Matemática Básica (Ing.) 1 Sesión 14.3 Sistema Coordenado Tridimensional y Vectores en el espacio

1Matemática Básica (Ing.)

Sesión 14.3

Sistema Coordenado Tridimensional y Vectoresen el espacio


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Habilidades

1. Describe el sistema coordenado tridimensional.

2. Localiza un punto en el plano cartesiano.

3. Determina la distancia entre dos puntos y obtienesu punto medio.

4. Identifica y grafica planos paralelos a los planoscoordenados y a los ejes.

5. Describe y grafica un plano en R3.


Habilidades 6. Representa un vector en el espacio. Define los

vectores canónicos i, j, k.

7. Describe la operación de producto de un vectorpor un escalar.

8. Describe las operaciones con los vectores como: Igualdad, adición, sustracción, magnitud, vector unitario en la dirección de un vector no nulo dado y productor escalar.

9. Describe la operación de producto vectorial.


Consideraciones previas

¿ Cómo podemos determinar las coordenadas del cañón de proyección respecto a la esquina O ?

z

y

O

x


Espacio tridimensionalEl conjunto de todas las ternas ordenadas de números reales recibe el nombre de espacio tridimensional, y se denota por R3. Cada terna ordenada (x; y; z) se denomina punto del espacio tridimensional.

(x; y; z)x

y

z

P

x

y

z

(0; y; z)

(0; y; 0)

(x; y; 0)(x; 0; 0)

(x; 0; z)

(0; 0; z)

(0; 0; 0)


Espacio tridimensional

plano xy: z = 0

plano xz: y = 0

plano yz: x = 0

xy

z

origen

(0;0;0)

Planos coordenados



x

y

z

Plano x = a Plano y = b Plano z = c

Plano x = a es alplano yz (x = 0)

x = a

Plano yz

x

y

z

Plano xy

Plano x = a

z = c

Plano z = c

x

y

z

y = b

Plano xz

Plano

y = b

Plano y = b es al plano xz (y = 0)

Plano z = c es al plano xy (z = 0)



x

y

z

(0;0;0)

Plano x = a

Plano z = cc

a

bPla

no

y =

b

La intersección de los planos paralelos a los planos coordenados x = a, y = b, z = c es el punto (a; b; c)

(a; b; c)



x y

z

(0;0;0)

Primer octante

plano xy: z = 0

plano yz: x = 0plano xz: y = 0


S t2 = a2 + b2

RQ

P

a

bt

d2 = t2 + c2

d2 = a2 + b2 + c2

cd

Teorema de Pitágoras en el cálculode la distancia en R3

Si P(x1; y1; z1) y S(x2; y2; z2) son puntos en R3, entonces se cumple que:


Distancia y valor de punto medio en R3

x

z

Q

P

P = (x1; y1; z1)

Q = (x2; y2; z2)

x1

x2

y2y1

x 2 – x 1

y2 – y1 z2

– z

1

212

212

212 )()()(),( zzyyxxQPd

M

2

;2

;2

212121 zzyyxxM

z1

z2

Dado los puntos:

y


Ejercicios1. Determine la distancia entre los puntos

P(-2, 3; 1) y Q(4; -1; 5) y además determine elvalor del punto medio de la línea PQ.

2. Determine la distancia entre los puntosR(-1, 2; 5) y S(3; -4; 6) y además determine elvalor del punto medio de la línea RS.


r

Ecuación estándar de la esfera

x

y

z

2222 )()()( rlzkyhx

C P(x; y; z)

C(h; k; l)

Una esfera es el análogo tridimensional de unacircunferencia. En el espacio, el conjunto depuntos que están a una distancia fija de un puntofijo es una esfera.


Ejercicios

1. Determine la ecuación estándar de la esferacon centro en (3; -2; 5) y radio 4.

2. Determine la ecuación estándar de la esferacuyo diámetro tiene como extremos a los

puntos P(-2, 3; 1) y Q(4; -1; 5).


Planos en R3

Todo plano puede escribirse como

donde A, B y C no todos iguales a cero.

0 DCzByAx

x

y

z

Punto de cortecon el eje x

Punto de cortecon el eje z

Punto de cortecon el eje y

traza

traza

traza


Ejercicio1. Elabore la gráfica de la ecuación

2x + 3y + 5z = 30

x

y

z

Punto de cortecon el eje x

Punto de cortecon el eje z

Punto de cortecon el eje y

traza

traza

traza

Nota: Debe obtener los puntos de corte de la ecuación del plano con los ejes coordenados y luego hace la traza del plano.


Vectores en el espacioEl concepto de vector en el plano se puede extender de manera natural – con sólo ligeros cambios- en el espacio.

Los vectores tienen tres componentes en lugar de dos y al igual que en el plano, el conjunto de segmentos dirigidos de rectas (o flechas) son vectores.


Vectores en el espacio

El vector v = v1; v2; v3

v1; v2; v3

x

y

z

v1

v2

v3

v

ij

k

Se definen:

Vectores unitarioscanónicos i, j, k:

Vector cero o nulo: 0;0;00

v = v1; v2; v3 = v1i + v2j + v3k

0;0;1i 0;1;0j

1;0;0k



x

y

z

Q1

Q2

Q3

vi

jk

Q

P

P1

P2

P3

El vector v que estárepresentado por laflecha que va de P a Qes:

v = PQ = OQ - OP



Un v se puede multiplicar por un escalar c de lade la siguiente manera:

cv = cv1; v2; v3 = cv1; cv2; cv3

v

cv0 < c < 1

cv

c > 1cv

c < -1

cv-1 < c < 0


Vectores en el espacio: Propiedades

0 , :unitarioVector

:punto Producto

:Magnitud

;; :nSustracció

;; :Adición

y si sólo y si :Igualdad

332211

23

22

2

332211

332211

332211

1

vvv

u

wv

v

wv

wv

wv

wvw vwv

v vv

wvw vwv

wvw vwv

wvw, vwv

,;; y ;; vectores los Para 321321 wwwwvvvv

:tiene se



Si u, v y w son vectores y c es un número real, se cumple que:

donde es el ángulo que forman los vectores u y v

u

v

u v = v u

u (v + w)= u v + u w

c(u v) = (cu) v = u (cv)

0 u = 0 2

uuu

cosvuvu


Son perpendiculares si y solo si u v = 0

El ángulo que forman se puede calcular a partir de la ecuación:

vuvu

cos


Si u y v son vectores no nulos

u

v


Ejercicio de cálculo con vectores

a) 3-2; 1; 4

b) 6; 0; -7 + -5; 5; 8

c) 1; -3; 4 - -2; -4; 5

d) |2; 0; -6|

e) 5; 3; -1 -6; 2; 3

Resuelva según el caso


Los alumnos deben revisar los ejercicios del libro texto guía.

Ejercicios: 22, 24, 26, 28,30, 32 y 34 de la página 693.

Sobre la tarea,

está publicada en el AV Moodle.

Importante

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