matematicas_eso

8/4/2019 matematicas_eso

1/24

UNIDADDIDACTIC

A

matema

ticas

o1ESO

DIVERSIDAD CULTURAL EN LAS AULAS


2/24

AUTORA: Begoa Arenaz Villalba

ILUSTRACION PORTADA Y CONTRAPORTADA: Serafina Balasch Puig

DISEO Y MAQUETACION: Loher Publicidad

ISBN: 84-688-9027-8

DEPOSITO LEGAL: HU-386/04

EDITA: C.A.R.E.I ( Centro Aragons de Recursos para la Educacin Intercultural).

Gobierno de Aragn. Departamento de Educacin, Cultura y Deporte.


3/24

OBJETIVO GENERAL

Que el alumno sea capaz de utilizar los nmeros naturales para resolver problemas.

OBJETIVOS ESPECIFICOS

1. HECHOS Y CONCEPTOS MATEMATICOS

Conocer el origen de los sistemas de numeracin. Conocer diferentes sistemas de numeracin. Encontrar las diferencias entre los distintos sistemas de numeracin. Separar un nmero por sus unidades, decenas, centenas, millares, decenas de millar Conocer las propiedades de la suma y la multiplicacin. Leer y comprender textos referidos a problemas matemticos. Resolucin de problemas matemticos.

2. PROCEDIMENTALES

Realizar operaciones sencillas en los diferentes sistemas de numeracin. Aplicar las propiedades de la suma. Relacionar la descomposicin de un nmero con la utilizacin del baco. Usar correctamente al baco. Reconocer los datos importantes para resolver un problema.

3. ACTITUDINALES

Respetar a los compaeros. Trabajar en grupo. Inters por conocer diferentes formas de numeracin y herramientas matemticas.

4. INTERCULTURALES

Usar herramientas utilizadas actualmente en otros pases. Conocer de dnde viene nuestro sistema de numeracin. Descubrir que existen otros sistemas de numeracin distintos del que nosotros empleamos.

5. INTERDISCIPLINARES: TECNOLOGIA

Fabricacin de un baco.


4/24

CONTENIDOS: LOS NuMEROS NATURALES

PRIMERA PARTE

1. El conjunto de los nmeros naturales2. La suma de nmeros naturales. Sus propiedades: conmutativa y asociativa

Sistemas numricos

- INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS NUMRICOS. HISTORIA

Durante mucho tiempo y aun actualmente, la historia de las matemticas ha ido ligada a las necesidades de los pueblos. Uno de los mayores problemas para lasprimeras culturas fue el contar y establecer un sistema para ello.

El inventar un sistema de numeracin no fue una tarea fcil. Al retirarse los glaciares hace unos 10 000aos, los cazadores nmadas de la edad de Piedra sereunieron paulatinamente en los Valles del Nilo, Tigris y Efrates y se dedicaron a la agricultura. Inmediatamente el campesino tuvo que afrontar varios problemascomo el de contar los das y las estaciones, el de saber cundo tena que plantar y qu cantidad de semillas tena que guardar, el de pagar tributos, Todo esto hizo que fuera preciso darle nombre a los nmeros.

Los sistemas de recuento ms primitivos se basaban en el 5, el 10 o el 20, y una de las cuestiones sobre la que es unnime el acuerdo en antropologa cultural (yen ello coinciden con Aristteles) es que este hecho tiene mucho que ver con los cinco dedos que el animal humano tiene en cada mano, o los 10 dedos de ambas,

o los 20 si se toman manos y pies. Pero ha habido muchas excepciones. Ciertas culturas aborgenes de Africa, Australia y Amrica del Sur emplearon un sistemabinario. Unas cuantas desarrollaron un sistema ternario; se dice que una tribu brasilea contaba con las tres articulaciones de las falanges de los dedos. El sistemacuaternario, es decir, de base cuatro, es todava ms excepcional, y ha estado confinado principalmente a unas pocas tribus sudamericanas y a los indios Yuki deCalifornia, quienes contaban con los huecos de separacin de los dedos.

- CULTURAS QUE TENAN SISTEMA DE NUMERACIN: SUMERIOS, BABILONIOS, GRIEGOS, CHINOS.

Los primeros sistemas de numeracin aparecen en el seno de los pueblos, al intentar resolver los problemas que presentaba la vida diaria.


5/24

Los sumerios. En Asia, en la regin de Mesomia, entre los ros Tigris y ufrates, quienes hace mas de 5000 aos ya saban escribir, leer y tenan un sistemade numeracin. Los babilonios.Aprendieron de los anteriores. La escritura la plasmaban sobre ladrillos de arcilla, al igual que los sumerios, con caracteres cuneiformes, esdecir, con forma de cua. El numero mas alto que apareci era el 195.955.500.000.000.

Los griegos.Tuvieron su propio sistema de numeracin, utilizando generalmente las diez primeras letras de su alfabeto para representar los diez primerosnmeros. Para nmeros mayores utilizaban otras letras.

Los chinos es uno de los pueblos que posey uno de los sistemas de numeracin ms antiguos.

- LOS SISTEMAS NUMRICOS: EGIPCIO JEROGLFICO, GRIEGO, CHINO, BABILONIO, MAYA, ROMANO, HIND.

El Sistema de Numeracin BabilonioEntre la muchas civilizaciones que florecieron en la antigua Mesopotamia se desarrollaron distintos sistemas de numeracin. Antes de la era cristiana, se inventun sistema de base 10, aditivo hasta el 60 y posicional para nmeros superiores.Para la unidad se usaba la marca vertical que se haca con el punzn en forma de cua. Se ponan tantos como fuera preciso hasta llegar a 10, que tena su propio

signo.De este se usaban los que fuera necesario completando con las unidades hasta llegar a 60.A partir de ah se usaba un sistema posicional en el que los grupos de signos iban representando sucesivamente el nmero de unidades, 60, 60x60, 60x60x60 yas sucesivamente como en los ejemplos que se acompaan.

El Sistema de Numeracin EgipcioLos egipcios tuvieron un sistema de numeracin antes del ao 3000 antes de J.C.. este pueblo tuvo ciudades prsperas y sus conocimientos matemticos fuerondebidos a las continuas inundaciones que sufran. Los sistemas de numeracin eran necesarios para los comerciantes y el gobierno, para hacer sus anotacionesy clculos.Desde el tercer milenio a.c. usaron un sistema describir los nmeros en base diez utilizando los jeroglficos de la figura para representar los distintos ordenes deunidades.


6/24


7/24

Aparte de esta forma que podramos llamar cannica se usaron otras. Para los documentos importantesse usaba una grafa ms complicada con objeto de evitar falsificaciones y errores. En los sellos seescriba de forma ms estilizada y lineal y se usaban hasta dos grafa diferentes en usos domsticosy comerciales, adems de las variantes regionales. Los eruditos chinos por su parte desarrollaron unsistema posicional muy parecido al actual que desde que incorpor el cero por influencia india en s.VIII en nada se diferencia de este.

El Sistema de Numeracin GriegoEl primer sistema de numeracin griego se desarroll hacia el 600 a.C. Era un sistema de base decimal que usaba los smbolos de la figura siguiente pararepresentar esas cantidades. Se utilizaban tantas de ellas como fuera necesario segn el principio de las numeraciones aditivas.

Para representar la unidad y los nmeros hasta el 4 se usaban trazos verticales. Para el 5, 10 y 100, las letras correspondientes a la inicial de la palabra cinco(pente), diez (deka) y mil (khiloi). Por este motivo se llama a este sistema acrofnico.Los smbolos de 50, 500 y 5000 se obtienen aadiendo el signo de 10, 100 y 1000 al de 5, usando un principio multiplicativo. Progresivamente este sistema ticofue reemplazado por el jnico, que empleaba las 24 letras del alfabeto griego junto con algunos otros smbolos segn la tabla siguiente.

De esta forma los nmeros parecen palabras, ya que estn compuestos por letras y, a su vez,las palabras tienen un valor numrico; basta sumar las cifras que corresponden a las letrasque las componen. Esta circunstancia hizo aparecer una nueva suerte de disciplina mgicaque estudiaba la relacin entre los nmeros y las palabras. En algunas sociedades como lajuda y la rabe, que utilizaban un sistema similar, el estudio de esta relacin ha tenido unagran importancia y ha constituido una disciplina aparte: la kbala, que persigue fines msticosy adivinatorios.

El Sistema de Numeracin MayaLos mayas idearon un sistema de base 20 con el 5 como base auxiliar. La unidad se representaba por un punto. Dos, tres, y cuatro puntos servan para 2, 3 y 4. El5 era una raya horizontal, a la que se aadan los puntos necesarios para representar 6, 7, 8 y 9. Para el 10 se usaban dos rayas, y de la misma forma se continahasta el 20, con cuatro rayas.


8/24

Hasta aqu parece ser un sistema de base 5 aditivo, pero en realidad, considerados cada uno un solo signo, estos smbolos constituyen las cifras de un sistema debase 20, en el que hay que multiplicar el valor de cada cifra por 1, 20, 20x20, 20x20x20 ... segn el lugar que ocupe, y sumar el resultado. Es por tanto un sistemaposicional que se escribe a arriba abajo, empezando por el orden de magnitud mayor.Al tener cada cifra un valor relativo segn el lugar que ocupa, la presencia de un signo para el cero, con el que indicar la ausencia de unidades de algn orden, sehace imprescindible y los mayas lo usaron, aunque no parece haberles interesado el concepto de cantidad nula. Como los babilonios, lo usaron simplemente paraindicar la ausencia de otro nmero.

Pero los cientficos mayas eran a la vez sacerdotes ocupados en la observacin astronmica y para expresar los nmeros correspondientes a las fechas usaronunas unidades de tercer orden irregulares para la base 20. As la cifra que ocupaba el tercer lugar desde abajo se multiplicaba por 20x18=360 para completar unacifra muy prxima a la duracin de un ao.

El ao lo consideraban dividido en 18 uinal que constaba cadauno de 20 das. Se aadan algunos festivos (uayeb) y de estaforma se consegua que durara justo lo que una de las unidadesde tercer orden del sistema numrico. Adems de ste calendariosolar, usaron otro de carcter religioso en el que el ao se divideen 20 ciclos de 13 das.Al romperse la unidad del sistema, ste se considera poco prcticopara el clculo y aunque los conocimiento astronmicos y de otrotipo fueron notables, los mayas no desarrollaron una matemticams all del calendario..

El Sistema de Numeracin de los hindesYa los matemticos indios conocan el uso del sistema de numeracin babilnico por posicin. Los hindes adaptaron la numeracin decimal, y crearon as elsistema decimal de posicin, el cual conocemos en nuestros das.

Adems de las aportaciones individuales de varios matemticos indios, se deben a la matemtica hind dos contribuciones colectivas de gran trascendencia: laconsideracin del simbolismo algebraico y el sistema de numeracin posicional de base 10.

Usaban ya los nmeros positivos y negativos (crditos y dbitos), as como el cero como smbolo operatorio. Aunque al simbolismo de los nmeros que utilizamos enla actualidad se les conoce como cifras arbigas, los rabes han sido meros transmisores, no creadores, ya que en la India se utilizaba este sistema anteriormente,si bien con una simbologa diferente. Sin embargo, no se sabe con certeza cmo nacieron estas cifras y hay varias leyendas al respecto.


9/24

El Sistema de Numeracin romanoEste sistema de numeracin prcticamente slo se emplea en la actualidad para representar los aos.

Este sistema utiliza siete smbolos para representar los nmeros:

I = 1 X = 10 C = 100 M = 1.000

slo pueden ser repetidos consecutivamente hasta tres veces.

V = 5 L = 50 D = 500

estos no se repiten.

En este sistema tiene importancia el orden de los smbolos, es decir, para representar un nmero se debe tomar en cuenta la posicin donde se escribe

determinado nmero.

Principio aditivo: un smbolo escrito a la derecha de otro de igual o mayor valor le suma a este su valor.

VI = 6 LX = 60

Principio sustractivo:un smbolo ubicado a la izquierda de otro de mayor valor le resta a este su valor.

IV = 4 XC = 90

Principio multiplicativo: una rayita horizontal, escrita sobre un nmero lo multiplica por mil.

= 10 1.000 = 10.000

Sus agrupamientos se hacen de 10 en 10.

Los romanos no tienen un smbolo para representar el cero.


10/24

Actividades

A l

SISTEMAS NUMRICOS

1.- Inventa tu sistema de numeracin

Dinmica:por parejasDesarrollo:Supn que vives en los tiempos primitivos y no conoces los nmeros, cmo sabras que las ovejas que sacas a pacer son las mismas que las quetraes? Inventa t una manera de contar.

Y si tuvieses que representar una cantidad muy grande, qu dificultades encontraras? Trata de inventar otro sistema que te facilite esta tarea.

2.- Ejercicios

Dinmica:individualmenteDesarrollo:Inventa un sistema de numeracin parecido al griego, con nuestro alfabeto, como el ejemplo que sigue:

A B C D E F G H I J T S V

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 80 300 800

Con el sistema de numeracin que has inventado, intenta escribir las siguientes cifras: 4528, 521, 140

3.- Dinmica de grupo No digas el nmero ...

Material:una hoja por grupo de los problemas propuestosDinmica:en grupos de 4 personas o 5 como mximo


11/24

Desarrollo:En cada grupo habr un observador, dos o tres personas que escribirn y otra que dictar.Se les da a cada grupo una hoja con problemas cuya resolucin sea de dificultad media o baja. Con la participacin de todo el grupo han de resolver los problemas.(se puede plantear como una competicin entre los diferentes grupos, o poner un tiempo lmite, para introducir algn tipo de presin).Tendrn que seguir las normas siguientes:

1) Las personas designadas a escribir (pueden escribir un problema cada una), no podrn escribir nada que no les diga el compaero que dicta. No podrn hablar.

Y no sabrn cuales son las reglas de los que dictan.

2) El observador tiene que asegurar que las normas se cumplen, y anotar el comportamiento de los dems y las dificultades que tienen para realizar el ejercicio.

3) Las personas elegidas para dictar no pueden decir cualquier numero, sino que tendrn en cada grupo una regla:- Slo pueden decir los nmeros hasta el 5.- Slo pueden decir los nmeros hasta el 10.- Slo pueden decir los nmeros pares.- Slo pueden decir los nmeros impares.- ...Los problemas pueden ser del tipo:- Si en mi instituto hay 25 personas de Senegal, el doble de Marruecos, la tercera parte de chinos que de Senegal. Y el triple de espaoles que de marroques.

(Intentar que los datos sean lo mas cercano posible a la realidad). Cuntos alumnos somos?

- En la tienda de al lado de mi casa tienen 5 tipos diferentes de cosas: macarrones, loto, cuscs, mangos y lentejas naranjas. Todo se mide por kilos. Hay la mismacantidad de lentejas que de macarrones, la mitad de esto que de mangos y loto. Y de cuscs hay 5 kilos, el triple que de loto. Cunto hay de cada cosa?

- ....

Al terminar la actividad cada grupo podr exponer cuales han sido sus impresiones. Atendiendo a: os ha gustado el juego?; ha sido fcil seguir las reglas?; enque el no poder utilizar todos los nmeros ha influido en el desarrollo de la actividad?; en que grupo ha sido mas fcil y en cual mas difcil?; nos han tratado bienlos compaeros de nuestro grupo? nos hemos dado cuenta de que solo es una manera diferente de contar? ...

4.- Ejercicios sobre los sistemas de numeracin maya, romano y egipcio

Material:una hoja por grupo de los ejercicios siguientesDinmica:por grupos de tresDesarrollo:Escribir las siguientes cantidades en los sistemas de numeracin maya, romano y egipcio: 13,19,25,36,46,136,1427,2845Conoces algn uso que se d actualmente a los nmeros romanos?


12/24

Pasar al sistema arbigo los siguientes nmeros:XLVI, MMDCCCXLV,

, , , eeee

eeee Realiza las siguientes operaciones:

XLVI

+ XXV , , + =

III

+

Qu diferencias encuentras entre los sistemas de numeracin maya y romano? cul te parece mas sencillo? cul mas til?Por qu crees que se ha adoptado mayoritariamente el sistema de numeracin decimal y no otro cualquiera?

4.- Situacin geogrficaMaterial:mapamundi de Peter; pinturas de colores.Dinmica:individualmenteDesarrollo:Dibuja sobre el mapamundi las zonas donde vivieron los pueblos mencionados en el tema: sumerios, babilonios, egipcios, griegos, romanos, chinos,mayas, indios y rabes. Ponle a cada uno un color diferente.


13/24

SEGUNDA PARTE

3. La multiplicacin de nmeros naturales. Propiedades: conmutativa, asociativa y distributiva.4. Descomposicin de un nmero natural: unidades, decenas, centenas...

Nuestro sistema de numeracin

- NUESTRO SISTEMA NUMRICO RABE; DE DNDE VIENE,...

La historia de las matemticas en Los pueblos rabes comienza a partir del siglo VIII.

El imperio musulmn fue el primero en comenzar este desarrollo, intentando traducir todos los textos Griegos al rabe. Por lo que se crean gran cantidad deescuelas de gran importancia, en donde se traducen libros como el Brahmagupta, en donde se explicaba de forma detallada el sistema de numeracin hind,sistema que luego fue conocido como el de Al-Khowarizmi, que por deformaciones lingsticas termin como algoritmo.La introduccin y la generalizacin del uso del sistema de numeracin indoarbigo necesitaron siglos. Los algebristas rabes (entre los que destac Al-Khuwarizmi,en el siglo IX, de cuyo nombre deriva la palabra algoritmo, y de cuyo libro, escrito en rabe, Hisrab al-abarwa-al-mugabala, se cree que deriva la palabra lgebra) lofueron utilizando poco a poco y, a partir de ellos y del gran centro cultural de Crdoba, con Abderramn III, en el siglo X, se fue extendiendo por el sur de Europa.

- SISTEMA DE NUMERACIN DECIMAL Y POSICIONAL

El sistema actual de numeracin es un sistema posicional eso quiere decir que el valor de cada nmero depende de la posicin que ocupa. No siempre ha sido as.El sistema de numeracin de los romanos no era posicional.

El numero 6324 = 61000 + 3100 + 210 + 4, o dicho de otra forma: 4 unidades, 2 decenas, 3 centenas y 6 unidades de millar.Establecido que el sistema de numeracin es posicional, tenemos que decidir la base de numeracin que vamos a utilizar. La base de numeracin quiere decircuantos dgitos diferentes vamos a utilizar. En el sistema de numeracin que utilizamos habitualmente utilizamos 10 dgitos diferentes (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9)y por eso se dice que es un sistema decimal o base 10.

Ventajas sobre otros sistemas de numeracinLas ventajas residen claramente en ese carcter posicional. Para realizar operaciones es mucho ms sencillo.


14/24

El baco

ORIGEN

El dispositivo de clculo ms antiguo que se conoce es el baco. Aparecido hacia el 500 AC en Oriente Prximo, serva para agilizar las operaciones aritmticasbsicas, y se extendi a China y Japn, siendo descubierto mucho ms tarde por Europa. Puede realizar operaciones matemticas de suma, resta, multiplicacin y

divisin. Tena un amplio uso en Asia y Europa oriental: stchoty(ruso), suan pan(chino) y soroban(japons).Donde los hindes mejoraron el sistema griego y el hebreo fue en el uso de las mismas nueve cifras para las decenas, centenas, millares y, en verdad, para cualquierbarrote o alambre del baco. De esas nueve cifras derivaron los hindes todos los nmeros; todo lo que se necesit fue dar a las cifras su valor de posicin. La graninnovacin hind fue la invencin de un smbolo especial para una hilera intacta del baco. A este smbolo los rabes lo llamaron sifr que significa vaco. Estapalabra ha llegado hasta nosotros como una cifra o, en forma ms corrompida como cero.

QU ES? PARA QU SIRVE?

Es una herramienta de clculo con la que se pueden realizar las operaciones de sumar, restar,

multiplicar y dividir.El baco sirve para efectuar operaciones aritmticas tal y como se hace en el papel (Fig. 1)Veamos ahora las operaciones que se pueden hacer en el baco.

CMO SE UTILIZA

El baco est compuesto por unos alambres y unas bolitas insertadas en ellos. Como se muestra en la figura 1. Cada alambre corresponde a cada una de las cifrasde un nmero. Es decir, uno ser las unidades, el siguiente las decenas, las centenas, las unidades de millar, etc. As el nmero 365 se representar separando 5bolita del primer alambre, 6 del segundo y tres del tercero.

Si a este nmero queremos sumar 4 no habr ms que aumentar 4 bolitas del primer alambre. Si queremos sumar 12 se aadir 2 del primero y 1 del segundo.Si el nmero que queremos sumar fuera el 6, se tendr que separar 6, pero como ya no tendremos suficientes, se contar hasta 5, bajaremos todas otra vez, ysubiremos la que nos falta hasta el 6. Al llenar uno de los alambres deberemos aumentar una bolita del siguiente. As pues nos quedar una bola en el primero, y7 en el segundo.

Multiplicar ese nmero por 10 ser tan sencillo como pasar todas las bolitas al alambre siguiente al suyo. Es decir, en al primero no quedar ninguna, en el segundo5, en el tercero 6 y en el cuarto 3.

Figura 1. baco al estilo ruso.


15/24

Naturalmente, las operaciones sencillas se efectan ms velozmente en el baco, que como aqu son descritas. Estn basadas en los siguientes clculos.En vez de multiplicar por 7, multiplquese el multiplicando por 10 y luego rstese el mismo tres veces. La multiplicacin por 8 da el mismo resultado que, restarel doble del multiplicando al producto de la multiplicacin por diez. Para multiplicar por 9, multiplquese por diez y rstese el multiplicando. Para multiplicar por10, basta elevar todo el nmero un rengln.

EN QUE PASES SE USA ACTUALMENTE

En el siglo XV, en China y Japn ya se empleaba, para las cuatro operaciones aritmticas, un baco de siete bolitas en cada alambre (llamado en China suang-pang, y en Japn Soroban) (ver la fig. 20). Estos aparatos de calcular se han conservado hasta nuestros das y su empleo es muy popular.

Hoy en da, en Asia, todava se usa en las tiendas para realizar las cuentas. Y en los colegios, dnde se utiliza para ensear a los nios matemticas bsicasy especialmente la multiplicacin; el baco es un excelente sustituto para la rutina de la memorizacin de las tablas de multiplicar. Tambin es una excelenteherramienta para ensear bases de otros sistemas numricos ya que se puede adaptar fcilmente a cualquier base.

He aqu por ejemplo, la opinin de un cientfico japons: A pesar de su antigedad, el sorobn supera a todos los aparatos de clculo modernos, gracias a sufacilidad de manejo, a lo simple del dispositivo y a su bajo costo.

El baco RusoHay algunos objetos tiles que no valoramos lo suficiente debido a su constante manejo, lo que los ha convertido en objetos demasiado comunes de usodomstico. Al grupo de tales objetos insuficientemente estimados pertenece nuestro baco: aparato de clculo popular ruso que representa en s, una modificacindel famoso baco o tablero de clculo, de nuestros remotos antecesores.Mientras tanto, Occidente casi no sabe acerca de los bacos, y nicamente en las escuelas superiores existen enormes bacos: Un medio prctico escolar en laenseanza de la numeracin.Tenemos razn al enorgullecernos de nuestro baco de calcular, puesto que gracias a su dispositivo sorprendentemente sencillo, y con base en los resultadosque pueden lograrse en ellos, pueden competir, en ciertos aspectos, inclusive con mquinas calculadoras. En unas manos hbiles, este sencillo aparato hace confacilidad, verdaderas maravillas.

Actividades

A l


16/24

NUESTRO SISTEMA DE NUMERACIN

1.- Operar de otra forma

Material:Dinmica:dividir la clase en 4 grupos.Desarrollo: Todos los grupos realizarn una misma suma, pero cada uno de ellos lo har en un sistema numrico diferente: el romano, el maya, el egipcio y elnuestro. Cada grupo contar las dificultades que ha tenido. Y en conjunto trataremos de sacar conclusiones de por qu unos grupos han tardado ms que otros.

2.- Diferencias en las operaciones

Material:Dinmica:individualmente los dos primeros ejercicios, y luego en grupos contestar a las dos preguntas propuestas.Desarrollo:Realiza esta suma de nmeros:Trata de realizarla con nmeros romanos.

Cmo te resulta ms sencilla? Por qu?

3.- Un sistema posicional

Material:Dinmica:pensamos entre todos. Lluvia de ideasDesarrollo:a) Realizar en la pizarra las siguientes sumas:

333 = 300 + .... + 355555 = .... + .... + 500 + .... + ....Responder:- Qu diferencia encuentras en al ejercicio a), entre el 3 de la derecha y el de la izquierda? Y en el b) entre el 5 del centro y los de los extremos?- Qu ventajas obtenemos al usar las cifras de esta forma?

EL BACO

1256325

+ 105


17/24

4.- Descomposicin de nmeros

Material:una tabla que tendrn que rellenarDinmica:individualmenteDesarrollo:a) Responder a las siguientes preguntas:

- Cuntos smbolos tenemos en nuestro sistemade numeracin? Y nmeros?- Por qu elegimos un sistema decimal?b) Completar el cuadro:

CANTIDADESUNIDADES

MILLNCENTENAS

MILDECENAS

MILUNIDADES

MILCENTENAS DECENAS UNIDADES

3

96

16.259

205.125

3.215.365

5.- Dinmica para formar grupos - El arco iris

Material:Pegatinas de tantos colores como grupos queramos hacer. El tamao debe ser pequeo para poder pegarse en la frente. Tambin se puede hacer configuras geomtricas.Desarrollo: Se ponen todos en crculo y cierran los ojos. Se les pone la pegatina en la frente. Los colores deben estar bien mezclados de forma que cadaparticipante no est al lado de los de su color.Abren los ojos y sin hablar tratan de juntarse con los de su mismo color. El juego acaba cuando se han formado tantos grupos como colores y todo el mundo esten su sitio.

6.- El baco. Taller

Material:un baco por grupo. (El baco se ha podido construir anteriormente en el aula de tecnologa)Dinmica:en grupos

Desarrollo:Problemas de fcil planteamiento para practicar el uso del baco. Empezando con sumas sencillas, de dos nmeros. Para dndole mayor dificultad,aadiendo ms nmeros y de mas cifras.Ejercicios anteriores de descomposicin de nmeros para visualicen las distintas unidades en el baco. Ver que est en base 5.Se pueden hacer competiciones para ver la rapidez con que se puede llegar a manejar el baco: todos con un baco; unos con baco y otros mentalmente; ...Situar en el mapa que ya tenamos los pases que utilizan o utilizaban el baco.


18/24

7.- Propiedades de la suma y de la multiplicacin

Material:diccionarioDinmica:individualmenteDesarrollo:I) Realiza las siguientes sumas:

a) 25 + 16 =b) 16 + 25 =c) Por qu dan el mismo resultado?II) Busca en el diccionario la palabra conmutar. Cmo la relacionas con el ejercicio anterior?III) Comprueba t mismo que la multiplicacin tambin cumple las propiedades asociativa y conmutativaIV) Comprueba con el baco estas propiedades cogiendo varios ejemplos

8.- Fabricacin de un baco

TERCERA PARTE

5. Resolucin de problemas

Cules son los mtodos de resolucin de un problema con la ayuda del baco?

- EL ROMPECABEZAS DE CHJOV

Ahora veremos un ameno problema aritmtico, tal y como lo plante el estudiante de sptimo ao, Ziberov, del cuento de Chjov el Repetidor.Un comerciante compr 138 arshins (1 arshin = 80 cm) de tela negra y azul por 540 rublos. Me pregunto, cuntos arshin compr de cada una, si la tela azul

costaba 5 rublos por arshin, y la negra, 3 rublos?


19/24

Con gran humor, Chjov relata cmo trabajaron sobre este problema tanto el repetidor de 7 ao como su alumno Pedrito, de 12 aos, mientras ste no fuerescatado por su padre:Pedrito observ el problema y, sin decir una palabra, empez a dividir 540 entre 138.- Para qu divide Ud.? Detngase! O... contine... Aparece un residuo? Aqu no puede haber residuo. Permtame!

- Probablemente no se trate de un problema aritmtico, pens, y vio la respuesta: 75 y 63-. Hmm!, dividir 540 entre 5 + 3? no, no.

- Bien, resulvalo ya! -concluy; ordenando a Pedrito.- Qu tanto piensas? Ese problema te quitar todo el tiempo -dijo a Pedrito su padre, Udodov. Se necesita ser tonto. Resulvalo Ud. por esta vez, Egor Aliksei-ch.Egor Alikseich, coge el pizarrn y se dispone a resolverlo; tartamudea, enrojece. Palidece.- Este problema debe ser algebraico dijo -.Se puede resolver con ayuda de la x y de la y , Por otra parte, tambin as se puede resolver: Yo aqu hedividido...Comprende? Ahora es necesario restar. Entiende?...o si no. . . Lo mejor ser que me lo traiga resuelto maana Pienselo !

Pedrito sonri. Udodov tambin sonri. Ambos comprendan la confusin del maestro. El estudiante de VII grado se confundi an ms, y empez a pasear deextremo a extremo de la habitacin.Al fin, Udodov dijo:- Sin lgebra tambin se puede resolver- y agreg dirigindose hacia un baco-helo aqu, mire...Utiliz el baco, y obtuvo 75 y 63, tal y como deba ser.- Esto est hecho a nuestra manera no cientfica.Esta historia con el problema que haba sembrado la confusin en el repetidor, plantea por s misma tres nuevos problemas, a saber:1. Cmo hubiera el repetidor resuelto el problema algebraicamente?

2. Cmo debi haber resuelto el problema Pedrito ?3. Cmo se lo resolvi su padre a Pedrito con el baco, en forma no cientfica?

A las primeras dos cuestiones, podemos responder probablemente sin trabajo alguno. La tercera no es tan simple. Pero vayamos en orden.1. El repetidor de sptimo ao hablaba de resolver el problema con la ayuda de la x y de la y , y deca que el problema deba ser algebraico. Formar dosecuaciones con dos incgnitas para el problema dado no es difcil; hela aqu:

dondex

es el numero de arshins de tela azul, e y , el de tela negra.

2.Sin embargo se resuelve fcilmente, tambin, en forma aritmtica. Suponiendo que toda la tela hubiera sido azul, los 138 arshins de tela azul hubieran costado5 * 138 = 690 rublos; esto es, 690 - 590 = 150 rublos ms del costo en la realidad.Para que el precio sea 150 rublos menor, basta considerar que la diferencia de precios entre un arshin de tela azul y uno de tela negra es de 5 - 3 = 2 rublos: dividiendo 150entre 2, obtenemos 75 arshins de tela negra; restndolos de los 138 originales, obtenemos 138 - 75 = 63 arshins de tela azul. As debi haber resuelto el problema Pedrito.

x+y= 1385x+3y=540


20/24

3.

En el relato, se dice bien poco: Utiliz el baco, y obtuvo 75 y 63, tal y como deba ser. Cules son los mtodos de resolucin de un problema con la ayuda del baco?El baco sirve para efectuar operaciones aritmticas tal y como se hace en el papel (fig. 1). Udodov conoca muy bien el baco y pudo hacer las operaciones muyrpido, sin la ayuda del lgebra como quera el repetidor, ni de la x y de la y . Veamos ahora las operaciones que el padre de Pedrito debi hacer en el baco.La primera operacin es multiplicar 138 por 5. Para eso, conforme a las reglas de las operaciones en el baco, primeramente se multiplica 138 por 10, es decir,

simplemente hay que mover el nmero 138 una hilera hacia arriba (ver la figura 2, a, b) y luego dividir este nmero entre dos, sobre el mismo baco. La divisinse empieza por abajo: se separan la mitad de bolitas colocadas en cada alambre; si el nmero de bolitas es impar en un alambre dado, se elimina la dificultad,partiendo una bolita de este alambre en 10 inferiores.

Primero se muestra, en el baco, 138 * 10, es decir el nmero 138 (a), sometido a la operacin (b), y luego semuestra el resultado anterior dividido entre dos (c).En nuestro caso, por ejemplo, 1380 se divide por la mitad en la forma siguiente: en el alambre inferior, dondeexisten 8 bolitas, se separan 4 bolitas (4 decenas), en el alambre intermedio de las 3 bolitas se separa 1, pero seconserva una, y la otra se substituye mentalmente por 10 inferiores y se dividen a la mitad, aadiendo o decenas

a las bolitas inferiores; en el alambre superior se parte una bolita agregando 5 centenas a las bolitas del alambreintermedio.En consecuencia, en el alambre superior no hay bolitas, en el intermedio 1 + 5 = 6 centenas y en el inferior 4 +5 = 9 (Fig. 2, c). En total 690 unidades. Todo esto se efecta rpida y automticamente.

Despus, restar 540 de los 690. Sabemos cmo se hace en el baco.Finalmente queda tan slo dividir por la mitad la diferencia obteniendo: 150; Se apartan 2 de las 5 bolitas (decenas), entregando 5 unidades a la fila inferior debolitas; despus de 1 bolita en el alambre de las centenas, se entregan 5 decenas a la fila inferior: obtuvo 7 decenas y 5 unidades, es decir, 75.

Actividades

RESOLUCIN DE PROBLEMASSe aconseja que los problemas propuestos tengan un contenido intercultural.Proceso en la resolucin de problemas:Sacar los datos importantes del problema. Proponer varios en los que se den ms datos de lo necesario. Fijndose en que es lo que se pide, cual es nuestro objetivoa resolver. En grupos.

Queda an la tercera pregunta: Cmo resolvi el problema Udodov?


21/24

Plantear el problema. Pasndolo al lenguaje matemtico, como si de una traduccin se tratara. Pasar de un idioma a otro. Individual.

Resolverlo. Y hacerlo de varias formas diferentes. Calculo mental, aplicando propiedades, con el baco, utilizando otro sistema de numeracin, ... Individual y engrupos, segn el caso.

EVALUACION DEL ALUMNO

- Calcula en cualquier sistema numrico que se defina

- Conoce los distintos sistemas numricos que se han utilizado antiguamente

- Utiliza correctamente el baco

- Descompone los nmeros naturales por sus unidades

- Coopera en los trabajos realizados en grupo

- Respeta a los compaeros al trabajar en equipo

- Se interesa por las diferencias que hay en otros pases

- Respeta otras maneras de hacer clculos

- Aplica correctamente las propiedades de la suma

- Aplica correctamente las propiedades de la multiplicacin

- Comprende los enunciados de los problemas matemticos

- Resuelve correctamente los problemas matemticos


22/24

BIBLIOGRAFIA

1. Aritmtica Recreativa... Es difcil representar los nmeros en otros sistemas de numeracin? ... en todoslos sistemas de numeracin (en donde se tengan las cifras correspondientes). ...

www.geocities.com/aritmeticarecreativa/cap04.html - 35k

2. Sistemas de numeracin - Monografias.comSistemas de numeracin. ... Por otro lado del binario y el decimal, otros dos sistemasde numeracin encuentran amplias aplicaciones en los sistemas digitales. ...www.monografias.com/trabajos14/sistemanumeracion/ sistemanumeracion.shtml - 61k - 29 Oct 2003

3. Sistemas de numeracinSistemas de numeracin. Por: Salvador Pozo Coronado. ... Sistemas de numeracin en la programacin. En Cy C++ se usan bsicamente cuatro sistemas denumeracin: ...articulos.conclase.net/numeracion/numeracion.htm

4. Sistemas de numeracin. Los sistemas de numeracin a lo largo de la Historia.En esta pgina encontrar ... las operaciones. Sistemas de Numeracin Aditivos. Para ver ...thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Otros/SISTNUM.html - 20k - 29 Oct 2003

5. Sistemas de numeracinSistemas de numeracin. Fecha de ... 09/2003. Introduccin. El origende todos los sistemas de numeracin es la operacin de contar. ...

www.terra.es/personal/jftjft/Aritmetica/ Numeros/Sisnum.htm - 8k

6.www.terra.es/personal/jftjft/Aritmetica/ Numeros/Sisnum.htm7. www.rincondesileno.8k.com/computacion3.htm

A. MATEMATICAS EN LAS ESCUELAS DE ADULTOSLAS MATEMATICAS COMO HERRAMIENTAS


23/24


24/24

Documents

matematicas_eso