03/03/2015

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FACULDADE METROPOLITANA DA AMAZNIA

MATEMTICA BSICA

Prof. Rodrigo Mendes Matemtico e Estatstico

Mestrando em Engenharia Eltrica (UFPA)

Especialista em Matemtica (UFPA) Ps graduando em Bioestatstica (UFPA)

Bacharel em Estatstica (UFPA) Licenciado em Matemtica (UFPA)

rodrigo.mendes@icen.ufpa.br

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4. METODOLOGIA 4.1 ENSINO APRENDIZAGEM - Aulas expositivas e dialogadas; -Leitura e discusso de textos; - Exerccios de fixao sobre os temas abordados;

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mailto:rodrigo.mendes@icen.ufpa.br

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Operaes fundamentais Adio Na adio os nmeros so chamados de parcelas, sendo a operao aditiva, e o resultado a soma Prof

. Ro

dri

go M

end

es

3

Adio Subtrao Multiplicao Diviso

2 + 2 = 4 Parcelas Adio Soma

Exemplos: 4,32 + 2,3 + 1,429 = Faa os Clculos a) 342 + 245 = b) 23 + 99 + 932 = c) 6754 + 9888 = d) 453 + 567 + 532 + 22 = e) 0,23 + 247 + 23,431 = f) 0,01 + 12, 01 + 123 = g) 23,23 + 34,01 + 1235 =

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Exemplos: 4,32 + 2,3 + 1,429 = 4,32 + 2,3 1,429 8,049 Faa os Clculos a) 342 + 245 = b) 23 + 99 + 932 = c) 6754 + 9888 = d) 453 + 567 + 532 + 22 = e) 0,23 + 247 + 23,431 = f) 0,01 + 12, 01 + 123 = g) 23,23 + 34,01 + 1235 =

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Parcelas

Soma

8,049

Observe que as parcelas so dispostas de modo que se

tenha vrgula sobre vrgula.

587 1054

16642 1574

270,661 135,02

1292,24

Subtrao Na subtrao os nmeros so chamados de subtraendo, sendo a operao a subtrao, e o resultado o minuendo

Exemplos: As regras para a subtrao so as mesmas da adio, portanto podemos utilizar os mesmos exemplos apenas alterando a operao Faa os Clculos a) 342 - 245 = b) 932 - 23 - 99 = c) 9888 - 6754 =

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3 - 2 = 1 Minuendo Subtraendo Diferena

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Subtrao Na subtrao os nmeros so chamados de subtraendo, sendo a operao a subtrao, e o resultado o minuendo

Exemplos: As regras para a subtrao so as mesmas da adio, portanto podemos utilizar os mesmos exemplos apenas alterando a operao Faa os Clculos a) 342 - 245 = b) 932 - 23 - 99 = c) 9888 - 6754 =

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3 - 2 = 1 Minuendo Subtraendo Diferena

97 810

3134

Multiplicao Na multiplicao os nmeros so chamados de fatores, sendo a operao multiplicativa, e o resultado o produto

Faa os Clculos a) 34 x 5 = b) 2 x 23 x 9 = c) 98 x 6 =

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22 X 3 = 66 Fatores Multiplicao Produto

170 414

588

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Multiplicao Na multiplicao os nmeros so chamados de fatores, sendo a operao multiplicativa, e o resultado o produto

Faa os Clculos a) 34 x 5 = b) 2 x 23 x 9 = c) 98 x 6 =

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22 X 3 = 66 Fatores Multiplicao Produto

170 414

588

Diviso Na diviso os nmeros so chamados de dividendo (a parte que est sendo dividida) e divisor (a quantia de vezes que esta parte est sendo dividida), a operao a diviso, e o resultado o quociente

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8 / 4 = 2 Dividendo (D) Diviso Divisor (d) Quociente(q)

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Diviso Na diviso os nmeros so chamados de dividendo (a parte que est sendo dividida) e divisor (a quantia de vezes que esta parte est sendo dividida), a operao a diviso, e o resultado o quociente

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8 / 4 = 2 Dividendo (D) Diviso Divisor (d) Quociente(q)

843 / 5 = 168,6 ou 168 com resto 3

843 5 1 3

4

6 5

30 4

3

8

40 -3-

Para verificar se o resultado verdadeiro basta substituir os valores

na seguinte frmula: D = d * q + r

843 = 5 * 168 + 3

Casos particulares da multiplicao e diviso Multiplicao

N * 1 = N N * 0 = 0

Diviso N / 1 = N N / N = 1 0 / N = 0 N / 0 =

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12 )()(:)(

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Multiplicao e diviso algbrica Sinais iguais resposta positiva Sinais diferentes resposta negativa

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Exerccios a) 12 * 3 =

b) (-12) * (-3) =

c) 2 * (-2) =

d) (-2) * 3 =

e) 42 =

f) 20(5)

=

g) (20)(5)

=

h) (20)5

=

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Frao: uma forma de se representar uma quantidade a partir de um valor, que dividido por um determinado nmero de partes iguais. Como que voc representaria a quantidade referente ao nmero 1 que foi dividida em 8 partes iguais?

Simplesmente atravs da seguinte frao: 18

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Generalizando, a frao

a representao genrica do valor a que dividido por b partes iguais, sendo b 0.

Em toda frao, o termo superior chamado de numerador e o termo inferior chamamos de denominador

Em nossa frao genrica temos que o termo a o numerador e o termo b o seu denominador.

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Numerador

Denominador

Apesar de matematicamente a forma correta de representao de uma frao ser

, por motivos tcnicos em funo das limitaes

da linguagem de marcao de hipertexto, geralmente utilizaremos a representao a/b.

Interpretao de Fraes Veja a figura acima, que foi divida em 16 partes iguais, 4 partes em vermelho e 12 partes em amarelo. Em termos de frao, podemos dizer que o 4 corresponde ao numerador da frao e que o 16 corresponde ao seu denominador.

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Podemos ento representar a seguinte frao: 4/16 Mas o que significa isto? A frao 4/16 pode significar que das 16 partes que compe a figura, estamos considerando apenas 4 delas, ou seja, estamos considerando apenas quatro dezesseis avos da figura.

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Frao prpria: A frao prpria quando o numerador menor do que o denominador:

4/16 , 3/5 , 120/210 , etc. Frao imprpria: quando o numerador maior que o denominador, sendo possvel represent-la por um nmero misto e reciprocamente:

10/7 , 5/3 , 12/10 , etc.

Exemplos: frao imprpria e nmero misto.

10/7 = 13

7 , pois 10

7 possui resto 3.

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Propriedades:

Multiplicando ou dividindo os termos de uma frao por um nmero diferente de zero obtm-se uma frao equivalente inicial. Exemplos: a) 1

2 = 12

22 = 2

4 b) 3

4 = 35

45 = 15

20

c) 2030

= 20:1030:10

= 23

d) 48 = 44

84 = 1

2

Fraes equivalentes:

a) 12 = 2

4= 4

8= 0,5 b) 3

4 = 15

20 = 0,75

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Soma algbricas e subtrao de fraes:

Reduzem-se ao menor denominador comum e somam-se algebricamente os numeradores. OBS: O menor denominador comum o m.m.c. dos denominadores. Exemplos: a) 1

2 + 1

3 = 3

6 + 2

6 =3+2

6 = 5

6

b) 12 + 5

6 - 2

3 = 3

6 + 5

6 - 4

6 =3+5 4

6 = 4

6 = 2

3

b) 112

- 34 + 4

3 - 2 = 1

12 - 9

12 + 16

12 - 24

12 = 1 9 + 16 24

12 = 16

12 =

4

3

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Multiplicao de fraes:

Multiplicam-se os numeradores entre si, da mesma maneira se faz com os denominadores. Exemplos: a) 1

2 * 3

5 = 3

10

b) (-14 ) * 1

2 = - 1

8

b) (-3)*(- 14 )*(- 2

7) = - 6

28 = 3

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Diviso de fraes:

Multiplica-se a frao dividendo pelo inverso da frao divisora. Exemplos: a) 1/2

1/3 = 1

2 * 3

1 = 3

2

b) (2

3)

1/2 = (- 2

3 ) * 2

1 =

4

3

c) 13/3(

9

4) = 13

3 * (- 4

9) = - 52

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Exerccios

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Razo: Chama-se de razo entre dois nmeros racionais a e b, com b 0, ao quociente entre eles. Indica-se a razo de a para b por a/b ou a : b. Exemplo: Na sala da 6 B de um colgio h 20 rapazes e 25 moas. Encontre a razo entre o nmero de rapazes e o nmero de moas. (lembrando que razo diviso)

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Proporo:

Denomina-se proporo a igualdade entre duas razes. Considerando a, b, c e d, diferentes de zero, podemos afirmar que eles constituem respectivamente uma proporo se:

a : b = c : d ou =

Nesse caso, a, b, c e d so chamados de termos da proporo.

Exemplo: Consideremos os nmeros 6, 8, 9, 12, vemos que a razo do primeiro para o segundo (6 : 8) e a razo do terceiro para o quarto (9 : 12) so iguais. Logo, pode-se escrever:

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Porcentagem: As fraes (ou razes) que possuem denominadores (o nmero de baixo da frao) iguais a 100, so conhecidas por razes centesimais e podem ser representadas pelo smbolo "%". O smbolo "%" lido como "por cento". "5%" l-se "5 por cento". "25%" l-se "25 por cento". O smbolo "%" significa centsimos, assim "5%" uma outra forma de se escrever 0,05, 5

100 ou 1

20 por exemplo:

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Veja as seguintes razes:

;

;

;

Podemos represent-las na sua forma decimal por:

0,01; 0,17; 0,41; 0,70 E tambm na sua forma de porcentagens por:

1%, 17%, 41%, 70%

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Como calcular um valor percentual de um nmero? Agora que temos uma viso geral do que porcentagem, como calcular quanto 25% de 200?

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Assim temos: 4% de 32 = 15% de 180 = 18% de 150 = 35% de 126 = 100% de 715 = 115% de 60 = 200% de 48 =

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Como transformamos uma razo ou frao em porcentagem?

Vimos que razes centesimais so um tipo especial de razo, cujo o denominador igual a cem e podem facilmente ser expressas na forma de porcentagem, simplesmente se eliminando o consequente ou denominador cem e inserindo o smbolo de porcentagem aps o antecedente ou numerador. Por exemplo:

Mas como transformamos a razo 3 : 15 em porcentagem?

3%

15 : 100 15%

Simplesmente realizando a diviso, encontrando assim o valor da razo, multiplicando-o por 100 e inserindo o smbolo de porcentagem sua direita, ou seja, multiplicamos por 100%:

3 : 15 = 0,2 = 20/100 = 20% Talvez voc no tenha percebido, mas podemos utilizar a transformao de uma razo em porcentagem para calcular quantos por cento um nmero de outro. Neste nosso exemplo 3 20% de 15. Dezoito quantos por cento de quarenta e cinco?

18 : 45 = 0,4 = 40/100 = 40%

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Para que serve o clculo da porcentagem? Razes so utilizadas para podermos comparar grandezas e em sendo a porcentagem uma razo, exatamente esta a utilidade da porcentagem. Digamos que a populao de uma cidade A cresceu de 100 mil para 125 mil em dez anos. Sabemos tambm que no mesmo perodo, a populao da cidade B passou de 40 mil para 50 mil habitantes. Qual das cidades teve um aumento populacional maior?

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Regra de trs simples Grandezas: tudo aquilo que pode ser medido, contado.

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Quantidade de gasolina (em litros)

Quantidade a pagar (em reais)

1 0,50

2 1,00

3 1,50

Nmero de alunos escolhidos.

Nmero de livros para cada aluno

2 12

4 6

6 4

Diretamente proporcional Inversamente proporcional

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Regra de Trs. Consta na histria da matemtica que os gregos e os romanos conhecessem as propores, porem no chegaram a aplica-las na resoluo de problemas. Na idade mdia, os rabes revelaram ao mundo a regra de trs. Nos sculo XIII, o italiano Leonardo de Pisa difundiu os princpios dessa regra em seu livro Lber Abaci, com o nome de Regra de Trs Nmeros Conhecidos. Regra de trs simples Regra de trs simples um processo prtico para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos trs deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos trs j conhecidos.

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Passos utilizados numa regra de trs simples Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espcie

em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espcies diferentes em correspondncia.

Identificar se as grandezas so diretamente ou inversamente proporcionais.

Montar a proporo e resolver a equao. Exemplos: a) Se 8m de tecido custam 156 reais, qual o preo de 12 m do mesmo tecido?

b) Um trem, deslocando-se a uma velocidade mdia de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?

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d) Um carro, velocidade de 60km/h, faz certo percurso em 4 horas. Se a velocidade do carro fosse de 80km/h, em quantas horas seria feito o mesmo percurso? Regra de Trs Composta A regra de trs composta utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais. Exemplo: a) Em 8 horas, 20 caminhes descarregam 160m3 de areia. Em 5

horas, quantos caminhes sero necessrios para descarregar 125m3?

b) Em 06 dias de trabalho, 12 confeiteiros fazem 960 tortas. Em quantos dias 04 confeiteiros podero fazer 320 tortas

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Definio de Conjuntos Numricos Ao agrupamento de elementos com caractersticas semelhantes damos o nome de conjunto. Quando estes elementos so nmeros, tais conjuntos so denominados conjuntos numricos. Neste tpico estudaremos os cinco conjuntos numricos fundamentais, que so os conjuntos numricos mais amplamente utilizados.

Conjunto dos Nmeros Naturais So todos os nmeros inteiros positivos, incluindo o zero. representado pela letra maiscula N. N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, ...}

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Conjunto dos Nmeros Inteiros So todos os nmeros que pertencem ao conjunto dos Naturais mais os seus respectivos opostos (negativos). So representados pela letra Z: Z = {... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}

Conjunto dos Nmeros Racionais Os nmeros racionais um conjunto que engloba os nmeros inteiros (Z), nmeros decimais finitos (por exemplo, 743,8432) e os nmeros decimais infinitos peridicos (que repete uma sequncia de algarismos da parte decimal infinitamente), como "12,050505...", so tambm conhecidas como dzimas peridicas Os racionais so representados pela letra Q.

Conjunto dos Nmeros Irracionais formado pelos nmeros decimais infinitos no-peridicos. Um bom exemplo de nmero irracional o nmero PI (resultado da diviso do permetro de uma circunferncia pelo seu dimetro), que vale 3,14159265 .... Atualmente, supercomputadores j conseguiram calcular bilhes de casas decimais para o PI. Tambm so irracionais todas as razes no exatas, como a raiz quadrada de 2 =1,4142135... Representado pela letra I. Conjunto dos Nmeros Reais formado por todos os conjuntos citados anteriormente (unio do conjunto dos racionais com os irracionais). Representado pela letra R.

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Conjunto vazio: um conjunto que no possui elementos. O conjunto vazio representado por { } ou .

Subconjuntos: quando todos os elementos de um conjunto A qualquer pertencem a um outro conjunto B, diz-se, ento, que A um subconjunto de B, ou seja A C B.

Unio de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como unio dos conjuntos A e B ao conjunto representado por A U B, formado por todos os elementos pertencentes a A ou B, ou seja: A U B = { x/x E A ou x E B}

A U B

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Interseco de Conjuntos: Dados os conjuntos A e B, define-se como interseco dos conjuntos A e B ao conjunto representado por A , formado por todos os elementos pertencentes a A e B, simultaneamente, ou seja: A = {/ }

A

Diferena de Conjuntos: Dados os conjuntos A e B, define-se como diferena entre A e B (nesta ordem) ao conjunto representado por A - B, formado por todos os elementos pertencentes a A, mas que no pertencem a B, ou seja:

= { }

A

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Exerccios (Ufes) Em uma farmcia as marcas de medicamentos mais consumidas, num certo dia, foram A, B e S. Os farmacuticos constataram que o consumo se deu de acordo com o quadro a seguir:

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Medicaes consumidas

Nmero de Consumidores

A 150 B 120 S 80

A e B 60 B e S 40 A e S 20

A, B e S 15 Outras 70

a) Quantos consumidores foram farmcia, nesse dia? b) Dentre os consumidores de A, B e S, quantos consumiram apenas duas dessas marcas? c) Quantos no consumiram a medicao S? d) Quantos no consumiram a medicao B nem a medicao S?

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Marcas consumidas

Nmero de Consumidores

A 150 B 120 S 80

A e B 60 B e S 40 A e S 20

A, B e S 15 Outras 70

SOLUO A B

S

15 20-15=5 40-15=25

60-15=45

80-5-15-25=35

120-45-15-25=35 150-45-15-5=85

Outras = 70

a) 85+45+35+5+15+25+35+70 = 315

a) Quantos consumidores foram farmcia, nesse dia? b) Dentre os consumidores de A, B e S, quantos consumiram apenas duas dessas marcas? c) Quantos no consumiram a medicao S? d) Quantos no consumiram a medicao B nem a medicao S?

b) 45+5+25 = 75 c) 85+45+35+70 = 235 d) 85+70 = 155

(Vunesp) Um estudo de grupos sanguneos humanos realizado com 1000 pessoas (sendo 600 homens e 400 mulheres) constatou que 470 pessoas tinham o antgeno A, 230 pessoas tinham o antgeno B e 450 pessoas no tinham nenhum dos dois. Determine o nmero de pessoas que tm os antgenos A e B simultaneamente.

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SOLUO A B

Outras = 450

X 470 - X 230 - X

(470 X) + X + (230 X) + 450 = 1000 470 X + X + 230 X + 450 = 1000

- X + 1150 =1000 - X = -150

X = 150

n(A B) = n(A) + n(B) n(AUB) n(A B) = 470 + 230 (1000-450) n(A B) = 700 550 n(A B) = 150

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(Unifap) O dono de um canil vacinou todos os seus ces, sendo que 80% contra parvovirose e 60% contra cinomose. O percentual de animais que foram vacinados contra as duas doenas de: a) 14% b) 22% c) 40% d) 68% e) 70%

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SOLUO

A B

X 80% - X 60% - X

(80% X) + X + (60% X) = 100% 80% X + X + 60% X = 100%

- X + 140% =100% - X = -40%

X = 40%

n(A B) = n(A) + n(B) n(AUB) n(A B) = 80% + 60% 100% n(A B) = 140% 100% n(A B) = 40%

(UFPA/2007) Um professor de Matemtica, ao lecionar Teoria dos Conjuntos em uma certa turma, realizou uma pesquisa sobre as preferncias clubsticas de seus n alunos, tendo chegado ao seguinte resultado: 23 alunos torcem pelo Paysandu Sport Club; 23 alunos torcem pelo Clube do Remo; 15 alunos torcem pelo Clube de Regatas Vasco da Gama; 6 alunos torcem pelo Paysandu e pelo Vasco; 5 alunos torcem pelo Vasco e pelo Remo. Se designarmos por A o conjunto dos torcedores do Paysandu, por B o conjunto dos torcedores do Remo e por C o conjunto dos torcedores do Vasco, todos da referida turma, teremos, evidentemente, A B = . Conclumos que o nmero n de alunos desta turma 49 50 47 45 46

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(UFPA/2008) Feita uma pesquisa entre 100 alunos, do ensino mdio, acerca das disciplinas portugus, geografia e histria, constatou-se que 65 gostam de portugus, 60 gostam de geografia, 50 gostam de histria, 35 gostam de portugus e geografia, 30 gostam de geografia e histria, 20 gostam de histria e portugus e 10 gostam dessas trs disciplinas. O nmero de alunos que no gosta de nenhuma dessas disciplinas : (A) 0 (B) 5 (C) 10 (D) 15 (E) 20

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(Unifap) Uma pesquisa mostrou que 33% dos entrevistados lem o jornal A, 29% lem o jornal B, 22% lem o jornal C, 13% lem A e B, 6% lem B e C, 14% lem A e C e 6% lem os trs jornais. a) Quantos % no l nenhum desses jornais? b) Quantos % l os jornais A e B e no l C? c) Quantos % l pelo menos um jornal? (UFPA/2007) Um professor de Matemtica, ao lecionar Teoria dos Conjuntos em uma certa turma, realizou uma pesquisa sobre as preferncias clubsticas de seus n alunos, tendo chegado ao seguinte resultado: 23 alunos torcem pelo Paysandu Sport Club; 23 alunos torcem pelo Clube do Remo; 15 alunos torcem pelo Clube de Regatas Vasco da Gama; 6 alunos torcem pelo Paysandu e pelo Vasco; 5 alunos torcem pelo Vasco e pelo Remo.

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(Unifor-CE) Os editores das revistas Fotomania e Musical fizeram uma pesquisa entre os 400 alunos de uma escola. A pesquisa revelou que, desses alunos, 210 lem a revista Musical, 190 lem a revista Fotomania e 50 no lem revisas. O nmero e alunos que lem somente a revista: a) Musical 160 d) Fotomania 130 b) Fotomania 150. e) Musical 180. c) Musical 170. (UEPA) Uma aldeia indgena foi acometida por um surto de doenas, a qual matou 20% de seus ndios. Dentre os sobreviventes constatou-se que 95 ndios j haviam contrado malria, 130 verminose, 25 j haviam contrado malria e verminose e 100 nunca tiveram malria e nem verminose. O nmero de ndios que morreram foi: a) 75 b) 150 c) 225 d) 300 e) 375

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01) Trs torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levaro 10 torneiras para encher 2 piscinas? Resposta: 6 horas. 02) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvo. Se for aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguiro extrair 5,6 toneladas de carvo? Resposta: 35 dias. 03) Vinte operrios, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo levar uma turma de 16 operrios, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225m? Resposta: 15 dias.

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04) Um caminhoneiro entrega uma carga em um ms, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade mdia de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade mdia de 60 km/h? Resposta: 10 horas por dia. 05) Com uma certa quantidade de fio, uma fbrica produz 5400m de tecido com 90cm de largura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centmetros de largura, seriam produzidos em 25 minutos? Resposta: 2025 metros. 06) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preo?

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Notao das funes

Toda funo uma relao binria de A e B, portanto, toda funo um conjunto de pares ordenados. Geralmente, existe uma sentena aberta y=f(x) que expressa a lei mediante a qual, dado x A, determina-se y B tal que (x, y) f, ento:

f = {(x, y) | x A, y B e y = f (x)} Isso significa que, dados os conjuntos A e B, a funo f tem lei de correspondncia y = f(x). Para indicarmos uma funo f, definida em A com imagens em B segundo a lei de correspondncia y = f(x), usaremos uma das seguintes notaes f: A B ou A --- B x f(x) x -- f(x)

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