Matematica Liceu (sinteza)

7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)

1/120

Adrian Stan

Editura Rafet 2007


2/120

2

1. Mulimea numerelor reale

1.. Scrierea n baza zece:

dcbaabcd +++= 101010 23 a-cifra miilor; b-cifra sutelor; c-cifra zecilor; d-cifra unitilor;

001.001.01.010

10101010, 321

+++==+++=

gfea

gfeaefga

e-cifra zecimilor; f-cifra sutimilor; g-cifra miimilor.

2. Fracii

-Fracii zecimale finite: ;100

,;10

, abc

bcaab

ba ==

-Fracii zecimale periodice:-

simple: ;99

)(,;9

)(, aabc

bcaaab

ba

=

=

mixte: ;990)(,;90)(,

ababcd

cdba

ababc

cba

=

= 3.. Rapoarte i proporii

,,;0 *Qnknb

na

b

abraportnumestese

b

a=

=

k se numete coeficient de proporionalitate ;Proprietatea fundamentala proporiilor:

cbdad

c

b

a==

4. Proporii derivate:

=

=++

=

=

=

===

=

.2

2

2

2

d

c

b

asau

db

ca

b

asau

db

ca

b

a

d

dc

b

basau

dc

c

ba

a

d

b

c

asau

a

c

b

dsau

c

d

a

b

d

c

b

a


3/120

3

5. Sir de rapoarte egale:

n

n

n

n

bbbb

aaaa

b

a

b

a

b

a

++++++++

====.....

.............

321

321

2

2

1

1 ;

( ) ( )nn bbbbiaaaa ,....,,,......,,

321321 sunt direct

proporionale kb

a

b

a

b

a

n

n ==== ..2

2

1

1 .

( ) ( )nn bbbbiaaaa ,....,,,......,, 321321 sunt invers

proporionale nn bababa === ..2211

6. Modulul numerelor reale Proprieti:

=

0,

0,0

0,

aa

a

aa

defa

1. Raa ,0 ; 2. 0,0 == aa ;

3. Raaa = , ; 4. baba == , ;

5. baba = ; 6.b

a

b

a= ;

7. bababa + ;

8. 0,, == aaxax ;

9. 0],,[, aaaxax ;10. 0],,[],[, + aaaxax .

7. Reguli de calcul n R

1. ( ) ;2 222 bababa ++=+

2. ( ) ;2 222 bababa += 3. (a+b)(a-b= a 2 -b 2 ;


4/120

4

4. ( ) cabcabcbacba 2222222 +++++=++

5. ( ) 32233 33 babbaaba +++=+ ;

6. ( ) 32233 33 babbaaba += ;

7. ))((2233

babababa ++= ;8. ))(( 2233 babababa ++=+ .

8. Puteri cu exponent ntreg

factorin

n aaaadefa ......

..80;.4

0,.7)(.3

0,1

.6.2

)(.5;00;;1.1 1

nmaaaaaa

bb

a

b

ababa

aa

aaaa

aaaaa

nmnm

n

m

n

nn

nnn

n

nnmnm

nmnmno

===

=

=

==

====

+

9. Proprietile radicalilor de ordinul doi

1. Raaa = ,02

2. baba =

3. 0, = bb

a

b

a

4. 2)(n

nn aaa == ,

5.22

22 baabaaba

+=

unde a-b=k .


5/120

5

10. Medii

Media aritmetic2

yxma

+=

Media geometric yxmg =

Media ponderat ponderileqpqp

yqxpmp +

+= ,;

Media armonicyx

xy

yx

m h +=

+=

211

2 .

Inegalitatea mediilor

2

2 yxxyyx

xy ++

11. Ecuaii

0,0 ==+ aa

bxbxa

0,2

== aaxax ;

a

acbbxcxbxa

2

40

2

2,12 ==++ .

.04,0 2 acba

.0, axaax ==

20, axaax == [ ] )1,[1 ++= aaxaxaax .

12. Procente

p % din N = Np

100


6/120

6

D =12100 npS

. Dobndaobinutprin depunerea la banca unei

sume Sde bani pe o perioadde nluni cu procentul pal dobndeianuale acordate de banc.

Ct la sutreprezintnumrul a din N.x % din N =a

ax

100= .

13. Partea ntreag

1. [ ] { }xxx += , Rx , [ ] Zx i { } )1,0[x

2. [ ]


7/120

7

2. Inegaliti

1. 1>a kk aa ba

7. cabcabcba ++++

222

Rcba ,, 8. )( ( )22223 cbacba ++++ cba ,,

9. ( )cbacba

cba++

++++

3

1222 Rcba ,,

10. ( ) 0,,3

3++++ cbacbacba

11. ( ) ( )nnnn aaaaaaaaaan 13212122

1 ......2...1 ++++++ 12. ( ) ( )21221 ...... nn aaaan ++++ , Nn

13. .0,,,22

2

>

+

+baNn

baba nn

14. .0,20 >++

< r

rbra

ba

ba


8/120

8

15. x a ( )0>a .axa

16. baba + , Rba , sauC.

17. nn aaaaa ++ ...... 121 , in sau C.

18. baba in sau C.

19.( ) nnnnnnn

1

1

1

1

1112

=

=

( ) nnnnn1

1

1

1

1

!

1

=

<

20. Zba , , Znm , , Qnm .122 nbma

21. Numerele pozitive cba ,, pot fi lungimile laturilor unui triunghi

daci numai dac *,, +Rzyx ia. ,zya += ,zxb += .yxc +=

22. 1

ba

b

a ba 0, >ba ,

23. .6,, * +

++

++

+b

ac

a

cb

c

baRcba

24. Dac 0,...,1 nxx si kxx n =++ ...1 constant atunci produsul

nxxx ...22 e maxim cnd ....1n

kxx n ===

25. Dac. 0,...,1


9/120

9

27. Teorema lui Jensen:

Dac :f ,R (interval) si ( )( ) ( )

222121 xfxfxxf

+

+

21,xx ( )( ) ( )

n

xfxf

n

xx

f

nn ++

++

...... 12

ix , .,1ni=

28. Inegalitatea mediilor ....

...1

...1

11

1

n

aaaa

aa

n nnn

n

++

++

29. ( ) .1

...

1

...2

121 naaaaa n

n

+++++ .,1,0 niai =

egalitate cnd .,1,, njiajai == 30. Inegalitatea lui Cauchy-Buniakowsky-Schwartz.

( )( ) ( )211221221 ......... nnnn bababbaa ++++++ ., Rba ii

31. Inegalitatea mediilor generalizate: .""bj

aj

bi

ai==

1

1

1

1 ......

++

++n

aa

n

aa nn ,,,, +Rba ii

., R

32. n

aa

n

aa nn ++

++ ...... 121

221

33.Inegalitatea lui Bernoulli:

( ) .,1,11 Nnanaa n ++


10/120

10

3.Mulimi. Operaii cu mulimi.

1. Asociativitatea reuniunii si a interseciei:A (B C)=(A B) C A (B C)=(A B) C

2. Comutativitatea reuniunii si a interseciei:A B=B A A B=B A

3. Idempotena reuniunii si interseciei:A A=A A A=A

4. A =A A =5. Distributivitatea reuniunii fade intersecie:

A (B C)=(A B) (A C)6. Distributivitatea interseciei fade reuniune:

A (B C)=(A B) (A C)

7. A,B E, (A B)= A B

(A B)= A B

8. A E, ( A)=A

9. A\B= (A B)10. A\(B C)=(A\B)\C

A\(B C)=(A\B) (A\C)(A B)\C=(A\C) (B\C)(A B)\C=A (B\C)=(A\C) B

11. A(B C)=(AB) (AC)A(B C)=(AB) (AC)A(B\C)=(AB)\ (AC)ABBAA B ( x) (xA=>xB)A B ( x)((xA) (x B))xA B (xA) (xB)

xA B (xA) (xB)xC EA (xE) (x A)xA\B (xA) (x B)


11/120

11

12. Relaiile lui de Morgan

1. (p q)=p q, (p q)= p q .2. p (q r) = (p q) (p r), p (q r)=(p q) (p r).

3.

p p=A, p p = F.4. p q p q.5. p q (p q) (qp) (p q) ( q p).6. p A = p , p A=A7. p q = q p , p q = q p8. (p)=p9. p p =F , p p =A10. (p q) r = p (q r)

(p q) r = p (q r)11. p F = p p F = F


12/120

12

4. Progresii

1. iruri

Se cunosc deja irul numerelor naturale 0,1,2,3,4,.,irulnumerelor pare 2,4,6, Din observaiile directe asupra acestor iruri,

un ir de numere reale este dat n forma ,.....,, 321 aaa unde

321,, aaa sunt termenii irului iar indicii 1,2,3, reprezint poziia pe

care i ocuptermenii n ir.Definiie: Se numete ir de numere reale o funcie f: N*R ,definitprin f(n)=a n

Notm ( ) *Nnna irul de termen general , a n Observaie: Numerotarea termenilor unui ir se mai poate face ncepnd

cu zero: ,.....,, 210 aaa

ia , i 1 se numete termenul de rang i.Un ir poate fi definit prin :

a) descrierea elementelor mulimii de termeni. 2,4,6,8,..

b) cu ajutorul unei formule a n =2n

c) printr-o relaie de recuren. 21 +=+ nn aa Un ir constant este un ir n care toi termenii irului sunt constani :5,5,5,5,..

Douiruri nnnn ba )(,)( sunt egale dac Nnba nn = , Orice ir are o infinitate de termeni.


13/120

13

2. Progresii aritmetice

Definiie: Se numete progresie aritmeticun ir n care diferenaoricror doi termeni consecutivi este un numr constant r, numit raia

progresiei aritmetice.1. Relaia de recurenntre doi termeni consecutivi:

1,1 +=+ nraa nn 2. a1,a2, an-1, an, an+1 sunt termenii unei progresii aritmetice

211 + += nnn

aaa

3. Termenul generaleste dat de :( )rnaan 11 += 4. Suma oricror doi termeni egal departai de extremi este egal cu

suma termenilor extremi :

nknk aaaa +=+ + 11 5.Suma primilor n termeni :

( )21 naaS nn +=

6. irul termenilor unei progresii aritmetice:rararaa 3,2,, 1111 +++ ,.

( )rnmaa nm = 7. Trei numere x1,x2, x3se scriu n progresie aritmeticde forma :

x1= u v x

2= u x

3= u + v

u,v

.

8. Patru numere x1, x2, x3, x4 se scriu n progresie aritmeticastfel:

x1= u 3v, x2= u v , x3= u + v , x4= u + 3v, u,v .

9. Dac2

1

1 +

+

+

k

k

k

ki

a

a

a

aa


14/120

14

4. Progresii geometrice

Definiie: Se numete progresie geometricun ir n care raportuloricror doi termeni consecutivi este un numr constant q, numitraia progresiei geometrice.

1. Relaia de recuren: 1,1 =+ nqbb nn 2. b1,b2, bn-1, bn, bn+1 sunt termenii unei progresii geometrice cu

termeni pozitivi 11 + = nnn bbb

3.Termenul generaleste dat de :1

1= nn qbb

4. Produsul oricaror doi termeni egal departati de extremi este egalcu produsul extremilor

nknk bbbb = + 11 5. Suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice :

q

qbS

n

n

=1

11

6. irul termenilor unei progresii geometrice :,....,...,, 1

2111

nqbqbqbb

7. Trei numere x1,x2, x3se scriu n progresie geometricde forma :

x1=v

u x2= u x3= vu , + *, Rvu

8. Patru numere x1,x2, x3, x4 se scriu n progresie geometricastfel :

x1 =3v

u

x2 =v

u

x3= vu x4=

3vu + *, Rvu


15/120

15

5. Funcii

I. Fie : AB.1) Funcia este injectiv,dac

x,y A, xy=>(x)(y).2) Funcia este injectiv,dacdin (x)=(y) =>x=y.3) Funcia f este injectiv, dacorice paralella axa 0xintersecteazgraficul funciei n cel mult un punct.

II.1)Funcia este surjectiv, dacy B, existcel puin unpunct x A, a.. (x)=y.2) Funcia este surjectiv, daca (A) =B.3) Funcia este surjectiv, dacorice paralella axa 0x, dusprintr-un punct al lui B, intersecteazgraficul funciei n celpuin un punct.

III.1) Funcia este bijectivdaceste injectivi surjectiv.2) Funcia este bijectivdacpentru orice y B existunsingur x A a.. (x) =y (ecuaia (x)=y,are o singursoluie,pentru orice y din B)3) Funcia este bijectivdacorice paralella axa 0x, dusprintr-un punct al lui B, intersecteazgraficul funciei ntr-un

punct i numai unul.

IV.1A: AA prin 1A(x) =x, x A.1) Funcia : AB este inversabil, dacexisto funcieg:BA astfel nct g o = 1Asi o g =1B, funcia g esteinversa funciei i se noteazcu -1.

2) (x) = y x=

-1

(y)3) este bijectiv este inversabil.


16/120

16

V. Fie :AB si g: BC, doufuncii.

1) Dacsi g sunt injective, atunci g o este injectiv.2) Dacsi g sunt surjective,atunci g o este surjectiv.

3) Dacsi g sunt bijective, atunci g o este bijectiv.4) Dac si g sunt (strict) crescatoare,atunci g o este(strict) crescatoare.5) Dacsi g sunt (strict) descrescatoare, atunci g o este(strict) descrescatoare.6) Dacsi g sunt monotone, de monotonii diferite,atuncig o este descrescatoare.

7)

Daceste periodic, atunci g o este periodic.8) Daceste par, atunci g o este par.9) Dacsi g sunt impare, atunci g o este impar,10) Daceste imparsi g par, atunci g o este par.

VI. Fie : AB si g:BC, doufuncii.

Dacg o este injectiv, atunci este injectiv.Dacg o este surjectiv, atunci g este surjectiv.Dac g o este bijectiv, atunci este injectiv si gsurjectiv.Dac,g: A B iar h: BC bijectivsi h o = ho ,atunci = g.

VII. Fie : AB si X,Y mulimi oarecare.Funcia este bijectiv, dac i numai dac oricare ar fi

funciileu,v: XA,din o u=o v, rezultu=v.Funcia este surjectiv, daca i numai dac oricare ar fi

funciile u,v :BY, din u o = vo , rezultu=v


17/120

17

VIII.1)Dac :AB este strict monoton,atunci este injectiv.2) Daca : RR este periodic i monoton, atunci este

constant.3) Daca : RR este bijectiv i impar,atunci -1 esteimpar.4) Fie A finit i :AA. Atunci este injectiv estesurjectiv.

IX. Fie : E F, atunci

1)injectiv () g : F E (surjectiv) a.i. g o =1E.2) surjectiv() g : EF (injectiv) a.i. o g =1F3) bijectiv inversabil.

X. Fie : E F.1)Funcia este injectivdaci numai dac() A,B E

(A B) = (A) (B).

2) Funcia este surjectiv dac i numai dac () B FexistA E, astfel nct (A)=B.3) Funcia este injectivdac(A B)=(A) (B),A, B E.

XI. Fie : E F si AE, B E, atunci(A) ={yF xA a.i. (x)=y}

-1

(B) = {x E (x)B}.

1.Fie : EF si A,B E, atuncia) A B => (A) (B),b) (A B)= (A) (B),c) (A B) (A) (B),d) (A) (B) (A B).


18/120

18

2.Fie : E F si A,B F atunci

a) A B => -1(A) -1(B),b)-1(A) -1(B) --1(A B),

c)-1

(A) -1

(B) = -1

( A B),d) -1(A) -1(B) = -1(A B),e) -1(F) = E.

Funcia de gradul al doilea

Forma canonica funciei f:RR,

0,,,,)( 2 ++= aRcbacbxaxxf este

Rxaa

bxaxf

+= ,

42)(

2

;

Graficul funcieieste o parabolde vrf

aa

bV

4

,

2

, unde

acb 42 = 0a f este convex;

0 ; x1,x2Cf(x) >0, Rx ;

aa

bV

4,

2- punct

de minim;


19/120

19

0= , x1=x2R

f(x) 0, Rx ;

f(x)=0

a

bx

2

=

Rxx 21,0 f(x) 0,),[],( 21 + xxx ;

f(x)


20/120

20

a


21/120

21

Pentru

a

bx

2, funcia este strict cresctoare;

Pentru ),,2

[ +a

bx funcia este strict descresctoare.

6. NUMERE COMPLEXE

1. NUMERE COMPLEXE SUB FORMALGEBRIC

=+== 1,,, 2iRbaibazzC

- mulimea numerelor complexe.z=a+ib=Re z+Im z

OPERAII CU NUMERE COMPLEXE

Fie idczibaz +=+= 21 , . Atunci:

1. dbsicazz === 21 .

2. ).()(21 dbicazz +++=+ 3. ).()(21 cbdaidbcazz ++=

4. ,1 ibaz = conjugatul lui 1z

5.2222

2

1

dc

dacbi

dc

dbca

z

z

+

++

+=

6.2222

1

1

ba

bi

ba

a

z +

+= .


22/120

22

PUTERILE LUI i

1. 14 =ki ;2. ii k =+14 ;

3. 124

=+k

i ;4. ii k =+34 ;

5. ii

ii

in

n === 1

,1 1 ;

6.

===

imparni

parniiii

n

n

nnnn

,

,)1()(

PROPRIETILE MODULULUI

22 baz += - modulul nr. complexe

1. 00,0 == zzz 2. 2zzz = 3. zz=

4. 2121 zzzz =

5. 0, 22

1

2

1 = zz

z

z

z

6. 212121 zzzzzz + 7.nn zz =

8. zzzRzCz == 0Im;

ECUAII:

++

++=

+=+=

22

2222

2,1

2,12

baai

baaz

ibazibaz

+ dacb pozitiv; - dacb negativ


23/120

23

02

04

2

40

2,1

2

2

2,12

=

=

==++

dacaa

ibx

sauacbdaca

a

acbbxcbxax

NUMERE COMPLEXE SUB FORMGEOMETRIC

Forma trigonometrica numerelor complexe:

z= )sin(cos i+ ,

=+=

IVba

IIIIIba

Iba

kk

a

barctg

),(,2

,),(,1

),(,0

,

= 22 baz += se numete raza polara lui z

Fie z1= )sin(cos 111 i+ i z2= )sin(cos 222 i+ ;

z1=z2 kiaZkexistasi +== 2121 .,

)sin()[cos( 21212121 +++= izz

)sin(cos 1111 iz =


24/120

24

)]sin()[cos(11

1111

+= iz

[ ])sin()cos( 12121

2

1

2

+= i

z

z

Rnninz nn += ),sin(cos 1111

1,0),2

sin2

(cos 1111 +

++

= nkn

ki

n

kz nn

7. FUNCTIA EXPONENTIAL

Def. f: R(0,), f(x)= 1,0, aaax

Daca 1 f este strict cresctoare21

21xx

aaxx Daca ( ) 1,0 f este strict descresctoare

21

21xx

aaxx Proprieti:Fie a,b ( ) Ryxba ,,1,,,0


25/120

25

( )

( )

x

x

x

x

xx

yx

y

x

yxyx

yxx

yxyx

adefinestesenuapentru

aaa

a

bb

a

b

a

aaa

a

aa

aaba

aaa

,0

0,

1

1

0,

0,

0

=

=

=

=

=

=

=

+

Tipuri de ecuaii:

1. a bxfbaab axf log)(0,1,0,)( ==

2. a )()(1,0,)()( xgxfaaa xgxf == 3. a bxgxfbabab a

xgxf log)()(1,,0,,)()( == 4. ecuaii exponeniale reductibile la ecuaii algebrice printr-osubstituie.5. ecuaii ce se rezolvutiliznd monotonia funcieiexponeniale.

Inecuaiia>1, )()()()( xgxfaa xgxf

a )()()1,0( )()( xgxfaa xgxf


26/120

26

FUNCTIA LOGARITMIC

Def: f:(0,) R, f(x)= xalog , 1,0 aa ,x>0

Daca 1 f este strict cresctoare

2121 loglog xxxx aa Daca ( ) 1,0 f este strict descresctoare

2121 loglog xxxx aa Proprieti:Fie a,b ( ) Rmyxcbac ),,0(,,1,,,,0

yxy

x

yxyx

xyxa

aaa

aaa

a

y

logloglog

logloglog

log0

=

+===


27/120

27

.1log,01log

,

log

log

1,

log

loglog

loglog,log

logloglog

==

==

==

==

a

axca

a

ba

bb

bmbma

aa

xac

b

ac

ca

a

m

a

m

a

abb

Tipuri de ecuaii:

1. bxf xfxgfgfbxg )()(1,0,,)(log )( ==

2. )()()(log)(log xgxfxgxf aa ==

3. )(log)()(log)(log xgbabaxfxgxf ==

4. ecuaii logaritmice reductibile la ecuaii algebrice printr-osubstituie.5. ecuaii ce se rezolvutiliznd monotonia funciei logaritmice.

Inecuaii

a>1, )()()(log)(log xgxfxgxf aa a )()()(log)(log)1,0( xgxfxgxf aa


28/120

28

8. BINOMUL LUI NEWTON

n 1664 Isaac Newton (1643-1727) a gsit urmtoarea formulpentru dezvoltarea binomului (a+b)n. Dei formula era cunoscutncdinantichitate de ctre matematicianul arab Omar Khayyam (1040-1123),Newtona extins-o i pentru coeficieni raionali.

TEOREM: Pentru orice numr natural n i a i b numere realeexistrelaia:

( ) nnnkknk

n

n

n

n

n

n

n

nbCbaCbaCbaCaCba ++++++=+ ...............222110

(1)

Numerele nnnn CCC ,....,,10 se numesc coeficienii binomiali ai

dezvoltrii;Este necesar sse facdistincie ntre coeficientul unui termenal dezvoltrii i coeficientul binomial al acelui termen.Exemplu: (a+2b)4= a4+ 4a 3 .2b+..

Coeficientul celui de-al doilea termen este 8 iarcoeficientul binomial este C4

1 =4;Pentru (a-b)navem urmtoarea forma binomului lui Newton:

( ) nnnnkknk

n

kn

n

n

n

n

n

nbCbaCbaCbaCaCba )1(.....)1(...........222110 ++++=

(1)

Proprieti:

1. Numrul termenilor dezvoltrii binomului (a+b)neste n+1;Dac n=2k coeficientul binomial al termenului din mijloc al dezvoltrii

este Cnk

i este cel mai mare.Dacn=2k+1 Cnki Cnk+1sunt egali i sunt cei mai mari;Cn

oCn

n daca n este par, n=2k


29/120

29

Cno


30/120

30

9. Vectori i operaii cu vectori

Definiie:Se numete segment orientat, o pereche ordonatde

puncte din plan;Se numete vector, mulimea tuturor segmentelor

orientate care au aceeai direcie, aceeai lungime i acelaisens cu ale unui segment orientat.Observaii:

Orice vector AB se caracterizeazprin:- modul(lungime,norm), dat de lungimea segmentului

AB;- direcie, datde dreapta AB sau orice dreaptparalel

cu aceasta;- sens, indicat printr-o sgeatde la originea A la

extremitatea B.

Notaii: AB vectorul cu originea A i extremitatea B;2

02

0 )()( yyxxAB += - modulul vectorului AB undeA(x0,y0), B(x.y).Definiie:Se numesc vectori egali, vectorii care au aceeai direcie,acelai sens i acelai modul. Doi vectori se numesc opui dacau aceeai direcie, acelai modul i sensuri contrare:

-AB = A .Adunarea vectorilor se poate face dupregula triunghiului saudupregula paralelogramului:


31/120

31

Rvsauv === ,000

vvvvDaca = ,0,0 are direcia i sensul

vectorului v dac 0 i sens opus lui v dac 0 .Definiie:Doi vectori se numesc coliniaridaccel puin unul este nul saudacamndoi sunt nenuli i au aceeai direcie. n caz contrarse numesc necoliniari.

vectori coliniari vectori necoliniari

Teorem:

Fie 0u i v un vector oarecare.

Vectorii u i v sunt coliniari uviaR = .. .


32/120

32

Punctele A, B, C sunt coliniare

ACABiRacoliniarisuntACsiAB = .. .

CDsiABCDAB sunt coliniari;

Dacu i v sunt vectori necoliniari atunci

00.., ===+ yxvyuxiaRyx .

Teorem: Fie a i b doi vectori necoliniari. Oricare ar fi

vectorul v , exist )(, uniceR astfel nct bav += .

Vectorii a i b formeazo baz., se numesc coordonatele vectorului v n baza ba, .

Definiie:Fie XOY un reper cartezian. Considerm punctele A(1,0),

B(0,1). Vectorii OBjsiOAi == se numesc versorii axelor

de coordonate. Ei au modulul egal cu 1, direciile axelor isensurile semiaxelor pozitive cu OX i OY.

Baza ji, se numete bazortonormat.


33/120

33

jyixBABAv +=+= '''''' x=xB- xA, y=yB- yA

jvprivprv OYOX += 22 )()( ABAB yyxxAB +=

Teorem:Fie )','(),,( yxvyxu . Atunci:

1) u + v are coordonatele (x+x.y+y);

2) vR , are coordonatele (x, y);

3) )','(),,( yxvyxu sunt coliniari

.0''.0',',''

=== yxxyyxky

y

x

x

4) Produsul scalar a doi vectori nenuli.

].,0[,),(cos == vumundevuvu

2222 )'()'(

''cos

yxyx

yyxx

++

+=

0],2

(;0]2

,0[ vuvu

Fie )','(),,( yxvyxu nenuli. Atunci:

.0''0 =+= yyxxvuvu

.0;1

.00

.,0

2

===

==

=

jijjii

uuu

uuuu

Vectori de poziie. Dac BA rr ,

sunt vectori de poziie, atunci: AB rrAB =


34/120

34

10. Funcii trigonometrice

Semnul funciilor trigonometrice:

Sin: [ ]1,12

,2

arcsin:[-1,1]

2,2

Cos: [ ] [ ]1,1,0

arccos:[-1,1] [ ],0


35/120

35

Tg: R

2,

2

arctg:R

2,

2

Reducerea la un unghi ascuitFie u )

2,0(

Notm sgn f= semnul funciei f; cof = cofuncia lui f

=

==

imparkuukf

parkuukf

uk

,cos)2

(sgn

,sin)2

(sgn

2sin

Analog pentru

celelalte;

n general,

=

==

imparkucofukf

parkufukf

ukf

),()2

(sgn

),()2

(sgn)

2(


36/120

36

Ecuaii trigonometriceFie x un unghi, a un numr real i k Z .

]1,0[,arcsin)1(1,sin +== adackaxaax k

= ]0,1[,arcsin)1(1

+ +

adackak

]1,0[,2arccos1,cos +== adackaxaax

= ]0,1[,)12(arccos ++ adacka karctgaxRaatgx +== ,

kaxax k +== )1()arcsin(sin kaxax 2)arccos(cos +==

kaxatgxarctg +==)(

kxgxfxgxf k +== )()1()()(sin)(sin kxgxfxgxf 2)()()(cos)(cos +==

Zkkxgxfxtggxtgf +== ,)()()()(

Ecuaii trigonometrice reductibile la ecuaii care conin aceeaifuncie a aceluiai unghi;Ecuaii omogene n sin x i cos x de forma: asin x+bcos x=0; asin2x+bsin x .cos x+ ccos2x=0Ecuaii trigonometrice care se rezolvprin descompuneri n factori;Ecuaii simetrice n sin x i cos x;Ecuaii de forma:

=+=++a

cxtgxacxbxa cossin:0cossin

ka

cx k +=+ )cosarcsin()1(

22cossin baxbxa ++ Observaie important:Prin ridicarea la putere a unei ecuaii

trigonometrice pot aprea soluii strine iar prin mprirea unei ecuaiitrigonometrice se pot pierde soluii;


37/120

37

FORMULE TRIGONOMETRICE

1.

2

222

cos1sin

;sin1cos1cossin

===+ R

2.

;cos

11

cos

cos1

sin1

sin2

22

2

=+

=

= tgtg

3.;1sin;1

1

cos 22

tg

tg

tg +=+=

4. sinsincoscos)cos( =+ ;5. sinsincoscos)cos( += ;6. cossincossin)sin( +=+ ;7. cossincossin)sin( = ;

8. ;

1

)(;

1

)(

tgtg

tgtgtg

tgtg

tgtgtg

+

=

+=+

9.

;1

)(;1

)(

ctgctg

ctgctgctg

ctgctg

ctgctgctg

+

=+

=+

10. ;cossin22sin =

11. 2222 sin211cos2sincos2cos ===

12.2

2cos1sin;

2

2cos1cos 22

=+= ;

13. ;2

cos1

2sin;

2

cos1

2cos

=

+=

14.

cos1

cos1

2;

cos1

cos1

2 +

=+

= ctgtg

15. ;2

12;

1

22

2

2

ctg

ctgctg

tg

tgtg

=

=


38/120

38

16. ;

22

21

;

21

22 2

2

tg

tg

ctg

tg

tg

tg

=

=

17.

;13

33;cos3cos43cos

31

33;sin4sin33sin

2

33

2

33

==

==

ctg

ctgctgctg

tg

tgtgtg

18. ;

2

1

sin

cos1

cos1

sin

2

ctg

tg =

=

+

=

19. ;

21

21

cos;

21

22

sin2

2

2

tg

tg

tg

tg

+

=

+=

2cos2sin2sinsin baba

ba

+=+

2cos

2sin2sinsin

bababa

+

=

2sin

2sin2coscos baba

ba

+

=

2cos2sin2coscos baba

ba

+

=+

ba

batgbtga

coscos

)sin(

= ba

bactgbctga

sinsin

)sin(

+

=+

ba

abctgbctga

sinsin)sin(

=

ba

batgbtga

coscos

)sin(

+

=+


39/120

39

2)cos()cos(coscos bababa ++=

)11arcsin(arcsinarcsin 22 xyyxyx +=+

arcsin x+arccos x=2 arctg x +arcctg x=

2

arctg x+arctg2

1 =

x arccos(-x)=-arccos x

2

)sin()sin(cossin

bababa

++=

2

)cos()cos(sinsin

bababa

+=


40/120

40

11. ECUAIILE DREPTEI N PLAN

1. Ecuaia carteziangenerala dreptei:ax+by+c=0 (d)

Punctul M(x0,y0) 000 =++ cybxad 2. Ecuaia dreptei determinatde punctele A(x1,y1), B(x2,y2):

12

1

12

1

xx

xx

yy

yy

=

3. Ecuaia dreptei determinat de un punct M(x0,y0) i odirecie dat( are panta m)

y-y0=m(x-x0)4. Ecuaia explicita dreptei (ecuaia normal):

y=mx+n, unde12

12

xx

yytgm

== este panta

dreptei i n este ordonata la origine.5. Ecuaia dreptei prin tieturi: .0,,1 =+ ba

b

y

a

x

6. Fie (d): y=mx+n i (d): y=mx+nDreptele d i d sunt paralele m=mi n n.Dreptele d i d coincid m=mi n=n.

Dreptele d i d sunt perpendiculare mm= -1.Tangenta unghiului a celor dou drepte este

'1

'

mm

mmtg

+

=

7. Fie d: ax+by+c=0 i d: ax+by+c=0 cu a,b,c .0 i)',( ddm=

Dreptele d i d sunt paralele ''' c

c

b

b

a

a=


41/120

41

Dreptele d i d coincid ''' c

c

b

b

a

a==

Dreptele d i d sunt concurente '' b

b

a

a

ab-ba .0

2222 ''

''

'

'cos

baba

bbaa

vv

vv

++

+=

= unde

)','('),,( abvabv sunt vectorii directori ai dreptelord i d.

Dreptele d i d sunt perpendiculare,0''' =+ bbaadd

8. Fie punctele A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3), D(x4,y4) n plan.Dreptele AB i CD sunt paralele, AB|| CD

CDABaR = .*, sau mAB=mCD.Dreptele AB i CD sunt perpendiculare,

0= CDABCDAB

Condiia ca punctele A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3) s fiecoliniare este:

12

13

12

13

xx

xx

yy

yy

=

9. Distana dintre punctele A(x1,y1)i B(x2,y2) este

( ) ( )2

12

2

12 yyxxAB += Distana de la un punct M0(x0,y0) la o dreapt h de ecuaie(h): ax+by+c=0 este datde:

22

000 ),(

ba

cbyaxhMd

+

++= .


42/120

42

12. CONICE1.CERCUL

Definiie: Locul geometric al tuturor punctelor din plan egal deprtate de unpunct fix, numit centru se numete cerc.

}|),({),( rOMyxMrOC == 1.Ecuaia generala cerculuiA(x + y) + Bx + Cy + D = 0

2.Ecuaia cercului de centru: O(a, b) respectiv O(0, 0) si raza r(x - a) + (y + b) = r ; x + y = r3. Ecuaia cercului de diametru A(x1;y1), B(x2; y2)(x - x1)(x - x2) + ( y- y1)(y - y2) = 04.Ecuaia tangentei dupo direcie

O(0,0) : y = mx r m1+ O(a,b) : y-b = m(x-a) r m1+ 5.Ecuaia tangentei n punctul M(x0, y0)

(x x0) + (y y0) = r respectiv(x - a)(x0 - a) + (y - b)(y0 - b) = r6.Ecuatia normala a cercului


43/120

43

x + y + 2mx + 2ny + p = 0 cuO(-m; -n) i r = m + n - p7.Ecuaia tangentei n punctul M(x0,y0)x x0+ yy0+ m(x + x0) + n(y + y0) + p = 08.Distanta de la centrul cercului O(a, b) la dreapta de ecuaie

y = mx + n este

d(0,d) =1

||

++

m

nbma sau (

|| 00

ba

cbyaxd

++

= +

)

9.Ecuaiile tangentelor din punctul exterior M(x0, y0)I.Se scrie ecuaia 4 i se pune condiia ca M saparincercului deecuaie 4.II.y - y0= m(x - x0)

x + y = r , =0

2. ELIPSA

Definiie:Locul geometric al punctelor din plan care au sumadistanelor la doupuncte fixe, constant, se numete elips.

F,F- focare, FF distana focalE={ }aMFMFyxM 2'),( =+ MF,MF- raze focale1.Ecuaia elipsei


44/120

44

1

=+

b

y

a

x , b = a - c

2.Ecuaia tangentei la elips

y = mx bma + 3.Ecuaia tangentei n punctul M(x0, y0) la elips

1

00=

+

b

yy

a

xx ,

0

0

y

x

a

bm =

4.Ecuaiile tangentelor dintr-un punct exterior M(x0, y0) laelips

VAR I Se scrie ecuaia 2 i se pune condiia ca M saparinelipsei de ecuaie 2 de unde rezultmVAR IISe rezolvsistemul y y0= m(x-x0)

,cu conditia = 0

3. HIPERBOLA

Definiie:Locul geometric al punctelor din plan a crordiferenla doupuncte fixe este constant, se numetehiperbol

1

=+

b

y

a

x


45/120

45

H: = { M(x,y) | |MF MF| = 2a }

y = xa

b --ecuaia asimptotelor

1.Ecuaia hiperbolei

1

=

b

y

a

x , b = c - a ;

Daca a = b => hiperbola echilateral

2.Ecuaia tangentei la hiperboly = mx bma

3. Ecuaia tangentei n punctul M(x0, y0)

1

00=

b

yy

a

xx ,

0

0

y

x

a

bm =

4.Ecuaiile tangentelor dintr-un punct exterior M(x0, y0)VAR I.Se scrie ecuaia 2 si se pune condiia ca M saparin

hiperbolei de ecuaie 2, de unde rezultm.VAR II.Se rezolva sistemuly - y0= m(x - x0)

1

=

b

y

a

x , cu = 0

4. PARABOLA

Definiie:Locul geometric al punctelor egal deprtate de un punctfix, (numit focar) i o dreaptfix(numitdirectoare), se numeteparabol.


46/120

46

P: = { M(x, y) | MF = MN }

(d): x =2p ( locul geometric al punctelor din plan de unde putem

duce tangente la o parabol).1.Ecuaia paraboleiy = 2px2.Ecuaia tangentei la parabol

y = mx +

m

P

2

3.Ecuaia tangentei n M (x0, y0)yy0= p(x + x0)4.Ecuatia tangentelor dintr-un punct exterior M(x0, y0)VAR I. Se scrie ecuaia 2 i se pune condiia ca M (ecuatia 2) =>mVAR II.Se rezolvsistemuly - y0= m(x - x0)y = 2px cu = 0


47/120

47

13. ALGEBRA LINIAR

1. MATRICE.

Adunarea matricelor

++++

=

+

tdzc

ybxa

tz

yx

dc

ba

=

taza

yaxa

tz

yxa

nmulirea matricelor

++++

=

tdyczdxc

tbyazbxa

tz

yx

dc

ba

Transpusa unei matrice

=

db

ca

dc

ba T

2. DETERMINANI.

cbdadcba = ;

dbiahfgecfbgchdiea

ihg

fed

cba

++=

Proprieti:1. Determinantul unei matrice este egal cu determinantulmatricei transpuse;2. Dactoate elementele unei linii (sau coloane) dintr-o matricesunt nule, atunci determinantul matricei este nul;3. Dacntr-o matrice schimbm doulinii(sau coloane) ntreele obinem o matrice care are determinantul egal cu opusul

determinantului matricei iniiale.4. Daco matrice are doulinii (sau coloane) identice atuncideterminantul su este nul;


48/120

48

5. Dactoate elementele unei linii(sau coloane) ale uneimatrice sunt nmulite cu un element a, obinem o matrice alcrei determinant este egal cu a nmulit cu determinantulmatricei iniiale.

6. Dacelementele a doulinii(sau coloane) ale unei matricesunt proporionale atunci determinantul matricei este nul;7. Dacla o matrice ptraticA de ordin n presupunem c

elementele unei linii i sunt de forma'''

ijijij aaa += atunci det A = det A +det A;8. Daco linie (sau coloan) a unei matrice ptratice este ocombinaie liniarde celelate linii(sau coloane) atunci

determinantul matricei este nul.9. Dacla o linie (sau coloan) a matricei A adunmelementele altei linii (sau coloane) nmulite cu acelai elementse obine o matrice al crei determinant este egal cudeterminantul matricei iniiale;10. Determinantul Vandermonde:

))()((

111

222bcacab

cbacba = ;

11. Dacntr-un determinant toate elementele de deasupradiagonalei principale sau de dedesubtul ei sunt egale cu zero,atunci determinantul este egal cu fca ;

fcafed

cb

a

=0

00

12. Factor comun

rvu

pnm

zyx

ba

rvu

pbnbmb

zayaxa

=


49/120

49

3.Rangul unei matrice

Fie A )(, CM nm , rN, ),min(1 nmr .Definiie: Se numete minor de ordinul r al matricei A,determinantul format cu elementele matricei A situate laintersecia celor r linii i r coloane.Definiie: Fie A nmO , o matrice . Numrul natural r esterangul matricei A exist un minor de ordinul r al lui A,nenul iar toi minorii de ordin mai mare dect r+1 (dacexist)

sunt nuli.Teorema: Matricea A are rangul r exist un minor deordin r al lui A iar toi minorii de ordin r+1 sunt zero.Teorema: Fie A )(),( ,, CMBCM snnm . Atunci orice minorde ordinul k , ),min(1 smk al lui AB se poate scrie ca ocombinaie liniarde minorii de ordinul k al lui A (sau B).Teorema: Rangul produsului a doumatrice este mai mic sau

egal cu rangul fiecrei matrice.Definiie: )(CMn . A este inversabil det A 0.( A estenesingular).Teorema: Inversa unei matrice dacexisteste unic.Observaii: 1) det (AB) =det A det B.

2) *det

11 AA =

( 1,))1((* + = AdAAA jiijji )3) A-1 )(ZMn det A = 1 .

Stabilirea rangului unei matrice:Se ia determinantul de ordinul k-1 i se bordeaz cu o

linie (respectiv cu o coloan). Dacnoul determinant este nulrezult c ultima linie(respectiv coloan )este combinaieliniarde celelalte linii (respectiv coloane).


50/120

50

Teorema: Un determinant este nul una din coloanele(respectiv linii) este o combinaie liniar de celelaltecoloane(respectiv linii).Teorema: Rangul r al unei matrice A este egal cu numrul

maxim de coloane(respectiv linii) care se pot alege dintrecoloanele (respectiv liniile) lui A astfel nct nici una dintre elesnu fie combinaie liniara celorlalte.

4. Sisteme de ecuaii liniare

Forma general a unui sistem de m ecuaii cu n necunoscuteeste:

(1

=+++

=+++

mnmnmm

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

..........

........................................................

2211

11212111

sau

==

n

j

jijxa1

ib

Unde A (aij) mi1 , nj1 - matricea coeficienilornecunoscutelor.

Matricea

=

mmnm

n

baa

baa

A

....

...

...

1

1111

se numete matricea extins

a sistemului.

Definiie: Un sistem de numere n ,......., 21 se numetesoluie a sistemului (1)

miba i

n

j

jij ,1,1

===

.

Definiie:- Un sistem se numete incompatibil nu are soluie;- Un sistem se numete compatibil are cel puin o soluie;- Un sistem se numete compatibil determinat are osingur soluie;


51/120

51

- Un sistem se numete compatibil nedeterminat are oinfinitate de soluii;

Rezolvarea matriceal a unui sistemFie A, )(CMB n .

njbaA

XBAXBXAA i

n

i

ijj ,1,det

1

1

11 ==== =

.

Rezolvarea sistemelor prin metoda lui Cramer:

Teorema lui Cramer: Dacdet A 0not , atunci sistemul

AX=B are o soluie unic Xi=i .

Teorema lui Kronecker- Capelli: Un sistem de ecuaii liniareeste compatibil rangul matricei sistemului este egal curangul matricei extinse.

Teorema lui Rouche: Un sistem de ecuaii liniare estecompatibil toi minorii caracteristici sunt nuli.

Notm cu m-numrul de ecuaii;n- numrul de necunoscute;r -rangul matricei coeficienilor.

I m=n=r Sistem compatibildeterminat

0

II m=r n Sistem compatibilnedeterminat

Minorulprincipal estenenul

III n=r m

Sistem compatibildeterminat sau

Dactoiminoriicaracteristicisunt nuli


52/120

52

Sistemincompatibil

Existcelpuin un minorcaracteristicnenul

IV mrnr , Sistem compatibilnedeterminat sau Dactoiminoriicaracteristicisunt nuli

Sistemincompatibil

Existcelpuin un minorcaracteristicnenul

Teorema: Un sistem liniar i omogen admite numai soluiabanal 0


53/120

53

14. SIRURI DE NUMERE REALE

1. Vecinti. Puncte de acumulare.

Definiia 1: Se numete ir , o funcie f : N R definitprin f(n) =a n .

Notm ( ) ..,.........,,....,.........,,: 321210 aaasauaaaa Nnn Orice ir are o infinitate de termeni; a n este termenul general al

irului ( )Nnn

a .

Definiia 2 : Dou iruri ( ) Nnna , ( ) Nnnb sunt egaleNknba nn = ,

Definiia 3: Fie a R. Se numete vecintate a punctului aR, omulime V pentru care >0 i un interval deschis centrat n a deforma (a- , a+ ) V.Definiia 4: Fie D R. Un punct se numete punct deacumulare pentru D dacn orice vecintate a lui existcel puin

un punct din D-{ } V (D-{ } ) . Un punct xD care nu epunct de acumulare se numete punct izolat.

2. iruri convergente

Definiia 5: Un ir ( )Nnn

a este convergent ctre un numr a dacn orice vecintate a lui a se afltoi termenii irului cu excepia

unui numr finit i scriem a n an sau =naanlim

a se numete limita irului .Teorema 1: Dacun ir e convergent , atunci limita sa este unic.Teorema 2: Fie ( )

Nnna un ir de numere reale. Atunci:

( )Nnn

a este monoton cresctor a n Nnan + ,1 sau

1,0

1

1

+

+n

n

nn a

a

sauaa ;


54/120

54

( )Nnn

a este stict cresctor a n Nnan + ,1 sau

1,0 11 +

+n

nnn

a

asauaa ;

( )Nnn

a

este monoton descresctor an

Nnan

+

,1

sau

1,0 11 +

+n

nnn

a

asauaa ;

( )Nnn

a este strict descresctor a n Nnan + ,1 sau

1,0 11 +

+n

nnn

a

asauaa .

Definiia 6. Un ir ( ) Nnna este mrginit M R astfelnct Man sau

nanctastfelR, .Teorema 3: Teorema lui Weierstrass: Orice ir monoton imrginit este convergent.Definiia 7: Dacun ir are limitfinit irul este convergent.

Dacun ir are limitinfinit + sau irul estedivergent.Teorema 4: Orice ir convergent are limitfiniti este mrginit darnu neaprat monoton.Teorema 5: Lema lui Cesaro:Orice ir mrginit are cel puin un subir convergent.Definiia 8: Un ir e divergent fie dacnu are limit, fie dacare o

limitsau dacadmite dousubiruri care au limite diferite.OBS: Orice ir cresctor are limitfinitsau infinit.

Teorema 6: Dac ( )Nnn

a *

+R este un ir strict cresctor i

nemrginit atunci

=+=

n

aa

n

n 01

limlim. Un ir

descresctor cu termenii pozitivi este mrginit de primul termen i de

0.


55/120

55

3. Operaii cu iruri care au limit

Teorema 7: Fie ( )Nnn

a , ( ) Nnnb iruri care au limit:a n an , b n bn .

Dacoperaiilea+b,ab

itauab

abaababa

irurileatuncisensauab

a

nb

n

n

nnnnnnnn

b

lim,,,,,

,

+ .

lim( nn ba + )= lim na +lim nb ;lim( nn ba )=lim na .lim nb ;n n n

lim( na )=lim na ; limn

n

n

n

b

a

b

a

lim

lim=

lim nn bnb

n aalim)(lim=

( ) ( )nana aa limlogloglim = k

nk

n aa limlim =

Prin convenies-a stabilit: +=; a+=,aR; a+(-)=-; -+(-)=-; a=,a>0;a=-,a


56/120

56

Dac nnnnn abiba

Dac aaaannnn

.

Dac 00 nnnn aa .

Teorema 9: Dac irul ( )Nnn

a este convergent la zero,

iar( )Nnn

b este un ir mrginit, atunci irul produs nn ba esteconvergent la zero.

4. Limitele unor iruri tip

=

=

1,

1,

1,1

)1,1(,0

lim

qdacexistnu

qdac

qdac

qdac

q n

n

( )

=+++

0,

0,....lim

0

0110

a

aanana p

pp

n

=

=+++

+++

.0,

0,

,

,0

.....

.......lim

0

0

0

0

0

0

110

110

baiqpdac

b

aiqpdac

qpdacb

a

qpdac

bnbnb

anana

q

qq

p

pp

n


57/120

57

lim ......71,21

1 =

+ e

n

n

lim ex

nx

n

=

+

11

n x n

lim ( ) ex nxn =+1

1 lim 1sin

=n

n

x

x

x n 0 x n 0

lim 1arcsin

=n

n

x

x lim 1=

n

n

x

tgx

x n 0 x n 0

lim 1=n

n

x

arctgx lim 1

1ln( ) =+

n

n

x

x

x n 0 x n 0

lim ax

a

n

xn

ln1

=

lim( )

rx

x

n

r

n =+ 11

x n 0 x n 0

lim =pn

x

x

e n

lim 0ln

=p

n

n

x

x

x n x n


58/120

58

15. LIMITE DE FUNCII

Definiie: O funcie f:D RR are limitlateralla stnga (respectiv la dreapta) n punctul de acumulare

slexistx0 R (respectiv dl R) a. . lim f(x)= sl ,

(respectiv lim f(x) = dl ).

0

0

xx

xx

0

0

xx

xx

Definiie: Fie f:D RR , Dx 0 un punct de acumulare.Funcia f are limitn )()( 000 xlxlx ds =

Proprieti:1. Daclim f(x) exist, atunci aceastlimiteste unic.

0xx

2. Daclim f(x) =l atunci0

.)(lim

xx

lxf

=

0xx Reciproc nu.

3. Dac0

0)(lim0)(lim

xx

xfxf

==

4. Fie f,g:D RR , U o vecintate a lui Dx 0 astfelnct f(x) g(x) { }0xUDx i dacexist

00 ,

)(lim),(lim

xxxx

xgxf

00

)(lim)(lim

xxxx

xgxf


59/120

59

5. Dac { }

.)(lim)(lim)(lim

)()()( 0

lxglxhxf

ixUDxxhxgxf

===

xx0 xx0 xx06.

Dac

{ }

lxfxg

ixUDxxglxf

==

)(lim0)(lim

)()( 0

7.

0)()(lim

)(..00)(lim

=

=

xgxf

MxgaMixfDac .

8.

.)(lim

(lim)()(

.)(lim

)(lim)()(

=

=

+=

+=

xf

xgixgxfDac

xf

xgixgxfDac

OPERAII CU FUNCII

112

1212121

21

,,,,,

)(lim,)(lim

2 lll

llllllloperatiilesens

auilxglxfexistDac

l+

==

atunci:1. lim(f(x) g(x))= 21 ll .2. limf(x)g(x)= 21 ll


60/120

60

3.lim2

1

)(

)(

l

l

xg

xf=

4.lim 21)()( lxg lxf =

5.lim 1)( lxf =

P(X)=a0xn+ a1x

n-1 + ..+an,a0 0

limxnaxP )()(

0

=

0, dac q ( )1,1

limx

qx= 1, dac q=1

, dac q>1nuexist,

dac q 1


61/120

61

=

=+++

+++

.0,

0,

,

,0

.....

.......lim

0

0

0

0

0

0

110

110

b

aiqpdac

b

aiqpdac

qpdacb

a

qpdac

bxbxb

axaxa

q

qq

p

pp

x

a>1 =

x

x

alim 0lim =

x

x

a

a )1,0( 0lim =

x

x

a =

x

x

alim

a>1 =

xax

loglim =

xax

loglim0

a )1,0( =

xax

loglim =

xax

loglim0

lim0x

1sin

=x

x

( )

( )( )

1sin

lim0

= xu

xu

xu

lim0x

1=x

tgx

( )

( )

( )

1lim0

= xu

xtgu

xu

lim0x

1arcsin

=x

x

( )

( )( )

1arcsin

lim0

= xu

xu

xu

lim0x

1=x

arctgx

( )

( )( )

1lim0

= xu

xarctgu

xu

lim0x ( ) ex x =+

1

1 ( ) ( )( )

( ) exu xuxu

=+

1

0

1

lim


62/120

62

ex

x

x

=

+

11lim

( ) ( )

( )

01

1lim =

+

xu

xu xu

lim0x ( ) 11ln =+x x ( ) ( )( )( ) 11lnlim 0 =+ xu xuxu

lim0x

ax

axln

1=

( ) ( ) a

xu

a xu

xu

ln1)(

0lim =

lim0x

( ) rxx

r

=+ 11 ( )

( )( )( )

rxuxu

r

xu

=+

11lim0

0lim = x

k

x a

x

( )

( )( ) 0lim =

xu

k

xu a

xu

limx

0ln =kxx

( )( )

( )0lnlim =

k

xu xuxu


63/120

63

16. FUNCII CONTINUE

DEFINIIE. O funcie f : D R R se numete continu npunctul de acumularex0D oricare ar fi vecintatea V a luif(x0) ,

existo vecintate U a luix0,astfel nct pentru oricex U D f(x) V.

DEFINIIE. f : D R R este continunx0D fare limitnx0 i lim f(x) = f(x0)sau ls(x0) = ld(x0) = f(x0).

x0 se numete punct de continuitate.Dacfuncia nu este continunx0 f.se numete discontinu nx0

ix0se numete punct de discontinuitate. Acesta poate fi:- punct de discontinuitate de prima spedacls(x0), ld(x0)

finite, dar f(x0);- punct de discontinuitate de a doua spe dac cel puin o

limitlaterale infinitsau nu exist.

DEFINIIE. f este continu pe o mulime ( interval) estecontinun fiecare punct a mulimii ( intervalului).

Funciile elementare sunt continue pe domeniile lor dedefiniie.Exemple de funcii elementare: funcia constant c, funcia

identicx, funcia polinomialf(x) = a0xn+ a1x

n-1+ .......an, funcia

raionalf(x)/g(x), funcia radical n xf )( , funcia logaritmic logf(x), funcia putere xa, funcia exponenial ax, funciiletrigonometricesin x, cos x, tg x, ctg x.

PRELUNGIREA PRIN CONTINUITATE A UNEI FUNCIINTR-UN PUNCT DE ACUMULARE

DEFINIIE. Fief : D R R. Dacf are limital R n punctul de acumularex0D

f: D { x0} R, f(x) =

=

0,

),(

xxl

Dxxf


64/120

64

este o funcie continu n x0 i se numete prelungirea princontinuitate a luif nx0.

OPERAII CU FUNCII CONTINUE

T1. Dacf,g:DR sunt continue nx0( respectiv pe D) atuncif+g, f, fg,f/g, fg, f

sunt continue nx0 ( respectiv pe D); R, g 0.

T2. Dacf:DR e continu n x0D ( respectiv pe D) )(xf e

continun x0( respectiv pe D).Reciproca nu e valabil.

T3. Fie f:DR continu n n x0A i g:B A continu n x0B,atuncigf e continunx0A.

lim f( g (x) = f( lim g(x))

xx0 xx0

Orice funcie continucomutcu limita.

PROPRIETILE FUNCIILOR CONTINUE PE UN INTERVAL

LEM. Dacf este o funcie continupe un interval [ a,b] i dacarevalori de semne contrare la extremitile intervalului( f(a) ( f(b)


65/120

65

STABILIREA SEMNULUI UNEI FUNCII

PROP. O funcie continu pe un interval, care nu se anuleaz peacest interval pstreazsemn constant pe el.DEFINIIE. Fief : I R R( I = interval) f are proprietatea lui

Darboux.a,b I cu a


66/120

66

17. DERIVATE

FUNCIA DERIVATA

C 0x 1

xn nxn-1

xa axa-1

ax ax lna

ex ex

1 -2

1

x

nx

1

- 1+nxn

x

x2

1

n x n nxn 1

1

sin x cosx

cos x -sinxtg x

x2cos

1

ctg x -x2sin

1

arcsin x21

1

x


67/120

67

arccos x -21

1

x

arctg x21

1

x+

arcctg x -21

1+

lnxx

1

log a xax ln

1

(u

v

)

=

v. u

v-1

.u

+ u

v

.v

.lnu

f(x)=dcx

bax

++

f(x)= 2)( dcx

dc

ba

+

REGULI DE DERIVARE

(f.g)=fg+fg

( )'f = 'f '

gf = 2

''

gfggf

( ) ( ))(

1)(

0'0

'1

xfxff =


68/120

68

18. STUDIUL FUNCIILORCU AJUTORUL DERIVATELOR

Proprieti generale ale funciilor derivabile .

1.Punctele de extrem ale unei funcii.Fie un interval i f: R.

Definiie. Se numete punct de maxim (respectiv de minim)(local) alfunciei f , un punct a pentru care existo vecintate V a lui a astfel nct ( ) ( ) ( )( ) ( ) afxfrespectivafxf . x V.

Un punct de maxim sau de minim se numete punct de extrem.a se numete punct de maxim(respectiv de minim) global dac( ) ( ) ( ) ( )( )afxfrespafxf . . x .

Obs.1.O funcie poate avea ntr-un interval mai multe puncte deextrem.(vezi desenul).

Obs.2.O funcie poate avea ntr-un punct a un maxim (local), fra

avea n a cea mai mare valoare din interval.(vezi desenul( ) ( )cfaf < ).

-puncte de maxim

-puncte de minim

( )( ) ( )( )cfcafa ,,,

( )( ) ( )( )dfdbfb ,,,


69/120

69

TEOREMA LUI FERMAT

Dac f este o funcie derivabilpe un interval si0

0 Ix un punct

de extrem,atunci ( ) 00' =xf .

Interpretare geometric: Deoarece ( ) = 00

' xf tangenta la grafic n punctul ( )( )00 , xfx este paralelcu OX.Obs.1. Teorema este adevrati dacfuncia este derivabilnumain punctele de extrem.Obs.2. Condiia ca punctul de extrem 0x sfie interior intervalului

este esenial.

(dacar fi o extremitate a intervalului I atunci s-ar putea ca( ) 00

' xf ). Ex. ( ) .xxf = Obs.3. Reciproca T. lui FERMAT nu este adevrat.(se pot gsifuncii astfel nct ( ) 00

' =xf dar 0x snu fie punct de extrem).

Soluiile ecuaiei ( ) 0' =xf se numesc puncte critice . Punctele deextrem se gsesc printre acestea. Teorema lui Fermat dcondiii suficiente (dar nu si necesare)

pentru ca derivata ntr-un punct sfie nul.O altteoremcare dcondiii suficiente pentru ca derivata sseanuleze este :


70/120

70

TEOREMA LUI ROLLE.

Fie :f I R, ba, I, .ba< Dac:1.f este continupe [ ];,ba

2.f este derivabilpe ( )ba, ; 3. ( ) ( ),bfaf = atunci cel puin un punct ( )bac , a. ( ) .0' =cf

INTEPRETAREA GEOMETRICA

Dacfuncia f are valori egale la extremitile unui interval

[ ],,ba atunci existcel puin un punct n care tangenta este paralel

cu axa ox .

Consecina 1. ntre dourdcini ale unei funcii derivabile se aflcel puin o rdcina derivatei.Consecina 2. ntre dourdcini consecutive ale derivatei se aflcel mult o rdcina funciei.

TEOREMA LUI LAGRANGE (sau a creterilor finite)

Fie :f I R,I (interval, ba, I, .ba< Dac:1.f este continupe

[ ]ba,


71/120

71

2.f este derivabilpe ( ),,ba atunci existcel puin un punct( )bac , a. savem

( ) ( )( ).' cf

ab

afbf=

INTERPRETAREA GEOMETRIC

Dacgraficul funciei f admite tangentn fiecare punct(cu excepiaeventual,a extremitilor) existcel puin un punct de pe grafic(carenu coincide cu extremitile), n care tangenta este paralelcu coardacare unete extremitile.

( ) ( )ab

afbftg

= tangenta la grafic n M are coeficientul.

unghiular ( )cf ' dar

( ) ( ) ( )

ab

afbfcf

='

Obs.1. Daca ( ) ( ) = bfaf Teorema lui Rolle.

Consecina 1. Daco funcie are derivata nula pe un interval,atunciea este constanta pe acest interval. Daco funcie are derivata nula pe o reuniune disjuncta deintervale proprietate nu mai rmne adevratn general.

Expl. ( ) ( )3,21,0: f ( ) ( )( )

=

3,2,21,0,1

x

xxf


72/120


73/120

73

Dacfuncia este definitpe R se studiazlimita funciei la iar daceste definitpe un interval se studiazlimita la

capetele intervalului.4.Studiul primei derivate :a. Calculul lui f.b. Rezolvarea ecuaiei f(x)=0.Rdcinile acestei ecuaii vor fieventuale puncte de maxim sau de minim ale functiei ;c. Stabilirea intervalelor pe care semnul lui f este constant.Acestea reprezinta intervalele de monotonie pentru f.5.Studiul derivatei a doua :a.Se calculeazfb.Se rezolva ecuatia f(x)=0. Rdcinile acestei ecuaii vor fi

eventuale puncte de inflexiune ale graficuluic.Determinarea intervalelor pe care semnul lui f este constant.Astfel,pe intervalele pe care f>0 functia este convexi pecele pe care f


74/120

74

19. PRIMITIVE

Primitive. Proprieti.Fie I un interval din R.Definiia 1.Fie f: I R. Se spune cf admite primitive pe Idac F : I R astfel nct

a) F este derivabilpe I;b) F(x) =f(x), x I.

F se numete primitiva lui f. ( I poate fi i o reuniune finitdisjunctdeintervale).

Teorema 1.1 Fie f : I R. Dac RI:,21

sunt

douprimitive ale funciei f, atunci existo constantc Rastfel nct += ,)()(

21 cxx xI.

Demonstraie : Dac21

, sunt primitive atunci21

, sunt

derivabile )()(')( 2'

1 xfxxF == x I 0)(')()()(

2

'

1

'

21 == xxx FFF , x I.

cxx = )()(21

, c= constant

OBS 1. Fiind dato primitivF 0 a unei funcii, atunci orice primitivF a

lui f are forma F = 0F + c , c= constant

f admite o infinitate de primitive.OBS 2. Teorema nu mai rmne adevratdacI este o reuniune disjunctde intervale Expl: f: R- }{0 , f(x) = x

F =3

3x, G=

+

+

23

13

3

3

x

x

F, G sunt primitive ale lui f dar F-G nu e constant. Contradicie cu T 1.1OBS 3. Orice funcie care admite primitive are Proprietatea lui Darboux.Se tie cderivata oricrei funcii are Proprietatea lui Darboux , rezultc fare Proprietatea lui Darboux. F =f.


75/120

75

OBS 4. Dac I este interval i f(I) { }Ixxfdef /)( nu este interval

atunci f nu admite primitive.Dacpresupunem cf admite primitive atunci din OBS 3 rezultcf are Plui Darboux, rezultf(I) este interval ceea ce este o contradicie.OBS 5. Orice funcie continudefinitpe un interval admite primitive.

Definiia 2. Fie f: I R o funcie care admite primitive.Mulimea tuturor primitivelor lui f se numete integrala

nedefinita funciei f i se noteazprin simbolul )(xf dx.Operaia de calculare a primitivelor unei funcii(care admiteprimitive ) se numete integrare.

Simbolul a fost propus pentru prima dat de Leibniz, n1675.Fie F(I)= { }RIf : Pe aceastmulime se introduc operaiile:

(f+g)(x) =f(x)+ g(x) ,(f)(x)=.f(x) Rx ,constant

C= { }RfRIf /:

)(xf dx = fluiaprimitivFIFF /)( .

F

P.D P C


76/120

76

Teorema 1.2 Dac f,g:I R sunt funcii care admitprimitive i R, 0, atunci funciile f+g, f admitde asemenea primitive i au loc relaiile:

(f+g) =f +g, f=f, 0, f =f +C

Formula de integrare prin pri.

Teorema 1.1 Dac f,g:RR sunt funcii derivabile cuderivatele continue, atunci funciile fg, fg, fg admit

primitive i are loc relaia: f(x)g(x)dx =f(x)g(x)- f(x)g(x)dx

Formula schimbrii de variabil(sau metoda substituiei).Teorem: Fie I,J intervale din R i

:,:,: ileproprietatcufunctiiRJfJI

1)este derivabilpe I;2) f admite primitive. (Fie F o primitiva sa.)Atunci funcia (f o) admite primitive, iar funcia F o este oprimitiva lui (f o) adic:

( )( ) ( ) CFodtttf += '

5. Integrarea funciilor trigonometrice

Calculul integralelor trigonometrice se poate face fie folosindformula integrrii prin pri, fie metodasubstituiei. n acest cazse pot face substituiile:1. Dacfuncia este imparn sin x,R(-sin x,cos x)=-R(sin x,cos x) atunci cos x=t.2. Dacfuncia este imparn cos x,R(sin x,-cos x)=-R(sin x,cos x) atunci sin x=t.

3. Dacfuncia este par n raport cu ambele variabile R(-sin x,-cosx) atunci tg x=t.


77/120

77

4. Dac o funcie nu se ncadreaz n cazurile 1,2,3,atunci seutilizeazsubstituiile universale:

21

1cos,

1

2sin

2

2

2

xtgtunde

t

tx

t

tx =

+

=+

=

5. Se mai pot folosi i alte formule trigonometrice:sin 2x=2sin x .cos x,

2

2cos1cos

2

2cos1sin 22

xx

xx

+=

=

Integrarea funciilor raionale

Definiie: O funcie f:IR , I interval, se numete raionaldac

R(x)= ,,0)(,)()(

Ixxgxg

xf unde f,g sunt funcii polinomiale.

Dacgrad f grad g, atunci se efectueazmprirea lui f la g f=gq+r, 0 grad r


78/120

78

5. += Cedxe xx

6. Cxdxx += ln1

7. += Cctgxdxx2sin1

8. += Ctgxdxx

2

cos

1

9. += Cxxdx cossin

10. += Cxxdx sincos

11. Ca

xarctg

adx

ax +=+ 11 22

12. ++

=

Cax

ax

adx

axln

2

1122

13. Cxaxdxax

+++=+

)ln(1 22

22

14. ++=

Caxxdxax

22

22ln

1

15. +=

Ca

xdx

xaarcsin

122


79/120

79

16. Cxtgxdx += cosln

17. Cxctgxdx += sinln

18. Caxdxax

x++=

+ 2222

19. Caxdxax

x+=

2222

20. Cxadxxa

x

+=22

22

21. Caxxa

axx

dxax +++++=+ 222

2222 ln22

22. Caxxa

axx

dxax ++=

222

2222 ln

22

23. ++= Caxa

xax

dxxa arcsin22

22222

24. Cbaxa

dxbax

++=+ ln

11

25. Cabaxn

dxbax nn

++

=+

1

))(1(

1

)(

11

26.( )

( ) dxaxxadxaxa

Cax

xax

adx

ax

+

+

=++

+=

+'

222222

222

222

2222

2

1111

1

)(

1


80/120

80

27.

++

+=

++0,

])2()2[(

1

0,

])2

()2

[(

1

1

22

22

2

dx

aabxa

dx

aa

bxa

dxcbxax

28. Ccbxaxdxcbxax

bax+++=

+++

22 ln2

29.

+++++

=++

++=

+++

dxcbxax

ncbxaxm

dxcbxax

nbaxmdx

cbxax

BAx

22

22

1ln

)2(


81/120

81

Bibliografie:- Arno Kahane. Complemente de matematic, Editura

Tehnic, Bucureti, 1958.- C. Nstsescu,C. Ni, Gh. Rizescui:Matematic-

Manual pentru clasa a IX-a, E.D.P., Bucureti, 1982.- C. Nstsescu, C Ni, I. Stnescu: Matematic-Manual

pentru clasa a X-a-Algebr, E.D.P., Bucureti,1984.- E. Beju, I. Beju:Compendiu de matematic, edituratiinifici Enciclopedic, Bucureti, 1996.

- E. Rogai,Tabele i formule matematice,Edituratehnic,1983.

- Micenciclopedie matematic, Editura tehnic,Bucureti,1980.

- Luminia Curtui, Memorator de Matematic-Algebra,pentru clasele 9-12, Editura Booklet,2006.


82/120

82

Probleme propuse i rezolvate

1.Sse determine numerele ntregi a i b astfel nct;321464 ba +=+

Rezolvare:Ridicm la puterea a doua expresia dat:

;36221464 22 baba ++=+ Din egalarea termenilor asemenea ntre ei rezult: ab=2 i2a2+3b2=14 rezult: a=1 i b=2.

2.Daca

a1 =7, sse calculeze a4+

4

1a

.

Rezolvare:

Ridicm la puterea a doua relaia dat: (a

a1

)2=49,

a2+2

1

a

=51 procednd analog se obine

25991

2511

4

42

4

4 =+=+a

aa

a .

3.Aflai X din X.3 2008= (3 2008 1) : (1+

20072 3

1.......

3

1

3

1+++ )

Rezolvare:

, dupformula2008

2008

2007 3

13

2

3

3

1........

3

1

3

11

=++++

1

1.........1

1

=+++++

X

XXXX

nn

3213332]13[3 2008

2008

20082008 == XX


83/120

83

2272

311

2

3117411 ==

+= a

166346223

)23)(322(

23

322+=+=

+

=

( )( )( )

1

3

334

3

334

3

343

3

123631015

129

323325

323

325

11323

11323

113

1131,1313

=

=

=

+=

=

+=

++

=

=+++++

=+++

=+=+= bab

a

4. Sse calculeze:a

a

3

32unde 74117 =a

Rezolvare:

5. tiind c 13 =b

asse calculeze partea ntreaga

numrului

ba

ba

+

Rezolvare:

6.Se dnumarul x = 526526 + Sse arate ca x = 4Sse calculeze (X+2)2007

Rezolvare:a)


84/120

84

( ) ( )4251515151

5151

==+=+

=+

x

10

1

660

66

93223

66

92232007

662007 ==

=

=

bb

bba

x =

b. x = ( )2022 +=+ xx 2007 = 0

7. Dac 2007=b

a, sse calculeze

ba

b

9223

66

.

Rezolvare:

8.Sse calculeze suma

S = 200732 2..........222 ++++ .

Rezolvare: S=

Am adugat i am sczut 1.

( )

( )( )( ) ( ) .112]12[

1122.............221

112.............222

2............2212

2............22

2............222

1004

10032

100332

10032

200642

200753

+=

=+++++=

=++++++

+++++=

=

++++

+++++=


85/120

85

9.Calculai: ( ) 50685168 3:232347324 ++++=E Rezolvare:

( ) ( ) ( ).6333:33

3:2323213032

322

17

2

17347

13

2

24

2

24324

5051

50685168173174

=+=+=

+++++=


86/120

86

12 . Se decuaia:

x + 18x + 1 = 0. Se cere s se calculeze3

23

1 xx + , undex1, x2sunt soluiile ecuaiei .

Rezolvare :

Fie A = 3 23 1 xx + . Se ridicla puterea a treia

A = x1+ x2+ 3 3 21xx A

Cum x1+ x2= - 18 x1+x2=1 (Relaiile lui Viete)A- 3A + 18= 0 ; Soluia reala acestei ecuaii este A = -3 ;restul nu sunt realeA+ 3A-3A-9A+6A+18=0A(A+3) 3A (A+3)+6(A+3)=o(A+3)(A-3A+6)=0A=-3

13. Doua drepte perpendiculare ntre ele n punctul M(3;4)intersecteazaxa OY n punctual A si OX n punctual B.

a)

sse scrie ecuaia dreptei ABb) sse arate ca diagonalele patrulaterului AOBM sunt

perpendiculare ,unde 0 este originea sistemului.

Rezolvare :

Scriem ecuaiile dreptelor AM si MB( ) ( )34:1 = xmyAM cum AM B

( ) ( )31

4:2 = xm

yMB

Aflam coordonatele lui A:- din (1) cnd myx 340 == Aflam coordonatele lui B:

- din (2) cnd 340 +== mxy


87/120

87

Fie P(x,y) mijlocul lui AB

( )drepteiABecyx

xyx

y

xx

my

MX

.02586

961684

32342

4

32

2

34,

2

34

=+

+=

=

=

=

+=

panta dreptei AB este .4

3=m

Panta dreptei OM este evident

3

4

03

04=

1= omAB mm .ABOM

A

M(3,4)

O B

14. Se dau punctele A (2,6), B(-4,3), C(6,-2). Se cere:a) perimetrul triunghiului ABC i natura sa ;b) coordonatele centrului de greutate;c) ecuaia dreptei BC;d) ecuaia medianei AM i lungimea sa;e) ecuaia nlimii din A pe BC i lungimea sa ;f) ecuaia dreptei care trece prin A i face un unghi de 300cu axa OX;


88/120

88

g) ecuaia dreptei care trece prin A i este paralelcu BC;h) ecuaia bisectoarei din A i lungimea eii) aria triunghiului ABC.

Rezolvare:a) Aplicnd formula distanei pentru cele trei laturi ale

triunghiului ( ) ( )2122

12 yyxxAB += obinem:

AB = 53 , BC = 55 ,AC = 54 512=P ;Se verificcu reciproca teoremei lui Pitagora c triunghiul estedreptunghic cu unghiul de 900n vrful A.b) Coordonatele centrului de greutate sunt date de formula:

++++

3,

3321321 yyyxxxG

37,

34G ;

c) Ecuaia dreptei BC se scrie folosind formula:

12

1

12

1

xx

xx

yy

yy

=

10

4

5

3 +=

xy 5x+10y-10=0 x+2y-2=0

(forma generala dreptei )sau 12

1+= xy (forma normal);

d) Coordonatele mijlocului segmentului BC sunt : M )2

1,1(

ecuaia medianei este:

621

6

21

2

=

yx 11x-2y-10 =0; Pentru calculul lungimii

medianei AM se poate folosi faptul c ntr-un triunghidreptunghic mediana corespunztoare ipotenuzei este jumtatedin ipotenuz:

AM =2

55

2 =

BC, altfel se poate aplica formula distanei.

e) Fie AD nlimea din A AD i BC sunt perpendiculareceea ce nseamn c produsul pantelor este egal cu -1. Cum


89/120

89

panta dreptei BC este2

1 panta lui AD este 2. Rmne s

scriem ecuaia dreptei care trece prin A i are panta 2 :y-6=2(x-2) 2x-y+2=0 este ecuaia nlimii din A;

Pentru calculul nlimii (ntr-un triunghi dreptunghic) esteconvenabil saplicm formula:

AD =5

512

55

5453=

=

BC

ACAB;

Altfel, trebuia rezolvat sistemul format din ecuaiile dreptelorBC i AD pentru a determina coordonatele lui D.

f) y-6= 3

3

(x-2); Am aplicat formula y-y0=m(x-x0) ncondiiile n care panta este tg300

g) y-6=2

1 (x-2) unde

2

1 este panta dreptei BC .

h) Fie AE bisectoarea unghiului A.

Din teorema bisectoarei k=AC

AB

EC

BE= k=

4

3.Folosindu-ne

de raportul n care un punct mparte un segment rezult

coordonatele lui E

7

6,

7

2. Atunci ecuaia bisectoarei este:

=

67

66

27

22 yx

21x-7y=0. Pentru a calcula lungimea

bisectoarei ne putem folosi i de formula

ACAB

AACAB

AE+

= 2

cos2 care este utilizat de obicei cnd se

cunoate msura unghiului a crei bisectoare se calculeaz.

AE =7

1012.

i) Aria triunghiului dreptunghic ABC este datde formula A =30

2 =

ACAB.


90/120

90

Se va insista pe faptul c dac triunghiul nu ar fi fostdreptunghic ar fi trebuit s se calculeze distana de la A ladreapta BC adic tocmai lungimea nlimii iar aceasta s-arputea face mai simplu folosind formula :

Distana de la un punct M0(x0,y0) la o dreapt h de ecuaie(h): ax+by+c=0 este datde:

22

000 ),(

ba

cbyaxhMd

+

++= .

15. Sa se rezolve ecuaia:

12005200542005620052006 43

42 +

++=

xxx

xx

Rezolvare : Ecuaia dateste echivalentcu :

4

4 120052006

+=

x

x

Ridicm la puterea

1200520061200520064

14444 =+=xxxx

( )x

Din monotonia funciei ( ) ( ) xx aaxf += 1 care e strict

cresctoare ecuaia ( )x are soluie unic 4=x

16 . Sse rezolve ecuaia:2x x

x x 3 3

2007 2006 = 3(2006 + 2006 ) + 1


91/120

91

Rezolvare:

Ecuaia dateste echivalentcu:

x

x 3 32007 = (2006 + 1) . Ridicm la puterea 1/3 =>

x x3 3

2007 = 2006 +1 =>

x x

3 32007 2006 =1 (*)Din monotonia funciei f(x) = (1+ a)x axcare e strictcresctoare => ecuaia (*) are soluie unic: x = 3

17. Sse determine numrul de cifre din care este compusnumrul 72007.Rezolvare:

102< abc lg 10p-1lg N p-1 lg N

lg N = 2007 lg 7 1696 de cifre.


92/120

92

18. Sse arate cmatricea A =

d

b

c

a( )ZM2 e

inversabil, unde :20062005=a

11...111...111111

6...666 200632

++++=++++=

c

b

2006 ori de 120052006=d

Rezolvare :

A e inversabil 0detA ultima cifra numrului det A0e

( )

( )( )( ) 6

66

5

===

=

cu

bu

du

au

( ) .0det04606665det === AAu


93/120

93

Probleme - sinteze

I. NUMERE REALE. APLICAII.1. Sse calculeze:

a) 99504498 + .b) ).322()3625()3827( ++

( )[ ]{ }

.52

1:

20

1

5

1)

.6

662

23

2312

32

3212)

.2:223223438325)

.2233

12

23

2

32

3)

.16:)332()

.9:)535()

.10)5045()1820()

1

2

20585887

14203020

++

+++

+

+

i

h

g

f

e

d

c


94/120

94

( )

.222222222)

23:22

1

32

2

23

1)

.518412256561)

1

++++

+

+

l

k

j

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

.25

16)

.12246223)

.52332223)

.7273)

24

16

2

222

22

y

xp

o

n

m

++

+

+

( ) ( ) ( )( ).23232323)

.322

32

322

32)

.32

32

32

32)

.2492462611)

).32()26(32)

).75713(73)

22+++

+++

+

+

++

+++

+

+

v

u

t

s

r

q

2. Daca=2006.2007, artai c .2007++ aaa

3. Sse calculeze numrul 5,465,24222 == biapentruba


95/120

95

4. Comparai numerele:

( ) ( ) ( ) ( ).56142526526

.5643525335222

+++=

++++=

b

a

5. Dac .3499

3,1996

ba

bcalculati

b

a

+=

6. Artai cnumrul

( ) 241,13:232241,1 52513451 +++=a e ptrat perfect.7.Sse arate cexpresia

741117

54953

2

2

=

+=

+

=

b

acastiindQ

ba

baE

8. Sse aducla o formmai simpl expresia:

.0,16566)( 321684 +++= aaaaaaE

9. Care numr este mai mare:23

32 sau .

10*. Sse arate c: a)QRnb

QRna

++

135)75)

11.Sse arate c:

NnNb

NnQa

nnnn

nnnn

+

++

++++

,3492)

,6243)

2212

32123222

.

12. Stabilii valoarea de adevr a propoziiei: .3231.......321 Q+

13. Sse afle x tiind c .2.......2222129993210

++++++=x

14. Sse afle numerele ntregi x pentru care .5

42Z

x

x

+

15. Sse verifice egalitile:

3549549)

2725725)

33

33

=++

=+

b

a

16. Sse ordoneze cresctor numerele:63

6,3,2 .17. Sse raionalizeze numitorii fraciilor:


96/120

96

33 25

1)

a .

12

1)

3 +b ;

33 59

1)

+c ; d)

322

322

+

; e)3

32

1

.

18. Sse determine rdcina ptrata numrului a= 6222326 + 19. Sse determine cel mai mare numr natural n cu proprietatea:

23142

1....................

154

1

32

1

2

+++

++

+ nn.

20. Fie a,b,c numere raionale astfel nct ab+ac+bc=1. Sse demonstreze c:

( )( )( ) Qcba +++ 111 222 .21. Sse demonstreze c 532 ++ nu este un numr raional.

II. PROGRESII ARITMETICE1. Sse scrie primii patru termeni ai progresiei aritmetice ( )

nna dac:

a)1

a =-3 ; r=5 b)1

a =7 ;r=2 c)1

a = 1,3 ; r= 0,3

2. Sse gseascprimii doi termeni ai progresiei aritmetice ( )nn

a :

a) ,......27,21,15,, 21 aa b) ,........5,2,9,, 21 aa

3. Sse calculeze primii cinci termeni ai irului cu termenul general na

a) na =3n+1 ; b) na = 3 + (-1)n c) na = n 1

2 ++n

4. Fie ( )nn

a o progresie aritmetic. Dacse dau doi termeni ai progresiei

sse afle ceilali :

??,,125,5)

??,,36,2)

??,,20,40)

??,,13,7)

19792

119106

107208

15953

========

========

aaaad

aaaac

aaaab

aaaaa

5.Fie ( )nn

a o progresie aritmetic. Se dau :


97/120

97

5,0,2) 1 == raa se cere a12 b) 5,1,31 == ra se cere a19

c) 12,13110 == ra se cere 1a d) 3,0

200

== ra se cere1

a

6. Sse gseascprimul termen i raia unei progresii aritmetice dac:

2,)3,8)

28,16)

21,42)

92,0)

60,27)

125437321

3510

5142

31071

6020

275

+=++=++==

==+==+

====

aaaaaaaaf

SSSe

aaaad

aaaac

aab

aaa

7. irul ( )nn

x este dat prin formula termenului general.

a) x n =2n-5 ; b) x n =10-7n. Sse arate c ( )nnx e o progresie aritmetic.Sse afle primul termen i raia.

8. ia . Sse afle S 100 dac:5,7,5,5)

5,2)15,10)

1001

1

1001

======

aac

rab

aaa

9.Cunoscnd Sn sse gsesc:

a) primii cinci termeni ai progresiei aritmetice dacSn =5n 2 +3n ; Sn =3

n2

; Sn = nn

4

2

.

b) 1a = ?, r= ? dacSn = 2 n2 +3n ;

10. Este progresie aritmeticun ir pentru care :

a) Sn = n 2 -2n ; b) Sn= 7n-1 ; c) Sn = -4 n 2 +11.

11. ia , S10 = 100, S30 =900 . Sse calculeze S50.

12. Determin x R astfel nct urmtoarele numere s fie n progresiearitmetic.


98/120

98

a) x-3, 9, x+3 ; b) ( ) xx xx222 24,3,2 ++ c)

2,18,2 + xx

13. Sse rezolve ecuaiile :

a) 1+7+13+.+x =280 ;b) 1+3+5+..+x = 169 ;c) (x+1)+(x+4)+(x+7)+..+(x+28) = 155 ;d) (x+1)+(x+3)+(x+5)+ ..+(x+25) = 338 ;e) x+(x+5)+(x+10)++(x+100) = 2100.

14. Sse arate curmtoarele numere sunt n progresie aritmetic:a) (a+b) , a+b , (a-b) ;

b) )(,2,)( aba

b

ab

ba

bab

a

+

;

c) .0,1,)1(

1,

2

1,

1

2

+

+++

xxxx

ax

x

ax

x

a

15. S se arate c dac numereleabaccb +++

1,

1,

1 sunt n progresie

aritmeticatunci numerele222

,, cba sunt n progresie aritmetic.

16. Fie ( )nn

a o progresie aritmetic.

Sse arate c: 2,11

.......11

113221

=

++

+

naa

n

aaaaaa nnn.

17. Fie ecuaia ax +bx+c =0 cu soluiile x1,x2. Dacnumerele a,b,c sunt nprogresie aritmeticatunci existrelaia : 2(x

1+x

2)+x

1.x

2+1 = 0

18. Sse demonstreze : a) cbaabccabbca ,,,, 222 b)

baaccbabccabbca

+++

1,

1,

12,2,2 222

c)

2222

3

2

3

2

3

2

3

2

,,,,,, dcbaabc

d

dabd

c

cacd

b

bbcd

a

a


99/120

99

III. PROGRESII GEOMETRICE

1. Sse scrie primii cinci termeni ai progresiei geometrice (b n ) n dac:

a) 2,61 == qb b) 5,0,241 == qb

c)2

1,102 == qb d) 3,5,02 == qb

e) 5,11 == qb

2. Sse gseascprimii doi termeni ai progresiei geometrice (b n ) n :

a) ,.......54,36,24,, 21 bb b) .....,......,..81.135,225,, 21 bb

3. Dacse cunosc doi termeni ai progresiei geometrice (b n ) n

a) 24,653

== bb , sse gseasc1097

,, bbb

b) 10,10 85 == bb ,. 3126 ,, bbb .

4. Sse scrie formula termenulei al n-lea al progresiei geomertice date prin :a) nn bbb 3,2 11 == + b) nn bbb 3,4 11 == +

c) nn bbb 2,9 11 == + d) nn bbb 51

,10 11 == +

5. Este progresie geometric un ir pentru care suma primilor n termenieste :

a) Sn = n -1 ; b) Sn = 12 n ; c) Sn = 13 +n

6. S se determine x a.. numerele urmtoare s fie n progresiegeometric:

a) a+x, b+x, c+x ; b) 32,,2 42 xx ; c) 22 6,,1 xx ;

7. S se gseasc primul termen b1 i raia q a progresiei geometrice(b n ) n dac:


100/120

100

a)

==8

4

13

12

bb

bb b)

==

48

12

24

23

bb

bb c)

==

9

25

8

6

b

b

8.Sse calculeze sumele :

a) 200832 2.........2221 +++++ b) 200832 2.........2221 +++

c)200832 2

1.......

2

1

2

1

2

1++++

d)200832 2

1.......

2

1

2

1

2

1+

e) 1+11+111+1111+1111111 (de n ori 1)

f) 3+33+333+..33333..3g) 7+77+777+..77777(de n ori 7)

h)200732 2100.....2423221 ++++

9. Sse rezolve ecuaiile :

a) 1,0.....1 200732 =++++ xxxxx b) 0,0)1(........)1()1(1 20072 =+++++++ xxxx

IV. LOGARITMI

1. Sse logaritmeze expresiile n baza a: a) E=a2 7 6ab .

b) E= 45

3

b

a.

c) E=2

3

ba

ba

2. Sse determine expresia E tiind c: lg E=2 lga-2

1lgb-3 lg3.

3. Sse arate clog26+log62>2.

4. Sse calculeze expresiile: a)

25

121log

11


101/120

101

b)49

4log

1

7

c) E=log225-log2

+

21

4log

3

202 .

d) ))216(log(loglog 635

e) ))243(log(loglog 352

f)

2log64

9log125log

22log

335

8 +

g)

3log2log

81log49

3

3

2

33log7

+

5. S se arate c expresia: E=3

333

3222

logloglog

logloglog

zyx

zyx

++++

este

independentde valorile strict mai mari ca 1 ale variabilelorx,z,y.

6. Sse calculeze expresiile: a) E=2log

192log

2log

24log

12

2

96

2 .

b) E= 121log7log1 43 23 + 7.Sse calculeze suma:

n

nn

nnn log...2log1log

1...

log....2log1log

1

log...2log1log

1

333222

+++++

++++

+++

8. Sse arate cdaca,b,c sunt n progresie geometricatunci are locegalitatea:

{ } 0,1,,log

1

log

1

log

2 * += + xRcbaxxx cab

9. Sse arate cdac x, y, z sunt n progresie geometricatuncizyx cba log,log,log sunt n progresie aritmetic.


102/120

102

PRIMITIVE

1. Sse calculeze primitivele urmtoarelor funcii.

1. (3x dxxx )232 35 + 2. x(x-1)(x-2)dx

3. dxxxx )1)(1( ++ 4. dxxx

x )1(3

3 +

5. dxxxx + 53 42 6. dxxxx

+

23535

7. x dxx 3)1( 8. dxxx

x

+

2

352

9. ( e dxex

x )1+ 10. (x dxx )55 +

11. dxx

x2

45

+ 12.

( )

+d

x

x3

32

13. dxx 42 + 14. dxx 92

15. dxx2

4 16. dxxx 1

12 +

17. dxx

x

+

+

2

32

2

18. dxx

x

3

22

2

19. dxxx 22 cos.sin

1 20. dx

xx cos.sin1

21. dxx

x

+

1

1


103/120

103

2..Sse calculeze primitivele urmtoarelor funcii compuse.

1. dxx525 2. dxx43 3. xdx4sin4 4. xdx3cos3 5. + dxx 35

1 6. dx

x + 9412

7. dxx 164

12

8. dxx 2925

1 9. dxx 3cos

12

10. dxx5sin12

11. xdxtg4 12. xdxctg22

13. dxx

+ 22 416

1 14. dx

x

2169

1

3. S se calculeze primitivele urmtoare utiliznd metodaintegrrii prin pri:

1. xdxln 2. xdxx ln 3. xdxx ln2 4. xdxx ln

1 5. xdxx ln

12

6. dxxx)ln(ln

7. xdx2

ln 8. + dxx )2

1ln( 9. dxx

x

2

3ln

10. dx

x

x2

2ln 11. dxx)cos(ln 12. dxx)sin(ln

13. + xdxxx ln)32( 2 14. dxxx )1ln(15. dxx

x

x)11ln(

1

2

2++

+ 16. dxx

xx +

1

1ln

17. ( ) dxex x+ 12 18. dxex x

19. ( ) dxexx x32 2 + 20. dxex x 2 21. dxex x22 22. dxexx x223 )25( +

23. dxex x 2 24. +

dxe

x

xx

2

223


104/120

104

25. xdxex sin 26. xdxex cos27. xdxex 2sin 28. xdxex 2cos29. xdxx sin 30. xdxx cos 31. xdxx sin

2 32. xdxx cos2

33. xdxx 2sin2 34. xdxx 2cos2 35. xdxx 2sin 36. xdxx 2cos 37. dxx

x2cos

38. dxxx

2sin

39. dx

xxx

21arcsin 40. dxx2arcsin

41. xdxe x 2sin 42. dxx)(lncos2 43. dxxx 92 44. + dxxx 162 45. dxxx 24 46. xdxx ln

47. + dxexx

x522

3. Sse calculeze integralele prin metoda substituiei

1. ( ) + dxbax n 2. ( ) dxx 912 3. ( ) dxxx 912 4. ( ) dxxx

72 35

5. ( ) + dxxx632 1 6. ( ) +

+ dxxx nkk 11

7. dxx x 2

7 8. dxe

ex

x

+1

9. dxe

ex

x

+12 10. dxe x

11. dxxe x

12. dxe

ex

x

12


105/120

105

13. dxe

ex

x

123

14. dxxx 1

15. + dxx 52 16. + dxxx 21

17. dxxx43 1 18. dxxx +

5 32 2

19.

Documents

Matematica Liceu (sinteza)