Propiedades de los operaciones entre conjuntos

Objetivos

• Emplear propiedades de las operaciones entre conjuntos para establecer igualdad entre ellos

• Dada una propiedad de las operaciones entre conjuntos , demostrarla empleando logica proposicional

• plantear y resolver problemas de cardinalidad empeando algebra de conjuntos

Se la representa de la siguiente manera:

UNION

A U B Conmutativa

(A U B) U C= A U ( B U C) Asociativa

A U A = A Idempotencia

A U O = A Identidad

A U Re = Re Absorcion

Operaciones entre conjuntos

se realiza por la representacion del diagrama de Venn

En este diagrama se muestra que el conjunto A esta dado por el circulo externo , el conjunto B esta dado por el circulo interno y el conjunto C esta dado por el triangulo

Cardinalidad de conjuntos

Determine el porcentaje de alumnos que practican futbol y basquet , si al entrevistar a 1000 estudiantes se obtuvieron los siguientes resultados :

• 600 practican futbol

• 500 practican basquet

• 150 no practican futbol ni basquet

las secciones pintadas corresponden a :

rojo: practican basquet total 250

amarillo: practican ambos deportes 250

verde: practican futbol 350

celeste: conjunto referncial 150

Se hizo una encueta a 100 personas acerca del canal de televison donde preferian ver programas documentales y se obtuvieron los siguientes resultados:

620 veian teleamazonas ; 400 veian canal uno ; 590 veian ecuavisa ; 195 veian teleamazonas y canal uno ; 190 preferian ver canaluno y ecuavisa ; 400 veian teleamazonas y ecuavisa ; 300 preferian ver teleamazonas y ecuavisa pero no canal uno .

Determine el numero de personas que no ven estos canales :

N(Re) =1000

N(T) = 620

N(C) = 400

N(E) = 590

• Verde : teleamazonas total = 125

• amarillo: Canal uno total = 115

• gris: Ecuavisa total= 100

• Negro: Teleamazonas y ecuavisa total= 300

• lila: Canal uno y ecuavisa total= 90

• Rojo: Teleamazonas,ecuavisa, canal uno , total = 100

• Celeste : teleamazonas y canal uno , total = 95

• 75 personas no ven estos canales

PREDICADOS

Son expresiones en terminos de una variable que al ser reemplazadas por los elementos de un conjunto referencial , se convierten en propocisiones . S I X REPRESENTA A CUALQUIER ELEMENTO DE Re , entonces la expresion p (x) se definira como predicado

La notacion para los predicados sera: p (x), q (x), r(x), etc.

Dado Re =[ 1,2,3,4,5,6] y p(x): x es impar

si x= 3, p(3) : 3 es impar , es una proposicion verdadera

si x= 6 p(6): 6 es impar, es una proposicion falsa

por lo tanto , p(X) es un predicado

Valor de verdad de proposiciones con cuantificadores

Una proposicion que contiene un cuantificador universal es verdadera si y solo si el conjunto de verdad del predicado es igual al conjunton referencial de la expresion abierta

Pares ordenados y producto cartesiano

Objetivos:

• Dados 2 conjuntos , construir el producto cartesiano entre ellos

• Dados varios conjuntos , determinar la cardinalidad del producto cartesiano entre ellos.

• Demostar las leyes del producto cartesiano

Un par ordenado es un conjunto de dos elementos , a y b , que tiene un orden ; al elemento a se lo denomina primera componente y al elemento b se le denomina segunda componente. Se representa simbolicamente por : ( a,b)

Como el par ordenado no es lo mismo (a,b) que (b,a)

Una terna ordenada seria un conjunto de tres elementos ordenados y su representacion es ( a, b , c)

Es importante anotar que existen conjuntos ordenados que pueden formarse con mas de tres componentes .

Producto Cartesiano

Sean dos conjuntos A y B ,no vacios , denominaremos producto cartesiano entre A y B , al conjunto de todos los pares ordenados cuya primera componente pertenece al conjunto A , y la segunda al conjunto B.

Relaciones

Objetivos

• Dados dos conjuntos , crear una relacion entre ellos

• Dada una relacion , identificar su dominio y rango

• Dada una relacion , representarla mediante diagramas sagitales

Una relacion establece la correspondencia entre los elementos de dos conjuntos no vacios A y B . Usualmente , al conjunto A se le denomina conjunto de Partida , y al conjunto B de llegada .

Es decir , todos los subconjuntos de A x B constituyen una relacion

Ejemplo:

Al decir que Samuel es padre de Irma , se esta construyendo una relacion entre ambos .

Si Samuel es un elemento del conjunto A = [ Samuel, Jose , Cesar], e Irma es un elemento del conjunto B = [Janeth, Irma , Pedro], el apr ordenado ( Samuel , Irma ) constituye un elemento del producto cartesiano A x B y es parte de la relacion R : " x

es padre de y" construida entre A y B siendo x elemento de A , y elemento de B

Relacion vacia

Basados en el ejemplo anterior , podria darse el caso que Samuel, Jose o Cesar no sean padres de Janeth , Irma, o pedro , lo cual corresponderia a una relacion vacia .

Dominio de una relacion

Dada una relacion R , construida a partir de los conjuntos A y B , los elementos del conjunto B que se relacionan con elementos del dominio de R constituyen el rango de la relacion . se representa simbolicamente por : R

No necesariamente todos los elementos del conjunto de llegada forman parte del rango de una relacion.

Ejemplo:

A = [ 2, 4, 5}

B= [ 1, 3, 5]

R = {(X, Y) / X + Y ES UN NUMERO PRIMO}

R= [(2,1) , ( 2,3) , (2,5) , ( 4,1) , (4, 3)]

dom R [ 2, 4]

R = [ 1, 3, 5]

Funciones

Objetivos

• Dada una relacion entre dos conjuntos , identificar si es funcion

• Dada una funcion entre conjuntos , determinar su tipo

• Dadas las funciones , construir de ser posible la composicion entre ellas

• Dada una funcion , analizar la existencia de su inversa

Una relacion de A en B es una funcion si y solo si el dominio de la relacion es todo el conjunto de partida , y si cada elemento del dominio le corresponde un unico elemento en el rango .