Matemati cka analiza u n-dimenzionalnom realnom prostoru

Matematicka analiza un-dimenzionalnomrealnom prostoru

Dragan S. Djordjevic

January 23, 2021

ii

Predgovor

Knjiga sadrzi teme koje se odnose na neprekidnost, diferencijabilnost i int-grabilnost funkcija u prostoru Rn. Sadrzaj obuhvata gradivo predvideno zastudente matematike, fizike ili tehnike. Pored standardnih lekcija, prikayanisu rezultati namenjeni studentima sa sirim interesovanjem.

iii

iv

Sadrzaj

Predgovor iii

1 Prostor Rn 1

1.1 Metricki prostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Vektorski prostor Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Norma u prostoru Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 Skalarni proizvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Neprekidnost i diferencijabilnost 15

2.1 Granicne vrednosti funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.1 Granicna vrednost funkcije u tacki . . . . . . . . . . . 15

2.1.2 Granicna vrednost funkcije po skupu . . . . . . . . . . 18

2.1.3 Ponovljene granicne vrednosti . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 Neprekidnost funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3 Diferencijabilnost funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4 Parcijalni izvodi i diferencijali viseg reda . . . . . . . . . . . . 45

2.5 Ekstremne vrednosti i implicitne funkcije . . . . . . . . . . . 51

3 Integracija 63

3.1 Zordanova mera u Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.1.1 Mera pravougaonika u R2 . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.1.2 Mera n-intervala u Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.1.3 Unutrasnja i spoljna mera . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.2 Rimanov integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.2.1 Rimanova suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.2.2 Darbuove sume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.2.3 Oznake i terminologija . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.3 Klase integrabilnih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.4 Svojstva Rimanovog integrala . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

v

vi SADRZAJ

3.5 Geometrijski i fizicki smisao integrala . . . . . . . . . . . . . . 82

3.5.1 Interpretacija dvostrukog integrala . . . . . . . . . . . 84

3.5.2 Interpretacija trostrukog integrala . . . . . . . . . . . 84

3.6 Specificnosti integrala u Rn za n ≥ 2 . . . . . . . . . . . . . . 85

3.7 Izracunavanje integrala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.7.1 Slucaj prostora R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.7.2 Slucaj prostora Rn, n ≥ 3 . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.8 Smena promenljivih . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

3.8.1 Polarna smena u ravni . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

3.8.2 Uopstena polarna smena . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.8.3 Cilindricna smena u trostrukom integralu . . . . . . . 103

3.8.4 Sferna smena u trostrukom integralu . . . . . . . . . . 108

3.9 Nesvojstveni integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

3.10 Pojmovi u mehanici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

3.10.1 Moment inercije materijalne ravne figure . . . . . . . . 112

3.10.2 Elipsa inercije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

3.10.3 Moment inercije materijalne figure . . . . . . . . . . . 115

3.10.4 Teziste materijalne ravne figure . . . . . . . . . . . . . 116

3.10.5 Teziste materijalne figure u prostoru . . . . . . . . . . 117

4 Krivolinijski integrali 119

4.1 Krive u Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

4.2 Krivolinijski integral prvog reda . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

4.2.1 Rimanova suma i geometrijska interpretacijakrivolinijskog integrala prvog reda . . . . . . . . . . . 131

4.3 Krivolinijski integral drugog reda . . . . . . . . . . . . . . . . 137

4.4 Grinova formula u ravni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

4.4.1 Slucaj visestruko povezanih oblasti . . . . . . . . . . . 146

4.4.2 Primena krivolinijskog integrala drugog reda na izra-cunavane povrsine skupa u ravni . . . . . . . . . . . . 147

4.5 Nezavisnost integrala od putanje integracije . . . . . . . . . . 150

4.6 Mehanicki smisao krivolinijskog integrala . . . . . . . . . . . 152

5 Povrsinski integrali 155

5.1 Povrsi u R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

5.2 Prva kvadratna forma povrsi i povrsina povrsi . . . . . . . . 159

5.3 Povrsinski integrali prvog reda . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

5.4 Povrsinski integrali drugog reda . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

5.5 Teorija polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

5.6 Formula Gaus–Ostrogradskog . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

SADRZAJ vii

5.7 Formula Stoksa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

6 Parametarski integrali 1856.1 Funkcija gornje granice integrala . . . . . . . . . . . . . . . . 1856.2 Svojstveni parametarski integrali . . . . . . . . . . . . . . . . 1886.3 Nesvojstveni parametarski integrali . . . . . . . . . . . . . . . 1946.4 Gama funkcija (Ojlerov integral drugog reda) . . . . . . . . . 2046.5 Beta funkcija (Ojlerov integral prvog reda) . . . . . . . . . . 2066.6 Aproksimacija neprekidnih funkcija polynomima . . . . . . . 211

7 Furijeovi redovi 2157.1 Prostori funkcija i ortogonalnost . . . . . . . . . . . . . . . . 2157.2 Furijeov red funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

Literatura 223

viii SADRZAJ

Glava 1

Prostor Rn

1.1 Metricki prostori

Rastojanje izmedu elemenata nekog skupa je veoma vazan pojam u matem-atici. Stoga detaljno razmatramo pitanja u vezi rastojanja. U jednom skupuse na vise nacina moze definisati rastojanje.

Definicija 1.1.1. Neka je X proizvoljan neprazan skup, i neka je d : X ×X → R preslikavanje, tako da za svako x, y, z ∈ X vazi

(1) d(x, y) ≥ 0;

(2) d(x, y) = d(y, x);

(3) d(x, y) = 0 ako i samo ako x = y;

(4) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) (nejednakost trougla).

Tada je d metrika, ili rastojanje na skupu X. Ureden par (X, d) jestemetricki prostor.

Jednostavnije, X je metricki prostor, i podrazumevamo da je na skupuX definisana neka metrika.

Elementi metrickog prostora nazivaju se tacke. Ako je x, y ∈ X, tada jebroj d(x, y) rastojanje izmedu tacaka x i y.

Primer 1.1.1. (1) Na skupu realnih brojeva R metrika je definisana nauobicajeni nacin: ako su x, y ∈ R, onda je d(x, y) = |x− y|.

(2) Neka je R2 = (x1, x2) : x1, x2 ∈ R skup svih uredenih parovarealnih brojeva, koji geometrijski interpretiramo kao ravan. Ako je x =(x1, x2) ∈ R2 i y = (y1, y2) ∈ R2, onda je njihovo Euklidovo rastojanjeodredeno sa

d(x, y) =√

(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2.

1

2 GLAVA 1. PROSTOR RN

(3) Slicno je i u trodimenzionalnom prostoru R3. Ako je x = (x1, x2, x3) ∈R3 i y = (y1, y2, y3) ∈ R3, tada je Euklidovo rastojanje izmedu ovih tacaka

d(x, y) =√

(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + (x3 − y3)2.

(4) Neka je Rn = (x1, . . . , xn) : x1, . . . , xn ∈ R skup uredenih n-torkirealnih brojeva. Ako je x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn i y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn, ondaje Euklidovo rastojanje izmedu tacaka x i y

d(x, y) =

(n∑k=1

(xk − yk)2

)1/2

.

Dokaz. Dovoljno je dokazati osobine metrike za funkciju definisanu u delu(4) ovog primera. Svojstva (1), (2) i (3) iz Definicije 1.1.1 je jednostavnoproveriti, dok je osobina (4) iste definicije posledica sledeceg tvrdenja:

Teorema 1.1.1. Ako su a1, . . . , an, b1, . . . bn proizvoljni realni brojevi, tadavazi (

n∑i=1

(ai + bi)2

)1/2

≤

(n∑i=1

a2i

)1/2

+

(n∑i=1

b2i

)1/2

.

Ako je ai = xi − zi, bi = zi − yi (i = 1, . . . , n) u prethodnoj Teoremi1.1.1, sledi da za x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) i z = (z1, . . . , zn) vazi:

d(x, y) =

(n∑i=1

(xi − yi)2

)1/2

≤

(n∑i=1

(xi − zi)2

)1/2

+

(n∑i=1

(zi − yi)2

)1/2

d(x, z) + d(z, y),

Ovim je dokazana nejednakost trougla za funkciju d .

Definicija 1.1.2. Prostor Rn sa rastojanjem iz Primera 1.1.1 naziva seEuklidov prostor.

U skupu Rn mogu se definisati rastojanja i na neki drugi nacin, kao stopokazuju sledeci primeri.

Primer 1.1.2. (1) Neka je x = (x1, . . . , xn) i y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn. Tadasu

d∞(x, y) = maxi=1,n

|xi − yi|, d1(x, y) =n∑i=1

|xi − yi|

1.1. METRICKI PROSTORI 3

metrike na skupu Rn i vazi

d(x, y)

n≤ d∞(x, y) ≤ d(x, y) ≤ d1(x, y) ≤ n · d∞(x, y),

gde je d Euklidovo rastojanje na Rn.(2) Neka jeB[0, 1] skup svih realnih funkcija koje su definisane i ogranicene

na segmentu [0, 1]. Za proizvoljne funkcije x, y ∈ B[0, 1], funkcija d∞ defin-isana je na sledeci nacin:

d∞(x, y) = supt∈[0,1]

|x(t)− y(t)|.

Ocigledno, funkcija d ispunjava uslove (1)–(3) Definicije 1.1.1. Neposrednoiz definicije funkcije d sledi:

|x(t)− y(t)| ≤ d∞(x, y) za svako t ∈ [0, 1].

Na osnovu nejednakosti trougla za realne brojeve, za proizvoljne funkcijex, y, z ∈ B[0, 1] i svako t ∈ [0, 1] vazi sledeca procena:

|x(t)− y(t)| ≤ |x(t)− z(t)|+ |z(t)− y(t)| ≤ d∞(x, z) + d∞(z, y).

Prema tome vazi

d∞(x, y) = supt∈[0,1]

|x(t)− y(t)| ≤ d∞(x, z) + d∞(z, y),

sto predstavlja nejednakost trougla za funkciju d∞. Tacke ovog metrickogprostora jesu ogranicene realne funkcije na skupu [0, 1].

(3) Neka je C[a, b] skup svih realnih funkcija, koje su definisane i neprekidnena segmentu [a, b]. Tada se u skupu C[a, b] metrika moze definisati na sledecinacin:

d∞(x, y) = maxt∈[a,b]

|x(t)− y(t)|,

za svako x, y ∈ C[a, b].(4) Skup kompleksnih brojeva oznacen je sa C. Svaki broj z ∈ C pred-

stavlja se kao z = x+ iy, gde su x i y realni brojevi, x = Re z i y = Im z, ai je imaginarna jedinica. Skup kompleksnih brojeva predstavljen je jednomravni, pri cemu vazi z = x+ iy = (x, y). Stoga je rastojanje u C definisanona isti nacin kao u prostoru R2. Ako je z = x + iy i w = u + iv, gde sux, y, u, v ∈ R, tada je

d(z, w) =√

(x− u)2 + (y − v)2.


Iz cinjenice da je modul kompleksnog broja z = x + iy definisan kao |z| =d(z, 0), sledi d(z, w) = |z − w|.

(5) U prostoru Cn uredenih n-torki kompleksnih brojeva definisana jemetrika na sledeci nacin. Ako je z = (z1, . . . , zn) ∈ Cn i w = (w1, . . . , wn) ∈Cn, pri cemu je zi, wi ∈ C za svako i = 1, . . . , n, tada je

d(z, w) =

(n∑i=1

|zi − wi|2)1/2

.

Podrazumevamo da je konvergencija nizova u skupu R dobro poznata.Definisemo konvergenciju nizova u proizvoljnom metrickom prostoru.

Definicija 1.1.3. Neka je (xn)n niz tacaka u metrickom prostoru X. Niz(xn)n konvergira ka tacki a ∈ X (u oznaci lim

n→∞xn = a), ako brojni niz

(d(xn, a))n konvergira ka 0, odnosno

(∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n ∈ N)(n ≥ n0 =⇒ d(xn, a) < ε).

Ako je limn→∞

xn = a, tada je tacka a granicna vrednost niza (xn)n.

Ograniceni nizovi cine siru klasu od konvergentnih nizova u metrickomprostoru.

Definicija 1.1.4. Niz tacaka (xn)n metrickog prostora X je ogranicen, akopostoji tacka a ∈ X i postoji broj C > 0, tako da za svako n ∈ N vazid(xn, a) ≤ C.

Sledi nekoliko osnovnih tvrdenja koja se odnose na konvergentne i ogranicenenizove.

Teorema 1.1.2. Ako je niz (xn)n konvergentan u metrickom prostoru X,onda je on i ogranicen.

Dokaz. Neka je limn→∞

xn = a, odnosno limn→∞

d(xn, a) = 0. Niz (d(xn, a))n je

konvergentan niz realnih brojeva, te je ogranicen. Stoga postoji neki brojC > 0, tako da za svako n ∈ N vazi d(a, xn) ≤ C. Ovim je pokazanaogranicenost niza (xn)n u metrickom prostoru X.

Teorema 1.1.3. Niz (xn)n u metrickom prostoru X ne moze konvergiratidvema razlicitim tackama.



xn = a i limn→∞

xn = b. Na osnovu nejednakosti trougla,

za svako n ∈ N vazi

0 ≤ d(a, b) ≤ d(a, xn) + d(xn, b).

Obzirom da nizovi d(a, xn) i d(xn, b) teze ka 0 kada n → ∞, sledi da jed(a, b) = 0, odnosno a = b.

Otvorena kugla poluprecnika r (r > 0) sa centrom u tacki a metrickogprostora X jeste skup

B(a; r) = x ∈ X : d(x, a) < r.

Kugla sa centrom u a ∈ R poluprecnika r > 0 na realnoj pravoj jesteinterval (a− r, a+ r).

Ako je a = (a1, a2) ∈ R2, onda je

B(a; r) = x = (x1, x2) :√

(x1 − a1)2 + (x2 − a2)2 < r

krug sa centrom u tacki a poluprecnika r.Kugla u R3 je kugla ili lopta u uobicajenom smislu.Koristeci pojam kugle u metrickom prostoru, moguce je dati jos jednu

karakterizaciju konvergencije niza tacaka.

Teorema 1.1.4. Niz tacaka (xn)n metrickog prostora X konvergira ka tackia ∈ X, ako i samo ako svaka kugla B(a; r) sadrzi sve clanove niza (xn)n,osim eventualno konacno mnogo clanova tog niza.


xn = a i neka je B(a; r) proizvoljna kugla. Za dati broj

r > 0 postoji n0 ∈ N, tako da za svako n ∈ N sa svojstvom n ≥ n0 vazid(xn, a) < r. Proizilazi da kugla B(a; r) sadrzi sve clanove niza (xn)n≥n0 .

Obrnuto, pretpostavimo da svaka kugla B(a; ε) sadrzi sve clanove niza(xn)n, osim eventualno neki konacan broj tacaka tog niza. Neka je ε > 0proizvoljan broj i xn1 tacka sa najvecim indeksom niza (xn)n koja ne pripadakugli B(a; ε). Sve ostale tacke moraju pripadati ovoj kugli, odnosno za svakiprirodan broj n, ako je n > n1, onda je d(xn, a) < ε. Sledi lim

n→∞xn = a.

Konvergencija niza tacaka prostora Rn ekvivalentna je konvergenciji sva-kog niza koordinata.

Teorema 1.1.5. Niz tacaka (xm)m prostora Rn, pri cemu je xm = (xm1 , . . . , xmn ),

konvergira ka tacki a = (a1, . . . , an), ako i samo ako svaki koordinatni niz(xmi )m konvergira ka tacki ai (i = 1, . . . , n).

Drugim recima, limm→∞

xm = a ako i samo ako je limm→∞

xmi = ai za svako

i = 1, . . . , n.


Dokaz. Dovoljno je dokazati tvrdenje u slucaju n = 2. U slucaju n ≥ 2tehnicke detalje dokaza prepustamo citaocu. Neka je lim

m→∞xm = a, gde je

xm = (xm1 , xm2 ) i a = (a1, a2). Tada je lim

m→∞d(xm, a) = 0. Vazi

0 ≤ |xm1 − a1| ≤√

(xm1 − a1)2 + (xm2 − a2)2 = d(xm, a)→ 0, m→∞.

Ovim je pokazano limm→∞

xm1 = a1. Na potpuno isti nacin moze se dokazati

limm→∞

xm2 = a2.

Sa druge strane, pretpostavimo da vazi limm→∞

xm1 = a1 i limm→∞

xm2 = a2.

Tada je

d(xm, a) =√

(xm1 − a1)2 + (xm2 − a2)2 → 0 kada m→∞,

odakle sledi limm→∞

xm = a.

Neka je M podskup metrickog prostora X.

Tacka x0 ∈ M je unutrasnja tacka skupa M , ako postoji neka kuglaB(x0; r) ⊂M . Skup svih unutrasnjih tacaka skupa M oznacen je sa intM ,ili M. Iz definicije skupa unutrasnjih tacaka sledi intM ⊂ M . Skup M jeotvoren ako je intM = M .

Otvorena kugla u metrickom prostoru je otvoren skup. Naravno, intervalje otvoren skup u R, otvoren krug je otvoren skup u R2, otvorena lopta jeotvoren skup u R3. Obzirom da je int[a, b] = (a, b), skup [a, b] nije otvoren.

Tacka x0 ∈ X je rubna tacka skupaM ⊂ X, ako svaka kugla B(x0; r) imaneprazan presek i sa skupom M i sa skupom X\M . Skup svih rubnih tacakaskupa M naziva se rub skupa M i oznacava sa ∂M , ili bdM . Ocigledno vaziintM ∩ ∂M = ∅.

Neka je a, b, c ∈ R, a < b < c i M = (a, b) ∪ c. Tada je ∂M = a, b, c.Rub kruga u ravni jeste kruznica. Rub lopte u prostoru jeste sfera.

Svaka tacka skupa M mora biti ili unutrasnja, ili rubna (nikada i jednoi drugo).

Tacka x0 ∈ X je tacka nagomilavanja skupa M ⊂ X, ako postoji nizrazlicitih tacaka (xn)n, xn ∈M , tako da je lim

n→∞xn = x0. Skup svih tacaka

nagomilavanja skupa M oznacen je sa accM , ili M ′. Sve tacke skupa Mkoje nisu tacke nagomilavanja skupa M , jesu izolovane tacke skupa M . Skupizolovanih tacaka skupa M oznacen je sa isoM . Ocigledno vazi isoM =M \ accM .

Neka je a, b, c ∈ R, a < b < c i M = (a, b) ∪ c. Tada je accM = [a, b],isoM = c.


Zatvorenje skupa M jeste skup clM = M ∪ accM . Cesto se zatvorenjeskupa M oznacava sa M . Skup M je zatvoren ako je M = clM , odnosnoako je accM ⊂M .

Skup M = [a, b] ∪ c (a, b, c,∈ R, a < b < c) je zatvoren. Skup M1 =(a, b) ∪ c nije ni otvoren ni zatvoren. Skup M2 = (a, b) je otvoren u R.

Prazan skup ∅ i ceo prostor X su jedini skupovi koji su istovremenootvoreni i zatvoreni u metrickom prostoru. Odnos izmedu otvorenih i zatvorenihskupova dat je sledecom teoremom.

Teorema 1.1.6. Podskup M metrickog prostora X je otvoren, ako i samoako je skup X \M zatvoren.

Dokaz. Neka je M otvoren podskup u X. Treba dokazati da je skup X \Mzatvoren, odnosno acc(X \M) ⊂ X \M . Neka je a ∈ acc(X \M). Tadapostoji niz razlicitih tacaka (xn)n, xn ∈ X \M , tako da je lim

n→∞xn = a.

Pretpostavimo da je a /∈ X \M , odnosno a ∈ M . Postoji kugla B(a; r),za koju vazi a ∈ B(a; r) ⊂ M . Kugla B(a; r) sadrzi sve clanove niza (xn)n,osim eventualno konacno mnogo clanova ovog niza. Sledi da skup M sadrzisve tacke niza (xn)n, osim eventualno konacno mnogo clanova tog niza. Ovoje nemoguce, na osnovu pretpostavke xn ∈ X \M za svako n ∈ N. Zakljucakje a ∈ X \M , odnosno X \M je zatvoren.

Neka je X \M zatvoren skup i neka je a ∈ M proizvoljna tacka. Trebadokazati da je a ∈ intM . Pretpostavimo da a nije unutrasnja tacka skupaM , odnosno a ∈ ∂M . Tada svaka kugla B(a; r) ima neprazan presek saskupom M i sa skupom X \M . Posmatrajmo kuglu poluprecnika ε1 = 1,odnosno kuglu B(a; 1). Postoji tacka x1 ∈ X \M , tako da je d(a, x1) < 1.Neka je ε2 = d(a, x1)/2. Kugla B(a; ε2) ima neprazan presek sa skupomX \M , te stoga postoji x2 ∈ X \M tako da je d(a, x2) < ε2 < d(a, x1). Vazix2 6= x1. Neka je ε3 = d(a, x2)/2. U kugli K(a; ε3) postoji neka tacka x3 ∈X\M . Ocigledno je x3 6= x2 i x3 6= x1. Nastavljajuci ovaj postupak, formirase niz razlicitih tacaka (xn)n, xn ∈ X \M , za koji vazi lim

n→∞d(a, xn) = 0,

odnosno limn→∞

xn = a. Ovim je pokazano a ∈ acc(X \M)ıX \M . Medutim,

polazna pretpostavka je a ∈ M , sto je nemoguce. Zakljucak je da svakatacka a ∈ M mora biti unutrasnja tacka skupa M , odnosno M je otvorenskup.

Skup O(x0) u metrickom prosotoru (X, d) je okolina tacke x0 ∈ X, akoje x0 unutrasnja tacka skupa O(x0). Ako je O(x0) okolina tacke x0 ∈ X,

tada je skup•O(x0) := O(x0) \ x0 prstenasta okolina tacke x0.


1.2 Vektorski prostor Rn

Skup realnih brojeva oznavacavamo sa R, a skup prirodnih brojeva oznacavamosa N. Ako je n ∈ N, onda je

Rn = R× · · · × R︸︷︷︸n puta

= x = (x1, . . . , xn) : x1, . . . , xn ∈ R.

Skup Rn je veoma vazan u daljim razmatranjima, te cemo opisacemo njegovaalgebarska i metricka svojstva.

Podsecamo na definiciju Abelove1 (komutativne) grupe i polja.

Definicija 1.2.1. Neka je ∗ binarna operacija na nepraznom skupu G,odnosno ∗ : G × G → G. Ako je x, y ∈ G, pisemo x ∗ y umesto ∗(x, y).Pretpostavimo da vaze sledeca svojstva:

(1) (∀x, y, z ∈ G) x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z (asocijativnost);(2) (∃e ∈ G)(∀x ∈ G) x ∗ e = e ∗ x = x (postojanje neutralnog elementa

e );(3) (∀x ∈ G)(∃x1 ∈ G) x∗x1 = x1∗x = e (postojanje inverznog elementa

x1 za x );(4) (∀x, y ∈ G) x ∗ y = y ∗ x (komutativnost).

Tada je (G, ∗) Abelova (komutativna) grupa, ili krace G je Abelova grupa(u odnosu na ∗). Elemenat e je neutralni elemenat za operaciju ∗, a x1 jeinverzni elemenat za x ∈ G.

Ako je skupGAbelova grupa, i pri tome je razmatrana operacija oznacenasa +, tada je tradicionalno neutralni elemenat u odnosu na operaciju +oznacen sa 0. Ako je x ∈ G, onda je suprotan elemenat od x u odnosu naoperaciju + oznacen sa −x. Ova konvencija se naziva aditivna notacija.

U mnogim slucajevima je prirodno sa · oznaciti operaciju na Abelovojgrupi G. Tada je neutralni elemenat u odnosu na operaciju · oznacen sa 1.Ako je x ∈ G, tada je suprotan elemenat od x u odnosu na · oznacen sa x−1.

Definicija 1.2.2. Neka su na skupu F definisane operacije + i ·, tako davaze sledeca svojstva:

(1) (F,+) je Abelova grupa;(2) (F \ 0, ·) je Abelova grupa;(3) (∀x, y, z ∈ F) x · (y+ z) = (x · y) + (x · z) (distributivnost operacije ·

u odnosu na operaciju +).Tada je F polje u odnosu na navedene operacije.

1Niels Henrik Abel (1802-1829), norveski matematicar

1.2. VEKTORSKI PROSTOR RN 9

Skup R je polje u odnosu na standardne operacije + i ·. Takode, skupkompleksnih brojeva C je polje u odnosu na uobicajene operacije.

Definicija 1.2.3. Neka je V neprazan skup na kome je definisana binarnaoperacija +, tako da je (V,+) Abelova grupa. Oznacimo sa 0 neutralnielemenat ove Abelove grupe. Neka je F skup realnih ili kompleksnih brojeva.

Neka je, osim toga, definisana funkcija p : F× V → V , u kracem zapisup(λ, x) = λx za λ ∈ F i x ∈ V , koja ispunjava osobine:

(1) (∀λ, µ ∈ F)(∀x ∈ V ) (λ+ µ)x = λx+ µx;

(2) (∀λ ∈ F)(∀x, y ∈ V ) λ(x+ y) = λx+ λy;

(3) (∀λ, µ ∈ F)(∀x ∈ V ) (λµ)x = λ(µx);

(4) (∀x ∈ V ) 1x = x.

Tada je V vektorski prostor nad poljem F. Elementi vektorskog pros-tora jesu vektori, a elementi polja F jesu skalari. Operacija + u skupuV jeste sabiranje vektora. Neutralni elemenat 0 u skupu V u odnosu naovu operaciju jeste nula vektor. Operacije + i · u skupu F jesu sabiranje imnozenje skalara. Funkcija p(λ, x) = λx jeste mnozenje vektora skalarom.

Vektorski prostor nad poljem R naziva se realan vektorski prostor. Vek-torski prostor nad poljem C je kompleksan vektorski prostor.

Nije tesko dokazati sledece tvrdenje.

Teorema 1.2.1. Ako je V vektorski prostor nad poljem F, tada vazi:

(1) (∀x ∈ V ) 0x = 0;

(2) (∀λ ∈ F) λ0 = 0;

(3) (∀x ∈ V ) (−1)x = −x, gde je −x inverzni za x u odnosu na + u V .

Neka je x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn. Sabiranje je definisanokoordinatno, odnosno

x+ y = (x1 + y1, . . . , xn + yn).

U odnosu na ovako definisanu operaciju + skup Rn je Abelova grupa, pricemu je nula-vektor 0 = (0, . . . , 0), a inverzni elemenat od x je −x =(−x1, . . . ,−xn).

Mnozenje skalarom je takode definisano koordinatno. Ako je λ ∈ R, tadaje

λx = (λx1, . . . , λxn).

Teorema 1.2.2. Skup Rn je vektorski prostor nad poljem R.


Moguce je svaki vektor x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn poistovetiti sa tackom cijesu koordinate upravo date kao n-torka (x1, . . . , xn). U tom slucaju vektorx interpretiramo kao vektor sa ”pocetkom“ u 0 = (0, · · · , 0) i ”krajem“ u(x1, . . . , xn). Upravo opisana procedura jeste prelaz sa vektorskog prostoraRn na afini prostor Rn. Smatramo da je procedura jasna, te cemo o skupuRn ravnopravno govoriti kao o vektorskom prostoru (skupu vektora), i oafinom prostoru (skupu tacaka).

U slucaju n = 2 ili n = 3, jednostavna je geometrijska interpretacijaprostora Rn.

Primer 1.2.1. (Slika 1) Neka je n = 2. Ako je x = (x1, x2) ∈ R2, tada

x identifikujemo sa geometrijskim vektorom−→Ox. Ako je y = (y1, y2) ∈ R2,

onda je ocigledno x+y =−→Ox+

−→Oy. Duzina vektora x−y je u stvari rastojanje

izmedu krajnjih tacaka vektora x i y. Primetimo sledecu konvenciju: prvakoordinata vektora x je na horizontalnoj osi, druga koordinata vektora x jena vertikalnoj osi; mogli smo uzeti i obrnut redosled, ali ako prihatimo jedanredosled osa, onda se toga nadalje i pridrzavamo. Ova konvencija je u vezisa orijentacijom prostora R2. Podsecamo da se ova orijentacija poklapa saorijentacijom trigonometrijske kruznice.

Slika 1.

1.2. VEKTORSKI PROSTOR RN 11

Slika 2.

Primer 1.2.2. (Slika 2) Neka je n = 3. Sada uzimamo desnu orijentaciju,kao na Slici 2. Preostali detalji geometrijske interpretacije poklapaju se sainterpretacijom u prostoru R2. U ovom slucaju treba obratiti paznju naredosled koordinatnih osa. Postoje dva osnovna redosleda (permutacije):x1, x2, x3, ili x2, x1, x3. Ostali redosledi se mogu dobiti ciklicnim rotiranjemosa u prethodne dve premutacije. Ovaj redosled se, kao i u prethodnomprimeru, odnosi na orijentaciju prostora R3. Koristicemo samo desnu ori-jentaciju, tj. x1, x2, x3.

Analogno prethodnom razmatranju, skup Cn je vektorski prostor nadpoljem C, a operacije su definisane na isti nacin kao u prostoru Rn.

Navodimo druge primere, koji nemaju geometrijsku interpretaciju.

Primer 1.2.3. Skup C[a, b] realnih neprekidnih funkcija na segmentu [a, b]je realan vektorski prostor. Za x, y ∈ C[a, b], λ ∈ R i t ∈ [a, b], sabiranjefunkcija i mnozenje skalarom definisno je uobicajeno:

(x⊕ y)(t) = x(t) + y(t), (λ x)(t) = λx(t).

U prostoru Rn neka je e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , en =(0, . . . , 0, 1). Tada za svako x = (x1, . . . , xn) vazi

x =

n∑j=1

xjej .


Za svako x ∈ Rn skalari x1, . . . , xn su jedinstveno odredeni, te je B =(e1, e2, . . . , en) algebarska baza prostora Rn. Skup B se naziva standardnaalgebarska baza prostora Rn.

1.3 Norma u prostoru Rn

Postoji vise normi u vektorskom prostoru. Navodimo definiciju proizvoljnenorme

Definicija 1.3.1. Neka je V vektorski prostor nad C ili nad R. Pret-postavimo da funkcija ‖ · ‖ : V → R ima svojstva:

(1) (∀x ∈ V ) ‖x‖ ≥ 0;

(2) (∀x ∈ V ) (‖x‖ = 0 ⇐⇒ x = 0);

(3) (∀x ∈ V )(∀λ ∈ C ( ili λ ∈ R) ) ‖λx‖ = |λ|‖x‖;(4) (∀x, y ∈ V ) ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ (nejednakost trougla).

Tada je ‖ · ‖ norma na V . Ureden par (V, ‖ · ‖) jeste normiran prostor, ilikrace V je normiran prostor.

Posebno je interesantna norma indukovana skalarnim proizvodom.

Teorema 1.3.1. Neka je V unitaran prostor, na kome je definisan skalarniproizvod 〈·, ·〉. Definisemo funkciju ‖ · ‖ na skupu V na sledeci nacin:

‖x‖ =√〈x, x〉, x ∈ V.

Tada je ‖ · ‖ norma na unitarnom prostoru V .

Dokaz. Jedini problem je dokazati nejednakost trogla. Za proizvoljne x, y ∈V , na osnovu nejednakosti Kosi-Svarca-Bunjakovskog, vazi

‖x+ y‖2 = 〈x+ y, x+ y〉 = 〈x, x〉+ 2〈x, y〉+ 〈y, y〉 = (‖x‖+ ‖y‖)2.

Iz prethodne nejednakosti sledi nejednakost trougla za normu definisanuskalarnim proizvodom.

Primer 1.3.1. (Euklidkska norma) Imajuci u vidu da je skalarni proizvodu Rn definisan kao

〈x, y〉 =b∑

j=1

xjyx, x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn,

1.4. SKALARNI PROIZVOD 13

proizilazi da je norma indukovana ovim skalarnim proizvodom odredena kao

‖x‖ =

√√√√ n∑j=1

x2j .

Ova norma se naziva euklidska norma. Prostor Rn je euklidski prostor.

Primer 1.3.2. U prostoru Rn norma moze biti uvedena na sledece nacine:

‖x‖ = ‖x‖2 =

√√√√ n∑i=1

|xi|2, Euklidova norma

‖x‖1 =n∑i=1

|xi|, ‖x‖∞ = max1≤i≤n

|xi|

Euklidova norma jeste intenzitet geometrijskog vektora u slucaju n = 1, 2, 3.

Primer 1.3.3. U skupu C[a, b] norma moze biti definisana na sledeci nacin:

‖x‖ = maxt∈[a,b]

|x(t)|.

Primer 1.3.4. Neka je dat skup C[a, b] sa ranije definisanim skalarnimproizvodom. Tada je norma funkcje f ∈ C[a, b] data sa

‖f‖ =

√∫ b

a|f(t)|2dt.

Norma, a samim tim i skalarni proizvod, na prirodan nacin odredujurastojanje u vektorskom prostoru.

Teorema 1.3.2. Ako je ‖ · ‖ norma na vektorskom prostoru V , onda jerastojanje na skupu V , koje je indukovano normom, definisano kao

d(x, y) = ‖x− y‖, x, y ∈ V.

1.4 Skalarni proizvod

Uvodimo pojam skalarnog proizvoda na realnim vektorskim prostorima.


Definicija 1.4.1. Neka je V vektorski prostor nad poljem realnih brojevaR. Neka preslikavanje s : V × V → R ima sledeca svojstva:

(1) (∀x ∈ V ) s(x, x) ≥ 0;(2) (∀x ∈ V ) (s(x, x) = 0 ⇐⇒ x = 0);(3) (∀λ, µ ∈ R)(∀x, y, z ∈ V ) s(λx+ µy, z) = λs(x, z) + µs(y, z);(4) (∀x, y ∈ V ) s(x, y) = s(y, x).

Tada je funkcija s skalarni proizvod na vektorskom prostoru V .

Primer 1.4.1. Ako je x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn i y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn, tadaje njihov skalarni proizvod definisan na sledeci nacin:

〈x, y〉 =n∑i=1

xiyi.

Lako je proveriti sve osobine skalarnog proizvodad. Za n = 2, 3 nije teskoutvrditi da se ova definicija skalarnog proizvoda poklapa sa poznatom defini-cijim na skupu geometrijskih vektora u ravni ili prostoru.

Primer 1.4.2. U skupu C[a, b] skalarni prozivod se definise na sledeci nacin:

〈f, g〉 =

∫ b

af(t)g(t)dt

za sve funkcije f, g ∈ C[a, b].

Primer 1.4.3. Neka je p ∈ C[a, b] data nenegativna neprekidna funkcija.Opstiji skalarni proizvod u skupu C[a, b] definisan je na sledeci nacin:

〈x, y〉 =

∫ b

af(t)g(t)p(t)dt,

za svako f, g ∈ C[a, b]. Ako je p(t) = 1 za svako t ∈ [a, b], onda upravouvedeni skalarni proizvod postaje odgovarajuci iz prethodnog primera.

Teorema 1.4.1. (Nejednakost Kosi-Svarza-Bunjakovskog) Neka je (V, s)unitaran prostor. Tada za svako x, y ∈ V vazi

|〈x, y〉| ≤ 〈x, x〉1/2〈y, y〉1/2.

Dokaz. Naka je x, y ∈ V . Za svako t ∈ R vazi:

0 ≤ 〈x− ty, x− ty〉 = 〈x, x〉 − 2t〈x, y〉+ t2〈y, y〉.

Sa desne strane je nenegativna kvadratna funkcija po t, te je diskriminantaove kvadratne funkcije manja ili jednaka od nule, odnosno

〈x, y〉2 ≤ 〈x, x〉〈y, y〉.

Odavde sledi tvrdenje.

Glava 2

Neprekidnost idiferencijabilnost

2.1 Granicne vrednosti funkcija

2.1.1 Granicna vrednost funkcije u tacki

U ovoj sekciji izucavamo granicne vrednosti funkcija ciji je domen podskupod Rn. Neka je je M ⊂ Rn, i neka je dato preslikavanje f : M → R. Tadaje f realna funkcija vektorske promenljive, ili realna funkcija vise realnihpromenljivih. Koristi se i izraz, posebno u fizici i tehnici: f je skalarnopolje na skupu M . Svaka tacka (vektor) x ∈M ima n koordinata, odnosnox = (x1, . . . , xn), i stoga je odredeno preslikavanje

x 7→ f(x) = f(x1, . . . , xn), x = (x1, . . . , xn) ∈M.

Skup M je domen (skup definisanosti) funkcije f , a skup R je kodomen(skup vrednosti) funkcije f .

Primer 2.1.1. (1) Neka je R > 0, K(0;R) = x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn :x2

1 + · · · + x2n < R2 i f(x1, . . . , xn) =

√R2 − x2

1 − · · ·x2n. Funkcija f je

definisana na skupu K(0;R).

(2) Funkcija (x, y) 7→ f(x, y) = ln(x2 + y2) je definisana u proizvoljnojprstenastoj okolini tacke (0, 0) ravni R2. Domen funkcije f je skup R2 \(0, 0).

Napomena 2.1.1. Tacke u Rn oznacavamo kao x = (x1, . . . , xn). Medutim,u slucaju kada razmatramo prostor R2 ili R3, koristimo prirodnije oznake

15

16 GLAVA 2. NEPREKIDNOST I DIFERENCIJABILNOST

(x, y) ∈ R2 i (x, y, z) ∈ R3. Ogovarajuca analogija vazi i za funkcije. Ko-ristimo oznaku (x, y, z) 7→ f(x, y, z) za funkciju sa domenom u R3, umesto(x1, x2, x3) 7→ f(x1, x2, x3).

Definicija 2.1.1. Neka je funkcija x 7→ f(x) definisana u nekoj prstenastoj

okolini•O(x0) tacke x0 ∈ Rn. Realan broj A je granicna vrednost funkcije f

u tacki x0, u oznaci limx→x0

f(x) = A, ako vazi

(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈•O(x0))(‖x− x0‖ < δ =⇒ |f(x)−A| < ε),

ili, ekvivalentno,

(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ O(x0))(0 < ‖x− x0‖ < δ =⇒ |f(x)−A| < ε).

Napomena 2.1.2. Vazno je uociti da u prethodnoj Definiciji 2.1.1 vektor xtezi ka x0, ili vektor x se priblizava vektoru x0 u smislu norme, ali je uvekx 6= x0.

Funkcija f ne mora biti definisana u tacki x0. Ako je funkcija f definisanau tacki x0, ne mora biti lim

x→x0= f(x0).

Teorema 2.1.1. Neka je A ∈ R, x0 ∈ Rn i pretpostavimo da je funkcija

f definisana u nekoj prstenastoj okolini•O(x0). Tada su sledeca tvrdenja

ekvivalentna:(1) A = lim

x→x0f(x);

(2) Za svaki niz tacaka (xn)n sa osobinom xn ∈•O(x0) (n ∈ N), vazi

implikacijalimn→∞

xn = x0 =⇒ limn→∞

f(xn) = A.

Dokaz. (1) =⇒ (2): Pretpostavimo da je A = limx→x0

f(x). Neka je (xn)n niz

u•O(x0) sa svojstvom lim

n→∞xn = x0. Neka je ε > 0 proizvoljan broj. Postoji

δ > 0 tako da za svako x ∈•O(x0) vazi implikacija:

‖x− x0‖ < δ =⇒ |f(x)−A| < ε.

Takode postoji n0 ∈ N tako da za svako n ≥ n0 vazi ‖xn − x0‖ < δ. Stoga,ako je n ≥ n0, onda je |f(xn)−A| < ε. Time je dokazano lim

n→∞f(xn) = A.

(2) =⇒ (1): Pretpostavimo da ne vazi tvrdenje (1). Tada postoji ε > 0

tako da za svako δ > 0 postoji xδ ∈•O(x0) sa svojstvima ‖x − x0‖ < δ i

2.1. GRANICNE VREDNOSTI FUNKCIJA 17

|f(x) − A| ≥ ε. Neka je n ∈ N i δn = 1n . Tada za svako n ∈ N postoji

xn ∈•O(x0) tako da je ‖xn − x0‖ < 1

n i |f(xn) − A| ≥ ε. Ocigledno jelimn→∞

xn = x0, ali ne vazi limn→∞

f(xn) = A. Stoga ne vazi tvrdenje (2).

Pretpostavimo da je (a, b) ∈ R2 i neka je realna funkcija f definisana

u nekoj prstenastoj okolini•O(a, b). Ako postoji granicna vrednost A ∈ R

funkcije f u tacki (a, b), tada pored oznake lim(x,y)→(a,b)

f(x, y) = A koristimo

oznaku limx→ay→b

f(x, y) = A. Stoga se prethodna granicna vrednost naziva i

dvojna granicna vrednost funkcije f u tacki (a, b).Analogno, neka je a = (a1, . . . , an) ∈ Rn i pretpostavimo da je re-

alna funkcija f definisana u nekoj prstenastoj okolini•O(a). Ako je postoji

granicna vrednost A funkcije f u tacki a, tada ravnopravno koristimo oznakelim

(x1,...,xn)→(a1,...,an)f(x1, . . . , xn) = A i lim

x1→a1...

xn→an

f(x1, . . . , xn) = A.

Primer 2.1.2. Ako je a > 0, dokazati da vazi limx→0y→0

(x2 + y2)a = 0.

Dokaz. Funkcija (x, y) 7→ f(x, y) = (x2 + y2)a je definisana u okolini tacke(0, 0) ∈ R2. Neka je ε > 0 proizvoljan broj i neka je δ = ε1/(2a). Pret-postavimo da je (x, y) ∈ R2 tako da je ‖(x, y) − (0, 0)‖ =

√x2 + y2 < δ.

Tada je|f(x, y)| = (x2 + y2)a < δ2a = ε.

Na osnovu Definicije 2.1.1 sledi limx→0y→0

(x2 + y2)a = 0.

Primer 2.1.3. Ako je α, β, γ ∈ R i α + β − 2γ > 0, dokazati da vazi

limx→0y→0

|x|α|y|β

(x2 + y2)γ= 0.

Dokaz. Funkcija (x, y) 7→ f(x, y) =|x|α|y|β

(x2 + y2)γje definisana u nekoj prste-

nastoj okolini tacke (0, 0) ∈ R2. Za svako x, y ∈ R vaze nejednakosti|x|, |y| ≤

√x2 + y2. Pretpostavimo da je (x, y) 6= (0, 0), odnosno x i y

nisu istovremeno jednaki 0. Tada je (x2 + y2)γ > 0, |x|α ≥ 0 i |y|β ≥ 0, tevazi

0 ≤ |x|α|y|β

(x2 + y2)γ≤ (x2 + y2)α/2(x2 + y2)β/2

(x2 + y2)γ

= (x2 + y2)(α+β−2γ)/2.


Neka je ε > 0 proizvoljan broj. Postoji broj δ tako da vazi 0 < δ <ε1/(α+β−2γ). Koristeci α+β−2γ > 0, iz uslova ‖(x, y)−(0, 0)‖ =

√x2 + y2 <

δ sledi 0 ≤ f(x, y) ≤ δα+β−2γ < ε. Na osnovu Definicije 2.1.1 sledi trazenotvrdenje.

U sledecim primerima koristimo Teoremu 2.1.1.

Primer 2.1.4. Dokazati da ne postoji limx→0y→0

2xy

x2 + y2.

Dokaz. Funkcija (x, y) 7→ f(x, y) =2xy

x2 + y2je definisana u nekoj prstenastoj

okolini tacke (0, 0) ∈ R2. Posmatramo niz tacaka (xn, yn) =(

1n ,

1n

). Svaka

tacka ovog niza razlicita je od (0, 0). Takode je limn→∞

(xn, yn) = (0, 0). Vazi

f(xn, yn) = 1 za svako n ∈ N, odakle sledi limn→∞

f(xn, yn) = 1.

Posmatramo i drugi niz (x′n, y′n) =

(1n ,−

1n

), za koji vazi lim

n→∞(x′n, y

′n) =

(0, 0). Svaka tacka novog niza razlicita je od tacke (0, 0). Vazi f(x′n, y′n) =

−1 za svako n ∈ N, odakle sledi limn→∞

f(x′n, y′n) = −1.

Na osnovu Teoreme 2.1.1 proizilazi da ne postoji granicna vrednostlimx→0

y→0f(x, y).

Primer 2.1.5. Dokazati da ne postoji limx→0y→0

2x2y

x4 + y2.

Dokaz. Funkcija (x, y) 7→ f(x, y) =2x2y

x4 + y2je definisana u nekoj prstenastoj

okolini tacke (0, 0) ∈ R2. Slicno kao u prethodnom primeru, uocimo dva nizatacaka (xn, yn) =

(1n ,

1n

)i (x′n, y

′n) =

(1n ,

1n2

). Oba niza konvergiraju ka (0, 0)

kada n→∞. Vazi f(xnyn) =2

1 + n2i limn→∞

f(xn, yn) = 0, a sa druge strane

je f(x′n, y′n) = 1 i stoga lim

n→∞f(x′n, y

′n) = 1. Na osnovu Teoreme 2.1.1 sledi

da ne postoji posmatrana granicna vrednost.

2.1.2 Granicna vrednost funkcije po skupu

Pretpostavimo da je realna funkcija f definisana na segmentu [a, b]. Tadau tacki a ima smisla posmatrati desnu granicnu vrednost funkcije f , dok utacki b ima smisla posmatrati levu granicnu vrednost funkcije f . U slucajukada je domen funkcije f u prostoru Rn, onda se razmatra granicna vrednostfunkcije f u tacki x0 po nekom skupu M . Pri tome posmatrani skup M nemora biti prstenasta okolina tacke x0.


Definicija 2.1.2. Pretpostavimo da je M podskup prostora Rn, neka jefunkcija f definisana na skupu M i neka je x0 tacka nagomilavanja skupaM . Broj A ∈ R je granicna vrednost funkcije f u tacki x0 po skupu M , uoznaci A = lim

x→x0x∈M

f(x), ako vazi

(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈M)(0 < ‖x− x0‖ < δ =⇒ |A− f(x)| < ε).

Napomena 2.1.3. U prethodnoj definiciji x tezi ka x0, ali je uvek x 6= x0.Ranije smo napomenuli da ako je x0 tacka nagomilavanja skupa M , moze

biti x0 /∈ M . Stoga funkcija f ne mora biti definisana u tacki x0. Ako jefunkcija f definisana u tacki x0, i ako postoji A = lim

x→x0x∈M

f(x), ne mora biti

A = f(x0).

Najcesce je skup M u prethodnoj definiciji neka poluprava (zrak) sapocetkom u tacki x0.

Neka je (e1, . . . , en) standardna ortonormirana baza prostora Rn u odnosuna koju posmatramo koordinatne ose. Pri tome, Ej = λej : λ ∈ R je ko-ordinatna osa odredena vektorom ej . Pozitivni deo ove koordinatne ose jeE+j = λej : λ ≥ 0. Neka je ` = (l1, . . . , ln) jedinicni vektor u Rn u odnosu

na posmatranu bazu. Tada je

lj = ` · ej = |`||ej | cos∠(`, ej) = cos∠(`, ej).

Posmatrano geometrijski, ∠(`, ej) = αj je ugao koji vektor ` zaklapa sapozitivnim delom koordinantne ose Ej . U skladu sa ovim oznakama, ` =(cosα1, . . . , cosαn).

Neka je x0 = (x01, . . . , x

0n) ∈ Rn i ` = (cosα1, . . . , cosαn). Prava i

poluprava u prostoru Rn sa pocetkom u tacki x0 paralelno vektoru `, re-dom, jesu sledeci skupovi:

L = x ∈ Rn : x = x0 + t`, t ∈ R= (x1, . . . , xn) : xj = x0

j + t cosαj , j = 1, . . . , n, t ∈ R,L+ = x ∈ Rn : x = x0 + t`, t ≥ 0

= (x1, . . . , xn) : xj = x0j + t cosαj , j = 1, . . . , n, t ≥ 0.

Ako je ` = (cosα1, cosα2) jedinicni vektor u prostoru R2, tada je cosα2 =sinα1. U ovom slucaju je jednostavniji zapis ` = (cosα, sinα), pri cemu jeα ugao koji vektor ` zaklapa za pozitivnim smerom prve koordinatne ose (uskladu sa nasim oznakama, to je x-osa).


Definicija 2.1.3. Neka je x0 ∈ Rn, neka je ` jedinini vektor u Rn, i neka jerealna funkcija f definisana na skupu L0 = L+ \ x0. Ukoliko postoji brojA tako da je A = lim

x→x0x∈L0

f(x), tada je broj A granicna vrednost funkcije f u

tacki x0 u smeru vektora `.

U skladu sa uvedenim oznakama, jednostavno je dokazati sledeci rezul-tat.

Teorema 2.1.2. Neka je x0 = (x01, . . . , x

0n) ∈ Rn, neka je ` = (cosα1, . . . , cosαn)

vektor u Rn, i neka je realna funkcija f definisana na skupu L0. Granicnavrednost funkcije f u tacki x0 u smeru vektora ` jeste, ukoliko postoji, sledecibroj:

A = limt→0+

f(x01 + t cosα1, . . . , x

0n + t cosαn).

Napomena 2.1.4. Analizirajmo odnos A = limx→x0

f(x) i B = limx→x0x∈M

f(x), pod

pretpostavkom da su korektno nametnuti uslovi za funkciju f , tacku x0 i

skup M . Ako je M =•O(x0) neka prstenasta okolina tacke x0, tada A = B,

ili obe granicne vrednosti ne postoje.

Prtpostavimo da M nije prstenasta okolina tacke x0. Ako postoji brojA, onda postoji i broj B i tada je A = B. Obrnuta implikacija ne vazi: akopostoji broj B, ne moze se zakljuciti da postoji broj A.

Primer 2.1.6. Dokazati da funkcija (x, y) 7→ f(x, y) =2xy

x2 + y2u tacki

(0, 0) ima granicnu vrednost u bilo kom smeru ` = (cosα, sinα), i ovagranicna vrednost jednaka je sin 2α. Sa druge strane, ne postoji lim

x→0y→0

f(x, y).

Dokaz. Za t > 0 vazi f(t cosα, t sinα) = 2 sinα cosα = sin 2α. Odavde sledilimt→0+

f(t cosα, t sinα) = sin 2α. U Primeru 2.1.4 dokazano je da ne postoji

limx→0y→0

f(x, y).

Primer 2.1.7. Dokazati da postoji granicna vrednost funkcije (x, y) 7→

f(x, y) =2x2y

x4 + y2u tacki (0, 0) u bilo kom smeru ` = (cosα, sinα), i ova

granicna vrednost je jednaka 0. Sa druge strane, ne postoji limx→0y→0

f(x, y).


Dokaz. Za t > 0 vazi jednakost

f(t cosα, t sinα) =2t cos2 α sinα

t2 cos4 α+ sin2 α.

Ako je sinα = 0, onda je cosα 6= 0, f(t cosα, t sinα) = 0, i stoga je posma-trana granicna vrednost jednaka 0. Ako je sinα 6= 0, onda je takode

limt→0+

f(t cosα, t sinα) = 0.

Primer 2.1.5 pokazuje da ne postoji limx→0y→0

f(x).

Dokazujemo vazu osobinu granicnih vrednosti.

Teorema 2.1.3. Neka je M podskup prostora Rn, f, g : M → R su realnefunkcije definisane na skupu M i x0 je tacka nagomilavanja skupa M . Akopostoje granicne vrednosti lim

x→x0x∈M

f(x) i limx→x0x∈M

g(x), onda vazi:

(1) limx→x0x∈M

(f(x)± g(x)

)= lim

x→x0x∈M

f(x)± limx→x0x∈M

g(x);

(2) limx→x0x∈M

(f(x) · g(x)

)= lim

x→x0x∈M

f(x) · limx→x0x∈M

g(x);

(3) Ako je limx→x0x∈M

g(x) 6= 0, onda je limx→x0x∈M

f(x)g(x) =

limx→x0x∈M

f(x)

limx→x0x∈M

g(x) .

Dokaz. Sledi na osnovu Teoreme 2.1.1 i odgovarajuceg tvrdenja za granicnevrednosti nizova.

2.1.3 Ponovljene granicne vrednosti

Neka je x0 ∈ Rn, y0 ∈ Rm, i neka je a, b > 0. Posmatramo skup

P = (x, y) ∈ Rn+m : 0 < ‖x− x0‖ < a, 0 < ‖y − y0‖ < b.

Neka je realna funkcija (x, y) 7→ f(x, y) definisana na skupu P . Pret-postavimo da za svako x sa osobinom 0 < ‖x − x0‖ < a postoji granicnavrednost lim

y→y0f(x, y) = g(x). Tada je funkcija x 7→ g(x) definisana u nekoj

prstenastoj okolini tacke x0. Ako pod navedenim uslovima postoji granicnavrednost

A = limx→x0

g(x) = limx→x0

limy→y0

f(x, y),


onda je A ponovljena granicna vrednost funkcije f u tacki (x0, y0) i u re-dosledu y0, x0. Uocavamo da se granicni proces y → y0 razmatra poduslovom x 6= x0.

Analogno je moguce definisati i drugu ponovljenu granicna vrednost

limy→y0

limx→x0

f(x, y)

funkcije f u tacki (x0, y0) i u redosledu x0, y0. U ovom slucaju se granicniprocs x→ x0 razmatra pod uslovom y 6= y0.

Napomena 2.1.5. Iz egzistencije granicne vrednosti funkcije u nekoj tacki nesledi egzistencija ponovljenih granicnih vrednosti te funkcije u istoj tacki.Iz egzistencije i jednakosti ponovljenih granicnih vrednosti funkcije u nekojtacki ne sledi egzistencija granicne vrednosti te funkcije u istoj tacki.

Prethodne konstatacije ilustruju sledeci primeri.

Primer 2.1.8. (1) Ranije smo utvrdili da ne postoji limx→0y→0

2xy

x2 + y2. Ako je

y 6= 0, onda je limx→0

2xy

x2 + y2= 0. Stoga je lim

y→0limx→0

2xy

x2 + y2= 0. Analogno,

limx→0

limy→0

2xy

x2 + y2= 0.

(2) Data je funkcija

f(x, y) =

x · sin 1

y , y 6= 0,

0, y = 0.

Na osnovu ocigledne nejednakosti |f(x, y)| ≤ |x| sledi da je limx→0y→0

f(x, y) =

0. Sa druge strane, ako je x 6= 0, ne postoji granicna vrednost limy→0

(x · sin 1

y

),

te stoga ne postoji i ponovljena granicna vrednost limx→0

limy→0

f(x, y).

Dokazujemo rezultat koji povezuje postojanje granicne vrednosti funkcijeu nekoj tacki i ponovljene granicne vrednosti te funkcije u istoj tacki.

Teorema 2.1.4. Neka je x0 ∈ Rn, y0 ∈ Rm, i neka je funkcija (x, y) 7→f(x, y) definisana u nekoj prstenastoj okolini tacke (x0, y0) ∈ Rn+m. Akopostoji granicna vrednost lim

x→x0y→y0

f(x, y) = A i ako postoji limx→x0

f(x, y) za svako

y u nekoj prstenatoj okolini tacke y0, tada postoji i ponovljena granicnavrednost lim

y→y0limx→x0

f(x, y) i jednaka je A.

2.2. NEPREKIDNOST FUNKCIJA 23

Dokaz. Neka je•O(y0) prstenasta okolina tacke y0, tako da za svako y ∈

•O(y0) postoji lim

x→x0f(x, y) = ϕ(y). Tada je realna funkcija ϕ definisana na

skupu•O(y0).

Moguce je modifikovati sve navedene definicije ako je neka granicna vred-nost jednaka ±∞. Takode, moguce je posmatrati i dvojnu granicnu vrednostoblika lim

x→±∞y→±∞

f(x, y). Na primer, limx→+∞y→+∞

f(x, y) = A ako i samo ako

(∀ε > 0)(∃M > 0)(∀x, y ∈ R)(x > M ∧ y > M =⇒ |f(x, y)−A| < ε).

Jednostavno je formulisati definicije i u slucaju A = ±∞.

Primer 2.1.9. Pokazati da je limx→+∞y→+∞

(x2 + y2)e−(x+y) = 0.

Dokaz. Neka je x > 0 i y > 0, odakle sledi x2 + y2 < (x + y)2. Dobroje poznato da vazi lim

t→+∞t2e−t = 0. Neka je ε > 0 proizvoljan broj. Tada

postoji M1 > 0, tako da ako je t > M1, onda je t2e−t < ε. Neka je M = 12M1.

Ako je x > M i y > M , onda je x+ y > M1, te je (x+ y)2e−(x+y) < ε. Tadaje 0 < f(x, y) < ε, odakle sledi trazeno tvrdenje.

2.2 Neprekidnost funkcija

Definicija neprekidnosti funkcije vise promenljivih ekvivalentna je definicijineprekidnosti funkcije jedne promenljive. Osnovna razlika je nova inter-pretacija rastojanja.

Definicija 2.2.1. Neka je M podskup prostora Rn i f : M → R realnafunkcija definisana na skupu M . Ako je x0 ∈ M , onda je f neprekidna utacki x0 na skupu M ako i samo ako

(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈M)(ρ(x, x0) < δ =⇒ |f(x)− f(x0)| < ε).

Uporedivanjem ove definicije sa 2.10 Definicijom granicne vrednosti funkcije,uocavaju se sledece razlike:

– prilikom definicije granicne vrednosti funkcije po skupu M u nekojtacki, posmatrana tacka mora biti tacka nagomilavanja skupa M ;

– umesto broja A kao granicne vrednosti funkcije, sada pise f(x0);

– leva strana implikacije u 2.10 Definiciji je 0 < ρ(x, x0) < δ, dok je uDefiniciji 2.2.1 ρ(x, x0) < δ.


Pretpostavimo sada da je x0 tacka nagomilavanja skupa M . Tada jepotpuno ocigledno da je funkcija f neprekidna u tacki x0 ako i samo ako jef(x0) = lim

x→x0x∈M

f(x). Sa druge strane, ako x0 nije tacka nagomilavanja skupa

M , onda je x0 izolovana tacka skupa M i svaka funkcija je neprekidna u tackix0. Naime, ako je x0 izolovana tacka skupaM i ρ(x, x0) < δ (videti Definiciju2.2.1), onda za neki mali broj δ > 0, iz x ∈M sledi da mora biti x = x0. Uovom slucaju je 0 = |f(x)− f(x0)| < ε trivijalno ispunjeno. Znaci, problemneprekidnosti funkcije na nekom skupu svodi se na problem izracunavanjagranicne vrednosti funkcije u tackama nagomilavanja tog skupa.

Pokazacemo primerom da je izbor skupa M kao domena funkcije f bitanza proucavanje neprekidnosti funkcije u tacki. Na osnovu ranijih Primera?? i Primera ?? lako je proveriti sledeci primer.

Primer 2.2.1. Funkcija

f(x, y) =

2x2yx4+y2

, x2 + y2 > 0

0, x = y = 0

nije neprekidna u tacki (0, 0), ali je neprekidna u (0, 0) po svakoj polupravoj.

Na osnovu dobro poznatih svojstava granicnih vrednosti funkcija (pre-ciznije, na osnovu 2.14 Teoreme) proizilazi sledeci rezultat.

Teorema 2.2.1. Ako su funkcije f i g neprekidne u tacki x0 na skupu M ,onda su i funkcije f ± g i f · g neprekidne u tacki x0 na skupu M .

Ako je pri tom g(x0) 6= 0, onda je funkcija fg neprekidna u tacki x0 na

skupu M .

Naravno, u drugom delu Teoreme 2.2.1 pretpostavka da je g neprekidnau tacki x0 na skupu M i g(x0) 6= 0 povlaci da je g(x) 6= 0 za svako x u nekojokolini O(x0) \ x0 na skupu M . Stoga u okolini tacke x0 postoji funkcijafg .

Kompozicija neprekidnih funkcija je takode neprekidna funkcija.

Teorema 2.2.2. Neka su funkcije x 7→ ϕ1(x), . . . , x 7→ ϕn(x) definisaneu nekoj okolini tacke x0 ∈ Rm i neprekidne u tacki x0. Neka je funkcijay 7→ f(y) = f(y1, . . . , yn) definisana u nekoj okolini tackey0 = (ϕ1(x0), . . . , ϕn(x0)) ∈ Rn i f je neprekidna u tacki y0. Tada je slozenafunkcija

x 7→ Φ(x) = Φ(x1, . . . , xm) = f(ϕ1(x1, . . . , xm), . . . , ϕn(x1, . . . , xm))

definisana u nekoj okolini tacke x0 i neprekidna u tacki x0.

2.2. NEPREKIDNOST FUNKCIJA 25

Dokaz. Iz pretpostavki je jasno da je funkcija x 7→ Φ(x) definisana u nekojokolini tacke x0. Pokazimo neprekidnost u tacki x0. Jednostavnosti radipretpostavimo da je n = 2. Funkcija y 7→ f(y) je neprekidna u tacki y0, teza ε > 0 postoji neko δ > 0, tako da za svako y za koje je ρ(y, y0) < δ vazi|f(y)−f(y0)| < ε. Funkcije x 7→ ϕ1(x) i x 7→ ϕ2(x) su neprekidne u tacki x0,te za vec odabrano δ > 0 postoje η1 > 0 i η2 > 0, tako da vazi sledece: akoje ρ(x, x0) < η1, onda je |ϕ1(x) − ϕ1(x0)| < δ√

2; ako je ρ(x, x0) < η2, onda

je |ϕ2(x)−ϕ2(x0)| < δ√2. Neka je η = minη1, η2. Tada ako je ρ(x, x0) < η

vazi:ρ(y, y0) =

√(ϕ1(x)− ϕ1(x0))2 + (ϕ2(x)− ϕ2(x0))2 < δ,

i stoga je|Φ(x1, x2)− Φ(x0

1, x02)| = |f(y)− f(y0)| < ε.

Ovim je pokazano da je funkcija x 7→ Φ(x) neprekidna u tacki x0.

Definicija 2.2.2. Funkcija f je neprekidna na skupu M , M ıRn, ako jeneprekidna u svakoj tacki tog skupa, odnosno ako je

(∀x ∈M)(∀ε>0)(∃δ>0)(∀y ∈M)(ρ(x, y)<δ =⇒ |f(x)− f(y)|<ε).

Jedan od najvaznijih skupova, koriscen u analizi realnih funkcija jednerealne promenljive, jeste segment [a, b]. Kako na realnoj pravoj, tako i uprostoru Rn, za ovaj skup postoje mnoga uopstenja. U praksi se najvisekoriste zatvorenost i ogranicenost tog skupa.

SkupM prostora Rn je kompakt (ili kompaktan skup), ako jeM ograniceni zatvoren.

Na primer, svaka zatvorena kugla K[x, r] = y ∈ Rn : ρ(x, y) ≤ r(r > 0) je kompakt u Rn. Takode, svaki n-dimenzionalni kvadar [a1, b1] ×[a2, b2]× · · · × [an, bn] je kompakt u Rn.

Vazi sledece tvrdenje:

Teorema 2.2.3. Skup M , M ıRn, je kompakt ako i samo ako za svaki niz(xn)n, xn ∈ M , postoji podniz (xnk)k koji konvergira prema nekoj tacki izskupa M .

Najvaznije osobine neprekidnih funkcija na kompaktu date su u sledecojteoremi Vajerstrasa1.

Teorema 2.2.4. (Vajerstras) (1) Ako je realna funkcija f neprekidna nakompaktu M , onda je f ogranicena funkcija na M . Drugim recima, postojikonstanta C > 0 tako da za svako x ∈M vazi |f(x)| ≤ C.

1K. I. Weierstras (1815-1897) nemacki matematicar


(2) Ako je funkcija f neprekidna na kompaktu M , onda funkcija f dostizesvoj minimum i maksimum na M . Odnosno, postoje tacke x1, x2 ∈M , takoda za svako x ∈M vazi f(x1) ≤ f(x) ≤ f(x2).

Dokaze prethodna dva tvrdenja ostavljamo citaocu za samostalan rad.

Od interesa je uvesti novi, zahtevniji, pojam neprekidnosti na skupu.

Definicija 2.2.3. Funkcija f je ravnomerno (uniformno) neprekidna naskupu M , M ıRn, ako

(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x, y ∈M)(ρ(x, y) < δ =⇒ |f(x)− f(y)| < ε).

Razlika izmedu neprekidnosti funkcije na skupu i ravnomerne neprekid-nosti funkcije na skupu je sledeca. U slucaju obicne neprekidnosti za svakox postoji δ, dok u slucaju ravnomerne neprekidnosti postoji δ za svako x.

Napomena 2.2.1. Iz ravnomerne neprekidnosti funkcije na nekom skupu sledineprekidnost funkcije na tom skupu.

Iz neprekidnosti funkcije na skupu ne sledi ravnomerna neprekidnost istefunkcije na posmatranom skupu.

Primer 2.2.2. Funkcija f(x) = x2 nije ravnomerno neprekidna na skupu(0,+∞).

Dokaz. Poznato je da je funkcija f(x) = x2 neprekidna na skupu (0,+∞).Neka je ε = 1. Za svako δ > 0 neka je x = 1

δ , y = 1δ + δ

2 . Tada je

ρ(x, y) = δ2 < δ i

|f(x)− f(y)| = 1 +δ2

4> 1 = ε.

Prema tome, funkcija f(x) = x2 nije ravnomerno neprekidna na skupu(0,+∞).

Odnos izmedu neprekidnosti i ravnomerne neprekidnosti funkcije na kom-paktu opisan je Kantorovom2 teoremom.

Teorema 2.2.5. (Kantor) Ako je funkcija f neprekidna na kompaktu M ,M ıRn, onda je funkcija f ravnomerno neprekidna na M .

2G. Cantor (1845-1918) nemacki matematicar

2.3. DIFERENCIJABILNOST FUNKCIJA 27

2.3 Diferencijabilnost funkcija

Neka je funkcija f(x) = f(x1, . . . , xn) definisana u nekoj okolini tacke x0 ∈Rn. Posmatrajmo funkciju jedne promenljive

ϕ(x1) = f(x1, x02, . . . , x

0n),

koja je definisana u nekoj okolini tacke x01 ∈ R. Funkcija ϕ(x1) moze imati

izvod u tacki x01. Ovaj izvod jeste parcijalni izvod prvog reda funkcije

f(x1, . . . , xn) po promenljivoj x1 u tacki (x01, . . . , x

0n), i ovaj parcijalni izvod

oznacen je sa ∂f∂x1

(x0). Prema upravo uvedenoj definiciji, sledi da vazi

∂f

∂x1(x0) = lim

∆x1→0

f(x01 + ∆x1, x

02, . . . , x

0n)− f(x0

1, x02, . . . , x

0n)

∆x1.

Analogno se definisu i ostali parcijalni izvodi prvog reda ∂f∂x2

, . . . , ∂f∂xn u

taci x0. Funkcija dve promenljive moze imati najvise dva pracijalna izvodaprvog reda u jednoj tacki, funkcija tri promenljive moze imati najvise triparcijalna izvoda prvog reda u jednoj tacki, itd.

Na primer, neka je f(x, y) =√x2 + y2. Tada je

∂f

∂x(x, y) =

x√x2 + y2

,∂f

∂y(x, y) =

y√x2 + y2

za svaku tacku (x, y) 6= (0, 0).Diferencijabilnost funkcije vise promenljivih zahteva jace uslove od egzis-

tencije parcijalnih izvoda. Naime, pokazacemo da diferencijabilnost funkcijeu tacki implicira egzistenciju parcijalnih izvoda prvog reda u tacki, ali sadruge strane, egzistencija parcijalnih izvoda prvog reda u tacki ne impliciradiferencijabilnost funkcije u tacki.

Definicija 2.3.1. Funkcija f(x) = f(x1, . . . , xn) je diferencijabilna u tackix0 = (x0

1, . . . , x0n) ∈ Rn, ako je funkcija f definisana u nekoj okolini te tacke

i postoje brojevi A1, . . . , An tako da za svako x u nekoj okolini tacke x0 vazi

f(x)− f(x0) =n∑i=1

Ai(xi − x0i ) + α(x),

pri cemu je α(x) = o(ρ(x, x0)) kada x→ x0.

Podsetimo da je α(x) = o(β(x)) kada x→ x0, ako je

limx→x0

α(x)

β(x)= 0,


odnosno ako je α(x) beskonacno mala velicina viseg reda od funkcije β(x)kada x→ x0. U prethodnoj definiciji je

β(x) =√

(x1 − x01)2 + · · ·+ (xn − x0

n)2.

Cesto se koristi sledeca karakterizacija diferencijabilnih funkcija.

Teorema 2.3.1. Funkcija f(x) je diferencijabilna u tacki x0 ako i samoako u nekoj okolini tacke x0 funkcija f(x) moze biti predstavljena na sledecinacin:

f(x) = f(x0) +n∑i=1

fi(x)(xi − x0i ), (2.1)

gde su sve funkcije fi(x) neprekidne u tacki x0.

Dokaz. Neka je n = 2 i neka je funkcija f(x, y) diferencijabilna u tacki(x0, y0) ∈ R2. Tada postoje brojevi A,B ∈ R, tako da u okolini tacke(x0, y0) vazi

f(x, y)− f(x0, y0) = A(x− x0) +B(y − y0) + α(x, y),

gde je α(x, y) = o(ρ) kada ρ→ 0 i ρ = ρ((x, y), (x0, y0)). Definisemo funkciju

ε(ρ) =

α(ρ)/ρ, za ρ 6= 0,

0, za ρ = 0.

Tada je α(ρ) = ε(ρ)ρ. Ocigledno je limρ→0

ε(ρ) = 0, sto znaci da je funkcija

ε(ρ) neprekidna u tacki 0. Ako je ρ 6= 0, onda je

α(ρ) =ε(ρ)ρ2

ρ=ε(ρ)

ρ

((x− x0)2 + (y − y0)2

)=

(ε(ρ)

x− x0

ρ

)(x− x0) +

(ε(ρ)

y − y0

ρ

)(y − y0).

Osim toga vazi

0 ≤∣∣∣∣x− x0

ρ

∣∣∣∣ ≤ 1, 0 ≤∣∣∣∣y − y0

ρ

∣∣∣∣ ≤ 1. (2.2)

Na osnovu prethodnog, ako je

f1(x, y) = ε(ρ)x− x0

ρi f2(x, y) = ε(ρ)

y − y0

ρ,


sledi da su funkcije f1(x, y) i f2(x, y) neprekidne u tacki (x0, y0) i vazi

f(x, y)− f(x0, y0) = f1(x, y)(x− x0) + f2(x, y)(y − y0).

Obrnuto, neka postoje funkcije f1(x, y) i f2(x, y), koje su definisane uokolini tacke (x0, y0) i neprekidne u ovoj tacki, tako da vazi (4.4.1). Nekaje εi(x, y) = fi(x, y) − fi(x0, y0) za i = 1, 2 i neka je A = f1(x0, y0) i B =f2(x0, y0). Vazi

f(x, y)− f(x0, y0) = A(x− x0) +B(y − y0) + ε1(x, y)(x− x0) + ε2(y − y0)

u nekoj okolini tacke (x0, y0). Neka je α(x, y) = ε1(x, y)(x−x0)+ε2(x, y)(y−y0). Dovoljno je pokazati da je α(x, y) = o(ρ) kada ρ → 0. Na osnovunejednakosti (4.4.2) i neprekidnosti funkcija fi(x, y) u tacki (x0, y0) (i =1, 2), sledi

0 ≤∣∣∣∣α(x, y)

ρ

∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣ε1(x, y)(x− x0)

ρ

∣∣∣∣+

∣∣∣∣ε2(x, y)(y − y0)

ρ

∣∣∣∣→ 0

kada ρ→ 0, odnosno kada (x, y)→ (x0, y0). Ovim je dokazano da je funkcijaf(x, y) diferencijabilna u tacki (x0, y0).

Poznato je da je zbir ili proizvod neprekidnih funkcija u nekoj tackitakode neprekidna funkcija u posmatranoj tacki (videti 3.3 Teoremu). Funkcijegi(x) = xi−x0

i su neprekidne u tacki x0. Prema tome, na desnoj strani jed-nakosti (4.4.1) nalazi se funkcija koja je neprekidna u tacki x0. Zakljucakje da i funkcija f(x) mora biti neprekidna u tacki x0.

Napomena 2.3.1. Ako je funkcija diferencijabilna u nekoj tacki, onda je onai neprekidna u toj tacki.

Primer 2.3.1. Pokazati da je funkcija

f(x, y) = 3√x3 + y4

diferencijabilna u tacki (0, 0).

Dokaz. Pokazacemo da postoji broj C ∈ R tako da za svako x, y ∈ R vazinejednakost ∣∣∣ 3

√x3 + y4 − x

∣∣∣ ≤ C|y|4/3. (2.3)

Ako je y = 0, onda je ova nejednakost ispunjena za svako C. Neka je y 6= 0i t = xy−4/3. Nejednakost (4.5.1) ekvivalentna je nejednakosti |ψ(t)| ≤ C,gde je ψ(t) = 3

√1 + t3 − t.


Funkcija ψ(t) je neprekidna na skupu R i limt→±∞

ψ(t) = 0. Proizilazi da

je funkcija ψ(t) ogranicena nekom konstantom C na skupu R. Pomenutanejednakost (4.5.1) je pokazana.

Sa druge strane, vazi∣∣∣∣∣ y4/3√x2 + y2

∣∣∣∣∣ = |y|1/3 |y|√x2 + y2

≤ |y|1/3

iy4/3 = o(

√x2 + y2), kada (x, y)→ (0, 0). (2.4)

Na osnovu (4.5.1) i (4.5.2) sledi

3√x3 + y4 = x+ o(

√x2 + y2),

za (x, y) u nekoj okolini tacke (0, 0). Ovim je dokazano da je funkcija f(x, y)diferencijabilna u tacki (0, 0).

Primer 2.3.2. Dokazati da funkcija

f(x, y) = 3√x3 + y3

nije diferencijabilna u tacki (0, 0).

Dokaz. Pretpostavimo da je funkcija f(x, y) diferencijabilna u tacki (0, 0).Prema 4.4 Teoremi sledi da postoje funkcije ϕ(x, y) i ψ(x, y), koje su neprekidneu tacki (0, 0) i osim toga u okolini tacke (0, 0) vazi

3√x3 + y3 = xϕ(x, y) + yψ(x, y).

Neka je k proizvoljan realan broj. Posmatra se funkcija f(x, y) duz pravey = kx. Tada je

3√

1 + k3 = ϕ(x, kx) + kψ(x, kx).

Funkcije ϕ(x, y) i ψ(x, y) su neprekidne u tacki (0, 0), te stoga postoje nji-hove granicne vrednosti duz prave y = kx kada x→ 0. Sledi

3√

1 + k3 = ϕ(0, 0) + kψ(0, 0). (2.5)

Jednkost (4.6.1) vazi za svako k ∈ R. Sa desne strane u (4.6.1) je linearnafunkcija po k ∈ R, a sa leve strane je iracionalna funkcija po k ∈ R, stoje nemoguce. Ovim je pokazano da funkcija f(x, y) nije diferencijabilna utacki (0, 0).


Primer 2.3.3. Dokazati da je funkcija

f(x, y) = (x+ y) 3√x3 + y3

diferencijabilna u tacki (0, 0).

Dokaz. Moze se pokazati sledece tvrdenje:Neka su funkcije f(x) i ϕ(x) definisane u nekoj okolini tacke x0 ∈ Rn.

Ako je funkcija f(x) diferencijabilna u tacki x0, f(x0) = 0, a funkcija ϕ(x)je neprekidna u tacki x0, onda je funkcija f(x)ϕ(x) diferencijabilna u tackix0.

Sada treba dokazati da je funkcija f1(x, y) = x + y diferencijabilna utacki (0, 0), a funkcija ϕ(x, y) = 3

√x3 + y3 neprekidna u tacki (0, 0).

Veza izmedu diferencijabilnosti funkcije i njenih parcijalnih izvoda prvogreda data je sledecom teoremom.

Teorema 2.3.2. Ako je funkcija f(x) diferencijabilna u tacki x0 ∈ Rn, tadaona ima u tacki x0 sve parcijalne izvode prvog reda ∂f

∂xi(x0) (i = 1, . . . , n) i

u nekoj okolini tacke x0 vazi

f(x)− f(x0) =

n∑i=1

∂f(x0)

∂xi(xi − x0

i ) + o(ρ(x, x0)).

Dokaz. Neka je funkcija f(x) diferencijabilna u tacki x0. Tada postojebrojevi A1, . . . , An, tako da u nekoj okolini tacke x0 vazi

f(x)− f(x0) =n∑i=1

Ai(xi − x0i ) + o(ρ(x, x0)).

U ovoj jednakosti neka je x1 6= x01, x2 = x0

2,. . . ,xn = x0n. Tada je ρ(x, x0) =

|x1−x01| = |∆x1|, gde je x1 = x0

1 + ∆x1. Stoga u nekoj okolini tacke x01 vazi

f(x1, x02, . . . , x

0n)− f(x0

1, x02, . . . , x

0n) = A1(x1 − x0

1) + o(|∆x1|).

Deobom prethodne jednakosti sa ∆x1 i prelaskom na granicnu vrednost kada∆x1 → 0, proizilazi da vazi

A1 =∂f

∂x1(x0).

Analogno se moze dokazati

Ai =∂f

∂x1(x0), i = 2, . . . , n.

Ovim je tvrdenje teoreme pokazano.


Primer 2.3.4. Data je funkcija f(x, y) = 3√x3 + y3, koja nije diferencija-

bilna u tacki (0, 0) (4.6 Primer). Postoje oba parcijalna izvoda ove funkcijeu tacki (0, 0). Naime,

∂f(0, 0)

∂x= lim

x→0

f(x, 0)− f(0, 0)

x= 1 =

∂f(0, 0)

∂y.e

Ovim primerom je pokazano da postoji funkcija za koju postoje svi par-cijalni izvodi u nekoj tacki, ali funkcija nije diferencijabilna u posmatranojtacki.

Primer 2.3.5. Postojanje parcijalnih izvoda u tacki ne garantuje neprekid-nost funkcije u toj tacki. Neka je

f(x, y) =

2xyx2+y2

, (x, y) 6= (0, 0),

0, x = y = 0.

Dokazano je da ne postoji limx→0y→0

f(x, y) (2.7 Primer), prema tome funkcija

f(x, y) nije neprekidna u tacki (0, 0). Medutim, postoje oba parcijalnaizvoda ove funkcije u tacki (0, 0):

∂f(0, 0)

∂x= lim

x→0

f(x, 0)− f(0, 0)

x= 0 =

∂f(0, 0)

∂y.

U ovom delu je dokazano da u izvesnim slucajevima parcijalni izvodimogu biti od vece koristi prilikom ispitivanja diferencijabilnosti funkcije utacki. Naime, neprekidnost parcijalnih izvoda u nekoj tacki garantuje difer-encijabilnost funkcije u toj tacki.

Teorema 2.3.3. Neka je funkcija f(x) definisana u okolini tacke x0 ∈ Rn.Ako su svi parcijalni izvodi ∂f

∂xi(x) (i = 1, . . . , n) definisani u okolini tacke

x0 i neprekidni u tacki x0, tada je funkcija f(x) diferencijabilna u tacki x0.

Dokaz. Posmatrajmo slucaj funkcije dve promenljive. Neka je f(x, y) defin-isana u okolini tacke (x0, y0) ∈ R2, neka su parcijalni izvodi ∂f

∂x (x, y) i∂f∂y (x, y) definisani u okolini tacke (x0, y0) i neprekidni u ovoj tacki. Prirastajfunkcije f(x, y) u tacki (x0, y0) je:

f(x, y)− f(x0, y0) = f(x, y)− f(x0, y) + f(x0, y)− f(x0, y0),

za (x, y) u nekoj okolini tacke (x0, y0). Neka je, bez gubljenja opstosti,x0 < x. Razmotrimo funkciju jedne promenljive: ψ(t) = f(t, y) kada jet ∈ [x0, x]. Na tom segmentu funkcija ψ(t) ima izvod

ψ′(t) =∂f

∂x(t, y).


Primenimo Lagranzovu teoremu o prirastajima na funkciju ψ(t) na segmentu[x0, x]. Sledi

ψ(x)− ψ(x0) = ψ′(x0 + θ(x− x0))(x− x0), 0 < θ < 1.

Zamenjujuci dobijene vrednosti u izraz za prirastaj, proizilazi da je

f(x, y)− f(x0, y) =∂f

∂x(x0 + θ(x− x0), y)(x− x0).

Parcijalni izvod ∂f∂x (x, y) je neprekidna funkcija u tacki

(x0, y0), te sledi

limx→x0y→y0

∂f

∂x(x0 + θ(x− x0), y) =

∂f

∂x(x0, y0).

Analogno sledi

f(x0, y)− f(x0, y0) =∂f

∂y(x0, y0 + θ1(y − y0))(y − y0)

i

limx→x0y→y0

∂f

∂y(x0, y0 + θ1(y − y0)) =

∂f

∂y(x0, y0).

Uvedimo oznake:

f1(x, y) =

∂f∂x (x0 + θ(x− x0), y), (x, y) 6= (x0, y0),∂f∂x (x0, y0), (x, y) = (x0, y0),

f2(x, y) =

∂f∂y (x0, y0 + θ1(y − y0)), (x, y) 6= (x0, y0),∂f∂y (x0, y0), (x, y) = (x0, y0).

Funkcije f1(x, y) i f2(x, y) su neprekidne u tacki (x0, y0) i ocigledno vazi

f(x, y)− f(x0, y0) = f1(x, y)(x− x0) + f2(x, y)(y − y0)

u nekoj okolini tacke (x0, y0). Na osnovu Teoreme 2.3.1 sledi da je funkcijaf(x, y) diferencijabilna u tacki (x0, y0).

Primer 2.3.6. Data je funkcija

f(x, y) =

(x2 + y2) sin 1√x2+y2

, (x, y) 6= (0, 0),

0, (x, y) = (0, 0).


Funkcija f(x, y) je diferencijabilna u tacki (0, 0), na osnovu nejednakosti| sin t| ≤ 1 i procene

f(x, y)− f(0, 0) = 0 · x+ 0 · y + o(√x2 + y2),

za (x, y) u nekoj okolini tacke (0, 0).Sa druge strane, za (x, y) 6= (0, 0) vazi

∂f

∂x(x, y) = 2x sin

1√x2 + y2

− x√x2 + y2

cos1√

x2 + y2.

Posmatranjem nizova (xn, yn) =(

1n ,

1n

)i (x′n, y

′n) =

(1n2 ,

1n

), sledi da ne

postoji granicna vrednost limx→0y→0

∂f∂x (x, y), i stoga funkcija ∂f

∂x (x, y) nije nepre-

kidna u tacki (0, 0).Ovim primerom je pokazano da iz diferencijabilnosti funkcije u nekoj

tacki ne sledi neprekidnost parcijalnih izvoda prvog reda u posmatranojtacki.

Definicija 2.3.2. Funkcija f(x) je neprekidno diferencijabilna u tacki x0 ∈Rn, ako su svi parcijalni izvodi prvog rada ∂f

∂xi(x) neprekidne funkcije u tacki

x0.

Napomena 2.3.2. Na osnovu Teoreme 2.3.3 proizilazi da svaka neprekidnodiferencijabilna funkcija u nekoj tacki jeste diferencijabilna funkcija u tojtacki. Prema Primeru ??, postoje diferencijabilne funkcije u nekoj tacki,koje u toj tacki nisu obavezno neprekidno diferencijabilne.

U ovom delu ispitana je diferencijabilnost slozenih funkcija. Posebno jevazno kako se izracunaju parcijalni izvodi slozenih funkcija.

Teorema 2.3.4. Neka su funkcije ϕ1(x), . . . , ϕm(x) diferencijabilne u tackix0 = (x0

1, . . . , x0n) ∈ Rn, neka je

y0 = (ϕ1(x0), . . . , ϕm(x0)) ∈ Rm

i neka je funkcija f(y) = f(y1, . . . , ym) diferencijabilna u tacki y0.Tada je slozena funkcija

Φ(x) = f(ϕ1(x), . . . , ϕm(x))

diferencijabilna u tacki x0, pri cemu za x u nekoj okolini tacke x0 vazi:

Φ(x)− Φ(x0) =n∑i=1

Ai(xi − x0i ) + o(ρ(x, x0)), (2.6)


gde je

Ai =∂Φ

∂xi(x0) =

m∑j=1

∂f

∂yj(y0)

∂ϕj∂xi

(x0), i = 1, . . . , n.

Dokaz. Na osnovu diferencijabilnosti funkcije f(y) u tacki y0, a prema Teo-remi 2.3.1 i Teoremi 2.3.2, sledi postojanje funkcija fj(y) koje su neprekidneu tacki y0, tako da u okolini tacke y0 vazi

f(y)− f(y0) =m∑j=1

fj(y)(yj − y0j ), fj(y

0) =∂f(y0)

∂yj.

Koristeci cinjenicu da kompozicija neprekidnih funkcija jeste neprekidnafunkcija (Teorema 2.2.2), sledi da su funkcije

ψj(x) = fj(ϕ1(x), . . . , ϕm(x)), j = 1, . . . ,m

neprekidne u tacki x0, pri cemu je

ψj(x0) = fj(ϕ1(x0), . . . , ϕm(x0)) = fj(y

0) =∂f

∂yj(y0).

Uzimajuci da je y1 = ϕ1(x),. . . ,ym = ϕm(x), sledi da vazi

Φ(x)− Φ(x0) =m∑j=1

ψj(x)(ϕj(x)− ϕj(x0)).

Svaka od funkcija ϕj(x) je diferencijabilna u tacki x0, te stoga, prema 4.4Teoremi postoje funkcije ϕji(x), koje su neprekidne u tacki x0 i u okolinitacke x0 vazi

ϕj(x)− ϕj(x0) =n∑i=1

ϕji(x)(xi − x0i ),

ϕji(x0) =

∂ϕj∂xi

(x0), i = 1, . . . , n, j = 1, . . . ,m.

Ako je

Φi(x) =m∑j=1

ϕji(x)ψj(x),

onda vazi

Φ(x)− Φ(x0) =n∑i=1

Φi(x)(x− x0i ) (2.7)


u okolini tacke x0. Iz neprekidnosti funkcija ϕji(x) i ψj(x) u tacki x0 sledineprekidnost funkcija Φi(x) u tacki x0. Na osnovu (4.17.2) sledi diferenci-jabilnost funkcije Φ(x) u tacki x0. Koeficijenti (parcijalni izvodi) u formi(4.17.1) jednaki su koeficijentima u formi (4.17.2) i vazi

Ai = Φi(x0) =

m∑j=1

ϕji(x0)ψj(x

0) =m∑j=1

∂f(y0)

∂yj

∂ϕj(x0)

∂xi=∂Φ(x0)

∂xi.

Ovom teoremom dato je pravilo za izracunavanje parcijalnih izvoda slozenihfunkcija, koje uopstava poznato pravilo iz ranijeg kursa o diferencijabilnostifunkcije jedne promenljive.

Primer 2.3.7. Neka je funkcija f(x, y) diferencijabilna u R2. Polarne ko-ordinate r ∈ (0,+∞) i ϕ ∈ [0, 2π) date su na sledeci nacin:

r =√x2 + y2, ϕ = arctg

y

x,

ili, ekvivalentno,

x = r cosϕ, y = r sinϕ.

Izracunati ∂f∂r i ∂f

∂ϕ .

Dokaz. Resenje Polarne koordinate uvodene na opisani nacin, imauju sle-decu geometrijsku interpretaciju. Rastojanje tacke M = (x, y) od koordi-

natnog pocetka O jednako je r, a ϕ je ugao koji vektor−−→OM zaklapa sa

pozitivnim delom x-ose posmatrano od pozitivnog dela x-ose suprotno kre-tanju kazaljke na casovniku. Kako je ∂x

∂r = cosϕ, ∂x∂ϕ = −r sinϕ, ∂y∂r = sinϕ,

∂y∂ϕ = r cosϕ, iz neprekidnosti ovih parcijalnih izvoda sledi neprekidna difer-encijabilnost funkcija x = x(r, ϕ) i y = y(r, ϕ). Posmatrajmo funkcijuF (r, ϕ) = f(r cosϕ, r sinϕ). Na osnovu 4.17 Teoreme sledi da je funkcijaF (r, ϕ) diferencijabilna u svim tackama (r, ϕ) i vazi:

∂F

∂r=∂f

∂x

∂x

∂r+∂f

∂y

∂y

∂r=

1√x2 + y2

(x∂f

∂x+ y

∂f

∂y

)i

∂F

∂ϕ=∂f

∂x

∂x

∂ϕ+∂f

∂y

∂y

∂ϕ= −y∂f

∂x+ x

∂f

∂y.

Jednostavno je izraziti ∂f∂x i ∂f

∂y preko ∂f∂r i ∂f

∂ϕ : dovoljno je resiti dobijenisistem linearnih jednacina.


Neka je funkcija f(x) = f(x1, . . . , xn) diferencijabilna u tacki x0 =(x0

1, . . . , x0n) ∈ Rn. Tada, na osnovu prethodnih razmatranja, u nekoj okolini

tacke x0 vazi

f(x)− f(x0) =n∑i=1

∂f(x0)

∂xi(xi − x0

i ) + o(ρ(x, x0)).

Uvedimo oznaku ∆xi = xi − x0i , ili, sto je za nezavisne promenljive isto,

∆xi = dxi. Diferencijal funkcije f(x) u tacki x0 (preciznije, prvi diferencijal)jeste sledeca forma (funkcija) po promenljivim dx1, . . . , dxn:

df(x0) =

n∑i=1

∂f(x0)

∂xidxi.

Tada u nekoj okolini tacke x0 vazi

f(x) = f(x0) + df(x0) + o(ρ(x, x0)).

Izracunacemo diferencijal slozene funkcije. Neka su funkcije ϕ1(x), . . . , ϕm(x)diferencijabilne u tacki x0 ∈ Rn, a funkcija f(y1, . . . , ym) neka je diferencija-bilna u tacki y0 = (ϕ1(x0), . . . , ϕm(x0)) ∈ Rm. Prema 4.17 Teoremi, funkcijaΦ(x) = f(ϕ1(x), . . . , ϕm(x)) je diferencijabilna u tacki x0 i vazi

dΦ(x0) =n∑i=1

∂Φ(x0)

∂xidxi =

n∑i=1

m∑j=1

∂f(y0)

∂yj

∂ϕj(x0)

∂xidxi

=m∑j=1

∂f(y0)

∂yj

n∑i=1

∂ϕj(x0)

∂xidxi =

m∑j=1

∂f(y0)

∂yjdyj(x

0),

pri cemu je dyj(x0) =

n∑i=1

∂ϕj(x0)

∂xidxi. Stoga vazi

df(y1(x0), . . . , ym(x0)) =m∑j=1

∂f(y0)

∂yjdyj(x

0).

Ako su yj nezavisne promenljive, onda se diferencijal df(y0) razlikuje odprethodnog diferencijala slozene funkcije df(y1(x0), . . . , ym(x0)) samo u sledecem:dyj(x

0) postaje dyj . Formalni zapis diferencijala je u oba slucaja jednak.

Napomena 2.3.3. Forma prvog diferencijala je invarijantna u odnosu nasmenu promenljivih.


Sledeci rezultat je prirodno uopstenje osobina diferencijabilnih funkcijajedne realne promenljive.

Teorema 2.3.5. Neka su funkcije u(x) i v(x) diferencijabilne u tacki x0 ∈Rn. Tada vazi

(1) d(u+ v)(x0) = du(x0) + dv(x0);

(2) d(uv)(x0) = v(x0)du(x0) + u(x0)dv(x0);

(3) d(uv

)(x0) = v(x0)du(x0)−u(x0)dv(x0)

[v(x0)]2, ako je v(x0) 6= 0.

Dokaz. Sva ova tvrdenja slede na osnovu definicije diferencijala i praviladiferenciranja zbira, proizvoda i kolicnika. Dokazacemo svojstvo (b):

d(uv)(x0) =

n∑i=1

∂(uv)(x0)

∂xidxi =

n∑i=1

(v∂u

∂xi+ u

∂v

∂xi

)∣∣∣∣∣(x0)

dxi

= v(x0)du(x0) + u(x0)dv(x0).

Primer 2.3.8. Naci diferencijale funkcija f(x, y) = arctg yx i g(x, y) =

sinxy cos xy .

Resenje. Vazi

d(

arctgy

x

)=

d( yx

)1 +

( yx

)2 =xdy−ydx

x2

x2+y2

x2

=xdy − ydxx2 + y2

.

Takode vazi

d

(sinxy cos

x

y

)= cos

x

yd(sinxy) + sinxy d

(cos

x

y

)= (ydx+ xdy) cos

x

ycosxy − ydx− xdy

y2sinxy sin

x

y.

Skup G (GıRn) je konveksan, ako za svake dve tacke x, y ∈ G vazi dasve tacke duzi, koja spaja x i y, takode pripadaju skupu G.

Ako je dat vektor ~l i tacka x ∈ Rn, onda je prava kroz x paralelno sa ~ldata kao sledeci skup tacaka prostora

y = x+ λ−→l ∈ Rn : λ ∈ R.


Ako je prava odredena tackama x, y ∈ Rn, onda je vektor paralelnosti ~l =y − x. Duz koja spaja tacke x i y jeste skup:

[x, y] = z = x+ λ(y − x) ∈ Rn : λ ∈ [0, 1].

Prirodno je oznaciti duz na isti nacin kao i segment realne prave.

Prema tome, skup GıRn je konveksan, ako za svako x, y ∈ G vazi [x, y]ıG.

Poligonalna linija P (x, y) u Rn sa pocetkom u tacki x i zavrsetkom utacki y, jeste unija konacno mnogo duzi [x0, x1], [x1, x2], . . . , [xn−1, xn], pricemu je x0 = x i xn = y.

Otvoren skup GıRn je oblast, ako za svake dve tacke x, y ∈ G postojineka poligonalna linija P (x, y)ıG. Ekvivalentno (ali ne i ocigledno), otvorenskup GıRn jeste oblast, ako za svake dve tacke x, y ∈ G postoji neprekidnopreslikavanje γ : [a, b]→ G, tako da vazi γ(a) = x i γ(b) = y.

Naredni rezultat poznat je kao Lagranzova3 formula o konacnim priras-tajima. Ova teorema je uopstenje Lagranzove teoreme o srednjoj vrednostifunkcije jedne promenljive.

Teorema 2.3.6. (Formula Lagranza) Neka je funkcija f(x) diferencijabilnau svakoj tacki konveksne oblasti GıRn. Tada za svake dve tacke x, y ∈ Gpostoji broj θ ∈ (0, 1), tako da vazi

f(y)− f(x) =n∑i=1

∂f(x+ θ(y − x))

∂xi(yi − xi).

Dokaz. Neka je n = 2, x = (x1, x2) ∈ G i y = (y1, y2) ∈ G. Tada je

[x, y] = (x1 + t(y1 − x1), x2 + t(y2 − x2)) : t ∈ [0, 1]ıG.

Posmatrajmo funkciju jedne promenljive definisane na [0, 1]:

ϕ(t) = f(x1 + t(y1 − x1), x2 + t(y2 − x2)), t ∈ [0, 1].

Ocigledno je ϕ(0) = f(x) i ϕ(1) = f(y). Takode, funkcija ϕ(t) je diferen-cijabilna na segmentu [0, 1] kao kompozicija diferencijabilnih funkcija. Pri-menimo pravilo o nalazenju izvoda slozene funkcije

ϕ′(t) =∂f(x+ t(y − x))

∂x1(y1 − x1) +

∂f(x+ t(y − x))

∂x2(y2 − x2).

3J. L. Lagrange (1736-1813) francuski matematicar


Na osnovu formule Lagranza za funkciju jedne promenljive ϕ(t), sledi dapostoji neka tacka θ ∈ (0, 1), tako da vazi

ϕ(1)− ϕ(0) = ϕ′(θ).

Odavde sledi tvrdenje teoreme.

Posledice teoreme o prirastajima jesu uopstenja dobro poznatih rezultatao funkcijama jedne realne promenljive.

Posledica 2.3.1. Neka je funkcija f(x, y) diferencijabilna u konveksnojoblasti GıR2. Ako su parcijalni izvodi funkcije f(x, y) ograniceni na skupuG, tada je funkcija f(x, y) ravnomerno neprekidna na skupu G.

Dokaz. Neka postoji konstanta C > 0, tako da je∣∣∣∣∂f∂x (x, y)

∣∣∣∣ ≤ C, ∣∣∣∣∂f∂y (x, y)

∣∣∣∣ ≤ Cza svako (x, y) ∈ G. Na osnovu 4.24 Teoreme vazi

f(x′′, y′′)− f(x′, y′) = df(x′ + θ(x′′ − x′), y′ + θ(y′′ − y′)), 0 < θ < 1.

Neka je xi = x′ + θ(x′′ − x′) i ψ = y′ + θ(y′′ − y′). Tada je

|f(x′′, y′′)− f(x′, y′)| =∣∣∣∣∂f(xi, ψ)

∂x(x′′ − x′) +

∂f(xi, ψ)

∂y(y′′ − y′)

∣∣∣∣≤ 2C

√(x′′ − x′)2 + (y′′ − y′)2.

Ovde je iskoriscena elementarna nejednakost

|x′′ − x′| ≤√

(x′′ − x′)2 + (y′′ − y′)2.

Sledi da je f(x, y) ravnomerno neprekidna funkcija na skupu G. Naime, akoje ε > 0 proizvoljno, odaberimo δ < ε

2C . Tada za svako (x′, y′), (x′′, y′′) ∈ G,ako je ρ((x′, y′), (x′′, y′′)) < δ, onda je

|f(x′′, y′′)− f(x′, y′)| < 2Cρ((x′, y′), (x′′, y′′)) < ε.

Posledica 2.3.2. Neka je funkcija f(x, y) diferencijabilna u konveksnojoblasti GıR2. Ako su parcijalni izvodi funkcije f(x, y) jednaki nuli na skupuG, onda je f(x, y) konstantna funkcija na G.


Dokaz. Ako su parcijalni izvodi funkcije f(x, y) na skupu G jednaki nuli,onda prema 4.24 Teoremi, za prirastaj funkcije f(x, y) vazi:

|f(x′′, y′′)− f(x′, y′)| = |df(x′ + θ(x′′ − x′), y′ + θ(y′′ − y′))| = 0.

Odavde neposredno sledi da je funkcija f(x, y) konstantna na G.

Ako je x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn, onda je skalarni proizvoddefinisan kao x · y = x1y1 + · · ·+ xnyn = 〈x, y〉 (videti 1.23 Primer).

Neka je funkcija f(x, y) diferencijabilna u otvorenom skupu G, GıR2.Grafik ove funkcije je skup

Gr(f) = (x, y, z) : (x, y) ∈ G, z = f(x, y)ıR3.

Skup Gr(f) je povrs u R3. Neka je na grafiku funkcije (povrsi) u R3 data(neprekidno diferencijabilna) kriva:

Γ = x = x(t), y = y(t), z = z(t) : t ∈ [a, b].

Tada su x(t), y(t) i z(t) neprekidno diferencijabilne funkcije na [a, b]. Obziromda je kriva Γ na povrsi Gr(f), vazi

∀t ∈ [a, b] z(t) = f(x(t), y(t)).

Neka je M(x0, y0, z0) tacka na krivoj Γ i povrsi Gr(f), odnosno postojit0 ∈ [a, b] tako da je x0 = x(t0), y0 = y(t0) i z0 = z(t0). Kompozicijadiferencijabilnih preslikavanja jeste diferencijabilno preslikavanje. Na os-novu invarijantnosti forme prvog diferencijala za funkciju z = f(x(t), y(t))vazi

dz(t0) =∂f(x0, y0)

∂xdx(t0) +

∂f(x0, y0)

∂ydy(t0).

Ako su y i z konstante, odnosno y = y0 i z = z0, onda je dx(t0) =x′(t0)dt komponenta tangentnog vektora krive Γ u pravcu x-ose. Analogno,dy(t0) je komponenta tangentnog vektora krive Γ u pravcu y-ose, a dz(t0)je komponenta tangentnog vektora krive Γ u pravcu z-ose. Znaci, τ =(dx(t0), dy(t0), dz(t0)) je tangentni vektor krive Γ u tacki (x0, y0, z0). Uocimo

vektor N =(−∂f(x0,y0)

∂x ,−∂f(x0,y0)∂y , 1

). Tada je skalarni prozivod vektora N

i τ jednak nuli. Prema tome, tangentni vektor τ krive Γ uvek priprada ravnikoja je odredena vektorom normale N i prolazi kroz tacku M(x0, y0, z0).Opisano svojstvo vazi za tangentu svake krive koja se nalazi na povrsi Gr(f)i prolazi kroz tacku M(x0, y0, z0). Prema tome, N mora biti vektor normale


tangentne ravni povrsi Gr(f) u tacki M(x0, y0, z0). Kako je z0 = f(x0, y0),sledi da je jednacina tangentne ravni povrsi u ovoj tacki data jednacinom

z − f(x0, y0) =∂f(x0, y0)

∂x(x− x0) +

∂f(x0, y0)

∂y(y − y0).

Jednacina normale ove tangentne ravni u tacki M(x0, y0, z0) data je sa

x− x0

−∂f(x0,y0)∂x

=y − y0

−∂f(x0,y0)∂y

= z − f(x0, y0).

Za prvi diferencijal funkcije f(x, y) u tacki (x0, y0) vazi

z − z0 = df(x0, y0)

i to je prirastaj po z-osi tangentne ravni povrsi Gr(f) od tacke M(x0, y0, z0)do tacke P (x, y, z) te ravni.

Neka je i jedinicni vektor u smeru pozitivnog dela x-ose, j je jedinicnivektor u smeru pozitivnog dela y-ose, a k je jedinicni vektor u smeru pozi-tivnog dela z-ose.

Ako je f(x, y, z) funkcija definisana i neprekidno diferencijabilna u nekoj

okolini tacke (x0, y0, z0) ∈ R3, onda parcijalni izvod ∂f(x0,y0,z0)∂x jeste izvod

funkcije f(x, y, z) u pravcu x-ose.

Javlja se potreba definisanja izvoda funkcije f(x, y, z) u bilo kom pravcu(ili, preciznije, u bilo kom smeru), koji u opstem slucaju moze biti razlicitod pravca bilo koje koordinatne ose.

Neka je funkcija f(x, y, z) definisana u otvorenom skupu GıR3 i neka jedata tacka (x0, y0, z0) ∈ G. Neka je data poluprava L kroz tacku (x0, y0, z0),koja sa vektorima i, j, k zaklapa redom uglove α, β, γ, odnosno vektor par-

alelnosti prave L je dat sa−→l = (cosα, cosβ, cos γ). Jednacina prave L je

tada

L = (x, y, z) : x = x0 + t cosα, y = y0 + t cosβ, z = z0 + t cos γ, t ≥ 0.

Definicija 2.3.3. (Izvod u smeru) Izvod funkcije f(x, y, z) u smeru vektora−→l definise se kao granicna vrednost (ukoliko postoji)

∂f

∂~l(x0, y0, z0) =

= limt→+0

f(x0 + t cosα, y0 + t cosβ, z0 + t cos γ)− f(x0, y0, z0)

t.


Ako je funkcija f(x, y, z) diferencijabilna u tacki (x0, y0, z0), tada, naosnovu pravila o diferencijabilnosti kompozicije funkcija, sledi da postojiizvod u tacki (x0, y0, z0) u bilo kom smeru ~l, koji se racuna na sledeci nacin:

∂f

∂~l=∂f(x0, y0, z0)

∂x

dx(0)

dt+∂f(x0, y0, z0)

∂y

dy(0)

dt

+∂f(x0, y0, z0)

∂z

dz(0)

dt

=∂f(x0, y0, z0)

∂xcosα+

∂f(x0, y0, z0)

∂ycosβ+

∂f(x0, y0, z0)

∂zcos γ.

Analogno se definise izvod funkcije n promenljivih u odredenom sme-ru. Neka je funkcija f(x) = f(x1, . . . , xn) definisina u okolini tacke x0 =

(x01, . . . , x

0n) i neka je dat vektor

−→l = (cosα1, . . . , cosαn). Pri tome su

α1, . . . , αn uglovi koje ovaj vektor zaklapa sa pozitivnim delovima koordi-

natnih osa. Tada je izvod funkcije f(x) u tacki x0 u smeru−→l definisan

kao

∂f(x0)

∂~l= lim

t→+0

f(x01 + t cosα1, . . . , x

0n + t cosαn)− f(x0

1, . . . , x0n)

t.

Ako je funkcija f(x) diferencijabilna u tacki x0, onda je

∂f(x0)

∂~l=

n∑i=1

∂f(x0)

∂xi· cosαi.

Na slican nacin definise se izvod po pravcu, ili po pravoj. Jedina razlikaje da u definiciji prave L umesto t ≥ 0 kao kod poluprave, sada treba uzetit ∈ R. Takode, u definiciji granicne vrednosti po pravoj, umesto t→ 0+ kaokod poluprave, treba uzeti t→ 0.

Funkcija moze imati izvod u svakom smeru u nekoj tacki, ali ta funkcijane mora biti diferencijabilna, kao sto pokazuje sledeci primer.

Primer 2.3.9. Neka je data funkcija

f(x, y) =

1, y = x2 i (x, y) 6= (0, 0)

0, y 6= x2 ili x = y = 0.

Za bilo koji vektor−→l je ocigledno ∂f

∂~l(0, 0) = 0. Sa druge strane, funkcija

f(x, y) ima prekid u tacki (0, 0) i stoga ne moze biti diferencijabilna u tojtacki.


Neka je funkcija f(x, y, z) diferencijabilna u tacki (x0, y0, z0). Tada jegradijent funkcije f(x, y, z) u tacki (x0, y0, z0) definisan kao vektor

grad f(x0, y0, z0) =

(∂f(x0, y0, z0)

∂x,∂f(x0, y0, z0)

∂y,∂f(x0, y0, z0)

∂z

)=∂f(x0, y0, z0)

∂xi +

∂f(x0, y0, z0)

∂yj +

∂f(x0, y0, z0)

∂zk.

Sada je izvod funkcije f(x, y, z) u tacki (x0, y0, z0) u smeru ~l zapisan prekoskalarnog proizvoda vektora:

∂f(x0, y0, z0)

∂~l= ~l · grad f(x0, y0, z0).

Analogno, neka je funkcija f(x) = f(x1, . . . , xn) diferencijabilna u tackix0. Tada je gradijent funkcije f(x) u tacki x0 definisan kao

grad f(x0) =

(∂f(x0)

∂x1, . . . ,

∂f(x0)

∂xn

)=∂f(x0)

∂x1i1 + · · ·+ ∂f(x0)

∂xnin,

gde je sa ik oznacen jedinicni vektor u smeru pozitivnog dela xk-ose. Izvod

funkcije f(x) u smeru−→l jeste

∂f(x0)

∂~l=−→l · grad f(x0).

Operator Hamiltona4 je definisan kao:

∇ = i∂

∂x+ j

∂

∂y+ k

∂

∂z,

i ovaj operator deluje na diferencijabilne funkcije. Ako je f(x, y, z) diferen-cijabilna funkcija u tacki (x0, y0, z0), tada je

(∇f)(x0, y0, z0) =∂f(x0, y0, z0)

∂xi +

∂f(x0, y0, z0)

∂yj +

∂f(x0, y0, z0)

∂zk.

Simbolicki skalarni proizvod je definisan kao

~l · ∇ = cosα∂

∂x+ cosβ

∂

∂y+ cos γ

∂

∂z.

Konacno, izvod u smeru vektora ~l jeste

∂f(x0, y0, z0)

∂~l= (−→l · ∇)f(x0, y0, z0).

Sva razmatranja mogu prirodno biti uopstena na slucaj funkcije n promenljivih.

4W. R. Hamilton (1805-1865) irski matematicar

2.4. PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI VISEG REDA 45

Napomena 2.3.4. Parcijalni izvodi diferencijabilnih funkcija jesu izvodi upravcu koordinatnih osa.

2.4 Parcijalni izvodi i diferencijali viseg reda

Nadalje krace oznacavamo parcijalne izvode ∂f∂x = fx, ∂f

∂y = fy i slicno zaostale promenljive.

Pretpostavimo da na nekom otvorenom skupu GıR2 funkcija f(x, y) imaparcijalne izvode u svakoj tacki (x, y) ∈ G. Tada su parcijalni izvodi fx(x, y)i fy(x, y) funkcije definisane u skupu G. Ove funkcije takode mogu imatisvoje parcijalne izvode. Novi parcijalni izvodi jesu parcijalni izvodi drugogreda funkcije f(x, y). Uvodimo oznake (vodeci racuna o redosledu diferen-ciranja)

∂

∂x

(∂f

∂y

)=

∂2f

∂x∂y= fyx = Dyxf.

Analogno se definisu parcijalni izvodi fxx, fxy, fyy. Parcijalni izvodi fxx ifyy nazivaju se homogeni parcijalni izvodi, a fxy i fyx jesu mesoviti parcijalniizvodi drugog reda. U opstem slucju mesoviti parcijalni izvodi fxy i fyx nemoraju biti jednaki.

Primer 2.4.1. Odrediti parcijalne izvode drugog reda funkcije

f(x, y) =

xy x

2−y2x2+y2

, (x, y) 6= (0, 0)

0, x = y = 0

u tacki (0, 0).

Resenje. Ako je (x, y) 6= (0, 0), tada je

fx(x, y) = yx2 − y2

x2 + y2+ 4

x2y3

(x2 + y2)2.

Takode je

fx(0, 0) = limx→0

f(x, 0)− f(0, 0)

x= 0.

Stoga vazi

fxx(0, 0) =∂

∂x(fx(0, 0)) = lim

x→0

fx(x, 0)− fx(0, 0)

x= 0,

fxy(0, 0) =∂

∂y(fx(0, 0)) = lim

y→0

fx(0, y)− fx(0, 0)

y= −1.


Sa druge strane, ako je (x, y) 6= (0, 0), onda vazi

fy(x, y) = xx2 − y2

x2 + y2− 4

x3y2

(x2 + y2)2.

Takode je

fy(0, 0) = limy→0

f(0, y)− f(0, 0)

y= 0.

Prema tome, vazi

fyy(0, 0) =∂

∂y(fy(0, 0)) = lim

y→0

fy(0, y)− fy(0, 0)

y= 0,

fyx(0, 0) =∂

∂x(fy(0, 0)) = lim

x→0

fy(x, 0)− fy(0, 0)

y= 1.

Prema tome, fxy(0, 0) 6= fyx(0, 0).U primenama se najcesce srecu funkcije kod kojih su mesoviti parcijalni

izvodi neprekidne funkcije, odakle, prema narednoj teoremi, sledi njihovajednakost.

Teorema 2.4.1. (Teorema o mesovitim parcijalnim izvodima) Neka funk-cija f(x, y) u nekoj okolini tacke (x0, y0) ima prve parcijalne izvode i drugemesovite parcijalne izvode. Ako su drugi mesoviti parcijalni izvodi neprekidnefunkcije u tacki (x0, y0), onda su oni jednaki u toj tacki.

Dokaz. Pretpostavimo da su mesoviti parcijalni izvodi definisani u pravougaoniku

Π = (x, y) : |x− x0| < a, |y − y0| < b

i neprekidni u tacki (x0, y0). Definisemo na skupu Π funkciju

g(x, y) = f(x, y)− f(x0, y)− f(x, y0) + f(x0, y0).

Neka je tacka y ∈ (y0−b, y0+b) fiksirana i za t ∈ (x0−a, x0+a) posmatramofunkciju

t 7→ h(t) = f(t, y)− f(t, y0).

Ocigledno, funkcija h(t) je diferencijabilna za t ∈ (x0 − a, x0 + a) i vazi

h′(t) = fx(t, y)− fx(t, y0).

Takode jeg(x, y) = h(x)− h(x0)


i na funkciju h(t) primenimo Lagranzovu teoremu o konacnim prirastajimana segmentu [x0, x]. Tada je

g(x, y) = h′(x0 + θ1(x− x0))(x− x0)

= [fx(x0 + θ1∆x, y)− fx(x0 + θ1∆x, y0)∆x,

gde je 0 < θ1 < 1 i ∆x = x− x0 . Primenimo jos jednom na poslednji izrazLagranzovu teoremu na segmentu [y0, y]. Sledi da vazi

g(x, y) = fxy(x0 + θ1∆x, y0 + θ2∆y)∆x∆y, (2.8)

pri cemu je ∆y = y − y0 i 0 < θ2 < 1.Definisemo funkciju

k(s) = f(x, s)− f(x0, s), s ∈ (y0 − b, y0 + b).

Sada je, primenom dva puta Lagranzove teoreme, prvo po y, a zatim po x:

g(x, y) = k(y)− k(y0) =d k

d s(y0 + θ3∆y)∆y

= [fy(x, y0 + θ3∆y)− fy(x0, y0 + θ3∆y)] ∆y

= fyx(x0 + θ4∆x, y0 + θ3∆y)∆x∆y,

(2.9)

za neke 0 < θ3, θ4 < 1. Na osnovu (5.3.1) i (5.3.2) sledi

fxy(x0 + θ1∆x, y0 + θ2∆y) = fyx(x0 + θ4∆x, y0 + θ3∆y).

Prelaskom na granicnu vrednost kada (∆x,∆y)→ (0, 0), koristeci neprekid-nost mesovitih parcijalnih izvoda u tacki (x0, y0), sledi rezultat

fxy(x0, y0) = fyx(x0, y0).

Analogno se definisu parcijalni izvodi viseg reda funkcije n promenljivih.Na primer,

∂3f

∂xi∂xj∂xk=

∂

∂xi

(∂

∂xj

(∂f

∂xk

))= fxkxjxi .

Neka funkcija f(x, y) ima neprekidne parcijalne izvode drugog reda unekoj okolini tacke (x0, y0) ∈ R2. Tada su i parcijalni izvodi prvog redaneprekidne funkcije u okolini tacke (x0, y0), te je funkcija f(x, y) diferenci-jabilna u okolini te tacke i diferencijal funkcije f(x, y) u tacki (x0, y0) jeste

df(x0, y0) =∂f(x0, y0)

∂xdx+

∂f(x0, y0)

∂ydy.


U diferencijalu df(x0, y0) postoje cetiri promenljive x0, y0, dx = x − x0

i dy = y− y0. Neka su fiksne vrednosti promenljivih dx i dy (za jedan izbortacaka x0 i y0 ovo povlaci samo jedan moguci izbor tacaka x i y), tada je(x0, y0) 7→ df(x0, y0) funkcija po x0 i y0. Na osnovu neprekidnosti parcijalnihizvoda drugog reda, funkcija df(x0, y0) je neprekidno diferencijabilna popromenljivim x0 i y0 i vazi:

d(df(x0, y0)) =∂(df(x0, y0))

∂xδx+

∂(df(x0, y0))

∂yδy,

pri cemu su prirastaji od x i y oznaceni netradicionalno: δx i δy. U opstemslucaju je δx = x1 − x0 i δy = y1 − y0. Pretpostavimo da je dx = δx idy = δy. Tada, na osnovu jednakosti mesovitih parcijalnih izvoda drugogreda, sledi da vazi:

d2f(x0, y0) = d(df(x0, y0))

=∂2f(x0, y0)

∂x2dx2 + 2

∂2f(x0, y0)

∂x∂ydxdy +

∂2f(x0, y0)

∂y2dy2.

Izraz d2f(x0, y0) jeste drugi diferencijal funkcije f(x, y) u tacki (x0, y0).

Ako funkcija f(x, y) ima neprekidne izvode prvog i drugog reda u nekojoblasti G, GıR2, onda je drugi diferencijal funkcije f(x, y) u oblasti G izraz

d2f =∂2f

∂x2dx2 + 2

∂2f

∂x∂ydxdy +

∂2f

∂y2dy2.

Simbolicki se cesto pise:

d2f =

(∂

∂xdx+

∂

∂ydy

)(2)

f.

Diferencijali viseg reda funkcije f(x, y) definisani su induktivno:

dnf = d(dn−1f) =

(∂

∂xdx+

∂

∂ydy

)(n)

f

=

n∑k=0

(n

k

)∂nf

∂xn−k∂ykdxn−kdyk.

U prethodnoj formuli se pretpostavlja da su svi parcijalni izvodi reda nneprekidne funkcije.


Analogno, ako f(x1, . . . , xn) ima neprekidne parcijalne izvode drugogreda u nekoj tacki x0, onda je

d2f(x0) =

n∑i=1

n∑j=1

∂2f(x0)

∂xi∂xjdxidxj .

Takode, ako su svi parcijalni izvodi reda m funkcije f neprekidni u taci x0,onda vazi

dmf(x0) =n∑

i1=1

· · ·n∑

im=1

∂mf(x0)

∂xi1 · · · ∂ximdxi1 · · · dxim .

Ranije je pokazana invarijantnost forme prvog diferencijala u odnosuna smenu promenljivih. Analogno tvrdenje ne vazi za drugi diferencijal.Neka funkcija f(x1, . . . , xn) ima neprekidne druge parcijalne izvode u nekomotvorenom skupuGıRn. Neka sve funkcije xi = ϕi(u1, . . . , um) imaju neprekidnedruge parcijalne izvode u nekom otvorenom skupu V ıRm. Tada je funkcijaf(x(u)) definisana i neprekidno diferencijabilna na skupu V . Na osnovuinvarijantnosti forme prvog diferencijala sledi

df(x(u)) =n∑i=1

∂f(x)

∂xidxi(u).

Racunamo drugi diferencijal ove funkcije koristeci 4.21 Teoremu:

d2f(x(u)) = d(df(x(u))) =n∑i=1

d

(∂f(x)

∂xidxi(u)

)

=n∑i=1

d

(∂f(x)

∂xi

)dxi(u) +

n∑i=1

∂f(x)

∂xid(dxi(u))

=n∑i=1

n∑j=1

∂2f(x)

∂xj∂xidxi(u)dxj(u) +

n∑i=1

∂f(x)

∂xid2xi(u).

Dobijena forma se ocigledno razlikuje od forme diferencijala drugog reda

funckije f(x). Izrazn∑i=1

∂f(x)∂xi

d2xi(u) naziva se defekt diferencijala drugog

reda. Medutim, ako su smene xi = ϕi(u1, . . . , um) sve linearne funkcijepo promenljivim u1, . . . , um, onda je uvek d2xi(u) = 0. Stoga, diferencijaldrugog reda ima invarijantnu formu za linearnu smenu promenljivih. U tomslucaju bilo koji diferencijal ostaje nepromenjen.

Dokazacemo sada Tejlorovu5 formulu za funkcije vise promenljivih.

5B. Taylor (1685-1731) engleski matematicar


Teorema 2.4.2. (Tejlorova formula) Neka je funkcija f(x, y) neprekidna za-jedno sa svojim parcijalnim izvodima zakljucno do n-tog reda u nekoj okolinitacke (x0, y0) ∈ R2. Tada se prirastaj ∆f(x0, y0) funkcije f(x, y) u tacki(x0, y0) moze predstaviti kao

∆f(x0, y0) = f(x0 + ∆x, y0 + ∆y)− f(x0, y0)

=n−1∑k=1

d(k)f(x0, y0)

k!+Rn−1(∆x,∆y),

gde je Rn−1(∆x,∆y) ostatak, koji je u Lagranzeovom obliku dat kao

Rn−1(∆x,∆y) =d(n)f(x0 + θ∆x, y0 + θ∆y)

n!,

za neko θ ∈ (0, 1).

Dokaz. Prema pretpostavci, funkcija f(x, y) je diferencijabilna u nekojokolini tacke (x0, y0). Neka su prirastaji nezavisno promenljivih ∆x i ∆yodabrani tako, da (x0 + t∆x, y0 + t∆y) pripada skupu na kome je f(x, y)neprekidno diferencijabilna, za svako t ∈ [0, 1]. Ako je t ∈ (0, 1), tacka(x0 + t∆x, y0 + t∆y) je na duzi izmedu tacaka (x0, y0) i (x0 + ∆x, y0 + ∆y).Posmatrajmo slozenu funkciju jedne promenljive

F (t) = f(x0 + t∆x, y0 + t∆y).

Funkcija F (t) je kompozicija neprekidno diferencijabilnih funkcija (do redan), i stoga sama funkcija F (t) je n puta neprekidno diferencijabilna. Vazi∆f(x0, y0) = F (1)−F (0). Za funkciju F (t) su ispunjeni uslovi Maklorenove6

teoreme, odakle sledi dobro poznati razvoj

F (1)− F (0) =n−1∑k=1

F (k)(0)

k!tk +Rn−1,

gde je Rn−1 = F (n)(θ)n! za neko θ ∈ (0, 1). Na osnovu osobina izvoda slozene

funkcije, sledi da vazi

F ′(t) =∂f(x0 + t∆x, y0 + t∆y)

∂x∆x+

∂f(x0 + t∆x, y0 + t∆y)

∂y∆y

= df(x0 + t∆x, y0 + t∆y).

6C. Maclaurin (1668-1746) skotski matematicar

2.5. EKSTREMNE VREDNOSTI I IMPLICITNE FUNKCIJE 51

Indukcijom po k lako se dokazuje da vazi

F (k)(t) = dkf(x0 + t∆x, y0 + t∆y).

Za t = 0 je F (k)(0) = dkf(x0, y0) i konacno

∆f(x0, y0) =n−1∑k=1

dkf(x0, y0)

k!+Rn−1.

Ocigledno je

Rn−1 =F (n)(θ)

n!=dnf(x0 + θ∆x, y0 + θ∆y)

n!= Rn−1(∆x,∆y).

Neka je ρ =√

(∆x)2 + (∆y)2. Moze se dokazati da pod uslovima 5.6Teoreme ostatak Rn−1(∆x,∆y) moze biti predstavljen u Peanovom7 obliku:

Rn−1(∆x,∆y) = O(ρn) kada ρ→ 0.

2.5 Ekstremne vrednosti i implicitne funkcije

Pretpostavimo da je funkcija f(x) definisana u otvorenom skupu GıRn ineka je x0 ∈ G. Tacka x0 je tacka lokalnog maksimuma (minimuma)funkcije f(x), ako za svako x u nekoj okolini tacke x0 vazi f(x) ≤ f(x0)(f(x) ≥ f(x0)). Ako se u prethodnoj definiciji zahtevaju stroge nejednako-sti, onda je tacka x0 tacka strogog lokalnog maksimuma (ili minimuma).Lokalni minimum ili maksimum funkcije naziva se lokalna ekstremna vred-nost funkcije. Izucavanje ekstremuma funkcija vise promenljivih je slicnoizucavanju ekstremuma funkcija jedne promenljive.

Teorema 2.5.1. Neka je funkcija f(x) definisana u nekoj okolini tacke x0

i neka u toj tacki funkcija f(x) ima lokalni ekstremum. Ako funkcija f(x)u tacki x0 ima parcijalne izvode, onda su oni jednaki nuli u toj tacki.

Dokaz. Definisemo funkciju ϕ(x1) = f(x1, x02, . . . , x

0n). Funkcija ϕ(x1) u

tacki x01 ima ekstremnu vrednost i diferencijabilna je u toj tacki. Naime,

ϕ′(x01) =

∂f(x0)

∂x1.

7J. G. Peano (1858-1932) italijanski matematicar


Na osnovu dobro poznatog razultata iz teorija funkcija jedne promenljive,sledi da je ϕ′(x0

1) = 0. Analogno tvrdenje vazi za proizvoljan parcijalanizvod.

Navodimo primer funkcije koja ima sve parcijalne izvode u nekoj tackijednake nuli, a ipak u toj tacki nema ekstremnu vrednost.

Primer 2.5.1. Jednograni paraboloid z = x2 − y2 u tacki x = y = 0 imaparacijalne izvode ∂z

∂x = ∂z∂y = 0, ali u tacki (0, 0) nema ekstremnu vrednost.

Neka je funkcija f(x) definisana u okolini tacke x0. Ako je ∂f(x0)∂xi

= 0 za

svako i = 1, . . . , n, onda je x0 stacionarna tacka funkcije f(x).

Teorema 2.5.2. Neka funkcija f(x) ima u tacki x0 ∈ Rn lokalni minimum.Ako su u tacki x0 neprekidni svi parcijalni izvodi prvog i drugog reda, tadaje

df(x0) = 0 i d2f(x0) =

n∑i=1

n∑j=1

∂2f(x0)

∂xi∂xjdxidxj ≥ 0.

Dokaz. Pokazimo tvrdenje za slucaj funkcije jedne promenljive. Neka je t0tacka lokalnog minimuma funkcije ϕ(t), koja u tacki t0 ima neprekidan prvii drugi izvod. Na osnovu Tejlorovog razvoja funkcije ϕ(t) u okolini tacke t0,vazi

0 ≤ ϕ(t)− ϕ(t0) = ϕ′(t0)(t− t0) +1

2ϕ′′(t0)(t− t0)2 + o((t− t0)2).

Poznato je da mora biti ϕ′(t0) = 0 (videti, na primer, 6.2 Teoremu; osimtoga, ova cinjenica je poznata i iz teorije funkcija jedne realne promenljive).Stoga sledi

0 ≤ ϕ′′(t0)

2+o((t− t0)2)

(t− t0)2.

Prelaskom na granicnu vrednost kada t → 0 sledi ϕ′′(t0) ≥ 0 i d2ϕ(t0) =ϕ′′(t0)dt2 ≥ 0.

Pretpostavimo sada da je tacka x0 ∈ Rn tacka lokalnog minimumafunkcije f(x). Posmatramo funkciju ϕ(t) = f(x0 + t∆x). Iz neprekidnostisvih parcijalnih izvoda prvog i drugog reda funkcije f(x) u tacki x0 sledineprekidnost prvog i drugog izvoda funkcije ϕ(t) u tacki 0. Takode, tacka 0je tacka lokalnog minimuma funkcije ϕ(t). Sledi

df(x0) =

n∑i=1

fxi(x0)dxi = 0.


Na osnovu prethodnog razmatranja sledi i ϕ′′(0) ≥ 0. Sa druge strane, vazi

ϕ′(0) =n∑i=1

fxi(x0)dxi(0)

dt=

n∑i=1

fxi(x0)dxi(0) = df(x0) = 0

i

0 ≤ ϕ′′(0) =n∑i=1

n∑j=1

fxixj (x0)dxidxj = d2f(x0).

Analogno tvrdenje se moze pokazati za lokalni maksimum.

Teorema 2.5.3. Neka je x0 tacka lokalnog maksimuma funkcije f(x) i nekasu svi prvi i drugi parcijalni izvodi neprekidne funkcije u tacki x0. Tada je

df(x0) = 0 i d2f(x0) ≤ 0.

Primer 2.5.2. Funkcija f(x, y) = x3 + y3 ima stacionarnu tacku (x, y) =(0, 0) i u toj tacki je d2f(0, 0) = 0. Ocigledno, funkcija f(x, y) nema ek-stremnu vrednost u tacki (0, 0).

Kvadratne forme su funkcije vise realnih promenljivih, koje su linearnepo svakoj promenljivoj posebno i koje ne menjaju vrednost ako promenljivezamene mesta. Takve funkcije nazivaju se simetricne bilinearne funkcije.Ako je x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn, onda je funkcija

Φ(x) =

n∑i=1

n∑j=1

aijxixj (aij = aji),

kvadratna forma po x1, . . . , xn.Ako f(x) ima neprekidne prve i druge parcijalne izvode u tacki x0 ∈ Rn,

onda je d2f(x0) kvaratna forma po promenljivim dx1,. . . ,dxn.Kvadratna forma Φ(x) jeste:(a) pozitivno definitna, ako je Φ(x) > 0 za svako x ∈ Rn;(b) negativno definitna, ako je Φ(x) < 0 za svako x ∈ Rn;(c) neodredena, ako postoje x, y ∈ Rn, tako da je Φ(x) > 0 i Φ(y) < 0.Sledece tvrdenje navodimo bez dokaza.

Teorema 2.5.4. (Kriterijum Silvestra8 o pozitivnoj (negativnoj) definit-nosti kvadratnih formi) Kvadratna forma

Φ(x) =

n∑i,j=1

aijxixj (2.10)

8J. J. Sylvester (1814–1897), engleski matematicar


je pozitivno definitna ako i samo ako vazi

∆1 = a11 > 0,∆2 =

∣∣∣∣a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ > 0, · · · ,∆n =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 · · · a1n

· · · · ·· · · · ·· · · · ·an1 · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣> 0.

Kvadratna forma (6.8.1) je negativno definitna, ako i samo ako je (−1)k∆k >0 za svako k = 1, . . . , n.

Pokazacemo da pozitivna ili negativna definitnost drugog diferencijalafunkcije f(x) u tacki x0 implicira egzistenciju lokalne ekstremne vrednostifunkcije f(x) u x0.

Teorema 2.5.5. Neka je funkcija f(x) definisana u nekoj okolini tacke x0 ∈Rn, neka su u toj tacki svi parcijalni izvodi prvog i drugog reda neprekidni ineka je df(x0) = 0.

(1) Ako je d2f(x0) pozitivno definitna kvadratna forma po dx1, . . . , dxn,tada je x0 tacka strogog lokalnog minimuma funkcije f(x).

(2) Ako je d2f(x0) negativno definitna kvadratna forma po dx1, . . . , dxn,tada je x0 tacka strogog lokalnog maksimuma funkcije f(x).

(3) Ako je d2f(x0)neodredena kvadratna forma po dx1, . . . , dxn, tada x0

nije lokalna ekstremna vrednost funkcije f(x).

Dokaz. Proizvoljna kvadratna forma

Φ(x) =

n∑i,j=1

aijxixj

je neprekidna funkcija. Jedinicna sfera K1(0) u Rn je zatvoren i ogranicenskup (kompakt). Stoga funkcija Φ(x) dostize svoj minimum i maksimumna K1(0). Specijalno, ako je Φ(x) pozitivno definitna, postoji neka tackax0 ∈ K1(0), tako da za svako x ∈ K1(0) vazi

0 < M = Φ(x0) ≤ Φ(x).

Na osnovu Tejlorove formule vazi

f(x0 + ∆x)− f(x0) = d2f(x0) + o(|∆x|2)

u nekoj okolini tacke x0. Ovde je ∆x = (∆x1, . . . ,∆xn) i

ρ(∆x, 0)2 = |∆x|2 = |∆x1|2 + · · ·+ |∆xn|2.


Neka je

d2f(x0) =n∑

i,j=1

fxixj (x0)∆xi∆xj

pozitivno definitna kvadratna forma. Tada je

f(x0 + ∆x)− f(x0)

|∆x|2=

n∑i=1

n∑j=1

fxixj (x0)

∆xi|∆x|

∆xj|∆x|

+o(|∆x|2)

|∆x|2.

Ocigledno je∆x

|∆x|=

(∆x1

|∆x|, . . . ,

∆xn|∆x|

)∈ K1(0).

Stoga postoji neki broj M > 0 (videti napomenu na pocetku dokaza) takoda vazi

f(x0 + ∆x)− f(x0)

|∆x|2≥M +

o(|∆x|2)

|∆x|2.

Na osnovu lim|∆x|→0

o(|∆x|2)|∆x|2 = 0 sledi da postoji neki broj δ > 0, tako da ako

je |∆x| < δ onda je M + o(|∆x|2|∆x|2 > 0. Za tako odabrano |∆x| mora vaziti

f(x0 + ∆x)− f(x0) > 0,

odnosno x0 je tacka strogog lokalnog minimuma funkcija f(x).Analogno, ako je d2f(x0) negativno definitna kvadratna forma, onda je

x0 tacka strogog lokalnog maksimuma funkcije f(x).Neka je d2f(x0) neodredena kvadratna forma. Ako bi tacka x0 bila tacka

lokalnog minimuma, onda bi moralo vaziti d2f(x0) ≥ 0, sto nije tacno. Akoje x0 tacka lokalnog maksimuma, mora vaziti d2f(x0) ≤ 0, sto nije tacno.Prema tome, x0 nije lokalna ekstremna vrednost funkcije f(x).

Primer 2.5.3. Ispitati egzistenciju lokalnih ekstremnih vrednosti funkcijef(x, y, z) = x2 + 2xy + 4xz + 8yz + 5y2 + 9z2.

Resenje. Potrebno je odrediti skup svih stacionarnih tacaka funkcije f(x, y, z),koji obuhvata sve potencijalne lokalne ekstremne vrednosti. Stacionarnetacke jesu resenja sistema jednacina:

fx = 2x+ 2y + 4z = 0, fy = 2x+ 10y + 8z = 0, fz = 4x+ 8y + 18z = 0.

Ocigledno je x = y = z = 0 jedino resenje ovog sistema jednacina. Sada je

d2f(0, 0, 0) = 2dx2 + 4dxdy + 8dxdz + 16dydz + 10dy2 + 18dz2.


Odavde sledi

∆1 = 2 > 0, ∆2 =

∣∣∣∣2 22 10

∣∣∣∣ > 0, ∆3 =

∣∣∣∣∣∣2 2 42 10 84 8 18

∣∣∣∣∣∣ > 0,

te je kvadratna forma d2f(0, 0, 0) pozitivno definitna. Konacno, tacka (0, 0, 0)je tacka strogog lokalnog minimuma funkcije f(x, y, z).

Za funkciju dve promenljive moguce je formulisati sledeci kriterijum zaegzistenciju ekstremne vrednosti, koji je neposredna posledica 6.9 Teoremeu slucaju n = 2.

Teorema 2.5.6. Neka je funkcija f(x, y) definisana u nekoj okolini sta-cionarne tacke (x0, y0). Neka su svi drugi parcijalni izvodi funkcije f(x, y)neprekidni u tacki (x0, y0).

(1) Ako je fxx(x0, y0)fyy(x0, y0)−fxy(x0, y0)2 > 0, onda funkcija f(x, y)u tacki (x0, y0) ima lokalnu ekstremnu vrednost. Pri tome, ako je fxx(x0, y0) <0, onda f(x, y) ima lokalni maksimum; ako je fxx(x0, y0) > 0, onda f(x, y)ima lokalni minimum u tacki (x0, y0).

(2) Ako je fxx(x0, y0)fyy(x0, y0)−fxy(x0, y0)2 < 0, onda funkcija f(x, y)nema lokalnu ekstremnu vrednost u tacki (x0, y0).

(3) Ako je fxx(x0, y0)fyy(x0, y0)−fxy(x0, y0)2 = 0, onda funkcija f(x, y)moze, ali ne mora imati lokalnu ekstremnu vrednost u tacki (x0, y0).

Funkcija y = f(x) je data nekim ”pravilom“, odnosno, ako je poznatox ∈ Rn, onda se moze izracunati y. Za funkcije date u ovom obliku kaze seda su eksplicitno zadate. Puno je primera funkcija koje nisu date u ovomobliku. Na primer, neka je y funkcija od x i ispunjava uslov x2 + y2 = 1.Tada se kaze da je y implicitno zadata funkcija promenljive x.

Definicija 2.5.1. Neka je data funkcija F (x, y), koja je definisana na nekomskupu GıR2. Neka je E projekcija skupa G na x-osu. Drugim recima, zasvako x ∈ E postoji neko y ∈ R, tako da je (x, y) ∈ G. Posmatrajmojednacinu

F (x, y) = 0, (x, y) ∈ G. (2.11)

Jednacinom (6.13.1) je implicitno zadata funkcija y = f(x), f : E → R, akoza svako x ∈ E vazi (x, f(x)) ∈ G i F (x, f(x)) = 0.

Sledeca teorema resava problem pod kakvim uslovima za funkciju Fjednacina (6.13.1) odreduje funkciju y = f(x).


Teorema 2.5.7. Pretpostavimo da vazi:

(1) Funkcija F (x, y) ima u nekoj okolini tacke (x0, y0) neprekidne parci-jalne izvode Fx(x, y) i Fy(x, y);

(2) F (x0, y0) = 0;

(3) Fy(x0, y0) 6= 0.

Tada postoji pravougaonik

Π = (x, y) : |x− x0| < a, |y − y0| < b,

u kojem jednacina F (x, y) = 0 definise implicitnu funkciju y = f(x). Funkcijay = f(x) je neprekidno diferencijabilna na intervalu (x0 − a, x0 + a) i vazi

f ′(x) = −Fx(x, f(x))

Fy(x, f(x)).

Dokaz teoreme je komplikovan i prevazilazi okvire ove knjige. Citalac seupucuje na literaturu navedenu na kraju.

Slicno tvrdenje vazi za sisteme funkcija, odnosno zahteva se y ∈ Rn.Potrebno je uvesti pojam Jakobijeve matrice i Jakobijana.

Definicija 2.5.2. (Jakobijeva9 matrica i Jakobijan) Neka je dat sistemfunkcija

yi = yi(x1, . . . , xn), i = 1, . . . ,m,

tako da postoje svi parcijalni izvodi ∂yi∂xj

. Matrica

∂y1∂x1

∂y1∂x2

· · · ∂y1∂xn

∂y2∂x1

∂y2∂x2

· · · ∂y2∂xn

· · · · · · · ·· · · · · · · ·· · · · · · · ·

∂ym∂x1

∂ym∂x2

· · · ∂ym∂xn

jeste Jakobijeva matrica. U slucaju kada jem = n, determinanta ove matricejeste Jakobijan, u oznaci

∂(y1, . . . , yn)

∂(x1, . . . , xn)ili

D(y1, . . . , yn)

D(x1, . . . , xn).

Sada formulisemo tvrdenje analogno Teoremi 2.5.7 za sisteme funkcija.

9K. G. J. Jacobi (1804–1854), nemacki matematicar


Teorema 2.5.8. Neka su funkcije Fi(x1, . . . , xn, y1, . . . , yn) neprekidno difer-encijabilne u okolini tacke (x0, y0) = (x0

1, . . . , x0n, y

01, . . . , y

0n) ∈ R2n i Fi(x

0, y0) =0 za svako i = 1, . . . , n. Ako je Jakobijan

D(F1, . . . , Fn)

D(y1, . . . , yn)

razlicit od nule u tacki (x0, y0), onda postoje okoline O(x0) i O(y0), postojefunkcije f1(x), . . . , fn(x) koje su definisane u okolini O(x0) i neprekidnodiferencijabilne u x0, tako da ako je yk = fk(x1, . . . , xn), onda je y =(y1, . . . , yn) ∈ O(y0) i vazi

Fi(x, y) = 0 za svako x ∈ O(x0) i y0 = (f1(x0), . . . , fn(x0)).

Ranije je pojam ekstremne vrednosti bio vezan za tacku i neku okolinute tacke. Kao i mnogo puta do sada, okolina moze biti smanjena, odnosnoumesto proizvoljne okoline posmatra se neki manji skup. Na primer, ranijeje definisana granicna vrednost funkcije i izvod funkcije u smeru. U slucajukada se traze ekstremne vrednosti pod izvesnim uslovima, tada se ti uslovinajcesce izrazavaju kao resenja izvesnog sistema jednacina.

Neka su na nekom otvorenom skupuGıRn date funkcije f(x), f1(x), . . . , fm(x),pri cemu je m < n. Neka je skup E definisan na sledeci nacin:

E = x ∈ G : f1(x) = 0, . . . , fm(x) = 0.

Tacka x0 ∈ E je tacka uslovnog minimuma (maksimuma) funkcije f(x) naskupu E, ako postoji neka okolina O(x0) tako da za svako x ∈ O(x0) ∩E vazi f(x) ≥ f(x0) (ili f(x) ≤ f(x0)). Ako se u prethodnoj definicijizahteva stroga nejednakost, onda je x0 tacka strogog uslovnog minimuma(maksimuma) funkcije f(x).

Ako je sistem jednacina, koji odreduje uslov f1(x) = 0, · · · , fm(x) = 0moguce eksplicitno resiti u skupu G, odnosno moguce je n−m promenljivihizraziti preko svih ostalih m promenljivih, onda sve to treba zameniti u izrazza f(x) i traziti obicnu ekstremnu vrednost funkcije f(x) na skupu G.

Primer 2.5.4. Naci tacku uslovnog ekstremuma funkcije z = 1 − x2 − y2,pod uslovom x+ y = 1.

Resenje. Iz uslova x + y = 1 sledi y = 1 − x. Stroga treba traziti obicnuekstremnu vrednost funkcije z = 1−x2−(1−x)2, sto je, naravno, maksimumza x = 1/2. Prema tome, tacka uslovnog maksimuma jeste (1/2, 1/2), pricemu je z(1/2, 1/2) = 1/2.


U opstem slucaju postupak iz prethodnog primera nije primenljiv. Raz-motrimo funkciju n+m promenljivih

L(x, λ) = f(x) + λ1f1(x) + · · ·+ λmfm(x),

pri cemu je λ = (λ1, . . . , λm) i x ∈ G, gde je GıRn otvoren skup na komesu funkcije f(x), f1(x), . . . , fm(x) definisane. Brojevi λ1, . . . , λm nazivaju semnozioci Lagranza, a funkcija L(x, λ) jeste funkcija Lagranza.

Tacka (x0, λ0) je stacionarna tacka funkcije Lagranza, ako je

Lxi(x0, λ0) = Lλj (x

0, λ0) = 0 za svako i = 1, . . . , n i j = 1, . . . ,m.

Postupak za nalazenje uslovnih ekstremnih vrednosti sadrzan je u sledecojteoremi.

Teorema 2.5.9. Neka sve funkcije fi(x) imaju neprekidne parcijalne izvodeprvog i drugog reda u nekoj okolini tacke x0 ∈ Rn, neka je rang Jakobijevematrice

∂f1(x0)∂x1

· · · ∂f1(x0)∂xn

· · · · ·· · · · ·· · · · ·

∂fm(x0)∂x1

· · · ∂fm(x0)∂xn

jednak m i neka je (x0, λ0) stacionarna tacka funkcije Lagranza L(x, λ).Neka je

ET = z = (z1, . . . , zn) ∈ Rn :

n∑k=1

∂fi(x0)

∂xkzk = 0, i = 1, . . . ,m.

(1) Ako je d2xxL(x0, λ0) pozitivno definitna kvadratna forma pri dx =

(dx1, . . . , dxn) ∈ ET , onda je tacka x0 tacka uslovnog strogog minimumafunkcije f(x) pri uslovu

f1(x) = 0, . . . , fm(x) = 0. (2.12)

(2) Ako je d2xxL(x0, λ0) negativno definitna kvadratna forma pri dx ∈

ET , onda je x0 tacka uslovnog strogog maksimuma funkcije f(x) pri uslovu(2.12).

(3) Ako je d2xx(x0) neodredena kvadratna forma pri dx ∈ ET , onda x0

nije tacka uslovnog ekstremuma funkcije f(x) pri uslovu (2.12).


Dokaz ovog tvrdenja moze se naci u literaturi navedenoj na kraju.

Primer 2.5.5. Naci ekstremne vrednosti funkcije u = x− 2y + 2z na sferix2 + y2 + z2 = 1.

Resenje. Funkcija Lagranza u ovom slucaju je

L(x, y, z, λ) = x− 2y + 2z + λ(x2 + y2 + z2 − 1).

Stacionarne tacke funkcije Lagranza jesu resenja sistema jednacina

Lx = 1 + 2λx = 0, Ly = −2 + 2λy = 0, Lz = 2 + 2λz = 0,

Lλ = x2 + y2 + z2 − 1 = 0.

Eliminacijom promenljivih x, y i z dolazi se do jednacine

1

(2λ)2+

2

λ2− 1 = 0,

odakle sledi λ1 = 3/2, λ2 = −3/2. Znaci, funkcija Lagranza ima dve sta-cionarne tacke

M =

(−1

3,2

3,−2

3,3

2

)i N =

(1

3,−2

3,2

3,−3

2

).

Sada je d2L(M) = 3(dx2 + dy2 + dz2) > 0 i d2L(N) = −3(dx2 + dy2 +dz2) < 0 pod uslovom dx2 + dy2 + dz2 > 0. Znaci, M je tacka uslovnogstrogog minimuma i u(M) = −3, a N je tacka uslovnog strogog maksimumai u(N) = 3.

Neka je GıRn proizvoljan skup i neka su na skupu G definisane realnefunkcije f1(x), . . . , fm(x). Tada je y = f(x) = (f1(x), . . . , fm(x)) ∈ Rm. Say = f(x) je zadato preslikavanje iz skupa GıRn u Rm. Preslikavanje y =f(x) se naziva vektorska funkcija (y) vektorske promeljive (x). Preslikavanjey = f(x) je neprekidno na skupu G, ako i samo ako su sva koordinatnapreslikavanja f1(x), . . . , fm(x) neprekidna na skupu G. Ako je y = f(x)neprekidno preslikavanje na otvorenom skupu G, a U otvoren skup u Rm,tada je skup

x ∈ G : f(x) ∈ U

otvoren skup u Rn (ovo je osobina svih neprekidnih preslikavanja).Preslikavanje y = f(x) je neprekidno diferencijabilno na otvorenom

skupu G, ako i samo ako su sva koordinatna preslikavanja f1(x), . . . , fm(x)neprekidno diferencijabilne funkcije na skupu G. U ovom slucaju Jakobijevamatrica jeste izvod preslikavanja.


Ako je m = n, od posebnog su interesa neprekidno diferencijabilna pres-likavanja kod kojih je Jakobijan D(f1,...,fn)

D(x1,...,xn) razlicit od nule na otvorenomskupu G. Takva preslikavanja nazivaju se regularna.

Karakterizacija regularnih preslikavanja data je sledecom teoremom.

Teorema 2.5.10. Neka je y = f(x) = (f1(x), . . . , fn(x)) regularno pres-likavanje na otvorenom skupu GıRn. Tada je ovo preslikavanje u svakojtacki x0 ∈ G lokalno invertibilno. Drugim recima, postoji neka okolinaO(x0)ıG i postoji okolina O(y0), gde je y0 = f(x0), tako da je preslikavanjef : O(x0) → O(y0) bijekcija, a inverzno preslikavanje x = f−1(y), gde jef−1 : O(y0)→ O(x0) je takode regularno.

Ako je f : G→ Rn regularno preslikavanje, gde je G otvoren skup u Rn,a U otvoren podskup od G, tada je skup

y = f(x) : x ∈ U

otvoren skup u Rn. Znaci, regularna preslikavanja slikaju otvorene skupovena otvorene skupove. Poslednjom napomenom okarakterisana je cinjenicada je f−1 neprekidno preslikavanje.


Glava 3

Integracija

3.1 Zordanova mera u Rn

U definiciji Rimanovog1 integrala funkcije jedne realne promenljive na seg-mentu sustinski je iskoriscen pojam duzine (mere) intervala. U skupu R2

pojmu mere odgovara pojam povrsine, a u skupu R3 pojmu mere odgovarapojam zapremine nekog skupa. Postoji vise razlicitih mera na prostoru Rn,a izucavacemo samo Zordanovu2.

Neka je a, b ∈ R, a < b. Duzina intervala I = (a, b) (ili bilo kog intervala[a, b), (a, b], [a, b]) jeste b−a. Dakle, jednodimenzionalna mera intervala I jem1(I) = b−a. Nebitno je da li krajnje tacke tacke a i b intervala I pripadajutom intervalu, ili ne. Time se prihvata cinjenica da je duzina tacke jednakanuli (tj. mera jednoelemetnog skupa jednaka je nuli).

3.1.1 Mera pravougaonika u R2

Neka su a, b, c, d ∈ R, tako da vazi a < b i c < d. Tada je ovim brojevimaodreden pravougaonik P u R2 sa koordinatama temena: A = (a, c), B =(b, c), C = (b, d) i D = (a, d) (Slika 3). Pravougaonik P izrazen Dekartovim3

proizvodom jeste P = (a, b) × (c, d). Mera ovog pravougaonika (povrsina,preciznije dvodimenzionalna mera) izracunava se na sledeci nacin

m2(P ) = (b− a)(d− c).

1Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866), nemacki matematicar2Marie Ennemond Camille Jordan (1838-1922), francuski matematicar3Rene Descartes (latinski: Renatus Cartesius; 1596-1650), francuski matematicar i

filozof

63

64 GLAVA 3. INTEGRACIJA

Broj 2 u simbolu m2 oznacava dimenzuju prostora, odnosno naglasava dase radi o prostoru R2. Nije vazno da li rubne stranice tog pravougaonikapripadaju pravougaoniku, ili ne. Ovim se usvaja cinjenica da je dvodi-menzionalna mera duzi jednaka nuli. Specijalno, dvodimenzionalna meratacke jednaka je nuli. Dakle, ako je P1 = [a, b] × [c, d], onda je m2(P1) =(b− a)(d− c). Takode, ako je a = b i P2 = a × [c, d], onda je m2(P2) = 0.

Slika 3.

Neka su sada P1, . . . , Pn pravougaonici u R2, sa svojstvom da je Pi ∩ Pj(i 6= j) ili prazan skup, ili neki deo rubova ovih pravougaonika. Drugimrecima, Pi i Pj nemaju zajednickih unutrasnjih tacaka. Prirodno je sadadefinisati meru unije ovih pravougaonika kao zbir njihovih mera, odnosno

m2

(n⋃i=1

Pi

)=

n∑i=1

m2(Pi).

Skupovi oblika E =n⋃i=1

Pi jesu elementarni skupovi (podrazumeva se da

razliciti skupovi Pi i Pj nemaju zajednickih unutrasnjih tacaka).

Ako su P , Q pravougaonici koji imaju zajednickih unutrasnjih tacaka,tada je jednostavno proveriti da se skup P ∪ Q moze prikazati kao unijakonacno mnogo pravougaonika koji uzajamno nemaju zajednickih unutras-njih tacaka.

3.1. ZORDANOVA MERA U RN 65

Analogno, ako su A i B dva elementarna skupa, tada je

A ∪B = P1 ∪ · · · ∪ Pk,

pri cemu su P1, . . . Pk pravougaonici koji u parovima nemaju zajednickihunutrasnjih tacaka (Slika 4). Sledi da je A ∪ B elementaran skup. Slicno,A ∩B i A \B takode jesu elementarni skupovi.

Slika 4.

Ako su A, B uzajamno disjunktni elementarni skupovi, onda je

m2(A ∪B) = m2(A) ∪m2(B).

Ako su A i B elementarni skupovi i A ⊂ B, onda na osnovu disjunktneunije B = A ∪ (B \ A) sledi da je m2(B) = m2(A) + m2(B \ A). Dakle,m2(A) ≤ m2(B).

3.1.2 Mera n-intervala u Rn

Analogna je situacija u prostoru Rn. Neka je a1, . . . , an ∈ R i b1, . . . , bn ∈ Rn,tako da je ai < bi za svako i = 1, . . . , n. Skup

I =n∏i=1

(ai, bi) = (b1 − a1)× · · · × (bn − an)


je n-interval u Rn. Ako je n = 2, onda je I pravougaonik. Ako je n =3, onda je I kvadar. Primetimo da su stranice n-intervala uvek paralelnekoordinatnim osama. n-dimenzionalna mera n-intervala I odredena je sa

mn(I) =n∏i=1

(bi − ai) = (b1 − a1) · . . . · (bn − an).

Nije vazno da li delovi hiper-ravni koje ogranicavaju pravougaonik, pri-padaju samom pravougaoniku, ili ne: velicina mn(I) se ne menja. Ako je Jneki (n − 1)-interval koji ogranicava n-interval I, (dakle, J pripada hiper-ravni dimenzije n − 1), tada je mn(J) = 0. Specijalno, n-dimenzionalnamera jednoelementnog skupa jednaka je 0.

Primetimo da ako je J bilo koji (n− 1)-interval, onda J moze biti pos-matran kao degenerisani n-interval, odnosno aj = bj za neko j.

Ako su I1, . . . , Ik n-intervali, koji nemaju zajednickih unutrasnjih tacaka,onda je

E =

k⋃j=1

Ij

elementaran skup u Rn. Mera ovog elementarnog skupa E odredena je sa

mn(E) =n∑j=1

mn(Ij).

Ako su E, F elementarni skupovi, tada su E ∪ F , E ∩ F i E \ F takodeelementarni skupovi. Naime, svaki od ovih skupova moze biti prikazan kaounija n-intervala, koji medusobno nemaju zajednickih unutrasnjih tacaka.

Ako su E,F elementarni skupovi i E ∩ F = ∅, jednostavno je proveritida vazi mn(E ∪ F ) = mn(E) ∪ mn(F ). Ova osobina se naziva konacnaaditivnost mere mn na familiji elementarnih skupova.

Ako su A,B elementarni skupovi i A ⊂ B, na osnovu disjunktne unijeB = A∪ (B \A) sledi mn(B) = mn(A) +mn(B \A) ≥ mn(A). Ova osobinase naziva monotonost mere na familiji elementarnih skupova.

3.1.3 Unutrasnja i spoljna mera

Potrebno je meru definisanu u prethodnoj sekciji, prosiriti na opstiju fa-miliju podskupva od Rn. Neka je skup G ⊂ R2 ogranicen. Tada postojeelementarni skupovi koji su sadrzani u G, i postoje elementarni skupovi koji

3.1. ZORDANOVA MERA U RN 67

sadrze G. Eventualno, elementarni skupovi koji su sadrzani u G, mogu bitidegenerisani n-intervali, ili jednoelementni skupovi. Neka je

min(G) = supm(A) : A ⊂ G i A je elementaran skup

men(G) = infm(B) : G ⊂ B i B je elementaran skup.

Obzirom da je G ogranicen skup, sledi da su min(G) i me

n(G) realni nenega-tivni brojevi.

Broj min(G) jeste unutrasnja mera, a broj me

n(G) jeste spoljna meraskupa G. Ocigledno, uvek vazi mi

n(G) ≤ men(G).

Definicija 3.1.1. Ogranicen skup G ⊂ Rn je merljiv u Zordanovom smisluako i samo ako je mi

n(G) = men(G). U tom slucaju broj mn(G) (= mi

n(G) =men(G)) jeste (n-dimenzionalna) Zordanova mera skupa G.

Koristicemo samo Zordanovu meru, te ubuduce umesto ”Zordanova mera“koritstimo termin ”mera“.

Za svaki merljiv skup G vazi 0 ≤ mn(G) < ∞. Dokazujemo nekolikoosnovnih tvrdenja o merljivim skupovima i meri.

Teorema 3.1.1. Neka su A i B merljivi skupovi. Tada vazi:(1) Ako je A ⊂ B, onda je mn(A) ≤ mn(B) (monotonost mere);(2) Ako je A ⊂ Rn otvoren skup, tada je mn(A) > 0;(3) mn(A) = 0 ako i samo ako za svako ε > 0 postoji elementaran skup

F , tako da je A ⊂ F i mn(F ) < ε (karakterizacija skupa mere nula);(4) Unija dva skupa mere nula jeste skup mere nula;(5) Ogranicen skup H ⊂ Rn je merljiv ako i samo ako je mn(∂H) = 0;(6) Skupovi A ∪B, A ∩B i A \B su merljivi;(7) Ako je A ∩ B ⊂ ∂A ∩ ∂B, onda je mn(A ∪ B) = mn(A) + mn(B)

(konacna aditivnost mere);(8) Ako je A ⊂ B, tada je mn(B \A) = mn(B)−mn(A).

Dokaz. Sve navedene osobine ocigledno vaze za n-intervale i elementarneskupove. Dokazujemo ove osobine za proizvoljne merljive skupove.

(1) Sledi na osnovu skupovne inkluzije elementarnih figura skupova upi-sanih u A, a samim tim i u B.

(2) Ako je A otvoren i merljiv, onda za svako x ∈ A postoji neki otvorenn-interval I, tako da je x ∈ I ⊂ A, te je mn(A) > 0.

(3) Sledi iz osobine infimuma i definicije spoljne mere.(4) Sledi na osnovu svojstva (3).(5) Neka je F proizvoljan otvoren elementaran skup, sadrzan u H i neka

je G proizvoljan zatvoren elementaran skup koji sadrzi H.


Ocigledno vazi ∂H ⊂ G\F , odnosnoG\F je elementaran skup koji sadrzi∂H. Sa druge strane, ako je K proizvoljan elementaran skup koji sadrzi ∂H,onda postoje elementarni skupovi F i G, koji zadovoljavaju F ⊂ H ⊂ G iG \ F = K.

Pretpostavimo da je H merljiv skup i neka je ε > 0 proizvoljno. Postojielementaran skup F ⊂ H tako da je m(H) ≥ m(F ) > m(H)− ε/2. Takodepostoji elementaran skup G ⊃ H, tako da vazi mn(H) ≤ mn(G) < mn(H)+ε/2. Prema tome, me

n(∂H) ≤ mn(G)−mn(F ) < ε. Na osnovu svojstva (3)sledi da je ∂H merljiv i njegova mera je jednaka nuli.

Sada pretpostavimo da je mn(∂H) = 0. Za ε > 0 postoje elementarniskupovi F i G da vazi F ⊂ H ⊂ G, ∂H ⊂ G \ F i mn(G) − mn(F ) < ε.Tada je, na osnovu me

n(H) ≤ mn(G) i min(H) ≥ m(F ), ispunjeno me

n(H)−min(H) < ε. Kako je ε > 0 proizvoljno, sledi da je H merljiv skup.

(6) Sledi na osnovu svojstava (4), (5), kao i jednostavnih skupovnihinkluzija ∂(A∪B) ⊂ ∂A∪ ∂B, ∂(A∩B) ⊂ ∂A∪ ∂B i ∂(A \B) ⊂ ∂A∪ ∂B.

(7) Sledi na osnovu svojstava (5) i (6).(8) Sledi na osnovu (7).

Navodimo primer ogranicenog skupa koji nije merljiv.

Primer 3.1.1. Neka je Q1 skup svih tacaka skupa [0, 1] × [0, 1], cije sukoordinate racionalni brojevi. Skup Q1 ne sadrzi ni jedan netrivijalan 2-interval, vec sadrzi samo degenerisane intervale koji se svode na jednoele-mentne skupove. Stoga je mi

2(Q1) = 0. Skup Q1 je gust u [0, 1] × [0, 1].Stoga ne postoji manja elementarna figura od [0, 1] × [0, 1] koja sadrzi Q1.Stoga je me

2(Q1) = 1. Dakle, skup Q1 nije merljiv.

3.2 Rimanov integral

3.2.1 Rimanova suma

Neka je ‖ · ‖ Euklidova norma u prostoru Rn, odnosno za x = (x1, . . . , xn) ∈

Rn vazi ‖x‖ =

(n∑i=1|xi|2

)1/2

. Ako je i y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn, onda je

d(x, y) = ‖x− y‖ =

(n∑i=1

(xi − yi)2

)1/2

Euklidovo rastojanje izmedu tacaka x i y.Neka jeGmerljiv (prema tome i ogranicen) skup u Rn. Neka suG1, . . . , Gk

merljivi i uzajamno disjunktni skupovi, za koje vazi G =k⋃i=1

Gi. Tada

3.2. RIMANOV INTEGRAL 69

se familija skupova P = G1, . . . , Gk naziva razbijanje (podela, particija)skupa G. Neka je diam(Gi) dijametar skupa Gi, odnosno

diam(Gi) = supd(u, v) : u, v ∈ Gi, i = 1, . . . , k.

Najveci od tih dijametara naziva se dijametar razbijanja P skupa G, odnosnod(P) = maxdiam(G1), . . . ,diam(Gk).

Jednostavno je uociti da za svaki merljiv skup G postoji neko razbijanjeP.

Neka su P = G1, . . . , Gk i P ′ = E1, . . . , El dva razbijanja merljivogskupa G ⊂ Rn. Razbijanje P ′ je finije od razbijanja P, u oznaci P ′ P,ako za svako Ej ∈ P ′ postoji Gs ∈ P, tako da je Ej ⊂ Gs.

Ako su P = G1, . . . , Gk i P ′ = E1, . . . , El dva razbijanja merljivogskupa G, tada postoji razbijanje P ∩P ′, koje je finije i od P i od P ′. Razbi-janje P ∩ P ′ je definisano kao

P ∩ P ′ = Gs ∩ Ej : s = 1, . . . , k; j = 1, . . . , l.

Ako je P proizvoljno razbijanje merljivog skupa G ⊂ Rn, uvek postojifinije razbijanje P ′ istog skupa G. Ako je, recimo, P = G1, . . . , Gk, ondase moze posmatrati razbijanje Pj = Gj1, . . . , G

jk svakog skupa Gj , te je

P ′ = Giji,j razbijanje skupa G, sa osobinom P ′ P.Neka su G,E merljivi i uzajamno disjunktni skupovi u Rn. Ako je P =

G1, . . . , Gk razbijanje skupa G, i ako je P ′ = E1, . . . , El razbijanje skupaE, tada je

P ∪ P ′ = G1, . . . , Gk, E1, . . . , El

razbijanje merljivog skupa G ∪ E.Neka je sada G merljiv skup u Rn, i neka je P = G1, . . . , Gk razbijanje

skupa G. Neka je f : G → R realna funkcija, i neka je ξi ∈ Gi proizvoljnatacka za svako i = 1, 2, . . . , k. Koristimo oznaku ξ = (ξ1, . . . , ξk). Suma

σ(f,G,P, ξ) =k∑i=1

f(ξi) ·mn(Gi) (3.1)

je Rimanova integralna suma funkcije f na skupu G, koja odgovara podeliP i izboru tacaka ξ = (ξ1, . . . , ξk).

Cinjenica da se svaka podela P merljivog skupa G moze uciniti finijom,omogucava uvodenje sledece definicije.

Definicija 3.2.1. (Rimanov integral funkcije na skupu) Neka je G merljivskup u Rn, i neka je f : G→ R funkcija. Realan broj I je Rimanov integral


funkcije f na skupu G, u oznaci∫G

f , ako za svako ε > 0 postoji δε > 0,

tako da za svako razbijanje P = G1, . . . , Gk skupa G, koje ima svojstvod(P) < δ, i za svaki izbor tacaka ξ1 ∈ G1, . . . , ξk ∈ Gk vazi

|I − σ(f,G,P, ξ)| < ε.

Ako postoji integral∫G

f , onda je funkcija f integrabilna na skupu G (u

Rimanovom smislu).

Razmatracemo samo Rimanov integral funkcija, te koristimo termin ”in-tegral“ umesto ”Rimanov integral“.

Skup svih realnih funkcija, koje su integrabilne na merljivom skupu G ⊂Rn, oznacen je sa R(G).

Formulisemo ocigledan ekvivalenat uslova integrabilnosti funkcije na mer-ljivom skupu.

Teorema 3.2.1. Neka je G merljiv skup u Rn i neka je f : G→ R funkcija.Rimanov integral I funkcije f na skupu G je granicna vrednost

I =

∫G

f = limd(T )→0

σ(f,G,P, ξ),

ukoliko ova granicna vrednost postoji nezavisno od razbijanja P skupa G inezavisno od izbora tacaka ξ.

3.2.2 Darbuove sume

Neka je G merljiv skup u Rn, i neka je P = G1, . . . , Gk razbijanje skupaG. Neka je f : G→ R ogranicena funkcija.

Posmatramo infimum i supremum funkcije f na svakom skupu Gi:

mi = infx∈Gi

f(x) i Mi = supx∈Gi

f(x),

za svako i = 1, 2, . . . , k. Funkcija f je ogranicena, te je mi,Mi ∈ R i mi ≤Mi

za svako i.Donja i gornja Darbuova4 suma definisane su, redom:

s(f,G,P) =k∑i=1

mi ·mn(Gi) i S(f,G,P) =k∑i=1

Mi ·mn(Gi).

4Jean-Gaston Darboux (1842–1917), francuski matematicar


Neka je σ(f,G,P, ξ) jedna Rimanova suma funkcije f na skupu G u odnosuna istu podelu P. Tada ocigledno vaze nejednakosti:

s(f,G,P) ≤ σ(f,G,P, ξ) ≤ S(f,G,P). (3.2)

Neka je P ′ = G′1, . . . , G′l razbijanje skupa G sa svojstvom da za svakoj ∈ 1, . . . , l postoji neko i ∈ 1, . . . , k tako da je G′j ⊂ Gi, odnosno nekaje podela P ′ finija od podele P. Na osnovu G′j ⊂ Gi sledi da vazi

mi ≤ m′j ≤M ′j ≤Mi.

Neka je, jednostavnosti radi, Gi = G′1 ∪ · · · ∪G′s, s ≤ l. Tada je

s(f,Gi,P ′) =s∑t=1

m′t ·mn(G′t),

s(f,G,P ′) =l∑

t=1

m′t ·mn(G′t) =k∑i=1

s(f,Gi,P ′).

Na osnovu G′t ⊂ Gi za svako t ∈ 1, . . . , s, sledi da je m′t ≥ mi za svakot ∈ 1, . . . , s. Stoga je

s(f,Gi,P ′) =

s∑t=1

m′t ·mn(G′t) ≥ mi

s∑t=1

mn(G′t) = mi ·mn(Gi).

Sledi

s(f,G,P ′) =k∑i=1

s(f,Gi,P ′) ≥k∑i=1

mi ·mn(Gi) = s(f,G,P).

Za gornje Darubove sume, pod uslovom P ′ P, moze se analognopokazati suprotna nejednakost:

S(f,G,P ′) ≤ S(f,G,P).

Dakle, dokazali smo sledeci rezultat.

Teorema 3.2.2. Neka je G merljiv podskup od Rn, neka je f : G → Rogranicena funkcija, i neka su P i P ′ dva razbijanja skupa G, tako da jeP ′ P. Tada za svaki izbor tacaka ξ (svaka tacka ξi pripada odgovarajucimelementu Gi razbijanja P ′)vazi:

s(f,G,P) ≤ s(f,G,P ′) ≤ σ(f,G,P, ξ) ≤ S(f,G,P ′) ≤ S(f,G,P). (3.3)


Definicija 3.2.2. Broj If = supPs(f,G,P), pri cemu je supremum uzet po

svim razbijanjima P skupa G, naziva se donji integral funkcije f na skupuG.

Broj If = infPS(f,G,P), pri cemu je infimum uzet po svim razbijanjima

skupa P, naziva se gornji integral funkcije f na skupu G.

Na osnovu nejednakosti (3.3), sledi da vazi

If ≤ If .

Dokazacemo osnovnu teoremu, kojom su odredeni ekvivalentni usloviintegrabilnosti funkcije na nekom merljivom skupu.

Teorema 3.2.3. Neka je funkcija f ogranicena na merljivom skupu G ⊂ Rn.Tada su sledeca tvrdenja ekvivalentna:

(1) If = If ;(2) Za svako ε > 0 postoji razbijanje P skupa G, tako da vazi S(f,G,P)−

s(f,G,P) < ε;(3) Za svako ε > 0 postoji δ > 0, tako da za svako razbijanje P skupa G

sa svojstvom d(P) < δ, vazi S(f,G,P)− s(f,G,P) < ε;(4) Postoji integral

∫G

f = I.

Ako vazi bilo koje od prethodnih tvrdenja, onda je I = If = If .

Dokaz. (1) =⇒ (2): Neka je ε > 0. Donji integral If je supremum donjihDarbuovih suma. Stoga za ε > 0 postoji neka podela P1, tako da za odgo-varajucu donju Darbuovu sumu vazi s(f,G,P1) > If − ε

2 . Gornji integral If

je infimum gornjih Darbuovih suma. Prema tome, za polazno ε > 0 postojipodela P2 sa svojstvom S(f,G,P2) < If + ε

2 . Postoji podela P, koja jefinija od podela P1 i P2 (na primer, P = P1 ∩ P2). Tada je

If −ε

2< s(f,G,P1) ≤ s(f,G,P) ≤ If ≤ If ≤ S(f,G,P) ≤ S(f,G,P2)

< If +ε

2.

Na osnovu pretpostavke If = If , sledi da vazi S(f,G,P)− s(f,G,P) < ε.(2) =⇒ (1): Tvrdenje sledi na osnovu ociglednih nejednakosti s(f,G,P) ≤

If ≤ If ≤ S(f,G,P).(3) =⇒ (2): Ova implikacija je trivijalna.(3) =⇒ (4): Iz pretpostavke da vazi tvrdenje (3) sledi da vaze tvrdenja

(1) i (2). Neka je ε > 0. Tada postoji δ > 0, tako da za svako razbijanje P =


G1, . . . , Gk skupa G sa svojstvom d(P) < δ, vazi S(f,G,P)−s(f,G,P) <ε. Za proizvoljan izbor tacaka ξi ∈ Gi vazi s(f,G,P) ≤ σ(f,G,P, ξ) ≤S(f,G,P). Takode vazi i s(f,G,P) ≤ If = If ≤ S(f,G,P). Prema tome,sledi da vazi |If−σ(f,G,P, ξ)| < ε, za svaku podelu P sa osobinom d(P) < δ,i za proizvoljan izbor tacaka ξi ∈ Gi. Sledi da je If jednak integralu funkcijef na skupu G, odnosno If =

∫G

f .

(4) =⇒ (3): Pretpostavimo da postoji integral I =∫G

f . Neka je ε > 0.

Tada postoji broj δ > 0, tako da za svaku podelu P = G1, . . . , Gk skupaG dijametra manjeg od δ, vazi

I − ε

3≤ σ(f,G,P, ξ) ≤ I +

ε

3,

nezavisno od izbora tacaka ξi ∈ Gi. U prethodnim nejednakostima se mozeuzeti, jedan za drugim, supremum ili infimum sume σ(f,G,P, ξ) po svimξi ∈ Gi. Odatle neposredno sledi

I − ε

3≤ s(f,G,P) ≤ S(f,G,P) ≤ I +

ε

3,

i stoga S(f,G,P)− s(f,G,P) < ε.(2) =⇒ (3): Neka je funkcija f ogranicena konstantom M na skupu G,

odnosno za svako x ∈ G neka je |f(x)| ≤ M . Neka je ε > 0. Iz cinjeniceda vazi tvrdenje (2) sledi da postoji razbijanje P = G1, . . . , Gk skupa Gsa svojstvom S(f,G,P) − s(f,G,P) < ε. Neka je ni = inf

x∈Gif(x) i Ni =

supx∈Gi

f(x), za i = 1, . . . , k. Na osnovu merljivosti skupova Gi sledi da je

mera njihovih rubova jednaka nuli, odnosno mn(∂Gi) = 0 za svako i =

1, . . . , k. Neka je Γ =k⋃i=1

∂Gi. Tada je mn(Γ) = 0. Postoji elementaran

skup Σ, sa svojstvima Γ ⊂ Σ i mn(Σ) < ε2M . Ne gubeci od opstosti moze se

pretpostaviti da je Σ otvoren skup. Postoji otvoren skup Σ′ sa svojstvima:Γ ⊂ Σ′ ⊂ Σ i ∂Σ′ ∩ ∂Σ = ∅. Tada je mn(Σ′) < ε

2M i δ = infd(x, y) : x ∈∂Σ′, y ∈ ∂Σ > 0. Neka je P1 = F1, . . . , Fl proizvoljno razbijanje skupaG dijametra d sa svojstvom d < δ. Tada je

S(f,G,P1)− s(f,G,P1) =l∑

i=1

(Mi −mi) ·mn(Fi),

pri cemu je mi = infx∈Fi

f(x) i Mi = supx∈Fi

f(x), za i = 1, . . . , l. Neka su I i

J podskupovi skupa 1, . . . , l sa svojstvima: i ∈ I ako i samo ako Fi ima


neprazan presek sa Γ. Sa druge strane, j ∈ J ako i samo ako Fj ∩ Γ = ∅.Ako je i ∈ I, tada vazi Fi ⊂ Σ. Stoga je∑

i∈I(Mi −mi) ·mn(Fi) ≤ 2M

∑i∈I

mn(Fi) < ε.

Ako je j ∈ J , tada Fj ∩ Γ = ∅ i po konstrukciji skupa Γ sledi da mora bitiFj ⊂ Gi za neko i. Sve takve skupove obelezimo sa G1, . . . , Gt. Takode nekaje F1, . . . , Fs1 ⊂ G1;. . . ;Fst−1 , . . . , Fst ⊂ Gs. Tada vazi∑

j∈J(Mj −mj) ·mn(Fj) =

s∑i=1

si∑j=si−1

(Mj −mj) ·mn(Fj)

≤s∑i=1

(Ni − ni)si∑

j=si−1

m(Fj) ≤s∑i=1

(Ni −mi) ·m(Gi) < ε.

Na kraju,

S(f,G,P1)−s(f,G,P1)=∑i∈I

(Mi−mi)·mn(Fi)+∑j∈J

(Mj−mj)·mn(Fj)<2ε.

Time je dokazano tvrdenje (3).

3.2.3 Oznake i terminologija

Ako je G merljiv skup u R2 i f ∈ R(G), onda je cesta oznaka∫G

f =

∫∫G

f =

∫∫G

f(x, y) dx dy.

Integral∫∫G

f naziva se dvostruki integral funkcije f na skupu G.

Ako je G merljiv skup u R3 i f ∈ R(G), onda je∫G

f =

∫∫∫G

f =

∫∫∫G

f(x, y, z) dx dy dz.

Integral∫∫∫G

f je trostruki integral funkcije f na skupu G.

Konacno, ako je G merljiv skup u Rn i f ∈ R(G), onda je∫G

f =

∫· · ·∫G︸︷︷︸

n puta

f =

∫· · ·∫G︸︷︷︸

n puta

f(x1, . . . , xn) dx1 · · · dxn.

Integral∫· · ·∫G

f je n-integral funkcije f na skupu G.

3.3. KLASE INTEGRABILNIH FUNKCIJA 75

3.3 Klase integrabilnih funkcija

Neka je G ⊂ Rn proizvoljan merljiv skup. Nisu sve funkcije, koje su defini-sane na skupu G, obavezno integrabilne na skupu G. Sa druge strane, akoje G ⊂ Rn proizvoljan merljiv skup i ako je g(x) = 0 za svako x ∈ G, tadaje σ(f, g,P, ξ) = 0 za svako razbijanje P skupa G i za svaki izbor tacaka ξ.Stoga vazi

∫G

g(x) dx = 0. Sledi da je nula-funkcija integrabilna na svakom

merljivom skupu, i njen integral na tom skupu je jednak nuli.

Skup intergabilnih funkcija, pod odredenim uslovima, sadrzi sve nepre-kidne funkcije. Preciznije, vazi sledeca teorema.

Teorema 3.3.1. Ako je realna funkcija f definisana i neprekidna na zatvo-renom i merljivom skupu G u Rn, tada je funkcija f integrabilna na G.

Dokaz. SkupG je merljiv i stoga je ogranicen. Sledi da jeG kompaktan skup.Prema Kantorovoj5 teoremi, funkcija f je ravnomerno neprekidna na skupuG. Neka je ε > 0. Na osnovu ravnomerne neprekidnosti funkcije f sledida postoji broj δ > 0, tako da za svake dve tacke x1, x2 ∈ G sa svojstvomd(x1, x2) < δ, vazi |f(x1) − f(x2)| < ε

mn(G) . Neka je P = G1, . . . , Gkproizvoljno razbijanje skupa G, dijametra manjeg od δ. Imajucu u vidustandardne oznake Mi i mi, sledi da vazi

Mi −mi = supx∈Gi

f(x)− infx∈Gi

f(x) = supx∈Gi

f(x) + supx∈Gi

(−f(x))

= supx1,x2∈Gi

(f(x1)− f(x2)) ≤ supx1,x2∈Gi

|f(x1)− f(x2)| ≤ ε

mn(G).

Za odgovarajuce Darbuove sume funkcije f na skupu G, ispunjeno je

S(f,G,P)− s(f,G,P) ≤ ε.

Prema Teoremi 3.2.3 (3), postoji integral∫G

f .

Ako je G ⊂ Rn, tada je skup realnih i neprekidnih funkcija na G oznacensa C(G). Na osnovu prethodne teoreme, ako je G merljiv i zatvoren (tj. Gje merljiv kompakt), onda je C(G) ⊂ R(G).

Teorema 3.3.2. Neka je realna funkcija f definisana i ogranicena na mer-ljivom i zatvorenom skupu G ⊂ Rn, takva da je mera skupa tacaka prekidafunkcije f jednaka nuli. Tada je funkcija f integrabilna na skupu G.

5Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918), nemacki matematicar


Dokaz. Neka je M = supx∈G|f(x)| <∞, neka je E skup tacaka prekida funkcije

f u skupu G, i neka je ε > 0. Na osnovu mn(E) = 0, sledi da postoji otvorenelementaran skup F , tako da je E ⊂ F i m(F ) < ε

4M . Skup G\F je zatvoreni merljiv. Na osnovu Teoreme 3.3.1 funkcija f je integrabilna na skupu G\F .Prema tome, postoji razbijanje P = G1, . . . , Gk skupa G \F , za koje vazi

S(f,G \ F,P)− s(f,G \ F,P) <ε

2.

Neka je Gk+1 = G ∩ F . Tada je P1 = P ∪ Gk+1 razbijanje skupa G i vazim(Gk+1) ≤ m(F ) < ε

4M . Stoga, uz prirodne oznake Mi i mi, vazi

S(f,G,P1)− s(f,G,P1) =

= (Mk+1 −mk+1) ·mn(Gk+1) +k∑i=1

(Mi −mi) ·mn(Gi)

≤ 2Mε

4M+ε

2= ε.

Na osnovu Teoreme 3.2.3 (2) sledi da je funkcija f integrabilna na skupuG.

3.4 Svojstva Rimanovog integrala

Dokazujemo osnovna svojstva Rimanovog integrala. Neka je G merljiv skupu Rn, i neka je f : G→ R funkcija definisana na G.

(1) Ako je mn(G) = 0, onda je∫G

f = 0.

Dokaz. Na osnovu mn(G) = 0 sledi da za svako razbijanje P skupa G isvaki izbor tacaka ξ vazi σ(f,G,P, ξ) = 0, te je i

∫G

f = 0.

(2)∫G

1 = mn(G), pri cemu je 1 konstanta funkcija x 7→ 1 za svako x ∈ G.

Dokaz. Za proizvoljno razbijanje P = G1, . . . , Gk merljivog skupa G,i za svaki izbor tacaka ξi ∈ Gi, vazi

σ(f,G,P, ξ) =k∑i=1

1 ·mn(Gi) = mn

(k⋃i=1

Gi

)= mn(G).

Posledica 3.4.1. Ako je G merljiv skup u R2, onda je∫∫G

dx dy = m2(G).

Ako je V merljiv skup u R3, onda je∫∫∫V

dx dy dz = m3(V ).

3.4. SVOJSTVA RIMANOVOG INTEGRALA 77

(3) Ako je f(x) ≥ 0 za svako x ∈ G, i ako je f integrabilna funkcija naG, onda je

∫G

f ≥ 0.

Dokaz. Neka je P = G1, . . . , Gk proizvoljno razbijanje skupa G, i nekasu ξi ∈ Gi proizvoljne tacke. Tada je

σ(f,G,P, ξ) =k∑i=1

f(ξi) ·mn(Gi) ≥ 0.

Iz definicije Rimanovog integrala proizilazi da je∫G

f ≥ 0.

(4) Ako su f i g integrabilne funkcije na G, i ako je α, β ∈ R, onda jefunkcija αf + βg integrabilna na G i vazi∫

G

(αf + βg) = α

∫G

f + β

∫G

g.

Dokaz. Neka je P = G1, . . . , Gk proizvoljno razbijanje skupa G, i nekasu ξi ∈ Gi proizvoljne tacke. Tada je

σ(αf + βg,G,P, ξ) =k∑i=1

(αf(ξi) + βg(ξi)) ·mn(Gi)

= α σ(f,G,P, ξ) + β σ(g,G,P, ξ).

Trazeni rezultat sledi na osnovu definicije Rimanovog integrala.

(5) Ako su f i g integrabilne funkcije na G, i ako za svako x ∈ G vazif(x) ≤ g(x), tada je

∫G

f ≤∫G

g.

Dokaz. Funkcija g − f je nenegativna i integrabilna na G. Stoga je∫G

g −∫G

f =∫G

(g − f) ≥ 0.

(6) Neka su A i B merljivi skupovi u Rn, A ⊂ B, i neka je f ogranicenai integrabilna funkcija na B. Tada je f integrabilna funkcija na A.

Dokaz. Skup C = B \ A je merljiv. Svako razbijanje skupova A i Cindukuje jedno razbijanje skupa B. Obrnuto, svako razbijanje skupa Bmoze se uciniti finijijm, tako da je to razbijanje jednako uniji razbijanjaskupa A i razbijanja skupa C.

Stoga, bez gubljena opstosti, neka je P razbijanje skupa B, koje se sas-toji od razbijanja P1 skupa A i razbijanja P2 skupa C. Neka je P1 =


G1, . . . , Gl, P2 = Gl+1, . . . , Gk. Na osnovu

S(f,B,P) =

k∑i=1

Mi ·mn(Gi) =

l∑i=1

Mi ·mn(Gi) +

k∑i=l+1

Mi ·mn(Gi)

= S(f,A,P1) + S(f, C,P2),

i analogno

s(f,B,P) = s(f,A,P1) + s(f, C,P2),

proizilazi nejednakost

0 ≤ S(f,A,P1)− s(f,A,P1) ≤ S(f,B,P)− s(f,B,P).

Neka je ε > 0. Kako je f ∈ R(B), sledi da postoji razbijanje P skupa Btako da je S(f,B,P) − s(f,B,P) < ε. Prema prethodnom, P = P1 ∪ P2,pri cemu je P1 razbijanje skupa A, a P2 je razbijanje skupa C. Sledi da jeS(f,A,P1)− s(f,A,P1) < ε, te je f ∈ R(A).

(7) Neka je G0 ⊂ G i mn(G0) = 0. Funkcija f je integrabilna na G akoi samo ako je f integrabilna na G \G0; u tom slucaju je

∫G

f =∫

G\G0

f .

Dokaz. Jos jednom, bez gubljenja opstosti, neka je P razbijanje skupaG, tako da je P = P1 ∪ P2, pri cemu je P1 razbijanje skupa G \ G0, a P2

je razbijanje skupa G0. Neka je P1 = G1, . . . , Gl, P2 = Gl+1, . . . , Gk, ineka je ξi ∈ Gi za svako i. Tada je

σ(f,G,P, ξ) =

l∑i=1

f(ξi)·mn(Gi)+

k∑i=l+1

σ(f,G\G0,P1, ξ)+σ(f,G0,P2, ξ) = σ(f,G\G0,P1, ξ)

Kako je σ(f,G0,P2, ξ) = 0 za svaki izbor tacaka ξ, sledi da je σ(f,G,P, ξ) =σ(f,G \G0,P1, ξ). Odavde sledi trazeni rezultat.

(8) Neka su A i B merljivi skupovi u Rn sa svojstvima: mn(A∩B) = 0,A ∪B = G, i neka je funkcija f ogranicena na skupu G. Tada je funkcija fintegrabilna na skupu G, ako i samo ako je f integrabilna na skupovima Ai B. U tom slucaju vazi jednakost∫

G

f =

∫A

f +

∫B

f. (3.4)

Dokaz. Svako razbijanje skupova A i B proizvodi razbijanje skupa G.Sa druge strane, svako razbijanje skupa G moze se uciniti finijim tako, da


su skupovi novog razbijanja sadrzani i u polaznom razbijanju skupa A i upolaznom razbijanju skupa skupa B. Cinjenica mn(A ∩ B) = 0 garantujeda je integral na skupu G bilo koje integrabilne funkcije jednak integralu teiste funkcije na skupu G \ (A ∩B). Prema tome, posmatramo razbijanje Pskupa G koje indukuje razbijanje P1 skupa A i razbijanje P2 skupa B, pricemu zanemarujemo skup A ∩B. Sledi ocigledna jednakost

σ(f,G,P, ξ) = σ(f,A,P1, ξ) + σ(f,B,P,ξ). (3.5)

Ukoliko postoje integrali∫A

f i∫B

f , tada postoji i integral∫

A∪Bf , te sledi

trazena jednakost integrala (3.4).

Obrnuto, iz ogranicenosti i integrabilnosti funkcije f na skupu G, slediintegrabilnost funkcije f na skupovima A i B.

(9) Ako su f i g ogranicene i integrabilne funkcije na merljivom skupuG ⊂ Rn, tada je i fg integrabilna na skupu G.

Dokaz. Obzirom da su funkcije f i g ogranicene na skupu G, postoji nekibroj L > 0, tako da za svako x ∈ G vazi |f(x)| ≤ L i |g(x)| ≤ L. Neka jeε > 0 proizvoljan broj. Na osnovu ogranicenosti i integrabilnosti funkcija fi g na skupu G, sledi da postoji razbijanje P = G1, . . . , Gl skupa G, takoda vazi

S(f,G,P)− s(f,G,P) =l∑

i=1

(Mi −mi) ·mn(Gi) <ε

2Li

S(g,G,P)− s(g,G,P) =l∑

i=1

(Ni − ni) ·m(Gi) <ε

2L.

Pri tome je:

Mi = supx∈Gi

f(x), mi = infx∈Gi

f(x),

Ni = supx∈Gi

g(x), ni = infx∈Gi

g(x),

Ki = supx∈Gi

f(x)g(x), ki = infx∈Gi

f(x)g(x).

Na osnovu osobina supremuma i infimuma, vazi sledeca procena:


Ki − ki = supGi

|fg| − infGi|fg| ≤ sup

Gi

|f | · supGi

|g| − infGi|f | · inf

Gi|g|

= MiNi −mini = MiNi −miNi +miNi −mini

= Ni(Mi −mi) +mi(Ni − ni) ≤ L[(Mi −mi) + (Ni − ni)].

Na osnovu poslednje nejednakosti, sledi da vazi:

S(fg,G,P)− s(fg,G,P) =

l∑i=1

(Ki − ki) ·m(Gi)

≤ L [(S(f,G,P)− s(f,G,P)) + S(g,G,P)− s(g,G,P))] < ε.

Prema tome, funkcija fg je integrabilna na skupu G.

(10) Ako je funkcija f ogranicena i integrabilna na G, onda je funkcija|f | takode integrabilna na G i vazi∣∣∣∣∣∣

∫G

f

∣∣∣∣∣∣ ≤∫G

|f |.

Dokaz. Neka je ε > 0. Na osnovu ogranicenosti i integrabilnosti funkcijef na skupu G, postoji podela P = G1, . . . , Gl skupa G, tako da vazinejednakost

S(f,G,P)− s(f,G,P) =l∑

i=1

(Mi −mi) ·mn(Gi) < ε.

Pri tome je

Mi = supx∈Gi

f(x), mi = infx∈Gi

f(x),

Ni = supx∈Gi

|f(x)|, ni = infx∈Gi

|f(x)|.

Na osnovu nejednakosti∣∣∣ |f(x)| − |f(y)|

∣∣∣ ≤ |f(x)− f(y)|, sledi nejednakost

Ni − ni ≤ |Mi − mi|, za svako i = 1, . . . , l. Na osnovu ove nejednakostiproizilazi procena

S(|f |, G,P)− s(|f |, G,P) ≤ S(f,G,P)− s(f,G,P) < ε.


Prema tome, funkcija |f | je integrabilna na skupu G.

Neka su sada σ1(f,G,P, ξ) =l∑

i=1f(ξi)·mn(Gi) i σ2(f,G,P, ξ) =

l∑i=1|f(ξi)|·

m(Gi) Rimanove sume koje odgovaraju integralima∫G

f i∫G

|f | redom. Na

osnovu ocigledne nejednakosti |σ1(f,G,P, ξ)| ≤ σ2(|f |, G,P, ξ), sledi odgo-varajuca nejednakost integrala.

(11) (Teorema o srednjoj vrednosti interala) Neka je G merljiv skup uRn, f, g : G → R integrabilne funkcije, m ≤ f(x) ≤ M za svako x ∈ G, ig(x) ≥ 0 za svako x ∈ G. Tada postoji tacka λ ∈ [m,M ], tako da je∫

G

fg = λ

∫G

g.

Ako je uz to G povezan i kompaktan skup, i ako je f neprekidna funkcijana G, tada postoje tacke ν, ξ ∈ G tako da je∫

G

fg = f(ν)

∫G

g i f(ξ) =1

mn(G)

∫G

f.

Dokaz. Na osnovu 0 ≤ g i m ≤ f ≤ M , sledi mg ≤ fg ≤ Mg, te jem∫G

g ≤∫G

fg ≤ M∫G

g. Ako je∫G

g = 0, onda λ moze biti bilo koji realan

broj. Ako je∫G

g > 0, tada na osnovu prethodne procene vazi

λ =

∫G

fg∫G

g∈ [m,M ].

Ako je G povezan i kompaktan skup, i ako je f neprekidna funkcija naG, tada f dostize svoj minimum i maksimum na G. Stoga se moze uzeti

m = minx∈G

f(x), M = maxx∈G

f(x).

Na osnovu povezanosti skupa G sledi da postoji ν ∈ G sa svojstvom f(ν) =λ ∈ [m,M ].

Poslednja jednakost tvrdenja sledi ako se posmatra konstantna funkcijag(x) = 1 za svako x ∈ G.


3.5 Geometrijski i fizicki smisao integrala

Dokazujemo sledece tvrdenje, koje je relevantno za geometrijsko shvatanjeintegrala.

Teorema 3.5.1. Neka je G ⊂ Rn merljiv skup, i neka je funkcija f ogranicenai integrabilna na skupu G. Tada grafik funkcije f , odnosno skup

Γr(f) = (x, f(x)) : x ∈ G ⊂ Rn+1,

jeste merljiv u Rn+1 i njegova mera jeste nula, odnosno mn+1(Γr(f)) = 0.

Dokaz. F Neka je k ∈ N. U prostoru Rn (koji sadrzi G) posmatramohiper-ravni koje su normalne na svaku koordinatnu osu (dakle, paralelnesvim preostalim koordinatnim osama) i tu osu seku u tacki 1

2k· l, pri cemu

je l ∈ Z. Na taj nacin se dobija 12k

-mreza prostora Rn.Dakle, ako je k = 1, onda postoji familija hiper-ravni, tako da je odredena

potfamilija tih ravni normalna na jednu koordinatnu osu i tu osu pomenutapotfamiliha hiper-ravni sece u tackama: 0, 1,−1, 2,−2, . . . .

Ako je k = 2, onda hiper-ravni seku koordinatnu osu (onu osu kojoj suhiper-ravani normalne) u tackama 0, 1

2 ,−12 , 1,−1, 3

2 ,−32 , 2,−2, . . . .

Dakle, 12 -mreza je finija od 1-mreze, 1

4 -mreza je finija od 12 -mreze, i tako

redom.Za svako k ∈ N posmatramo n-intervale odredene 1

2k-mreznom, koji su

sadrzani u G. Neka su to skupovi Ek1 , Ek2 , . . . , Eklk. Tada je

F k =

lk⋃i=1

Eki ⊂ G,

te je i

mn(F k) =

lk∑i=1

mn(Eki ) ≤ mn(G).

Skup G je merljiv, te je

limk→∞

mn(F k) = min(G) = mn(G).

Neka je ε > 0. Postoji k ∈ N, tako da je

mn(G)− ε < mn(F k) ≤ mn(G).

Posmatrajmo sada skup G kao podskup prostora Rn+1. Svaki skup Ekije n-interval, ali je to istovremeno degenerisani n + 1-interval, koji ima 2k

3.5. GEOMETRIJSKI I FIZICKI SMISAO INTEGRALA 83

temena, i temena su oznacena sa T1, . . . , T2k . Neka je ξi ∈ Eki . Kroz svakoteme posmatramo pravu paralelnu dodatoj osi, koja je n + 1 po redu (tj.prava je paralelna koordinatnoj osi koja ne pripada polaznom prostoru Rn).Posmatramo duzi na toj pravoj, koje polaza od temena Tj , a zavrsavaju,redom, u tackama sa vrednostima mj , f(ξj),Mj . Ako je k dovoljno velikibroj, onda su mj , f(ξj),Mj istog znaka (osim ako je f(ξj) = 0, ali ovajspecijalan slucaj ne predstavlja sustinksu prepreku u razmatranju). Nekaje, na primer mj , f(ξj),Mj > 0.

Posmatrajmo (n+ 1)-intervale

Kj = Ekj × (0,mj), Lj = Ekj × [0,Mj ].

Tada je

mn+1(Kj) = mn(Ekj ) ·mj , mn+1(Lj) = mn(Ekj ) ·Mj .

Grafik funkcije f na skupu Ej je sadrzan u skupu Lj \Kj . Stoga je grafik

funkcije f na skupu F k sadrzan u skupulk⋃j=1

(Kj \ Lj).

Vazi

mn+1

lk⋃j=1

(Kj \ Lj)

=

kl∑j=1

(Mj −mj)mn(Ekj ).

Poslednja suma je razlika gornje i donje Darbuove sume funkcije f na skupuF k. Funkcija f je integrabilna na G, pa je integrabilna i na F k.

Stoga postoji novi broj k ∈ N (veci od prethodnog k), tako da je

kl∑j=1

(Mj −mj)mn(Ekj ) < ε.

Sada je

S(f,G)− s(f,G) = S(f, F k)− s(f, F k) + S(f,G \ F k)− s(f,G \ F k).

Funkcija f je ogranicena, te je |f | ≤ N na skupu G. Dakle, za unapredzadani broj ε > 0 postoji broj k ∈ N (odnosno, postoji mreza 1

2kkoja

indukuje razbijanje skupa G), tako da je

S(f,G)− s(f,G) ≤ ε+Nε.

Imamo u vidu da je grafik funkcije f sadrzan u (n + 1)-intervalima cija je(n+ 1)-mera manja od ε+ 2Mε.

Sledi da je mn+1(Γr(f)) = 0.


3.5.1 Interpretacija dvostrukog integrala

Razmotrimo dvostruki integral. Neka je G merljiv skup u R2, i neka jef : G → R nenegativna, ogranicena i integrabilna funkcija. Unutrasnjostskupa G oznacimo sa G, a rub skupa G oznacimo sa ∂G. Iz merljivostiskupa G sledi da je m2(∂G) = 0. Stoga je∫∫

G

f =

∫∫G

f.

Grafik Γr(f) = (x, y, z) : (x, y) ∈ G, z = f(x, y) je grafik povrsi u R3.Posmatrajmo cilindar V odreden skupom G, skupom Γr(f), cije su izvodniceparalelne z-osi, i sve izvodnice prolaze kroz ∂G. Na ovaj nacin je ogranicenskup u prostoru R3. Na osnovu prethodne teoreme, m3(Γr(f)) = 0. Takodeje m3(G) = 0, jer je G ogranicen i degenerisan skup u R3.

Procenimo meru cilindarske povrsi, oznacene sa K. Kako je m2(∂G) =0, skup ∂G je pokriven elementarnim 2-intervalima cija je ukupna meraproizvoljno mala (tj. moze se uciniti manjom od bilo kog unapred zadanogbroja ε > 0). Stoga je cilindarska povrs K sadrzana u uniji konacno mnogo3-intervala, cija se ukupna trodimenzionalna mera moze uciniti proizvoljnomalom. Stoga je m3(K) = 0.

Dakle, m3(V ) ne zavisi od trodimenzionalnih mera skupova G,Γr(f),K.

Posmatrajmo proizvoljnu 12k

-mrezu prostora R2, koja indukuje razbijanjeT skupa G. Donje i gornje Darbuove sume funkcije f na skupu G, induko-vane razbijanjem T , sada cine trodimenzionalne mere cilindara upisanih uV , i cilindara opisanih oko V .

Funkcija f je integrabilna na G, te je∫∫G

f = m3(V ).

Ukoliko bi funkcija f bila negativna na G, onda bi bilo∫∫G

f = −m3(V ).

3.5.2 Interpretacija trostrukog integrala

Trostruki integral ima jednostavnu fizicku interpretaciju. Neka je G merljivskup u R3, koji je model nekog tela u prostoru. Pretpostavimo da je fnenegativna, ogranicena i integrabilna funkcija na G, koju smatramo funkci-jom raspodele gustine tela G. Posmatramo razbijanje T = G1, . . . , Gmskupa G, koje je dovoljno fino, odnosno dovoljno malog dijametra, da se

3.6. SPECIFICNOSTI INTEGRALA U RN ZA N ≥ 2 85

funkcija raspodele gustine f u skupu (telu) Gi neznatno razlikuje od kon-stante. Tada je za svako ξi ∈ Gi velicina f(ξi) · m(Gi) priblizno jednakamasi tela Gi. Prema tome, Rimanova suma σT (f,G) priblizno je jednakamasi tela G. Ocigledno, greska u racunu se smanjuje ukoliko se smanjuje idijametar podele T .

Dakle, pod pretpostavkom da je funkcija f raspodela gustine tela G,sledi da je

∫∫∫G

f masa tela G.

3.6 Specificnosti integrala u Rn za n ≥ 2

Rimanov integral funkcije f na skupu G je prirodno uopstenje integrala na[a, b]. Definicija integrala, kako smo do sada pokazali, zahteva uvodenjepojma mere u Rn. Bogatija geometrijska struktura prostora Rn u odnosuna R donosi izvesne specificne osobine integrala, koje se ne zasnivaju samona razlicitoj interpretaciji mere.

U slucaju integralab∫af(x) dx funkcije jedne promenljive, u samoj defini-

ciji je sadrzan uslov ogranicenosti funkcije f . U suprotnom radi se o nesvoj-stvenom integralu, koji se posebno razmatra.

Medutim, ako je G merljiv skup u Rn, n ≥ 2, i f ∈ R(G), onda funkcijaf ne mora biti obavezno ogranicena.

Primer 3.6.1. Neka je G = [0, 1]×0 segment u R2. Ocigledno, m2(G) =0. Bilo koja realna funkcija f sa domenom G, mora biti integrabilna na G.Na primer, neka je za svako y ∈ R:

f(x, y) =

1x , x ∈ (0, 1],

0, x = 0.

Funkcija f ocigledno nije ogranicena, ali je∫∫G

f = 0 (Slika 5).


Slika 5.1

O

Definicija 3.6.1. Merljiv skup G ⊂ Rn je jednostavan, ako za svako ε > 0postoji razbijanje T skupa G, tako da je d(T ) < ε i da je svaki skup iz Tpozitivne n-dimenzionalne mere.

Skup G u Primeru 3.6.1 nije jednostavan, jer za bilo koju podelu T skupaG, svaki element iz G ima dvodimenzionalnu meru jedanku nuli.

Sa druge strane, mnogi skupovi zaista jesu jednostavni.

Teorema 3.6.1. Ako je G otvoren i merljiv skup u Rn, onda je G jednos-tavan skup.

Dokaz. F Neka je G otvoren merljiv skup, i neka je ε > 0. Posmatrajmo12k

-mrezu prostora Rn. Ako je Ekj jedan n-interval odreden ovom mrezom,

onda je njegov dijametar d(Ekj ) =√

n22k

. Postoji k ∈ N tako da je d(Ekj ) < ε.

Za ovako odabrano k, posmatrajmo razbijanje T = Ekj ∩ G : j skupa G,

pri cemu posmatramo samo neprazne skupove Ekj ∩G.

Pretpostavimo da postoji neki Ekj ∩ G, tako da je mn(Ekj ∩ G) = 0.

Tada skup Ekj ∩ G ne sadrzi ni jedan otvoreni n-interval. Stoga G ima

prazan presek sa (Ekj ). Prema tome, G sece samo rub skupa Ekj u nekojtacki x. Ako bi x bila unutrasnja tacka skupa G, onda bi skup G sekaounutrasnost skupa Ekj , sto je nemoguce. Dakle, x ∈ ∂G. Poslednja cinjenicaje nemoguca, jer je G otvoren, pa G ne sadrzi ni jednu svoju rubnu tacku.

Sledi da je mn(Ekj ∩G) > 0 za svaki skup Ekj ∩G.Ako je G merljiv podskup od Rn, i ako je skup G jednostavan, onda je

i skup G jednostavan. Stoga su i zatvorenja otvorenih merljivih skupovatakode jednostavni skupovi.

Teorema 3.6.2. Ako je G merljiv i jednostavan skup u Rn, i ako je f ∈R(G), onda je f ogranicena na G.

3.7. IZRACUNAVANJE INTEGRALA 87

Dokaz. Pretpostavimo da je f neogranicena na G. Za proizvoljno δ >0 postoji razbijanje T = G1, . . . , Gk skupa G, tako da je d(T ) < δ im(Gj) > 0 za svako j = 1, . . . , k. Funkcija f nije ogranicena na bar jednomelementu iz T , recimo f nije ogranicena na G1. Posmatrajmo proizvoljnetacke ξj ∈ Gj za j = 1, . . . , k, i odgovarajucu Rimanovu sumu

σT (f,G, ξ) = f(ξ1)mn(G1) +k∑j=2

f(ξj)mn(Gj).

Fiksirajmo vrednosti ξ2, . . . , ξk. Tada za svako M > 0 mozemo odabratitacku ξ1 ∈ G1, tako da je |σT (f,G, ξ)| ≥ M . Ovo je u suprotnosti sapretpostavkom f ∈ R(G).

Sledi da je f ogranicena na G.

3.7 Izracunavanje integrala

Integrale funkcija na merljivivm skupovima iz Rn izracunavamo najcescenjihovim svodjenjem na ponovljene integrale.

3.7.1 Slucaj prostora R2

Dokazacemo najpre osnovne rezultate u prostoru R2.

Teorema 3.7.1. Pretpostavimo da vazi:(1) Funkcija (x, y) 7→ f(x, y) je integrabilna u pravougaoniku Π = (x, y) :

a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d;

(2) Za svako x ∈ [a, b] postoji integrald∫cf(x, y) dy.

Tada integral x 7→d∫cf(x, y) dy definise integrabilnu funkciju po x na

segmentu [a, b] i vazi

∫∫Π

f(x, y) dx dx =

b∫a

d∫c

f(x, y) dy

dx ≡b∫a

dx

d∫c

f(x, y) dy.

Dokaz. Odaberimo tacke c = y0 < y1 < y2 < · · · < yn = d i a = x0 < x1 <x2 < · · · < xm = b sa svojstvom yi − yi−1 = h za svako i i xj − xj−1 ≤ hza svako j. Odaberimo proizvoljne tacke αj ∈ [xj−1, xj ] i βi ∈ [yi−1, yi]. Naovaj nacin postigli smo razbijanje segmenata [c, d] i [a, b], kao i razbijanje


pravougaonika Π manjim pravougaonicima sa temenima u tackama (xj , yi).Za proizvoljno x ∈ [a, b] vazi da je

sh(x) =

n∑i=1

f(x, βi)(yi − yi−1) =

n∑i=1

f(x, βi)h

Rimanova suma integralad∫cf(x, y) dy. Takode,

σh =

n∑i=1

m∑j=1

f(αj , βi)(xi − xi−1)(yj − yj−1)

=n∑i=1

m∑j=1

f(αj , βi)(xi − xi−1)h

je Rimanova suma koja odgovara integralu∫∫Π

f(x, y) dx dy. Posmatrajmo

Rimanovu sumu integralab∫ash(x) dx, koja je jednaka

Sh =m∑j=1

sh(αj)(xj − xj−1) = σh.

Zbog uslova xj − xj−1 ≤ h za svako j, sledi da ako dijametar podele skupaΠ tezi nuli, onda teze nuli i dijametri podele segmenata [c, d] i [a, b], a ovacinjenica se jednostavno opisuje kao h → 0. Na osnovu jednakosti dvojne iponovljene granicne vrednosti funkcija dve promenljive, proizilazi i jednakostintegrala: ∫∫

Π

f(x, y) dx dy =

b∫a

d∫c

f(x, y) dy

dx.

Time je teorema dokazana.

Primer 3.7.1. Izracunati∫∫Π

xy dx dy, gde je Π = [0, 1]× [2, 3].

Resenje. Funkcija (x, y) 7→ f(x, y) = xy je neprekidna, te stoga i integra-bilna na skupu Π. Na osnovu Teoreme 3.7.1, sledi∫∫

Π

xy dx dy =

1∫0

x dx

3∫2

y dy =5

4.


Definicija 3.7.1. Neka su ϕ i ψ neprekidne funkcije na segmentu [a, b] i zasvako x ∈ [a, b] neka vazi ϕ(x) ≤ ψ(x). Skup

Ω = (x, y) : ϕ(x) ≤ y ≤ ψ(x), a ≤ x ≤ b

jeste elementaran skup u odnosu na y-osu (Slika 6).

Slika 6.

Teorema 3.7.2. Skup Ω u prethodnoj Definiciji 3.7.1 je merljiv u R2.

Dokaz. Neka je I duz u ravni koja spaja tacke (a, ϕ(a)) i (a, ψ(a)). Neka jeJ duz koja spaja tacke (b, ϕ(b)) i (b, ψ(b)). Tada je rub skupa Ω

∂Ω = I ∪ J ∪ Γr(ϕ) ∪ Γr(ψ),

gde je Γr(ϕ) grafik funkcije ϕ, a Γr(ψ) grafk funkcije ψ. Grafik integrabilnefunkcije, a samim tim i neprekidne funkcije, ima dvodimenzionalnu merujednaku nuli. Dakle, m2(∂Ω) = 0, odakle proizilazi da je skup Ω merljiv uR2.

Teorema 3.7.3. Neka je Ω elementaran skup u odnosu na y-osu, odredenDefinicijom 3.7.1. Neka je (x, y) 7→ f(x, y) integrabilna funkcija na skupu

Ω, pri cemu za svako x ∈ [a, b] postoji integralψ(x)∫ϕ(x)

f(x, y) dy. Tada vazi

sledeca formula

∫∫Ω

f(x, y) dx dy =

b∫a

dx

ψ(x)∫ϕ(x)

f(x, y) dy.

Dokaz. Funkcije ϕ i ψ su neprekidne na segmentu [a, b] i dostizu, redom,svoj minimum i maksimum na ovom segmentu. Neka je

c = minx∈[a,b]

ϕ(x), d = maxx∈[a,b]

ψ(x).


Ocigledno je Ω ⊂ Π = [a, b] × [c, d]. Skup Ω je merljiv, pa je i skup Π \ Ωtakode merljiv. Neka je funkcija F definisana na skupu Π sledeci nacin:

F (x, y) =

f(x, y), (x, y) ∈ Ω,

0, (x, y) ∈ Π \ Ω.

Sledi ∫∫Π

F (x, y) dx dy =

∫∫Ω

F (x, y) dx dy +

∫∫Π\Ω

F (x, y) dx dy

=

∫∫Ω

f(x, y) dx dy.

Prema Teoremi 3.7.1, proizilazi da vazi

∫∫Ω

f(x, y) dx dy =

b∫a

dx

d∫c

F (x, y) dy

=

b∫a

dx

ϕ(x)∫c

0 dy +

ψ(x)∫ϕ(x)

f(x, y) dy +

d∫ψ(x)

0 dy

=

b∫a

dx

ψ(x)∫ϕ(x)

f(x, y) dy.


Primer 3.7.2. Izracunati integral∫∫G

x2 dx dy na skupu G = (x, y) : −1 ≤

x ≤ 1, x2 ≤ y ≤ 1 (Slika 7).

Slika 7.


Resenje. Na osnovu Teoreme 3.7.3, vazi:

∫∫G

x2 dx dy =

1∫−1

dx

1∫x2

x2 dy =

1∫−1

x2(1− x2) dx =4

15.

Primer 3.7.3. Neka je G skup ogranicen kruznicama x2 + y2 = 4 i x2 −2x+y2 = 0. Prikazati dvostruki integral

∫∫G

f(x, y) dx dy kao dva uzastopna

integrala (Slika 8).

Slika 8.

Resenje. Skup G je unija tri elemtarna skupa u odnosu na y-osu:

Ω1 = (x, y) : −2 ≤ x ≤ 0,−√

4− x2 ≤ y ≤√

4− x2

Ω2 = (x, y) : 0 ≤ x ≤ 2,−√

4− x2 ≤ y ≤ −√

2x− x2,

Ω3 = (x, y) : 0 ≤ x ≤ 2,√

2x− x2 ≤ y ≤√

4− x2.

Prema Teoremi 3.7.3 sledi

∫∫G

f(x, y) dx dy =

0∫−2

dx

√4−x2∫

−√

4−x2

f(x, y) dy +

2∫0

dx

−√

2x−x2∫−√

4−x2

f(x, y) dy

+

2∫0

dx

√4−x2∫

√2x−x2

f(x, y) dy.


Slika 9.

Primer 3.7.4. Izracunati integral (Slika 9)

I =

π/2∫0

dy

π/2∫y

sinx

xdx.

Resenje. Poznato je da neodredeni integral∫

sinxx dx ne moze biti izracunat

u konacnom obliku. Vazi limx→0

sinx

x= 1, odakle sledi da je funkcija (x, y) 7→

sinx

xogranicena i neprekidna na posmatranom skupu

G =

(x, y) : 0 ≤ y ≤ π

2, y ≤ x ≤ π

2

=

(x, y) : 0 ≤ x ≤ π

2, 0 ≤ y ≤ x

.

Prema Teoremi 3.7.3, vazi:

I =

π/2∫0

dy

π/2∫y

sinx

xdx =

∫∫G

sinx

xdx dy =

π/2∫0

dx

x∫0

sinx

xdy

=

π/2∫0

sinx

x

x∫0

dy

dx =

π/2∫0

sinx dx = 1.

3.7.2 Slucaj prostora Rn, n ≥ 3

Nije tesko dokazati rezultat analogan Teoremi 3.7.1 u prostoru vece dimen-zije.


Teorema 3.7.4. Neka su G =k∏i=1

(bi−ai) i K =m∏j=1

(di− ci) pravougaonici,

redom, u Rk i Rm. Neka je funkcija f integrabilna na pravougaoniku G×K.Ako za svako x ∈ G postoji integral

∫K

f(x, y) dy, tada vazi formula

∫G×K

f(x, y) dx dy =

∫G

dx

∫K

f(x, y) dy.

Definicija 3.7.2. Neka je G merljiv skup u Rn i neka su ϕ,ψ : G → Rneprekidne funkcije sa svojstvom ϕ(x) ≤ ψ(x) za svako x = (x1, . . . , xn) ∈G. Skup

Ω = (x1, . . . , xn, xn+1) : x ∈ G,ϕ(x) ≤ xn+1 ≤ ψ(x) ⊂ Rn+1

jeste elementaran skup u odnosu na osu xn+1.

Teorema 3.7.5. Elementaran skup Ω, odreden Definicijom 3.7.2 je merljivu prostoru Rn+1.

Teorema 3.7.6. Neka je Ω merljiv i elementaran skup u odnosu na osuxn+1, opisan u 2.21 Definiciji. Neka je (x, xn+1) 7→ f(x, xn+1) integrabilna

funkcija na Ω i neka za svako x ∈ G postoji interalψ(x)∫ϕ(x)

f(x, xn+1) dxn+1.

Tada vazi formula

∫Ω

f(x, xn+1) dx dxn+1 =

∫G

dx

ψ(x)∫ϕ(x)

f(x, xn+1) dxn+1.

Primer 3.7.5. Izracunati trostruki integral I =∫∫∫G

xyz dx dy dz ako je

skup G = [0, 1]× [2, 3]× [4, 5].

Resenje. Prema Teoremi 3.7.5 vazi

I =

1∫0

x dx

3∫2

y dy

5∫4

z dz =45

8.

Primer 3.7.6. Izracunati trostruki integral I =∫∫∫Ω

z dx dy dz na skupu

Ω ogranicenom ravnima x+ y + z = 1, x = 0, y = 0, z = 0 (Slika 3.7.2).


Resenje. Skup Ω prikazan je na sledeci nacin:

Ω = (x, y, z) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1− x, 0 ≤ z ≤ 1− x− y.

Ω je elementaran u odnosu na z-osu. Neka je G skup u ravni ogranicenpravama x + y = 1, x = 0 i y = 0. Skup G je elementaran u odnosu nay-osu. Prema Teoremi 3.7.5 vazi∫∫∫

Ω

z dx dy dz =

∫∫G

dx dy

1−x−y∫0

z dz =1

2

∫∫G

(1− x− y)2 dx dy

=1

2

1∫0

dx

1−x∫0

(1− x− y)2 dy =1

2

1∫0

dx

1−x∫0

t2dt

=1

24.

3.8 Smena promenljivih

U opstem slucaju, potrebno je integral neke funkcije izracunati na skupukoji nije elementaran u odnosu na neku koordinatnu osu. Stoga se uvodismena promenljivih.

Skup G (G ⊂ Rn) je povezan ako za svake dve tacke A,B ∈ G, postojineprekidno preslikavanje γ : [a, b] → G sa svojstvom da je γ(a) = A iγ(b) = B. Otvoren i povezan skup jeste oblast. Ako je G oblast, onda je Gzatvorenje oblasti G.

Posmatramo preslikavanja definisana na oblastima u Rn. Neka jeG ⊂ Rnoblast i neka su definisane funkcije

(ξ1, . . . , ξn) 7→ ϕ1(ξ1, . . . , ξn), . . . , ϕn(ξ1, . . . , ξn)

3.8. SMENA PROMENLJIVIH 95

za ξ = (ξ1, . . . , ξn) ∈ G. Tada je ϕ(ξ) = (ϕ1(ξ1, . . . , ξn), . . . , ϕn(ξ1, . . . , ξn)) ∈D, gde jeD neki novi skup u Rn. Preciznije, D je slika skupaG koordinatnimpreslikavanjima ϕ1, . . . , ϕn. Zahteva se da svi parcijalni izvodi prvog reda∂ϕi∂ξj

(i, j = 1, . . . , n) budu neprekidne funkcije na G. Takode, pretpostavlja

se da je jakobijan6 ovog koordinatnog preslikavanja razlicit od nule, odnosno

J =D(ϕ1, . . . , ϕn)

D(ξ1, . . . , ξn)=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂ϕ1

∂ξ1· · · ∂ϕ1

∂ϕn... · · ·

...∂ϕn∂ξ1

· · · ∂ϕn∂ξn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣6= 0

za svako (ξ1, . . . , ξn) ∈ G.Tada je preslikavanje ϕ = (ϕ1, . . . , ϕn) : G→ Rn regularnoa (ili dopustiva

transformacija odnosno smena). Preslikavanje ϕ je bijektivno iz G na D.Osim toga, ϕ je otvoreno preslikavanje, odnosno ϕ(G) = D, pri cemu je Doblast (videti dogovarajuce rezultate iz predmeta Matematicka analiza 3).

Formulisemo bez dokaza tvrdenje, koje ilustruje ulogu jakobijana pres-likavanja.

Teorema 3.8.1. Neka je ϕ : G → Rn regularno preslikavanje, pri cemu jeG oblast u Rn. Neka je Π n-dimenzionalna ”kocka“ u G stranice h, kojojpripada tacka M i neka je Π′ = ϕ(Π). Tada je Π′ merljiv skup u Rn i

limh→0

mn(Π′)

mn(Π)= lim

h→0

mn(Π′)

hn= |J(M)|

i ova konverencija je ravnomerna po M . Ovde je sa J(M) oznacena vrednostjakobijana preslikavanja ϕ u tacki M .

Sada dokazujemo vaznu teoremu o smeni promenljivih u visestrukomintegralu.

Teorema 3.8.2. Neka je G merljiva oblast u prostoru promenljivih ξ1, . . . , ξn,a D neka je merljiva oblast u prostoru promenljivih x1, . . . , xn. Neka jeϕ = (ϕ1, . . . , ϕn) : G→ D regularno preslikavanje, odnosno

x1 = ϕ1(ξ1, . . . , ξn), . . . , xn = ϕn(ξ1, . . . , ξn),

J =D(ϕ1, . . . , ϕn)

D(ξ1, . . . , ξn)6= 0, (ξ1, . . . , ξn) ∈ G.

6Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851), nemacki matematicar


Ako je (x1, . . . , xn) 7→ f(x1, . . . , xn) neprekidna funkcija na skupu D, ondavazi jednakost ∫

D

f(x1, . . . , xn) dx1 · · · dxn = (3.6)

=

∫G

f(x1(ξ1, . . . , ξn), . . . , xn(ξ1, . . . , ξn))|J | (3.7)

dξ1 · · · dξn. (3.8)

Dokaz. Poznato je da je kompozicija neprekidnih funkcija takode neprekidnafunkcija. Oblasti D i G su merljive, prema tome i ogranicene. Skupovi G i Dsu kompaktni. Neprekidne funkcije na kompaktnim skupovima jesu integra-bilne. Stoga oba integrala u (3.6) postoje. Dokazujemo njihovu jednakost.

Funkcija f je neprekidna na kompaktnom skupuD, te je stoga ogranicenana D. Postoji broj L > 0, tako da za svako x ∈ D vazi |f(x)| ≤ L. JakobijanJ je neprekidno preslikavanje na kompaktu G. Stoga postoji broj K, takoda za svako ξ ∈ G vazi |J(ξ)| ≤ K.

Posmatra se podela prostora Rn promenljivih ξ1, . . . , ξn pravama paralel-nim koordinatnim osama, pri cemu su susedne paralelne prave uvek na rasto-janju h. Sve kocke koje imaju neprazan presek sa G oznacimo sa G1, . . . , Gl.Skup 1, . . . , l podelimo na dva disjunktna skupa I i J na sledeci nacin:i ∈ I ako i samo ako Gi ∩ ∂G = ∅; j ∈ J ako i samo ako Gj ∩ ∂G 6= ∅. Sadaje ∂G ⊂

⋃j∈J

Gj .

Neka je Di = ϕ(Gi), pri cemu je ϕ = (ϕ1, . . . , ϕn). Na osnovu Teoreme3.8.1 postoje tacke Mi ∈ Gi, i ∈ I, tako da vazi

mn(Di) = |J(Mi)|mn(Gi) + ε(h)mn(Gi),

pri cemu je limh→0

ε(h) = 0 ravnomerno po Mi ∈ Gi. Neka je Ni = ϕ(Mi) ∈ Di,

i ∈ I.

Neka je ε > 0 proizvoljan broj. Na osnovu cinjenice mn(∂G) = 0 sledi

da se h moze odabrati dovoljno malo, tako da je mn

( ⋃j∈J

Gj

)< ε

4LK . Tada

je ∣∣∣∣∣∣∑j∈J

f(Ni)|J(Mi)| ·mn(Gi)

∣∣∣∣∣∣ < ε

4. (3.9)


Ocigledno vazi∑i∈I

f(Ni)mn(Di) =∑i∈I

f(Ni)|J(Mi)|mn(Gi) +∑i∈I

f(Ni)ε(h)mn(Gi),

(3.10)Obzirom da je konvergencija ε(h)→ 0 kada h→ 0 ravnomerna po Mi, sledida postoji dovoljno malo h, tako da je ispunjeno |ε(h)| < ε

4L·m(G) . Prematome, ∣∣∣∣∣∑

i∈If(Ni)ε(h)mn(Gi)

∣∣∣∣∣ ≤ L ε

4L ·mn(G)mn(G) =

ε

4. (3.11)

Na osnovu integrabilnosti funkcije f na skupu D sledi da postoji dovoljnomali broj h, sa svojstvom∣∣∣∣∣∣

∫D

f(x) dx−l∑

i=1

f(Ni) ·mn(Di)

∣∣∣∣∣∣ < ε

4. (3.12)

Sumal∑

i=1f(Ni)|J(Mi)| ·mn(Gi) je Rimanova suma koja odgovara inte-

gralu ∫G

f(ϕ(ξ))|J(ξ)| dξ. (3.13)

Preslikavanje ϕ : G → D je regularno, specijalno i neprekidno, te jeograniceno. Postoji broj S > 0, tako da za svako ξ ∈ G vazi |ϕ(ξ)| ≤S. Skupovi G1, . . . , Gl cine razbijanje skupa G dijametra h

√n (u n-

dimenzionalnom prostoru). Prema tome, dijametar razbijanja Gi tezinuli ako i samo ako h → 0. I familija D1, . . . , Dl cini rabijanje skupa Ddijametra ne veceg od Sh

√n. Prema tome, ako h → 0, onda i dijametar

razbijanja Di tezi nuli. Inverzno preslikavanje ϕ−1 : D → G je takodjeregularno (i neprekidno). Prema tome, ako dijametar razbijanja Di tezinuli, onda i h→ 0.

Regularno preslikavanje ϕ : G → D je otvoreno, odnosno slika tackeskupa G u tacke skupa D. Obzirom da je i inverzno preslikavanje regularno(samim tim i otvoreno), sledi da ϕ preslikava rub skupa G na rub skupa D.Prema tome, skup E =

⋃j∈J

Dj sadrzi rub skupa D i m(E) ≤ Mnhn(√n)n.

Za dato ε > 0 postoji dovoljno malo h, tako da vazi m(E) ≤ ε4L . Sada je∣∣∣∣∣∣

∑j∈J

f(Nj) ·m(Dj)

∣∣∣∣∣∣ < ε

4. (3.14)


Sada dolazimo do procene:∣∣∣∣∣∣∫D

f dx−l∑

i=1

f(Ni)|J(Mi)| ·mn(Gi)

∣∣∣∣∣∣ ≤≤

∣∣∣∣∣∣∫D

f dx−l∑

i=1

f(Ni)mn(Di)

∣∣∣∣∣∣++

∣∣∣∣∣l∑

i=1

f(Ni)mn(Di)−l∑

i=1

f(Ni)|J(Mi)|mn(Gi)

∣∣∣∣∣≤

∣∣∣∣∣∣∫D

f dx−l∑

i=1

f(Mi)m(Di)

∣∣∣∣∣∣++

∣∣∣∣∣∑i∈I

f(Ni)m(Di)−∑i∈I

f(Ni)|J(Mi)|mn(Gi)

∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣∑j∈J

f(Nj)mn(Dj)

∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣∑j∈J

f(Nj)|J(Mj)|mn(Gj)

∣∣∣∣∣∣≤ ε

4+ε

4+ε

4+ε

4= ε

Pri tome, prva apsolutna vrednost je manja od ε4 na osnovu (3.12), druga

apsolutna vrednost je manja od ε4 na osnovu formule (3.10) i nejednakosti

(3.11). Treca apsolutna vrednost je manja od ε4 na osnovu nejednakosti

(3.14). Cetvrta apsolutna vrednost je manja od ε4 na osnovu nejednakosti

(3.9).Sada, imajuci u vidu Rimanovu sumu integrala u (3.13), sledi trazena

jednakost integrala ∫D

f dx =

∫G

f(ϕ(ξ))|J(ξ)| dξ.

Prethodna teorema ima primene u mnogim konkretnim slucajevima.

3.8.1 Polarna smena u ravni

Dobro je poznato da svaka tacka P = (x, y) 6= (0, 0) u ravni na jedinstvennacin moze biti prikazana koriscenjem polarnog radijusa i polarnog ugla.


Polarni radijus je intenzitet vektora−−→OP , a polarni ugao je ugao koji pozitivni

deo x-ose zaklapa sa vektorom−−→OP , pocev od pozitivnog dela x-ose suprotno

kretanju kazaljke na casovniku (Slika 10).

Slika 10.

U ovom slucaju za svaku tacku (x, y) 6= (0, 0) postoje jedinstveni brojevir > 0 i 0 ≤ ϕ < 2π, tako da vazi

x = r cosϕ, y = r sinϕ.

Naravno, ako je x = y = 0, onda je r = 0, a ϕ moze biti bilo koji ugao.Inverzne transformacije jesu

r =√x2 + y2, ϕ = arctg

y

x.

Jakobijan uvedenog preslikavanja jeste

J =

∣∣∣∣cosϕ −r sinϕsinϕ r cosϕ

∣∣∣∣ = r.

Ocigledno je J 6= 0 zbog uslova r > 0.


Slika 11.

Ako je skup G cela ravan sa izuzetkom koordinatnog pocetka, analizi-ramo sta je skup D, odnosno domen promenljivih r i ϕ. Ocigledno, r-osapripada skupu G, ali ne i ostali deo ruba (Slika 11). Ovaj nedostatak necebiti presudan prilikom izracunavanja visestrukih integrala. Razlog lezi ucinjenici da je povrsina tacke ili duzi jednaka nuli.

Primer 3.8.1. Ispitati koju oblast u prostoru promenljivih r i ϕ polarnasmena preslikava na krug G : x2 +y2 ≤ R2. Koristeci ovu smenu, izracunatiintegral

I =

∫∫G

(x2 + y2) dx dy.

Resenje. U nejednakosti x2 + y2 ≤ R, kojom je odredena unutrasnost krugazamenimo promenljive x i y preko r i ϕ. Proizilazi r2 ≤ R2. Pri tome zapromenljivu ϕ nema nikakvih ogranicenja, odnosno uslovi koji opisuju skupG u ovom primeru jesu 0 < r ≤ R i 0 ≤ ϕ < 2π. Drugim recima, vaziD = (r, ϕ) : 0 < r ≤ R, 0 ≤ ϕ < 2π. Sada, koristeci Teoremu 3.8.2 osmeni promenljivih, proizilazi da vazi

I =

∫∫D

(r2 cos2 ϕ+ r2 sin2 ϕ)r dr dϕ =

2π∫0

dϕ

R∫0

r2 · r dr =1

2R4π.

U ovom primeru ignorisan je centar kruga, u koju se ne slika ni jedna tackaskupa D, zbog uslova r > 0. Medutim, to u ovom slucaju nije od pre-sudnog znacaja za racunanje integrala. Naime, integral posmatrane funkcije


(x, y) 7→ f(x, y) = x2 + y2 na skupu G moze se izracunati kao zbir inte-grala na skupu G1 i na skupu G2. Pri tome G1 neka sadrzi samo centarkruga, odnosno G1 = (0, 0), a G2 = G \ G1. Kako je mera skupa G1

jednaka nuli, to ce i integral funkcije po tom skupu biti jednak nuli, i do-voljno je posmatrati integral funkcije f na skupu G2. Sada je slika skupaD = (r, ϕ) : 0 < r ≤ R, 0 ≤ ϕ < 2π polarnom smenom jednaka skupuG2. Kao sto se vidi, izuzece skupa G1 ne utice na vrednost integrala. Ova”nedorecenost“ koristi se u svim narednim primerima bez posebnog obra-zlozenja.

3.8.2 Uopstena polarna smena

Uopstene polarne koordinate se koriste kada je polazni domen integracijeelipsa, a ne krug. Posmatra se preslikavanje

x = ar cosϕ, y = br sinϕ, 0 ≤ ϕ < 2π, r > 0,

gde su a, b neke konstante razlicite od nule. Tada je jakobijan preslikavanja

J =

∣∣∣∣a cosϕ −ar sinϕb sinϕ br cosϕ

∣∣∣∣ = abr 6= 0.

Geometrijska interpretacija ove transforamcije slicna je interpretaciji polarnesmene. Naime, ako su date vrednosti za x i y, pri cemu je (x, y) 6= (0, 0),onda su jedinstveni r i ϕ odredeni na sledeci nacin:

r =

√x2

a2+y2

b2> 0, ϕ = arctg

ya

xb∈ [0, 2π).

Obrnuto, ako su poznate vrednosti r > 0 i ϕ ∈ [0, 2π), onda je formulamax = ar cosϕ, y = br sinϕ odredena jedinstvena tacka ravni sa izuzetkomkoordinatnog pocetka. Kao i u slucaju polarnih koordinata, izuzece koordi-natnog pocetka nece predstavljati poteskoce u izracunavanju integrala.

U izvesnim specijalnim slucajevima koristi se uopstena polarna smena

x = arα cosβ ϕ, y = brα sinβ ϕ, ϕ ∈ [0, 2π), r > 0 (a, b, α, β 6= 0).

Primer 3.8.2. Izracunati integral I =∫∫G

√x2

a2+ y2

b2dx dy, gde je skup G

unutrasnjost elipse, odnosno G : x2

a2+ y2

b2≤ 1, a, b > 0.


Resenje. Uvodimo uopstene polarne koordinate

x = ar cosϕ, y = br sinϕ, r > 0, ϕ ∈ [0, 2π).

Zamenom promenljvih r i ϕ u nejednakost koja odreduje unutrasnjost elipse,sledi r2 ≤ 1. Obzirom da ne postoje ogranicenja za promenljvu ϕ, domenD promenljivih r i ϕ dat je na sledeci nacin:

D = (r, ϕ) : 0 ≤ ϕ < 2π, 0 < r ≤ 1.

Sada je trazeni integral

I =

2π∫0

dϕ

1∫0

r · abrdr =2

3abπ.

Primer 3.8.3. Izracunati povrsinu figure u ravni, koja je ogranicena krivom

4

√x

a+ 4

√y

b= 1 i pravama x = 0, y = 0, pri cemu je a, b > 0 (Slika 12).

Slika 12.

Resenje. Uvodimo uopstenu polarnu smenu

x = ar4 cos8 ϕ, y = br4 sin8 ϕ, ϕ ∈ [0, 2π), r > 0.

Jakobijan uvedene smene je J = 32abr7 cos7 ϕ sin7 ϕ. Iz cinjenice a, b > 0sledi da mora biti x > 0 i y > 0, te se namece uslov ϕ ∈ (0, π/2). Za-menom uopstenih polarnih koordinata u jednacinu krive koja odreduje rubskupa, dobija se jednacina r = 1. Prema tome, domen promenljive r je


interval (0, 1). U ovom domenu promenljivih r i ϕ jakobijan preslikavanjaje pozitivan. Prema tome, trazena povrsina jednaka je sledecem integralu:

I = 32ab

π/2∫0

cos7 ϕ sin7 ϕ dϕ

1∫0

r7dr =ab

70.

3.8.3 Cilindricna smena u trostrukom integralu

Cilindricne koordinate u prostoru R3 predstavljaju neposredno uopstenjepolarnih koordinata. Preciznije, u ravni promenljivih x, y uvodi se polarnasmena, a promenljiva z ostaje nepromenjena:

x = r cosϕ, y = r sinϕ, z = ξ,

pri cemu je

0 ≤ ϕ < 2π, r > 0, ξ ∈ R.

Lako utvrdujemo da je za ovako uzet domen promenljive (r, ϕ, ξ) jakobijanpreslikavanja dat na sledeci nacin:

J =

∣∣∣∣∣∣cosϕ −r sinϕ 0sinϕ r cosϕ 0

0 0 1

∣∣∣∣∣∣ = r > 0.

Geometrijska interpretacija ovih smena je sledeca. Neka je P tacka u trodi-menzionalnom prostoru sa koordinatama (x, y, z), neka je P ′ ortogonalnaprojekcija tacke P na ravan xOy. Tada je ξ jednako z koordinati tacke P , rje rastojanje tacke P ′ od koordinatnog pocetka, a ϕ je ugao meren od pozi-

tivnog dela x-ose do vektora−−→OP ′, suprotno kretanju kazaljke na casovniku

(Slika 13).


Slika 13.

Moguce je uvesti uopstenu cilindricnu smenu

x = ar cosϕ, y = br sinϕ, z = ξ, r > 0, ϕ ∈ [0, 2π), ξ ∈ R,

za proizvoljne a, b 6= 0. Tada je jakobijan preslikavanja J = abr.

U izvesnim slucajevima uvodi se smena oblika

x = arα cosβ ϕ, y = brα sinβ ϕ, z = ξ, r > 0, ϕ ∈ [0, 2π), ξ ∈ R (a, b, α, β 6= 0).

Primer 3.8.4. Naci zapreminu tela G, cija je granica data jednacinom(x2 + y2 + z2)2 = x2 + y2 (Slika 14).


Slika 14.

Resenje. Uvodimo cilindricne koordinate. Koristeci cinjenicu r > 0, proizilazida vazi r2 + ξ2 = r, odnosno ξ = ±

√r(1− r). Velicina r(1 − r) mora biti

nenegativna, odakle sledi 0 < r ≤ 1. Za ϕ nema nikakvih ogranicenja, teje 0 ≤ ϕ < 2π. Sada je ocigledno da skup cija je granica data navedenomjednacinom, dobijamo za |ξ| ≤

√r(1− r). Stoga vazi

m3(G) =

2π∫0

dϕ

1∫0

dr

√r(1−r)∫

−√r(1−r)

r dξ

= 4π

1∫0

r√−r2 + r dr =

π2

4.

Poslednji integral se moze resiti, na primer, Ojlerovom smenom√−r2 + r =

tr, odakle sledi r = 11+t2

i t ∈ [0,+∞).

Primer 3.8.5. Odrediti zapreminu tela ogranicenog povrsima z = x2 + y2,x2 + y2 = x, x2 + y2 = 2x i z = 0 (Slika 15).


Slika 15.

Resenje. Uvodimo cilindricnu smenu x = r cosϕ, y = r sinϕ, z = ξ, pricemu je r > 0, ξ ∈ R i ϕ ∈ (−π/2, π/2). Zamenom cilindricnih koordinata ujednacine povrsi, dolazimo do sledecih jednacina u polarnom obliku: ξ = r2,r = cosϕ, r = 2 cosϕ, ξ = 0. Iz prve i poslednje jednacine proizilaze granicepromenljive ξ: ξ ∈ (0, r2). Iz druge (kao i trece) jednacine, iz uslova r > 0sledi uslov ϕ ∈ (−π/2, π/2). Na kraju, iz druge i trece jednacine proizilaziuslov za promenljivu r: r ∈ (cosϕ, 2 cosϕ). Prema tome, trazena zapreminajednaka je integralu

I =

π/2∫−π/2

dϕ

2 cosϕ∫cosϕ

r dr

r2∫0

dξ =45π

32.

Primer 3.8.6. Izracunati zapreminu tela koje je ograniceno povrsimax2

a2+

y2

b2+z2

c2= 1 i

x2

a2+y2

b2=z

c, pri tome se ima u vidu deo u unutrasnjosti

paraboloida (a, b, c > 0) (Slika 16).


Slika 16.

Resenje. Uvodimo uopstenu cilindricnu smenu: x = ar cosϕ, y = br sinϕ,z = cξ, pri cemu je r > 0, ϕ ∈ (0, 2π) i ξ ∈ R. Jakobijan ovako uve-denog preslikavanja jeste J = abcr. Skup koji je u unutrasnjosti elipsoida iparaboloida, dat je sistemom nejednacina u cilindricnom obliku: r2 +ξ2 ≤ 1i r2 ≤ ξ. Zbog poslednje nejednacine mora biti ξ ≥ 0, a zbog prve ne-jednacine je ξ ≤ 1. Neka je ξ ∈ (0, 1). Tada je ξ ≤ 1− ξ2 ako i samo ako je

ξ ∈(

0,√

5−12

). Prema tome, ako je ξ ∈

(0,√

5−12

), onda je r ∈ (0, ξ). Ako

je ξ ∈(√

5−12 , 1

), onda je r ∈ (0, 1 − ξ2). Za ϕ nema nikakvih ogranicenja.

Prema tome, trazena zapremina jednaka je sledecem integralu:

I = abc

2π∫0

dϕ

√5−12∫

0

dξ

ξ∫0

r dr +

1∫√5−12

dξ

1−ξ2∫0

r dr

= abcπ

√5−12∫

0

ξ2 dξ +

1∫√5−12

(1− ξ2)2 dξ

=

4

15abcπ.

Time smo dosli do kraja resenja.


3.8.4 Sferna smena u trostrukom integralu

Mnogi trostruki integrali izracunavaju se uvodenjem sferne smene. Neka je

x = r cosϕ sinψ, y = r sinϕ sinψ, z = r cosψ,

r > 0, 0 ≤ ϕ < 2π, 0 < ψ < π.

Jakobijan ove smene je

J =

∣∣∣∣∣∣cosϕ sinψ −r sinϕ sinψ r cosϕ cosψsinϕ sinψ r cosϕ sinψ r sinϕ cosψ

cosψ 0 −r sinψ

∣∣∣∣∣∣ = −r2 sinψ 6= 0.

Prema tome, |J | = r2 sinψ. Geometrijsko tumacenje ove smene je sledece.Ako je P tacka u prostoru R3 sa koordinatama (x, y, z), neka je P ′ ortog-onalna projekcija tacke P na Oxy ravan. Tada je r rastojanje tacke P odkoordinatnog pocetka O, ϕ je ugao u ravni Oxy meren pocev od pozitivnog

dela x-ose do vektora−−→OP ′ suprotno kretanju kazaljke na casovniku, a ψ je

ugao koji vektor−−→OP zaklapa sa pozitivnim delom z-ose, meren pocev od

pozitivnog dela z-ose.

Primer 3.8.7. Izracunati masu kugle x2 + y2 + z2 ≤ a2, ako je raspodelagustine data funkcijom f(x, y, z) =

√x2 + y2 + z2.

Dokaz. Ako je skup na kome se vrsi integracija – kugla, onda je to karakter-istican primer potrebe za uvodenjem sfernih koordinata. U ovom primeruprelaskom na sferne koordinate sledi da je funkcija raspodele gustine

f(x(r, ϕ, ψ), y(r, ϕ, ψ), z(r, ϕ, ψ)) = r.

Zamenom sfernih koordinata u nejedancinu koja u Dekartovim koordinatamaodreduje kuglu, sledi da je nejednacina koja u sfernim koordinatama opisujekuglu, data kao r2 ≤ a2, odnosno r ≤ a. Pri tome nema nikakvih dodatnihogranicenja za ϕ i ψ. Stoga se masa tela racuna na sledeci nacin:

I =

2π∫0

dϕ

π∫0

dψ

a∫0

r3 sinψdr = a4π.

3.9. NESVOJSTVENI INTEGRALI 109

3.9 Nesvojstveni integrali

Od interesa je razmatrati nesvojstvene integrale. Integral moze biti nesvo-jstven u dva slucaja. Moguce je da domen integracije jeste neogranicen skup,ili je funkcija neogranicena u okolini neke tacke ruba domena.

Neka je G oblast u Rm, m ≥ 2. Niz otvorenih i izmerljivih skupova (Gn)n

je monotoni pokrivac otvorenog skupa G, ako je G =∞⋃k=1

Gk i Gn ⊂ Gn+1

za svako n ∈ N.

Definicija 3.9.1. Neka je f funkcija definisana na otvorenom skupu G,tako da je f integrabilna na svakom merljivom (prema tome i ogranicenom)podskupu od G. Ako postoji granicna vrednost

limn→∞

∫Gn

f(x) dx = I

za svaki monotoni pokrivac (Gn)n skupa G, onda je I nesvojstven visestrukiintegral funkcije f na skupu G, u oznaci

I =

∫G

f ≡∫G

f(x) dx.

Vazno je uociti da uvedena definicija vazi samo u slucaju m ≥ 2.Naime, Definicija 3.9.1 na pravoj ne poklapa se sa ranijim pojmom nesvo-jstvenog integrala funkcije jedne promenljive, vec je specijalnija. Razloglezi u cinjenici da je monotoni pokrivac u Definiciji 3.9.1 proizvoljan, dok uslucaju funkcija jedne promenljive to nije bio slucaj. Na primer, za funkcijejedne promenljive posmatrana je granicna vrednost oblika

+∞∫a

f(x) dx = limn→+∞

n∫a

f(x) dx (3.15)

i radi se o specijalnom monotonom pokrivanju intervala (a,+∞) skupovimaoblika Gn = (a, n), n ∈ N.

Ovo je sustinska razlika u integraciji funkcija vise promenljivih u odnosuna integraciju funkcija jedne promenljive.

Navodimo i primer kojim ilustrujemo prethodna razmatranja.

Primer 3.9.1. Pokazati da je integral+∞∫0

f(x) dx, gde je

f(x) =(−1)n+1

n, x ∈ [n− 1, n), n ∈ N,


konvergentan integral u nesvojstvenom smislu na pravoj (odnosno u smislugranicne vrednosti (3.15) ), ali nije konvergentan u smislu Definicije 3.9.1.

Resenje. Prema Kosijevom kriterijumu, navedeni integral kovergira u smislu

granicne vrednosti (3.15), ako i samo ako konvergira red∑ (−1)n+1

n . Nar-avno, pomenuti red je uslovno konvergentan, i stoga integral postoji u smislugranicne vrednosti (3.15).

Sa druge strane, prema Rimanovoj teoremi, postoji neki raspored clanova

reda∑ (−1)n+1

n , tako da je suma novog reda jednaka +∞. Neka je to red∑an sa novim rasporedom clanova. Ovom redu odgovara novi monotoni

pokricac skupa (0,+∞). Racunajuci granicnu vrednost integrala po novommonotonom pokrivacu, sledi da je vrednost integrala u smislu 2.41 Definicijejednaka +∞. Prema tome, funkcija nije integrabilna u smislu Definicije3.9.1.

U ovom primeru eventualno prihvatanje mogucih granicnih vrednosti+∞ ili−∞ nije od posebnog znacaja, stoga sto promena monotonog pokrivacadovodi do promene granicne vrednosti.

Sledeci vazan rezultat je ocekivan i posledica je proizvoljnog izbora mo-notonog pokrivaca otvorenog skupa G.

Teorema 3.9.1. Funkcija f je integrabilna na otvorenom skupu G ⊂ Rm,m ≥ 2, ako i samo ako je |f | integrabilna na G.

Teorema 3.9.1 je sustinski razlicita od odgovarajuceg rezultata za inte-grale funkcija jedne promenljive. U slucaju nesvojstvenog integrala funkcijejedne promenljive, iz apsolutne konvergencije integrala sledi obicna konver-gencija ovog integrala, dok obrnuto ne vazi.

Na kraju, navodimo ocekivano tvrdenje za nenegativne funkcije.

Teorema 3.9.2. Ako je f nenegativna funkcija na otvorenom skupu G ⊂Rm, tada za svaki monotoni pokrivac (Gn)n skupa G postoji lim

n→∞

∫Gn

f(x) dx

kao konacan broj, ili je ova granicna vrednost jednaka +∞.

Primer 3.9.2. Ispitati konvergenciju i odrediti vrednost integrala

I =

∫∫R2

e−(x2+y2) dx dy.

Resenje. Funkcija f(x, y) = e−(x2+y2) je nenegativna i stoga je integralkonvergentan, ili je njegova vrednost +∞. Skupovi Gn = (x, y) : x2 + y2 <

3.10. POJMOVI U MEHANICI 111

n2 cine monotoni pokrivac ravni R2. Sledi da vazi (koriscenjem smenex = r cosϕ, y = r sinϕ)

In =

∫∫Gn

e−(x2+y2) dx dy =

2π∫0

dϕ

n∫0

re−r2dr = π(1− e−n2

)

i

I = limn→∞

In = π.

Prema tome, polazni integral je konvergentan i njegova vrednost je jednakaπ.

Primer 3.9.3. Dokazati da vazi+∞∫−∞

e−x2dx =

√π (Gausov integral7; Ojler8-

Puasonov9 integral).

Resenje. Neka je Fn = (−n, n) × (−n, n) monotoni pokrivac skupa R2.Prema prethodnom primeru je

π = limn→∞

∫∫Fn

e−(x2+y2) dx dy = limn→∞

+n∫−n

e−x2dx

+n∫−n

e−y2dy

= limn→∞

+n∫−n

e−x2dx

2

.

Prema tome,+∞∫−∞

e−x2dx =

√π.

3.10 Pojmovi u mehanici

FU ovoj sekciji povezujemo integrale i razne pojmove u mehanici.

7Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855), nemacki matematicar i fizicar8Leonhard Euler (1707-1783), svajcerski matematicar i fizicar9Simeon Denis Poisson (1781-1840), francuski matematicar, geometar i fizicar


3.10.1 Moment inercije materijalne ravne figure

Neka je M materijalna tacka mase m i neka je O proizvoljna tacka prostora.Moment inercije materijalne tacke M u odnosu na tacku O jeste velicinaI = mr2, gde je r rastojanje izmedu tacaka O i M .

Ako je dat sistem materijalnih tacaka M1, . . . ,Mn, cije su mase redomjednake m1, . . . ,mn, onda je moment inercije ovog sistema materijalnih

tacaka jednak I =n∑i=1

mir2i , gde je ri rastojanje tacke Mi od tacke O.

Neka je G materijalna ravna figura pozitivne mase. Smatramo da jefigura u ravni Oxz. Neka je funkcija (x, y) 7→ f(x, y) gustine raspodelemase ravne figure G. Funkcija f je nenegativna i neprekidna na G. Neka jeT = G1, . . . , Gn proizvoljno razbijanje skupa G i neka su Mi = (xi, yi) ∈Gi proizvoljne tacke. Elementaran moment inercije na delu Gi u odnosuna koordinatni pocetak O jeste proizvod kvadrata rastojanja tacke Mi odkoordinatnog pocetka i mase tela Gi. Masa tela Gi jednaka je proizvodu gus-tine i povrsine (degenerisane dvodimenzionalne zapremine). Prema tome,∆Ii = (x2

i + y2i )f(xi, yi) · m2(Gi). Po analogiji sa sistemom od konacno

mnogo materijalnih tacaka, moment inercije tela G u odnosu na koordinatnipocetak priblizno je jednak sumi

n∑i=1

(x2i + y2

i )f(xi, yi) ·m2(Gi).

Odstupanje od tacnog momenta inercije je utoliko manje ukoliko je dijametarpodele manji. Obzirom da je prethodna suma u stvari Rimanova sumafunkcije (x, y) 7→ (x2 + y2)f(x, y) na skupu G, sledi da je moment inercijetela G u odnosu na koordinatni pocetak jednak

IO =

∫∫G

(x2 + y2)f(x, y) dx dy.

Moment inercije u odnosu na koordinatni pocetak naziva se i polarni momentinercije.

Analogno se moze definisati moment inercije materijalne ravne figure uodnosu na bilo koju koordinatnu osu. Tada se koristi kvadrat rastojanja odte koordinatne ose. Integrali

Ix =

∫∫G

y2f(x, y) dx dy i Iy =

∫∫G

x2f(x, y) dx dy

jesu momenti inercije ravne figure G u odnosu na x- i y-koordinatne oseredom.


Primer 3.10.1. Naci moment inercije ravne materijalne figure G u odnosuna obe ose i koordinatni pocetak, ako je G ogranicena krivama y2 = x− 1,x = 2 i y = 0, u delu ravni y ≥ 0, a gustina raspodele mase data je funkcijomf(x, y) = y.

Resenje. Presek krivih koje ogranicavaju oblast G jesu tacke A(1, 0), B(2, 0)i C(2, 1). Momenti inercije tela G u odnosu na koordinantne ose jesu

Iy =

1∫0

y dy

2∫y2+1

x2 dx =17

24, Ix =

1∫0

y3 dy

2∫y2+1

dx =1

12,

a moment inercije u odnosu na koordinantni pocetak jeste

IO = Ix + Iy =19

24.

3.10.2 Elipsa inercije

Neka je G ravno telo u koordinatnoj ravni Oxy, cija je gustina raspodelemase data nenegativnom neprekidnom funkcijom (x, y) 7→ f(x, y) na skupuG. Neka je ` prava koja prolazi kroz koordinatni pocetak i zaklapa ugao ϕsa pozitivnim delom x-ose. Tada je jednacina prave ` data kao y = x tgϕ,odnosno

x sinϕ− y cosϕ = 0.

Neka je M(x, y) proizvoljna tacka ravni. Lako se proverava da je rastojanjetacke M od prave ` jednako

r = |x sinϕ− y cosϕ|.

Moment inercije tela G u odnosu na pravu ` jednak je

I` =

∫∫G

(x sinϕ− y cosϕ)2f(x, y) dx dy

= sin2 ϕ

∫∫G

x2f(x, y) dx dy − 2 sinϕ cosϕ

∫∫G

xyf(x, y) dx dy

+ cos2 ϕ

∫∫G

y2f(x, y) dx dy

= Iy sin2 ϕ− 2Ixy sinϕ cosϕ+ Ix cos2 ϕ,


uz prirodnu oznaku Ixy =∫∫G

xyf(x, y) dx dy. Velicina I` definisana je in-

tegralom nenegativne funkcije, te je I` > 0 (osim u ekstremnim slucajevimakoji sada nisu od interesa). Stoga se prethodna formula moze zapisati uobliku

1 = Ix

(cosϕ√I`

)2

− 2Ixy

(sinϕ√I`

)(cosϕ√I`

)+ Iy

(sinϕ√I`

)2

. (3.16)

Uocimo na pravoj ` tacku A(x, y), koja je na rastojanju od O jednakom1√I`

. Polozaj tacke A uslovljen je pravom `, odnosno uslovljen je uglom

ϕ. Trazimo geometrijsko mesto svih takvih tacaka A u zavisnosti od uglaϕ. Drugim recima, rotiramo pravu ` oko koordinatnog pocetka i pratimokretanje tacke A. Ocigledno, koordinate (x, y) tacke A zadovoljavaju uslove:

x =cosϕ√I`, y =

sinϕ√I`.

Na osnovu jednakosti 3.16 sledi rezultat

1 = x2Ix − 2xyIxy + y2Iy. (3.17)

Velicine Ix, Iy i Ixy ne zavise od ugla ϕ, vec samo koordinate (x, y) takceA. Prema tome geometrijsko mesto svih tacaka A(x, y), koje se dobijapromenom ugla ϕ, jeste kriva drugog reda, cija je jednacina data formu-lom 3.17.Formulom

〈s, t〉 =

∫∫G

s(x, y)t(x, y)f(x, y) dx dy

definisan je skalarni proizvod u skupu C(G) svih neprekidnih funkcija nakompatu G. Na osnovu nejednakosti Kosi10-Bunjakovskog11-Svarca12:

|〈s, t〉| ≤ ‖s‖ · ‖t‖,

pri cemu je (videti 1.32 Primer iz prve glave)

‖s‖ =

∫∫G

(s(x, y))2f(x, y) dx dy

12

.

10Augustin-Louis Cauchy (1789-1857), francuski matematicar11Viktor Yakovych Bunyakovsky (1804-1889), ukrajinsko-ruski matematicar)12Karl Hermann Amandus Schwarz (1843-1921), nemacki matematicar


Na osnovu ove nejednakosti sledi procena∣∣∣∣∣∣∫∫G

xyf(x, y) dx dy

∣∣∣∣∣∣2

≤

∫∫G

x2f(x, y) dx dy

∫∫G

y2f(x, y) dx dy

,koja se krace moze zapisaiti

IxIy − I2xy > 0.

Prema tome, diskrimanta krive (2.49.2) je pozitivna i ta kriva je elipsa.Kriva (2.49.2) je elipsa inercije materijalnog ravnog tela G.

3.10.3 Moment inercije materijalne figure

Neka je M(x, y, z) tacka u prostoru mase m. Tada su momenti inercije tackeM u odnosu na sve tri koordinatne ose i koordinatni pocetak dati formulama:

Ix = (y2 + z2)m, Iy = (x2 + z2)m, Iz = (x2 + y2)m,

IO = (x2 + y2 + z2)m.

Neka je dat konacan sistem tacaka M1(x1, y1, z1), . . . ,Mn(xn, yn, zn), cijesu mase redom m1, . . . ,mn. Kvadrati njihovih rastojanja od, na primer, oseOx jesu y2

1 + z21 , . . . , y

2n + z2

n. Tada je moment inercije ovog sistema tacakau odnosu na x-osu jednak

Ix =

n∑i=1

(y2i + z2

i )mi.

Neka je telo G predstavljena kao merljiva oblast u prostoru. Gustinaraspodele tela G data je funkcijom f(x, y, z) koja je nenegativna i neprekidnana G. Po analogiji sa ranijim razmatranjima, momenti inercije oblasti G uodnosu na koordinatne ose i kordinatni pocetak jesu redom:

Ix =

∫∫∫G

(y2 + z2)f(x, y, z) dx dy dz,

Iy =

∫∫∫G

(x2 + z2)f(x, y, z) dx dy dz

Iz =

∫∫∫G

(x2 + y2)f(x, y, z) dx dy dz

IO =

∫∫∫G

(x2 + y2 + z2)f(x, y, z) dx dy dz.


Primer 3.10.2. Dato je telo oblika valjka visine 2h, poluprecnika osnoveR, konstantne gustine c. Izracunati moment inercije valjka u odnosu na osuvaljka, kao i na pravu koja polovi osu valjka i normalna je na nju.

Resenje. Jednostavnosti radi, neka je srediste valjka koordinatni pocetak, aosa valjka neka je na z-osi. Sada treba izracunati moment inercije valjka uodnosu na z-osu i u odnosu na bilo koju pravu u ravni Oxy, koja prolazikroz koordinatni pocetak: na primer u odnosu na x-osu. Tada je

Iz = c

∫∫∫G

(x2 + y2) dx dy dz.

Uvedimo cilindricne koordinate: z = r cosϕ, y = r sinϕ, z = ξ. Tada jedomen novih promenljivih r ∈ (0, R), ξ ∈ (−h, h) i ϕ ∈ (0, 2π). Stoga je

Iz = c

2π∫0

dϕ

h∫−h

dξ

R∫0

r3dr = πchR4.

Takode je

Ix = c

2π∫0

dϕ

R∫0

r dr

h∫−h

(r2 sin2 ϕ+ ξ2) dξ

= cπhR2

(2h2

3+R2

2

).

3.10.4 Teziste materijalne ravne figure

Neka je dat konacan sistem tacaka Pi(xi, yi), cije su mase jednake mi, i =1, . . . , n. Tada teziste T (xt, yt) ovog sistema tacaka ima sledece koordinate:

xt =

n∑i=1

ximi

n∑i=1

mi

, yt =

n∑i=1

yimi

n∑i=1

mi

.

Neka je G ravna figura, odnosno merljiva oblast u R2, i neka je datagustina raspodele mase tela G funkcijom f(x, y), koja je nenegativna ineprekidna na G. Neka je T = G1, . . . , Gn razbijanje skupa G i neka


su Mi(xi, yi) ∈ Gi proizvoljne tacke. Tada su priblizne koordinate tezistaT (xt, yt) tela G date na sledeci nacin:

xt ∼

n∑i=1

xif(xi, yi) ·m(Gi)

n∑i=1

f(xi, yi) ·m(Gi)

, yt ∼

n∑i=1

yif(xi, yi) ·m(Gi)

n∑i=1

f(xi, yi) ·m(Gi)

.

Prelaskom na granicnu vrednost kada dijametar podele tezi nuli, sledi da sukoordinate tezista precizno:

xt =

∫∫G

xf(x, y) dx dy∫∫G

f(x, y) dx dy, yt =

∫∫G

yf(x, y) dx dy∫∫G

f(x, y) dx dy.

Izrazi

My =

∫∫G

xf(x, y) dx dy, Mx =

∫∫G

yf(x, y) dx dy

nazivaju se staticki momenti ravne figure G u odnosu na ose Oy i Ox redom.Velicina ∫∫

G

f(x, y) dx dy

je, naravno, masa ravnog tela G.

Primer 3.10.3. Izracunati koordinate tezista tela oblika cetvrtine elipsex2

a2+ y2

b2= 1, x ≥ 0, y ≥ 0, ako je gustina raspodele mase data sa f(x, y) = 1.

Resenje. Prema ranije datim formulama, vazi

xt =

a∫0

dx

ba

√a2−x2∫0

x dy

a∫0

dx

ba

√a2−x2∫0

dy

=4a

3πi yt =

4b

3π.

3.10.5 Teziste materijalne figure u prostoru

Neka je telo u prostoru predstavljeno kao oblast G u R3. Gustina raspodelemase tela G data je nenegativnom i neprekidnom funkcijom f(x, y, z) na


skupu G. Tada su koordinate tezista tela T (xt, yt, zt) date formulama

xt =

∫∫∫G

xf(x, y, z) dx dy dz∫∫∫G

f(x, y, z) dx dy dz, yt =

∫∫∫G

yf(x, y, z) dx dy dz∫∫∫G

f(x, y, z) dx dy dz

zt =

∫∫∫G

zf(x, y, z) dx dy dz∫∫∫G

f(x, y, z) dx dy dz.

Izrazi

Myz =

∫∫∫G

xf(x, y, z) dx dy dz, Mxz =

∫∫∫G

yf(x, y, z) dx dy dz,

Mxy =

∫∫∫G

zf(x, y, z) dx dy dz

nazivaju se staticki momenti ravne figure G u odnosu na ravni Oyz, Oxz iOxy redom.

Primer 3.10.4. Dato je telo oblika polulopte G poluprecnika R i konstantnegustine c. Odrediti teziste tela G.

Resenje. Bez gubljenja opstosti, pretpostavimo da je telo G ogranicenopolusferom z =

√R2 − x2 − y2 i Oxy ravni. Ocigledno su poznate koordi-

nate xt = 0 i yt = 0. Prelaskom na sferne koordinate: x = r cosϕ sinψ,y = R sinϕ sinψ, z = r cosψ, uz uslove r ∈ (0, R), ϕ ∈ (0, 2π), ψ ∈ (0, π/2),sledi da vazi

zt =

2π∫0

dϕR∫0

r3drπ/2∫0

sinψ cosψ dψ

23R

3π=

3

8R.

Glava 4

Krivolinijski integrali

4.1 Krive u Rn

Kriva u prostoru Rn je neprekidno preslikavanje γ : [a, b]→ Rn, pri cemu jea, b ∈ R i a < b.

Skup γ∗ = γ(t) : t ∈ [a, b] je grafik, ili slika krive γ.

Imamo u vidu da je neprekidna slika kompaktnog skupa uvek kompaktanskup, [a, b] je kompakt u R i γ je neprekidno preslikavanje na [a, b]. Stogaproizilazi da je γ∗ kompaktan skup u Rn.

Ako je γ : [a, b]→ Rn kriva, tada postoje koordinatne funkcije x1, . . . , xn :[a, b]→ R, tako da za svako t ∈ [a, b] vazi γ(t) = (x1(t), . . . , xn(t)). Koristi sei oznaka γ = (x1, . . . , xn). Podsecamo da je neprekidnost funkcije γ na [a, b]ekvivalentna neprekidnosti svih koordinatnih funkcija x1, . . . , xn na [a, b].

Kriva γ je orijentisana u smislu rasta parametra. Prema tome, za svakot1, t2 ∈ [a, b] i t1 < t2, vazi da je kriva γ orijentisana od tacke γ(t1) ka tackiγ(t2). Specijalno, γ(a) je pocetak krive γ, dok je γ(b) kraj krive γ, a krivaγ je orijentisana od tacke γ(a) ka tacki γ(b).

Ako postoje tacke t1, t2 ∈ [a, b], tako da je t1 6= t2 i γ(t1) = γ(t2) = T ,onda je T tacka samopreseka krive γ. Izuzetno, ako je γ(a) = γ(b) = T ,onda je T istovremeno pocetak i kraj krive γ, ali nije tacka samopreseka.

Ako je γ(a) = γ(b), onda je γ zatvorena kriva.

Kriva γ je prosta, ako ova kriva nema tacaka samopreseka.

Neka je P : a = t0 < t1 < · · · < tkP = b proizvoljna podela segmenta[a, b]. Tada je

`(γP ) =

kP∑j=1

‖γ(tj)− γ(tj−1)‖

119

120 GLAVA 4. KRIVOLINIJSKI INTEGRALI

duzina poligonalne linije γP cija su temena γ(t0), γ(t1), . . . , γ(tkP ) u skupuγ∗, i ova temena su odredena podelom P. U upotrebi je termin: poligonalnalinija γP je upisana u krivu γ. Neka je d(P) = max

j|tj − tj−1| dijametar

podele P.

Ako podeli P pridruzimo nekoliko podeonih tacaka, dobijamo finiju podeluP ′, u oznaci P ′ P. Ocidgledno je d(P) ≥ d(P ′). Finijoj podeli odgovaranova poligonalna linija γP ′ , cija je duzina `(γP ′). Na osnovu geometrijskenejednakosti trougla, sledi da je `(γP) ≤ `(γP ′) (videti Sliku 17).

Slika 17.

Proizilazi da f inije podele segmenta [a, b] indukuju poligonalne linijevece duzine, koje su upisane u krivu γ.

Kriva γ je rektificijabilna (kriva γ ima duzinu), ako postoji pozitivan brojM tako da je

kP∑j=1

‖γ(tj)− γ(tj−1)‖ ≤M

za sve podele P : a = t0 < t1 < · · · < tk = b segmenta [a, b]. Ako je γrektificijabilna kriva, onda je

`(γ) = supP

kP∑j=1

‖γ(tj)− γ(tj−1)‖

duzina krive γ, pri cemu je supremum uzet po svim podelama P segmenta[a, b].

Rektificijabilne krive se jesu krive ogranicene varijacije, pri cemu je to-talna varijacija krive (na segmentu [a, b]) upravo jednaka duzini te krive.

Ako je γ rektificijabilna kriva, imajuci u vidu da su duzine poligonalnihlinija nenegeativne, kao i cinjenicu da finije podele segmenta [a, b] indukujupoligonalne linije vecih duzina, dolazimo do jednakosti:

limd(P)→0

kP∑j=1

‖γ(tj)− γ(tj−1)‖ = supP

kP∑j=1

‖γ(tj)− γ(tj−1)‖.

4.1. KRIVE U RN 121

Pri tome,

limd(P)→0

kP∑j=1

‖γ(tj)− γ(tj−1)‖ = A ∈ R,

ako i samo ako za svako ε > 0 postoji δ > 0, tako da za svaku podelu Psegmenta [a, b] vazi implikacija

d(P) < δ =⇒

∣∣∣∣∣∣kP∑j=1

‖γ(tj)− γ(tj−1)‖ −A

∣∣∣∣∣∣ < ε.

Kriva γ = (x1, . . . , xn) je diferencijabilna, ako je γ diferencijabilna funkcija,tj. ako i samo ako su sve koordinatne funkcije x1, . . . , xn diferencijabilne. Utom slucaju je γ′ = (x′1, . . . , x

′n).

Ako je γ′(t) 6= 0 za neko t ∈ [a, b], onda je γ′(t) je tangenta krive γ utacki γ(t).

Kriva γ je neprekidno diferencijabilna, ako i samo ako γ′ postoji i γ′ jeneprekidna funkcija. Ekvivalentno, γ je neprekidno diferencijabilna ako isamo ako su sve funkcije x1, . . . , xn neprekidno diferencijabilne.

Kriva γ je glatka, ako je γ′ neprekidna funkcija na [a, b] i γ′(t) 6= 0 zasvako t ∈ [a, b]. Imajuci u vidu da je γ′(t) 6= 0 vektor tangente krive γ utacki γ(t), proizilazi da je kriva γ je glatka, ako i samo ako je vektor tangentekrive γ razlicit od nula-vektra u svakoj tacki, i osim toga ”kretanje vektoratangente“ je neprekidno.

Ekvivalentno, γ = (x1, . . . , xn) je glatka kriva, ako i samo ako su svefunkcije x1, . . . , xn neprekidno diferencijabilne na [a, b], i pri tome je

‖γ′(t)‖ =√

(x′1(t))2 + · · ·+ (x′n(t))2 6= 0, za svako t ∈ [a, b].

Ako je γ = (x1, . . . , xn) kriva, tada je po definiciji

b∫a

γ(t)dt =

b∫a

x1(t)dt, · · · ,b∫a

xn(tdt

.

Svi integrali postoje, jer su funkcije x1, . . . , xn neprekidne na [a, b].

Teorema 4.1.1. Neka je γ : [a, b]→ Rn neprekidno diferencijabilna funkcija.Tada vazi formula:

b∫a

γ′(t)dt = γ(b)− γ(a).


Dokaz. Neka je γ = (x1, . . . , xn). Primenimo odgovarajucu teoremu zaskalarne funkcija x1, . . . , xn, koje su neprekidno diferencijabilne na [a, b]:

b∫a

γ′(t)dt =

b∫a

x′1(t)td, . . . ,

b∫a

x′n(t)dt

=

(x1(b)− x1(a), . . . , xn(b)− xn(a)

)= γ(b)− γ(a).

Dokazujemo sledecu teoremu o integralima krivih.

Teorema 4.1.2. Neka je γ : [a, b] → Rn neprekidno preslikavaje. Tada jet 7→ ‖γ(t)‖ realna neprekidna funkcija na [a, b] i pri time je∥∥∥∥∥∥

b∫a

γ(t)dt

∥∥∥∥∥∥ ≤b∫a

‖γ(t)‖dt. (4.1)

Dokaz. Neka je γ = (x1, . . . , xn). Sve funkcije γ, x1, . . . , xn su neprekidnena [a, b]. Funkcija x 7→ ‖x‖ je neprekidna na Rn. Stoga je i funkcija t 7→‖γ(t)‖ =

√(x1(t))2 + · · ·+ (xn(t))2 neprekidna na [a, b]. Sledi da postoji

b∫a‖γ(t)‖dt. Neka je y =

b∫aγ(t)dt ∈ Rn i yi =

b∫axi(t)dt, i = 1, . . . , n. Tada je

y = (y1, . . . , yn) i vazi

‖y‖2 =

n∑i=1

y2i =

n∑i=1

yi

b∫a

xi(t)dt =

b∫a

(n∑i=1

yi xi(t)

)dt.

Na osnovu nejednakosti Kosi-Svarca-Bunjakovskog, sledi da je za svako t ∈[a, b] ispunjeno:

n∑i=1

yi xi(t) ≤

(n∑i=1

y2i

)1/2( n∑i=1

(xi(t))2

)1/2

= ‖y‖‖γ(t)‖.

Integralimo poslednju nejednakost po t na segmentu [a, b]:

‖y‖2 =

b∫a

(n∑i=1

yi xi(t)

)dt ≤ ‖y‖

b∫a

‖γ(t)‖dt.

4.1. KRIVE U RN 123

Ako je y = 0, trazena nejednakost (4.1) sledi trivijalno, Ako je y 6= 0, ondaje ∥∥∥∥∥∥

b∫a

γ(t)dt

∥∥∥∥∥∥ = ‖y‖ ≤b∫a

‖γ(t)‖dt.

Tvrdenje ove teoreme ocigledno trivijalno vazi i pod opstijom pretpostavkom,da su sve funkcije x1, . . . , xn Riman integrabilne na segmentu [a, b].

Koristeci prethodno dokazanu nejednakost dokazujemo teoremu o rekti-ficijabilnosti glatke krive.

Teorema 4.1.3. Neka je γ : [a, b]→ Rn glatka kriva. Tada je γ rektificija-bilna kriva i njena duzina je

`(γ) =

b∫a

‖γ′(t)‖dt =

b∫a

√(x′1(t))2 + · · ·+ (x′n(t))2 dt.

Dokaz. Neka je P : a = t0 < t1 · · · < tkP = b proizvoljna podela segmenta[a, b]. Na osnovu neprekidnosti funkcija x′1, . . . , x

′n sledi da vazi:

‖γ(tj)− γ(tj−1)‖ =

∥∥∥∥∥∥∥tj∫

tj−1

γ′(t)dt

∥∥∥∥∥∥∥ ≤tj∫

tj−1

‖γ′(t)‖dt.

Sumiranjem svih nejednakosti za j = 1, . . . , k, sledi da je

k∑j=1

‖γ(tj)− γ(tj−1)‖ ≤b∫a

‖γ′(t)‖dt.

Na kraju, posmatramo supremum leve strane nejednakosti po svim pode-lama P segmenta [a, b]:

`(γ) ≤b∫a

‖γ′(t)‖dt.

Ovim smo dokazali da je γ rektificijabilna kriva. Potrebno je dokazatisuprotnu nejednakost. Funkcija γ′ je neprekidna na [a, b], te je ova funkcijaravnomerno neprekidna na [a, b]. Neka je ε > 0. Postoji δ > 0, tako daza svako s, t ∈ [a, b], ako je |s − t| < δ onda je ‖γ′(s) − γ′(t)‖ < ε. Nekaje P : a = t1 < t1 < · · · < tkP = b podela segmenta [a, b], tako da je


tj − tj−1 < δ za svako j = 1, . . . , kP . Stoga, ako je t ∈ [tj−1, tj ], onda je‖γ′(t)− γ′(tj)‖ < ε, odnosno

‖γ′(t)‖ ≤ ‖γ′(tj)‖+ ε.

Sada vazi

tj∫tj−1

‖γ′(t)‖dt ≤tj∫

tj−1

(‖γ′(tj)‖+ ε)dt = (‖γ′(tj)‖+ ε)(tj − tj−1)

=

∥∥∥∥∥∥∥tj∫

tj−1

(γ′(t) + γ′(tj)− γ′(t))dt

∥∥∥∥∥∥∥+ ε(tj − tj−1)

≤

∥∥∥∥∥∥∥tj∫

tj−1

γ′(t)dt

∥∥∥∥∥∥∥+

∥∥∥∥∥∥∥tj∫

tj−1

(γ′(tj)− γ′(t))dt

∥∥∥∥∥∥∥+ ε(tj − tj−1)

≤ ‖γ(tj)− γ(tj−1)‖+

tj∫tj−1

‖γ′(tj)− γ′(t)‖dt+ ε(tj − tj−1)

≤ ‖γ(tj)− γ(tj−1)‖+ 2ε(tj − tj−1).

Saberemo sve prethodne nejednakosti za j = 1, . . . , kP :

b∫a

‖γ′(t)‖dt ≤kP∑j=1

‖γ(tj)− γ(tj−1)‖+ 2ε(b− a).

Leva strana nejednakosti je konstantan broj, dok desna strana zavisi odpodele P i broja ε > 0. Posmatramo najpre granicnu vrednost kada di-jametar podele P segmenta [a, b] tezi ka nuli, a zatim posmatramo infimumdesne strane po svim ε > 0. Sledi nejednakost

b∫a

‖γ′(t)‖dt ≤ `(γ).

Uzimajuci u obzir da smo pokazali i obrnutu nejednakost, teorema je dokazana.

Kriva γ je deo po deo glatka, ako postoji podela P : a = s1 < s1 < · · · <sm = b segmenta [a, b], tako da je kriva γ glatka na svakom od segmenata

4.1. KRIVE U RN 125

[sj−1, sj ], j = 1, . . . ,me. U ovom slucaju leva tangenta krive γ u tacki sjna segmentu [sj−1, sj ] ne mora biti jednaka desnoj tangenti krive γ u tackisj na segmentu [sj , sj+1]. Jedine tacke koje eventualno remete neprekidnosttangente γ′ jesu s1, . . . , sm−1.

Deo po deo glatka kriva naziva se putanja.Ako je γ prosta zatvorena putanja, tada je γ kontura.

Teorema 4.1.4. Ako je γ deo po deo glatka kriva u Rn, tada je γ rektifici-jabilna. Takode

`(γ) =

b∫a

‖γ′(t)‖dt =

b∫a

√(x′1(t))2 + · · ·+ (x′n(t))2dt,

pri cemu zanemarujemo konacno mnogo tacaka sj u kojima ne postoji γ′(sj).

Dokaz. Neka je a = s0 < s1 < · · · < sm = b, tako da je γ glatka na svakomsegmentu [sj−1, sj ]. Tada je γ rektificijabilna na [sj−1, sj ]. Jednostavnosledi da je duzina krive γ (na segmentu [a, b]) jednaka zbiru duzina krive γna svakom od segmenata [sj−1, sj ]. Formula za izracunavanje duzine krive

sledi na osnovub∫a‖γ′(t)‖dt =

m∑j=1

sj∫sj−1

‖γ′(t)‖dt.

Definicija 4.1.1. Neka je a, b, c, d ∈ R tako da je a < b i c < d. Preslikavanjeµ : [a, b] → [c, d] je difeomorfizam, ako je µ strogo monotona bijekcija, i pritome su µ i µ−1 neprekidno diferencijabilne funkcije.

Definicija 4.1.2. Neka su γ1 : [a, b] → Rn i γ2 : [c, d] → Rn dve putanje.Putanje γ1 i γ2 su medjusobno ekvivalentne i iste orijentacije, ako postojistrogo rastuci difeomorfizam µ : [a, b]→ [c, d], tako da je γ1 = γ2 µ. U tomslucaju koristimo oznaku γ1 ≡ γ2.

Sledece tvrdenje je ocigledno.

Teorema 4.1.5. Ako je γ1 ≡ γ2, onda je γ∗1 = γ∗2 .

Teorema 4.1.6. Relacija ≡ je relacija ekvivalencije na skupu svih putanjau Rn.

Dokaz. Neka su γ1 : [a, b]→ Rn, γ2 : [c, d]→ Rn i γ3 : [e, f ]→ Rn putanje.Identicko preslikavanje id : [a, b]→ [a, b] je strogo rastuci difeomorfizam,

te na osnovu γ1 = γ1 id sledi γ1 ≡ γ1, odnosno ≡ je refleksivna relacija.Neka je γ1 ≡ γ2 i neka je µ : [a, b] → [c, d] strogo rastuci difeomorfizam

tako da vazi γ1 = γ2 µ. Tada je µ−1 : [c, d] → [a, b] takode strogo rastuci


difeomorfizam i γ2 = γ1 µ−1. Sledi da je γ2 ≡ γ1. Time dokazujemosimetricnost relacije ≡.

Neka je γ1 ≡ γ2, γ2 ≡ γ3, i neka su µ : [a, b] → [c, d], ν : [c, d] → [e, f ]strogo rastuci difeomorfizmi, tako da je γ1 = γ2 µ i γ2 = γ3 ν. Tada jeν µ : [a, b] → [e, f ] strogo rastuci difeomorfizam i γ1 = γ3 (ν µ). Slediγ1 ≡ γ3. Time je dokazana tranzitivnost relacije ≡.

Ako su [a, b] i [c, d] dva netrivijalna segmenta realne prave (a < b i c < d),tada postoji strogo rastuci difeomorfizam µ : [a, b] → [c, d]. Jednostavno jeproveriti da linearno preslikavanje µ(t) = d−c

b−a t+ c− ad−cb−a ispunjava trazeneuslove.

Definicija 4.1.3. Neka su γ1[a, b] → Rn i γ2 : [c, d] → Rn dve putanje, ineka je µ : [a, b]→ [c, d] strogo opadajuci difeomorfizam. Ako je γ1 = γ2 µ,tada su γ1 i γ2 ekvivalentne i suprotnih orijentacija. Oznaka je γ1 ≡ −γ2.

Teorema 4.1.7. Neka su γ1 : [a, b]→ Rn, γ2 : [c, d]→ Rn i γ3 : [e, f ]→ Rnputanje.

(1) Ako je γ1 ≡ −γ2, onda je γ∗1 = γ∗2 ;(2) Ako je γ1 ≡ −γ2, tada je γ2 ≡ −γ1;(3) Ako je γ1 ≡ −γ2 i γ2 ≡ −γ3, tada je γ1 ≡ γ3.

Dokaz. (1) Ovo tvrdenje je ocigledno.(2) Neka je γ1 ≡ −γ2 i neka je µ : [a, b] → [c, d] strogo opadajuci difeo-

morfizam tako da vazi γ1 = γ2 µ. Tada je µ−1 : [c, d] → [a, b] strogoopadajuci difeomorfizam i vazi γ2 = γ1 µ−1. Stoga je γ2 ≡ −γ1.

(3) Neka je, uz uslove (2), ν : [c, d] → [e, f ] strogo opadajuci difeomor-fizam tako da je γ2 = γ3 ν. Tada je ν µ : [a, b] → [e, f ] strogo rastucidifeomorfizam i vazi γ1 = γ3 (ν µ). Stoga je γ1 ≡ γ3.

Primer 4.1.1. Neka je γ1 : [a, b]→ Rn putanja. Posmatramo preslikavanjeµ : [a, b] → [a, b] definisano sa µ(t) = a + b− t. Tada je µ strogo opadajucidifeomorfizam. Ako je γ2 : [a, b] → Rn putanja definisana kao γ2(t) =γ1(a+ b− t) = γ1 µ, tada je γ2 ≡ −γ1.

Cesto se koristi ”sabiranje“ putanja koje se ”nastavljaju“. Neka su γ1 :[a, b] → Rn i γ2 : [c, d] → Rn dve putanje, tako da je γ1(b) = γ2(c). Nekaje e > b. Postoji strogo rastuci difeomorfizam µ : [b, e] → [c, d]. Neka jeγ3 : [b, e] → Rn putanja odredena kao γ3(t) = γ2(µ(t)). Tada je γ3 ≡ γ2.Definisemo putanju γ : [a, e]→ Rn na sledeci nacin:

γ(t) =

γ1(t), t ∈ [a, b],

γ3(t) = γ2(µ(t)), t ∈ [b, e].

4.1. KRIVE U RN 127

Tada je putanja γ jednaka zbiru putanja γ1 i γ2, u oznaci γ = γ1 + γ2 (vidiSliku 18).

Slika 18.

Primer 4.1.2. Posmatrajmo dve konture u ravni, γ1 : [0, 2π] → R2 iγ2 : [−π, π] → R2, tako da je γ1(t) = (cos t, sin t) za t ∈′ 0, 2π] i γ2(s) =(cos s, sin s) za s ∈′ −π, π]. Jasno je da obe krive imaju istu geometrijskuinterpretaciju: γ∗1 = γ∗2 = T , odnosno grafici ovih krivih se poklapaju i jed-naki su jedinicnoj kruznici u ravni. Stavise, obe krive su proste i iste suorijentacije.

Pretpostavimo da su krive γ1 i γ2 ekvivalentne krive iste orijentacije.Tada postoji strogo rastuci difeomorfizam µ : [0.2π] →′ −π, π], tako daje γ1 = γ2 µ. Prema tome, za svako t ∈ [0, 2π] vazi (cos t, sin t) =(cosµ(t), sinµ(t)). Proizilazi da postoji k ∈ Z tako da je µ(t) = t + 2kπza svako t ∈ [0, 2π]. Tada je µ(t) ∈ [2kπ, (2k + 2)π] za svako t ∈ [0, 2π].Ocigledno, ne postoji k ∈ Z tako da je [2kπ, (2k + 2)π] = [−pi, π]. Sledida krive γ1 i γ2 nisu ekvivalentne krive iste orijentacije. Primetimo dane pomaze na prvi pogled ocigledna transformacija µ(t) = t − π za svakot ∈ [0, 2π].

Pristupimo problemu na drugi nacin. Neka je γ11(t) = (cos t, sin t) zat ∈ [0, π], γ12(s) = (cos s, sin s) za s ∈ [π, 2π], i γ21 = (cosu, sinu) zau ∈ [−π, 0]. Tada je γ1 = γ11+γ12 i γ2 = γ21+γ11. Jednostavno dokazujemoγ12 ≡ γ22. Naime, neka je u = ν(t) = t − 2π za svako t ∈ [π, 2π]. Tada jeν : [π, 2π]→ [−π, 0] strogo rastuci difeomorfizam, kao i γ12 = γ22 ν.

Dokazali smo da su konture γ1 i γ2 ”po delovima“ ekvivalentne putanjeiste orijentacije, ali ipak posmatrane u celini nisu ekvivalentne putanje isteorijentacije. Algebarskom terminologijom receno, relacija ≡ nije relacijakongruencije u odnosu na sabiranje putanja.

Sada formulisemo Zordanovu teoremu o prostim zatvorenim krivama uravni.

Teorema 4.1.8. (Zordan) Neka je γ prosta zatvorena kriva u ravni R2.Tada postoje uzajamno disjunktne oblasti G0

γ i G∞γ , tako da vazi:(1) G0

γ ∩G∞γ = ∅;(2) G0

γ je ogranicena oblast u R2, G∞γ je neogranicena oblast u R2;


(3) ∂G0γ = ∂G∞γ = γ∗;

(4) R2 = G0γ ∪G∞γ ∪ γ∗.

Dokaz ove teoreme prevazilazi okvire rukopisa iz matematicke analize nauobicajenom nivou. Zordanova teorema moze biti dokazana, izmedu osta-log, koriscenjem Brauerove teoreme o fiksnoj tacki, ili metodama algebarsketopologije.

Skup G0γ je ogranicena oblast odredena konturom γ, ili kontura γ ogra-

nicava oblast G0γ . Sa druge strane, G∞γ je neogranicena oblast odredena

konturom γ.

Intuitivno, kontura γ je orijentisana pozitivno, ako pri obilastku kontureγ u smeru orijentacije, oblast G0

γ ostaje sa leve strane konture.

Precizna definicija pozitivne orijentacije konture uvodi se primenom ho-motopije: kruznica γ1(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2π] neprekidnom transforma-cijom u ravni R2 moze biti prevedena u krivu γ. Pri tome, pozitivna ori-jentacija kruznice (u smeru rasta parametra t) postaje pozitivna orijentacijakonture γ. Ovakva nepekidna transformacija je homotopna ekvivalencija, iizucava se detaljno u okviru visih kurseva analize ili topologije.

Napominjemo da je pozitivna orijentacija zatvorene konture uslovljenadavno prihvacenom orijentacijom trigonometrijske kruznice. Isti princip jekoriscen kod polarne smene u ravni, kao i kod cilindricne i sferne smene utrodimenzionalnom prostoru.

Ako je γ kontura u ravni, onda je njena pozitivna orijenacija oznacenasa γ+, dok je negativna orijentacija oznacena sa γ−.

4.2 Krivolinijski integral prvog reda

Definicija 4.2.1. Neka je γ = (x1, . . . , xn) : [a, b] → Rn putanja, i neka jef : γ∗ → R funkcija. Ako je funkcija (f γ) · ‖γ′‖ integrabilna u Rimanovomsmislu na [a, b], tada je funkcija f integrabilna na γ, i krivolinijski integralprvog reda funkcije f po putanji γ definisan je kao

∫γ

f =

∫γ

fds =

b∫a

(f γ)(t) ‖γ′(t)‖ dt

=

b∫a

f(x1(t), . . . , xn(t))√

(x′1(t))2 + · · · (x′n(t))2 dt.

4.2. KRIVOLINIJSKI INTEGRAL PRVOG REDA 129

U prethodnoj formuli javalju se izvodi x′j , koji su neprekidne funkcijesvuda na [a, b], osim evenutalno u konacno mnogo tacaka. Tacke u ko-jima izvodi x′j ne postoje, jednostavno zanemarimo u prethodnoj defini-ciji krivolinijskog integrala prvog reda. Jasno je da zanemarivanje konacnomnogo tacaka ne utice na vrednost integrala.

Na primer, ako je funkcija f neprekidna na γ∗ osim eventualno u konacnomnogo tacaka, onda postoji

∫γf .

Teorema 4.2.1. Neka su γ1 : [a, b] → Rn i γ2 : [c, d] → Rn dve putanje,tako da je γ1 ≡ γ2, ili γ1 ≡ −γ2. Ako je f : γ∗1 → R funkcija koja jeintegrabilna na γ1, tada je f integrabilna i na γ2 i∫

γ1

f =

∫γ2

f.

Dokaz. Neka je γ1 = γ2 µ, pri cemu je µ : [a, b] → [c, d] strogo rastucidifeomorfizam. Tada je µ′ ≥ 0 na [a, b]. Vazi:

∫γ1

f =

b∫a

f(γ1(t))‖γ′1(t)‖dt =

b∫a

f(γ2(µ(t)))‖γ′2(µ(t))µ′(t)‖dt

=

b∫a

f(γ2(µ(t)))‖γ′2(µ(t))‖µ′(t)dt

=

d∫c

f(γ2(s))‖γ′2(s)‖ds =

∫γ2

f.

Pretpostavimo sada da je µ strogo opadajuci difeomorfizam. Tada jeµ′ ≤ 0 na [a, b], i stoga je

∫γ1

f =

b∫a

f(γ1(t))‖γ′1(t)‖dt =

b∫a

f(γ2(µ(t)))‖γ′2(µ(t))µ′(t)‖dt

=

b∫a

f(γ2(µ(t)))‖γ′2(µ(t))‖(−µ′(t))dt

= −c∫d

f(γ2(s))‖γ′2(s)‖ds =

∫γ2

f.



Formulisemo sledece ocigledno svojstvo krivolinijskih integrala.

Teorema 4.2.2. Krivolinijski integral prvog reda je linearan u odnosu nafunkciju. Drugim recima, ako su f i g integrabilne funkcije na putanji γu Rn, i ako je α, β ∈ R, tada je αf + βg takode integrabilna na γ, i vaziformula ∫

γ

(αf + βg)ds = α

∫γ

fds+ β

∫γ

gds.

Dokaz. Sledi na osnovu

α

∫γ

f + β

∫γ

g = α

b∫a

f(γ(t)‖γ′(t)‖dt+ β

b∫a

g(γ(t)‖γ′(t)‖dt

=

b∫a

(αf(γ(t)) + βg(γ(t))‖γ′(t)‖dt =

∫γ

(αf + βg).

Na kraju, formulisemo tvrdenje o aditivnosti integrala u odnosu naputanju integracije.

Teorema 4.2.3. Neka je funkcija f integrabilna na putanjama γ1 i γ2 uRn. Tada je f integrabilna i na putanji γ1 + γ2, pri cemu vazi formula

∫γ1+γ2

f =

∫γ1

f +

∫γ2

f.

Dokaz. Neka su γ1 : [a, b] → Rn i γ2 : [c, d] → Rn putanje. Neka je e > b.Postoji rastuci difeomorfizam µ : [b, e] → [c, d] tako da je γ′2 : [b, e] → Rnodredena sa γ3 = γ2 µ. Tada je γ3 ≡ γ2. Neka je f integrabilna na γ1 ina γ2. Tada je f integrabilna na γ3. Neka je γ = γ1 + γ2 (videti odeljak o


zbiru putanja). Tada je γ|[a,b] = γ1 i γ|[b,e] = γ3. Vazi:

∫γ1

f +

∫γ2

f =

∫γ1

f +

∫γ3

f =

b∫a

(f(γ1(t))‖γ′1(t)‖dt+

e∫b

(f(γ3(t))‖γ′3(t)‖dt

=

b∫a

(f(γ(t))‖γ′(t)‖dt+

e∫b

(f(γ(t))‖γ′(t)‖dt

=

e∫a

(f(γ(t))‖γ′(t)‖dt =

∫γ1+γ2

f.

Time je tvrdenje dokazano.

Teorema 4.2.4. Neka je γ putanja u Rn. Tada je∫γ

1 =∫γds = `(γ).

Dokaz. Sledi na osnovu definicije krivolinijskog interala prvog reda, kao idokazane formule za izracunavanje duzine putanje:

∫γ

1 =

b∫a

‖γ′(t)‖dt = `(γ).

Primer 4.2.1. Izracunati duzinu kruznice poluprecnika r > 0.

Dokaz. Dovoljno je posmatrati kruznicu u ravni poluprecnika r sa centrom ukooridnatnom pocetku. Parametarske jednacine ove krucnice su x = r cos t,y = r sin t, t ∈ [0, 2π]. Prema dokazanoj formuli, duzina kruznice je

` =

2π∫0

√r2 sin2 t+ r2 cos2 tdt = 2rπ.

4.2.1 Rimanova suma i geometrijska interpretacijakrivolinijskog integrala prvog reda

Razmatramo krivolinijski integral prvog reda kao granicnu vrednost odgo-varajucih Rimanovih suma.


Pretpostavimo da je γ = (x1, . . . , xn) : [a, b] → Rn putanja, i neka jef : γ∗ → R funkcija integrabilna na γ. Neka je a = t0 < t1 < · · · <tk = b proizvoljno razbijanje segmenta [a, b], i neka su ηj ∈ [tj−1, tj ] (j =1, . . . , k) proizvoljne tacke u tim segmentima. Oznacimo sa `j duzina putanjeγ izmedu tacaka γ(tj−1) i γ(tj). Ova duzina postoji, jer je po pretpostavciγ putanja u Rn, a samim tim postoji `(γ). Primetimo da je ξj = γ(ηj) napomenutom delu putanje γ izmedu γ(tj−1) i γ(tj). Neka je ξ = (ξ1, . . . , ξk).Posmatrajmo integralnu sumu

S(f, γ,P, ξ) =

k∑j=1

f(ξj)`j . (4.2)

Imajuci u vidu da je duzina `k priblizno jednaka

‖γ(tj)− γ(tj−1)‖ =√

(x1(tj)− x1(tj−1))2 + · · ·+ (xn(tj)− xn(tj−1))2,

sledi da je

S(f, γ,P, ξ)≈k∑j=1

f(γ(ηj))√

(x1(tj)− x1(tj−1))2 + · · ·+ (xn(tj)− xn(tj−1))2

=

k∑j=1

f(γ(ηj))

√(∆x1

tj − tj−1

)2

+ · · ·+(

∆xntj − tj−1

)2

·(tj − tj−1),

pri cemu je ∆xi = xi(tj)− xi(tj−1) za i = 1, . . . , n. Greska u aproksimacijise smanjuje ukoliko je d(P)→ 0.

Sledi da je

limd(P)→0

S(f, γ,P, ξ) =

∫γ

f,

pri cemu ova granicna vrednost postoji nezavisno od podele P i nezavisnood izbora tacaka ξ.

Na osnovu svega izlozenog, do krivolinijskog integrala prvog reda funkcijef po putanji γ, moze se doci razmatranjem granicnih vrednosti odgovarajucihRimanovih suma (4.2).

U cilju dobijanja geometrijske interpretacije krivolinijskog integrala pr-vog reda, neka je γ : [a, b]→ R2, pri cemu je R2 prostor promenljivih x i y.Neka je z = f(x, y) neprekidna funkcija definisana na γ∗. Pretpostavimo daje f ≥ 0 na γ∗ i da je f integrabilna na γ. Tada je Rimanova suma (4.2)jednaka priblizno povrsini cilindarske povrsi C u prostoru R3 promenljivih


x, y, z, pri cemu je cilindarska povrs odredena na sledeci nacin: generatrisapovrsi C je putanja γ, izvodnice povrsi C su paralelne z-osi, dok je ”gornjagranica“ povrsi C grafik krive f γ (videti Sliku 19).

Slika 19.

Specijalno, ako je f = 1 na γ∗, onda je integral∫γds = `(γ) jednak duzini

krive γ, a ovaj zakljucak smo izveli i ranije.

Primer 4.2.2. Izracunati integral∫γy2|x|ds, ako je kriva γ polovina kruznice

x2 + y2 = 1, y ≥ 0.

Resenje. U ovom zadatku, kao i u svim narednim zadacima, ako se posebnone naglasi, treba uzek uzimati takvu parametarsku reprezentaciju krive, daje posmatrani grafik krive opisan tacno jednom.

Na primer, krug x2 +y2 = 1 moze biti opisan prametarskim jednacinamax = cos t, y = sin t, t ∈ [0, 2π], kao i jednacinama x = cos t, y = sin t,t ∈ [0, 4π]. Prvom reprezentacijom svaka tacka grafika opisana je tacnojednom, osim tacke (1, 0) koja je i pocetak i kraj krive, te je stoga opisanadva puta. U drugom slucaju je svaka tacka grafika krive opisana po dva puta,a pocetna odnosno krajnja tacka je opisana tri puta. Prva reperezentacija


daje prostu krivu γ, a druga daje krivu γ1, koja ima tacke samopreseka.Ako se drugacije ne zahteva, pod kruznicom se podrazumeva prosta kriva,data prvom reprezentacijom.

Vratimo se sada konkretnom problemu. Polukruznica u ovom zadatkuopisana je parametrskim jednacinama: x = cos t, y = sin t, t ∈ [0, π]. Sadaje trazeni integral

I =

∫γ

y2|x|ds =

π∫0

sin2 t| cos t|dt.

Funkcija cos t menja znak na segmentu [0, π], i stoga se ovaj segment delina dva dela. Prethodni integral postaje:

I =

π/2∫0

sin2 t cos t dt−π∫

π/2

sin2 t cos t dt =2

3.

Primer 4.2.3. Neka je dat deo eliptickog cilindra x2

5 + y2

9 = 1, y ≥ 0, z ≥ 0,i neka je data ravan z = y. Naci povrsinu dela cilindra izmedu ravni Oxy iravni z = y (Slika 20).

Resenje. Neka je γ presek cilindra sa ravni xOy, odnosno deo elipse x2

5 + y2

9 =1, y ≥ 0. Treba izracunati integral

I =

∫γ

yds.

Parametarske jednacine dela elipse jesu x =√

5 cos t, y = 3 sin t, t ∈ [0, π].Povrsina trazenog dela cilindra jeste je

I =

π∫0

3 sin t√

5 sin2 t+ 9 cos2 t dt.

Smenom cos t = u proizilazi da vazi

I = −3

−1∫1

√4u2 + 5 du = 6

1∫0

√4u2 + 5 du = 9 +

15

4ln 5.


Slika 20.

Primer 4.2.4. Izracunati krivolinijski integral prvog reda∫γxy ds, ako je γ

data kao presek sfere x2 + y2 + z2 = 2 i ravni x+ y + z = 0.

Resenje. Iz jednacine ravni neposredno sledi z = −x − y. Zamenom ovogizraza u jednacinu sfere, dolazimo do jednacine

x2 + xy + y2 = 1. (4.3)

Dobijena kriva je kruznica u ravni x+ y + z = 0.Dokazacemo da svaka kriva drugog reda oblika

Ax2 + 2Bxy + Cy2 = D (4.4)

gde je B 6= 0, ima ekvivalentan oblik

λ(y − αx)2 + µ(y − βx)2 = D, (4.5)

pri cemu je αβ = −1. Slucaj B = 0 je samo kada je kriva vec u elementarnomobliku.

Jednostavnim uporedivanjem koeficijenata dolazi se do sistema jednacina

λα2 + µβ2 − A = 0λα + µβ + B = 0λ + µ − C = 0.

Poslednji sistem jednacina se moze shvatiti kao homogeni sistem jednacina sanetrivijalnim resenjem (λ, µ,−1), odakle sledi da determinanta tog sistema


mora biti jednaka nuli, odnosno∣∣∣∣∣∣α2 β2 Aα β −B1 1 C

∣∣∣∣∣∣ = 0.

Prva kolona se pomnozi sa −1 i doda drugoj koloni, te se dobija∣∣∣∣∣∣α2 β2 − α2 Aα β − α −B1 0 C

∣∣∣∣∣∣ = 0.

Uslov αβ = −1 garantuje α 6= β, te se druga kolona podeli sa β−α i dobijase ∣∣∣∣∣∣

α2 α+ β Aα 1 −B1 0 C

∣∣∣∣∣∣ = 0.

Druga kolona se pomnozi sa −α i doda prvoj, pri cemu se uzima u obzirαβ = −1. Dobija se jednacina∣∣∣∣∣∣

1 α+ β A0 1 −B1 0 C

∣∣∣∣∣∣ = 0.

Poslednja jednacina daje uslov α + β =C −AB

, uz pretpostavku B 6= 0.

Zajedno sa pretpostavkom αβ = −1, dolazi se do vrednosti za α i β. Zatimse jednostavno odreduju λ i µ.

U ovom konkretnom slucaju (4.3) je A = C = 1 i B = 12 . Stoga je

α+ β = 0, sto zajedno sa αβ = −1 daje α = 1,β = −1. Zatim sledi λ = 14 i

µ = 34 . Ekvivalentan oblik krive (4.3) je(

y − x2

)2

+

(√3

2(y + x)

)2

= 1.

Stoga se uvodi smena promenljivih

u =y − x

2, v =

√3

2y + x, w =

√3

2z,

a inverzne transformacije su

x =v −√

3u√3

, y =

√3u+ v√

3, z =

2√3w.

4.3. KRIVOLINIJSKI INTEGRAL DRUGOG REDA 137

Kruznica u novim koordinatama je data sistemom jednacina:

u2 + v2 = 1, w = −v.

Stoga se uvode cilindricne koordinate, u kojima je jednacina krucnice datasa:

u = cosϕ, v = sinϕ, w = − sinϕ, ϕ ∈ [0, 2π].

Vracanjem na polazne koordinate x, y i z, sledi da je jednacina kruznice:

x =sinϕ−

√3 cosϕ√

3, y =

√3 cosϕ+ sinϕ√

3, z = − 2√

3sinϕ,

ϕ ∈ [0, 2π].

Polazni integral je

I =

∫γ

xy ds =1

3

2π∫0

(sin2 ϕ− 3 cos2 ϕ)√

(x′ϕ)2 + (y′ϕ)2 + (z′ϕ)2 dϕ

=

√2

3

2π∫0

(sin2 ϕ− 3 cos2 ϕ) dϕ = −2π√

2

3.

4.3 Krivolinijski integral drugog reda

U ovoj lekciji definisemo krivolinijski integral koji zavisi od orijentacijeputanje. Neka je G oblast u R3. Vektorsko polje je svako preslikavanjeiz G u R3. Ako ovo preslikavanje oznacimo sa F : G → R3, onda postojekoordinatne funkcije P,Q,R : G→ R, tako da vazi F = (P,Q,R).

Vektorsko polje F je ravno, ako postoji koordinatni sitetm u R3 u odnosuna koji je R = 0. Specijalno, ako postoji koordinanti sistem u R3 tako da jeQ = 0 i R = 0, onda polje F = (P, 0, 0) jeste skalarno polje.

Podsetimo da je polje F je neprekidno, ako i samo ako je F neprekidnafunkcija, odnosno ako i samo ako su realne funkcije P,Q,R neprekidne. PoljeF je diferencijabilno, ako i samo ako su funkcije P,Q,R diferencijabilne.Polje F je neprekidno diferencijabilno, ako i samo ako su funkcije P,Q,Rneprekidno diferencijabilne.

Neka je γ : [a, b] → R3 putanja u R3, pri cemu je A = γ(a) pocetak, γ,a B = γ(b) kraj putanje γ. Putanja γ orijentisana od tacke A ka tacki B.Ako je γ = (x, y, z), onda je γ′ = (x′, y′, z′) i dγ = γ′(t)dt = ( dx, dy, dz).


Skalarni proizvod vektora F i dγ jeste:

F · dγ = 〈F, dγ〉 = P dx+Qdy +Rdz.

Krivolinijski integral drugog reda neprekidnog vektorskog polja F po ori-jentisanoj putanji γ (od tacke A ka tacki B), definisan je kao∫

γ

F ≡∫γ

〈F, γ〉 ≡∫γ

P dx+Qdy +Rdz

:=

b∫a

〈(F γ)(t), dγ(t)〉 ≡b∫a

〈(F γ)(t), γ′(t)〉dt

≡b∫a

[P (x(t), y(t), z(t))x′(t) +Q(x(t), y(t), z(t))y′(t)

+R(x(t), y(t), z(t))z′(t)]dt.

Integral na desnoj strani je odredeni integral neprekidne funkcije jedne realnepromenljive, te stoga krivolinijski integral drugog reda neprekidnog polja Fpo putanji γ uvek postoji. I u ovom slucaju zanemarujemo tacke u kojimaizvodi x′, y′, z′ ne postoje.

Integral moze biti definisan i opstije. Naime, dovoljno je pretpostavitida postoje Rimanovi integrali funkcija P · x′, Q · y′ i R · z′ na [a, b]. U tomslucaju je F integrabilno vektorsko polje po orijentisanoj putanji γ.

Teorema 4.3.1. Ako su γ1 i γ2 ekvivalentne putanje iste orijentacije, odnosnoγ1 ≡ γ2, i ako je F integrabilno polje na γ1, tada je F integrabilno i na γ2,pri cemu vazi ∫

γ1

F =

∫γ2

F.

Dokaz. Neka su γ1 : [a, b] → R3 i γ2 : [c, d] → R3 putanje, i neka je µ :[a, b]→ [c, d] strogo rastuci difeomorfizam (tj. µ′ ≥ 0) tako da je γ1 = γ2 µ.Neka je F vektorsko polje integrabilno na γ∗1 . Tada je, koriscenjem smenes = µ(t):∫

γ1

F =

b∫a

〈(F γ1)(t), γ′1(t)〉dt =

b∫a

〈(F(γ2(µ(t))), (γ′2(µ(t))µ′(t)〉dt

=

d∫c

〈F(γ2(s)), γ′2(s)〉ds =

∫γ2

F.


Teorema 4.3.2. Ako su γ1 i γ2 ekvivalentne putanje suprotnih orijentacija,odnosno ako je γ1 ≡ −γ2, i ako je vektorsko polje F integrabilno na γ1, ondaje F integrabilno na γ2 i vazi ∫

γ1

F = −∫γ2

F.

Dokaz. Neka su date putanje γ1 : [a, b] → R3, γ2 : [c, d] → R3, i neka jeµ : [a, b] → [c, d] opadajuci difeomorfizam (µ′ ≤ 0) tako da je γ1 = γ2 µ.Neka je F vektorsko polje definisano na γ∗1 . Tada je

∫γ1

F =

b∫a

〈(F(γ1(t)), γ′1(t)〉dt =

b∫a

〈(F(γ2(µ(t))), (γ′2(µ(t))〉µ′(t)dt

= −d∫c

〈F(γ2(s)), γ′2(s))〉ds = −∫γ2

F.

Posledica 4.3.1. Krivolinijski integral drugog reda menja znak ukoliko sepromeni orijendtacije putanje.

Formulisemo sledeci jednostavan rezultat, koji se moze dokazati analognoodgovarajucem rezultatu za krivolinijske integrale drugog reda.

Teorema 4.3.3. Ako su γ1 i γ2 orijentisane putanje koje se mogu nastavitiu smislu orijentacije, i ako je vektorsko polje F integrabilno na γ1 i γ2, tadaje vektorsko polje F integrabilno na γ1 + γ2 i vazi∫

γ1+γ2

F =

∫γ1

F +

∫γ2

F.

Ako su vektorska polja F i G integrabilna na orijenitsanoj putanji γ, iako je α, β ∈ R, tada je αF + βG polje integrabilno na putanji γ i vazi∫

γ

αF + βG = α

∫γ

F + β

∫γ

G.

Drugim recima, krivolinijski integral drugog reda je aditivan u odnosu nakrivu i linearan u odnosu na vektorsko polje.


Na kraju, navodimo primere koji ilustruju prezentovane rezultate.

Primer 4.3.1. Izracunati∫γy dx − x dy, gde je kriva γ suma kruznog luka

x2 + y2 = 1 od tacke A(1, 0) do tacke B(0, 1) i duzi od B do A (Slika 21).

Slika 21.A

B

Resenje. Jednacina orijentisanog luka AB jeste x = cos t, y = sin t, t ∈[0, π/2]. Sada je

I1 =

∫γ1

y dx− x dy =

π/2∫0

[− sin2 t− cos2 t]dt = −π2.

Jednacina orijentisane duzi BA jeste x + y = 1, odnosno x = t, y = 1 − t,t ∈ [0, 1]. Stoga je

I2 =

∫γ2

y dx− x dy =

1∫0

[(1− t)− t(−1)]dt = 1.

Na kraju, trazeni integral je I = I1 + I2 = −π2 + 1.

Primer 4.3.2. Izracunati integral∫γy2 dx+ z2 dy + x2 dz, gde je γ Vivian-

ijeva1 kriva (Slika 22): x2 + y2 + z2 = a2, x2 + y2 = ax, z ≥ 0, pozitivnoorijentisana, posmatrana odozgo.

Resenje. Ekvivalentan oblik jednacina cilindra je(x− a

2

)2+ y2 = a2

4 .Uvodimo cilindricne koordinate x = a

2 + r cosϕ, y = r sinϕ, z = ξ. Sadajednacina cilindra u novim koordinatama glasi r = a/2. Zamenom ovih

1Vincenzo Viviani (1622-1703), italijanski matematicar


uslova u jednacinu sfrere, dobijamo a2

2 cosϕ + ξ2 = a2

2 . Na osnovu uslovaξ ≥ 0, jednacina krive jeste

x =a

2+a

2cosϕ, y =

a

2sinϕ, z =

a√2

√1− cosϕ, ϕ ∈ [0, 2π].

Iz cinjenice da je z rastuca funkcija po ϕ ∈ [0, π] i opadajuca funkcija poϕ ∈ [π, 2π], sledi da je orijentacija krive upravo ona trazena: pri rastuparametra ϕ gornji deo sfere ostaje sa leve strane krive. Sada je trazeniintegral jednak:

I = −a3

8

2π∫0

sin3 ϕdϕ+a3

4

2π∫0

(1− cosϕ) cosϕdϕ

+a3

8√

2

2π∫0

(1 + cosϕ)2 sinϕ√1− cosϕ

dϕ.

Jednostavnom smenom ϕ = ψ + π, uz koriscenje jednakosti sin(ψ + π) =− sinψ i cos(ψ+π) = − cosψ, prvi i treci integral se redom svode na integrale

−π∫−π

sin3 ψ dψ i

π∫−π

(1− cosψ)2 − sinψ√1 + cosψ

dψ.

Oba integrala su jednaka nuli, iz razloga sto je domen integracije simetricanu odnosu na koordinatni pocetak, a funkcije koje se integrale jesu neparne.Stoga je

I =a3

4

2π∫0

(1− cosϕ) cosϕdϕ = −a3π

4.

Slika 22.


4.4 Grinova formula u ravni

Oblast V u ravni R2 je prosto povezana, ako za svaku konturu γ u skupuV vazi G0

γ ⊂ V . Ekvivalentno, V je prosto povezana oblast, ako je svakakontura u V homotopno ekvivalentna tacki u V . Ako oblast V nije prostopovezana, onda je oblast V visestruko povezana.

Neka je γ+ pozitivno orijentisana kontura u ravni R, koja ogranicavaoblast G0

γ . Dokazacemo vezu izmedu krivolinijskih integrala drugog redavektorskog polja F po konturi, i dvostrukog integrala odredene funkcije pooblasti G0

γ .

Oblast V u R2 je elementarna u odnosu na koordinatne ose, ako postojedeo po deo neprekidno diferencijabilne funkcije f, g : [a, b] → R i h, k :[c, d]→ R, tako da je f < g na [a, b], kao i h < k na [c, d], i pri tome je (Slika23):

V = (x, y) ∈ R2 : x ∈ [a, b], f(x) < y < g(x)= (x, y) ∈ R2 : y ∈ [c, d], h(y) < x < k(y).

4.4. GRINOVA FORMULA U RAVNI 143

Slika 23.a b

c

d

G

f

g

k h

AB

CD

Teorema 4.4.1. (Grinova formula) Neka je V prosto povezana oblast u R2,i neka je F = (P,Q) : V → R2 neprekidno diferencijabilno vektorsko polje.Ako je γ+ pozitivno orijentisana kontura u V , tako da je G0

γ elementarnaoblast u odnosu na koordinatne ose, tada je G0

γ merljiv skup u R2 i∫γ+

F ≡∫γ+

Pdx+Qdz =

∫∫G0γ

[∂Q(x, y)

∂x− ∂P (x, y)

∂y

]dx dy.

Dokaz. Polje F = (P,Q) je neprekidno diferencijabilno, te su funkcije P,Qneprekidno diferencijabilne u V . Stoga postoji

∫γ

F =∫γPdx+Qdy.

Neka je G0γ elementarna oblast u odnosu na koordinatne ose. Oblast V je

prosto povezana, te je G0γ ⊂ V . Koristimo oznake iz definicije elementarne

oblasti u odnosu na koordinatne ose, kao i Sliku 23. Uocimo tacke A(a, f(a)),B(b, f(b)), C(b, g(b)) i D(a, g(a)). Parametarska jednacina putanje y = f(x)jeste x = t, y = f(t), t ∈ [a, b]. Ocigledno, kriva f je prosta putanja,orijentisana od tacke A ka tacki B, i grafik ove krive je f∗. Kriva g je putanjaod tacke D ka tacki C i njen grafik je g∗. Neka je g1(x) = g(a + b − x).Tada je kriva g1 putanja od tacke C ka tacki D, i vazi g∗1 = g∗. Posmatramoorijentisanu duz BC od tacke B ka tacki C, kao i orijentisanu duz DA odtacke D ka tacki A. Podrazumevamo da su posmatrane duzi proste putanje.Tada je γ = f +BC + g1 +DA, kao i ∂G0

γ = γ∗.Funkcije f i g su neprekidne na [a, b], te su njihovi grafici mere 0 u R2.

Duzi BC i DA su takode mere 0 u R2. Sledi da je m2(γ∗) = 0, te je skupG0γ merljiv u R2. Funkcije P i Q su neprekidno diferencijabilne u skupu V

i G0γ ⊂ V . Stoga postoji dvostruki integral

∫∫G0γ

[∂Q(x,y)∂x − ∂P (x,y)

∂y

]dxdy.


Sada je

∫∫G0γ

∂P

∂ydx dy =

b∫a

dx

g(x)∫f(x)

∂P

∂ydy =

b∫a

[P (x, g(x))− P (x, f(x))] dx

= −∫−g

P dx−∫f

P dx.

Na duzi DA je x = a, odakle sledi dx = 0. Takode, na duzi BC je x = b idx = 0. Znaci, ∫

DA

P dx = 0,

∫BC

P dx = 0.

Stoga je∫∫G

∂P

∂ydx dy = −

∫AB

P dx−∫BC

P dx−∫CD

P dx−∫DA

P dx (4.6)

= −∫γ+P dx. (4.7)

Slicno se dobija ∫γ+

Qdy =

∫∫G

∂Q

∂xdx dy. (4.8)

Sabiranjem poslednje dve jednakosti sledi tvrdenje teoreme.

Teorema moze biti dokazana i u opstijem slucaju.

Teorema 4.4.2. Neka je V prosto povezana oblast u R2, i neka je F =(P,Q) : V → R2 neprekidno diferencijabilno vektorsko polje. Neka je γkontura u V , tako da postoje oblasti G1, . . . , Gk sa sledecim svojstvima:

(1) Oblasti G1, . . . , Gk su elementarne u odnosu na kooridnatne ose;

(2) Gi ∩Gj = ∅ za i 6= j;

(3) G0γ = G1 ∪ · · · ∪Gk.

Tada je skup G0γ merljiv u R2 i vazi Grinova formula:∫

γ+

F ≡∫γ+

Pdx+Qdz =

∫∫G0γ

[∂Q(x, y)

∂x− ∂P (x, y)

∂y

]dx dy.


Dokaz. Prema uslovima teoreme, svaki skup Gj je merljiv, stoga su merljvii

skupovi Gj , merljiv je skup G0γ , te je na kraju merljiv i skup G0

γ . Svakiskup Gj je elementaran, te je ∂Gj rub neke konture γj . Stoga moze bitiprimenjena Grinova formila na konturu γj i skup Gj , odnosno∫

γ+j

Pdx+Qdz =

∫∫Gj

[∂Q(x, y)

∂x− ∂P (x, y)

∂y

]dx dy.

Kako je m2(∂Gj) = 0, sledi da je

∫∫G0γ

[∂Q(x, y)

∂x− ∂P (x, y)

∂y

]dxdy =

k∑j=1

∫∫Gj

[∂Q(x, y)

∂x− ∂P (x, y)

∂y

]dxdy.

Sa druge strane,

k∑j=1

∫γ+j

Pdx+Qdy =

∫γ+

Pdx+Qdy.

Naime, u poslednjoj sumi se ocigledno javlja integracija po γ+. Ako se,recimo, oblasti Gi i Gj dodiriju po putanji α, onda je α orijentisana ujednom smeru u odnosu na Gi, i u suprotnom smeru u odnosu na Gj . Stogase u poslednjoj sumi krivolinijskih integrala javi zbir

∫α

+∫−α

= 0. Dakle, svi

integrali po zajednickim putanjama za Gi i Gj se anuliraju (Slika 24).

Slika 24.

G1

G2


4.4.1 Slucaj visestruko povezanih oblasti

Grinova formula za prosto povezane oblasti moze se prosiriti na slucaj vise-struko povezanih oblasti.

Naime, neka je Γ = γ+γ1+· · ·+γk cikl, pri cemu su γ, γ1, . . . γk konture uR2. Pretpostavimo da je Γ jednostavan cikl, odnosno sve konture γ1, . . . , γknalaze se unuta konture γ, i svaka kontura γi je van svake konture γj (Slika25).

Slika 25.

G1 G2

G3

AB

Neka je G oblast koja je unutar konture γ i van svih kontura γj . Tadasu G0

γj ”supljine“ u oblasti G. Dakle, ∂G0γj = γ∗j za svako j, i ∂G = γ∗ ∪

γ∗1 ∪ · · · ∪ γ∗k = Γ∗. Pretpostavimo da su konture γ, γ1, . . . , γk orijentisanepozitivno u odnosu na oblast G. Tada je Γ+ = γ+ + γ−1 + · · ·+ γ−k .

Jednostavno je ”podeliti“ oblast G duzima (razrezima), tako da je Gunija ovih duzi i uzajamno disjunktnih prosto povezanih oblasti Gl. Ruboblasti Gl je grafik neke konture Γl. Uvedimo dodatnu pretpostavku da sena oblast Gl moze primeniti Teorema 4.4.2. Neka je F = (P,Q) vektorskopolje, koje je neprekidno diferencijabilno u nekoj okolini oblasti G. Tadase na svaku oblast Gl moze primeniti Grinova formula:

∫Γl

Pdx + Qdy =∫∫Gl

[∂Q∂x −

∂P∂y

]dxdy.

Tada je, ocigledno,∫∫G

=∑

l

∫∫Gl

.


Takode je i∫Γ

=∑

l

∫Γl

. Naime, u poslenjoj sumi krivolinijskih inte-

grala javlja se integracija po Γ. Primetimo da svaka duz (recimo AB) kojaogranicava razlicite skupove Gl i Gt, ima jednu pozitivnu orijentaciju za skupGl, i suprotnu pozitivnu orijentaciju za skup Gt. Prema tome, poslednjasuma krivolinijskih integrala sadrzi sabirak

∫AB

+∫BA

= 0. Dakle, anuliraju

se svi integrali osim po ciklu Γ.

4.4.2 Primena krivolinijskog integrala drugog reda na izra-cunavane povrsine skupa u ravni

Neka je G oblast u R2 ogranicena pozitivno orijentisanim ciklom Γ, tako dase na skup G i cikl γ moze primeniti Grinova formula. Uocimo neprekidnodiferencijabilno vektorsko polje F = (P,Q) na skupuG, za koje vaziQ(x, y) =x i P (x, y) = −y. Na osnovu Grinove formule sledi:

1

2

∫γ+

−y dx+ x dy =

∫∫G

dx dy = m2(G).

Ovim je pokazano da se povrsina merljive oblasti G, na koju se primenjujeGrinova formila, moze izracunati po formuli

m2(G) =1

2

∫∂G+

−y dx+ x dy.

Primer 4.4.1. Naci povrsinu skupa ogranicenog lemniskatom (x2 + y2)2 =a2(x2 − y2) (Slika 26).

Slika 26.

O

a-a

Resenje. Trazimo jednacinu lemniskate u polarnom obliku: x = r cos t,y = r sin t, r > 0, t ∈ [0, 2π]. Jednacina lemniskate jeste r2 = a2 cos 2t.Kako je r2 > 0, sledi da mora biti |t| < π

4 ili 3π4 < t < 5π

4 . Prema tome,parametarske jednacine lemniskate jesu

x = ±a√

cos 2t cos t, y = ±a√

cos 2t sin t,

−π4< t <

π

4, ili

3π

4< t <

5π

4.


Kako je cos t > 0 za svako t ∈ (−π/4, π/4), sledi da je jednacinama

x = a√

cos 2t cos t, y = a√

cos 2t sin t, t ∈(−π

4,π

4

)(4.9)

odreden deo lemniskate u desnoj poluravni (x ≥ 0). Obzirom da je x(t+π) =−x(t) i y(t + π) = −y(t) sledi da je lemniskata simetricna u odnosu nakoordinatni pocetak. Na osnovu cinjenice x(−t) = x(t) i y(−t) = −y(t)sledi da je lemniskata simetricna u odnosu na x-osu.

Da bi izracunali povrsinu unije dve oblasti ogranicenih lemniskatom(jedna je u levoj, a druga je u desnoj poluravni), dovoljno je izracunatipovrsinu dela oblasti u prvom kvadrantu (x ≥ 0, y ≥ 0). Povrsina unije tihoblasti je

P = 2

∫γ

−y dx+ x dy,

gde je γ = γ1+γ2, γ1 je deo x-ose od (0, 0) do (a, 0), a γ2 je deo lemniskate odtacke (a, 0) do tacke (0, 0) u prvom kvadrantu. Obzirom da je uvek x, y ≥ 0,sledi da je t ∈ (0, π/4). Parametarske jednacine krive γ1 su

x = t, y = 0, t ∈ [0, a],

te je dy = y′dt = 0 i I1 =∫γ1

−y dx + x dy = 0. Kriva γ2 odredena je

navedenim parametarskim jednacinama (4.9) za t ∈(0, π4

)(naime, x je

opadajuca funkcija po t). Takode je

x′ =−a sin t√

cos 2t(3 cos2− sin2 t), y′ =

a cos t√cos 2t

(cos2 t− 3 sin2 t).

Na kraju vazi

I2 = 2

∫γ2

−y dx+ x dy = 2a2

π/4∫0

(cos4 t− sin4 t)dt = a2.

Prema tome, povrsina unije dveju oblasti ogranicenih lemniskatom jednakaa2.

Primer 4.4.2. Naci povrsinu skupa ogranicenog Dekartovim listom (Slika27)

x =3at

1 + t3, y =

3at2

1 + t3, 0 ≤ t < +∞.


Slika 27. 0.5 1.0 1.5

0.5

1.0

1.5

Resenje. Data putanja x = x(t), y = y(t), t ∈ [α, β] je simetricna u odnosuna pravu y = x ako i samo ako za svako t1 ∈ [α, β] postoji t2 ∈ [α, β] tako davazi x(t1) + x(t2) = y(t1) + y(t2). Ocigledno, u ovom slucaju to postizemoizborom t1 ∈ (0, 1] i t2 = t−1

1 ∈ [1,+∞). Stoga se mozemo ograniciti naizracunavanje povrsine polovine lista, za koji je 0 < t ≤ 1. Druga kriva,koja ogranicava polovinu Dekartoovg lista, jeste γ1: y = x, x ∈ (0, 3a/2).

Vazi jednakost

x dy − y dx = (x2 + y2)d(

arctgy

x

).

Koristeci cinjenicuy

x= t, sledi da vazi

x dy − y dx =9a2t2(1 + t2)

(1 + t3)2d(

arctgy

x

)=

9a2t2

(1 + t3)2dt = −3a2d

(1

1 + t3

).

Sada je polovina povrsine Dekartovog lista jednaka

m(G) =1

2

∫γ

−y dx+ x dy = −3a2

2

1∫0

d

(1

1 + t3

)=

3a2

4,

jer je∫γ1

−y dx + x dy = 0 za γ1: y = x, x ∈ (0, 3a/2). Na kraju, povrsina

ogranicena Dekartovim listom je 3a2

2 .


4.5 Nezavisnost krivolinijskog integraladrugog reda od putanje integracije(slucaj u ravni)

Neka je u oblasti G ⊂ R2 dato neprekidno vektorsko polje F = (P,Q). PoljeF je potencijalno, ako postoji neprekidno diferencijabilna funkcija U(x, y)na skupu G, tako da je

dU(x, y) = P (x, y) dx+Q(x, y) dy.

U tom slucaju je skalarno polje U potencijal vektorskog polja F.Neka je γ = γ(t), t ∈ [a, b], putanja u oblasti G. Interesuje nas kada

vrednost integrala∫γP dx+Qdy ne zavisi od putanje integracije, vec samo

od pocetne i krajnje tacaka te krive. Odgovor na ovo pitanje daje sledecateorema.

Teorema 4.5.1. Neka je G oblast u R2 i neka je F = (P,Q) neprekidnovektorsko polje u oblasti G. Sledeca tvrdenja su ekvivalentna:

(1)∫L

Pdx+Qdy = 0 za proizvoljnu poligonalnu konturu L u oblasti G.

(2)∫P dx+Qdy ne zavisi od poligonalne putanje ` koja spaja tacku A

i tacku B, vec samo od tacaka A i B.(3) Polje F = (P,Q) je potencijalno.(4)

∫Γ

Pdx+Qdy = 0 za svaku konturu Γ u G.

Ako vazi bilo koje prethodno tvrdenje i ako je U potencijal vektorskogpolja F = (P,Q), tada vazi∫

γ

P dx+Qdy = U(B)− U(A), (4.10)

pri cemu je γ putaja u oblasti G, tako da je A pocetak, a B kraj krive γ.

Dokaz. (1) =⇒ (2): Neka su A i B dve proizvoljne tacke oblasti G, `1 i `2neka su poligonalne putanje u oblasti G, ciji je pocetak tacka A, a kraj tackaB. Pretpostavimo da ove putanje nemaju tacke preseka. Tada poligonalnaputanja L = `1 + `−2 jeste poligonalna kontura u ravni. Prema pretpostavci,∫L

P dx+Qdy = 0, odnosno

∫`1

Pdx+Qdy =

∫`2

Pdx+Qdy.

4.5. NEZAVISNOST INTEGRALA OD PUTANJE INTEGRACIJE 151

Ako ove poligonalne putanje imaju zajednickih tacaka, onda one imajukonacno mnogo zajednickih tacaka. Jednostavno je dokazati tvrdenje i uovom slucaju.

(2) =⇒ (3): Neka su (x0, y0), (x, y) ∈ G proizvoljne tacke, i neka je `proizvoljna poligonalna putanja u G koja spaja ove dve tacke. Definisemofunkciju U(x, y) =

∫P dx+Qdy. Funkcija U zavisi od izbora tacak (x0, y0)

i (x, y), ali, po pretpostavci, ne zavisi od izbora poligonalne putanje `.Dokazacemo da je U potencijal polja F = (P,Q). Pretpostavimo da jerastojanje izmedu tacaka (x, y) i (x+ ∆x, y) malo, tako da se ove dve tackemogu spojiti jednom duzi T koja pripada skupu G. Tada, na osnovu adi-tivnosti integrala u odnosu na putanju integracije, vazi

U(x+ ∆x, y)− U(x, y)

∆x=

1

∆x

∫T

P dx+Qdy.

Duz T je paralelna y-osi, pa je na njoj dy = 0. Prema tome, vazi

U(x+ ∆x, y)− U(x, y)

∆x=

1

∆x

x+∆x∫x

P (t, y)dt.

Funkcija P je neprekidna, te prema Teoremi o srednjoj vrednosti integrala,

postoji broj ξ izmedu x i x+ ∆x, tako da vazi 1∆x

x+∆x∫x

P (t, y)dt = P (ξ, y).

Prelaskom na granicnu vrednost kada ∆x→ 0, proizilazi da vazi

∂U(x, y)

∂x= lim

∆x→0

U(x+ ∆x, y)− U(x, y)

∆x= P (x, y).

Analogno se dokazuje∂U(x, y)

∂y= Q(x, y). Samim tim, U je potencijal polja

F.(3) =⇒ (4): Neka je dU = P dx + Qdy, pri cemu su P i Q neprekidne

funkcije. Neka je Γ proizvoljna kontura u G, cija je parametarska jednacinadata sa x = x(t), y = y(t), t ∈ [a, b]. Tada je

∫Γ

P dx+Qdy =

b∫a

[P (x(t), y(t))x′(t) +Q(x(t), y(t))y′(t)]dt

=

b∫a

d(U(x(t), y(t)) = U(x(b), y(b))− U(x(a), y(a)) = 0.


(4) =⇒ (1): Ova implikacija je trivijalna.Tvrdenje (4.10) sledi na osnovu poslednje formule, pri cemu umesto kon-

ture Γ razmatramo proizvoljnu putanju γ.

Teorema 4.5.2. Neka je oblast G prosto povezana i neka je F = (P,Q)neprekidno diferencijabilno polje u oblasti G. Tada je polje F potencijalnoako i samo ako vazi

∂P (x, y)

∂y=∂Q(x, y)

∂xza svako (x, y) ∈ G. (4.11)

Dokaz. Ako je polje potencijalno i dU = P dx+Qdy, na osnovu neprekidnediferencijabilnosti funkcija P i Q sledi

∂Q

∂x=

∂2U

∂x∂y=

∂2U

∂y∂x=∂P

∂y.

U ovom delu dokaza se ne korsiti prosta povezanost oblasti G.Obrnuto, neka vazi (4.11) i neka je γ proizvoljna kontura u G. Tada

kontura γ ogranicava oblast G1. Obzirom da je G prosto povezana oblast,vazi G1 ⊂ G. Primenom Grinove formule na oblast G1, sledi∫

γ

P dx+Qdy =

∫∫G1

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)dx dy = 0.

Prema prethodnoj teoremi sledi da je polje F potencijalno.

4.6 Mehanicki smisao krivolinijskog integrala dru-gog reda (rad sile)

Neka materijalna tacka M pod dejstvom konstantne sile F prede put ∆s.Obzirom da je sila konstanta, materijalna tacka se krece po duzi, koja je

paralelna jedinicnom vektoru−→l . Tada je rad sile F jednak A = 〈F,

−→l 〉∆s.

U opstem slucaju, neka je sila promenljiva, odnosno dato je neprekidnovektorsko polje F = (P,Q,R) u oblasti G, G ⊂ R3. Neka je trajektorijakretanja materijalne tacke data putanjom γ = γ(t), t ∈ [a, b] u oblasti G.Podelimo segment [a, b] tackama (ti)i: a = t0 < t1 < · · · < tn = b. Neka je`j duzinu putanje of tacke γ(tj−1) do γ(tj). Neka se materijalna tacka kreceod γ(tj−1) do γ(tj) i neka je u isto vreme vektorsko polje aproksimirano kon-stanom silom F(x(tj), y(tj), z(tj)). Tada je predeni put `j priblizno jednakpredenom putu po tangenti i stoga je rad na ovom delu putanje priblizno

4.6. MEHANICKI SMISAO KRIVOLINIJSKOG INTEGRALA 153

jednak Aj ≈ 〈F(x(tj), y(tj), z(tj)), γ′(tj)〉∆tj , gde je ∆tj = tj − tj−1. Sada

je rad sile (vektorskog polja) F priblizno jednak

A ≈n∑j=1

〈F(x(tj), y(tj), z(tj), γ′(tj)〉∆tj .

Aproksimacija je tacnija, ukoliko je dijametar podele segmenta [a, b] manji.Stoga je rad sile F duz konture γ dat kao krivolinijski integral drugog reda:

A =

∫γ

〈F, dγ〉 =

b∫a

〈F(x(t), y(t), z(t)), γ′(t)〉dt.

Primer 4.6.1. Naci rad sile F = − γ

|γ|3, gde je γ = (x, y, z), pri cemu se

tacka krece po putanji γAB koja spaja tacke A i B, i pri tome putanja neprolazi kroz koordinatni pocetak.

Resenje. Kriva γ data je jednacinom γ = γ(t), t ∈ [a, b]. Na osnovuprethodne formule, rad sile se izracunava na sledeci nacin:

A =

∫γAB

〈F, dγ〉 = −b∫a

〈(x, y, z), (x′, y′z′)〉(x2 + y2 + z2)3/2

dt

= −b∫a

xx′ + yy′ + zz′

(x2 + y2 + z2)3/2dt

Ako se krace oznaci u2 = x2 + y2 + z2, tada je

A = −b∫a

u du

u3=

b∫a

d

(1

u

)=

1

u(b)− 1

u(a)=

1

|γ(b)|− 1

|γ(a)|.


Glava 5

Povrsinski integrali

5.1 Povrsi u R3

Definicija 5.1.1. Povrs u R3 je neprekidno preslikavanje S : G → R3, pricemu je G ogranicena oblast u R2. Promenljive u i v jesu parametri povrsiS.

Skup S∗ = S(u, v) : (u, v) ∈ G je slika (grafik) povrsi S.

Povrs S : G → R3, je neprekidno diferencijabilna, ako su koordinatnefunkcije (u, v) 7→ x(u, v), (u, v) 7→ y(u, v) i (u, v) 7→ z(u, v) neprekidnodiferencijabilne funkcije.

Ako je G ogranicena oblast u R2, (u, v) ∈ G, i ako je D = (x, y) : G→ Rneprekidno diferencijabilno preslikavanje, tada je Jakobijan preslikavanja Ddefinisan kao

J(D) =

∣∣∣∣∂x∂u ∂x∂v

∂y∂u

∂y∂v

∣∣∣∣ .Ocigledno je J(D) : G→ R neprekidno preslikavanje.

Definicija 5.1.2. Neka je G oblast u R2, i neka je D : G → R neprekidnodiferencijabilno preslikavanje. Preslikavanje D je regularno, ako je J(D) 6= 0na G.

Teorema 5.1.1. Ako je G oblast u R2, i ako je D : G → R2 regularnopreslikavanje, tada je D(G) otvoren skup u R2.

Definicija 5.1.3. Ako je D : G → D(G) regularno preslikavanjnje, koje jeinvertibilno, i ako je D−1 : D(G)→ G takode regularno preslikavanje, tadaje D regularan difeomorfizam (iz G na D(G)).

155

156 GLAVA 5. POVRSINSKI INTEGRALI

Definicija 5.1.4. Neka su G1, G2 ogranicene oblasti u R2, i neka su S1 :G1 → R2 i S2 : G2 → R2 neprekidno diferencijabilne povrsi. Povrsi S1

i S2 su ekvivalentne, u oznaci S1 ∼ S2, ako postoji obostrano regularandifeomorfizam D : G1 → G2, tako da je S1 = S2 D.

Teorema 5.1.2. Relacija ∼ je relacija ekvivalencije u skupu svih povrsiprostora R3. Ako je S1 ∼ S2, onda je S∗1 = S∗2.

Definicija 5.1.5. (uproscena definicija) Neka je G ogranicena oblast u R2

i neka je S : G→ R3 povrs. Skup ρS = S(∂G) je prividni rub povrsi S.Skup rS =

⋂S1∼S

ρS1 je rub povrsi S, pri cemu je presek uzet po svim

povrsima S1 koje su ekvivalentne povrsi S.

Definicija 5.1.6. Skup S = S∗ \ rS je unutrasnost povrsi.

Primer 5.1.1. Neka je je povrs S odredena jednacinama

x = R cosu sin v, y = R sinu sin v, z = R cos v,

pri cemu je(u, v) ∈ G = [0, 2π]× [0, π],

odnosno S(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)). Tada je S sfera poluprecnika Rsa centrom u koordinatnom pocetku.

Tacka A = S(0, 0) = (0, 0, 1) ima svojstvo A ∈ ρS. Medutim, ako seposmatra ekvivalentna povrs S1 data kao

x = R cosu sin v, y = R sinu sin v, z = R cos v,

pri cemu je(u, v) ∈ G1 = [−π, π]× [−π/2, π/2],

tada A /∈ ρS1.Dakle, A nije rubna tacka povrsi S, te je A ∈ S.Lako je utvrditi da povrs S nema rubnih tacaka.

Pretpostavimo da je G ogranicena oblast u R2, i neka je S : G → R3

neprekidno diferencijailna povrs. Neka je (u0, v0) ∈ G proizvoljna tacka.Ako fiksiramo samo jednu koordinatu, recimo koordinatu v0, tada funckijau 7→ S(u, v0), u ∈ [a, b], predstavlja krivu (putanju) na povrsi S. Slicno,v 7→ S(u0, v), v ∈ [c, d], predstavlja takode krivu (putanju) na povrsi S.Obe ove krive prolaze kroz tacku M0 = S(u0, v0). Ove krive se nazivajukoordinatne linije povrsi. Tangentni vektori ovih krivih u tacki M0 jesuSu(u0, v0) i Sv(u0, v0).

5.1. POVRSI U R3 157

Definicija 5.1.7. Tacka M0 = S(u0, v0) je neosobena tacka povrsi S, akosu tangentni vektori Su(u0, v0) i Sv(u0, v0) nekolinearni. Ako su pomenutitangentni vektori kolinearni, onda je M0 osobena tacka povrsi.

Neka je ρ : [a, b]→ G neprekidno diferenciajbilno preslikavanje, odnosnokriva (putanja) u skupu G. Tada je t 7→ S(ρ(t)), t ∈ [a, b], neprekidno difer-encijabilno preslikavanje (kao kompozicija neprekidno diferencijabilnih pres-likavanja), kojim je odredena kriva Γ na povrsi S, odnosno Γ(t) = S(ρ(t)),t ∈ [a, b].

Ako postoji t0 ∈ [a, b] tako da je ρ(t0) = (u0, v0), tada je Γ kriva napovrsi S kroz tacku M0.

Tangenta krive Γ u tacki M0 jeste dΓ(t0) = Γt(t0)dt. Diferencijal vek-torske funkcije Γ u tacki t0 jeste

dΓ = Su(u0, v0)du(t0)+Sv(u0, v0)dv(t0) = Su(u0, v0)u′(t0)dt+Sv(u0, v0)v′(t0)dt

. Primetimo da vazi invarijantnost forme diferencijala prvog reda u odnosuna smenu promenljivih.

Dakle, vektor Γt(t0) jeste linearna kombinacija vektora Su(u0, v0) i Sv(u0, v0),ako je ako je M0 neosobena tacka povrsi S.

Definicija 5.1.8. Ravan T kroz tackuM0 povrsi S je tangentna ravan povrsiS, ako tangentni vektor svake krive na povrsi, koja prolazi kroz tacku M0,pripada ravni T .

Ako je M0 neosobena tacka povrsi S, tada se svaki tangentni vektor bilokoje krive na povrsi S kroz tacku M0, moze prikazati kao linearna kombi-nacija vektora Su(u0, v0) i Sv(u0, v0). Prema tome, Su(u0, v0) i Sv(u0, v0)su dva linearno nezavisna vektora tangentne ravni T u neosobenoj tackiM0 povrsi S. Normala ravni T data je kao vektorski proizvod tangentnihvektora koordinatnih linija, odnosno

N = Su × Sv =

∣∣∣∣∣∣i j kxu yu zuxv yv zv

∣∣∣∣∣∣ .Vekor N je vektor normale povrsi S u tacki M0.

Jednacina ravni T data je sa (r− r0) ·N = 0, odnosno

(r− r0) · (ru × rv) = [r− r0, ru, rv] = 0,


gde je sa r oznacen radijus vektor proizvoljne tacke na ravni, a r0 = S(M0).Drugi zapis jednacine ravni jeste∣∣∣∣∣∣

x− x0 y − y0 z − z0

xu yu zuxv yv zv

∣∣∣∣∣∣ = 0.

Povrs S moze biti data ekslicitno, na primer z = f(x, y), (x, y) ∈ G.Ovako zadate povrsi se svode na prethodni slucaj ociglednom smenom x = u,y = v, z = f(u, v). Ako je funkcija (x, y) 7→ f(x, y) neprekidno diferencija-bilna, onda je vektor normale povrsi

N =

∣∣∣∣∣∣i j k1 0 fx0 1 fy

∣∣∣∣∣∣ .Jednacina tangente ravni data je sa∣∣∣∣∣∣

x− x0 y − y0 z − z0

1 0 fx0 1 fy

∣∣∣∣∣∣ = 0.

Povrs moze biti zadana i implicitno, jednacinom

F (x, y, z) = 0.

Ako prethodna jednacina imlplicitno odreduje z kao funkciju od x i y,odnosno z = f(x, y), i ako je F (x, y, z) neprekidno diferencijabilna funkcija,dobro je poznato da vazi

fx = −FxFz, fy = −Fy

Fz.

Lako je proveriti da je tangentna ravan data jednacinom:

(x− x0)Fx + (y − y0)Fy + (z − z0)Fz = 0.

Definicija 5.1.9. Prava L, koja prolazi kroz tacku M0 povrsi S i pri tomje normalna na tangentnu ravan povrsi u tacki M0, jeste normala povrsi Su tacki M0.

Vektor paralelnosti normale L jeste N. Prema tome, jednacina normaleL jeste:

x− x0∣∣∣∣yu zuyv zv

∣∣∣∣ =y − y0

−∣∣∣∣xu zuxv zv

∣∣∣∣ =z − z0∣∣∣∣xu yuxv yv

∣∣∣∣ .

5.2. PRVA KVADRATNA FORMA POVRSI I POVRSINA POVRSI 159

Ako je povrs data eksplicitno x = u, y = v i z = f(u, v), tada je jednacinanormale L:

x− x0

fx=y − y0

fy=z − z0

−1.

Konacno, ako je povrs data implicitno jednacinom F (x, y, z) = 0, tadaje jednacina normale L

x− x0

Fx=y − y0

Fy=z − z0

Fz.

Definicija 5.1.10. Neprekidno diferencijabilna povrs je glatka, ako nemaosobenih tacaka.

Neka je G ogranicena oblast u R2, i neka je S : G → R3 povrs. Pret-postavimo da postoje olasti G1, . . . , Gn sa sledecim osobinama:

(1) G =⋃nj=1Gj ;

(2) Gi ∩Gj = ∅ za i 6= j.

Za svako j ∈ 1, . . . , n neka je Sj restrikcija od S na Gj , odnosnoSj(u, v) = S(u, v) za (u, v) ∈ Gj . Tada je Sj deo povrsi S. FamilijaS1, . . . ,Sn je razbijanje povrsi S.

Definicija 5.1.11. Neka je, pod prethodno opisanim uslovima, S neprekidnopreslikavanje na G, i S neprekidno diferencijabilno preslikavanje na svakomskupu Gj , j = 1, . . . , n. Tada je S deo po deo glatka povrs.

Pod uslovima prethodne definicije, glatkost povrsi je eventualno narusenau tackama ∂Gj , j = 1, . . . , n.

5.2 Prva kvadratna forma povrsi i povrsina povrsi

U ovoj lekciji pretpostavljamo da je G ogranicena oblast u R2. Neka jeS : G → R3 glatka povrs, i M = S(u, v) neka je jedna tacka na povrsiS. Koristeci oznake iz prethodne lekcije, izracunavamo intenzitet vektoradS = Sudu+ Svdv:

|dS|2 = dS · dS = Su · Sudu2 + 2Su · Svdudv + S · Svdv2,

ili, uz oznake E = Su · Su, F = Su · Sv, G = Sv · Sv,

|dS|2 = Edu2 + 2Fdudv +Gdv2. (5.1)


Koeficijenti E,F,G se izracunavaju na sledeci nacin:

E = (xu)2 + (yu)2 + (zu)2,

F = xuxv + yuyv + zuzv,

G = (xv)2 + (yv)

2 + (zv)2.

Definicija 5.2.1. Ako je S glatka povrs, onda je izraz (5.1) prva kvadratna(fundamentalna) forma povrsi S.

Pokazacemo kako se racuna povrsina povrsi. Podelimo ravan R2, kojojpripada skup G, pravama paralelnim koordinatnim osama promenljvih u i v.Neka je rastojanje izmedu susednih pravih jednako h. Pretpostavimo da jeG merljiva oblast, odnosno postoji m2(G). Tacka A ∈ G neka je presek dvemedusobno normalne prave i neka je M = S(A). Uocimo tangentne vektoreSu i Sv u tacki M . Tada povrsini jednog kvadrata u skupu G pribliznoodgovara povrsina jednog krivolinijskog kvadrata na povrsi (za glatke povrsiovo je dobra aproksimacija povrsine). Ako je A = (u0, v0), onda su ostaletacke kvadrata u ravni date kao B = (u0 +h, v0), C = (u0 +h, v0 +h) i D =(u0, v0 +h). Pored uvedene oznake M = S(A), neka je N = S(B), P = S(C)i Q = S(D). Posmatramo Tejlorove razvoje funckija jedne promenljive:

x(u, v0) = x(u0, v0) + xu(u0, v0)h+ o(h),

a slicno i za funkcije y(u, v0) i z(u, v0). Krace, u vektorskom obliku zapisano,vazi

S(u, v0) = S(u0, v0) + Su(u0, v0)h+ o(h).

Takode je

S(u0, v) = S(u0, v0) + Sv(u0, v0)h+ o(h).

Krivolijinskom kvadratuMNPQ pridruzimo paralelogram u tangentnoj ravni,odreden vektorima Suh i Svh. Tada je povrsina krivolinijskog kvadrata pri-blizno jednaka povrsini paralelograma, odnosno

∆ = |Suh× Svh|P = |Su × Sv|Ph2 = |Su × Sv|Pm2(E),

pri cemu je sa E oznacen kvadrat ABCD. Ako su kvadrati unutar skupaG oznaceni sa Ei, i = 1, . . . , n, tada je povrsina svih krivolinijskih kvadratana povrsi S priblizno jednaka

n∑i=1

∆i =n∑i=1

|Su × Sv|Pim2(Ei).

5.2. PRVA KVADRATNA FORMA POVRSI I POVRSINA POVRSI 161

Granicna vrednost ove sume kada h → 0, jednaka je povrsini povrsi S. Naosnovu definicije dvostrukog Rimanovog integrala funkcije dve promenljivepo skupu G, sledi da vazi

m(S) = limh→0

n∑i=1

∆i = limh→0

n∑i=1

|Su × Sv|Pim2(Ei) =

∫∫G

|Su × Sv|dudv.

Sada treba pronaci pogodniji oblik za izracunavanje |Su × Sv|Pi .Neka je ϕ ugao koji zaklapaju vektori Su i Sv u tacki Pi. Tada je dobro

poznato da vazi

|Su × Sv| = |Su||Sv| sinϕ, Su · Sv = |Su||Sv| cosϕ,

odakle sledi

|Su × Sv|2 = |Su|2|Sv|2 − (Su · Sv)2 = EG− F 2.

Prema tome, povrsina povrsi S data je formulom

m(S) =

∫∫G

√EG− F 2 du dv.

Specijalno, ako je povrs data eksplicitno, z = f(x, y), tada je

m(S) =

∫∫G

√1 + f2

x + f2y dx dy.

Nastavljamo sa proucavanjem glatkih povrsi. Vektor normale glatkepovrsi S, cija je reprezentacija data sa S = S(u, v), (u, v) ∈ G, jesteN = Su × Sv. Neka je n jedinicni vektor normale, odnosno

n =Su × Sv|Su × Sv|

.

Definicija 5.2.2. Ako je jedinicni vektor normale glatke povrsi neprekidnafunkcija parametara u i v, onda je taj vektor orijentacija glatke povrsi.

Ako je povrs S glatka i ima tacaka samopreseka, onda u tim tackamapovrs S ima po dve normale i time je narusena neprekidnost vektora normaleu zavisnosti od parametara povrsi.

Sa druge strane, ako je n orijentacija neke povrsi, mose se odabrati idruga orijentacija −n.


Definicija 5.2.3. Glatka povrs je orijentisana, ako je na toj povrsi izabranajedna od mogucih dveju orijentacija.

Definicija 5.2.4. Tacka M0 = S(u0, v0) povrsi S je konusna tacka, akoje funkcija S neprekidno diferencijabilna u prstenu P ((u0, v0); 0, R), ali ovafunkcija nije neprekidno diferencijabilma u disku D((u0, v0);R).

Primer 5.2.1. Konus je dat jednacinom z2 = x2+y2, gde je, na primer, x2+y2 ≤ 1. Povrs konusa jeste skup S∗ = (x, y,

√x2 + y2) : (x, y) ∈ D(0; 1),

gde je D(0; 1) jedinicni disk u ravni sa centrom u koordinatnom pocetku.

Tangentni vektori koordinatnih linija dati su sa Sx =

(1, 0, x√

x2+y2

)i Sy =(

0, 1, y√x2+y2

)za svako (x, y) ∈ D(0; 1) \ (0, 0). Vektori normale u tim

tackama jesu

N = Sx × Sy =

∣∣∣∣∣∣∣∣i j k1 0 x√

x2+y2

0 1 y√x2+y2

∣∣∣∣∣∣∣∣ = − x√x2 + y2

i− y√x2 + y2

j + k.

Ocigledno vazi |N| =√

2. Prema tome, svaka tacka povrsi S, osim vrhakonusa, jeste neosobena tacka, dok je vrh konusa konusna tacka povrsi S.Takode je jedinicni vektor normale jedne od mogucih orijentacija povrsi S

dat kao n =

(− x√

2(x2+y2),− y√

2(x2+y2), 1√

2

).

U mnogim primenama koriste se povrsi sa konacno mnogo konusnihtacaka. Na primer, neka su S(ui, vi), i = 1, . . . , k, sve konusne tacke povrsiS, i neka je povrs S glatka u svim ostalim tackama, odnosno glatka u skupuG1 = G\(u1, v1), . . . , (uk, vk). Svaka neprekidna jedinicna normala povrsina skupu G1 jeste orijentacija povrsi S.

Ukoliko se na povrsi moze izabrati jedna od dveju orijentacija, onda jepovrs dvostrana. Ukoliko se to ne moze uraditi, povrs je jednostrana.

Primer povrsi koja se ne moze orijentisati jeste Mebijusova traka. Neka jepravougaonik Π u prostoru sa temenima redom A, B, C i D. Pretpostavimoda je pravougaonik Π transformisan u prostoru, tako da se teme A poklopisa temenom C, a teme B se poklopi sa temenom D. Tako dobijena povrsu prostoru jeste Mebijusova traka. Lako je proveriti da je ovako dobijenapovrs jednostrana.

Postoje povrsi koje imaju rub, a takode postoje povrsi koje nemaju rub.Rub povrsi u primenama bice uvek kontura. Od posebnog je interesa je ori-

5.3. POVRSINSKI INTEGRALI PRVOG REDA 163

jentisati rub orijentisane povrsi, glatke u unutrasnjosti, sa izuzatkom even-tualno konacno mnogo konusnih tacaka.

Neka je rub oblasti G grafik neke konture γ = γ(t), t ∈ [a, b]. Pret-postavimo da je kontura γ orijentisana pozitivno u odnosu na oblast G,odnosno prilikom kretanja po konturi u smeru rasta parametra, oblast G os-taje sa leve strane. Neka je S glatka povrs sa rubom, sa izuzetkom konacnomnogo konusnih tacaka. U ovom slucaju rub povrsi S jeste grafik deo podeo glatke krive Γ(t) = S(γ(t)), t ∈ [a, b]. Takode pretpostavimo da se povrsS moze orijentisati izborom neprekidnog jedinicnog vektora normale.

Rub Γ povrsi S jeste orijentisan saglasno izboru vektora normale povrsiS, ako pri kretanju krivom Γ u smeru rasta parametra, orijentisana stranapovrsi S ostaje sa leve strane.

Postupak orijentacije povrsi i ruba moze se shvatiti i obrnuto: kriva γ jepozitivno orijentisana u odnosu na oblast G, kriva Γ = S γ je orijentisanasaglasno orijentaciji krive γ, a na povrsi S izabrana je orijentacija n =Su(t)× Sv(t)

|Su(t)× Sv(t)|.

5.3 Povrsinski integrali prvog reda

Neka je G ogranicena merljiva oblast u R2, i neka je S : G → R3 glatkapovrs. Neka je G =

⋃ki=1Gi razbijanje skupa G na pravama paralelnim

koordinatnim osama, a Si = S|Gi , i = 1, . . . , k, neka su odgovarajuci delovipovrsi S. Neka su ξi ∈ Si proizvoljne tacke, a m(Si) povrsine delova povrsiSi, i = 1, . . . , k.

Na kraju pretpostavimo da je data funkcija f : S∗ → R.

Posmatrajmo sumu

k∑i=1

f(ξi)m(Si). (5.2)

Ranije je pokazano kako se izracunava povrsina povrsi na osnovu prve kvadratneforme. Stoga nije tesko proveriti da je upravo napisana suma (5.2) zapravoRimanova integralna suma dvostrukog integrala∫∫

G

f(x(u, v), y(u, v), z(u, v))√EG− F 2 du dv =

∫∫S

f ≡∫∫S

fdS (5.3)

gde su E,F,G koeficijenti prve kvadratne forme povrsi S. Dodatna pret-postavka, naravno, jeste da pomenuti integral postoji.


Integral (5.3) jeste povrsinski integral prvog reda funkcije f(x, y, z) popovrsi S. Ako navedeni integral postoji, onda je realna funkcija f integra-bilna na S.

Na primer, ako je f neprekidna funkcija na S, tada je f integrabilna naS. Naime, u ovom slucaju integralimo neprekidnu funkciju na kompaktnommerljivom skupu G.

Ne gubimo od opstosti ako pretpostavimo da je S deo po deo glatka. Nataj nacin izvodi, koji se javljaju u koeficijentima E,F,G nece biti definisanina nekom skupu u ravni, a mera ovog skupa je nula. Ova pretpostavka neutice na vrednost integrala.

Svojstva povrsinskog integrala prvog reda analogna su svojstvima krivolin-ijksog integrala prvog reda. Preciznije, povrsinski integral prvog reda nezavisi od parametarske reprezentacije povrsi S, a takode ne zavisi od ori-jentacije povrsi.

Primer 5.3.1. Izracunati povrsinski integral prvog reda∫∫S

dS(1+z)2

, ako je S

polusfera x2 + y2 + z2 = 1, z ≥ 0.

Resenje. Jednacina gornje polusfere u sfernim koordinatama je

x = cosϕ sinψ, y = sinϕ sinψ, z = cosψ, ϕ ∈ [0, 2π), ψ ∈ [0, π/2].

Koeficijenti prve kvadratne forme ove povrsi jesu

E = (xϕ)2 + (yϕ)2 + (zϕ)2 = sin2 ψ, F = xϕxψ + yϕyψ + zϕzψ = 0,

G = (xψ)2 + (yψ)2 + (zψ)2 = 1.

Prema tome, trazeni integral jeste:

I =

2π∫0

dϕ

π/2∫0

sinψ

(1 + cosψ)2dψ = π.

Primer 5.3.2. Izracunati povrsinski integral prvog reda I =∫∫S

(xy + yz +

zx)dS, gde je S deo konusa z =√x2 + y2, koji je ogranicen cilindrom

x2 + y2 = 2x.

Resenje. Uvodimo cilindricne koordinate:

x = r cosϕ, y = r sinϕ, z = ξ, ϕ ∈ [−π, π), r > 0, ξ ∈ R.

5.4. POVRSINSKI INTEGRALI DRUGOG REDA 165

Jednacina konusa u cilindricnim koordinatama je ξ = r. Unutrasnjost cilin-dra dobija se na osnovu nejednacine x2 + y2 ≤ 2x, odakle sledi r ≤ 2 cosϕ iϕ ∈ (−π/2, π/2). Parametarske jednacine povrsi jesu

x = r cosϕ, y = r sinϕ, z = r, ϕ ∈ (−π/2, π/2), r ∈ (0, 2 cosϕ).

Koeficijenti prve kvadratne forme ove povrsi su

E = (xr)2 + (yr)

2 + (zr)2 = 2, F = xrxϕ + yryϕ + zrzϕ = 0,

G = (xϕ)2 + (yϕ)2 + (zϕ)2 = r2.

Trazeni integral je jednak

I =√

2

π/2∫−π/2

dϕ

2 cosϕ∫0

r3

(1

2sin 2ϕ+ sinϕ+ cosϕ

)dr

= 4√

2

π/2∫−π/2

sinϕ cos5 ϕdϕ+ 4√

2

π/2∫−π/2

sinϕ cos4 ϕdϕ

+ 4√

2

π/2∫−π/2

cos5 ϕdϕ.

Prva dva integrala su jednaka nuli, jer se integrale neparne funkcije nasegmentu simetricnom u odnosu na koordinatni pocetak. Prema tome,

I =64√

2

15.

5.4 Povrsinski integrali drugog reda

U ovoj lekciji definisemo integrale koji zavise od orinetacije povrsi.Neka je G ogranicena i merljiva oblast u R2. Neka je povrs S : G →

R3 deo po deo glatka i orijentisana nekim vektorom normale n. Ovakoorijentisana povrs oznacava se sa S+. Kao u prethodnom delu, posmatra serazbijanje oblasti G =

⋃ki=1Gi i odgovarajuci delovi povrsi Sj = S|Gj . Neka

su date proizvoljne tacke ξi ∈ Si, i = 1, . . . , k. Sa ∠(n,k) oznvacava se ugaokoji vektor normale n zaklapa sa pozitivnim delom z-ose. Neka je funkcijaf : S∗ → R definisana S. Posmatra se suma

k∑i=1

f(ξi) cos∠(n,k)m(Si).


Prethodna suma je Rimanova integralna suma koja odovara integralu∫∫D

P (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) cos∠(n,k)√EG− F 2 du dv =

=

∫∫S

f cos∠(n,k) dS,

u slucaju da ovaj integral postoji. Ukoliko navedeni integral postoji, funkcijaf je integrabilna na S u odnosu na z-osu.

Koristimo oznaku∫∫S+

f dx dy =

∫∫S

f cos∠(n,k) dS

i ovaj integral jeste povrsinski integral drugog reda (u odnosu na z-osu)funkcije f(x, y, z) po orijentisanoj povrsi S+.

Ako je f neprekidna funkcija na S∗, onda navedeni dvojni integrla pos-toji, jer je funckija koja se integrali neprekidna na merljivom i kompaktnomskupu G, sa izuzetkom, eventualno, nekog skupa koji je mere nula.

Ovako definisan integral ne zavisi od parametarske reprezentacije povrsiS. Na osnovu ocigledne jednakosti

cos∠(−n,k) = − cos∠(n,k),

sledi da povrsinski integral menja znak ako se promeni orijentacija povrsi.Neka je S− povrs orijentisana vektorom −n. Tada vazi∫∫

S−

f dx dy = −∫∫S+

f dx dy.

Analogno se definisu integrali u odnosu na preostale ose:∫∫S+

f dy dz =

∫∫S

f cos∠(n, i) dS,

∫∫S+

f dz dx =

∫∫S

f cos∠(n, j) dS.

Neka je a = (P,Q,R) neprekidno vektorsko polje definisano na deo podeo glatkoj i orijentisanoj povrsi S, odnosno funkcije P , Q i R su definisanei neprekidne na S∗. Tada je∫∫

S+

a =

∫∫S+

P dy dz +

∫∫S+

Q dz dx+

∫∫S+

R dx dy.


Potrebno je naci efikasan nacin za izracunavanje kosinusa uglova koje nor-mala n zaklapa sa pozitivnim smerovima koordinatnih osa. Kako je n je-dinicni vektor normale, odnosno

n =Su × Sv|Su × Sv|

,

onda vazi

cos∠(n,k) =n · k|n||k|

=Su × Sv|Su × Sv|

· k =k

|Su × Sv|

∣∣∣∣∣∣i j kxu yu zuxv yv zv

∣∣∣∣∣∣=

1

|Su × Sv|

∣∣∣∣xu yuxv yv

∣∣∣∣ =1√

EG− F 2· D(x, y)

D(u, v).

Nedostatak ove formule je u tome sto zamena mesta promenljvim u iv dovodi do promene znaka poslednje determinante. Stoga se zahteva daugao izmedu vektora n i k pripada segmentu [0, π/2], cime se obezbedujecos∠(n,k) ≥ 0. Prema tome, uz uslov ∠(n,k) ∈ [0, π/2], vazi formula

cos∠(n,k) =1√

EG− F 2·∣∣∣∣D(x, y)

D(u, v)

∣∣∣∣ .Konacno, vaze formule∫∫

S+

R dx dy =

∫∫G

R

∣∣∣∣D(x, y)

D(u, v)

∣∣∣∣ dudv, ∠(n,k) ∈ [0, π/2].

Analogno∫∫S+

P dy dz =

∫∫G

P

∣∣∣∣D(y, z)

D(u, v)

∣∣∣∣ dudv, ∠(n, i) ∈ [0, π/2],

∫∫S+

Q dz dx =

∫∫G

Q

∣∣∣∣D(x, z)

D(u, v)

∣∣∣∣ dudv, ∠(n, j) ∈ [0, π/2].

Primer 5.4.1. Izracunati povrsinski integral∫∫S+

z dx dy+ y dz dx+ x dy dz,

gde je S spoljasnja strana sfere x2 + y2 + z2 = R2.

Resenje. Uvodenjem sfernih koordinata lako se utvrduje da su parametarskejednacine sfere date kao

x = R cosϕ sinψ, y = R sinϕ sinψ, z = R cosψ,

ϕ ∈ [0, 2π], ψ ∈ [0, π].


Neka je I1 =∫∫S+

z dx dy. Prema pretpostavci zadatka, orijentisana je spoljna

strane sfere. Ukoliko se neka tacka nalazi na gornjoj polusferi (z ≥ 0), tadavektor normale sfere u toj tacki zaklapa ostar ugao (odnosno najvise π/2) sapozitivnim smerom z-ose. Ukoliko se tacka nalazi na donjoj poluferi, tadavektor normale sfere u posmatranoj tacki zaklapa tup ugao sa pozitivinimsmerom z-ose. Prema tome,

I1 =

∫∫S+1

z dx dy −∫∫S−2

z dx dy,

pri cemu je S+1 gornja polusfera orijentisana spolja, a S−2 je donja polusfera

orijentisana unutra. Gornja polusfera se dobija iz parametarskih jednacinasfere za ψ ∈ [0, π/2], a donja polusfera se dobija za ψ ∈ [π/2, π]. Vazi∣∣∣∣D(x, y)

D(ϕ,ψ)

∣∣∣∣ =R2

2| sin 2ψ|.

Ako je ψ ∈ [0, π/2], tada je sin 2ψ > 0 i vazi

I11 =

∫∫S+1

z dx dy =

2π∫0

dϕ

π/2∫0

R3 sinψ cos2 ψ dψ =2

3R3π.

Ako je ψ ∈ (π/2, π), tada je sin 2ψ < 0 i

I12 = −∫∫S−2

z dx dy = −2π∫0

dϕ

π∫π/2

R3 cos2 ψ(− sinψ) dψ =2

3R3π.

Prema tome I1 =4

3R3π. U ovom zadatku promenljive x, y i z mogu

promeniti mesta, uzimajuci ubzir i podintegralnu funkciju i domen inte-gracije. Prema tome, svi preostali integrali jednaki su integralu I1:∫∫

S+

y dx dz =

∫∫S+

x dy dz = I1 =4

3R3π.

Konacan rezultat jeste I = 4R3π.

Primer 5.4.2. Izracunati integral∫∫S+

yz dx dy + xz dy dz + xy dx dz, ako je

S+ spoljna strana tela ogranicenog povrsima x2 + y2 = R2, x = 0, y = 0,z = 0, z = a, R, a > 0.


Resenje. Povrs S se moze prikazati kao unija S = S1 + S2 + S3 + S4 + S5,pri cemu je S1 deo povrsi koji pripada cilindru, S2 je deo koji pripada ravniz = 0, S3 je deo koji pripada ravni z = a, S4 je deo koji pripada razni x = 0i S5 je deo koji pripada ravni y = 0.

Parametarske jednacine povrsi S1 jesu

x = R cosϕ, y = R sinϕ, z = ξ, ϕ ∈ [0, π/2], ξ ∈ [0, a].

Normala, kojom je orijentisana spoljna strana cilindra uvek je normalna na

z-osu. Stoga jeD(x, y)

D(ϕ, ξ)= 0. Takode je∣∣∣∣D(x, z)

D(ϕ, ξ)

∣∣∣∣ = R sinϕ,

∣∣∣∣D(y, z)

D(ϕ, ξ)

∣∣∣∣ = R cosϕ.

Sada je

I1 =

∫∫S+1

yz dx dy + xz dy dzxy dx dz =1

8R2a2π +

1

3aR3.

Povrs S2 lezi u ravni z = 0, te je dz = 0 i∫∫S+2

yz dx dy + xz dy dz +

xy dx dz = 0.Povrs S3 lezi u ravni z = a, a > 0, te je dz = 0 i

∫∫S+3

yz dx dy+xz dy dz+

xy dx dz = a∫∫S+3

y dx dy. Parametarske jednacine povrsi S3 jesu

x = r cosϕ, y = r sinϕ, z = a, ϕ ∈ [0, π/2], r ∈ [0, R].

Sada je

∣∣∣∣D(x, y)

D(r, ϕ)

∣∣∣∣ = r. Normala na S+3 zaklapa ugao 0 sa pozitivnim smerom

z-ose, te je

a

∫∫S+3

y dx dy = a

π/2∫0

sinϕdϕ

R∫0

r2dr =1

3aR3.

Povrs S4 lezi u ravni x = 0, te je i dx = 0. Prema tome,∫∫S+4

yz dx dy +

xz dy dz + xy dx dz = 0. Analogno,∫∫S+5

yz dx dy + xz dy dz + xy dx dz = 0.

Na kraju, trazeni integral jednak je sumi svih prethodnih integrala: I =2

3aR3 +

1

8a2R2π.


5.5 Teorija polja

Skalarno polje je funkcija U(x1, . . . , xn), koja je definisana u nekoj oblastiG, G ⊂ Rn. Skalrano polje je, dakle, preslikavanje U : G → R, gde je Goblast u Rn.

Ako je G ⊂ R3 oblast i P , Q i R funkcije definisane u oblasti G, tadaje a = (P,Q,R) vektorsko polje definisano u oblasti G. Vektorsko polje je,dakle, preslikavanje a : G→ R3, gde je G oblast u R3.

Svakom skalarnom polju U pridruzuje se gradijent, odnosno vektor

grad U = Uxi + Uyj + Uzk.

Gradijent skalarnog polja ne zavisi od koordinatnog sistema i pokazuje pravacnajbrzeg rasta skalarnog polja U . Ako je ~l vektor koji zaklapa redom ugloveα, β, γ sa vektorima i, j,k, tada je izvod diferenijcabilne funkcije U u pravcuvektora ~l odreden kao

∂U

∂~l= Ux cosα+ Uy cosβ + Uz cos γ = ~l · grad U.

Kako je ~l jedinicni vektor, onda je ∂U

∂~lprojekcija vektora grad U na pravac

vektora ~l. Ova velicina je utoliko veca ukoliko je ugao koji grad U zaklapasa ~l manji.

Definicija 5.5.1. Neka je vektorsko polje a definisano u oblasti G ⊂ R3.Ako u oblasti G postoji neprekidno diferencijabilno skalarno polje U takoda vazi

a = grad U,

tada je U potencijal vektorskog polja a. U tom slucaju, ako je a = (P,Q,R),onda vazi

P = Ux, Q = Uy, R = Uz.

Ekvivalentno, U je potencijal vektorskog polja a = (P,Q,R) ako je dU =P dx+Qdy +Rdz.

Definicija 5.5.2. Neka je a = (P,Q,R) neprekidno diferencijabilno vek-torsko polje, definisano u oblasti G. Velicina

div a =∂P

∂x+∂Q

∂y+∂R

∂z

jeste divergencija vektorskog polja a.

5.5. TEORIJA POLJA 171

Simoblicki operator ∇ definisan je kao

∇ =∂

∂xi +

∂

∂yj +

∂

∂zk =

(∂

∂x,∂

∂y,∂

∂z

),

a skraceno se pise

div a = ∇ · a.

Definicija 5.5.3. Ako je a = (P,Q,R) neprekidno diferencijabilno vek-torsko polje, definisano u oblasti G ⊂ R3, onda vektor definisan kao

rot a = ∇× a =

∣∣∣∣∣∣i j k∂∂x

∂∂y

∂∂z

P Q R

∣∣∣∣∣∣jeste rotor vektorskog polja a.

Definicija 5.5.4. Neka je γ deo po deo glatka kriva zatvorena kriva (kon-tura) u oblasti G ⊂ R3 i neka je neprekidno vektorsko polje a = (P,Q,R)definisano u oblasti G. Ako postoji krivolinijski integral∫

γ

P dx+Qdy +Rdz,

onda vrednost tog krivolinijskog integrala jeste cirkulacija vektorskog poljaa duz konture γ.

Ako je dr = ( dx, dy, dz), onda je∫γ

P dx+Qdy +Rdz =

∫γ

a · dr

=

∫γ

(P cosα+Q cosβ +R cos γ) ds

=

∫γ

a · t ds,

gde je t = (cosα, cosβ, cos γ) jedinicni vektor tangente krive γ. Prema tome,vazi ∫

γ

P dx+Qdy +Rdz =

∫γ

|a| cos∠(a, t) ds.


Dokazacemo kasnije da je vektorsko polje je potencijalno u oblasti G,ako je cirkulacija tog polja po ma kojoj konturi γ u G jednaka nuli.

Definicija 5.5.5. Neka je vektorsko polje a definisano i neprekidno u oblastiG ⊂ R3 i neka je S deo po deo glatka zatvorena povrs u oblasti G. Neka jen jedinicni vektor normale koji odreduje orijentaciju povrsi S. Integral∫∫

S

a · n dS

naziva se protok ili fluks vektorskog polja a po povrsi S.

Uz oznaku dS = ndS, vazi∫∫S

a · n dS =

∫∫S

a dS =

∫∫S

(P cosα+Q cosβ +R cos γ) dS.

Definicija 5.5.6. Vektorsko polje a je solenoidno u oblasti G ako je protoktog polja po ma kojoj deo po deo glatkoj zatvorenoj povrsi u G jednak nuli.

5.6 Formula Gaus–Ostrogradskog

Neka je G merljiva oblast u R2. Na skupu G neka su definisane deo podeo glatke povrsi: S1 = r1 = r1(u, v) : (u, v) ∈ G i S2 = r2 =r2(u, v) : (u, v) ∈ G. Pretpostavimo da za svako (u, v) ∈ G vazi: r1(u, v) =(x(u, v), y(u, v), z1(u, v)) i r2(u, v) = r2(x(u, v), y(u, v), z2(u.v)) i z1(u, v) ≤z2(u, v). Time je obezbedeno da se povrs S1 i S2 nalaze jedna ispod druge.Na taj nacin je moguce formirati nepravilan ”cilindar“, ’cije su ”baze“ povrsiS1 i S2, a izvodnice su paralelne z-osi. Omotac cilindra je povrs kojuoznacavamo sa S3. Dobijena povrs S = S1 + S2 + S3 je elementarna povrsu odnosu na z-osu, a ”cilindar“ je elementarna oblast u odnosu na z-osu.Povrs S neka je orijentisana spolja (u odnosu na cilindar). Analogno semogu razmatrati povrsi elementarne u odnosu na bilo koju osu.

Teorema 5.6.1. (Gaus–Ostrogradski) Neka su funkcije P , Q i R definisanei neprekidne zajedno sa parcijalnim izvodima ∂P

∂z , ∂Q∂y i ∂R

∂z u zatvorenju G

oblasti G ⊂ R3. Pretpostavimo da se oblast G moze prikazati kao unijaelementarnih oblasti u odnosu na sve tri ose. Neka je S+ rub oblasti G

5.6. FORMULA GAUS–OSTROGRADSKOG 173

orijentisan spolja u odnosu na G. Tada vazi formula∫∫∫G

(∂P

∂x+∂Q

∂y+∂R

∂z

)dx dy dz =

∫∫S+

P dy dz +Qdz dx+Rdxdy

=

∫∫S

(P cosα+Q cosβ +R cos γ)dS.

Drugim recima, ako je a = (P,Q,R) vektorsko polje, tada vazi∫∫∫G

div a dx dy dz =

∫∫S

a dS.

Prema tome, trojni integral divergencije vektorskog polja a u merljivoj oblastiG jednak je protoku tog polja kroz rub oblasti G (koja je deo po deo glatkapovrs).

Dokaz. Teoremu dokazujemo u slucaju kada je G elementarna oblast uodnosu na sve tri ose. Neka je skup G elementaran u odnosu na z-osu.Tada postoje povrsi S1 i S2, tako da je S1 ”ispod“ S2. Omotac cilindraje povrs S3. Neka je D projekcija povrsi S1 (i S2) na Oxy ravan. Postojeneprekidno diferencijabilne funkcije ϕ1(x, y) i ϕ2(x, y) na skupu D, tako daje Si = (x, y, ϕi(x, y)) : (x, y) ∈ D, i = 1, 2, pri cemu je ϕ1(x, y) < ϕ2(x, y)za svako (x, y) ∈ D. Svaka normala na povrs S3 je normala na z osu i stogaje ∫∫

S+3

R dx dy = 0.

Sada vazi∫∫∫G

∂R

∂zdx dy dz =

∫∫D

dx dy

ϕ2(x,y)∫ϕ1(x,y)

∂R

∂zdz

=

∫∫D

R(x, y, ϕ2(x, y)) dx dy −∫∫D

R(x, y, ϕ1(x, y)) dx dy

=

∫∫S+2

Rdxdy +

∫∫S+1

Rdxdy +

∫∫S+3

Rdxdy,

odnosno ∫∫∫G

∂R

∂zdx dy dz =

∫∫S+

Rdxdy.


Koristeci elementarnost u odnosu na preostale dve ose, lako se pokazuje davazi ∫∫∫

G

∂Q

∂ydx dy dz =

∫∫S+

Qdz dx

i ∫∫∫G

∂P

∂xdx dy dz =

∫∫S+

P dx dy.

Sabiranjem ovih jednakosti dobija se trazena formula.

Ako je oblast G unija konacno mnogo oblasti elementarnih u odnosu nasve tri koordinatne ose, onda treba primeniti upravo pokazanu formulu nasve elementarne oblasti, a na kraju sabrati dobijene integrale.

Formula Gausa–Ostrogradskog moze biti dokazana i za oblasti opstijeod unije elementarnih oblasti. Teoremu navodimo bez dokaza.

Teorema 5.6.2. (Gaus–Ostrogradski) Neka je vektorsko polje a = (P,Q,R)neprekidno zajedno sa izvodima ∂P

∂x , ∂Q∂y , ∂R

∂z u zatvorenju G neke oblasti G ⊂R3. Neka je rub oblasti G spolja orijentisana deo po deo glatka zatvorenapovrs S. Tada vazi formula∫∫∫

div a dx dy dz =

∫∫S

adS.

Primer 5.6.1. Izracunati integral I =∫∫S

zdxdy, ako je S spolja orijentisana

gornja polusfera: x2 + y2 + z2 = 1, z ≥ 0.

Resenje. Izracunacemo integral neposredno. Parametarske jednacine polus-fere jesu:

x = cosϕ sinψ, y = sinϕ sinψ, z = cosψ, ϕ ∈ [0, 2π], ψ ∈[0,π

2

].

Tada je apsolutna vrednost odgovarajuceg Jakobijana:∣∣∣∣D(x, y)

D(ϕ,ψ)

∣∣∣∣ = sinψ cosψ.

Stoga je

I =

2π∫0

dϕ

π/2∫0

cos2 ψ sinψdψ =2

3π.


Sada racunamo trazeni integral primenom Teoreme Gausa-Ostrogradskog.Povrs S nije zatvorena, te posmatrajmo i povrs S1 koja je krug x2 + y2 ≤ 1,z = 0. Povrs S + S1 je zatvorena, i ona ogranicava oblast G. Neka je

D = (x, y) : x2 + y2 ≤ 1 = (r, ϕ) : r ∈ [0, 1], ϕ ∈ [0, 2π]

iG = (x, y, z) : (x, y) ∈ D, 0 ≤ z ≤

√1− x2 − y2.

Na osnovu Teoreme Gaus-Ostrogradskog, koriscenjem sferne smene za trostrukiintegral, vazi

∫∫S+S1

zdxdy =

∫∫∫G

dxdydz =

2π∫0

dϕ

1∫0

r2dr

π/2∫0

sinψdψ =2

3π.

Stoga je trazeni integral I jednak

I =2

3π −

∫S1

zdxdy.

Na povrsi S1 je z = 0, te je∫∫S1

zdxdy = 0. Stoga je I = 23π.

Primer 5.6.2. Izracunati integral I =∫∫S+

−x2z dy dz+y dz dx+2 dx dy, ako

je S+ spolja orijentisan omotac skupa G, G je deo elipsoida 4x2+y2+4z2 = 4u prvom oktantu.

Resenje. Prema formuli Gaus–Ostrogradskog, vazi

I =

∫∫∫G

(−2xz + 1) dx dy dz.

Deo elipsoida je dat sa: x2 +(y

2

)2+ z2 = 22, x, y, z ≥ 0. Uvodimo uopstenu

sfernu smenu:

x = r cosϕ sinψ, y = 2r sinϕ sinψ, z = r cosψ,

ϕ ∈ (0, π/2), ψ ∈ (0, π/2), r ∈ (0, 1), |J | = 2r2 sinψ.

Trazeni integral jednak je

I = 2

π/2∫0

dϕ

π/2∫0

dψ

1∫0

(−2r2 cosϕ sinψ cosψ + 1)r2 sinψdr =π

3− 4

15.


Primer 5.6.3. Izracunati integral∫∫S+

(y − z) dy dz + (z − x) dx dz + (x −

y) dx dy, gde je S+ spoljna strana konusa x2 + y2 = z2, 0 ≤ z ≤ h.

Resenje. Dati konus nije rub ni jednog skupa u R3. Stoga, zatvorimo ovajkonus delom ravni z = h, koja je unutar konusa. Deo ravni oznacimo sa S1,a dobijeni skup u R3 (kupu) oznacimo sa G. Tada je S2 = S+S1 rub skupaG. Prema formuli Gaus–Ostrogradskog, vazi∫∫

S+2

(y − z) dy dz + (z − x) dx dz + (x− y) dx dy =

=

∫∫∫G

(Px +Qy +Rz) dx dy dz = 0.

Prema tome,

I =

∫∫S+

(y − z) dy dz + (z − x) dx dz + (x− y) dx dy

= −∫∫S+1

(y − z) dy dz + (z − x) dx dz + (x− y) dx dy.

Poslednji integral se izracunava po definiciji. Na povrsi S1 je z = h, odaklesledi dz = 0 i

I = −∫S+1

(x− y) dx dy.

Parametarske jednacine povrsi S1 su

x = r cosϕ, y = r sinϕ, z = h, r ∈ (0, h), ϕ ∈ (0, 2π).

Sledi ∣∣∣∣D(x, y)

D(r, ϕ)

∣∣∣∣ = r

i

I = −2π∫0

dϕ

h∫0

r2(cosϕ− sinϕ)dr = 0.


Merljiva oblast G ⊂ R3 je dopustiva, ako se u njoj moze primeniti for-mula Gaus-Ostrogradskog za proizvoljno neprekidno diferencijabilno vek-torsko polje na skupu G. Neka je G dopustiva oblast u R3 i rub oblastiG je S = rG je deo po deo glatka povrs. Posmatra se vektorsko poljea = (x, y, z) na skupu G. Na osnovu formule Gausa–Ostrogradskog slediformula za izracunavanje zapremine oblasti G:

m(G) =1

3

∫∫S

x dy dz + y dz dx+ z dx dy. (5.4)

Neka su f i g ogranicene i integrabilne funkcije na merljivom skupu G,tako da je A ≤ f(x) ≤ B i g(x) ≥ 0 za svako x ∈ G. Tada ocigledno vazenejednakosti:

A

∫G

gdx ≤∫G

fgdx ≤ B∫G

gdx.

Postoji neki broj C ∈ [A,B] tako da vazi∫G

fgdx = C

∫G

g dx.

U slucaju kada je f neprekidna funkcija na prosto povezanom kompaktu G,tada f dostize svoj minimum i maksimu na G. Postoje tacke x1, x2 ∈ G,tako da je

A = minx∈G

f(x) = f(x1), B = maxx∈G

f(x) = f(x2).

Obzirom da je G prosto povezan, sledi da postoji kontura γ: x = x(t),t ∈ [a, b], tako da je x(a) = A, x(b) = B i γ ⊂ G. Iz neprekidnosti realnefunkcije t 7→ f(x(t)) na segmentu [a, b] i A ≤ C ≤ B, sledi da postoji tackat0 ∈ [a, b], tako da je f(x(t0)) = C. Ako je x(t0) = ξ0, onda vazi∫

G

fgdx = f(ξ0)

∫G

gdx. (5.5)

Poslednji rezultat se naziva teorema o srednjoj vrednosti za visestruke inte-grale.

Neka je sada G dopustiva oblast u R3 i a neprekidno diferencijabilnovektorsko polje u G. Neka je M0 ∈ G. Tada postoji kugla sa centrom uM0 poluprecnika d, koja je sadrzana u skupu G. Rub kugle Kd je spolja


orijentisana sfera Sd. Prema teoremi o srednjoj vrednosti za integrale, sledida postoji neka tacka M ∈ Kd tako da vazi

div a(M) =

∫∫Sd

a · dS

m(Kd).

Ako d→ 0, zbog neprekidnosti funkcije polja a sledi

div a(M0) = limd→0

∫∫Sd

a · dS

m(Kd). (5.6)

U prethodnoj formuli se umesto kugle Kd moze uzeti bilo koja dopustivaoblast D, sa svojstvom M0 ∈ D ⊂ G i dijametar oblasti D tezi nuli:

div a(M0) = limdiam(D)→0

∫∫rD

a · dS

m(D). (5.7)

Na ovaj nacin se pokazuje da je pojam divergencije vektorskog polja moguceuvesti pomocu granicnih vrednosti oblika (5.7).

Oblast G je zapreminski prosto povezana, ako za svaku deo po deo glatkupovrs S bez ruba, koja je sadrzana uG, sledi da je i oblastD, koju ogranicavapovrs S, sadrzana u G, odnsono D ⊂ G. Na primer, oblast koja se nalaziizmedu dve koncentricne sfere nije zapreminski jednostruko povezana.

Teorema 5.6.3. Neka je vektorsko polje a neprekidno diferencijabilno uzapreminski jednostruko povezanoj oblasti G. Polje a je solenoidno, ako isamo ako div a(M) = 0 za svako M ∈ G.

Dokaz. Neka je polje a solenoidno, odnosno protok vektorskog polja a poma kojoj deo po deo glatkoj zatvorenoj povrsi S (S ⊂ G) jeste nula. Nekaje M0 ∈ G proizvoljna tacka, neka je Kd kugla sa centrom u M0 i Kd ⊂ G.Prema fomruli (5.6) sledi da je div(M0) = 0. U ovom delu se ne pretpostavljazapreminksa povezanost oglasti G.

Neka je divM = 0 za svako M ∈ G. Neka je S proizvoljna deo po deoglatka zatvorena povrs u G. Tada povrs S ogranicava oblast D. Oblastje G zapreminski jednostruko povezana, te je D ⊂ G. Primenom formuleGaus–Ostrogradskog na oblast D i povrs S sledi da je protok polja a krozpovrs S jendak nuli. Prema tome, polje a je solenoidno.

5.7. FORMULA STOKSA 179

5.7 Formula Stoksa

Neka je D merljiva oblast u R2 promenljivih u i v. Rub oblasti D jepozitivno orijentisana (u odnosu na D) kontura γ: u = u(t), v = v(t),t ∈ [a, b]. Na skupu D definisana je neprekidno diferencijabilna (ili deo podeo glatka) povrs S = r = r(u, v) : (u, v) ∈ D. Rub povrsi S je konturaΓ: x = x(u(t), v(t)), y = y(u(t), v(t)), t ∈ [a, b], koja je orijentisana sa-glasno orijentaciji krive γ. Povrs S je orijentisana saglasno orijentaciji kriveγ, odnosno jedinicni vektor normale povrsi je n = ru×rv

|ru×rv | . Vektorsko polje

a = (P,Q,R) neka je neprekidno diferencijabilno na povrsi S.

Teorema 5.7.1. (Stoks) Pod prethodno navednim uslovima, vazi formula∫Γ+

a · dr =

∫∫S

rot a dS,

odnosno cirkulacija vektorskog polja a duz konture Γ jednaka je protoku togpolja kroz ma koju do po deo glatku povrs S, ciji je rub kriva γ, a povrs jeorijentisana saglasno orijentaciji krive Γ.

Drugim recima, vazi

∫Γ+

P dx+Qdy +Rdz =

∫∫S

∣∣∣∣∣∣cosα cosβ cos γ∂∂x

∂∂y

∂∂z

P Q R

∣∣∣∣∣∣ dS,gde su α, β, γ uglovi koje vektor normale n zaklapa sa pozitivnim delovimax, y i z koordinatnih osa.

Dokaz. Podsecamo da je γ pozitivno orijentisana kontura koja ogranicavaoblast D. Tada da vazi∫

Γ+

P dx =

=

b∫a

P [x(u(t), v(t)), y(u(t), v(t)), z(u(t), v(t))]x′t(u(t), v(t))dt

=

b∫a

P · (xuut + xvvt) dt

=

∫γ+

P · (xudu+ xvdv).


Primenom Grinove formule na poslednji izraz, sledi∫γ+

P dx =

∫D

[∂

∂u

(P∂x

∂v

)− ∂

∂v

(P∂x

∂u

)]dudv

=

∫D

[(Pxxu + Pyyu + Pzzu)xv

+Pxuv − (Pxxv + Pyyv + Pzzv)xu − Pxvu] dudv

=

∫∫D

[PzD(z, x)

D(u, v)− Py

D(x, y)

D(u, v)

]dudv

=

∫∫S+

Pz dz dx−∫∫S+

Py dx dy

=

∫∫S

(Pz cosβ − Py cos γ) dS.

Analogno se dokazuju formule∫Γ+

Qdy =

∫∫S

(Qx cos γ −Qz cosα) dS

∫γ+

Rdz =

∫∫S

(Ry cosα−Rx cosβ) dS.

Sabiranjem polsednje tri jednakosti dobija se trazeni rezultat.

Primer 5.7.1. Data je sfera x2 + y2 + z2 = 1 i paraboloid z = x2 + y2.Presek sfere i paraboloida je kontura γ. Dato je vektorsko polje a = (y, x2, z).Proveriti formulu Stoksa.

Resenje. Uvodimo cinlindricne koordinate:

x = r cosϕ, y = r sinϕ, z = ξ, r > 0, ϕ ∈ (0, 2π), ξ ∈ R.

Zbog uslova z ≥ 0 sledi ξ ≥ 0. U novim kordinatama jednacina sfere jer2 + ξ2 = 1, a jednacina elipsoida je r2 = ξ.

Kontura γ je presek sfere i paraboloida, odakle sledi da se ξ za konturuγ dobija kao poziitvno resenje jednacine ξ2 + ξ − 1 = 0. Prema tome,

ξ =

√5− 1

2. Parametarske jednacine konture γ su

x =

√√5− 1

2cosϕ, y =

√√5− 1

2sinϕ, z =

√5− 1

2, ϕ ∈ [0, 2π].


Sledi da je γ kruzica u ravni z =

√5− 1

2, pozitivno orijentisana posmatrana

odozgo. Stoga je

I1 =

∫γ+

y dx+ x2 dy + z dz

=

√5− 1

2

2π∫0

(− sin2 ϕ)dϕ+

(√5− 1

2

)3/2 2π∫0

cos3 ϕdϕ

= −π√

5− 1

2.

Neka je S1 deo paraboloida koji je unutar sfere. Orijentisana je gornjastrana paraboloida, kako bi bila u skladu sa orijentacijojm konture γ. Sadaje ∣∣∣∣∣∣

cosα cosβ cos γ∂∂x

∂∂y

∂∂z

y x2 z

∣∣∣∣∣∣ = (2x− 1) cos γ.

Parametarske jednacine povrsi S1 jesu

x = r cosϕ, y = r sinϕ, z = r2, ϕ ∈ [0, 2π], r ∈

0,

√√5− 1

2

.Prema tome,

I2 =

∫∫S1


∂∂y

∂∂z

y x2 z

∣∣∣∣∣∣ dS =

∫∫S1

(2x− 1) cos γ dS.

Vazi

cos γ =

∣∣∣∣D(x, y)

D(r, ϕ)

∣∣∣∣ = r.

Sada je

I2 =

2π∫0

dϕ

√√5−12∫

0

r(2r cosϕ− 1)dr = −π√

5− 1

2.

Neka je S3 deo sfere unutar paraboloida. Orijentisana je gornja stranasfere, kako bi bila u skladu sa orijentacijom krive γ+. Parametarske jednacinepovrsi S2 jesu:

x = cosϕ sinψ, y = sinϕ sinψ, z = cosψ, ϕ ∈ [0, 2π], ψ ∈ [0, ψ0],


gde je ψ0 ∈ [0, π/2] takav broj sa svojstvom sin2 ψ0 = cosψ0. Broj ψ0 sedobija iz uslova preseka sfere i paraboloida. Sada je

cos γ =

∣∣∣∣D(x, y)

D(ϕ,ψ)

∣∣∣∣ = sinψ cosψ.

Vazi

I3 =

∫∫S3


∂∂y

∂∂z

y x2 z

∣∣∣∣∣∣ dS=

∫∫S3

(2x− 1) cos γdS

=

2π∫0

dϕ

ψ0∫0

(2 cosϕ sinψ − 1) sinψ cosψ dψ

= −π sin2 ψ0 = −π cosψ0.

Uslov sin2 ψ0 = cosψ0 je ispunjen ako i samo ako vazi cos2 ψ0+cosψ0−1 = 0,

odnosno ako i samo ako je cosψ0 =

√5− 1

2. Na kraju,

I3 = −π√

5− 1

2.

Vazi I1 = I2 = I3, cime je pokazano da vazi formula Stoksa.

Primer 5.7.2. Izracunati integral I =∫γ

(y− z) dx+ (z−x) dy+ (x− y) dz,

ako je γ presek cilindra x2 + y2 = 1 i ravni x+ z = 1, orijentisana pozitivnoposmatrano sa pozitivnog dela x-ose.

Resenje. Uvodenjem cilindricnih koordinata, lako se proverava da je jednacinakrive, sa trazenom orijentacijom, data kao

x = r cosϕ, y = r sinϕ, z = 1− r cosϕ, ϕ ∈ (0, 2π), r ∈ (0, 1).

Vazi ∣∣∣∣∣∣cosα cosβ cos γ∂∂x

∂∂y

∂∂z

y − z z − x x− y

∣∣∣∣∣∣ = −2(cosα+ cosβ + cos γ).

Pri tome jecosα = cos γ = r, cosβ = 0.


Prema Stoksovoj formuli, vazi

I = (−2)

∫S

(cosα+ cosβ + cos γ)dS = −2

2π∫0

dϕ

1∫0

2rdr = −4π.

Neka je u oblasti G ⊂ R3 definisano neprekidno diferencijabilno vek-torsko polje a, neka je M0 ∈ G i neka je n jedinicni vektor. Ravan π nekasadrzi M0 i normalna je na n. U ravni π neka je S merljiva oblast kojasadrzi M0, S ⊂ G, tako da je rub oblasti S u ravni π kontura γ. Pret-postavimo da je γ orijentisana pozitivno u odnosu na onu stranu oblasti Skoja je orijentisana vektorom n. Na osnovu Stoksove formule vazi∫

γ+

a · dr =

∫∫S

(rot a · n)dS.

Primenom formule o srednjoj vrednosti integrala, sledi da vazi∫∫S

(rot a · n)dS = (rot a · n)(M) ·m(S),

gde je S ∈M i m(S) je povrsina oblasti S. Prelaskom na granicnu vrednostkada dijametar oblasti S tezi nuli i koristeci neprekidnost funkcije rot a · n,sledi formula

rotn a(M0) = limdiam(S)→0

∫γ+

a · dr

m(S). (5.8)

Ovde je rot a · n = rotn a projekcija rotora vektorskog polja a na jedinicnivektor n. Prethodna formula omogucava definiciju rotora vektorskog poljapreko granicne vrednosti oblika (5.8).

Povrs S je dopustiva, ako je rub povrsi S neka kontura, tako da se zaproizvoljno neprekidno diferencijabilno vektorsko polje na povrsi S moze pri-meniti Stoksova formula. OblastG ⊂ R3 je povrsinski jednostruko povezana,ako za svaku konturu γ ⊂ G postoji dopustiva povrs S tako da je S ⊂ G irS = γ. Na primer, torus nije jednostruko povrsinski povezana oblast. Mozese pokazati da je svaka konveksna oblast povrsinski jednostruko povezana.

Teorema 5.7.2. Neka je vektorsko polje a neprekidno diferencijabilno upovrsinski jednostruko povezanoj oblasti G ⊂ R3. Tada su sledeca tvrdenjaekvivalentna:


(1)∫γ+

a · dr = 0 za svaku konturu γ sadrzanu u G.

(2) Polje a je potencijalno, odnosno postoji potencijal U(x, y, z) polja a.U tom slucaju je ∫

(AB)

adr = U(B)− U(A),

gde je (AB) bilo koja kriva u G koja spaja A i B.(3) rotν a(M) = 0 za svaku tacku M ∈ G, odnosno polje a je bezvrtlozno.

Dokaz. Ekvivalencija tvrdenja (1) i (2) dokazuje se na potpuno isti nacinkao u dvodimenzionalnom slucaju. Implikacija (1) =⇒ (3) sledi na osnovuformule (5.8). Implikacija (3) =⇒ (1) sledi na osnovu Stoksove formule.

Glava 6

Parametarski integrali

6.1 Funkcija gornje granice integrala

Neka je data funkcija f : [a, b] → R. Definisemo funkciju gornje graniceintegrala na sledeci nacin:

F (x) =

x∫a

f(t)dt,

za one vrednosti x ∈ [a, b] za koje postoji prethodni integral. Dokazujemovazan rezultat o neprekidnosti i diferencijabilnosti funkcije F .

Teorema 6.1.1. (1) Ako je funkcija f integrabilna na [a, b], onda je funkcijaF neprekidna na [a, b].

(2) Ako je funkcija f neprekidna na [a, b], onda je funkcija F neprekidnodiferencijabilna na [a, b] i F ′(x) = f(x) za svako x ∈ [a, b].

Dokaz. (1) Pretpostavimo da je f integrabilna na [a, b]. Tada je funkcijaf ogranicena na [a, b], te postoji M > 0, tako da za svako t ∈ [a, b] vazi|f(t)| ≤M . Neka je x ∈ [a, b], i neka je ∆x realan broj, tako da je x+ ∆x ∈[a, b]. Tada je

|F (x+ ∆x)− F (x)| =

∣∣∣∣∣∣x+∆x∫a

f(t)dt−x∫a

f(t)dt

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣x+∆x∫x

f(t)dt

∣∣∣∣∣∣≤

∣∣∣∣∣∣x+∆x∫x

|f(t)|dt

∣∣∣∣∣∣ ≤M∣∣∣∣∣∣x+∆x∫x

dt

∣∣∣∣∣∣ = M · |∆x| .

185

186 GLAVA 6. PARAMETARSKI INTEGRALI

Sledi lim∆x→0

f(x + ∆x) = f(x), te je funkcija f neprekidna u tacki x. Kako

je x ∈ [a, b] proizvoljna tacka, proizilazi da je f neprekidna na [a, b].(2) Pretpostavimo da je f neprekidna, samim tim i integrabilna na [a, b].

Neka je x ∈ [a, b], i neka je ∆x realan broj tako da je x + ∆x ∈ [a, b].Neka je ε > 0 proizvoljan broj. Na osnovu neprekidnosti funkcije f u tackix, sledi da postoji δ > 0, tako da ako je t ∈ [a, b] i |t − x| < δ, onda je|f(t)− f(x)| < ε. Neka je |∆x| < δ. Tada je

∣∣∣∣F (x+ ∆x)− F (x)

∆x− f(x)

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣ 1

∆x

x+∆x∫x

f(t)dt− 1

∆x

x+∆x∫x

f(x)dt

∣∣∣∣∣∣≤ 1

|∆x|

∣∣∣∣∣∣x+∆x∫x

|f(t)− f(x)|dt

∣∣∣∣∣∣ ≤ ε.Proizilazi da je funkcija F diferencijabilna u tacki x, kao i F ′(x) = f(x).Kako je f neprekidna funkcija, sledi da je F neprekidno diferencijabilna na[a, b].

Posledica ove teoreme jeste jedan od najvaznijih rezultata u matematici.

Teorema 6.1.2. (Fundamentalna teorema infinitezimalnog racuna) Nekaje funkcija F : [a, b]→ R neprekidno diferencijabilna na [a, b]. Tada je

b∫a

F ′(t)dt = F (b)− F (a).

Dokaz. Neka je f(x) = F ′(x) za svako x ∈ [a, b]. Tada je f neprekidnafunkcija na [a, b]. Definisemo funkciju G : [a, b]→ R na sledeci nacin:

G(x) =

x∫a

f(t)dt, x ∈ [a, b].

Prema Teoremi 6.1.1 (2), sledi da je G neprekidno diferencijabilna funkcijana [a, b] i pri tome

G′(x) = f(x) = F ′(x) za svako x ∈ [a, b].

Sledi da postoji konstanta C tako da je

G(x) = F (x) + C za svako x ∈ [a, b].

6.1. FUNKCIJA GORNJE GRANICE INTEGRALA 187

Iz definicije funkcije G sledi da je G(a) = 0, te je C = −F (a). Sada je

b∫a

F ′(t)dt =

b∫a

f(t)dt = G(b) = F (b)− F (a).


Prethodna teorema je u literaturi poznata kao Njutn1-Lajbnicova2 teo-rema. Napominjemo da su u specijalnim slucajevima formulu dokazali naj-pre Gegori3, a zatim Barou4.

Jos jedna korisna posledica jeste Teorema o srednjoj vrednosti integrala.

Teorema 6.1.3. (Srednja vrednost integrala) Neka je f : [a, b]→ R neprekidnafunkcija. Tada postoji tacka ξ ∈ [a, b] tako da je

1

b− a

b∫a

f(t)dt = f(ξ).

Dokaz. Izraz na levoj strani u formulaciji ove teoreme, naziva se srednjavrednost integrala funkcije f na segmentu [a, b]. Prema Teoremi 6.1.1 (2),funkcija

F (x) =

x∫a

f(t)dt, x ∈ [a, b],

je neprekidno diferencijabilna i F ′ = f na [a, b]. Prema Lagranzovoj teoremi5

o srednoj vrednosti, postoji ξ ∈ [a, b] tako da je

b∫a

f(t)dt = F (b)− F (a) = F ′(ξ)(b− a) = f(ξ)(b− a).


1Isaac Newton (1642-1727), engleski matematicar i fizicar2Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716), nemacki matematicar i filozof3James Gregory (1638-1675), skotski matematicar i astronom4Isaac Barrow (1630-1677), engleski matematicar i teolog5Joseph-Louis Lagrange (Giuseppe Lodovico Lagrangia) (1736-1813), francusko-

italijanski matematicar i astronom


6.2 Svojstveni parametarski integrali

Neka je X ⊂ Rn, i neka je Y ⊂ Rm. Funkcija f : X × Y → R je funkcijadve promenljive, i to x ∈ X i y ∈ Y . Pretpostavimo da je X merljiv skupu Rn, i pretpostavimo da za svako y ∈ Y postoji integral

∫X

f(x, y)dx. Pri

tome, izraz dx u prethodnon integralu oznacava da se integrali u domenupromenljive x = (x1, . . . , xn), odnosno dx ≡ dx1 · · · dxn. Tada prethodniintegral jeste funkcija promenljive y, odnosno

F (y) =

∫X

f(x, y)dx (6.1)

je svojstveni parametarski integral, pri cemu je, naravno, y ∈ Y parametar.U mnogim primenama parametarskih integrala, od interesa je pronaci

nacin za izracunavanje granicne vrednost, izvoda ili integrala nekog para-metarskog integrala. Preciznije, potrebno je utvrditi pod kojim uslovima in-tegral moze zameniti mesto sa granicnom vrednoscu, izvodom ili integralomfunkcije.

Prvo razmatramo granicnu vrednost funkcije F definisane formulom (6.1).Neka je y0 je tacka nagomilavanja skupa Y . Funkcija (x, y) 7→ f(x, y) jedefinisana na skupu X×Y , a funkcija x 7→ ϕ(x) neka je definisana na skupuX.

Funkcija (x, y) 7→ f(x, y) ravnomerno konvergira ka funkciji x 7→ ϕ(x)na skupu X (ili po x ∈ X) kada y → y0, ako:

(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ X)(∀y ∈ Y )(‖y − y0‖ < δ =⇒ |f(x, y)− ϕ(x)| < ε.

U tom slucaju oznaka je f(x, y)x∈X⇒ ϕ(x), y → y0.

Ako je f(x, y)x∈X⇒ ϕ(x), y → y0, onda je lim

y→y0f(x, y) = ϕ(x) za svako

x ∈ X. Obrnuta implikacija ne vazi u opstem slucaju.

Teorema 6.2.1. Neka je X ⊂ Rn merljiv skup, Y ⊂ Rm, i neka je funkcijaf : X × Y → R takva, da za svako y ∈ Y postoji integral

∫X

f(x, y)dx.

Neka je y0 tacka nagomilavanja skupa Y . Ako funkcija (x, y) 7→ f(x, y)ravnomerno konvergira ka funkciji x 7→ ϕ(x) po x ∈ X kada y → y0, tadaje ϕ integrabilna funkcija na skupu X i vazi

limy→y0

∫X

f(x, y)dx =

∫X

limy→y0

f(x, y)dx =

∫X

ϕ(x)dx.

6.2. SVOJSTVENI PARAMETARSKI INTEGRALI 189

Dokaz. Skup X je merljiv, te je mn(X) < ∞. Neka je ε > 0. Na osnovu

f(x, y)x∈X⇒ ϕ(x) kada y → y0, sledi da postoji δ > 0, tako da za svako

x ∈ X i svako y ∈ Y vazi implikacija:

‖y − y0‖ < δ =⇒ |f(x, y)− ϕ(x)| < ε

3 ·mn(X).

Neka je stoga y ∈ Y i ‖y − y0‖ < δ.Postoji integral

∫X

f(x, y)dx. Stoga postoji podela P = Gjkj=1 skupa

X, tako da se gornja i donja Darbuova suma funkcije f (u odnosu na podeluP, kao i u odnosu na odabranu tacku y) razlikuju za manje od ε

3 . Neka je(za vec odabrano y ∈ Y ) i svako j ∈ 1, . . . , k:

mϕj = inf

x∈Xϕ(x), Mϕ

j = supx∈X

ϕ(x), mfj = inf

x∈Xf(x, y), Mf

j = supx∈X

f(x, y).

U skladu sa uvedenim oznakama, vazik∑j=1

(Mfj −m

fj )mn(Gj) <

ε3 .

Procenjujemo razliku gornje i donje Darbuove sume funkcije ϕ u odnosuna podelu P:∣∣∣∣∣∣

k∑j=1

(Mϕj −m

ϕj )mn(Gj)

∣∣∣∣∣∣ ≤k∑j=1

|Mϕj −M

fj |mn(Gj) +

k∑j=1

(Mfj −m

fj )mn(Gj)

+k∑j=1

|mfj −m

ϕj |mn(Gj)

≤ ε

3 ·mn(X)

k∑j=1

mn(Gj) +ε

3+

ε

3 ·mn(X)

k∑j=1

mn(Gj) = ε.

Na taj nacin je dokazana integrabilnost funkcije ϕ na skupu X.Jos jednom, neka je y ∈ Y i ‖y − y0‖ < δ. Tada vazi procena∣∣∣∣∣∣

∫X

f(x, y)dx−∫X

ϕ(x)dx

∣∣∣∣∣∣ ≤∫X

|f(x, y)− ϕ(x)| dx ≤ ε

3.

Time je dokazano tvrdenje teoreme.U nekim situacijama korisno je primeniti Teoremu Dinija6 za utvrdivanje

ravnomerne konvergencije niza funkcija.

6Ulisse Dini (1845-1918), italijanski matematicar


Teorema 6.2.2. (Dini) Neka je K kompaktan skup u Rm, neka je (fn)n nizrealnih neprekidnih funkcija koje su definisane na K, i neka je f : K → Rtakode realna neprekidna funkcija na K. Pretpostavimo da vaze sledeca dvauslova:

(1) fn(x) ≤ fn+1(x) za svako x ∈ K i svako n ∈ N;(2) lim

n→∞fn(x) = f(x) za svako x ∈ K.

Tada je fnx∈K⇒ f kada n→∞.

Dokaz. Neka je ε > 0, i za svako n ∈ N neka je gn = f − fn. Funkcijefn i f su neprekidne, te su i funkcije gn neprekidne. Skup E = (−ε,+ε) jeotvoren u R, pa je skup Fn = g−1

n (E) = x ∈ K : f(x)− fn(x) < ε otvorenu Rm . Niz (fn)n je rastuci, te je niz (gn)n opadajuci. Prema tome, morabiti Fn ⊂ Fn+1. Na osnovu lim

n→∞fn(x) = f(x) za svako x ∈ K, sledi da je

K ⊂∞⋃n=1

Fn. Skup K je kompaktan, pa proizilazi da prethodno otvoreno

pokrivanje skupa K moze biti svedeno na konacno pokrivanje. Stoga jeK ⊂ F1 ∪ · · · ∪ Fl = Fl. Neka je sada n ≥ l i x ∈ K. Tada je x ∈ Fl i

f(x)− fn(x) < ε. Time je dokazano fnx∈K⇒ f kada n→∞.

Teorema Dinija moze biti dokazana analogno u slucaju opadajuceg nizafunkcija.

Dokazujemo rezultat o neprekidnosti funkcije F definisane u (6.1).

Teorema 6.2.3. Neka je X ⊂ Rn kompaktan i merljiv, i neka je Y ⊂ Rmkompaktan skup. Ako je funkcija (x, y) 7→ f(x, y) neprekidna na X × Y ,tada funkcija F u (6.1)postoji i ona je ravnomerno neprekidna na Y .

Dokaz. Za svako y ∈ Y funkcija x 7→ f(x, y) je neprekidna na kompakt-nom i merljivom skupu X, te je ova funkcija integrabilna na X. Stogapostoji funkcija F . Prema pretpostavkama teoreme, skup X × Y mora bitikompaktan. Funkcija f je neprekidna na kompaktu X × Y , te je funkcija fravnomerno neprekidna na ovom skupu. Skup X je merljiv, te je mn(X) <∞. Neka je ε > 0. Postoji δ > 0, tako da za svako x ∈ X i svako y1, y2 ∈ Yvazi implikacija:

‖(x, y1)− (x, y2)‖ < δ =⇒ |f(x, y1)− f(x, y2)| < ε

mn(X).

Imajuci u vidu osobine Euklidove norme u Rn+m, prethodna implikacija jeekvivalentna sledecoj:

‖y1 − y2‖ < δ =⇒ |f(x, y1)− f(x, y2)| < ε

mn(X).


Neka je stoga ‖y1 − y2‖ < δ. Tada je

|F (y1)− F (y2)| =

∣∣∣∣∣∣∫X

f(x, y1)− f(x, y2)dx

∣∣∣∣∣∣ ≤∫X

|f(x, y1)− f(x, y2)|dx

≤ ε

mn(X)

∫X

dx = ε.

Time je dokazana ravnomerna neprekidnost funkcije F na skupu Y .Jednostavno je dokazati rezultat za integraljenje svojstvenog parametar-

skog integrala.

Teorema 6.2.4. Ako je funkcija (x, y) 7→ f(x, y) neprekidna na skupu K =X × Y , gde su X ⊂ Rn i Y ⊂ Rm merljivi i kompaktni skupovi, onda je∫

Y

dy

∫X

f(x, y)dx =

∫X

dx

∫Y

f(x, y)dy.

Dokaz. Pod uslovima teoreme, skup K je merljiv i kompaktan u Rn+m.Prema Fubinijevoj teoremi, oba posmatrana integrala su jednaka integralu∫∫K

f(x, y)dxdy.

Na kraju, ispitujemo uslove diferencijabilnosti svojstvenog parametarskogintegrala.

Teorema 6.2.5. Neka je X merljiv kompakt u Rn, neka je Y = [c, d] ⊂ R,i neka je data neprekidna funkcija f : X × Y → R, tako da je parcijalniizvod (x, y) 7→ ∂f(x,y)

∂y neprekidan na skupu K = X × Y . Tada je funkcija Fu (6.1) neprekidno diferencijabilna po y ∈ [c, d], i pri tome je

F ′(y) =d

dy

∫X

f(x, y)dx =

∫X

∂f(x, y)

∂ydx za svako y ∈ [c, d].

Dokaz. Neka je y ∈ [c, d] proizvoljna tacka. Primenimo prethodnu teoremuna funkciju ∂f

∂y na merljivom kompaktu K1 = X × [c, y]. Sada vazi

y∫c

dη

∫X

∂f(x, η)

∂ηdx =

∫X

dx

y∫c

∂f(x, η)

∂ηdη (6.2)

=

∫X

f(x, y)dx− C1, (6.3)


gde je C1 =∫X

f(x, c)dx. Skup K je kompaktan, a funkcija ∂f∂y je neprekidna

na K. Stoga je ∂f∂y ravnomerno neprekidna na K. Prema tome, funkcija

ϕ(η) =

∫X

∂f(x, η)

∂ηdx

je (ravnomerno) neprekidna po η ∈ [c, d]. Sledi

d

dy

y∫c

ϕ(η)dη = ϕ(y) =

∫X

∂f(x, η)

∂ηdx.

Sada formula (6.2) postaje

y∫c

ϕ(η)dη + C1 =

∫X

f(x, y)dx.

Na kraju, vazi

d

dy

∫X

f(x, y)dx =d

dy

y∫c

ϕ(η)dη = ϕ(y) =

∫X

∂f(x, η)

∂ηdx.

Sledeci rezultat je posebno interesantan za primene.

Teorema 6.2.6. Neka su (x, y) 7→ f(x, y) i (x, y) 7→ ∂f(x, y)

∂yneprekidne

funkcije na skupu [a, b]× [c, d]. Neka su y 7→ α(y) i y 7→ β(y) diferencijabinefunkcije na [c, d]. Tada je funkcija

y 7→ F (y) =

β(y)∫α(y)

f(x, y)dx

diferencijabilna na [c, d] i pri tome vazi formula

F ′(y) =

β(y)∫α(y)

∂f(x, y)

∂ydx+ β′(y)f(β(y), y)− α′(y)f(α(y), y), y ∈ [c, d].

Specijalno, ako su α i β neprekidno diferencijabilne, onda je i F neprekidnodiferencijabilna.


Dokaz. Neka je y, y + ∆y ∈ [c, d]. Tada je

F (y + ∆y)− F (y)

∆y=

1

∆y

β(y+∆y)∫α(y+∆y)

f(x, y + ∆y)dx−β(y)∫α(y

f(x, y)dx

=

β(y)∫α(y)

f(x, y + ∆y)− f(x, y)

∆ydx+

1

∆y

β(y+∆y)∫β(y)

f(x, y + ∆y)dx

− 1

∆y

α(y+∆y)∫α(y)

f(x, y + ∆y)dx.

Funkcije f i ∂f∂y su neprekidne, te na osnovu Lagranzove teoreme o sred-njoj vrednosti sledi da postoji tacka ξ1 izmedu y i y + ∆y, tako da je

f(x, y + ∆y)− f(x, y)

∆y=∂f(x, ξ1)

∂y.

Funkcija ∂f∂y je neprekidna na kompaktu [a, b]× [c, d], pa je za svako x ∈ [a, b]

ispunjeno

lim∆y→0

β(y)∫α(y)

f(x, y + ∆y)− f(x, y)

∆ydx =

β(y)∫α(y)

∂f(x, y)

∂ydx.

Funkcija f je neprekidna, pa na osnovu Teoreme o srednjoj vrednosti zaintegrale, postoji ξ2 izmedu β(y) i β(y + ∆y), tako da vazi

1

∆y

β(y+∆y)∫β(y)

f(x, y + ∆y)dx = f(ξ2, y)β(y + ∆y)− β(y)

∆y.

Funkcija β je neprekidna, te ξ2 → β(y) kada ∆y → 0. Funkcija f jeneprekidna, a funkcija β je diferencijabilna, i stoga je

lim∆y→0

1

∆y

β(y+∆y)∫β(y)

f(x, y + ∆y)dx = β′(y)f(β(y), y)).


Analogno,

lim∆y→0

1

∆y

α(y+∆y)∫α(y)

f(x, y + ∆y)dx = α′(y)f(α(y), y)).


6.3 Nesvojstveni parametarski integrali

Prametarski integral je nesvojstven, ako je domen integracije neogranicenskup, ili je funkcija (koja se integrali) neogranicena u okolini neke tackedomena integracije. Jednostavnosti radi, razmatramo funkcije dve realnepromenljive, a zatim je jednostavno razmatranja prosirite u vise dimenyija.

Definicija 6.3.1. Pretpostavimo da vazi(1) −∞ < a < b ≤ +∞, Y ⊂ R;(2) Postoji funkcija f : [a, b)× Y → R;

(3) Za svako ξ ∈ [a, b) i svako y ∈ Y postoji Rimanov integralξ∫af(x, y)dx;

(4) Za svako y ∈ Y integralb∫af(x, y)dx konvergira kao nesvojstveni

integral, odnosno za svako y ∈ Y je definisana funkcija

F (y) ≡b∫a

f(x, y)dx = limξ→b−0

ξ∫a

f(x, y)dx.

Tada nesvojstveni parametarski integral F (y) =b∫af(x, y) konvergira na

skupu Y (ili, konvergira po y ∈ Y ). Tacka b je jedina nesvojstvena (sin-gularna) tacka tog integrala.

Definicija 6.3.2. Pretpostavimo da nesvojstveni integral

F (y) =

b∫a

f(x, y)dx

konvergira po y ∈ Y . Nesvojstveni integral F konvergira ravnomerno poy ∈ Y , ako za svako ε > 0 postoji neko b′ ∈ [a, b), tako da za svako ξ ∈ [b′, b)

6.3. NESVOJSTVENI PARAMETARSKI INTEGRALI 195

i svako y ∈ Y vazi ∣∣∣∣∣∣∣b∫ξ

f(x, y)dx

∣∣∣∣∣∣∣ < ε.

Pretpostavimo sada da u integralu

F (y) =

b∫a

f(x, y)dx, y ∈ Y,

tacke a i b jesu jedine nesvojstvene tacke. Tada se razmatra istovremenakonvergencija (ili istovremena ravnomerna konvergencija) integrala

c∫a

f(x, y)dx i

b∫c

f(x, y)dx

po yinY . Ukoliko oba integrala konvergiraju (ili ravnomerno konvergiraju)

po y ∈ Y , tada polazni integralb∫af(x, y)dx konvergira (ravnomerno konver-

gira) po y ∈ Y .

Primer 6.3.1. Dokazati da integral

+∞∫0

e−x cosxy dx

konvergira ravnomerno po parametru y ∈ (−∞,+∞).

Dokaz. Za proizvoljan broj ε > 0 neka je b′ = ln 2ε . Neka su ξ ∈ [b′,+∞) i

y ∈ R proizvoljni. Tada je∣∣∣∣∣∣∣+∞∫ξ

e−x cosxy dy

∣∣∣∣∣∣∣ ≤+∞∫ξ

e−xdx = e−ξ ≤ e−b′ =ε

2< ε.

Time je tvrdenje dokazano.

Ako integralb∫af(x, y)dx konvergira po y ∈ Y , ali ne konvergira ravno-

merno po y ∈ Y , onda integralb∫af(x, y)dx konvergira neravnomerno po


y ∈ Y . U tom slucaju postoji neko ε > 0, tako da za svako b′ ∈ [a, b) postojeξ ∈ [b′, b) i y ∈ Y , za koje vazi nejednakost∣∣∣∣∣∣∣

b∫ξ

f(x, y)dx

∣∣∣∣∣∣∣ ≥ ε.

Primer 6.3.2. Dokazati da integral F (y) =+∞∫0

ye−xydx konvergira nerav-

nomerno po y ∈ [0,+∞).

Dokaz. Ocigledno je F (0) = 0. Ako je y > 0, koriscenjem smene xy = tproizilazi da je F (y) = 1. Odavde sledi konvergencija integrala F po y ∈[0,+∞). Dokazacemo da konvergencija nije ravnomerna. Neka je ε = e−1.

Za svako b′ ∈ (0 +∞) neka je ξ = b′ i y =1

b′i

+∞∫ξ

ye−xydx =

+∞∫b′

ye−xydx =

+∞∫b′y

e−tdt =

+∞∫1

e−tdt =1

e.

Sledi da integral F ne konvergira ravnomerno po y ∈ [0,+∞).

Dokazujemo Vajerstrasov7 kriterijum za utvrdivanje ravnomerne konver-gencije nesvojstvenog integrala.

Teorema 6.3.1. (Vajerstras) Pretpostavimo da su ispunjeni sledeci uslovi:

(1) Za svako y ∈ Y i svako b′ ∈ (a, b) postoji integralb′∫af(x, y)dx;

(2) Postoji funkcija ϕ : [a, b) → R takva da za svako y ∈ Y i svakox ∈ [a, b) vazi nejednakost |f(x, y)| ≤ ϕ(x);

(3) Nesvojstveni integralb∫aϕ(x)dx konvergira.

Tada integral F (y) =b∫af(x, y)dx konvergira ravnomerno po y ∈ Y .

Dokaz. Na osnovu konvergencije integralab∫aϕ(x)dx sledi da za svako ε > 0

postoji neko b′ ∈ [a, b), tako da za svako ξ ∈ [b′, b) vazi nejednakost 0 ≤

7Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815-1897), nemacki matematicar


b∫ξ

ϕ(x)dx < ε. Tada za svako ξ ∈ [b′, b) i svako y ∈ Y vazi nejednakost

∣∣∣∣∣∣∣b∫ξ

f(x, y)dx

∣∣∣∣∣∣∣ ≤b∫ξ

|f(x, y)|dx ≤b∫ξ

ϕ(x)dx < ε.

Ovim je pokazana ravnomerna konvergencija integrala F (y) =b∫af(x, y)dx

po y ∈ Y .

Primer 6.3.3. Dokazati da integral

F (y) =

+∞∫0

cosxy

1 + x2dx

konvergira ravnomerno po y ∈ (−∞,+∞).

Dokaz. Na osnovu nejednakosti | cosxy|1+x2

≤ 11+x2

i identiteta+∞∫0

dx1+x2

= π2 ,

prema kriterijumu Vajerstrasa polazni integral konvergira ravnomerno poy ∈ (−∞,+∞).

Dokazujemo rezultat o granicnoj vrednosti nesvojstvenog parametarskogintegrala.

Teorema 6.3.2. Pretpostavimo da vaze sledeci uslovi:

(1) Nesvojstveni parametarski integral F (y) =b∫af(x, y)dx konvergira po

y ∈ Y ;

(2) y0 je tacka nagomilavanja skupa Y , i ϕ : [a, b) → R je funkcija sa

svojstvom f(x, y)x∈[a,b)

⇒ ϕ(x) kada y → y0.

Tada postoji integralb∫aϕ(x)dx i

limy→y0

b∫a

f(x, y)dx =

b∫a

ϕ(x)dx.


Dokaz. Neka je ε > 0. Na osnovu pretpostavke (1) sledi da postoji b′ ∈ [a, b)tako da za svako ξ ∈ [b′, b) vazi∣∣∣∣∣∣∣

b∫ξ

f(x, y)dx

∣∣∣∣∣∣∣ <ε

2.

Specijalno,

∣∣∣∣∣ b∫b′ f(x, y)dx

∣∣∣∣∣ < ε2 . Iz pretpostavke (2) sledi da postoji δ > 0

tako da za svako x ∈ [a, b) i svako y ∈ Y vazi implikacija

|y − y0| < δ =⇒ |f(x, y)− ϕ(x)| < ε

M.

Neka je |y − y0| < δ i ξ ∈ [b′, b). Tada je∣∣∣∣∣∣∣b∫ξ

ϕ(x)dx

∣∣∣∣∣∣∣ ≤∣∣∣∣∣∣∣b∫ξ

|ϕ(x)− f(x, y)|dx

∣∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣∣b∫ξ

f(x, y)

∣∣∣∣∣∣∣ < ε.

Na taj nacin je dokazana egzistencija integralab∫aϕ(x)dx. Zadrzimo i dalje

uslov |y − y0| < δ. Tada je∣∣∣∣∣∣b∫a

(f(x, y)− ϕ(x))dx

∣∣∣∣∣∣ ≤b′∫a

|f(x, y)−ϕ(x)|dx+

∣∣∣∣∣∣b∫

b′

f(x, y)fx

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣b∫

b′

ϕ(x)dx

∣∣∣∣∣∣Teorema 6.3.3. Pretpostavimo da vazi:

(1) Funkcija f(x, y) je neprekidna na skupu [a, b)× [c, d];

(2) Integralb∫af(x, y)dx konvergira ravnomerno po parametru y ∈ [c, d].

Tadab∫af(x, y)dx jeste neprekidna funkcija parametra y ∈ [c, d].

Dokaz. Neka je ε > 0 proizvoljan. Na osnovu ravnomerne konvergencije

integralab∫af(x, y)dx po y ∈ [c, d], sledi da postoji b′ ∈ [a, b) takav da za

svako y ∈ [c, d] vazi nejednakost∣∣∣∣∣∣b∫

b′

f(x, y)dx

∣∣∣∣∣∣ < ε

2.


Integralb′∫af(x, y)dx je svojstven, i stoga je ovaj integral neprekidna funkcija

parametra y na [c, d]. Neka je y0 ∈ [c, d]. Postoji δ > 0 takav da za svakoy ∈ [c, d] za koje je |y − y0| < δ, vazi∣∣∣∣∣∣

b′∫a

f(x, y)dx−b′∫a

f(x, y0)dx

∣∣∣∣∣∣ < ε

2.

Za svako y ∈ [c, d] za koje je |y − y0| < δ sledi da vazi∣∣∣∣∣∣b∫a

f(x, y)dx−b∫a

f(x, y0)dx

∣∣∣∣∣∣ ≤∣∣∣∣∣∣b′∫a

f(x, y)dx−b′∫a

f(x, y0)dx

∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣b∫

b′

f(x, y)dx

∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣b∫

b′

f(x, y0)dx

∣∣∣∣∣∣ < ε.

Stoga, integralb∫af(x, y)dx je neprekidna funkcija parametra y u proizvoljnoj

tacki y0 ∈ [c, d].Sada dokazujemo teoremu o integrabilnosti nesvojstvenog parametarskog

integrala.

Teorema 6.3.4. Pretpostavimo da vazi:(1) Funkcija f(x, y) je neprekidna na skupu [a, b)× [c, d];

(2) Integralb∫af(x, y)dx konvergira ravnomerno po parametru y ∈ [c, d].

Tada vazi formula

d∫c

dy

b∫a

f(x, y)dx =

b∫a

dx

d∫c

f(x, y)dy.

Dokaz. Integralb∫af(x, y)dx je ravnomerno konvergentan po parametru y ∈

[c, d], te je ovim integralom definisana neprekidna funkcija po y ∈ [c, d].

Stoga postoji integrald∫cdy

b∫af(x, y)dx. Na osnovu ravnomerne konvergencije

integralab∫af(x, y)dx po y ∈ [c, d], za svako ε > 0 postoji neko b′ ∈ [a, b) tako


da za svako ξ ∈ (b′, b) i svako y ∈ [c, d] vazi nejednakost∣∣∣∣∣∣∣b∫ξ

f(x, y)dx

∣∣∣∣∣∣∣ <ε

d− c.

Na osnovu Fubinijeve teoreme o promeni redosleda integracije za svojstveneintegrale, vazi jednakost

d∫c

dy

ξ∫a

f(x, y)dx =

ξ∫a

dx

d∫c

f(x, y)dy.

Vazi sledeca procena:∣∣∣∣∣∣d∫c

dy

b∫a

f(x, y)dx−d∫c

dy

ξ∫a

f(x, y)dx

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣d∫c

dy

b∫ξ

f(x, y)dx

∣∣∣∣∣∣∣≤

d∫c

∣∣∣∣∣∣∣b∫ξ

f(x, y)dx

∣∣∣∣∣∣∣ dy <

ε

d− c

d∫c

dy = ε.

Odavde sledi

limξ→b−0

ξ∫a

dx

d∫c

f(x, y)dy =

b∫a

dx

d∫c

f(x, y)dy.

Time je teorema dokazana.Dokazacemo teoremu o diferencijabilnosti nesvojstvenog parametarskog

integrala.

Teorema 6.3.5. Pretpostavimo da vazi:(1) Funkcije f(x, y) i ∂f(x,y)

∂y su neprekidne na skupu [a, b)× [c, d];

(2) Integralb∫a

∂f(x,y)∂y dx konvergira ravnomerno po parametru y ∈ [c, d];

(3) Za svako y ∈ [c, d] nesvojstveni integralb∫af(x, y) dx konvergira za.

Tada je F (y) =b∫af(x, y)dx neprekidno diferencijabilna funkcija po promenljivoj

y ∈ [c, d] i vazi

d

dy

b∫a

f(x, y)dx =

b∫a

∂f(x, y)

∂ydx.


Dokaz. Za proizvoljno y ∈ [c, d] posmatrajmo ravnomerno konvergentan

integralb∫a

∂f(x,η)∂η dx po parametru η ∈ [c, y]. Prema prethodnoj teoremi o

integraciji ravnomerno konvergentnog integrala po parametru η, sledi davazi

y∫c

dη

b∫a

∂f(x, η)

∂ηdx =

b∫a

dx

y∫c

∂f(x, η)

∂ηdη =

b∫a

f(x, y)dx+ C1, (6.4)

gde je C1 = −b∫af(x, c)dx. Integral ϕ(η) =

b∫a

∂f(x,η)∂η dx je ravnomerno kon-

vergentan i definise neprekidnu funkciju ϕ(η) na [c, y]. Tada je na osnovu

osobine svojstvenog integralay∫cϕ(η)dη neprekidno diferencijabilna funkcija

po y na [c, d]. Tada je i druga strana jednakosti (6.4), odnosno integralb∫af(x, y)dx neprekidno diferencijabilna funkcija po y na [c, d]. Sada, difer-

enciranjem jednakosti (6.4) po y, sledi tvrdenje teoreme.

Primer 6.3.4. Izracunati integrale Laplasa

I1(a) =

+∞∫0

cos ax

1 + x2dx, I2(a) =

+∞∫0

x sin ax

1 + x2dx, a ∈ R.

Resenje. Izracunacemo integral I1(a). Vazi ocigledna formula

1

1 + x2=

+∞∫0

e−y(1+x2)dy.

Stoga je

I1(a) =

+∞∫0

dx

+∞∫0

e−y(1+x2) cos ax dy.

Posmatra se pomocna funkcija

L(a, b) =

+∞∫0

dx

+∞∫0

e−y−(b+y)x2 cos ax dy, b > 0. (6.5)


Podintegralna funkcija f(x, y) = e−y−(b+y)x2 cos ax je neprekidna za x, y ∈[0,+∞). Na osnovu nejednakosti∣∣∣e−y−(b+y)x2

∣∣∣ ≤ mine−y, e−bx2,

a prema Vajerstrasovom kriterijumu, integrali

+∞∫0

e−y−(b+y)x2 cos ax dy,

+∞∫0

e−y−(b+y)x2 cos ax dx

su ravnomerno konvergentni (prvi ravnomerno konvergentan po x, a drugipo y). Na osnovu nejednakosti

+∞∫0

dx

+∞∫0

∣∣∣e−y−bx2−yx2) cos ax∣∣∣ dx ≤ +∞∫

0

e−bx2dx

+∞∫0

e−ydy,

sledi da je integral, kojim je definisana funkcija L(a, b) konvergentan. Prematome, moguce je promeniti redosled integracije u (6.5) i dobija se

L(a, b) = (6.6)

=+∞∫0

e−ydy+∞∫0

e−(b+y)x2 cos ax dx =+∞∫0

e−y√b+y

dy+∞∫0

e−t2

cos at√b+y

dt. (6.7)

Neka je J(c) =+∞∫0

e−x2

cos cx dx. Tada funkcija J(c) zadovoljava difer-

encijalnu jednacinu J ′(c) + c2J(c) = 0, te je J(c) =

√π

2 e−c2/4. Sada, iz (6.6)

sledi

L(a, b) =

+∞∫0

1√b+ y

J

(a√b+ y

)e−ydy =

√πek

+∞∫√k

e−(a2/(4t2)+t2)dt.

Integral+∞∫0

e−bx2 cos ax

1 + x2dx

je ravnomerno konvergentan po b ≥ 0, stoga je L(a, b) neprekidna funkcijapo b. Prema tome, vazi

I1(a) = limb→0+

L(a, b) =√π

+∞∫0

e−(a2/(4t2)+t2)dt.


Preostaje da se izracuna integral

K(µ) =

+∞∫0

e−(y2+µ2/y2)dy.

Funkcija µ 7→ K(µ) je parna, pa je dovoljno odrediti ovu funkciju za µ > 0.Funkcija K(µ) zadovoljava diferencijalnu jednacinu K ′(µ) = −2K(µ), pa je

stoga K(µ) =√π

2 e−2µ. Konacno,

I1(a) =√πK

(|a|2

)=π

2e−|a|, a ∈ R.

Dokazujemo Abelov8 i Dirilleov9 kriterijum za utvrdivanje ravnomernekonvergencije nesvojstvenih parametarskih integrala.

Teorema 6.3.6. (Abel) Pretpostavimo da vazi:

(1) Integral+∞∫af(x, y)dx ravnomerno konvergira po y ∈ Y ;

(2) Funkcija g(x, y) je monotona po x;(3) Postoji L > tako da za svako x ∈ (a,+∞) i svako y ∈ Y vazi

|g(x, y)| ≤ L.

Tada je integral+∞∫0

f(x, y)g(x, y) dx ravnomerno konvergentan po y ∈ Y .

Dokaz.

Teorema 6.3.7. (Dirihle) Pretpostavimo da je ispunjeno:(1) Postoji broj L > 0 tako da za svako y ∈ Y i svako t ≥ a vazi∣∣∣∣ t∫

af(x, y)dx

∣∣∣∣ ≤ L;

(2) Funkcija g(x, y) je monotona po x;

(3) g(x, y)y∈Y⇒ 0 kada x→ +∞.

Tada integral+∞∫af(x, y)g(x, y)dx konvergira ravnomerno po y ∈ Y .

Primer 6.3.5. Izracunati Dirihleov integral+∞∫0

sinxx dx.

8Niels Henrik Abel (1802-1829), norveski matematicar9Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859), nemacki matematicar


Resenje. Neka je I =+∞∫0

sinαxx dx i J =

+∞∫0

sinαxx e−kxdx, k ≥ 0. Podinte-

gralna funkcija integrala J , kao i njen parcijalni izvod po α, jesu neprekidnefunkcije po x ≥ 0 i α ≥ 0. Integral J je ravnomerno konvrgentan na osnovuAbelovog kriterijuma. Izvodni integral od J po α je ravnomerno konvergen-tan na osnovu Vajerstrasovog kriterijuma. Prema tome,

dJ

dα=

+∞∫0

e−kx cosαxdx =k

α2 + k2.

Integracijom po α proizilazi da vazi J = arctg αk + C. Ovde je C = 0, sto

se lako proverava za α = 0. Integral J ravnomerno konvergira po k ≥ 0.Prema tome, J je neprekidna funkcija po k. Sledi I = lim

k→0+J . Za α > 0 je

I = limk→0+

J = limk→0+

arctgα

k=π

2.

Za α = 1 dobija se vrednost Dirihleovog integrala I = π2 .

6.4 Gama funkcija (Ojlerov integral drugog reda)

Gama funkcija Ojlera, u oznaci Γ(x), definisana je kao nesvojstveni param-etarski integral sa dve nesvojstvene tacke na sledeci nacin:

Γ(x) =

+∞∫0

tx−1e−tdt, x > 0. (6.8)

Nesvojstvene tacke su t = 0 (funkcija je neogranicena u okolini ove tacke zasvako x > 0) i t = +∞.

Predstavimo ovaj integral kao sumu dva integrala na sledeci nacin:

Γ(x) =

1∫0

tx−1e−tdt+

+∞∫1

tx−1e−tdt.

Pokazacemo da oba ova integrala konvergiraju ravnomerno po parametrux na svakom ogranicenom segmentu [a, b], gde je 0 < a < b < +∞.

Neka je 0 < a < 1, b > 1 i x ∈ [a, b]. Tada je 0 ≤ tx−1 ≤ ta−1 za

0 ≤ t ≤ 1 i1∫0

ta−1dt = a−1. Prema Vajerstrasovom kriterijumu, integral

1∫0

tx−1e−tdt ravnomerno konvergira po parametru x ∈ [a, b].

6.4. GAMA FUNKCIJA (OJLEROV INTEGRAL DRUGOG REDA) 205

Analogno, ako je t ≥ 1, onda je 0 ≤ tx−1e−t ≤ tb−1e−t i+∞∫1

tb−1e−tdt kon-

vergira (ovo je lako proveriti uzastopnom primenom parcijalne integracije).

Na osnovu Vajerstrasovog kriterijuma, sledi da je integral+∞∫1

tx−1e−tdx

ravnomerno konvergentan po parametru x ∈ [a, b]. Ovim je pokazanoda je gama funkcija definisana ravnomerno konvergentnim integralom poparametru x na svakom segmentu [a, b] za koji vazi 0 < a < b < +∞.

Funkcija f(x, t) = tx−1e−t je neprekidna za t > 0 i x > 0, te na osnovuranijih rezultata gama funkcija x 7→ Γ(x) je neprekidna po x na svakomsegmentu [a, b]ı[0,+∞). Prema tome, Γ(x) je neprekidna funkcija za svakox > 0.

Ako je x > 0, onda je funkcija Γ(x) neprekidno diferencijabilna, pri cemuvazi

Γ′(x) =

1∫0

tx−1e−t ln t dt+

+∞∫1

tx−1e−t ln t dt =

+∞∫0

tx−1 ln t e−tdt.

Diferenciranje pod znakom integrala je dopusteno jer oba integrala u prethod-noj formuli ravnomerno konvergiraju po x ∈ [a, b]. Indukcijom se pokazujeda za x > 0 funkcija x 7→ Γ(x) jeste beskonacno puta diferencijabilna, pre-ciznije

Γ(n)(x) =

+∞∫0

tx−1e−t(ln t)ndt, n = 0, 1, 2, . . .

Vazi Γ(1) = Γ(2) = 1, te na osnovu Rolove teoreme sledi da postoji nekoξ ∈ [1, 2] tako da je Γ′(ξ) = 0. Takode je Γ′′(x) > 0 za svako x > 0. Stogaje x 7→ Γ(x) funkcija konveksna prema gore sa jedinstvenim pozitivnimminimumom.

Nije tesko pokazati da formula kojom je definisana gama funkcija imasmisla i za kompleksne brojeve z za koje je Re z > 0. Prema tome, Γ(z) jeregularna funkcija kompleksne promenljive z u desnoj poluravni. Detaljnijeo funkcijama kompleksne promenljive u narednoj glavi.

Parcijalnom integracijom u = tx−1, dv = e−tdt, proizilazi formula

Γ(x+ 1) =

+∞∫0

txe−tdt = x · Γ(x). (6.9)


Ovo je osnovno funkcionalno svojstvo gama funkcije. Specijalno, ako je nprirodan broj, onda je

Γ(n+ 1) = n · Γ(n) = · · · = n! .

Iz formule (6.9) sledi da vazi

Γ(x) =Γ(x+ 1)

x→ +∞ kada x→ 0 + .

Stoga je y-osa vertikalna asimptota gama funkcije. Takode Γ(x) → +∞kada x→ +∞.

Uvodenjem smene t = − ln z u formulu (6.8), sledi da vazi

Γ(x) =

1∫0

(ln

1

z

)x−1

dz.

Niz funkcija fn(z) = n(1 − z1/n) monotono raste i ravnomerno konvergirafunkciji f(z) = − ln z na svakom intervalu sadrzanom u skupu (0, 1). Prematome vazi

1∫0

(ln

1

z

)x−1

dz = limn→∞

nx−1

1∫0

(1− z1/n)x−1dx. (6.10)

6.5 Beta funkcija (Ojlerov integral prvog reda)

Beta funkcija definisana je kao integral koji zavisi od dva parametra:

B(x, y) =

1∫0

tx−1(1− t)y−1dt. (6.11)

Ovaj integral ima dve nesvojstvene tacke, t = 0 i t = 1. Naime, funkcijaf(x, y) = tx−1(1 − t)y−1 je neogranicena u okolini bilo koje od ovih dvejutacaka. Ako je

B(x, y) =

1/2∫0

tx−1(1− t)y−1dt+

1∫1/2

tx−1(1− t)y−1dt,

lako je proveriti da prvi integral konvegira za x > 0, a drugi za y > 0. Prematome, beta funkcija je definisana za x > 0 i y > 0.

6.5. BETA FUNKCIJA (OJLEROV INTEGRAL PRVOG REDA) 207

Jednostavno je dokazati ravnomernu konvergenciju integrala

1/2∫0

tx−1 ln t dt

za x ≥ x1 > 0. Takode, integral

1∫1/2

tx−1(1− t)y−1 ln(1− t)dt

je ravnomerno konvergentan za y ≥ y1 > 0 i svako x > 0. Na osnovuprethodnog sledi da je beta funkcija diferencijabilna za x > 0 i y > 0 i vaziformula

∂n+mB

∂xn∂ym=

1∫0

tx−1(1− t)y−1 lnn t lnm(1− t)dt, n,m = 0, 1, 2, . . .

Koriscenjem smene τ = 1− t u (6.11), sledi da je B(x, y) = B(y, x).

Vazi formula

B(x, y) =

+∞∫0

ux−1

(1 + u)x+ydu =

1∫0

ux−1 + uy−1

(1 + u)x+ydu.

Prva formula proizilazi iz definicije beta funkcije i smene t = u/(1 −u). Da bi pokazali drugu formulu, treba dobijeni integral razdvojiti na dvaintegrala, prvi na segmentu [0, 1], a drugi na segmentu [1,+∞). Kod drugogintegrala primeniti smenu v = 1/u.

Iz prethodne formule za x+ y = 1 sledi

B(x, 1− x) =

+∞∫0

ux−1

1 + udu =

π

sinπx.

Specijalno, B(1/2, 1/2) = π.


Primenom parcijalne integracije na (6.11) sledi da vazi

B(x, y) =1

a

1∫0

(1− t)y−1d(tx) =y − 1

x

1∫0

(1− x)y−2txdt

=y − 1

x

1∫0

tx−1(t− 1 + 1)(1− t)y−2dt

=y − 1

xB(x, y − 1)− y − 1

xB(x, y).

Prema tome, vazi rekurenta relacija

B(x, y) =y − 1

x+ y − 1B(x, y − 1), y > 1.

Analogno, vazi i formula

B(x, y) =x− 1

x+ y − 1B(x− 1, y), x > 1.

Ako je n ∈ N, na osnovu prethodnog, vazi

B(x, n) =n− 1

x+ n− 1

n− 2

x+ n− 2· · · 1

x+ 1B(x, 1).

Obzirom da je B(x, 1) = 1x , onda je

B(x, n) =1 · 2 · · · (n− 1)

x(x+ 1) · · · (x+ n− 1).

Specijalno, ako je m ∈ N, tada je

B(m,n) =(m− 1)!(n− 1)!

(m+ n− 1)!.

Uvodenjem smene z = yn u integralu (6.10), sledi formula

Γ(x) = limn→∞

nx1∫

0

yn−1(1− y)x−1dx = limn→∞

nxB(n, a).

Zamenom vrednosti za beta funkciju, sledi formula Gaus-Ojlera

Γ(x) = limn→∞

nx(n− 1)!

x(x+ 1) · · · (x+ n− 1).

6.5. BETA FUNKCIJA (OJLEROV INTEGRAL PRVOG REDA) 209

Iz Gaus-Ojlerove formule sledi formula

Γ(x)Γ(1− x) =1

xlimn→∞

1

(1− x1/12)(1− x2/22) · · · (1− x2/(n− 1)2),

ili, za x ∈ (0, 1):

Γ(x)Γ(1− x) =1

x

+∞∏n=1

1(1− x2

n2

) =π

sinπx.

Poslednja formula naziva se formula dopune.

U integralu (6.8) uvede se smena t = sz, gde je s > 0. Tada se dobijajednakost

Γ(x)

sx=

+∞∫0

zx−1e−szdz.

U ovoj formuli zameni se x sa x+ y, a s se zameni sa s+ 1. Tada se dobijajednakost

Γ(x+ y)

(1 + s)x+y=

+∞∫0

zx+y−1e−(1+s)zdz.

Poslednja jednakost se pomnozi sa sx−1 i integrali po s u granicama od 0do +∞. Dobija se jednakost

Γ(x+ y)

+∞∫0

sx−1ds

(1 + s)x+y=

+∞∫0

zx−1dz

+∞∫0

zx+y−1e−(1+s)zdz.

Na kraju, sledi

G(x+ y)B(x, y) =

+∞∫0

zx+y−1e−zdz

+∞∫0

sx−1e−szdz

=

+∞∫0

zx+y−1e−yΓ(x)

zadz

= Γ(x)

+∞∫0

zy−1e−zdz = Γ(x)Γ(y).


Prema tome, veza izmedu beta i gama funkcije jeste:

B(x, y) =Γ(x)Γ(y)

Γ(x+ y). (6.12)

Primer 6.5.1. Dokazati da vaze formule

B(x, x) =1

22x−1B

(1

2, x

)i Γ(x)Γ

(x+

1

2

)=

√π

22x−1Γ(2x).

Resenje. Vazi sledeca ocigledna jednakost

B(x, x) =

1∫0

(1

4−(

1

2− t)2)x−1

dt = 2

1/2∫0

(1

4−(

1

2− t)2)x−1

dt

Uvodenjem smene 12 − t =

√s/2, sledi

B(x, x) =1

22x−1

1∫0

s−1/2(1− s)x−1ds =1

22x−1B

(1

2, x

).

Koristeci Γ(1/2) = π i formulu (5.19.1), sledi da vazi

Γ(x)Γ

(x+

1

2

)=

√π

22x−1Γ(2x).

Poslednja formula naziva se formula Lagranza.

Primer 6.5.2. Izracunati integral I =+∞∫0

y2dy1+y4

.

Resenje. Smenom y4 = t proizilazi da vazi

I =1

4

+∞∫0

t−1/4

1 + tdt =

1

4B

(3

4,3

4

)

=1

4Γ

(3

4

)· Γ(

1− 3

4

)=

1

4

π

sin(π/4)=

π

2√

2.

6.6. APROKSIMACIJA NEPREKIDNIH FUNKCIJA POLYNOMIMA211

6.6 Aproksimacija neprekidnih funkcija polynomima

Dokazacemo korisno tvrdenje. U dokazu se koriste osobine neprekidnihfunkcija na segmentu, koje se mogu naci u klasicnom udzbeniku matematickeanalize ([?], [8]), ili u narednoj glavi u opstijem obliku.

Teorema 6.6.1. Neka je (un)n niz u C[−1, 1], tako da su ispunjeni sledeciuslovi:

(1) un(t) ≥ 0 za svako t ∈ [−1, 1] i svako n ∈ N;

(2)1∫−1

un(t)dt = 1 za svako n ∈ N;

(3) limn→∞

(−δ∫−1

un(t)dt+1∫δ

un(t)dt

)= 0 za svako δ ∈ (0, 1).

Tada za svako f ∈ C[−1/2, 1/2] sa svojstvom f(−1/2) = f(1/2) = 0vazi lim

n→∞fn = f uniformno na [−1/2, 1/2], pri cemu je

fn(x) =

1/2∫−1/2

un(x− y)f(y)dy, x ∈[−1

2,+

1

2

].

Dokaz. Funkcija f je ravnomerno neprekidna na [−1/2, 1/2] (videti Teoremu??, ili [?], [8]). Neka je ε > 0. Sledi da postoji δ > 0, tako da za svakox, y ∈ [−1/2, 1/2] sa svojstvom |x−y| < δ, vazi |f(x)−f(y)| < ε. Za upravodobijeni broj δ postoji n0 ∈ N, tako da za svako n ≥ n0 vazi

−δ∫−1

un(t)dt+

1∫δ

un(t)dt < ε.

Funkcija f je ogranicena na segmentu [−1/2, 1/2] (videti Posledicu ??, ili[?], [8]), te postoji broj M , tako da je |f(x)| ≤M za svako x ∈ [−1/2, 1/2].Bez gubljenja opstosti mozemo uzeti da je M ≥ 1. Sada vazi∣∣∣∣∣∣∣f(x)−

1/2∫−1/2

un(x− y)f(x)dy

∣∣∣∣∣∣∣ = |f(x)|

∣∣∣∣∣∣∣1−1/2∫−1/2

un(x− y)dy

∣∣∣∣∣∣∣ = A.

Sada razlikujemo dva slucaja.Slucaj 1. Pretpostavimo da je rastojanje tacke x od bar jedne tacke

±1/2 manje od δ. Tada je |f(x)| = |f(x) − f(±1/2)| < ε. Na osnovu


osobina funkcija un sledi da za svako x ∈ [−1/2, 1/2] vazi

1/2∫−1/2

un(x− y)dy =

x+1/2∫x−1/2

un(t)dt ≤1∫−1

un(y)dy = 1.

Prema tome, ∣∣∣∣∣∣∣1−1/2∫−1/2

un(x− y)dy

∣∣∣∣∣∣∣ ≤ 1 ≤M.

Sledi A ≤Mε.

Slucaj 2. Pretpostavimo da je |x+ 1/2| ≥ δ i |x− 1/2| ≥ δ. Primetimoda je

1/2∫−1/2

un(x− y)dy =

x+1/2∫x−1/2

un(t)dt.

Takode je

1−1/2∫−1/2

un(x− y)dy =

x−1/2∫−1

un(t)dt+

x+1/2∫x−1/2

un(t)dt+

1∫x+1/2

un(t)dt

−1/2∫−1/2

un(x− y)dy

≤−δ∫−1

un(t)dt+

1∫δ

un(t)dt < ε.

Kako je |f(x)| ≤M , sledi da je A ≤Mε.

Dakle, u oba prethodna slucaja vazi A ≤Mε. Na kraju, proizilazi sledecaprocena

6.6. APROKSIMACIJA NEPREKIDNIH FUNKCIJA POLYNOMIMA213

|fn(x)− f(x)| ≤

≤

∣∣∣∣∣∣∣1/2∫−1/2

un(x− y)f(y)dy −1/2∫−1/2

un(x− y)f(x)dx

∣∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣∣1/2∫−1/2

un(x− y)f(x)dx− f(x)

∣∣∣∣∣∣∣≤

1/2∫−1/2

un(x− y)|f(y)− f(x)|dy +Mε

≤∫

|y|≤1,|x−y|≤δ

un(x− y)|f(y)− f(x)|dy

+

∫|y|≤1/2,|x−y|>δ

un(x− y)|f(y)− f(x)|dy +Mε

≤ ε1/2∫−1/2

un(x− y)dy +

∫|y|≤1/2,|x−y|>δ

un(x− y)(|f(y)|+ |f(x)|)dy +Mε

≤ ε+ 2M

∫|y|≤1/2,|x−y|>δ

un(x− y)dy +Mε

= ε+ 2Mε+Mε = (1 + 3M)ε.

Time je dokazano tvrdenje.

Sada navodimo nekoliko osobina gama funkcije. Ako je x > 0, tada je

Γ(x) =+∞∫0

tx−1e−tdt gama funkcija (po x). Za x > 1 vazi formula Γ(x) =

xΓ(x − 1), odakle za n ∈ N sledi Γ(n) = (n − 1)!. Takode je Γ(1/2) =√π.

Sa druge strane, vazi sledeca varijanta Stirlingove10 formule

Γ(x) =

√2π

x

(xe

)x(1 +O

(1

x

)), x > 0. (6.13)

Sledeci rezultat o prostoru C[a, b] je fundamentalan.

10James Stirling (1692-1770), skotski matematicar


Teorema 6.6.2. (Vajerstras11) Za svaku funkciju f ∈ C[a, b] postoji nizpolinoma (pn)n, koji uniformno konvergira ka f na segmetnu [a, b].

Dokaz. Pretpostavimo, bez gubljenja opstosti, da je f ∈ C[−1/2, 1/2].Slucaj 1. Neka je, na pocetku, f(−1/2) = f(1/2) = 0. Na osnovu

parcijalne integracije, osobina gama funkcije i Stirlingove formule (6.13),proizilazi da vazi

In =

1∫−1

(1− x2)ndx =n

n+ 1

1∫−1

(1− x)n−1(x+ 1)n+1dx

=n!

12

(12 + 1

)· · ·(

12 + n

) =√π

Γ(1 + n)

Γ(

32 + n

) =

√π

n

(1 +O

(1

n

)).

Posmatrajmo niz funkcija

un(x) =1

In(1− x2)n, n ∈ N.

Neka je δ ∈ (0, 1). Tada, ako je δ ≤ |x| ≤ 1, onda je 0 ≤ 1−x2 ≤ 1− δ2 < 1.Sledi da je lim

n→∞

√n(1 − x2)n = 0 uniformno po x ∈ [δ, 1], kao i uniformno

po x ∈ [−1,−δ]. Odatle sledi limn→∞

1∫δ

un(x)dx = 0, kao i limn→∞

−δ∫−1

un(x)dx =

0. Dakle, niz (un)n ispunjava uslove Teoreme 6.6.1. Sada dokaz teoremeVajerstrasa sledi na osnovu Teoreme 6.6.1.

Slucaj 2. Pretpostavimo da je f ∈ C[−1/2, 1/2] proizvoljna funkcija.Tada funkcija F (x) = f(x)−f(−1/2)+[f(1/2)−f(−1/2)](x+1/2) ispunjavasve uslove Slucaja 1. Dakle, funkcija F je uniformna granicna vrednost nekogniza polinoma na [−1/2, 1/2], odakle sledi teorema Vajerstrasa za funkcijuf .

11Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815-1897), nemacki matematicar

Glava 7

Furijeovi redovi

7.1 Prostori funkcija i ortogonalnost

U ovoj glavi razmatramo realne funkcije definisane na ogranicenom segmentu[a, b]. Nije tesko pojedine rezultate dokazati i za kompleksne funkcije. Os-novni cilj jeste reprezentacija povoljno odabrane funkcije nekim konvergent-nim redom trigonometrijskih funkcija. Imajuci u vidu da postoji vise tipovakonvergencija niza ili reda funkcija, posveticemo ovim pojmovima dodatnupaznju.

Neka je f : [a, b] → R neka funkcija, i neka je (fn)n niz realnih funkcijasa domenom [a, b]. Niz (fn)n tackasto (punktualno) konvergira ka funkcijif , ako za svako x ∈ [a, b] niz brojeva (fn(x))n konvergira broju f(x). Ko-risticemo oznaku fn → f na [a, b].

Strozi uslovi namecu se kod ravnomerne konvergencije niza funkcija. Niz(fn)n konvergira ka funkciji f ravnomerno na [a, b], ako

(∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n ∈ N)(∀x ∈ [a, b])(n ≥ n0 =⇒ |fn(x)− f(x)| < ε).

Koristicemo oznaku fn[a,b]

⇒ f .Jednostavno je utvrditi da iz ravnomerne konvergencije sledi obicna kon-

vergencija. Sa druge strane, postoje primeri tackasto konvergentnih nizovafunkcija, koji nisu ravnomerno konvergentni.

Primer 7.1.1. Neka je B[a, b] skup svih realnih funkcija sa domenom [a, b].Skup B[a, b] je vektorski prostor za tacasko (punktualno) sabiranje funkcijai mnozenje funkcija realnim skalarima:

(f+g)(x) = f(x)+g(x), (λf)(x) = λf(x), x ∈ [a, b], λ ∈ R, f, g ∈ C[a, b].

215

216 GLAVA 7. FURIJEOVI REDOVI

U skupu B[a, b] norma ‖ · ‖∞ moze biti uvedena na sledeci nacin:

‖f‖∞ = supx∈[a,b]

|f(x)|, f ∈ B[a, b].

Niz funkcija (fn)n u skupu B[a, b] konvergira ka funkciji f ∈ B[a, b] ako‖fn − f‖∞ → 0, odnosno ako i samo ako

(∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n ∈ N)(n ≥ n0 =⇒ ‖fn − f‖∞ < ε).

Jednostavno je utvrditi da ‖fn − f‖∞ → 0 u B[a, b] ako i samo ako

fn[a,b]

⇒ f .

U prostoru B[a, b] vazi Kosijeva teorema o konvergenciji nizova, sto je ustvari Kosijeva teorema za ravnomernu konvergenciju niza funkcija.

Korisno je razmotriti sledeci podskup skupa B[a, b].

Primer 7.1.2. Neka je C[a, b] skup svih realnih neprekidnih funkcija sadomenom [a, b]. Skup C[a, b] je realan vektorski prostor u odnosu na tackastosabiranje funkcija i mnozenje funkcija realnim skalarima. Stoga je C[a, b]vektorski potprostor prostora B[a, b]. Norma u C[a, b] je ‖ · ‖∞.

U prostoru (C[a, b], ‖ · ‖∞) takode vazi Kosijeva teorema o konvergencijiniza funkcija.

Teorema 7.1.1. Neka je (fn)n niz u C[a, b]. Ako fn[a,b]

⇒ f , onda je f ∈C[a, b].

Dokaz. Neka je fn[a,b]

⇒ f i neka je ε > 0. Tada postoji n0 ∈ N tako da zasvako n ≥ n0 i svako x ∈ [a, b] vazi |fn(x) − f(x)| < ε. Neka je n ≥ n0

fiksiran broj. Funkcija fn je neprekidna na [a, b], te je prema Kantorovojteoremi ova funkcija ravnomerno neprekidna na [a, b]. Stoga postoji δ > 0tako da za svako x, y ∈ [a, b], ako je |x− y| < δ, onda je |fn(x)− fn(y)| < ε.Za iste x, y vazi

|f(x)− f(y)| ≤ |f(x)− fn(x)|+ |fn(x)− fn(y)|+ |fn(y)− f(y)| < 3ε.

Time je dokazano da je f (ravnomerno) neprekidna na [a, b].

Sada je jednostavno dati primer niza funkcija koji konvergira tackasto,ali ne konvergira ravnomerno.

7.1. PROSTORI FUNKCIJA I ORTOGONALNOST 217

Primer 7.1.3. Za svako n ∈ N i svako x ∈ [−1, 1] neka je fn(x) = n2xn2x2+1

.Ociglegno je

limn→∞

fn(x) = f(x) =

1x , x 6= 0

0, x = 0.

Granicna funkcija f nije neprekidna na [−1, 1], te prema Teoremi 7.1.1 nije

moguce fn[−1,1]

⇒ f .

Razmotricemo skalarni prozivod u prostoru funkcija.

Definicija 7.1.1. Ako je f, g ∈ C[a, b], onda skalarni proizvod ovih funkcijadefinisemo na sledeci nacin:

〈f, g〉 =

b∫a

f(x)g(x)dx, f, g ∈ C[a, b]. (7.1)

Vazi sledeci rezultat, koji opravdava naziv ”skalarni proizvod“.

Teorema 7.1.2. Za svako f, g, h ∈ C[a, b] i svako λ, µ ∈ R ispunjeno je:(1) 〈f, f〉 ≥ 0;(2) 〈f, f〉 = 0 ako i samo ako je f = 0;(3) 〈f, g〉 = 〈g, f〉;(4) 〈λf + µg, h〉 = λ〈f, h〉+ µ〈g, h〉.

Proof. Zadrzimo se na dokazu dela (2), implikacija =⇒ . Ako je 〈f, f〉 = 0,

onda jeb∫af(x)2dx = 0. Funkcija f2 je neprekidna, te sledi da mora biti

f(x) = 0 za svako x ∈ [a, b].Ostala tvrdenja je jednostavno dokazati.

Definicija 7.1.2. U skupu C[a, b] ‖·‖2-norma definisana je na sledeci nacin:

‖f‖2 =

b∫a

|f(x)|2dx

1/2

, f ∈ C[a, b].

Norma ‖ · ‖2 cini da prostor C[a, b] podseca na euklidski prostor Rn.Medutim, u prostoru (C[a, b], ‖·‖2) ne vazi Kosijeva teorema o konvergencijinizova.

Primetimo da je formula (7.1) moguca i u opstem slucaju, recimo zafunkcije koje su deo po deo neprekidne, ili za sve funkcije f i g za koje


je fg integrabilna funkcija na segmentu [a, b]. U ovom slucaju iz cinjenice〈f, f〉 = 0 ne moze se izvuci zakljucak da je f = 0 na [a, b].

Zanimljiv je sledeci primer.

Primer 7.1.4. Za svako n ∈ N i x ∈ [0,+∞) neka je fn(x) = xne−x

n! . Naosnovu osobina Gama-funkcije, sledi

+∞∫0

fn(x)dx =Γ(n+ 1)

n!= 1

za svako n ∈ N. Sa druge strane, vazi

limn→∞

fn(x) = 0.

Dokazacemo da je ova konvergencija ravnomerna po x ∈ [0,+∞).

Definicija 7.1.3. Neka je dat niz funkcija (fn)n na segmentu [a, b], tako dapostoje svi integrali

∆nm =

b∫a

fn(x)fm(x)dx.

Niz funkcija (fn)n je ortogonalan na segmentu [a, b], ako je

∆nm =

1, n = m,

0, n 6= m..

Ako je niz funkcija (fn)n ortogonalan na [a, b] i pri tome je

‖fn‖2 =

b∫a

|fn(x)|2x

1/2

= 1, n ∈ N,

tada je (fn)n ortonormiran niz na [a, b].

Prethodna definicija se odnosi na sve funkcije za koje postoje navedeniintegrali. Prakticna razmatranja ce pokazati da nije dovoljno ograniciti sesamo na neprekidne funkcije.

Najvazniji primer jeste trigonometrijski ortonormirani niz funkcija.

7.1. PROSTORI FUNKCIJA I ORTOGONALNOST 219

Primer 7.1.5. Niz funkcija

1

2, cosx, sinx, cos 2x, sin 2x, . . . , cosnx, sinnx, . . .

je ortogonalan niz funkcija na bilo kom segmentu [a, a + 2π]. Ovaj niz jetrigonometrijski niz funkcija

Pripadajuci ortonormirani niz jeste

1√2π,

1√π

cosx,1√π

sinx,1√π

cos 2x,1√π

sin 2x, . . . ,

1√π

cosnx,1√π

sinnx. . . .

.

Resenje. Sve navedene funkcije su periodicne sa periodom 2π. Stoga jed-nostavnom smenom promenljivih dovoljno je dokazati da za svako n,m ∈ Nvazi:

π∫−π

1

2πdx = 1,

π∫−π

1

πcos2 nxdx = 1,

π∫−π

1

πsin2 nxdx = 1,

π∫−π

cosnxdx = 0,

π∫−π

sinnxdx = 0,

π∫−π

1

π2cosnx cosmxdx = 0,

π∫−π

1

π2sinnx sinmxdx = 0,

π∫−π

1

π2cosnx sinmxdx = 0.

Prvi integral je trivijalan. Drugi integral se resava transformacijomcos2 nx = 1

2(1 + cos 2nx). Treci integral se proverava transformacijomsin2 nx = 1

2(1 − cos 2nx). Cetvrti i peti integral su trivijalni. Sesti integralse resava transformacijom cosnx cosmx = 1

2(cos(n + m)x + cos(n −m)x).Sedmi integral se proverava transormacijom sinnx sinmx = 1

2(cos(n−m)x+cos(n+m)x). Osmi integral se proverava transformacijom sinmx cosnx =12(sin(n+m)x+ sin(n−m)x).


Primer 7.1.6. Za svako n = 0, 1, 2, . . . neka je

Pn(x) =1

2nn!

dn

dxn(x2 − 1)n, x ∈ [−1, 1].

Niz polinoma (Pn)n je ortogonalan na [−1, 1]. Polinomi Pn su Lezandrovi1

polinomi i pri tome je

P0(x) = 1, P1(x) = x, P2(x) =3

2x2 − 1

2, . . .

7.2 Furijeov red funkcije

Neka je 〈·, ·〉 skalarni proizvod u Rn, x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn i (e1, . . . , en)je prirodna ortonormirana baza u Rn. Tada je za svako j ispunjeno xj =〈x, ej〉 i xj su Furijeovi2 koeficijenti vektora x u odnosu na bazu (e1, . . . , en).Takode je

x =n∑j=1

xjej =n∑j=1

〈x, ej〉ej .

Nas cilj je da pod odredenim uslovima nademo slicne reprezentacije funkcija.

Neka su dati nizovi brojeva (an)∞n=0 i (bn)∞n=1. Tada red

a0

2+

∞∑n=1

(an cosnx+ bn sinnx

)(7.2)

jeste trigonometrijski red.

Za svako n ∈ N funkcija

Tn(x) =a0

2+

n∑k=1

(an cos kx+ bn sin kx

)(7.3)

je trigonometrijski polinom.

Od interesa je izucavanje prirode konvergencije trigonometrijskog reda,kao i odnos trigonometrijskog reda i granicne funkcije ukoliko ta funkcijapostoji.

Obrnuto, moguce je pogodno odabranoj funkciji dodeliti odgovarajucitrigonometrijski red.

1Adrien-Marie Legendre, (1752 - 1833), francuski matematicar2Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768 - 1830), francuski matematicar

7.2. FURIJEOV RED FUNKCIJE 221

Definicija 7.2.1. Neka je f : [−π, π]→ R funkcija, tako da za svako n ∈ Npostoje sledeci integrali (svojstveni ili nesvojstveni)

a0 =1

π

π∫−π

f(x)dx, an =1

π

π∫−π

f(x) cosnx dx, bn =1

π

π∫−π

f(x) sinnx dx.

(7.4)Tada brojevi (an)∞n=0 i (bn)∞n=1 jesu Furijeovi koeficjenti funkcije f u odnosuna trigonometrijski niz funkcija, a trigonometrijski red (7.2) je Furijeov redfunkcije f , u oznaci

f ∼ a0

2+

∞∑n=1

an cosnx+ bn sinnx.

Oznaka ∼ u prethodnoj definiciji oznacava da je odgovarajuci Furijeovred pridruzen funkciji f . Odnos Furijeovog reda i funkcije f je najvaznijepitanje koje razmatramo u ovoj glavi.

Teorema 7.2.1. Ako trigonometrijski red (7.2) konvergira ka funkciji fravnomerno na R, tada je funkcija f neprekidna i 2π-periodicna na R. Pritome, koeficijenti (an)∞n=0 i (bn)∞n=0 zadovoljavaju uslove (7.4).

Dokaz. Sve funkcije Tn su neprekidne i 2π-periodicne. Sledi da Tn konver-gira ka f ravnomerno na R, pa i na svakom segmentu [a, b]. Sledi da je fneprekidna na svakom segmentu [a, b], te je f neprekidna na R.

Neka je ε > 0 proizvoljan broj. Tada postoji n0 ∈ N tako da za svakon ≥ n0 i x ∈ R vazi |Tn(x) − f(x)| < ε. Za isto n0 i x mora vaziti i|T (x+ 2π)− f(x+ 2π)| < ε, te je |f(x)− f(x+ 2π)| < 2ε. Sledi da za svakoε > 0 i svako x ∈ R vazi |f(x) − f(x + 2π)| < 2ε, te je f(x + 2π) = f(x) ifunkcija f je 2π-periodicna.

Vazi

f(x) =a0

2+∞∑n=1

(ak cos kx+ bk sin kx

), x ∈ R,

pri cemu je poslednji red ravnomerno konvergentan na R i stoga se mozeintegraliti clan po clan. Na osnovu ortogonalnosti niza trigonometrijskihfunkcija, sledi

1

π

π∫−π

f(x)dx = a0.


Takode je

f(x) cos kx =a0

2cos kx+

∞∑n=1

(ak cosnx cos kx+ bn sinnx cos kx

). (7.5)

Neka je p ∈ N i posmatrajmo p-tu delimicnu sumu poslednjeg reda:

Sp(x) =a0

2cos kx+

p∑n=1

(ak cosnx cos kx+ bn sinnx cos kx

).

Vazi

|f(x) cos kx− Sp(x)| = |f(x)− Tp(x)|| cos kx| ≤ |f(x)− Tp(x)|

za svako x ∈ R. Neka je ε > 0. Niz (Tn)n konvergira ka f ravnomernona R, te postoji n0 ∈ N tako da za svako n ≥ n0 i svako x ∈ R vazi|f(x)−Tn(x)| < ε. Tada je za iste n i x ispunjeno |f(x) cos kx−Sn(x)| < ε.Sledi da red (7.5) konvergira ravnomerno na R, te se moze integraliti clan poclan. Jos jednom iskoristimo ortogonalnost niza trigonometrijskih funkcija,te sledi

1

π

π∫−π

f(x) cos kx dx = ak.

Analognim razmatranjem funkcije f(x) sin kx dolazimo do rezultata

1

π

π∫−π

f(x) sin kx dx = bk.

Literatura

[1] D. Adnadevic, Z. Kadelburg, Matematicka analiza, Tom I, II, Zavodza udzbenike i nastavna sredstva, Beograd, 1991.

[2] T. M. Apostol, Mathematical Analysis, Addison Wesley Publ. Co.,London, 1974.

[3] M. Asic, J. Vukmirovic, Zbirka zadataka iz analize II, Naucna knjiga,Beograd, 1975.

[4] K. R. Davidson, A. P. Donsig, Real analysis with real applications,Prentice Hall, New Jersey, 2002.

[5] B. N. Demidovic, Sbornik zadac i upraznenii po matematiceskomuanalizu, Nauka, Moskva, 1977.

[6] R. Dimitrijevic, Analiza realnih funkcija vise promenljivih, Nis, 1999.

[7] R. Dimitrijevic, J. Manojlovic, Analiza realnih funkcija visepromenljivih: zbirka zadataka, Nis, 2004.

[8] D. S. Dordevic, Matematika II za studente fizike, prvi deo, Univerzitetu Nisu, Prirodno-matematicki fakultet, Nis, 2004.

[9] J. Feldman, Integration on manifolds, 2008.

[10] G. M. Fihtengolc, Kurs differencialnogo i integralnogo iscislenia,Tom I, II, III, Nauka, Moskva, 1966.

[11] V. A. Ilin, V. A. Sadovnicii, B. H. Sendov, Matematiceskii analiz,Nauka, Moskva, 1979.

[12] L. D. Kudrjavcev, Kurs matematiceskogo analiza, Tom I, II, Visajaskola, Moskva, 1981.

223

224 LITERATURA

[13] I. I. Ljasko, A. K. Bojarcuk, Ja. G. Gai, G. P. Golovac, Spravocnoeposobie po matematiceskomu analizu, Tom I, II, Visa skola, Kiev,1979.

[14] I. I. Ljasko, V. F. Emeljanov, A. K. Bojarcuk, Osnovi klassiceskogoi sovremennogo matematiceskogo analiza, Visa skola, Kiev, 1988.

[15] S. Mardesic, Matematicka analiza u n-dimenzionalnom realnom pros-toru, Prvi dio, Skolska knjiga, Zagreb, 1974.

[16] P. Milicic, M. Uscumlic, Zbirka zadataka iz vise matematike II,Gradevinska knjiga, Beograd, 1971.

[17] S. M. Nikolskii, Kurs matematiceskogo analiza, Tom I, II, Nauka,Moskva, 1975.

[18] D. Perisic, S. Pilipovic, M. Stojanovic, Funkcije vise promenljivih.Diferencijalni i integralni racun, Univerzitet u Novom Sadu, Prirodnomatematicki fakultet, 1997.

[19] W. Rudin, Principles of mathematical analysis, McGrow-Hill, Inc.,New York, 1976.

[20] Ter-Krikorov, M. I. Sabunin, Kurs matematiceskogo analiza, Nauka,Moskva, 1988.

[21] M. Spivak, Calculus on manifolds, a modern approach to classi-cal theorems of advanced calculus, Addison-Wesley, Reading, Mas-sachusetts, 1965.

[22] V. A. Zoric, Matematiceskii analiz, Tom I, II, Nauka, Moskva, 1984.

Documents

Matemati cka analiza u n-dimenzionalnom realnom prostoru