66
Matriz de conteudos por Teste de Avaliagao / Teste Global • Testes de Avalia~ao ao longo do ana com suqestoes de resolugao • Testes Globais com suqestoes de resolucao

MAtematica A 12º

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• M a t r iz d e c o n t e u d o s p o r T e s t e d e A v a l ia g a o / T e s t e G lo b a l

• T e s t e s d e Ava l i a~ao a o lo n g o d o a n a c o m suqes toes d e r e s o lu g a o

• T e s te s G l o b a i s c o m s u q e s t o e s d e r e s o lu c a o

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tff PORTO ED ITOR A

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Co ns e lho s pra tico s a o s a lu no s

o sistem a educativo portuques e exigente. O s alunos, para ingressarem no Ensino

Superior, principal objective da populacao estudantil, necessitam nao 56 de adquirir

e apreender conhecimentos, como tarnbern de os aplicar correctamente a novas situacoes.

A proposta de trabalho que apresentamos pretende que 0 aluno adquira e aplique

conhecimentos, para que desse modo alcance os objectivos a que se propi5e.

Os exerdcios que compi5em este livro foram elaborados para 0 aluno:

iii rever conteudos:

iii in te rp re ta r quadro s, qraficos e t ex tos ;

Il c on stru ir um c on he cim e nto e stru tu ra lm en te o rg an iz ad o;

II a pe rc eb er-s e d e d eta lh es e d ific uld ad es ;

r a des envo lv er um esp fr ito crltico:

II a pre nd er a g erir 0 tempo.

o livro Testes de Avalia~ao de Matematica A 12.0 ana e constitufdo por m atrizes de

conteudos, testes de avaliacao, testes globais e propostas de resolucao. 0 tipo de questi5es

e diversificado, sendo inclufdas questi5es de resposta curta, de desenvolvimento e de

esc olh a m ultip le

Cada teste de avaliacao aborda questi5es relativas a conteudos de um a unidade

proqrarnatica. O s testes globais sao modelos de provas a realizar pelos alunos durante

o processo de avaliacao de conhecim entos e na sua globalidade contemplam todas as

u ni dade s p ro qr ar na tic as .Para que 0 aluno rentabilize da m elhor form a a utilizacao deste livre, sugere-se que:

II e stu de a s rnaterias a nte s d e te nta r re so lv er o s e xe rd cio s;

II le ia c ad a questao cuidadosamente;

1 :1 recolha ideias e as organize para estruturar bem a resposta;

• re sponda obje ctiv amente ;

confronte a resposta dada com a p ro po st a de resolucao:

a treine a qestao do tempo .

Para finalizar, esperamos que este livre,T estes d e A valia!= aa d e M atem citica A

12.0ana,

proporcione a todos os alunos a correcta cornpreensao dos conteudos e a necessaria

a ut ocon fi an c; :a p ar a a lc an ca r 0 su cesso e sc ola r.

1 I 1 O B -U V R O A U X I L I A R O E P . L E G A l2 7 1 9 6 9 /0 B I S B N 9 7 8 -9 7 2 -0 -4 6 1 61 - 2

Este livre foi produzido na unidade industri al do Bloco Graf ico . Lda .. cujo ~ ~

S is te ma d e G es ta o A m bi en ta l e st a c er ti fi ca do p el a A PC E R. c om 0 n . " 2 0 0 6/AMB .258 t . _ a i l c e r o : :0Producac de livros escolares e na o escolares e outros materiais impressos. '- ....1

~ISO

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T es te s d e Avaliacao

Temas Subtemas

1 2 3 4 5 6

lntroducao ao calculo de probabilidades X X

Probabil idades eAnalise combinat6ria X X

Combinat6ria

Dlstr ibuicao de frequencies relat ivas e distribuicso deX

probabilidades

Funcoss exponenciais e logarftmicas X X

lntroducao aoTeoria de limites X

Calculo Dif erenc iaL I I

Calculo diferencial X

Funcoes sene, co-sene e tangente X X

Trigonometria e

Numeros CompLexosComplexos X

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Nome D a t a

Tunna D u r a c l i . o - 9 0 m i n u l o s " - ,A ~ v a = l i = a c c : l i . , , , - o _

_ _ !lim

1.a Parte

As questiies da 1 . a parte sao de escolha muuipt«. Para cada um a delas, sao indicadas quatro

a lt erna ti va s, da s quai s 56 uma este correcta.

1. Seja 5 a espaco amostral associado a uma certa experisncia aleat6ria.

Sejam A e a dais acontecimentos, nao impossiveis, nem certos, tais que A C5 e a C 5 .

2 3 '_ 1Sabe-se que P(A ) ="3; pta) =5 e P (A na) =2'

7

Entao, P (A na) e :

(A)3

5'

(B) 1

6'

(C )110 .

(0)4

6'

2. 0 Francisco tern de utilizar diariamente dais transportes publicos para se deslocar 7

para 0 seu trabalho: a comboio e a autocarro. Se a probabilidade do comboio e do auto-

carro chegarem atrasados e de 0,2 e 0,5, respectivamente, entao a probabilidade de

ambos os transportes publicos cumprirem a horario e de:

(0) 0,7.

3. Um grupo de 30 praticantes de karate forma um rectanqulo com 3 filas e 10 praticantes

em cada fila.

Aprobabilidade de um grupo de 3 amigos ficar na mesma coluna do rectanqulo e:

7

(A)3! x 10

30!

(B)3! x 27!

30!

(C )3! x 10 x 27!

30!

(0)9-10

Mat em at ic a A - 12 ,' a na - T es te d e Aval ia~ao 1

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4. Num congresso de profissionais de saude, os participantes foram instaLados, aLeato- 7

ria mente, em tres hotels. A, Bee. Sabendo que 0 congresso tern dez oradores, a

probabilidade de estarem 5 instalados do hotel A, 3 no hotel B e 2 no C e:

(A)lOC5 5C

32C

2

3A'10

(B)5! x 3! x 2!

310

(C )5! x 3! x 2!

10 !

(0)1OC5 5C3 2C2

1°A~

5. Se a soma dos elementos de uma linha do trianqulo de Pascal ex, entao a soma dos 7

nurneros da linha seguinte e:

(A) 2x.

(B) x 2 •

(C) ~ .

(0) 2+ x .

6. Sabe-se que 0 desenvolvimento de [ x 2 + V x r tern 33 termos. 0(5) te rr no ls l m e dio ls l 7

deste desenvolvimento e(sao):

33C X4818 .

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( ,

2.a Parte

1. Atraves de um inquerito a 210 pessoas, chegou-se as seguintes conclusoes.

• 70% dos inquiridos sao proprietarios de habitacao e de automovel:

o 10% dos inquiridos nao sao proprietarios de habltacao nem de automovel:

087,5% dos inquiridos nao proprietaries de habitacao tarnbem nao sao proprtetar tos

de automove l ,

1.1. Considerando os acontecimentos:

H : "ser proprietario de habitacao"

A: "ser proprietario de autornovel"

8

complete a tabela que se segue:

H R Total

A

A

Total 210

1.2: Seleccionando um dos inquiridos ao acaso, qual a probabilidade de:

1.2.1. Ser proprietario de habitacao? t. .

1.2.2. Nao ser proprietario de autornovel, sabendo que e proprletario de habitacao? 4

2. Numa determinada localidade existe rede movel por

intermedlo de apenas duas operadoras, A K e BK, e

todos os habitantes que possuem telernovet tem um con-

trato com uma delas.

Para elaborar um estudo sobre a qualidade de sinal das

duas operadoras, seleccionaram-se alguns locais para

verificar a existencia de sinal, donde se concluiu que 72%

dos locais previa mente seleccionados tinham sinal para a

rede A K e 96% tin ham sinal para a rede BK.

Dos habitantes desta localidade com teternovet, sabe-se

que 81% adquiriu um aparelho da rede BK.

Escolhe-se, aleatoriamente, um habitante com telernovel desta localidade.

2.1. Qual a probabilidade de ter sinal num dos locais previa mente seleccionados? 10

2.2. Sabendo que nao tem sinal no local onde se encontra, qual a probabilidade de pos- 5

suir um telernovel da rede A K?

Mat er na ti ca A - 12 ,' a no - T es te d e Avalia~ao I

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..~ _ . -:: - ·.:~a_ " '~; :- 'I . ... .. .. ....:ij't'I.;!i~-:"',,:"~'W'::~-~·_~';~·~~~~~,·_r __

T E S T E D E ~ JU / ~ llA ; C : :~ Q - : '. . ~ . >

3. Um vendedor seleccionou 7 marcas de azeite para comercializar. Todos os produtos

tem precos diferentes, no entanto, duas marcas de azeite tem r6tulo azul, outras duas

r6tulo amarelo e, as restantes, r6tulo branco.

3.1. 0 vendedor p retende co locar um a garrafa de azeite de cada m arca num a prate-

le ira . De quan tas m aneiras diferentes:

3.1.1. pode ordenar estes produtos? 5

3.1.2. pode ordenar estes produtos, se p retender que as garrafas com r6 tu lo s da B

m esm a cor fiquem juntas?

3.1.3. pode ordenar as garrafas, de form a que as duas de r6 tu lo azul nao fiquem juntas? 10

3.2. As garrafas de azeite foram colocadas num a caixa para se lim par a p ratele ira . 0 ven-

dedor retira tres garrafas da caixa ao acaso . Determ ine a probabilidade de ter retirado:

3.2.1. tres ro tu lo s de cor diferen te; 12

3.2.2. pelo m enos dais r6 tu los de co r branca. 15

3.3. Os c6digos que serao atribufdos a cada garrafa de azeite no estabelecim ento

com ercial estarao com preendidos entre os nurneros 2000 e 7000. Determ ine de

q uan tas m an eiras e possfvel atribu ir um c6d igo se se pretender que esse c6d igo:

3.3.1. tenha 0 algarism o das centenas par e seja m ultip le de 5 ; 9

3.3.2. seja com posta por algarism os todos diferentes; 9

3.3.3. possua dois zeros nao consecutivos. 9

4. Um labirinto infantil tem a forma e os trajectos indi-

cados na figura ao lado.

A Ana encontra-se no ponto A, 0 Bernardo em B e

o Carlos em C .

Percorrendo a menor distancia possfvel, quantos

caminhos diferentes podem ser realizados:

4.1. pela Ana para ir ao encon tro da posicao do Ber- 14

nardo?

c

B

A

4.2. pelo B ernardo para ir ao encontro da posicao do 8

Carlos?

4.3. pelo C arlo s para ir ao encon tro da posicao da A na, passando pela do Bernardo? 8

5. Sejam A e B acontecimentos independentes.

Mostre que:

5.1. A e B tarnbern sao acon tecim ento s indep endentes; 10

5.2. PIA ] + P[B] -1= PIA ] x P [B] - P IA ] x P IB l . 10

FIM

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-,I",.. ....·"T o;l" ',~ .... ~ . ,', -.,.-._ ._~...:.:-.:r-~-"''::'r'.I-· '.'. _ u • •.

T E S T E _ D E A V A ~ IA _ C A o '

Nome Data

Turma N .O Duracao - 90 minu tos ~Ac!..!va~li~ac~a~o _

== -1.a !Parte

As questiies da 1 , a parte sao de escolha muuiol», Para cada um a delas, sao indicadas quatro

a lt erna tiva s, da s quai s 56 uma este correcta.

1. Seja [ ABCDEF ] um hexaqono. 7

F~ ......

AD

B c

Sao escolhidos, ao acaso, dois vertices do hexaqono, A probabilidade dos dois vertices

nao forrnarern urn dos lades do hexaqono e de:

(A) 6 x 36f;'

(B) 6 x 5

~

6(e) 1 - 6 C

2

•6

(0) 15'

2. Para uma certa experiencia aleat6ria estao dois acontecimentos A e B tais que: 7

(- 2

PA)=-'3'

P(B) = ~ e- - 3

P(AUB)=t;.

Relativamente aos acontecirnentos A e B podemos afirmar que:

0

lii

.,;. . .I

.. :1 l. ,""

~l!lI

~I

Ii:

~t:iw

g3 .

~

~

(A) sao independentes;

(B) sao contraries:

(e) a probabilidade de AU B e 172;

(0) sao incompativeis mas nao contraries.

Num saco ha cinco bolas: tres azuis e duas vermelhas. Retiram-se, ao acaso, tres 7

bolas com reposlcao. A probabilidade de se obter apenas uma bola vermelha nas

extraccoes e:

(A) lx ( l y . (B) ( l y xl,5 5' 5 5 '

(e) lxl. (0) ( ; Y5'

Mat em at ic a A - 12 ,' a no - T es te d e A va Ii a~ ii o 2

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4. Na figura estao representados os qraficos de duas distribulcoes norma is, N ( , u A ' O 'A I e 7

N ( , u B ' O 'B I, em que , u A = , u B .

Relativamente as duas dlstribulcoes podemos afirmar que:

(A I O 'A = 0'B .

(B) O 'A > O 'B .

(C ) O 'A < O 'B .

(0) Nenhuma das opcoes anteriores.

5. A soma dos nurneros de uma linha n do trianqulo de Pascal e 32768.

A soma dos tres primeiros termos da linha anterior e :

7

(A ) 121.

(B) 9 1.

(C) 455.

(0) 106. \

6. Seja X uma variavel aleat6ria cuja dlstribuicao de probabilidades e dada por: 7

Xj 0 1 2 3 4

P ( X=x j)1 1 1

b4 " 3 4

emque P(X<21=! .

Podemos concluir que:

(A ) a = b e ,u = 2 .

(B) a < b e ,u = 2 .

1[C) a = 0 e b = 6 .

1(0) a = 12 e ,u = 2,1 .

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2.a Parte

1. Seja Q 0 espaco de resultados associado a uma experiencia aleat6ria. Sejam A e B

dois acontecimentos compatfveis (AC Q e Be QJ .

1.1. Mostre que pIA nBl = P (A I - P IA n BI, em que P designa probabilidade. 16

1.2. Dos operarios de uma empresa, sabe-se que:

o 32% nao usam oculos e sao homens;

o 41% usam oculos e sao homens;

044% nao usam oculos.

Escolhendo aleatoriamente um operatic da empresa, qual a probabilidade de:

1.2.1. ser uma mulher?

1.2.2. usar oculos e ser mulher?

1.2.3. nEIOusar oculos, sabendo que e mulher?

Apresente 0 resultado sob a forma de percentagem, arredondado as decirnas.

9

9

11

2. Para pintar uma bandeira com cinco tiras, como a indicada na figura, tem-se 3 cores 1 6

diferentes.

Sabendo que as tiras dos extremos da bandeira tem de ter a mesma cor e que duas

tiras consecutivas nao podem ser pintadas com a mesma cor, numa pequena compo-

sicao indique de quantas maneiras diferentes se pode pintar a bandeira.

Mat em a ti ca A - 1 2. ' a n a - T e s te d e Av a li a~ li o 2

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3. Uma turma e composta por 24 alunos (12 rapazes e 12 raparigasJ.

3.1. Num saco existe um papel com 0 nome de cada um dos alunos da turma. 10

Se cada aluno extrair um papel com 0 nome de um dos colegas, qual a probabili-

dade de se obter uma sequencia alternada rapaz-rapariga?

3.2. Nesta turma pretende-se escolher uma comissao para organizar uma festa de

Carnaval. A comissao sera formada por tres elementos: um presidente, um tesou-

reiro e um decorador. Quantas comiss6es diferentes se podem formar se:

3.2.1. 0 delegado e 0 subdelegado de turma tiverem de pertencer a comissao? ! 5

3.2.2. a comissao for formada s6 por raparigas? 5

3.3. Foram oferecidos a esta turma tres bilhetes para um concerto. Como todos os alu-nos estavam interessados no espectaculo, sorteou-se os tres elementos que iriam

ao concerto.

Seja X 0 nurnero de rapazes sorteados da turma.

3.3.1. Construa a tabela de distribuicao de probabilidades da variavet X , apresen- 20

tando as probabilidades na forma de fraccao irredutfvel.

3.3.2. Qual a probabilidade de 0 nurnero de raparigas ser superior ao numero de 12

rapazes sorteados?

4. As alturas das crlancas de uma determinada faixa eta ria seguem a distribuicao normal

N(85, 5).

Uma educadora de infancia tern, na sua sala, 26 crlancas dessa faixa etaria,

4.1. Escolhida, ao acaso, uma dessas crianc;:as, determine a probabilidade de:

4.1.1. a sua altura ser superior a 80 cm ; 15

4.1.2. a sua altura estar entre 85 cm e 95 cm . 15

4.2. Fac;:auma estimativa do nurnero de crianc;:as dessa faixa etaria com menos de 75 cm . 15

FIM

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-r.,:r·.::. ..--- ....'·..."~_:.'P'i:;:.:I: .. ~~ ....L.nn. ...::Jr", •• ~~~~~ ...'T.""!"~,_ '-J: ;. ....-u:y-- ;~ ......._ y- - "~ .. ~"_

'_ . _ r E ~ _ ~ ~ _ l ( ~ A ,~ A p .A C ~ :9 .

Nome Data

Turma Duracao - 90 minu tos "-,,A,-,-,va= li=ac=ao~ _

1.a Parte

As ouestiies da 1 .a parte sao de escolha multipla , Para cada um a delas, sao indicadas quatro

a iter na tiv as , d as q ua is 56 uma este corrects.

1. A expressao

(A) 5

2

(B)3

-2'(e)

7-2

(0)5

2'

In ( V e l + In lln e) -l093 ( ! ) tern urn valor nurnerico igual a: 7

2. A funcao f definida por f Ix) = Iln (x2- 3) I tern, respectivamente, dominic e contradominio: 7

(A ) IR~ e IR ;

(B) [3, + oo] e IR~;

(e) ]3, + oo[ e IR~;

(0) IW e IR _

3. a conjunto dos nurneros reais, solucoes da inequacao In (3 - 2x) ~ 1 , e: 7

0(A) ]~ + o o [ -

"2 ' ,

r~I ] - 0 0 ~ ] ,< (B)s

:3 ' 2 '-as

e.s" [~ ~ [,:! l

(e)2 '2 '~

I

a:

~ (0) ] - 0 0 - ~ [:iw ' 2 '~

~

II4. Considere as funcoes f e 9 definidas por f Ix) = e- X e 9 lxl = x " , respectivamente. ?

a lim [g Ix l x f lxll e igual a:x--++oo

(A) + 0 0 ; (B) - 0 0 ;

(e) 0 ; (0) 1_

Ma te rn at ic a A -1 2, ' a no - T es te d e A va ll ac ao 3

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5. Na figura seguinte esta a representacao qraflca de uma funcao h .

y

x

Sejam i e j as funcoes definidas por i lx l = eh lxl e j Ix ) = In Ih (xll .

5.1.0 dom fnio da funcao i e : 1

(A) ] - 00, ~[ ;

(B) [ 0 , e ~ ] ;

(e) IR ;

(0) ] 0 , V e ] .

5.2. 0 dom fnio da funcao j e : 7

(A) ] a , ~ [ ;

(B) r- 1 , 0[;

(e) t- 1 , 0] ;

(0) IW.

5.3. As solucoss da inequacao h lx l x e : , . ; ; 0 p erten cem ao c on ju nto -so lu cao : 7

(A) l-00, - 1[ U ]0 , + oo] ;

(B) [0, + oo] ;

Ie) ]- 1 , 0[;

(0) ]- 00, - 1] U [0, + oo] .

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2.a Parte

1. Na figura esta uma represernacao grMica da funcao f tal que f ( x ) = log3(ax + b ) ,

com a, bE IR .

y

f

x

(~.

1.1. Determine a e b. 10

1.2. Utilizando os valores obtidos na alfnea anterior, indique:

1.2.1.0 domfnio de f;

1.2.2. 0 contradomfnio de f;

1.2.3. 0 objecto cuja imagem por f e 2.

10

6

10

2. Na figura estao representadas as funcoes f e g definidas por f i x ) = e X - e

e g Ix l = t:' [x] .

x

2.1. Determine:

2.1.1. as coordenadas do ponto A ;

2.1.2. as coordenadas do ponto B ;

2.1.3. {fogJ ( O J .

10

10

9

Ma temat ic a 1 1 -1 2 .' a n o - T e st e d e Av al ia ~i io 3

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• • ~..... - • - -,.' r r • -....-_ ~=--

T E S T E D E A V A L IA C A o

2.2. Indique uma equacao da assimptota do qrafico da funcao f. 9

2.3. Mostre que f e injectiva. 10

2.4. Determine as coordenadas dos pontos de interseccao das func,:6es f e g , com 1 5

duas casas decimais, utilizando a calculadora qrafica.

2.5. Caracterize a funcao 9 l x l . 15

3. Num estudo de mercado, urn pequeno empresario concluiu que a quantidade de

produto vendido mensalmente pela sua empresa dependia do preco de venda do

mesmo ao publico.

o modele rnatematlco desta retacao e Q(x) = e5-x + 1,2 para x> 0, em que x eo

preco unitario de venda do produto, em euros, e Q lx l a quanti dade vendida por rnes,

em milhares.

3.1. No contexte do problema, indique 0 significado de Q [2J . 10

3.2. Mostre que 0 lucro mensal da empresa na venda deste produto, em milhares de 12

euros, e dado por:

LlxJ = l x - 2J (e5-x + 1,2J, para x > 0 ,

sabendo que 0 custo unitario da sua prcducao e igual a 2 € .

3.3. A empresa pretende ter lucros superiores a 7,5 mil euros. Determine os valores de 1 5

venda do produto, para os quais atinqira 0 objective proposto.

Redija uma pequena cornposicao rnaternatica onde explique, de forma clara, os

elementos recolhidos na calculadora qrafica de modo a justificar os valores obtidos.

FIM

,

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"~-::;!:..f.l.: 1 : ! . . . .;.:t:lI.·I"T"c...~W".~).lo~\t' " :.~ •...., .~~ ..-:"-'."..::,-a~ ' . 1 J 'f • • ~"'r - . -~ ~. . . ~

' . _ ..' _ . ! E ~ T F b ~ , .A V A L I A C A O .

Nome Da t a

Turma N .O D u ra c ao - 9 0 minutos , - ,A ," ," ,v a " " , ,l i= a C x .: : :a ~ o _

=

1.a Parte c o t a c ; a o

As questiies da 1 . a parte sao de escolha tm sitip t«. Para cada um a delas, sao indicadas quatro

a ite rn ativa s, d as q ua is 56 u ma esta co rrecta . 7

1. Na figura esta representada, num referencial o. n. Oxy, parte do qrafico da func;ao f,

de dominio IR , definida por f Ix) = e X - 2 .

Oa figura sabe-se que:

• 0 ponto A e 0 ponto de interseccao do qrafico

de f com 0 eixo das abcissas:

• 0 ponto B e 0 ponto de interseccao do qrafico

f com 0 eixo das ordenadas:

• 0 ponto C pertence ao eixo das ordenadas

tal que DB = DC ,

Qual e a area do tr ianqulo?

(A) 4 In 2 . (B) ln2

2.

(0) 2 In 2 .e) In 2 .

x

2. Seja 9 uma tuncao definida em IR por 9 (x ) = 5 _ ~ ~ 7x2+ 1) .

C id - d t l n2

+ 1onsl ere a sucessao e ermo gera u n = --3 - .

n

(~o valor de lim 9 ( u n ) e igual a:

n--.+oo

3(A) 4'

(e) 2

4

3(B) 5'

2(0) 5'

7

3. Seja h a funcao representada no referendal da figura.

Relativamente a funcao h :

3.1. Qual das afirmac;6es seguintes e verdadeira?

(A) Se u, = 2 + ~ entao lim h [ u n ] = 0 .

(B) Se V =-2-1 entao h [ v n ] > O , VnEIN.n n

l~. (el Nao existe lim h [ x ] .x-+2

(D) Existe lim h [ x ] .x-+O

TA_MI2-02

y

7

4

x

-2 ----.0

Mat em at lc a A -1 2. ' a no _ T es te d e Avalia~iio 4

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, . . :- .. . ' '" ~ - . ~

~ T E S T E D E A V A L IA C A O

3 .2 . Podem os afirm ar que:

(A) A funcao h e continua em todo 0 se u dornlnio.

(B) A funcao h e derivavel em x = 2 .

(e) 0 dominic d a tu nc ao h' e IR \ {- 2 , 0 , 2}.

(0) h" ( x ] < 0, v x E ]0, 2[.

7

4. No referendal da figura esta representada a funcao i' , funcao derivada da funcao i.

y

4 .1 . Podem os afirm ar relativam ente a tuncao j que:

(A ) item um extremo em x = 0 ;

(B) i" [0] = 0 ;

x

7

(e) A fu nc ao j e crescente no intervalo ] - 00, O [ e decrescente no in tervalo

]0, + oo[ ;

(0) i[- 1]< i[0] .

(A)

4.2. 0 qrafic o qu e corre spo nd e a representacao qrafica da funcao i" [ x ] e :

(B)

x

(e)

x

7

(0)

x

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2.a Parte

1 . Considere a fam ilia de funcoes definida por:

se x < a

se 0 :::;;;: : : ; ; ; 1

se x> 1

e a funcao 9 de dominic IR , representada graficam ente, em que y = a e y = 1 sao

assimptot as ho riz ont ais .

y

- - - - - - - - - - - r - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -,,,,,

4 x

1.1.lndique:

1.1.1. lim ( g f ) l x l :x~+oo

7

flI,

1.1.2. lim [ f x g l [xl;x_.1 +

7

1.1.3. x~~ (;) l x l :

. glxl

1.1.4. lim -x-'x-+o-

7

7

1.2 . Calcule k E IR de modo que f seja continua no ponto x = 0 . 12

1.3. Considere k = 1 e determine f'1- 21, usando a definicao de derivada de uma

funcao num ponto.

12

1.4. Indique a equacao reduzida da recta tangente ao qrafico de f no ponto de abcissa

2.

12

Mate ma tlc a A -1 2.' an o - T este d e A val ia ¢o 4

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I • -.. - -., I • ,-. -_ L _ • - - _ _

T E S T E D E A V A L IA C A o

1.5. Apenas um dos qraficos que se seguem corresponde a representacao qrafica da 1 2

funcao g ' . Elabore um pequeno texto explicitando a sua escolha do qrafico corres-

pondente a g ' .

(A) (B)

y y

(e) (0)

y y

2. 0 lucro obtido por uma empresa, t meses apes a sua abertura , e dado pelo modele

rnatematico L (t ) = - 1 ~ In t em que 0 lucro e dado em rnllhoes de euros.e - t

2.1. Calcule L [41. com duas casa decimais, e interprete 0 resultado obtido no contexte 8

do problema.

2.2. A partir de que rnes a empresa cornecou a ter lucros? 1 1 1 ')

2.3. Apes a abertura desta empresa, realizou-se uma campanha publicitaria para pro-

mover os produtos da mesma. Durante a campanha verificou-se um aumento dos

lucros da empresa, mas quando esta terminou ocorreu uma diminuicao imediata

dos lucros. Utilizando apenas processos analfticos, determine:

2.3.1. quando e que a empresa terminou a sua campanha publicltaria: 15

2.3.2. 0 lucro maximo obtido pela empresa lcorn duas casas decimaisl. 10

2.4. A empresa decidiu voltar a fazer uma campanha publicitaria no rnes correspon- 1 2

dente ao ponto de inflexao do qrafico de L l r l . Determine 0 mes em que se iniciou

a segunda campanha publicitaria.

3. Considere a funcao h tal que h l x l = k X

2

X + 1 , com k E IR. Determine k de modo que:

3.1. Y= 5x defina uma assimptota oblfqua da funcao h ; 1 2

3.2. a funcao h tenha pelo rnenos um zero no intervalo ]1 , 2[, sabendo que h [2! < 0 . 15

FIM

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Nome

._ " ", --. ..... ' ~ -._~. !",IOL~. ,.:':!.r -. ~~' •• l ....".!j

T E S T E D E A V A L IA C A O ~- - ~l

D a t a

T u r m a N.D D u r a c i i o - 9 0 minutos ! - ,A c ! . . ! v a " " l i ~ a c < ! ! i i o ~ _

1.a Parte

As questiies da 1 . a parte sao de escolha muitipl». P ara cada um a delas, sao indicadas quatro

a lte rn ativ as , d as q ua is 56 uma e ste c or re cta .

1. De uma funcao f sabemos que:

• 0 seu contradominio e [0, 2]

• contern 0 ponto de coordenadas (0, 21.

Uma expressao analftica de f podera ser:

(A) sin 12xl + 1 ;

(e) 2 cos Ixl + 1 ;

7

(B) 1 sin lxl] + 1 ;

(0) 12 cos (2xl 1 .

2. A expressao geral dos zeros da fu ncao 9 (x ) = tg (~) e dada por:

kn(B ) x = "2' k E IR ;

(0) x = n + 2kn, k E IR .

(A) x = k«, k E IR ;

(e) x = 2kn, k E IR ;

7

3. Seja h Ix l = 2 sin (4x) + 3 uma tuncao. Uma representacao grMica da funcao h'(x ) , 7

derivada de h, e :

(A) (B)

x x

0

§

;:jI

<

~ (e)y

(0)yee

IE

"\il8:!l

I

~I

~i:iw

g

~

~ 1! x 1! x8 2

-8

y

-8

Ma temMic aA -1 2 .' a n o - T e st e d e Avallaeao 5

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4. A figura ao Ladecontem representacoes qraflcas das tuncces.

o / I x l = 1+sln (~)

• j(x ) = coslxl + 1

no intervalo x E [0, n;] .

As coordenadas do ponto A, interseccao das

funcoes i e j, sao:

(A ) (~ , 2 + 2 \ 1 ' 3 )

(B) (~, 1 )(e) (~, ;)

(D ) (~ , 2 + 2 0 )

7

y

2

o 1t x

5. Considere a funcao h-(x) = sinlxl + x. Relativamente a funcao h Ixl podemos afirmar 7

que:

(A) possui uma assimptota oblfqua y = x ;

(B) lim h(x) = 2·x--+O x '

(e) h'(x) > 0, v x E IR ;

to } tem contradomfnio [- 1, 1].

6. A figura apresenta uma representacao qrafica da funcao m definida por:

m (x)= - 2 coslxl + sin Ixl - ~ x

A recta r, de inctlnacao e , e tangente ao

gratico de m no ponto A de abcissa x = ~ .

o valor de e e igual a:

(A ) ~ ;

(B ) - ~ ;

(e) ~;

( D )n;

6

7

x

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2.a Parte

1. Considere a funcao real de variavel real

{

a + b cosx,

fIx) =x - ! Ee 2, se x< ~

com a e bE IR.

1.1. Sejam a = 3, b = - 1 e tg () = 2, com ()> ~ . 12

Recorrendo unicamente a processos analfticos, determine f W ] .

1.2. Sejam a = b = 1 .

1.2.1. Mostre que a funcao f e continua em x = ~ . 12

1.2.2. Determine 0 dominio e 0 contradominio de f. 12

1.2.3. CaLcuLe:

)L

· fIx]a 1 m _ .x~+oo X ' 8

b) L im fIx];x_-oo x

8

) L· fIx] - f l 7 t ]

C 1 m .Xlt X - 7 t

8

1.2.4. Mostre que:

a) nao existe f' (~) ; 8

]7 t 7 t [ V 2) 3 x E - - - . fIx) = - .2' 2' 2 '

10

c) a funcao f tem uma infinidade de pontos de inftexao. 10

Matema ti c a A- 12 , ' an o - T e st e d e Avalia~ao 5

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'I

2. Numa empresa que promove pereursos turlsticos de barco, 0 Luero obtido e dado peLo

modeLo maternatico:

em que L representa a Luera da empresa, em miL euros, t meses apes a inlcio

de 2006.

2.1. QuaLfoi 0 Lucro obtido peLa empresa no primeiro rnes de 2006? Apresente 0 resuL- B

tado obtido com tres casas decimais.

2.2. QuaLfoi 0 mes em que a empresa obteve 0 lucro maximo no ana 2006? 12

2.3. Quantos meses por ana (em 2006 e 2007J esta empresa uLtrapassou os cinco 10

miL euros de Lucro?

Apresente 0 resuLtado obtido arredondado as centesirnas.

2.4. Comente a seguinte afirrnacao: 10

"Nesta empresa de turismo observou-se um aumento nos Lueros obtidos em 2007,

reLativamente ao ana de 2006, e espera-se que estes continuem a aumentar se as

variaveis em causa nso modificarem."

3. Seja f uma funcao de domlnio [0, 21t], cuja derivada, f', esta definida em [0, 21t]

e e dada por:

f' Ixl = ~ - sin x

Sem reeorrer a ealcuLadora gratica determine:

. {'(xl3.1.0 vaLor de Lim -x ;

x-a1 2

3.2. 0 sentido das concavidades do qrafico de f e os respectivos pontos de inflexao. 1 8

FIM

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Nome Data

1.a Parte

Turma Duracao - 9 0 minutos !..!A~va~li~ac~a~o _

1. A equacao r+ 2X 2 + X + 2 = 0 admite, em C, as solur;6es:

(A) x = - 2 ; x = i ; x = 2 i

(B) x = i ; x =- i

(e) x = - 2 ; x = i ; x = - i

(0) x = - 2; x = 2i

2. Considere 0 losango da figura com vertices Z1 , Z2' Z3

e Z4' de perirnetro 20 em que

IZ11 = ~ IZ21.

Entao:

(A) Z1=3, Z2 = 4i , z3=-3 e Z4= - 4i

(B) Z1=4, Z2= 3i , z3=-4 e Z4=-3i

(e) Z1=2, Z2= 3i , Z3=- 2 e Z4= - 3i

(0) Z1= 1 , Z2= 4i , Z3 = - 1 e Z4=- 4i

As questiies da 1 . a parte sao de escolha m iiitip l». Para cada uma delas, sao indicadas quatro

a itern ativas, d as q ua is 56 u ma esta co rrecta .

7

1 m 7

Z, R e

3. De um mirnero complexo Z sabemos que iz = Z, Re lz ] < 0 e 1 z I = v3 .o nurnero complexo z e:

(A) v3 cis ~ ;

(e)~r ; : ; . 3nv s cls4;

(B) - v3 cis ~ ;

(0)~r ; : ; . 3n

- v s ClsT'

4. Considerando a figura ao lado, a imagem qeorne-

trica de - iZ1 e dada por:

(A) Z1;

(B) Z2;

(e) Z3;

(0) Z4'

7

-3 3 : R e

1 m

3

Z3 2e··------------------

_ __ __ _ __ __ __ _ Z 2

7

o-2

-2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - eZ,

: -3e-------------

Z4

Ma temat ic aA _ 1 2. ' a n a - T e st e d e Av al ia ~ ii a 6

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5. 0 conjunto Iz E IC: o c arg z:s:;;~ 1\ I z I :s:;; 1\ 1mz ~ 1} corresponde a representacao 7

qeornetrica:

(A)1 m

(B)1 m

2 2

2 R eR e

(e)1 m

(D)1 m

2 R e R e

6. Seja z = sin (~) - cos (~) i J entao 0 argumento positivo rnlnlmo de z e : 7

(A)1t

6 '

(B)20n

6,

(e)_ n .

6'

(D)2n

3

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2.a Parte

1. Sejam Z1 = a + (2 - bl i, com a, bE IR

Z2 =- 1+ 2i e Z3 = i .

1.1. Determine a e b de modo que:

1.1.1. Z1 seja um nurnero reaL; 1.1.2. Z1 seja um irnaqinario puro. 8

1.2. CaLcuLe e apresente 0 resuLtado na forma alqebrica: 35

1.2.1. Z2 + Z3 ; 1.2.2.-Z2 - Z3 ;

(( 1.2.3. Z2 + Z3 ; 1.2.4. iZ2 x [ Z 2 + z31 ;

Z21.2.6.

Z3 .1.2.5. Z3 ; -I

Z2

1.2.7. [ z 2 13.

~ 2.

~I-c

.~""~;:;lI

E SI

~w

8

~

'I

1.3. Mostre que a imagem qeornetrica de w = Z.2 - Z 3 i pertence a bissectriz dos qua- 7I

drantes fmpares.

1.4. Sabendo que Z3 e solucao do polinornio P lz l = 2z3 + Z2 + 2z + 1 1 determine todas 10

as solucoes do polinornio em C.

1.5. Represente na forma triqonornetrica os nurneros compLexos:

1.5.1. Z1, para a=2 e b=2-2V3;

1.5.2. Z3 .

7

5

Na figura estao representados, no plano complexo, dois trianqutos equililteros, centra-

dos na origem e inscritos em duas circunferencias de raios 2 e 8.

Os vertices dos dois trianqulos, A, B, C, D,

E e F, sao a imagens geometricas dos

nurneros complexos ZA' Z8' zc, ZD, ZE' e ZF'

respectivamente.

2.1. Apresente, na forma trigonometrica, os

nurneros complexos:

2.1.1.z8;

2.1.2. ZA;

2.1.3. ZF'

1 m

R e

4

4

4

Ma temat ic aA -1 2 .' a no - T e st e d eAv aI ia ~f io 6

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2.2. Indique as nurneros complexos da figura que sao iguais a:

2.2.1. zc;

2.2.2. [ZAP;

4

6

2.2.3. ZA x Za x Zc ; 6

162.2.4. z;. 6

2.3. Mostre que ZA, Za e Zc sao rafzes cubicas de ZE. 1 2

2.4. Determine, na forma alqebrica, 0 numero complexo ZA. 8

2.5. Defina par uma condicao em C a zona sombreada da figura. 10

3. Traduza, por uma ccndlcao, 05 conjuntos seguintes representados no plano complexo:

3.1.1 m

______--:: 4

,- ,~" .:- ,

, ' . ~ . . . . ".".'

. .'. '.

: "M" ,. '. ', ',,' .. -. " ,.. , .: .. .: /',' ,

11

-4 -1 0 Re

f v 1 e 0 ponto medic de [AB] ,

em que A l-4, OJe B [0, 4J .

3.2.1 m

11

FIM

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Testes Globais

Temas Subtemas

1 2 3

ln tro du ca o a o c alc ulo d e p ro ba bilid ad es X X X

Probabilidades e An a li se c ombi na t6 r ia X X X

Comblnatoria

D istribuicao de Irequencias re la tivas e d istribu icao deX X

probabil idades

F un co es e xp on en cia is e lo ga rftm ic as X X X

lntroducao ao T eoria de lim ite s X X X

Calculo Diferencialll

Ca lc u lo d if er en c ia l X X X

Funcoes seno , co-sene e tangen te X X X

Trigonometria e

Nurneros ComplexosComplexos X X X

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Nome D a t a

T u n n a N .O D u r a y a o - 9 0 minutos ! . . !A c ! .C v a ~ h ~ · a c ! C a ~ o _

---1.a Parte

As questoes da 1 . a parte sao de escolha multipla. Para cada uma delas, sao indicadas quatro

alternativas, das quais s 6 uma este correcta.

1. 0 valor de lim -9 2 2 e :x--3+ - X

7

(A) 0;

(B) - 00;

(e) +00;

(0) 2.

2. Indique 0 conjunto dos nurneros reais que sao sctucces da equacao: 7

e2lnx = l092 8

(A) { - v '2 , v '2 } ;

(B) { y I 3 } ;

(e) { - y I 3 , y I 3 } ;

(0) {- 3, 3}.

3. Seja t uma funcao, de dominic IR, tal que:

• t e continua;

7

• ((0) > 0 ;

• a recta y = x + 1 e assimptota do grMico de ( quando x - +00 e quando x -. - 00•

No que diz respeito a exlstencia de assimptotas, 0 grMico da funcao 9 definida por

g(x) = (Ix) :x

(A) tem uma assimptota vertical x = 0 ;

(B) nao tem qualquer assimptota;

(e) a recta y = x + 1 tarnbern e assimptota do qrafico de 9 quando x --+ + 00 e

quando x--oo;

(0) tem uma assimptota vertical x = 0 e uma assimptota horizontal, y = 1 , quando

x - + 00 e quando x _ - 00.

Mat em a ti caA - l2 .' a n a - T e s te G l ob a ll

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4. Na figura pode ver-se a representacac grMica da funcao h lxl = sin x, de dominic .,

[- 1t, 1t] .

y

-1t x

-1

Seja i a tuncao, de dominic ]-1t, 1t[, cuja representacao grMica e :

y

-1t 1t X

Entao a expressao anaUtica de i (xl e :

(A) In [sin x l ;

(B) In llsin xll :

(C)_1_;Sin x

(0) -ISi~ .l

5. Numa feira de "Prova de vinhos", todos os enotoqos

demonstraram preferencia por, pelo menos, urn tipo

de vinho: branco ou tinto.

Sabe-se que:

3 5% dos enotoqcs preferem apreciar vinho branco:

70% dos enoloqos preferem apreciar vinho tinto.

. ,

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EscoLheu-se ao acaso urn dos eneloqos da feira e soube-se que este aprecia vinho

branco.

QuaLa probabilidade de tambern apreciar vinho tinto?

(A)1

7'

(B)5

100 '

(e)35

100 '

(0)1

12 .

6. Considere todos os nurneros impares com 7 aLgarismos. EscoLhe-se ao acaso urn destes 7

nurneros. A probabilidade do nurnero escoLhido ter 7 aLgarismos Irnpares e :

(A)5 A ~

5 x 10 4'

(B)7 !

5 x lO C4

'

(e)

5 A ~

5 x lO A ~ ,

(0)5 A 7

5 x lO C4

7. No pLano compLexo, 0 Lugar qeometrico das imagens dos nurneros compLexos z que

satisfazem a condlcao

7

~-z= 0 e :i

(A) uma recta vertical;

( B ) a mediatriz do segmento de recta [ P Q l , em que P [ O , 1 J e Q [ 1 , O J ;

(e) a bissectriz dos quadrantes fmpares;

(0) uma circunterencia.

2.a Parte

1. Seja z = cis a.

1.1. Mostre que z +Z= 2 cos a . 12

1.2. Admitindo que 0 < a < ~, determine 0 valor de Arg [z1J , em funcao de a, de 14

modo que z, xz=4i.

TA_M12·03 Ma te rn it ic aA - 1 2. ' a no - T es te G lo ba l 1

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,.-., ~-~ • ~ - ~.- -:;:--. -. - - t- - - ~ J ~ •• -r--.~ - _~,

T E S T E G lO B A L

2. Na figura estao representadas tres caixas, A, Bee. A caixa A contern tres bolas

brancas e duas bolas pretas. A caixa B contem duas bolas com 0 nurnero 50 e uma

bola com 0 nurnero 100. A caixa C contern duas bolas com 0 nurnero 30 e uma bola

com 0 numero 20.

--00 @

@@

C aixa A Caixa B Caixa C

Realiza-se a seguinte experiencia:

Q retira-se uma bola da caixa A ;

• se a bola extra fda for preta, retiram-se, sucessivamente e sem repcslcao, duas bolas

da caixa C e soma-se os numerus obtidos:

o se a bola extra fda for branca, retira-se uma bola da caixa B e regista-se 0 nurnero

obtido.

2.1. Determine a probabilidade de obter 0 nurnero 100, nesta experiencia. 15

2.2. Qual a probabilidade de obter um nurnero inferior a 80? 1 4

2.3. Sejam F e P os acontecimentos:

F : "obter 0 nurnero 50"

P : "obter uma bola preta na l.a tiragem"

2.3.1. Indique, justificando, a probabilidade de P IF I PI. 10

2.3.2. Verifique se os acontecimentos F e P sao independentes. 1 4

3. Considere a funcao t , de domfnio IW, definida por {(xl = x In x - x .

3.1. Sem recorrer a calculadora qrafica:

3.1.1. determine uma equacao da recta tangente ao qrafico de f no ponto de 1 4

abcissa 2;

3.1.2. estude a tuncao f quanto ao sentido das concavidades do seu grMico e 10

quanto a existencia de pontos de inftexao.

3.2. 0 conjuntc-solucao da inequacao /Ix l ~ l~ X e um intervalo fechado [a , b]. 14

Recorrendo as capacidades da calculadora qraflca, determine os valores de a e de b,

arredondados as centesirnas.

Nota: Na sua resposta, apresente os elementos recolhidos na utilizacao da calculadora qrafica,

nomeadamente, 0 qrafico ou qraficos obtidos, coordenadas de pontos relevantes e ferra-

mentas utilizadas na calculadora.

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4. Numa cidade determinado indicador de polulcao da atmosfera varia periodicamente.

Durante os ultirnos 2 anos a rnedicao deste indicador e representada pelo qraflco da

figura seguinte, referente ao modele rnaternatico:

p (x ) = c + a cos (b x) , 0 ~ x ~ 104

em que P representa 0 numero de toneladas de poluicao Libertadas para a atmosfera

durante x semanas apes 31 de Marco,

o 13 26 39 52 65 78 91 104 x

( semanas)

4.1. Determine a, bee. 17

4.2. Para uma cidade ser considerada "verde" tem de obedecer as seguintes condicoes: 17

• a poluicao atrnosferica tem de ser inferior a 1 tonelada, em 50% dos ultirnos

dois anos;

• nao podera existir perfodos superiores a sete meses com poluicao acima de

1 tonelada;

• entre 0 dia 1 de Julho e 25 de Dezembro a poluicao atrnosferica tem de ser

inferior a 1 tonelada.

Numa cornposicao rnaternatica expLicite se a cidade apresentada pcdera ser consi-

derada "verde", justificando devidamente a sua resposta.

FIM

Mat em at ic aA -1 2. ' a na - T es te G lo ba l 1

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';'- '= _ ,- ,-_ ..., . -a : ....L,- 1 .:. -,~ j. ~ .~'.,

T E S T E G L O B A L- ,

Nome Da t a

Turma N .O D u ra ca o - 9 0 minu tos = -- 'A "" 'v a li= ·= ac= a" ' -o _

1.a Parte

As questiies da 1 . a parte sao de escolha muitipi«. Para cada uma delas, sao indicadas quatro

alternativas, das quais s 6 uma este correcta.

1. Indique 0 conjunto dos nurneros reais que sao sotucoes da lnequacao Logs(2 - x) > 1 . 7

(A) t- 3, 2[;

(B) l-00, - 3[ ;

(C ) l-3, + oo] ;

(0) ]- 2, 3].

2. Seja f: [0 , 21t] --+ IR uma funcao continua. Sabendo que 2 e 0 maximo absoLuto da 7

funcao f, entao fIx) pode ter expressao anatitlca iguaL a:

(A) 2 sin x - cos x :

(B) 3 - cos x :

(C) 3 cos x + sin x ;

(0) 2 - 2 sin x .

3. Na figura apresenta-se uma representacao grMica da funcao f continua de domlnio

]0, + 00[.

y

- - - - - - - - - - - - - - - - - ~ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

x

3.1. 0 qrafico da funcao 9 (xl = f ~ J e dado por: 7

(A) (B)

Y \ U ~- - - - - -~ - - - - - - - -

- ~ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -, ,, ,

: b,,,,,,,,,,,

x a :,,,,,

x

Mat em at ic a A - 1 2. ' a na - T es te G lo ba l 2

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(C ) y (D)

,'L: :, ,, ,

, ,

, ,, ,, ,------ - - ~ - - - - - - - - - - - ~ - - - - " - - - - - - - - - - - - -

,,

xx

3.2. Sabendo que i' e t" sao, respectivamente, a primeira e a segunda derivadas da 7

funcao f, entao a afirrnacao verdadeira e :(A) t' l a l - t' [b J = 0 ;

(B) f ( a J - f O O [ a J > O ;

(C ) f [ b J + f O O [ b J > O ;

(D) r: la l + t" [b J < 0 .

4. Na figura esta representado urn dado equilibrado "lmaqinarlo" e a sua respectiva 7

planificacao. '

-i

1 i -1

-i

i

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t

Lanc;:a-se0 dado duas vezes. Seja X a variavet aleat6ria "produto dos nurneros saldos

nos dois lanc;:amentos".

Indique 0 valor de k tal que:

P(X=-1)=k.

4(A) 36 ;

10(B) 36'

8(e) 36 ;

12(0) 36 .

5. Num clube desportivo existem 7 modalidades diferentes das quais 3 sao de cornpetlcao 1

em equipa.

Um jovem pretende inscrever-se em 3 modalidades diferentes. Quantas opcoes dife-

rentes tem, sabendo que se ira inscrever em, pelo menos, uma modalidade de

equipa?

(A) 3x4 C .,

(B) 4 x 3 C + 3 x4 C .2 2 ,

(e) 3 C x 4 C + 1 .1 2 ,

(0) 1 + 4 X 3 C 2 + 3 X 4 C 2 •

~,

6. A area da reqiao do plano complexo definida pelo conjunto: 7

{ZEC: 1~lzl~2 /\ ~~Arg(z)~~} e :

(e) 1 ;

1

" 4 '0)

Mat em at ic a A - 1 2.' a na - T es te G lo ba l 2

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2.a Parte

1. Em {:, conjunto dos numerus complexos, considere:

z, =2 + 2i, Z2 = 2 cis ~ e Z3 = 2 cis 7: .

z,1.1. Sem recorrer a calculadora, determine Z2' apresentando 0 resultado na forma 10

alqebrica .

1.2. Z2 e Z3 sao duas rafzes consecutivas de fndice n de um determinado nurnero com- 14

plexo z. Determine n e as restantes rafzes fndice n de z.

2. Considere uma turma de 24 alunos. Qual a probabilidade de, pelo menos, dois alunos 15

desta turma fazerem anos no mesmo dia?

Numa pequena ccmposlcao, com cerca de 10 lin has, justifique a sua resposta e orga-

nize-a de modo a evidenciar os seguintes aspectos:

• lei de Laplace;

• procedimentos de contagem do nurnero de casos

favoraveis:

• procedimentos de contagem do nurnero de casospossfveis;

• nocao de acontecimento contrario.

Na resolucao do problema considere 0 ana com 365 dias.

3. Num saco ha 20 cartoes, indistingulveis ao tacto, em que 8 sao azuis e 12 amarelos.

3.1. Retiram-se do saco dois cartoes ao acaso. Qual a probabilidade de terem sido

retirados:

3.1.1. dois cartoes azuis? 7

3.1.2. um cartao de cada cor? 7

3.2. Suponhamos que sao retirados dois cartces, sucessivamente e sem reposicao.

Considere os seguintes acontecimentos:

A : retirar dois cartoes de cores diferentes;

B: 0 primeiro cartao retirado ser amarelo.

Determine:

3.2.1. P IA I B I ;

3.2.2. P 1 . 4 I B J .

10

10

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,. N a figura ao lade esta representada um a

circunferencia d e cen tro 0 e raio 1 , num

referencialor tonormado xOy, em que:

y

15

• P percorre a circunferencia n o sentid o

po si ti vo , i ni ci ando 0 seu percurso em R e

term inando em 5;5 R x

'.1. M ostre que PO + 00 + PO e dado, em

funcao de a, por:

P raj = ; + ~ 5 - 44cos a .

3 - v '3'.2. Determine 0 valor de a para 0 qual P raj = 2 .

'.3. Mostre que a funcao P [ a J e estritamente crescente em todo 0 seu d om in io .

14

15

5. N um a vila 0 caudal de urn ribeiro e dado pela funcao

{

235 - 12 log3 (3t + 27 )

L (t ) = 75 + k eO ,o s ( 1- 72 1

se 0 ~ t « 72

se i» 72

em que Leo num ero de litros por hora do caudal, t dias apes 0 in lcio da medlcao e k

um a c on sta nte .

5 .1 . Qualo caudal do ribeiro quando se iniciou a sua rnedicao? 5

5 .2 . Sabendo que a funcao L e c on tin ua , d ete rm in e 0 valor de k . 14

5.3. 0 caudal do ribeiro com ec;:ou a aumentar quando in iciaram as chuvas. Recorrendo

a calculadora qrafica . determ ine qual fo i 0 prim eiro dia de chuva apes 0 in ic io d as

m edic;:6es e em que dia e que 0 caudal atingiu os 500 litros por hera .

15

FIM

MatemAticaA - 1 2.' ano - T este G lobal 2

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- - - - -

T E S T E G L O B A L '

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~-F" _.~~ ........ ~r:.", • .! . _ .. ~ .~ - ' .....ri -: . r~. -~~. ' - r;' ."- •. ,. ~ -.:r~ __.._~

. '_ _ T ~ S T E , G L O B A L

N o m e D a t a

T u r m a D u r a c ; a o - 9 0 minutos ! . - 'A ,- , - ,v a ~ l i" " ,a c " " a " , -o _

1.a Parte

A s q uestiies d a 1 , a pa rte sao de escolha rmsi t ipl». P ara cad a u ma d elas, sa o ind icad as qu atro

a it er nat iv a s, das qua is 56 uma este corrects.

1 5, f f - d f ld IR f( ) sin (x ) + 1. eja a uncao e In! a em por x = 2x+1

Considere a sucessao de termo geraL u; = ~ ,n-n

7

o vaLor de Lim f( u n) e:

(A) 0;

(B) + 00 ;

1(C) 2'

(0) 1.

2. 0 quarto termo do desenvoLvimento de (Ln(2e2) - 1 )5 e : 7

(A ) - 20 Ln121- 40 ;

(B ) - 40 In 12e l - 40 ;

(C) 20 In 121+ 40 ;

(0) 40 In 12e l + 40 ,

3. Seja f uma tuncao de domlnio IR, continua, com derivada finita em todos os pontos

do seu dominic.

Na figura seguinte encontra-se uma representacao gratica de f', funcao derivada

de f.

y

x

Mat em at ic a A - 12 .' a no - T es te G lo ba l 3

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_ • :_...-:.~ ".~\""):~·~8 :'~}.:;a- ..,~~~~~ '=~...--.~--

T E S T E G L O B A L ' . ' . . < : ~• • ..... ~ ~ - • • .. \..,1. ••••

3.1. Sabendo que: 7

f[ - 51 = 2. t[- 41 = -1 • t [41 = 1 e f[51 = - 2. quantas solucces tem a equacao f[xl = 0 ?

(A) 2;

(8) 3;

(e) 0;

(0) 1.

3.2. Quais as abcissas dos pontos de inflexao da funcao f?

(A) x =- 4; x =4 ;

(8 ) x = - 5 ; x = 5 ;

(e) x = 0 ;

(0) x = - 4; x = 0 ; x = 4 .

7

4. Numa caixa existem tres bolas brancas e uma bola preta. Retiram-se duas bolas da 7

caixa, com reposlcao, e regista-se a sua cor.

Seja X a variavet aleatoria "nurnero de bolas pretas obtidas nas duas tiragens". Qual

das seguintes distribuic;6es de probabilidade pode ser a da variavel X ?

(A)Xj 0 1

P (X=x j ) ( ~ y 3 12x-x-

4 2

(8)Xj 1 2

P (X=x j )

1 3

( % Yx-x-4 4

(e)Xj 0 1 2

P (X=x j )

( t Y1 3

( % yx-x-4 4

(0)Xj 0 1 2

P (X=x j ) ( % Y3 1

( ± Yx-x-4 4

5. Seja S 0 conjunto de resultados, finito, associado a uma certa experisncia aleatoria. 7

Sejam A e 8 dois acontecimentos, contidos em S, tais que AU 8 = SeA n 8 * - 0 .

Sabendo que P (A ) + P (8) = = ~ , temos que:

4 1(A) P [AUB I=3" ; (8) p[AnBI=3" ;

2(e) P IA n BI = 3 " ;

- - 1(0) P IA UBI = 3 " '

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~-. ""'~I~""""~."""~M~tcr ..1":-_"'~:r"' ....--..*-~~~~f,.1';'" ~I' 0 - ~~ • - --- - _ . ~ - ~ '!

'T E :S ~ T r E · :G .L O B A L . 1

- - ~- . _ . ' .. - ~- '"-. - " - - ' - :.. . - - (

6. Em ([, conjunto dos numerus complexos, considere:

Z1 =4 + 3i e Z2 =2i x W

Sabendo que Z2 e urn irnaqinario puro em que 1m ( Z 2 ) < 0 e que I Z1 I = I z21 , entao:

7

(A) 5 . 31tW= CS-

2 '

(8)5 . 31t

W=-CS-

2 2'

(e) W= cis 1t ;

(0) W = ; cis 1t .

2.a Parte

1. Em ([, conjunto dos nurneros complexos, determine, sem recorrer a calculadora,

v '3 . ( . ( ; : . 2 • 1t)4 '194 VLCISg +1 ,

1 0

apresentando 0 resultado na forma triqonornetrica,

2. Seja z urn nurnero complexo tal que

z = k cis 321t , com k EIR .

Determine:

s=. 2.1. a que quadrante pertence [1 - ilz :

2i 22.2. 0 valor de k, sabendo que z = - 3 . 12

14

3. Uma empresa de reparacoes de redes de tetecomunlcacoes vai realizar 12 obras, das

quais 4 sao no distrito do Porto. A sequencia das obras vai ser realizada de forma

aleatoria,

3.1. Qual a probabilidade de que as 4 primeiras obras sejam exactamente as do distrito

do Porto?

Apresente 0 resultado em percentagem, arredondado as decirnas.

12

3.2. Para 0 rnes de Janeiro sao seleccionadas tres obras. Qual a probabilidade de

serem realizadas exactamente duas do distrito do Porto? Apresente 0 resultado em

percentagem, arredondado as decirnas,

12

Mat em ati ca A - 1 2.' a na - T es te G lo ba l 3

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4. Num exame medico e medida a pressao sangufnea e registam-se dois numeros na

f d - l 120orma e razao, por exemp 0,

80'o primeiro ruimero representa a pressao sistolica, isto e, a pressao nos vasos sangufneos

quando 0 coracao contrai (bate) e espalha 0 sangue pelo sistema circulatorio. 0

segundo numero representa a pressao dlastolica, isto e, a pressao minima nos vasos

sangufneos no instante em que 0 coracao repousa entre dois batimentos.

De acordo com esta razao, a pressao sangufnea pode ser classificada do seguinte

modo:

• normal se for menor que ~350;

• moderadamente alta se estiver entre ~~~ e ~~: ;

• perigosamente alta se for maior que ~~~ .

A pressao sangufnea de determinado paciente e aproximadamente modelada por:

Pi t ) = 135 + 30 cos (2 ,51 t t ) , t ~ 0

onde P ea pressao em mmHg (milfmetros de rnercuriol, t segundos depois de uma

contraccao cardiaca.

4.1. Escreva a razao de dois nurneros que sejam apropriados a pressao sanguinea "

deste paciente e classifique-a no contexte do problema.

4.2. Qual 0 periodo do batimento cardiaco deste paciente? Explique 0 seu significado. 1 0

4.3. Indique a pulsacao deste paciente, em batimentos por minuto. 7

4.4. Recorrendo ao Teorema de Bolzano, mostre que existe um valor de t compreendido l'

entre 1,8 e 1,9 para 0 qual a pressao sanguinea e 115 mmHg.

4.5. Utilizando rnetodos exclusivamente analiticos, determine os valores de t, perten- 16

centes ao intervalo [0, 2], para os quais a pressao sanguinea deste paciente emaxima e minima.

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t

• , , , - u , . - • - " . ' - - - - J :. ~ . .. .. .. . A__~

T E S T E G L O B A L ~•

5. Considere a funcao fIx) = loga (2x) , com a E IR, e a funcao 9 l x l = 33-Y x•

No referencial apresentado na figura est a parte das representacoes grMicas das funcbes

f e g, em que:

• A eo ponto de interseccao de f com 0 eixo das abcissas;

• Ceo ponto de interseccao de f e g, cuja ordenada e 3;

• [A D] .1Ox e [CB] / / [A D ] .

Recorrendo a metodcs exclusivamente analiticos:

5 .1 . determ ine a ;

5 .2 . m ostre que a area do trapezio [ ABeD ] e igual a 241(3 4 - / 2 + 1 ) u. a . .

7

10

5 .3 . prove que f e 9 tern um e apenas um ponto de in terseccao em todo 0 se u d om in io . 13

FIM

Mat em at ic aA -1 2. ' a no - T es te G lo ba l 3

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)

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~ ~ ~ G E S T O E S D E R E S O lU C A O

1." Parte

1 . C .

3. C.

5. A.

2 . B .

4. D.

6 . B .

2 ." Parte

1 .1 . Nurnero de inquiridos que sao proprietaries de habita-

c;:aoe autornovel: 0,7 x 210 = 147.

Nurnero de inquiridos que nao sao proprietarios de

h ab ita ca o n em d e a uto rn ov el: 0,1 x 21 ° = 21 . Donde:

H H Total

A 1 4 7

A 2 1

Total 2 1 0

Como 87,5% dos inquiridos nao proprietaries de habi-

tacao tarnbern nao sao proprietaries de autornovel,

en tao este s 87,5% correspondem a 21 inquiridos,

logo 0 nurnero de nao proprietaries de habitacao e :

~ = 24 , donde se obtern a tabela.0,875

HH

Total

A 1 4 7 3 1 5 0

A 39 2 1 6 0

Total 1 8 6 2 4 2 1 0

186 311.2.1. P ( H I = 2 1 0 = 35

- p IA n H I 39 131 .2.2. P (A IH I P (H I = 18 6 = 62

2. C onsidere-se os acontecim entos:

A : " te r te lern ov el da re de A K " ;

B : "ter te le rno vel d a red e B K " ;

R : " te r r ed e" .

T em os que

p [ R I A I = 0,72, p [ R I B I = 0,96 e P ( B I = 0,8 1 , donde

P [ A I = 1 - P [ B I = 0 , 1 9

p ( R I A I = 1- p [ R I A I =0,28

p [ R I B I = 1 - p [ R I B I = 0,04

2.1. P [ R I = P [ A n R I + P ( B n R I < = >< = > P [ R I = 0 , 1 9 x o , 7 2 + O , 8 1 xo,96

< = > P [ R I = 0,9144

A probabilidade de ter rede movel e de 91,44%.

2.2. P [A I R I = P (~(~/?I < = >

< = > p [ A I R I p I A n R I < = >p IA n R I + P [ B n R I

< = > p [ A I R I 0,19 x 0,28 < = >0,19 x 0,28 + 0,8 1 x 0,04

< = > p [ A I R I = 0,05320,0856 < = >

< = > p ( A I R I " ,0 , 6 2 1 5

A probabilidade de ter um telernovel da rede A K ,

sabendo que nao tem

2

rede num determ inado local, e ,aproximadamente, 6 ,15%.

3.1.1 . Existem 7 garrafas para 7 posicces, logo,o nurnero

de maneiras diferentes de as ordenar e 7 ! = 5040 .

3.1.2. Existem 2 garrafas diferentes com rotulo azul, logo

2! m aneiras diferentes de as ordenar, 0 que t ar nb ern

acontece para as 2 garrafas com rotulo amarelo.

Quanto as 3 de rotulo branco, ha 3! m ane iras d ife-

rentes de as ordenar. R elativam ente a posicao relativa

das cores dos rotulos, existem 3! possibilidades.

Pode-se concluir que no total ha

3! x 2! x 2! x 3! = 14 4 m aneiras diferentes de ordenar

estas garrafas de azeite com os rotulos da mesma cor

juntos.

3 .1 .3 . V e jamo s 0 nurnero de possibilidades de colocar as

duas garrafas de rctulo azul juntas.

Como as duas garrafas estao juntas, temos 6 ! x 2!

possibilidades de as ordenar (6 ! relativamente a

posicao de cada garrafa, considerando as azuis como

uma so, e 2! possibilidades de ordenar as garrafas de

rotuto azul], de forma que as duas garrafas com

ro tulo az ul fiqu em jun tas .T fnh am os c on clu fdo q ue e xistia m 7! pos si bi li da de s d e

ordenar estas sete garrafas, logo, existem

7 ! - 6 ! x 2! = 3600 possibilidades de ordenar as sete

garrafas de forma que as de rotulo azul nao fiquem

juntas.

3 .2 .1 . S eja A 0 acontecimento "obter tres rotulos de cor

diferente".

Nurnero de casos possiveis: 7 C 3 lnurnero de sub-

conjuntos de tres elementos de um conjunto de sete

elementos!'

N urn ero de cas os I avo rav eis:2 C

1x 2 C

1X 3 C

1

[das duas garrafas de rotulo azul obter uma, das duas

de rotulo amarelo obter uma e das tres de r6tulo

branco obter tarnbem urnal,

P [ A I = 2 C 1 x 2 C 1 X 3 C 1 = E7 C 3 35

I})

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o

iii

3.2.2. Se ja B 0 a co n te c im e nto : "o bte r pe lo m e no s do is

r6 tu lo s b ra n co s ."

N um e ro de ca so s p os sfv e is : 1 C 3 = 35

N u rn ero d e ca s os Ia v o ra v eis : 3 C 2 x 4 C 1 + 3 C 3

Do co nju nto da s ga rra fa s com r6 tu lo bra nco re tira r

du a s e do co nju nto de ga rra fa s s em r6 tu lo bra nco

re tira r u m a ga rra fa :

3 C 2x 4 C 1 = 12 ,

o u re tira r t re s ga rra fa s co m r6 tu lo bra nco de u m co n-

ju nto de t re s :

3 C 3 = 1 .

3.3.1.0 a lga rism o do s m ilha re s te m 5 po ss ib il ida de s, po is

tem de pe rte nce r a o co n ju n to {2 , 3, 4 , 5, 6 } .

o a lga rism o da s ce nte na s te m 4 po ss ib il ida de s, po is

pe rte nce a o co n ju n to {2, 4 , 6 , 8 }.

o a lga rism o da s de ze na s te m 10 po s s ib il ida de s ,

po rq ue po de s er q ua lq ue r.

o a lga rism o da s u nida de s te m 2 po ss ib ilida de s, po is

o c6 dig o e m ult ip le de c inco , lo go e s te a lga rism o

p erte nc e a o co nju nto {O , 5} .

T em o s e nta o:

5 x 4 x 10 x 2 = 400

po ss ib ilid ad es de a trib uir u m c6 digo ne sta s co ndico e s,

3.3.2. Se o s a lga rism o s s a o to do s d ife re n te s e 0 c6digo eco mpo s to po r q ua tro a lga rism os e ntre 2000 e 7000,

t emos :

5 x 9 x 8 x 7 = 2520

po ss ib ilid ade s de a tr ibu ir u m c6 digo n es ta s co ndicce s.

3.3.3. Pa r a 0 a lga rism o do s m ilha re s te mo s 5 po ss ib ilida -

de s , d ife re n te s de ze ro . E nta o , com o o s do is ze ro s

do c6d igo s a o na o co ns e cu tiv o s, te rn de s e r o s a lga -

rism o s da s ce n te na s e da s u n ida de s , s e ndo 0 da sd ez en as q u a lq u e r.

L o go , t em o s :

5 x 1 x 10 x 1 = 50

p os sib il ida de s d e a trib uir u m c6 dig o ne s ta s co ncico e s.

4.1. Pa ra a A na ir a o e nco ntro da pcs ica o do B e rna rdo tem

de to m a r tre s v e ze s a dire cca o "pa ra ba ixo " e um a v e z

a dire cca o "pa ra a e sq u erda ", re la tiv a me nte a figu ra

dada .

L ogo , 0 r n i r n e r o de fo rm a s d ife re n te s de re a liza r e s te

tra je cto re s um e -s e a s d ife re n te s co rnbina cce s da s

le t ras B B B E , em q u e B re pre s e nta "pa ra ba ixo " e E

"p ara a e s q ue rd a".

En t a o , 0 tra je cto po de s er re a liza do de :

3~~! = 4 C 1 = 4 fo rm a s dife re nte s .

4.2. Pa r a 0 B erna rdo ir a o e nco ntro da po sica o do Ca rlo s,

te m de to ma r tre s v e ze s a d ire cca o "pa ra cirna " e tre s

v e ze s a d ire cca o "pa ra a s s q u e rda ", re la t iv am e n te a

fig ura d ad a.

Lo go , e xis te m 3~ ~! = 6 C 3 = 20 .

O u tra fo rm a de re s o lv e r e s ta q u e sta o s e ria u til iza r 0

tria ngu lo de P as ca l, o bte ndo o s 20 tra je cto s dife re nte s

e ntre B e C.

C 20 10 4

10 6 3

4 3 2

B

4.3. Se 0 Ca rlo s te m de pa ss a r pe la po sica o do B erna rdo ,

te m 20 tra je cto s dife re nte s [de te rm ina do s na a lfne a

4.2.1 e pa ra ir da po sica o do B erna rdo a da A na e xis te m

4 tra je cto s d ife re nte s [de te rm ina do s na a lfne a 4.1.),

lo go , e xis tem 20 x 4 = 8 0 tra je cto s do C arlo s a po sica o

da A na , p as sa ndo p ela p os ica o do B e rn ard o.

5.1. Com o A e B s ao a co nte cim ento s inde pe nde nte s e nta o

P IA n B) = PIA) x P [B) .

Te mo s q ue :

pI A n a)=1-p [A n a l== 1 - P[ AUB) =

= 1- [ P IA ) +P [B )- P [A n Bll=

= 1- P IA ) -P [B) +P [A n B) =

= 1 - P [ A ) - P [ BI + P [A ) x P [B ) = ,

po r q u e A e B s a o a co nte cim e nt os in de pe nd en te s

=1 -P [A )-P [B]x[1 - P [A ll=

= [1- prAll [1- P [B)] =

=p(A I x p@

Logo ,

pI A n a ) = pIA) x p@ ,

do nde s e po de co nclu ir q ue A e B s a o a c o n te c im e n -

t os i ndependen tes .

5.2. P[A)xP(B)-P [A) x p[a )=

=p[AnB)-p(A n a)= ,

po r q u e A e B s a o a co nte cim en to s inde pe nde nte s e A

e a s a o a c o nt e cim e n to s in de p e nd e nt es .

=P [A ) +P [BI -P [AUB) - [, - P IA naIl =,

po r q u e PIA) = 1 - pIA)

= P [A I +P [B) - P IA UB ) -1 +P[AUB)=

=P[A)+P[B)-1 .

51

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S U G E S T O E S D E R E S O L U C A O

1," Parte

1. C. 2. C. 3. B. 5. D. 6 . A .. C .

2." Parte

1 .1 . Se A e a sao acontecimentos com pativeis, entao

A n a ; t { l,

as acontecimentos A nB e A n a sao in co mp ativeis e

A = ( A n BJ u ( A n aJ , donde

P ( A J = = P ( A nEiJ + P ( A n aJ ~

~ p (A nE iJ = p (A J - p (A n a J .

1 .2 . S ejam o s a co nte cim en to sA : "0 o pe ra rio u sa o cu lo s"

a : "0 operario e u m h om em "

De acordo com as co ndicfie s iniciais temos que

P (A n BJ = 0,32 ,

P (A n aJ = 0,41 e P ( A J = 0 ,4 4.

1 .2 .1 . Ap li ca ndo 0 referido na alfnea anterior, tem os que

p (a J = p (A n aJ + p (A n a )

= 0 ,3 2 + 0 ,4 1 = 0,73

Como Ei (" 0 operario e um a r nu lh er "] e co ntrario ao

acontecimento a , p(8 j = 1 - p ( a J = 1 - 0,73 = 0,27.

1 .2 .2 . C om o A e c on tr ar io a o a con te cimen to A , entao

P ( A J = 1 - p ( A J =

= 1 - 0,44 = 0,56 .

Logo , P (A nEiJ = P ( A J - P ( A n aJ =

= 0 ,5 6" ":0 ,4 1 = 0 ,1 5 .

1 .2 .3 . P ( A I BJ = P ( ! (~JaJU sando a igualdade da alinea 1 .1 ., tem os que:

P ( A n EiJ = P (A J - p ( A n aJ =

=0,44-0,32=0,12.

Logo:

p ( A - la - l= p ( A n a ) 0 , 1 2 = 4 4 4 ° ; 'p ( a ) 0,27 ,0.

2. A bandeira tem cinco tiras, em que as tiras dos extre-

mos tem a mesma cor, pelo que existem 3 formas

d iteren tes d e colo rir as d uas ti r as d as ex trem id ad es.

Relativam ente as tiras centra is, tem os duas situacces

distintas:

• S e a tira cen tral e igual as das extrem idades, tem os

c or d if er en te d a 1 ~ p o si ca o

J l3 x 2 x 1 x 2 x 1 = 12 formas diferentes de

lj c olo rir a b an de ir a

igual a 1~ posicao

q ualq uer co r p ara a 1 ~ p osicao

!i?

• Se a tira central e d ifere nte d a c or d as ex tre mid ad es

temos

3 x 2 x 1 x 1 x 1 = 6 form as diferentes de

~

c olo rir a b an de ir a

igual a 1~ pos ic a o

c or d ife re nte d a 1 ~ e 3 ~ p os ico es

c or d ife re nte d a 1 ~ e 2 ~ p os ico es

'-----cor diferente da 1~ poslcao

'------- qualquer cor para a 1 ~ posicao

L ogo, existem 12 + 6 = 18 form as diferentes de colorir

a b an deira n esta s c on dico es.

3.1 . N." d e casos po ssiveis: 24 !.

Como existem 12 raparigas tem 12! sequencias dife-

rentes, e para os 12 rapazes tarnbern 12! sequencias ,

Como se pode iniciar a sequencia com rapaz ou com

rapariga, 0 n urn ero d e ca so s fav orav eis e :2x12!x12!.

L b a b i l i d a d , . l 2x12!x12!ogo, a pro a I I a e e i qua a 24!

3 . 2. 1. E x is tem % x 22 = 13 2 form as diferentes de realizar

e st a c om is sa o.

3 . 2. 2. E x is tem 1 2 A 3 = 1320 formas diferentes de realizar

e st a c omi ss ao .

3.3.1 . X ; 0 1 2 3

P[X=x; l 5 9 9 546 23 23 46

1 2 C 3 5porque P ( X = OJ= 2 4 C 3 = 46

1 2 C x 1 2 C 9P ( X = l J = 1 2 =_

2 4 C 3 23

1 2 C 2x 1 2 C , 9

P ( X = 2J = 2 4 C 3 = 23

1 2 C 3 5P ( X = 3 J = 2 4 C 3 = 46

3 .3 .2. A probabilidade de 0 nurnero de raparigas ser supe-

rio r ao n urnero d e rap azes e :5 9 23 1

P ( X = O J + P ( X = l J = = " 4 6 + 2 3 = 46 = '2

4 .1 .1 . S eja X a v ariav el ale at6 ria "a ltu ra d as c rian ca s" .

Como J l = 85 e a = = 5, entao

J l- a= 80 ; J l +a= 9 0 ;

J l- 2 a= 75 e J l+ 2 a= 9 5

donde se obtern a curva de Gauss do tipo:

p ( X > 80 J = = 1 - P ( X ~ 80J '" 1 _ (1

- ~,683 ) = 0,8415

"

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4.1 .2. P [8 5 < X < 95) = 0,5 - P [X~ 9 5) =

=05_(1-0,954)=0477, 2 '

(1 - 0,954)4.2. P IX < 75) = 2 = 0,023

Com o 0,023 x 26 = 0,59 8, estima-se que haja na sala

um a crianca dessa faixa eta ria com rnenos de 75 cm

de a ltu ra .

Teste de Avalia~ao

1." Parte

1. A .

2. C.

3. B .

4 . C.

5.1. D.

5.2. B .

5.3.0.

2." Parte

1 .1 . Recorrendo ao qraf ico da tuncao f, tem os que:

{

f[-ll = 0 ¢:::} {l093 [- a + b ) = 0 ¢:::} {- a + b = 3° ¢:::}

f r O ) = 1 lOg3 [b ) = 1 b = 3 1

< = > { - a + b = 1 ¢:::} { a = 2

b=3 b=3

1 .2 .1 . C omo fIx) = lO g3 [2 x + 3), temos que

O ,= {xEIR: 2X +3 >0}= ] - % , +00[ .

1.2.2. a co ntradom fnio de f e IR.

1 .2 .3 . lO g3 [2 x + 3) = 2

¢:::} 2x + 3=32 ¢:::}

¢:::} 2x = 9 - 3 ¢:::}

¢:::} 2x= 6 ¢:::::}

6¢:::::} x="2=3.

Logo, f[3) = 2.

2.1.1. a ponto A tem coordenadas da form a lx, 0), em que

x eo objecto cuja imagem, pela funcao i , e z er o.

f I x ) = 0 ¢::} e X - e = 0 ¢:::::} e X = e ¢:::::} x = 1

donde A [1 , 0) .

2.1.2. a ponto B tem coordenadas da forma [0, y ), em que

yea imagem de zero, pela t uncao g , isto e ,

y= 9 [ 0 )= f-1 [0) = 1 , porque 9 e a funcao in versa d e f.

Logo, B [0, 1 ).

S U G E S T O E S D E R E S O L U C A o

2.1.3. [ f o g ) [ 0) = fI g [ 0) ) = f[l) = 0 .

2.2. r = - e e assimptota horizontal da funcao f.

2.3. f e injectiva se e 56 se

V X l, X 2 E Of ' X l ;tx 2 ~ f[x 1 );t f[x 2 ) .

Consideremos X l , X 2 E Of tais que { [ X l ) = f[x 2 ) .

Entao e X, - e = e X, - e < = > e X , = e X , < = > X l = x2 •

A funcao f e injec tiva.

2.4. Com o f e 9 sao f uncoes inv ersas, logo, as suas repre-

san tac f i e s grM icas sao s i rne tr icas relativamente a bis-

sectriz dos quadrantes fmpares [recta de equacao y = x) .

Entao, os pontos de interseccao de f e 9 tarnbern

pertencem a equac ao y = x. I ntro du zin do as t uncoes

f I x ) = e X - e e h lx ] = x n a calcu lad ora g rM ica, o btem os

os grM ico s das m esm as.

Com ~,CALC e 5:intersect obtemos os pontos de

interseccao:

C r2,65 ; - 2,65) e 0 [1 ,42; 1 ,42)

[ com d uas casas d ecim aisl.

da s f uncoes f e g.

2.5 . fIx) = e X - e e 0,= IR .

e X - e = y < = > e X = y + e ¢:::} x=ln[y+e).

O ,_,=Og={yEIR: y+e> 0}=1-e, +00[.

Assim, a funcao g , in versa d a funcao t , e a funcao

9 : 1 - e , + 00 [ - IR

x-ln [x+ e)

3.1 . Q [2) = 21,286 [com t res casas dec imals) sig nifica q ue,

num rnes que 0 preco de venda do produto e de 2 euros,

por unidade, sao vendidas 21 286 unidades do produto.

3 .2. Como 0 custo u n i t a r i o da p r c d u c a o e de 2 euros, e n t a o

o lucro obtido por produto e de lx - 2), em que X e 0

valor em euros da venda ao publico do mesmo.

Como a quanti dade de produto varia em funcao do

p re co uni ta ri o deste, entao 0 lucro mensal da em presa

e dado por

L lx l = lx - 2 ) x Q lx l == [x - 2) x [e 5

-x + 1,2) , x > O .

3 .3 . Introduzindo as f uncoes L e y = 7,5 na calculadora

g ra ti ca obt emos:

A r - . .. B /<::»: C

onde se pode observar que 0 lucre pretendido e atingido

entre os pontos A e B e a partir de C. Com IJEQ],C AL C e 5:intersect, o btem os os po nto s de interseccao

A [2,6 31 ; 7,5), B [4 ,225; 7,5) e C [8,0 01 ; 7,5)

donde os valores de venda do produto devem variar nos

seguintes intervalos 12,63 1 ; 4,225[ e 18,001 ; + oo] .

53

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1."Parte

1. C.

2. B.

3.1. A .

3.2. C.

4 .1 . B .

4 .2 . A .

2 ." P a rt e

1.1.1. + 00 .

1.1.2. D .

1.1.3. +00.

1.1.4. +00.

1.2. A funcao f e continua no ponto x = 0 se e 56 se lim f i x )• )(--+0

existe e e igual a f l O ) .

Como flO) = 1 = lim fIx) entao f e continua sex-o+

lim fix) = 1x-o-

¢::> k = 1 . logo a funcao f e continua para k = 1 .

1.3. f'(-2)= lim fIx) - f(- 2)x~-2 x+ 2

=limx--2

2x2+1_(_9)

x+ 1

x+ 2

l' 2X 2 + 1 + 9x + 9

=x ~~2 lx + 1 ) lx + 21

= lim 2x2+ 9x + 10 ( 8 )

x--2 (x+1)(x+2)

u (2 x + 5)(x + 2 )

= x~~2 Ix + l)(x + 2)

= lim 2 x + 5 =x--2 x+ 1

2 x (- 2) + 5

-2+1

1=--=1=-1.

Ca lculo aux il ia r:

2 9 10

-2 -4 -10

2 5 l Q _ _

donde 2x 2+9x+1D=(x+2)12x+5)

5 4

1.4 . 0 declive da recta tangente ao qrafico de f, no ponto de

abcissa x = 2, e f' ( 2) .

1 21n xComo f'(x)=tnx-xln2=---xln2, para x> l

. , t2assrrn fI2)=-ln2=2- 1+1n 2xln2

2

Como f ( 2 ) = tn 2, entao 0 ponto [2, 21n2 ) p er te nc e arecta tangente de f no pon to x = 2, donde

21n 2= 2-1+1n 2 X In 2 x 2 + b ¢::>

¢ : : : : : > 21n2 = 2 1n2 X In 2 + b ¢::> b = tn 2 11 - In 2)

L og o, a re cta p re te nd id a e Y= 2-1+1n 2 x+ 21 n21 1-ln 2)

1.5. Por observacao do qrafico d a f un~ao g, sabem os que:

quando x -+-00, a derivada de 9 tende para zero;

quando x -++ 00, a derivada de 9 ta rnbe rn tende

para zero; em x = - 1 e em x = 4 a derivada tem valor

zero.

Podemos tarnbern observar que 9 e crescente no

intervalo l- 1 , 4J e e decrescente no intervalo

J- 00, - 1) U [4 , + 00 l,donde g' [x ) > 0 em

x E J- 1 , 4[ e g' [x ] < 0 em x E J- 00, - 1[ U J4, + o o [ ,

logo, 0 qrafico que cor re sponde a rs pre s en ta ca o q ra fic a

de g' eo ! A I .

2.1. L (4 ) = - 14;_~n 4 = 1,94, 0 que significa que 0 lucro

obtido pela empresa no quarto rnss foi de 1,94 milh6es

de euros .

2.2. LI t ) = 0 ¢ :: : : :> - 1 ~ In t = 0 ¢ : : : : : >

e t

¢ :: : ::> - 1 + In t = 0 t\t; t 0 ¢::>

¢ : : : : : > In t = 1 t\t; t 0 ¢ : : : : : >

¢ : : : : : > t= e 1¢::> t= e

I

Como t = e = 2,72, a empresa cornecou a ter lucro no

terceiro m eso

2.3.1. L I t ) = - 1 + ~ntt e

- e3 + e3ln t

t

L ' [t ) = 0 ¢ : : : : : > 2 e3 - e3 In t = 0 t\t 2 ;t 0 ¢ : : : : : >

¢::> In t =1\t ;t 0 < = >

¢::> t = e2

T emos quet 0 e

2

L'{t) + 0 -

L{t) / Max. \

L ogo, a em presa atingiu 0 lucro m axim o em t = e2=7,39,

au seja, no oitavo m eso

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S U G E S T 0 E S D E R E S 0 l U C A'(f

(

2.3 .2. 0 lucro maximo obtido pela empresa foi

-1 + I n le 2)

L le 2)

- 1 ;- 2 = e '" 2,72e

isto e, 2,72 m ilh6es de euros.

e3.::._ x t2 - 12 e3 - e3 In tl x 2 t

2 .4 . L " ltl =_t __ --,-=- _I t 2 ]2

- e3 t - 4e 3 t + 2 t e3 In t

rt 1 - 5e3 + 2e 3ln tl

t 4

- 5e 3 + 2e 3ln t

f

LUlt l= 0 ¢::> - 5e3

+ 2e3

In t = 0 1\ t3

;t: 0 ¢::>

¢::> In t = % 1\ t;t: 0 ¢::>

5

¢::> t= e 2 ¢::> t=W", 1 2 , 1 8

d onde se pede concluir que a segunda cam panha publi-

citaria inic iou durante 0 13.0 meso

3 .1 . Pretende-se calcular k , tal que y = 5x seja uma

, b l f d f - h I I kx2

+ 1ass i rnpto ta 0 t q u a a u nca o x = -x-,

Como m= lim ~=x-±oo x

kx2 + 1

= lim __ x_x __ eee X

li ki+ 1(~)= 1m --=

x _±oo x 2

kx2

= lim -2 = k, d on d e k = 5.x _ _ ±oo X

Para verificar que existe a assimptota oblfqua y = 5x

para a funcao h, tem os que ter

b = lim Ihlxl - mxl = 0x __ ±co

Como b = lim ( 5 X 2 + 1 - 5 X ) =x _ _ ± 00 X

= lim ~ + 1 - ~ = lim .l = 0x _ _ ±oo X x-±oo X

Donde y= 5x e assim ptota oblfqu a de h I xl p ara k = 5 .

3 .2. Pelo corolario do teo rem a B olzano-C auchy : se u ma funcao

h e contin ua num intervalo [a, b1 e h lal x h I bl < 0 ,

entao 3 c E la, b [ : h lcl = 0 .

Como h e continua no intervalo [1 , 21 lporque e 0

quociente de duas funcoes polinom iais continuas neste

in terv alo l e h 121 < 0, se h 111 > 0 podemos garantir

que 3cE11, 2I: hlcl=O.

h111>1 /\ h121<0 ¢::>

¢::> k + 1 > 0 1\ 4k + 1 < 0 ¢::>1 2

¢::> k > - 1 1\ 4k + 1 < 0 ¢::> k > - 1 1\ k < - ±L ogo, para k E ]- 1 , - ± [ a fu ncao h tem pelo

rnenos um zero no intervalo 11 , 2[.

Teste deAvalia~ao

1." Parte

1. 0

2. C

3 . C

4 . C

5. B

6. A

2. " Parte

1 .1 . C om o e> % entao f(el=a+bcose=3-cose,

porque a= 3 e b=-1,sin e .

tg e = 2 ¢::> --e = 2 ¢::> Sin e = 2 CD S e ;CD S

sin 2 e + cos? e = 1 ¢::>

¢::> 12 CD S e ) 2 + cos' e = 1 ¢::>

¢::> 5 cos' e = 1 ¢::> cos' e = .l ¢::>5

- V s V s¢::> CD S e=-5- Y CD S e=T

Como tg e> 0 entao e E 3 .° Q., donde cos e = - ~ ,

( - V s )og o fW l = 3 - -5- =

V s=3+ -=

5

1 5 + V s5

1.2.1 .Afun~ao fecontlnuaem x=%se

lim flxl= lim f lxl=f('?£2)'7[- n+

X-'2 x-2'

T em os quex-!!

lim flxl= lim e 2=eo=1,x-~- x-~-

lim f( xl= lim ll scos xl«7[+ 7[+

x-2' x-2'

= 1 + cos.?£ = 1 + 0 = 12

e f (%) = 1 +cos%= 1,

donde f e continua em x=%,

1 .2.2. 0 dom inio de f e IR ,

1tPara x < '2 temos

x -!! x 1t

o < e 2 < eO ¢::> 0 < e -2 < 1 .

1tPara x~ '2 temos

- 1 , . ; ; CD S X , . ; ; 1 ¢::> 0 ,. ; ; 1 + CD S X , . ; ; 2 ,

Temos entao que 0;= [0, 21 .

55

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1.2.3. ( )

al lim !_!_=x_+oo X

= lim 1 + cos x =x_+oo X

I' 1 I' cosx= 1m -+ 1m _-x_+oo X x-+oo X

=0+0=0 ,

porque - 1 0 ; ; ; cos x 0 ; ; ; 1 .

b lI' fIx) I ' eX-~ 01m - = 1m -=__ oo X x __ oo X

I I' f(xl - fix)

c Im----X-1t X-1t

= ("(x) = - sin 1 t = 0

1 .2.4. f(xl - f(~ )

al lim 2x-j+ X _ ~

2

=-sin~=-12

f(x l- {~ )Iim __ ___:.__:_

x-~- xx-2

Logo , na o existe f ( ~ ) ,

b l Como f e continua no intervalo [- ~, ~] porque

e um a fun~ao exponencial e e continua em x = ~ ,

tem os qu e:

f ( - ~ ) =e-l=.l< V 22 e 2

( x ) x V 2f 2 =1+Cos2=1+0=1> 2

L o go , p elo T eo rema d e B olz an o-C au ch y,

]1 t 1 t [ V 2

3xE -2' 2 :f(xl=-2-'

c J O s pontos de in f lexao da fu nca o f sao os zeros dei", segunda derivada de f.

Como para x < ~ a funcao e e xp on en cia l, c om

co nc avida de vo ltad a pa ra cim a, na o tem pontos de

inf lexao n e ss e i nt er va lo .

Para x> ~ , ("(x) = - cos x, logo (" '(x) = 0 ~

~ -cosx=O ~ cos xeD ~

~ x = ~ + k 1 t , k E 7 l . . , donde existe um a

in finidad e d e p on to s de inf lexao da funcao f.

2.1. L ( 1) = 5 + 3 10-3 cos~'" 2,677 m il euros6, 5

2.2. 0 ana de 2006 e re presen tad o na fu nc ao L lt) no inter-

valo [0 , 1 31 .

Temos crt) = 310+ ~ ~ sin ( :.~) ,

56

U tiliza nd o a calc ulado ra qrafic a o btem os 0 q raflco da

funcao crtl :

donde se obtern os zeros de C(t) com [ ]EQJ CALC ,

2:zero.

O tbem os assim que L'(t) = 0 ~

~ t " , 6 , 5 5 V t " , 1 2 , 9 5 , para 0 0 ; ; ; t 0 ; ; ; 1 3 ,

Pela obsarvacao do qrafico de L'(t) obtern-se :

t a 6,55 12,95 13

L'l t]1 a a 1

3 ii + - + 3 ii

LIt] 2 / 8,22 -, 2,43 / 8,43

donde a empresa obteve um lucro maximo durante 0

rnes de J ulho de 2006,

2.3. U t ili za nd o a c al cu la do ra q r a f i c a obtemos 0 q r a f i c o da

funcao LI t ) e da t uncao y= 5.

Com [ ]EQJ, C AL C 5:intersect obtem os os pontos de

i n t e r seccao d os d ois q r a f i co s :

o nurnero de m eses que ultrapassou 0 lucro de 5 m il

euros em 2006 foram X2 - Xl = 6,8 meses e em 2007foram x 4-x 3=7,41 meses.

2.4. A afirmacao e ve rdade i r a ,

Segundo 0 modelo rnaternatico do s lucros o bt id os p el a

empresa nos anos de 2006 e 2007, observa-se um

aumento dos mesmos no ana de 2007, ja que 0 n u r n e r o

de meses com lucre superior a 5 m il euros e superior

em 2007 relativam ente a 2006, e segundo este m odelo ,

aumentara progressivam ente cada ana que passe, pois

lim LI t ) = + 00 ,t-++oo

x .--smx

31 I· fIx) I' -=2_

.. Im -= 1mx-a X x-a X

I' x I' sin x= Im -- Im --=x-o 2x x-o x )

1 1=--1=--2 2

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3 .2 . ( "( xJ = = ~ - cos x

('"(xJ = = 0 ¢::> ~ - cos x = = 0 ¢::>

1¢::> cos x = = - ¢::>2

1t¢::> cos x = = cos 3 ¢::>

¢::> x = = ~ + 2 k 1 t V X = = - ~ + 2 k 1 t , k E Z .3 3

01t 51 t

21 t3 3

(" [x) - 0 + 0 -

f Ix) ".......... P . 1 . <:» P . 1 . "..........

A tuncao i , d efin id a em [0 , 21tl, tem dois pontos de

. _ (1 t 1 t 0) (51 t 51t 0)mflexao P I 3' 6-2 e P 2 36+2 .

A fu ncao ( tem concavidade voltada para cim a no

intervalo ]~, 5; [ e concavidade voltada para baixo

no interva lo ] 0 , ~ [ U ] 5; , 21t[.

Teste de Avalia~ao m

1." Parte1. C

4. 0

2. A

5. A

3. C

6. B

2. " Parte

1.1.1. Zl e um nurnero real se

a :;t 0 / \ 2 - b = = 0 ¢::> a E [R \ { O J e b = = 2

1.1.2 . z, e um irnaqinario puro se

a = = O / \ 2-b:;tO ¢::> a = O / \ bEIR\{2}

1.2.1. Z2 + Z3= - 1 + 2 i + i = - 1 + 3 i

1.2.2. Z 2 - Z3= - 1 - 2i - i = - 1 - 3 i

1.2.3 . Z2 + Z3 = - 1 + 2i + i =

=- 1 + 3 i =

=- 1 - 3 i

1.2.4. iZ2x ( Z 2 +z 3J = i 1-1 + 2iJ x 1-1 + 3 iJ=

= 1- 2 - il x 1-1 + 3i J =

= 2+3-6i + i=

= 5 -5i

1 .2 .5 . Zz = - 1 + 2i __Z3

1-1 +2iJ 1- iJ=

1

2 + i=-1-=

=2+i

Z3 iI- 1 - 2il

1 .2 .6 . Z z = 1- 1 + 2iJ 1 - 1 - 2il

2 - i 2 1.

=1+4="5-"51

1 .2 .7. I Zz J 3= 3 Co1-1 J312iJo+ 3 C 11- 1 J Z I2 iJ 1 +

+ 3 C 21 - 1 J1 12 i] 2+ 3C31- 1JO12i ]3=

= 1- 1 J + 3 x 2i + 3 x (- 1 J x (- 2J + 1- 8il =

= - 1 + 6i + 6 - 8i = 5 - 2i

1 3Zz -.

. . w = - : - Z3 I=I

-1 + 2i 1_ il i =

= (- 1 + 2iJ (- iJ _ 1 =

1

=2+i -1=1+i

Como Re (w J = 1m Iw l entao w p erte nce a b issectriz d os

q uad ra nte s fmp are s.

1.4 . Como Z3 e raiz de P l z J , utilizando a regra de Ruffini,

p od emos d ecompor 0 polin6mio P :

2 2

2i -2+i -1

2 1 +2i

Assim, P l z l = [z - illU + (1 + 2il 1+ iz J .

Como 0 conjugado de i, - i , t a r n b e m e raiz d o p olin 6-

mi o P e recorrendo mais uma vez a regra de Ruffini,

temos:

-i

2 1 +2i

-2i -i

2 o

Assim, P l z l = ( z - il lz + i] (22+ 1 1 .

L 'd P l l - . . -1o go , as ra izes e z sao Z= I, Z=-I e z=2'

1.5.1. z, = 2 + [2 - 2 + 20J i = 2 +20 i .

20Seja () = A rg z, entao tg () = -2- = 0 .

Como z, pertence ao 1.° quadrante, entao

tg ( ) = 0 /\ ( ) E ] 0 , ~ [ , donde () = ~ .

Como Izll = . J 2 z + (20)2 =

= v ' 4 + 1 2 =

= 1 / 1 6 = 4

E - 4 . 1tntao, z, = CIS3.

52 1· 1 t . 1 t '.. , .

1 ... Z3= CIS"2 = CIS"2' porque e urn rmaqrnano puro

com Im(z3 1 > O e IZ31 = 1.

57

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~ - ,S ' UG E S T 0 E S 0 E R E S O L U C A 0

2.1.1 . lzsl ==2

A rg [ z s ) ==7t

Logo, Z s ==2 cis 7t .

2n; 7tA rg [ Z A ) = 7t - 3 " " = 3

Logo, Z A ==2 cis ~ .

2 . 1 . 3 . l z F I ==8

2n; 5n;A rg [ z F l ==7t + 3 " " = 3 " "

L 8' 5n;

ogo, Z F = = CIS 3 " " '

2 .2 . 1 . Z A

[ 13 23 ' 3n;

2 . 2 . 2 . Z A == CIS 3 " " ==

==8 cis 7t ==Z E

2 . 2 . 3 . Z A x Z s x Z c ==2 x 2 x 2 cis (~ + 7 t + 5;) ==

8 ' 9n ; 8 '== CIS 3 " " = CIS 7t ==Z E

16 16, ( 7t )2.2.4. -,-n;- = TCIS 27t - 3 ==

2cls3

==8 cis ( 2 ~ ) = Z F

2 .3 . Z E ==8 cis 7t

V '4= %cis (n; +32k7t

) , kE{O, 1, 2}

V '4==2CiS(~+ 2~n;), kE{O, 1, 2}

Para k ==0, Z = 2 c is ~ ==Z A

Para k == 1 , Z = 2 c is (~ + 2;) ==2 cis 7 t ==Z s

Para k = 2 , Z = 2 C iS ( ~ + ~n;)==2CiS 5 ; = = Z c

Logo, Z A ' Z B e Z c sao ra fzes cubicas de Z E '

2.4. Z A ==2 cis ~ = 2 (co s ~ + i s in ~ ) =

=2G+i~)==

==l+V3i

7t ,lln; 1 12.5. " 6 ~ A rg [z - 8 CIS 7t I~ -6- 1\ Z ~ 8

3.1.1

<1Z 1

<4 1\ 1

z+41 == 1Z - 4i1

3.2. -I~A rg [z] ~ I 1\ 1m lz ] < 2

58

1." Parte

1 . C

4. B

2. C

5. A

2. " Parte

. )

3. 0

6. A 7. C

1 .1 . Como z eci s c . e nt ao z == cis [ -a l,

Temos que :

Z + z ==cis a + cis l- al ==

==cos a+ i s in a+ co s [-al + i s in [-al ==

= cos a + i ~ a + cos a - i ~ a ==

==2 co s a

1.2 . Seja z, ==k cis e ,

Zl x Z ==4i < = > [k cis e ) [cis al ==4 c isI= >

< = > k cis [e + al ==4 c isI= >

< = > k ==4 1\ e + a ==I2k7t, k E Z

Como o<a<I '

entao e ==2 ! . - a2 '

7tdonde A rg [Zl ) =="2 - a '

f ) t

2. Cons ide re m-se os acontecim ento s:

B : "tira r um a bo la branca"

P : "tira r uma bo la pre ta "

E : "obter 0 numero 100"

F : "obter 0 nurnero 50"

G : "obter 0 nurnero 60"

Pa ra res olve r as ques tbes se gu intes e ne ce ss ario o rga -

niza r a into rmacao num diagrama de arvo re :

2 . 1 . P [ E I ==P [ B n E ) ==

==P [ B I x p [ E I B ) ==

3 1 1=5"x'3=5"'

P ( E I B ) = i E

B~F

3

2

p~F

P ( G I P ) =1 G3

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2.2. Seja H 0 acontecim ento "obter um nurnero inferior a

80". Como nesta experiencia s6 e possivel obter os

nurneros 50, 60 ou 100, temos:

P [H ) = .P [F ) + P IG ) =

= [ p [ F n B ) + p [ F n pJ ) + P I P ) xp [ G iP ) =

= [ P [B ) x p [ F i B ) + P I P ) x p [ F i pJ ) + P [ P J x p [ G i P J

3 2 222 1= - x - + - x - + - x - =

5 3 5 3 5 3

6 4 2= " 1 5 + " 1 5 + " 1 5 =

12 4

= " 1 5 = 5

2.3.1. T emos que

p [ F iP J = P [ F n p J =p [ p J

2 1 22 1-x-+-x-x-5 3 532

2

5

2 4" 1 5 + 3 0

2

5

8

30 40 2-=-=-

2 60 3

5

2.3.2. T em os que:

P [F J = p [ F n PJ + P[Ff) B)

3 2 2 2 6 4 10 _ 2= 5 x 3 " + 5 x 3 " = " 1 5 + " 1 5 = " 1 5 - 3 "

Y1 .a tiragem de bola branca

L l.a tiragem de bola preta

e P [ F i P J = t

Entao como P [ F J = P [ F i P J en tao o s aco ntecim en to s

F e P sao i ndependen te s.

3.1.1.0 declive da recta tangente ao q r a f i c o de , no pontode abcissa 2 e f' [ 2J .

Como f' [xJ= x' ln x + x [ l n xl' - x ' =

= In x + x x . . !_ - 1 =x

= In x + 1 - 1 = I n x

logo f' [2J = In 2 .

A imagem de 2 pela funcac , e 2 I n 2 - 2,

donde

2 In 2 - 2 = 2 In 2 + b ~

~ b = 2 1n 2 - 2 I n 2 - 2 ~

~ b = - 2

L ogo, a recta tangente ao qrafico de , no ponto de

abcissa 2 e :

y=[ln2Jx-2.

3.1.2. Como ' ' ' [ x J = + / \ x > O entao ' ' ' [ x J > O para x > O ,

donde a concavidade da I uncao t e voltada para cim a

em todo 0 seu dominio, logo nao existem pontos de

i n f texao,

3.2. I n se rindo na c alc ul ador a qrafica.

Y l = x In x - x

eX

e Y 2= 1 O x

na ca lculadora q ra fi ca o b te rn -s e os qra f i cos

U tiliz an do a fe rrame nta [ ]EQJ, CALC e 5 :in te rs ec t,

obtern-se as dois pontos de interseccao de Y1

e Y2,

arredondados as cen tes imas :

[3 ,61 ; 1 ,02J e [5,09 ; 3,20)

Como Y 1 ~ Y 2 para 3 ,61 ~ x ~ 5 ,0 9 , en tao

eX

'[x) ~ 1 O x

no intervalo fechado [3 ,61 ; 5,09 ],

donde a=3 ,61 e b = 5 , 0 9 .

4.1. Temos que 0 ~ P I x ) ~ 2.

Como

- 1 ~ cos [ b x ) ~ 1 , 'i f b E IR

- a ~ a co s [ b x ) ~ a

c - a ~ c + a co s [ b x ) ~ c + a

Logo

c - a = O ~ c = a ,

donde vem que

c + a = 2 / \ c = a ~ c = a = 1

Entao

p [ x J = 1 + co s [ b xJ .

P [ 1 3 J = 1 ~ 1 +cos [ 1 3 b J = 1 ¢:}

~ cos [ 1 3 b ) = 0 ~

~ cos [13bJ=COS(%) < = >

~ 1 3 b =% + k n , K E l l < = >

n kn~ b = U + 1 3 ' K E 7 1

Logo,

P [x ) = 1 +cos (~ x ) , 0 ~ x ~ 104 .

59

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4.2. A cidade apresentada no problema pode ser conside-

rada uma cid ad e "v erde" po rq ue relativam en te a :• 1? co ndica o - temos que a f uncao P l x l tem e xa cta-

mente 52 semanas 150% das 104 semanasl. com polui-~ao inferior a 1 tonelada, logo satisfaz esta condicao,

• 2? condicao - 0 maior perfodo com poluicao superior a

1 tonelada durou 65 - 39 = 26 semanas; como sete

meses correspondem a 28 semanas, a cidade nao

ultrapassou os sete meses consecutivos com poluicao

superior a 1 tonelada, logo satisfaz esta condicao,

• 3? co nd ic ao - 0 dia 1 de Julho e 0 9 1.0 dia ape s 0 dia

31 de Ma r co , logo 13 semanas ape s 0 in fcio d as

rned icces, em que a po lu icao e inferior a 1 tonelada;

o dia 25 de Dezembro e 0 269.0 dia apos 31 de

Marco , logo 3 8,43 semanas apes 31 de Marco , ondea pol ui ca o e inferior a 1 tonelada, entao tambern

sa tis fa z e sta co nd ic ao .

Teste Global fJ

1."Parte

1 . B 2. A

3.1 0 3.2 C

4. B 5.0 6. B

2.' Parte

1.1 . Como Z 1 = 2 + 2i , temos que

p = './22 + 22 = v B = 20

e tg ()= 1 /\ ()E ]0 , % [ , donde () =~, logo

Z 1 = 20 cis ~.

20 CiS~4Z 1

2

. 11 :CI S 2 "

= 0 cis ( ~ - ~) =

= 0 cis ( - % ) = - 0 i .

1.2. Como Z2 e Z3 sao duas rafzes consecutivas de indice n

de um certo nurnero complexo e os argumentos das n

solucoes estao em proqressao aritrnetica de razao 2;,

p odem os con cluir q ue:

211:= 711:_~ < = >n 6 2

< = > 211:= 711 :- 3 1 1: < = >n 6

< = > 211:= 411: < = >n 6

< = > 211:= 211: < = >n 3

< = > n= 3

60

Don de, a terceira raiz cub ics, W, tendo 0 m esm o m odu lo

que Z2 e Z3 , P = 2, tem argum ento:

() _ 711: 211:_ 711:+ 4 11 :_ ~-6+3- 6 -6'

l 2. 1111:

ogo W= cls-6-.

2. Numa turma de 24 alunos, 0 acontecimento

A : "pelo menos dois alunos fazerem anos no mesmo

dia" e c cn tr ar io a o a conte cimento

A : "nenhurn aluno faz anos no mesmo dia",

logo P I A l = 1 - P IA l .

Para 0 acontecimento A , 0 nurnero d e c as os f avorava is

e' 365A 365! ds a seouf . d 2420 = 341! ' que correspon e a sequenc i as e

dias diferentes de aniversar io , no ano, sem repet icoes,o ruirnero de casos possiveis sao 36520 , 0 que c or re s-

ponde a 365 possibilidades de datas de ar i i versar io

para cada um dos 24 alunos.

Segundo a lei de L aplace, a probabilidade de um aeon-

tecimento e igual ao quociente entre 0 nurner o de

casos tavoravals ao acontecimento e 0 numero de

casos possiveis, donde:

_ 3 65A2o

P I A l = 365 20 '" 0 ,4 61 65 .. .= 0,46 12 c . d . l .

Como PIAl = 1- P I A l = 1- 0,46 = 0,54.

3.1.1. Plretirar dois cart6es azuisl = 280 x 179=

56 14

38 0 = 95

3.1.2. Plretirar um cartao de cada carl = 280 x ~~ =

96 24

= 380 = 95

3.2.1. P IA I Bl representa a probabilidade de retirar dais

cart6es de cores diferentes, sabendo que a primeiro ede cor amarela, isto e , a probabilidade do segundo

cartao ter cor azul, logo P IA I BI = 189 .

3.2.2. P IA I BI representa a probabilidade do acontecim entoA lcontrario de A I, retirar dois cart6es da mesma

cor, sabendo que 0 primeiro e de cor amarela, isto e , aprobabilidade do segundo cartao ter a mesma cor do

prim eiro, am arela, logo P I A IB I = ~~ .

4 .1 T em os que:

op= 1 lp or qu e e um r aio da c ir cunf er en ci al , 00 = 1 eo

ponto P tem coordenadas lees a, sin aI, 'i f a E [0 , 1 t1 .

Como po=(i-cosa, -sina), entao

I l p o l l = ( i - cos a Y + 1- sin aJ2 =

, )

= ~ ±- cos a + cos' a + sin2 a =

=~t-cosa

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Logo, p[al=l+~+~%-cosa=

=%+~%-cosa=

_ 3 /5 - 4 co s a-"2+ Y 4 .

3 - \ 1 34.2 P[al=-2-~

~ /5 - 4 c os a 3 - \ 1 32+Y 4 -2-~

~ 5 - 4 cos a = ( 3 - V 3 _ l ) 2 ~42 2

~ 5 - \ C O S a = ( - r Y ~3

~ 5-4cosa=4xt; ~

~ - 4 cos a= 3 - 5 ~

~ -4 cosa= -2 ~

1~ cosa= "2 ~

1t~ cosa=cos"3 ~

1t 1t¢=> a= "3 + 2 k 1 t V a= - "3 + 2 k 1 t , k E 7 L

Como aE [0 , 1 t J entao para a= ~ temos

3 - \ 1 3P[a)=-2-'

4.3 Como P ' [ a ) =~ (5 - \ C O S a t ~ (% - cos a ) '

1 . 1=-Snax =

2 ~5 - \COsa

si n a

e para 0 ~ a~ 1 1 : temos

sin a~ 0 / \ 2 ~ 5 - 44cos a > 0

P ' [a ) ~ 0, if a E [0, 1 tJ ,

logo a funcao Pta) e e st ri tamen te c re sc en te .

5. 1 L I D ) = 235 - 12 log3 [27) =

= 235-12 x 3 =

= 235 -36 =

= 1991 /h

520 lim L [ t )= l im_[235-12log3 [3t+27)]=• 1-72- 1-72

= 235 - 12 log3 [3 x 72 + 27) =

= 235 - 12 log3 243 =

= 235 -12 x 5 =

= 235 - 60 = 175

Como L e con ti nu a, e nt ao :

L (72) = 1 75 ¢=>

~ 75 + k eO .051 72-7211 75 ¢=>

~ 75 + k eD= 175 ¢=>

~ k = 175 - 75 ¢=>

~ k= 100.

5.3 Apo s in tr od uz ir a s funcces

Y , = 235 - 12 loq, [3 t + 27) , 0 ~ t < 72 ,

e Y2= 7 5 + 1 00 eO .0 51 1-7 2I ,> 72

na ca lcu ladora qra f i ca ,

obtern-se 0 qra f ico :

Por observacao do qrafico podem os afirm ar que 0 cau-dal do ribeiro comecou a aumentar no 72.° dia, logo,

este loi 0 p rim eir o dia de c huv a.

I ntr od uz in do uma n ov a funcao Y 3 = 5 00 ,

obtem os os qra f i cos :

1

onde, com a ferramenta ~,CALC e 5:intersect,

s e d et erm in a 0 ponto de interseccao de Y 2 e Y 3 :

1

r - - - - ' JInt~rl>l:<:tion1 I= 10 0.~ J :B n ~ y = s o ;.( J _ _

L o go , lo i d ur an te 0 1 01 .° dia que se atingiu 0 caudal de

500 litros por hora.

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Teste GloballJ

1." Parte

1 . C

2. A

3 .1 B

3 .2 C

4. D

5. B

6. D

3 .1 . Nurnero de casos favoraveis: 4! 8!

Nurnero de casos possiveis: 1 2!

4 ! 8 ! t x 1 > x 2

P=""""12T"= )1xll x l0x9=

1

11 x 5 x 9

1

49 5

'" 0,0 02 = 0 ,2%

2. " Parte

1 V 3 " ( ' '2 " 1 t ) 4 " '9. T I V L CIS 8 + I

= ( ~ cis ~ ) ( 4 cis ~ ) + i3=

= V 3 cis ( ~ +~) - i =

= V 3 ci s ( 1 t) - i =

= -V3-i=

2" 71 t

= CIS6porque

3 .2 . N u rn er o d e c as os favoraveis: 3 A 2x 9 A ,

Nurnero d e c as os poss l v e i s . '2 A 3

3 A 2 x 9 A , 3 x 2 x 9

P = '2 A3

12 x 11 x 10

9= 220 '" 0 ,041 = 4,1 %

4.1 . A pressao sist6lica e dada por

PIO)= 13 5+30 xl = 165 r n m rl q .

A pressao diast6lica e a pressao san guine a m inim a d ad a

po r P It) "

Como

- 1 . .; cos 12,51 ttl ~ 1

- 3 0 ~ 30 cos (2,51 tt) ~ 30

105 ~ 135 + 30 cos [ 2,5 1 tt ) ~ 165

Logo , 105~P[ t )~165"p = . . j [ - V 3 ) 2 + [- 1 f = V 4 = 2 e

-1 V 3 3 1 ttg e = _ V 3 < = > tg e = """3 /\ 1 t< e < 2" '

do nde se co nc lu i qu e

1 t 71 t( J= 1 t + (; =6

A razao de do is numerus que sao apropriados a pressao

[nea d "' 1 65 l ts anqumea este pacrente e 105' ogo, em uma pres-

sao sanguinea m oderadam ente alta .

2.1. T em osquepara w =l-i,

p = . . j 1 2 + (_ 1 ) 2 = V2 e

1 ttg e =- 1 / \ - " 2 < e < 0

do nde se co nc lu i qu e

e=- ~"

As sim , w =V2C iS (- ~) .

1 1 - i ) Z = ( V 2 c i S ( - ~ ) ) ( k C i S 3 ; ) =

= V 2 k cis (- ~ + 3 ;) = V2 k c is ( 5: )

E n t a o 11 - il z p erte nc e a o 3 .° q ua dr an te .

2" 1 t

2" 2 CIS " 2 2

2 .2 . -k " 1 3 1 t = -" 3 < = > k " 3 1 t = -" 3 < = >clsT clsT

< = > iC iS(~- 3 ;)= _~ < = >

2 " I ) 2¢:::} - CIS - 1 t =- - < = >k 3

¢:::} _1=_1 < = > k = 3k 3

4.2 . T em os que

o . . ; 2,5 1 tt ~ 21 t

o c

o ~

Logo , 0 p erio do d o b atim en to ca rd ia co d este p acien te e~ = 0,8 segundos, is to e , que de 0,8 em 0,8 segundos

o cora cao se co ntrai.

4.3 . Com o na alfnea anterior se determ inou que 0 c o r a c a o

se contrai de 0,8 em 0,8 segundos, temos que:

60 75 b " "-= a urn en to s p or r nin uto0, 8

e a p ulsac ao d este pa cie nte.

4 .4. Como a funcao PIt) e um a I u n c a o triqonornetrica,

sab e-se q ue P ItI e c on tin ua em IR , l og o , em pa rt ic u la r,

e continua em [1 ,8; 1 ,9 ) .

Como:

P ll,8 )= 13 5; P (1 ,9)= 11 3,79 e Pll,9)<115<Pll,81.

entao, pelo teorema de Bolzano-Cauchy , podemos

concluirque 3 tE]1 ,8 ; 1 ,9 [ : Pl t l=115.

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4.5. O s v alo re s de t pa ra o s q ua is PltJ e m axim o e m inim o

sa o a s so lu cce s da e qu aca o P ' ItJ = 0, em qu e P'ltJ e a

prim eira de riv ada de Pl tJ.

Temos que P ' It J = - 30 X 2,5n s in {2,5ntJ

= - 75 n s in 12,5ntJ

donde P ' tt l = 0 ¢:::} - 75 n s in {2,5ntJ = 0 ¢:::}

¢:::} s in 12,5ntl = 0 ¢:::}

¢:::} s in {2,5ntl = s in (0 1 ¢:::}

¢:::} 2, 5nt = kn , k E ~ ¢:::}

1¢:::} t=2.5k,kE~

Para k = 0, t = 0

1k=1 , t=25=0,4

k= 2, t= 0,8

k=3, t= 1 ,2

k=4, t= 1 ,6

k=5,t=2

d ond e, pa ra t = 0, t = 0,8 e t = 1 ,6 a funcao P{tJ em axim a e pa ra t=0,4, t=1,2 e t= 2 a Iuncao P{tJ eminima.

5.1. Como 0 po nto C e ponto de inte rse cca o da s fu ncoe s f

e g , e nta o C pe rte nce a os q ra fico s da s du as fu ncde s,

9 IxJ =3 ¢:::} 33-vX = 3 ¢:::}

¢:::} 3 - V x = 1 ¢:::}

~ V x = 2 ¢:::}

~ x=2 2

~ x=4

Entao f { 4 J = 3 ¢:::} lo g. {2 x 4 J = 3 ¢:::}

¢:::} a3 = 8 ¢:::}

¢:::} a = V s

¢:::} a = 2

_ ... _ ·-T._r1_:'''';c

§U G E S T 0 E S DE RJ S 0 L - ~ ~ C : _ ~ ~ ~ ~

5.2. A a re a do trapezio e dada po r B; b x h , em que B

representa 0 co mprim ento da ba se m aie r, AD, b repre-

senta 0 co mprim ento da ba se m eno r, CB , e h a a lt u ra ,

AB.

Ja sabemo s qu e b = CB = 3 .

Como A l x , O J e a i n t e r s e c c a o de f co m O x , te mo s q ue :

f I xJ = 0 ¢:::} l 0 9 2 12xl = 0

¢:::} 2 ° = 2x ~

¢:::} 1 =2x ~

1¢:::} x=-

2

donde A ( . ! _ 0 ) e AB = 4 - . ! _ = 2 .2' 2 2·

( 1 ) 33-!f 33-0Como 9 " 2 = Y2 = 2,

3-Y len t a o B= 3 2

A a re a do trapezio e :

Vi3 3-T + 3 7 3 ( 2 - Y l ) 7

---::-- x-=- 3 2 + 1 x-=2 2 2 2

21 ( 4 -0 )=1;= 3-2- + 1 u.a.

5.3. Te mo s q ue :

r Ix l = 2x ~n 2 = x l~ 2 e

g'{xl=33 - v ' X x (- ~ ) =- _3 3- v ' X X ~

- V x '

donde f' Ix l > 0 e g' lx l < 0, V x E IW .

Lo go , co mo f{xl e cre scente e m todo 0 s e u d om in io ,

9 lx l e de cre sce nte e m to do 0 se u dom inio e sendo C 0

ponto de inte rse cca o de f e g , e nta o Ceo unico

po nto de inte rs ecca o de sta s fu n~ 6e s.

6 3

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