Upload
others
View
27
Download
10
Embed Size (px)
Citation preview
$tefan SMARANDoIU
Cristian LAZAR
Marius PERIANU
DumitTuSAWLESCU
Matematiclclasa a VI-a
I
W/ clueuL \/narE ATtctErtLgR\
Cuprins
lLcsenACap. 1 - Numere naturale1.1. Operalii cu numere naturale
1.2. Regulide calculcu Puteri1.3, Compararea puterilor . Petrate ti cuburi perfecte.
Alte probleme in care intervin puteri.
Teste de evaluorc1.4. Divizor multiplu1.5. Criterii de divizibilitate
1.6. Proprietdlile ale relaliei de divizibilitate in N
Teste de evaluorc1.7. Numere prime. Numere comPuse
1 .8. Descompunerea numerelorde puteri de numere Prime
naturale in produs
1.! 0. MultiplicomuniTeste de evaluale
1.11. Probleme cu caracter practic.......'
1.12, Probleme pentru performanle {cola16 5i olimpiade
Cap. 2 - t{umerc lalion.le
2.1. Fraclii echivalente. Fraclii ireductibile
2.2. Numere rationale pozitive' Forme de scriere
2.3. Compararea numerelor ralionale. Aproximiri2.4. Adunarea numerelor ralionale pozitive
2.5. Scederea numerelor ralionale pozitive
Teste de evoluare2.6. lnmullirea numerelor ralionale pozitive
2.7. lmpSr[irea numerelor ralionale pozitive
2.8. Ridicarea la putere a numerelor ralionale pozitive.
Reguli de calcul cu Puteri2.9. Ordinea efectuerii operaliilor
Teste de evaluare2.10. Media aritmetici ponderate a unor numere ralionale
7
10
1418
21
26
30
3437
41
455055596',I
6974808692e7 l
101
106
110't 14
1',t7
121124
=!
cF
Et!FE2.11. Ecualii in mullimea numerelor ralionale pozitive
2.12. Probleme care se rezolvi cu ajutorul ecualiilorTeste de evaluare
2.13. Probleme cu caracter aplicativ2.14. Probleme pentru performanld gcolare Siolimpiade
GEOMETRIE
Cap. 3 - Dreapta3,1. Punct. Dreapti. Plan3.2. Semidreapta. Semiplanul3.3. Segmentul de dreaptd3.4. Poziliile relative a doue d3.5, Lungimea unui segment
Teste de evaluore3.6. Probleme cu caracter practic3.7. Probleme pentru performanld tcola16 giolimpiade
Cap.4- Unghiul4.1. Unghiul
128130133135
139146r50153156'163
167169
4.2. Clasificarea unghiurilor4.3. Unghiuri adiacente. Bisectoarea unui unghi4.4. Unghiuri complementare. Unghiuri suplementare......4.5. Unghiuri opuse la v6rf .....................
4.6. Unghiuri in jurul unui punct..........Teste de evaluare
4.7. Probleme cu caracter practic4.8. Probleme pentru performanle $colare $iolimpiade
Cap. 5 - Triunghiul5.1. Triunghiul5.2. Construclia triunghiurilor5.3. Congruenla triunghiurilor5.4. Metoda triunghiurilor congruente
Teste de evaluare ....
5.5. Probleme cu caracter practic
Solutii
173183
147193198203207211213
217222226230235239
241
ALGEBRA
CAPITOLUL
Numere naturale'1.1. Operatii cu numere naturale
1.2. Regulide calcul cu Puteri1,3. Compararea puterilor. Pitrate ti Guburi Perfecte.
Alte probleme in (are int€rvin puteri
Teste de evaluare
1.4. Divizor. MultiPlu!,5. Criterii de divizibilitate
1.5. Proprietllile divizibilitAfi in N
feste de evaluare
1.7. Numere prime. Numere comPuse
1.8. Descompunerea numerelor natulale in produs de numcreprime
1.9, Divizori Gomuni
1.10. Multipli Gomuni
Teste de evaluare
1.11, Probleme cu caracter aplicativ'1.12. Probleme pentru performanli gcolari 5i olimpiade
CAPITOLUL 1
Numere naturale
G) gp"r"!ii cu numere naturale
Operaliile inv6late cu numere natuale se clasific6 in:- operalii de ordinul int6i: adunarea qi sctrderea;
- operalii de ordinul al doilea: inmu(irea qi lmpirtirea;- operalii de ordinul al heilea: ridicarea la putere.
Proptietili ale oPeraliilor (u numere naturale1. Adunarea eite comutativd, asociativ6 9i are elementul neuau 0'
2. inmullirea este comutative, asociativtr $i are elementul neutru l '
3. inmulrirea este distributiv6 fap de adrmare gi scidere'
Ordinea efectuirii oPera!iilor1. OperaJiile de acela$i ordin se efectueaz6 in ordinea in care sunt scrise'
Z. Dacd un exercitiu cuprinde operalii de ordin diferit, mai int6i se efectueaze
operaliile de ordinul al treilea, apoi cele de ordinul al doilea 9i, in final, cele de
ordinul L3. Daci se utilizeazb parantezele, atunci mai intai se efectueazi calculele parantezele
rohmde, apoi din cele pStrate gi, in final, cele din acolade.
*
t. Efectuali urrnetoarele calcule:
a) 34567 +76543; b) 12345 -3456;2. Calculali : 10101 + 20202 + 30303 - 50505 .
c) 91919 + 9090
3. Este adevarat cA 998877 - 223344 :887766 * 112233'l
4. Deteminali numdrul aatural z pentru care aven 3232'n =9095. Determinafi numirul natual m pentru care are loc egalitatea:
{r: +[zs.+-(:.r r + t'zz)f'm\:z=tt .
6. Efectuali 2012.2011+ 2012'2013 - 2012'4024 '
7. Aflali numlrul natural a ce verifica dalia \l(a:2)+al:3) :4 = 10.
8. Calculali suma dintre cel mai mare numir natural de patru cifre format cu cifte
diferite doui cate dou6 9i cel mai mic numdr nahral de cinci cifre'
9. Calculaji diferenta dintre cel mai mic numdr natuml de cinci cifte diferite doui
c6te dou5 gi cel mai mare num6r nah[al de patru cifre diferite dou6 cAte dou6'
10. Suma a dou6 numere naturale este 9. Aflati cea mai mice $i cea mai mare valoare
a produsului lor.
I
5
.e
tr-ulF
=
27.
26.
29.
30.
=utJ3
oIz4gl4
tsNJ
.9
.9
foctzc,'<E
I
I 1 , Suma a doul numere nahuale nenule este I 0. Aflaf cea mai mic6 9i cea mai marevaloare a produsului lor.
12. Produsul a doui numere naturale este 1g. Aflari cea mai mare si cea mai micivaloare a sumei lor-
.t- .L
13. Produsul a doui numere naturale diferite este 121. Determinali suma lor.14. Ioara are 11 ani iar Gabriel are 40 de ani. peste cei ani Gabriel va avea dublul
varstei Ioarei ?
15. La na$terea Alexandrei, Mihaela avea 32 de ani. peste ceri ani de la nagtere,Alexandra va avea o treime din v&sta Mihaelei?
16. Pute{i scrie numErul 12 ca suma gi produsul aceloragi numere naturale nenule?Dar numirul 13?
1 7. Suma a patru numere natumle este I 3 .Determinafi cea mai micd valoare aprodusului lor.
18. DacE x.7 = lQ 9i *. z = 25 , sE se calculeze r.(y +z) 9i x.(y _ z\.19. $tiind cd x.! =77 gi x.z =99 , si se calculeze cea mai mare gi cea mai mic6
valoare a sumei y+z .
20. Determinati suma tuh[or numerelor naturale de doul cifie care impe4ite la 5 daurestul egal cu 3.
21. Sd se calculeze suma tuturor numerelor naturale de trei cifre care imp6rflte ta 13dau restul egal cu 12.
22. 56 se calculeze (2 + 4 +... + ZOt2) -(l + 3 +... + 201 l) .
23. Sd se efectueze (22+ 44 +...+2024):(11+22 +...+1012).
24. Suma a cinci numere naturale nenule gi distincte este 16. Determinali cele cincinumere.
25. Suma a gase numere naturale distincie este 20. Este posibil ca toate numerele s6fre nenule?
26. impertind $apte numere nahrale consecutive la 6, se obfne mereu c6tul 5.Determinali cele gapte numere.
Deteminali numerele icd w propietatea ca 3+6+9+...+"t"a = "t"aOOO
-
Determinali num5rul de zerouri de la finalul numirului 1.2.3.....30 .
Determina(i ultimele doui cifre ale produsului 1.3.5.....15 .
Sd se demonstreze ca I+2+3+...+n+]aa. VreN., yqe11,2,....9|.
:k ?k rr
31. Determinali cel mai mare numdr natural n , pentu care avem:
2+22 +23 +.....-...+2" < 1000.
32. Fie mullimile T=1veNl2re88 .*<z"t'j 9i a={xeNlx<21em1. Care
multime are mai multe elemente $i cu cate?
33. Se se determine ultimele doui cifre ale sumei
S = | + 2.3 +3' 4' 5 + 6'7' 8'9 +... +36'37'38'...' 44.
!4. Fie q =1.2.3.....n +2012 ,,nde n > 20 . Aflati restul impdrlirii lui a la 125.
35. fu[tati c6 nu exista numere natuale care, impbrlite la 12 si dea restul 8, iar
impirlite la 14 sE dea restul 5.
36. Determinali numerele naturale a qi 6 qtiind cA 4 lmpe4it la 6 dn restul 7, 6 imp64it
la a di restul 9 9i suma a + 6 este cea mai mic6 posibiE.
Probleme de taPte stele
37. Suma ciftelor numdrufui iiii este34.Deterrninali cea mai mici gi cea mai mare
valoare a sumei cifielor nurnirului iicd +z .
38. Se consideri mullimea M formati din toate uumerele de patru cifre abcd- cu
proprietatea ce qb'cd =442.a) Care este cardinalul acestei mulimi ?
6) Stabilili c6nrl 9i resnrl lmpdrlirii celui mai mare element din Mla cel mai mic
element din M.
39. Se consider6 numdrul n = 2(l + 2 +... + 200 I l) + 2012'
a) Determinati ultima cifri a lui n:
D) Precizali numIrul elementelor mu[imii I = {x e N*l x < n} .
40. Determinati numerele natwale care se micgoreazi cu 9999 dac6 le qtergem ultima
cifr6.
4I. Un numdr de pahu ci&e se termine cu cifta 2. DacE li mutim ultima cift6 la
inceput numarul obfinut este mai mare cu 198 dec6t cel inifial. Aflali toate -numerele cu aceastd proprietate'
i;o!Uttr
=HE