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MATEMÁTICA APLICADA

MÓDULO 1

Matemática Aplicada - Módulo 1 2

Índice

Apresentação................................................................3

1. Demanda de mercado ................................................3

2. Oferta de mercado.....................................................6

3. Preço e quantidade de equilíbrio ..................................8

4. Resolvendo problemas ...............................................9

Matemática Aplicada

APRESENTAÇÃO

Caro aluno:

A contextualização e a aplicação dos conteúdos matemáticos (já estudados) contemplarão o objetivo geral da disciplina Matemática Aplicada à Administração. Este objetivo tem a finalidade de – por meio de formulações e modelos matemáticos, do desenvolvimento do raciocínio lógico, do espírito de investigação e da habilidade em solucionar problemas – transformar os problemas desse campo profissional, com base nas condições dadas, em métodos e modelos dedutíveis que sirvam para obter resultados válidos e, principalmente, para possibilitar que você se expresse de maneira crítica e criativa na solução das questões que se apresentem.

O material está dividido em duas partes. Primeiramente, estudaremos demanda, oferta de mercado e preço/quantidade de equilíbrio. Na segunda parte abordaremos receita e custo total, ponto de nivelamento e lucro total. Os conteúdos estão apresentados de forma didática e por meio de exemplos. Sugere-se, como complemento de estudo, a utilização de outras bibliografias.

Obs.: durante as aulas (estudos e provas), se for necessário, utilize uma calculadora simples para facilitar os cálculos.

1. DEMANDA DE MERCADO

Conforme Silva (1999), a função que a todo preço (P) associa a demanda ou a procura de mercado é denominada função demanda ou função procura de mercado da utilidade, no período considerado. A representação gráfica dessa função constitui a curva de demanda ou de procura da utilidade.

Exemplo

Considere a função D = 10 – 2P, onde P é o preço por unidade do bem ou serviço e D a demanda de mercado correspondente.

Para que ocorra “mercado”, as condições básicas devem ser:

• preço maior que “zero” (P > 0);

• demanda ou procura pelo produto maior que “zero” (D > 0).

Observe

Ao admitirmos D > 0, ocorre:

Portanto, o preço do produto, nessa situação, varia entre 0 e R$ 5,00.

0 < P < R$ 5,00.

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Ao admitirmos P > 0, ocorre:

Como

Portanto, a demanda (procura) pelo produto, nessa situação, varia entre 0 e 10 unidades.

0 < D < 10 unidades.

Para representar graficamente essa situação, podemos construir a seguinte “tabela”:

D = 10 – 2P = 10 – 2.(0) = 10 – 0 = 10 unidades.

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Demanda (D): quantidade

Observe o gráfico acima:

− variação do preço: 0 < P < R$ 5,00;

− variação da demanda: 0 < D < 10 unidades;

− conforme o preço aumenta, a demanda ou procura pelo produto diminui, tornando tal função decrescente.

Nesse caso, onde D = 10 – 2P, pode-se dizer que, quando o preço do produto aumenta uma unidade, a procura pelo produto diminui em duas unidades.

Exemplo

Ainda nesse caso, o preço do produto, quando D = 4 unidades, é de P = R$ 3,00.

Veja:

Ainda no mesmo caso, quando D > 4 unidades, os preços poderão variar: P < R$ 3,00.

Veja:

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2. OFERTA DE MERCADO

Conforme Silva (1999), a função que a todo preço (P) associa a oferta de mercado é denominada função oferta de mercado da utilidade, no período considerado. A representação gráfica dessa função constitui a curva de oferta da utilidade no período.

Exemplo

Considere a função S = – 8 + 2P, onde P é o preço por unidade do bem ou serviço e S é a correspondente oferta de mercado. Sabe-se que P < R$ 10,00.

Para que ocorra “mercado”, o produto deve ser oferecido para venda, portanto: (S > 0).

Observe

Ao admitirmos S > 0, ocorre:

Portanto, o preço do produto, nessa situação, deverá ser maior que R$ 4,00. Ou seja, o produto será oferecido ao cliente somente com preços maiores do que R$ 4,00.

Exemplo

Para P = R$ 4,00

Temos:

S = – 8 + 2.(4) = – 8 + 8 = 0 unidades oferecidas para venda.

Para P = R$ 5,00

Temos:


Para P = R$ 6,00

Temos:


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Para representar graficamente essa situação, podemos construir a seguinte “tabela”:

Atenção: adota-se P = 10, pois o “problema”, nesse caso, diz que P ≤ R$ 10,00.

Para P = 10

S = – 8 + 2P = – 8 + 2.(10) = – 8 + 20 = 12 unidades.

Observe o gráfico acima:

− o oferecimento do produto existirá para preços acima de R$ 4,00;

− conforme o preço aumenta, o oferecimento (S) do produto aumenta também, tornando a função crescente. Note-se que, para o vendedor, quanto maior o preço do produto, mais produtos oferecerá para venda. Mas será que a procura (demanda) pelo produto será satisfatória?

(Veremos isso em seguida).

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3. PREÇO E QUANTIDADE DE EQUILÍBRIO

Conforme Silva (1999), o preço de mercado (PE) para dada utilidade é o preço para o qual a demanda e a oferta de mercado dessa utilidade coincidem. A quantidade correspondente ao preço de equilíbrio é denominada quantidade de equilíbrio de mercado da utilidade (QE).

Considere os casos D = 40 – 2P e S = –15 + 3P, com P ≤ R$ 20,00. A representação gráfica para tais casos:

Demanda (a tabela se constrói como no exemplo anterior):

Oferta (a tabela se constrói como no exemplo anterior):

Observando o gráfico:

• na função demanda: quanto maior o preço, menor a procura pelo produto (gráfico decrescente);

• na função oferta: quando maior o preço, maior é o oferecimento do produto (gráfico crescente).

Sabemos que preços elevados de um produto possibilitam a obtenção de maior lucro e, por isso, para o vendedor, quanto mais alto o preço do

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produto oferecido, maior será seu lucro. No entanto, não podemos esquecer que a procura pelo produto está vinculada, também, a seu preço de venda e que ocorre de maneira inversa a seu oferecimento: quanto maior o preço, maior será o oferecimento do produto, porém, menor será sua procura. Daí a importância de um preço (PE) em que a oferta e a demanda sejam comuns (QE) – preço e quantidade de equilíbrio.

Encontrando PE e QE da situação acima (por meio de cálculos):

Dadas as funções D = 40 – 2P e S = –15 + 3P, com P ≤ R$ 20,00, encontrar preço de equilíbrio (PE) e quantidade de equilíbrio (QE):

Escolher uma das funções para encontrar QE, por exemplo, D = 40 – 2P:

D = 40 – 2.(11) = 40 – 22 = 18 unidades (QE).

Como D = S, podemos escolher qualquer uma das funções para encontrar QE (dará o mesmo resultado).

4. RESOLVENDO PROBLEMAS

1) Considere a função demanda D = 12 – 3P. O preço do produto poderá variar da seguinte maneira:

Ao admitirmos D > 0, ocorre:

Portanto, o preço do produto, nessa situação, varia entre 0 e R$ 4,00.

0 < P < R$ 4,00.

A demanda de mercado de um produto é dada por D = 4.000 – 30P. O valor da demanda correspondente ao preço P = R$ 35,00 é:

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Portanto, ao preço de R$ 35,00, existirá procura (demanda) de 2.950 unidades.

3) A demanda de mercado de um produto é dada por D = 5.000 – 30P. A que preço a demanda será de 2.000 unidades?

Portanto, a procura de 2.000 unidades do produto corresponde ao preço de R$ 100,00/unidade.

4) A demanda de mercado de um produto é dada por D = 4.300 – 1 6P. A que preços a demanda ficará entre 500 e 800 unidades?

Os preços variam entre R$ 2 18,75 e R$ 237,50, conforme ocorre a variação da demanda entre 500 e 800 unidades, ou seja, nesse caso, R$ 2 18,75 < P < R$ 237,50.

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Considere a função oferta S = – 12 + 3P, com P < R$ 20,00. A partir de que preço haverá oferecimento do produto?

Haverá oferta do produto para preços maiores que R$ 4,00.

5) Considere a função oferta S = – 10 + 0,5P, com P < R$ 60,00. Para quais valores de P (preço) não haverá oferecimento do produto?

Sabe-se que haverá oferta do produto quando S > 0.

Haverá oferta do produto para preços maiores que R$ 20,00 e não haverá oferta do produto para preços compreendidos entre 0 e R$ 20,00 (inclusive R$ 20,00, pois, para P = 20, S = 0).

Portanto, pode-se dizer que não haverá oferta do produto para a seguinte variação de preço: 0 < P < R$ 20,00.

7) Considere a função oferta S = – 12 + 3P, com P < R$ 20,00. Quando P = R$ 20,00, pode-se afirmar que serão oferecidas para venda:

Ao preço de R$ 20,00/unidade, a quantidade oferecida para venda é de 48 unidades.

8) Considere a função oferta S = – 12 + 3P, com P < R$ 20,00. A que preço a oferta será de 30 unidades do produto?

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O oferecimento de 30 unidades do produto corresponde ao preço de R$ 14,00.

9) Considere a função oferta S = – 12 + 3P, com P < R$ 20,00. Quais os preços em que a oferta do produto existirá e será menor do que 12 unidades?

P > R$ 4,00 (o oferecimento do produto existirá para preços maiores que R$ 4,00).

Portanto, para preços que variam entre R$ 4,00 e R$ 8,00, o oferecimento do produto existirá e será menor que 12 unidades. Ou seja, nesse caso, R$ 4,00 < P < R$ 8,00.

10) Determinar o preço de equilíbrio (PE) e a quantidade de equilíbrio (QE) no seguinte caso: D = 20 – P e S = –10 + 2P, com P ≤ R$ 20,00.

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Escolhe-se uma das funções e substitui-se o valor encontrado (PE) na variável P:

D = 20 – P

D = 20 – 10 = 10 unidades.

Quantidade de equilíbrio (QE) = 10 unidades.

Portanto, ao preço de R$ 10,00/unidade do produto, tem-se quantidades iguais de procura e oferecimento do mesmo.

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