa

C) 12

5

9

5 2 aa

D) 12

5

9

5 2

aa

37. La expresin 226 5525 mmm es equivalente a

A) 42

B) 54

C) 54 1

D) 53 1

38. La expresin + 2( 3 5) es equivalente a

A) 6 4

B) 6 9

C) 6 102

D) 7 52 + 6


94

39. La expresin 8 (163 + 82) ( 4 2) es equivalente a

A) 4 2

B) 4 + 2

C) 8 163 2

D) 8 163 + 2

40. La expresin 3 2 + (3)2 + (52 2) es equivalente a

A) 72

B) 82

C) 92

D) 11a2

41. El resultado de efectuar 3 2(1 ) + 2 corresponde a

A)

B) 5 + 32

C) 5 2

D)

42. La expresin ( + + ) (2 + ) se simplifica en

A) + 2

B) 2 2 22

C) 2

D) 22 2


95

43. La expresin 2 + 2( 4 6) es equivalente a

A) 8 4

B) 8 10

C) 8 102

D) 8 102 + 2

44. La expresin 7 (203 + 152) ( 5 2) es equivalente a

A) 3 3

B) 3 + 3

C) 8 133 3

D) 8 133 + 3

45. Al dividir (32 13 10) ( 5) el cociente es A) 3 2

B) 3 + 2

C) 3 10

D) 3 + 10

46. Al efectuar 4 (22 5 3) (2 + 1) se obtiene

A) + 5

B) 5

C) 3 + 3

D) 3 3


96

47. El cociente de (2 15 + 56) ( 7) es:

A. 8

B. + 8

C. 2 7

D. 22

48. El residuo de (3 + 22 + 5) ( + 2) es:

A. 9

B. 13

C. 3

D. 7

49. El cociente de (3 + 32 4) ( + 2) es equivalente a:

A. 2 +

B. 2 + 5

C. 2 + 2

D. 2 + 5 + 10

50. El cociente de (3 + 2 12) ( 2) es equivalente a:

A. 2 12

B. 2 + 6

C. 2 + 2 + 6

D. 2 + 14


97

Factorizacin de Polinomios

Cuando nos referimos al concepto de factorizacin estamos hablando de presentar

alguna expresin matemtica como el producto de sus factores, para lograr este

objetivo existen muchos mtodos, a nosotros en este curso nos interesan el estudio

de tres de ellos:

Factorizacin por Factor Comn.

Factorizacin por Trinomio Cuadrado Perfecto.

Factorizacin por Diferencia de Cuadrados.

Mtodo por factor comn.

Para realizar este tipo de factorizacin cumpliremos el siguiente procedimiento:

Debemos tomar los coeficientes numricos de los diferentes monomios que aparezcan en la expresin y calcular su mximo comn divisor (MCD). Lo

que significa encontrar el producto de los divisores comunes de los mismos.

Seguidamente verificamos si las variables que aparecen en el polinomio estn presentes en todos los monomios, si es as tomamos la variable que tenga el

menor exponente para que forme parte de nuestro factor comn.

Es decir que el factor comn est formado por el MCD y por todas las variables que estn presentes en todos los trminos del polinomio que tengan

menor exponente.

Finalmente debemos formar el otro factor el cual encontramos luego de dividir cada trmino del polinomio por el factor comn. Cabe resaltar que el

polinomio que se forma como el otro factor podra ser factorizado por

cualquiera de los otros dos mtodos que estudiaremos a continuacin.


98

Ejemplos.

1. Factorice la siguiente expresin: 1043 524 + 1532.

El primer paso es encontrar el factor comn.

MCD Factor Literal.

10 5 15 5 22

2 1 3 5

Factor comn es 522.

Luego se divide cada termino por el factor comn.

1043

522= 22

524

522= 2

1532.

522= 3

Por lo tanto el otro factor que obtenemos es (22 2 + 3).

Finalmente tenemos que

1043 524 + 1532 = 522(22 2 + 3)


99

2. Factorice la siguiente expresin: 1453

3

212

5+

724

2

Para este caso lo primero que debemos realizar es presentar el polinomio con

su denominador comn.

14053 1262 + 10524

30

Luego encontramos el factor comn.

MCD Factor Literal

140 126 105 7 2

10 18 15 7

Factor comn es 7

302.

El otro factor que obtenemos es (104 18 + 152).

Por lo tanto tenemos que

14

353

21

52 +

724

2=

7

302(104 18 + 152)

Mtodo por agrupacin.

Se aplica en polinomios que no tienen factor comn en todos sus trminos.

Para realizar este tipo de factorizacin seguimos el siguiente procedimiento:

Se forman grupos de igual cantidad de trminos que tengan factor comn, se sustrae dicho factor comn en cada uno de los grupos. Debe quedar un

parntesis comn.

Se extrae dicho parntesis como factor comn.

Y finalmente se forma el otro factor usando los resultados obtenidos en la primera factorizacin efectuada.


100

Ejemplo.

1. Factorice la siguiente expresin: 22 + + 22 +

El primer paso es agrupar los trminos que tengan factor comn.

(22 + ) + (22 + )

Luego determinamos el factor comn de cada agrupacin.

(22 + ) + (22 + )

Ahora como tenemos parntesis iguales se toma este como un factor comn,

y se forma el otro factor.

(22 + )( + )

Por lo tanto tenemos que:

22 + + 22 + = (22 + )( + )

Mtodo por trinomio cuadrado perfecto.


Ordenamos el trinomio de forma decreciente, y calculamos la raz cuadrada de los trminos que estn en los extremos del mismo.

Multiplicamos estos resultados entre si y luego por dos, si esto nos da el trmino del centro tenemos un trinomio cuadrado perfecto.

Tomamos los resultados obtenidos en el paso uno los encerramos entre parntesis unindolos con el signo del trmino del centro y este parntesis lo

elevamos al cuadrado.


101

Ejemplos.

1. Factorice la siguiente expresin: 42 12 + 92

Ordenamos los trminos del trinomio y calculamos las races de los trminos

que se encuentran en los extremos

42 92

2 3

Verificamos con respecto al trmino que se encuentra en el centro

2 2 3

12


42 12 + 92 = (2 3)2

2. Factorice la siguiente expresin: 252 + 40 + 16

Ordenamos los trminos del trinomio y calculamos las races de los trminos

que se encuentran en los extremos

252 16

5 4

Verificamos con respecto al trmino que se encuentra en el centro

2 5 4

40


252 + 40 + 16 = (5 + 4)2


102

Mtodo por diferencia de cuadrados.

En trminos matemticos la palabra diferencia se maneja como resta, es decir que

para este caso manejaremos restas de cuadrados, cabe sealar que no existe mtodo

de factorizacin para una suma de cuadrados al menos en los nmeros reales.


Calculamos la raz cuadrada de los dos trminos que aparecen involucrados.

Si las races son exactas entonces formamos dos parntesis, uniendo estos dos trminos uno con suma y otro con resta.

Nota:

El orden en que se ubiquen estos parntesis no altera el resultado, sin embargo se

recomienda ubicar primero el positivo y luego el negativo esto pes existen casos

donde se deber realizar este tipo de factorizacin en varias ocasiones.

Ejemplos.

1. Factorice la siguiente expresin: 2 92

Realizamos el clculo de las races trminos que se nos plantean en la

diferencia

2 92 3

Por lo tanto tenemos que

2 92 = ( + 3)( 3)


103


Realizamos el clculo de las races trminos que se nos plantean en la

diferencia

164 1

42 1

En el resultado que obtenemos, nuevamente encontramos una diferencia de

cuadrados por lo que debemos realizar la factorizacin de dicho parntesis.

164 1 = (42 + 1)(42 1)

42 1

2 1

Finalmente el resultado que obtenemos es

164 1 = (42 + 1)(2 + 1)(2 1)

En algunos casos podemos encontrarnos con ejercicios en los cuales debemos

aplicar varios mtodos al mismo tiempo para llegar a obtener la factorizacin

completa de un polinomio. Para este tipo de casos seguimos el siguiente orden:

Combinacin de casos.

1. Factorizacin por factor comn. 2. Factorizacin por diferencia de cuadrados si tiene 2 trminos. 3. Factorizacin por trinomio cuadrado perfecto si tiene 3 trminos.

1 Factor Comn

2 Trinomio Cuadrado Perfecto Si tenemos 3 Tminos

FACTORIZACIN

2 Diferencia de

Cuadrados Si tenemos 2

Trminos


104

Ejemplos.



Factor Literal:

Realizamos la primera factorizacin.

(2 2)

Al obtener el resultado anterior notamos que en el parntesis nos queda

indicada una diferencia de cuadrados.

(2 2)

2 2

Por lo que finalmente obtenemos como resultado:

3 3 = ( + )( )

2. 43 242 + 36


MCD Factor Literal

4 24 36 4

1 6 9 4

Realizamos la primera factorizacin.

4(2 6 + 9)

Al obtener el resultado anterior notamos que en el parntesis nos queda

indicado un trinomio cuadrado perfecto.

4(2 6 + 9)

2 9

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Mate Zapandí Fascículo N 1.pdf