matematicas II fima 2011

1

UNIVERSIDAD NACIONAL DE LOJA

Guía DIDÁCTICA

MATEMÁTICA PARA

SEGUNDO AÑO DE

BACHILLERATO EN

FÍSICO MATEMÁTICA

Lic. Silvana Castro Tamay

Dr. Arturo Armijos cabrera

Loja –Ecuador

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INTRODUCCIÓN Para que todo proceso de enseñanza aprendizaje cumpla con sus objetivos , es necesario dotarle a los estudiantes de instrumentos que faciliten la asimilación de los contenidos y, a la vez, le permitan transferir ese conocimiento más allá del aula, de suerte que aprenda a relacionarlos con las realidades propias de su medio y de su tiempo . Frente a este reto de unir teoría y praxis – el aprender-haciendo según los postulados de la didáctica moderna se ha diseñado La presente GUÍA DE TRABAJO ACADÉMICO que consta de varias unidades en la cual, a partir del conocimiento adquirido, concreto, se afiance la calidad del mismo mediante el trabajo activo, evitando la simple transcripción de nombres y datos que puedan degenerar en tediosa repetición. En un primer momento trabajarán con Teoría de los Exponentes y Radicales en la cual se ha incrementado al término exponencial, los enteros y fracciones, y, en base a un plan que les presentamos con varias alternativas para que se exprese con su capacidad creativa, Triángulos oblicuángulos, temática que considero se debe tratar una vez que en el año anterior desarrollaron los triángulos rectángulos, luego veremos Identidades y Ecuaciones trigonométricas y que están relacionadas con la temática anterior (Trigonometría). Los números complejos como parte de los reales, Los logaritmos, Matrices y determinantes temática que nos ayuda a resolver sistemas de ecuaciones y por último Geometría Analítica como parte del álgebra que nos permite describir o analizar figuras geométricas.

OBJETIVOS GENERALES Cimentar y potenciar a los alumnos para que puedan comprender conocimientos de matemática cada vez más complejos. Describir los contenidos programáticos básicos a ser tratados con los estudiantes y los procesos metodológicos para ese tratamiento. Propender a que su ejecución permita el desarrollo de potencialidades en los alumnos para enfrentar con éxito problemas concretos de la vida diaria o de estudios posteriores. DESTREZAS Lograr en los estudiantes el orden, la responsabilidad, la disciplina y honestidad en la ejecución de las actividades intra y extractase, así como de exposiciones. a través del trabajo activo y solidario. Desarrollar el pensamiento lógico para la comprensión y dominio de teorías conceptuales para que potencien sus destrezas y confronten con las demás ramas del saber

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Conseguir que los alumnos apliquen los conocimientos en la resolución de problemas inherente a las operaciones con radicales aplicando sus respectivas leyes. CONTENIDOS ACTITUDINALES ES MEJOR CONFIAR EN UNO MISMO María era una joven muy tímida y débil al momento de tomar sus propias decisiones. Cursaba el octavo año; por su carácter y personalidad tenía pocas amigas. Su fuerte eran las Ciencias Naturales, le gustaban mucho las ilustraciones de animales y todo lo relacionado con los organismos vivos. En cambio tenía serios problemas en matemáticas. No había practicado lo suficiente para pasar la evaluación final y de recuperación, para pasar a noveno año. La tarde previa se había reunido con sus compañeras Alicia y Rebeca, quienes dominaban la potenciación y por ello se dedicaron a ver la TV, escuchar música y jugar en la computadora, muy confiadas de sus conocimientos , a pesar de tener falencias en la radicación; en cambio el problema de María era la potenciación. Practicó y realizó las tareas de refuerzo una y otra vez, y poco a poco fue ganando destreza para resolver los problemas y ejercicios planteados. El día llegó, al mirar el cuestionario no le pareció tan difícil y empezó a resolverlo sin contratiempos. El último ejercicio era de potenciación: Resuelve= a+2b+(a+3b-4)0- (a+b) Maria lo resolvió y encontró que la respuesta era b+1. Alicia y Rebeca por haber dicho en voz alta a toda la clase que la respuesta del último ejercicio era 1-b fueron suspendidas. María al escuchar esta respuesta resolvió una y otra vez el problema y siempre daba el mismo resultado, sin embargo no confió en sus propios conocimientos y cambió el resultado por 1- b. Una vez afuera se dio cuenta de que ella lo había resuelto bien, sin embargo, por su falta de confianza en sí misma perdió la oportunidad de sacar una nota sobresaliente. María aprendió 2 cosas ese día: CUESTIONARIO RESPECTO DE LOS CONTENIDOS ACTITUDINALES 1. Haga un comentario a cerca de esta lectura .............................................................................................................................................................................................................................................................................. 2. A su criterio en qué consiste la honestidad y cómo podemos potenciar la misma en el curso.? ..............................................................................................................................................................................................................................................................3. Escriba dos ejemplos de la vida real de honestidad .............................................................................................................................................................................................................................................................................. 4. ¿Considera Usted que los integrantes de su curso practican la honestidad? ¿Por qué? .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

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DESARROLLO DE CONTENIDOS FUNCION REAL

Concepto de función

Dados dos conjuntos A y B, llamamos función a la correspondencia de A en B en la cual todos los elementos de A tienen a lo sumo una imagen en B, es decir una imagen o ninguna.

Función real de variable real es toda correspondencia f que asocia a cada elemento de un determinado subconjunto de números reales, llamado dominio, otro número real.

f : D

x f(x) = y

El subconjunto en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función. Se designa por D.

El número x perteneciente al dominio de la función recibe el nombre de variable independiente.

Al número, y, asociado por f al valor x, se le llama variable dependiente. La imagen de x se designa por f(x). Luego

y= f(x)

Se denomina recorrido de una función al conjunto de los valores reales que toma la variable y o f(x).

x

Conjunto inicial Conjunto final

Dominio Conjunto imagen o recorrido

5

El dominio es el conjunto de elementos que tienen imagen.

D = x / f (x)

El recorrido es el conjunto de elementos que son imágenes.

R = f (x) / x D

Dominio de una función

El dominio es el conjunto de elementos que tienen imagen.

D = x / f (x)

Conjunto inicial Conjunto final

Dominio Conjunto imagen o recorrido

Estudio del dominio de una función

Dominio de la función polinómica entera

El dominio es R, cualquier número real tiene imagen.

f(x)= x2 - 5x + 6 D=R

Dominio de la función racional

El dominio es R menos los valores que anulan al denominador (no puede existir un número cuyo denominador sea cero).

6

Dominio de la función irracional de índice impar

El dominio es R.

Dominio de la función irrracional de índice par

El dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.

7

Dominio de la función logarítmica

El dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor que cero.

Dominio de la función exponencial

El dominio es R.

Dominio de la función seno

El dominio es R.

Dominio de la función coseno

El dominio es R.

Dominio de la función tangente

Dominio de la función cotangente

Dominio de la función secante

Dominio de la función cosecante

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Dominio de operaciones con funciones

Si relizamos operaciones con funciones, el dominio de la función resultante será:

Gráfica de funciones

Si f es una función real, a cada par (x, y) = (x, f(x)) determinado por la función f le corresponde en el plano cartesiano un único punto P(x, y) = P(x, f(x)). El valor de x debe pertenecer al dominio de definición de la función.

Como el conjunto de puntos pertenecientes a la función es ilimitado, se disponen en una tabla de valores algunos de los pares correspondientes a puntos de la función. Estos valores, llevados sobre el plano cartesiano, determinan puntos de la gráfica. Uniendo estos puntos con línea continua se obtiene la representación gráfica de la función.

x 1 2 3 4 5

f(x) 2 4 6 8 10

9

Grafo de una función

Grafo de una función es el conjunto de pares formados por los valores de la variable y sus imágenes correspondientes.

G(f) = x, f(x) /x D(f)

Sistema de coordenadas cartesianas

Un sistema de coordenadas cartesianas es un par de rectas graduadas, perpendiculares, que se cortan en un punto O(0,0), llamado origen de coordenadas. A la recta horizontal se llama eje de abscisas, y a su perpendicular por O, eje de ordenadas.

Se puede representar una función en el plano haciendo corresponder a cada par del grafo un punto determinado, marcando en el eje de abscisas el valor de su variable y en el de ordenadas, su correspondiente imagen.

Composición de funciones

Si tenemos dos funciones: f(x) y g(x), de modo que el dominio de la 2ª esté incluido en el recorrido de la 1ª, se puede definir una nueva función que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)].

(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1

10

(g o f) (1) = 6 · 1 + 1 = 7

Dominio

D(g o f) = x Df / f(x) Dg

Propiedades

Asociativa:

f o (g o h) = (f o g) o h

No es conmutativa.

f o g ≠ g o f

El elemento neutro es la función identidad, i(x) = x.

f o i = i o f = f

Sean las funciones:

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Función inversa o recíproca

Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f−1 que cumple que:

Si f(a) = b, entonces f−1(b) = a.

Podemos observar que:

El dominio de f−1 es el recorrido de f.

El recorrido de f−1 es el dominio de f.

Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa.

Si dos funciones son inversas su composición es la función identidad.

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f o f -1 = f -1 o f = x

Las gráficas de f y f -1 son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

Hay que distinguir entre la función inversa, f−1(x), y la inversa de una función, .

Cálculo de la función inversa

1Se escribe la ecuación de la función con x e y.

2Se despeja la variable x en función de la variable y.

3Se intercambian las variables.

Calcular la función inversa de:

Vamos a comprobar el resultado para x = 2

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Estudio de una función

En este tema para realizar el estudio de una función analizaremos los siguientes puntos:

Crecimiento y decrecimiento.

Cotas.

Máximos y mínimos absolutos y relativos.

Simetría.

Periodicidad.

En otro tema veremos estos puntos bajo otra óptica y otros puntos como:

Puntos de corte con los ejes.

Asíntotas.

Intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Extremos relativos o locales.

Puntos de inflexión.

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Concavidad y convexidad.

Crecimiento y decrecimiento

Tasa de variación

El incremento de una función se llama tasa de variación, y mide el cambio de la función al pasar de un punto a otro.

t.v.= f(x+h) - f(x)

Función estrictamente creciente

f es estrictamente creciente en a si sólo si existe un entorno de a, tal que para toda x que pertenezca la entorno de a se cumple:

15

La tasa de variación es positiva.

Función creciente

f es creciente en a si sólo si existe un entorno de a, tal que para toda x que pertenezca la entorno de a se cumple:

La tasa de variación es positiva o igual a cero.

Función estrictamente decreciente

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f es estrictamente decreciente en a si sólo si existe un entorno de a, tal que para toda x que pertenezca la entorno de a se cumple:

La tasa de variación es negativa.

Función decreciente

f es decreciente en a si sólo si existe un entorno de a, tal que para toda x que pertenezca la entorno de a se cumple:

La tasa de variación es negativa o igual a cero.

Funciones acotadas

Función acotada superiormente

Una función f está acotada superiormente si existe un número real k tal que para toda x es f(x) ≤ k.

El número k se llama cota superior.

17

k=0.135

Función acotada inferiormente

Una función f está acotada inferiormente si existe un número real k′ tal que para toda x es f(x) ≥ k′. El número k′ se llama cota inferior.

k′ = 2

Función acotada

Una función esta acotada si lo está a superior e inferiormente.

k′ ≤ f(x) ≤ k

k = ½ k′ = -½

Máxim

Máxi

Una fucualqu

a = 0

Mínim

Una fucualqu

b = 0

Máxi

Una fupróxim

Una fupróxim

mos y mín

imo absolu

unción tieneuier otro pu

mo absolu

unción tiene uier otro pun

imo y míni

unción f tienmos al punto

unción f tienmos al punto

nimos abso

uto

e su máximunto del dom

to

su mínimo anto del domin

imo relativ

ne un máximo a.

ne un mínimoo b.

olutos y re

o absoluto eminio de la f

absoluto en nio de la fun

vo

mo relativo en

o relativo en

elativos

en el x = a sfunción.

el x = b si lanción.

n el punto a,

n el punto b,

i la ordenad

a ordenada e

si f(a) es ma

si f(b) es me

da es mayor

s menor o ig

ayor o igual

enor o igual

r o igual que

gual que en

que los pun

que los punt

18

e en

ntos

tos

19

a = 3.08 b = -3.08

Funciones simétricas

Simetría respecto del eje de ordenadas. Función par

Una función f es simétrica respecto del eje de ordenadas cuando para todo x del dominio se verifica:

f(−x) = f(x)

Las funciones simétricas respecto del eje de ordenadas reciben el nombre de funciones pares.

Simetría respecto al origen. Función impar

20

Una función f es simétrica respecto al origen cuando para todo x del dominio se verifica:

f(−x) = −f(x)

Las funciones simétricas respecto al origen reciben el nombre de funciones impares.

Funciones periódicas

Una función f(x) es periódica, de período T, si para todo número entero z, se verifica:

f(x) = f(x + zT)

La función f(x) = sen x es periódica de periodo 2π, ya que cumple que:

sen (x + 2π) = sen x

La función f(x) = tg x es periódica de periodo π, ya que cumple que: tg (x + π) = tg x

21

La función mantisa, f(x) = x - E(x), es periódica de periodo 1.

Si tenemos una función periódica f(x) de periodo T, la función g(x) = f(kx) tiene de periodo:

Hallar el periodo de las funciones:

1f(x) = sen 2x

2f(x) = tg (1/2)x

3f(x) = E (1/2)x

Tipos de funciones

22

•

Clasificación de funciones

Funciones algebraicas

En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.

Las funciones algebraicas pueden ser:

Funciones explícitas

Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.

f(x) = 5x − 2

Funciones implícitas

Si no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones.

5x − y − 2 = 0

Funciones polinómicas

Son las funciones que vienen definidas por un polinomio.

f(x) = a0 + a1x + a2x² + a2x³ +··· + anxn

Su dominio es , es decir, cualquier número real tiene imagen.

Funciones constantes

El criterio viene dado por un número real.

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f(x)= k

La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.

Funciones polinómica de primer grado

f(x) = mx +n

Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función.

Función afín.

Función lineal.

Función identidad.

Funciones cuadráticas

f(x) = ax² + bx +c

Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.

Funciones a trozos

Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren.

Funciones en valor absoluto.

Función parte entera de x.

Funciones racionales

El criterio viene dado por un cociente entre polinomios:

El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador.

Funciones radicales

El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.

El dominio de una función irracional de índice impar es R.

El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.

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Funciones trascendentes

La variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.

Función exponencial

Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia ax se llama función exponencial de base a y exponente x.

Funciones logarítmicas

La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.

Funciones trigonométricas

Función seno

f(x) = sen x

Función coseno

f(x) = cos x

Función tangente

f(x) = tg x

Función cosecante

f(x) = cosec x

Función secante

f(x) = sec x

Función cotangente

f(x) = cotg x

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Función seno

f(x) = sen x

Dominio:

Recorrido: [−1, 1]

Período:

Continuidad: Continua en

Creciente en:

Decreciente en:

Máximos:

Mínimos:

Impar: sen(−x) = −sen x

Cortes con el eje OX:

Función coseno

f(x) = cos x

Dominio:


Período:


26

Creciente en:

Decreciente en:

Máximos:

Mínimos:

Par: cos(−x) = cos x


Función tangente

f(x) = tg x

Dominio:

Recorrido:


Período:

Creciente en:

Máximos: No tiene.

Mínimos: No tiene

27

Impar: tg(−x) = −tg x


Función cotangente

f(x) = cotg x

Dominio:

Recorrido:


Período:

Decreciente en:

Máximos: No tiene.

Mínimos: No tiene.

Impar: cotg(−x) = −cotg x


28

Función secante

f(x) = sec x

Dominio:

Recorrido: (− ∞, −1] [1, ∞)

Período:


Creciente en:

Decreciente en:

Máximos:

Mínimos:

Par: sec(−x) = sec x

Cortes con el eje OX: No corta

Función cosecante

29

f(x) = cosec x

Dominio:

Recorrido: (− ∞, −1] [1, ∞)

Período:


Creciente en:

Decreciente en:

Máximos:

Mínimos:

Impar: cosec(−x) = −cosec x

Cortes con el eje OX: No corta

Funciones constantes

La función constante es del tipo:

y = n

El criterio viene dado por un número real.

30

La pendiente es 0.

La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.

Rectas verticales

Las rectas paralelas al eje de ordenadas no son funciones, ya que un valor de x tiene infinitas imágenes y para que sea función sólo puede tener una. Son del tipo:

x = K

Función lineal

La función lineal es del tipo:

y = mx

Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas.

y = 2x

31

x 0 1 2 3 4 y = 2x 0 2 4 6 8

Pendiente

m es la pendiente de la recta.

La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas.

Si m > 0 la función es creciente y el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo.

Si m < 0 la función es decreciente y el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso.

32

Función identidad

f(x) = x

Su gráfica es la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

Función afín

La función afín es del tipo:

y = mx + n

m es la pendiente de la recta.

La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas.

Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente.

33

n es la ordenada en el origen y nos indica el punto de corte de la recta con el eje de ordenadas.

Ejemplos de funciones afines

Representa las funciones:

1 y = 2x - 1

x y = 2x-1

0 -1

1 1

2y = -¾x - 1

x y = -¾x-1

0 -1

34

4 -4

Función cuadrática

Son funciones polinómicas de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.

f(x) = ax² + bx +c

Representación gráfica de la parábola

Podemos construir una parábola a partir de estos puntos:

1. Vértice

Por el vértice pasa el eje de simetría de la parábola.

La ecuación del eje de simetría es:

2. Puntos de corte con el eje OX

En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo que tendremos:

ax² + bx +c = 0

Resolviendo la ecuación podemos obtener:

Dos puntos de corte: (x1, 0) y (x2, 0) si b² − 4ac > 0

Un punto de corte: (x1, 0) si b² − 4ac = 0

35

Ningún punto de corte si b² − 4ac < 0

3. Punto de corte con el eje OY

En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que tendremos:

f(0) = a · 0² + b · 0 + c = c (0,c)

Representar la función f(x) = x² − 4x + 3.

1. Vértice

x v = − (−4) / 2 = 2 y v = 2² − 4· 2 + 3 = −1

V(2, −1)

2. Puntos de corte con el eje OX

x² − 4x + 3 = 0

(3, 0) (1, 0)

3. Punto de corte con el eje OY

(0, 3)

36

Traslaciones de parábolas

Construcción de parábolas a partir de y = x²

Partimos de y = x²

x y = x²

-2 4

-1 1

0 0

1 1

2 4

1. Traslación vertical

y = x² + k

Si k > 0, y = x² se desplaza hacia arriba k unidades.

Si k < 0, y = x² se desplaza hacia abajo k unidades.

El vértice de la parábola es: (0, k).

El eje de simetría x = 0.

37

y = x² +2 y = x² −2

2. Traslación horizontal

y = (x + h)²

Si h > 0, y = x² se desplaza hacia la izquierda h unidades.

Si h < 0, y = x² se desplaza hacia la derecha h unidades.

El vértice de la parábola es: (−h, 0).

El eje de simetría es x = −h.

y = (x + 2)²y = (x − 2)²

38

3. Traslación oblicua

y = (x + h)² + k

El vértice de la parábola es: (−h, k).

El eje de simetría es x = −h.

y = (x − 2)² + 2 y = (x + 2)² − 2

Dilataciones y contracciones de funciones

Contracción de una función

Una función f(k·x) se contrae si K > 1.

39

Dilatación de una función

Una función f(k·x) se dilata si 0 < K < 1.

40

Funciones racionales

El criterio viene dado por un cociente entre polinomios:

El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador.

Dentro de este tipo tenemos las funciones de proporcionalidad inversa de ecuación:

.

41

Sus gráficas son hipérbolas. También son hipérbolas las gráficas de las funciones.

Traslaciones de hipérbolas

Las hipérbolas son las más sencillas de representar.

Sus asítontas son los ejes.

El centro de la hipérbola, que es el punto donde se cortan las asíntotas, es el origen.

42

A partir de estas hipérbolas se obtienen otras por traslación.

1. Traslación vertical

El centro de la hipérbola es: (0, a).

Si a>0, se desplaza hacia arriba a unidades.

43

El centro de la hipérbola es: (0, 3)

Si a<0, se desplaza hacia abajo a unidades.

El centro de la hipérbola es: (0, -3)

2. Traslación horizontal

El centro de la hipérbola es: (-b, 0).

Si b> 0, se desplaza a la izquierda b unidades.

44

El centro de la hipérbola es: (-3, 0)

Si b<0, se desplaza a la derecha b unidades.

El centro de la hipérbola es: (3, 0)

3. Traslación oblicua

45

El centro de la hipérbola es: (-b, a)

El centro de la hipérbola es: (3, 4).

Para representar hipérbolas del tipo:

se divide y se escribe como:

Su representación gráfica es una hipérbola de centro (-b, a) y de asíntotas paralelas a los ejes.

46

El centro de la hipérbola es: (-1, 3).

Funciones radicales

El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.

Función radical de índice impar

El dominio es .

47

Función radical de índice par

El dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.

48

49

Funciones definidas a trozos

Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren.

El dominio lo forman todos los números reales menos el 4.

Función parte entera de x

Es una función que a cada número real hace corresponder el número entero inmediatamente inferior.

f(x) = E (x)

50

x 0 0.5 0.9 1 1.5 1.9 2

f(x) = E(x) 0 0 0 1 1 1 2

Función mantisa

Función que hace corresponder a cada número el mismo número menos su parte entera.

f(x) = x - E (x)

x 0 0.5 0.9 1 1.5 1.9 2

f(x) = x - E(x) 0 0.5 0.9 0 0.5 0.9 0

Función signo

f(x) = sgn(x)

Función valor absoluto

Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos:

1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces.

2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo.

3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función.

4 Representamos la función resultante.

51

D=

52

D=

Función exponencial

La función exponencial es del tipo:

Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia ax se llama función exponencial de base a y exponente x.

x y = 2x

-3 1/8

-2 1/4

-1 1/2

0 1

1 2

2 4

3 8

53

x y = 2x

-3 8

-2 4

-1 2

0 1

1 1/2

2 1/4

3 1/8

Propi

Domin

Recor

Es con

Los pu

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Crecie

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Para

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3 Las

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ACIÓN EXP

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PONENCIA

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54

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56

ación rar el

57

Multiplicación División 7 x 8 = 56 56/7 = 8 15 x 14 = 210 210/14 = 15 Algo igual es cuando definimos la potenciación

ax = N En esta operación nos da la base a y su exponente x y debemos encontrar la potencia N Como recordamos a esta operación le definimos su inversa que se llama radicación en la cual nos dan las potencias (radicando), el exponente índice y debemos encontrar la base (raíz) de tal manera que si: 54 = 625 entonces √625 = 5 Pero la potencia tiene otra operación inversa que se llama logaritmación en la cual nos dan la potencia, la base y debemos encontrar el exponente. Como ilustramos en el siguiente esquema Potenciación radicación Logaritmo Para llegar a definir la función logarítmica, es necesario conocer la exponencial. Para lo que haremos un pequeño estudio de ella. Definición.- Sea a cualquier número real positivo diferente de 1, entonces una función f se llama función exponencial de base a si y solo si f = -(x, y)/ y = ax , x є R Observaciones

a) A la función exponencial la podemos identificar con solo notar que la variable x aparece como exponente en la función.

b) El dominio de la función exponencial son los números reales y el dominio de la imagen son los números reales mayores que 0.

Si tenemos y = ax en donde la base a es positivo, a cada valor de x (racional o irracional) corresponde un valor bien determinado de y. Resulta, pues, que y es una función de x. Esta función y = ax recibe el nombre de función exponencial. Ejemplo. Son funciones exponenciales y = 3x y = 10x y = (1/5)x, etc. Obsérvese que la función exponencial y = ax la base a es constante en tanto que el exponente x es variable de funciones potenciales.

ax = N

base

Exponent

Potenci

√ = a

Índic

radicand

Raí

loga N = x

NúmerLogarit

Bas

58

Representación gráfica de las propiedades de de la función exponencial, vamos a construir los gráficos de las funciones y = 2x, y = 3x y de y =(1/2)x Tablas de valores y = 2x y = 3x y =(1/2)x y = 2x Gráfica

Las observaciones de los gráficos anteriores se pone de manifiesto en las propiedades siguientes 1. La función exponencial es siempre positiva para todos los valores de x, es

decir , el gráfico se mantiene siempre por arriba del eje horizontal 2. A cada valor de x corresponde un solo valor de y; viceversa, a cada

ordenada positiva le corresponde un solo valor de x 3. Cualquiera que sea la base a ≠ 0, la función toma el valor 1 para x=0. Esto

es: todos los gráfico pasan por el punto (0,1) 4. Si a>1 la función exponencial a es creciente, es decir las ordenadas

crecen, al crecer las abscisas, por el contrario si 0<a<1, la función es decreciente. LOGARITMO Definición.- Dado como base un número a positivo y diferente de 1, se llama logaritmo de un número real y positivo N, con respecto a dicha base, al exponente x al cual se debe elevar la base a para obtener el número N Esto es, si

ax = N

X y ‐2 ¼ ‐1 1/2 0 1 1 2 2 4 3 8

X y ‐2 1/9 ‐1 1/3 0 1 0,5 1,73 1 3 2 9

X y ‐2 4 ‐1 2 0 1 0,5 0,71 1 0,5 2 0,25 9

8 7 6 5 4 3 2 1 2 1 1 2 3 4 5

y = 2x

y =3x

9 8 7 6 5 4 3 2

59

Diremos que x es el logaritmo de N en base a (o con respecto a la base a), lo cual indicaremos brevemente escribiendo

x = loga N que se lee: El logaritmo de N en base a es x Ejemplo Forma exponencial 54 = 625 Forma logarítmica log5 625 = 4 Forma exponencial 36 = 729 Forma logarítmica log2 729 = 6 Forma exponencial b 2x+3 = A Forma logarítmica logb A = 2x+3 Ejemplo viceversas Forma logarítmica log2 128 = 7 Forma exponencial 54 = 625 Forma logarítmica logb (3x+4) = 2 Forma exponencial 36 = 729 Forma logarítmica y = logb

² Forma exponencial ² = by Ejemplo 102 = 100, diremos que el logaritmo de 100 es de base 10 es 2 y escribiremos Log10 100 = 2

Los logaritmos que más se utilizan en cálculo son usualmente los de base 10, llamados vulgares o de Briggs, en clase de logaritmos no se acostumbra a escribir la base así por ejemplo. Forma exponencial forma logarítmica 10º log 1 = 0 101 =10 log 10 =1 102 = 100 log 100 = 2 103 = 1000 log 1000 = 3 10-1 = 0,1 log 0,1 = -1 10-2 = 0,01 log 0,01 = -2 10-3 = 0,001 log 0,001 = -3 Hallar los logaritmos de los siguientes valores log3 81 = 4 3x = 81 3x = 34

x = 4 log2 0,125 = -3 2x = 0,125 2x = 2-3

x = -3 Actividad intra-clase

Escribir en notación logarítmica las expresiones siguientes que sedan en la forma exponencial 52 =25 51/2 = √5 101 =10 2-2 = 0.25

60

Expresar en forma exponencial lo siguiente log28 = 3 log10 5 = 0.69897 loga p = m

Hallar los logaritmos siguientes Log10 1000 Log 2 64 Log 2 512 Log 5 0,2

.

Tarea Extra – Clase Escribir en notación logarítmica las expresiones siguientes que sedan en la forma exponencial 10-1 =0,1 25 = 32 4º = 1 101,39794 = 25 Expresar en forma exponencial lo siguiente Log4 2= 0,5 log6 216 = 3 logb q = n Hallar los logaritmos siguientes log3 729 log 10 1 log 7 49 log 10 0,001

Función Logarítmica y su gráfica Si escribimos y = loga x

A cada número x corresponderá en base a un logaritmo y, es decir, un

exponente tal que: ay = x, este exponente y depende del número x; si x varía

también varía y: éste es, pues, una variable dependiente de x, es decir, una

función de x. Esta función recibe el nombre de Función logarítmica

Construcción de la gráfica y = loga x, pues que está igualdad equivale a 2y = x,

se encuentra la tabla dando valores a el exponente.

x 1/4 1/2 1 2 4 8

y -2 -1 0 1 2 3

El gráfico es el siguiente

61

:

Las observaciones del gráfico anterior son las siguientes propiedades de la función logarítmica 1. La función logarítmica es positiva para todos los valores de x mayores

que uno y negativos para todos los valores de x comprendidos entre 0 y 1, es decir; los logaritmos de los números mayores que 1 son positivos y los logaritmos de los números positivos menores que 1 son negativos. El logaritmo de 1 es 0. Ni el 0 ni los números negativos tienen logaritmos, ya que el gráfico está todo a la derecha del eje vertical.

2. La función es creciente, esto es, a medida que crece el número crece su logaritmo.

3. A cada número le corresponde un solo logaritmo

Propiedades de los logaritmos

Además de las propiedades que mencionamos anteriormente, los logaritmos cumplen otras propiedades que son fundamentales para resolver problemas que veremos más adelante. 1.- El logaritmo de la base es siempre 1 Ejemplo

log2 2 = 1

log3 3 = 1

log8 8 = 1

log10 10 = 1

3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

1 2

62

2.- El logaritmo de 1 es siempre 0 cualquiera que sea la base

Ejemplo

log2 1 = 0

log3 1 = 0

log8 1 = 0

log10 1 = 0

3.- El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de sus factores: Esto es:

loga M.N = loga M + loga N Ejemplo

log5 (5x7) = log5 5 + log5 7

log3 (10x25) = log3 10 + log3 25

log2 (16x8) = log2 16 + log2 8 = 4 + 3 = 7

4.- El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia entre el logaritmo del dividendo y el logaritmo del divisor:

loga = loga M – loga N

Ejemplo

log2 = log2 10 – log2 20

log3 H = log3 (p‐n) – log3 H

log = log 350 – log 12

5.- El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base de la potencia.

loga Mk = K loga M

Ejemplo

log5 82 = 2log5 8

log3 (n+p)x = x log3 (n+p)

log2 (250)12 = 12 log2 250

63

6.- El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido para el índice del radical.

loga = √ = loga M

Ejemplo

log5 √250 = log5 250

log2 √5 = log2 5

log2 = log p+r

RESUMEN Combinando las reglas anteriores se pueden expresar el logaritmo de una expresión compleja compuesta por multiplicación,, elevación a potencia y extracciones de raíces como una suma algebraica de términos logarítmicos

Ejemplo

X = , , ², ⁵

Actividad intra-clase 1. Construir el gráfico de la siguiente función

y = log3 x

2. Aplicar las propiedades a los siguientes ejemplos 1. log (11x13)

2. log = 3. log 9 2/3

4. log 32² 7,5³0,23 8,1²

3. Expresar cada uno de los siguientes ejemplos mediante un solo logaritmo

1. log 2 + log 6 2. log3 + log 4 – log 2 3. 3logE + 2logF-logR

Tarea Extra – Clase

64

4. Construir el gráfico de la siguiente función y = log10 x

5. Aplicar las propiedades a los siguientes ejemplos

1. log =

2. log ³²

3. log

4. Expresar cada uno de los siguientes ejemplos mediante un solo logaritmo

1. log 2 + log 6

2. logA - log B – log C

3. logP - logQ + 2logS SISTEMA DE LOGARITMOS

Se llama sistema de logaritmo, al conjunto de todos los logaritmos respecto a una misma base Entonces tenemos: El sistema de logaritmo de base 2, el sistema de logaritmo de base 3, el sistema de logaritmo de base 5, etc. Por conveniencia se considera que cualquier número positivo y diferente de 1 puede tomarse como base de un sistema de logaritmos. Por lo tanto existen un sistema ilimitado de logaritmos, pero estos infinitos sistemas de logaritmos que existen, dos son los que se usan con mayor frecuencia y estos son:

1. El sistema de logaritmos de base 10, llamamos también logaritmos vulgares comunes o decimales.

Para expresar el logaritmo vulgar o decimal de un número x, lo aremos mediante log x (en este caso se sobreentiende que la base es 10) Por ejemplo : log 67 es el logaritmo vulgar de 67 log 567 es el logaritmo decimal de 567 Para determinar el logaritmo decimal de un número cualquiera en la calculadora utilizamos la función log. Ejemplo log 625 = 2,795880017

65

log 552,92 = 2,742662299 log 0,0012 = -2,920818754

2. El sistema de logaritmo de base e = 2,718281828 llamado también logaritmo natural o neperiano.

Para expresar el logaritmo natural o neperiano de un número x, lo haremos mediante In x. Por ejemplo: In 86 es el logaritmo natural de 86 In 120 es el logaritmo neperiano de 57 Para determinar el logaritmo natural de un número cualquiera en la calculadora digitaremos la función In. Ejemplos In 125 = 4,828313737 In 623,12 = 6,434739117 In 0,00321 = -5,741484342 En los ejemplos anteriores, dado el número hemos encontrado su logaritmo. Ahora analizaremos el problema inverso, es decir conocido el logaritmo determinar el número correspondiente a un logaritmo se conoce con el nombre de antilogaritmo. Se llama antilogaritmo, al número que corresponde a un logaritmo. Para encontrar el antilogaritmo, utilizaremos la calculadora: Para el antilogaritmo decimal con la función 10x y para el antilogaritmo natural ex. Así: Si: log N = x entonces N = 10x In N = x entonces N = ex Ejemplo: log N = 2,512043686 N = antilog 2,512043686 N = 325,12 In N = 4,564348191 N = antiIn 4,564348191 N = 96 log N = -1,903089987 N = antilog -1,903089987 N = 0,0125 In N = -9,210340372

66

N = antiIn -9,210340372 N = 0,0001 CAMBIO DE BASE Es posible cambiar de base a un logaritmo dado, para lo cual vamos a deducir una expresión que nos permita realizar la mencionada operación. log b M = N Expresarla en forma exponencial bN = M Aplicamos ahora el logaritmo de base a log a M = loga bN Aplicamos el logaritmo de una potencia al segundo miembro log a M = N loga b Despejamos N N =

Reemplazamos N por log b M y tenemos

Log b M =

Ejemplos

Si en esta expresión b = 10; a = e, tenemos entonces: Log M =

Si hacemos b=e ; a = 10 tenemos:

In M =

Estas dos últimas expresiones nos permite transformar un logaritmo vulgar en natural y viceversa, veamos algunos ejemplos. log 7 347 =

= 3,00287789

log 345 = I

I = 2,537819095

log 5 789,65 = I ,

= 4,145291818

log 5 625 =

= ,

,4

Determine los logaritmos que se indican a continuación log 567,81 log 9876,89 log 0,6789 In 890,6 In 6789,543

67

In 0,0785

Determine el número que corresponde a los siguientes logaritmos log N = 4,678965 log x = 7,8976545 log P = -1,568330283 In N = 6,897654 In Q = 4,539658 In y = -5,6702748

Mediante el cambio de base encontrar los siguientes logaritmos log 2 8 = log 4 64 = log 8 512 = log 1000 =

Plantearse 5 ejercicios de logaritmos decimales y 5 ejercicios de logaritmos neperianos y encontrar su valor con ayuda de la calculadora. Encontrar los siguientes antilogaritmos. log N = 2,408239965 log X = 3,99450192 log H = -2,903089987 In V = 4,465908119 In F = -6,684611728 PROPIEDADES OPERACIONALES DE LOS LOGARITMOS Los logaritmos cumplen 4 propiedades que son fundamentales para resolver problemas que veremos más adelante.

1. Log a M . N = Log a M + Log a N 2. Log a M = Log a M = Log a M - Log a N N N 3. Log a M k = k Log a M 4 : Log a v M = 1 Log a M = Log a M n n

_ Los estudiantes demostrarán en la pizarra cada una de las propiedades. Ejemplo1: Aplique las propiedades en los sig: ejercicios. Log b mn = Log b mn – Log b pq logaritmo de un cociente pq

68

= Logb m + Log b n - ( Log b p + Log b q) logaritmo de un producto = Log b m + Log b n – Log b p - Log b q Ejemplo 2: log b (m n)2/3 = 2/3 Log b mn logaritmo de una potencia = 2/3 ( log b m + log b n) logaritmo de un producto ACTIVIDADES INTRA / EXTRA CLASE Aplicar las propiedades de los logaritmos en los sig: ejercicios. a) Log 2 6768 x 345 x 12,3 b) Log 3 56,7 x 0,67 678,92 c) Log 5 45,6³ x 32,124 x 324 0,67³ x 5674 d) Log b M4 T3S v R W4

e) Log 4 v 567 v 678 v 56 x 78 f) Log a v A³ B² V C4 D5 g) log b uvw h) log b (p/q)

Escribir cada expresion en términos de un solo logaritmo i) logb A + log b B j) log b P + logb Q + log b R k) log b u2 . v 7

l) log b ( 1 / a ) x2 y 3

m) log b V -------- V

69

APLICACIONES DE LOS LOGARITMOS Quizá una de las aplicaciones más importantes de los logaritmos, es el despeje de variables, tanto de fórmulas como de ecuaciones ( cuando la variable que se desea despejar figura como exponente). Muchas fórmulas son de tipo exponencial, como por ejemplo las fórmulas de. suma de los términos de una progresión geométrica, interés compuesto, anualidades de amortización, anualidades de capitalización, decrecimiento radiactivo, crecimiento de una población, etc. por lo cual es necesario que estemos en capacidad de despejar cualquiera de los elementos de este tipo de fórmulas. En términos generales, para despejar un exponente variable de una fórmula podemos seguir el siguiente procedimiento

PASOS PARA DESPEJAR LA VARIABLE 1. Despejamos el término exponencial que contiene la variable a despejar 2. Aplicamos logaritmos a ambos miembros 3. Despejamos la variable.

Ejemplo: A = P (1+i) n ; despejar n ( 1 +i) n = A despejamos el término exponencial que contiene la P incógnita n. Log (1+i)n = Log ( A) aplicamos logaritmos a ambos miembros P n log (1+i) = Log A – Log P aplicamos las propiedades de los logaritmos Log A – Log P despejamos la variable n n = Log (1+i) ACTIVIDADES INTRA / EXTRA CLASE 1. En cada una de las siguientes variables fórmulas despeja la variable que se indica: a) M = R ( 1+i) -1 ; Despejar n i b) M = C(1+i)n ; Despejar n c) C = R 1- (1 +i) ; Despejar n

d) I) j) ECU Otra alogarí

Las eapare

Para

1.- La

2.-

3.-

4.- Adlogari

Reso

1.-

i I = E ( 1-e R

I = Io . e

N = 10 log

UACIONES

aplicación iítmicas y ex

ecuacionesece afectada

resolver ec

as propieda

demás tenetmos nulos

olver las ec

–e/ t) ; Desp

–kx

g (I / Io)

S LOGARÍT

mportante xponenciale

s logarítma por un lo

cuaciones

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emos que cs o negativo

cuaciones l

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x ( abs. ra

I ( Inte

TMICAS Y

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EXPONEN

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NCIALES

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70

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2.-

3.-

4.-

5.-

Log 5 ( x +

Ex Log

+ 3) + Log 5

xpresamos g 5 (x-3) (3x

5 (3x +1) = 3

el primer mx + 1) = 3

3

miembro com

mo un solo

logaritmo

71

La raísu vasabem En estransftérmi 6.- log 8 ( Log 8 x+1 = x x +1 = En esigualalogaritérmin ACTIV

Reso

a)

b)

Tra (x-3 Re 3x²

Exp

3x²

La resolve

(3x

Igualamos

3x- 3x

íz -16/3 se lor en la ec

mos no exis

sta ecuacióformamos nos que n

(x +1) – log x +1 = Lo x

= 4

= 4x de don

sta ecuacióamos los ntmos y fános de la ec

VIDADES I

olver las

ansformamo3) (3x +1) =

alizamos la² -8x -3 = 12

presamos l

² -8x -128 =

emos por fa

x-24) (3x+16

s cada facto

-24 = 0 de + 16 = 0 d

rechaza pucuación noste.

ón Luego da la formao contiene

g 8 x = log 8

og 8 4

nde x = 1/3

ón, luego dúmeros cocilmente pcuación con

INTRA / EX

ecuacion

os a la form= 5³

as operacio25

a ecuación

= 0

actores

6) = 0

or a cero

donde x =e donde x

uesto que ns queda el

e expresara exponencen logaritm

4

de expresarrespondie

podemos dntienen log

XTRA CLAS

nes logar

ma exponen

ones

en forma g

= 8 = -16/3

no satisface logaritmo

r el primer cial, esto o

mos.

Expresam lo logarit

Como lo do tiene mos:

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general

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miembro cocurre cuan

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72

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73

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Funci

Funci

f(x) =

iones trigo

ión seno

sen x

onométric

cas

74

75

Dominio:


Período:


Impar: sen(−x) = −sen x

f(x) = cos x

Dominio:


Período:


Par: cos(−x) = cos x

Función tangente

f(x) = tg x

Dominio:

Recorrido:


76

Período:

Impar: tg(−x) = −tg x

Función cotangente

f(x) = cotg x

Dominio:

Recorrido:


Período:

Impar: cotg(−x) = −cotg x

Función secante

f(x) = sec x

Dominio:

77

Recorrido: (− ∞, −1] [1, ∞)

Período:


Par: sec(−x) = sec x

Función cosecante

f(x) = cosec x

Dominio:

Recorrido: (− ∞, −1] [1, ∞)

Período:


Impar: cosec(−x) = −cosec x

Ejercicios de gráficas de funciones

1Representa las siguientes rectas:

1 y = 2

2 y = −2

3 y = ¾

78

4 y = 0

5 x = 0

6 x = − 5

7 y = x

8 y = −2x − 1

9 y = ½x − 1

10 y = 2x

2Representa las siguientes funciones, sabiendo que:

1 Tiene pendiente −3 y ordenada en el origen −1.

2 Tiene por pendiente 4 y pasa por el punto (−3, −2).

3 Pasa por los puntos A(−1, 5) y B(3, 7).

4 Pasa por el punto P(2, −3) y es paralela a la recta de ecuación y = −x + 7.

3Tres kilogramos de boquerones valen 18 €. Escribe y representa la función que define el coste de los boquerones en función de los kilogramos comprados.

4En las 10 primeras semanas de cultivo de una planta, que medía 2 cm, se ha observado que su crecimiento es directamente proporcional al tiempo, viendo que en la primera semana ha pasado a medir 2.5 cm. Establecer una función a fin que dé la altura de la planta en función del tiempo y representar gráficamente.

5Por el alquiler de un coche cobran 100 € diarios más 0.30 € por kilómetro. Encuentra la ecuación de la recta que relaciona el coste diario con el número de kilómetros y represéntala. Si en un día se ha hecho un total de 300 km, ¿qué importe debemos abonar?

6Halla el vértice y la ecuación del eje de simetría de las siguientes parábolas:

1. y = (x−1)² + 1

2. y = 3(x−1)² + 1

3. y = 2(x+1)² − 3

4. y = −3(x − 2)² − 5

5. y = x² − 7x −18

6. y = 3x² + 12x − 5

79

7Indica, sin dibujarlas, en cuantos puntos cortan al eje de abscisas las siguientes parábolas:

1. y = x² − 5x + 3

2. y = 2x² − 5x + 4

3. y = x² − 2x + 4

4. y = −x² − x + 3

8Representa gráficamente las funciones cuadráticas:

1. y = −x² + 4x − 3

2. y = x² + 2x + 1

9Una función cuadrática tiene una expresión de la forma y = x² + ax + a y pasa por el punto (1, 9). Calcular el valor de a.

10Se sabe que la función cuadrática de ecuación y = ax² + bx + c pasa por los puntos (1,1), (0, 0) y (−1,1). Calcula a, b y c.

11Representa las funciones definidas a trozos:

1

2

3

12Representa las funciones valor absoluto:

1f(x) = |x − 2|

2f(x) = |x² −4x + 3|

3f(x) = |x| − x

13Representa las funciones de la parte entera de x:

80

1f(x) = x +1 − E(x)

2f(x) = 2x − E(x)

14Representa las funciones racionales y determina su centro:

1f(x) = 6/x

2

3

4

5

6

7

15Representa las funciones exponenciales:

1

2

16Representa las funciones logarítmicas:

1

2

3 f(x) = ln x

17Representa las funciones trigonométricas:

81

1

2

18 Calcula el valor de x aplicando la definición de logaritmo:

1

2

3

4

5

6

7

19 Conociendo que log 2 = 0.3010, calcula los siguientes logaritmos decimales.

1

2

3

4

APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

La trigonometría es de utilidad en todas aquellas situaciones en las que de una forma u otra hay que resolver un triángulo. Se destaca la topografía, muchos de cuyos problemas se abordan con temas ingeniosos.

82

Para resolver todo triángulo hay que reconocer sus tres lados y sus tres ángulos, hemos visto que las funciones trigonométricas relacionan los lados de un triángulo rectángulo con sus ángulos agudos; pero ahora veremos tres identidades que relacionan los lados de cualquier triángulo (oblicuángulo) con sus ángulo, dichas identidades son las leyes de los senos, cosenos y tangentes, y son útiles para resolver problemas de topografía, determinación de alturas, astronomía, etc.

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÇANGULOS 2.1 DEMOSTRACIÓN DE LA LEY DE SENOS:

Teorema del seno.

Recordando un poco la trigonometría simple definimos y . Despejando de ambas relaciones nos quedaría . Por lo

tanto es facil ver que y dado que esto es independiente de los lados que tomemos como iniciales podemos afirmar que la siguiente relación es

cierta: o lo que es lo mismo

que es lo que conocemos como teorema del seno y que enunciado dice lo siguiente: “la relación entre las longitudes de los lados de un triangulo y el seno de los ángulos opuestos es constante.”

2.2 DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DEL COSENO:

Teorema del coseno.

83

Aplicando el teorema de Pitágoras al triangulo de lados y y despejando nos queda y haciendo lo mismo en el otro triangulo obtenemos

. Si igualamos ambas expresiones y simplificamos (desarrollando el cuadrado) nos queda . Por otra parte, aplicando la definición de

coseno al ángulo obtenemos y despejando de aquí y sustituyendo en la expresión anterior obtenemos que simplificando obtenemos lo que se denomina teorema del coseno y que enunciado dice lo siguiente: “el cuadrado de la longitud de un lado de un triangulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de los lados opuestos con el coseno opuesto al lado que queremos medir.”

La ley de los senos y cosenos desempeñan un papel fundamental en la resolución de triángulos oblicuángulos ( es decir triángulos que no tienen un ángulo recto)

Ley de senos Ley de cosenos Esta ley es muy útil cuando se dan:

- Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos (Caso LLA) - Dos ángulos y cualquier lado ( casos ALA o AAL)

Esta ley es muy útil cuando se dan:

- Se dan tres lados. LLL -dos lados y el ángulo formados por ellos.

* Caso ALA Este caso es cuando se conocen dos ángulos y el lado comprendido entre los dos ángulos. Este caso se comienza a resolver siempre calculando el tercer ángulo.

Ejemplo 1: Sea M = 28º , N = 45º 20’ , p = 120 m . Determine los lados restantes y el ángulo.

P Inicialmente se determina el ángulo faltante: M+N+P = 180º Despejando P , queda

84

P = 180º - M - N P = 180º - 28º- 45º 20’ P = 106º 40’ M p N A continuación se aplica la Ley de los Senos para determinar cualquiera de los lados desconocidos.

SenPSenN

pn= , Despejando n =

senppsenN , n =

'40º106'20º45*120

sensenm = 89.09 m

Para determinar el tercer lado desconocido, se aplica de nuevo la ley de senos.

senPsenM

pm

= Despejando m = mmsen

senmsenP

senMp 81.58'40º106º28*120*

=→=

* Caso AAL Este caso es cuando se conocen dos ángulos y un lado cualquiera. Este caso se comienza resolver siempre calculándole tercer ángulo. Ejemplo 2: Sea Q = 13º, b=65º20’ , q = 35 m. Determine los lados restantes del ángulo. C Inicialmente se determina el ángulo faltante: Q+B+C =180º, Despejando C queda q

C = 180º- Q – B = 180º - 13º - 65º 20’

C = 101º 40’ Q B

*Caso LLA En este caso se dan dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos, tiene diferentes resultados posibles, dependiendo de las medidas de los dos ladosy el ángulo , pues es posible construir con los mismos lados, dos triángulos. Se puede presentar el caso ambiguo o sea dos respuestas . Para ello es necesario determinar “h” (altura) y compararla con los lados dados. h = b . sen A Calculando h, se compara si “a” es mayor que h y menor que b, entonces estamos en el caso ambiguo de doble respuesta ( ver figura) h < a < b b a a h

85

Ejemplo 3: Sea A = 123º , b = 23 cm y a = 47 cm . Determine los lados restantes y el ángulo. En un dibujo aproximado se observa que solo puede existir un triángulo. C b = 23 cm a = 47 cm 123º B A Se aplica inicialmente la ley de los senos

41041.0º123*4723* =→=→=→= senBsen

cmcmsenBsenA

absenB

ab

senAsenB

B = sen -1(0.41041)→B = 24º 13’ Seguidamente una vez conocidos dos ángulo, se cálcula el ángulo desconocido: A+B+C= 180º C = 180º - 123º -24º 13’ C = 32º 47’ A continuaciones determina el lado faltante, aplicando la ley de los senos.

cmcsenAsenC

ac 34.30=→=

Ejemplo 4: Resolver el triángulo: C Solución: A + B +C = 180º despejando C A B

C = 180º - (A + B)

C = 180º - (28º + 45º 20’)

C = 106º 40’

a c ------------- = ------------ despejando a Sen A Sen C c Sen A 120 Sen 28º a = ------------- = ----------------------- = Sen C Sen 106º 40’ c Sen B 120 Sen 45º 20’ a = --------------- = ------------------------- = 89.1 m Sen C Sen 106º 40’ Ejemplo 5: Resolver el triángulo: Caso ambiguo

A Existeque s 36 -------- Sen B

Soluci B = 52 C= 18 C = 10 Ahora c--------Sen 10 2.3 Á

Dos fó

Para ubase a

260

e la posibilidon: (180

20 ---- = ---------

B Sen

ón (1)

2º6’

0º - (52º 6’ +

01º 54’

:

c ---------- = ---01º 54’

c = 44

rea de un t

órmulas para

un triángulo Aa. Nuevamen

C

dad de dosº - B ) = Se

---- 26º

+ 26º)

20 --------------- Sen 26º

4,64cm

triángulo e

a calcular el

ABC, el áreante, por defin

B A

s solucionesen B

Sen

---

en término

área de un tr

a se calcula cnición de sen

.

C

s ya que ha

36 Sn B = --------

B = 52

Solución (

B = 127º

C= 180º

C= 26º 6

Ahora:

c ----------------Sen 26º 6’

os de la fun

riángulo

como ah/2 dno, se tiene s

C

B

ay dos valo

Sen 26º ---------- = 020

2º 6’ 0 127

(2)

54’

º - (127º 54’

6’

20- = ------------ Sen

c = 20,09

nción seno

donde h es lasen C = h/b,

A

res posible

0,7891

7º 54’

+26º)

------------ n 26º

o

a medida de lde modo qu

N

es de B pue

la altura sobue se cumple

86

C

esto

bre la :

87

Sin embargo, el teorema de los senos implica que c = 2R sen C, por lo que al substituir en la expresión anterior se obtiene un nuevo teorema:

. Por tanto concluimos que: El área de un triángulo es igual al semiproducto de dos de sus lados por el seno del ángulo que lo forman. Calculando el área para el caso anterior tenemos: Área = ½ bc Sen A Área = ½ bc Sen A = ½ (36) (44,64) Sen 26º = ½ (36) (20,09) Sen 26º = 352,2 cm² = 158,4 cm² Ejemplo 3: Dos lados adyacentes de un paralelogramo forman un ángulo de 35º 10’ y tienen 3 y 8 pies de longitud. ¿Cuál es la longitud de la diagonal menor del paralelogramo? Como la figura que se obtiene es un ^ oblicuángulo utilizamos la ley de los cosenos para calcular el la- c=? do c. c² = a² + b² - 2ab Cos C c² = (3)² + (8)² - 2 (3) (8) Cos 35º c² = 73 – 30,24 c = v 33,76 pies² c = 5,8 pies

2.4 Cálculo de distancias desconocidas 13.2

La trigonometría se utiliza para calcular distancias desconocidas, midiendo ángulos (con un aparato que se llama teodolito) y distancias conocidas.

Ejempplos de cálcuulo de alturaas

88

89

ACTIVIDADES INTRA / EXTRA CLASE 1. Demuestre el teorema de los senos considerando un triángulo obtusángulo 2. Demuestre el teorema de los cosenos valiéndose de un triángulo obtusángulo 3. Resuelva cada uno de los triángulos oblicuángulos ABC, cuyos elementos dados son: a) A = 29º14’ b) C = 97º50’ c) a = 13Km B = 48º18’ a = 17 Km b = 4 Km b = 61,5 cm b = 21 Km c = 15 Km d) A = 48º25’ e) B = 41º27’ f) a = 33 cm C = 61º3’ a = 318 m b = 51,47cm b = 321,5 cm c = 354,75 m c = 346,25 cm 4. Resuelva los triángulos de la figura: a) b) c) d) e) f)

5. Encuentre el área de cada triángulo resuelto en el literal anterior.

1. Resuelve los siguientes triángulos rectángulos.

a) Datos: Â = 90º ; a = 5 ; b = 3

90

b) Datos: Â = 90º ; c = 15 ; b = 8; B = 28º Solución: a) B = 53,13º; C = 36,87º; c = 4 b) C = 62º; a = 17

2. Calcula el radio y la apotema de un octógono de lado 10 cm . Solución: radio =13,1 m; apotema = 12,1 m

3. Desde dos puntos A y B separados 800 m , observamos un globo con ángulos de elevación de 30º y 75º respectivamente. Hallar la altura a la que se encuentra el globo. Solución: h = 399,9 m .

4. Desde la torre de control de un aeropuerto se establece comunicación con un avión que va a aterrizar. En ese momento el avión se encuentra a una altura de 1200 m y el ángulo de observación desde la torre es de 30º. A que distancia está el avión del pie de la torre si esta mide 40 m de altura. Solución: 2340,3 m

5. Para calcular la altura de la torre Eiffel, nos situamos a 74 m de la base de la torre. Si observamos la torre con un ángulo de elevación de 75º. ¿Cuánto mide la torre? Solución: h = 276 m

6. Desde lo alto de una torre de 40 m de altura, se ven las almenas de otra torre separada 20 m bajo un ángulo de 70º. ¿Cuál es la altura de la torre vecina? Solución: h = 90,95 m

7. Los lados de un paralelogramo miden 8cm y 15 cm y forman entre sí un ángulo de 42º. Encuentren el área y la longitud de las diagonales. 8. Si una fuerza de 325 libras actúa hacia el este y una fuerza de 168 libras actúa hacia el Sur, ¿qué magnitud y dirección tiene la resultante? 9. Se pretende medir la mayor distancia entre dos orillas de un lago (figura). Para ello se midió la distancia QR = 140m y los ángulos Q = 128º y R = 39,5º. ¿cuál es la longitud del lago? P Q = 1280 , R = 39.50

R ANÁLISIS TRIGONOMÉTRICO: IDENTIDADES

En la práctica es frecuente encontrar problemas que involucran dos o más ángulos, y que, por lo general, están relacionados con operaciones aritméticas (suma o resta de dos ángulos, múltiplos o fracciones de ángulos, etc.). Encontrar los valores de las funciones trigonométricas en tales combinaciones de ángulos es todo un arte; en su desarrollo interviene el manejo y conocimiento de las identidades trigonométricas que vamos a estudiar.

91

Debemos recordar la diferencia entre una identidad y una ecuación en general.

Una ecuación es una igualdad entre expresiones algebraicas, que puede incluir funciones trigonométricas o de otro tipo , y que pueden tener o no solución; en cambio una identidad es un caso particular de ecuación que es cierta para todos los valores de la variable.

En el año anterior ya estudiaron 5 identidades trigonométricas básicas y se usaron algunas de ellas para la construcción de gráficas, ahora se agregan dos más por lo que el estudiante deberá memorizarse para la ejercitación planteada.

Identidades Trigonométricas Básicas

Identidades Recíprocas Sen x .Csc x = 1 ; Cos x .Sec x = 1; Tag x .Cot x = 1 Identidades Cociente Tag x = Sen x / Cos x; Ctg x = Cos x/ Sen x Identidades para inversos aditivos Sen (-x) = -Sen x ;Cos (-x) = Cos x ;Tag (-x) = - Tag x Identidades Pitagóricas Sen² x + Cos² x = 1 ; 1+ Tag2x = Sec² x; 1 + Ctg² x = Csc² x

3.1 Demostración de la Identidad Pitagórica: Sen² x + Cos² x = 1 Supongamos el ángulo θ en posición normal, consideremos el triángulo rectángulo OQP y apliquemos el teorema de Pitágoras. P PQ² + OQ² = OP² Dividamos ambos miembros para OP² O θ Q PQ² + OQ² = OP² OP² OP² OP² Es decir: PQ ²+ OQ ² = 1 OP OP Por definición PQ = Sen x y OQ = Cos x Luego queda OP OP Sen² x + Cos² x = 1 (1) A partir de la ecuación (1) podemos obtener las demás identidades pitagóricas dividiendo en Sen² x o Cos² x, obtenemos Tag² x +1 = Sec² x (3) 1+ Ctg²x = Csc² x (4) 3.2 DEMOSTRACIÓN DE IDENTIDADES:

92

Pasos que se sugieren para demostrar identidades 1. Se comienza con el miembro más complicado de la identidad para transformarlo en el más simple. 2. Se intenta hacer operaciones algebraicas como multiplicación, factorización, combinación de fracciones en otras más simples. 3. Expresar cada función en términos de senos y cosenos y realizar las operaciones algebraicas apropiadas. 4. En cada paso hay que tomar en cuenta al otro miembro de la identidad, ésta sugiere lo que hay que hacer para llegar a él.

Ejemplo: Demostrar la identidad: 1 + Sen x Cos x ----------------- + ------------------ = 2 Sec x Cos x 1 + Sen x Demostración: 1 + Sen x Cos x (1+Sen x)² + Cos² x --------------- + ----------- = ---------------------------- Álgebra Cos x 1 + Sen x Cos x (1+ Sen x) 1 + 2Sen x + Sen² x + Cos² x = ---------------------------------------- Álgebra Cos x ( 1+ Sen x) 1 + 2Sen x + 1 = ------------------------------------ Identidad Pitagórica Cos x ( 1 + Sen x) 2 + 2Sen x = ------------------------- Álgebra Cos x (1+Sen x) 2(1+Sen x) = ------------------------ Factor común Cos x (1+Sen x) 2 = ------------ Álgebra Cos x = 2 Sec x Identidad recíproca Por lo tanto: Demostrar una identidad significa transformar uno de los miembros de la igualdad hasta encontrar el otro.

93

ACTIVIDADES INTRA / EXTRA CLASE DESTREZA Interpretar, analizar e integrar los conceptos algebraicos para demostrar que los siguientes ejercicios son identidades I. Establezca la diferencia entre ecuación e identidad II. Demuestre cada una de las siguientes identidades: Sen x + Tan x Tan x -1 Senx – Cos x 1) --------------------- = Tan x 9) --------------- = ---------------------

1 + Cos x Tanx +1 Sen x + Cos x

Cos x + Sen x 1 2) --------------------- = 1 + -------- 10) Sec x – Cos x = Tan x Sen x Sen x Tan x 1+ Sen x Cos x 3) -------------------- = ------------- 11) Sen² O = 1-Cos² O

Cos x 1 – Sen x Sen x Cos x

4) ---------- + ---------- = 1 12) Sec² O = 1 + Tan² O Csc x Sec x Cos² x

5) 1 - ----------------- = Sen x 13) Cos² x – Sen² x = 1 -2 Sen² x 1 + Sen x

Cos 2 A Cos x 6) 1- ----------- = sen A 14) Sec x - ---------------- = Tan x 1+Sen A 1 + Sen x Sen x Sec x 7) ------------------ = ------------------- 15) (1-Sen² x) (1 + Tan² x) = 1 Sen x+ Cos x Sec x +Csc x 1 – Cos x Sec x -1 8) Sen x Sec x = tan x 16) -------------- = ------------------

1 + Cos x Sec x +1

ACTIVIDAD GRUPAL: Demuestre las identidades

1) xx

senxsenx

x csc2cos1

cos1=

++

+

2) ctg (- x) tg x = - 1

94

3) 1 – sen x = senx

x+1cos2

4) senxsenx

xsenxxsen

−+

=++

11

cos12

2

2

3.3 IDENTIDAD DE COFUNCIONES: Se dice que dos Identidades son cofunciones cuando gramaticalmente coinciden con la excepción del prefijo Co. De tal manera que : El coseno es la cofunción del seno, la Cotangente es la cofunción de la Tangente y la Secante es la cofunción de la cosecante. Dos cofunciones son iguales cuando la suma de sus ángulos es igual a 90º, entonces. Sen A = Cos B Cos A = Sen B Tag A = Ctg B Ctg A = Tag B Sec A Csc B Csc A = Sec B Por definición A + B = 90º, lo que resulta B = 90º - A, sustituyendo queda Sen A = Cos (90º - A) Cos A = Sen (90º -A) Tag A = Ctg (90º - A) Ctg A = Tag ( 90º - A) Sec A = Csc (90º - A) Csc A = Sec (90º - A)

Ejemplo 1: Expresar las funciones de Sec 35º en términos de su cofunción. Sec 35º= Csc (90º - 35º) = Csc 55º

Ejemplo 2: Expresar la función de cos (x – 30), en términos de su cofunción Cos (x -30º)= Sen [90º- (x-30º)] = Sen (120º - X)

ACTIVIDAD GRUPAL: Escriba la función equivalente o su cofunción de las sig:

identidades a) Cos (x – 90º) b) Sen (x + 13º) c) Tag 25º d) Csc 83º 45’

Es importante saber reducir ángulos de más de 90º a un ángulo del primer cuadrante reconociendo si se lo puede hacer, por medio de ángulo complementario o suplementario.

95

3.3.1 Ángulo complementario:

Como puede observarse en la figura, los triángulos POM y P’OM’ son iguales por tener iguales la hipotenusa y un ángulo agudo. Por consiguiente:

P”

P O M” M OM’ = PM, P’M’ = OM Así las funciones de x y 90º- x Sen X = PM/OP Sen (90º-x) = P’M’/OP’ = OM/OP = Cos x Cos X = OM/OP Cos(90º –x) = OM`/OP’ = PM/OP = Sen x Tag x = PM/OM Tan(90º - x) = P’M’/OM’ = OM/PM = Ctg x Ctg x = OM/PM Cot(90º -x) = OM´/P’M’ = PM/OM = Tag x Sec x = OP/OM Sec(90º-x) = OP’/OM’ = OP/PM = Csc x Csc x = OP/PM Csc)90º-x) = OP’/P’M’ = OP/OM = Sec x 3.3.2 Ángulo suplementario P P” M O M” Se considera OP = OP’ ; OM = -OM’ y PM = P’M’ Así las funciones de x y de 180º-x, serán: Sen X = PM / OP Sen (180º - x) = P’M’ / OP’ = PM /OP = Sen x Cos x = OM / OP Cos (180º - x) = OM’ /OP’ = -OM / OP = - Cos x Tag x = PM / OP Tag (180º -x ) = P’M’ / OP’ = PM / -OM = - tag x CONCLUSIÓN l toda función trigonométrica de (n . 90º ± θ), donde θ es un ángulo n = 1, 2 3 ..es cualquier entero y es numéricamente igual a:

96

a) la misma función de θ si n es par (suplementario) b) la cofunción de θ si n es impar ( complementario) En cada caso , el signo algebraico es igual al signo que tiene la función dada en el cuadrante a que pertenece (n.900 - θ) cuando θ es un ángulo agudo positivo. Los signos de las funciones en los cuadrantes son:

I II III IV Sen + + - - Cos + - - + Tag + - + - Ctg + - + - Sec + - - + Csc + + - -

Ejemplo: 1) sen (1800 – θ) = sen( 2. 900 – θ) = sen θ , puesto que 1800 es un múltiplo par de 900 y, cuando θ es un ángulo agudo positivo, el lado final de 1800 – θ cae en el cuadrante II. 2) Encontrar los valores exactos de: a) 120º b) -330º Solución: a) El ángulo 120º está en el segundo cuadrante, por lo tanto las funciones trigonométricas llevan el signo de acuerdo a este cuadrante, luego relacionamos con la fórmula general (n.90º ± θ), es decir 180º - 60º = 120º, entonces n = 2 (2.90º-60º) =120º, como n es par, se relaciona con un ángulo complementario por lo tanto es igual a la misma función así,

Sen 120º = Sen 60º = 23 ; Cos 120º = - Cos 60º = -

23

Tag 120º = - tan 60º = - 3 b) -330º = 360º - 330º = 30º Es decir n = 4

Sen (-330º) = Sen 30º = ½; Cos (-330º) = Cos 30º = 23

Tag (-330º) = Tan 30º = 33

ACTIVIDADES INTRA / EXTRA CLASE DESTREZA Aplicar el conocimiento científico para reducir los siguientes ángulos a uno del primer

97

a) sen 1350

b) cos 2150 c) tag 4400

d) ctg 1550 e) sec 3250 f) sen (- 2000 )

g) cos (- 7600 )

3.4 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA Y RESTA

DE ÁNGULOS El matemático alemán Riemann (1826 – 1866), realizó estudios en la geometría referentes a las curvas, extendiendo esta idea a construir una geometría no euclidiana, los trabajos de Riemann fueron muy útiles a Eisntein para establecer la teoría de la relatividad. 3.4.1 Identidades de la suma Las identidades de las funciones seno y coseno no gozan de la propiedad aditiva, es decir no se cumple que Cos (C + B) = Cos C + Cos B o Sen(C + B) = Sen C + SenB La fórmula de Sen(C + B) o Cos (C + B ) etc, fueron descubiertas por el Dr. Mc Shone publicada en 1944; ahora existen muchas formas para demostrarlas, veremos una de ellas. * Demostrar que Sen(x + y) = Sen x Cos y + Cos x Sen y B y A P x Sea: x, y ángulos positivos; x+y < 90º

< APB = x porque sus lados correspondientes (OA y AP, OB y BP) son perpendiculares. AP AD+DP CB+DP CB DP CB OB DP BP Sen (x + y) = ----- = ----------- = ---------- = ----- + ------ = ----- . ----- + ------ . ------ OP OP OP OP OP OB OP BP OP Luego: Sen (x + y) = Sen x Cos y + Cos x Sen y * Demostrar que Cos (x +y) = Cos x Cos y - Sen x Sen y

98

P A B Con base en las mismas consideraciones gráficas anteriores, podemos establecer la siguiente expresión: OM ON – MN ON – RP ON RP ON OP RP PQ Cos (x +y) = ------ = ------------ = ------------- = ------ - ------ = ------ . ------ - ------ . ------ OQ OQ OQ OQ OQ OP OQ PQ OQ Luego: Cos (x +y) = Cos x Cos y - Sen x Sen y Tag x + Tag y * Demostrar que Tag (x + y) = ------------------------ 1 – Tag x Tag y

Para demostrar la fórmula anterior, recurrimos a x

senxtagxcos

y así:

Sen (x +y) Sen x Cos y + Sen y Cos x Tag (x + y) = --------------- = ---------------------------------------- Cos (x +y) Cos x Cos y – Sen x Sen y si dividimos numerador y denominador entre Cos x Cos y tenemos: Sen x Cos y + Sen y Cos x Sen x Cos y Sen y Cos x -------------------------------------- ----------------- + ----------------------- Cos x Cos y Cos x Cos y Cos x Cos y --------------------------------------------- = --------------------------------------------------- Cos x Cos y – Sen x Sen y Cos x Cos y Sen x Sen y --------------------------------------- ------------------ - --------------------- Cos x Cos y Cos x Cos y Cos x Cos y

Luego: Tan ( x + y) = tagxtagy

TagyTagx−

+1

Ejemplo1: Calcular el Sen 75º ( sin usar calculadora)

Soluc Expre Sen (4

Ejemp Desar Luego Cons Ejemp

ción:

esamos 75º

45º + 30º) =

=

=

plo 2: Dem

rrollamos S Sen(2x

o: Se

secuenteme

Se

Co

Ta

plos

º = 45º + 30

= Sen 45º C

= 22 .

23 +

= 4

26 +

mostrar que

Sen 3x = Se

x + x) = Se

= ( 2

= 2

= 3

en 3x = 3

ente, las fu

en (x – y) =

os (x – y) =

ag (x –y) =

0º

Cos 30º + S

+ ½ . 22

sen 3x = 3

en (2x + x) a

en 2x Cos x

2 Sen x Cos

Sen x Cos²

Sen x ( 1 –

Sen x - 4 S

unciones d

= Sen x C

Cos x Co

Tag x – T ------------- 1 + Tag x

Sen 30º Co

2

3 Sen x – 4

así:

x + Sen x C

s x) Cos x

² x + Sen x

– Sen² x) -

Sen³ x

del ángulo

os y – Cos

os y + Sen

ag y ----------- x Tag y

s 45º

4 Sen3 x

Cos 2x

+ Sen x (

x Cos² x –

Sen³ x

sustracció

x Sen y

x Sen y

Cos² x – Se

Sen 3 x

ón son:

en² x)

99

3.4.2

direct Demo Si x Para cSe tie Luego Si x e Verific Cos ( Luego Si x e Si hac Tan (x

Identidade

Como unatamente las

S

C

T

ostración:

es un áng

comprobarene Sen (x

o: Sen 2x

es un ángu

camos este

x + x) = C

o: Cos

es un ángu

cemos x = y

Tx + x ) = --- 1

es para el á

a aplicacións identidade

Sen 2x = 2

Cos 2x = Co

2Tag 2x = --- 1

gulo cualqu

lo aplicamo+ x) = Sen

x = 2 Sen x

ulo cualqui

e hecho tom

Cos x Cos x

2x = Cos² x

ulo cualqui

y en la exp

Tag x + Tag---------------1 – Tag x T

2 Tag

ángulo dob

n de las idees del ángu

Sen x Cos

os² x – Sen

2 Tag x ---------------– Tag² x

uiera Sen

os la fórmul x Cos x +

x Cos x

era Cos 2x

mando Cos

– Sen x S

x – Sen² x

era Tag 2

presión par

g x --------

Tag x

g x

ble.

entidades suulo doble

x

n² x

-

2x = 2 Sen

la para SeSen x Cos

x = Cos² x

(x + y) co

Sen x

2 T2x = --------- 1 –

a Tan(x +y

uma y resta

n x Cos y

n (x + y) cox

– Sen² x

on x = y. S

Tag x --------------Tag ² x

y) se tiene

a se puede

on x = y

Se tiene:

e

deducir

100

101

Luego : Tag 2x = ---------------- 1 – tag ² x Ejemplos

3.4.3 Identidades para el ángulo medio.

Si x es un ángulo cualquiera Sen 2x =

2cos1 x−

Sabemos que Cos 2x = 1- 2 Sen² x y si consideramos x = 2 2x

tenemos que Cos x θ Cos 2 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2x = 1 -2 Sen² ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

2x y despejamos la expresión del

seno. Encontramos, Sen² ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2x =

2cos1 x−

Luego: Sen x = 2cos1 x−

Si x es un ángulo cualquiera Cos ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2x =

2cos1 x−

Análogamente, haciendo x = 2 . ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2x y tomando la identidad

Cos 2x = 2 Cos ² x -1 se encuentra que

Cos x = Cos 2 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2x = 2 Cos² ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

2x -1

102

Despejamos con ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2x transponiendo términos

x

Luego: Cos ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2x =

2cos1 x+ -

Si x es un ángulo cualquiera Tan ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2x =

senxxcos1− =

xCos1+senx

Recordemos que Tan x = xCos

senx por lo tanto Tan ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2x =

2xcos

2xsen

entonces

2cos1 x− xcos1−

Tan ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2x = -------------------- = -------------

2cos1 x+ xcos1+

Ahora bien, si multiplicamos y dividimos el radicando por 1 + Cos x tenemos: 1- Cos x 1 + Cos x Sen x

Tag ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2x

= --------------- . ---------------- = ---------------

1 + cos x 1 + cos x 1 + Cos x 1 – Cos x Sen x

Luego: tag ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2x

= --------------- = ----------------------

Sen x 1 + Cos x De igual forma se procede para las fórmulas de las funciones del ángulo triple, es decir ( x + 2x) o cuádruplo ( 2x + 2x), etc. De este pequeño análisis trigonométrico, hemos conseguido, fórmulas que sirven de apoyo en la demostración de otras identidades o fórmulas y en la resolución de ecuaciones trigonométricas.

103

Ejemplo 2: Encontrar el valor exacto de Cos (x/2) y Cot (x/2) sin usar calculadora ni tablas, si Sen x = -3/5, II<x< 3 II/2 Solución: Se dibuja un triángulo de referencia en el tercer cuadrante y se

encuentra Cos x; después, se usan las identidades adecuadas sobre la mitad de un ángulo.

a = - (-3)² - 5² = -4 Cos x = - 4/5 Si π < x < 3 π /2, entonces π /2 < x/2 < 3 π /4 Se divide cada miembro de π < x < 3 π /2 entre 2 Por lo tanto, x /2 pertenece al segundo cuadrante, en el que tanto el coseno y como la cotangente son negativo, y 1 + Cos x 1 + ( -4/5) 1 - 10 Cos x = ----------------- = ----------------- = ------- o ---------- 2 v 2 10 10 1 Sen x -3/5 1 Ctg x = ---------------------- = ------------------------- = ---------------- = - ------ Tan (x/2) 1 – Cos x 1 – (-4/5) 3 x Tan x – Sen x Ejemplo 3: Demostrar la identidad Sen² ------- = --------------------- 2 2 Tan x x 1 – Cos x Demostración: Sen ----- = ± -------------- Identidad del seno del ángulo mitad 2 2 x 1 – Cos x Sen² ----- = -------------------- Se eleva al cuadrado ambos miembros 2 2

104 Tag x 1 – Cos x = ------------ . ------------------- Álgebra Tag x 2 Tag x – Tag x Cos x = ------------------------------ Álgebra 2 Tag x Tag x – Sen x = ------------------------ Identidad de cocientes 2 Tag x ACTIVIDADES INTRA / EXTRA CLASE 1. Demuestre las identidades para la diferencia de dos ángulos 2. Encontrar los valores del seno, coseno y tangente de a) 75º, b) 255º

Res. 2 ( v 3 + 1), v 2 ( v 3 -1) , 2 + v 3 b) –v 2 ( v 3 + 1), -v 2(v 3-1), 2 + v 3 4 4 4 4 3. Encontrar los valores de Sen (c+B), Cos(c+B) y Tan (c+B), dados: a) Sen c = 3/5, Cos B = 5/13, c y B en el cuadrante I

Resp. 63/65, -16/65, -63/16 b) Sen c = 8/17, Tan B = 5/12, c y B en el cuadrante I

Resp. 171/221, 140/221, 171/140 c) Cos c = -12/13, Cot B = 24/7, c en el cuadrante II, B en el cuadrante III

Resp. -36/325, 323/325, -36/323 d) Sen c = 1/3, Sen B = 2/5, c en el cuadrante I, B en el cuadrante II

Resp. 4 2 – v 21, - 2 + 2 v 42 , - 4 v 2 – v 21 15 15 2 + 2 v 42 4. Encontrar los valores de Sen (c– B) y Tan (c –B), dados: a) Sen c = 3/15, Sen B = -5/13, c y B en el cuadrante I

Resp. 16/65, 63/65, 16/63 b) Sen c = 8/17, Tan B = 5/12, c y B en el cuadrante I

Resp. 21/221, 220/221, 21/220 5. Demostrar: a) Sen (c + B) – Sen ( c – B) = 2 Cos c Sen B b) Cos (c + B) + Cos (c –B) = 2 Cos c Cos B

105 1 – Tan θ c) Tan (45º- θ) = ------------------- 1 + Tan θ Tan (c + B) Tan² c – Tan² B d) -----------------= ------------------------- Cot (c – B) 1 –Tan²c Tan² B 6. Encontrar los valores de Sen 2A, Cos 2A y Tan 2A , dados: a) Sen A = 3/5 en el cuadrante I Resp. 24/25, 7/25, 24/7 b) Sen A = 3/5 en el cuadrante II Resp. -24/25, 7/25, -24/7 c) tan A= - 1/5 , A en el cuadrante II Resp. -5/13, 12/13, -5/12 d) Sen A = -1/2, A en el cuadrante IV Resp. –v 3/2, ½, -v 3 7. Demostrar: a) Tan θ Sen 2 θ = 2 Sen² θ b) Cot θ Sen 2 θ = 1 + Cos 2 θ 1 – Tan² θ c) Cos 2 θ = ------------------- 1 + Tan² θ Sen³ x – Cos³ x d) ---------------------- = 1 + ½ Sen 2x Sen x – Cos x 1 + Cos 2 θ e) ---------------------- = Cot θ Sen 2 θ 1 – Sen 2 θ 1 – Tan θ f) ----------------------- = ------------------ Cos 2 θ 1 + Tan θ g) Cos 3x = 4 Cos ³ x - 3 Cos x ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS Como ya tienen experiencia en la resolución de ecuaciones algebraicas, que son similares a ellos, diferenciándose en que ahora las variables son ángulos. Para la resolución requieren a menudo del uso de identidades, ingenio y perseverancia, estas sugerencias pueden ayudar a empezar:

106

PASOS PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA 1. Si se presenta más de una función trigonométrica, hay que usar identidades para tratar de escribir la ecuación en términos de una sola función trigonométrica. 2. Se considera como incógnita una función trigonométrica particular y se despeja 3. Algunas veces ayuda el uso de operaciones algebraicas como la factorización. 4. Después de despejar una función trigonométrica se considera como incógnita la variable.

Ejemplo 1: resolver la ecuación: Sen 2x = Sen x , (0,2Iπ ) Sen 2x = Sen x Por identidad del ángulo doble 2 Sen x Cos x = Sen x 2Sen x Cos x – Sen x = 0 Factorizando Sen x (2Cos x -1) = 0 Sen x = 0 2Cos x = 1 x se asocia con un ángulo X = 0, π Cos x = ½ x = π /3, 5π /3 Entonces x = 0, π I, π /3, 5π /3 Ejemplo 2. Sea Re= [ ]π2,0 y 01)cos()(cos2:)( 2 =−− xxxp . Encuentre la suma de los elementos de Ap(x). Solución: Sea )cos(xu =

( )[ ]

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ =∨⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ =∨=∨=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=∨=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=∨=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=∨=

=+∨=−=+−

=+−=−−

34

32)2()0(

21arccos1arccos

21)cos()1)(cos(

211

)012()01(0)12)(1(

02

)12)(22(012 2

πππ xxxx

xx

xx

uu

uuuu

uuuu

Comprobando:

107

13

40121

4121

34cos

34cos2:

34

13

20121

4121

32cos

32cos2:

32

1)2(011)1(21)2cos()2(cos2:)2(1)0(011)1(21)0cos()0(cos2:)0(

2

2

2

2

≡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∴=−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

≡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∴=−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

≡∴=−−=−−

≡∴=−−=−−

ππππ

ππππππππ

pp

pp

pppp

Por lo tanto:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧= πππ 2,

34,

32,0)(xAp

La suma de los elementos de π4)( esxAp . ACTIVIDADES INTRA / EXTRA CLASE DESTREZA Seleccionar y aplicar procesos adecuados en la resolución de ecuaciones trigonométricas Resuelve las siguientes ecuaciones para el intervalo (0,2II) 1. Sen x – Cos x = ½ 6. 2 Sen² x -1 = 0 2. 3 Tag x + 3 = 0 7. 2 Cos² x + Cos x = 1 3. 2 Sen² x = 3 Sen x -1 8. 2 Tag² x = 1 4. 1 + Cos x = 0 9. Sen x – Csc x = 0 5. 1-2v 2 Sen x = 0 10. 2 Sen x = v 2 11. 2 Sen x -1 = 0 16. Sen² x = 1 + 2 Cos x 12. Cos² x + 2 Cos x -3 = 0 17. Sen x/2 + Cos x = 1 13 Cos 2x – Sen x = 0 18. Tag² x – Tan x -6 = 0 14. Sen 2x + Sen x = 0 19. Cos x = v 3 /2 15. 2 Cos t – Cos t = 0 20. Sen ² O + 2 Cos O = -2

CAPITULO V

NÚMEROS COMPLEJOS Dentro del campo de los números reales podemos hallar números x tales que x² = a, si a>0, pero que sucede cuando a<0, no existe ningún número real que satisfaga esta ecuación, pues el cuadrado de todo número real es siempre positivo o cero. En el estudio de los números, racionales nos dimos cuenta, de que no se podía expresar raíces de tipo √2 , √5 , √5, √11 a fraccionarios, para lo cual fue necesario

108

crear los números irracionales, que unidos a los racionales nos da el conjunto de los números reales. Sin embargo dentro de este conjunto no se podía calcular o encontrar solución a raíces cuya cantidad subradical es negativa. Por Ejemplo: √ 1 , √ 16, √ 81 , etc. Por lo tanto par resolver este tipo de expresiones se debe ampliar el sistema de numéricas e incluir expresiones semejantes a i = √ 1 , tal que i² = -1, esta expresión se llama número imaginario o unidad imaginaria. Podemos entonces investigar el conjunto de números de la forma a+bi (llamados números complejos), donde a y b se eligen del conjunto de los números reales. Estos números son parejas de los números reales (a, b), donde el símbolo i sirve solamente para mantener separados dos números. La combinación de los números complejos con los números reales se llama sistema de números complejos. EL SISTEMA DE CONJUNTOS DE LOS NUMEROS COMPLEJOS Definición: Un número complejo z es una pareja (a, b) de números reales, el conjunto de los números complejos lo denotamos con la letra C. Entonces. C = (a, b) / a, b R Los números reales a y b se llaman componentes del número complejo En la pareja de números llamaremos parte real al número a y parte imaginaria al número b. Ejemplo (2, -5); (0, ); (3, -3); (π, √ ,); (√6 , 9); ( , √5 )

Son algunos números complejos, donde 2, 0, 3, π, √6 , y -5, -3, √ , 9, √5 El sistema de números complejos está provisto de una relación de equivalencia y dos operaciones llamadas de adición y multiplicación, tales que para dos elementos cualesquiera z1(a, b) C y z2(c, b) C se tiene:

a Igualdad (a, b) = (c, d) a=c b = d b Adición (a, b) + (c, d) = (a+c, b+d) c Multiplicación: (ac-bd, ad+bc)

Definición de igualdad de números complejos Diremos que los números complejos z1(a, b) y z2(c, b) son iguales si: (a, b) = (c, d) a=c b = d

Ejemplos

(3³, √4) = (27, 2 ) ya que 3³ =27 y √4 = 2 (

, √64) = (2√4, √

) ya que = 2√4 y √64 ) = √

Cuando dos números complejos no son iguales se llaman desigualdades y se escribe (a, b) ≠ (c, d) Ejemplo (4, 6) ≠ (6, 4) ya que 4 ≠6 y 6 ≠ 4 Este ejemplo anterior muestra que es importante tomar en cuenta el orden en los que se considere los componentes del número complejo. Definición de la suma de números complejos Si z1(a, b) y z2(c, b) entonces definimos (a, b) + (c, d) = (a+c, b+d) Ejemplos de suma de números complejos (3, -2) + (4, 3) = (3+4, -2+3) = (7, 1)

109

( , 5 ) + (3, ) = (

3, 5 ) = ( , )

(2, 8) + (-2,-8) = (0, 0) (4, 1) + (3, -1) = (4+3, 1+(-1)) =(7, 0) Este ejemplo muestra que la suma de dos números imaginarios puede ser un número real. En virtud de la definición de suma, se puede escribir

(a, b) = (a, 0) + (0, b) Lo cual comprueba que todo número complejo puede considerarse como la suma de un número real y de un número imaginario puro. Puesto que la suma de números reales tiene las propiedades uniforme, conmutativa, y asociativa y la suma de números complejos se define mediante la suma de sus componentes respectivos (que son números reales), dichas propiedades subsisten para los números complejos. Por ejemplo la comprobación de la propiedad conmutativa es inmediata pues: (a, b) + (c, d) = (c, d) + (a, b) O bien (a+c, b+d) = (c+a, d+b) Equivale a a + c = c + a b +d = d + b lo cual es cierto, por cumplirse la propiedad para los números reales. Se cumple también la ley de la identidad. Multiplicación con números imaginarios Se llama producto de dos números complejos (a, b) y (c, d) al nuevo número complejo que se obtiene de la siguiente manera. (ac-bd, ad+bc) Lo cual indicaremos así: (a, b)(c, d) = (ac-bd, ac+bc) El hecho de haber adoptado esta definición y no otra tiene su motivación en el propósito de mantener para obtener los números complejos la validez de las leyes formales de la multiplicación. Ejemplos (2, 5)(3, 4) = (6-20, 8+15) =(-14, 23) (3,2)(-1,6) = ((3)(-1)-(2)(6), (3)(6) + (2)(-1)) = (-3-12, 18-2) = (-15, 16) La multiplicación de números complejos satisfacen las mismas leyes formales que la multiplicación de números reales, conmutativa, asociativa, distributiva de identidad FORMA BINÓMICA DE UN NÚMERO COMPLEJO Unidad imaginaria El número complejo imaginario cuyo segundo componente es la unidad se denomina unidad imaginaria y se denota por i. El complejo (0, 1) será representado por i, es decir i = (0, 1) Si tenemos el siguiente sistema de conjunto de los números reales (a, b) = (a, 0) + (0, b) Y teniendo en cuenta que (a, 0 )= a y que (0, b) = bi podemos escribir de la siguiente manera (a, b) = a + bi El complejo (0, 1) será representado por i, es decir i = (0, 1) Que es lo que se llama forma binómica del número imaginario Ejemplo (3, 5) = 3 + 5i

110

(-3, √4 ) = -3 + √4 i El sumando a recibe el nombre de parte real del número complejo y el sumando bi se llama parte imaginaria

Cuadrado de la unida imaginaria

Tomando en cuenta que , se define un número especial en matemáticas de gran importancia, el número i o unidad imaginaria, definido como

De donde se deduce inmediatamente que,

i² = i..i = (0, 1)(0, 1)

por definición de la multiplicación (0-1, 0x1+0x1) (-1, 0) = -1

Por lo tanto el cuadrado de la unidad imaginaria es el número real -1 En particular de i² = -1 i = √ 1 Es decir una raíz cuadrada de la unidad negativa -1, √ 1 es el número imaginario i = (0, 1). Una segunda raíz cuadrada de -1 es el número (0,-1)= -i Raíz cuadrada de un número complejo Sabemos que i² = -1, esto es que i es una raíz de -1(i = 1 Ahora (-i)²=[(-1)(i)]²= (-1)².i²=1.i²=i²=-1, de donde concluimos que (-i)² = 1, es decir –i es también una raíz de -1 entonces resumimos: i = √ 1 ; -i =-√ 1 En general si x es positivo tenemos que (i√ )²= i²x=-x de donde concluimos que √ = i√ . Esto conduce a la siguiente definición. Para todo x positiva, las dos raíces cuadradas de –x son i√ √ Ejemplos 1 Las raíces cuadradas de -9 son 3i y -3i, puesto que

√ 9 √ 1√9 = i√9 y -i√9 = 3i y -3i El conjunto solución de la ecuación x² + 16 = 0 x² +16 = 0 x² = -16 x = √ 16 x = √ 1√16 x = 4i y -4i Eliminamos los radicales negativos √ 8 √8 √4.2 2 √2

1 √ 1=

Ejemplo 2 Suma de raíces cuadradas de números complejos √ 9 √ 49 Para realizar la suma: √ 9 √ 49 = √ 1√9 √ 1√49

111

= 3i + 7i = 10i Ejemplo 3 Multiplicación de raíces cuadradas de números complejos √ 15 √ 15 = √ 1 15 √ 1√15) = √ 15 )² = 15(-1) =-15 Cuando, multiplicamos raíces cuadradas de números negativos asegurase escribir en forma i antes de multiplicar. Si no hace esto pues obtendrá respuestas incorrectas como por ejemplo √ 15 √ 15 ≠ 15 15 ≠ √225 ≠15 Definición de números complejos Si a y b son números reales el número a+bi es un número complejo, y se dice que está escrito en su forma estándar o en la forma binómica si b = 0 el número a+bi = a y es un numero real si b ≠ 0 el número a + bi se denomina número imaginario. Un número de forma bi en donde b≠0 se denomina numero imaginario puro. Un número no puede ser real e imaginario a la vez. Por ejemplo los números -2,3, ½ , √2 son números reales (pero no números imaginarios), y los números -3i, -4i, 3+2i, -i son números imaginarios (pero no reales).

Operaciones con números complejos en su forma binómica Suma y resta La suma y resta de dos números complejos, es otro número complejo Para sumar o restar dos números complejos, usted suma o resta, las partes reales e imaginarias separadamente. Esto es similar a cambiar los términos semejantes de un polinomio. (a + bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d)i (a + bi) - (c + di) = (a -c) + (b - d)i Ejemplo: Sumar y restar los siguientes números complejos a) (3-i) +(-2+4i) = (3-2) + (-1+4)i =1+3i b) 3i + (5-3i) = 5 + (3-3)i = 5

Multiplicación Se multiplica aplicando la ley distributiva de la multiplicación Las propiedades de los números reales como la conmutativa, asociativa y distributiva son válidas para los números complejos. Ejemplo (3-i)(2-i) = 10 - 5i - 2i + i² = 10 - 7i + (-1) = 9 – 7i (3+2i)(3-2i) = 9 - 6i + 6i – 4i² = 9 – 4(-1) = 9 + 4 = 13

112

Conjugada Si z = x + yi , es un número complejo llamado conjugado del numero z , al numero z = x – yi, es decir, al número complejo que tiene la misma parte real que z pero la parte imaginaria de signo opuesto. Ejemplo Si z = 3 + 2i, entonces z = 3 - 2i y si z = 3 - 2i entonces z = 3 + 2i División La división de números complejos se realiza mediante la multiplicación y división por la conjugada del denominador Ejemplo

53 2

5 3 23 2 3 2

15 23 2 ²

15 29 4

15 213

Potenciación La potenciación de un exponente entero y la base real se conservan sin modificación cuando la base es imaginario. Se tiene pues: An = A.A…A, A0 = 1 (A ≠0) A-n = (A ≠ 0) Para realizar operaciones con potenciación es necesario tomar en cuenta las potencias de un número imaginario por ejemplo.

i0 = 1 i1 = i

i2 = -1 i3 = -i i4 = 1 i5= i i6 = -1 i7 = -i i8 = 1 i9 = i

Ejemplo i16 = i4 .i4 = 1. 1 = 1 i²⁵ = i⁴⁽⁶⁾.i =1⁶.i=i

(3+2i)² = 9 +12i + 4i ² = 9 + 12i – 4 = 5 + 12i (1 - 2i) = 1 – 3(2i) + 3 (2i)² - (2i)³ = 1-6i + 12i -8i.i² = -11 +2i

n veces

113

Actividad intra-clase Resuelva

1) √ 4 √ 16 √ 25 2) √ 9 √ 25 3) 3√ 16 + 5√ 49 4) 5 ⁸ 2 ¹ √ ¹² 5) 5√ 28 2√ 63 3√ 12 6) √ 12 √ 20 7) 5√ 6. 4√ 15 8) √ 25 √ 36 √ 16 9) √ 6√ 8√10. √ 12 10) 3√ 64 - √ 16 11) 4 3√ 1 5 7 1 12) 2 3√ 1 3 5 1 13) 4 3 3 7 5 2 14) 15) (4+2i)-(3-5i) 16) (-7 +2i ) – (-2 -3i) 17) (5-i) (2-5i) 18) (3+3i)(-5+5i) 19)

20) 5 157

21) (4+3i)³ 22) i-3


Efectuar las operaciones siguientes (5+3i) +(8+6i) (3+2i) +(1+2i) (-1 +3i)-(2+4i)

(2+6i)-(5-2i)

(9+2i)-(7-3i)

(5-4i)(5+4i)

(6+5i)(-2+4i)

(4+3i)²

(2-i)² 19 3

6

13 32 3

Así corecta,usandcoordllamadverticacoordel ejeesta m Haremplanoesta fPara a cadde ejcorresplano

(o de A los motivoimagia OY Ejem Repre Ejemp

Represen

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coordenadpar de ejes en posición i P es un x, llamada denada, esl punto por

tificación emplejo Z = aa Representcamente losunto del plaon x = a (uno a unoepresenta lo

0) = a corma eje reabi correspode los núme

e los núme

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114

una lejos tales unto ición s las hasta X. De

s del ). De de Z, encia tema

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este eros ama

115

y 6 5 4 3 2 x 1 x 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 2

3 4 5 y

Ejemplo. El complejo z = -6+2i

y 6

5 4 3 2 x 1 x 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 y 6

Ejemplo. El complejo z = - 2 – 3i

y 6

5

4 3 2 x 1 x 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6

2 3

4+3i

z = -6+2i

- 2 – 3i

116

4 5 y 6

Ejemplo. El complejo z = 2 - 4i

y 6

5 4 3 2 x 1 x 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 y 6

Interpretación geométrica del modulo y el conjugado Sea z = a+bi un numero complejo. Entonces nos interesa calcular la longitud del segmento c que une al origen con el punto correspondiente a z en el plano complejo.

2 - 4i

117

De acuerdo a la disposición de los ejes y el segmento dado, se ha formado un triangulo rectángulo, con catetos a y b, e hipotenusa dada por c. Usando el Teorema de Pitágoras, se demuestra que la longitud de este segmento c, es igual a ² ² y por lo tanto, igual al módulo del complejo z. Esto es.

Z = ² ²

Tenemos entonces una interpretación geométrica del módulo de un complejo: El módulo de un número complejo z es igual a la distancia desde el punto z hasta el origen Por otro lado, si z = a+bi es un numero complejo, su conjugado viene dado por z2 = a - bi. Luego el conjugado en forma geométrica se obtiene al reflejar el punto correspondiente a z, alrededor del eje real.

Z

118

Representación gráfica de la suma y resta de los números complejos Podemos sumar dos números complejos en forma geométrica, mediante un algoritmo muy sencillo, llamado Regla del paralelogramo. Si se tienen dos complejos, digamos z1 y z2, entonces z1 +z2 se halla de la siguiente forma: a partir del punto representando a z1 se traslada el segmento que une al punto z2 con el origen. Al final de dicho segmento, se hallara el complejo z1 + z2. Si en el plano complejo representamos los complejos z1 = (a1 b1) y z2 = (a2, b2) por sus respectivos radios vectores r1 y r2 entonces el vector suma z1 + z2 es la diagonal del paralelogramo construido sobre los radios vectores representativos de los sumandos. Para la suma Si. z = (a1 + b1) + (a2 + b2) Entonces z = (a1+a2) + (b1+b2)i por lo tanto a = a1+a2 y bi = (b1+b2)i Ejemplo

y 6 5

4 3 2 x 1 x 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 2 a2 3 a1 4 a 5 y

Ejercicios Sumar gráficamente:

1) (2+3i) + (4+4i) (2+4) + (3+4)i 6+7i

y 6

5

4 2+34+4i

6+7i

a2 +b2

a1 +b1

a +b

119

3

2

x 1 x 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5

2

3

4

5 y

2) (4-2i) + (2+3i) (4+2) + (-2+3)i 6+i

y 6

5

4

3

2

x 1 x 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5

2

3

4

5 y

La suma de dos números complejos, de manera geométrica, se efectúa usando la Ley del Paralelogramo Para hallar el opuesto o negativo de un numero complejo, en forma geométrica, procedemos de la manera siguiente: Si z = a + bi, entonces -z = -a - bi se ubica en el extremo del segmento de dirección opuesta a la de Z ( ver el dibujo).

4-2i

6+i

2+3i

120

Para restar dos números complejos en forma geométrica, digamos Z1 - Z2 , se ubica el primer complejo en el plano, Z1, y a continuación se coloca el segmento del opuesto de Z2 en el punto correspondiente a Z1. El complejo resultante Z1 -Z2 se ubica en el extremo final de Z2 Para la diferencia Si. Si. z = z1 + z2 z = z1 + (-z2) Entonces z = (a1+(-a2)) + (b1+(-b2))i por lo tanto a = a1+( -a2) y bi = (b1+(-b2))i Ejemplo

y 6 5

4 3 2 x 1 x 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 2 a 3 a 4 a 5 y

Ejercicios

1) (2+3i) - (1+4i) (2+3i) + (-1-4i) (2-1) + (3 - 4)i 1-i

Z1 Z2

-Z2

ZR

121

y 6

5

4

3

2

x 1 x 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5

2

3

4

5 y

2) (4-2i)-(2+3i) (4-2i) + (-2-3i) (4-2) +(-2-3)i 2 + (-5i)

y 6

5

4

3

2

x 1 x 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5

2

3

4

5 y

Actividad intra-clase Represente gráficamente a los siguientes números complejos 1) 3-2i 2) -2-2i 3) 5i 4) 8+7i 5) -1i Suma y reste gráficamente los siguientes números complejos (3+4i) + (2+5i)

2+3i

1-i

-1-

2-5i

4-2i

-2-

122

(3+4i) + (2-3i) (4+3i) - (2+i) (4+3i) – (2-i)

Plantee 5 números complejos en forma binómica y represéntelos gráficamente Plantee 5 ejercicios de suma y 5 de resta y resuélvalo gráficamente

FORMA POLAR DE UN NÚMERO COMPLEJO Se ha trabajado con la suma y resta de números complejos y su interpretación gráfica pero aún no se ha estudiado la interpretación geográfica tanto para la multiplicación y la división. En el caso del producto tenemos la fórmula para la multiplicación (a + bi) . (c + di) = (ac - bd) + (ad - bc)i El lado derecho de esta expresión, resulta difícil de interpretar usando el sistema de coordenadas cartesianas. Para solventar este problema, requerimos de otro sistema de coordenadas. Veremos como la trigonometría nos sirve de herramienta para resolver este problema. Podemos asignarle a cada numero complejo Z = a + bi en el plano, un radio vector, que conecta al punto con el origen. Este radio vector forma un ángulo con el eje real o de las X, que será denotado por θ.

y 6 5 4 3 2 x 1 θ x 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 2 3 4 5 y

NOTA: El ángulo θ se mide a partir del eje real y en sentido contrario a las agujas del reloj. El mismo puede venir expresado en unidades de grados o radianes. De acuerdo a la disposición de los ejes y el radio vector, se ha formado un triángulo rectángulo, con catetos a y b, e hipotenusa dada por el radio vector. Usando e

Z= a+bi

123

Teorema de Pitágoras, se demuestra que la longitud de este radio vector es ² ²

igual al módulo del complejo Z. Esto .

y b x θ x a y

Usando conocimientos de trigonometría en el triángulo anterior, se demuestran las relaciones:

De modo que si: z = a + bi entonces si remplazamos el valor de a como el valor de b tenemos: z = Zcos θ + Zi sen θ z = Z(cos θ + isen θ) Esta representación del complejo z se llama forma polar o trigonométrica de z, donde Z es el módulo o radio vector y θ el argumento o la amplitud. Se podría decir que si se conoce el argumento principal de Z y su módulo, entonces lo podemos representar geométricamente sin equívoco y además podremos obtener sus coordenadas cartesianas, de acuerdo a las fórmulas anteriores. Se tiene entonces la Representación de Z en Forma Polar z = Z(cos θ + isen θ) Recíprocamente, si se conocen las coordenadas cartesianas de Z = a + bi, entonces .y θ se calculan de acuerdo a las fórmulas ׀Z׀² =׀Z׀ ²

tan θ =

² =׀Z׀ ²

Z= a+bi

sen θ = b = Z sen θ

cos θ = a = Z cos θ

׀Z׀

124

θ = arc tan Llamadas Fórmulas de cambio de coordenadas cartesianas a polares. Ejemplo Un número complejo en el primer cuadrante, hallar la forma polar del número complejo Z = 2 + 2i, y dar su representación geométrica en el plano SOLUCIÓN En primer lugar, debemos calcular el módulo y el ángulo del complejo. Ejemplo. El complejo z = 4 + 3i Luego la representación Polar del número complejo es: z = Z (cos θ + isen θ) z = 2√2 (cos45° + i sen45°) Representación en el plano complejo

y 2 1 x x 2 1 1 2 1 2 y

Z = 2

Cálculo del módulo del complejo ² =׀Z׀ ² 2 =׀Z׀ 2 ² 4√ =׀Z׀ 4 8√ =׀Z׀ 4.2√ =׀Z׀ 2√2 =׀Z׀

Cálculo del argumento o amplitud (Para calcular el ángulo se puede utilizar la calculadora de mano )

tan θ =

tan θ =

tan θ = 1 θ = arc tan 1 θ = 45°

45°

125

Un número complejo en el segundo cuadrante, hallar la forma polar del número complejo w = -3 + 4i, y dar su representación geométrica en el plano. SOLUCIÓN En primer lugar, debemos calcular el módulo y el ángulo del complejo. Ejemplo. El complejo z = 4 + 3i Luego la representación Polar del número complejo es: z = Z (cos θ + isen θ) z = 5 (cos126,87° + i sen126,87°)

y 6

5 4 3 2 x 1 x 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 y 6

Un número complejo en el tercer cuadrante, hallar la forma polar del número complejo Y = -3 + -4i, y dar su representación geométrica en el plano.

z = -3+4i

Cálculo del módulo del complejo ² =׀W׀ ² 3 =׀W׀ 4 ² 9√ =׀W׀ 16 25√ =׀W׀ 5 =׀W׀


tan θ =

tan θ =

tan θ = 43

θ` = arc tan 43

NOTA. Calculamos el ángulo usando la calculadora, pero teniendo mucho cuidado, pues la calculadora sólo nos da ángulos θ en el intervalo -90° θ 90°, al usar la tecla arctan. El ángulo dado por la calculadora es: θ` = -53,13°

El argumento principal de w es:

θ = 180° + θ` = 180° - 53,13° = 126,87°

126,86°

126

SOLUCIÓN En primer lugar, debemos calcular el módulo y el ángulo del complejo. Ejemplo. El complejo z = 4 + 3i Luego la representación polar del número complejo es: Y = Z (cos θ + isen θ) Y = 5 (cos233,13° + i sen233,13°)

Un número complejo en el cuarto cuadrante, hallar la forma polar del número complejo W= 1 + -2i, y dar su representación geométrica en el plano. SOLUCIÓN

En primer lugar, debemos calcular el módulo y el ángulo del complejo.

y 6

5 4 3 2 x 1 x 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 y 6

Cálculo del módulo del complejo ² =׀W׀ ² 3 =׀W׀ 4 ² 9√ =׀W׀ 16 25√ =׀W׀ 5 =׀W׀


tan θ =

tan θ =

tan θ =

θ` = arc tan

θ` = 53,13°

NOTA. Sabemos que este es un ángulo correspondiente al primer cuadrante, pero como la componente real de Y es negativa, al igual que su componente compleja, cualquier argumento de Z debe estar en el tercer cuadrante. Al ángulo hallado le sumamos 180° para obtener un argumento positivo. Luego θ = 180° + θ´= 180° + 53,13° = 233,13° Por lo tanto, la forma polar de Y es Y = 5 (cos233,13° + i sen233,13°)

z = -3+-4i

233,13°

EjempLuegoW = Z W = Activ Deterrepre

a)

CálculocompleW = W = W = W =

plo. El como la represeZ (cos θ + is

(cos296,5

idad intra-

rminar la esentación

)

o del móduejo

plejo z = 4 entación posen θ)

55 + i sen

-clase

forma polgeométric

x 3

ulo del

+ 3i olar del núm

296,55 )

lar de losca en el pla

x 3 2 1

mero compl

s siguienteano.

y

3

2

1

1 1

2 y

3

Cálculo(Para calcula

tan θ =

tan θ =

θ` = arc

θ` = -63,

NOTA: Ada un cuadran(Esta veconversile sumam θ = 360 Por lo taW = (

2

ejo es:

es número

x 2 3

o del argumar el ángulo se p

tan ,43

Al buscar eargumentote ez no se ión), y paramos 360

+ θ´= 360

anto, la form(cos296,55

z = -1+2i

296,55

os comple

mento o ampuede utilizar la c

el ángulo la o negativo

presentana llevarlo a

- 63,43

ma polar de + i sen29

ejos y dar

mplitud calculadora de m

calculadoro, en el c

n problemala forma po

= 296,55

e Y es 6,55 )

127

r su

mano )

ra nos cuarto

as de ositiva

grad

rad sen

cos

tg

b) c) d)

6) 7) 8) 9)

. Deterrepre

1) 2) 3) 4)

FUNC

PASOBINO

Dado uobtien

a = Z b = Z

Pasa

d 0 30

0 π/6 0

0

)) )

w = 3-2z = 1+ iw = 8+7i z = -5+4i Tarea Ext

rminar la esentación

w = 3-3z = -2-2iw = 8+7i z = -5+4i

CIONES TR

O DE LA

OMICA

un número cne de la sigui

cos θ sen θ

Ejemplo

ar a forma

45 60

π/4 π/3

i

tra – Clase

forma polgeométric

RIGONOME

FORMA P

complejo z yiente manera

o: Paso de

a binómic

90 120

π/2 2π/3

… -

e

lar de losca en el pla

ETRICAS D

POLAR DE

y su amplituda:

e forma p

ca el núm

0 135

3 3π/4 5

-1

s siguienteano.

DE ALGUN

E UN NÚM

d o argumen

polar a bin

mero comp

150 180

5π/6 π

0

-1

0

es número

NOS ANGU

MERO COM

nto θ, su form

nómica

plejo

210 225

7π/6 5π/

1

os comple

LOS

MPLEJO A

ma binómica

5 240 2

/4 4π/3 3

ejos y dar

A LA FOR

a se

270 300

3π/2 5π/3-1

0

… -

128

r su

RMA

e

315 33

7π/4 11π

-1

30 π/6

I.

II.

III.

IV.

V.

VI.

MultipEl proen sucuyo a z1 = Z

z2 = Z

z1. z2

SOLUCIÓNCalculamo

Calculamo

Por tanto,

Pasa los sig Ejercicios. Pasar a la f SOLUCIÓNCalculamoa = coCalculamoa = sePor tanto,z = 2 + 2i Operacio

plicación oducto de du forma polargumento

Z1 (cos 1 +

Z2 (cos 2 i

= Z1. Z2 (c = Z1. Z2 (c

= Z1. Z2 (c

N os la parte

os su parte

, su forma b

guientes núm

forma binóm

N os la parte s 45 os su parten 45 , su forma b

ones con n

dos númerolar, cuyo mes la suma

isen 1)

i sen 2

cos 1 + iseos 1 cos

cos 1 cos

• Mul

• Divi

• Pote

real:

e imaginaria

binómica es

meros compl

mica el siguie

real:

e imaginaria

binómica es

úmeros co

os complejomódulo es ea de sus arg

en 1) (cos2 + cos 1 is

2+ i²sen 1

tiplicación

sión

enciación

a:

s:

lejos a forma

ente numero

a:

s:

omplejos e

os en su foel productogumentos,

2 isen 2sen 2 ise

sen 2 c

a binómica

o polar escrit

en la forma

orma polar o de los mó

esto es:

n 1 cos 2

cos 1 isen

cos 45 =

sen 45 =

to en su form

a polar

es otro núódulos de

isen 1 ise

2 isen 1

=

=

ma polar 4

úmero complos factore

en 2)

cos 2

129

45

plejo es, y

130

= Z1. Z2 (cos 1 cos 2 - sen 1 sen 2 i cos 1 sen 2 sen 1 cos 2

Utilizando identidades trigonométricas tenemos:

= Z1. Z2 [ cos( 1 2) i sen 1 2

Ejemplo:Multiplicar los siguientes números complejos en su forma polar

z1 = 3 (cos45° + i sen45°) z2 = 4 (cos30° + i sen30°) z = Z1. Z2 [ cos( 1 2) i sen 1 2 z = 3.4 [ cos(45° 30°) i sen 45° 30° z = 12 [ cos(75°) i sen 75° Actividad intra-clase Expresar los siguientes números de la forma polar a la forma binómica z1 = 6(cos60° + isen60°)

z1 = 2(cos120° + isen120°)

z1 = √ (cos210° + isen210°)

z1 = √ (cos300° + isen300°)

z1 = √ (cos330° + isen330°)

Realizar las siguientes multiplicaciones

z1 = √ (cos210° + isen210°) y

z1 = √ (cos30° + isen30°) y

z1 = √ (cos330° + isen330°) y

z1 = √ (cos35° + isen35°) y

z1 = √ (cos45° + isen45°)

Cociente El cociente de dos números complejos, dados en su forma polar, es otro número complejo, también en forma polar, cuyo módulo es el cociente0 de los módulos, y cuyo argumento es la diferencia de los argumentos, esto es:

Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos cos (α + β) = cosα cosβ - senα senβsen (α + β) = senαcosβ + cosα senβ

z2 = 8(cos30° + isen30°)

z2 = 3(cos150° + isen150°)

z2 = √ (cos20° + isen20°)

z2 = √ (cos100° + isen100°)

z2 = √ (cos40° + isen40°)

131

z1 = Z1 (cos 1 + isen 1)

z2 = Z2 (cos 2 i sen 2

₁₂

₁ ₁ ₁₂ ₂ ₂

₁₂

₁ ₁ ₁₂ ₂ ₂

₁₂

₁ ₁ ₁ ₂ ₂₂ ₂ ₂ ₂ ₂

₁₂

₁ ₁ ₁ ₂ ₂₂ ₂ ₂ ₂ ₂

₁ ₁ ₂ ₁ ₂ ₁ ₂ ₁ ₂

₂ ₂ ₂

₁ ₁ ₂ ₁ ₂ ₁ ₂ ₁ ₂

₂ ₂ ₂

₁ ₁ ₂ ₁ ₂ ₁ ₂ ₁ ₂

₂ ₂ ₂

Utilizando identidades trigonométricas tenemos:

₁ ₁ ₂ ₁ ₂

₂

₁ ₁ ₂ ₁ ₂

₂ ₁ ₂ ₁ – ₂ ₁ ₂

Ejemplo: Dividir los siguientes números complejos dados en su forma polar

z1 = 12 (cos315° + i sen315°) z2 = 4 (cos300° + i sen300°)

Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos cos (α - β) = cosα cosβ + senα senβsen (α - β) = senαcosβ - cosα senβFórmula fundamental de la trigonometría: ₂ ₂

132

z

315°– 300° 315° 300° z 15° 5° Ejercicio z1 = 2 (cos200° + i sen200°) z2 = 2√2 (cos30° + i sen30°) z

√200°– 30° 200° 30°

z √

170° °

z √

170° ° Potenciación de un número complejo Teorema de moivre La potencia n-ésima de un número complejo en su forma polar tiene por módulo la potencia n-ésima de su módulo y por argumento el producto de su argumento por n. Es decir, si: z = Z (cos + isen )

(zn) = Zn (cos(n. + isen(n. )

Ejemplos

Ejemplo. Sea z = 2(cos30° + i sen30°) Calcule la potencia de orden cinco de este número, es decir, z5, luego encuentre la forma binómica del número encontrado. z5 = 25(cos(5 . 30°) + i sen(5 . 30°)) z5 = 32(cos150° + i sen150°)

Hallamos su forma binómica Encontramos el valor de a

a = Z cos θ a = 32 cos 150° a = -27.7 Encontramos el valor de b b = Z sen θ b = 32 sen 150° b = 16 El resultado es: -27,7 + 16i

Ejercicio Calcular z6, donde z = 3 + 4 i. Solución. En primer lugar, llevamos z a la forma polar. Para hallar el módulo hacemos lZl = 3 4

lZl = √9 16

lZl = √25

133

lZl = 5 Por otro lado, el ángulo viene dado por:

tan θ =

θ = arc tan θ = 53,13° Por lo tanto, tenemos a Z en forma polar z = 5(cos53,13° + i sen53,13°) Calculamos ahora z6

: z6

= 56(cos(6 . 53,13°) + i sen(6 . 53,13°)) z6= 15625(cos31853,78° + i sen31853,78°) Finalmente, llevamos este resultado a la forma cartesiana z6

= 15625(0,7522 – 0,6590)

z6= 11753,12 – 10296,12i

z6= 11753 - 10296i

Actividad intra-clase Realizar las siguientes divisiones

z1 = 2√2(cos210° + isen210°) y

z1 = 3(cos150° + isen150°) y

z1 = 12√3(cos330° + isen330°) y

Realizar las siguientes potenciaciones

1) z = 8(cos20° + isen 20°) Calcule la potencia de orden diez de este número, es decir, z10.

2) z = 8(cos120° + isen 120°) Calcule la potencia de orden cuatro de este número, es decir, z4.

Realice los siguientes ejemplos

3) z = -7 - 7i expresar en su forma polar y calcular loa potencia sexta de este

número y luego expresarlo en su forma binomica a su resultado

4) z = √3 + i expresar en su forma polar y calcular loa potencia sexta de este

número y luego expresarlo en su forma binomica a su resultado


z2 = 8(cos30° + isen30°)

z2 = 3√7(cos30° + isen30°)

z2= 2√2(cos20° + isen20°)

134

Expresar los siguientes números complejos en su forma polar y luego dividirlos 1) -4+8i √ +4i

2) - 4i

Expresar los siguientes números en su forma polar y calcule la potencia de pedida y el valor obtenido exprese en su forma cartesiana

5) 4-2i Calcule la potencia de orden doce de este número, es decir, z12.

4 - √ i Calcule la potencia de orden nueve de este número es decir, z9. + Calcule la potencia de orden cuarta de este número es decir, z4.

MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES

Introducción La definición de matriz aparece por primera vez en el año 1850, introducida por J.J. Silvestre. Sin embargo, hace más de dos mil años los matemáticos chinos habían descubierto ya un método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales y, por lo tanto, empleaban tablas con números. El desarrollo inicial de la teoría de matrices se debe al matemático W.R. Hamilton, en 1853. En 1858. Arthur Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, la misma que fue descrita en su publicación “Memorias sobre la teoría de matrices”. En esta publicación, Cayley daba la definición de matriz y las operaciones de suma entre matrices, de la multiplicación de un número real por una matriz, de la multiplicación entre matrices y de la inversa de una matriz. Cayley afirmaba que obtuvo la idea de matriz a través de la idea del determinante, considerándola como una forma conveniente para expresar transformaciones geométricas. las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales que surgen de problemas reales de producción, en la resolución de ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales, temas que se analizarán en cursos superiores de cálculo. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones, las matrices aparecen de forma natural en informática, geometría, estadística, economía, física, logística, etc. La utilización de matrices constituye actualmente una parte esencial de los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en la computadoras como tablas organizadas en filas y columnas: hojas de cálculo, bases de datos, entre otros.

7.1 MATRICES

135

Una matriz es una tabla ordenada de escalares aij j de la forma

La matriz anterior se denota también por (aij), i =1, ..., m, j =1, ..., n, o simplemente por (aij j).

Los términos horizontales son las filas de la matriz y los verticales son sus columnas. Una matriz con m filas y n columnas se denomina matriz m por n, o matriz m ð n.

Las matrices se denotarán usualmente por letras mayúsculas, A, B, ..., y los elementos de las mismas por minúsculas, a, b, ...

Ejemplo:

donde sus filas son (1, -3, 4) y (0, 5, -2) y sus

7.2 CLASES DE MATRICES

Según el aspecto de las matrices, éstas pueden clasificarse en:

7.2.1 Matrices cuadradas

Una matriz cuadrada es la que tiene el mismo número de filas que de columnas. Se dice que una matriz cuadrada n ð n es de orden n y se denomina matriz n-cuadrada.

Ejemplo: Sean las matrices

Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente.

7.2.2 Matriz identidad

Sea A = (aij) una matriz n-cuadrada. La diagonal (o diagonal principal) de A consiste en los elementos a11, a22, ..., ann. La traza de A, escrito tr A, es la suma de los elementos diagonales.

La matriz n-cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en cualquier otra posición, denotada por I, se conoce como matriz identidad (o unidad). Para cualquier matriz A,

136

A· I = I ·A = A.

7.3.3 Matrices triangulares

Una matriz cuadrada A = (a i j) es una matriz triangular superior o simplemente una matriz triangular, si todas las entradas bajo la diagonal principal son iguales a cero. Así pues, las matrices

son matrices triangulares superiores de órdenes 2, 3 y 4.

7.3.4 Matrices diagonales

Una matriz cuadrada es diagonal, si todas sus entradas no diagonales son cero o nulas. Se denota por D = diag (d11, d22, ..., dnn ). Por ejemplo,

son matrices diagonales que pueden representarse, respectivamente, por

diag(3,-1,7) diag(4,-3) y diag(2,6,0,-1).

7.3.5 Traspuesta de una matriz

La traspuesta de una matriz A consiste en intercambiar las filas por las columnas y se denota por AT.

Así, la traspuesta de

En otras palabras, si A = (aij) es una matriz m x n, entonces AT= es la matriz n x m. La transposición de una matriz cumple las siguientes propiedades:

1. (A + B)T = AT + BT.

137

2. (AT)T = A.

3. (kA)T = kAT (si k es un escalar).

4. (AB)T = BTAT.

7.3.6 Matrices simétricas

Se dice que una matriz real es simétrica, si AT = A; y que es antisimétrica,

si AT = -A.

Ejemplo:

Consideremos las siguientes matrices:

Podemos observar que los elementos simétricos de A son iguales, o que AT = A. Siendo así, A es simétrica.

Para B los elementos simétricos son opuestos entre sí, de este modo B es antisimétrica.

A simple vista, C no es cuadrada; en consecuencia, no es ni simétrica ni antisimétrica.

7.3.7 Matrices ortogonales

Se dice que una matriz real A es ortogonal, si AAT = AT A = I. Se observa que una matriz ortogonal A es necesariamente cuadrada e invertible, con inversa A-1 = AT.

Consideremos una matriz 3 x 3 arbitraria:

Si A es ortogonal, entonces:

7.3.8 Matrices normales

138

Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta, esto es, si AAT = ATA. Obviamente, si A es simétrica, antisimétrica u ortogonal, es necesariamente normal. Ejemplo:

Puesto que AAT = ATA, la matriz es normal.

7.3.9 Matriz escalonada.- se llama así a la matriz en la cual el número de ceros iniciales de una fila es menor al número de ceros iniciales de la siguiente. 2 3 -1 -4 3 2 5 -1 A = 0 3 -2 B = 0 0 2x2 C = 0 0 -2 0 0 11 3x3 0 0 0 3x3 7.3.10 Matriz escalonada reducida.- es una matriz escalonada en la cual el único elemento diferente de cero en cada fila y columna es 1. 1 0 0 0 1 1 0 0 A = 0 0 1 B = 0 0 2x2 C = 0 1 0 0 0 0 3x3 0 0 1 3x3

7.3.11 Matriz nula.- Cuando todos los elementos de una matriz son 0, la matriz se denomina nula y constituye el elemento neutro en la suma de matrices. Se designa por 0 y se expresa: 0 0 ... 0 0 = 0 0 .... 0 .................. 0 0 ... 0 mxn

7.3.12 Igualdad de matrices.- Dos o más matrices son iguales cuando tienen iguales los correspondientes elementos: es decir, si A =(aij)mxn y B = (bij)mxn, entonces A = B, si y solo sí, aij = bij. Ejemplo: 2 3 0 ½ log0,01 (27)1/3 Ln 1 Cos 60º A = 1 -1 -3 -4 B = 2º Sen 270º -9/3 -(2-2)-1 4 6 -7 5 3x4 22 2Tan2 60º -(49)1/2 (1/5)-1 3x4

139

Como cada elemento de A es correspondiente igual a cada elemento de B, se cumple que A = B, estrictamente. ACTIVIDADES INTRA / EXTRA CLASE 1. Sea: 1 0 2 3 3 0 1 0 1 3 2 0 1 3 A= 0 2 1 0 1 2 0 0 3 0 1 2 0 2 a) Indica el orden de A b)¿Cuáles son los elementos de la tercera fila? c) ¿Cuáles son los elementos de la quinta fila? d) Indicar el elemento a26 e) Indicar el elemento a32 2. Dadas las siguientes matrices, señalar cuáles son iguales. 1 1 A = 4 B = 1 4 9 C = 2² 9 3² 0 1² (v 2)² 0 1 2 E = 2-1 4/2 0 D= 1 2 0 2 0/2 50 2 0 1 x² x-1 4 2 F = x ( x+1) 2x G = 6 4 H = x .x x -1 x² + x x + x 3. Escriba tres ejemplos de matriz cuadrada e indique en cada una el orden y cuáles son los elementos a21, a33, a23. Señale además, los elementos que forman tanto la diagonal principal como la secundaria. 4. Escriba 4 ejemplos de matrices iguales, una cuadrada y dos no cuadradas.

7.4 OPERACIONES CON MATRICES

7.4.1 Suma y resta de matrices

Para poder sumar o restar matrices, éstas deben tener el mismo número de filas y de columnas. Es decir, si una matriz es de orden 3 x 2 y otra de 3 x 3, no se pueden

140

sumar ni restar. Esto es así ya que, tanto para la suma como para la resta, se suman o se restan los términos que ocupan el mismo lugar en las matrices.

Ejemplo:

Para sumar o restar más de dos matrices se procede igual. No necesariamente para poder sumar o restar matrices, éstas tienen que ser cuadradas.

Ejemplo:

-4 -2 10 ½ 6 -3/2 11 -3 A = ¼ 1 -3 4 B = -2 0 4 5 9 -4 5 -2 3x4 7 -7 -6 6 3x4

-4+6 -2+(-3/2) 10+11 ½+(-3) A + B = ¼ +(-2) 1+0 -3+4 4+5 9+7 -4+ (-7) 5+(-6) -2+6 2 -7/2 21 -5/2 A+B = -7/4 1 1 9

141

16 -11 1 4 3x4

7.4.2 Producto de matrices

Para poder multiplicar dos matrices, la primera debe tener el mismo número de columnas que filas la segunda. La matriz resultante del producto quedará con el mismo número de filas de la primera y con el mismo número de columnas de la segunda.

Es decir, si tenemos una matriz 2 x 3 y la multiplicamos por otra de orden 3 x 5, la matriz resultante será de orden 2 x 5.

(2 x 3) x (3 x 5) = (2 x 5)

Se puede observar que el producto de matrices no cumple la propiedad conmutativa, ya que en el ejemplo anterior, si multiplicamos la segunda por la primera, no podríamos efectuar la operación.

3 x 5 por 2 x 3,

puesto que la primera matriz no tiene el mismo número de columnas que filas la segunda.

Supongamos que A = (aij) y B = (bij) son matrices tales que el número de columnas de A coincide con el número de filas de B; es decir, A es una matriz m x p y B una matriz p x n. Entonces el producto AB es la matriz m x n cuya entrada ij se obtiene multiplicando la fila i de A por la columna j de B.

Esto es,

Ejemplo:

1.

2.

142

7.4.3 Producto por un escalar

El producto de un escalar k por la matriz A, escrito k·A o simplemente kA, es la matriz obtenida multiplicando cada entrada de A por k:

Ejemplo:

Entonces:

7.4.4 División de matrices

La división de matrices se define como el producto del numerador multiplicado por la matriz inversa del denominador. Es decir, sean las matrices A y B tal que A/B = AB-1

Si una matriz está dividida entre un escalar, todos los términos de la matriz quedarán divididos por ese escalar.

Ejemplo:

7.5 MATRICES INVERTIBLES

Se dice que una matriz cuadrada A es invertible, si existe una matriz B con la propiedad de que

AB = BA = I

siendo I la matriz identidad. Denominamos a la matriz B la inversa de A y la denotamos por A-1.

Ejemplo:

143

Puesto que AB = BA = I, A y B son invertibles, siendo cada una la inversa de la otra.

Método de Gauss

Sea A = (aij) una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A-1, seguiremos los siguientes pasos:

Paso 1.

Construir la matriz n x 2n M = (A I ) esto es, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha.

Paso 2. Se deja tal y como está la primera fila de M, y debajo del primer término de la diagonal principal, a11, que llamaremos pivote, ponemos ceros. Luego se opera como se indica en el siguiente ejemplo.

Ejemplo:

Consideremos una matriz 3 x 3 arbitraria

Paso 1.

Paso 2.

El siguiente paso es igual que el anterior, pero esta vez se coge como pivote el segundo término de la diagonal principal.

144

Al llegar al último término de la diagonal, se procede igual que antes, pero poniendo los ceros encima del nuevo pivote. Se observa que al coger como pivote el último término de la diagonal, la matriz A se transforma en una matriz triangular.

Una vez realizados todos los pasos, la mitad izquierda de la matriz M se convierte en una matriz diagonal. En este momento hay que proceder a transformar, si es que no lo está, la mitad izquierda en la matriz identidad, dividiendo si fuera necesario las filas de M por un escalar.

Ejemplo:

Supongamos que queremos encontrar la inversa de

Primero construimos la matriz M = (A I),

La mitad izquierda de M está en forma triangular, por consiguiente, A es invertible. Si hubiera quedado toda una fila con ceros en la mitad A de M, la operación habría terminado (A no es invertible).

A continuación, cogemos como pivote a33, ponemos ceros encima de éste y seguimos operando hasta que nos quede una matriz diagonal.

Ya que la matriz colocada en la mitad izquierda es diagonal, no hay que operar más. Transformamos la matriz diagonal en una matriz identidad; para ello hay que dividir la segunda fila entre -1:

145

La matriz que ha quedado en la mitad derecha de M es precisamente la matriz inversa de A:

Para comprobar si el resultado es correcto, se procede a multiplicar AA-1, teniendo que dar como resultado la matriz identidad I.

Comprobación:

AA-1 = I

ACTIVIDADES INTRA / EXTRA CLASE 1. Sumar las siguientes matrices: 3 2 -2 3 A = -1 -1 B = 1 -1 0 3 2 -2 2. Encontrar los productos de matrices: 1 3 a) 2 -1 1 0 -1 1 3 -2 -2 2 b) 2 -3 -1 -4 3 1 2 2 0 1 0 -1 3. Hallar la inversa de: 1 -1 1 0 2 -1 2 3 0

Sean

146

a) ¿Qué clase de matrices son?

b) Calcular:

- A - B + C.

A + B - C.

3A + C/2.

c) Calcular:

(A · B) /C.

d) Calcular la inversa de A (A-1) y comprobar el resultado.

7. 6 APLICACIONES DE LAS MATRICES

7.6.1 MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

La matriz ampliada M de un sistema de m ecuaciones con n incógnitas es la siguiente:

Cada fila de M corresponde a una ecuación del sistema y cada columna a los coeficientes de una incógnita, excepto la última, que corresponde a las constantes del sistema.

Un sistema de ecuaciones lineales puede resolverse trabajando con su matriz ampliada, específicamente, reduciéndola a forma escalonada mediante el proceso de Gauss.

Método de Gauss

Para resolver sistemas de ecuaciones lineales, se aplica el método de Gauss. Este proceso se ilustra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo:

Sea el sistema,

147

su matriz ampliada asociada es

Ahora resolvemos por el método de Gauss sabiendo que la primera columna corresponde a los coeficientes de la x, la segunda a los de la y, la tercera a los de la z y la cuarta a los términos independientes:

De este modo, el sistema se llama consistente porque tiene solución única

x = 2, y = -1, z = 3.

La resolución de sistemas de ecuaciones lineales por matrices, aplicando el método de Gauss u otros, es una de las múltiples aplicaciones que tienen éstas.

a) Hallar el valor de x, y, z, t en los siguientes sistemas de ecuaciones lineales aplicando matrices:

a) La matriz M asociada al sistema de ecuaciones es:

148

La tercera fila se suprime, puesto que es múltiplo de la segunda y resultaría una fila nula. Así, el sistema queda formado por dos ecuaciones con cuatro incógnitas:

La solución del sistema es compatible e indeterminado, esto es, tiene infinitas soluciones.

x = -9 - y + 10t

z = 7t - 7 ó (- 9 - y + 10t, y, 7t - 7, t).

Dependiendo de qué valores se escojan para y y t, salen distintos resultados. Así, para y = t = 0 tendremos la solución del sistema

x = -9, y = 0, z = -7, t = 0.

b) La matriz M asociada al sistema de ecuaciones es:

No hay necesidad de continuar calculando nada más, puesto que la matriz escalonada ya nos indica que el sistema es incompatible (SI), es decir, que no tiene solución. Específicamente, la tercera fila de la matriz escalonada corresponde a la ecuación

0x + 0y + 0z + 0t = -5

obteniendo como resultado 0 = -5, que es absurdo. Por lo tanto, decimos que no tiene solución.

Ejemplo 1: Sistema consistente con solución única.

p(x,y,z): ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−+−=++=+−

1022342732

zyxzyxzyx

149

Solución:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−

1047

223112321

f1 (-2) + f2

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−−

−

10223105507321

f1(3) + f3

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−

11740105507321

f2 (1/5) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−

117402110

7321 f2(4) + f3

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−

−

33002110

7321 f3(1/3)

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−

−

11002110

7321

De la última fila de la matriz escalonada se obtiene la siguiente ecuación (o)x + (0)y +( 1)z = 1 z = 1 Por sustitución regresiva, en la segunda fila: (1)y + (-1)z = -2 y – z = -2 y = z -2 y = 1 – 2 y = -1 (1)x + (-2)y + 3z = 7 x -2y + 3z = 7 x = 2y – 3z + 7 x = 2(-1) – 3(1) + 7 x = -2 -3 +7 x = 2 Y en la primera fila: Comprobando para cada ecuación del S.E.L. original: (2) – 2(-1) + 3(1) = 2 +2 +3 = 7 2(2) + (-1) + (1) = 4 – 1 +1 = 4 -3(2) + 2(-1) – 2(1) = -6 -2 -2 = -10 El conjunto de verdad del predicado p (x,y,z) es: Ap (x, y, z) = (x, y ,z)/(x=2) ∧ (y = -1) ∧ (z = 1) Ap (x, y, z) = (2, -1, 1) Ejemplo 2: Sistema consistente con infinitas soluciones.

p(x, y, z): ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−−−=−+−

−=++−

0723432

1

zyxzyx

zyx

Solución:

150

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−−−−

072343211111

f1(-1) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−−

−−

07234321

1111 f1 + f2

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−

−−

07233410

1111 f1 (-3) + f3

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−

−−

34103410

1111 f2(-1) + f3

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−

−−

00003410

1111

De la última fila de la matriz escalonada se obtiene la siguiente ecuación: (0)x +(0)y + (0)z = 0 z = t; t∈ R ( t es una variable libre) Por sustitución regresiva: y -4z = -3 x – y –z = 1 y – 4t = -3 x = 1 +y +z y = -3 + 4t x = 5t -2 El conjunto de verdad del predicado p (x, y,z), es: Ap (x, y, z) = (5t -2, 4t – 3, t) / ∀t ∈ R Ejemplo 3 : Sistema inconsistente

p(x, y, z) : ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−+−=+−

=+−

123224

12

zyxzyx

zyx

Solución :

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−−

111232241112

f1(1/2)

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−

−

1112322421

21

211

f1(-4) + f2

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−

1112100021

21

211

f1(2) + f3

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ −

0000100021

21

211

Podemos notar que las filas 2 y 3 de la matriz tienen situaciones contradictorias: (0z =0) ∧ (0z =1) No existen valores de z que satisfagan ambas ecuaciones lineales, por lo tanto: Ap (x, y, z) = Φ Ejemplo 4: Sistema de ecuaciones lineales:

151

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=++=+−=+−

123985

23

azyxzyx

bzyx

Determine los valores de a y b, a ∈ R ∧b ∈ R, para que el S.E.L.: a) Tenga solución única. b) Tenga infinita cantidad de soluciones c) No tenga solución. Solución: Debemos empezar expresando matricialmente el S.E.L de acuerdo a la forma Ax = b, así:

Construimos la matriz aumentada del sistema: ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

1123985

123

a

b

Utilizando el método de Gauss, llevamos la matriz de los coeficientes a su forma escalonada:

f1 (1/3)

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−

112398533

1321

a

b

f1 (-5) + f2

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

+−−

−

1123

95322

3140

331

321

a

b

b

f1(-2) + f3

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

+−−

−

323

323

370

395

322

3140

331

321

ba

b

b

f2(-3/14)

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−−

−

323

323

370

1495

71110

331

321

ba

b

b

f3 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

73

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−−

−

723

72310

795

71110

331

321

ba

b

b

f2(-1) + f3

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+−+

−−

−

1439

79300

1495

71110

331

321

ba

b

b

En esta última matriz, analizamos la última fila de la manera siguiente: a) Para que el sistema tenga solución debe cumplirse que:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ≠∧−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ≠

+−∧⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ≠

+31)3(,,0

14390

793 baesdecirba

b) Para que el sistema tenga infinita cantidad de soluciones, debe cumplirse que:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ =∧−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ =

+−∧⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ =

+31)3(,,0

14390

793 baesdecirba

152

c) Para que el sistema no tenga solución deberá cumplirse que:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ≠∧−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ≠

+−∧⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ =

+31)3(,,0

14390

793 baesdecirba

Así como se ha utilizado el método de Gauss en varios ejemplos , también podemos utilizar el método de Gauss-Jordan para encontrar de manera directa las soluciones, sin aplicar sustitución regresiva.Otra forma de resolver un S.E.L, es empleando la representación matricial, de la siguiente manera: Ax =b Representación matricial del S.E.L. A-1Ax = A-1b Multiplicación por izquierda de la inversa A-1 Ix = A-1b Propiedad de la inversa x = A-1b Solución del S.E.L. Esta última expresión nos sugiere que el vector de las incógnitas x del S.E.L puede ser encontrado multiplicando la inversa de la matriz de los coeficientes A por la matriz de los términos independientes b. En este caso, si det(A)≠0 el sistema tiene solución única. Por el contrario, si la matriz A no es inversible (det(A)=0), se puede concluir que el S.E.L es inconsistente o tiene infinitas soluciones. 2x - 2y-z = 3 Resolver el sistema: 2x – y +z = 4 x – 2y +3z = 3 2 -2 -1 3 2 0 -4 0 2 -1 1 4 = 0 3 -5 -2 1 -2 3 3 0 -4 10 6 R1 – R3 3R3 + 4R2 R2 -2R3 3R3 – R1

2 0 -4 0 10 0 0 20 = 0 3 -5 -2 0 6 0 6 0 0 10 10 = 0 0 1 1 5R1 – 2R3 (1/10)R1 2R2 + R3 (1/6)R2 (1/10) 1 0 0 2 = 0 1 0 1 0 0 1 1 De esto se tiene que: x =2; y = 1; z = 1 1.- Comprobar que cualquier matriz cuadrada M se puede expresar de forma única como suma de dos matrices, una simétrica y otra antisimétrica.

153

2.- a) Hallar dos matrices X e Y de dimensión 2x3 tales que ⎩⎨⎧

=+=+

BY2X4AYX3

.

b) Misma cuestión para el caso concreto ⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=5

212

0123

A y ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

812243

B .

3.- a) Hallar 3A , siendo ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

α−ααα

=01sen10cos

sencos0A .

b) Hallar una matriz B tal que ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −=

27003880171

B3 .

c) Hallar Nn ,Cn ∈ , donde ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

100110011

C .

4.- Resolver la ecuación 0

x3x2x1x23x31x22x3

xxx11111

22

32

=

++++

.

5.- Hallar la inversa de la matriz ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=

153042231

A y escribir A como producto de

matrices elementales.

6.- Mismo ejercicio para la matriz 1 3 2

A 2 4 01 5 6

−⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

.

7.- Discutir, en función del parámetro a, el siguiente sistema de ecuaciones lineales

( )( )⎪

⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=+++

=++=++=++

83a- z6ay2x45-3a- z2ay-x

4- 3zy x21 zy2x

2

8.- Sean A, B ( )RM 4∈ , con 4A = y 3B −= . Calcular:

B A , 1A− , A5 , 3A , tB y B− . 9.- Sea B ( )RM 4∈ inversible. Resolver el siguiente sistema matricial:

⎩⎨⎧

=+

=+

0BYXBB2YBX

3

154

Hallar X e Y para el caso concreto

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−

=

1111111111111111

B

10.- Resolver el sistema lineal siguiente BAX = mediante el método de Gauss:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

1075

zyx

254132301

15.- Sea la matriz ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=2aba

a1a2100a

A ; se pide:

EJERCICIOS PROPUESTOS

1.- Sean A y B matrices cuadradas de orden n. Probar que si I-AB es invertible, entonces I-BA también es invertible y que ( ) ( ) AABIBIBAI 11 −− −+=− . Nota: I es la matriz unidad de orden n. 2.- Sea A una matriz cuadrada de orden n tal que 0IA2A 2 =++ . Entonces A es invertible.

3.- Demostrar que la matriz ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

111111111

A verifica la relación: Nn ,A3A 1nn ∈= − .

4.- Hallar p y q para que se verifique la ecuación: )0(qIpAA 2 =++ siendo

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2112

A e ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1001

I .

5.- Hallar las matrices inversas de las siguientes matrices:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

xcossenxsenxxcos

A , ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−=

325436752

B ,

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−−−

=

111111111111

1111

C .

6.- Probar que tAA y AA t son siempre matrices simétricas. ¿Es conmutativo el producto anterior? Mostrar también que AA t+ es simétrica, si A es cuadrada; ¿qué sucede con tAA − ?

7.- a) Hallar la inversa de ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−

=423352231

A b) Escribir A como producto de matrices

elementales.

9.- Sea ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

100110111

A , se pide:

a) Calcular 2A , 3A y dar la expresión general de nA .

155

b) Comprobar que IA3A3A 23 =+− . c) Obtener 1A− .

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS

3.- ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ab0a

; 4.- p = - 4, q = 3;

5.- ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=−

xcossenxsenxxcos

A 1 , ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−=−

242927344138111

B 1 ,

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−−−

=−

111111111111

1111

41C 1

6.- En general AAAA tt ≠ , tAA − es antisimétrica; 7.- a) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−=−

11119110171814

A 1

, b)

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

100010201

100010031

100010001

100110001

1110010001

103010001

100012001

A .

9.-

( )

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ +

=100n102

n1nn1

An , ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−=−

100110

011A 1 .

10 . En las elecciones para Alcalde del PUEBLITO PAISA se han presentado tres candidatos (A,B,C). El Pueblito se ha dividido en 5 zonas de votación. Elk reporte de votos de la zona se recibe en orden: primero la zona 1, la 2, etc. Elabore una aplicación que: a. Forme una matriz de 5 filas y 3 columnas que contenga, en cada fila, los votos reportados por las zonas para cada uno de los tres candidatos. b. Encuentre el total de votos obtenidos por cada candidato y el porcentaje que éste representa. c. Muestre un mensaje declarando ganador a un candidato, si éste obtuvo más del 50% de la votación. De lo contrario muestre un mensaje indicando: “No hay ganador

7.7 DETERMINANTES

A cada matriz n-cuadrada A = (ai j ) se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por det (A), | A | o

156

Una tabla ordenada n x n de escalares situada entre dos líneas verticales, llamada determinante de orden n, no es una matriz.

La función determinante apareció por primera vez en el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales. Veremos que es una herramienta indispensable en el estudio y obtención de éstas.

7.7.1 DETERMINANTES DE ORDEN UNO Y DOS

Los determinantes de orden uno y dos se definen como sigue:

= a11

Así, el determinante de una matriz 1 x 1 A = (a11) es el propio escalar a11, es decir, det (A) = |a11| = a11.

Ejemplos:

a) Dado que el determinante de orden uno es el mismo escalar, tenemos det (24) = 24, det(-3) = -3, det (3x+5) = 3x+5.

b)

7.7.2 DETERMINANTES DE ORDEN TRES

Consideremos una matriz 3 x 3 arbitraria A = (ai j ). El determinante de A se define como sigue:

a12a21a33 - a32a23a11

157

Obsérvese que hay seis productos, cada uno formado por tres elementos de la matriz. Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo negativo (cambian su signo).

Para calcular los determinantes de orden tres, el siguiente diagrama puede ayudar a resolverlos:

Ejemplo:

Calcular el valor del determinante:

= 24 + 20 + 0 - (-4) - 0 - (-15) = 44 + 4 + 15 = 63

El determinante de la matriz 3 x 3 A = (ai j ) puede reescribirse como:

det (A) = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31) =

que es una combinación lineal de tres determinantes de orden dos, cuyos coeficientes (con signos alternantes) constituyen la primera fila de la matriz dada. Esta combinación lineal puede indicarse de la forma siguiente:

Nótese que cada matriz 2 x 2 se obtiene suprimiendo en la matriz inicial la fila y la columna que contienen su coeficiente.

Ejemplo:

Para demostrar que la propiedad anterior se cumple, trabajaremos con :

158

= 3(8+5) - 2(0-10) + 1(0+4) = 39 + 20 + 4 = 63

= 3(8+5) - 2(0-10) + 1(0+4) = 39 + 20 + 4 = 63

7.7.3 PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

Las propiedades básicas del determinante son las siguientes:

1. El determinante de una matriz A y el de su traspuesta AT son iguales, es decir,

2. Sea A una matriz cuadrada,

a) Si A posee dos filas (columnas) iguales, necesariamente = 0.

b) Si A es triangular, esto es, A sólo tiene ceros por encima o por debajo de la diagonal principal, entonces es igual al producto de los elementos de la diagonal.

3. Supongamos que B se ha obtenido de A mediante una operación elemental entre filas o columnas,

a) Si se han intercambiado dos filas (columnas) de A, |B| = - |A|.

b) Si se ha sumado un múltiplo de una fila (columna) a otra, entonces |B| = |A|.

c) Si se ha multiplicado una fila (columna) de A por un escalar k, |B| = k|A|.

4. Sea A cualquier matriz n-cuadrada, son equivalentes los siguientes principios:

a) A es invertible, es decir, A tiene inversa A-1.

b) AX = 0 tiene solamente la solución trivial.

c) El determinante de A no es nulo: |A| x 0.

5. El determinante es una función multiplicativa. Es decir, el determinante del producto de matrices A y B es el producto de los determinantes: |AB| = |A| |B|.

6. Supongamos que A y B son matrices similares, entonces: |A| = |B|.

7.7.4 DETERMINANTE DE ORDEN ARBITRARIO

159

Sea A = (ann) una matriz de orden arbitrario n X n (siendo n un número par). Para calcular el det (A) se procede de la siguiente manera:

Los signos se van alternando según la posición que ocupen las entradas del determinante. Es decir:

Ejemplo:

Si observamos la matriz, podemos ver que en la tercera columna hay dos ceros. Así pues, si cogemos las entradas de la tercera columna para calcular el determinante, nos ahorraremos calcular dos determinantes, ya que el producto de un determinante por cero es cero.

= -1(-35) + 3(35) = 35 + 105 = 140.

Calcular los siguientes determinantes:

160

= 2(-6-24+16+2)+ 5(-4-24+6)-1(4+12-16-3) = -24-110+3 = -131.

= 1·(16+0+24-(-4)-(-30)-0) -2·(-128-2+30-(-40)-12-(-16)) = 74-2·(-56) =

= 74+112 = 186.

7.7.5 ADJUNTO DE UNA MATRIZ

Consideremos una matriz n-cuadrada A = (ai j) sobre un cuerpo K. El adjunto de A, denotado por adj A, es la transpuesta de la matriz de cofactores de A:

Ejemplo:

Los cofactores de los nueve elementos de A son:

La traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto de A:

161

Aplicación del adjunto para hallar la matriz inversa

Para toda matriz cuadrada A,

A·(adj A) = (adj A) · A = |A|I

De este modo, si |A| x 0,

Observemos que esta propiedad nos permite hallar por otro método la inversa de una matriz.

Ejemplo:

Consideremos la matriz

y el det A:

Así pues, aplicando la propiedad anterior:

7.7.6 APLICACION. DE LOS DETERMINANTES

En el tema de matrices y su aplicación a los sistemas de ecuaciones lineales, se vio cómo resolverlas mediante el teorema de Gauss. Con los determinantes, y aplicando

162

la regla de Cramer, veremos otra manera de calcular los sistemas de ecuaciones lineales.

Regla de Cramer

Los pasos a seguir para calcular los sistemas de ecuaciones según la regla de Cramer son los siguientes:

1. Hallar la matriz ampliada (A b) asociada al sistema de ecuaciones, esto es: que la primera columna esté formada por las entradas de los coeficientes de la primera incógnita de las ecuaciones; que la segunda columna la formen las de la segunda incógnita, y así hasta llegar a la última columna, que estará constituida por las entradas de los términos independientes de las ecuaciones.

2. Calcular el determinante de A.

3. Aplicar la regla de Cramer, que consiste en:

a) ir sustituyendo la primera columna del det (A) por los términos independientes;

b) dividir el resultado de este determinante entre el det (A) para hallar el valor de la primera incógnita;

c) continuar sustituyendo los términos independientes en las distintas columnas para hallar el resto de las incógnitas.

Ejemplo:

Sea el sistema de ecuaciones lineales formado por dos ecuaciones con dos incógnitas:

Encontrar el valor de x e y mediante la regla de Cramer.

Empezaremos con el primer paso, que consiste en hallar la matriz ampliada A b asociada al sistema de ecuaciones lineales:

El segundo paso es calcular el determinante de A. Así pues:

Y el tercero y último paso consiste en calcular las incógnitas:

163

Resolvamos el sistema mediante la regla de Cramer:

Calculamos el det (A):

Aplicando la regla de Cramer:

x = 68/23; y = -53/23; z = -42/23.

PREGUNTAS DE COMPROBACIÓN

1. ¿Qué es un sistema de ecuaciones lineales? Identifique sus elementos. 2. Un sistema de ecuaciones, ¿Qué tipos de conjuntos solución pueden

presentar? 3. Describa en que consiste el método de resolución de un sistema por

sustitución. 4. Describa el método de resolución por igualación. 5. Describa el método de resolución por reducción. 6. ¿Cuántas soluciones tiene un sistema formado por dos ecuaciones

equivalentes? ¿Cómo construiría un sistema de este tipo? 7. ¿Cuántas soluciones tiene un sistema formado por dos ecuaciones

incompatibles? ¿Cómo construiría un sistema de este tipo? 8. ¿Qué es un sistema sobredeterminado? ¿Cómo se lo resuelve? 9. Defina un sistema lineal homogéneo. 10. ¿Cuándo un sistema homogéneo de n ecuaciones lineales en n variables

tiene solución no trivial? ¿Cuándo tiene solución única y cuál es la solución?

164

11. Dé La definición de inecuación

ACTIVIDADES INTRA / EXTRA CLASE

DESTREZA. Seleccionar y aplicar procesos adecuados en la resolución de sistemas de ecuaciones 1. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones:

a)⎩⎨⎧

=−=+

652943

yxyx

d) ⎩⎨⎧

=−−=−+

0215302834

yxyx

b) ⎩⎨⎧

=−=−

351520734

yxyx

e) ⎩⎨⎧

=−−=−−

04570725

yxyx

c) ⎩⎨⎧

=+=+

20461323

yxyx

f) ⎩⎨⎧

=−−−=−+

01355,701745,2

vuvu

2. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−−=+

=

32482

3

zyxyx

x b)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−=+

=+−

282

723

vwwu

wvu

c) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=−+

=+

225832

3083

zyxzyx

yx d)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−−=+

=++

1382

50243

tssr

tsr

e) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+=+−=++

725231432

zyxzyxzyx

f) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−+−=+−=++

11531275

1913564

zyxzyx

zyx

g) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+−−=+−

−=+−

57211565,475,175,125

19752

zyxzyx

zyx h)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=++=−+

=−−

52535242

42

zyxzyx

zyx

i) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−−−=−−+=−+−

.010232;042;053

zyxzyxzyx

j)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−+−=++=++=++

.14332;75

;53;22

321

321

321

321

xxxxxxxxxxxx

165

k)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−+=++=−+−=−+

.132;3;122;13

321

321

321

321

xxxxxx

xxxxxx

l) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+−=−++=−++

.05524;016223

;01332

tsrtsrtsr

m)

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=+−

=++

=++

.5

147407

52

;76364

5

;5872

53

zyx

zyx

zyx

n) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+−−=+−=−+

.31126;153105

;11172

rqprqp

rqp

ACTIVIDAD GRUPAL Resolver los siguientes sistemas por tres métodos: eliminación, matriz aumentada y determinantes: a) x + y –z = 1 b) 2x –y +z = -1 x –y-+z = 1 x -y –z = 4 -x +y +z = 1 6x +y + z = 0 c) x + y = 1 d) x + y + z = 0 y + z = 2 y + z = 6 x –z = 4 z = 1 e) x + y +z = 11 x –y + 3z = 13 2x +2y –z = 7

SUCESIONES Y PROGRESIONES

Concepto de sucesión

Se llama sucesión a un conjunto de números dispuestos uno a continuación de otro.

a1, a2, a3 ,..., an

3, 6, 9,..., 3n

Los números a1, a2 , a3 , ...; se llaman términos de la sucesión.

El subíndice indica el lugar que el término ocupa en la sucesión.

El término general es an es un criterio que nos permite determinar cualquier término de la sucesión.

166

Determinación de una sucesión:

Por el término general

an= 2n-1

a1= 2 ·1 - 1 = 1

a2= 2 ·2 - 1 = 3

a3= 2 ·3 - 1 = 5

a4= 2 ·4 - 1 = 7

1, 3, 5, 7,..., 2n-1

No todas las sucesiones tienen término general. Por ejemplo, la sucesión de los números primos:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,...

Por una ley de recurrencia

Los términos se obtienen operando con los anteriores.

Escribir una sucesión cuyo primer término es 2, sabiendo que cada término es el cuadrado del anterior.

2, 4, 16, ...

Sucesión de Fibonacci

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ...

Los dos primeros términos son unos y los demás se obtienen sumando los dos términos anteriores.

Operaciones con sucesiones

Dadas las sucesiones an y bn:

an= a1, a2, a3, ..., an

167

bn= b1, b2, b3, ..., bn

Suma de sucesiones

(an) + (bn) = (an + bn)

(an) + (bn) = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3, ..., an + bn)

Propiedades

1 Asociativa:

(an + bn) + cn = an + (bn + c n)

2 Conmutativa:

an + bn = bn + a n

3 Elemento neutro

(0) = (0, 0, 0, ...)

an + 0 = an

4 Sucesión opuesta

(-an) = (-a1, -a2, -a3, ..., -an)

an + (-an) = 0

Diferencia de sucesiones

(an) - (bn) = (an - bn)

(an) - (bn) = (a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3, ..., an - bn)

Producto de sucesiones

(an) · (bn) = (an · bn)

(an) · (bn) = (a1 · b1, a2 · b2, a3 · b3, ..., an · bn)

Propiedades

1 Asociativa:

(an · bn) · c n = an · (bn · c n)

2 Conmutativa:

an · bn = bn · a n

168

3 Elemento neutro

(1) = (1, 1, 1, ..)

an · 1 = an

4 Distributiva respecto a la suma

an · (bn + c n) = an · bn + an · c n

Sucesión inversible

Una sucesión es inversible o invertible si todos sus términos son distintos de cero. Si la sucesión bn es inversible, su inversa es:

Cociente de sucesiones

Sólo es posible el cociente entre dos sucesiones si el denominador es inversible.

Idea intuitiva del límite de una sucesión

El límite de una sucesión es el número al cual se van aproximando los términos de una sucesión.

a1= 1

a2= 0.5

a1000= 0.001

a1000 000 = 0.000001

169

El límite es 0.

a1= 0.5

a2= 0.6666....

a1000= 0.999000999001

a1000 000 = 0.999999000001

El límite es 1.

a1= 5

a2= 7

a1000= 2 003

a1000 000 = 2 000 003

Ningún número sería el límite de esta sucesión, el límite es ∞.

Límite finito de una sucesión

Una sucesión an tiene por límite L si y sólo si para cualquiera número positivo ε que tomemos, existe un término ak, a partir del cual todos los términos de an, siguientes a ak cumplen que |an−L| < ε.

La sucesión an = 1/n tiene por límite 0.

Se puede determinar a partir de que término de la sucesión, su distancia a 0 es menor que un número positivo (ε), por pequeño que éste sea.

Como k>10 a partir del a11 se cumplirá que su distancia a 0 es menor que 0.1.

170

Vamos a determinar a partir de que término la distancia a 0 es menor que 0.001.

A partir del a1001 se cumplirá que su distancia a 0 es menor que 0.001.

También podemos definir el límite de una sucesión mediante entornos:

Una sucesión an tiene por límite L si y sólo si para cualquier entorno de L que tomemos, por pequeño que sea su radio ε, existe un término de la sucesión, a partir del cual, los siguientes términos pertenecen a dicho entorno.

Límite infinito de una sucesión

Una sucesión an tiene por límite +∞ cuando para toda M>0 existe un término ak, a partir del cual todos los términos de an, siguientes a ak cumplen que an> M.

El límite de la sucesión an= n2 es +∞.

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...

Si M es igual a 10 000, su raíz cuadrada es 100, por tanto a partir de a101 superará a 10 000.

a101= 1012 = 10 201

Una sucesión an tiene por límite −∞ cuando para toda N >0 existe un término ak, a partir del cual todos los términos de an, siguientes a ak cumplen que an < −N.

171

Vamos a comprobar que el límite de la sucesión an= −n2 es −∞.

−1, −4, −9, −16, −25, −36, −49, ...

Si N = 10 000, su raíz cuadrada es 100, por tanto a partir de a101 superará a −10 000.

a101= −1012 = −10 201

EJERCICIOS RESUELTOS

Hallar el término general de las siguientes sucesiones:

a.-1 8, 3, -2, -7, -12, ...

3 - 8= -5

-2 - 3 = -5

-7 - (-2) = -5

-12 - (-7) = -5

d= -5.

an= 8 + (n - 1) (-5) = 8 -5n +5 = -5n + 13

b.- 2 3, 6, 12, 24, 48, ...

6 / 3 = 2

12 / 6 = 2

24 / 12 = 2

48 / 24 = 2

r= 2.

an = 3· 2 n-1

c.- 3 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...

22, 32, 42, 52, 62, 72, ...

172

Observamos que las bases están en progresión aritmética, siendo d = 1, y el exponente es constante.

bn= 2 + (n - 1) · 1 = 2 + n -1 = n+1

Por lo que el término general es:

an= (n + 1)2

d.- 5, 10, 17, 26, 37, 50, ...

22 +1 , 32 +1, 42 +1, 52 +1, 62 +1 , 72 +1, ...

Hallamos el término general como vimos en el caso anterior y le sumamos 1.

an= (n + 1) 2 + 1

e.- 6, 11, 18, 27, 38, 51, ...

22 +2 , 32 +2, 42 +1, 52 +2, 62 +2 , 72 +2, ...

an= (n + 1)2 - 1

Hallar el término general de las siguientes sucesiones

a 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...

b 6, 11, 18, 27, 38, 51, ...

c 3, 8, 15, 24, 35, 48, .

d 6, 11, 18, 27, 38, 51, ...

e 3, 8, 15, 24, 35, 48, .

Calcular el término general de las siguientes sucesiones:

a

b

c

d

173

e

f

g

h

i

j

k

PROGRESIONES ARITMÉTICAS

Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia que se representa por d.

8, 3, -2, -7, -12, ...

3 - 8 = -5

-2 - 3 = -5

-7 - (-2) = -5

-12 - (-7) = -5

d= -5.

Término general de una progresión aritmética

1 Si conocemos el 1er término.

an = a1 + (n - 1) · d

8, 3, -2, -7, -12, ..

an= 8 + (n-1) (-5) = 8 -5n +5 = = -5n + 13

2 Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión.

174

an = ak + (n - k) · d

a4= -7 y d= -5

an = -7+ (n - 4) · (-5)= -7 -5n +20 = -5n + 13

Interpolación de términos en una progresión aritmética

Interpolar medios diferenciales o aritméticos entre dos números, es construir una progresión aritmética que tenga por extremos los números dados.

Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m.

Interpolar tres medios aritméticos entre 8 y -12.

8, 3, -2, -7 , -12.

Suma de términos equidistantes de una progresión aritmética

Sean ai y aj dos términos equidistantes de los extremos, se cumple que la suma de términos equidistantes es igual a la suma de los extremos.

ai + aj = a1 + an

a3 + an-2 = a2 + an-1 = ... = a1 + an

8, 3, -2, -7, -12, ...

3 + (-7) = (-2) + (-2) = 8 + (-12)

-4 = -4 = -4

Suma de n términos consecutivos de una progresión aritmética

Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión : 8, 3, -2, -7, -12, ...

175

EJERCICIOS RESUELTOS

El cuarto término de una progresión aritmética es 10, y el sexto es 16. Escribir la progesión.

a 4 = 10; a 6 = 16

a n = a k + (n - k) · d

16 = 10 + (6 - 4) d; d= 3

a1= a4 - 3d;

a1 = 10 - 9 = 1

1, 4, 7, 10, 13, ...

Escribir tres medios artméticos entre 3 y 23.

a= 3, b= 23;

d= (23-3)/(3+1) = 5;

3, 8, 13, 18, 23.

Hallar la suma de los quince primeros múltiplos de 5.

a1= 5; d= 5; n = 15.

a n = a 1 + (n - 1) · d

a15 = 5 + 14 · 5 = 75

S15 = (5 + 75)· 15/2 = 600.

Hallar la suma de los quince primeros números pares mayores que 5.

a1= 6; d= 2; n= 15.

176

a15 = 6 + 14 · 2 = 34

S15= (6 + 34) · 15/2 = 300

EJERCICIOS POR RESOLVER

1.- Interpolar tres medios aritméticos entre 8 y -12.

3.- El primer término de una progresión aritmética es -1, y el décimoquinto es 27. Hallar la diferencia y la suma de los quince primeros términos.

3.- Hallar la suma de los quince primeros números acabados en 5.

4.- Hallar los ángulos de un cuadrilátero convexo, sabiendo que están en progresión aritmética, siendo d= 25º.

5.- El cateto menor de un triángulo rectángulo mide 8 cm. Calcula los otros dos, sabiendo que los lados del triángulo forman una progresión aritmética.

6.- Calcula tres números en progresión aritmética, que suman 27 y siendo la suma de sus cuadrados es 511/2.

Teoría de probabilidades

La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada posible resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es más probable que otro. Con este fin, introduciremos algunas definiciones:

Suceso

Es cada uno de los resultados posibles de una experiencia aleatoria.

Al lanzar una moneda salga cara.

Al lanzar una moneda se obtenga 4.

Espacio muestral

Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria, lo representaremos por E (o bien por la letra griega Ω).

Espacio muestral de una moneda:

E = C, X.

Espacio muestral de un dado:

E = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

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Suceso aleatorio

Suceso aleatorio es cualquier subconjunto del espacio muestral.

Por ejemplo al tirar un dado un suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3, y otro, sacar 5.

Ejemplo

Una bolsa contiene bolas blancas y negras. Se extraen sucesivamente tres bolas. Calcular:

1. El espacio muestral.

E = (b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b); (n, n,n)

2. El suceso A = extraer tres bolas del mismo color.

A = (b,b,b); (n, n,n)

3. El suceso B = extraer al menos una bola blanca.

B= (b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b)

4. El suceso C = extraer una sola bola negra.

C = (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b)

Tipos de sucesos

Suceso elemental

Suceso elemental es cada uno de los elementos que forman parte del espacio muestral.

Por ejemplo al tirar un dado un suceso elemental es sacar 5.

Suceso compuesto

Suceso compuesto es cualquier subconjunto del espacio muestral.

Por ejemplo al tirar un dado un suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3.

Suceso seguro

Suceso seguro, E, está formado por todos los posibles resultados (es decir, por el espacio muestral).

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Por ejemplo al tirar un dado un dado obtener una puntuación que sea menor que 7.

Suceso imposible

Suceso imposible, , es el que no tiene ningún elemento.

Por ejemplo al tirar un dado obtener una puntuación igual a 7.

Sucesos compatibles

Dos sucesos, A y B, son compatibles cuando tienen algún suceso elemental común.

Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 3, A y B son compatibles porque el 6 es un suceso elemental común.

Sucesos incompatibles

Dos sucesos, A y B, son incompatibles cuando no tienen ningún elemento en común.

Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 5, A y B son incompatibles.

Sucesos independientes

Dos sucesos, A y B, son independientes cuando la probabilidad de que suceda A no se ve afectada porque haya sucedido o no B.

Al lazar dos dados los resultados son independientes.

Sucesos dependientes

Dos sucesos, A y B, son dependientes cuando la probabilidad de que suceda A se ve afectada porque haya sucedido o no B.

Extraer dos cartas de una baraja, sin reposición, son sucesos dependientes.

Suceso contrario

El suceso contrario a A es otro suceso que se realiza cuando no se realiza A. Se denota por

Son sucesos contrarios sacar par e impar al lanzar un dado.

Regla de Laplace

Si realizamos un experimento aleatorio en el que hay n sucesos elementales, todos igualmente probables, equiprobables, entonces si A es un suceso, la probabilidad de que ocurra el suceso A es:

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Ejemplos

Hallar la probabilidad de que al lanzar dos monedas al aire salgan dos caras.

Casos posibles: cc, cx, xc, xx.

Casos favorables: 1.

En una baraja de 40 cartas, hallar la P (as) y P (copas).

Casos posibles: 40.

Casos favorables de ases: 4.

Casos favorables de copas: 10.

Calcular la probabilidad de que al echar un dado al aire, salga:

1 Un número par.

Casos posibles: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Casos favorables: 2, 4, 6.

2 Un múltiplo de tres.

Casos favorables: 3, 6.

3 Mayor que 4.

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Casos favorables: 5, 6.

Combinatoria y probabilidad

La combinatoria nos puede ser muy útil para calcular los sucesos posibles y favorables, al aplicar la regla de Laplace. Especialmente si hay un gran número de sucesos.

Ejemplos

1 Un grupo de 10 personas se sienta en un banco. ¿Cuál es la probabilidad de que dos personas fijadas de antemano se sienten juntas?

Casos posibles:

Casos favorables:

Si consideramos las dos personas que se sientan juntas como una sola persona habrá 9!; pero pueden estar de dos formas posibles a la izquierda uno de otro o a la derecha, por tanto se tiene 2 · 9!.

2Se extraen cinco cartas de una baraja de 52. Hallar la probabilidad de extraer:

4 ases.

4 ases y un rey.

3 cincos y 2 sotas.

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Un 9, 10, sota, caballo y rey en cualquier orden.

3 de un palo cualquiera y 2 de otro.

Hay cuatro formas de elegir el primer palo y tres formas de elegir al segundo palo.

Al menos un as.

Tablas de contingencia

Un método útil para clasificar los datos obtenidos en un recuento es mediante las tablas de contingencia.

Se trata de tablas en cuyas celdas figuran probabilidades, y en la cual podemos determinar unas probabilidades conociendo otras de la tabla.

Ejemplo

Se sortea un viaje a Roma entre los 120 mejores clientes de una agencia de automóviles. De ellos, 65 son mujeres, 80 están casados y 45 son mujeres casadas. Se pide:

1¿Cuál será la probabilidad de que le toque el viaje a un hombre soltero?

2Si del afortunado se sabe que es casado, ¿cuál será la probabilidad de que sea una mujer?

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Diagramas de árbol

Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama para cada una de las posibilidades, acompañada de su probabilidad.

En el final de cada rama parcial se constituye a su vez, un nudo del cual parten nuevas ramas, según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible final del experimento (nudo final).

Hay que tener en cuenta: que la suma de probabilidades de las ramas de cada nudo ha de dar 1.

Ejemplos

Una clase consta de seis niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de tres al azar, hallar la probabilidad de:

1 Seleccionar tres niños.

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2Seleccionar exactamente dos niños y una niña.

3Seleccionar exactamente dos niñas y un niño.

1 Seleccionar tres niñas.

Calcular la probabilidad de que al arrojar al aire tres monedas, salgan:

Tres caras.

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Experimentos compuestos

Un experimento compuesto es aquel que consta de dos o más experimentos aleatorios simples.

Es decir, si tiramos un dado, o una moneda, son experimentos aleatorios simples, pero si realizamos el experimento de tirar un dado y posteriormente una moneda, estamos realizando un experimento compuesto.

En los experimentos compuestos es conveniente usar el llamado diagrama en árbol para hacerse una idea global de todos ellos.

PROBLEMAS

1.-Se sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola blanca, otra roja, otra verde y otra negra. Escribir el espacio muestral cuando:

a.-La primera bola se devuelve a la urna antes de sacar la segunda.

b.-La primera bola no se devuelve.

1La primera bola se devuelve a la urna antes de sacar la segunda.

E = BB, BR, BV, BN, RB, RR, RV, RN, VB, VR, VV, VN, NB, NR, NV, NN

1La primera bola no se devuelve

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E = BR, BV, BN, RB, RV, RN, VB, VR, VN, NB, NR, NV

2.-Una urna tiene ocho bolas rojas, 5 amarilla y siete verdes. Si se extrae una bola al azar calcular la probabiliidad de:

a.-Sea roja.

b.-Sea verde.

c.-Sea amarilla.

d.-No sea roja.

e.-No sea amarilla.

1Sea roja.

2Sea verde.

3Sea amarilla.

4No sea roja.

5No sea amarilla.

3.-Una urna contiene tres bolas rojas y siete blancas. Se extraen dos bolas al azar. Escribir el espacio muestral y hallar la probabilidad de los sucesos:

1.-Con reemplazamiento.

2.-Sin reemplazamiento.

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4.-Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas, 5 blancas y 6 negras, ¿cuál es la probabilidad de que la bola sea roja o blanca? ¿Cuál es la probabilidad de que no sea blanca?

5.-En una clase hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, cinco alumnos rubios y 10 morenos. Un día asisten 45 alumnos, encontrar la probabilidad de que un alumno:

1.-Sea hombre.

2.-Sea mujer morena.

3.-Sea hombre o mujer.

6.-Un dado está trucado, de forma que las probabilidades de obtener las distintas caras son proporcionales a los números de estas. Hallar:

1La probabilidad de obtener el 6 en un lanzamiento.

2La probabilidad de conseguir un número impar en un lanzamiento.

7.-Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. Se pide:

a.-La probabilidad de que salga el 7.

b.-La probabilidad de que el número obtenido sea par.

c.-La probabilidad de que el número obtenido sea múltiplo de tres.

8.-Se lanzan tres dados. Encontrar la probabilidad de que:

a.-Salga 6 en todos.

b.-Los puntos obtenidos sumen 7.

9.-Hallar la probabilidad de que al levantar unas fichas de dominó se obtenga un número de puntos mayor que 9 o que sea múltiplo de 4.

10.-Busca la probabilidad de que al echar un dado al aire, salga:

a.-Un número par.

b.-Un múltiplo de tres.

c.-Mayor que cuatro.

11.-Hallar la probabilidad de que al lanzar al aire dos monedas, salgan:

a.-Dos caras.

b.-Dos cruces.

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c.-Una cara y una cruz.

12.-En un sobre hay 20 papeletas, ocho llevan dibujado un coche las restantes son blancas. Hallar la probabilidad de extraer al menos una papeleta con el dibujo de un coche:

a.-Si se saca una papeleta.

b.-Si se extraen dos papeletas.

c.-Si se extraen tres papeletas.

BIBLIOGRAFIA es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_seno - 31k www.virtual.unal.edu. co/cursos/sedes/medellin/nivelacion/uv00005 /lecciones/unidad3/taller3.htm - 57khttp://www.utj.edu.mx/index2.php?option=com_content&task=view&id=13&pop=1&page=2&Itemid=1 http://www.vitutor.com/bac.html#tres

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matematicas II fima 2011