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GABARITO
1Matemática C
Matemática C – Extensivo – V. 5
Exercícios
01) A
i10 + i–100 = i2,5 + 1
100i
= + = − + =( ) ( )( ).
ii i
2 52 50
52 50
11
1
=− +−( )
=− + =− + =11
111
1 1 050i
02) C
Então,z = (a + i)4 = a4 + 4a3i + 6a2i2 + 4ai3 + i4
z = a4 + 4a3i + 6a2(–1) + 4a(–i) + 1z = a4 + 4a3i – 6a2 – 4ai + 1z = a a a a i4 2 36 1 4 4− + + −� ������ ������ � ����� �����( )
Parte real Parte imaginária
Então, z é real se4a3 – 4a = 0 ⇔ a(4a2 – 4) = 0 ⇔ 4a(a2 – 1) = 0 ⇔ 4a = 0 ou a2 – 1 = 0 a = 0 ou a2 = 1 a = 0 ou a2 = ±1 S = {–1, 0, 1}
Logo, existem três números reais a tais que z = (a + i)4
é um número real.
03) D
a) Verdadeira. Basta lembrar a definição de conjugado de um número complexo.
b) Verdadeira. |1 + i| = 1 12 2+ = 2.c) Verdadeira. z2 – 2z + 2 = 0
z = 2 4 82
2 42
2 4 12
2 2
2
± −=± −
=± −
=±. i
z = 1 ± i z' = 1 + i e z" = 1 – i
d) Falsa. (1 + i)–1 = 11+ i
1
111
11 1 0
12
12 2
1+( )
−( )
−( )=
−+ +
=−= − ≠ −
iii
ii
i ii.
e) Verdadeira. (1 + i)2 = (1 + i) . (1 + i) = 1 + 2i + i2 = = 1 + 2i – 1 = 2i
04) E
11
4+−
ii
= 11
11
22
14 4
4+( )−( )
+( )+( )
= = =
ii
ii
ii.
05) D
i ii
246 121
34
+ = i ii
i i i
i
i i i2 123 1 120
2 17
2 123 2 60
2 17
123 2 60.
.
.. .+=( ) +( )
=−( ) + ( )
−
+
ii( )17
= − + −( )
−=− +−
= −1 1
11
11
60i i
i.
06) E
E = x–1 + x2 = (1 – i)–1 + (1 – i)2 = 1
11 2 2
−+ − +
ii i =
E = 11
11
1 2 1−
+( )+( )+ − + − =
iii
i. ( )
E = 11
21
12
12
22 2
+−− =
+− −
− =+−
ii
iii
ii
i( )
E = 1 42
1 32
12
32
+ −=+ −
= −i i i
i( )
07) x = 2 e y = 3
(3x + 4yi) + (5 + 6i) = 11 + 18i(3x + 5) + (4y + 6)i = 11+ 18i� ��� � ��� �� ��
3 5 11
4 6 18
x
y
+ =+ =
3x + 5 = 113x = 6x = 2
4y + 6 = 184y = 12y = 3
08) 58
(a + bi) . (a + bi) = –3 + 4ia b abi i2 2 2 3 4− + =− +� ���� ��� �� �
a b I
ab II
2 2 3
2 4
− =−=
( )
( )
Por (II), temos que a ≠ 0 e b ≠ 0.
Por (II) também b = 2a
(III).
Substituindo (III) em (I) temos:
a b aa
2 2 22
32
3− =− ⇒ − =− ⇒
GABARITO
2 Matemática C
a4 – 2 = –3a2 ⇒ a4 + 3a2 – 2 = 0 Resolvendo essa equação biquadrada, obtemos as
seguintes raízes:a' = –1, a" = 1, a'" = 2i e a"" = –2i.Mas, pelo enunciado, a ∈ R. Logo, a = ±1.Por (II) b = ±2. Assim, |a| = 1 e |b| = 2. Portanto,8|a| + 25|b| = 8 . 1 + 25 . 2 = 58
09) 19
Lembre-se de que se um número complexo é raiz de um polinômio, então seu conjugado também será. Pelo método soma e produto, temos que:S: (1 + 4i) + (1 – 4i) = –pS: (1 + 4i) . (1 – 4i) = q⇒ 2 = –p ⇒ p = –2⇒ 1 + 16 + 0i = q ⇒ q = 17Logo, q – p = 17 – (–2) = 19.
10) A
(1 + i)n = (1 – i)n ⇒ como i
i n
1 0
1 0
− ≠− ≠
( )
⇒+−
= ⇒+−
= ⇒
+ +− +
( )( )
( ).( )( ).( )
11
111
11 11 1
ii
ii
i ii i
n
n
n
= ⇒
n
1
⇒+ ++ −
= ⇒
=
1 21 0
122
1i ii i
in n
⇒ in = 1. Para que in seja igual a 1, n deve ser múltiplo de 4, ou seja, n = 4 k, com k ∈ z.
11) C
z1 = 4 – 3i, z2 = –2i e z3 = i
|z1| + z338 – z2 . z3
|4 – 3i| + i38 – (–(–2i)) . i = 4 32 2+ −( ) + i2 . 19 – 2i2 =
16 9+ + (–1)19 – 2(–1) =
25 + (–1) + 2 = 5 + 2 – 1 = 6
12) C
z = ii i i−+ −
12 3 7( )
= i
i i i−+ −
12 3 4 7
=
z = i
i i i
ii i
−
− + −=
−− + − −
1
2 1
12 13 4( ) . ( )
=
z = ii i
ii
i
i
−− + +
=−−= −
−−=−
12 1
11
11
11( ).
13) 12 –
i2
z = i
i
n3 4
1
+
− = i i
ii i
i
n n3 4 4
1 1. ( ) . ( )−=−−
=
( ) . ( ) ( ).
( )−−
=−−=−−( )
++( )=
=i i
iii
ii
ii
n1
1 1 111
− +=− − +
=−= −
( ) (( ) )i i i i i2
212
12
12 2
14) 1
7 24+ .i = ±
4 325− .i
∈C
Note que 7 + 24i pode ser escrito como:7 + 24i = 16 – 9 + 2 . 4 . 3 . i == 42 – 32 + 2 . 4 . 3 . i = (4 + 3i)2.
Assim, 7 24 4 3 4 32
+ = +( ) =± +. . ( )i i i .
Logo, 1
7 24+ .i =
14 3
14 3
4 34 3± +
=±+
++
=( ) ( )
.( )( )i i
ii
= ±−− −
4 316 9
i( )
= 4 3
25− .i
15) n = 2k – 1, k ∈ N
z = i . 11+−
ii
n
= 11
11
+( )−( )
+( )−( )
=
ii
ii
n
.
z = ii i i
ii
in n2 2
2 2
21
21 1
+ +−
= +
= i . in = in + 1
Logo, para que Z seja real, (n + 1) deve ser par, ou seja, n + 1 = 2k, k ∈ Z, de modo que n = 2k – 1, k ∈ N.
16) A
Nesta questão serão usadas as seguintes propriedades: (Z1, Z2, w ∈ ⊂)
• z z z z1 2 1 2± = ± .
• z z z z1 2 1 2. .= .
•zz
z
z1
2
1
2
= .
• w z w z z= ⇒ = =2 2 2.
• z z z z1 2 1 2+ ≤ + .• arg(A.B)=argA+argB.
• arg AB
= arg A – arg B.
I. Verdadeira. w = 2 5
1 3 2 3 2
2
2 2
iz z i
z iz z z
+ −
+ + + +. ⇔
w = 2 5
1 3 2 3 2
2
2 2
iz z i
z iz z z
+ −
+ + + +. ⇔
GABARITO
3Matemática C
w = 2 5
1 3 2 3 2
2
2 2
iz z i
z iz z z
+ −
+ + + + ⇔
wiz z i
z iz z z=
− + +
+ − + +
2 5
1 3 2 3 2
2
22
. ⇔
Lembre-se de que z z=
II. Se z ≠ 0 e w = 2 3 3
1 2iz i
i z+ ++( )
, então
w ≤ 2 3 2
5
z
z
+ .
II. Verdadeira. w = 2 3 31 2
iz ii z
+ ++( )
⇒
⇒ |w| = 2 3 31 2
iz ii z
+ ++( )
≤
≤ 2 3 3
1 2
iz i
i z
| |
.
+ ++
=
= 2 3 5
5
z
z
+
III. Verdadeira.
w = 1
4 3 4
2+( )
+i z
i ⇒ arg w = arg 1
4 3 4
2+( )
+
i z
i
w = arg ((1 + i)z2) – arg (4 3 + 4i)
w = arg (1 + i) + z2 – arg (4 3 + 3i)
w = π4
+ 2 arg z – π6
= 2 arg z + π
12
17) i
y = i + i2 + i3 + i4 + ... + 11001.
Note que a cada quatro termos a soma se anula:
y = i . i . i . i + ... = i + (–1) + (–i) + 1 + ...2 3 4
Logo, do 1º ao 4º termo a soma se anula, do 5º ao 8º, do 9º ao 12º, ..., do 997º ao 1000º também se anula.Assim, só resta o 1001º termo, com isso:y = i1001.y = i . i1000
y = i . i2 . 500
y = i . (i2)500
y = i . (–1)500
y = i . 1y = i
18) z = − ± − ±5 3324
5 2324
e z = i
(3z + 1)(4z + 1)(6z + 1)(12z + 1) = 2(Multiplicando o 1º termo por 4)(12z + 4)(4z + 1)(6z + 1)(12z + 1) = 2 . 4(Multiplicando o 2º termo por 3)(12z + 4)(12z + 3)(6z + 1)(12z + 1) = 8 . 3(Multiplicando o 3º termo por 2)(12z + 4)(12z + 3)(12z + 2)(12z + 1) = 24 . 2
Seja x = 12z + 1, então ficamos com:(x + 3)(x + 2)(x + 1)x = 48 (*)
Ideia: note que:6 . 4 = (5 + 1) (5 – 1) = 52 – 12
5 . 7 = (6 + 1) (6 – 1) = 62 – 12
Então, aplicando esse raciocínio para a nossa equação:
x x x x
x x x x
.( )
( )( )
+ = ++ + = + +
3 3
1 2 3 2
2
2
(*) (x2 + 3x)(x2 + 3x + 2) = 48 (x2 + 3x + 1 – 1)(x2 + 3x + 1 + 1) = 48(x2 + 3x + 1)2 – 12 = 48
x2 + 3x + 1 = ± 49x2 + 3x + 1 = ±7
Temos duas equações:x2 + 3x + 1 = 7 e x2 + 3x + 1 = –7 (I) (II)
(I) Como x = 12z + 1, temos: x2 + 3x + 1 = 7 ⇒ (12z + 1)² + 3 . (12z + 1) + 1 = 7 ⇒⇒ 114z² + 24z + 1 + 36z + 3 + 1 − 7 = 0 ⇒⇒ 114z² + 60z − 2 = 0 ⇒
z=− ± − −60 60 4 144 2
2 144
2 . ( ) . ( )
. ( ) = − ±60 4752
288 =
= − ±60 12 33
288 ⇒
⇒ z=− ±5 33
24
(II): Como x = 12z + 1, temos:x2 + 3x + 1 = − 7 ⇒ (12z + 1)² + 3 . (12z + 1) + 1 = − 7 ⇒⇒ 144z² + 24z + 1 + 36z + 3 + 1 + 7 = 0 ⇒⇒ 144z² + 60z + 12 = 0 ⇒
z = − ± −60 60 4 144 12
2 144
2 . ( ) . ( )
. ( )= − ± −60 3312
288 =
= − ± −60 12 23
288 ⇒ z =
− ± −5 23 1
24
. ( ) = − ±5 23
24i
GABARITO
4 Matemática C
19) B
Note que:
zii
ii
ii
ii1
11
11
11
22
=−+=−+
−−=−=−
( )( )
.( )( )
E mais,
zi
i
ii
i ii
i ii
2
11
1
11
1
1 1 11
1 1 11
=− +
+
+ +−
=
−( ) +( )++( )
+( ) −( )+−( )
=
z i
ii
i ii
z i2 1
31
31
31
1
3
11
= +
−
=+
−=−+= =−.
Se continuarmos com z3, z4, z5, ..., zn de modo recursivo, obteremos z3 = –i, z4 = –i, z5 = –i, ... , zn = –i. Logo:z = –i. Portanto
z i+ = − + = + − =1 1 1 1 22 2( ) .
20) A
Note que: z(z + i)(z + 3i) = 2002 i (z2 + zi) (z + 3i) = 2002 i (z3 + 4iz2 – 3iz – 2002 i) = 0 (z + 14i) (z2 – 10iz – 143) = 0
(z + 14i) (z – 118 – 5i) (z + 118 – 5i) = 0
Logo, as raízes são: z' = –14i (a = 0)
z" = – 118 + 5i (a = – 118)
z'" = 118 + 5i (a = 118)
Como a é um real positivo, a única raiz que nos inte-
ressa é a = 118.
21) 55
01. Verdadeira. |z| = |–3 + 4i| = ( )− + =3 4 252 2 = 5.02. Verdadeira. Pois se a é real, a = a + 0 . i ∈ C.
04. Verdadeira. Pois z = (12a – 3) + i = (12 . 14
– 3) + i
= (3 – 3) + i = i. imaginário puro
08. Falsa. Pois (6 + 2) ∈ �.16. Verdadeira. Pois i10 = (i2)5 = (−1)5 = −1.32. Verdadeira. Basta lembrar da definição de unidade
imaginária.
22) E = {–2, 0, 2}
E = in + 1in
E = ( ) ( ) ( )ii
ii i
n
n
n
n
n
n
2 21 1 1 1+=
+=− +
Para n = 1 ⇒ E = ( )− += =
1 1 00
1
1i i
Para n = 2 ⇒ E = ( )− +=−=−
1 1 21
22
2i
Para n = 3 ⇒ E = ( )− +
=1 1
03
3i
Para n = 4 ⇒ E = ( )− += =
1 1 21
24
4iPara n = 5 ⇒ E = 0
Para n = 6 ⇒ E = ( )− +=−=−
1 1 21
26
6i Logo, para n = 2k + 1, k ∈zTemos que E = 0Para n = 4k, k ∈zTemos que E = 2Para n = 4k + 2, k ∈zTemos que E = –2
Assim, os valores que E assume são 0, – 2, 2.
23) 4949
S = 1 + i + 2 + i2 + 3 + i3 + 4 + i4 + ....+ 99 + i99
Separemos em duas somas:S1 = 1 + 2 + 3 + ... + 99.S2 = i + i2 + i3 + ... + i99.
Logo, S = S1 + S2.
Para S1, lembre-se da fórmula (P.A.), Sn = ( )n n+12
.
Logo, S1 = S99 = 99 99 12
99 1002
99 502
+( )= =
. . = 4950.
Para S2, note que a cada quatro termos a soma se anula:S2 = i + i2 + i3 + i4 + ... + i97 + i98 + i99
S2 = i – 1 – i + 1 + ... + i + (–1) + (–i)
S2 = i i i i− − + + + + − + −1 1 1... ( ) ( )S2 = –1
Logo, S = S1 + S2 = 4950 + (–1) = 4949.
24) a) ρ = 2 θ = 135o
b) ρ = 22
θ = 45o
GABARITO
5Matemática C
a) z = – 2 + 2i
Módulo: |z| = ρ = ( ) ( )− + = + =2 2 2 2 42 2 = 2
Argumento: sen θ = bρ
= 22
cos θ = aρ
= – 22
No gráfico:
Im
R
θ = 135°
0 a
2'–
2
2
Logo, θ = arg (z) = 90° + 45° = 135°.
b) z = 12
+ i2
Módulo: |z| = ρ = 12
12
2 2 + =
= + = = =14
14
12
1
2
22
Argumento: sen θ = bρ
=
122
2
= 2
2 2 = 2
2
cos θ = aρ
=
122
2
= 22
No gráfico:
Im
R
θ = 45°
0
1
2
1
2
Logo, θ = arg (z) = 45°
25) 08
01. Falso. Tome z = 2 + i como contraexemplo (z . z = |z|2 = 5)02. Falso. Tome z = 2 + i como contraexemplo (z . z = 2 + i + 2 – i = 4, 0 ≠ 2 . 1)
04. Falso. |z| = 32 = 3, arg (z) = 90°.
Im
R
θ = 90°
0
3
08. Verdadeira. z6 = (2i)6 = 26 . i6 = 64 . (i2)3 z6 = 64 . (–1)3 = – 64
26) B
Como z = 1 + bi, temos que:w = z – z = 1 + bi – (1 – bi) = 2bi.
Como w = 2 cosπ π2 2+
isen , temos que |w| = 2, assim,
|w| = |2bi| = 2 ⇒ 2 |b| = 2 ⇒ |b| = 1 ⇒ b = ±1, porém,
como arg w = π2
, temos que b = 1.
(Se fosse b = –1, o argumento de w seria –32π
).
Portanto, b = 1.
27) 50
z = 10 cosπ π6 6+
isen
ρ = |z| = 10, então, como
bρ
= sen π6
⇒ b10
= 12
⇒ b = 5 e
aρ
= cos π6
⇒ a
10 = 3
2 ⇒ a = 5 3.
Assim, z = 5 3 + 5i, logo: a2 – b2 = 25 . 3 – 25 = 50.
28) 27°
Seja z = – 2 + 2i, então arg z = θ. Também, ρ = |z| = 2No gráfico:
Im
R
θ = 90° + 45° = 135°
0
2–
245°
2
Logo, θ5
= 135
5° = 27°
GABARITO
6 Matemática C
29) D
( )1 3+ −i = 1
11
1 1 2 13 2 2( ) ( )( )+=
− + +−i i i
( )1 3+ −i = 1
2 11
2 21
2 2
1
4 42 2i i i( )+=− +
=−( ) +
=+
( )1 3+ −i = 1
8
1
2 2
12
22
= =.
. = 24
.
30) θ = 72o e ρ = 10
z1 . z2 = 2,5(cos 283° + isen 283°) . 4(cos 149° + isen 149°)== 2,5 . 4 (cos (283° + 149°) + i sen (283° + 149°)= 10(cos 432° + i sen 432°) = = 10(cos (432° – 360°) + i sen (432° – 360°)) = = 10(cos 72° + i sen 72°).Logo, ρ = 10 e θ = 72o.
31) D
11
25−+
ii
= 11
11
1 2 11 1 0
25 2
2 2
−( )
+( )−( )
−( )
=
− −+ +
ii
ii
ii
. =−
25 252
2i =
11
25−+
ii
= (–i)25 = (–1)25 . i25 = –1 . i = –i
32) B
M = 11
4 2+−
+ii
n
= 11
11
22
4 2 4 2+( )−( )
+( )+( )
=
+ +ii
ii
in n
. = i4n + 2
M = i4n . i2 = (i4)n . (–1) = 1n . (–1) = –1
33) C
(1 + i)11 = (1 + i)(1 + i)10 = (1 + i) . ((1 + i)2)5 = (1 + i) . (2i)5 = (1 + i) . 32i = 32i – 32.Logo, b = 32.
34) E
Note que:z6 + z4 + z3 + z2 + 1 = 0 é o mesmo quez6 – z + z4 + z3 + z2 + z + 1 = 0, ou seja,
z(z5 – 1) + zz
5 11−−
= 0, então z z zz
5 1 1 11
−( ) −( )+( )−
= 0 e
z z zz
2 51 11
− +( ) −( )
− = 0. Assim,
z5 = 1, z ≠ 1 ⇒ z = cis 72, 144, 216, 288 ou
z2 – z + 1 = 0 ⇒ z = 1 3
2± −
= cis 60, 300.
Decartando as raízes com parte imaginária negativa, ficamos com cis 60, 72, 144, e seu produto é P = cis (60 + 72 + 144) = cis (276).
35) E
z – z + |z|2 = – 22 13
2 13
12
+( ) −−
+
i i
Observe que:
2 13
2 13
23
113
1−−
+= − − +i i i( ) ( ) e,
portanto, ( 2 + i) 2 13
2 13
−−
+
i =
= 23
12
31
23
113
1( ) ( ) ( ) ( )− − + + + + − =i i i i
=1 – i = 2 cos − + −
π π4 4
i sen
Logo, a equação dada é equivalente a:
z – z + |z|2 = – 24 4
12
cos − + −
π πi sen
Assim, sendo z = a + bi, com a e b reais, temos:
a2 + b2 + 2bi = –26 cos − + −
124
124
π πi sen ⇔
a2 + b2 + 2bi = 26 ⇔ b = 0 e a2 = 26 ⇔ a = ± 23 = ± 8 e b = 0 ⇔ z = –8 ou z = 8
Temos então que z – z = 0,
|z| = 8 e zz
+1 = 8
18
+ > 8.
36) B
cosπ π5 5
54
+
isen = 154 cos . .54
554
5π π+
i sen =
= cos ( )1045
1045
π π π π+
+ +
i sen I
= cos45
45
π π+
i sen . Mas note que,
π5
4
5
π
cos 45π
= – cos π5
e sen 45π
= sen π5
.
Então, (I) = – cos π5
+ i sen π5
= –a + bi
GABARITO
7Matemática C
37) D
Im
R
z3
z1
z2
w1
w2
b
h
w3
w1 = –iz1 = –i . 3 = –3iw2 = –iz2 = –i . 6 = –6iw3 = –ihz3 = –ih(8 + 3i)
ADW = 18 = b h h h. ( ( ))( ) .( )2
3 6 3 02
3 32
=− − − −
⇒ = 18
⇒ h = 4
38) B
(1 + i)15 = (1 + i) (1 + i)14 = (1 + i)((1 + i)2)7 = (1 + i) (12 – 12 + 2i)7 = (1 + i) (2i)7 = (1 + i) . 128i7 = (1 + i) . 128i3
(1 + i) (–i) . 128 = (1 – i) . 128
39) C
z10 = (cos 9° + i.sen 9°)10 = (cos 10 . 9° + i.sen 10 . 9°) =cos 90 90
0 1
°+ °=� ���� ���� � ���� ����i sen i
40) B
R
Im
–2 –1 1 2–1
–2
2
1
Se analisarmos o plano como sendo cartesiano, notaremos que o quarto deve estar nas coordenadas (z, –1), ou seja (no plano de Argand-Gauss), no ponto 2 – i.
41) E
f(i) = i3 + 2i2 – 3i + 2 =–i + 2(–1) – 3i + 2 = –4i
cujo módulo é 4 e o argumento é
θ = 270° =3
2
π
42) C
( ) ( )11
1 21
21
2 2−+( )=+ − −+( )
=−+( )=
ii
i ii
ii
−+( )
−( )
−( )=− −2
111
2 22
ii
ii
i. = –1 – i.
ρ = ( ) ( )− + − =1 1 22 2 e
θ π= + =π4
5
4
π
R
Im
Logo, z = 254
54
. cos .π π
+
i sen
43) B
R
Im
0
Perceba que μ = a + bi e I = a – bi
Assim, μ = I e I = µLogo, μ . I = μ . µ = |μ|2 = 12 = 1(Pelos dados |μ| = 1 e |I| = 1)
GABARITO
8 Matemática C
44) E
y = (1 + i)48 – (1 + i)49 = 1 1 12 24 2 24
+( )( ) − +( ) +( )( ) =i i iy = (2i)24 – (1 + i)(2i)24 = (2i)24[1 – (1 + i)]y = (2i)24 (–i) = 224 . i24 . (–i) =y = 224 . 1 . (–i) = –224 . i
45) E
E = x–1 + x2 = (1 – i)–1 + (1 – i)2
E = 11
11
111
12 2
−+ −( ) =
−( )+( )+( )+ −( )
ii
iii
i.
E = 1
1 1+− −
i( )
+ 1 – 1 – 2i = 12
+ i2
– 2i = 12
– 32
i
46) B
Como z1 = 2, z2 = 5 e z3 = 6 + 2i, temos que: w1 = iz1 = 2i, w2 = iz2 = 5i e w3 = 2iz3 = 12i – 4.
No gráfico:
–12
–4
5
2
A altura desse triângulo é 4 e a base é 5 – 2 = 3. Assim, a área é:
A = b h. .2
3 42
= = 6
Lembre-se de que a altura pode ser em relação a qual-quer um dos três lados.
47) – 3 – i
Pelo gráfico, |z| = 2 e θz = 30°.Então,z = 2(cos 30° + i sen 30°)
z = 2 32
12
+
i
z = 3 + i
Por outro lado, |w| = 4 e θw = 240°.Entãow = 4(cos 240° + i sen 240°)
w = 4 − + −
12
32
i
w = –2 – 2 3 i
Assim, o número t que acerta z em w é:tz = w ⇔ t ( 3 + i) = (–2 –2 3 i)
⇔ t = –2 . 1 3
32
1 3
3
3
3
+( )+( )=−
+( )+( )
−( )−( )
i
i
i
i
i
i. .
⇔ t = –2 . 3 2 33 1
2 3 22
+ +( )+( )
=−+( )i i
⇔ t = – 3 – i
48) A
Pelo gráfico, z1 = 2 3 + 2i e |Z2| = 2.
Como arg (z1) = arc tg ba
= arc tg 2
2 3
=
= arc tg 1
3
= arc tg 33
= 30°, temos que
arg (z2) = 120° (pois arg tg (z2) = 90° + arg (z1)).
Logo, para z2 temos:z2 = |z2| (cos 120° + i sen 120°)
z2 = 2 − +
12
32
i .
z2 = –1 + 3 i
Portanto, z1 . z2 = (2 3 + 2i) (–1 + 3 i) = –2 3 + (6 – 2i) – 2 3 = –4 3 + 4i
Assim, a + b = –4 3 + 4 = 4(1 – 3).
49) A
z = 12
+ 3
2i = |z| (cos θ + i sen θ)
Im
0
2
3
60°
1
2
1
|z| = 12
32
2 2 +
= 1 e θ = 60°
Assim, z = 1(cos 60° + i sen 60°) ez7 = 17 (cos 7 . 60° + i sen 7 . 60°) =
GABARITO
9Matemática C
θ = + +3
2
π π4
7
4
π
–3
Im
3
53) D
w z i
z w i
2 2 4 12
2 4
− = +
− = +
( )
( )
I
II
Se w = a + bi e z = c + di, temos:(I) w2 – z2 = (w + z) . (w – z) = = (a + bi + c + di) . (a + bi – (c + di)) = = (a + bi + c + di) . (a – c + (b – d)i) = = 4 + 12 i
(II) z – w = c – di – (a – bi) c – a + (b – d)i = 2 + 4i
Portanto ficamos com:( ) ( ( ) )
( )
a bi c di a c b d i i
c a b d i i
+ + + − + − = + ∗− + − = + ∗∗
4 12
2 4
De ** c a a c
b d
− = ⇒ − =−− =
2 2
4
Substituindo os termos (a – c) e (b – d) em * temos:(a + bi + c + di) . (a – c + (b – d)i) = = (w + z) (–2 + 4i) = 4 + 12iLogo,
(w + z) = 4 122 4
4 122 4
2 42 4
+− +
=+( )− +( )
− −( )
− −( )ii
ii
ii
.
(w + z) = − − − ++ + − +
=−8 16 24 48
4 8 8 1640 40
20i ii i
i = 2 – 2i
54) v – f – f – v – v – f – v
01. Verdadeiro. Pois a matriz identidade é quadrada em cada elemento diagonal principal é 1 e os demais são nulos.
02. Falso. Por 1º.03. Falso. Basta que todos os seus elementos sejam
iguais a zero.04. Verdadeiro. Por 3º.05. Verdadeiro. Seja: A = (aij) mxn então At = (aij) nxm e (At)t = (aij)mxn = A06. Falso. Por 5º.07. Verdadeiro. Pela definição transposta.
= 1(cos 60° + i sen 60°) = 12
+ i 3
2 = 1
2 +
32
i
50) C
z = 1 + i 3, z . w = 1 e α ∈ [0, 2π], arg (zw) = α
Im
0
3
60°
1
1
arg z = 60°.
Como z w = 1 e |z| = 1,
temos que w = z , pois zz = |z|2 = 12 = 1. Assim, w = z.
Como arg w = 2π – arg w, temos que:α = arg (zw) = arg z + arg w
α = π3
+ (2π – arg w) = π3
+ 2π – arg z
α = π3
+ 2π – (2π – arg z) = π3
+ π3
= 23π
51) A
i101(1 – i)46 . (1 – i)–44 == i . i100(1 – i)46 – 44 == i . i100(1 – i)2 == i . (i²)50(1² +i² −2i) == i . (−1)50(–2i) = i . 1 . (–2i) = = –2(−1) = 2
52) B
z + 2z – 9 = 3iz + 2z = 9 + 3i
Se z = a + bi, temosa + bi + 2a – 2bi = 9 + 3i ⇔ 3a – bi = 9 + 3i
⇒=
− =
⇒==−
3 9
3
3
3
a
b
a
b
Logo, z = 3 – 3i
|z| = 9 9+ = 3 2e assim,
z = 3 2 cos74
74
π π+
i sen
GABARITO
10 Matemática C
55) 28
Sendo A = Bt então:
2 1 3
0 4
1x y
x z
+ − −+
=
x
0
12
4
1
6
−
Portanto,1º) 2x + 1 = x ⇒ x = –12º) –3y = 12 ⇒ y = –43º) x + z = 6 ⇒ x = 7
Portanto,x . y . z = (–1) . (–4) . 7 = 28.
56) 2 1
5 4
Sendo aij = 3i – j temos:1º a11 = 3 . 1 – 1 2º a12 = 3 . 1 – 2 a11 = 2 a12 = 1
3º a21 = 3 . 2 – 1 4º a22 = 3 . 2 – 2 a21 = 5 a22 = 4
Portanto, A = 2 1
5 4
.
57) A = 0
A = 2At, portantoa a
a a
a a
a a11 21
12 22
11 12
21 22
2 2
2 2
=
Mas dessa forma a única matriz que satisfaz a igualdade acima é A = 0.
58) C = 2 3 4
3 4 5
4 5 6
− −− −− −
C = (cij)3x3 em que cij = i j se i j
i j se i j
+ =− − ≠
C11 : i = j, portanto C11 = 1 + 1 = 2C12 : i ≠ j, portanto C12 = –1 – 2 = –3
C21 : i ≠ j, portanto C21 = –2 – 1 = –3
C22 : i = j, portanto C22 = 2 + 2 = 4
C13 : i ≠ j, portanto C13 = –1 – 3 = –4
C23 : i ≠ j, portanto C23 = –2 – 3 = –5
C31 : i ≠ j, portanto C31 = –3 – 1 = –4
C32 : i ≠ j, portanto C32 = –3 – 2 = –5
C33 : i = j, portanto C33 = 3 + 3 = 6
59) x = 3 e y = –3
Sendo A uma matriz identidade, então:2x – 5 = 1 ⇒ 2x = 6 ⇒ x = 3 ey + x = 0 ⇒ y = –3
60) B = 1 3 3
2 1 3
2 2 1
−− −
Sabendo que B é uma matriz 3 x 3 e bij =
− >=<
2
1
3
se i j
se i j
se i j
b11 : i = j então b12 : i < j então b11 = 1 b12 = 3
b13 : i < j então b21 : i > j então b13 = 3 b21 = –2
b22 : i = j então b23 : i < j então b22 = 1 b23 = 3
b31 : i > j então b32 : i > j então b31 = –2 b32 = –2
b33 : i = j então b33 = 1
61) x = ±7 e y = 3
Sendo A = B, então:• 4y=12 ⇒ y = 3
• x2 + 4 = 53 ⇒ x = 49 ⇒ x = ± 7
62) x = –1; y = 2 e z = 1
Sendo A = B, então:• 2x+3y=4
x = 4 32− y = 2 –
32y
• x+z=0
2 – 32y
+ z = 0 ⇒ z = –2 + 32y
• y–2z=0
y – 2 (–2 + 32y
) = 0 ⇒ y + 4 – 62y
= 0 ⇒ y = 2
GABARITO
11Matemática C
Substituindo:
• x=2–32y
= 2 – 32
. 2 = –1 e
• z=–2+32y
= 1
63) Mais telefonou: Bruna = 24 ligações Mais recebeu ligações: Adriana = 27 ligações
1) Adriana: as ligações feitas são representadas pela primeira linha e as recebidas pela primeira coluna:
• Ligaçõesfeitas(LA) LA = 0 + 13 + 10 = 23
• Ligaçõesrecebidas(RA) RA = 0 + 18 + 9 = 27
2) Bruna: as ligações feitas são representadas pela segunda linha e as recebidas pela segunda coluna:
• Ligaçõesfeitas(LB) LB = 18 + 0 + 6 = 24
• Ligaçõesrecebidas(RB) RB = 13 + 0 + 12 = 25
3) Carla: as ligações feitas são representadas pela terceira linha e as recebidas pela terceira coluna:
• Ligaçõesfeitas(LC) LC = 9 + 12 + 0 = 21
• Ligaçõesrecebidas(RC) RC = 10 + 6 + 0 = 16
64) M = 0 4
5 0
7 8
Pela definição da matriz M temos que:a11 = 2(1 – 1) = 0a21 = 2 . 2 + 1 = 5a31 = 2 . 3 + 1 = 7
Nesse caso a única matriz que satisfaz é: M =0 4
5 0
7 8
65) B
Da igualdade das matrizes temos que:• x+1=–1 ⇒ x = –2
66) D
Sendo A de ordem 2 e aij = i j para i j
j para i j
+ ≥<
,
,3 temos,
a11 então i ≥ j a12 então i < ja11 = 1 + 1 = 2 a12 = 3 . 2 = 6
a21 então i ≥ j a22 então i ≥ ja21 = 2 + 1 = 3 a22 = 2 + 2 = 4
Portanto, A = 2 6
3 4
.
67) x = 3; y = 0; w = 9 e z = ±12
− −−− +
5 4 1 5
6 4 12
3 82
x
y
z w
= −
−−
19 1 5
6 4 12
144 3 1
Portanto temos que:• –5x–4=–19
–x = − +19 45
⇒ x = 3
• y–12=–12⇒ y = 0
• z2 = 144 ⇒ z = ± 144 = ± 12• –w+8=–1 ⇒ –w = –9 ⇒ w = 9
68) x = 3, y = 4 e z = 4
Sendo A uma matriz 2 x 3 e aij = i + j, portanto:• x=a21 = 2 + 1 = 3• y−1=a12 = 1 + 2, portanto y = 1 + 2 + 1 = 4• z=a22 = 2 + 2 = 4
69) C
Sendo A = B, temos• x2 + 1 = 10 ⇒ x2 = 9 ⇒ x = ±3• y–2=0 ⇒ y = 2
• logx81 = 4 ⇒ x = 3
• y2 = 4 ⇒ y = 4 ⇒ y = ±2Portanto x = 3 e y = 2.
70) a) Cláudio bebeu 15 chopes.b) 2 chopes
a) Para descobrir quem bebeu mais basta somar os valores das colunas nas duas matrizes.
Antônio: 4 + 0 + 3 + 5 + 0 + 2 = 14 Bernardo: 1 + 2 + 1 + 5 + 3 + 1 = 13 Cláudio: 4 + 0 + 5 + 3 + 0 + 3 = 15 Portanto, Cláudio bebeu mais.b) Para descobrir basta somar os valores de s13 e d13 e
substituir da soma de s31 e d31. D = (4 + 3) – (3 + 2) = 2
71) x = 1 e y = –1
Da igualdade das matrizes temos:• 2x – 1 = 1 ⇒ 2x = 2 ⇒ x = 1• yx = – 1 = y1 = –1 ⇒ y = –1
GABARITO
12 Matemática C
72) a) 2800b) 10580c) 7730
a) Corresponde ao número representado por a32 = 2800.b) Corresponde à soma da terceira coluna. S = 1800 + 1740 + 2700 + 2300 + 2040 = 10 580c) Corresponde à soma da primeira linha. S = 1950 + 2030 + 1800 + 1950 = 7730
73)B
De acordo com a descrição, temos que:
aij = 0
1
se i j
se i j
=≠
Portanto, a matriz que representa as distâncias é uma matriz com a diagonal principal igual a zero e as demais iguais a 1.
M = 0 1 1
1 0 1
1 1 0
74) x = 0, y = –3 e z = 2
Para A ser uma matriz diagonal todos os valores menos os da diagonal principal devem ser nulos.• y+3=0 ⇒ y = –3• x2 = 0 ⇒ x = 0
• 23 – 8 = 0 ⇒ z = 83 = 2
75) C
Seja B = cos
cos
π π
π π2
32
4 3
sen
tg
temos então: B = 0 1
112
−
.
Seja A = log log ,
log log
1 0 01
100 10
temos então: A =
0 2
2 1
−
.
Note que se multiplicarmos a matriz B por 2 temos:
2 . B = 2 . 0 1
112
−
=
2 0 2 1
2 1 212
. . ( )
. .
−
=
0 2
2 1
−
= A
Com isso podemos afirmar que A = 2B.