Módulo matematicas (2)

1.MÓDULO DE MATEMÁTICAS

MÓDULO DE MATEMÁTICAS

2012

2. MÓDULO DE MATEMÁTICAS

MÓDULO DE MATEMÁTICAS© Gobernación de Antioquia© Secretaría de Educación

ISBN

Sergio Fajardo ValderramaGobernador de Antioquia

Felipe Andrés Gil BarreraSecretario de Educación de Antioquia

Mónica Sandoval ArangoDirectora de Gestión de la Calidad Educativa

Horacio Arango Marín Asesor Secretaria de Educación de Antioquia

Sandra Milena Chica GómezDirectora Olimpiadas del Conocimiento

Equipo académicoUniversidad Eafit - Eafit SocialDirector Eafit socialMario Vargas SaenzRector Universidad EafitJuan Luis Mejía ArangoAutoresPedro Vicente Esteban Duarte Paula Andrea Rendón MesaAsesoría y revisión Carlos Mario Jaramillo LópezAlfonso Jaime López MonsalveCorrección de estiloClara Inés Jaramillo Rivera Diseño, diagramaciónClara Cecilia Rada PérezCoordinación Comfenalco Antioquia

Todos los derechos reservados.Se prohíbe la reproducción total o parcial de esta obra – incluido el diseño tipográfico y de portada -, sea cual fuere el medio, electrónico o mecánico, sin el consentimiento por escrito de la Gobernación de Antioquia y la Secretaría de Educación.Hecho el depósito legal.


EL MÓDULO, UN RECURSO PARA LA FORMACIÓN DE DOCENTES Y ESTUDIANTES

En los últimos años, los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, se han visto influenciados por los avances tecnológicos y por las diferentes corrientes de pensamiento. Al examinar los puntos que exponen unos y otros, se observa que, todos, promueven el trabajo matemático en contexto, en el que el docente es un agente movilizador del pensamiento de sus estudiantes, para que estos comprendan que, la matemática, está integrada a las ciencias, y aún más, que son una herramienta importante para el desarrollo personal y social.

Esta misma idea se propone desde los documentos rectores y los procesos evaluativos que rigen la educación en nuestro país, orientada a hacer competente al ciudadano. En el caso de las matemáticas, esta se encuentra asociada a “la capacidad de realizar tareas además de comprender y argumentar por qué pueden ser utilizadas algunas nociones y procesos para resolverlas. Esto es, utilizar el saber matemático para resolver problemas, adaptarlo a situaciones nuevas, establecer relaciones o aprender nuevos conceptos matemáticos"1.

Para medir el nivel de competencia que adquieren los estudiantes, se evalúa desde tres componentes, asociados a los pensamientos propuestos desde los estándares de la educación matemática, que se reconocen como: Componente numérico-variacional, Componente métrico-geométrico, Componente aleatorio. Esta estructura responde a lo pensado para las Olimpiadas del Conocimiento Departamentales.

Con el ánimo de fortalecer los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, las Olimpiadas del Conocimiento Departamentales, cuentan con un módulo diseñado con la idea de que sirva para fortalecer el trabajo escolar en el área de matemáticas. A continuación se explica la estructura de esta herramienta.

1. Ministerio de Educación Nacional (1998). Matemáticas. Lineamientos curriculares. MEN. Bogotá


1. ESTRUCTURACIÓN DEL MÓDULO

El módulo está conformado por tres unidades de trabajo, correspondientes a los componentes del proceso formativo y evaluativo, definido por los Lineamientos y Estándares de la Educación de nuestro país y lo dispuesto, en términos evaluativos, por el ICFES. De acuerdo a lo anterior las unidades de trabajo son:

UNIDAD 1: COMPONENTE NUMÉRICO-VARIACIONALUNIDAD 2: COMPONENTE MÉTRICO-GEOMÉTRICOUNIDAD 3: COMPONENTE ALEATORIO

Cada unidad tiene unos momentos para enriquecer el trabajo de estudiantes y profesores en temáticas asociadas a cada componente. Los momentos son:

Actividades de exploración: Buscan que los estudiantes, desde sus conocimientos previos, se acerquen a la temática a profundizar y movilicen su pensamiento para solucionar problemas y situaciones nuevas apoyándose en los conocimientos que se poseen. El docente debe ser un agente dinamizador de este, motivando a los estudiantes a encontrar situaciones, en las cuales, se puedan aplicar los conceptos adquiridos, a plantear y resolver nuevos problemas a partir de los ejemplos propuestos y a motivarlos a realizar nuevas indagaciones y exploraciones para encontrar aplicaciones en su entorno.

Conceptualización: Este espacio está pensado para fortalecer conceptualmente las temáticas abordadas. En él se dan las definiciones, fórmulas, procedimientos y ejemplos. Este recurso pretende dar elementos conceptuales al docente para seguir fortaleciendo el trabajo formativo del estudiante.

Actividades de ejercitación: Esta fase se fundamenta en el desarrollo de actividades más específicas, con el fin de que, los estudiantes, comprendan las nociones de los temas abordados, logren hacer procesos y se acerquen a la conceptualización.

Actividades evaluativas: Son actividades diseñadas para comprobar el nivel de conceptualización y comprensión que han alcanzado los estudiantes en cada componente. Propone unas preguntas de selección múltiple con única respuesta. La intención de este momento del proceso no es sólo que se aplique la prueba como instrumento evaluativo, sino que se enriquezca el proceso, a través de la socialización con el ejercicio, permitiendo al estudiante afianzar sus aprendizajes desde sus aciertos o desaciertos.

Finalmente, el módulo no pretende abarcar todos los conceptos que abordan los componentes, si no que, busca más bien, convertirse en una guía para el diseño y el fortalecimiento de actividades de trabajo dentro del aula de clase y fuera de ella.


UNIDAD 1NUMÉRICO-VARIACIONAL


El componente numérico-variacional indaga por la compresión de los números, de la numeración, el significado del número, la estructura del sistema de numeración; el significado de las operaciones, la comprensión de sus propiedades, de su efecto y de las relaciones entre ellas; el uso de los números y las operaciones en la resolución de problemas diversos, el reconocimiento de regularidades y patrones, la identificación de variables, la descripción de fenómenos de cambio y dependencia; conceptos y procedimientos asociados a la variación directa, a la proporcionalidad, a la variación lineal en contextos aritméticos y geométricos, a la variación inversa y al concepto de función (ICFES, 2010).

En la estructura del componente Numérico-Variacional, se presentan formas, a través de las cuales se puede facilitar el aprendizaje y la comprensión a los estudiantes, desde la vinculación de situaciones contextuales, en donde esté involucrado dicho fenómeno.

El siguiente mapa conceptual muestra un recorrido temático de este componente, de acuerdo con los conceptos asociados a los grados 10° y 11° de la Educación Media. Se presentan relaciones entre distintos conceptos, que sirven de guía para su estudio, posibilitando, al profesor y al estudiante, la visualización de diferentes maneras de abordarlos, a partir de sus relaciones.De acuerdo con lo anterior, se proponen una serie de actividades relacionadas con la variación lineal, las sucesiones y las funciones. Con ello, se busca contribuir al fortalecimiento de las competencias matemáticas asociadas a lo numérico y a lo variacional.


ACTIVIDADES DE EXPLORACIÓN

ACTIVIDAD 1: DETERMINEMOS MODELOS FUNCIONALESLa longitud del lado de cada uno de los cubos es x. Determina una expresión algebraica para el perímetro de la base P(x), el área de la cara frontal A(x) y el volumen del cuerpo V(x).

Completa cada uno de los registros tabulares de acuerdo con la expresión encontrada y grafica los valores en el plano cartesiano.

1. P(x)=

x 0 1 2 3 4 5 6P(x)

2. A(x)=

x 0 1 2 3 4 5 6A(x)

3. V(x)=

x 0 1 2 3 4 5 6V(x)

4. De acuerdo con el contexto del ejercicio, el valor de x no puede tomar valores negativos. Justifica esta afirmación.

ACTIVIDAD 2: CARACTERÍSTICAS DE LAS GRÁFICAS

De acuerdo con las gráficas obtenidas, en el ejercicio anterior, describe las diferencias que hay entre ellas y asocia un nombre a cada una de ellas.

CONCEPTUALIZACIÓN: LAS FUNCIONES

Una función de un conjunto A en un conjunto B es una regla que le asigna, a todos los elementos x del conjunto A, un único elemento y en el conjunto B.

La regla de asignación se representa, en general, por letras minúsculas, como f , g , h , entre otras.

Al conjunto A se le denomina el conjunto de valores de x ϵ A para los cuales la función existe. El dominio de la función y se representa por Df .Al conjunto B se le denomina rango de la función y se representa por Rf .


Las formas más comunes para representar una función son:

a. Verbalmente: Se expresa la regla de asignación en forma verbal.b. Tabularmente: Se realiza un arreglo bidimensional de algunas de las parejas que pertenecen a

la función.c. Regla de asignación: Se da la regla o fórmula que permite calcular cualquier pareja de puntos

que pertenecen a la función. La fórmula se expresa como y=f(x), las parejas (x ,y)ϵf .d. Mediante una gráfica cartesiana, en la cual los elementos del dominio, están en el eje X y los del

rango en el eje Y. La gráfica de la función es el conjunto de puntos en el plano que cumplen la regla de asignación.

Ejemplo

Expresa verbalmente, tabularmente, gráficamente y mediante una regla de asignación la función raíz cuadrada.

a. Verbalmente: Si x es un número real positivo, la raíz cuadrada de x es un número y, tal que x=y 2.

b. Tabularmente: Se presentan algunos valores que puede tomar la variable independiente x.

x 0 1 2 3 4 4.1 9 16y 0 1 √2 √3 2 √4.1 3 4

c. Regla de asignación: y = f (x) = √x , para x ≥ 0 . d. Gráficamente: Se representan en el plano cartesiano un conjunto de puntos que pertenezcan a la ecuación. En la gráfica se observa que el punto (4,2) pertenece a la función, es decir (4,2)ϵf o (4,2)ϵ√x. Cuando se tiene la gráfica, el Df se lee en el eje X. Para ello se observa el conjunto de valores x que forman parte de la gráfica. En esta, se observa que Df = [0,∞). El Rf , se lee en el eje vertical, en la gráfica se tiene que Rf =[0,∞).


Cuando el dominio o el rango de una función f es el conjunto de los números reales (ℝ) o un subconjunto de él, se dice que la función es de variable real. En la ecuación y=f(x), a x se le denomina variable independiente o argumento y, a y variable dependiente de la función. En lo que sigue, si no se dice lo contrario, las funciones definidas son de variable real.

Para encontrar el dominio de una función f, en los casos en que haya denominadores, no se tienen en cuenta los valores de x en los que el denominador es 0 (cero) y en las raíces donde el índice es par, como por ejemplo donde el argumento debe ser positivo.

La función ( ) =1

4 2 presenta una indeterminación cuando el denominador se hace cero en x=-2 y en x=2, por lo que el dominio de la función es Df =(- ∞, -2)∪(-2 , 2)∪( 2 , ∞)=ℝ- {-2 , 2} , una gráfica de la función se observa en el siguiente figura.

La función f(x)=√(x2-1), es una raíz par, por lo tanto para encontrar su dominio se debe tener en cuenta que el argumento debe ser positivo, para ello se soluciona la inecuación x 2-1≥0. De donde se obtiene que x≤-1 o x≥1, por lo tanto, el dominio de la función es Df = (- ∞ , -1]∪[1 , ∞) o en forma alternativa Df = ℝ -(-1,1). Una gráfica de la función se observa en la siguiente figura.


ACTIVIDADES DE EJERCITACIÓN

ACTIVIDAD 1

Para las siguientes expresiones verbales, realiza una tabla con 10 valores, tomando valores negativos (en los casos en que sea posible) y positivos. Escribe la regla de asignación respectiva y representa los puntos en el plano cartesiano. Encuentra el dominio y el rango.

a. A todo número real x se le asigna su cuadrado.

b. A todo número real x se le asigna su cubo.

c. A todo número real x se le asigna su raíz cúbica.

d. A todo número real x, excepto 0 (cero) se le asigna el inverso multiplicativo.

ACTIVIDAD 2

Para cada una de las siguientes funciones, encuentra el dominio y realiza su respectiva gráfica. Si es posible, utiliza un Asistente Matemático.

a. f(x)=√(1-x2 ) b. g(x)= c. h(x)=2x

d. p(x)=(x-1)-1

ACTIVIDAD 3

Las siguientes gráficas representan funciones. Escribe el dominio de cada una de ellas.



ACTIVIDAD 1: EL PAGO DE LOS SERVICIOS PÚBLICOS

El pago de los servicios públicos está registrado en el recibo que llega mensualmente a nuestra casa. Investiga cuál es el costo por metro cúbico (m3) de agua utilizado en tu vivienda.

a. Realiza un registro tabular y gráfico del consumo de agua en tu casa.b. Observa si el costo por m3 es constante o si, de acuerdo con el consumo en tu casa, existe una tarifa diferencial.

ACTIVIDAD 2: COMPORTAMIENTO DEL PRECIO DEL DÓLAR

El dólar se considera un patrón de pago a nivel mundial. Por esto, todos los mercados están atentos a la variación de su precio, en relación con la moneda local. Consulta en internet, televisión, prensa o radio la tasa de cambio del dólar, con respecto al peso colombiano, durante 10 días. Completa el siguiente registro tabular.

FechaDía 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Precioen pesos

a. Con los datos obtenidos, realiza un registro gráfico de la variación diaria del dólar. En el eje horizontal escribe los días y en el vertical el precio del dólar en pesos.b. Señala el (o los) día(s) en los que el precio fue mayor y en el (los) día(s) que el precio fue menor. c. Encuentra la variación diaria del precio.

CONCEPTUALIZACIÓN: FUNCIÓN LINEAL

Por la importancia que tiene en la modelación de algunas situaciones reales, la función lineal o línea recta, requiere un estudio con más detenimiento. La línea recta que pasa por los puntos Q(x0 ,y0 ) y P(x,y) tiene pendiente

= = 0

0 . Observa la siguiente gráfica en la que se muestra la forma como se

calcula la pendiente de una línea recta a partir de dos puntos dados sobre ella.


Algunas de las características e interpretaciones de la pendiente de una línea recta son las siguientes:

a. Es una razón de cambio constante. Es decir, no para dos puntos dados cualquiera de la recta la pendiente es la misma. b. Si m>0, y es directamente proporcional a x. Es decir, a medida que x avanza a la derecha y aumenta.c. Si m<0, y es inversamente proporcional a x. Es decir, a medida que x avanza a la derecha y disminuye.d. Si m=0, a medida que avanza x a la derecha, y permanece constante. En este caso, la recta es paralela al eje X.e. Si m=∞, se dice que la pendiente es indeterminada (el denominador es 0 (cero)), x es constante, y puede tomar cualquier valor. En este caso, la recta es perpendicular al eje X.f. En muchas situaciones, en las razones de cambio constante estudiadas, interesa que en el eje horizontal el cambio sea 1 (uno). Por ejemplo: ventas por mes, kilómetros por hora, entre otros.

En estos casos el cálculo de la pendiente toma la forma

= 0

0= =

1 y verbalmente se

expresa como: La pendiente de una línea recta es el cambio en y (∆y), cuando x varía una unidad (∆x=1).

A partir de la fórmula para calcular la pendiente de una línea recta, se deducen las siguientes ecuaciones:

a. La forma punto pendiente de la línea recta es y-y0 =m(x-x0 ). Pasa por el punto (x0 , y0 ) y tiene pendiente m. A modo de ejemplo, dada la recta L, que pasa por el punto (1,3) y tiene pendiente m= 2, al sustituir estos valores en la ecuación punto pendiente se obtiene y-3=2(x-1), entonces y=6x+1

b. Al despejar a y de la ecuación punto pendiente y-y0 =m(x-x0 ) se obtiene y=mx+b, en donde

b=-mx0 +y0 . En este caso, b es la altura a la que la recta corta el eje Y, el punto de corte está dado

por (0,b). En la gráfica de la figura anterior, se tiene que y=2x+1. El punto de corte con el eje Y es (0,1).

c. A la forma y=mx+b de la línea recta, se le suele llamar la forma canónica.


De dos rectas L1 y L2, con pendientes m1 y m2, se puede afirmar que:a. Son paralelas entre sí, si sus pendientes son iguales. Es decir m1=m2.b. Son perpendiculares entre sí, si la multiplicación de sus pendientes es -1. Es decir, m1.m2=-1.

Para las rectas L1:y=3x-1, L2:y=3x+1 y L3:y =13

x 1 , se tiene que L1 y L2 son paralelas, pues m1=m2=3. L1 y L3, son perpendiculares entre sí, pues m1* m2= -1. Las gráficas de estas tres rectas se representan en la siguiente figura.


ACTIVIDAD 1

Observa la siguiente gráfica, en la que se muestran las rectas L1,L2,L3 y L4. Realiza los siguientes ejercicios:


a. Para L1,L2,L3, marca puntos en cada una de las rectas y encuentra el valor de la pendiente en cada caso. Ten en cuenta que el eje X es el horizontal.b. Para L1,L2,L3, describe la proporcionalidad que tienen x e y de acuerdo con el signo de la pendiente obtenida en cada caso.

ACTIVIDAD 2

Realiza las siguientes actividades.

a. Para las rectas L1,L2,L3 de la gráfica anterior, toma un punto sobre ellas. En cada caso y encuentra la ecuación canónica de las tres rectas.b. Para los puntos (2,1) y (-3,-1), encuentra la ecuación canónica de la recta que pasa por ellos, el punto de corte con el eje Y y determina el tipo de proporcionalidad entre x e y. Grafica la recta en el plano cartesiano.

ACTIVIDAD 3

Las siguientes situaciones reales muestran los datos en un registro tabular. Completa la tabla, realiza la gráfica e indica si la situación puede representarse mediante una línea recta.

a. Número de pasos que da una persona a medida que transcurre el tiempo.

x Tiempo (s) 5 10 25y Número de pasos (un) 20 40 60 240

b. Precio en pesos de cierta cantidad de libros

x Cantidad de libros (un) 2 4 6 10y Precio ($) 12000 24000

ACTIVIDAD 4

Una fábrica de arepas produce 150 unidades a un costo total de $ 7500 y 200 unidades a un costo total de $ 10000. Suponiendo que la función de costo es lineal, encuentra:

a. La función que modela el costo C(x) de la fabricación de arepas, donde x es el número de arepas producidas.b. El costo de producir una arepa. Describe la relación que tiene este valor con la pendiente de la línea recta.c. El costo de producir 300 arepas.

d. Determina los costos fijos involucrados en la fabricación de arepas.


ACTIVIDADES DE EXPLORACIÓNACTIVIDAD 1. RECONOCIENDO LAS CARACTERÍSTICAS DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA

Observa el video en el enlace http://www.youtube.com/watch?v=fA6ZMym_N5Y y escribe un breve resumen sobre las aplicaciones propuestas para la función cuadrática.

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ACTIVIDAD 2. LA FUNCIÓN CUADRÁTICA EN LA VIDA REAL

En una cancha de baloncesto, se lanza un balón al aro. Describe la trayectoria que realiza la pelota. ____________________________________________________________________________________

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CONCEPTUALIZACIÓN: LA FUNCIÓN CUADRÁTICA

La función cuadrática representa una parábola y se escribe como y=f(x)=ax2+bx+c, con a≠0. La parábola puede situarse en el plano de acuerdo con lo siguiente:

a. Si a>0, la gráfica de la parábola se abre hacia arriba. b. Si a<0, la gráfica de la parábola se abre hacia abajo. c. Si la parábola se escribe de la forma x=f(y)=ay2+by+c, la gráfica se abre a la izquierda o derecha, dependiendo del signo de a y en este caso, la parábola no representa una función de x, pues para cada valor de x, existen dos valores de y, por lo que no cumple la definición de función.


En una parábola es importante encontrar los puntos de corte con los ejes coordenados y la coordenada del vértice. Existen las siguientes posibilidades:

a. Para el caso en el que la parábola es una función, el vértice se encuentra en . El vértice es el punto más alto o más bajo de la parábola. b. Para encontrar los puntos de corte en el eje X, se resuelve la ecuación y=f(x)=0, (procedimiento válido para encontrar los puntos de corte con el eje horizontal de cualquier función).c. Para encontrar el punto de corte con el eje Y se hace x=0.d. Si la función se escribe en la forma y=f(x)=(x-h)2+k, el vértice se encuentra en el puntoV(h,k).

Ejemplo

En el caso de la parábola y=f(x)=x2-x-6, los puntos de corte, con los ejes coordenados y el vértice, se encuentran de la siguiente forma:

a. Cortes en X, y=f(x)=x2-x-6=0, al solucionar la ecuación se obtiene que x= -2 y x=3, por lo tanto, los puntos de corte son: (-2,0) y (3,0).b. Corte con Y, y=f(0)=02-0-6=-6, luego el corte es (0,-6).c. El vértice. A partir de la ecuación dada, se tiene que a=1, b=-1, por lo tanto el vértice se encuentra

en el punto .

La gráfica de la función y los puntos encontrados se observan en la siguiente figura.



ACTIVIDAD 1

Para cada una de las siguientes parábolas, encuentra los cortes con los ejes coordenados (si es posible) y el vértice. Grafica la función en el plano cartesiano y marca los puntos encontrados.

a. y=f(x)=x2+2b. y=f(x)=-(x+1)2+3

ACTIVIDAD 2

Haciendo uso de las propiedades de la función cuadrática, plantea una función que modele la situación y resuelva la ecuación cuadrática resultante.

En la plaza de un pueblo hay un jardín rectangular. Tiene 80 metros de largo y 60 metros de ancho. Las autoridades van a instalar una escultura y para ello requieren remodelarlo. Han decidido remover parte del jardín, dejando una acera de igual ancho por los lados. El área del nuevo jardín es la mitad de la del jardín original. Encuentra la longitud del ancho que le recortaron al jardín.

ACTIVIDAD 3

Para cada una de las funciones cuadráticas que aparecen en las siguientes gráficas, escribe el vértice, los cortes con el eje X, y el corte con el eje Y. En los casos en que no sea exacto, escribe valores aproximados.


ACTIVIDAD DE EXPLORACIÓNACTIVIDAD 1: TRASLADEMOS LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

Partiendo de la siguiente gráfica, realiza en cada caso, las traslaciones indicadas en el plano cartesiano y determina el nuevo vértice y los puntos de corte con los ejes coordenados.

a. Traslada la gráfica dos (2) unidades hacia arriba.b. Traslada la gráfica tres (3) unidades a la izquierda y dos hacia arriba.

De acuerdo con lo anterior:

a. Determina cómo la traslación de la gráfica afecta la expresión funcional.b. Si la gráfica se mueve verticalmente u horizontalmente, determina los elementos de la ecuación que cambian. c. Describe los cambios en la gráfica de la ecuación, cuándo y se reemplanza por –y.

CONCEPTUALIZACIÓN. TRASLACIÓN Y REFLEXIÓN DE FUNCIONES

En muchas situaciones se requiere trasladar o transformar una función en el plano cartesiano. Para ello se parte de la gráfica de una función conocida. Si y=f(x) y k>0, una constante positiva, aplicando las siguientes reglas, se pueden obtener otras gráficas a partir de la de f.

a. Traslación vertical: La función f(x)+k, está k unidades arriba de la gráfica de f. La función f(x)-k, está k unidades abajo de la gráfica de f. Nota que la constante se le suma o resta a toda la expresión de la función.b. Traslación horizontal: La función f(x+k), está k unidades a la izquierda de la gráfica de f. La función f(x-k), está k unidades a la derecha de la gráfica de f. Nota que la constante se le suma o resta únicamente a la variable de la función.c. Reflexión con respecto al eje X. La función –f(x) es una reflexión sobre el eje X de la gráfica de f. Nota que se multiplica toda la función por menos.d. Reflexión con respecto al eje Y. La función f(-x), es una reflexión sobre el eje Y. Nota que se le cambia el signo a la variable de la función.


Dada la función f(x)=√x y k=1, se tienen las siguientes transformaciones.


ACTIVIDADES DE EJERCITACIÓNACTIVIDAD 1

A partir de las gráficas de f(x)=x2 y g(x)=sen(x) dadas a continuación, grafica y encuentra el dominio de las siguientes funciones.

a. f(x)+2, g(x)+πb. f(x)-3, g(x) - π/2c. f(x+1), g(x+π)


ACTIVIDADES DE EXPLORACIÓNACTIVIDAD 1: PATRONES DE FORMACIÓN

Los patrones en matemática están definidos de diferentes maneras: por las formas, por números, tipos de figuras, símbolos, letras, entre otras. Dados los siguientes conjuntos de elementos, observa y responde las preguntas que aparecen al final.

1. 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14...2. 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, ...3.

a. Encuentra y describe la característica que se repite en cada uno de los grupos.b. En cada grupo, determina el elemento que ocupa la tercera (3), décima (10) y n-ésima (n) posición.c. Determina, si es posible, un patrón general de formación que permita encontrar cualquier elemento del conjunto.

ACTIVIDAD 2: LOS PATRONES EN LA NATURALEZAObserva una piña, una flor, las ramas de un árbol. Describe las regularidades que percibes en este tipo de objetos.

CONCEPTUALIZACIÓN. LAS SUCESIONES

Una sucesión es una función que asocia números naturales con números reales, de tal forma que a cada natural le corresponde f(n)=an Para designar una sucesión se usa la expresión S={an} de este modo {an}={a1,a2 ,a3,…,an ,…} el término an que ocupa el enésimo lugar de la sucesión, es llamado término general o n-ésimo.

Si el término general está escrito con una expresión algebraica (fórmula) se puede hallar el número de términos que se quiera de la sucesión. Si sustituimos n por cualquier valor natural obtenemos el término n-ésimo correspondiente, de la sucesión.

Las sucesiones pueden clasificarse de tres maneras:

1. Sucesiones decrecientes: Son aquellas que cuando n aumenta, el valor del término o elementos de la sucesión disminuyen. Ejemplo:


2. Sucesiones crecientes: Se define como aquella que al aumentar el valor de x o n, los elementos de la sucesión también aumentan. Ejemplo:

3. Sucesión alterna: Es una sucesión que no es creciente ni decreciente, ya que sus elementos aparecen alternamente positivos y negativos. Ejemplo:


ACTIVIDAD 1

Escribir los cinco primeros términos de cada sucesión.

a. S={an}={n+1}b. P={an}={n3-1}c. R={an}={(-1)n-1(n+3)2 }d. T={an}={n+n2 }

ACTIVIDAD: 2

En las siguientes sucesiones, encuentra los términos que ocupan los lugares: 2, 5, 7, 10.

a.

b.

c.

ACTIVIDAD 3

Para las siguientes sucesiones, determine el término genérico.

a.

b. M={8,13,18,23,28,…}

c.

d.

e. Q={5,5,5,5,…}


ACTIVIDAD DE EXPLORACIÓNACTIVIDAD 1: SUMANDO SECUENCIAS DE NÚMEROS

En muchas situaciones se requiere sumar un conjunto grande de números que cumplen con una propiedad. Observa los siguientes conjuntos de números, determina la propiedad que cumplen y explora formas para sumar todos los elementos.

a. S={1,2,3,…,100}b. P={1/2,1,3/2,2,…,100}c. P={2,4,8,16,…,1024}d. Juan le prestó a Pedro 10000 a un interés mensual simple del 2% con la condición de que le devuelva el dinero y el interés al cabo de 5 años. Encuentra los cinco primeros términos de la sucesión del interés. Determine el monto que Pedro le debe entregar a Juan al cabo de ese tiempo.

CONCEPTUALIZACIÓN: CLASIFICACIÓN DE LAS SUCESIONES

Una sucesión aritmética es una secuencia de números, en la que, dos términos seguidos tienen una diferencia común. Se parte de un primer término conocido y de una diferencia dada.

El primer término se denota por a1 y la diferencia por d. De esta forma a 2 = a1+ d y el término n-ésimo,se puede calcular mediante la expresión a n = a1+(n -1) d . La suma de los n primeros términos de la

sucesión se encuentra mediante la fórmula .

Ejemplo

El teatro de un colegio tiene 20 asientos en la primera fila y 30 filas en total. Cada fila sucesiva tiene un asiento adicional. Encuentra el número de asientos de dicho teatro.

a1=20, número de asientos en la primera fila.

n=30, número de filas.

d=1, diferencia de asientos entre dos filas sucesivas.

an=a1+(n-1)d=20+29(1)=49, que es el número de asientos en la última fila.

Luego =1035, que es el número de asientos disponibles en el teatro.

Una sucesión geométrica es una secuencia de números, en la que dos términos seguidos tienen una razón o cociente común. Se parte de un primer término conocido y de una razón dada.

El primer término se denota por a1 y la razón por r. De esta forma a 2 = a 1 r y el término n-ésimo, se

puede calcular mediante la expresión . La suma de los n primeros términos de la sucesión

se encuentra mediante la fórmula . Ten en cuenta que la razón no puede ser 1 ni 0 (cero).



1. Te encuentras en una entrevista de trabajo. El empleador te hace las siguientes ofertas de salario.

Oferta 1. Pago de $20.000.000 iniciales con aumentos garantizados del 6% anual durante 5 años. Oferta 2. Pago de $22.000.000 iniciales con aumentos garantizados del 3% anual durante 5 años. Si tu objetivo es conseguir la mayor cantidad de dinero al cabo de los cinco años, la mejor oferta salarial es.

2. Juan ha sido contratado en una empresa. Tiene un salario inicial de $ 2.000.000, cada mes le aumentan el 0.5%. Determina

a. El salario de Juan en el sexto mes. b. El total de dinero ganado en el primer año.

ACTIVIDADES EVALUATIVAS

La siguiente prueba consta de 12 ejercicios, con los que pondrás a prueba tus conocimientos. Tiene cuatro opciones de respuesta, en las que, sólo hay una verdadera. En cada caso selecciona la respuesta correcta.

1. El modelo que representa la ecuación de la línea recta, en la siguiente gráfica es

a. y=-x+2b. y+x=2c. y-x=2d. y=x-2


2. Un googol es 10 a la potencia 100. Si un googol es (x5)10, entonces el valor de x es

a. 100b. ±100c. ±20d. 20

3. Considere las posiciones de los números a lo largo de la recta numérica. Un posible valor para x es

a.

b.

c.

d.

4. En la ecuación 1615+1615+ 1615+1615 = 4x . El valor de x es a. 18b. 31c. 40d. 45

5. La suma de es igual a

a. 45

b. 55

c. 60 +

d. 30 +


6. Se tiene la siguiente progresión aritmética decreciente con números de dos dígitos: A 6 , A B , A 4 , B 3 . Los valores de los dígitos A y B son respectivamente:

a. 3 y 7b. 4 y 8c. 5 y 5d. 6 y 9

7. En la siguiente figura, el área de la figura sombreada es

a.

b.

c.

d.


8. Para que el polinomio x2-bx+2b, tenga soluciones reales, b debe pertenecer a

a. R- ( 0 , 8 )b. R- [ 0 , 8 ]c. R- [ 0 , 8 )d. R- ( 0 , 8 ]

Responde las preguntas 9 y 10 de acuerdo con la siguiente información.

• A continuación se presenta la gráfica que muestra la relación entre el consumo mensual en metros cúbicos y la tarifa de pago mensual del servicio de agua.

9. Si x representa el consumo mensual, en metros cúbicos, de agua en una familia, la expresión que representa el costo mensual para consumos menores de 20 metros cúbicos es

a. 6600xb. 25000x+903c. 920x+6600d. 6600x+25000

10. Si un usuario pagó $ 40.000 pesos por el consumo mensual, el número de metros cúbicos que consumió en dicho mes está entre

a. 0 y 10 m3

b. 10 y 20 m3

c. 20 y 30 m3

d. 30 y 40 m3


11. El profesor de Educación Física forma sus estudiantes de la siguiente manera: en la primera fila coloca un estudiante y a las filas restantes les agrega cada vez dos estudiantes. Si con todos los alumnos forma 10 filas, el número total de estudiantes en la clase es

a. 20b. 50c. 60d. 100

12. Se deja caer una pelota desde una altura de 20 metros. Cada vez que la pelota golpea contra el piso, rebota 0.7 de la altura anterior. La altura que la pelota alcanza en el cuarto rebote es

a 4.8 mb. 7.3 mc. 10 md. 12 m


UNIDAD 2COMPONENTE

MÉTRICO-GEOMÉTRICO


Comprender el entorno desde su estructura geométrica, permite a las personas, que conviven en una comunidad o región, mejorar sus condiciones de vida. Para realizar diferentes construcciones, se debe llegar a acuerdos sobre las formas y las unidades de medida a utilizar. Desde diferentes contextos, el componente métrico-geométrico, busca que el estudiante comprenda las relaciones que existen entre los objetos de un espacio físico con lo geométrico, reconociendo conceptos y propiedades que los fundamentan y estableciendo patrones y formas de medición.

El siguiente mapa conceptual establece una estructura temática del componente métrico-geométrico para los grados 10° y 11°. Además, se propone, una ruta metodológica para el abordaje conceptual en el aula de clase, de tal forma que se convierta en un proceso formativo, para la comprensión del componente y mejorar el desempeño de los participantes en las Olimpiadas del Conocimiento.


ACTIVIDADES DE EXPLORACIÓNACTIVIDAD 1: RECONOCIENDO LÍNEAS

Esta actividad tiene como propósito reconocer la línea recta y la posición relativa entre ellas, además las cónicas como líneas curvas. Observa la siguiente fotografía de una estación del Metro de Medellín e identifica las líneas y curvas que conforman la imagen.

Figura 1. Metro de Medellín1.

De acuerdo con la visualización realizada, desarrolla las siguientes actividades:

a. Clasifica las líneas que encontraste.b. Describe el tipo de líneas que forman los rieles del Metro.c. Los parales de la baranda, respecto al piso, conforman un tipo de líneas. Determina una clasificación para dichas líneas.d. De acuerdo con su forma, clasifica las líneas o curvas que se observan en la estructura del techo de la estación del Metro.

ACTIVIDAD 2: FORMAS EN CONTEXTOS

Con el ánimo de reconocer las formas en contexto, observa tu colegio e identifica formas geométricas. Describe en qué lugar se encuentran y realiza una clasificación de acuerdo con sus características.

CONCEPTUALIZACIÓN: LA LÍNEA RECTA

Un lugar geométrico es un conjunto de puntos del plano que satisfacen una determinada propiedad. Algunos ejemplos son: los puntos del plano que están en la misma dirección, los puntos del plano que están a la misma distancia de un punto fijo, la línea recta que divide un segmento en dos partes iguales y la recta que divide un ángulo en dos ángulos iguales.

1. Imagen tomada de http://www.google.com.co/imgres?hl=es&sa=X&biw=1024&bih=475&tbm=isch&prmd=imvns&tbnid=0oAiwTRA0kcXRM:&imgrefurl=http://noticiasrevistanuevomilenio.blogs Julio 7 de 2012


Una línea recta es el lugar geométrico de todos los puntos, que están en la misma dirección. Para su estudio, la dirección se toma como el ángulo, medido positivamente, que forma la recta al cortar el eje X. De esta forma, se presentan cuatro situaciones posibles para ubicar una recta en el plano cartesiano.

a. Para un ángulo entre 0°<θ<90°, la dirección es positiva.b. Para un ángulo entre 90°<θ<180°, la dirección es negativa.c. Para el ángulo θ=90°, la dirección es infinita o indeterminada.d. Para el ángulo θ=0°, la recta es paralela al eje X.

Si dos rectas en el plano cartesiano tienen el mismo ángulo con el eje X, son paralelas. Si forman entre sí, un ángulo θ=90°, son perpendiculares. En cualquier otro caso, se dice que se cortan.

La siguiente figura, muestra una línea recta que pasa por los puntos Q(x0 ,y0 ) y P(x,y), con el punto R se construye el triángulo rectángulo QRP. Los catetos del ∆QRP son ∆ x=x-x0 y ∆y=y-y0 , de donde

se tiene que

. A este valor m se le llama la pendiente de la línea recta.

Para hallar el ángulo formado por la recta que pasa por el punto Q y el punto P con el eje X, se utiliza la expresión Arctan(m)=θ.

EjemploLa línea recta que pasa por los puntos Q(-1,-1) y P(3,3), tiene pendiente m=1, por lo tanto, el ángulo que hace con el eje X es Arctan(1)=45°=π /4 rad.


DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Y PUNTO MEDIOEn el plano, puede determinarse la distancia entre dos puntos cualquiera C(h,k) y P(x,y), mediante la fórmula . Aquí, se tiene que x- h es la distancia horizontal de la proyección del punto P sobre la horizontal, y - k es la distancia vertical de la proyección del punto C sobre la vertical, como se muestra en la siguiente figura.

El punto medio entre los puntos C(h,k) y P(x,y) que están en el plano es ,como se observa en la siguiente figura.


Para expresar el ángulo, se debe tener cuidado con el comando modo (MODE) que tiene la calculadora. Recuerda que, en general, las calculadoras, en las opciones de medidas de los ángulos, éstos están expresados en grados sexagesimales, centesimales o radianes. Escribe las unidades, en las cuales está medido el ángulo, es importante.

En la siguiente figura, encuentra la pendiente y el ángulo que forma cada recta con el eje x. Expresa cada ángulo en grados sexagesimales, centesimales y radianes.

a. Recta que pasa por los puntos A y B.b. Recta que pasa por los puntos C y D.


ACTIVIDAD 2

Ubica dos puntos A y B en el plano y traza una recta que los contenga. Marca puntos externos y traza rectas que cumplan las siguientes condiciones:

a. Paralelas a la recta que pasa por A y B.b. Perpendiculares a la recta que pasa por A y B.c. Que formen ángulos de θ=30°, θ=45°, θ=60°, θ=120° y θ=135° con el eje X. Para cada una de estas rectas observa, describe su dirección y encuentra su pendiente.

ACTIVIDAD 3

En la siguiente gráfica se encuentran marcados algunos puntos. Selecciona dos puntos dados cualquiera y encuentra la distancia entre ellos y el punto medio.

a. Entre A y B.b. Entre A y C.c. Entre el origen y E.d. Entre el origen y D.

ACTIVIDAD 4

Grafica cada una de la rectas, de acuerdo con las condiciones dadas.

a. (0, 3), m= b. (-2, 4) m=4c. (-1, 2) m=-1


ACTIVIDADES DE EXPLORACIÓNACTIVIDAD 1: INFORMACIÓN TRIGONOMÉTRICA

Apoyado en cualquier tipo de recursos, consulta que es la trigonometría y cuáles son sus aplicaciones. En la siguiente imagen, trata de describir, de qué manera, se aplica esta rama de las matemáticas.

Tomado de http://www.trotamillas.es/tag/puentes/. Julio 12 de 2012.

CONCEPTUALIZACIÓN: LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.

Dado el siguiente triángulo rectángulo ABC, se definen las razones trigonométricas del ángulo θ del vértice C. Cada lado se designa con un nombre diferente.


• La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.

• El cateto opuesto (co) es el lado opuesto al ángulo que queremos determinar.

• El cateto adyacente (ca) es el lado adyacente al ángulo del que queremos determinar.

La suma de los ángulos internos de un triángulo cualquiera, es igual a π radianes (o 180°). En consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo, la suma de los ángulos agudos se encuentra entre 0 y 90° o radianes.

Las definiciones que se dan a continuación, son válidas, estrictamente, para triángulos rectángulos y se basan en la figura anteriormente dada.

• El seno de un ángulo es la relación o cociente entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa:

• El coseno de un ángulo es la relación o cociente entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa:

• La tangente de un ángulo es la relación o cociente entre la longitud del cateto opuesto y la del cateto adyacente:

En trigonometría, existen dos teoremas fundamentales, que relacionan ángulos y lados de cualquier triángulo en el plano, son ellos el teorema del seno y el teorema del coseno.

El Teorema del seno está asociado con las relaciones proporcionales, que pueden establecerse entre las longitudes de los lados y los senos de los ángulos opuestos a cada lado. Este teorema establece que, para un triángulo ABC, donde a,b y c son las medidas de los lados opuestos a los ángulos α, β y θ, respectivamente, se cumple que:


El teorema del coseno relaciona un lado del triángulo ABC con los otros dos y el coseno del ángulo comprendido entre ellos. Dado un triángulo ABC, donde los ángulos internos son α,β,θ y los lados opuestos a estos ángulos a,b,c, se tiene que:

c 2= a 2+b 2 -2 abcos(θ)

Note que, si θ = , cos(θ)=0, en este caso el triángulo ABC es rectángulo.


Resuelve cada uno de los siguientes triángulos, es decir, determina el valor de sus tres lados y sus tres ángulos; además calcula el valor de la función seno, coseno y tangente con respecto al ángulo θ.

ACTIVIDAD 2

Realiza un diagrama de las siguientes situaciones y resuélvelas haciendo uso de las funciones trigonométricas.

a. Un trabajador recuesta su escalera de 4 m de longitud contra un poste de energía. Si el pie de la escalera está a 1.20 m del pie del poste, halla el ángulo de elevación de la escalera.b. Un avión pasa por Guatapé y un pasajero que está observando por la ventana se maravilla de la piedra de El Peñol. El ángulo de depresión con el que observa es de 48° y la distancia, que en ese momento existe, entre el avión y la base de la piedra es de 2500 m. Encuentra la altura a la que está el avión.c. Un edificio proyecta una sombra de 40 m de largo. Si el ángulo que se forma desde la punta de la sombra hasta el punto más alto del edificio es de 69°, halla la altura del edificio.d. Una escalera eléctrica, entre el primer y el segundo piso, de un centro comercial tiene 50 m de largo y forma un ángulo de 30° con el primer piso. Encuentre la distancia vertical entre los dos pisos.


ACTIVIDAD 3

Amplía la información sobre el teorema del seno y del coseno y completa el siguiente cuadro. Socialízalo con tu profesor y compañeros.

TEOREMA QUÉ PROPONE CUÁNDO SE APLICA

SENOCOSENO

ACTIVIDAD 4

Haciendo uso comprensivo de la información anterior, soluciona las siguientes situaciones.

a. En un trapecio isósceles la base menor mide 20 cm y uno de los lados 30 cm. Si uno de los ángulos, respecto a la base mayor mide 79°, determina la magnitud de la diagonal. b. Un accidente ocurre cerca de una vía principal de tu casa y la de Camilo. Los dos se dirigen al lugar del accidente. En la siguiente gráfica se ilustra la dirección (ángulo) con la que se deben desplazar. Suponiendo que los dos caminen a la misma velocidad, encuentra quién llega primero al lugar del accidente.


ACTIVIDAD 1: RECONOCIMIENTO DE LAS CÓNICAS

Con plastilina o barro del que se utiliza para hacer arreglos florales, construye varios conos. Realiza las siguientes actividades.

a. Un corte perpendicular a la base del cono, desde su vértice. b. Un corte que atraviese el eje de simetría del cono en un ángulo que no sea recto, pero con la condición de que no termine en la base del cono.c. Un corte que atraviese el eje de simetría pero que termine en la base del cono.d. Une dos conos por el vértice y haz un corte paralelo al eje de simetría.e. Observa y describe las siluetas de los cortes realizados.


ACTIVIDAD 2: HISTORIA DE LAS CÓNICAS

Busca en diversas fuentes las definiciones de las cónicas y cómo se descubrieron. Realiza un breve resumen. ____________________________________________________________________________________

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CONCEPTUALIZACIÓN: LAS CÓNICASLA CIRCUNFERENCIA

La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan (están a la misma distancia) de un punto fijo llamado centro. La distancia entre el centro C(h,k) y cualquier punto P(x,y) que esté sobre la circunferencia se llama radio y se representa por r.

Las siguientes son algunas características de las circunferencias:

a. La ecuación cartesiana de la circunferencia es (x-h)2+(y-k)2=r 2

b. La longitud está dada por L=2πr.c. El área está dada por A= πr2d. Un sector circular es el área limitada por dos radios.

e. Área del sector circular es S en donde ∝ es el ángulo comprendido entre los dos radios y medido en grados sexagesimalesf. La longitud del arco del sector circular es .


LA ELIPSE

La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es constante, es decir, d1+ d 2= c

a. La ecuación cartesiana de la elipse que tiene centro en C(h,k) y semiejes a y b está dada por 1.

b. La distancia del centro C a cada uno de los focos F1 y F2 es c=√(a2-b2).c. Si a>b el eje mayor es paralelo al eje X y tiene longitud 2a. En caso contrario el eje mayor es paralelo al eje Y y tiene longitud 2b.d. Si a>b, las coordenadas de los focos son F1(h-c,k), F2(h+c,k), las de los extremos del eje mayor (h-a,k), (h+a,k) y las del eje menor (h,k-b), (h,k+b).e. El área de la región que encierra la elipse es A=πab.f. La longitud o perímetro de la elipse no es fácil de calcular. Una fórmula que da un valor aproximado

.

LA HIPÉRBOLA

Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que, el valor absoluto de la diferencia de sus distancias, a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva, es decir, .

En la siguiente gráfica se representa una hipérbola. Los focos son F1 y F2. P es un punto cualquiera sobre la hipérbola. Se tiene que d1 es la distancia de P a F1 y d2 es la distancia de P a F2. El valor absoluto |d1|-|d2|=k, donde k es una constante.


En el plano cartesiano, la hipérbola tiene las siguientes características:

a. La ecuación cartesiana de la hipérbola que tiene centro en C(0,0) y sus ramas se abren sobre el eje

X está dada por .

b. La ecuación cartesiana de la hipérbola que tiene centro en C(0,0) y sus ramas se abren sobre el eje

Y está dada por

.

c. Si la hipérbola se abre sobre el eje X , la distancia c del centro a los focos está dada por . Los vértices se encuentran en los puntos V1(-a,0) y V2(a,0). Los focos se encuentran en F1(-c,0) y F2(c,0).

d. Si la hipérbola se abre sobre el eje Y , la distancia c del centro a los focos está dada por . Los vértices se encuentran en los puntos V1(0,-a) y V2(0,a). Los focos se encuentran en F1(0,-c) y F2(0,c). e. La hipérbola tiene dos asíntotas que se cortan en el centro. Las ecuaciones de dichas rectas son

e .

En la hipérbola , a =1 , b =1, por lo tanto se abre sobre el eje Y, .

El centro C ( h , k) = (0 , 0) , V1(0 , -1) y V 2(0 ,1) . Los focos se encuentran en F 1(0 , - √2) y F 2(0 ,√2) , las ecuaciones de las asíntotas son y=-x y y=x. Una ilustración de la hipérbola y sus partes se puede apreciar en la siguiente gráfica.


LA PARÁBOLA

Una parábola es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta dada, llamada directriz, y de un punto fijo denominado foco. En la siguiente figura se ilustran las partes descritas en la definición. La recta vertical es la directriz.

A partir de ello, se tienen las siguientes características:

a. La ecuación cartesiana o canónica de la parábola con vértice en V(h,k) y distancia al foco y a la directriz p, está dada por(x-h)2=4 p ( y - k ) o (y-k)2 =4 p ( x- h ) .b. El eje de simetría es una recta que pasa por el vértice y el foco. Divide la parábola en dos regiones iguales. c. El lado recto de una parábola es el segmento que pasa por el foco, es paralelo a la directriz y tiene como extremos los cortes con la parábola. La longitud del lado recto es LR=4p.


De acuerdo con la forma como se abre la parábola en el plano, se tienen las siguientes posibilidades para la ecuación cartesiana:

Ecuación Se abre Foco Directriz Eje de simetría

(x-h)2=4p(y-k) Arriba (h,k+p) y=k-p x=h(x-h)2=-4p(y-k) Abajo (h,k-p) y=k+p x=h(y-k)2=4p(x-h) Derecha (h+p,k) x=h-p y=k(y-k)2=-4p(x-h) Izquierda (h-p,k) x=h+p y=k

La parábola (x-2)2=4(y+2), tiene vértice V(h,k)=V(2,-2), la distancia foco es p=1. Se abre hacia arriba. El foco F(h,k+p)=F(2,-1), la directriz tiene por ecuación y=k-p=-3, el eje de simetría es x=h=2. La longitud del lado recto LR=4. La gráfica y todos sus elementos se observan en la siguiente imagen.

ACTIVIDADES DE EJERCITACIÓNACTIVIDAD 1: SOBRE LA CIRCUNFERENCIA

1. Reescriba la fórmula para calcular el área del sector circular y la longitud del arco del sector circular para el caso en que, el ángulo ∝, esté medido en radianes.2. Determina la ecuación de las circunferencias de acuerdo a las siguientes gráficas.

3. En una circunferencia, una cuerda mide 8 cm y está a una distancia de 3 cm del centro. Calcula el área del círculo.


ACTIVIDAD 2: SOBRE LA ELIPSE

1. Escriba las coordenadas para los focos y los extremos de los ejes cuando el eje mayor es paralelo al eje Y.

2. Encuentra las coordenadas de los focos, los extremos de los ejes, el área y un valor aproximado del perímetro de cada una de las siguientes elipses. Dibújalas en un plano cartesiano.

a.

b.

c.

3. Determina la ecuación de una elipse centrada en el origen, sabiendo que la distancia de un vértice a un foco es 4 cm y la distancia al otro foco es 20 cm.

ACTIVIDAD 3: SOBRE LA HIPÉRBOLA

1. Halla la ecuación de la hipérbola, según el caso, que cumple las condiciones dadas. Grafica cada curva con sus elementos.

a. Tiene centro en (0,0), la longitud del eje mayor es 10 cm en X y la longitud del eje menor es 6 cm en el eje Y.b. Focos en (6, ± 1) y longitud del eje mayor es 16.

2. Dadas las siguientes ecuaciones, determina los focos, los vértices y el centro de la curva y grafícala.

a.

b.

c.

ACTIVIDAD 4: SOBRE LA PARÁBOLA

1. Determina el vértice, la distancia al foco, las ecuaciones de la directriz y del eje de simetría de cada una de las siguientes parábolas. En cada caso, grafícalas en el plano cartesiano, marcando cada uno de sus componentes.

a. (x-2)2=8(y-1)b. (x+2)2=-8(y+1)


2. Completa la tabla de tal modo que determine los elementos de cada parábola, es decir, el eje focal, vértice, foco y directriz de la parábola. Grafica en cada caso.

Coordenada del vértice Coordenada del foco Longitud del lado

recto Directriz Ecuación General

(0,0) y = - 2 (1,3) (1,6)

y 2 = - 12x

3. Determina la ecuación de las parábolas que cumplen las condiciones dadas. En cada caso, grafícalas en el plano cartesiano.

a. F(2,1), p=2 y se abre a la izquierda.b. Directriz x=2, eje de simetría y=3, distancia al foco p=3 y se abre a la derecha.

ACTIVIDADES EVALUATIVAS.

La siguiente prueba consta de 10 ejercicios, con los que pondrás a prueba tus conocimientos. Tienen cuatro opciones de respuesta, en las que, sólo hay una verdadera. En cada caso se debe seleccionar la respuesta correcta.

1. En la figura los círculos son todos congruentes y tangentes entre sí, con un radio de 1m. La altura h es

a. 2+√2 mb. 2+√3 mc. 2+2√3 md. 5 1⁄2 m


2. El cuadrado A B C D tiene lado 3 cm. E y F son puntos medios de A B y B C respectivamente. El área del cuadrilátero E B F D es

a. 2,25 cm2

b. 3 cm2

c. 4 cm2

d. 4,5 cm2

Con los siguientes datos, resuelve los ejercicios 3 y 4.

Dado un triángulo equilátero de lado 1m y otro triángulo equilátero de lado 2m.

3. La razón entre las áreas de dichos triángulos es

a.

b.

c. d.

4. La razón entre las alturas de dichos triángulos es a.

b.

c. d.

Con la siguiente información resuelve los ejercicios 5, 6 y 7.

En las siguientes figuras, el diámetro de las circunferencias es equivalente al lado del cuadrado de la figura 2, e igual a 1cm.


5. Las dos figuras que tienen el área sombreada igual son

a. 1 y 4b. 2 y 3c. 3 y 4d. 1 y 3

6. La figura cuya área sombreada es mayor a la de las otras es

a. 1b. 2c. 3d. 4

7. De las figuras, la de mayor área no sombreada es

a. 1b. 2c. 3d. 4

8. De acuerdo con la siguiente gráfica, la pendiente de la línea recta es

a.

b.

c. m=-1

d. m=1


9. Los puntos P, Q , R y S están alineados. S entre P y R y R entre S y Q. Si , y , entonces el valor de es

a. 20b. 24c. 25d. 26

10. En la siguiente figura, el círculo está inscrito en la elipse. Si el área del círculo=πr2 cm2 y el área de

la elipse =abπ cm2, puede afirmarse que el área de la región sombreada es igual a

a. 4π cm2

b. 8π cm2

c. 2π cm2

d. π cm2


UNIDAD 3COMPONENTE ALEATORIO


El actual momento, de desarrollo histórico de la humanidad, se ha denominado “la era de la información y la comunicación”. Estos dos elementos trascienden fronteras y dejan su huella en diversas culturas y países. Las personas se interesan por asuntos políticos, tanto en su espacio cotidiano, como por el de otros lugares. En distintas partes, las preferencias de los consumidores por un determinado producto, la aceptación de los votantes por los candidatos a la presidencia de un país, el rendimiento académico de los estudiantes de dos grupos de una misma materia, entre otros muchos aspectos, se han convertido en objeto de estudio, para determinar su impacto informativo en lo social.

Para estudiar los anteriores temas, los especialistas requieren definir una población objetivo, determinar claramente lo que se quiere observar, tomar muestras, tabular la información obtenida, analizarla, sacar conclusiones y hacer proyecciones para toda la población de donde provienen los datos. Todos estos procesos forman parte de la estadística, que cada día toma mayor fuerza en el procesamiento y análisis de grandes volúmenes de datos. La estadística estudia los resultados de experimentos aleatorios, es decir, de aquellos experimentos que están asociados con el azar y que, por lo tanto, no es posible conocer su resultado antes de que el hecho ocurra. Por ejemplo, no podemos saber de antemano el último dígito de la placa del próximo coche que pase frente a nosotros. El componente aleatorio, estudia fenómenos de esta clase y pone de manifiesto las competencias interpretativas y argumentativas que los sujetos poseen sobre diversos sucesos que están presentes en su entorno o afectan de una forma u otra su modo de vida.

A continuación se presenta un mapa conceptual, en el que se exponen las temáticas del componente aleatorio para los grados 10° y 11°.


ACTIVIDADES DE EXPLORACIÓN ACTIVIDAD 1

De acuerdo con las diversas situaciones que has visto o vivido en tu entorno:

a. Describe varias circunstancias en las que se hable o aplique la estadística.b. Explica las formas como la tabulación y el procesamiento de datos influye en nuestra vida.c. Busca en medios impresos o audiovisuales información estadística y describe la forma como ésta se presenta al público.

ACTIVIDAD 2: LA ESTADÍSTICA EN LOS MEDIOS DE COMUNICACIÓN

A través de los medios de comunicación como la televisión, la prensa, la radio, entre otros, se realizan encuestas sobre diversos temas.

En la última que escuchaste o participaste, describe el tipo de preguntas, el tipo de información que se ofrecía en las opciones de respuesta y el objetivo de la encuesta.

ACTIVIDAD 3: LOS DATOS Y SU ANÁLISIS

Pídele a cuatro compañeros que cada uno escriba una frase. Cuenta el número de cada una de las vocales en cada una de las frases y completa la siguiente tabla.

Frase a e i o u Total

Frase 1

Frase 2

Frase 3

Frase 4

Total

El total por filas indica el número de vocales en cada frase. El total por columnas indica el número de veces que aparece una vocal en todas las cuatro frases.

De acuerdo con la información recopilada en la tabla, responde:

a. La vocal que más se repite en todas las frases esb. La frase que más vocales tiene esc. La suma de todas las vocales de las frases uno y dos esd. La suma de la vocal “a” y la vocal “e” en todas las frases ese. A partir de los resultados obtenidos, realiza una conjetura sobre la vocal que más y la que menos se repite en las frases del idioma español.


CONCEPTUALIZACIÓN. LA ESTADÍSTICA Y SUS CONCEPTOS FUNDAMENTALES

Al realizar un estudio estadístico es necesario tener en cuenta la población objeto de análisis, la(s) característica(s) o variable(s) de interés, la forma de recolectar y organizar la información, el procesamiento, los resultados y la utilización de éstos en la toma de decisiones. Las siguientes definiciones, precisan algunos de los conceptos básicos, a tener en cuenta, al realizar un estudio estadístico.

Estadística: Es el arte y la ciencia que se ocupa de recolectar, analizar, presentar e interpretar datos.

Datos: Son los hechos y cifras que se recolectan, analizan y resumen, para su presentación e interpretación.

Población: Es el conjunto de los elementos que tienen una característica común y sobre los cuales se hace una observación o estudio.

Muestra: Es un subconjunto representativo de la población.

Conjunto de datos: Todos los elementos recolectados en el estudio de interés.

Muestreo: Procedimiento mediante el cual se toma la muestra.

Censo: Un estudio para recolectar los datos de interés de toda una población.

Variable: Característica que se quiere estudiar de un elemento de la población.

Dato cualitativo: Etiquetas o nombres utilizados para identificar cada elemento. Por ejemplo, sexo de una persona, color de los ojos, la calificación “excelente” en una prueba de matemáticas, entre otros.

Dato cuantitativo: Valores numéricos que indican cuánto o cuántos de algo. El peso de una persona, los metros cúbicos (m3) del consumo mensual de agua en una familia, la altura de un libro en una biblioteca, entre otros.

Variable cualitativa: Una variable con datos cualitativos.

Variable cuantitativa: Una variable con datos cuantitativos.

Ejemplo

Funcionarios del Departamento de Tránsito de un Municipio de Antioquia, le encargan a Juan y a Luis recolectar información sobre el color y el número de personas que viajan en los vehículos que entran al pueblo en un día de mercado. Es importante tener presente que, todos los carros que ingresan al pueblo, están pintados de un solo color.

De acuerdo con esta situación puede definirse:

Población: Vehículos que entran al pueblo.Muestra: Vehículos que entran al pueblo en el día de mercado.


Variables de interés en el estudio:

Cualitativa: El color de los vehículos que entran al pueblo.Cuantitativa: El número de personas que viajan en cada vehículo que entra al pueblo.

El experimento es aleatorio, ya que Juan y Luis, no saben con anterioridad el color y el número de personas que viajan en cada uno de los vehículos, que ingresan al pueblo. Las variables definidas son aleatorias, puesto que recogen información de un experimento de este tipo.

Al finalizar el día de mercado, Juan y Luis presentan las siguientes tablas a manera de informe:

Color del vehículo Cantidad

Rojo 4Verde 2Azul 1

Amarillo 3Total 10

Tabla 1.

La información presentada en la Tabla 1, recibe el nombre de distribución de frecuencias tabla de frecuencias.

Frecuencia (frecuencia simple). Es el número de veces que se repite un resultado particular de una variable. Se denota por fi.

Por ejemplo, la frecuencia de ingreso al pueblo de carros rojos es 4.

Vehículo Cantidad de personas

V1 5V2 6V3 4V4 1V5 9V6 8V7 7V8 4V9 6

V10 10

Total 60 Tabla 2.

La Tabla 2 muestra los registros realizados por Juan y Luis, en relación con la cantidad de personas que ingresan al pueblo en cada uno de los vehículos.

El estudio de grandes cantidades de datos, o de pocos datos pero con valores muy dispersos, se realiza a través del agrupamiento en clases. Una clase, es un conjunto de datos que tienen una característica común. En general, en los datos cualitativos, las clases están determinadas por cada una de las cualidades observadas. En los cuantitativos, se construyen intervalos disjuntos (que no tienen elementos en común) para formar las clases.


Para la variable “número de personas que viajan por vehículo que entra al pueblo”, una posible agrupación por clases, se obtiene al definir intervalos para el número de personas que transportan los vehículos, como se muestra en la distribución de frecuencias que se presenta en la Tabla 3.

Clase FrecuenciaEntre 1 y menos de 5 personas 3Entre 5 y menos de 8 personas 4

Ocho o más personas 3Total de vehículos 10

Tabla 3.

Es importante tener presente que:

a. En general, para un conjunto de datos, existen diferentes maneras de definir clases. b. Cuando se trata de agrupar en clases, la recomendación es que, el número de estas, esté entre 5 y 15 clases.c. Esta manera de agrupar la información puede ser utilizada por el Departamento de Tránsito del Municipio para tomar diferentes decisiones.

Frecuencia relativa de una clase. Se obtiene dividiendo la frecuencia de la clase entre el total de todas las observaciones realizadas. Se denota por fr.

Frecuencia relativa acumulada. Se obtiene dividiendo cada una de las frecuencias acumuladas entre el total de observaciones realizadas. Se denota por Fr.

Frecuencia acumulada. Es la suma de las frecuencias simples de todos los valores inferiores (anteriores) o iguales al valor considerado. Se denota con F.

Las Tablas 4 y 5 muestran las distribuciones de frecuencia definidas anteriormente, tanto para el color del vehículo como para la cantidad de personas que viajan en ellos.

Color del vehículo f fr F FrRojo 4 0.4 4 0.4

Verde 2 0.2 6 0.6Azul 1 0.1 7 0.7

Amarillo 3 0.3 10 1Total 10 1

Tabla 4.

Clase f fr F Fr

Menos de 5 personas 3 0.3 3 0.3

Entre 5 y menos de 8 personas 4 0.4 7 0.7

Ocho o más personas 3 0.3 10 1

Total de vehículos 10 1 Tabla 5.


Cuando se presenta información clasificada en tablas de frecuencias, esta se puede representar gráficamente en histogramas de frecuencias, polígonos, y tortas, entre otras posibilidades.

Las siguientes son algunas de las formas gráficas de presentar la información de las Tablas 4 y 5.

La gráfica de la izquierda corresponde a un histograma de frecuencias para cada una de las variables estudiadas. El de la derecha es un diagrama circular (torta).

Para variables cuantitativas se pueden determinar y calcular diferentes parámetros que apoyan la interpretación de los datos. Estos parámetros reciben el nombre de medidas de tendencia central y de dispersión. A continuación se presentan algunas de ellas.

Si son los n resultados posibles de las observaciones de una variable aleatoria cuantitativa, entonces:

El rango es la diferencia entre el dato mayor y el dato menor.

La moda es el dato que más se repite.


Para calcular la mediana se requiere organizar los datos de menor a mayor. Si el tamaño de la muestra es impar, la mediana es el dato central. Si es par, se promedian los dos datos centrales.

La media, es el promedio de los resultados. Se calcula empleando la siguiente fórmula

Los cuartiles, son valores de la variable, que dividen el conjunto de datos en cuatro partes iguales. Cada una de estas partes contiene el 25% del total de los datos. Los cuartiles son tres y se representan por Q1 ,Q2 y Q3 .

Los percentiles, dividen en 100 partes la distribución de los datos. Aportan información acerca de la dispersión de los datos en un intervalo. Se reconoce que:

Q1 = p e r c e n t i l 2 5 = P 25

Q2 = p e r c e n t i l 5 0 = P50

Q3 = p e r c e n t i l 7 5 = P75

La varianza es una forma de medir la dispersión de los datos con respecto a la media. Su fórmula es:

La desviación estándar es una unidad que se utiliza para saber cuánto se separan los datos de la media. La forma de calcularlo es:

Para la variable aleatoria “número de personas que viajan en cada vehículo que ingresa al Pueblo”, los datos se muestran en la Tabla 2.

El número más grande de personas que viajan en un vehículo es 10 y el menor es 1. Por lo tanto el rango es 9.

La moda es 4 o 6, en este caso se dice que la muestra es bimodal.


El promedio es definido como = 5.5, que indica

que en promedio, en cada vehículo que entra al pueblo, viajan 5.5 personas. Al interpretar los datos, hay que tener mucho cuidado, pues el resultado obtenido no tiene ningún sentido con relación a la variable que se está estudiando ya que, es una variable cuantitativa discreta. Una interpretación más acertada es decir que, en promedio, viajan alrededor de 5 personas en cada vehículo que ingresa al pueblo.

La mediana, se consigue al organizar los datos de menor a mayor se tiene 1, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 10. Como el tamaño de la muestra es 10, los dos datos que están en el centro son 6, y 6 el promedio de los dos es 6.

La varianza para esta variable es igual a

La desviación estándar se calcula empleando la expresión

Esta medida estadística

no tiene unidades.

El dato x=9 (vehículos que ingresan al pueblo con 9 personas), la distancia a la media ( ) es mayor a una desviación estándar. Note que el único dato que está a más de dos desviaciones estándar de la media es x=1.


ACTIVIDAD 1

El número de horas diarias de estudio de 30 alumnos es:

3, 4, 3, 5, 5, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 0, 2, 0, 3, 2, 2, 1, 2, 1, 3, 2, 0, 1, 2, 1, 4, 3

Realiza una tabla de frecuencia como la anterior y responde:

a. Define la variable de interés esb. La cantidad de alumnos que estudian dos horas diarias esc. La cantidad de alumnos que estudian tres horas o menos esd. La cantidad de alumnos que estudian cuatro horas o más ese. Define intervalos de clases y elabora una tabla de frecuencias, donde registres la frecuencia simple, acumulada y relativa.f. Realiza un diagrama circular que permita visualizar la información sobre el número de horas diarias de estudio.


ACTIVIDAD 2

Se mide la estatura, en metros, de varios estudiantes de una institución del departamento de Antioquia. Los datos obtenidos son los siguientes:

1.15; 1.48; 1.57; 1.71; 1.92; 1.39; 1.40; 1.64; 1.77; 1.49; 1.53; 1.16; 1.60; 1.81; 1.98; 1.20; 1.42; 1.45; 1.20; 1.98; 1.21; 1.59; 1.86; 1.52; 1.48; 1.37; 1.16; 1.73; 1.62; 1.01

a. Define la población objeto de estudio.b. Define la variable aleatoria.c. Calcula la media, la moda, la mediana, el rango, la varianza y la desviación estándar e interprétela con relación a los datos obtenidos.d. Halla todos los datos que se encuentran a una desviación estándar de la media.e. La distancia a la media de tu estatura es f. El número de desviaciones estándar de tu estatura a la media es

ACTIVIDAD 3

En una institución escolar, de un municipio de Antioquia, se seleccionaron 30 estudiantes al azar y se registró su desempeño académico.

ACEPTABLE ACEPTABLE SOBRESALIENTE EXCELENTE EXCELENTE

ACEPTABLE ACEPTABLE SOBRESALIENTE SOBRESALIENTE SOBRESALIENTE

SOBRESALIENTE INSUFICIENTE SOBRESALIENTE SOBRESALIENTE SOBRESALIENTE

EXCELENTE EXCELENTE INSUFICIENTE SOBRESALIENTE SOBRESALIENTE

EXCELENTE EXCELENTE EXCELENTE SOBRESALIENTE SOBRESALIENTE

SOBRESALIENTE REGULAR EXCELENTE INSUFICIENTE ACEPTABLE

a. Determina la población objeto de estudio.b. Define la variable aleatoria a estudiar.c. Elabora una tabla de frecuencias.d. Representa la muestra en una gráfica donde se aprecien los porcentajes.e. Indica en porcentajes, la opinión dada por los estudiantes


ACTIVIDAD 4

La siguiente gráfica muestra los resultados de un estudio estadístico sobre las mayores motivaciones profesionales de los estudiantes de grado 11°.

De acuerdo con esta responde:

a. De qué trata el estudio estadísticob. La cantidad de personas entrevistadas esc. El tipo de variable estudiada esd. Observando los datos de la gráfica, defina las clases y la frecuencia para cada uno de ellos.e. Realiza una tabla de frecuencia en donde se muestren las clases, la frecuencia simple, la frecuencia relativa, la frecuencia acumulada y la frecuencia relativa acumulada.

ACTIVIDAD 5

Se les preguntó a 200 estudiantes sobre su materia preferida. El gráfico representa los resultados obtenidos.

a. De acuerdo con el diagrama circular indica la cantidad de estudiantes que prefieren cada materia.b. Realiza un histograma de frecuencia donde se presenten las clases, la frecuencia relativa y la frecuencia acumulada relativa.


ACTIVIDADES DE EXPLORACIÓNACTIVIDAD 1: FORMANDO NÚMEROS

Con los dígitos 1, 2, y 3, construye números de tres cifras:

a. Teniendo en cuenta que se pueden repetir dígitos.b. Teniendo en cuenta que no se pueden repetir dígitos.

Repite el ejercicio anterior pero, construyendo números de dos cifras.

Determina si es posible obtener una fórmula matemática para calcular, de manera más rápida, la cantidad de números.

ACTIVIDAD 2: ORDENANDO ELEMENTOS

Conforma grupos de 5 compañeros. Cada estudiante pondrá un cuaderno de diferente asignatura sobre su puesto. Un estudiante del grupo ordena los cuadernos como él quiera en una fila y registra el orden en el cual quedaron. Luego los demás integrantes del equipo, ejecutarán el mismo ejercicio, pero cambiando el orden de los cuadernos. Determina si las posibilidades encontradas son la única forma de ordenarlos. Discute con tus compañeros de cuántas formas diferentes, es posible organizarlos. Propón una estrategia para encontrar todas las posibilidades.

ACTIVIDAD 3: JUGANDO CON POSIBILIDADES

Lanza dos dados no cargados al aire y anota los resultados de las caras superiores. Verifica todas las posibilidades que se obtienen. Encuentra el total. Enumera las posibilidades en las que el primer dado es par. Enumera las posibilidades de que la cara superior del segundo dado sea un número primo.

CONCEPTUALIZACIÓN: LA PROBABILIDAD

Evento. Conjunto de uno o más resultados de un experimento aleatorio.

Probabilidad de un eventoEs la frecuencia relativa de que ese evento ocurra. Si A es un evento, la probabilidad de A, se expresa de la siguiente manera:

Para la variable cualitativa “Color del vehículo que entra al pueblo”, si A es el evento: el vehículo es rojo, entonces


Si A y B son dos eventos de un experimento aleatorio, las siguientes son algunas de las propiedades de la probabilidad:

a. p ( ∅ ) = 0 , p o r ∅ se denota el evento imposible.b. 0 ≤ p ( A ) ≤ 1 . Note que la probabilidad de un evento no puede ser negativa ni mayor que 1. c. Si A y B son eventos disjuntos (no tienen elementos en común), p ( A ∪ B ) = p ( A ) + p ( B ) .d. p ( A c ) = 1 - p ( A ), en donde Ac es el complemento de A. e. Si E es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio, la p(E)=1. E es el evento cierto o que se tiene la certeza de que siempre ocurre.

Al definir probabilidades, para los posibles eventos de un experimento aleatorio, las autoridades o personas encargadas de tomar decisiones, pueden utilizarlas de acuerdo con los intereses que se tenga al realizar un estudio.

Para los eventos:

A: Un carro que entra al pueblo está pintado de rojo.B. Un carro que entra al pueblo está pintado de azul.

a. p(A∪B)=p(A)+p(B)=0.4+0.1=0.5 b. p ( B c ) = 1 - p ( B ) = 1 - 0 . 1 = 0 . 9 . Este resultado nos informa sobre la probabilidad de que un carro que entre al pueblo, no esté pintado de azul (Ver Tabla 4).

Para hallar los elementos de un conjunto de datos se utilizan técnicas llamadas de conteo o de enumeración. Para ello es necesario tener en cuenta los conceptos de población y muestra. De otro lado hay que tener en cuenta el orden en que aparecen los datos y si estos se repiten.

Las técnicas de conteo son: el principio de multiplicación, la permutación y la combinatoria.

Principio de multiplicación: Un experimento se describe como una sucesión de k pasos en los que hay n1 resultados posibles para el primer paso, n2 resultados posibles para el segundo paso y así sucesivamente, entonces el número total de resultados posibles del experimento es (n1 )(n2 )… (nk ).

Combinaciones: Son otra regla de conteo que permite contar el número de resultados experimentales cuando el experimento consiste en seleccionar n objetos de un conjunto de N objetos, n ≤ N .

Factorial de un número entero: Es el producto de todos los números enteros positivos desde 1 hasta n, se denota por n!=1×2×3×…×n. En este caso el símbolo ! significa factorial.


Permutación:Permite calcular el número de resultados experimentales cuando se selecciona n objetos de un conjunto de N y el orden de selección es importante. Para esta regla de conteo, los mismos n objetos seleccionados en orden diferente se consideran un resultado experimental diferente.

Cuando los objetos seleccionados son iguales al tamaño del conjunto es decir, N=n la permutación es igual a n!.


ACTIVIDAD 1

Si se cuenta con los diez dígitos.

a. La cantidad de números de tres cifras distintos que puedes formar con las diez cifras significativas del sistema decimal esb. La cantidad de números de tres cifras que puedes formar con las diez cifras significativas del sistema decimal, esc. La cantidad de números pares de tres cifras que puedes formar con los diez dígitos y con la posibilidad de repetir las cifras es

ACTIVIDAD 2

Con las letras de la palabra DISCO, la cantidad de palabras diferentes (aún sin sentido en el idioma español), que puedes formar es

ACTIVIDAD 3

En una pastelería hay cinco tipos diferentes de pasteles. La cantidad de formas en las cuales puedes elegir cuatro pasteles es

ACTIVIDAD 4

Un experimento consta de tres pasos; para el primer paso hay tres resultados posibles, para el segundo hay dos resultados posibles y para el tercer paso hay cuatro resultados posibles. La cantidad de resultados distintos que puedes definir para que el experimento esté completo es


ACTIVIDAD 5

Lanza una moneda tres veces:

a. La probabilidad de que se obtengan dos caras esb. La posibilidad de que se obtengan, al menos, dos sellos esc. La probabilidad de que los tres resultados sean iguales es

ACTIVIDAD 6

Se tiene una baraja con 52 cartas:

a. La posibilidad de seleccionar un as esb. La posibilidad de seleccionar un trébol esc. Son llamadas figuras en el naipe la sota, el rey y la reina. La posibilidad de seleccionar una figura es

ACTIVIDAD EVALUATIVA

La siguiente prueba consta de 10 ejercicios, con los que pondrás a prueba tus conocimientos. Tienes cuatro opciones de respuesta, en las que, sólo hay una verdadera. En cada caso debes seleccionar la respuesta correcta.

La siguiente información permite solucionar los ejercicios 1 y 2. Lee detenidamente.

En una clínica hay 50 pacientes con ciertas fobias. La siguiente gráfica da información sobre pacientes con tres tipos de fobias:


Además, se sabe que 12 tienen fobia sólo a las culebras, 25 tienen al menos dos de estas fobias, 10 tienen fobia a las cucarachas y a los ratones y 6 sufren las tres fobias.

1. La cantidad de personas de este grupo que no sufren ninguna fobia es

a. 12 b. 10 c. 6 d. 2

2. Si A representa el conjunto de personas que tienen fobia a las cucarachas, B el conjunto de personas

que tienen fobia a los ratones y C el conjunto de personas que tienen fobia a las culebras, la región sombreada representa al conjunto de personas que le tienen:

a. fobia a las culebras y no a las cucarachasb. únicamente fobia a los ratonesc. fobia a las cucarachasd. fobia únicamente a las cucarachas

Para resolver los ejercicios 3 y 4, lee con detenimiento la siguiente información:

Tres amigas Claudia, Clara y Carolina tienen un hermano cada una. Con el tiempo cada una acaba saliendo con el hermano de sus amigas. Un día Claudia se encuentra con el hermano de Clara y le dice “Ayer vi caminando a alguien con tu pareja”.


3. La pareja de Claudia es

a. El hermano de Carolinab. El hermano de Clarac. El hermano de Claudiad. No puede determinarse

4. La pareja de Carolina es

a. El hermano de Carolinab. El hermano de Clarac. El hermano de Claudiad. No puede determinarse

Los ejercicios del 5 al 9, se resuelven con la siguiente información:

En una fábrica se dispone de 6 máquinas diferentes A, B, C, D, E y F que necesitan ser organizadas en fila. Cada máquina ocupará exactamente una de las seis posiciones numeradas consecutivamente, desde 1 hasta 6, de acuerdo a las siguientes reglas:

I. C ó E ocupan la posición 1II. D ó E ocupan la posición 6III. A y B ocupan posiciones consecutivas, no necesariamente en ordenIV. F y E ocupan posiciones consecutivas, no necesariamente en orden

5. Uno de los posibles órdenes en los cuales se pueden organizar las 6 máquinas de la posición 1 a la 6 es

a. C B D A F Eb. C F E B A Dc. C F E D B Ad. E C F A B D

6. Si C ocupa la posición 3, es posible concluir que

a. A ocupa la posición 4b. B ocupa la posición 2c. E ocupa la posición 3d. F ocupa la posición 2

7. De las siguientes afirmaciones la única verdadera es

a. A ocupa la posición 4 y C ocupa la posición 5b. D ocupa la posición 2 y C ocupa la posición 3c. C ocupa la posición 2d. D ocupa la posición 5


8. Si D y F ocupan posiciones consecutivas (no necesariamente en ese orden), entonces se tiene la certeza de que

a. A ocupa la posición 4b. B ocupa la posición 2c. C ocupa la posición 1d. E ocupa la posición 6

9. Si B y E ocupan posiciones consecutivas (no necesariamente en ese orden), entonces E puede estar en la posición:

a. 2b. 3c. 4d. 6

10. La siguiente figura muestra los resultados obtenidos de una encuesta realizada a 2500 personas sobre sus hábitos de lectura. El número de personas encuestadas que han leído es

a. 325 personas b. 500 personasc. 700 personasd. 2175 personas


Bibliografía

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Stewart, J. (2005). Matemáticas previas al Cálculo. Segunda Edición. Thompson, México.

Zill, D. & Dewar J. (2002). Álgebra y trigonometría. Segunda Edición. McGraw Hill, México.


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