UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ - Páginas Pessoaispaginapessoal.utfpr.edu.br/.../copy_of_MatemticaBsica.pdf · 4.3 Diferença de dois Quadrados ... 5.6 Multiplicação de Polinômios:

MATEMÁTICA BÁSICA

NOTAS DE AULA

Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Curitiba

SUMÁRIO

1. FRAÇÕES........................................................................................................... 5

1.1 Adição e Subtração....................................................................................................................................... 5

1.2 Multiplicação ................................................................................................................................................ 5

1.3 Divisão .......................................................................................................................................................... 5

1.4 Número Misto .............................................................................................................................................. 5

1.5 Conversão de Número Decimais em Fração ................................................................................................. 5

1.6 TESTES .......................................................................................................................................................... 6

2. POTENCIAÇÃO ................................................................................................ 11

2.1 Regra de sinais: .......................................................................................................................................... 11

2.2 Casos Particulares: ..................................................................................................................................... 11

2.3 Propriedades .............................................................................................................................................. 11

2.4 Exercícios de sala: ....................................................................................................................................... 13

2.5 TESTES ........................................................................................................................................................ 14

3. RADICIAÇÃO .................................................................................................... 19

3.1 Propriedade dos radicais: ........................................................................................................................... 19

3.2 RACIONALIZAÇÃO DE FRAÇÕES .................................................................................................................. 21

3.3 Exercícios de sala: ....................................................................................................................................... 22

3.4 TESTES: ....................................................................................................................................................... 23

4. FATORAÇÃO .................................................................................................... 29

4.1 Fator Comum .............................................................................................................................................. 29

4.2 Agrupamento ............................................................................................................................................. 29

4.3 Diferença de dois Quadrados ..................................................................................................................... 29

4.4 Trinômio Quadrado Perfeito ...................................................................................................................... 29

4.4.1 Trinômio quadrado da forma cbxax 2 ........................................................................................ 29

4.5 Principais Produtos Notáveis ...................................................................................................................... 29

4.6 Exercícios.................................................................................................................................................... 32

4.7 TESTES ........................................................................................................................................................ 36

5. PÔLINÔMIOS ................................................................................................... 39

5.1 Função Polinomial: ..................................................................................................................................... 39

5.1.1 Definição: ................................................................................................................................................... 39

5.2 Polinômio Idêntico a Zero ou Identicamente Nulo: .................................................................................... 40

5.3 Polinômios Idênticos:.................................................................................................................................. 40

5.4 Valor Numérico de um Polinômio:.............................................................................................................. 42

5.5 Adição e Subtração de Polinômios: ............................................................................................................ 43

5.5.1 Adição: ....................................................................................................................................................... 43

5.5.2 Subtração: .................................................................................................................................................. 43

5.6 Multiplicação de Polinômios: ..................................................................................................................... 44

5.7 Divisão de Polinômios: ............................................................................................................................... 45

5.7.1 Método dos Coeficientes a Determinar – Método de Descartes ............................................................... 45

5.7.2 Divisão de Polinômio por Binômios do 1o Grau: ........................................................................................ 47

5.7.3 Divisão de )(xP por )( bax , 0a ............................................................................................. 48

5.7.4 Dispositivo Prático de Briot-Ruffini: ........................................................................................................... 49

5.8 Equações Polinomiais: ................................................................................................................................ 50

5.8.1 Decomposição de um polinômio em fatores do 1o grau: ........................................................................... 50

5.8.2 Raízes Múltiplas: ........................................................................................................................................ 50

5.8.3 Teorema das Raízes Racionais: ................................................................................................................... 51

5.9 Exercícios .................................................................................................................................................... 53

6. TRIGONOMETRIA ............................................................................................ 66

6.1 Trigonometria Básica ................................................................................................................................. 66

6.1.1 Tabelas ....................................................................................................................................................... 66

6.1.2 QUADRANTES ............................................................................................................................................. 66

6.1.3 Relações Trigonométricas Fundamentais .................................................................................................. 66

6.2 Exercicios de Sala ....................................................................................................................................... 67

6.3 Operação com Arcos .................................................................................................................................. 73

6.3.1 Adição e Subtração: ................................................................................................................................... 73

6.3.2 Arco Duplo .................................................................................................................................................. 73

6.3.3 Arco Metade............................................................................................................................................... 73

6.3.4 Transformação em produto ....................................................................................................................... 73

7. LOGARITMOS .................................................................................................. 74

7.1 Logaritmo decimal ( base 10 ) : .................................................................................................................. 75

7.2 Logaritmo neperiano ( base e ) : ................................................................................................................ 75

7.3 Consequências da Definição: ...................................................................................................................... 75

7.4 Propriedades: ............................................................................................................................................. 75

7.5 Mudança da base a para a base b : ......................................................................................................... 76

7.6 Exercícios de Sala ....................................................................................................................................... 76

Matemática Básica Profa Paula Benevides

5

1. FRAÇÕES

1.1 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO

3

2

2

3

8

1

3

2

4

1

1.2 MULTIPLICAÇÃO

5

3

7

2

5

2

2

1

1.3 DIVISÃO

3

2

7

5

5

2

3

=

3

2

5

1.4 NÚMERO MISTO

5

43

2

11

1.5 CONVERSÃO DE NÚMERO

DECIMAIS EM FRAÇÃO

0,32 =

1,315 =

0,2 =


6

1.6 TESTES

1) 16

5

8

3

4

1 é igual a:

a) 8

5

b) 16

13

c) 16

5

d) 5

8

e) n.d.a.

2) Efetuando 9

214,0

3

21

obtém:

a)3

95

b) 5

c) 3

d) 55

93

e) n.d.a.

3) (MARÍLIA) - Os fatores primos de 1008 são:

a) 1, 2, 3, 4, 7, 9

b) 1, 24, 32, 7

c) 2, 3, 7

d) 24, 32, 7


7

4) A fração equivalente a 16

9 que tem numerador 54 é:

a) 16

54

b) 96

54

c) 66

54

d) 116

54

e) n.d.a.

5) (PUC) – O valor da expressão 2

1

8

1

8

2 é:

a) 16

3

b) 16

5

c) 8

1

d) 4

3

e) n.d.a.

6) Efetuando-se 4

11

5

12

10

34

obtém-se:

a) 8

65

b) 5

15

c) 8

18

d) 5

13

e) 2

140


8

7) (FMU) - O valor de

2

11

5

1

3

2

4

3 é:

a) 120

17

b) 102

5

c) 12

10

d) 15

17

e) n.d.a.

8) Calculando-se 5

22222 encontra-se:

a) 17

11

b) 5

11

c) 17

21

d) 17

12

e) n.d.a.

9) (FMU) – Efetuando-se 10

6

3

51

6

13

tem-se:

a) 2

3

b) 6

27

c) 2

d) 12

5

e) 6

14


9

10) (PUC) – Uma firma gasta mensalmente 6.000 reais com material de escritório, 32

dessa quantia com serviços de terceiros e 41 dela com transporte. O gasto em reais

mensal em conjunto nesses três itens é:

a) 10.000 b) 11.500 c) 12.000 d) 15.000 e) 16.000

11) Se )]}24(31[28{24 x então o valor de x1 é igual a:

a) 0

b) 2

1

c) – 2

d) – 3

1

e) não existe

12) (BRASÍLIA) – A expressão

5

11

31

5

11

11

é equivalente a:

a) 2

3

b) 3

2

c) 3

1

d) n.d.a.


10

13) Resolvendo

9

7

3

42

4

3

3

2

2

1 temos resultado igual a:

a) 3

5

b) 3

1

c) 3

4

d) 3

2

e) 3

14) 3

4

3

2

5

1 é igual a:

a) 10

b) 10

1

c) 5

2

d) 2

10

e) n.d.a.

Gabarito

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 - c d c b b b b b e

1 b e a c c - - - - -


11

2. POTENCIAÇÃO

2.1 REGRA DE SINAIS:

25 =

( – 2 )4 = – 2 4 =

( – 2 )5 =

2.2 CASOS PARTICULARES:

30 =

110 =

2.3 PROPRIEDADES

Produto de potências de mesma base: mantém a base e somam-se os expoentes

53 22

32 xx

4523 yxyx

Divisão de potências de mesma base: mantém a base e subtrai-se os expoentes.

3

5

2

2

4

2

3

3

7

3

a

a


12

Produto elevado a uma potência: eleva-se cada fator a essa potência.

2)2( x

5)3( xy

Potência elevada a outra potência: tem por expoente o produto dos expoentes.

32 )(x

252 ))((x

523 )2( yx

Potência de fração: eleva-se, separadamente, o numerador e o denominador à potência.

2

3

2

3

2

y

x

2

4

3

Potências de 10:

As potências de base 10 são formadas pelo algarismo 1 seguido de zeros da quantidade do número do expoente.

Se tivermos o expoente negativo, basta que coloquemos esse resultado no denominador de uma potência cujo numerador é o 1. Podemos ainda escrevê-lo na forma decimal, sendo que o número do expoente indica a quantidade de dígitos após a vírgula.

310

2102

230000

310

00012,0


13

Potências de ordem superior: Cuidado, potência de ordem superior é diferente de potência elevada a outra potência.

232

323

Potências de números decimais:

2)2,1(

2)13,0(

2)03,0(

2)003,0(

2)03,0(

3)2,0(

Quantas casas decimais terá 60)25,1( ?

2.4 EXERCÍCIOS DE SALA:

1) 32

2) 42

3) 2)5(

4) 3)5(

5) 322

6) 13 )2(

7) 1053 452)3(

8) 4103,2


14

9) 4)02,0(

10) Achar a metade de 222

2.5 TESTES

1) 50 é igual a: a) 2 b) 5 c) 1 d) 0 e) n.d.a

2) 0820 )32( é igual a:

a) 528 b) 5 c) 6 d) 1 e) n.d.a

3) A expressão 0

62 3

4

12

é igual a:

a) 2 b) – 1 c) – 2 d) 3 e) ¼

4) 0,0038 pode ser representado por: a) 38 . 104 b) 3,8 . 10 –3 c) 38 . 10 – 5 d) 3,8 . 103 e) n.d.a

5) (23 . 34).(25 . 32) é igual a:

a) 815 3.2

b) 28. 36 c) 22 . 32 d) 614 e) n.d.a


15

6) 3)5( é igual a:

a) 125 b) – 125 c) – 15 d) 15 e) n.d.a

7) 23

47

yx

yx é igual a:

a) x4y2 b) xy2 c) x10y6 d) xy e) n.d.a

8) (23)4.(24)3 é igual a: a) 224 b) 214 c) 2 d) 20 e) 2.(23)4

9) (x3y4)2 : [x (y2)3] vale: a) x4y b) x5y2 c) x3y2 d) x7y14 e) n.d.a

10) (PUC) - O valor de 4

3

10

10

é:

a) 10 – 7 b) 107 c) 10 –1 d) 101 e) n.d.a

11) 322 é igual a:

a) 26 b) 64 c) 28 d) 25 e) n.d.a


16

12) O valor de 0,025 dividido por 4102 é:

a) 12, 5 b) 1,25 c) 125 d) 0,125 e) n.d.a

13) (LONDRINA) – O valor da expressão

12

2

3

6

5

3

2

4

1

é:

a) 3

1

b) 9

4

c) 3

2

d) 2

3

e) 4

9

14) Simplificando )84()42( 2232 , obtém-se:

a) 54

1

b) 16

1

c) 8

3

d) 11

3

e) 5

17

15) ])3()2(2[ 346 é igual a:

a) 64 b) 32 c) 45 d) –21 e) n.d.a


17

16) 30 2033 :)( aaa é igual a:

a) 7a

b) 7a

c) 8a

d) 8

1

a

e) 6a

17) (S.CARLOS) – A expressão 11

22

ba

ba é equivalente a:

a) ab

ba

22

b) )(

22

abab

ab

c) ba

11

d) ba

Questões abertas:

18) A expressão 18223 13:64 vale:

19) 3210 2223 x o valor de x é:

20)

2

2

15

1

5

1

3

55

vale:


18

21) (LONDRINA) – Se

233

2

3

3

1

3

11

x , então 27x é:

22)

4

4

3

2

2

1

27

125

3

12

vale:

23) Assinale cada questão com V ou F ( ) 0,0035 = 3,5 . 10 – 3

( ) (22)3 =28

( ) (0,2)3 = 0,008

( ) (0,2) – 3 =

8

103

( ) (-23)2 = 64

( ) 4

4

3 1x

xx

x

( ) 2 – 3 = 6

1

Gabarito

23) V – F – V – V – V – F – F

- 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 - C D B B B B A A B

1 B C C C E D A B 69 07

2 25 77 01


19

3. RADICIAÇÃO

3.1 PROPRIEDADE DOS RADICAIS:

nnn baba n

n

n

b

a

b

a

n nn baba n mmn aa nnm m aa .

nmm n aa . q

p

q p aa

1) 364

2) 28

3) 33 39

4) 33

5) 12

6) 25

16

7) 12

18

8) 3

3

2

54

9) 35

10) 32 x

11) 2

7 3

12) 23 2

13) 2

2

14) 4 23


20

15) 6 35

16) 8 81

17) 4 25

18) 3 2

19) 3

20) 3 32

21) 22232

22) 2312

23) 2712

24) 5028182

25) 7

5

3 =

26) 3

27) 3 25

28) 2

3

5 =

29) 2

1

2 =


21

3.2 RACIONALIZAÇÃO DE FRAÇÕES

Racionalizar um denominador irracional é fazer com que não tenha radical, nem

expoente fracionário.

Denominador monômio: y

yx

y

x Multiplica-se e divide-se por y ,

denominado fatora de racionalização.

Quando o índice é maior que 2: y

yx

p

xq pq

q p

, fator de racionalização :

q pqy

Denominador Binômio:

ba

baN

baba

baN

ba

N

2

Multiplica-se e divide-se pelo conjugado do denominador

1) 5

3

2)

x

x

3

1

3) 32

1

4) 5 3

1

x

5) 10 753

2

6) 4 35

3


22

7) 632

1

8) 2211

1

9) 3223

5

3.3 EXERCÍCIOS DE SALA:

1) 21

3

=

2) x

x

5

3) 32

2 =

4) 3

2

5) 352

x

6) 5 32

5

7) 34 33


23

3.4 TESTES:

Associar a cada uma das operações à direita um resultado da esquerda (01 a 05)

1) 24 3.2 a) 8

2) 62 b)

32

3) 28 c) 12

4) 9

4 d)

34

5) 25

16 e)

54

6) (FMU) – O valor da expressão 402 1652 é:

a) – 5 b) 5 c) 0

d) 4

3

e) 2

1

7) 4

81

625 é igual a:

a) 81

5

b) 3

625

c) 9

25

d) 3

5

e) 9

25


24

8) 832523 vale:

a) 25

b) 88

c) 22

d) 628

e) n.d.a

9) 44 555 é igual a:

a) 4 35

b) 12 25

c) 1 d) 5

e) 64 25

10) 2683 é igual a:

a) 212

b) 218 c) 36

d) 818

e) 72

11) (CEFET-PR) - 31

31

21

aaa

, a número real positivo, é o mesmo que:

a) 131

a

b) 161

a

c) a

a )1( 61

d) 131

a

12) 7 52 é equivalente a:

a) 57

2

b) 75

2

c) 122

d) 5 72


25

13) O valor de

1

3

3

a

aé:

a) 3 a

b) a

c) 6 a

d) 3

3a

14)

13 8

apode ser escrito:

a) 2

a

b) a

2

c) a

2

d) 2

a

15) 4 b

b

pode ser escrito:

a) 34

b

b) 43

b

c) 43

b

d) 34

b

16) xx

x

2

1

1

é igual a:

a) xx 21

b) xx 21

c) x

d) 1 e) n.d.a


26

17) 39

6

b

a pode ser escrito:

a) b

a

b) b

a2

c) 32ba

d) 1

18) Racionalizando 21

21

temos:

a) 322

b) 322

c) 21

d) 21

19) O valor de aaa 27121434 é:

a) a335

b) a3

c) a321

d) impossível

20) Efetuando-se 4 3 8x resulta:

a) 78

x

b) x

c) 83

x

d) 31

x

21) (CEFET-PR) – Calculando-se 4)21( , obtém-se:

a) 241 b) 9

c) 21217

d) 21712

e) 229


27

22) (SERGIPE) – O valor da expressão 97854 é:

a) 8

b) 73

c) 141

d) 316

23) Relacionado 35

2

temos:

a) 35

b) 35

c) 2

d) 8

24) Racionalizando 7 2

2 temos:

a) 32

b) 7 64

c) 2

27

d) 7 16

25) (LONDRINA) – O valor da expressão 1,05,2 10249 é:

a) – 83 b) – 81 c) 241 d) 243 e) 254

26) 432 equivale a:

a) 8 24

b) 4 24

c) 6 24

d) 3 192


28

Questões abertas:

27) O resultado de 363 24933 é:

28) (FEI) 11

32

2

11

=

29) O valor da expressão 223212

é igual a:

Gabarito

- 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 - C A A B E D D C D

1 E B B C D B D C B C

2 D C B A B C B 1 0 2


29

4. FATORAÇÃO

4.1 FATOR COMUM

)( yxaayax

4.2 AGRUPAMENTO

))(( yxnmnynxmymx

4.3 DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS

))((22 yxyxyx

4.4 TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO

222 )(2 bababa

e

222 )(2 bababa

4.4.1 Trinômio quadrado da forma cbxax 2

Supondo sejam 1x e 2x as raízes reais do trinômio )0(2 acbxax , então:

))(( 212 xxxxacbxax

4.5 PRINCIPAIS PRODUTOS NOTÁVEIS

a) 22))(( bababa

b) 222 2)())(( bababababa

c) 222 2)())(( bababababa

d) 32233 33)( babbaaba

e) 32233 33)( babbaaba

f) 3322 ))(( babababa

g) 3322 ))(( babababa


30

Exemplos:

Fatorar ou simplificar as expressões abaixo:

1)

xx

xxx

3

122

23

2)

h

h 25)5( 2

3)

xx

x

2

42

2

4)

2012

652

2

xx

xx

5)

6

442

2

tt

tt

6)

y

y

y

y

11

11


31

Desenvolva os produtos notáveis e reduza os termos semelhantes:

7) )1025()25( 2 zz

8) 2)13()13( 22 xx

9) 2)13()22( 22 xx

10) )3()3)(3( yxxxx

11) )5(2)35()35( 22 aaa

12) 22 )4()5)(5()32( xxxx

Fatore cada uma das expressões algébricas:

13) 1212x

14) 254 2z

15) )2()2( xbxa

16) dzczbxx

17) xbxcxdcdbd

18) 169262 zz


32

4.6 EXERCÍCIOS

1) Fatorar ou Simplificar:

a)

2

42

x

x

b)

45

232

2

xx

xx

c)

xx

xx2

3

d)

2

652

x

xx

e)

1

122

x

xx

f)

1

12x

x

g)

3

92

x

x

h)

6

342

2

xx

xx

i)

)3)(12(

)9)(43(2

22

xxx

xxx

j)

23

12

2

xx

x


33

k)

t

t 16)4( 2

l)

43

562

2

xx

xx

m)

36

62y

y

n)

23

42

2

xx

x

o)

1

12

3

x

x

2) Simplififque as expressões:

a)

2

111

1

1

1

tt

tt

b)

xx

x

xx

x

2

4

3

92

2

2

2


34

3) Racionalize o numerador ou denominador ou ambos, multiplicando pelo seu conjugado e se possível simplifique.

a)

2

452

x

xx

b)

21

3

x

x

c) )31( x

d) )43( 2 xxx

e)

4

2

x

x

f)

t

t 5325

g)

1

1

h

h


35

h)

4

)8(2 2

h

hh

i)

2

432

x

xx

j)

x

x 11

k) 11 22 xx

l)

21

3

x

x

m)

26

413

x

x

n)

t

abta2


36

o)

x

x

51

53

4.7 TESTES

4) 3 2

2

35

2

é igual a:

a) 3 435

b) 3 235

c) 3 235

d) 3 435

e) 3 435

5) (FUVEST) Qual o valor da expressão 13

13

13

13

:

a) 3

b) 4 c) 3 d) 2

e) 2

6) (F.M. SANTA CASA – SP) A soma 1)12(3)12(3)12(1 23 xxx

equivale a:

a) 38x

b) 32x

c) 18 3 x

d) 2128 23 xx

e) 66128 23 xxx


37

7) (F.G.V. – SP) A expressão 3

32322 E tem como valor:

a) 1

b) 2

c) 3

d) 6

e) 5

8) (UFGO) Simplificando 22

23 )(2)(

yx

xyyyx

temos:

a) yx

yx

2)(

b) 22yxyx

c) yx

d) yx

e) yx

yx

22

9) (F.G.V. – SP) Simplificando a expressão 6

223

)3(

)3()2(3)3)(2(2

x

xxxx,

obtêm-se:

a) 3)3(

)2(

x

xx

b) 3)3(

)2(

x

xx

c) 4)3(

)2(

x

xx

d) 4)3(

)2(

x

xx

e) 4)3(

)2(5

x

xx


38

10) (MED – JUNDIAÍ) O valor numérico da expressão baabba 2233 33 para

3

3

2

23 a e

3

3

2

23 b é:

a) 293

b) 293

c) 8

d) 5.13

e) 32

Gabarito

1) Fatorar ou Simplificar:

a) 2x b) 4

2

x

x c) x1 d) 3x e) 1x f)

1

1

x g) 3x

h) 2

1

x

x i) 1x j)

2

1

x

x k) t8 l)

4

5

x

x m)

6

1

y n)

1

2

x

x

o) 1

12

x

xx

2) Simplifique as expressões; a) )1()1(

22

3

tt

t b)

x

x 52

3) Racionalize o numerador ou denominador ou ambos, multiplicando pelo seu conjugado e se possível simplifique.

a) )2)(1( xx b) )21( x c) 31

4

x

x d)

xxx

x

43

43

2

e) 2

1

x f)

5325

3

t g)

1

1

h h)

hh

h

)8(2

42

i) )2)(1( xx j) 11

1

x k)

121

2

2 xx

l) )21( x m) x

x

413

)26(4

n)

abta

b

2 o)

x

x

53

)51(1

4 5 6 7 8 9 10

A B C D C D E


39

5. PÔLINÔMIOS

5.1 FUNÇÃO POLINOMIAL:

5.1.1 Definição:

Dados os números reais ,,,,,,121 onn

aaaaa

chamamos de polinômio na

variável x toda expressão da forma:

NnaxaxaxaxaxP nnn ,...)(01

2

2

11

0

Onde xaxaxaxa n

n

n

n 1

2

2

1

1,,,

e

0a são os termos e

121,,,, aaaa

nn

e

0a são

os coeficientes do polinômio.

Observações:

Se 0n

a , o expoente máximo n é dito grau do polinômio e indicamos nPgr )(

Se 0)( xP , não se define o grau do polinômio.

Exemplos:

1) Assinale as expressões que representam polinômios?

( ) 13 3 xx

( ) 311

xx

( ) 53 23 xx

( ) 735 xx

( ) xx 4

2) Em função das variáveis mk, ou a , determinar os graus dos seguintes

polinômio:

a. 73)( 2 xkxxP


40

b. 46)( 23 xmxkxxP

c. xxaxaxP 3)1()1()( 232

5.2 POLINÔMIO IDÊNTICO A ZERO OU IDENTICAMENTE NULO:

É qualquer polinômio 01

2

2

11

0...)( axaxaxaxaxP nnn

em que todos

os coeficientes são nulos.

0,...,0,00)(11

aaaxP

nn e 0

0a

Notação: 0)( xP

5.3 POLINÔMIOS IDÊNTICOS:

Dados os polinômios 01

2

2

11


e

01

2

2

11

02...)( bxbxbxbxbxP nnn

, dizemos que )(1

xP é idêntico a )(2

xP se,

e somente se, 1111

,,, bababannnn

e

00ba .

Assim:

111121

,...,,)()( bababaxPxPnnnn

e 00

ba

Exemplos:


41

1) Determinar a e b para que o polinômio abxaxaxP ).1().1()( 22 seja

identicamente nulo.

2) Determinar nm, e p para que pnxnmxnmxP ).1().3()( 2 seja

identicamente nulo.

3) Calcular os valores de m e n , de modo que )().(3 22 nmxxnmxx


42

5.4 VALOR NUMÉRICO DE UM POLINÔMIO:

O valor numérico do polinômio 01

2

2

11


, para

x igual a um número qualquer é: 01

2

2

1

1...)( aaaaaP n

n

n

n

.

Na prática, para obter )(P , basta substituir x por em )(xP .

Observações:

Quando 0)( P , é raiz de )(xP .

Exemplo: Verifique se os números 2 e 3 são raízes de 65)( 2 xxxP

Como nn ,1)1( , )1(P é a soma dos coeficientes de )(xP .

Exemplo: Se 14235)( 224 xxxxxP , então )1(P _______________ é a

soma dos coeficientes de )(xP .

)0(P é igual ao termo independente de )(xP .

Exemplo: Sendo caxaxaxxP 23)( e 7)0( P , determine a para que 1

seja raiz de )(xP .


43

5.5 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE POLINÔMIOS:

5.5.1 Adição:


2

2

11


e

01

2

2

11

0...)( bxbxbxbxbxQ nnn

, a soma de )(xP com )(xQ é dada por:

)()(...)()()()(0011

1

11baxbaxbaxbaxQxP n

nn

n

nn

5.5.2 Subtração:


2

2

11


e

01

2

2

11

0...)( bxbxbxbxbxQ nnn

, a diferença entre )(xP e )(xQ é dada por:

)()(...)()()()(0011

1

11baxbaxbaxbaxQxP n

nn

n

nn

Observação:

Os polinômios )(xP e )(xQ não precisam ser necessariamente do mesmo grau.

Exemplos:

1) Dado os polinômios 873)( 23 xxxxP e 762)( 23 xxxxQ , determine

)(3)(2 xQxP

2) Classificar em verdadeira (V) ou falsa (F) as afirmações:

( ) Se )(xP e )(xQ são polinômios de mesmo grau 5, então )()( xQxP tem sempre

grau 5.

( ) Se )(xP e )(xQ são polinômios de mesmo grau 3, então )()( xQxP e tem

sempre grau 3.

( ) Se )(xP tem grau 5 e )(xQ e tem grau 3, então )()( xQxP tem grau 5


44

5.6 MULTIPLICAÇÃO DE POLINÔMIOS:

O produto dos polinômios )(xP e )(xQ é o polinômio )().( xQxP , obtido

multiplicando-se cada termo de )(xP por todos os termos de )(xQ e efetuando a redução

dos termos semelhantes.

Exemplos:

1) Se 1)( 23 xxxxP e 1)( xxQ , então )().( xQxP

2) Dados 1)( 2 xxxP e baxxQ )( determine a e b para que

12)().( 23 xxxxQxP

3) Dados 1)( 3 xxP e baxxQ 2)( , determinar a e b, sendo 3)0().0( QP e

5)1( Q .


45

5.7 DIVISÃO DE POLINÔMIOS:

Dados os polinômios A(x) e B(x), não identicamente nulos, dividir A(x) por B(x) é

obter os polinômios Q(x) e R(x) que satisfaçam as seguintes condições:

A(x) | B(x) .

R(x) Q(x)

A(x) B(x).Q(x) + R(x) e R(x) 0 ou gr(R) < gr(B)

Observações:

A(x) é o dividendo B(x) é o divisor Q(x) é o quociente R(x) é o resto

Quando R(x) = 0, dizemos que A(x) é divisível por B(x), ou que a divisão é exata Temos sempre gr(Q) = gr(A) – gr(B)

Exemplo:

Usando o Método da Chave, determine o quociente e o resto da divisão de

43)( 23 xxxA por 1)( 2 xxB

5.7.1 Método dos Coeficientes a Determinar – Método de Descartes

Já vimos que, na divisão A(x) por B(x):

A(x) | B(x) .

R(x) Q(x)

Temos:

)()(

)()()(

)()().()(

BgrRgr

BgrAgrQgr

xRxQxBxA

Essas relações podem ser usadas como recursos para determinar os coeficientes

de um polinômio em uma divisão.


46

Exemplos:

1) Determinar o quociente e o resto da divisão de 232)( 23 xxxxA por

1)( 2 xxxB

Temos:

O quociente é um polinômio do primeiro grau, pois:

)()()( BgrAgrQgr _________________________________

Logo:

Q(x) = _______________________________________________

Como )()( BgrRgr , sendo o divisor 1)( 2 xxxB , então )(Bgr _____ e

)(Rgr ____, isto é, o resto tem, no máximo, grau __________:

)(xR __________________________

Como )()()()( xRxQxBxA , podemos escrever:

Comparando ambos os membros, temos:

Logo:

)(xQ _____________________________ e )(xR ____________________

2) Determinar k , de modo que 33 kxx seja divisível por 1x


47

3) Determinar k e m de modo que kxmxxx 234 3 seja divisível por xx 32

5.7.2 Divisão de Polinômio por Binômios do 1o Grau:

5.7.2.1 Teorema do Resto:

O resto da divisão de P(x) por (x – a) é P(a):

P(x) = (x – a).Q(x) + R

Fazendo x = a, vem:

P(a) = (a – a). Q(a) + R

P(a) R

5.7.2.2 Teorema de D’Alembert

Um polinômio P(x) é divisível por (x – a) se, e somente se, P(a) = 0

P(x) = (x – a).Q(x) + 0

Fazendo x = a, vem:

P(a) = (a – a). Q(a) + o

P(a) = 0

Exemplos:

1) Determinar k, de modo que o resto da divisão de 43)( 23 kxxxxP por 2x

seja 10.


48

2) Calcular a e b, de modo que os polinômios baxxxP 3)( 2 e

baxxxQ 2)( 3 sejam divisíveis por 1x

5.7.3 Divisão de )(xP por )( bax , 0a

Temos:

P(x) | ax + b

R Q(x)

Como ax + b é de grau 1, R é de grau 0, e, portanto, uma constante.

Fazendo a

bx em RxQbaxxP )().()( , vem:

Ra

bQb

a

ba

a

bP

Ra

bP


49

Logo, o resto da divisão de )(xP por )( bax é

a

bPR

Exemplo:

Determinar k, de modo que 2)( 23 kxxxxP seja divisível por 12 x

5.7.4 Dispositivo Prático de Briot-Ruffini:

O Dispositivo Prático de Briot-Ruffini é utilizado para determinar o quociente e o

resto da divisão de um polinômio P(x) pelo binômio (x – a)

Exemplos:

1) Obter o quociente e o resto da divisão de 327343)( 2345 xxxxxxP por

)1( x

Q(x)=____________________________ e R(x)=_____________________________

R (x)

Repetir o primeiro coeficiente

valor de a

Coeficiente de P(x)


50

2) Determinar o quociente e o resto da divisão de 5252)( 34 xxxxP por )3( x .

Obs.: Quando escrever os coeficientes de P(x), não esquecer dos coeficiente nulos.

Q(x)=___________________________ e R(x) =________________________________

5.8 EQUAÇÕES POLINOMIAIS:

Equação polinomial ou algébrica é toda equação redutível a forma:

0...01

2

2

1

1

axaxaxaxa n

n

n

n

Chamamos de zero ou raiz de uma equação polinomial 0)( xP todo o número

tal que 0)( P .

5.8.1 Decomposição de um polinômio em fatores do 1o grau:

Se 0)( xP é de grau n )1( n e tem raízes n

,...,,21

, então )(xP pode ser

decomposto em n fatores do 1o grau, sendo an (1

aan ) o fator em evidência:

))...()((...2101

2

2

1

1 nn

n

n

n

nxxxaaxaxaxaxa

5.8.2 Raízes Múltiplas:

As raízes de uma equação algébrica podem ser todas distintas ou não.

Se uma equação algébrica tiver duas raízes iguais, a raiz terá multiplicidade 2, isto

é, será uma raiz dupla; se tiver três raízes iguais, a raiz terá multiplicidade 3, isto é, será

uma raiz tripla e assim sucessivamente.

Se o número for uma só vez raiz de uma equação algébrica ele será chamado

raiz simples ou raiz de multiplicidade 1.


51

Exemplos:

1) Determinar a multiplicidade das raízes 1, 2 e – 3 na equação

01244593224 23456 xxxxxx

5.8.3 Teorema das Raízes Racionais:

Dada a equação polinomial com coeficientes inteiros

0...01

2

2

1

1

axaxaxaxa n

n

n

n se o número racional

q

p(com Zp e

*Zq ,

p e q primos entre si), então p é diviso r de a0 e q é divisor de an

Exemplos:

1) Resolver a equação 064 23 xxx

Na equação, temos: an = _______ e a0 = __________

Se p, é divisor de a0, então p {________________________________________}

Se q, é divisor de an, então q {________________________________________}

Os possíveis valores das raízes racionais são dados pela razão q

p, logo:

q

p{ ______________________________________________________________ }

Se existirem raízes racionais na equação dada, elas pertencem ao conjunto acima.


52

2) Resolver a equação 0615452 234 xxxx


53

5.9 EXERCÍCIOS

1) Calcule m R de modo que o polinômio 75).1().1()( 2243 xxmxmxP

seja do 1o grau em relação xa .

2) Determine m R, para que o polinômio 4).4().16()( 22 xmxmxP seja de

grau 2.

3) Calcule os valores de m, n e l para os quais

)23().25().12()( 23 lxnxmxP seja identicamente nulo.

4) Dados cxbxaxA ).1().1()( 2 e cbxaxxB 3)( 2 , calcule a, b e c para

que A(x) + B(x) 0


54

5) Determine os valores de m, n e p, de modo que os polinômios abaixo sejam idênticos

nxpnmxxpxpnmxP )()1()()( 2341

mmxxpmxxP 25)72(2)( 232

6) Determine os valores de a, b, c e d para que o polinômio )()( 3 dxbcxa seja

idêntico ao polinômio 14156 23 xxx

7) Dado o polinômio 14)( 23 xxxxP , calcule:

a) )2(P

b) )0(

)1()1(

P

PP


55

c)

2

12

)0(3

1

P

PP

8) Ache o polinômio )(xP do segundo grau em x, sabendo que admite 2 como raiz e

2)1( P e 4)3( P .


56

9) Se 18313224512)( 23456 xxxxxxxP , então )15(P é igual a :

10) Dados os polinômios 32)( 231 nxmxxxP e 3)( 2

2 xxxP , se )(1 xP é

divisível por )(2 xP , então nm é igual a:

11) Dividindo um polinômio )(xP por )3( x , resulta um resto 7 e um quociente de

4x . Qual é )(xP ?

12) A divisão do polinômio )(xP por )( ax fornece quociente 1)( 23 xxxxQ e

resto 1)( aP . Sabendo-se que 15)0( P , o valor de a é:


57

13) Dados os polinômios mxxmxP 23)3()( 3 e

xmxmxmxQ )32()2()1()( 23 , determine )().( xQxP de modo que

1)( QPgr .

14) Sabendo-se que 43

105

14 2

xx

x

x

B

x

A, calcular A e B.

15) Se 64242

12

x

B

x

A

xx

x, então 2A + B é igual a:


58

16) Efetue a decomposição da fração, em soma de frações com denominadores do 1o grau.

a) 65

132

xx

x

b) xxx

xx

23

416923

2


59

17) Um polinômio cbxaxxxP 23)( que satisfaz as condições: 0)1( P ;

0)()( xPxP , qualquer que seja x real. Qual o valor de )2(P ?

18) O resto da divisão do polinômio xxxxxxxP 392781243)( , por 1x é:


60

19) Dados os polinômios 5102)( 23 xxxxA , 44)( 3 xxxB , 3)( xxC e

2)( xxD , determine o valor de:

)(

)()(2)(

xC

xDxbxA

20) Determine o valor de a para que o resto da divisão do polinômio 12)( 3 xaxxP

por )3( x seja 4.

21) Qual é o número real que se deve adicionar a xxxxP 23 2)( , para se obter um

polinômio divisível por 3x ?

22) Aplicando o dispositivo prático de Briot-Ruffini, calcule o quociente e o resto da divisão de:

a) 1325)( 234 xxxxxP por )2( x


61

b) 12)( 23 xxxP por )1( x

c) 235)( 2 xxxP por )3( x

d) 154)( 45 xxxP por )1( x

e) 232)( 23 xxxxP por )12( x

f) 12)( 2 xxxP por )32( x

23) No esquema abaixo, foi aplicado o dispositivo prático de Briot-Ruffini, calcule P(x):

3 a b c d e

2 - 1 1 - 2 1


62

24) Resolver as equações algébricas abaixo:

a) 010132 23 xxx

b) 0183137 234 xxxx

c) 045 24 xx

d) 0122 23 xxx

e) 0313133 23 xxx


63

f) 08)2(10)4( 2 xxxx

g) xxx

xx

4

822

2

h) 06116 3456 xxxx

.

25) Determine todas as raízes da equação 0)( xP , sendo

629369)( 23

xxxxP . Sabe-se que é divisível por )3( x .


64

26) Uma raiz da equação 064 23 xxx é igual a soma das outras duas. As raízes dessa equação são:

27) Determine o produto das raízes da equação 06116 23 xxx

RESPOSTAS

1) 1m

2) 4m

3) 5

2;

2

1 nm e

2

3l

4) 2

1;

2

1 ba e 0c

5) 1m ; 2n e 3p

6) 1a , 3b , 2c e 2d

7) a) 329 b) - 10

c) 27

140

8) 2)( 2 xxxP

9) – 3 10) 8

11) 572 xx 12) 16

13) xxxxx 4342 2346


65

14) A = 2 e B = 3

15) 2

3

16) 3

10

2

7)

xxa

2

4

1

32)

xxxb

17) 6)2( P

18) 6

19) 22 xx

20) 3

1

21) – 12

22) a) 443)( 23 xxxxQ e 11)( xR

b) 12)( 2 xxxQ e 0)( xR

c) 185)( xxQ e 56)( xR

d) 14)( 234 xxxxxQ e 0)( xR

e) xxxQ 22)( 2 e 2)( xR

f) 2

1)( xxQ e

4

1)( xR

23) 75472)( 234 xxxxxP

24) a) }2;1;5{

b) }3;2;1{

c) }2;1;2{

d) }1;2

1;1{

e) }3;1;3

1{

f) }2;2{

g) }2{

h) }3;2;1;0{

25)

3;3

2;

3

1

26) }1;3;2{

27) P = 6


66

6. TRIGONOMETRIA

6.1 TRIGONOMETRIA BÁSICA

c

b

a adjacente cateto do medida

a oposto cateto do medida tg

a

c

hipotenusa da medida

a adjacente cateto do medida cos

a

b

hipotenusa da medida

a oposto cateto do medida sen

6.1.1 Tabelas

6.1.2 QUADRANTES

6.1.3 Relações Trigonométricas Fundamentais

x cotg 1 x cosecx tg 1 x sec

sen x

1 x cosec

xcos

1 x sec

xtg

1 x cotg

xcos

sen x x tg

1 cos sen

2222

22

xx

rad6

= 30°

rad4

= 45°

rad3

= 60°

rad2

= 90°

rad = 180°

30° 45° 60°

sen 21

22

23

cos 2

3 2

2 21

tg 3

3 1 3

0° 90° 180° 270° 360°

sen 0 1 0 -1 0

cos 1 0 -1 0 1

tg 0 ∄ 0 ∄ 0


67

6.2 EXERCICIOS DE SALA

1) Dado o triângulo retângulo da figura, calcule: a) sen

b) cos

c) tg

d) sen

e) cos

f) tg

2) Calcule a medida de x no triângulo


68



5) Sabendo que 5

4cos calcule a medida de x


69

6) Sabendo que 0,2senx e x 2°Q determine:

a) xcos b) tgx

c) xsec d) cosec x =

e) cotg x

7) Complete a tabela:

Graus

40 120 135 150 180 210

Radianos

5

10

3 3

5 12

3

20

Quadrante

1°


70

8) Calcule o valor da expressão:

3cos.

6cos

3

sen . 4

sen y


3cot.

6tg

3

cos . 4

sen y

g


3sec.

6tg

3

sen y


6sec.

6cosec

3

cotg . 4

tg3 y


71

12) Provar a identidade xsenxx 442 cos12cos

13) Provar a identidade xtgxsenx cos.cotgx-1

cossecx - x sec

14) Provar a identidade xxsenxx cos.cotcsc


72

15) Provar a identidade 12cos 244 xsenxsenx

16) tgbtgaba

tgbtga.

cotcot


73

6.3 OPERAÇÃO COM ARCOS

6.3.1 Adição e Subtração:

senb.cosa-sena.cosbb)sen(a

cos.cos.b)sen(a

asenbbsena

sena.senbcosa.cosbb)-cos(a

sena.senb-cosa.cosbb)cos(a

tga.tgb1

tgb-tgab)-tg(a

.1b)tg(a

tgbtga

tgbtga

6.3.2 Arco Duplo

atg

tga

asena

2

22

1

2tg2a

coscos2a

2sena.cosasen2a

6.3.3 Arco Metade

cos1

cos1

2

atg

2

cos1

2

acos

2

cos1

2

asen

a

a

a

a

6.3.4 Transformação em produto

2

.2

qp-2sencosq-cosp

2cos.

2

qp2coscosqcosp

2

cos.2

q-p2sensenq-senp

2cos.

2

qp2sensenqsenp

qpsen

qp

qp

qp


74

Gabarito: Exercício 1:

a) 0,8 b) 0,6 c) 1,33 d) 0,6 e) 0,8 f) 0,75

2) 310x

3) )13(5 x

4) 6x

5) 6,3x

Exercício 6:

a) 5

62

b) 12

6

c) 12

65

d) 5

e) 62

8) 2

9) 4

23

10) 4

3

11) 4

3


75

7. LOGARITMOS

7.1 LOGARITMO DECIMAL ( BASE 10 ) :

nn 10loglog

Quando a base não estiver escrita, subentende-se que a base vale 10

7.2 LOGARITMO NEPERIANO ( BASE E ) :

) irracional número ( 2,71828 e

Nlog Nln e

7.3 CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO:

7.4 PROPRIEDADES:

Mlog a

1 Mlog Mlog

Mlog a Mlog

)N

M(log Nlog Mlog

(MN)log Nlog Mlog

ba

1

ba

b

ba

b

bbb

bbb


76

7.5 MUDANÇA DA BASE A PARA A BASE B :

a log

log log

b

b NNa

7.6 EXERCÍCIOS DE SALA

1) Aplicando a definição, resolva as equações :

a) 2187log3x

b) 000000001,0logx

c) 001,0logln 2 ex


77

d) e

x1

ln1024log 2

e) 125log625

1log 55 x

f) 16log64

1log

2

4

1 x


78

g) )001,0(loglog)9(loglog 334 x

h) 2ln15log32log3 23 23

ex

2) Resolva as equações sabendo que 301,02log

a) 02,010 x


79

b) 52 1 x

c) 5log2 x


80

d) 1,05 12 x

e) 20010 1 x


81

f) 14log2

1

x

g) 12,0log.5

2log 3 x


82

h) 22

1log

8

1log x

3) Resolver as equações :

a) 2log 2 x

b) 3)2(log 32 x


83

c) 3)2(log 32 x

d) 18log 2 x

e) 18log 8 x


84

f) 1loglog 42 xx

4) Calcule o valor de )82(log 22 xxy quando:

a) 0x

b) 2x

c) 4x

d) 4x

5) Calcule : 5

7663

5432 49log1log1log525log4log3log8log


85

6) Calcule : 4

1log

1 2

210logln e

7) Resolva a equação 2loglog 333 xx

8) Resolva a equação 2

54loglog 4 xx


86

9) Resolva a equação xx 22 loglog

10) Resolva a equação 3log3log

32

xx xx


87

Gabarito: Exercício 1:

a) 7x

b) 9x

c) 5x

d) 2

21x

e) 1x

f) 5x

g) impossívelx

h) 10

5524 ex

Exercício 2:

a) 699,1x

b) 322,1x

c) 699,2x

d) 215,0x

e) 301,3x

f) 796,1x

g) 146,5x

h) 699,1x

Exercício 3:

a) 10

1x

b) 0x

c) 2

3x

d) 6x

e) 8

63x

f) 4x

Exercício 4:

a) Impossível

b) Impossível

c) Impossível

d) 4

5) 30

7

6) 4

5

7) 3

1x

8) 216 xex

9) 100x

10) 3

13 xex

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