Matematica

DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 Circuitos Eltricos I

Captulo 9

Circuitos de Segunda Ordem


9.1 Circuitos com Dois Elementos Armazenadores

Circuito com dois indutores, onde deseja-se obter a corrente de malha i2:

2di1dt

+12i1 ! 4i2 = vg

1 H 4 ! vg

8 !

+ -" i1 i2

2 H

4i1+1di2dt

+ 4i2 = 0 i1 =14di2dt

+4i2!

"#

$

%&

ddt!

"#

$

%&

di1dt

=14

d 2i2dt2

+4di2dt

!

"##

$

%&&


24

d2i2dt2

+ 4di2dt

!

"##

$

%&&+124

di2dt

+ 4i2!

"#

$

%& 4i2 = vg

12d 2i2dt2

+2di2dt

+3di2dt

+12i2 ! 4i2 = vg

d 2i2dt2

+10di2dt

+16i2 = 2vgEquao diferencial de 2 ordem

Circuitos de 2 ordem normalmente possuem 2 elementos armazenadores de

energia.


Existem excees regra de que circuitos com 2 elementos armazenadores

so representados por equaes de 2 ordem.

Exemplo:

Equaes nodais:

Com o n de referncia escolhido, as tenses v1 e v2 resultam em duas

equaes diferenciais de 1 ordem desacopladas.

dv1dt

+v1 = vg

dv2dt

+ 2v2 = 2vg

vg 1 ! +

-" v1

2 ! v2

1 F 1/4 F

1dv1dt

+v1 vg

1= 0

14

dv2dt

+v2 vg

2= 0


9.2 Equaes de 2 Ordem

Equao genrica de 2 ordem:

onde os ai so constantes reais.

Soluo: resposta completa igual a soma da resposta natural com a resposta

forada, x = xn + xf .

x deve conter tambm duas constantes arbitrrias para satisfazer as duas

condies impostas pela energia inicial armazenada em cada um dos elementos

armazenadores.

( )tfxadtdxa

dtxd

=++ 012

2


Resposta natural xn:

Resposta quando f(x) = 0, ou seja, a resposta deve satisfazer a equao:

Como cada termo da equao contm xn, no mesmo grau, o membro da direita

pode ser assumido como 0xn (equao homognea).

Resposta forada x f:

A resposta deve satisfazer a equao original:

d 2x fdt2

+ a1dx fdt

+a0x f = f t( )

d2xndt2

+a1dxndt

+a0xn = 0


Somando as duas equaes e rearranjando os termos, obtemos

A resposta natural contm duas constantes arbitrrias e a resposta forada no.

resposta natural # soluo complementar

resposta forada # soluo particular

d 2

dt2xn + x f( )+ a1 ddt xn + x f( )+ a0 xn + x f( ) = f t( )


Exemplo: Mostre que e so solues de

Substituindo na expresso acima resulta:

d 2xdt2

+5dxdt+6x = 0

x1 = A1exp ! 2t( ) x2 = A2 exp 3t( )

d 2

dt2A1exp 2t( )!" #$+5

ddtA1exp 2t( )!" #$+6A1exp 2t( ) =

2A1ddtexp 2t( )!" #$10A1exp 2t( )+6A1exp 2t( ) =

4A1exp 2t( )10A1exp 2t( )+6A1exp 2t( ) =

10A1exp 2t( )10A1exp 2t( ) = 0

( )tAx 2exp11 =


Substituindo na expresso anterior resulta:

d2

dt2A2 exp 3t( )"# $%+5

ddtA2 exp 3t( )"# $%+6A2 exp 3t( ) =

3A2ddtexp 3t( )"# $%15A2 exp 3t( )+6A2 exp 3t( ) =

9A2 exp 3t( )15A2 exp 3t( )+6A2 exp 3t( ) =

15A2 exp 3t( )15A2 exp 3t( ) = 0

x2 = A2 exp 3t( )


9.3 Resposta Natural

A resposta natural xn deve satisfazer a equao homognea:

Evidentemente a funo x = xn deve ser tal que esta no mude de forma quando

diferenciada.

Ou seja, a funo, sua 1 derivada e sua 2 derivada devem ter todas a mesma

forma.

Possvel soluo:

A e s so constantes a serem determinadas.

d 2xdt2

+a1dxdt

+a0x = 0

xn = Aest


Substituindo na equao homognea, obtemos

Como Aest no pode ser 0, pois isto faria xn = 0, ento

Soluo:

Portanto, temos duas solues naturais:

xn = Aest

As2est +a1sAest +a0Ae

st = 0

Aest s2 +a1s+a0( ) = 0

s2 +a1s+a0 = 0 equao caracterstica

s=! a1 a1

2 ! 4a02

xn1 = A1es1t

xn2 = A2es2t

A1 e A2 so arbitrrias


Note que a soma das duas solues tambm uma soluo, ou seja

uma soluo geral da equao homognea, quando s1 e s2 so razes

distintas da equao caracterstica.

xn = xn1+ xn2 = A1es1t + A2e

s2t


Exemplo: equao homognea

Equao caracterstica:

As razes so s1 = -2 e s2 = -8.

E a soluo geral :

Os nmeros s1 = -2 e s2 = -8 so denominados de frequncias naturais do

circuito.

As constantes de tempo dos dois termos so 1 = 1/2 e 2 = 1/8.

d2i2dt2

+10di2dt

+16i2 = 0

s2 +10s+16 = 0

i2 = A1e2t + A2e

8t


9.4 Tipos de Frequncias Naturais

As frequncias naturais so as razes da equao caracterstica, portanto, elas

podem ser reais, imaginrias ou complexas.

A natureza das razes so determinadas pelo discriminante $ = a12 4a0.

! = a12 " 4a0 =

> 0 razes reais e distintas

= 0 razes reais e id nticas

< 0 razes complexas

#

$%%

&%%


Exemplo: resposta a tenso v.

N a:

Equao da malha direita: Ri +didt

= v

v ! vg4

+ i +14

dvdt

= 0

vg

R + -" b

4 !

v

1H

1/4 F

a

+

-

i

i = !14

v ! vg +dvdt

"

#$

%

&

!R4

v ! vg +dvdt

"

#$

%

& !

14

ddt

v ! vg +dvdt

"

#$

%

& = v

!R4

v+R4

vg !R4

dvdt

!14

ddt

v+14

dvgdt

!14

d2v

dt2= v


d2v

dt2+ R+1( ) dv

dt+ R+4( )v = Rvg +

dvgdt

Equao homognea:


Assim,

d2vndt2

+ R+1( ) dvndt

+ R+ 4( )vn = 0

s2 + R+1( )s+ R+4( ) = 0

s1,2 =! R+1( ) R+1( )2 ! 4 R+4( )

2=

! R+1( ) R2 ! 2R! 152

R=

6 ! s1 = ! 2, s2 = ! 5

5 ! s1 = s2 = ! 3

1 ! s1 = ! 1+ j2, s2 = ! 1! j2

"

#$$

%$$

1!=j


Razes Reais e Distintas: Caso Superamortecido

Neste caso a resposta natural dada por:

Exemplo: se R = 6 ! no exemplo anterior, temos

xn = A1es1t + A2e

s2t

vn = A1e! 2t + A2e

! 5t

Razes Complexas: Caso Subamortecido

As frequncias naturais so complexas do tipo:


xn = A1e! + j !( )t + A2e

! ! j !( )t

s1,2 = ! j"


Forma mais conveniente:

Frmula de Euler: ou

onde

e j = cos + j sen e j = cos j sen

( ) ( )

( )

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]tAAjtAAe

tjtAtjtAe

eAeAe

eAeAx

t

t

tjtjt

tjtjn

sencos

sencossencos

2121

21

21

21

++=

++=

+=

+=

+

xn = e t B1cos t + B2 sen t( )

B1 = A1+ A2 B2 = j A1 A2( )

Para circuitos reais, % < 0, a resposta amortecida com o tempo.


Exemplo: Se R = 1 ! no exemplo anterior, temos

onde B1 e B2 so arbitrrios.

Razes Reais e Iguais: Caso de Amortecimento Crtico

As frequncias naturais so reais do tipo:


Ento, existe somente uma constante arbitrria independente.

vn = et B1cos 2t( )+ B2 sen 2t( )"# $%

s1 = s2 = k

xn = Aekt


Para se ter frequncias naturais idnticas, a equao caracterstica deve ser

e portanto, a equao homognea deve ser

Como sabemos que uma soluo para A arbitrrio, vamos tentar

substituindo na expresso acima e simplificando obtemos

s k( )2= s2 2ks+ k 2 = 0

d 2xndt2

2kdxndt

+ k 2xn = 0

Aekt

xn = h t( )ekt

d 2hdt2

ekt = 0 d2hdt2

= 0 t


Isto verdade se h(t) tiver a forma de um polinmio do 1 grau:

onde A1 e A2 so constantes arbitrrias. A soluo geral no caso de razes

idnticas ento:

Exemplo: se R = 5 ! no exemplo anterior, temos

h t( ) = A1+ A2t

xn = A1+ A2t( )ekt

vn = A1+ A2t( )e3t


9.5 A Resposta Forada

A resposta forada xf de um circuito genrico de 2 ordem deve satisfazer:

e no conter constantes arbitrrias.

Exemplo: vg = 16 V

d2x fdt2

+a1dx fdt

+a0x f = f t( )

1 H 4 ! vg

8 !

+ -" i1 i2

2 H

d2i2dt2

+10di2dt

+16i2 = 2vg


Fazendo i2 = x, temos

Resposta natural:

Para a resposta forada vamos tentar xf = A, onde A uma constante a ser

determinada:

ou seja, xf = A = 2.

Portanto, a soluo geral :

d 2xdt2

+10 dxdt+16x = 32

xn = A1e! 2t + A2e

! 8t

3216102

2=++ A

dtdA

dt

Ad

3216 =A

x = A1e2t + A2e

8t + 2

A1 e A2 so obtidas a partir da

energia inicial armazenada nos

indutores.


No caso de funes de excitao constantes, pode-se obter xf do prprio

circuito:

Em regime permanente, o circuito se reduz a:

Note que a resposta forada xf = i2 = 2 A

4 ! 16 V

8 !

+ -" i2


Exemplo: vg = 20cos(4t) e x = i2

Resposta natural:

Resposta forada:

tentativa:

1 H 4 ! vg

8 !

+ -" i1 i2

2 H

d 2xdt2

+10dxdt

+16x = 40cos 4t( )

ttn eAeAx

82

21

!! +=

x f = Acos 4t( )+ Bsen 4t( )


Substituindo em

e rearranjando os termos, obtemos

Assim, 40B = 40 e 40A = 0, logo

x f = Acos 4t( )+ Bsen 4t( )dx fdt

=4Asen 4t( )+4Bcos 4t( )

40Bcos 4t( ) ! 40Asen 4t( ) = 40cos 4t( )

d2x

dt2+10

dxdt

+16x = 40cos 4t( )

d2x fdt2

= ! 16Acos 4t( ) ! 16Bsen 4t( )

B =1 A= 0


Assim,

Portanto a soluo geral dada por:

Tentativas de respostas foradas:

x f = sen 4t( )

x = A1e! 2t + A2e

! 8t +sen 4t( )

f(t) xf k t

t 2

eat

sen(bt), cos(bt) eatsen(bt), eatcos(bt)

A At + B

At 2 + Bt + C Aeat

Asen(bt) + Bcos(bt) eat [Asen(bt) + Bcos(bt)]


9.6 Excitao na Frequncia Natural

Suponha que a equao do circuito a ser resolvido dada por:

onde a & b so constantes.


Portanto, s1 = a e s2 = b.

Resposta natural: A1 e A2 so arbitrrias

Supor que a funo de excitao contm uma frequncia natural, p. ex.,

Procedimento usual para obter a resposta forada: e determinar A de

modo que xf satisfaa:

d 2xdt2

! a+b( ) dxdt + abx = f t( )

s2 a+b( )s+ab= 0

xn = A1eat + A2e

bt

f t( ) = eat

x f = Aeat

d2x

dt2! a+b( ) dx

dt+abx = eat


Entretanto, substituindo xf = Aeat em

temos

Motivo de no se poder usar xf = Aeat que este possui a forma de um dos

componentes da resposta natural.

Vamos testar ento xf = Ateat .

d 2xdt2

! a+b( ) dxdt + abx = eat

d2

dt2Aeat( ) ! a+b( ) ddt Ae

at( )+ab Aeat( ) = eat

Aa2eat Aa2eat bAaeat +abAeat = eat

0= eat impossvel!!


x f = Ateat

dx fdt

= A at +1( )eat

d2x fdt2

= A a2t +2a( )eat

Substituindo em

Obtemos

Soluo geral:

d 2xdt2

! a+b( ) dxdt +abx = eat

A a2t +2a( )eat ! a+b( ) A at +1( )eat +abAteat = eat A a ! b( )eat = eat

A=1

a ! b

xn = A1eat + A2e

bt +1

a ! bteat


1 H 4 ! vg

8 !

+ -" i1 i2

2 H

Exemplo: vg = 6exp(-2t) +32 e x = i2

Resposta natural:

Resposta forada:

tentativa:

d2x

dt2+10

dxdt

+16x =12e! 2t +64

xn = A1e2t + A2e

8t

x f = Ate2t +B

No se pode usar uma resposta forada que tenha a mesma forma de uma das partes da resposta natural.


Substituindo em

e rearranjando os termos, obtemos

Assim, 16B = 64 e 6A = 12, logo

Portanto,

Soluo geral:

6Ae2t +16B=12e2t +64

B = 4 A= 2

d2x

dt2+10 dx

dt+16x =12e! 2t +64

x f = 2te! 2t +4

xn = A1e! 2t + A2e

! 8t +2te! 2t +4


Vamos considerar o caso:

onde a = b e f(t) dada por , ento


Soluo: s1 = s2 = a

Resposta natural:

Neste caso temos que tentar a resposta forada:

Substituindo na expresso, obtemos:

d 2xdt2

a+b( ) dxdt + abx = f t( )

f t( ) = eat

d 2xdt2

2a dxdt+ a2x = eat

s2 2as+ a2 = 0

xn = A1+ A2t( )eat

x f = At2eat

2Aeat = eat A = 12


Modo prtico geral para a obteno da resposta forada:

Se um termo de frequncia natural de xn est duplicado em xf, o termo em xf

multiplicado pela menor potncia de t que elimina a duplicao.


9.7 Resposta Completa

A resposta natural e a completa possuem constantes arbitrrias, que devem

satisfazer condies iniciais de energia armazenada.

Exemplo: calcular x(t) para t > 0 que satisfaa:

Diferenciando a primeira equao para eliminar a integral, obtemos:


dx t( )dt

+ 2x t( )+5 x t( )dt0t =16e3t

x 0( ) = 2

#

$%%

&%%

d 2xdt2

+ 2 dxdt+5x = 48e3t

s2 +2s+5= 0 s1,2 =1 j2


Resposta natural:

Resposta forada:

Substituindo em

onde A = -6.

Resposta completa:

xn = e! t A1cos 2t( )+ A2 sen 2t( )"# $%

x f = Ae3t

d 2xdt2

+ 2 dxdt+5x = 48e3t

9Ae3t 6Ae3t +5Ae3t = 48e3t

8Ae3t = 48e3t

x = et A1cos 2t( )+ A2 sen 2t( )!" #$6e3t


Determinao das constantes arbitrrias:

Necessitamos de 2 condies iniciais:

1) x(0) = 2

2)

Aplicando a primeira condio inicial na resposta completa, obtemos:

dx 0( )dt

+ 2x 0( )+5 x t( )dt00 =16e30

dx 0( )dt

+ 2 2+50 =16

dx 0( )dt

=12

x 0( ) = e0 A1cos 20( )+ A2 sen 20( )#$ %&6e30

2 = A1 6 A1 = 8


Diferenciando obtemos:

Portanto A2 = 1.

Resposta final:

x = et A1cos 2t( )+ A2 sen 2t( )"# $%6e3t

dxdt= et 2A1sen 2t( )+ 2A2 cos 2t( )"# $% et A1cos 2t( )+ A2 sen 2t( )"# $%+18e3t

dx 0( )dt

= e0 2A1sen 2 0( )+ 2A2 cos 2 0( )#$ %& e0 A1cos 2 0( )+ A2 sen 2 0( )#$ %&+18e30

12 = 2A2 ! A1+18

x = et 8cos 2t( )+ sen 2t( )"# $%6e3t


Exemplo: Clculo de v, t > 0, onde v1(0) = v(0) = 0 e vg = 5 cos(2000t) [V]

Equao nodal de v1:

Equao nodal no n inversor do op-amp:

+ -"vg

2 k! "

1 F

1/8 F 2 k! "

1 k! " v

v1

4v1 v+ 2103 dv1dt

=10cos 2000t( )

v1 = 14103 dv

dt

11103

+1

2103+

12103

"

#$

%

&'v1

11103

vg 1

2103v+106

dv1dt

= 0

12103

v1+18106 dv

dt= 0


4 14103 dv

dt!

"#

$

%& v+ 2103

ddt

14103 dv

dt!

"#

$

%&=10cos 2000t( )

d 2vdt2

+ 2103 dvdt+ 2106v = 2107 cos 2000t( )


Frequncias naturais: s1,2 = -1000 j1000

Resposta natural:

Resposta forada:

Substituindo na equao diferencial, obtemos:

s2 +2 ! 103s+2 ! 106 = 0

vn = e! 1000t A1cos 1000t( )+ A2 sen 1000t( )"# $%

2A+4B( )cos 2000t( )+ 4A+2B( )sen 2000t( ) =20cos 2000t( )

v f = Acos 2000t( )+ Bsen 2000t( )


Igualando os coeficientes resulta:

onde obtemos A = 2 e B = -4.

Resposta completa:

Note que para t = 0+, temos

Como v1(0+) = v1(0-) = 0, temos

2A+ 4B = 20

4A 2B = 0

"#$

%$

v = e1000t A1cos 1000t( )+ A2 sen 1000t( )"# $%+2cos 2000t( )4sen 2000t( )

v1 0+( ) = 14 10

3dv 0+( )dt

dv 0+( )dt

= 0


Note que v a tenso sobre o capacitor de 1/8 F, assim, v(0+) = v(0-) = 0, que

substituindo em

A1 + 2 = 0 A1 = -2

Derivando a equao acima e utilizando , obtemos:

onde A2 = 6

Resposta completa:

1000A2 1000A1 8000 = 0

v = e1000t 2cos 1000t( )+6sen 1000t( )"# $%+ 2cos 2000t( ) 4sen 2000t( )

v = e1000t A1cos 1000t( )+ A2 sen 1000t( )"# $%+ 2cos 2000t( ) 4sen 2000t( )

dv 0+( )dt

= 0

0 = e0 A1cos 0( )+ A2 sen 0( )!" #$+ 2cos 0( ) 4sen 0( )


9.8 Circuito RLC Paralelo

Em t = 0, existe:

! uma corrente inicial i(0) = I0 no indutor,

! uma tenso inicial v(0) = V0 no capacitor.

Equao de n:

L R ig v C +

-

i

v t( )R

+1L

v t( )dt0t

! + I0 +Cdv t( )

dt= ig

ddt


C d2vdt2

+1Rdvdt+1Lv =digdt

Resposta natural:


Frequncias naturais:

De acordo com o discriminante (1/R2 - 4C/L), existem 3 tipos de respostas:

superamortecido, subamortecido e amortecimento crtico.

Simplificao: ig = 0 (caso sem fontes).

C d2vdt2

+1Rdvdt+1Lv = 0

Cs2 + 1Rs+ 1L= 0

s1,2 =1R

1R2

4CL

2Cs1,2 = !

12RC

12RC

"

#$

%

&2

!1

LC


Caso Superamortecido:

ou

Frequncias naturais so nmeros reais e distintos, e temos o caso

superamortecido:

Das condies iniciais, para t = 0+, e do clculo de

1R2

4CL> 0

L > 4R2C

v = A1es1t + A2e

s2t

v 0+( )R

+1L

v t( )dt0+0+

+ I0 +Cdv 0+( )dt

= 0

V0R+ I0 +C

dv 0+( )dt

= 0dv 0+( )dt

= V0 + RI0RC

Usada para determinar as constantes arbitrrias.


Exemplo: R = 1 ! , L = 4/3 H, C = 1/4 F.

V0 = 2 [V]

I0 = -3 [A]

onde s1 = -1 e s2 = -3

4/3 H 1 ! ig=0 v 1/4 F +

-

i

s1,2 = 12RC

12RC"

#$

%

&'

2

1LC

=1

2 1 14

1

2 1 14

"

#

$$$$

%

&

''''

2

14314


Portanto,

Como , temos

podemos obter A1 = 5 e A2 = -3, resultando

v = A1et + A2e

3t

dv 0+( )dt

= 4 V/s!" #$

v = 5et 3e3t

v 0( ) = 2 V!" #$

dv 0+( )dt

= !V0 + RI0RC

= !2+1 ! 3( )1 14

"

#$

%

&


Esboo de v em funo do tempo:

Note a falta de oscilaes, o que uma caracterstica de superamortecimento.

v

t

v = 5et 3e3t

3e3t

5et

1 2 3 4


Caso Subamortecido :

ou

Frequncias naturais so nmeros complexos, e temos o caso subamortecido.

Neste caso a resposta contm senos e cossenos e portanto a resposta oscila.

Definies:

! Frequncia de ressonncia:

! Coeficiente de amortecimento:

! Frequncia amortecida:

1R2

4CL< 0

L < 4R2C

0 =1LC

rad/s!" #$

=1

2RC Np/s!" #$

! d = 02 2 rad/s"# $%



Resposta:

que possui uma natureza oscilatria.

s1,2 = !1

2RC

12RC

"

#$

%

&2

!1

LC= ! ! j" d

v = e! ! t A1cos " dt( )+ A2 sen " dt( )"# $%


Exemplo: R = 5 ! , L = 1 H, C = 1/10 F,

V0 = 0 [V]

I0 = -3/2 [A]

1 H 5 ! ig=0 v 1/10 F +

-

i

0 =1LC

= 111/10

= 10

=12RC

=1

2 51/10=1

! d = ! 02 ! 2 = 10! 1= 3


Assim,

Das condies iniciais, temos v(0) = 0, ento

logo A1 = 0 e A2 = 5.

Portanto,

v = et A1cos 3t( )+ A2 sen 3t( )"# $%

v =5e! t sen 3t( )

dv 0+( )dt

= V0 + RI0RC

=

0+5 32

"

#$

%

&'

5 110"

#$

%

&'

dv 0+( )dt

=15 V/s!" #$



Note a natureza oscilatria da resposta. A resposta zero nos pontos onde a

senide zero, que so determinados pela frequncia amortecida.

v

t

5et

2( /3 4( /3

! 5e! t

v =5e! t sen 3t( )


Caso de Amortecimento Crtico:

ou

Frequncias naturais so reais e iguais, dadas por s1 = s2 = -%.

onde

Resposta:

1

R2!

4CL

= 0

L = 4R2C

=1

2RC Np/s!" #$

v = A1+ A2t( )et


Exemplo: R = 1 ! , L = 1 H, C = 1/4 F.

V0 = 0 [V]

I0 = -1 [A].

assim, A1 = 0 e A2 = 4.

Resposta:

! =1

2RC=

12!1!1/ 4

= 2

v = 4t e! 2t

1 H 1 ! ig=0 v 1/4 F +

-

i



Para cada caso do circuito RLC paralelo, o valor em regime permanente da

resposta natural zero, porque a resposta contm um fator eat, onde a < 0.

v

t 1 2

v = 4t e! 2t


9.9 Circuito RLC em Srie

Em t = 0, existe:

! uma corrente inicial i(0) = I0 no indutor,

! uma tenso inicial v(0) = V0 no capacitor.

Equao do lao, para t > 0:

L R

vg v C +

-

i

+ -"

L didt

+Ri+ 1C

i dt +V00t = vg L

d 2idt2

+R didt

+1Ci =dvgdt

ddt



O circuito RLC em srie est superamortecido se:

Resposta:

O circuito RLC em srie est criticamente amortecido se:

Resposta:

s1,2 = R2L

R2L"

#$

%

&'

2

1LC

R2L!

"#

$

%&

2

1LC

> 0 C > 4LR2

i = A1es1t + A2e

s2t

R2L

!

"#

$

%&2

1

LC= 0 C =

4L

R2

i = A1 + A2t( )es1t

Ls2 + Rs+1C

= 0


O circuito RLC em srie est subamortecido se:

Frequncia de ressonncia:

Coeficiente de amortecimento:

Frequncia amortecida:

Resposta:

R2L!

"#

$

%&

2

1LC

< 0 C < 4LR2

0 =1LC

rad/s!" #$

! =R

2L Np/s!" #$

! d = ! 02 ! " 2 rad/s"# $%

i = et A1cos dt( )+ A2 sen dt( )"# $%


Exemplo: Encontrar v, para t > 0, onde v(0) = 6 V e i(0) = 2 A.

mas

Resposta natural:

1 H 2 ! "

vg = 10 V v 1/5 F +

-

i

+ -"

1didt

+2i+5 i dt +60

t =10

fn vvv +=

15

d2v

dt2+25

dvdt

+55

v+6 =10

i =Cdvdt

=15

dvdt

d2v

dt2+2

dvdt

+5v = 0


Podemos obter a equao caracterstica:

cujas razes complexas so:

Resposta natural:

Resposta forada:

Como o capacitor um circuito aberto e o indutor um curto circuito em regime

permanente, temos que i f = 0 e vf = 10 V.

vn = e! t A1cos 2t( )+ A2 sen 2t( )"# $%

s2 +2s+5= 0

s1,2 = ! 1 j2

2 ! "

vg = 10 V

+ vf = 10 V -"

if = 0 A

+ -"


Resposta completa:

Como v(0) = 6 V, temos

mas

assim,

v = et A1cos 2t( )+ A2 sen 2t( )"# $%+10

6 = e0 A1cos 0( )+ A2 sen 0( )!" #$+10

6 = A1+10 A1 = ! 4

15

dv 0+( )dt

= i 0+( ) = 2dv 0+( )

dt=10 10= 2A2 ! A1 A2 = 3

v = et 4cos 2t( )+3sen 2t( )"# $%+10


Exemplo: Encontrar v, para t > 0, onde v(0) = 6 V e i(0) = 2 A.

Resposta natural:

1 H 2 ! "

vg = 4 cos(t) [V] v 1/5 F +

-

i

+ -"

i =Cdvdt

=15

dvdt

didt

=15

d2v

dt2

d2v

dt2+2

dvdt

+5v = 20cos t( )

vn = e! t A1cos 2t( )+ A2 sen 2t( )"# $%

1didt

+2i +v = vg

15

d2v

dt2+2

15

dvdt

+v = 4cos t( )


Resposta forada:

Assim, obtemos A = 4 e B = 2.

v f = Acos t( )+Bsen t( )

d 2

dt2Acos t( )+ Bsen t( )!" #$+2

ddtAcos t( )+ Bsen t( )!" #$+5 Acos t( )+ Bsen t( )!" #$= 20cos t( )

4A+ 2B( )cos t( )+ 4B 2A( )sen t( ) = 20cos t( )

4A+2B = 20

4B ! 2A= 0

"#$

%$

d2v

dt2+2

dvdt

+5v = 20cos t( )


Resposta completa:

Condies iniciais: v(0) = 6 e i(0) = 2.

v = et A1cos 2t( )+ A2 sen 2t( )!" #$+ 4cos t( )+ 2sen t( )

v 0( ) = e0 A1cos 0( )+ A2 sen 0( )!" #$+ 4cos 0( )+ 2sen 0( ) = 6

A1 +4= 6 A1 = 2

dv 0+( )dt

=10 10= 2A2 ! A1 +2 52 =A

v = e! t 2cos 2t( )+5sen 2t( )!" #$+4cos t( )+2sen t( )

15

dv 0+( )dt

= i 0( )


9.10 Mtodos Alternativos para a Obteno das Equaes Representativas

Dois mtodos para simplificar os processos de obteno da equao

representativa de um circuito RLC sero apresentados.

Uma nica equao necessria, que aps a diferenciao, se torna a equao

representativa.

Entretanto, em circuitos de 2 ordem podem existir duas equaes simultneas,

das quais a equao representativa obtida por um processo de eliminao.


Exemplo: Para t > 0.

n a:

n v1:

Para se obter a equao representativa em termos de v do circuito devemos

eliminar v1, assim, o resultado :

v ! vg4

+v ! v16

+14

dvdt

= 0

t = 0

vg v 1/4 F +

-

i

+ -"

6 ! "

1 H

10 V

4 ! " a

b

v1

v1 ! v

6+ v1dt0

t" + i 0( ) = 0

referncia

d2v

dt2+7

dvdt

+10v =dvgdt

+6vg


1 Mtodo:

Definio: operador de diferenciao:

ento, por exemplo,

Assim, reescrevendo as equaes de ns, temos

As variveis no podem ser comutadas com os operadores nas expresses.

D = ddt

adxdt

+bx = aDx+bx = aD +b( ) x

v vg4

+v v1

6+

14dvdt

= 0

ddt

v1 v

6+ v1dt0

t + i 0( )

#

$%

&

'(= 0

14

D +5

12

!

"#

$

%&v

16

v1 =14

vg

16Dv+ 1

6D+1

"

#$

%

&'v1 = 0

3D+5( )v 2v1 = 3vg

Dv+ D+6( )v1 = 0


D +6( ) 3D +5( )v ! 2 D +6( )v1 = 3 D +6( )vg2Dv+ 2 D+6( )v1 = 0

D +6( ) 3D +5( ) ! 2D"# $%v = 3 D +6( )vg

Multiplicando os operadores como se eles fossem polinmios, agrupando os

termos e dividindo por 3, resulta:

Substituindo o operador obtemos a equao representativa do circuito:

D2 +7D +10( ) v = D +6( ) vg

d2v

dt2+7

dvdt

+10v =dvgdt

+6vg


O procedimento pode tambm ser feito atravs de determinantes:

Regra de Cramer para obter v das equaes:

dada por

onde

Ento,

3D+5( )v 2v1 = 3vgDv+ D+6( )v1 = 0

v =1

= 3D+5 2D D+6

= 3D2 +21D+30

1 =3vg 2

0 D+6= 3 D+6( )vg

! v = ! 1 3D2 +21D +30( )v = 3 D +6( )vg D2 +7D +10( )v = D +6( )vg


2 Mtodo:

O segundo mtodo uma mistura dos mtodos de lao e de n, onde

selecionamos as correntes de indutor e as tenses do capacitor como

incgnitas.

Em seguida, aplicamos a lei de Kirchhoff de tenses ao redor do lao que

contm um nico indutor e a lei de Kirchhoff de correntes nos ns que tenham

somente um capacitor conectado.

Cada equao, portanto, possui somente uma derivada de corrente de indutor

ou de tenso de capacitor, e nenhuma integral.


Exemplo: i e v so incgnitas (variveis de estado do circuito). Para t > 0.

N a:

Malha direita:

041

4=++

!

dtdv

ivv g

dtdi

iv += 6

441 gvv

dtdv

i!

!!=

+

=

441

441

6 ggvv

dtdv

dtdvv

dtdv

v

gg v

dt

dvv

dtdv

dt

vd6107

2

2+=++

t = 0

vg v 1/4 F +

-

i

+ -"

6 ! "

1 H

10 V

4 ! " a

b

v1


Vantagens:

! no aparecem integrais.

! uma varivel desconhecida encontrada em funo das outras.

! condies iniciais da primeira derivada so facilmente obtidas para uso

na determinao das constantes arbitrrias na soluo geral.

Por exemplo, da figura anterior, temos i(0) = 1 A e v(0) = 6 V, assim substituindo

em:

obtemos:

041

4=++

!

dtdv

ivv g

( ) ( ) 00411

406

=++ ++

dtdvvg ( ) ( ) 1000 != ++ gvdt

dv


Este mtodo pode ser grandemente facilitado pelo uso de teoria dos grafos,

onde os:

! indutores so colocados nos enlaces, cujas correntes constituem um

conjunto independente de correntes.

! capacitores so colocados na rvore , cujas tenses de ramo constituem

um conjunto independente de tenses.

Cada indutor L um enlace com corrente i, que forma um lao onde os outros

elementos so unicamente ramos de rvore.

Portanto, a lei de Kirchhoff de tenses aplicada ao redor do lao conter

somente um termo derivado .

Este lao nico no grafo se o nico enlace adicional rvore L.

dtdi

L


Por exemplo:

Lao que contm o indutor de 1 H: a, v1, b, a, que fornece:

dtdi

iv += 606 =+ vdtdi

i

v1 v

+

-"

+

-"

vg i

a

b b

t = 0

vg v 1/4 F +

-

i

+ -"

6 ! "

1 H

10 V

4 ! " a

v1


Cada capacitor um ramo da rvore cuja corrente, em conjunto com as

correntes de enlace, constituem um conjunto de correntes saindo de um n.

Se um capacitor retirado do circuito, a rvore separada em duas partes

conectadas apenas por enlaces.

As trs correntes so mostradas atravessando a linha vermelha atravs do

capacitor, denominada v, e dois enlaces, somado com zero pela lei de Kirchhoff

de correntes, o que descrito por:


041

4=++

!

dtdv

ivv g

v1 v

+

-"

+

-"

vg i

a

b

Exemplo: As trs correntes so mostradas atravessando a linha vermelha

atravs do capacitor, denominada v, e dois enlaces, somado com zero pela lei

de Kirchhoff de correntes, o que descrito por:

t = 0

vg v 1/4 F +

-

i

+ -"

6 ! "

1 H

10 V

4 ! " a

v1

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