Matemática, 3º ano, Polinômios: Operações multiplicação e divisão MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Ensino Médio, 3º ano Polinômios: Operações multiplicação

Matemática, 3º ano, Polinômios: Operações multiplicação e divisão

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIASEnsino Médio, 3º ano

Polinômios: Operações multiplicação e divisão


(UFSM/2010) Leia o trecho da música "Goiabada Cascão", de Wilson Moreira/Nei Lopes, interpretada por Dudu Nobre. Ouvindo esse samba, um pequeno proprietário rural decide aproveitar a farta produção de goiabas de seu pomar e produzir goiabada cascão que será vendida em barras (paralelepípedos retangulares) de 800 cm³ cada. Para tanto, construirá uma forma a partir de uma folha metálica retangular medindo 28 cm por 18 cm, cortando um pequeno quadrado de cada canto. Essa folha, devidamente dobrada, conforme ilustra a figura a seguir, servirá de molde para as barras de goiabada. Sendo x cm a medida dos lados do quadrado cortado da folha inicial, a incógnita (variável) x, para que o volume da barra obtida desse molde tenha os 800 cm3 desejados, deve satisfazer a que equação polinomial?

POLINÔMIOS


Vamos calcular o volume da caixa.

x28 – 2x

18 – 2x

V = AB . h

V = (28 – 2x).(18 – 2x).x

V = (504 – 56x – 36x + 4x2).x

V = (504 – 92x + 4x2).x

V = 800

4x3 – 92x2 + 504x = 800

4x3 – 92x2 + 504x – 800 = 0 (: 4)

x3 – 23x2 + 126x – 200 = 0

18 cm

28 cm

xx x

x

xxx

x

V = 504x – 92x2 + 4x3


A multiplicação é obtida multiplicando-se cada termo aixi de A(x) por cada termo bjxj de B(x), ou seja, aplicando a propriedade distributiva da multiplicação.

Por fim, reduzem-se os termos semelhantes (de mesmo grau).

012

21

1 axaxaxaxaxA nn

nn

012

21

1 bxbxbxbxbxB nn

nn

MULTIPLICAÇÃO DE POLINÔMIOS

Sendo:


A(x) . B(x) = (x3 + 2x2 – 3) . (x2 + x + 1)

x5 + x4 + x3 + 2x4 + 2x3 + 2x2 – 3x2 – 3x – 3

x5 + 3x4 + 3x3 – x2 – 3x – 3

Sendo A(x) = x3 + 2x2 3 e B(x) = x2 + x + 1, determine A(x) . B(x).

EXEMPLO

Um produto de potências de mesma base pode ser escrito na forma de uma única potência: conservamos a base e adicionamos os expoentes.am.an = am+n

http:

//zo

nada

pont

e.co

m.s

apo.

pt/

gifs

/cha

mas

/lam

pada

s/la

mp0

11.g

if


DIVISÃO DE POLINÔMIOS

Dividir um polinômio P(x) pelo polinômio D(x) é obter dois polinômios Q(x) e R(x), obedecendo às seguintes condições: P(x) ≡ D(x).Q(x) + R(x);

P(x) é o dividendo, D(x) o divisor, Q(x) o quociente e R(x) o resto da divisão;

É importante observar que o grau do quociente é a diferença entre os graus do dividendo e do divisor;

Em geral, se na divisão de P(x) por D(x) o resto é o polinômio nulo, dizemos que P(x) é divisível por D(x).

Grau de R(x) < grau de D(x) ou R(x) ≡ 0;


Esse método, também conhecido como método dos coeficientes a determinar, é aplicado da seguinte forma:

Determina-se os graus do quociente: Q(x), e do resto: r(x);

Constroem-se os polinômios Q(x) e r(x), deixando incógnitos os seus coeficientes (usam-se letras);

Determinam-se os coeficientes impondo a igualdade Q(x).D(x) + r(x) = P(x).

ALGORITMO DA DIVISÃO (MÉTODO DE DESCARTES)


Dividir P(x) = 3x4 – 2x3 + 7x + 2 por D(x) = 3x3 - 2x2 + 4x -1.

EXEMPLO

Aplicando a relação fundamental da divisão:

xPxrxDxQ

27231423 34223 xxxedxcxxxxbax

2723423423 34223234 xxxedxcxbbxbxbxaxaxaxax


33 a1a

232 ba 024 cba

74 dab 2 be

2312 b

03 b0b

00214 c

4c

7104 d

8d

20e2e

Logo: Q(x) = ax + b Q(x) = xr(x) = cx2 + dx + e r(x) = -4x2 + 8x + 2

2723424323 34234 xxxebxdbaxcbaxbaax


Para efetuar a divisão usando o método da chave, convém seguir os seguintes passos: Escrever os polinômios (dividendo e divisor) em ordem decrescente dos seus

expoentes e completá-los quando necessário, com termos de coeficiente zero;

Dividir o termo de maior grau do dividendo pelo de maior grau do divisor, o resultado será um termo do quociente;

Multiplicar esse termo obtido no passo 2 pelo divisor e subtrair esse produto do dividendo;

Se o grau da diferença for menor do que o grau do divisor, a diferença será o resto da divisão e a divisão termina aqui;

Caso contrário, retoma-se o passo 2, considerando a diferença como um novo dividendo.

MÉTODO DA CHAVE


EXEMPLO 1

Efetuar a divisão de A(x) = 2x4 – 3x3 + x – 1 por B(x) = x2 – 2x + 3.

+ 11–10x

+ 12– 8x4x2

– 1– 2x– 4x2

– 3x+ 2x2 – x3

– 1+ x– 6x2 x3

2x2

x2 – 2x + 3

+ x – 4– 6x2+ 4x3–2x4

2x4 – 3x3 + 0x2 + x – 1


EXEMPLO 2

Dividir A(x) = x2 – 5x + 6 por B(x) = x – 2.

0

– 6 + 3x

+ 6 – 3x

x

x – 2

– 3+ 2x–x2

x2 – 5x + 6

Nesse caso, o resto é polinômio nulo, R(x) ≡ 0. Dizemos, por isso, que A(x) é divisível por B(x).


EXEMPLO 3

Sabe-se que p(x) = x3 – x2 + ax + b é divisível por b(x) = x2 + x – 2. Calcular a e b.

(a+4)x

+ 2x 2x2

+ (a+2)x– 2x2

x

x2 + x – 2

– 2– x2–x3

x3 – x2 + ax + b

+ 2x

+ b

– 4

+ b – 4 a + 4 = 0 b – 4 = 0

⇒ a = – 4 ⇒ b = 4


Trataremos daqui por diante de divisões em que o dividendo é um polinômio P(x), em que gr(P) 1, e o divisor é um polinômio do 1º grau (de grau 1), a princípio de coeficiente dominante (do termo de grau 1) igual a 1.

Para começar vamos determinar o seguinte, se o divisor é de grau 1, então resto será de grau zero, e portanto, independente de x (o resto será um número real).

Vamos estudar:

DIVISÃO POR BINÔMIOS DO 1º GRAU

Teorema do RestoTeorema de D’AlembertAlgoritmo de Briot-Ruffini

Divisão pelo binômio (ax + b)Divisão pelo produto (x – a).(x – b)Divisões Sucessivas


Na divisão de um polinômio P(x) por um polinômio do tipo (x – a), observamos que o resto, se não for nulo, será sempre um número real. Então:

TEOREMA DO RESTO

( ).P x x a Q x r

( )x a( )P x

( )Q x r

Observe que Q(x) é o quociente dessa divisão.


Verificamos assim que o resto da divisão de P(x) por (x - a) é r = P(a).

( ).P x x a Q x r

( ).P a a a Q a r

0.P a Q a r

P a rLogo:

Calculando o valor numérico de P(x) para x = a, temos:


Calcular o resto da divisão de P(x) = x4 + 2x3 + 3x2 – 6 por x + 2.

4 3 22 2 2 2 3 2 6r P

2 16 16 12 6r P

6r

EXEMPLO 1


EXEMPLO 2

O resto da divisão de p(x) = x4 – 4x3 – kx – 75 por (x – 5) é 10. Calcular o valor de k.

O divisor é de 1º grau. Sua raiz é 5.

R = p(5) = 54 – 4.53 – k.5 – 75 = 10

⇒ 54 – 4.53 – k.5 – 75 = 10

⇒ 53 – 4.52 – k – 15 = 2

(: 5)

⇒ 125 – 100 – k – 15 = 2

⇒ 10 – k = 2 ⇒ k = 8 – ⇒ k = 2 – 10

⇒ R = p(5) = 10


Para que um polinômio P(x) seja divisível por um polinômio do tipo (x – a), é preciso que o resto seja igual a zero, ou seja, P(a) = 0.

TEOREMA DE D’ALEMBERT

P(x) é divisível por (x – a) P(a) = 0


Se P(x) é divisível por (x + 3), então devemos ter:

Determine k para que o polinômio P(x) = kx3 + 2x2 + 4x – 2 seja divisível por (x + 3).

3 0P

3 23 2 3 4 3 2 0k

427

k

EXEMPLO 1


EXEMPLO 2

Determinar o valor de m, sabendo-se que o polinômio p(x) = 9x2 + mx – m + 3 é divisível por 3x – 1.

O divisor é de 1º grau. Sua raiz é 1/3. Segundo o teorema de D’Alembert, devemos ter p(1/3) = 0.

9.(1/3)2 + m.(1/3) – m + 3 = 0

⇒ 9.(1/9) + m/3 – m + 3 = 0

⇒ 1 + m/3 – m + 3 = 0

⇒ m/3 – m = – 4 (x 3) ⇒ m – 3m = –12 – ⇒ 2m = –12 ⇒ m = 6


DISPOSITIVO PRÁTICO DE BRIOT-RUFFINI

O Dispositivo de Briot-Ruffini nos permite encontrar o quociente e o r resto de uma divisão de um polinômio P(x) de grau n (n≥1) por um binômio x – a, sendo (n – 1) o grau do quociente.

a2

Restoa0 -b/a

a4a3a1a0+ + + +

x xx

x

p(x) = a0x4 + a1x3 + a2x2 +a3x + a4 (Dividendo)s(x) = ax+ b (Divisor)

Dados

Coeficientes do Dividendo

Raiz do Divisor


EXEMPLO 1

Efetuar a divisão de p(x) = 3x4 – 4x3 – 5x2 + 4x + 9 por x – 2, utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini.Os cálculos a serem efetuados tem como ponto de partida, a raiz do divisor, no caso, a raiz é 2.

– 1

– 5

13 = Resto2232

94– 4 3+ + + +

xx

xx

q(x) = 3x3 + 2x2 – x + 2 e R(x) = 13


EXEMPLO 2

Na divisão de p(x) = x4 + 2x3 – x2 + k por x + 1, o resto é 4. Calcular k e o quociente da divisão.

Dividindo p(x) por x + 1, pelo dispositivo de Briot-Ruffini.

–2

– 1

k – 221 1–1

k02 1+ + + +

xx

x x

q(x) = x3 + x2 – 2x + 2 e R = k – 2 = 4 ⇒ k = 6


EXEMPLO 3

Na equação x3 – 3x2 + x – 3 = 0, uma de suas raízes é 3. Obter as outras duas raízes.Suponhamos p(x) = x3 – 3x2 + x – 3. Se 3 é raiz de p(x), p(3) = 0 e p(x) é divisível por x – 3.

1

1

00 13

– 3– 3 1

q(x) = x2 + 1 ⇒ x2 + 1 = 0 ⇒ x2 = – 1 ⇒ x = i ou x = – i

Logo, as raízes da equação são 3, i e –i.


Se um polinômio P(x) é divisível separadamente por (x − a) e (x−b), com a ≠ b, então P(x) é divisível por (x − a)(x − b).

Consequência:

Dividindo-se P(x) por (x − a), e depois dividindo-se os quocientes que forem sendo obtidos por (x − a), ao fim de r divisões sucessivas, se todos os restos forem nulos, P(x) será divisível por (x − a)'.

DIVISÃO PELO PRODUTO (X – A).(X – B)


EXEMPLO 1

Provar pelo dispositivo de Briot-Ruffini que p(x) = x3 – 7x + 6 é divisível por (x + 2).(x – 3).

Primeiro vamos dividir p(x) por x + 2. Depois, o quociente obtido q(x) por x – 3.

–3

– 7

0–2 1–2

60 1

Nos dois casos, obtivemos resto R = 0. Concluímos que p(x) é divisível por (x + 2).(x – 3).

01 13


Calcule a e b para que P(x) = x3 + 2x2 + ax - b seja divisível por (x -1) e por (x - 2).

3a b

Nesse caso devemos ter P(1) = 0 e P(2) = 0.

3 21 1 2 1 1P a b

0 1 2 a b

2 16a b

3 22 2 2 2 2P a b

0 8 8 2a b

EXEMPLO 2


Agora, vamos resolver o sistema obtido.

32 16a ba b

13a

10b

310

a bb

2


Se um polinômio P(x) dividido por (x - 1) deixa resto 2 e dividido por (x - 2) deixa resto 1, qual é o resto da divisão de P(x) pelo produto (x - 1).(x - 2)?

Observe que:

1) A partir da leitura do enunciado podemos concluir que P(1) = 2 e P(2) = 1.

2) O resto da divisão de P(x) por (x - 1).(x - 2) é um polinômio do tipo R(x) = ax + b, pois se o divisor tem grau 2, o resto, no máximo, terá grau 1.

EXEMPLO 3


1 2P x x x Q x ax b Então:

A partir da informação de que P(1) = 2 e P(2) = 1, obtemos:

1 2P x x x Q x ax b

2a b

1 1 1 1 2 1 1P Q a b

2 a b

2 1a b

2 2 1 2 2 2 2P Q a b

1 2a b


Resolvendo o sistema:

22 1a ba b

2

Encontramos:

1a 3b

Assim:

3R x x


Como P(x) é divisível por (x – 1) e o quociente nesta divisão é divisível por (x – 2), concluímos que P(x) é divisível por (x – 1) · (x – 2).

No caso particular, se b = a, as divisões sucessivas permitem verificar se P(x) é divisível por (x – a)2, (x – a)3, etc.

DIVISÕES SUCESSIVAS


Calcular a e b para que P(x) = x4 + x2 + ax + b seja divisível por (x – 1)2.

EXEMPLO 1

1 1 0 1 a

1 1 2 2a 1

1 2 4

b

2a b

6a

Os restos das duas divisões devem ser nulos. Então,

6 02 0aa b

6 4a e b


Para que o polinômio P(x) = x3 - 8x + mx - n seja divisível por (x + 1)(x - 2), o produto m.n deve ser igual a:

Se P(x) é divisível por (x + 1)(x - 2), então, P(x) é divisível por (x + 1), e também é divisível por (x - 2), e isto significa dizer que,

7m n

1 0P 2 0P

31 1 8 1 1P m n

0 1 8 m n

32 2 8 2 2P m n

0 8 16 2m n

2 8m n

EXEMPLO 1


Resolvendo o sistema:

5m 2n

72 8m nm n

Obtemos,

Agora, podemos responder a proposição inicial do problema,

10m n


Um polinômio P(x) dividido por (x + 1) dá resto 3 e por (x - 2) dá resto 6. O resto da divisão de P(x) pelo produto (x + 1)(x - 2) é da forma ax + b. Obter o valor numérico da expressão a + b.

Se P(x) dividido por (x + 1) dá resto 3 e por (x - 2) dá resto 6, então,

EXEMPLO 2

1 3P 2 6P


Sabemos ainda que o resto da divisão de P(x) pelo produto (x + 1)(x - 2) é da forma ax + b, então,

1 2P x x x Q x ax b

daí,

1 2x x ( )P x

( )Q x ax b

1 3 3P a b

2 6 2 6P a b

1a

4b5a b


EXTRAS

GEOGEBRA

Utilizar o software geogebra para trabalhar as operações de multiplicação e divisão de polinômios.

Este programa é de uso livre e pode ser obtido no endereço: http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm.

http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm


REFERÊNCIAS

Sites: http://

www.objetivo.br/ConteudoOnline/mp/Conteudo.aspx?codigo=812&token=5%2F2Yd2%2Bzzv%2F29umTApxi0Q%3D%3D

http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Apoios/apoio03c_prof-Regina.html http://www.colegioweb.com.br/polinomios/divisao-de-polinomios.htmlLivros: I. Silva, Cláudio Xavier da. II. Filho, Benigno Barreto. Matemática aula por aula, 3:

ensino médio – São Paulo : FTD, 2009. Dante, Luiz Roberto. Matemática : volume único - Ática. São Paulo : Ática, 2005. I. Iezzi,Gelson. II. Dolce, Osvaldo. III. Degenszajn, David. IV. Périgo, Roberto.

Matemática : volume único – São Paulo : Atual, 2002.

http://www.objetivo.br/ConteudoOnline/mp/Conteudo.aspx?codigo=812&token=5/2Yd2+zzv/29umTApxi0Q==



http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Apoios/apoio03c_prof-Regina.html

http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Apoios/apoio03c_prof-Regina.html

http://www.colegioweb.com.br/polinomios/divisao-de-polinomios.html

http://www.colegioweb.com.br/polinomios/divisao-de-polinomios.html

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