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GABARITO
1Matemática B
Matemática B – Superintensivo
Exercícios
01) C
4 m
30°M 1 m N1,5 m
cos 30° = x4
= 32
x = 4 . 32
x = 2 . 1,7x = 3,4MN = 1,5 + 3,4 + 1MN = 5,9 m
02) D
O valor de x na figura abaixo é: (Errata)
C
13
xDA B
5 2
45°
a
sen 45° = a
5 2 = 2
2
a = 5 2 . 22
a = 5
x2 + 52 = 132
x2 = 169 – 25x = 12
03) 20D
A B
C
5 m
60°
30°
a
b h
tg 30° = 5b
= 33
b 3 = 15
b = 15
3 = 5 3
tg 60° = a
5 3 = 3
a = 5 . 3 . 3 a = 15h = 15 + 5 = 20 m
04) C
20 cm30°
280 . 3 cm
Seja n o número de degrau da escada.
tg 30° = 20�
⇒ l = 20 3 cm
n = 280 3
20 3 = 14
20 cm30°
30°
05) 27
01. Verdadeira. AC = 10 km.
sen 30° = 5AC
= 12
⇒ AC = 10
02. Verdadeira. AD = 2,5 km.
cos 60° = AD5
= 12
AD = 52
= 2,5
04. Falso. BD = 5 3 km.
sen 60° = DB5
= 32
DB = 5 3
2
GABARITO
2 Matemática B
08. Verdadeira. O ângulo BÂD mede 60°.16. Verdadeira. A velocidade média do barco é de
15 km/h.
tg 30° =
5 32
CD = 3
3
CD 3 = 5 3
2 . 3 ⇒ CD = 15
2
Vel =
15212
= 15 km/h
06) B
Considere a figura, sendo Q o pé da perpendicular bai-xada de P sobre AG.
30°
P
45°
QGA
Queremos calcular PQ
Como PG�Q = 45°, segue PQ = QG.
Desse modo, AQ = 240 – QG = 240 – PQ.Portanto, do triângulo APQ, vem
tg QA�P = PQ
AQ ⇔ 3
3 =
PQ
PQ240−
⇔ (3 + 3)PQ = 240 3
⇔ PQ = 240 3
3 3+
⇔ PQ = 240 3
3 3+ . 3 3
3 3
−−
tg QA�P = 120( 3 – 1) m.
07) C
O1
O2R
rt30°
A B C? 4 3
No triângulo BO2C, tem-se:
tg 30° = r
4 3 ⇒ 3
3 = r
4 3 = r = 4
∆ ∆CAO CBO
AB
1 2
412
4 3
4 3
∼
=+
⇒ 4AB + 16 3 = 48 3 ⇒
⇒ 4AB = 32 3 ⇒ AB = 8 3 cm.
08) A
5 3
A
B
H
C
D
sen 30° = 5 3CD
= 12
AD = 10 3
tg 30° = AB
10 3 = 3
3
AB = 10 3 . 33
Área = (10 3) . (10)
Área = 100 3
09) D
Considere a figura.
Px
B
yr
É imediato que
cos α = xr
⇒ x = r cos α
e
sen α = yr
⇒ y = r sen α
GABARITO
3Matemática B
10) 06
A
x
y5 km
30° 60°
t2 t2z w B
01. Falsa. Pois sen 60° = 5y
⇒ 32
= 5y
⇒ y = 10 33
km.
02. Verdadeira. Pois sen 30° = 5x
⇒ 12
= 5x
⇒
⇒ x = 10 km.04. Verdadeira. Pois o triângulo At1t2 é isósceles, logo
z = y > 5.08. Falsa. Pois z = y > 5.
11) C
A
B
60°C
60
110
x2 = 602 + 1102 – 2 . 60 . 110 . 12
x2 = 3600 + 12 100 – 6600
x = 9100x ≅ 95,4
12) D
A
105°
30°
C
45°
B
x
xsen sen30
20045°
=°
x . 22
= 200 . 12
x = 200
2 ⇒ x = 100 2 m
13) D
C
AB
0,8 km
1 km
150°
Pela Lei dos Cossenos, obtemos:
BC2 = AC² + AB
2 – 2 . AC . AB . cos BA�C
BC2 = (0,8)2 + 12 – 2 . 0,8 . 1 . cos 150°
BC2 = 0,64 + 1 – 2 . 0,8 . −
32
BC2 ≅ 1,64 + 0,8 . 1,7
BC2 ≅ 3
Logo, BC ≅ 1,7 e, portanto, o resultado é1 + 0,8 + 1,7 = 3,5.
14) A
Considere a figura, na qual AB = 6, AC = 10 e BC = 8.
A30°
B
D
C
Do triângulo retângulo ABD, obtemos
tg BA�D = BD
AB ⇔ BD = AB . tg 30°
⇔ BD = 6 . 33
⇔ BD = 2 3
Além disso, pelo Teorema do Ângulo Externo, segue que
AD�C = DA�B + AB�D
GABARITO
4 Matemática B
AD�C = 30° + 90°
AD�C = 120°
Portanto, pela Lei dos Senos, vem
CD
sen DAC
AC
sen ADC sen sen� �= ⇔−
=°
8 2 3 10120α
⇔ sen α = 4 35− . sen 60°
⇔ sen α = 4 35− . 3
2
⇔ sen α = 4 3 310−
15) B
Aplicando a Lei dos Cossenos, obtemos
BC2 = AB
2 + AC2 – 2 . AB . AC . cos BA�C ⇔
BC2 = 362 + 242 – 2 . 36 . 24 . −
12
⇔
BC2 = 1296 + 576 + 864 ⇔
BC = 2736 = 12 19 km
16) C
C
A
E
DB NM
30°
x
30° 30° 30°
120° y
a a/2
No ΔCMB: cos 30° = ax
⇒ 32
= x ⇒ x = 2
3
a
No ΔENB: cos 30° =
a
y2 ⇒ 3
2 = a
y2 ⇒ y =
a
3
CB�E = 180° – 30° – 30° = 120°
Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo CBE, temos:CE2 = x2 + y2 – 2 . x . y . cos 120°
CE2 = 43 3
22
3 3
12
2 2a a a a+ − −
. . .
CE2 = 53
23
2 2a a+
CE2 = 73
2a
CE2 = a73
17) E
Seja l o lado do quadrado. Como AEFG é um quadrado, segue que o triângulo
ABC é retângulo. Logo, AB�C = 60°. Além disso, sabemos
que BD é bissetriz de AB�C e, portanto, AB�D = CB�D =
30°. Daí, segue que BD�C = 120°.
Aplicando a Lei dos Senos no triângulo BCD, obtemos
BC
sen BDC
CD
sen CBD
BCBC cm� �= ⇔ = ⇔ =
32
2 312
6 .
Assim, no triângulo ABC, temos que
cos AB�C = AB
BC ⇔ AB = 6 . cos 60° = 3 cm.
Por conseguinte, do triângulo BGF, vem
tg AB�D = GF
BG ⇔ 3
3 = �
�3− ⇔ l = 3 3 1
2−( ) cm.
18) A
C
N
PA
20°
200 m
50°
B
300 3 m
x
150°
70°
Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo assina-lado, temos:
AC2 = (300 3)2 + 2002 – 2 . 300 3 . 200 . −
32
AC2 = 270 000 + 40 000 + 180 000
AC = 490 000AC = 700 m
19) C
O deslocamento do ponteiro das horas, em 25 minutos,
é igual a 252
= 12°30'. Logo, como o ângulo entre as
posições 5 e 8 mede 3 . 30° = 90°, segue quex = 90° + 12°30' = 102°30'.
GABARITO
5Matemática B
20) C
y = tgsen
240 330870 11°+ °°−
cossec π
= 3
32
150
+
°−sen secπ
y =
3 32
12
1
3 3232
+= = 3
21) D
10
213
1053
−= = 10 . 3
5 = 6
22) C
1213
2 + cos2 x = 1
cos2 x = 1 – 144169
cos x = ±25
169
cos x = – 513
23) D
No terceiro quadrante senos e cossenos são negativos. Utilizando a relação fundamental, temos:sen2 (x) + cos2 (x) = 1
sen2 (x) + −
1213
2
= 1 ⇒ sen² (x) =1 –144169
⇒
⇒ sen (x) = ±25
169 ⇒ sen (x) = ± 5
13
Como o arco x tem extremidade no terceiro quadrante,
temos: sen (x) = –5
13.
Calculando a tangente de x.
tg(x) = sen xxcos
= −
−
5131213
= 5
12
1213
2 + cos2 x = 1
cos2 x = 1 – 144169
cos (x) = ±25
169
cos x = – 513
Vel =
15212
= 15 km/h
24) C
11
2 2
2+( )
−
cos . coss
x ec xec x é:
= 1 + 1
122cos .x
sen x
− 1
2cos x
= 1 + sen x
x
2
2cos −
12cos x
= 1 + sen x
x
2
2
1−cos
= 1 − coscos
2
2
xx
= 1 − 1 = 0
25) 41
cossec x = 54
e x é do primeiro quadrante,
cossec x = 54
1
sen x =
54
sen x = 45
Pela relação fundamental
cos x = 35
sec x = 1
cos x =
135
= 53
tg x = sen xxcos
=
4535
= 43
9 . (sec² x + tg² x)
= 9 . 259
169
+
= 9 . 419
= 41
GABARITO
6 Matemática B
26) y = 15x4 = 60
N
A
0
M
P Q
figura 1
a
b
a + b = π2
sen (b) = cos (a) cos (b) = sen (a)
figura 2
x
PN – QM
OP + OQ
cos (a) + cos (b)
cos (a) + sen (a)
sen (a) – sen (b)
sen (a) – cos (a)
x² = (sen a − cos a)² + (cos a + sen a)² x² = sen² a − 2sen a . cos a + cos² a + cos² a − − 2 . sen a . cos a + sen² a x² = 2
y = 15x4
y = 15 . (x²)² y = 15 . 2² y = 60
27) B
C
�
AB
x
y
M
N
sen5
6
�
5
6
�
cos5
6
�
AB = − cos 56π
= − 3
2
AC = sen 56π
= 12
Portanto
ABAC
=
3212
= 3
28) 96 cm
sen a = 0,6
sen a = 35
Pela relação fundamental
cos a = 45
A
B
100 cm
Ca
a
2a
h
sen (2a) = 2 . sen a . cos a
sen (2a) = 2 . 35
. 45
sen (2a) = 2425
sen (2a) = h100
= 2425
h = 2425
. 100
h = 24 . 4 h = 96 cm
GABARITO
7Matemática B
29) C
I. Falso. cos (−x) = cos xII. Verdadeiro. ângulos complementaresIII. Verdadeiro. − cos x + cos x = 0IV. Falso. cos (2a) = cos² a − sen² a
30) D
s(t) = 5cos π πt+
2
P = 2ππ
= 2
Im = [− 5; 5]
31) B
Sabendo-se que ângulos suplementares têm cossenos simétricos, concluímos que:
f(1) + f(3) + f(5) + f(7) = 4 . 180 − 54 . cos cos cos cos03
23
+ + +
π π π = 720.
32) C
f(x) = 4 + 3cos πx6
2,5 = 4 + 3cos πx6
− 1,5 = 3cos πx6
cos πx6
= − 1
2
πx6
=
23π
+ k . 2π ou πx6
=
43π
+ k . 2π para k inteiro
Para k = 0, temos x = 4 ou x = 8. Para k = 1, temos x = 16 (não convém) ou x = 20h (não convém).
Resposta: 4h e 8h
33) D
y = tg 2x Im = R
2x ≠ π2
+ πk
x ≠ π4
+ kπ2
GABARITO
8 Matemática B
34) 26
01. Falso. P = 21π
= 2π
02. Verdadeiro. cos² x + sen x
x
2
2cos . cos2 x = 1
cos² x + sen² x = 104. Falso. 2sen² x + cos² x = 0 cos² x = 1 − sen² x 2sen²x + 1 − sen² x = 0 sen² x = − 1 Não existe x ∈ R que torne a equação verdadeira.08. Verdadeiro.
6
8
10
cos α = 8
10 =
45
16. Verdadeiro.
x
y z
x + y + z = 180°x + y = 180° − zsen (x + y) = sen (180° − z)sen(x)cos(y) + sen(y)cos(x) = sen 180°cosz − sen z cos180° sen 180° = 0 e cos 180° = − 1sen(x)cos(y) + sen(y)cos(x) = 0 − sen(z)(−1)sen(x)cos(y) + sen(y)cos(x) = sen(z)
35) C
A(2, 3), B(10, 9)e C(10, 3) M é o ponto médio do lado AB
M = 2 10
23 9
2+ +
,
M = (6; 6)
Então a medida de MC vale:
d = ( ) ( )6 10 6 32 2− + −
d = 16 9+ d = 5
36) B
Como o triângulo ABC equilátero, segue que
AC = AB = ( ) ( )− − + −1 1 0 02 2
37) B
C (0,8)
B (–2, 6)
D (x , y )D D
A (1, 4)
M (x , y )M
M
M é o ponto médio das diagonais do paralelo-gramo da figura.
Na diagonal AC temos:
xM = 1 0
2+
= 12
yM = 4 8
2+
= 122
= 6
Logo M(1/2, 6)
Na diagonal BD, temos:
xD −2
2 = 1
2 ⇒ xD = 3
6 = yD + 6
2 ⇒ yD = 6
Logo, temos D(3, 6) e 3 + 6 = 9
38) E
x² = 5² + 2² ⇔ x = 29
y² = 5² + 1² ⇔ y = 26
GABARITO
9Matemática B
Logo
P = 7 + 10 + 29 + 26
P = 17 + 29 + 26
y
x
5 7
x5 5 y
–1 1 8 9
10
39) C
3 0 3
5 9 2 5
x
− − = 0
27 + 2x + 5x − 6 = 0 7x = − 21 x = − 3
40) B
y
B (0, 6)
yGG
d
xGA x
C (4, 3)
Determinando o ponto G (baricentro do triângulo ABC), temos:
xG = 0 4 0
3+ +
= 43
yG = 0 3 6
3+ +
= 3
Logo G43
3,
Calculando a distância do ponto G ao ponto A.
d = 43
0 32
2−
+ =
169
9+ = 973
41) A
A(−2, 4) y = 3x e y = − x P(a; 3a) e Q(b; − b)
a b a b+
=−+ −
=
2
23
24;
( )
(a + b = −4; 3a − b = 8)
a b
a b
+ =−− =
4
3 8
4a = 4 a = 1 b= − 5 P(1; 3) Q(−5; 5)
42) 07
43) D
m = 0 42 0−−
= − 2
Número negativo, cujo módulo é um número par.
44) A
y
xxB
yB
B
Y
30
0
xA x
–40
yAA
Fazendo y = 0, temos 3x + 120 = 0 ⇒ x = − 40. Fazendo x = 0, temos −4y + 120 = 0 ⇒ y = 30.
Logo, x(−40, 0) e y(0, 30)
GABARITO
10 Matemática B
Determinando o ponto A: xA = − 40 − 40 = − 80 yA = 0 − 30 = − 30
Portanto, temos ponto A (− 80, − 30).
Determinando o ponto B: xB = 0 + 40 = 40 yB = 30 + 30 = 60
Portanto, temos ponto B (40, 60).
45) C
m = − 2
k−−
44 3
= − 2
k = 2
y = − 2x + n 4 = − 2 . 3 + n n = 10
k + n = 12
46) D
47) B
Sejam y = mrx +hr a equação da reta r. Do gráfico segue que hr = 1. Além disso, com o r intersecta
o eixo x no ponto de abscissa x = − 2, segue que:
0 = mr . (− 2) + 1 ⇒ mr = 12
Por outro lado, como a reta s intersecta o eixo x em (3, 0), e o ângulo qyue ela forma com esse eixo é 45°, temos que a sua equação é
y − 0 = tg 45° . (x − 3) ⇔ y = x − 3
As coordwenadas do ponto I constituem a solução do sistema formado pelas equações de r e de s:
y x
y x
= +
= −
12
1
3 ⇒
12
1 3
3
x x
y x
+ = −
= − ⇒
x
yI
I
=
=
8
5
Portanto, a distância pedida é dada por
( ) ( )26 8 29 52 2− + − = 18 242 2+ = 30 km
48) A
a) Verdadeira − Resolvendo o sistema 2 5 7 0
2 7 0
x y
x y
− + =+ + =
,
temos: x = − 72
e y = 0.
b) Falsa − pois 2 . (−1) − 5 . (2) + 7 ≠ 0.
c) Falsa − pois elas se intersectam em −
72
0,
d) Falsa − pois elas se intersectam em −
72
0,
49) B
r // s ⇒ m1 = m2
n2 < 0, pois a reta s intercepta o eixo y abaixo da origem.
50) D
O coeficiente angular da reta l é dado por
ml = y yx x
A B
A B
−−
= 2 00 1−−
= − 2
Então, como a reta l é perpendicular à reta r1, segue que
m1 = − 1
m�
= 12
. Daí, como r1 e r2 são paralelas, segue
que m2 = m1 = 12
.
Portanto, sabendo que o ponto A(0, 2) pertence à reta
r1, vem que b1 = 2 e, assim, m2 . b1 = 12
. 2 = 1
51) 04
52) C
O ponto B é a intersecção das retas y = 2x e y = x + 2. Logo, 2x = x + 2 ⇔ x = 2 ⇒ B = (2, 4).
O ponto C é a intersecção das retas y = x + 2 e y = 7. Assim, x + 2 = 7 ⇔ x = 5 ⇒ C = (5, 7)
O ponto D é a intersecção das retas y = 7 e y = 25 − 3x. Desse modo, 7 = 25 − 3x ⇔ x = 6 ⇒ D = (6, 7)
O ponto E é a intersecção da reta y = 25 − 3x com o eixo
das abscissas. Por conseguinte, 25 − 3x = 0 ⇔ x = 253
⇒ E = 253
0,
.
GABARITO
11Matemática B
Portanto, a área pedida é dada por
(ABCDE) = 12
0 2 5 6 25 3 0
0 4 7 7 0 0
/
= 12
14 35 20 42175
3+ − − −
= 107
3
53) B
I. Falsa. A taxa de variação da função f é a = 4 03 3−
− − =
− 23
. Logo, como f(3) = 0, segue que 0 = 3 . −
23
+ b ⇔ b
= 2. Daí f(x) = − 23
x + 2 ou 2x + 3y − 6 = 0.
Portanto, a distância do ponto C(− 2, − 1) até o segmento AB é dada por:
2 2 3 1 6
2 32 2
. ( ) . ( )− + − −
+ =
13
13 = 13 u.c. ≠
7 1313
u.c.
II. Verdadeira. A área compreendida entre o sefmento de
reta AB e o eixo das abscissas é ( ) . ( )x x y yB A A B− −
2 =
[ ( )] . ( )3 3 4 02
− − − = 12 u.a.
III. Verdadeira. O domínio de f−1 é igual à imagem de f, ou seja, {x ∈ R| 0 ≤ x ≤ 4}, enquanto que a imagem de f−1 é igual ao domínio de f, isto é, {y ∈ R| − 3 ≤ x ≤ 3}.
IV. Verdadeira. Seja f−1 a inversa de f, temos que:
y = − 23
x + 2 ⇒ x = − 23
y + 2
⇔ y−1 = − 32
x + 3.
Portanto f−1(2) = − 32
. 2 + 3 = 0.
Observação: Se f admite inversa, então existe uma única função f−1 tal que f−1(f(x)) = x = f(f−1(x)).
54) a) p = 8 e r = 4π A imagem de f é dada por 6 − 2 . [− 1, 1] = 6 − [− 2, 2] =
[4, 8], enquanto o período é 2
12
π = 4π. Portanto p = 8 e
r = 4π.
b) De (a), temos que m = 4, n = f(0) = 6 – 2 . sen 02
= 6
e q = π. Assim, a equação da reta que passa pelos pontos (0, 6)
e (π, 4) é y x y x− =−−
− ⇔ =− +66 40
02
6π π
( ) .
55) 25
56) B
y
x
2y = x + 2
C (0, 1)
–2
Determinando o ponto C (fazendo x = 0) 2y = 0 + 2y = 1m logo C= (0, 1).
Escrevendo a equação da circunferência com centro em C(0, 1) e raio 2, temos:
(x − 0)² + (y − 1)² = 2² x² + y² − 2y + 1 = 4 x² + y² − 2y − 3 = 0
57) E
1. Verdadeiro. Pois (4 − 3)² + (2 − 4)² = 5
2. Falsa. O raio é 53. Verdadeira. Pois o centro C(3, 4) está na reta, pois
4 = 43
. 3.
Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.
58) D
A equação da circunferência é dada por (x − 2)² + (y − 3)² = 9. Se a reta y = x − 2 determina uma corda na circunferência,
então as abscissas das extremidades dessa corda são tais que:
(x −2)² + (x − 5)² = 9 ⇔ x² − 4x + 4 + x² − 10x + 25 = 9 ⇔ x² − 7x + 10 = 0 ⇔ x = 2 ou x = 5.
Logo (2, 0) e (5, 3) são as extremidades da corda e, portanto, o comprimento da mesma é
( ) ( )5 2 3 02 2− + − = 9 9+ = 3 2
59) D
Para que a equação represente uma circunferência,
GABARITO
12 Matemática B
deve-se ter A = 1 e B = 0. Além disso, sabendo que o raio da circunferência mede 102
= 5 u.c, vem:
x² + y² + 2x − 4y + C = 0 ⇔ (x + 1)² + (y − 2)² = 5 − C.
Logo, 5 − C = 5² ⇔ C = − 20 e portanto, A − B − C = 1 − 0 − (− 20) = 21 60) D
61) 21
62) 17
63) 10
01. Falsa. No encontro: posição de A = posição de B, logo: 60t = 60 + 30t t = 2h e a posição S = 120 m
02. Verdadeira. Ponto médio de AB: M52
32
,
Coeficiente angular da reta:
32
0
52
0
−
− =
35
04. Falsa.
mt = − 43
ms = 43
logo mt . ms = − 169
(não são perpendiculares).
08. Verdadeira. Resolvendo um sistema com as equações das circunferências, encontramos os pontos P(1, 3) e Q(3, 5).
64) 07
01. Verdadeira. AC = BC, comprovado por
( ) ( )1 3 0 1 3 02 2+ − + − − = 2 1 3 2 1 32 2− − + − +) ( )02. Verdadeira. Igualando as funções, temos x² + x + 1 = 5x − 3 ⇒ x² − 4x + 4 = 0, que admite duas raízes reais e
iguais; logo, r intercepta o gráfico da função real em apenas um ponto.
04. Verdadeira. Utilizando a forma segmentária para equação da reta, podemos escrever que x6
+ y3
= 1 ⇔ x + 2y − 6
= 0. Logo, o raio R da circunferência será dado pela distância do centro (0, 0) à reta r. R = 0 2 0 6
1 22 2
+ −
+
. =
6
5 e a
equação da circunferência por x² + y² = 365
GABARITO
13Matemática B
08. Falsa. Observando a figura a seguir, temos:
30°
10 cm
1,70 m
x
h 25 m
sen 30° = x
25 ⇔ x = 12,5 m.
Logo, a altura da árvire será dada por: H = 12,5 + 1,7 = 14,20 m
65) 09