Matematica pentru liceu

7/30/2019 Matematica pentru liceu

1/120

Dreptul de copyright:

Cartea downloadat de pe site-ul www.mateinfo.ro nu poate fi publicat pe un altsite i nu poate fi folosit n

scopuri comerciale fr specificarea sursei i acordul autorului

Adr i an St an


2/120

1. Mul i mea numer elor r eale

1.. Scrierea n baza zece :

dcbaabcd 101010 23 a-cifra miilor; b-cifra sutelor; c-cifra zecilor; d-cifra unit ilor;

001.001.01.01010101010, 321

gfeagfeaefga

e-cifra zecimilor; f-cifra sutimilor; g-cifra miimilor.

2. Frac ii

-Frac ii zecimale finite: ;100

,;10

, abcbcaabba

-Frac ii zecimale periodice:-

simple: ;99

)(,;9

)(,aabc

bcaaab

ba

mixte: ;990

)(,;90

)(,ababcd

cdbaababc

cba

3.. Rapoarte i propor ii

,,;0 *Qnknb

na

b

abraportnumestese

b

a

z

k se numete coeficient de propor ionalitate ;Proprietatea fundamental a propor iilor :


3/120

5. Sir de rapoarte egale :

n

n

n

nbbbb

aaaa

b

a

b

a

b

a

.....

.............

321

321

2

2

1

1 ;

nn bbbb ,....,,,......,, 321321 sunt direct

propor ionale kb

a

b

a

b

a

n

n ..2

2

1

1 .

nn bbbb ,....,,,......,, 321321 sunt inverspropor ionale nn bababa ..2211

6. Modulul numerelor reale Propriet i:

0,

0,0

0,

aa

a

aa

defa

1. Raa t ,0 ; 2. 0,0 aa ;

3. Raaa , ; 4. ba

ba r, ;

5. baba ; 6.b

a

b

a ;

7. bababa drd ;

8. 0,, r aaxax ;

9. 0],,[, d aaaxax ;


4/120

4. cabcabcbacba 2222222

5. 32233 33 babbaaba ;

6. 32233 33 babbaaba ;

7. ))(( 2233 babababa ;

8. ))(( 2233 babababa .

8. Puteri cu exponent ntreg

......

..80;.4

0,.7)(.3

0,1

.6.2

)(.5;00;;1.1 1

nmaaaaa

a

b

b

a

b

ababa

aa

aaaa

aaaaa

nmnmn

m

n

nnnnn

nnnmnm

nmnmno

z

z

z

9. Propriet ile radicalilor de ordinul doi1. Raaa t ,02

2. baba


5/120

10. Medii

Media aritmetic

2

yxma

Media geometric yxmg

Media ponderat ponderileqpqp

yqxpmp

,;

Media armonic yx

xy

yx

mh

211

2.

Inegalitatea mediilor

2

2 yxxy

yx

xy dd

11. Ecua ii

0,0 z a

a

bxbxa

0,2 tr aaxax ;

a

acbbxcxbxa

2

40

2

2,12 r .

.04,0 2 tz acba

.0, axaax rt


6/120

D =12100

npS. Dobnda ob inut prin depunerea la banc a unei

sume S de bani pe o perioad de n luni cu procentul p al dobndeianuale acordate de banc .Ct la sut reprezint num rul a din N.

x %din N =aN

ax

100 .

13. Partea ntreag

1. > @ xxx , Rx , @ Zx i )1,0[x

2. > @ d xx @ 1x @ 1d axaax

3. > @ > @yx ZK a. . @ 11,, yxkkyx

4. > @@xkkx , Zk , Rx

5. ^ `xkx , Rx , Zk

6. Dac ^` Zyxyx

7. Dac Rx @@ @ Zxx @ 0x , > @ 0x , xx

8. Identitatea lui Hermite > @ > @xxx 22

1

, Rx


7/120

2. Inegalit i

1. 1!a kk

aa 1

1tk 1,0a 1 kk aa 1tk

2. ba d0 0t nnmm baba Nnm ,

3. 21

ta

a 0!a 21

da

a .0a

4.k2

1

1

1

kk= 1k - k.

5.2

22 ba t2

2

ba abt Rba ,

6.ba

ba

22t t

2

ba

ba

ab11

2

t , 0, !ba

7. cabcabcba t 222 Rcba ,,

8. 22223 cbacba t cba ,, R

9. cba

cba

cbat

3

1222 Rcba ,,

10. 0,,3

3tt cbacbacba

11. nnnn aaaaaaaaaan 13212122

1 ......2...1 t


8/120

15. x ad 0!a .aa dd

16. baba dr , Rba , sauC .

17. nn aaaaa drrr ...... 121 , in Rsau C .

18. baba d in Rsau C .

19.

nnnnnnn

1

1

1

1

1112

d

nnnnn

1

1

1

1

1

!

1

20. Zba , , Znm , , Qn

m .122 t nbma

21. Numerele pozitive cba ,, pot fi lungimile laturilor unui triunghi

dac i numai dac *,, Rzyx ia. ,za ,zxb .c

22. 1t

ba

ba ba z 0, !ba ,

23. .6,, * t b

ac

a

cb

c

baRcba

24. Dac 0,...,1 tnxx si kxx n ...1 constant atunci produsul

nxxx ...22 e maxim cnd ....1 nk

xx n

25. Dac . 0,...,1 nxx si kxin

constant nxx ...1 e


9/120

27. Teorema lui Jensen:

Dac :f ,Ro (interval) si

22

2121 xfxfxxf

d

t

21, xx

n

xfxf

n

xxf nn

d

t

...... 12

ix , .,1 ni

28. Inegalitatea mediilor .......1...

11

1

1

naaaa

aa

n nn n

n

dd

29. .1

...1

... 2

1

21 naaaaa

n

n t

.,1,0 niai t

egalitate cnd .,1,, njiaja i 30. Inegalitatea lui Cauchy-Buniakowsky-Schwartz.

2

1122

122

1 ......... nnnn bababbaa t ., Rba ii

31. Inegalitatea mediilor generalizate: ."" bj

aj

bi

ai

EEEDDD

1

1

1

1 ......

t

n

aa

n

aa nn ,,,, t Rba ii

., R

32.aaaa nn t

...... 12

122

1


10/120

3.Mul imi. Opera ii cu mul imi.

1. Asociativitatea reuniunii si a intersec iei:A (B C)=(A B) C A (B C)=(A B) C

2. Comutativitatea reuniunii si a intersec iei:A B=B A A B=B A

3. Idempoten a reuniunii si intersec iei:A A=A A A=A

4. A =A A =

5. Distributivitatea reuniunii fa de intersec ie:A (B C)=(A B) (A C)6. Distributivitatea intersec iei fa de reuniune:

A (B C)=(A B) (A C)

7. A,B E, (A B)= A B

(A B)= A B

8. A E, ( A)=A

9. A\B= (A B)10. A\(B C)=(A\B)\C

A\(B C)=(A\B) (A\C)(A B)\C=(A\C) (B\C)(A B)\C=A (B\C)=(A\C) B

11 A(B C)=(AB) (AC)


11/120

12. Rela iile lui de Morgan

1. (p q)=p q, (p q)= p q .2. p (q r) = (p q) (p r), p (q r)=(p q) (p r).3. p p=A, p p = F.4. p q p q.5. p q (p q) (q p) (p q) (q p).6. p A = p , p A=A7. p q = q p , p q = q p8. (p)=p9. p p =F , p p =A10. (p q) r = p (q r)

(p q) r = p (q r)

11. p F = p p F = F


12/120

4. Progresii

1. iruri

Se cunosc deja irul numerelor naturale 0,1,2,3,4,.,irulnumerelor pare 2,4,6, Din observa iile directe asupra acestor iruri,

un ir de numere reale este dat n forma ,.....,, 321 aaa unde

321 ,, aaa sunt termenii irului iar indicii 1,2,3, reprezint pozi ia pe

care i ocup termenii n ir.Defini ie: Se numete ir de numere reale o func ie f: N*:R ,

definit prin f(n)=a n

Not m *Nnna irul de termen general , a n Observa ie: Numerotarea termenilor unui ir se mai poate face ncepnd

cu zero: ,.....,, 210 aaa

ia , i t 1 se numete termenul de rang i.Un ir poate fi definit prin :

a) descrierea elementelor mul imii de termeni. 2,4,6,8,..

b) cu ajutorul unei formule a n =2n

c) printr-o rela ie de recuren . 21 nn aa Un ir constant este un ir n care to i termenii irului sunt constan i :5,5,5,5,..

Dou iruri ba )()( sunt egale dac Nnba


13/120

2. Progresii aritmetice

Defini ie: Se numete progresie aritmetic un ir n care diferen aoric ror doi termeni consecutivi este un num r constant r, numit ra iaprogresiei aritmetice.

1. Rela ia de recuren ntre doi termeni consecutivi:

1,1 tnraa nn

2. a1,a2, an-1, an, an+1 sunt termenii unei progresii aritmetice

211 nnn

aaa

3. Termenul general este dat de :

rnaa n 11 4. Suma oric ror doi termeni egal departa i de extremi este egal cu

suma termenilor extremi :

nknk aaaa 11

5. Suma primilor n termeni : 2

1 naaS nn

6. irul termenilor unei progresii aritmetice:rararaa 3,2,, 1111 ,. rnmaa nm

7. Trei numere x1, x2, x3 se scriu n progresie aritmetic de forma :

x1 = u v x2 = u x3 = u + v u,v .


14/120

4. Progresii geometrice

Defini ie : Se numete progresie geometric un ir n care raportuloric ror doi termeni consecutivi este un num r constant q, numitra ia progresiei geometrice.

1. Rela ia de recuren : 1,1 tnqbb nn

2. b1,b2, bn-1, bn, bn+1 sunt termenii unei progresii geometrice cutermeni pozitivi 11 nnn bbb

3. Termenul general este dat de :1

1 nn qbb

4. Produsul oricaror doi termeni egal departati de extremi este egal

cu produsul extremilor

nknk bbbb 11 5. Suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice :

q

qbS

n

n

1

1

1 6. irul termenilor unei progresii geometrice :

,....,...,, 12

111nqbqbqbb

7. Trei numere x1, x2, x3 se scriu n progresie geometric de forma :

x1 =vu x2 = u x3 = vu ,

*, Rvu

8. Patru numere x1, x2, x3, x4 se scriu n progresie geometric astfel :

u


15/120

5. Func ii

I. Fie : A: B.1) Func ia este injectiv ,dac

x,y A, xz y=>(x)z g(y).

2) Func ia g este injectiv ,dac din g(x)=g(y) =>x=y.3) Func ia f este injectiv , dac orice paralel la axa 0xintersecteaz graficul func iei n cel mult un punct.

II.

1)Func ia este surjectiv , dac y B, exist cel pu in unpunct x A, a.. g(x)=y.2) Func ia este surjectiv , daca (A) =B.3) Func ia este surjectiv , dac orice paralel la axa 0x, dusprintr-un punct al lui B, intersecteaz graficul func iei n celpu in un punct.

III.1) Func ia geste bijectiv dac este injectiv i surjectiv .2) Func ia g este bijectiv dac pentru orice y B exist unsingur x A a.. g(x) =y (ecua ia g(x)=y,are o singur

solu ie,pentru orice y din B)3) Func ia g este bijectiv dac orice paralel la axa 0x, dusprintr-un punct al lui B, intersecteaz graficul func iei ntr-unpunct i numai unul.


16/120

V. Fie g:A: B si g: B: C, dou func ii.

1) Dac g si g sunt injective, atunci g o g este injectiv .2) Dac g si g sunt surjective,atunci g o g este surjectiv .3) Dac g si g sunt bijective, atunci g o g este bijectiv .4) Dac g si g sunt (strict) crescatoare,atunci g o g este(strict) crescatoare.

5) Dac g si g sunt (strict) descrescatoare, atunci g o g este(strict) descrescatoare.6) Dac g si g sunt monotone, de monotonii diferite,atuncig o g este descrescatoare.7) Dac g este periodic , atunci g o g este periodic .

8) Dac g este par , atunci g o g este par .9) Dac g si g sunt impare, atunci g o g este impar ,10) Dac g este impar si g par , atunci g o g este par .

VI. Fie g: A: B si g:B: C, dou func ii.

Dac g o g este injectiv , atunci g este injectiv .Dac g o g este surjectiv , atunci g este surjectiv .Dac g o g este bijectiv , atunci g este injectiv si gsurjectiv .

Dac g,g: A : B iar h: B: C bijectiv si h o g = h o g,atunci g = g.

VII. Fie g: A: B si X,Y mul imi oarecare.


17/120

VIII.

1)Dac g :A: B este strict monoton ,atunci g este injectiv .2) Daca g : R: R este periodic i monoton , atunci g esteconstant .3) Daca g : R: R este bijectiv i impar ,atunci g-1 esteimpar .4) Fie A finit i g :A: A. Atunci g este injectiv estesurjectiv .

IX. Fie g: E : F, atunci

1)g injectiv ( ) g : F : E (surjectiv ) a.i. g o g=1E.2) g surjectiv ( ) g : E: F (injectiv ) a.i. g o g =1F3) g bijectiv inversabil .

X. Fie g : E : F.1)Func ia g este injectiv dac i numai dac ( ) A,B E

g(A B) = g (A) (B).2) Func ia g este surjectiv dac i numai dac ( ) B Fexist A E, astfel nct g(A)=B.3) Func ia g este injectiv dac g(A B)=g(A) g(B), A, B E.

XI. Fie g : E : F si A E, B E, atuncig(A) ={y F ~ x A a.i. g(x)=y}g-1 (B) = {x E ~g (x) B}


18/120

2.Fie g: E : F si A,B F atunci

a) A B => g-1

(A) g-1

(B),b)g-1 (A) g-1 (B) g--1 (A B),c)g-1 (A) g-1 (B) = g-1 ( A B),d) g-1 (A) g-1 (B) = g-1 (A B),e) g-1 (F) = E.

Func ia de gradul al doilea

Forma canonic a func iei f:R: R,

0,,,,)( 2 z aRcbacbxaxxf este

Rxaa

bxaxf

'

,

42)(

2

;

Graficul func iei este o parabol de vrf

'

aabV

4,

2, unde

acb 42 ' 0a f este convex;

0' ; x1,x2 C


19/120

0' , x1=x2 R

f(x) t 0, Rx ;

f(x)=0a

bx

2

Rxx z' 21,0 f(x) t 0,

),[],( 21 ff xxx ;

f(x)


20/120

a


21/120

Pentru

f

a

bx

2, func ia este strict cresc toare;

Pentru ),,2

[ fa

bx func ia este strict descresc toare.

6. NUMERECOMPLEXE1. NUMERECOMPLEXESUBFORM ALGEBRIC

1,,, 2iRbaibazzC

- mul imea numerelor complexe.

z=a+ib=Re z+Im z OPERA II CU NUMERE COMPLEXE

Fie idczibaz 21 , . Atunci:

1. dbsicazz 21 .

2. ).()(21 dbicazz

3. ).()(21 cbdaidbcazz

4 ibaz conjugatul lui z


22/120

PUTERILE LUI i

1. 14 ki ;2. ii k 14 ;3. 124 ki ;4. ii k 34 ;

5. i

i

i

i

in

n 1

,1 1 ;

6.

imparni

parniiii

n

n

nnnn

,

,)1()(

PROPRIET ILEMODULULUI

22 baz - modulul nr. complexe

1. 00,0 t zzz 2.2

zzz 3. zz 4. 2121 zzzz

5. 0, 22

1

2

1 zzz

z

z

z

6. 212121 zzzzzz drd 7.nn zz

8. zzzRzCz 0Im;


23/120

02

04

2

40

2,1

2

2

2,12

''r

t'

r

dacaa

ibx

sauacbdaca

a

acbbxcbxax

NUMERE COMPLEXE SUB FORM GEOMETRIC

Forma trigonometric a numerelor complexe:

z= )sin(cos i ,

IVba

IIIIIba

Iba

kkabarctg

),(,2

,),(,1

),(,0

,SM

=

22

baz se numete raza polar a lui z

Fie z1= )sin(cos 111 i i z2= )sin(cos 222 i ;


24/120

)]sin()[cos(11

1111

MMU

iz

> )sin()cos( 12121

2

1

2MMMM

U

izz

Rnninz nn ),sin(cos 1111 MMU

1,0),2

sin2

(cos 1111 nk

n

ki

n

kz nn

SSU

7. FUNCTIAEXPONENTIAL

Def. f: R : (0, ), f(x)= 1,0, z aaa x

Dac a 1 f este strict cresc toare


25/120

x

x

x

x

xx

yx

y

x

yxyx

yxx

yxyx

adefinestesenuapentru

aa

a

a

bb

a

b

a

aaa

a

aa

aaba

aaa

,0

0,1

1

0,

0,

0

z

z

z

Tipuri de ecua ii:

1. a bxfbaab axf log)(0,1,0,)( z

2. a )()(1,0,)()( xgxfaaa xgxf z

3. a bxgxfbabab axgxf log)()(1,,0,,)()( z

4. ecua ii exponen iale reductibile la ecua ii algebrice printr-osubstitu ie.5. ecua ii ce se rezolv utiliznd monotonia func iei

i l


26/120

FUNCTIALOGARITMIC

Def: f:(0, ) :R, f(x)= xalog , 1,0 z aa ,x>0

Dac a 1 f este strict cresc toare

2121 loglog xxxx aa

Dac a 1,0 f este strict descresc toare

2121 loglog xxxx aa

Propriet i:Fie a,b fzf Rmyxcbac ),,0(,,1,,,,0


27/120

.1log,01log

,

loglog

1,

log

loglog

loglog,log

logloglog

a

axca

aba

bb

bmbma

aa

xac

bac

ca

am

am

a

abb

Tipuri de ecua ii:

1. bxf xfxgfgfbxg )()(1,0,,)(log )( z

2. )()()(log)(log xgxfxgxf aa

3. )(log)()(log)(log xgbabaxfxgxf

4. ecua ii logaritmice reductibile la ecua ii algebrice printr-osubstitu ie.5. ecua ii ce se rezolv utiliznd monotonia func iei logaritmice.

Inecua ii

a>1, )()()(log)(log xgxfxgxf aa dd

a )()()(log)(log)1,0( xgxfxgxf aa td


28/120

8. BINOMUL LUI NEWTON

n 1664 Isaac Newton (1643-1727) a g sit urm toarea formulpentru dezvoltarea binomului (a+b) n. Dei formula era cunoscut nc dinantichitate de c tre matematicianul arab Omar Khayyam (1040-1123),

Newton a extins-o i pentru coeficien i ra ionali.

TEOREM : Pentru orice num r natural n i a i b numere reale

exist rela ia:

nn

nkknk

nn

nn

nn

nn bCbaCbaCbaCaCba ...............222110

(1)

Numerele nnnn CCC ,....,,10 se numesc coeficien ii binomiali ai

dezvolt rii;Este necesar s se fac distinc ie ntre coeficientul unui termenal dezvolt rii i coeficientul binomial al acelui termen.Exemplu: (a+2b)4= a4 + 4a 3 .2b+..

Coeficientul celui de-al doilea termen este 8 iar

coeficientul binomial este C41 =4;Pentru (a-b)n avem urm toarea form a binomului lui Newton:


29/120

Cno


30/120

9. Vectori i opera ii cu vectori

Defini ie:Se numete segment orientat, o pereche ordonat de

puncte din plan;

Se numete vector , mul imea tuturor segmentelororientate care au aceeai direc ie, aceeai lungime i acelaisens cu ale unui segment orientat.Observa ii:

Orice vector ABse caracterizeaz prin:

- modul(lungime,norm ), dat de lungimea segmentuluiAB;

- direc ie, dat de dreapta AB sau orice dreapt paralelcu aceasta;

- sens, indicat printr-o s geat de la originea A la

extremitatea B.Nota ii: AB vectorul cu originea A i extremitatea B;

20

20 )()( yyxxAB - modulul vectorului AB unde

A(x0,y0), B(x.y).Defini ie:Se numesc vectori egali, vectorii care au aceeai direc ie,acelai sens i acelai modul. Doi vectori se numesc opui dacau aceeai direc ie, acelai modul i sensuri contrare:

AB BA


31/120

Rvsauv OOO ,000

vvvvDaca zz OOOO ,0,0 are direc ia i sensul

vectorului vdac 0 i sens opus lui v dac 0 .Defini ie:Doi vectori se numesc coliniari dac cel pu in unul este nul saudac amndoi sunt nenuli i au aceeai direc ie. n caz contrarse numesc necoliniari.


32/120

Punctele A, B, C sunt coliniare

ACABiRacoliniarisuntACsiAB OO .. .

CDsiABCDAB sunt coliniari;

Dac u i v sunt vectori necoliniari atunci

00.., yxvyuxiaRyx .

Teorem : Fie a i b doi vectori necoliniari. Oricare ar fi

vectorul v, exist )(, uniceR astfel nct bav ED .

Vectorii a i b formeaz o baz .

, se numesc coordonatele vectorului v n baza ba, .Defini ie:Fie XOY un reper cartezian. Consider m punctele A(1,0),

B(0,1). Vectorii OBjsiOAi se numesc versorii axelorde coordonate. Ei au modulul egal cu 1, direc iile axelor isensurile semiaxelor pozitive cu OX i OY.

Baza ji, se numete baz ortonormat .


33/120

jyixBABAv '''''' x=xB- xA, y=yB- yA

jvprivprv OYOX 22 )()( ABAB yyxxAB

Teorem :

Fie )','(),,( yxvyxu . Atunci:

1) u + v are coordonatele (x+x.y+y);

2) vR OO , are coordonatele ( x, y);

3) )','(),,( yxvyxu sunt coliniari

.0''.0',',''

z yxxyyxky

y

x

x

4) Produsul scalar a doi vectori nenuli.

].,0[,),(cos SDDD vumundevuvu

2222

)'()'(

''cos

yxyx

yyxx

D

0],2

(;0]2

,0[ t vuvu SS

DS

D

Fie )','(),,( yxvyxu nenuli. Atunci:

.0''0 A yyxxvuvu

02

t uuuu


34/120

10. Func ii trigonometrice

Semnul func iilor trigonometrice:

Sin: > @

1,12,2 o

SS

arcsin:[-1,1]:

2,

2

SS

Cos: @ @1,1,0 oS

[ 1 1] @S0


35/120

Tg: Ro

2,

2SS

arctg:R:

2,

2

SS

Reducerea la un unghi ascu it

Fie u )2

,0(S

Not m sgn f= semnul func iei f; cof = cofunc ia lui f

r

r

r

imparkuukf

parkuukfuk

,cos)2

(sgn

,sin)2

(sgn

2sin

S

S

S Analog pentru

l l lt


36/120

Ecua ii trigonometriceFie x un unghi, a un num r real i k Z .

]1,0[,arcsin)1(1,sin d adac

= ]0,1[,arcsin)1( 1 adac ]1,0[,2arccos1,cos rd adac

= ]0,1[,)12(arccos r adac SkarctgaxRaatgx ,

Skaxax k )1()arcsin(sin Skaxax 2)arccos(cos r

Skaxatgxarctg )(

Skxgxfxgxf k )()1()()(sin)(sin Skxgxfxgxf 2)()()(cos)(cos r

Zkkxgxfxtggxtgf ,)()()()( S

Ecua ii trigonometrice reductibile la ecua ii care con in aceeaifunc ie a aceluiai unghi;Ecua ii omogene n sin x i cos x de forma: asin x+bcos x=0; asin2

x+bsin x .cos x+ ccos2

x=0Ecua ii trigonometrice care se rezolv prin descompuneri n factori;Ecua ii simetrice n sin x i cos x;Ecua ii de forma:


37/120

FORMULE TRIGONOMETRICE

1.

DD

DDDD

2

222

cos1sin

;sin1cos1cossin

r

rR

2.

;cos

11

cos

cos1

sin1

sin2

22

2 DD

D

D

D

DD r

r tgtg

3. ;1

sin;1

1cos

22D

D

D

D

tg

tg

tg r

r

4. sinsincoscos)cos( ;5. sinsincoscos)cos( ;6. cossincossin)sin( ;7. cossincossin)sin( ;

8. ;1)(;1)( ED

ED

ED

ED

tgtg tgtgtgtgtg tgtgtg

9.

;1

)(;1

)(ED

ED

ED

ED

ctgctg

ctgctgctg

ctgctg

ctgctgctg

10. ;cossin22sin DDD

11. DDDDD 2222 sin211cos2sincos2cos


38/120

16. ;

22

21

;

21

22 2

2D

DD

D

tg

tgctg

tg

tgtg

17.

;13

33;cos3cos43cos

31

33;sin4sin33sin

2

33

2

33

D

DDDDDD

D

DDDDDD

ctgctgctgctg

tg

tgtgtg

18. ;

2

1

sin

cos1

cos1

sin

2 DD

D

ctgtg

19. ;

21

21

cos;

21

22

sin2

2

2 D

DD

D

tg

tg

tg

tg

2cos

2sin2sinsin bababa

2cos

2sin2sinsin

bababa

2sin

2sin2coscos bababa

cossin2coscosbaba

ba


39/120

2

)cos()cos(coscos

bababa

)11arcsin(arcsinarcsin 22 xyyxyx

arcsin x+arccos x=2

Sarctg x +arcctg x=

2

S

arctg x+arctg2

1 S

xarccos(-x)= S -arccos x

2

)sin()sin(cossin

bababa

2

)cos()cos(sinsin

bababa


40/120

11. ECUA IILE DREPTEI N PLAN

1. Ecua ia cartezian general a dreptei:ax+by+c=0 (d)

Punctul M(x0,y0) 000 cybxad 2. Ecua ia dreptei determinat de punctele A(x1,y1), B(x2,y2):

12

1

12

1

xx

xx

yy

yy

3. Ecua ia dreptei determinat de un punct M(x0,y0) i odirec ie dat ( are panta m)y-y0=m(x-x0)

4. Ecua ia explicit a dreptei (ecua ia normal ):

y=mx+n , unde

12

12

xx

yytgm

M este panta

dreptei i n este ordonata la origine.

5. Ecua ia dreptei prin t ieturi: .0,,1 zbab

y

a

x

6. Fie (d): y=mx+n i (d): y=mx+nDreptele d i d sunt paralele m=mi n z n.Dreptele d i d coincid m=mi n=n.Dreptele d i d sunt perpendiculare mm= -1.

b


41/120

Dreptele d i d coincid ''' c

c

b

b

a

a

Dreptele d i d sunt concurente z '' bbaa

ab-ba .0z

2222 ''

''

'

'cos

baba

bbaa

vv

vv

T unde

)','('),,( abvabv sunt vectorii directori ai dreptelor

d i d.Dreptele d i d sunt perpendiculare,

0''' A bbaadd

8. Fie punctele A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3), D(x4,y4) n plan.Dreptele AB i CD sunt paralele, AB|| CD

CDABaR DD .*, sau mAB=mCD.Dreptele AB i CD sunt perpendiculare,

0A CDABCDABCondi ia ca punctele A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3) s fiecoliniare este:

12

13

12

13

xx

xx

yy

yy

9. Distan a dintre punctele A(x1,y1) i B(x2,y2) este

212

212 yyxxAB


42/120

12. CONICE

1.CERCUL

Defini ie: Locul geometric al tuturor punctelor din plan egal dep rtate de unpunct fix, numit centru se numete cerc.

}|),({),( rOMyxMrOC 1. Ecua ia general a cerculuiA(x + y) + Bx + Cy + D = 02. Ecua ia cercului de centru: O(a, b) respectiv O(0, 0) si raza r

x + y + 2mx + 2ny + p = 0 cu


43/120

x + y + 2mx + 2ny + p 0 cuO(-m; -n) i r = m + n - p7. Ecua ia tangentei n punctul M(x0,y0)

x x0 + y y0 + m(x + x0) + n(y + y0) + p = 08. Distanta de la centrul cercului O(a, b) la dreapta de ecua iey = mx + n este

d(0,d) =1

||

m

nbmasau (

|| 00

ba

cbyaxd

)

9. Ecua iile tangentelor din punctul exterior M(x0, y0)I. Se scrie ecua ia 4 i se pune condi ia ca M s apar in cercului deecua ie 4.II. y - y0 = m(x - x0)

x + y = r , ' =0

2. ELIPSA

Defini ie: Locul geometric al punctelor din plan care au sumadistan elor la dou puncte fixe, constant , se numete elips .

yx


44/120

1

b

y

a

x, b = a - c

2. Ecua ia tangentei la elips

y = mx bma

3. Ecua ia tangentei n punctul M(x0, y0) la elips

1

00

b

yy

a

xx, 0

0

y

x

a

bm

4. Ecua iile tangentelor dintr-un punct exterior M(x0, y0) laelipsVAR I Se scrie ecua ia 2 i se pune condi ia ca M s apar in

elipsei de ecua ie 2 de unde rezult mVAR II Se rezolv sistemul y y0 = m(x-x0),

cu conditia ' = 0

3. HIPERBOLA

Defini ie: Locul geometric al punctelor din plan a c ror

diferen la dou puncte fixe este constant , se numetehiperbol

1

b

y

a

x


45/120

H: = { M(x,y) | |MF MF| = 2a }

y = xa

b--ecua ia asimptotelor

1. Ecua ia hiperbolei1

b

y

a

x, b = c - a ;

Daca a = b => hiperbola echilateral2.Ecua ia tangentei la hiperbol

y = mx bma 3. Ecua ia tangentei n punctul M(x0, y0)

1

00

b

yy

a

xx,

0

0

y

x

a

bm

4. Ecua iile tangentelor dintr-un punct exterior M(x0, y0)

VAR I. Se scrie ecua ia 2 si se pune condi ia ca M s apar inhiperbolei de ecua ie 2, de unde rezult m.VAR II. Se rezolva sistemuly - y0 = m(x - x0)

1

b

y

a

x, cu ' = 0

4. PARABOLA

Defini ie: Locul geometric al punctelor egal dep rtate de un punct


46/120

P: = { M(x, y) | MF = MN }

(d): x =2

p ( locul geometric al punctelor din plan de unde putem

duce tangente la o parabol ).1. Ecua ia paraboleiy = 2px2. Ecua ia tangentei la parabol

y = mx +m

P

2

3. Ecua ia tangentei n M (x0, y0)

yy0 = p(x + x0)4. Ecuatia tangentelor dintr-un punct exterior M(x0, y0)VAR I. Se scrie ecua ia 2 i se pune condi ia ca M (ecuatia 2) =>mVAR II. Se rezolv sistemuly - y0 = m(x - x0)y = 2px cu ' = 0


47/120

13. ALGEBRA LINIAR

1. MATRICE.

Adunarea matricelor

tdzc

ybxa

tz

yx

dc

ba

taza

yaxa

tz

yxa

nmul irea matricelor

tdyczdxc

tbyazbxa

tz

yx

dc

ba

Transpusa unei matrice

db

ca

dc

baT

2. DETERMINAN I.

cbdadc

ba ;

dbiahfgecfbgchdieaihgfed

cba

5. Dac toate elementele unei linii(sau coloane) ale unei


48/120

( )matrice sunt nmul ite cu un element a, ob inem o matrice alc rei determinant este egal cu a nmul it cu determinantul

matricei ini iale.6. Dac elementele a dou linii(sau coloane) ale unei matricesunt propor ionale atunci determinantul matricei este nul;7. Dac la o matrice p tratic A de ordin n presupunem c

elementele unei linii i sunt de forma

'''

ijijijaaa

atunci det A = det A +det A;8. Dac o linie (sau coloan ) a unei matrice p tratice este ocombina ie liniar de celelate linii(sau coloane) atuncideterminantul matricei este nul.

9. Dac la o linie (sau coloan ) a matricei A adun melementele altei linii (sau coloane) nmul ite cu acelai elementse ob ine o matrice al c rei determinant este egal cudeterminantul matricei ini iale;10. Determinantul Vandermonde:

))()((

111

222

bcacab

cba

cba ;

11. Dac ntr-un determinant toate elementele de deasupradiagonalei principale sau de dedesubtul ei sunt egale cu zero,

atunci determinantul este egal cu fca ;

fcacb

a

0

00


49/120

3.Rangul unei matrice

Fie A )(, CM nm , rN, ),min(1 nmr dd .

Defini ie: Se numete minor de ordinul r al matricei A,determinantul format cu elementele matricei A situate laintersec ia celor r linii i r coloane.

Defini ie: Fie A nmO ,z o matrice . Num rul natural r esterangul matricei A exist un minor de ordinul r al lui A,nenul iar to i minorii de ordin mai mare dect r+1 (dac exist )sunt nuli.Teorema: Matricea A are rangul r exist un minor de

ordin r al lui A iar to i minorii de ordin r+1 sunt zero.Teorema: Fie A )(),( ,, CMBCM snnm . Atunci orice minor

de ordinul k , ),min(1 smk dd al lui AB se poate scrie ca ocombina ie liniar de minorii de ordinul k al lui A (sau B).Teorema: Rangul produsului a dou matrice este mai mic sauegal cu rangul fiec rei matrice.Defini ie: )(CMn . A este inversabil det A z 0.( A este

nesingular ).Teorema: Inversa unei matrice dac exist este unic .Observa ii: 1) det (AB) =det A det B.

2) *det

11 AA

1))1((* ooo AdAAA jiW

Teorema: Un determinant este nul una din coloanele


50/120

(respectiv linii) este o combina ie liniar de celelaltecoloane(respectiv linii).

Teorema: Rangul r al unei matrice A este egal cu num rulmaxim de coloane(respectiv linii) care se pot alege dintrecoloanele (respectiv liniile) lui A astfel nct nici una dintre eles nu fie combina ie liniar a celorlalte.

4. Sisteme de ecua ii liniare

Forma general a unui sistem de m ecua ii cu n necunoscuteeste:

(1

mnmnmm

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

.......................................................

...........

2211

11212111

sau

n

j

jij xa1

ib

Unde A (aij) mi dd1 , nj dd1 - matricea coeficien ilornecunoscutelor.

Matricea

mmnm

n

baa

baa

A

....

...

...

1

1111

se numete matricea extins

a sistemului.Defini ie: Un sistem de numere se numete

- Un sistem se numete compatibil nedeterminat are o


51/120

infinitate de solu ii;

Rezolvarea matriceal a unui sistem Fie A, )(CMB n .

njbaAXBAXBXAA i

n

iijj ,1,det

1

1

11

.

Rezolvarea sistemelor prin metoda lui Cramer:

Teorema lui Cramer : Dac det A 0z'not , atunci sistemul

AX=B are o solu ie unic X i='' i .

Teorema lui Kronecker- Capelli : Un sistem de ecua ii liniareeste compatibil rangul matricei sistemului este egal cu

rangul matricei extinse.

Teorema lui Rouche : Un sistem de ecua ii liniare estecompatibil to i minorii caracteristici sunt nuli.

Notm cu m-num rul de ecua ii;n- numrul de necunoscute;r -rangul matricei coeficien ilor.

Sistemi ibil

Exist celi i


52/120

incompatibil pu in un minorcaracteristic

nenulIV mrnr , Sistem compatibil

nedeterminat sauDac to iminoriicaracteristicisunt nuli

Sistemincompatibil Exist celpu in un minorcaracteristicnenul

Teorema : Un sistem liniar i omogen admite numai solu iabanal 0z'


53/120

14. SIRURI DE NUMERE REALE

1. Vecin t i. Puncte de acumulare .

Defini ia 1 : Se numete ir , o func ie f : N : R definit prin f(n) =a n .

Not m ..,.........,,....,.........,,: 321210 aaasauaaaa Nnn Orice ir are o infinitate de termeni; a n este termenul general al

irului Nnna .

Defini ia 2 : Dou iruri Nnna , Nnnb sunt egale

Nknba nn t , Defini ia 3 : Fie a R. Se numete vecin tate a punctului a R, omul ime V pentru care 0 >0 i un interval deschis centrat n a deforma (a- 0 , a+ 0) V.Defini ia 4 : Fie D R. Un punct . R se numete punct de

acumulare pentru D dac n orice vecin tate a lui . exist cel pu inun punct din D- V @(D- ) z . Un punct x D care nu epunct de acumulare se numete punct izolat.

2. iruri convergente

Defini ia 5 : Un ir Nnna este convergent c tre un num r a Rdac n orice vecin tate a lui a se afl to i termenii irului cu excep ia

aalim

Nnna este stict cresc tor a n Nnan ,1 sau


54/120

1,0 11

n

nnn

a

asauaa ;

Nnna este monoton descresc tor a n Nnan t ,1 sau

1,0 11 dd

n

nnn a

asauaa ;

Nnn

a

este strict descresc tor an

Nnan

,1

sau

1,0 11

n

nnn a

asauaa .

Defini ia 6 . Un ir Nnna este m rginit M R astfel

nct Man d sau

EDED dd nanctastfelR, .

Teorema 3: Teorema lui Weierstrass: Orice ir monoton im rginit este convergent.

Defini ia 7: Dac un ir are limit finit irul este convergent.Dac un ir are limit infinit ff sau irul este

divergent.Teorema 4 : Orice ir convergent are limit finit i este m rginit darnu neap rat monoton.

Teorema 5: Lema lui Cesaro :Orice ir m rginit are cel pu in un subir convergent.Defini ia 8: Un ir e divergent fie dac nu are limit , fie dac are olimit sau dac admite dou subiruri care au limite diferite.

3. Opera ii cu iruri care au limit


55/120

Teorema 7 : Fie Nnna , Nnnb iruri care au limit :

a n an o fo , b n bn o fo .Dac opera iilea+b,ab

it

lim,,,,,

,

D.

lim( nn ba )= lim na +lim nb ;

lim( nn ba )=lim na .lim nb ;

n fo n o n o

lim( na )=. lim na ; limn

n

n

n

b

a

b

a

lim

lim

lim nn bnb

n aalim)(lim

nana aa limlogloglim k

nk

n aa limlim

Prin conven ie s-a stabilit: + = ; a+ = ,a R; a+(- )=- ; -

+(- )=- ; a = ,a>0;a =- ,a


56/120

Dac aaaannnno o

fofo.

Dac 00 o ofofo nnnn

aa .

Teorema 9 : Dac irul Nnna este convergent la zero,

iar Nnn

b

este un ir m rginit, atunci irul produsnn

ba esteconvergent la zero.

4. Limitele unor iruri tip

1,

1,

1,1

)1,1(,0

lim

qdac

0,

0,

....lim0

01

10a

a

anana ppp

n


57/120

lim ......71,211 | en

n

lim ex

nx

n

11

n: x n :

lim ex nxn

1

1 lim 1

sin

n

n

x

x

x n : 0 x n : 0

lim 1

arcsin

n

n

x

x

lim 1n

n

x

tgx

x n : 0 x n : 0

lim 1n

n

x

arctgx

lim 1

1ln( )n

n

x

x

x n : 0 x n : 0

lim ax

an

xnln1 lim r

xx

n

rn 11

x : 0 x : 0

15 LIMITE DE FUNC II


58/120

15. LIMITE DE FUNC II

Defini ie: O func ie f:D R R o are limit lateral la stnga (respectiv la dreapta) n punctul de acumulare

slexist0 R (respectiv dl R) a. . lim f(x)= sl ,

(respectiv lim f(x) = dl ).

0

0

xx

xx

o

0

0

xx

xx

o

Defini ie: Fie f:D R R o , Dx 0 un punct de acumulare.Func ia f are limit n )()( 000 xlxlx ds

Propriet i:1. Dac lim f(x) exist , atunci aceast limit este unic.

0xxo

2. Dac lim f(x) =l atunci0

.)(lim

xx

lxf

o

0xxo Reciproc nu.

3. Dac0

0)(lim0)(lim

xx

xfxf

o

5. Dac ^ `)()()( 0


59/120

5. Dac

.)(lim)(lim)(lim

)()()( 0

lxglxhxf

x: x0 x: x0 x: x06.

Dac

^ `

lxfxg

)(lim0)(lim

)()( 0

7.

0)()(lim

)(..00)(lim

d

xgxf

MxgaM .

8.

.)(lim

(lim)()(

.)(lim)(lim)()(

f

fd

fft

xf

xg

3.lim 1)(

)(

l

l

xg

xf


60/120

2)( lxg

4.lim2

1

)(

)(lxg

lxf 5.lim 1)( lxf

P(X)=a 0xn + a1x

n-1 + ..+an ,a0 z 0

limrfox

naxP )()( 0 rf

0, dac q 1,1

limfox

qx = 1, dac q=1

, dac q>1nuexist,

dac q 1d


61/120

.0,

0,

,,0

.....

.......lim

0

0

0

0

0

0

110

110

b

a

a>1 ffo

x

x

alim 0lim fo

x

x

a

a )1,0( 0lim fo

x

x

a ffo

x

x

alim

a>1 ffo xax loglim fo xax loglim0 a )1,0( f

fo

xax

loglim fo

xax

loglim0

lim0ox1

sin

x

x

1sin

lim 0

o xu

xu

xu

lim0ox

1x

tgx

1lim

0

o xu

xtgu

xu

ex

11lim

01

1lim

xu


62/120

xx folim

lim

foxu xu

lim0ox

1

1ln

x

x

1

1lnlim

0

o xu

xu

xu

lim0ox axax

ln1

axuaxu

xuln1

)(

0lim o

lim0ox

r

x

x r

11

r

xu

xu r

xu

o

11lim

0

0lim fo

x

k

x a

x

0lim fo

xu

k

xu a

xu

limfox

0ln

k

x

0

lnlim

fok

xu xu

xu

16.FUNCIICONTINUE


63/120

DEFINI IE. O func ie f : D R o R se numete continu npunctul de acumulare x0 D oricare ar fi vecin tatea V a lui f(x0) ,exist o vecin tate U a lui x0, astfel nct pentru orice

xU D f(x)V.

DEFINI IE. f : D Ro R este continu n x0 D f are limit n

x0 i lim f(x) = f(x0)sau ls (x0 ) = l d (x0 ) = f(x0).x0 se numete punct de continuitate.Dac func ia nu este continu n x0 f.se numete discontinu n x0i x0 se numete punct de discontinuitate. Acesta poate fi:

- punct de discontinuitate de prima spe dac ls (x0 ), ld (x0 )finite, dar z f(x0);

- punct de discontinuitate de a doua spe dac cel pu in olimit lateral e infinit sau nu exist .

DEFINI IE. f este continu pe o mul ime ( interval) este

continu n fiecare punct a mul imii ( intervalului).x Func iile elementare sunt continue pe domeniile lor dedefini ie.

Exemple de func : func ia constant c, func iaidentic x, func ia polinomial f(x) = a0x

n + a 1xn-1 + .......a n , func ia

ra ional f(x)/g(x), func ia radical n xf )( , func ia logaritmic logf(x), func ia putere xa, func ia exponen ial ax, func iiletrigonometrice sin x, cos x, tg x, ctg x.

este o func ie continu n x0 i se numete prelungirea princontinuitate a lui f n x0.


64/120

OPERA II CU FUNC II CONTINUE

T1. Dac f,g:Do R sunt continue n x0( respectiv pe D) atunci f+g, Df, fxg,f/g, fg, f

sunt continue n x0 ( respectiv pe D); DR, g z 0.

T2. Dac f:D o R e continu n x0 D ( respectiv pe D) )(xf e

continu n x0 ( respectiv pe D).Reciproca nu e valabil .

T3. Fie f:Do R continu n n x0 A i g:B o A continu n x0 B,atunci g xf e continu n x0A.

lim f( g (x) = f( lim g(x))x

Orice func PROPRIET ILE FUNC IILOR CONTINUE PE UN INTERVAL

LEM . Dac f este o func ie continu pe un interval [ a,b] i dac arevalori de semne contrare la extremit ile intervalului

( f(a) x( f(b) 0 ) atunci exist cel pu in un punct c ( a,b)astfel nct f(c) = 0.

x Dac f este strict monoton pe [ a,b] ecua ia f(x) = 0 arecel mult o r d cin n intervalul ( a b)

STABILIREA SEMNULUI UNEI FUNC II

PROP O func ie continu pe un interval care nu se anuleaz pe


65/120

PROP. O func ie continu pe un interval, care nu se anuleaz pe

acest interval p streaz semn constant pe el.DEFINI IE. Fie f : I R o R ( I = interval) f are proprietatea luiDarboux.

a,b I cu a b

TEOREM . Orice func

Dac f :I o R are P.D. atunci f( I) e interval.( Reciproca e n general fals ).

CONTINUITATEA FUNC IILOR INVERSE

T1. Fie f : I Ro R o func ie monoton a..f( I) e interval. Atunci f este continu .

T2. Orice func ie continu i injectiv pe uninterval este strict monoton pe acest interval.

T3. Fie f : I o R, I, J R intervale.Dac f e bijectiv i continu atunci inversa saf-1 e continu i strict monoton .

17. DERIVATE


66/120

FUNC IA DERIVATA

C 0x 1

xn nxn-1

xa axa-1

ax a x lna

ex e x

x

1 -2

1

x

n1 - 1nn

x x2

1

n

x n nxn 11

sin x cosxcos x -sinx

arccos x -21

1

x


67/120

arctg x 211

arcctg x -21

1

x

lnxx

1

log a x ax ln1

(uv) = v. uv-1.u + uv.v.lnu

f(x)=dcx

bax

f(x)= 2)( dcx

dcba

REGULI DE DERIVARE

(f.g)=fg+fg

'fF = 'f

'

f

='' fggf

18 STUDIUL FUNC IILOR


68/120

18. STUDIUL FUNC IILOR

CU AJUTORUL DERIVATELOR

Propriet i generale ale func iilor derivabile .

1.Punctele de extrem ale unei func ii.Fie un interval i f:o R.

Defini ie. Se numete punct de maxim (respectiv de minim)(local) alfunc iei f , un punct a pentru care exist o vecin tate V a lui a

astfel nct td afxfrespectivafxf . V.x Un punct de maxim sau de minim se numete punct de extrem.x a se numete punct de maxim(respectiv de minim) global dac

afxfrespafxf td . . .

Obs.1.O func ie poate avea ntr-un interval mai multe puncte deextrem.(vezi desenul).

Obs.2.O func ie poate avea ntr-un punct a un maxim (local), f r aavea n a cea mai mare valoare din interval.(vezi desenul

cfaf ).

-puncte de maxim

cfcafa ,,,

TEOREMA LUI FERMAT

0


69/120

Dac feste o func ie derivabil pe un interval si 0 Ix un punct

de extrem,atunci 00' xf .

Interpretare geometric :

x Deoarece 00' xf tangenta la grafic n punctul 00 , xfx

este paralel cu OX.

Obs.1. Teorema este adev rat i dac func ia este derivabil numain punctele de extrem.Obs.2. Condi ia ca punctul de extrem 0x s fie interior intervaluluieste esen ial .(dac ar fi o extremitate a intervalului I atunci s-ar putea ca

00'

zxf ). Ex.

.xxf Obs.3. Reciproca T. lui FERMAT nu este adev rat .(se pot g sifunc ii astfel nct 00

' xf dar 0x s nu fie punct de extrem).

TEOREMA LUI ROLLE.

Fie :f I o R, ba, I, .ba Dac :


70/120

Fie :f I o R, ba, I, .ba Dac :

1. feste continu pe @;,ba 2. feste derivabil pe ba, ;

3. ,bfaf atunci cel pu in un punct bac , a. .0' cf

INTEPRETAREA GEOMETRICA

Dac func ia fare valori egale la extremit ile unui interval

> @,,ba atunci exist cel pu in un punct n care tangenta este paralelcu axa ox .

Consecin a 1. ntre dou r d cini ale unei func ii derivabile se aflcel pu in o r d cin a derivatei.C i 2 d d i i i l d i i fl

2. feste derivabil pe ,,ba atunci exist cel pu in un punct

bac , a. s avem

fbf


71/120

.'

cfab

afbf

INTERPRETAREA GEOMETRIC

Dac graficul func iei fadmite tangent n fiecare punct(cu excep ia

eventual,a extremit ilor) exist cel pu in un punct de pe grafic(carenu coincide cu extremit ile), n care tangenta este paralel cu coardacare unete extremit ile.

ab

afbftg

D tangenta la grafic n M are coeficientul.

unghiular cf' dar

ab

afbfcf

'

Obs.1. Daca bfaf Teorema lui Rolle.

Consecin a 2. Dac fsi g sunt dou func ii derivabile pe un

interval I i dac au derivatele egale '' gf atunci ele difer

i f R


72/120

printr-o constant . .cgf Rc x Dac fsi g sunt definite pe o reuniune disjunct de intervale,

proprietatea e fals n general. Expl. tgxxf

S

S

S

2,1

2,0,1

, xtgx

xtgx

xg

Consecin a 3.

Daca 0' !xf pe I fe strict cresc toare pe I.

Daca 0'

xf pe I fe strict descresc toare I.Consecin a 4. ,: Rif o Ix 0 Daca

Rlxfxf ds 0'

0' .

f are derivata n 0x i .0' xf

Dac fl f e derivabila in .0x

Consecin a 5. Daca 0' zxf pe I 'f p streaz semn constant peI.

ETAPELE REPREZENT RII

GRAFICULUI UNEI FUNC II

Dac func ia este definit pe R se studiaz limita func iei lafr iar dac este definit pe un interval se studiaz limita la

capetele intervalului.


73/120

p

4.Studiul primei derivate :a. Calculul lui f.b. Rezolvarea ecua iei f(x)=0.R d cinile acestei ecua ii vor fieventuale puncte de maxim sau de minim ale functiei ;c. Stabilirea intervalelor pe care semnul lui f este constant.Acestea reprezinta intervalele de monotonie pentru f.5.Studiul derivatei a doua :a.Se calculeaz fb.Se rezolva ecuatia f(x)=0. R d cinile acestei ecua ii vor fieventuale puncte de inflexiune ale graficuluic.Determinarea intervalelor pe care semnul lui f este constant.

Astfel,pe intervalele pe care f>0 functia este convex i pecele pe care f


74/120

19. PRIMITIVE

Primitive. Propriet i.Fie I un interval din R.

Defini ia 1.Fie f: I : R. Se spune c f admite primitive pe I

dac F : I :R astfel ncta) F este derivabil pe I;b) F(x) =f(x), x 0 I.

F se nume te primitiva lui f . ( I poate fi i o reuniune finit disjunct deintervale).

Teorema 1.1 Fie f : I : R. Dac RIFF o:, 21 suntdou primitive ale func iei f, atunci exist o constant c Rastfel nct ,)()(

21cxx FF x I.

Demonstra ie : Dac FF 21, sunt primitive atunci FF 21, suntderivabile )()(')( 2

'1 xfxx FF x 0 I

0)(')()()(2

'

1

'

21xxx FFFF , x 0 I.

cxx FF )()( 21 , c= constantOBS 1. Fiind dat o primitiv

F 0a unei func ii, atunci orice primitiv F a

lui f are forma F = 0F + c , c= constant f admite o infinitate de primitive.OBS 2 Teorema nu mai r mne adev rat dac I este o reuniune disjunct


75/120

OBS 4. Dac I este interval i f(I) Ixxfdef /)( nu este interval

atunci f nu admite primitive.Dac presupunem c f admite primitive atunci din OBS 3 rezult c f are Plui Darboux, rezult f(I) este interval ceea ce este o contradic ie.OBS 5. Orice func ie continu definit pe un interval admite primitive.

Defini ia 2. Fie f: I : R o func ie care admite primitive.Mul imea tuturor primitivelor lui f se numete integrala

nedefinit a func iei f i se noteaz prin simbolul

)(xf dx.

Opera ia de calculare a primitivelor unei func ii(care admiteprimitive ) se numete integrare .

Simbolul a fost propus pentru prima dat de Leibniz, n1675.

Fie F(I)= RIf o: Pe aceast mul ime se introduc opera iile:

(f+g)(x) =f(x)+ g(x) ,

FP.D

P C

Teorema 1.2 Dac f,g:I : R sunt func ii care admitprimitive i . R, . 0, atunci func iile f+g, . f admit


76/120

de asemenea primitive i au loc rela iile:(f+g) =f +g, . f=.f, .0, f =f +C

Formula de integrare prin p r i.

Teorema 1.1 Dac f,g:R :R sunt func ii derivabile cuderivatele continue, atunci func iile fg, fg, fg admitprimitive i are loc rela ia:

f(x)g(x)dx =f(x)g(x)-

f(x)g(x)dx

Formula schimb rii de variabil (sau metoda substitu iei).Teorem : Fie I,J intervale din R i

:,:,: ileproprietatcufunctiiRJfJI ooM

1) este derivabil pe I;

2) f admite primitive. (Fie F o primitiv a sa.)Atunci func ia (f o ) admite primitive, iar func ia F o este o

primitiv a lui (f o ) adic :

CFodtttf

MMM'

5. Integrarea func iilor trigonometrice

4. Dac o func ie nu se ncadreaz n cazurile 1,2,3,atunci seutilizeaz substitu iile universale:

2


77/120

211cos,1 2sin 2

2

2 xtgtundettxttx

5. Se mai pot folosi i alte formule trigonometrice:sin 2x=2sin x .cos x,

2

2cos1cos

2

2cos1sin 22

xx

xx

Integrarea func iilor ra ionale

Defini ie: O func ie f:I : R , I interval, se nume te ra ional dac

R(x)= ,,0)(,

)(

)(Ixxg

xg

xfz unde f,g sunt func ii polinomiale.

Dac grad f t grad g, atunci se efectueaz mp r irea lui f la g f=gq+r, 0 d grad r


78/120

6. Cxdxx

ln1

7. Cctgxdxx

2

sin

1

8. Ctgxdxx2cos1

9. Cxxdx cossin

10. Cxxdx sincos

11. Caxarctg

adx

a

11 22

12.

Cax

ax

adx

axln

2

1122

13. Cxaxdx )ln(1 22

22

16. Cxtgxdx cosln


79/120

17. Cxctgxdx sinln 18. Caxdx

ax

x

2222

19.Caxdxax

x

22

22

20. Cxadxxa

x

2222

21. Caxxa

axx

dxax 222

2222 ln22

22. Caxxa

axx

dxax

22

22222 ln

22

23. Caxa

xax

dxxa arcsin22

22222

24. Cbaxa

dxbax

ln

11

27.

'

'

0,

])2

()2

[(

1

122

2

dx

aa

bxa

dx


80/120

''

0,

])2

()2

[(1

22

2

dx

aa

bxa

cbxax

28. Ccbxaxdxcbxax

bax

22 ln

2

29.

dxcbxax

ncbxaxm

dxcbxax

nbaxmdx

cbxax

BAx

22

22

1ln

)2(


81/120

Bibliografie:- Arno Kahane. Complemente de matematic , Editura

Tehnic , Bucureti, 1958.- C. N st sescu,C. Ni , Gh. Rizescui:Matematic -

Manual pentru clasa a IX-a, E.D.P., Bucureti, 1982.- C. N st sescu, C Ni , I. St nescu: Matematic -Manual

pentru clasa a X-a-Algebr , E.D.P., Bucureti,1984.- E. Beju, I. Beju:Compendiu de matematic , editura

tiin ific i Enciclopedic , Bucureti, 1996.- E. Rogai,Tabele i formule matematice,Editura

tehnic ,1983.- Mic enciclopedie matematic , Editura tehnic ,

Bucureti,1980.

- Lumini a Curtui, Memorator de Matematic -Algebra,pentru clasele 9-12, Editura Booklet,2006.

Problemepropuse i rezolvate


82/120

1.S sedeterminenumerelentregi a i bastfel nct

;321464 ba Rezolvare:Ridic m la puterea a doua expresia dat :

;36221464 22 baba Din egalarea termenilor asemenea ntre ei rezult : ab=2 i2a2+3b2=14 rezult : a=1 i b=2.

2.Dac

a

a1

=7, s se calculeze a 4 +4

1

a

.

Rezolvare:

Ridic m la puterea a doua rela ia dat : (a

a1

)2=49,

a2+2

1

a

=51 procednd analog se ob ine

25991

2511

4

42

4

4 a

aa

a .

3.Afla i X din X.3 2008 = (3 2008 1) : (1+

20072 31.......

31

31 )

4. S se calculeze:a

a

3

32unde 74117 a

Rezolvare:


83/120

2272

311

2

3117411 a

166346223

)23)(322(

23

322

13

3343

334

3

343

3

123631015

129

323325

323

32511323

11323

113

1131,1313

ba

b

a

5. tiind c 13 b

as se calculeze partea ntreag a

numrului

ba

ba

Rezolvare:

4251515151

5151

x

x =


84/120

10166066932236692232007662007

bb

bba

b. x = 2022 xx 2007 = 0

7. Dac 2007b

a, s se calculeze

ba

b

9223

66

.

Rezolvare:

8.S se calculeze suma

S =200732

2..........222 .

Rezolvare: S= 2............2212

2............22

2............222

10032

200642

200753

9.Calcula i: 50685168 3:232347324 E

Rezolvare:


85/120

.6333:333:2323213032

322

17

2

17347

132 242 24324

5051

50685168173174

E

10.Determinati Zn astfel nct .5265614

Zn

Rezolvare

^ `2,1,1,22

15531553155322

nZn

nnn

11. S serezolveecua ia: (2x-4)(2x-3)(2x+1)(2x+2)=-6Rezolvare:Ecua ia dat este echivalent cu:

(2x-4)(2x+2)(2x-3)(2x+1)=-6 (4x

2

4x-8) (4x

2

4x-3)=-6Notam 4x2 4x-8=t t(t-5)=-6 t2-5t+6=0 t1=2 si t2=3

2 111 2

12 . Se d ecua ia:


86/120

x + 18x + 1 = 0. Se cere s se calculeze 3 23 1 xx , unde

x1, x2 sunt solu iile ecua iei .

Rezolvare :

Fie A = 3 23 1 xx . Se ridic la puterea a treiaA = x1 + x2 + 3 3 21xx A

Cum x1 + x2= - 18 x1+x2=1 (Rela iile lui Viete)A- 3A + 18= 0 ; Solu ia real a acestei ecua ii este A = -3 ;restul nu sunt realeA+ 3A-3A-9A+6A+18=0A(A+3) 3A (A+3)+6(A+3)=o(A+3)(A-3A+6)=0A=-3

13. Doua drepte perpendiculare ntre ele n punctul M(3;4)intersecteaz axa OY n punctual A si OX n punctual B.

a) s sescrieecua iadrepteiABb) s searatecadiagonalelepatrulateruluiAOBMsunt

perpendiculare,unde0esteorigineasistemului.Rezolvare :

Scriem ecua iile dreptelor AM si MB

Fie P(x,y) mijlocul lui ABx

xm

yM

X4

32

2

34,

2

34


87/120

drepteiABecyx

xyxy

.02586

961684

32342

panta dreptei AB este .4

3m

Panta dreptei OM este evident

3

4

03

04

1 omAB mm .ABOM A

A

M(3,4)

O B

g) ecua ia dreptei care trece prin A i este paralel cu BC;h) ecua ia bisectoarei din A i lungimea eii) aria triunghiului ABC.


88/120

Rezolvare:a) Aplicnd formula distan ei pentru cele trei laturi ale

triunghiului 2

122

12 yyxxAB ob inem:

AB = 53 , BC = 55 ,AC = 54 512 P ;Se verific cu reciproca teoremei lui Pitagora c triunghiul estedreptunghic cu unghiul de 900 n vrful A.b) Coordonatele centrului de greutate sunt date de formula:

3,

3321321 yyyxxxG

3

7,

3

4G ;

c) Ecua ia dreptei BC se scrie folosind formula:

12

1

12

1

xx

xx

yy

yy

10

4

5

3

xy 5x+10y-10=0 x+2y-2=0

(forma general a dreptei )sau 12

1xy (forma normal );

d) Coordonatele mijlocului segmentului BC sunt : M )2

1,1(

ecua ia medianei este:

16

21

2

yx 11x-2y-10 =0; Pentru calculul lungimii

panta dreptei BC este2

1 panta lui AD este 2. R mne s

scriem ecua ia dreptei care trece prin A i are panta 2 :

6 2( 2) 2 2 0 i l i ii di A


89/120

y-6=2(x-2) 2x-y+2=0 este ecua ia n l imii din A;Pentru calculul n l imii (ntr-un triunghi dreptunghic) esteconvenabil s aplic m formula:

AD =5

512

55

5453

BC

ACAB;

Altfel, trebuia rezolvat sistemul format din ecua iile dreptelorBC i AD pentru a determina coordonatele lui D.

f) y-6=3

3(x-2); Am aplicat formula y-y0=m(x-x0) n

condi iile n care panta este tg300

g) y-6=21 (x-2) unde

21 este panta dreptei BC .

h) Fie AE bisectoarea unghiului A.

Din teorema bisectoarei k=AC

AB

EC

BE k=

4

3.Folosindu-ne

de raportul n care un punct mparte un segment rezult

coordonatele lui E

7

6,

7

2. Atunci ecua ia bisectoarei este:

676

6

272

2 yx21x-7y=0. Pentru a calcula lungimea

bisectoarei ne putem folosi i de formula

Se va insista pe faptul c dac triunghiul nu ar fi fostdreptunghic ar fi trebuit s se calculeze distan a de la A ladreapta BC adic tocmai lungimea n l imii iar aceasta s-ar

t f i i l f l i d f l


90/120

putea face mai simplu folosind formula :Distan a de la un punct M0(x0,y0) la o dreapt h de ecua ie(h): ax+by+c=0 este dat de:

22

000 ),(

ba

cbyaxhMd

.

15. Saserezolveecua ia :

12005200542005620052006 43

42

xxx

xx

Rezolvare : Ecua ia dat este echivalent cu :

4

4

120052006

xx

Ridic m la puterea

1200520061200520064

14444 xxxx

x

Din monotonia func iei xx aaxf 1 care e strict

cresc toare ecua ia x are solu ie unic 4 x

Rezolvare:Ecua ia dat este echivalent cu:

3 3


91/120

xx 3 32007 = (2006 + 1) . Ridic m la puterea 1/3 =>

x x3 3

2007 = 2006 +1 =>

x x3 3

2007 2006 =1 (*)

Din monotonia func iei f(x) = (1+ a)x

ax

care e strictcresc toare => ecua ia (*) are solu ie unic : x = 3

17. S se determine num rul de cifre din care este compusnumrul 7 2007.

Rezolvare:102 < abc


92/120

18. S se arate c matricea A =

db

ca ZM2 e

inversabil , unde :20062005a

11...111...1111116...666 200632

cb

2006 ori de 120052006d

Rezolvare :

A e inversabil z 0det A ultima cifr a num rului det A0ze

6

66

5

cu

budu

au

.0det04606665det zz AAu


93/120

Probleme- sinteze

I. NUMERE REALE. APLICA II.

1. S se calculeze:

a) 99504498 .

b) ).322()3625()3827(

> ^ .2:223223438325)

.

2233

12

23

2

32

3)

.16:)332()

.9:)535()

.10)5045()1820()

2

20585887

14203020

g

f

e

d

c

23:

22

1

32

2

23

1)

.518412256561)

1

k

j


94/120

.222222222)

223223

l

.25

16)

.12246223)

.52332223)

.7273)

24

16

2

222

22

y

xp

o

n

m

3232

.3232

3232)

.2492462611)

).32()26(32)).75713(73)

t

s

rq

4. Compara i numerele:

56142526526

.5643525335222

b

a


95/120

.56142526526 b

5. Dac .3499

3,1996

ba

bcalculati

b

a

6. Ar ta i c num rul

241,13:232241,1

52513451

a e p trat perfect.7. S se arate c expresia

741117

549532

2

b

acastiindQba

baE

8. S se aduc la o form mai simpl expresia:

.0,16566)( 321684 aaaaaaE

9. Care num r este mai mare:23

32 sau .

10*. S se arate c : a)QRnb

QRna

135)75)

11. S se arate c :

NnNb

NnQa

nnnn

nnnn

,3492)

,6243)

2212

32123222

.

12. Stabili i valoarea de adev r a propozi iei: .3231.......321 Q

13. S se afle x tiind c .2.......222212 9993210x

33 25

1)

a .

12

1)

3 b ;

33 59

1)

c ; d)

322

322 ; e) 3 32

1.


96/120

322 ; ) 32

18. S se determine r d cina p trat a num rului a= 6222326 19. S se determine cel mai mare num r natural n cu proprietatea:

23

142

1....................

154

1

32

1

2

d

nn

.

20. Fie a,b,c numere ra ionale astfel nct ab+ac+bc=1. S se demonstreze c :

Qcba 111 222 .

21. S se demonstreze c 532 nu este un num r ra ional.

II. PROGRESII ARITMETICE1. S se scrie primii patru termeni ai progresiei aritmetice nna dac :

a) 1a =-3 ; r=5 b) 1a =7 ;r=2 c) 1a = 1,3 ; r= 0,3

2. S se g seasc primii doi termeni ai progresiei aritmetice nna :

a) ,......27,21,15,, 21 aa b) ,........5,2,9,, 21 aa

3. S se calculeze primii cinci termeni ai irului cu termenul general na a) na =3n+1 ; b) na = 3 + (-1)

n c) na = n 12 n

5,0,2) 1 raa se cere a 12

b) 5,1,31 ra se cere a19

c) 12,13110 ra se cere 1a

d) 3,0200 ra se cere 1a


97/120

d) 3,0200 ra se cere 1a

6. S se g seasc primul termen i ra ia unei progresii aritmetice dac :

2,)

3,8)

28,16)

21,42)

92,0)

60,27)

125437321

3510

5142

31071

6020

275

aaaaaaaaf

SSSe

aaaad

aaaac

aab

aaa

7. irul nnx este dat prin formula termenului general.

a) x n =2n-5 ; b) x n =10-7n. S se arate c nnx e o progresie aritmetic .S se afle primul termen i ra ia.

8. iay . S se afle S100 dac :

5,7,5,5)

5,2)15,10)

1001

1

1001

aac

rabaaa

9.Cunoscnd Sn s se g sesc :

a) primii cinci termeni ai progresiei aritmetice dac Sn =5n 2 +3n ; Sn =3

n 2 ; Sn = nn2

a) x-3, 9, x+3 ; b) xx xx222 24,3,2 c)

2,18,2 xx

13. S se rezolve ecua iile :


98/120

a) 1+7+13+.+x =280 ;b) 1+3+5+..+x = 169 ;c) (x+1)+(x+4)+(x+7)+..+(x+28) = 155 ;d) (x+1)+(x+3)+(x+5)+ ..+(x+25) = 338 ;e) x+(x+5)+(x+10)++(x+100) = 2100.

14. S se arate c urm toarele numere sunt n progresie aritmetic :a) (a+b) , a+b , (a-b) ;

b))(

,2

,)( aba

b

ab

ba

bab

a

;

c) .0,1,)1( 1,2 1,1

2

zz xxxx axxaxxa

15. S se arate c dac numereleabaccb

1,

1,

1sunt n progresie

aritmetic atunci numerele222

,, cba sunt n progresie aritmetic .

16. Fie nna o progresie aritmetic .

S se arate c : 2,11

.......11

113221

t

n

aa

n

aaaaaa nnn.

17. Fie ecua ia ax +bx+c =0 cu solu iile x1,x2. Dac numerele a,b,c sunt nprogresie aritmetic atunci exist rela ia : 2(x1+x2)+x1.x2 +1 = 0


99/120


100/120


101/120

PRIMITIVE

1. S se calculeze primitivele urm toarelor func ii.

1. (3x dxxx )232 35 2. x(x-1)(x-2)dx

3.


102/120


103/120


104/120


105/120


106/120


107/120


108/120


109/120


110/120


111/120


112/120


113/120


114/120


115/120


116/120


117/120


118/120


119/120


120/120

Documents

Matematica pentru liceu