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UNIDADE II
MÚLTIPLOS E DIVISORES OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROSProfessor Acácio Pedro da Silva Junior
Objetivos de Aprendizagem
• Entenderosconceitosrelacionadosaosmúltiplosedivisoresdeumnúmero.
• TerhabilidadesparacalcularoMínimoMúltiploComumeoMáximoDivisorComumentredoisoumaisnúmeros.
• IdentificareResolverproblemasqueenvolvammúltiplosedivisores.
• Manipularasoperaçõesentrenúmerosinteiros.
• Exercitarhabilidadesbásicasdeoperarnúmerosinteiros.
• EstimularoraciocínioLógico-matemático.
• Sabermanipularcorretamenteosparênteses,colchetesechaves.
• Dominarasseisoperaçõesfundamentais:Adição,Multiplicação,Subtração,Divisão,PotenciaçãoeRadiciaçãonoconjuntodosnúmerosinteiros.
• Entenderaspropriedadesparacadatipodeoperação.
• Saberresolverexpressõesnuméricas,desdeasmaissimples,atéasmaiselaboradas.
Plano de Estudo
Aseguir,apresentam-seostópicosquevocêestudaránestaunidade:
• OconjuntodosMúltiplosdeumnúmero
• OMínimoMúltiplocomum
• PropriedadesdoMMC
• OconjuntodosDivisoresdeumnúmero
• OMáximoDivisorComum
• ResoluçãodeProblemasenvolvendoMMCeMDC
• Operaçõescomnúmerosinteiros
• Cálculomentaldeexpressõessimples
• Adição/Subtraçãodeinteiros
40 TÍTULO DO LIVRO| Educação a Distância
• Remoçãodosparêntesesacompanhadosdesinal
• Ordemderesoluçãoquantoaosseparadores:Parênteses,ColcheteseChaves
• Multiplicação/Divisãodeinteiros
• JogodeSinais
• Propriedadesdasquatrooperaçõesiniciais
• Ordemderesoluçãoquantoàsoperações
• Potenciação
• Propriedadesdaspotências
• Radiciação
• Interpretaçãodasraízescomopotências
• Racionalização
41TÍTULO DO LIVRO | Educação a Distância
INTRODUÇÃO
Nesta segunda unidade, você estudará temas muito importantes para o mundo da matemática: amanipulaçãonumérica.Trata-sedeumconteúdodaeducaçãobásicae,talvezporisso,muitosafirmemqueéumtemafácil.Aexperiênciamostraquenãoébemassim.
Semodomínioplenodestaunidade,nãoháformadeobterbonsresultadosemdisciplinasqueenvolvamálgebra,cálculo,geometriaanalítica,estatística,física,entretantasoutras.Porisso,vocêdeveseesforçaraomáximopararesolverasextensasbateriasdeexercíciosdefixação.Terdúvidaséumbomsinal(nomínimoéumsinaldequevocêestáfazendo)!
Oiníciodestaunidadetratademaisalgunsconjuntosnuméricos:oconjuntodosMúltiploseoconjuntodosDivisoresdeumnúmero.Ambasserãoferramentasessenciaisàsaplicaçõesenvolvendofrações,demodogeral,eaosconceitosdeálgebra.
Asegundapartedestaunidadeirádesafiá-loaocálculomental,aoraciocíniológicoeàsnovasformasde interpretar algumas das operações ditas fundamentais. Você se surpreenderá com o poder dosparênteses,colchetesechavesemumaexpressãonumérica.Edescobriráqueoresultadopodemudardrasticamenteapartirdautilização,ounão,dessesseparadores,tornandoamanipulaçãodasexpressõesnuméricasbastantedelicada.
3. MÚLTIPLOS E DIVISORES
Depoisdeestudaroquesãoecomoserelacionamosconjuntos,éconvenientebuscaroentendimentoacercadedoistiposespeciaisdeconjuntos:oconjuntodosMúltiplosdeumnúmeroeoconjuntodosDivisoresdeumdadonúmero.
3.1.ConjuntodosMúltiplosdeumNúmero
ChamamosdeMúltiplodeumdadonúmeronatural “n” todonúmero inteiroquepodeserobtidopeloprodutoentre“n”ealgumnúmerointeiro.Simbolicamente,escrevemosM(n)pararepresentarosmúltiplosde“n”.
Aindapodemosescreverqueumnúmero“a”éummúltiplodonúmero“n”seadivisãode“n”por“a”forexata.
Exemplos
M(2)={0,±2,±4,±6,±8,±10,±12...}éoconjuntodosmúltiplosde2
M(3)={0,±3,±6,±9,±12,±15,...}éoconjuntodosmúltiplosde3
M(4)={0,±4,±8,±12,±16,±20,...}éoconjuntodosmúltiplosde4
42 TÍTULO DO LIVRO| Educação a Distância
M(5)={0,±5,±10,±15,±20,±25,...}éoconjuntodosmúltiplosde5
Notequetaisconjuntossãoinfinitos:nãohácomodefinirummaiormúltiplodealgumnúmero,aindaquevocêpenseemumnúmerosuficientementegrandecomomúltiplodeumdado“n”,sempreserápossívelencontraralgummaior.
Namaioriadasvezes,temosinteresseemusarapenasosmúltiplospositivosdosnúmerosdados.Assimconsideraremos:
M(2)={2,4,6,8,10,12...}éoconjuntodosmúltiplospositivosde2.
M(3)={3,6,9,12,15,...}éoconjuntodosmúltiplospositivosde3.
M(4)={4,8,12,16,20,...}éoconjuntodosmúltiplospositivosde4.
M(5)={5,10,15,20,25,...}éoconjuntodosmúltiplospositivosde5.
Lembre-se: zero não tem sinal! Não é positivo nem negativo e, por isso, não está elencado no conjunto dos múltiplos positivos.
Notequeomenormúltiplopositivodeumdadonúmero“n”éopróprionúmero“n”.
3.2.MínimoMúltiploComum-MMC
Antes de explicitar o conceito “MínimoMúltiploComum”, é necessário entender o termo, palavra porpalavra:
Apalavra“Múltiplo”foidefinidaanteriormenteedispensamaioresexplicações.
M(3)={3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42,45,48...}.
M(4)={4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48,52,56,60,72...}.
Otermo“MúltiploComum”serefereaoconjuntodosmúltiploscomunsadoisoumaisnúmeros:
MC(3,4)={12,24,36,48...}representaosmúltiploscomunsa3e4.
MC(3,4)=M(3)∩M(4)
Aexpressão“MínimoMúltiploComum”serefereaomenorelementodoconjuntodosmúltiploscomunsadoisoumaisnúmeros:
MMC(3,4)=12
Assim,oMínimoMúltiploComumentreosnúmerosa,b,c...éomenornúmerointeiro,positivo,queémúltiplo,simultaneamente,dea,b,c...
43TÍTULO DO LIVRO | Educação a Distância
3.2.1. Propriedades do MMC
I.Se“a”émúltiplode“b”,MMC(a,b)=1
II.Se“a”e“b”sãoconsecutivos,MMC(a,b)=a.b
III.Se“a”e“b”sãoprimosentresi,MMC(a,b)=a.b
O conceito “primos entre si” relaciona dois números de forma que não exista qualquer outro inteiro,diferentede1,queosdividasimultaneamente.
Exemplos:
MMC(100,101)=10100=100.101(sãoconsecutivos).
MMC(64,1024)=1024(1024émúltiplode64).
MMC (10, 21) = 210 (são primos entre si – não há outro número, além do 1, que divida 10 e 21simultaneamente).
MMC(1,10)=10(10émúltiplode1,emparticular,qualquernúmeroémúltiplode1).
3.3.ConjuntodosDivisoresdeumNúmero
ChamamosdeDivisordeumdadonúmeronatural“n”todonúmerointeiroquedivida“n”.Simbolicamente,escrevemosD(n)pararepresentarosdivisoresde“n”.
Exemplos
D(6)={±1,±2,±3,±6}éoconjuntodosdivisoresde6.
D(8)={±1,±2,±4,±8}éoconjuntodosdivisoresde8.
D(20)={±1,±2,±4,±5,±10,±20}éoconjuntodosdivisoresde20.
D(35)={±1,±5,±7,±35}éoconjuntodosdivisoresde35.
A exemplo dosmúltiplos, namaioria das vezes, usamos apenas os divisores positivos dos númerosdados.Assim,consideraremos:
D(6)={1,2,3,6}éoconjuntodosdivisoresde6.
D(8)={1,2,4,8}éoconjuntodosdivisoresde8.
D(20)={1,2,4,5,10,20}éoconjuntodosdivisoresde20.
D(35)={1,5,7,35}éoconjuntodosdivisoresde35.
44 TÍTULO DO LIVRO| Educação a Distância
Notequeomaiordivisorpositivodeumdadonúmero“n”éopróprionúmero“n”.
3.4.MáximoDivisorComum-MDC
Antes de explicitar o conceito “MáximoDivisorComum”, é necessário entender o termo, palavra porpalavra:
Apalavra“Divisor”foidefinidaanteriormenteedispensamaioresexplicações.
D(8)={1,2,4,8}.
D(20)={1,2,4,5,10,20}.
Otermo“DivisorComum”serefereaoconjuntodosdivisorescomunsadoisoumaisnúmeros:
DC(8,20)={1,2,4}representaosdivisorescomunsa8e20.
DC(8,20)=D(8)∩D(20)
Aexpressão“MáximoDivisorComum”serefereaomaiorelementodoconjuntodosdivisorescomunsadoisoumaisnúmeros:
MDC(8,20)=4
Assim,oMáximoDivisorComumentreosnúmerosa,b,c...éomaiornúmerointeiro,positivo,queédivisor,simultaneamente,dea,b,c...
Observação:sedoisnúmeros“a”e“b”sãoprimosentresi,omáximodivisorcomumentre“a”e“b”éiguala1,umavezqueonúmero1dividequalquernúmero.OndeescrevemosMDC(a,b)=1.
3.5. Resolvendo Problemas envolvendo MMC e MDC
PararesolverproblemasenvolvendoMMCeMDC,éimprescindívelquevocêdomineosconceitos:
Sevocêsedeparacomumasituaçãoemqueháumavariaçãodosnúmerosemquantidadesconstantes(de5em5anos,de3em3dias,acada4minutos...),ométodoparaaresoluçãodeveseroMMC.
Sevocêsedeparacomumasituaçãoemqueénecessáriodividirumdadonúmeroemporçõesiguais,sendoasmaiorespossíveis,ométodoparaaresoluçãodeveserocálculodoMDC.
Exercícios:
01.(UFMG)Entrealgumasfamíliasdeumbairro,foidistribuídoumtotalde144cadernos,192lápise216borrachas.Essadistribuiçãofoifeitademodoqueomaiornúmeropossíveldefamíliasfossecontempladoetodasrecebessemomesmonúmerodecadernos,omesmonúmerodelápiseomesmonúmerodeborrachas,semhaversobradequalquermaterial.Nessecaso,onúmerodecadernosquecadafamília
45TÍTULO DO LIVRO | Educação a Distância
ganhoufoi:
a)4 d)9
b)6 e)10
c)8
02.Numacertavizinhança,háquatrogatos:Lalá,Lelé,LilieLulu.Lalámiaacada15minutos,Lelémiaacada4minutos,Lilimiaacada12minutoseLuluacada2minutos.Sabendoquemiaramjuntosàs15h15min,aquehoraselesmiarãojuntosnovamente?
03.Umasaladecinemacomportacertonúmerodepessoas.Quantaspessoas,nomínimo,hánasalasepodemsercontadasde12em12,de6em6ede8em8?
04. Numa demonstração aeróbica, os participantes foram distribuídos em vários quadrados com 36pessoasemcadaum.Depoissaíramemgruposde20pessoas.Qualseriaomenornúmeropossíveldeatletasqueparticiparamdademonstração?
05.SuponhamosqueoPresidentedeumamultinacionaltenhamandatodetrabalhocomtempodeterminadoequeestetempoéde4anos,osassessoresdeletambémtêmmandatocomtempodeterminadoe,paraestes,otempoéde6anoseosauxiliaresseguemomesmoesquemaetêmmandatode3anos.Seem2001houveeleiçãointernanestaempresaparaos03cargos,emqueanoserealizarãonovamenteesimultaneamenteaseleiçõesparaessescargos?
06. JoãoeMariamoramemSalvadorede temposem temposvãoàFeiradeSantana,umacidadepróximadacapitalbaiana.Elevaide15em15diaseelavaide10em10dias.Nodia20deJulho,osdoisviajaramparaFeiradeSantana.Combinaramde ir juntosnaprimeiraoportunidade.Quando issoacontecerá?
07.Joãotinhauma“prova”deadmissãoemumatecelagem:deveriadividirdoisrolosdetecido,umde36metroseoutrode48metrosdecomprimento,empedaçosiguaisedemaiorcomprimentopossível.Qualdeveráserocomprimentodecadapedaço?
08.Trêscordas,umade48metrosdecomprimento,outracom60metroseaterceiramedindo90metrosdeveriamserdivididasempedaçosiguaisedemaiorcomprimentopossível.Qualseráocomprimentodecadapedaçodecorda?
09. Trêsrelógiosdespertadoressãoprogramadosdaseguintemaneira:oprimeirodeverádespertaracada4horas;osegundoacada6horaseoterceiroacada5horas.Sabe-sequetocaramjuntosàs15h15mindodia15deJaneiro,emqueocasiãoosdespertadorestocarãojuntosnovamente?
10. Virgínia deseja plantar 72mudas de violeta, 24 de rosas, 36 orquídeas e 48 camélias nomenornúmeropossíveldecanteiros.Sabendoquecadacanteirodeveráreceberomesmonúmerodeplantas
46 TÍTULO DO LIVRO| Educação a Distância
deumasóespécie:
a)Quantoscanteirossãonecessários?
b)Qualéonúmerodeplantasquedevecontercadacanteiro?
11. (UFMG) Entrealgumasfamíliasdeumbairro,foidistribuídoumtotalde144cadernos,192lápise216borrachas.Essadistribuiçãofoifeitademodoqueomaiornúmeropossíveldefamíliasfossecontempladoetodasrecebessemomesmonúmerodecadernos,omesmonúmerodelápiseomesmonúmerodeborrachas,semhaversobradequalquermaterial.Nessecaso,onúmerodecadernosquecadafamíliaganhoufoi:
a)4 b)6
c)8 d)9
4. OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS
Antesdecomeçarmos,tenteresolvermentalmenteoexercícioaseguir:
4.1.ExercitandoHabilidades
Exercitesuahabilidadeemresolveralgumasoperações“simples”comnúmerosinteiros:
a)4+7 h)2+3+5+7+9
b)4–7 i)–2–4+1
c)7–8–3 j)–4+5+3
d)4+8–7 k)–6+4–2
e)15+22+6 l)–1–2–8–5
f)15–7–3+5 m)–4–20–6+100–1
g)8–11–7+4 n)125–108+57–135+50
Respostas:
a)11 b)–3 c)–4 d)5 e)43 f)10 g)–6h)26 i)–5 j)4 k)–4 l)–16 m)69 n)–11
47TÍTULO DO LIVRO | Educação a Distância
Sevocêtevedúvidas,ouseerroualgumdositens,aconselhoquenãotrateestaunidadecomdesdém.Estudecomafincoemantenha-seatentoaosoutrostópicos.
Pratiquemaisumpouco!(Usecalculadoraparaconferirseusresultados!)
a)–17+43+14+23–45 b)24–7–8–10–4+31–19
c)19–21+36–100–35+100 d)–23+24–25+26–27+28
e)210+60–126+63–208+117 f)–99+85–121–310+420+115
g)75+95–105+110–125–55 h)104+104+104–210–312+105+105
Horadeaprenderumpoucodelógica!Paracompletaraspirâmidesdenúmerosaseguir,vocêdeveráescreveremcadaquadrovazioasomadosdoisquadrosimediatamenteabaixodele.Observe:
−10 −4
2
−12
7 2
4
3
13
-2
1
6
1 1 1 1
9
7
5 2 4
3
6
2 −1 1
12
6
4
1
0
6 3
−4 1 −1
Quandoelencamosasoperaçõesentrenúmerosinteiros,costumamosescrever:Adição,Subtração,Multiplicação,Divisão,Potenciação,Radiciação,entreoutras,comose,defato,fossemmuitasoperações.Noentanto:
48 TÍTULO DO LIVRO| Educação a Distância
ASubtraçãoéaadiçãodoopostodeumdadonúmeroepodemosusaraexpressão“soma”pararepresentá-la.
A Divisão é a multiplicação pelo inverso de um dado número e podemos usar a expressão “produto” pararepresentá-la.
ARadiciaçãoéapotênciaapresentadacomexpoentefracionário.
4.2.Adição/Subtração
Paradeterminarasoma(ouadição)dedoisnúmerosinteiros,devemosconsiderarqueosnúmerosPOSITIVOSREPRESENTAMOQUETEMOSeosnúmerosNEGATIVOSREPRESENTAMOQUEDEVEMOS.Sevocêtemmaisdoquedeve,aindatesobraalgo.Sevocêdevemaisdoquetem,continuadevendo.Éporissoquesempresemantémosinaldomaiornúmero.
4.3.Remoçãodeparêntesesquandoacompanhadodesinal
Sinal positivo antecedendo os parênteses: quando uma adição contém parênteses precedidos pelo sinalpositivo,podemoseliminartantoosparênteses,quantoosinal.(Osinal“+”mandamanterosinal).
Sinal negativo antecedendo os parênteses: quando uma adição contém parênteses precedidos pelo sinalnegativo,devemostrocarossinaisdostermosqueestãoentreparêntesesparapodermoseliminá-los.(Osinal“−”mandatrocarosinaldoqueestáentreosparênteses).
Exemplos:
+(–7)=–7
–(–7)=+7
8+(–5)=8–5=3
8–(–5)=8+5=13
–3+(–4+2)=–3+(–2)=–3–2=–5
–3–(–4+2)=–3–(–2)=–3+2=–1
2+(–3x+6)=2–3x+6=8–3x
2–(–3x+6)=2+3x–6=–4+3x
Épossívelestenderasmesmasregrasparaassituaçõesemqueaparecem,alémdosparênteses,oscolcheteseaschaves.
4.4.Ordemderesolução–{[(Separadores)]}
Porhora,paradeterminararesoluçãodealgumasexpressõessimpleséimportantequevocêsaibadaexistênciadeumaordemdepreferênciapararesolvê-lasquantoaosseparadores(Parênteses,ColcheteseChaves).
Osprimeirossímbolosquedevemserobservadossãoosparênteses().Nessecontexto,vocêdeveráresolvero
49TÍTULO DO LIVRO | Educação a Distância
queestáentreparêntesesantesdosoutrossímbolos.Sejasensatoeresolva-osdeformacoerente.
Nasequência,casoexistam,vocêdeveráobservaroscolchetes[].Resolvaoqueestáentrecolchetesdeformacoerente.
Porfim,resolvaoqueestáentreaschaves{}eoquemaisrestar.
Releiaevejaqueaordemnãoéobrigatória,éordemdepreferência.Hácasosemqueiremosresolvercolchetesantesdeparêntesese,alémdisso,seumseparadornão interferirnooutro, tambémpodemos resolvê-losemmaiorespreocupaçõesquantoàordem.Mas,sehouverparêntesesentreoscolchetes,nãoháformaderesolveroscolchetessemquesesaibaovalornuméricoqueestáentreosparênteses.
Tomemuitocuidadoaocolocarossinais!Osnúmeros+5e−5,porexemplo,podemnãoservistosapenascomoumproblemadesinal.Imagineque,emumdadoproblema,umcarropare5metrosantesdebateremumcaminhão(nãohácolisão),osinaltrocadopodeindicarqueocarroparou5metrosdepoisdebater(hácolisão).
Exemplo:
y=2–[7–(–1–3+6)–8]
y=2–[7–(+2)–8]
y=2–[7–2–8]
y=2–[–3]
y=2+3
y=5
Exercícios
01.Elimineosparêntesesemcadaumadasexpressõesaseguir,apresentando,comoresposta,oresultadodassomasenvolvidas:
a)–(–7+11) e)14+(–1–2)
b)7+(8–3) f)–(1+1+1–4)
c)10–(–2+5) g)9+(9–16)–6
d)–3–(–1–5+8) h)–7+(–2–8)+3–(–5–1+4)
02.Umnúmero“a”étalquea=–9+[(–4+11)–(–13+11)–5].Nessascondições,digaqualéosinalde“a”.
03.Determineassomasalgébricasaseguir:
a)3+[6–(–7+1)]
b)3+6–(–7+1)
c)–10–[11+(2–6)]+1
d)–10–11+(2–6)+1
50 TÍTULO DO LIVRO| Educação a Distância
e)–[21+(–20+22)–(24–29)–23]
f)–21+(–20+22)–(24–29)–23
g)–7–[(–5+11)+11–(–5–18+9)–4]
h)–7–(–5+11)+11–(–5–18+9)–4
i)6–{4+[–7–(–3–9+5)]}
j)6–4+[–7–(–3–9+5)]
Nesteexercício,vocêdeveterpercebidoaimportânciadossímbolos(),[]e{},poisaausênciadosmesmosalteraoresultado.
4.5.Multiplicação/Divisão
Paradeterminaroproduto (multiplicação)dedoisnúmeros inteirosnãonulos,devemosmultiplicarnúmeropornúmeroesinalporsinal(amultiplicaçãoporzerosempreresultaráemzero).
Paradeterminaroquociente(divisão)entredoisnúmerosinteirosnãonulos,devemosdividirnúmeropornúmeroesinalporsinal(adivisãodonúmerozerosempreresultaráemzero.Adivisãoporzeronãoédefinida).
4.5.1.“JogodeSinais”
Paraosdoiscasos,valedizerque:seosdoisfatorestêmsinaisiguais,oproduto/quocienteéumnúmeropositivo.Caso tenhamsinaisdiferentes, o produto/quociente seránegativo. (Fiqueatento: essa regrasóseaplicaàmultiplicaçãoeàdivisão!).
Quandose tratadamultiplicaçãode trêsoumaisnúmeros inteiros,multiplicamosdoisdelese,nasequência,multiplicamosoresultadoporumterceirofator(quarto,quintoetc.).Ouainda,quandopossível,cabemultiplicá-losdoisadois.
Exemplos:
(–3).(–5).(–4)=(+15).(–4)=–60
(+12).(–5).(–4).(–15)=(–60).(+60)=–3600
4.6. Propriedades
4.6.1.ElementoNulodaadição
Todonúmero“n”somadoazero,resultaem“n”.Zeroéoelementonuloparaaadição.
4.6.2.ElementoNeutrodamultiplicação
Todonúmero“n”multiplicadoporum,resultaem“n”.Uméoelementoneutroparaamultiplicação.
51TÍTULO DO LIVRO | Educação a Distância
4.6.3. Comutativa
Dada operação é dita comutativa se, ao trocar a ordem dos fatores (termos), o resultado não se alterar. AMultiplicação e a Adição são operações dotadas da propriedade comutativa. Subtração e Divisão NÃO sãocomutativas:(vocêjádeveterouvido:“Aordemdosfatoresnãoalteraoproduto!”–Issoéomesmoquedizer:“Amultiplicaçãoécomutativa!”)
Exemplos:
Operação a & b b & a
Adição 5 + 1 = 6 = 1 + 5 = 6
Multiplicação 15 . (– 4) = – 60 = (– 4) . 15 = – 60
Subtração 13 – 2 = 11 ≠ 2 – 13 = – 11
Divisão 4 ÷ (– 2) = –2 ≠ (– 2) ÷ 4 = –0,5
Osímbolo&nãotemsentidoparaamatemática.Sóutilizamosparaquefossepossívelrepresentarqualquerumadasquatrooperações.
4.6.4.Associativa
Dadaoperaçãoéditaassociativaseaformadeagrupar(associar)osfatores(termos)nãoalteraroresultado.AMultiplicaçãoeaAdiçãosãoassociativas.SubtraçãoeDivisãoNÃOsãoassociativas:
Exemplos:
Adição [(–6)+(+8)]+(+5)=[(+2)]+(+5)=+7(–6)+[(+8)+(+5)]=(–6)+[(+13)]=+7
Multiplicação [(–6).(+8)].(+5)=(–48).(+5)=–240(–6).[(+8).(+5)]=(–6).(+40)=–240
Subtração [(–6)–(+8)]–(+5)=[(–14)]–(+5)=–19(–6)–[(+8)–(+5)]=(–6)–[(+3)]=–9
Divisão [(–6)÷(+8)]÷(+5)=[(–0,75)]÷(+5)=–0,15(–6)÷[(+8)÷(+5)]=(–6)÷[(+1,6)]=–3,75
4.6.5. Distributiva
Dadooprodutodeumnúmero“n”porumasomaalgébrica,ofator“n”podeserdistribuídoentreostermosdasomaalgébrica,ouseja,paramultiplicarumnúmeroporumasomaalgébrica,podemosmultiplicá-loporcadaumadasparcelase,aseguir,adicionarosresultadosobtidos,casopossível.
Exemplos:
(+6).[(+3)+(–5)]=(+18)+(–30)=–12
52 TÍTULO DO LIVRO| Educação a Distância
(–9).(–3+7)=(+27)+(–63)=–36
5(3x–16)=15x–80(aausênciadeoperaçãoentreonúmero5eosparêntesesrepresentaumamultiplicação!)
4.7.Ordemderesolução-Operações
Antesderesolveralgumasexpressõesnuméricas,éimportantequevocêsaibaqueexisteumaordempredefinidapararesolvê-lastantoquantoaosseparadores(vistonotópico4.4)quantoàsoperaçõese,alémderespeitaraordemdossímbolos(parênteses),[colchetes]e{chaves},vocêdeveráestaratentoàordemderesoluçãoquantoàsoperações:
PrimeirovocêdeveráresolverasPOTÊNCIASeRAÍZES(veremosnasequência).
DepoisvocêdeveráresolverasMULTIPLICAÇÕESeDIVISÕES(naordememqueaparecerem).
DepoisvocêdeveráresolverasADIÇÕESeSUBTRAÇÕES(naordememqueaparecerem).
Exercícios:
01.Calcule:
a)(–7).(+11).(–2) b)(–9).(–5).(–3)
c)(+10).(+6).(–4) d)(–12).(–6).(+3)
e)(–6).(–2).(–5).(+10).(–1) f)81+(–20).(+4)
g)(–4).(–7)–30 h)–23–(–6).(+3)
i)(–9).(+6)–(+2).(–27) j)25–(–3).(–7)+(–6).(+4)–(–16)
k)31+(–40):(+2) l)–10–20:(+4)
m)(+30):(–6)+(–18):(+3) n)(–91):7+15
o)7:(–7)+2.(–6)+11 p)(–36):(–4)+3.(–3)
q)46:(–23)+7–4.(+2) r)8.(–11)+200:(+2)–12
s)63–84:(–21)–3.(+23)
4.8.Potenciação
Aexemplodeoutrosconceitosmatemáticos,apotenciaçãosurgiupelanecessidadedesimplificara formadeescreveramultiplicaçãodeumdadonúmero“a”porelemesmocom“n”repetições:
an=a.a.a.a...a.a(nrepetições)inicialmentecoma∈ N e n > 1.
53TÍTULO DO LIVRO | Educação a Distância
Chamamosonúmero“a”debase,onúmero“n”deexpoenteeotermo“an”depotência.Nessecaso,dizemosqueonúmero“a”estáelevadoaoexpoente“n”.
4.8.1.Nomenclaturaemrelaçãoaoexpoente
Háformasdecitardeterminadapotênciaemrelaçãoaoseuexpoente:
Potência Como se lê
2a “a” elevado ao quadrado / “a” ao quadrado
3a “a” elevado ao cubo / “a” ao cubo
4a “a” elevado à quarta potência
5a “a” elevado à quinta potência
6a “a” elevado à sexta potência
A partir daí, seguimos dizendo:
“a” elevado (ao ordinal correspondente ao número do expoente) potência
Apartirdaí,seguimosdizendo:
“a”elevado(aoordinalcorrespondenteaonúmerodoexpoente)potência
4.8.2.DeterminaçãodoSinaldaPotência
Quandotratamosdapotenciaçãodenúmerosinteiros,abasepodeserumnúmeropositivoounegativo,edevemosconsiderarosdoiscasos.Paranãoimporalgosimplesdecompreender,gostariaquevocêtentasseentenderassequênciasaseguir:
Base Positiva Base Negativa
1(+ 2) = +2
2(+ 2) = (+ 2).(+ 2) = + 4
3(+ 2) = (+ 2).(+ 2).(+ 2) = + 8
4(+ 2) = (+ 2).(+ 2).(+ 2).(+ 2) = + 16
5(+ 2) = (+ 2).(+ 2).(+ 2).(+ 2).(+ 2) = + 32
6(+ 2) = (+ 2).(+ 2).(+ 2).(+ 2).(+ 2). (+ 2) = + 64
1(– 2) = – 2
2(– 2) = (– 2).(– 2) = + 4
3(– 2) = (– 2).(– 2).(– 2) = – 8
4(– 2) = (– 2).(– 2).(– 2).(– 2) = + 16
5(– 2) = (– 2).(– 2).(– 2).(– 2).(– 2) = – 32
6(– 2) = (– 2).(– 2).(– 2).(– 2).(– 2) .(– 2) = + 64
Quandooexpoenteéumnúmeroímpar,apotênciatemsempreomesmosinaldabase,independentedosinal da base.
Quandooexpoenteéumnúmeropar,apotênciatemsempresinalpositivo, independentedosinaldabase.
MUITOCUIDADO!
(−2)6=(−2)(−2)(−2)(−2)(−2)(−2)=+64(osinaltambémfoielevadoaoexpoente6)
−26=−2.2.2.2.2.2=−64(apenasonúmero2foielevadoaoexpoente6)
54 TÍTULO DO LIVRO| Educação a Distância
4.8.3.PropriedadesdasPotências
Paraapresentarcadaumadaspropriedades,buscaremosgeneralizarapartirdeumexemploaleatório.Todasaspropriedadessãoválidasdentrodoconjuntodosnúmerosinteiros,excetoquandofornotadaumarestrição.
( ) (b ≠ 0)
Exemplo
1. am . an = am + n 27 . 23 = (2. 2. 2. 2. 2. 2. 2) . (2. 2. 2) = 210 = 27 + 3
2. a ÷ a = a 27 ÷ 2 3 = 2 4 = 2 7 − 3
3. a0 = 1 (a ≠ 0) 20 = 27 – 7 = 27 ÷27 =
4. (an) k = ank (27)5 = (27). (27). (27). (27). (27) = 27 + 7 + 7 + 7 + 7 = 235 = 27. 5
5. (a.b)n
nn
= a
=
n . bn (3. 5)4 = (3. 5). (3. 5). (3. 5). (3. 5) = 3. 3. 3. 3. 5. 5. 5. 5 = 34 . 54
6. ( 34 ) = ( 3
4 )( 3
4 )( 3
4 )( 3
4 )( 3
4 ) = 3
45
7. 0n = 0 (n ≠ 0) 07 = 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0 = 0
8. 1n = 1 112 = 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1 = 1
9. a−n = 1/ an 5−4 = 50−4 = 50 ÷ 54 = 50
54 = 154
2. 2. 2. 2. 2. 2. 22. 2. 2
2. 2. 2. 2. 2. 2. 22. 2. 2. 2. 2. 2. 2
a ab b
Propriedade
m n m - n
=
= 1
55n
Asrestriçõesnaspropriedades3e7surgempeladiscordânciaacercadapotência00.
Apropriedade3diriaquearespostaé1.(Porcontadoexpoentezero)
Apropriedade7diriaquearespostaé0.(Porcontadabasezero)
Exercícios:
01.Efetueasexpressõesaseguirusandoaspropriedadeslistadasanteriormente(seoresultadoforumnúmeromuitogrande,deixedaformamaissimplespossível,aindanaformadepotência):
a)103 b)(-3)2
c)–82 d)(-8)2
e)(0,7)2 f)(-5)3
g)(0,5)-2 h)(-0,1)-3
i)27 j)(-3)4
k)(35)2 l)3-2
m)(-3)-5 n)(82)5
o)74.72 p)(0,9)10:(0,9)4
q)312.315:310 r)(72.133)4:(78.1311)
s)67.62.6-1 t)0,310.0,3-5.0,37:0,310
55TÍTULO DO LIVRO | Educação a Distância
u)109:106 v)3.(-5)2+5.(-3)3
w) 3
3
2÷ø
öçè
æ x) 33
3
2
úúû
ù
êêë
é÷ø
öçè
æ
y) 22
2
1.
2
1-
÷ø
öçè
æ÷ø
öçè
æ z) 2
4
3-
÷ø
öçè
æ
02.Façasimplificaçõesdemodoquecadaexpressãoalgébricafiquereduzidaaumasópotência:
a)p-7.p19.p-5.p-1.p-10 b)g150.g50:(g20)8
c)(y6)20.(y-10)-2:y95 d) ( ) ( )
( ) 10410
751021053
.
...
mm
mmmm--
03. Sabendoquex=−(−2)5,determineovalordex.
04. Sabendoquex=−(−5)−2ey=10−1,calculeovalordex+y.
05.Sabendoquea=(–1)100eb=(–1)101,calculeovalorde(a+b)ede(a–b)
06.Reduzaaumasópotência:
a)(–8)5.(–8).(–8)4 b)[(+2)6]2
c)(–10)9:(–10)6 d)(+9).(+9)11.(+9)8
e)(–13)20:(–13)14 f)[(+7)4]3
g)(+10)5.(+10).(+10)8 h)(+20)7:(+20)6
i)[(–4)7.(–4)10.(–4)]:[(–4)8]2 j)[(–2)6]2:[(–2)6.(–2)2.(–2)]
07.Determineovalordecadaumadasexpressõesnuméricasaseguir:
a)
23
1- b)5−2.10
c)
12
8- d)
4
1
3
9-
-
e)5−1+10−1 f)2−5–2−3
g)(3−2+6−1)-2 h)(2−3+2−3):(4−1+4−1)
08. (Desafio!) Qualéametadede222?
56 TÍTULO DO LIVRO| Educação a Distância
(Dica:Escreva“ametade”comosendouma“divisãopor2”).
4.9.ExpressõesNuméricasSimples
Jálistamosaordemdepreferênciaparaaresoluçãonocasodeumaexpressãonumérica:
Quanto aos Separadores Quanto aos Operadores
Ordem Separador Símbolo Ordem Operador Símbolo
1º. Parênteses ( ) 1º. Potências e Raízes na e
2º. Colchetes [ ] 2º. Multiplicação e Divisão x e ÷
3º. Chaves { } 3º. Adição e Subtração + e −
√an
Exemplos:
01.Calcularovalordaexpressãonumérica32:(–2)2–(–3).(–3)3.
32:(–2)2–(–3).(–3)3=
=32:(+4)–(–3).(–27)= →efetuamosaspotenciações
=(+8)–(+81)= →efetuamosasmultiplicaçõesedivisões
=+8–81= →eliminamososparênteses
=–73
02.Calcularovalordaexpressãonumérica(–5+2)2:(–9)–[2.(–4–2)–(–1)3.(–5+8)]
(–5+2)2:(–9)–[2.(–4–2)–(–1)3.(–5+8)]=
=(–3)2:(–9)–[2.(–6)–(–1)3.(+3)] →calculandoointeriordosparênteses
=(+9):(–9)–[2.(–6)–(–1).(+3)] →efetuandoaspotenciações
=(–1)–[(–12)–(–3)] →efetuandoasdivisõesemultiplicações
=–1–[–12+3] →eliminandoosparênteses
=–1–[–9] →calculandoointeriordoscolchetes
=–1+9 →eliminandooscolchetes
=+8
Exercícios:
01.Calculeovalordasexpressõesnuméricas:
57TÍTULO DO LIVRO | Educação a Distância
a)(–9)2–(+5).(+16)
b)(–2)4:(+16).(–1)7
c)(–6)2–(–7)+130
d)52–(–3)3+2(–4)2
e)4.(–5)3+(–20)2
f)112–4.(–5)2+100
g)17–3.(–2)2–(–6)2.(–1)7
h)41–3.(–4)2+6o–20:(–2)2
i)7.(–2)2–5.(–2)3–102
j)(–3)3–5.(–2)+2.(–3)2–1
02.Sea=–(–3)3eb=(–1)8,calculea+b.
03.Sex=–(–2)5ey=–(+2)5,calculex–y.
04.Calculeovalordasexpressõesnuméricas:
a)(–7–4).(–9+2)–(–72+2):(–5–5)+(–9–4+6)
b)(–9–3):(–1+7)–[10–(–4–3).(–5+4)+(–36):(–1–3)]
c)50–7.(+4)–[(–44):(–11)+(–3).(+3)–1]
d)(–6)2:(–12)–(–3)3+(–2)5:(–4)2–50
e)(–2–3)2:(–25)+[30–(–10+6)2:(–2)3–52]
f)(–7)2+[100–(–3)3:(+9)–(–1)9]–42
g)22+(25:22)–[(–3)4:(–3)2–42:(–11+7)+100]
h)52–7.(–2)3–[–20:(–2)2+6.(–1)4–3]+(–5)2:(–5)
i)(–3)2–(–3)3–[(–10)2:(–20)+(–6+4)5:(–4)2–40]
j)(–5)2:52–(–4)3–[82–(–1)8.(–2)3+(–72):(–6)2]
k)(–2).(–10)2+152–[–92:(+3)3+62:(–12)+23]
l)100+(–300):(–10)2–18+[(–98):72–9.(–2)3–82]
4.10.Radiciação
Ageometrianemsempre trabalhacomnúmeros inteirosouexatos.Emgrandepartedasvezes,énecessárioindicarouresolverumaraizparadeterminarcertamedida.Porexemplo, metroséamedidacorrespondenteàdiagonaldeumquadradodeladoiguala1metro.
Éimportantequevocêsaibalidarcomestesnúmeros:
58 TÍTULO DO LIVRO| Educação a Distância
échamadoderadicalouraiz,“a”éoradicandoe“n”éoíndicedaraiz.
Onomedaraizsegueanomenclaturadaspotências,deformabempróxima:
ou éaraizquadradanonúmero“a”.
éaraizcúbicade“a”
éaraizquartade“a”
éaraizquintade“a”
éaraiz(ordinalcorrespondenteaoíndice)de“a”
4.10.1.EscrevendoRaízescomoPotências
Todaraizpodeserescritaemformadepotência:
Assim, escrever é omesmo que escrever 21/2 e, por se tratar de potência, valem asmesmas regras epropriedadesdaspotências,ficandomaisfácildemanipularasraízes,omelhor,aspotências.
Buscarovalornuméricodeumaraizquadradanemsempreseráumatarefasimples:
Parasaberovalorde ,vocêteráquebuscarumnúmero“b”deformaqueb.b=a.
Parasaberovalorde ,vocêteráquebuscarumnúmero“b”deformaqueb.b.b=a
nãoestádefinidanosreais,poisnãohánúmeroreal“n”quemultiplicadoporelemesmo,resulteemumnúmeronegativo.
Generalizando:nãoexisteraizdeíndiceparparanúmerosnegativos(noConjuntodosNúmerosReais).
Exemplos:
59TÍTULO DO LIVRO | Educação a Distância
Nomais,tudopodeserescritodeformaintuitiva,bastarespeitaraspropriedades.
4.10.2.Racionalização
Amaiorpartedaspessoasencontragrandesdificuldadesaoefetuaradivisãodeumnúmerointeiroporoutro.Essadificuldadesemostraaindamaiorquandoodivisoréumaraiz.Paratentarsimplificaroscálculos,ajudandonotratodaTrigonometria,daGeometriaPlana,daGeometriaAnalíticaentreoutras,utilizamosumprocessopráticoparaforçaro“desaparecimento”daraiznodivisor:aRacionalização!
Tomeadivisão comoexemplo.Onúmero ,comodivisor,nãonosdeixaverdeformaclaraseadivisãoéexatanemseoresultadocontinuarácomraiz.
ResultadoImportante:multiplicarodivisoreodividendoporummesmonúmeroquealteraoquociente(resultado).
Assim,devemosbuscarumnúmeroqueaomultiplicarpor√2,representaumnúmero inteiro.Opadrãoébemsimples:
Paraonúmero √2,usamosonúmero√2comofatorracionalizante,pois√2.√2=√4=2
Paraonúmero√3,usamosonúmero√3comofatorracionalizante,pois√3.√3=√9=3
Paraonúmero√5,usamosonúmero√5comofatorracionalizante,pois√5.√5=√25=5
Emgeral,paraonúmero√n,usamosonúmero√ncomofatorracionalizante,pois√n=n
Destaforma:
Cuidado!Nemsempreoresultadoseráumnúmerointeiro.Hádiversassituaçõesemqueonúmerocontinuarácomumaraiz(nodividendo,nãonodivisor).Vejamaisdoisexemplos:
Exemplos:
I.Nocasodonúmero temos:
II.Nocasodonúmero temos:
60 TÍTULO DO LIVRO| Educação a Distância
Apesardeatentaçãosergrande,nãopodemossimplificaro15queestádentrodaraizcomo5.
4.10.3. Conjugado
Háaindaumtipoespecialderacionalização:aquebuscaasoluçãodeumadivisãoemqueodivisorécompostopordoistermos(sejamduasraízesouumaraizeumnúmeroracionalqualquer).Talmétodoutilizaumconceitoquenãovimosatéomomento(ProdutosNotáveis),portanto,vamossimplesmentedefiniroConjugadodeumdadonúmerocomosendoofatorpeloqualomultiplicamosobtendocomorespostaumnúmeroracional.Amecanizaçãoémaisfácilqueateoria.Acompanheatabelacomosconjugados:
Número Fator Racionalizante Produto Note que basta trocar o sinal
que separa os dois termos.
Pratique! Multiplique cada
número pelo seu fator
racionalizante e encontre o
“produto” como resposta. Não é
para decorar, você tem que
saber fazer!!!!a - b²
a - b²
a² - b
a² - b
a - b
a - ba b+
a b+
a b+
ba +
a b-
ba -
a b-
a b-
b+a b-a
b-a b+a
Exemplo:
Nocasodonúmero temoscomofatorracionalizanteonúmero√3 √2
Exercícios:
01.Calculeovalordasraízesabaixo:
a)√121 b)√729
c)√64 d) √576
e) f)
g)√1225 h)
i) j)
k) l)
61TÍTULO DO LIVRO | Educação a Distância
m) n)
o) p)
q) r)
s) t)
02.Escrevaaspotênciasaseguiremformaderaiz
03.Escrevaosradicaisnaformadeexpoentefracionário:
04.Simplifiquecadaumdosseguintesradicais,retirandofatoresdoradicando:
05.Resolvaasoperações:
06.Aplicandoapropriedadedistributivadamultiplicação,simplifiqueasexpressõescomradicais:(sigaoexemplo)
62 TÍTULO DO LIVRO| Educação a Distância
a)(Exemplo)
07.Racionalizeodenominadordecadaumadasseguintesfrações:
Useconceitospré-adquiridosdeáreaeperímetropararesolverasituaçãoaseguir:
08.Afiguraabaixorepresentaumterrenoretangularcomasmedidasdadasemmetros.
a)Quantosmetrosdemuroserãonecessáriosparacercaresseterreno?
b)Qualéaáreadesseterreno?
63TÍTULO DO LIVRO | Educação a Distância
c) Quantooproprietáriodeverágastarparagramaroterreno,seopreçodometroquadradodegramacorrespondeaR$5,20?
(Casovocênãoselembre:oPerímetroédadopelasoma de todos os lados e a Áreaédadapeloproduto entre comprimentoelargura).
09.Vocêvaiconheceruma“fórmula”usadaemFísicaquandoseestudaomovimentodoscorposemquedalivre.Repareque,senãoexistisseoconceitoeosímbolopararaizquadrada,seriamuitocomplicadoexplicarcomosecalculaovalordotempo“t”,dadoemsegundos,quandoseconheceovalordaaltura“h”,dadoemmetros.Vejaafórmula:
Essaequação,descobertaporGalileu,dizemquantossegundos,aproximadamente,umobjetochegaaosoloquandoéabandonadodeumadeterminadaalturadadaemmetros.Quantotempoumobjetoquecaideumaalturaiguala19,6mdemoraparachegaraosolo?
Sugiroquevocêacesse<http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/>.Trata-sedeumsitecomlinguagembemsimpleseserviráparaquevocêadquiranovasexperiênciasmatemáticas.Essarecomendaçãovaleparatodasasunidadesdestematerial!
ATIVIDADE DE AUTOESTUDO1.Comoodomíniodessesconceitospodemelhorarmeudesempenhoacadêmico?
64 TÍTULO DO LIVRO| Educação a Distância
2.Vocêdominavaasseisoperações?Foisurpreendidoporalgumadasoperaçõesquejulgavadominar?
3.Existeformadesedesenvolveremseucursosemquevocêpreciseconhecerasoperaçõeslistadas?
2.Vocêdominavaasseisoperações?Foisurpreendidoporalgumadasoperaçõesquejulgavadominar?
3.Existeformadesedesenvolveremseucursosemquevocêpreciseconhecerasoperaçõeslistadas?
IMENES,LuizMárcioeLELLIS,MarceloCestari.MatemáticaParatodos:–4Volumes.2.ed.SãoPaulo:Sci-pione,2006.Oresultadoéumtrabalhoinovador,quereinterpretaconteúdostradicionais,traznovasideias,aproximaaauladeMatemáticadarealidadeeajudaa“aprenderaaprender”,desenvolvendocompetênciasúteisparatodaavida.Aconselhoquevocêencontreexemplaresde5ªsérie(6ºano)e6ªsérie(7ºano)paraampliarosseusestudos–talvezvocêsóosencontreemSebos,poisoprofessorImenesmudoudeeditora,agoraestápublicandopelaEditoraModerna.Casoprefira,busquepeloautor.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Nesta unidade, você deve ter visto que amanipulação numérica é, de fato,muito importante para amatemática.Noentanto,acompreensãodaspropriedades,semterquedecorá-las,sugeremaisdoquesimples“continhas”.Estamosdiantedeumasituaçãoemqueosaberfalamaisaltoqueodecorar(atémesmoquandofalamosemtabuada).
Épossívelquevocêtenhaficadosurpresocomaquantidadedeoperaçõesquepodemserrealizadasdeformamaisracionalquemecânica.
Vocêdeveterentendidoqueamecanizaçãoémuitoimportante,massósevocêjásaberesolverdeformaracional,usandotodooraciocíniológicoquevocêadquiriuduranteasuaformaçãointelectual.
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