Matemáticas 8 EBG

8/15/2019 Matemáticas 8 EBG

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olegio Particular a Distancia

“ ontinent l”

Acuerdo Ministerial Número Nº 0003701

Matemática- Octavo Año de Educación Básica 1

MÓDULO DE MATEMÁTICA

8

vo

DE BÁSICA

N

ombre ……………………………………… ………………

Curso ………………………………… ……………………………

Especialidad

………………………………………………………




“ ontinent l”



CONTENIDOS

LECCIÓN Nº1 NÚMEROS ENTEROS “Z” (PAG. 7)

Definición

Números Opuestos

Representación Gráfica

Orden y Comparación

LECCIÓN Nº2 OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS (PAG. 15)

Adición de Números Enteros

Sustracción de Números Enteros.

Supresión de Signos de Agrupación

LECCIÓN Nº

3 OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS (PAG. 22)

Multiplicación de Números Enteros.

- Propiedad Conmutativa

- Propiedad Distributiva

División de Números Enteros


LECCIÓN Nº

4 POTECIACIÓN Y RADICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS (PAG. 30)

Potenciación de los números enteros

- Reglas de cálculo de la potenciación


Radicación de los números enteros





“ ontinent l”



LECCIÓN Nº

5 NÚMEROS RACIONALES “Q” (PAG. 38)

Definición

Fracciones propias e impropias

Representación en la recta numérica

Orden y Comparación

Transformación de fracciones a denominador común

LECCIÓN Nº

6 AMPLIFICACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES (PAG. 47)

Amplificación de fracciones

Simplificación de fraccionesFracciones Irreducibles

LECCIÓN Nº

7 OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES (PAG. 54)

Adición de Números Racionales

Sustracción de Números Racionales

LECCIÓN Nº

8 OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES (PAG. 62)

Multiplicación de Números Racionales


División de Números Racionales

Fracciones Complejas

LECCIÓN Nº9 POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES (PAG. 72)

Potenciación de Números Racionales

Radicación de Números Racionales

LECCIÓN Nº1

0 SISTEMA DE FUNCIONES (PAG. 801)

Par Ordenado

Producto cartesiano de dos conjuntos

Sistema Cartesiano de Coordenadas

Relaciones Binarias






“ ontinent l”



Mediatriz

LECCIÓN Nº1

7 CONGRUENCIA Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS (PAG. 139)

Congruencia de Triángulos

- Postulados de Congruencia

Semejanza de Triángulos

- Casos de Semejanza

LECCIÓN Nº18 CONSTRUCCIÓN DE FIGURAS GEOMÉTRICAS ELEMENTALES (PAG. 146)

Construcción de un triángulo equilátero dado un lado

Perpendicular a una rectas por uno de sus puntos

Construcción de un cuadrado dado uno de sus lados

Trazar una bisectriz

LECCIÓN Nº1

9 PRISMA Y CILINDRO (PAG. 153)

Prisma

- Cálculo del área de un Prisma

- Cálculo del volumen de un Prisma

Cilindro

- Cálculo del área del Cilindro

- Cálculo del volumen del Cilindro

LECCIÓN Nº20 ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD (PAG. 160)

Estadística

Frecuencias Absoluta y Relativa

Frecuencias Absoluta y Relativa Porcentual




“ ontinent l”






“ ontinent l”



LECCIÓN Nº

1

NÚMEROS ENTEROS “Z”

BLOQUE: SISTEMA NUMERICO

OBJETIVOS:

Comprender el concepto de los de los números enteros.

Conocer la forma de ordenar y de comparar los números enteros.

DESTREZA CON CRITERIO DE DESEMPEÑO:

Ubicar correctamente números enteros positivos y negativos en la recta numérica;

ordenar y comparar números enteros aplicando los conocimientos adquiridos.

DEFINICIÓN

En las operaciones con número naturales, se vio la imposibilidad de resolver una diferencia en la

que el minuendo es menor que el sustraendo; así por ejemplo, dad la diferencia

5 9 ?

Para poder resolver esta clase de diferencias, se crearon los llamados número enteros negativos,

que se representan por los números precedidos por el signo menos. Ejemplo: -5, -1, -124, -403.

En la vida real, hay algunas cantidades que toman valores positivos y negativos, por ejemplo

valores de temperatura 13°C, -10°C, por lo tanto se debe recurrir al conjunto de números enteros

“Z” .

Los números enteros corresponden al conjunto de números naturales y números enteros

negativos. A los números naturales con excepción del cero se los llama también números enteros

positivos. A la sucesión en orden que se muestra a continuación se llama sucesión de los números

enteros: ... 5, 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,5,... Z

Se dice que esta sucesión es infinita, es decir que no tiene fin, puesto que dado un número hay

otro que le sigue en la sucesión.




“ ontinent l”



Números opuestos. Dos números enteros que tienen el mismo valor absoluto y distinto signo se

llaman opuestos. Son números opuestos:

7 7 ; 10 10 y y

Representación gráfica. Los números enteros están representados gráficamente en una recta; los

positivos, a partir del punto 0 en un sentido, y los negativos, a partir del mismo punto en sentido

opuesto.

ORDEN Y COMPARACIÓN EN LOS NÚMEROS ENTEROS

Relación de mayor entre números enteros. Se dice que un número entero es mayor a es mayor

que otro b si:

1. Siendo ambos positivos, el valor absoluto de a es mayor que el valor absoluto de b.

Ejemplo:

17 5, 17 5 pues

2. Siendo ambos negativos, el valor absoluto de a es menor que el valor absoluto de b.

Ejemplo:

9 12, 9 12 pues

3. Siendo de distinto signo, es a positivo. Ejemplo:

2 8

4. El número 0 es mayor que cualquier número negativo.

Relación de menor entre números enteros. Se dice que un número entero a es menor que otro b

si:

1. Siendo ambos positivos, el valor absoluto de a es menor que el valor de b. Ejemplo:




“ ontinent l”



27 35, 27 35 pues

2. Siendo ambos negativos, el valor absoluto de a es mayor que el valor absoluto de b.Ejemplo:

15 3, 15 3 pues

3. Siendo de distinto signo, es a negativo. Ejemplo:

16 5

ORDENAMIENTOS DE NÚMEROS ENTEROS.

Sea, por ejemplo, ordenar de mayor a menor los siguientes números:

2 ; 0 ; 5 ; 1; 8 ; 3

Como hay que ordenar de mayor a menor, primero deben considerarse los números positivos, en

el ejemplo son 5 y 8, y es inmediato que 8 > 5; consideramos que entre los números para ordenar

está el 0, que es menor que cualquier número positivo y es mayor que cualquier número

negativo. Por último se consideran los números negativos, donde el mayor de los cuales es el que

está más cerca del 0 en la recta numérica, es decir:

8 5 0 1 2 3




“ ontinent l”



LECCIÓN Nº 1

Nombre: ……………………………………………………………………………………….

Curso: …………………………………………………………………………………………..

Especialidad: ………………………………………………………………………………..

INVESTIGO:

1.

¿Cuál es la definición de los números naturales?

………………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………

GLOSARIO:

Número:……………………………………………………………………………………………………………………………………….

Números Naturales:…………………………………………………………………………………………………………………..

Números Enteros: ……………………………………………………………………………………………………………………

Número Negativo: ………………………………………………………………………………………………………………….

Ordenami ento:………………………………………………………………………………………………………………………

Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado.

………………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………..




“ ontinent l”



………………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………..

RESUMO:

Conjunto de números enteros “Z"

Es la

De:

Los el y los

Relación de orden “Z"

Un número positivo es: Un número negativo es:




“ ontinent l”



Menor

Cualquier negativo




“ ontinent l”



CUESTIONARIO

1. En las sustracciones propuestas escribe un SI en las que son posibles en el conjunto de

los números naturales y el cero, y un NO en las que no son posibles.

18 9 ( ) 76 76 ( )

32 33 ( ) 1067 1146 ( )84 125 ( ) 138 98 ( )

2. Representar en la recta numérica los siguientes números enteros: -7, 6, 1, -5, -3, 5, 2.

3. Escribe los opuestos de los siguientes números:

18 ..... 4 .....

2 ..... 6 .....

4 ..... 9 .....

y y

y m y

n y y

4. Escribe el valor absoluto de los siguientes números enteros: -6, 35, -235, 8, -12.




“ ontinent l”



5. Escribe entre los números planteados el signo “mayor que”, “igual”, o “menor que”,

según sea el caso.

8 1 4 ..... 5 98 ..... 98

2 ..... 3 13 ..... 13 123 ..... 123

6 ..... 7 10 ..... 9 78 ..... 79

6. Ordena de mayor a menor, los números enteros:

8, 12, 1, 0, 3 4 12

4, 0, 5, 19, 6 23 23

3, 2, 1, 0, 4 9

y

y

y

7. Ordena de menor a mayor, los siguientes número:

0, 3, 2, 11, 3 5, 0 100 11

8, 2, 14, 20, 3 19 19

3, 5, 9, 15, 20 4

y

y

y

Firma del Profesor Calificación Firma del Estudiante Fecha




“ ontinent l”



LECCIÓN Nº

2

OPERACIONES CON LOS NÚMEROS ENTEROS.

BLOQUE: BLOQUE NUMÉRICO

OBJETIVOS:

- Comprender los conceptos de la adición y sustracción de los números enteros.

- Conocer los métodos de resolución de los problemas relacionados con la adición y

sustracción de números enteros.

DESTREZA CON CRITERIO DE DESEMPEÑO:

Resolver operaciones combinadas de adición, sustracción, con números enteros

ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS.

Para sumar dos números enteros de igual signo se suman sus valores absolutos y al resultado se le

asigna el mismo signo de los sumandos; pero si tienen signo diferente, se restan sus valores

absolutos y, al resultado, se le asigna el signo del sumando de mayor valor absoluto.

Ejemplo:

1. 8 ( 4) 4

2. ( 7) ( 8) 15

3. ( 11) 7 4

SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS.

La sustracción de los números enteros a y b se define como: a – b = a + (– b). Ejemplo:




“ ontinent l”



1. 4 8 4

2. 7 ( 9) 7 9 16

3. ( 4) ( 9) ( 4) (9)

SUPRESIÓN DE SIGNOS DE AGRUPACIÓN.

En algunas operaciones matemáticas se manejan signos de agrupación, los cuales pueden

suprimirse desde los más interiores hasta los exteriores.

Todo signo (+) puede suprimirse, escribiendo a cada número que encierra con su propio signo,

mientras que todo signo (-) puede suprimirse, escribiendo los números que encierra con signo

cambiado.

Ejemplo:

8 4 6 3 8 4 6 3 8 4 6 3 9




“ ontinent l”



LECCIÓN Nº 2

Nombre: ……………………………………………………………………………………….

Curso: …………………………………………………………………………………………..

Especialidad: ………………………………………………………………………………..

INVESTIGO:

1.

Averiguar acerca de las propiedades conmutativa, asociativa y modulativa en la adición

de los números enteros Y ponga y un ejercicio de cada uno.

…………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………….

GLOSARIO:

Adición: ……………………………………………………………………………………………………………………………………….

Sustracción o Diferencia: ……………………………………………………………………………………………………………..

Signo de Agrupación: …………………………………………………………………………………………………………………..

Paréntesis:…………………………………………………………………………………………………………………………….

Suprimir………………………………………………………………………………………………………………………………….




“ ontinent l”




………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

RESUMO:

ADICIÓN

Para sumar 2 números enteros

De igual signo

Se restan

Sus valores absolutos

y al resultado se le asigna




“ ontinent l”



CUESTIONARIO

1. Realiza las siguientes adiciones:

( 54) (78) 86 ( 86)

( 318) ( 315) ( 60500) ( 10500)

(25) ( 125) 138 ( 138)

2. Realiza las siguientes sustracciones:

( 38) (53) ( 250) ( 200)

( 1234) ( 34) ( 420) ( 10)

(725) (125) ( 9870) ( 9870)

3. Suprime los signos de agrupación y halla el valor de la expresión:

21 3 18 12 8 9 15 19

13 17 6 4 13 5 8

3 4 6 ( 3) 5 5




“ ontinent l”



4 ( 3) 5 10 ( 20)

40 30 (100) 200 30

40 80 100 200 60 30 100

4. ¿Qué número debe restarse de -200 para obtener 600?

5. ¿Qué número debe adicionarse a 300 para obtener -300?

6. A qué distancia se hallan 2 ciclistas que salen de una misma estación y en la misma

dirección pero en sentido contrario, si el uno ha recorrió 530km y el otro 315km.

7. En cierta familia, el abuelo tiene 40 años más que el hijo, éste 2 años menos que su

esposa, y ésta 18 años más que su hija Ana. Si Ana tiene 17 años, determina la edad desu abuelo.




“ ontinent l”



8. Un helicóptero vuela a 180m sobre el nivel del mar. En una plataforma submarina que se

encuentra a 420m del helicóptero, se ha depositado un tesoro, ¿A qué profundidad sehalla el tesoro?





“ ontinent l”



LECCIÓN Nº

3

OPERACIONES CON LOS NÚMEROS ENTEROS.


OBJETIVOS:

- Comprender los conceptos de la multiplicación y división de los números enteros.

- Conocer los métodos de resolución de los problemas relacionados con la multiplicación y

división de números enteros.

DESTREZA CON CRITERIO DE DESEMPEÑO

Resolver operaciones combinadas de adición, sustracción, multiplicación y división exacta

con números enteros.

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS.

Para realizar la multiplicación entre números enteros de debe tomar en cuenta lo siguiente:

1. El producto de dos números enteros con signos iguales es un número entero positivo.

Ejemplo:

( 2) ( 6) 12

( 3) ( 5) 15

2. El producto de dos números enteros con signos diferentes es un número entero negativo.

Ejemplo:

( 2) ( 4) 8( 3) (4) 12

Estas reglas de la multiplicación se pueden resumir en una regla general, llamada ley de los signos,

la misma que sirve para estandarizar y normalizar los signos de la multiplicación.




“ ontinent l”



Propiedad Conmutativa. Si se cambia el orden de los factores, el producto es el mismo. Ejemplo:

( 7) ( 5) 35

( 5) ( 7) 35

Propiedad Distributiva. La multiplicación de números enteros es distributiva con respecto a un

polinomio aritmético. Ejemplo:

(6) (3 2 4) (6)(3) (6)(2) (6)( 4) 18 12 24 6

DIVISIÓN EXACTA DE NÚMEROS ENTEROS

Dividir un número entero a para otro b, siendo a múltiplo de b, es hallar un tercer número c tal

que multiplicado por b dé por resultado a. Ejemplo:

( 28)4 ( 4) 7 28

7 porque

De la misma manera para la división entre números enteros se debe tomar en cuenta lo siguiente:

1. El cociente de dos números enteros de igual signo es un número entero positivo. Ejemplo:

( 15) (21)5 ; 3

( 3) (7)

+ + = +

- - = +

+ - = -

- + = -




“ ontinent l”



2. El cociente de dos números enteros de distinto signo es un número entero negativo.

Ejemplo:

( 24) (30)3 ; 5

(8) ( 6)

De igual manera para la división se tiene ley de los signos, la misma que sirve para estandarizar y

normalizar los signos de la división.

Propiedad Distributiva. La división de números enteros es distributiva con respecto aun polinomio

aritmético.

( 10 4 16) ( 2) ( 10) ( 2) (4) ( 2) ( 16) ( 2) 5 2 8 11

+ + = +

- - = +

+ - = -

- + = -




“ ontinent l”



Nombre: ……………………………………………………………………………………….

Curso: …………………………………………………………………………………………..

Especialidad: ………………………………………………………………………………..

INVESTIGO:

1.

Averiguar acerca de la propiedad modulativa en la multiplicación de los números

enteros y ponga un ejemplo.

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

GLOSARIO:

Producto: …………………………………………………………………………………………………………………………………….

Cociente: ……………………………………..……………………………………………………………………………………………..

Ley de Signos: ……………………………………………………………………………………………………………………………..

Propiedad:…………………………………………………………………………………………………………………………….

División exacta: ………………………………………………………………………………………………………………………

LECCIÓN Nº 3




“ ontinent l”




………………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………..

RESUMO:

EL PRODUCTO Y LA DIVISIÓN

De 2 números enteros

Con signos diferentes

Es Es

Un número entero

Negativo




“ ontinent l”



CUESTIONARIO

1. Realiza el producto respectivo:

( 12)(9)

( 18)(5)

(10)( 6)(4)

(5)( 18)

(25)( 20)( 2)( 15)(1)

(25)( 36)( 105)(0)(124)( 36)

2. Aplica la propiedad distributiva y halla el producto:

( 15)( 4 3 2)

( 8 9 7)(9)

(10 6)(4 3)

(5 8)( 1 9 3)




“ ontinent l”



3. Realiza la operación y halla el cociente:

1728 32

78200 ( 25)

2000 125

77320 ( 98)

16488 ( 36)

43968 ( 64)

4. Aplica la propiedad distributiva y halla el valor:

(36 27 60) ( 3)

(64 96 24) ( 8)

(320 60 120 90) ( 10)

(150 250) 5 4(9 10) 80 (8)

5. Suprime los signos:

8( 5) 20 (5) 9( 2) 10

5(4 12) (40 5)




“ ontinent l”



10(12) 2 ( 84) ( 7) 36(2)

10 5 2 4 2 (8 2) 3 20 4

6. ¿En cuántos minutos puedes trozar una tela de cuatro metros en cuatro partes, si cortas

un metro de tela en cada minuto?





“ ontinent l”



LECCIÓN Nº

4


POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS.

OBJETIVOS:

- Comprender los conceptos de la potenciación y radicación de los números enteros.

- Conocer los métodos de resolución de los problemas relacionados con la potenciación y

radicación de números enteros.


Simplificar expresiones de números positivos con la aplicación de las reglas de

potenciación y de radicación

POTENCIACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Para la multiplicación de factores iguales, se la puede representar de una manera mas

simplificada, esta nueva operación se llama potenciación. Ejemplo:

65 5 5 5 5 5 5

Por lo tanto se dice que la potencia enésima de un número entero a, es el producto de n factores

iguales a a. En la potencia a n, a es la base de la potencia y n es su exponente.

Es necesario tomar en cuenta la siguiente regla al momento de realizar la potenciación:

La potencia de exponente par lleva signo positivo, y la potencia de exponente impar lleva el

mismo signo de la base. Ejemplo:

3

4

( 2) ( 2)( 2)( 2) 8

( 3) (3)(3)(3)(3) 81




“ ontinent l”



La potencia de base diferente de cero y exponente cero es igual a la unidad:

0

12 1 .

REGLAS DE CÁLCULO DE LA POTENCIACIÓN:

Producto de potencias de igual base. El producto de potencias de igual base es otra potencia con

la misma base y su exponente igual a la suma de los exponentes.

Cociente de potencias de igual base. El cociente de dos potencias de igual base es otra potencia

con la misma base y su exponente igual a la resta los exponentes.

Potencia de potencia. La potencia de potencia de igual base y exponente igual al producto de los

exponentes.

Propiedad Distributiva. La potenciación es distributiva únicamente en la multiplicación y en la

división. Ejemplo:

3 3 3[( 4)*(5)] ( 4) *(5)

4 4

45 ( 5)12 ( 12)

RADICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS.

Raíz enésima de un número entero llamado radicando, es otro entero que elevado a la potencia

enésima, es igual al mismo radicando. En la operación:

n a b a = radicando, n = índice, b = raíz

Se debe tomar en cuenta que en la radicación:

1. Si el índice es impar, la raíz tiene el mismo signo del radicando.

2. Si el índice es par y el radicando es positivo, la raíz es un número positivo.

3. Si el índice es par y el radicando es negativo, la raíz no es posible en el conjunto de los

números enteros.




“ ontinent l”



Se debe aclarar que el índice (2) puede ser omitido:

2

16 16

Se debe puntualizar diciendo que la radicación es una operación inversa a la potenciación.

Ejemplo:

2

33

9 3 3 9

125 5 ( 5) 125

pues

pues

Propiedad Distributiva. La radicación de números enteros es distributiva únicamente en la

multiplicación y en la división. Ejemplo:

(4)*(9) 4* 9

3

33

64 64

9 9




“ ontinent l”



Nombre: ……………………………………………………………………………………….

Curso: …………………………………………………………………………………………..

Especialidad: ………………………………………………………………………………..

INVESTIGO:

1.

¿Quién fue Aristoff Rudolff y que aportó al estudio de la radicación?.

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

GLOSARIO:

Exponente: ………………………………………………………………………………………………………………………………….

Radicando: …………………………………..……………………………………………………………………………………………..

Base: …………………………………………………………………………………………………………………………………………

Índice: ………………………………………………………………………………………………………………………………………

Potencia:………………………………………………………………………………………………………………………………………

LECCIÓN Nº 4




“ ontinent l”



Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

RESUMO:

REGLAS DE LA POTENCIACIÓN

El producto de potencias El cociente de potencias

De igual base es

Otra potencia de igual base

y su exponente es la y su exponente es la y su exponente es el

Resta




“ ontinent l”



De los exponentes

CUESTIONARIO

1. Escribe el valor de cada potencia:

2

3

4

2

(3)

( 5)

( 10)

4

2. Aplica la regla de cálculo correspondiente halla el producto:

18 15

7

5

2 3

3 0 4

132

01712

( 5) ( 5)

( 3)

( 3)

(4) (4) (4)

(2) (2) (2) (2)

4

3290

3. Aplicar la propiedad distributiva de la potenciación:




“ ontinent l”



3

4

( 4) ( 3) (2)

( 20) ( 5)

4. Halla la raíz en caso de ser posible:

5

3

100

32

216

343

5. Aplica la propiedad distributiva de la radicación

5

3

(25) (4) (9)

1024

32

( 216) 27

6. Suprime los signos de agrupación y halla el valor de la expresión:

3 0 0 1( 4) 8 2 5( 4) (3) (5)

7. Encuentra un número cuyo cubo elevado al cuadrado es 15625.





“ ontinent l”






“ ontinent l”



LECCIÓN Nº

5

NÚMEROS RACIONALES “Q”.

BLOQUE: SISTEMA NUMÉRICO

OBJETIVOS:

- Comprender el concepto de los de los números racionales.

- Conocer la forma de ordenar y de comparar los números racionales.


Asimilar el concepto de números racionales; aplicándolo para realizar secuencias, orden y

transformaciones

DEFINICIÓN.

Un número racional se puede expresar de la forma:a

b

Donde a y b son números enteros y b ≠ 0. El número a se llama numerador y el número b se llama

denominador . Los números racionales, pueden denotarse mediante una fracción o mediante

expresión decimal. Por ejemplo:

5; 0,5

10

Para leer un número racional denotado como una fracción se nombra primero el numerador y

luego el denominador.

1 3 4 2; ; ; int

2 7 15 31un medio tres séptimos cuatro quinceavos dos tre a y un avos




“ ontinent l”



Fracción propia. Una fracción propia es aquella en donde cuyo numerador es menor que el

denominador Ejemplo:2

3

Fracción impropia. Los números fraccionarios cuyo numerador es mayor que el respectivo

denominador, se denomina fracción impropia. Ejemplo:7

4se necesitan dos gráficas.

Representación en la recta numérica. A cada número racional le corresponde un único punto en

la recta numérica. Ejemplo: Representar9 3

4 4 y en la recta numérica:

ORDEN Y COMPARACIÓN DE LOS NÚMEROS RACIONALES




“ ontinent l”



En la recta numérica es mayor aquel número ubicado más hacia la derecha. Ejemplo: Tomando en

cuenta el ejemplo anterior podemos decir entonces que:

9 3

4 4

Ya que9

4 está más a la derecha que

3

4 .

Cuando se tiene dos números fraccionarios, puede ocurrir que sean iguales o desiguales. Al ser

desiguales pueden presentarse los siguientes casos:

1. Que los dos números dados sean positivos, en cuyo caso es mayor el que tiene mayor

valor absoluto. Ejemplo:

4 2 4 24 3 5 2

5 3 5 3 porque dado que

2. Que los dos números dados sean negativo, en cuyo es mayor el que tiene menor valor

absoluto. Ejemplo:

2 1 2 1

2 4 13 113 4 13 4 porque dado que

Transformación de fracciones a denominador común mínimo. Se procede de en el denominador

la siguiente manera:

1. Se halla el múltiplo común mínimo (m.c.m.) de los denominadores de todas las fracciones,

el cual se transforma en el denominador común.

2. Se divide el múltiplo común mínimo por el denominador de cada fracción, obteniendo

siempre un cociente exacto3. El cociente obtenido se multiplica por el respectivo numerador y se obtienen los

numeradores de las fracciones equivalentes. Ejemplo:7 3 5

, ,12 16 8




“ ontinent l”



12 2

6 23 3

1

16 2

8 2

4 2

2 2

1

8 2

4 22 2

1

3

4

3

12 2 3

16 2

8 2

Donde que el m.c.m. = 42 3 48 , por lo que las fracciones equivalentes son:

7 28 3 9 5 30; ;

12 48 16 48 8 48




“ ontinent l”



Nombre: ……………………………………………………………………………………….

Curso: …………………………………………………………………………………………..

Especialidad: ………………………………………………………………………………..

INVESTIGO:

1.

¿Por qué razón surgió el conjunto de números racionales? Explique con un ejemplo:

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

2. ¿Qué son las fracciones equivalentes?

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

LECCIÓN Nº 5




“ ontinent l”



GLOSARIO:

Fracción: ……………………………………………………………………………………………………………………………………..

Fracción Propia:……………………………………………………………………………………………………………………………

Fracción Impropia:………………………………………..……………………………………………………………………………

Transformación de fracciones: ……………………………………………………………………………………………………

Múltiplo: …………………………………………………………………………………………………………………………………


………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

RESUMO:

COMPARACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Entre 2 números enteros iguales

Si los dos son positivos

Es Es




“ ontinent l”



MAYOR

el que el que

valor absoluto tenga

CUESTIONARIO

1. Escribe la lectura de las siguientes fracciones:

2

8

9

23

33

42

7

25

49

11

3

210

2. Indicar que fracción representan los siguientes gráficos:

3. Realiza la interpretación gráfica de las fracciones dadas, utiliza cualquier figura

geométrica.




“ ontinent l”



1

2

5

4

6

3

7

10

1

5

3

4

4. Determina si las siguientes parejas de fracciones son equivalentes o no, si lo son

explique por qué:

12 4

9 3 y

5 10

6 8 y

14 2

47 7 y

5. Escribe los signos <, > o =, según corresponda. Escriba su desarrollo:

2 4 6 3.... ....

7 28 4 2

1 3 1 7.... ....

4 12 5 3

2 1 8 4.... ......

9 3 3 5

6. Representa en la recta numérica los números dados, y luego ordénalos de mayor a

menor:

7 1 1 5, 3, , 4,

3 2 4 3 y




“ ontinent l”



7. Transforma las siguientes fracciones dadas a otras equivalentes con mínimo común

denominador:

8 9 11 5 6 7 1 3; ; ; ;

9 6 3 4 5 2 3 4 y y

1 20 9 7 4 1 5 2; ; ; ;

5 25 2 4 9 2 6 3 y y





“ ontinent l”



LECCIÓN Nº

6

AMPLIFICACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES

BLOQUE: SISTEMA NUMÉRICO

OBJETIVOS:

- Comprender los conceptos de la amplificación y simplificación de los números racionales.- Conocer los métodos de resolución de los problemas relacionados con la amplificación y

simplificación de fracciones, empleando la multiplicación y división de números enteros.


Conocer los conceptos y métodos de resolución de problemas relacionados con la

amplificación y simplificación de números racionales

AMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES

Comparemos las fracciones4 16

5 20 y . Observamos que éstas fracciones son equivalentes, ya que

4 20 5 16 , y notemos que la segunda fracción16

20 se obtiene a partir de la primera

4

5,

multiplicando por 4 tanto al numerador como al denominador.

Ahora tomemos la fracción2

3. Al multiplicar por 3 a los dos términos de la fracción, se obtiene

2 3 6

3 3 9

, que es equivalente a

2

3 porque se cumple que 2 9 6 3 .




“ ontinent l”



Si se multiplican los dos términos de una fracción por un mismo número entero, tanto al

numerador como al denominador, se obtiene otra fracción equivalente a la primera.

Ejemplo: Por medio de amplificación, calculemos la fracción equivalente a la fracción dada, según

se indica:

7 7 7 ( 4) 28 284;

9 9 9 ( 4) 36 36 por

SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES

En la fracción20

15 observamos que los dos términos (20 y 15) tienen a 5 por divisor común. Al

dividir el numerador y el denominador por dicho divisor común, se obtiene

20 5 4

15 5 3

. Entonces

observamos que20 4

15 3 puesto que 2 9 6 3 . Por lo tanto:

Si se dividen los dos términos de una fracción por un divisor común se obtiene una fracción

equivalente a la primera.

Ejemplo: Realicemos simplificaciones y hallemos tres fracciones equivalentes a18

24:

Algunos divisores de 18 y 24 son 2, 3 y 6, por lo tanto:




“ ontinent l”



18 2 9 18 3 6 18 6 3; ;

24 2 12 24 3 8 24 6 4

18 9

24 12 puesto que 18 12 24 9

18 6

24 8 puesto que 18 8 24 6

18 3

24 4 puesto que 18 4 24 3

FRACCIONES IRREDUCIBLESSi los términos de una fracción no tienen divisores comunes distintos a la unidad es decir, si el

numerador y el denominador son números primos entre sí, la fracción no puede ser simplificada.

Por ejemplo, la fracción13

7 es irreducible por cuanto 13 y 7 no tienen divisores comunes

distintos de la unidad y la fracción no puede ser simplificada.

Se denomina fracción irreducible a la fracción que no puede ser simplificada

Ejemplo: Calculemos la fracción irreducible equivalente a24

16

24 24 8 3

16 16 8 2

Donde3

2es la fracción equivalente irreducible.




“ ontinent l”



Nombre: ……………………………………………………………………………………….

Curso: …………………………………………………………………………………………..

Especialidad: ………………………………………………………………………………..

INVESTIGO:

1.

¿Cuándo una fracción es irreducible y reducible? Escriba un ejemplo:

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………………..

GLOSARIO:

Equivalente:………………………………………………………………………………………………………………………………..

Irreducible:…….……………………………………………………………………………………………………………………………

Ampliar:………………………………………………………..……………………………………………………………………………

LECCIÓN Nº 6




“ ontinent l”



Simplificar:………………………………………………………………………………………………………………………………….

Divisor Común: ……………………………………………………………………………………………………………………………


………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

RESUMO:

AMPLIFICACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN

En la amplificación se La fracción irreducible

Se divide a la fracción no puede ser

Por un mismo numero entero

al numerador




“ ontinent l”



y al determinador

CUESTIONARIO

1. Amplifica cada una de las fracciones dadas , multiplicando al numerador y al

denominador por el número que se indica:

12 26 3

13 3

3 45 4

7 5

1 36 2

3 7

1 32 6

4 2

por por

por por

por por

por por

2. Simplifica y halla la fracción irreducible equivalente a las fracciones dadas:




“ ontinent l”



36 72 336

48 180 384

2880 64 120

2160 72 160

3. Representa gráficamente en una misma recta numérica los siguientes números:

3 7 1,

4 8 2

2 5 1 11, ,6 3 2 3

y

y







“ ontinent l”



Cuando se van a sumar fracciones heterogéneas, es necesario transformarlas a un denominador

común. Ejemplo:

1 1 3 5 4 ( 2) ( 12) 5 4 2 12 5 5

2 4 2 8 8 8 8

3 6 4 7 6 24 ( 32) ( 7) 6 24 32 7 9

8 4 2 16 16 16 16

SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS RACIONALES.

El concepto de la sustracción de dos números racionales es igual al concepto de sustracción de los

números enteros, es decir se fundamenta en la adición de los números racionales. Ejemplo:

1 5 4 5 9 9

2 8 8 8 8

1 1 6 1 1 2 36 10 5 120 990,6 2

6 12 10 6 12 1 60 60




“ ontinent l”



6 3 1 1 51 2

14 10 3 6 9

30 21 1 6 1 51

70 3 6 9

51 5 1 51

70 3 6 9

51 5 1 51

70 3 6 9

51 18 30 3 10 51 41 51 41 459 1435 976

70 18 70 18 70 18 630 630

488

315

Nombre: ……………………………………………………………………………………….

Curso: …………………………………………………………………………………………..

Especialidad: ………………………………………………………………………………..

INVESTIGO:

03 – 04 Dic

1. Averiguar acerca de las propiedades asociativa, conmutativa, y modulativa en la adición de

números racionales, escriba un ejemplo de cada una.

LECCIÓN Nº 7




“ ontinent l”



…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

GLOSARIO:

Adición:……………………………………………………………………………………………………………………………………….

Sustracción: …………………………………………………………………………………………………………………………………

Homogéneo:………………………………………………………………………………………………………………………………..

Heterogéneo:….……………………………………………………………………………………………………………………………

Racional: ………………………………………………………………………………………………………………………………….


………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

RESUMO:




“ ontinent l”



ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN

De 2 números racionales

Homogéneos es otra función cuyo: Heterogéneos es necesario

Es

En un

y el

CUESTIONARIO

1. Adiciona los siguientes número racionales:




“ ontinent l”



8 7 6 3

5 5 5 5

4 12 8 5

7 7 7 7

2 3

8 12

5 3 7

4 6 5

2 5 3

7 8 4

1 23 ( 0,2)

8 5

1 2 12 ( 1, 2)3 3 2

1 1 11 2 ( 1,5) 2 3

4 2 3




“ ontinent l”



2. Efectúa la sustracción, según se indica:

3 1

5 4

12 13e

5 15

7 9

4 7

7 1Re

9 4

De resta

R sta de

De resta

sta de

3. Calcula el valor de la expresión:

17

4

35

7

3 1 51

5 2 4

1 54 3 0,8

2 3

3 910 5 2

5 4




“ ontinent l”



4. Comprueba que el valor de la expresión es :11

2

4 1 8 52 4 6

3 2 3 3

5. Grafica (pinta) la sustracción:1 1 1

2 3 6

6. En una fiesta de aniversario, María se ha comido la tercera parte de la torta, Laura la

cuarta parte y Diana la sexta parte, y sobró 1/7 de la torta. ¿Es cierto? ¿Por qué?

7. En cierto instituto ecuatoriano, 5/12 de los alumnos estudian químico y el 30% estudian

matemáticas. ¿Qué asignatura tiene más acogida?





“ ontinent l”



LECCIÓN Nº

8

OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES.

BLOQUE: SITEMA NUMÉRICO

OBJETIVOS:

- Comprender los conceptos de la multiplicación y división de los números racionales.

- Conocer los métodos de resolución de los problemas relacionados con la multiplicación y

división de números racionales.





“ ontinent l”



Conocer los conceptos y métodos de resolución de problemas relacionados con la

multiplicación y división de números racionales.

Aplicación de las propiedades en cada operación.

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES.

El producto de dos o más números racionales es otro número racional, que tiene por numerador el

producto de los numeradores y por denominador el producto de los denominadores

correspondientes. Ejemplo:

3 5 3 5 15

2 7 2 7 14

En la multiplicación de fracciones, por conveniencia se acostumbra a simplificar los factores del

numerador con otros del denominador. Ejemplo:

1 2

33

3 10 3 10 1 2 2

15 9 15 9 3 3 9

Propiedad Distributiva. La multiplicación de números racionales es distributiva respecto a un

polinomio aritmético. Ejemplo:




“ ontinent l”



1 1 4 2 1 1 1 4 1 2

2 2 3 7 2 2 2 3 2 7

1 2 14 3 721 56 12

8465

84

La Fracción como operador. La expresión “dos quintos del segmento AB” quiere decir que al

dividir el segmento AB en cinco partes de igual longitud, sólo se toman esas dos de esas partes,

es decir, si AB mide 15cm, para determinar los dos quintos 25

, se divide a 15 para 5 y el

resultado se multiplica por 2. Es decir, multiplicamos dos de esas partes.

215 6

5 cm cm

Entonces2

5transforman 15cm en 6cm, es decir

2

5 se convierte en un operador.

DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALES

El cociente de un número racional entre otro, es un tercer número racional tal que multiplicado

por el segundo, nos dé un producto igual al primero. Ejemplo:

2 2 5 5 2 2:

3 5 3 3 5 3 porque

En la práctica, la división de dos fracciones se efectúa multiplicando el dividendo por el inverso del

divisor. Ejemplo:

5 1 5 35

3 3 3 1




“ ontinent l”



FRACCIONES COMPLEJAS.

La división de dosa c

b d la podemos representar también como:

Extremos

aa d b Medios

c b cd

Para realizar la operación de fracciones complejas, aplicaremos el proceso de multiplicar extremos

con extremos y medios con medios.

Nombre: ……………………………………………………………………………………….

Curso: …………………………………………………………………………………………..

Especialidad: ………………………………………………………………………………..

LECCIÓN Nº 8




“ ontinent l”



INVESTIGO:

1. ¿Qué es un polinomio aritmético? Escriba un ejemplo

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

GLOSARIO:

Fracción Compleja:……………………………………………………………………………………………………………………..

Fracción Simple:……………………………………………………………………………………………………………………………

Fracción como operador:……………………………………………………………………………………………………………..

Extremos:……………………………………………………………………………………………………………………………………

Medios:……………………………………………………………………………………………………………………………………….


………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………




“ ontinent l”



RESUMO:

Mediante un mapa conceptual elabore un resumen de la lección estudiada.

CUESTIONARIO

1. Aplica la propiedad distributiva y halla el valor de la expresión:




“ ontinent l”



3 5 2

2 3 6

4 7 1

3 2 5

1 1 7 83 2

4 2 6 5

6 1 1 5 1

5 2 3 6 3

1 1 3 8 1 11

2 2 2 3 2 5

2. Halla el cociente simplificado.




“ ontinent l”



5 280

4 8

33 11

4 20

5 125

20 40

16 32

24 4

2 15 4

3 4

31 1,2

4

3. Aplica la propiedad distributiva y halla el valor:

7 1 5

3 6 6

2 3 1 7

3 4 2 4

7 1 3 1 32

2 4 2 4 5




“ ontinent l”



2 1 7 1 1 13

5 3 4 4 2 4

4. Un grifo ha vertido 243 litros de agua en un depósito y otro grifo los5

9

con respecto al

anterior. Determina el número de litros que faltan para llenarlo, si la capacidad del

depósito es de 500 litros.

5. Transforma las fracciones complejas a fracciones simples.




“ ontinent l”



61

3

56

11 2

1341

315

6

11

12

23

223

2 2

1 3

2 42

13

21 3

1 322 42 1

1 5 212 12








“ ontinent l”



Potencias con exponente negativo. Un número racional elevado a un exponente negativo, es igual

al inverso del número racional elevado al exponente dado pero con signo positivo.

n na b

b a

RADICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES.

Raíz enésima de un número racional llamado radicando, es otro número racional llamado raíz que,

elevado a la potencia enésima es igual al mismo radicando. Ejemplo:

333

3

27 27 3 3 27

135 5 5 135135 porque

Al igual que en los números enteros para la radicación de los números racionales se debe tomar en

cuenta lo siguiente:

1. Si el índice es impar , la raíz tiene el mismo signo del radicando.

2. Si el índice es par , y el radicando es positivo, la raíz es un número positivo.3. Si el índice es par y el radicando es negativo, la raíz no es posible en es conjunto de

números racionales.

Ejemplos:

3 41 1 1 1

; 2 ;8 2 16 9

no es posible

Nombre: ……………………………………………………………………………………….

LECCIÓN Nº 9




“ ontinent l”



Curso: …………………………………………………………………………………………..

Especialidad: ………………………………………………………………………………..

INVESTIGO:

3. ¿Cuáles son las dos formas de realizar una división de fracciones?

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

GLOSARIO:

Exponente:…………………………………………………………………………………………………………………………………..

Exponente negativo……………………………………………………………………………………………………………………..

Exponente par:…………………………………………………………………………………………………………………………….

Exponente impar:…………………………………………………………………………………………………………………………

Regla de signos en la radicación:….………………………………………………………………………………………………


………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………




“ ontinent l”



……………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

RESUMO:


CUESTIONARIO

1. Halla el valor de la potencia:




“ ontinent l”



2 1

3 4

0 2

3 23

2 200

4 5

3 6

39432 6

26782 5

2. Halla el valor de las potencias con exponentes negativos:

3 4

35

2 6

5 13

2 2

80,2

9

6 2

7 5

3.

Halla la raíz de ser posible:

3 5

4 4

8 1024

27 32

256 81

81 256

25 100

4 4

4. Determina el valor de x para que se cumpla la igualdad:




“ ontinent l”



3 2

4 2

9

100

121 11

x

x

x

5. Suprime los signos de agrupación y halla el valor.

0 2

3

21

0

3

1

0

16 3 5 1 12

25 4 9 2 64

1 1 1 4 1 812 3

4 3 2 3 9 25

25 9 1 1 13

9 25 2 4 8

21 4 1 1 13 2 32 5 2 2 323

6. Un señor tiene $5600. Si en la mañana gasta 3/8 del dinero y en la tarde gasta 1/5 de lo

que le queda, calcula el dinero que le sobra al señor.






“ ontinent l”






“ ontinent l”



LECCIÓN Nº

10

SISTEMA DE FUNCIONES

BLOQUE Nº1: RELACIONES Y FUNCIONES

OBJETIVOS:

- Comprender los conceptos relacionados con el sistema de funciones.

- Conocer y aplicar los métodos de resolución de los problemas del sistema de funciones.


Resolver relaciones de conjuntos cumpliendo las condiciones determinadas

Ubicar en el plano cartesiano pares ordenados.

PAR ORDENADO

Se dice que (a, b) es un par cualquiera, con (a ≠ b), será un par ordenado si (a, b) ≠ (b, a). Por lo

tanto dos pares ordenados son iguales si los elementos respectivos son iguales y están dados en el

mismo orden. Ejemplo:

(5,6) (5,6)

(5,6) (6,5)

PRODUCTO CARTESIANO DE DOS CONJUNTOS.

El producto cartesiano A x B es el conjunto formado por todos los pares ordenados, cuyas

primeras componentes pertenecen a un conjunto A, que es llamado conjunto de partida, y cuyassegundas componentes pertenecen a un conjunto B llamado también conjunto de llegada.

Ejemplo: Realizar el producto cartesiano A x B, si:

2,4 0,1,5 A y B








“ ontinent l”



RELACIONES BINARIAS.

En la vida diaria se presentan situaciones en donde se comparan dos elementos, por ejemplo:

- Laura “es reina de” Cuenca.

- 3 “es menor que” 5 - Jaime “es profesor de” Matemática.

- 8 “es divisor de” 48.

Podemos notar que en todos los ejemplos planteados se relacionan dos elementos. En este tema

se estudian las relaciones entre lo elementos de dos conjuntos; de aquí parte una definición

acerca del conjunto llamado relación.

El conjunto relación R, está formado por los pares ordenados que validen cierta regla o condición

definida y cuyo primer elemento pertenece al primer conjunto.




“ ontinent l”



Entonces, para hallar el conjunto relación debemos considerar lo siguiente:

1. Un primer conjunto.

2. Un segundo conjunto (puede ser el mismo primer conjunto)

3. Una regla o condición definida.

4. Los pares ordenados del producto cartesiano entre los dos conjuntos.

Ejemplo:

Hallar simbólicamente el conjunto relación PRQ, si P = {1, 4, 9} y Q = {5, 7}, que valide la regla

“menor que”.

Primero realizamos las consideraciones para ver si tenemos los argumentos necesarios para una

relación:

1. Primer conjunto. P = {1 , 4 , 9}

2. Segundo conjunto. Q = {5 , 7}

3. La regla es: “menor que”

4. El producto PxQ es:

(1,5);(1,7);(4,5);(4,7);(9,5);(9,7) P Q

Por lo tanto el conjunto relación estará formado por los pares ordenados que cumplan con lacondición inicial, es decir:

(1,5);(1,7);(4,5);(4,7) R PQ

Gráficamente tenemos:




“ ontinent l”



Dominio de una relación. El dominio es el conjunto formado por las primeras componentes de

cada par ordenado del conjunto relación.

Para el ejemplo anterior el dominio se representaría:

Dom = {1, 4}

Contradominio de una relación. El contradominio es el conjunto formado por las segundascomponentes de cada par ordenado del conjunto relación.

Para el ejemplo anterior el contradominio se representaría:

Cont = {5 , 7}




“ ontinent l”



Nombre: ……………………………………………………………………………………….

Curso: ………………………………………

Especialidad: ………………………………………………………………………………..

INVESTIGO:

1.

¿Quién fue René Descartes?

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

LECCIÓN Nº 10




“ ontinent l”



GLOSARIO:

Par Ordenado:……………………………………………………………………………………………………………………………..

Sistema Cartesiano:………………….….………………………………………………………………………………………………

Relación Binaria:………………………………………………………………………………………………………………………….

Dominio:……………………………………………………………………………………………………………………………………..

Contradominio:……………………………………………………………………………………………………………………………


………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

RESUMO:





“ ontinent l”



CUESTIONARIO

1. Para los conjuntos P= {4, 6} y Q= {a, e, i, o, u}. Hallar simbólicamente el [producto

indicado:

P Q

Q P

2. Representa gráficamente el producto de F x G, si F = {-2, 0} y G = {1, 2, 3, 4}.

3. Halla simbólicamente el conjunto relación “mayor que” definido por los conjuntos:

H= {3, 6, -7, 8, 9} y G = {9, 4, 5}.

H G




“ ontinent l”



4. Halla simbólica y gráficamente el conjunto relación XRY dadas por las siguientes

relaciones, luego escribe el conjunto dominio y contradominio.

" " {1,3,5,7} {2,4,6}mayor que Si X y Y

" " {4,6,8} {1,2,3}el doble de Si X y Y

" " {2,3,4,6} {8,3,4}mitad de Si X y Y

" 2" { 2,0,1,2} { 1,0,2,4,5} x y Si X y Y




“ ontinent l”



" 6" { 3, 1,2} { 6, 2,0,3} xy Si X y Y

5. En las relaciones dadas determina el conjunto dominio y el conjunto contradominio:





“ ontinent l”



LECCIÓN Nº

11

FUNCIÓN

BLOQUE: RELACIONES Y FUNCIONESOBJETIVOS:

- Comprender el concepto de función.

- Identificar diferentes problemas de funciones y aplicar los métodos de resolución a las

mismas.


Reconocer el dominio y contradominio de una función.

Graficar correctamente una función en un sistema cartesiano.

DEFINICIÓN

En algunas relaciones, cada elemento del primer conjunto está relacionado con un sólo elemento

del segundo conjunto, en estos casos la relación toma el nombre específico de función. Una

función se denota generalmente así:

: f

f X Y o X Y

Que se lee: “ f es una función de X en Y ”.

Las funciones pueden ser escritas en el lenguaje simbólico y en el lenguaje coloquial, de la

siguiente manera:

1. ( , ) / 2 1 f x y y x y se lee: “ f es el conjunto de pares ordenados (x,y) tales que y es el

doble de x, más 1”




“ ontinent l”



32. ( , ) / 1 f x y y x y se lee: “ f es el conjunto de pares ordenados (x,y) tales que y es el

cubo de x, disminuido en 1”

Dominio de una función. El dominio de una función definida de X en Y es el conjunto de partida X.

Contradominio de una función. El contradominio de una función f es el conjunto formado por los

elementos que pertenecen al conjunto Y que cumplan con ésta función.

Ejemplo: Si X = {1, 3, 5} y 2 f x , el conjunto Y = {2 , 6 , 8 , 10}, entonces el Dom = {1 , 3 , 5} y en

Cont = {2 , 6 , 10}.

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN EN UN SISTEMA CARTESIANO

.Una función numérica definida en los números enteros, se acostumbra representarla como:

( , ) / ( ) , f x y y f x x y Z

Donde el dominio estará formado por los números enteros que se asignen arbitrariamente a x ; y el

conjunto del contradominio estará formado por los valores de y (y = f(x)) obtenidos al reemplazar

x en la regla dada. Ejemplo: Grafiquemos en un sistema cartesiano la función:

( , )/ 2 1 , f x y y x x y Z




“ ontinent l”






“ ontinent l”



Nombre: ……………………………………………………………………………………….

Curso: …………………………………………………………………………………………..

Especialidad: ………………………………………………………………………………..

INVESTIGO:

1. Averiguar que es una función Inyectiva, Sobreyectiva y Biyectiva.

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………….

GLOSARIO:

Función:……….……………………………………………………………………………………………………………………………..

Lenguaje simbólico:………………….….………………………………………………………………………………………………

Lenguaje coloquial……………………………………………………………………………………………………………………….

Contradominio:……………………………………………………………………………………………………………………………

Dominio:………………………………………………………………………………………………………………………………………

LECCIÓN Nº 11




“ ontinent l”




………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

RESUMO:





“ ontinent l”



CUESTIONARIO

1. Representa los siguientes puntos en el sistema cartesiano:

A(2,-1) ; B(3,1) ; C(4-3) ; D(6,-2) ; E(4,-4) ; F(5,0)

2. En una función, ”x” representa:

a. ( ) Un elemento del Dom. y Cont.

b. ( ) Un elemento del Dom.

c. ( ) Un elemento del Cont.




“ ontinent l”



3. Grafica las funciones dadas por:

2 4 y x

2 2 4 y x x




“ ontinent l”



4. Grafica en un sistema cartesiano la siguiente función si el dominio es Dom={3,-2,-1,0-1,2}

( , ) / 2 2 , f x y y x x y Z





“ ontinent l”



LECCIÓN Nº

12

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

BLOQUE: RELACIONES Y FUNCIONES

OBJETIVOS:

- Comprender el concepto de un monomio y un polinomio.

- Relacionar los polinomios y los monomios asociados a las operaciones entre polinomios.

DESTREZA CON CRITERIO DE DESEMPEÑO.

Reconocer la estructura y características de un expresión algebraica

Relacionar los tipos de expresiones algebraicas para resolver ejercicios; conocer el grado

de un polinomio y monomio.

DEFINICIÓN.

En el lenguaje algebraico, los números reales se representan por medio de letras.

El uso de letras permite al álgebra expresar del modo más general, las magnitudes representativas

de diversas situaciones reales. En este sentido se dice que el lenguaje algebraico es una

generalización del lenguaje de la aritmética.

Por ejemplo, la base de un rectángulo es el doble de su altura. Si la altura mide x unidades, la base

mide entonces 2x unidades , por lo tanto, el área del rectángulo se expresa como:

2(2 ) ( ) 2

A b a

A x x x

Una expresión algebraica es una combinación de letras, números y signos de operaciones. Las

letras suelen representar cantidades desconocidas y se denominan variables o incógnitas. Las

expresiones algebraicas nos permiten traducir al lenguaje matemático expresiones del lenguaje

habitual.

Tipos de expresiones algebraicas. Hay distintos tipos de expresiones algebraicas.




“ ontinent l”



Dependiendo del número de sumandos, tenemos: monomios (1 sumando) y polinomios

(varios sumandos).

Algunos polinomios tienen nombre propio: binomio (2 sumandos), trinomio (3 sumandos),etc.

Dos expresiones algebraicas separadas por un signo se llama ecuación.

Un caso particular de ecuación es la identidad, en la que los dos lados de la igualdad son

equivalentes.

MONOMIOS

Un monomio es una expresión algebraica que puede ser un número, una letra que representa una

variable o el producto de números y letras elevadas a potencias con exponentes enteros mayoreso iguales a cero.

Ejemplo:

2 4 3 55 ; 3 ; 24 x xy x y z

A la parte numérica del monomio se le llama coeficiente numérico y al producto de las letras que

representas las variables de un monomio con sus respectivos exponentes se lo llama parte literal .

Ejemplo: En el monomio3

5 x , el coeficiente numérico sería -5, mientras que la parte literal la

conformaría3

x .

Grado de un monomio. El grado de un monomio es la suma de los exponentes de las letras que

representan las variables. Ejemplo: El grado del polinomio 37 x y es 4, ya que 3 3 17 7 x y x y . En

este curso únicamente se analizaran los monomios de grado 2.

Monomios Semejantes. Se llaman semejantes a los monomios que tienen la misma parte literal. Ejemplo: Son semejantes los monomios:




“ ontinent l”



Pues la parte literal de todos ellos es: .

Valor Numérico. El valor numérico de una expresión algebraica, y en particular de un monomio, esel valor que se obtiene al reemplazar las variables por sus respectivos valores.

Para conocer acerca de monomios homogéneos es necesario el siguiente concepto:

Polinomio. Un polinomio es la suma algebraica de dos o más monomios.

El grado de un polinomio es el del monomio de mayor grado.

Polinomio homogéneo. Un polinomio se denomina homogéneo en una o varias variables si todos

sus términos son del mismo grado en dichas variables;

Ejemplo: 3xy+ 2x2 5y2 es un polinomio homogéneo de segundo grado en x e y.




“ ontinent l”



Nombre: ……………………………………………………………………………………….

Curso: …………………………………………………………………………………………..

Especialidad: ………………………………………………………………………………..

INVESTIGO:

1.

¿Cuál fue el origen de las expresiones algebraicas?

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

GLOSARIO:

Monomio:….……………………………………………………………………………………………………………………………..

Semejante:…………………………….….………………………………………………………………………………………………

Homogéneo...…………………………………………………………………………………………………………………………….

Valor Numérico:………………………………………………………………………………………………………………………..

Polinomio:…………………………………………………………………………………………………………………………………

LECCIÓN Nº 12




“ ontinent l”




………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

RESUMO:





“ ontinent l”



CUESTIONARIO

1. Completa la siguiente tabla:

Elementostérminos

Signo Coeficiente Factor Literal

-3x2

0,25a3by

27x4y6w12

2. Escribe los posibles exponentes de las variables para que cada término tenga el grado

indicado.

3

4 3

15

4

0,3 9

m n grado

x y z grado

a b grado

c d f grado

3. Escribe una expresión algebraica que cumpla cada grupo de condiciones.

a. Con un término, dos variables y cuyo grado con respecto de una de las variables sea 2.

b. De dos términos y de dos variables distintas.

c. Con tres términos y la variable “x”.




“ ontinent l”



4. Calcula el valor numérico de cada valor:

2

2

3

4 5 2

4 1

42

5

5 1, 3

1si 62

1, 2, 3

a s i a

x si x

mn si m n

n n

x y z si x y z

5. Encuentra el valor numérico de la variable si se conoce el valor numérico de cada

monomio.

Monomio Valor numéricoDel monomio

Valor numéricoDe la variable

3a 12 a=5b2 5 b=

4c2 -32 c=

4 m=

12x -36 x=

6. Escribe dos monomios que sean semejantes a cada uno de los monomios dados:

2

3 3

2

5

1493

55

0,7 3

4 2

a pq

x xyz

x y bc

n m abx




“ ontinent l”



7. Determinar si las siguientes expresiones son polinomios homogéneos, y si lo sondeterminar su grado.

4 4 8 7

2 2

2 2 3

3 2

8 16 5

2 3

4 8

5 2

a b a c a

x xy y

ab a b a

x xz y x







“ ontinent l”



LECCIÓN Nº

13

GEOMETRÍA Y MEDIDA

BLOQUE: GEOMETRIA

OBJETIVOS:

- Comprender los conceptos asociados a la geometría y medida.

- Conocer la clasificación de las figuras geométricas, desde las más elementales hasta las

más complejas.


Reconocer figuras geométricas según su superficie.

Asociar los conceptos con la aplicación de gráficos.

FIGURAS GEOMÉTRICAS

Una figura geométrica es un conjunto cuyos elementos son puntos. La Geometría es el estudio

matemático detallado de las figuras geométricas y sus características: forma, extensión, posición

relativa, propiedades.

La observación de la naturaleza nos muestra la existencia de variadas formas en los cuerpos

materiales que la componen y nos proporciona la idea de volumen, superficie, línea, y punto. Por

necesidades prácticas, el desarrollo de técnicas usadas para medir, construir o desplazarse,

llevaron al hombre a hacer uso de las diversas propiedades de las figuras geométricas.

FIGURAS GEOMÉTRICAS MÁS ELEMENTALES.

Las figuras geométricas más elementales son el punto, la recta y el plano. Mediante

transformaciones y desplazamientos de sus componentes generan diversas líneas, superficies y

volúmenes, que son objeto de estudio en matemáticas: geometría, topología, etc. A continuación

su muestran figuras geométricas que delimitan una superficie.






“ ontinent l”



Describen superficies:

Superficie de revolución Superficie reglada

Tridimensional (volumétricas)

Delimitan volúmenes (cuerpos geométricos):

Poliedro

Describen volúmenes:

Sólido de revolucióno cilindroo conoo esfera

N-dimensional (n dimensiones)

Politopo




“ ontinent l”



Nombre: ……………………………………………………………………………………….

Curso: …………………………………………………………………………………………..

Especialidad: ………………………………………………………………………………..

INVESTIGO:

1.

¿Cuál es el origen del término geometría?

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

GLOSARIO:

Cilindro:….………………………………………………………………………………………………………………………………….

Poliedro:…………………………….….……………………………………………………………………………………………………

Polígono:..…………………………………………………………………………………………………………………………………..

Esfera:………………………………………………………………………………………………………………………………………….

Elipse:………………………………………………………………………………………………………………………………………....

LECCIÓN Nº 13




“ ontinent l”




………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

RESUMO:





“ ontinent l”



CUESTIONARIO

1. Construir las siguientes figuras geométricas.

Cubo:

1.- Se trazan cuatro (4) cuadrados

iguales, de 10cm de lado unoseguido del otro.

2.- Luego se dibujan dos (2)

cuadrados más a cada lado de

uno de los que hiciste

anteriormente.

3.- Recuerda que se deben trazar

sus respectivas pestañas para así

lograr pegar todo el cuerpo

geométrico y formar la figura.




“ ontinent l”



Cono:

1.- Se traza un círculo de radio 5cm que será la base.

2.- Luego se dibuja un triángulo cuya base debe ser en forma

de arco.

3.- Las pestañas debes hacerlas en la base del triángulo.

Pirámide Triangular:

1.- Se trazan tres (3) triángulos

isósceles iguales de base 3cm y

9cm de lado, uno a continuación

del otro.

2.- Luego se dibuja otro triángulo

más pequeño (equilátero) de 3cm

de lado, que servirá como base

debajo de alguno de los trazados

anteriormente.

3.- Recuerda dibujar las pestañas.





“ ontinent l”



LECCIÓN Nº

14

TRIÁNGULOS

BLOQUE: GEOMETRIA

OBJETIVOS:

- Comprender los conceptos asociados a los triángulos y sus diferentes tipos.

- Conocer la clasificación de los triángulos según sus lados y ángulos.


Describir las características principales de un triangulo, mencionar su clasificación según

los distintos criterios logrando aplicarlos mediante gráficos.

DEFINICIÓNUn triángulo, en geometría, es un polígono determinado por tres rectas que se cortan dos a dos en

tres puntos (que no se encuentran alineados).

Los puntos de intersección de las rectas son los vértices y los segmentos de recta determinados

son los lados del triángulo. Dos lados contiguos forman uno de los ángulos interiores del triángulo.




“ ontinent l”



Por lo tanto, un triángulo tiene 3 ángulos interiores, 3 lados y 3 vértices

Los puntos principales de una figura geométrica, como los vértices de un polígono, suelen ser

designados por letras latinas mayúsculas: A, B, C ,...

Un triángulo se nombra entonces como cualquier otro polígono, nombrando sucesivamente sus

vértices, por ejemplo ABC .

En el caso del triángulo, los vértices pueden darse en cualquier orden, porque cualquiera de las 6

maneras posibles ( ABC , ACB, BAC , BCA, CAB, CBA), corresponde a un recorrido de su perímetro.

Esto ya no es cierto para polígonos con más vértices.

Los lados del triángulo se denotan, como todos los segmentos, por sus extremos: AB, BC y AC , ennuestro ejemplo.

Para nombrar la longitud de un lado, por lo general se utiliza el nombre del vértice opuesto,

convertido a minúscula latina: a para BC , b para AC , c para AB.

La notación general para el ángulo entre dos segmentos OP y OQ que comparten el extremo O es

POQ.

También podemos utilizar una letra minúscula, habitualmente griega, coronada por un acento

circunflejo (en rigor, los ángulos deben ser designados por letras mayúsculas y su medida por

minúsculas, pero a menudo se utilizan los mismos nombres para los dos con el fin de simplificar la

notación).




“ ontinent l”



En el caso de un triángulo, el ángulo entre dos lados todavía puede, por tolerancia y en ausencia

de ambigüedad, ser designado por el nombre del vértice común, coronado por un acento

circunflejo. En resumen, en nuestro ejemplo, podemos observar los ángulos:

a A BAC

b B ABC

c C ACB

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS.

Los triángulos se pueden clasificar por la relación entre las longitudes de sus lados o por la

amplitud de sus ángulos.

Por las longitudes de sus lados.

Por las longitudes de sus lados, todo triángulo se clasifica:

Triángulo equilátero, si sus tres lados tienen la misma longitud (los tres ángulos internos

miden 60 grados.)

Triángulo isósceles, si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a

estos lados tienen la misma medida.

Triángulo escaleno si todos sus lados tienen longitudes diferentes (en un triángulo

escaleno no hay dos ángulos que tengan la misma medida).




“ ontinent l”



Ejemplos:

Equilátero Isósceles Escaleno

Por la amplitud de sus ángulos.

Por la amplitud de sus ángulos, los triángulos se clasifican en:

Triángulo rectángulo: si tiene un ángulo interior recto (90°). A los dos lados que

conforman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa.

Triángulo oblicuángulo: cuando ninguno de sus ángulos interiores son rectos (90°). Por

ello, los triángulos obtusángulos y acutángulos son oblicuángulos.

Triángulo obtusángulo: si uno de sus ángulos interiores es obtuso (mayor de 90°);

los otros dos son agudos (menores de 90°).

(Clasificación por amplitud de sus ángulos)

Triángulos

Rectángulos

Oblicuángulos

Obtusángulos

Acutángulos




“ ontinent l”



Triángulo acutángulo: cuando sus tres ángulos interiores son menores de 90°. El

triángulo equilátero en caso particular de triángulo acutángulo.

Rectángulo Obtusángulo Acutángulo

Oblicuángulos

Importante: La suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180°

180




“ ontinent l”



Nombre: ……………………………………………………………………………………….

Curso: …………………………………………………………………………………………..

Especialidad: ………………………………………………………………………………..

INVESTIGO:

1. ¿De qué manera, con la ayuda de un compás y una regla, podemos dibujar un

triángulo equilátero?

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

GLOSARIO:

Triángulo Equilátero:..………………………………………………………………………………………………………………..

Triángulo Escaleno:…………………………….….……………………………………………………………………………………

Triángulo Isósceles:..……………………………………………………………………………………………………………………

Triángulo rectángulo:………………………………………………………………………………………………………………….

Triángulo acutángulo:………………………………………………………………………………………….………………………

LECCIÓN Nº 14




“ ontinent l”



Triángulo obtusángulo:……………………………………………………………………………………………………………


………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

RESUMO:





“ ontinent l”



CUESTIONARIO

1. Calcule en un triángulo el ángulo x teniendo en cuenta que los otros miden 43º y 105º.Seleccione una respuesta:

a) 60°

b) 32°

c) 42°

2. ¿Cuál es el tipo de triángulo que tiene tres ángulos agudos? Seleccione una respuesta:

a) Rectángulo

b) Acutángulo

c) Obtusángulo

3. Construye un triángulo equilátero ABC de 3cm de lado, escribe su simbología y hallael perímetro.

4. Construye un triángulo isósceles MNO, si su base mide 3 cm y sus lados congruentes5cm, escribe su simbología y halla el perímetro.






“ ontinent l”



LECCIÓN Nº

15

TEOREMA DE THALES

BLOQUE: GEOMETRÍA

OBJETIVOS:

- Comprender los conceptos asociados con el Teorema de Thales.

- Conocer las propiedades relacionadas y aplicadas a los triángulos.


Ejecutar el Teorema de Thales y sus propiedades estudiadas en ejercicios de aplicación,

utilizando métodos de resolución adecuados.

La geométrica estudia las propiedades y medidas de las figuras geométricas. En la Geometría,

tenemos un teorema que es fundamental en su estudio, que fue planteado por el griego Thales de

Mileto (640 – 546 AC), el cual nos dice que:

Las paralelas que cortan a otras rectas, determinan en dichas rectas, segmentos correspondientes

proporcionales.






“ ontinent l”



PQ AB

PQ PC CQ

AB AC CB




“ ontinent l”



Nombre: ……………………………………………………………………………………….

Curso: …………………………………………………………………………………………..

Especialidad: ………………………………………………………………………………..

INVESTIGO:

1. ¿Quién fue Thales de Mileto?.

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

GLOSARIO:

Proporcional:…………....………………………………………………………………………………………………………………..

Teorema:………………..………………………….….……………………………………………………………………………………

Paralela:………………..……………………………………………………………………………………………………………………

Segmento:……………….………………………………………………………………………………………………………………….

Empíricamente:………………………………………………………………………………………………………………………….

LECCIÓN Nº 15




“ ontinent l”




………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

RESUMO:





“ ontinent l”



CUESTIONARIO

1. Traza 3 rectas paralelas que corten a las rectas m y n. Luego mide en cm y con muchaprecisión los segmentos indicados, determina la constante k y compruebaempíricamente el teorema de Thales:

' '

' '

' '

' ' ' ' ' '

PQk

P Q

QR

Q R

PR

P R

PQ QR PR

P Q Q R P R




“ ontinent l”



2. En el triángulo propuesto, traza una recta PQ paralela a un lado y comprueba (mide)que los segmentos de recta en los otros dos lados, son proporcionales (primerapropiedad del teorema de Thales).

:Comprueba

CP BQ

PA PQ

3. En el triángulo propuesto traza una recta PQ y comprueba (mide) la segundapropiedad del teorema de Thales.

:Comprueba

AQ AP PQ

AB AC BC




“ ontinent l”



4. Traza tres rectas paralelas k, l, m que corten a las rectas dadas a y b. Luego mide encm los segmentos indicados, determina la constante k y comprueba empíricamente elteorema de Thales.





“ ontinent l”



LECCIÓN Nº

16

RECTAS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO

BLOQUE: GEOMETRÍA

OBJETIVOS:

- Comprender los conceptos asociados a las rectas notables de los triángulos.

Conocer los puntos que forman las distintas rectas notables de un triángulo, y que tipo de

construcciones se pueden realizar a partir de los mismos.


Definir y representar medianas, mediatrices, alturas y bisectrices de un triángulo engráficos.

ALTURA.

Se llama altura de un triángulo a cada una de las tres rectas que pasan por un vértice del triángulo

y que son perpendiculares al lado opuesto del vértice.

Las 3 alturas de un triángulo se cortan en un punto único llamado ortocentro del triángulo.




“ ontinent l”



MEDIANA.

El segmento de recta que va de un vértice al punto medio del lado opuesto se llama mediana. Lastres medianas de un triángulo concurren en un punto, G en la figura, llamado baricentro del

triángulo.

BISECTRIZ.

La bisectriz es aquella recta que divide a un ángulo en dos ángulos iguales, por lo que lasbisectrices de un triángulo son las tres bisectrices de sus ángulos internos. Las tres bisectrices de

un triángulo son concurrentes en un punto O llamado incentro.




“ ontinent l”



MEDIATRIZ.

Se llama mediatriz de un lado de un triángulo a la recta perpendicular a dicho lado trazada por su

punto medio. Las tres mediatrices de un triángulo son concurrentes en un punto equidistante de

los tres vértices. Este punto se llama circuncentro.




“ ontinent l”



Nombre: ……………………………………………………………………………………….

Curso: …………………………………………………………………………………………..

Especialidad: ………………………………………………………………………………..

INVESTIGO:

1. ¿Qué es y cómo se construye una circunferencia inscrita en un triángulo?

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

GLOSARIO:

Mediana:…….…………....………………………………………………………………………………………………………………..

Bisectriz:..………………..………………………….….……………………………………………………………………………………

Mediatriz:….…………..……………………………………………………………………………………………………………………

Incentro:……………………………………………………………………………………………………………………………………...

Altura:………………………………………………………………………………………………………………………………………….

LECCIÓN Nº 16






“ ontinent l”



CUESTIONARIO

1. En un triángulo acutángulo RST traza las tres alturas y halla el ortocentro.

2. En un triángulo obtusángulo ABC traza las tres medianas y halla el baricentro.

3. En un triángulo rectángulo EFG traza las tres bisectrices y halla el incentro.




“ ontinent l”



4. En un triángulo obtusángulo XYZ traza las tres mediatrices y halla el circuncentro.

5. Trazar una circunferencia inscrita en un triángulo. (utiliza el incentro como origen de lacircunferencia).

6. Trazar una circunferencia circunscrita en un triángulo. (utiliza el circuncentro comoorigen de la circunferencia).





“ ontinent l”



LECCIÓN Nº

17

CONGRUENCIA Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

BLOQUE: GEOMETRÍA

OBJETIVOS:

- Comprender los conceptos asociados a la congruencia y semejanza de triángulos y sus

diferentes aplicaciones.

- Conocer los diferentes postulados para la determinación de la congruencia o semejanza

entre triángulos.


Reconocer la congruencia y la semejanza de triángulos en la resolución de problemas.

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

Dos triángulos son congruentes si hay una correspondencia entre sus vértices de tal manera que el

ángulo del vértice y los lados que lo componen, en uno de los triángulos, sean congruentes con los

del otro triángulo. Es decir dos triángulos son congruentes cuando tienen la misma forma y el

mismo tamaño.

Postulados de congruencia.

Triángulo Postulados de congruencia

Postulado LAL (Lado, Ángulo, Lado)

Dos triángulos son congruentes si dos lados de uno tienen la misma longitud que dos

lados del otro triángulo, y los ángulos comprendidos entre esos lados tienen también

la misma medida.




“ ontinent l”



Postulado ALA (Ángulo, Lado, Ángulo)

Dos triángulos son congruentes si dos ángulos interiores y el lado comprendido entre

ellos tienen la misma medida y longitud, respectivamente. (El lado comprendido entre

dos ángulos es el lado común a ellos).

Postulado LLL (Lado, Lado, Lado)

Dos triángulos son congruentes si cada lado de un triángulo tiene la misma longitud

que los correspondientes del otro triángulo.

Teorema AAL (Ángulo, Ángulo, Lado)

Dos triángulos son congruentes si dos ángulos y un lado, no comprendido entre los

ángulos, tienen la misma medida y longitud, respectivamente.

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS.

Como una aplicación del teorema de Thales tenemos la semejanza de triángulos, la misma que se

da cuando los triángulos tienen únicamente la misma forma. Simbólicamente la semejanza se

representa con “~”.

Primer caso de semejanza:

Dos triángulos son semejantes cuando tienen los tres ángulos iguales

~

A P B Q

C R

ABC PQR




“ ontinent l”



Segundo caso de semejanza:

Dos triángulos son semejantes cuando los tres lados de uno de ellos, son proporcionales

respectivamente a los tres lados del otro.

~

AC AB BC

PR PQ QR ABC PQR




“ ontinent l”



Nombre: ……………………………………………………………………………………….

Curso: …………………………………………………………………………………………..

Especialidad: ………………………………………………………………………………..

INVESTIGO:

1. ¿En qué caso de la vida real se puede observar la semejanza de triángulos?

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

GLOSARIO:

Congruente:.…………....………………………………………………………………………………………………………………..

Semejante:……………..………………………….….……………………………………………………………………………………

Postulado:…………………………………………………………………………………………………………………………………..

Teorema:…………………………………………………………………………………………………………………………………….

Ángulo:………………………………………………………………………………………………………………………………………..

LECCIÓN Nº 17




“ ontinent l”




………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

RESUMO:







“ ontinent l”



b. Aplica el postulado LLL

Explicación:………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. Determina si los triángulos propuestos son semejantes. Aplica el primer caso.

4. Determina si los triángulos propuestos son semejantes. Aplica el segundo caso.





“ ontinent l”



LECCIÓN Nº18

CONSTRUCCIÓN DE FIGURAS GEOMÉTRICAS.

BLOQUE: GEOMETRÍA

OBJETIVOS:

- Comprender los conceptos asociados a la construcción de figuras geométricas.- Conocer los métodos de construcción de figuras geométricas utilizando la regla y el

compás.


Construir figuras geométricas con el uso de la regla y el compás siguiendo pautasespecíficas; aplicar métodos y técnicas adecuadas para graficar las figuras de formaexacta.

TRAZAR UN TRIÁNGULO EQUILÁTERO DADO UN LADO

Empezamos trazando uno de sus lados que servirá de base para el triángulo: A B. Ahora trazamos

una circunferencia con centro en cada uno de los extremos del segmento que pase por el otro

extremo. Es decir, el radio de la circunferencia es igual a la longitud del segmento.

A B. El punto de intersección de las dos circunferencias es el tercer vértice del triángulo

equilátero. Trazamos los segmentos AC y BC para obtener el triángulo equilátero: A B C.




“ ontinent l”



TRAZAR UNA PERPENDICULAR A UNA RECTA POR UNO DE SUS PUNTOS.

Empezamos dibujando la recta a la cual se le trazará la perpendicular: Con ayuda del compás

vamos a trazar dos arcos que corten la recta apoyándonos en el punto P, donde A y B son los

puntos de intersección del arco con la recta. Ahora vamos a trazar, con una mayor abertura del

compás, dos arcos que se corten, apoyándonos primero en el punto A y luego en B. El punto de

intersección de los arcos es Q. Ahora basta unir los puntos P y Q para obtener la recta

perpendicular a:

CONSTRUCCIÓN DE UN CUADRADO DADO UNO DE SUS LADOS

Empezamos con uno de los lados del cuadrado A B. Construimos una perpendicular a cada

extremo del lado dado, luego trazamos una circunferencia con centro en A primero, luego en B y

con radio igual a la longitud del lado A B. Los puntos P y Q de intersección de cada circunferencia

con las perpendiculares son los otros vértices del cuadrado:




“ ontinent l”



TRAZAR UNA BISECTRIZ

Empezamos mostrando el ángulo al cual trazaremos la bisectriz, primero abrimos el compás para

dibujar dos arcos de mismo radio que corten, uno a cada lado del ángulo, donde A y B son las

intersecciones. Ahora, apoyándonos en cada punto de intersección generados con estos trazos,

volvemos a trazar dos arcos de mismo radio, que se corten entre ellos. Ahora solo falta trazar la

recta que pasa por el vértice del ángulo y el punto Q:




“ ontinent l”



Nombre: ……………………………………………………………………………………….

Curso: …………………………………………………………………………………………..

Especialidad: ………………………………………………………………………………..

INVESTIGO:

1.

¿Cómo construir un triángulo isósceles utilizando la regla y el compás?

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

GLOSARIO:

Segmento:…..…………....………………………………………………………………………………………………………………..

Perpendicular:………..………………………….….……………………………………………………………………………………

Radio de la circunferencia:………………………………………………………………………………………………………….

Intersección:………………………………………………………………………………………………………………………………..

Bisectriz:…………………………………………………………………………………………………………………………………….


………………………………………………………………………………………………………………………………………………

LECCIÓN Nº 18




“ ontinent l”



………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

RESUMO:





“ ontinent l”



CUESTIONARIO

1. Construir un triángulo equilátero dado un lado de 3cm.

2. Construir un triángulo isósceles dado su base AB de 3cm y uno de sus lados de 5cm.

3. Construir un triángulo escaleno dado sus tres lados 3cm, 4cm, 5cm.




“ ontinent l”



4. Construir un triángulo isósceles dado su base AB de 4cm y uno de sus ángulos de 60°.

5. Construir un cuadrado dado uno de sus lados, L = 3,5cm

6. Trazar la bisectriz en los ángulos siguientes: 40°, 60°, 90 y 75°





“ ontinent l”



LECCIÓN Nº

19

PRISMA Y CILINDRO

BLOQUE: GEOMETRÍA

OBJETIVOS:

- Comprender los conceptos asociados al prisma y al cilindro.

- Conocer los métodos de resolución de los problemas relacionados con el cálculo de área y

volumen de los prismas y cilindros.

DESTREZA CON CRITERIO DESEMPEÑO

Describir el concepto y características de un prisma y cilindro, obtener el área de las

figuras propuestas mediante la aplicación de fórmulas.

DEFINICIÓN.

Los cuerpos geométricos existen en el espacio y son, por tanto, objetos tridimensionales limitadospor una o varias superficies. Si todas las superficies que lo limitan son planas y de contorno

poligonal, el cuerpo es un poliedro, dentro de los cuales tenemos al prisma y al cilindro.

PRISMA.

Llámese prisma a una porción de espacio, limitada por dos polígonos iguales, puestos en planos

paralelos y por tantos paralelogramos cuantos son los lados de los polígonos.




“ ontinent l”



Este es un prisma pentagonal ya que tiene por bases dos pentágonos.

Tomamos en cuenta las siguientes definiciones en el prisma:

Caras laterales: Los paralelogramos que conforman el prisma.

Altura del prisma: Es la distancia entre los planos de las bases.

Área de un prisma: El área de un prisma se define como:

Á. Total = A Lateral + 2· A Base

Volumen de un prisma: El volumen de un prisma, se define como:

Volumen = A Base · Altura

Donde la Base = Polígono Regular.

CILINDRO.

Se llama cilindro circular recto o simplemente cilindro, al sólido producido por la rotación

completa de un rectángulo, alrededor de uno de sus lados.




“ ontinent l”



El cálculo del volumen y el área del cilindro son similares al cálculo en el prisma.

Área de un cilindro: El área de un cilindro se define como:

Á. Total = A. Lateral + 2· A. Base

Volumen de un cilindro: El volumen de un cilindro, se define como:

Volumen = A. Base · Altura

Donde A. Base = π.r2






“ ontinent l”




………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

RESUMO:





“ ontinent l”



CUESTIONARIO

1. Hallar el volumen de un prisma pentagonal cuyos lados de la base tienen 3cm y la

apotema de 2cm, y cuya altura es de 10 cm.

2. Hallar el volumen de un cilindro recto, cuya base tiene un radio de 2cm, y una altura de

8cm.

3. Construir un prisma triangular y un cilindro y verificar el valor del volumen calculado.





“ ontinent l”






“ ontinent l”



LECCIÓN Nº

20

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

OBJETIVOS:

- Comprender los conceptos asociados a la probabilidad y estadística.

- Conocer los métodos de resolución de los problemas relacionados la interpretación de

datos, gráficos y cálculo de frecuencias.


Mencionar el concepto e importancia de la estadística dentro del estudio. Calcular y contrastar frecuencias absolutas y acumuladas de una serie de datos

gráficos.

Realizar gráficos estadísticos aplicando el estudio realizado.

ESTADÍSTICA.

Se denomina estadística, al conjunto de procedimientos que tienen que ver con la recolección,

organización e interpretación de datos, lo cual facilita la toma de decisiones.

Ejemplo: Observemos los siguientes cuadros:

ENCUESTA

Instrucción: Marca con

Una x tú cantante preferido.

( ) Cristian Castro

( ) Enrique Iglesias

( ) Ricky Martin( ) Alejandro Sanz

( ) Luis Miguel

RESULTADOS

Cristian Castro 38

Enrique Iglesias 95

Ricky Martin 92

Alejandro Sanz 64Luis Miguel 36




“ ontinent l”



De la observación de estos cuadros, podemos decir:

En el primer cuadro, tenemos una encuesta.

En el segundo cuadro, aparecen los resultados de la encuesta.

En el tercer cuadro, tenemos un gráfico representativo de los resultados de la encuesta.

En conclusión podemos observar que se ha recogido la opinión de las personas, luego se hanescrito organizados dichos criterios y finalmente, se han representado en un gráfico para una fácil

interpretación.

FRECUENCIAS.

En la mayoría de las investigaciones, podemos observar que los datos o valores se repiten, por lo

que al momento de elaborar una tabla, es necesario escribir una columna de frecuencias.

Se denomina frecuencia (f), al número de veces que se repite un dato.

Ejemplo: Construyamos una tabla con frecuencias en forma ascendente con los datos, los mismos

que corresponden a las edades en años de los alumnos de octavo año de básica.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Cristian Castro Enrique Iglesias Ricky Martin Alejandro Sanz Luis Miguel




“ ontinent l”



14 13 12 11 10

15 12 13 11 12

12 13 11 12 14

11 12 13 12 12

11 11 12 12 12

EDAD FRECUENCIA(variable) (f)

10 1

11 6

12 11

13 4

14 2

15 1

TOTAL 25

En estadística se pueden distinguir hasta cuatro tipos de frecuencias, estas son:

Frecuencia absoluta (ni ) de una variable estadística X i , es el número de veces que apareceen el estudio este valor. A mayor tamaño de la muestra, aumentará el tamaño de lafrecuencia absoluta; es decir, la suma total de todas las frecuencias absolutas debe dar eltotal de la muestra estudiada (N).

Frecuencia relativa ( f i ), es el cociente entre la frecuencia absoluta y el tamaño de lamuestra (N). Es decir,

Si multiplicamos la frecuencia relativa por 100 obtendremos el porcentaje o tanto por ciento ( pi )

que presentan esta característica respecto al total de N, es decir el 100% del conjunto.

Frecuencia absoluta acumulada (Ni ), es el número de veces ni en la muestra N con unvalor igual o menor al de la variable. La última frecuencia absoluta acumulada deberá serigual a N.

Frecuencia relativa acumulada (F i ), es el cociente entre la frecuencia absoluta acumuladay el número total de datos, N. Es decir,




“ ontinent l”



Con la frecuencia relativa acumulada por 100 se obtiene el porcentaje acumulado (Pi ), que al igual

que F i deberá de resultar al final el 100% de N.

Ejemplo: Estos son las notas de un alumno de 2do grado de secundaria:

18, 13, 12, 14, 11, 08, 12, 15, 05, 20, 18, 14, 15, 11, 10, 10, 11, 13

Número de datos: N = 18

Frecuencia Absoluta de 11 es 3. (11 aparece 3 veces)

Frecuencia Relativa de 11 es 0,17. (Frecuencia absoluta/cantidad de datos) (En este caso es 3/18)




“ ontinent l”



Nombre: ……………………………………………………………………………………….

Curso: …………………………………………………………………………………………..

Especialidad: ………………………………………………………………………………..

INVESTIGO:

1.

Tipos de gráficos estadísticos, conseguir un ejemplo de datos estadísticos reales

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

GLOSARIO:

Recolección:..…………....………………………………………………………………………………………………………………..

Organización:………..………….……………….….……………………………………………………………………………………

Interpretación:…………………………………………………………………………………………………………………………….

Frecuencia:…..……………………………………………………………………………………………………………………………..

LECCIÓN Nº 20






“ ontinent l”



CUESTIONARIO

1. Realiza el ejemplo de una encuesta, y representa los datos obtenidos en la misma,

utilizando la gráfica de barras. Saca tus conclusiones acerca de la encuesta.




“ ontinent l”



2. Las edades de los alumnos de noveno, se proponen a continuación. Construye una tablaen donde se observen las frecuencias absolutas, relativas y relativas porcentuales, así

también como las frecuencias absoluta acumulada, relativa acumulada y porcentual

acumulada.

16 15 14 14 12

13 15 14 13 12

12 15 13 14 14

14 13 14 13 13

13 14 15 14 1412 15 14 13 14




“ ontinent l”


3. Realiza una encuesta acerca de preferencias al momento de comprar gaseosa,

representa los datos obtenidos utilizando una gráfica de barras. Saca tus conclusiones

acerca de la encuesta.

Documents

Matemáticas 8 EBG