Matematiµcka indukcija - Filozofski fakultet u Splitumarul.ffst.hr/~logika/2007/11sijecnja/indukcija.pdfMatematiµcka indukcija Kritike indukcije: nedostatak dokazne snage Ruƒer

Matematiµcka indukcija

sijeµcanj 2008.

() Matematiµcka indukcija sijeµcanj 2008. 1 / 32


�to matematiµcka indukcija nije?

Matematiµcka indukcija nije indukcija na osnovi uzorka niti indukcijanabrajanjem.

Potonje ili nisu oblik deduktivnog zakljuµcivanja ili ne mogu opravdatiopcenitu konkluziju koja se odnosi na beskonaµcno mnogo sluµcajeva.

Matematiµcka indukcija nije indukcija u smislu izvo�enja opcenitekonkluzije na temelju konaµcnog broja opaµzanja.

Takva "empirijska" indukcija na temelju uzorka je osporiva: ona nemoµze potpuno opravdati opcenitu konkluziju (koja se odnosi ili i naneopaµzene sluµcajeve ili na na beskonaµcno mnogo sluµcajeva)Nasuprot tome matematiµcka indukcija moµze opravdati opcenitukonkluziju (koja se odnosi na beskonaµcno mnogo sluµcajeva) na temeljukonaµcnog dokaza.

Buduci da konkluzija nuµzno slijedi, matematiµcka indukcija jest oblikdeduktivnog zakljuµcka.



Kritike indukcije: nedostatak dokazne snage

Ru�er Bo�kovic (1711-1787)

CitatDa bi indukcija imala snagu dokaza, morala bi ispitati sve pojedinesluµcajeve koliko ih god ima. No, takvoj indukciji nema mjesta uutvr�ivanju prirodnih zakona.



Kritike indukcije: psiholo�ko opravdanje

Samo psiholo�ka "nuµznost", ne i logiµcka. David Hume(1711-1776)



Kritika indukcije: niti psiholo�ko opravdanje

Karl Raimund Popper (1902-1994)

Citat... na osnovi µcisto logiµckih razmatranja do�ao sam do toga da psiholo�kuteoriju indukcije treba zamijeniti sa sljedecim stajali�tem. Bez da pasivnoµcekamo da nam ponavljanja utisnu ili nametnu pravilnosti, mi aktivnopoku�avamo nametnuti pravilnosti svijetu. Poku�avamo otkriti sliµcnosti unjemu, te ih protumaµciti u terminima zakona koje smo sami izumili. Bezda µcekamo na premise mi brzamo prema konkluziji. One se mogu odbacitikasnije, pokaµze li se u opaµzanju da su bile pogre�ne.Conjectures and Refutations: The Growth of Scienti�c Knowledge, 1962.


Kako opravdati konkluziju o beskonaµcanom broju sluµcajeva?

Induktivna de�nicija kao uvjet primjene matematiµckeindukcije

Matematiµcka se indukcija moµze primijeniti samo ako je beskonaµcniskup predmeta µcije opcenito svojstvo dokazujemo de�niran induktivno.

Induktivna de�nicija ima tri dijela.

1 Osnovna reµcenica navodi osnovne elemente skupa kojeg de�niramo.2 Induktivna reµcenica (ili reµcenice) opisuje (opisuju) kako se tvoredodatni elementi od vec danih.

3 Zavr�na reµcenica nagla�ava da su svi elementi ili osnovni ili dobivenipo induktivnoj klauzuli.



Vjeµzba

Primjer

Induktivna de�nicija palindroma.Osnovna reµcenica: svako slovo abecede je palindrom.Induktivna reµcenica: ako je niz slova α palindrom, onda je palindrom i nizslova koji nastaje kada se α doda isto slovo sprijeda i straga (npr. bαb).Zavr�na reµcenica: ni�ta nije palindrom osim onoga �to se moµze dobiti natemelju osnovne i induktivne reµcenice.



Primjer

Primjer

Induktivna de�nicija za reµcenice propozicijske logike L*.Osnovna reµcenica: atomarne reµcenice su reµcenice propozicijske logike L*.Induktivna reµcenica: ako su φ i ψ reµcenice propozicijske logike L*, onda sui :φ, (φ ^ ψ), (φ _ ψ), (φ ! ψ), (φ $ ψ) reµcenice propozicijske logikeL*.Zavr�na reµcenica: ni�ta drugo osim onoga �to zadovoljava uvjete iskazaneprethoddnim reµcenicama nije reµcenica propozicijske logike L*.



Primjer

Kurt Gödel (1906-1978)

CitatDe�nicija skupa formula.Osnovna reµcenica: elementarna formula je kombinacija simbola oblika a(b)gdje je b termin n-tog tipa,i a termin n+ 1 tipa. Elementarna formula jeµclan skupa formula.Induktivna reµcenica: ako a i b pripadaju skupu formula onda tom skupupripadaju i :(a), (a) _ (b), 8x(a)Zavr�na reµcenica: skup formula je najmanji skup µciji µclanovi zadovoljavajugornje uvjete.O formalno neodluµcivim tvrdnjama u Principia Mathematica i sliµcnimsustavima, 1931.



Alternativni zapisi

John Backus i Peter Naur uveli su pojednostavljene zapise za sintaksunekog jezika.

Induktivne de�nicije ponekad se zapisuju u takozvanom Backus-Naurobliku (BNF).

Osnovni jezik modalne propozicijske logike ima sljedece formule:

P : := propozicijski atomi p, q, r ,...

F : := P j :F j (F ^ F ) j �F

Osnovna klauzula pokazuje da su propozicijski atomi osnovnielementi. U donjem retku pokazuje se kako se od vec postojecihformula F dobivaju nove. To jest:

F ::=|{z}oznaka de�nicije

P|{z}osnovni

j :F j (F ^ F ) j �F| {z }tvorba novih



Vjeµzba

ZadatakIskaµzite de�niciju za palindrom u Backus-Naur obliku!

Odgovor

Oznaµcimo skup nizova slova koji su pal s π.λ ::= slova a, b, c,...π ::= λ j λπλ


Induktivni dokaz

Zamislimo da moramo dokazati da svaka reµcenica propozicijske logikeL* sadrµzi barem jednu atomarnu reµcenicu. Uoµcimo da tvrdnja imaoblik opcenitog kondicionala: 8x [Rec_Iz_L � (x)! Q(x)] i da seodnosi na beskonaµcno mnogo sluµcajeva.Da bismo dokazali ovakvu tvrdnju, najprije ispitujemo imaju li osnovnielementi svojstvo Q (u ovom primjeru, sadrµzavaju li barem jednuatomarnu reµcenicu). Oµcigledno je da imaju: osnovni se elementisastoje upravo od jedne atomarne reµcenice.Zatim ispitujemo naslje�uje li se to svojstvo. Ako "stari" elementiimaju to svojstva hoce li ga imati i "novi" koji su iz "starih" dobiveniprimjenom induktivne klauzule? Oµcigledno je da hoce. Pretpostavimoda φ i ψ imaju barem jednu atomarnu reµcenicu. Buduci da :φ sadrµzisve atomarne reµcenice koje sadrµzi φ, onda :φ ima barem jednuatomarnu reµcenicu. Buduci da (φ ^ ψ) sadrµzi sve one atomarnereµcenice koje se javljaju u φ i ψ, onda (φ ^ ψ) ima barem jednuatomarnu reµcenicu. I tako dalje.

Buduci da "nove" reµcenice nisu mogle nastati nikako drukµcije osimputem primjene induktivne klauzule, zakljuµcujemo da sve reµcenice iz L�imaju traµzeno svojstvo.() Matematiµcka indukcija sijeµcanj 2008. 12 / 32

Induktivni dokaz

Struktura induktivnog dokaza

Ako raspolaµzemo s induktivnom de�nicijom skupa, onda induktivandokaz zahtijeva dva koraka.

1 Osnovni korak : u kojem se pokazuje da osnovni elementi imajutraµzeno svojstvo.

2 Induktivni korak : u kojemu se pokazuje da ako "prethodni" ("stariji")elementi imaju traµzeno svojstvo, onda to svojstvo imaju i elementikoji su dobiveni primjenom induktivnih µclanaka.

1 Pretpostavka s kojom zapoµcinje induktivni korak naziva se induktivnomhipotezom.


Induktivni dokaz

Vjeµzba

Primjer

Dokaµzimo da se svaki palindrom µcita jednako sprijeda i straga.

Dokaz.Osnova: Osnovni elementi su pojedinaµcna slova. Bilo koje pojedinaµcnoslovo jednako se µcita u oba smjera.Indukcija: Pretpostavimo da se palindrom α jednako µcita u oba smjera(induktivna hipoteza). Moramo pokazati da ako neko slovo s, u skladu sinduktivnom reµcenicom iz de�nicije, dodamo na poµcetak i na kraj niza α,da ce se onda rezultat, sαs µcitati jednako u oba smjera. Kada okrenemoniz - dobit cemo sα0s gdje je α0 obrnuti zapis za α. Po induktivnoj hipoteziα0 = α, zato je rezultat obrata za sαs upravo sαs.Na osnovi indukcije, zakljuµcujemo da se svaki palindrom jednako µcita uoba smjera..


Induktivni dokaz

Metafora

Metafora. Domine moraju biti tako sloµzene (de�nicija mora bitiinduktivna) da kad jedna domina padne - tada pada i sljedeca(induktivni korak). Da bi se sve domine sru�ile potrebno je gurnutiprvu (osnovni korak).


Induktivni dokaz

Razlikovanje

Neki autori razlikuju dvije vrste matematiµcke indukcije: prirodnu isnaµznu.

U prirodnoj indukciji koristi se sljedeci oblik zakljuµcka: (i) Svakiosnovni element ima svojstvo P. (ii) Svaki naµcin tvorbe novihelemenata uspijeva saµcuvati svojstvo P. (iii) Dakle, svaki elementrazreda kojega razmatramo ima svojstvo P.

U sluµcaju jake indukcije nije dovoljno samo razmotriti elemente izkojih nastaje element za kojega dokazujemo da ima svojstvo P, vec jepotrebno razmotriti cijeli razred elemenata koji su nastali prije njega.U snaµznoj indukciji u induktivnom koraku susrecemno univerzalnokvanti�ciranu reµcenicu, kao na primjer "Ako sve formule µcija je duljinamanja od duljine formule A imaju svojstvo P, onda A ima svojstvo P".


Induktivni dokaz Teorija indukcije

Teorija indukcijeDobro utemeljena indukcija

David Harel, Dexter Kozen i Jerzy Tiuryn (2000) Dynamic Logic. TheMIT Press, Cambridge, Massachusetts

CitatSve vrste indukcije posebni su sluµcajevi opcenitijeg pojma kojega nazivamoindukcijom nad dobro utemeljenim releacijama ili, krace, dobroutemeljenom indukcijom.

Relacija R na skupu X jest dobro utmeljena akko svaki podskup od Xima R-minimalni element:

a � X ! 9x (x 2 a ^ :9y (y 2 a ^ R (y , x)))



Naµcelo dobro utemeljene indukcije

David Harel, Dexter Kozen i Jerzy Tiuryn (2000) Dynamic Logic. TheMIT Press, Cambridge, Massachusetts

CitatAko je ϕ svojstvo koje vrijedi za x kada god ono vrijedi za sveR-prethodnike od x � to jest, ako je ϕ istinito za x kad god je istinito zasve y takve da R (y , x) � onda je ϕ istinito za svaki x .



Pouzdanost dobro utemeljene indukcije

CitatAko je R dobro utemeljena relacija na skupu X , onda je naµcelo dobroutemeljene indukcije pouzdano.

Dokaz.Pretpostavimo da je ϕ svojstvo takvo da: kad god je ϕ istinito za sve ytakve da R (y , x), onda je ϕ istinito za x . Neka je S skup svih onihelemenata iz X kaji imaju svojstvo ϕ. Onda X � S jest skup svihelemenata iz X koji nemaju svojstvo ϕ. Buduci da je R dobro utemeljen,ako X � S 6= ∅, onda X � S ima neki R-minimalni element x . No tada biϕ vrijedilo za sve R-prethodnike od x , ali ne i za x , �to proturjeµcipretpostavci. Zato mora biti sluµcaj da X � S = ∅, te zato X = S .


Induktivni dokaz Najmanji skup

Alternativni naµcin zapisivanjaIskazivost u LPR

Zavr�na reµcenica u induktivnoj de�niciji spominje ne samode�niendum vec i ostale reµcenice: "ni�ta drugo nije de�niendum osimonoga �to se dobiva ponovljenom primjenom uvjeta iskazanihosnovnom i induktivnom reµcenicom". Oµcigledno je zavr�na reµcenicanije iskaziva u jeziku logike prvoga reda jer ona govori o drugimreµcenicama, a u logici prvoga reda ne moµzemo govoriti o njezinimvlastitim reµcenicama. No ako uporabimo teoriju skupova, onda sveklauzule moµzemo iskazati u jeziku logike prvoga reda.Postupak je sljedeci: umjesto zavr�ne klauzule koristimo izraz"najmanji skup".

Primjer

Induktivna de�nicija pal-niza slova. Skup pal nizova slova je najmanji skupkoji zadovoljava sljedece klauzule. Osnovna kaluzula: svako slovo abecedeje pal. Induktivna klauzula: ako je niz slova α pal, onda je pal i niz slovakoji nastaje kada se α doda isto slovo sprijeda i straga (npr. bαb).() Matematiµcka indukcija sijeµcanj 2008. 20 / 32

Induktivni dokaz Najmanji skup

Najmanji skup

Ako nam je dana neka zbirka K skupova koji zadovoljavaju uvjete U,onda ce presjek svih skupova iz kolekcije zadovoljavati uvjet U. Tajskup mora biti najmanji, jer kad uzmemo presjek neke zbirke skupova,rezultat ce uvijek biti podskup bilo kojeg izvornog skupa.

Zadatak

Pitanje

Neka je K kolekcija skupova µciji µclanovi zadovoljavaju uvjete U. Dokaµziteda je

\K = fx j 8a(a 2 K ! x 2 a)g najmanji skup, to jest da za svaki

skup a 2 K vrijedi da\K � a.

Dokaz.

Pretpostavimo da postoji skup koji je manji od\K :

(*) 9b[b 2 K ^ :\K � b]

Tada mora postojati neki predmet e takav da e 2\K i e /2 b. Ali to nije

moguce jer po de�niciji za\K , b 2 K ! e 2 b i po pretpostavci

dobivamo e 2 b.


Induktivni dokaz Aksiomatizacija prirodnih brojeva i primjena indukcije

Giuseppe Peano (1858-1932) dao je jednu aksiomatizaciju aritmetike,koja se prihvatila kao adekvatna formalizacija aritmetike.

Aksiomi:

1 8x8y(x + 1 = y + 1! x = y)Najvi�e jedan sljedbenik.

2 8x(x + 1 6= 0)0 nije sljedbenik.

3 0+ 1 = 14 8x(x + 0 = x)5 8x8y [x + (y + 1) = (x + y) + 1]De�nicija zbrajanja (4,5)

6 8x(x � 0 = 0)7 8x8y [x � (y + 1) = (x � y) + x ]De�nicija mnoµzenja (6,7)



Aksiomska shema:

Pored aksioma PA ima i aksiomsku shemu koja izraµzava principmatematiµcke indukcije za prirodne brojeve.

8. [Q(0) ^ 8x(Q(x)! Q(x + 1))]! 8xQ(x)



Poseban sluµcaj

Aksiom 8. pokazuje jedan poseban sluµcaj primjene indukcije. Ako trebamodokazati 8x(N(x)! Q(x)), onda trebamo dokazati (osnovni korak)Q(0), te (induktivni korak) Q(x)! Q(x + 1). Oµcigledno je da ovaaksiomska shema pretpostavlja induktivnu de�niciju prirodnog broja ukojoj adicija +1 daje induktivnu klauzulu : Skup N je najmanji skup kojizadovoljava sljedece uvjete: 1. 0 2 N i 2. ako n 2 N, onda n+ 1 2 N.



Vjeµzba

Zadatak

Otvorite Exercise 16.19 i dokaµzite 8x(x + 1 = 1+ x). µCetvrta premisadaje nam potrebnu instancu aksioma matematiµcke indukcije. Ona nampokazuje kako moµzemo dokazati traµzeno. Naime, treba dokazati0+ 1 = 1+ 0 i 8x [x + 1 = 1+ x ! (x + 1) + 1 = 1+ (x + 1)]


Pouzdanost logike prvoga reda

Teorem pouzdanostiSoundness theorem

Tvrdnju da se reµcenica S moµze dokazati pomocu skupa premisa T usustavu prirodne dedukcije za istinitosno funkcionalne veznikezapisujemo ovako:

T ÌF STvrdnju da je reµcenica S tautolo�ka posljedica skupa premisa T (tj.da naslje�uje istinitost pod dodjeljivanjem istinitosnih vrijednosti)zapisujemo ovako:

T j=DIV S

Teorem (Pouzdanost sustava ÌF )Ako T ÌF S, onda T j=DIV S.



Strategija dokaza

Dokazavat cemo jaµcu tezu.

Pokazat cemo da je bilo koja reµcenica koja se javlja u bilo kojem korakudokaza d u sustavu ÌF tautolo�ka posljedica pretpostavki koje su nasnazi u tom koraku.Ova se tvrdnja ne odnosi samo na reµcenice koje su premise dokaza vec ina reµcenice koje se javljaju u (pod...)poddokazu ma koliko duboko onebile "ukopane".Pretpostavke koje su na snazi uvijek ukljuµcuju glavne premise dokaza,ali ako promatramo korak u nekom (pod...)poddokazu, ondapretpostavke na snazi na tom koraku ukljuµcuju sve pretpostavke tog(pod...)poddokazu.

Tvrdnja da je bilo koja reµcenica u dokazu d posljedica prvoga redapretpostavki na snazi u tom koraku povlaµci teorem o pouzdanosti.

Naime, ako se S javlja na glavnoj razini u d , onda su pretpostavke iz Tjedine pretpostavke na snazi u tom koraku pa je S njihova tautolo�kaposljedica.



Dokaz indukcijom

Dokazujemo induktivni korak.

Valjanim nazivamo korak u dokazu ako reµcenica dobivena u tomkoraku jest tautolo�ka posljedica pretpostavki koje su na snazi u tomkoraku.

Pretpostavit cemo da smo na n-tom koraku i da su svi prethodnikoraci bili valjani. Pod tom pretpostavkom (induktivnom hipotezom)pokazujemo da je i ovaj, n-ti korak valjan.

Svaka je izvedena reµcenica dobivena primjenom pravila na prethodnimreµcenicama. Buduci da su u ÌF dopu�tena samo pravila uvo�enja iuklanjanja za logiµcke konstante :, ^, _, !, $ i ?, potrebno jedokazati da ma koje se pravilo koristilo u koraku n, taj korak jestvaljan.



PrimjeriValjanost uvo�enja kondicionala

Dokaz.Pretpostavimo da n-ti korak u dokazu izvodi reµcenicu P ! Q putemprimjene pravila ! Intro. Neka su na snazi u tom koraku pretpostavkeA1, ...,An. Pretpostavimo da je rijeµc o nevaljanom koraku. Tada za nekododjeljivanje istinitosnih vrijednosti h vrijedi h (Ai ) = > za i = 1, ..., n,h (P) = >, te h (Q) = ?. Buduci da su pod pretpostavkom induktivnehipoteze svi prethodni koraci bili valjani i da ! Intro zahtijeva pozivanjena poddokaz s pretpostavkom P i zavr�nom reµcenicom Q, ispitajmo koraku kojemu se izvodi Q. Na snazi su u tom koraku pretpostavkeA1, ...,An,P. Promotrimo vec opisano dodjeljivanje h. Buduci da je ovajkorak valjan, vrijedi h (Q) = >. No to je u kontradikciji sa suprotnompretpostavkom.



Vjeµzba

Pitanje

Dokaµzite sluµcaj u kojemu se u n-om koraku primjenjuje pravilo _Elim!



Jedan korolarij

Korolarij je rezultat kojeg lagano moµzemo dobiti iz nekog prethodnogteorema.Primijenimo teorem pouzdanosti na sluµcaj dokaza bez premisa.

Korolarij

Ako ∅ ÌF S (tj. ako postoji dokaz bez premisa za S), onda je Stautologija.

Dokaz.Po teoremu pouzdanosti izvedene konkluzije su tautolo�ke posljedicepremisa. Iskaµzimo konzekvens drukµcije: za svako istinitosno vrednovanjevrijedi da ako su (*) pod njime istinite sve premise, onda je (**) pod njimeistinita i konkluzija. Buduci da u ovom sluµcaju premisa nema, na isprazanje naµcin zadovoljen uvjet (*): to jest, u svakom su vrednovanju istinite svepremise jer ih nema. Zato mora vrijediti da je konkluzija istinita u svakomvrednovanju: ona je, dakle, tautologija.



Problem

Zahvaljujuci teoremu pouzdanosti znamo da su samo tautologijedokazive, ali ne znamo jesu li sve tautologije dokazive.


Documents

Matematiµcka indukcija - Filozofski fakultet u Splitumarul.ffst.hr/~logika/2007/11sijecnja/indukcija.pdfMatematiµcka indukcija Kritike indukcije: nedostatak dokazne snage Ruƒer