Matematicki list 1969 III 3

7/15/2019 Matematicki list 1969 III 3

http://slidepdf.com/reader/full/matematicki-list-1969-iii-3 1/17

VAZNA OBAVESTENJA

1. Urednistvo poziva nastavnike i profesore matematike kao i ostalc dita-oce da Salju svoje priloge za list: Elanke, odabrane zadatke, zadatke sa prijenrnihispita i matematidkih takmiEenja, razne zanimljivosti. PoZeljno je da svi rukopisi(osim u6enidkih re5enja zadataka) budu pisani pisacom ma5inom s prorcdonr, a

crteZi izradeni na posebnoj ivr5coj hartiji. Rukopisi se ne vracaju.

2. ,,Matematidki list" idazi 5 puta u toku 5kolske godine i to u: oktobru,decembru, februaru, martu i maju. List je namenjen svint uienicitrra V-Vlllrazreda osnovne Skole.

3. Godi5nja pretplats (za svih 5 brojeva) iznosi 6 n. di@ra. Van pretplate

prodajna cena lista je f,50 n. dinara po primerku. Obradun po pretplatnoj cenivrii se samo kad su naruieni svi brojevi /ista (l-5). lsto vaZi i za naknadnenarudZbe (u toku godine). NarudZbe se Salju na adresu lista, a novac na iiro-radun ,,MatematiCkog lista" broj 60E-t-1433-10 sa naznakom na sta se narudZbaodnosno uplata odnosi (na koje brojeve i koliko primeraka od svakog broja).Obavezno navesti tainu adresu na koju list treba slati. Placanje se moZe vriiti iu ratama, ali tako da za svaki primljeni broj dug bude odmah iznriren.

4. RaspolaZemo joS izvesnirn kolidinama svih brojeva lista iz Skolskc1967168. godine (brojevi II. l-5), tako da ih moiete naknadno naruiiti. lspo-ruiujemo ih pod istim uslovima.

5. Molimo poverenike ,,Mat. lista" iz Skolske 196'/168. godine da odrnahizmire sva zaostala dugovanja.

6. ,,Matematirlki list" ce i ove godine dodeliti nagrade ikolana k<ticbudu imale procentualno najvi5e pretplatnika (u odnosu na ukupan broj uCenikaV-Vlll razreda). Detaljna obaveltenja o tome (i uopSte o ,,Mat. listu") datasu u na5im raspisima koji su svinr Skolama dostavljeni u septembru 1968. godinc.

7. Sve priloge, primedbe i narudibe slatiiskljuiivo naadresu:Matematiiki list, Beograd, p.p. 728.

SADRZAJl. B. Marinkovrc: ReSavanje sistema linearnih jednadina pomocu deter-

minanti2. M. Sevdit: Dobivanje pravilnih poligona presavijanjern papira.. ....3. Kako biste pomogli muhi koja ne zna geometriju?4. Zadaci sa prijemnih ispita za upis u srednje Skole . .

5. Oaabpauu 3aAaux6. Konkursni zad,aci .

7. Re5enja konkursnih zadataka iz ,,Matematidkog lista" lll.2 ........8. Re5ili konkursne zadatke iz ,,Mat. lista" lll.2 .....9. Marertlarnqxa raxMnr{e$a yqeHuxa ocHoaHHX urro,ra (:a4aqil) . . . . . .

10. Matematidka razonoda (Zanimljivosti o brojevima. Zrnca) .

ll. Rezultati konkursa za nagradni zadatak br. 7 .

12. Nagradni zadatak br. 9.

13. Rezultati konkursa za nagradni zadatak br. 8 . ...... 3. str.

MATEMATIEKI LISTZA UCENIKE OSNOVNE STOTN

UI

aJ

657l7677788lL285

899l9l

96koricl

BEOCRAD1969.



SAVEZ DRUSTAVA MATEMATIEARA, FIZIEARA I ASTRONOMAJUGOSLAVIJE

MATEMATIEKI LIST

za ulenike osnoyne Skole

God. III, broj 3 (1968/69.)

lzlazi pet puta godi5nje

IZ,DAJ[' DRUSTVO MATEMATIEARA, FIZIEARA I ASTRONOMASR SRBIJE

Beograd, p. p. 791, Knez Mihailova 35/IV

Ureeluje Redakcioni odbor

Glavni urednik prof. dr M. ILIC-DAJOVIC

Odgovorni urednik B. MARINKOVIC, prof.

prava umnoZavanja, preitanrpavanja i prcvotlcrr.ja zatlriavirDruStvo matematidara, fizidara i astronornl SIt Srbi.ic

B. Marinkovi( (Beograd)

RESAYANJE SISTEMA LINEARNIH JEDNACINAPOMOCU DETERMINANTI

I

U ovom 6emo dlanku izloZiti jedan za vas novi nadin re5avanjasistema linearnih jednadina sa dve nepoznate. Medutim, da biste to

bolje razumeli, prethodno iemo se podsetiti, ne upu5taju6i se u detalje,nekih vaZnijih dinjenica o jednadinama.

1. Linearne jednaEine sa iednom nepoznatom

Kao Sto vam je poznato, za reSavanje takvih jednadina, u naj-op5tijem sludaju, primenjuje se slededi postupak:

l) oslobadanje od razlomaka-ukoliko ih ima (mnoZenje jedna-Cine najmanjim zajednidkim imeniocem tih razlomaka),

2) uklanjanje zagrada (izvodenje naznadenih mnoienja i stepeno-vanja),

3) razdvajanje ,,poznatih" i ,,nepoznatih" dlanova,

4) svodenje slidnih dlanova na obema stranama jednadine, tj.dovodenje jednadine

na oblik Ax:B(A

i B su brojevi koji nezavise od x),

5) deljenje obeju strana jednadine koeficijentom uz nepoznatuda bi se dobila vrednost nepoznate - re5enje jednadine,

6) proveravanje re5enja.

P r i m e r. -. Primenjuju6i navedeni postupak na jednadinu

6x-5 8x-l 2x-36-10:15'

po5to je NZS(6, l0 t5):30, posle mnoZenja obeju strana jednadine

sa 30, imaiemo redom:

s (6x-s)-3 (8x- t):2(2x-3)30x-25-24x+3:4x-6

3Ox-24x-4x: -6+25-_32x:16l z2

x:8Stampa: Beogradski grafidki zavod, Bcograd, Ilul. r,oirrrtlc Mi\ica br. l7

65



Proveravanjem se uveravamo da x: 8 zadovoUava datu jednaclnu:dobija se dir je vrednost Jeve strane l3ll5, a desne takode 13115.

Napomena.-

Prilikom deljenja (mnoZenja) jednadine nekimtzrazom treba imati na umu, kao Sto vet znate, da taj izraz za traZefluvrednost nepoznate ne bude jednak nuli.

Svaka linea.rna jednadina sa jednom nepoznatom, ma kako bilakomplikovana na prvi pogled, zamenjivanjem ekvivalentnim jednadi-nama (koraci 1-5), tj. pri resavanju, na kraju se svodi na jednadinu

oblikaAx: B, (*)

gde su A i B brojevi (izrazl) koji ne zavise od x.

To je op5ti oblik linearne jednadine sa jednom nepoznatom. Prinjcnom re5avanju mogu6a su slededa tri sludaju:

1" Ako je A*0, jednadina (x) ima za reienje broj BlA.

2" Ako je A:0 i B + 0, onda se jednaiina (x) svodi na 0 .x:,Ri nema reienje, jer je nemogu6e da bude 0:8.

3' Ako je i A:0 i B:0, onda jednadina (*) postaje 0.x:0(to _ie identitet) i svaki broj je njeno re5enje. KaZe se da je tadajednadina neodredena.

2. Jedna linearna jednaiina sa dve nepoznate

Op3ti oblik takve jednadine je ax rhy--c, gde su a, bi cnekipoznati brojevi.

Postavlja se pitanje da li jedna jednaEina sa dve nepoznate imare5enja i kako se ona nalaze.

P ri m U jednadini 2xl- y - 8 moZemo za y staviti bilokoji broj, na primer, y:2; tada je 2xt 2-8 (sad .je to jednadina

sa jednom nepoznatom); odatle je ."': 3. Znati, moZcmo re6i: x-_- 3,

y:2 ili jo5 bolje, par brojeva (3;2) jejedno re5enje clrtte jeclnadine

sa dve nepoznate. Na slidan nadin bismo se uvcrili da jc i par (x;l) : (a; 0)opet jedno re5enje te jednadine. Naprotiv, par (4;5) nije reienje tejednadine. Lako je videti da jednadina 2x 1 y.- ['l ima beskonaino mnogo

reienja. Tajednadina

izrai.ava odredenu zavisnost izmedu x i 7. Raditoga vrednosti jedne od promenljivih -rc i 7 moZemo zadavati pro-izvoljno. Ali, ako damo neku vrednost za .r, onda 6emo odgovaraju6uvrednost za y odrediti zavisno od date vrednosti za x. Da bi se ovoodredivanje odgovaraju6ih vrednosti Sto lakSe vr5ilo, moZe se data

66

MoZemo praviti

-y (pri tome za momenat smatramo x poznatim

y:8-2x.i poznatu tablicu;

Uop5te, za x-k

dobijamo da jey:8-2k, te

jeskup od bes-konadno mnogo re5enja jednadine 2x+y:8 dat formulami:

x:k, r:8-2k ili (x; l'):(k; g-2k\.

Naravno, mogli smo podeti da da-iemo vrednosti za y, na primer!:tnt, a da za x odredujemo odgovarajuie vrednosti, pa bismo irnali:

8-mx: -)- , !:il.

Zadatak l.-

Napisati nekoliko reienja jednaiine

t ,-? v-2:0.4 3-ReSenje.

- Jednadinu6emo najpre svesti na oblikax+by:c(m1rgienjem sa 12 i prebacivanjem

,,poznatog,.dlana na clrugu

strinu).Dobija se jednadina 3x+8y:24. Evo nekoliko njenih resenla: (0;3j,G;312); (-8; 6) itd.

Zadatak 2.-

Koliko treba da bude m u jednaiini (m+5) x+* my :7 da bi ta jednaiina kao reienje intola par brojeva x: 3, / :'

-4?ReSenje.- Mora biti (m+5).3-m.4--7, odakle m:g.Zadatak 3. -- Obim je&ukokrakog trougla .ie 10. Kolike su

mu strcnice?

.ReSenje. - Neka x bude duZina osnovice, a y - duZina krakatrougla. Tada je x+-2y:10. Imamo, znadi, jcdnu jednadinu sa dvenepoznate. Ova jednadina, shodno onome 5to smo napred rekli, imabeskonadno mnogo lesenja. Medutim, sva ta resenja ne zadovoljavajuuslove zadatka; treba odabrati samo ona koja su pozitivna i-tatva

9")" ::.Zyi y<5.,(Zalto)?). Zadovoljavaju, na primer, parovi (2; 4)

i (3; 3,5), a ne zadovoljavaju, recimo, (6; 2) i (-2; S).

Kakav eeometrijski smisao ima jedna linearna jednadina sa dvenepoznate i njeno re5enje?

jednadina ,,reSiti" pobrojem), tj.

I0

l

I

.l

I

4

0

I

6

J

,l

67



Uzmimo jednadinu 2x+ y:4. lz nje imamo y: -2x+ 4.

Ovde je y linearna funkcija argumenta x (i obrnuto). Grafiklinearne funkcije, kao Sto znate, leste prava linija. Odatle sledi dajednadina prvog stepena sa dve nepoznate geometrijski predstavljapravu liniju, tj. geometrijski lik koji odgovara takvoj jednadini jeste

prava linija. (V. dlanak ,,O linearnoj funkciji" u ML II-5). PoloZajprave odreden je sa ma koje dve njene taEke. ZnaEi, da bi se pravanacrtala dovoljno je naii koje bilo dve njene ta6ke. Na primer, za

y:0 iz 2x+y:4 dobijamo x:2. Na5li smo jednu tadku A(2; O).Stavimo li x:0 dobi6emo y:4, te smo tako na5li jo5 jednu tadku

,(0; a) koja pripada traLenoj pravoj. Ostaje da se u koordinatnomsistemu nacrtaju te tadke A i B i da se povude prava AB. (Udiniteto!). Na pravoj ima beskonadno mnogo tadaka. Otuda je jasno za5tojednadina 2x+y:4 ima beskonadno mnogo re5enja.

3. Sistem od dve linearne jednaline sa dve nepoznate

Neka je dat jedan takav sistem:

2x_3y:r1] (r)5x+4y: 7 )

Prva jednadina ovog sistema ima beskonadno mnogo reSenja,

druga takode ima beskonadno mnogo re5enja. ReSiti sistem od dvelinearne jednadine sa dve nepoznate zna6i na6i ono od svih tih re5enja

koje je zajedniiko obema jednadinama sistema. Na primer, jedno od

mnogih resenja prve jednadine datog sistema je x:3, y: -2;jedno

od re5enja druge jednadine je takode x:3, l:-2. Dakle; x:3,!: -2, tj. par (3; -2) jeste zajednidko reSenje tih jednadina: taj par

brojeva istovremeno zaflovoljava obe jednadine sistema.

Cesto, narodito u novije vreme, kaZe se da resenje sistema jed-

nadina jeste presek svih re5enja prve jednadine i svih reienja drugejednadine sistema.

Medutim, par brojeva (10; 15) ne zadovoljava nijedanu jedna-

dinu sistema (l), par (6; 0) zadovoljava prvu jednadinu ali ne zado-

voljava drugu jednadinu tog sistema. U oba ova slu6aja sistem (l)nema re5enja.

A kako se dolazi do zajednidkog reSenja?

Ima za to vi5e metoda. Vama su svakako poznate ove tri: a)

metoda komparacije, b) metoda supstitucije ili zamene i c) metoda

suprotnih koeficijenata. Te metode 6emo ilustrovati na primerima.

68

a) Metoda komparacije.- ReSimo sistem

2x-,3t: 12l5x+4y: 7 )

5x+3y: l3 )

2x- y: I l

(t )

rz prvejednadine imar 12 -- 3'tno da je

":' -,;-.,a izdrugex:

7 -4v5

. 12+3v 7-4tpa jery::-:l (linearna jednadina sa I nepoznatom), ili

255(_12+ 3y):2Q-ay) idalje:60+ l5y:14-8y,23y: -46,y: -2;ada je x:3. Prema tome, re5enje sistema (l) jeste par-brojeva(x; y): (3;-2).

b) fuIetoda zamene (supstitucije). - Re5imo sistem

. .Iz druge jednadine izlazi y:2x-3; ako to zamenimo u prvoj,imaiemo: 5x+3 (2x-3):13 ili 5x+6x-9:13, llx:22,'x:t,te je y :2. 2-3 : L Znali, reSenje je (2; I ).

c) Metoda suprotnih koeJicijenata.-

Re5i6emo po toj metodisistem (l).

PomnoZimo prvu jednadinu sa 4, drugu sa 3 i saberimo takodobijene jednadine:

2x-3y:12i.4 J,

5x+4y-- 7 i.3 )

Dobi6emo (proveri):

23x:69, odakle je x:3.Slidno, ako pomnoZimo prvu jeilnadinu sa - 5, drugu sa 2,

dobili bismo da je y: -2. Prema tome, metod suprotnih koeficijenatasastoji se u tome da se obe jednadine pomnoZe tako odabranim bro-jevima da posle toga koeficijenti uz istu nepoznatu u obe jed-nadine budu suprotni brojevi. Zatim se obe tako dobijene jedna8inesaberu. Time se dobija jednadina koja sadrZi samo jednu nepoznatu.Ova se jednadina onda reSi po toj nepoznatoj. Vrednost druge nepo-znate moLe se dobiti bilo na isti nadin, bilo da se nadena vrednostza prvtr nepoznatu zameni (uvrsti) u jednu od zadanih jednadina(obidno onu koja je jednostavnija).

69



T

Kao Sto znate, sistem od dve jednadine

nepoznate u op5tem obliku izgleda ovako:

I ar-r bJ: ct

I arx* bz!: cz,

gde su x i y nepoznate velidine, ?. a1, b1, cp oz, br, cr, stt neki po,znati

brojevi.Pre nego Sto se sistem linearnih jednadina sa dve nepoznate

podne reSavati po bilo kojoj metodi, treba ga (ako to ve6 nije) svestina oblik (l).Primenimo metod suprotnih koeficijenata na sistem (i): ako

prvu jednadinu pomnoZimo sa br, a drugu sa -61, dobiiemo:

arbrx + brbry: brc,

-arbrx-brbz!: -b{2,odakle, posle sabiranja ovih jednadina, sledi:

(arbr-arbr\ x - brcr-brc, (2')

Milenko Sevdid (Zagreb)

DOBIVANJE PRAVILNIH POLIGONA PRESAVIJANJEM PAPIRA

U ,,Matematidkom listu" II. 3 pokazali smo kako se neke osnovne geo-metrijske konstrukcije izvode pomo6u presavijanja papira (umjesto Sestara i lenjira).Ovdje 6emo pokazati kako se presavijanjem papira mogu dobiti (konstruisati)neki pravilni poligoni. Da biste to bolje razumjeli bit ce dobro da uzmete papiri da uporedo s ditanjem sve praktidno izvodite.

Primjer 1.-

Naiiniti jednakostraniian trokut.

RjeSenje - a) Presavije se papir po nekom pravcu MN (sl. l). Nataj rub se nanese zadana stranica AB trokuta. Presavijaju6i papir tako da taEkaI padne u taEku B, dobiva se okomica .ED u sredini D duiine lB. Preklopimoli ,4,8 oko A tako da B padne u tadku C na ED, tada je trokut ABC traienijednakostranidni trokut.

b) Jednakostranidni trokut moZemo dobiti i iz papira u obliku vroce.Neka je vrpca na samom poietku odsjedena po rubu AB koji je okonrit naduZinu vrpce (sl. 2). Inade tu okomicu nroZemo dobiti ako rutr duZ vrpce pre-savijemo tako da se presavijanjem rubovi podudare.

prvog stepena sa dve

(l)

I

Itl

Na slidan nadin, ako prvu jednadinu u (l) pomnoZimo sa. --d2ta drugu s4 ay d onda dclbijene jednadine' saberemo, dobidemo:

(arbr-arbr)y - erca--qzct (2")

Prema tome, dati sistem (l) sveli smo na ekvivalentni mu sistem:

(arbr--arbr'Sx:brcr-brc, .1fri

(arbr- arbr) y : ct{2- a2c1 )

iz icojeg se neposredno dobija za resenje ovoj par brojeva:

,: !'-'t-b(2. v -atc'- !2!l . (3)

arbr-arb, -arbr-arb,

Jasno -ie da pri tome izraz arbr'- arb, ne sme biti jednak nuli,

tj. treba da je arbr-a,bt+O (zaSto?).

Prema tome, sistem jednadina (l) moZemo re5avati koriste6i se

gotovim formulama {3) za resenje. Na prvi pogled izgleda da se te

formule teSko pamte. Medutim, njih moZemo napisati i drugadije,

u formi pogodnoj za pam6enje i praktidnu primenu. Radi toga 6e bitipotrebno da se upoznamo sa jednim za vas novim pojmom. O tome

ce biti redi u nastavku ovog dlanka (v. ML III. 4).

( Nastavite se )

70

lf

Vir/!\

,'i'.tl"r-

., ltl' ) z'\tv'

t //l \,-/l r

4.tzt I r.-;----- j-----tssl. I

s

sl. 2

Presavit ccrro zatim vrpcu na taj naEin da se njen gcrnji rub podudaris donjim rubon. Tacia dobivanro rub CD. Poslije toga 6enro presaviti vrpcu oko,4 iako da -B padne u taiku E na CD (presavijen rub je

'4F). l)io ruba 8F pripresavijanju oko lC pada u EF. Treba k<-'naf,no nadiniti presavijanje oko E{tj. dobiti rub .FEG.

-Kao kontrola rnoZo posluZiti i to Sto lI mora pasti u

tome momentu na rub FI{.- Dobiveni trokut ..41G je traZeni jednakostranilni

trokut.Da je trokut IFG jednakostranidan pokazat cemo ovako: ponajprrje cemo

utvrditi da je trokut l,B,E jednakokradan s bazom AB. To slijedi iz izvedenekonstrukcije. Nadalje se dobiva da je AB==AE. 1z toga svega zaista slijedi daje trokut ABE jetlnakostranidan. Prema torne imamo da je: 4. ABE:60".+sB.F:30" .,i.AI:8"= 4AFE-60", +BAF=.30" i 4FAG:60'. Dakle trokutAGF ima tri jednaka kuta od 60".

Plinrj er 2. - Naiiniti kvadrat iz komada papira.

Rje5en j e - a) Presavit 6emo papir da dobijemo rub l.B (sl.njemu presijeiemo parir. Na lB nanesemo duiinu stranice kvadrata

3). PoCD. U

1t



tadkama C i D presavijanjem uzdignemo okomiceCE i DF. UzduZ njih opet Skarama (makazama) pre-sijeEemo papir. Presavijemo sada papir da CD padne

na DF i naEinimo rub kroz D. TaEka C ie pasti utaiku G. Dobit 6emo rub DH, koji je upravo dija-gonala kvadrata. Prema tome je .EI tetvrti vrh kvad-rata. Presjekav5i papir Skarama uzdui GH dobivamotraieni kvadrat.

b) Natiniti kvadrat iz papira u obliku vrpce. Sl. 3

1. Vrpca je presjeEena po okomici AB. Sada presavijemo vrpcu tako da

AB padne u .BC. Time je dobivena tadka C (presavijeni rub BD)' Zatim iemo

BC presaviti oko C tako da padne u rub Cl(presavijeni rub CD). Tako se dobiva kvadrat

ABCD (sl. 4).

2. MoZemo koristiti i dvije vrpce Zr i Zt

iste Sirine (sl. 5). Treba svaku od njih presaviti

po 5irini tako da se na njima dobivaju okomice

AB i BtCt. Zatirr se jedna tako presavijena

vrpce (/,) ttvuie u drugu (l/r) na taj naEin da

se donja polovina prve vrpce uvuEe izmedu

dijelova druge vrpce. Vrpce se zategnu i zatim

ruba CD, a tlruga uzCui ruba ,{D (sl. 6). Tako

(uzla) pomo6u komada Spage (kanapa) (sl. ? a i ? b). Kada naEinimo Evor,zaista nitko, ne bi u prvi mah u tom Cvoru vidio pravilan peterokut. O tomiemo se uvjeriti ako mjesto Spage uzmemo jednu vrpcu papira-paralelnih rubova,pa pomo6u nje nadinimo dvor na isti nadin kao Sto smo nadinili dvor pomo6u

" . . Sia.'fl' ':trrlt"'rrl':'r'i:li:'ll sl. 8

Spage (sl. 8)._ Poravnamo 1ateiuti krajeve i pazeli da ne poderemo gdjegod narubu taj papir. Tako dobivamo lik kao Sto je prikazan ni sl. 9.

BCE

i\ l-)\rIi'.i\i j_)AI)F

sl. 4

fI

I

I

t

presaviju i to prva uzduZ

81 cr se ustvari dobivaju ietiri jednaka

kvadrata.

.. Treba sada pokazati da smo tu zaista dobili pra-vilan peterokut,

- -Ako razvijemo vrpcu, dobivamo detiri trapezapredoiena na sl. 10, gdje isto slovo razliditih ind'eksa Doznaduje taEke koje se podudaraju.

Tako imamo:

4DzC2BL:4DtCt82

4 C2BtAt: 4CtB2C2

4 BtAtEt:482A2E2

CrD2: Cr82

BrA, : gr3,

B, A1 : ArE,

X.\\.,,.'"4.i7

st. 9

iti

sl. 5 sl. 6

Primjer 3. - Konstukcija pnlilnog peterokuta.

Napomena. Konstrukcija i obrazloZenje pomocu izvodenja na ma

kakovome konradu papira porresto su poduZe i sloienije i zahtijevalo bi to ve6ne5to vi5e znanja iz geometrije, pa 6emo se stoga samo zadrZati na konstrukcijiponro6u papirne vrpce.

R j e 5 e n j e. -- Prije nego Sto provedemo samu konstrukciju pozvat

cemo se na jedan postupak iz svakidainjeg iivota. Mislinro na pravljenje dvora

72

st. l0

Odatle slijedi: C z Dz : C 2 By : B 1 A, : A, E, : pt, C 1: C 1 82 : B, A, : A, 82. prema

tome su dv_a krajnja ttap.eza jedna_kokradna i jednaki. Stieno ui s-e-pokazalo,

d,1_11 gva detiri trapeza jednaka. odatle se lako izvodi zakljudak, da peterokuiABCDE na sl. 9 ima jednake stranice i kutove, pa je prema tome

'pravilan.

,ltiif,i

iiffi

sl. I

73



P r i m j e r 4.: Dobivanje pravilnog Sesterokuta (heksagona): a) pomotukomada papira u obliku jednakostanidnog trokuta; b) pomotu papira u oblikukvadrata; c) pomoiu dvije papirne vrpce (jednakih iirina).

RjeSenje: a) Stranica heksa-gona je treiina stranice jednakostranid-

nog trokuta. Konstruiraju se dvije visineAD i CE jednakostraniEnog trokuta l.BC(sl. ll.). Presaviju se vrhovi A, B, Cda padnu u taEku O u kojoj se sijekuvisine lD i CE Tako dobiveni lik jetraZeni Sesterokut FGHIJK.

b) Uzet iemo da je stranica papirau obliku kvadrata dva puta veia odstranice Sesterokuta, tj. stranica kvadrataje jednaka dijagonali kruZnice opisaneoko Sesterokuta.

Presavit iemo sada ictverokut, dadobijamo kvadrat OLCI (sl. 12.), kojije Eetvrtina velikog zadanog kvadrata.Ponajprije odredimo raspolovnicu PR, azatim preloZimo 01 oko O tako da tadka1 padne na rub PR u tadku f1. Timedobivamo rub O,5. NaEinimo i rub 111 i joi okomicu ZY na CL. Razvijemo liovako savijeni papir dobivamo traZeni pravilni Sesterokut EFGHIJ (Sl. l3).

Kao 3to iz slike vidimolik OZHI zaista predoduje Eet-vrtinu 5esterokuta u kome suOZ i OI osi simetrije. Buduiida je trokut 0111 jednakostra- L

. .Ako sada mjesto Spage uzmemo dvije papirne vrpce, pa ih sloZimo kaoSto je to udinjeno sa,Spagom dobivamo sl. 15.a.

-Ak; op;t vrpce zategnemo

i poravnamo pazeti da ih ne zaderemo jednu u drugu, dobit Cemo sl. t5. D. -t

Primj er 5.: Natiniti pravilan osmerokut.

. .Rj"Senje: a) ,Pomotu papira u obliku kvadrara.-

ponajprije iernouzeti da je stranica kvadrata jednaka promjeru opisane kruinice, tj..idonita aiji-gonali osmerokuta.

Presavit 6emo papir tako da do-bijemo kvadrat OICK (sl. 17.) koji jeupravo detvrtina datoga kvadrata. Nadi-nimo rub presavijajuii kvadrat po dija-gonali IK, a zatim nadinimo raspolovniceIN i KM. Razvijemo li papir poslijesavijanja dobivamo pravilni osmerokutEFGHIJKLE (sl. 18.).

b) Pretpostavit iemo sada da jestranica datoga kvadrata jednaka pro-mjeru (preiniku) upirane kruinice uosmerokut.

I!

FE68sl. ll

st. 15

Poku5ajte sami pokazati da su jednake stranice AB:BC:CD:DE:EF:FA ida su mealusobno jednaka tri jednakokraEna trapeza vrpceV, koji su predoEeni

ry gtj 19.a. I9tg. tako pokaZite da su jednaka i tri trapeza na drugoj- vrpci V,(sl, 16. D). Buduii da Ses'erokut ABCDEF ima sve stranice jednake i ive i<utovejednake, prema tome je on pravilan.

CBE0

VRPCA Vr

VRFQ\ VI

0r

sI.16

niEan i HI:OI, pa su toupravo duZine straniCa. Nadalje z

OIvidimo da je ZH:OO:

t-,tj.. polovina stranice. KonaEnorazabiramo da odgovarajuiikutoviulfiuliznoser20'i 60".

c) I ovdje iemo se po-sluZiti Spagom (kanapom). Po-znato je kako se iz dva kon-rada Spage moZe na6initi tzv. ikautski ivor koji seponekad zove i mornarski ivor. Postupak se razabire iz sl. 14.

c1

R

sl. l2a

I

li

",,.l'ifli=t ,F ;;i;-*' *',....b]

sl. l4 sl. l7 sl. l8

74 75



Savit demo papir tako da se dobije pravokutan trokul OMC (sl. 19.) kojije osmina zadanog kvadrata. Da bismo dobili raspolovnicu O.l kuta u O presavitcemo trokut tako da OM padne u OC. Tadka M pa.da u talku J m OC. Tatimpresavijemo po rubu .L/. Razvijajudi dobivamo traZeni pravilni osmerokut (s1.20.).

sl. 19 sl. 20

Napomena I.: Poku5ajte nadiniti pravilan deseterokut ako je zadanpravilan peterokut.

Napomena II.: Bududi da su mreZe pravilnih tijela, tzv. pravilnihpoliedara (ima ih 5), sastavljene samo od jednakih jednakostraniEnih trokuta

[tetraedar (4), oktaedar (8) i ikozaedar (20)], ili jednakih kvadrata [kocka, tj.heksaedar (6)1, ili pravilnih jednakih peterokuta [dodekaedar (12)]' to poku3ajte

sami presavijanjem papira dobiti te mreZe.

KAKO BISIE POMOGLI MUHI KOJA NE ZNA GEOMETRIJU?

Na unatruSnjoj strani (stijeni, zidu) staklene wlikaste posude koioi ievisina 20 cm a promjer l0 cm vidi se kapljica meda udaliena 3 cm od gornjegruba posude (sl, I). Na vanjskoj slrani u tatki koia se nalazi upravo nasuprotkapljice sjedila je mtha. Muha do meda sigurno ne bi do\la naikratim putem,jer ne poznaje georTatriju i jer bi se pouzdala u svoja krila, pa bi odletiela dokapljice. Taj slutai letenja iemo iskljutiti.Da Ii biste vi pomogli muhi i pokazalijoj kojim bi najkratim putem stigla do kapljice meda?

lltl\locm.37e3l;cm (Sdje smo uzeli da jc rs3-^,3,14r. U tom pravoku-

tniku oznadimo poloZaj kapljice i muhe: neka se u ta6ki A nalazi kapljicameda (udaljena prema zadatku lTcm od osnovie), a na istoj visini u tadkiI neka se nalazi muha. Udaljenost z{8 kapljice i muhe iznosit ce polovinu

3opsega posude, tj. 15=cm.

4

Da bismo sada naSli talku u kojoj muha mora prijeci rub posude, pos-tupiti cemo ovako: kroz tadku z{ povudemo okomicu (normalu) na gornji-rub

pravokutnika i na njoj odredimo tadku C (s gornjc strane ruba) udaljenu odrula 3 cm (tadke z{ i C su simetriEne u odnosu na gornji rub; sl. 3). Spojivlitadku I s taEkom C dobit demo na gornjem rubu pravokutnika tadku D. Tatadka D bit dc upravo ona taEka u kojoj muha mora prijeCi na drugu stranuposude. Kako je DC:AD, i kako je BC ka'o pravac upravo najkraca spojnicatadaka 8 i C, to je i put BDA onila najkradi put muhe do kapljice meda.

NaSavSi ovako u ravni na pravokutniku n4jkraii put treba samo pravekutnik ponovo saviti u valjak, pa cemo na stijeni (zidu) posude vidjeti kudagtora i6i muha da Sto prije dospe do kaptjice meda. Nije sigurno, a i maloje vjerojatno ne bi li moZda muhu pri tome vodio 4ien njuh, pa bi'ona stva-rno i5la najkradim putem.

, - Proverite da li je duljina tog najkraceg puta u ovom studaju jednaka15,92 cm (pribliZno)!

Uporedite ovaj zadatak sa zadatkom 103. u ,,Matematilkom listu.. I.2(str. 57).

M. S.

W ilh

At--------:B

3lica

st. 2

tlt--. p

A

sl. 3

tI

Z A D A C I

Zariirlci so priiennih ispita ze rpis u sredde Skole

Hemijsko tehnoloika lkola u l*skovcu, jmi 1968.

l. Re5iti jednadinu

(r-l) (r-2) + x-(x+ l)2: (x-l) +2

2. Re5iti sistem jednaCina sa dve nepoznate pogodnom metodom:

l-r;21

3. Tri jednake pumpe mogu za l0 sati da isprazne bazen pun vode. Zakoliko treba povedati broj pumpi da bi se bazen ispranio za 6 sati? I2l

4. Izraiunati zapreminu valjka ako je datz visiaa II:20 cm i obim osnoveO -25,12 qn. [Z** 1005 crn!]

ft[r- -ll5]

4x+3y:2 \

Cx+Sy:a INajkradi put molemo pronadi na sledeci nadin. Ako zamislimo da je

pobolje valjkaste posude razvijeno u ravan lik, dobio bi se jedan pravokutnik(sl. 2) s visinom od 20cm i osnovicom jednakom opsegu posude, tj. pribliZno

76

sl. 20

st. I

77



#390.

Oaabpann 3aAaqu

Oan ea,qaus (a f,Ma rx 3a cBatrH pa3per) Tpe6a tra aaM nogyxc ea aex6y, npnn-peMabc 3a npnjeuwe ucnure B MareMarusKa raKMuyem. 3a4arxe tpe6a eMocruHoAa peuHTe, a HaBeaeHtr pe3ynTaTu, ytryTcTEa H pcueFa HeKa BaM cnyxe u KoHTpony.

Aputuuewuxa

I1tpauylfLarn, He rpaxehu cBaxr,r (oJlatrnr.rx rroce6ro:948:.12-8O4:12 II4/.:t2: t2l

39l. Konuxo 6n 6uo aucox cry6 cacraBJbeH oA cBlrx Mr{JrrrMerapcxnxKoqruqa caapxaHr{x y jeAHoM Ky6HoM Merpy aKo 6ncuo

lrxcre craruna je4xy

Ha Apyry?

. O4roqop.- Cry6 Br.rcox 1000 km. V I mr caApxauo je 1000 000 000 mm3,

a JeAHa Munr{JapAa M}rnuMerapa n3uocr{ MnJrHoH Melapa, rj. 1000 km.392. Konnxo xMa fiprrpoa]rlrx 6pojena AeJbuBux ca I I rojn cy Marlrl

o.q 1000? t90l393. IIpu Aerb€rby je4nor npupoanor 6poja ApyrnM Ao6ujen je ronu,r-

sux 18 ?r ocrarax 24. Kaxo he ce npouennrn Korrlrruux, a KaI(o ocrarar fiot,t AeJbeHr,rK u AeJrnnaq cMarbuMo 7 nyra? Hasecrfi 6ap gaa npHlrepa!

394. Kaa ce bpojenu 100 u 90 aerre ucrr.tM 6pojeu, onga he y rrpBoMcnyqajy ocrarar 6uru 4, a y ApyroM 18. Kojurvr je 6pojerr,r gereuo? lZ41

395. IIIra he 6uru ca xoJu,tqHr,r(oM aKo ce aeJbeur{K noMnr,txa ca 4, aAerlt,lnaq yMarbu 3a cBojy rrerxrry?

P e ur e rf, e. - Mnoxerren AeJbeHfiKa ca 4 xoluqnrlr he ce noteharn4 nyra. KaA ce AenrrJraq yMarf,r.r 3a csojy l/5 HoBH Aernnaq he urnocnrn 4/5npao6r.rrnor, re he ce Korr.rrrHuK noseharu 514 nyra. flpelra rove, xag ce

u3Bp[Ie obe nporvrere Korr.rrrHHK he ce uosehart 4.l:5 nyra.4'

Ilpoaepr ro Ha npnMepr.rMa!

396. Koruxo je carn? - rtura Mnna oqa.- Eso rra fi3parryHaj: ao xpaja

oBora AaHa rrpeocraJro je rpr.rnyr Marbe BpeMeHa Hero ruro je neh nporuno?Korrxo je raaa 6ulo carr.r? [6 caru yreue]

397. Ayrovo6rrrcr u 6uquuncr rrotunIr cy y 5 gacoBa n3 ABa pa3Ju4-

lrr.rra Mecra A u B jetax ApyroMe y cycper. Y 7 yacoaa oul,r cy ce cycp€nnH npo.qyx[n[ cy rryroBarbe ucrou 6p:raxow xojor"r cy n Ao raga umnu. Ayro-tuo6rlucr je y 8 crnrao y 7 tac. 30 min. Ka,qa je buqrrnncr crrl.rao y A aKoje ra oauop yrporuuo I .rac 45 min,?

Peruerle. -.(o cycpera ayrouo6rnucr je aoeuo 2 taca, a [ocnecycpera jour 30 Mr.rr{yra. 3na.rr, nyr oE A Ao Mecra cycpera .S 6uo je 4 nyra

Ayxr{ Ilero nr rIyT oa MecTa cycpeTa

A S ,B ,S ao B. Ocuu rora, rryr oA S xo A

I T Tbnurxnucr je rperyao sa

2-\aca'4++ l qac 45 min. :9 qac. 45 min. ,tI I curao je A y 16 qac. 45 min.

3e8. I4spa,ryraj l'(r,z]-r'l])['+]

Attie6pa

399. Ilorr,rohy u{$apa X, Y u Z MoxeMo ttailucarn 6 pa:nururNx 6pojesa.

l) Haruru oBr.rx rJecr 6pojera.

2) Aro je X<Y<Z nopebaj fiar]rcaue 6pojese no BeJrrlrr{Hr{.

3) Koju cy oA ulecr Harmcaxnx 6pojera je4xaxu aro je X:Z?4) floxaxr aa je r6xp rux 6 bpojena aelt'uy ca 222.

400. .(ara je jelHavunal-

1l ,*3):1:m:2.4' 1

l) Pernr.rrn oBy jeaHa.rnHy no x cvarpajyhu ,n no3HarHM bpojervr.

2) Oapeaurlr BpeAuocr 3a n ral<o AaI

Je x:i.

3) 3a xoje qeno6pojne BpeAHocrr.r npoMerlrr{Be m he 6uru O<.x<l?

Peurene.-

l) Ka4a ce Aara je.[Haqr.rua (nporopquja!) perur no x,4 m-9

ao6Hhe ce x:_.2t

I 4m-92\ Vt

,: Uraxo ao6ujaMo rfl:3.

3) florpebxo je,qa 6yae oa4f=9

<1. Ilocrraarpajr"ro2t

4 m-9unro 0<

,. Oraj paartorr.rax he 6r.rr[ no3ltr,Bau xaga je 4 rn

-9noluruauo,

rj,4m-9>O, mro he 6nrn xaAa je 4m>9 (ynranennr r"ropa 6uru s€hu oA

| 4m-9yuarruoqa), rj. xaa je m>2-. Mefyrrar'.r, ucroBpeMeuo uapa 6tru t4 -:-- <1.

Ho ogo he 6lrrn [cnyrbeHo 3a one BpeAHocrrr. npoMerubuue m sa xoje je 6poju-nalq 4m-9 Marsr{ oA r.rMeunorla 21, rj. 4m-9<21. OBa nocle,qna HejeAuaKocr6uhe aa.rraua caMo ogAa Ka.(a je y pa3nn\il Ha lenoj crpax[ yvagexux 4 rn

M.trbrr oA 30, rj. 4 m<30, a oBo he 6uru rvroryhe c:rMo KaA ie n<l ! .

2

flpeua roMe, yrBpAnnr cMo aa HcroBpeMeHo Mopa A^r,^>Z|

n^<l|,

a ro ce xpahe nnme: zl.^.1|. Aaxne, m ce rrana3u u3MeDy 6pojena

ll2 . n 7 ^ ; (c(yrr cnux 6pojera xojt ce sana3e lr3Meby ra aBa 6poja vecro

4 2"'E&tuBaMo uunep6a,toM), a y roM r{rrrepBany qexu bpojeBn cy caMo 3, 4, 5, 6

401. V xcrov xoopArrrrarxoM cr{creMy Earlpraj npaBe Aare jeaxaxunalrax-y-l:O n 2x+y-8:0 na rsparyxaj rroBprrlruy rpoynra rojx re npareo6pa3yjy ca x-ocoM. JeAunuqsa Ayx rrera 6yle I cm. [3 cm2l

*

il

*

*

78 79



402. O.upe.ulrucnegehe rpr{ cfltrKe.

feouefrpuja

B€n[lrugy yrna x na cnarcoj oA

403. flyr ^91 ctqe pexy SB noA orurpnM yrnoM(b. ot). Kyprp rr raqKe C, xoja je y yrny l,Sll, rpe6aurro je voryhe rpe Aa .qobe Ao uyra .Sl (aa 6u upe.uaomrcuo), ann Mopa ycnyr Hanojurr{ Korba Ha pequ .S8.Kyla on rpe6a aa r.qe? Haqprajre raj nyr!

YnyrcrBo. - Mcxoprcrnru n4ejy y 60, xox-xypctroM 3aAarr(y - cnuerpnja!

404. Kaxo 6n nauprao KBaApar xoju je rro [oBprrrrgrr: l) .qsa nyra, 2) rplr3)'.rernpn nyra, 4) rrer nyra roJrurfi xao 3aAaH[ roaApar crpauuqe a?

'

P e ur e rr e. - Haqpraj xBaApar ABCD crpattnue a, noByqn My gnjaroraay

BD.Tanaje BD, -2 a, (rj. BD : a: a VZ), oAarne je xragpar nag 4njaroxanoM ABatryra rorurrr rao 3aAarfi rBagpar. Harecn caAa rta ,{B noeestrrrr oA I .q]D(

AE:BD:a/7 n cnoju E ca D; y upaBoyrnoM rpoyrny AED je DE2:AD2+

+AE2:a2+(a/Vt:o'+2a2:3a2; Aaxne, xBaApar HaA crpagr{qoM DE rpnuyra je uo rloBprunrrr rehn o.[ .qaror xBaApara. Vgrrrn]"ro cana AF:aV3 nxa$ecuMo xa AE norreBrrrr{ oA,{ raxo xa jeAF:DE:aV3; raAa ie AF2:- AD2 + AF2 : a2 + (a / 11, :o a2 nrA.

405. Lltpacynarr.r rroBprrr[He x 3arrpeMlrue xo]r6nxosax[x reJra npnra3a-xrrx Ha oBoj cnruur. Cae npnsue n BaJbatc Ha cJlr{qfl cy [paBr{.

Konkursni zadrci*

62. Od E kuglica, na izgled sasvim jednakih, jedna je neSto lakSa odostalih. Koliko merenja najmanje treba izw5iti na terazijama sa dva tasa (beztegova) da bi se izdvojila ta krylica? Objasniti postupak!

63. De$ifrujte mnoZenje 7E&.g:7&.Ovde slova oznadavaju nepoznate cifre, a 66iZ znali broj napisan ciframa

a,b,c,d. Treba prona€i te cifre. Postupak objasniti!

61. Dvanaest hlebova podeljeno je na dvanaest lica. Svaki Eovek dobioje

po dva hleba, Zena - po pola hleba, a dete - po detvrtinu hleba. Koliko jebilo ljudi, koliko Zena, a koliko dece?

65. NaCi dvocifreni broj koji je jed-nak dvostrukom proizvodu svojih cifara.

55. U trouglu lBC zadane su svetri stranice: a: E7 mm, D - 65 mm ic : 88 mm. Kolika je povrSina tog trougla?

67. IzraEunati povr5inu Eetvoro-ugla ABCD ako je: AB+DA:tOcm,BC:CD, {DAB:4BCD:90".

68. Prelnik (promjer) velikog kru-ga na ovoj slici (vidi desno) je 2.R. Kolikaje povrSina osenlene figure na toj slici(u funkciji od R)? Koji deo velikog kruga,izrailr*ro u procentima, zanua;ima. ta figura?

Na slici su nacrtaniprelnici

medusobnonormalni (okomiti).

Napomcns,-

U6cnici Vi VI raedr mogu rc5avati za&tl<c 62-44, a u&nici WI i YIII

-src zadattc: 62J8.

' RGSitc ovo adatkc i ct€nja posaljitc urcdnistvu ,,Matcmatilkog lista''. Najbolja rcs€nj+r ialoilc i imcna svih utcnika koji su sVe zadatkc ili nckc od njih ssvim tadno rcSili, objevidc sc u listu.

Najboljim rcsavatcljima za svaki razrcd doffiiec * ncradc na ttaju Skolskc godinc.

Fond za naSradc rcsavatcljima konkmnib zadstaka ovc godinc jc povodm.

Svako rcScnjc (s tekslom i rednim brcjem adatks) ttlba pisati na jcdnoj strmi papira. Svrtorg€nje trcba Citljivo potpisati punim imcnom i prczimcnom, navodedi razrcd i odcljenjq ltolu i mcgto,u primcr: Ivu Radovit, n!, VIII3 raz. Osnovnc Skolc ,,Ucitclj Tasa', NiI.

Zadatks.csavajto srmostalno n€ trazcCi pomod ni od koga. Slikc cnrjtc preizno,rreicnjapisitc obrazlolcno i Citko. Ncurcdna,nscitljivarcscnjaircScnja(rcaltati,odao-vori) bcz obrazlotcnja ncdc sc uopltc uimati u obzir.

RcImh adrtrkr iz ovog breir posbti lllikrsriic do 10, IV 1969. godinc,

A&csr: ,Metemtidd litf, BeoSnd, p.p. 72tNr kovcrti maaliti: Konkarill zadacl,

h)

/,

,/

#f

$

{}

80 81



Re5enja konkursnih zadataka iz ,,MatematiEkog lista" III.2

55. U spisima jednog matematiiara-zanesenjaka bila je nadena njegova auto-biografiju u kojoj on, izmedu ostalog, piSe sledete:

,,Zavriio sam fakultet kad sam imao 44 godine. Posle godinu dana, kaomladit od 100 godina oZenio sam se 34-godiSnjom devojkom. Neznatna razlika ugodinama, svega I I godina, doprinela je da smo Ziveli sretno i slotno. Posle neko-

liko godina imao sam vet i malu porodicu od 10-oro dece. Plata mi je bila 13 000n. dinara meseino, ali sam od toga IlI0 davao sestri (na studiiama), lako da mije za izdrZavanje porodice ostajalo samo I I 200 n. dinara meseino . . ."

Neobiina autobiografija, zar ne? Kako tete objasniti otigledne ,,nelogiinosti"u toj autobiografiji? Kako ustvari navedeni odlomak iz autobiografije treba da glasi?

Autobiografija nam izgleda nelogiEna zato Sto brojevima navedenim u njojprilazimo s gledi5ta za nas uobidajenog dekadnog (deseti6nog) brojnog sistema.

Medutim, u toj autobiografiji su brojevi pisani u nekom drugom, nedesetidnom

sistemu. Zato, najpre treba utvrditi o kojem brojnom sistemu se ovde radi.Kljui za de5ifrovanje navedenog odlomka iz autobiografije jeste redenica:

,,Posle godinu dana (poito je vet imao 44 godine), kao mladit od 100 godina

oienio sam se..,.".ZnaEi, kad se broju 44 doda jedna jedinica dobija se 100, tj. 44 + I : l0o,

$to znaii da je cifra 4 -najveia. (U dekadnom sistemu, dodajuii I broju 99

dobija se 100; sabravii 999 i I dobija se 1000, itd.). Prema tom€, jednakost

44+l:100 ispravna je samo u sistemu s bazom (osnovom) pet (i samo u tomsistemu), u kome svaka jedinica vi5eg reda sadrZi pet jedinica niZeg reda (a ne

deset kao Sto je sluiaj u dekadnom sistemu). Dakle, u svojoj autobiografiji mate-matiEar je brojeve zapisivao u petidnom brojnom sistemu.

Sada nije telko da se svi brojevi navedeni u gornjem odlomku prevedu

u dekadni sistem. Imaiemo: 445:4.5+4:24, l00s:5'z:25, 34s:3.5 +4:19,I 1, : 1.5 + I : 6, lOs : l. 5 + 0 : 5 (osnova sistema), 13 0005 : I . 5a + 3. 53 + 0' 52 ++ 0. 5 + 0 : I 000, I I 2005 : I . 54 + I . 53 + 2.52 + 0. 5 + 0 : 800.

Prema tome, nav6deni odlomak iz autobiografije ustvari glasi (u ubidaje-nom, dekadnom sistemu):

,,Zavrlio sam fakultet kad sam imao 24 godine. Posle godinu dana kaomladid od 25 godina oZenio sam se l9-godiSnjom devojkom. Neznatna razlikau godinama, svega 6 godina, doprinela je da smo Ziveli sreino i sloZno. Poslenekoliko godina imao sam ve6 i malu porodicu od 5-oro dece. Plata mi je bilaI 000 n. dinara mesedno, ali sam od toga l/5 davao sestri (na studijama), takoda mi je za izdrlavanje porodice ostajalo samo 800 n. dinara mesedno. . .".

Vladimir Liitevit, Vfl,, OS ,,2. J. Spanac", N. Beograd

56. Sam lav moie da pojede ovcu za 2 sata, vuk za 3 sala, a pas za 6 sati.Za koje vreme bi oni zajedno pojeli ovcu?

Lav za 2 sata moZe pojesti I ovcu, a za 6 sati 3 ovce. Vuk za 3 sata

moZe pojesti I ovcu, a za 6 sati

-2 ovce. Pas za 6 sati moie da pojede I

ovcu. Znadi, lav, vuk i pas, kada bi jeli zajedno, za 6 sati mogli bi pojesti(3+2+ l) ovaca, tj. 6 ovaca, a za I sat - I ovcu.

Prema tome, kad bi jeli zajedno, lav, vuk i pas bi jednu ovcu pojeliza 1 sat.

Milina Todorovit, Y, r. OS ,,M. Stojkovid", Umdari

57. Neki tovek ide uz brdo iz A u B brzinom 2 km na sat, a zatim, nezadriavajuti se u B (na vrhu brda),vrata se (niz brdo) istim putem uAbrzinom6 km na sat.

Odrediti njegovu srednju brzinu na celom putu (tamo i nazad).

Neka je AB:s. Tada je vreme u odlasku sl2 sati, a u povratku s/6 sati.Ukupno utro5eno vreme je sl2+sl6:2s13 (sati). Srednju brzinu dobiiemo kadaceo predeni put u odlasku i povratku (tj. 2s) podelimo sa ukupno utrosenimvremenom da se taj put prede:

v51 :2s:2s13:3 (km/h).

Prema tome, srednja brzina iznosila je 3 km na sat.

Slavomir Biserii|, VII. r. OS ,,O. petrov-Radi5id,., Vriac

fi. Nati sve razlomke s jednocifrenim imeniocent od kojih je svaki veti od719 a manji od 819.

Ako svaki ocl datih razlomaka pro5irimo (pomnoZimo i brojilac i ime-nilac) redom sa 2, 3, 4, .....8

- umesto para railomaka 719 i g/i dobiiemonove parove razlomaka: l4l18 i l6lt8, 2ll2j i Z4lZ7, 28136 i 32136, ..., S6lj2i 64172. Odigledno, svaki razlomak koji se nalazi izmedu razlomaka u svakomod navedenih parova, zadovoljavaie jedan od uslova zadatka: biie veii od1.l9,a manji od 8/9; da bi bio zadovoljen i drugi uslov, izabraiemo od tih razlo-maka-takve, ukoliko ih ima, koji posle skraCivanja postaju razlomci s jedno-cifrenim imeniocem:

l) Par 14/18 i 16/18. Izme(tu je razlomak l5lt8:516.2) Par 21 127 i 24127. Izmedu su dva razlomka (22127, 23121.), ali

se nijedanne moZe skratiti.

- 3) Par 28136 i 32136. Izmedu ova dva razlomka postoje jo5 tri razlomkas imeniocem 36 (29136, 30136, 31136), ali se samo jedan od njih moZe skratiti:30136:516 (ved je naden).

_ 4) Par 35145 i 40/45. Skratiti se mogu samo dva od detiri razlomka kojisuizmedu posmatrana dva; to su 36/45 i 39145. Metlutim, samo 36/45:4/5zadovoljava uslove zadatka.

- 5) Par 42154 i 48/54. Izmedu ovih razlomaka samo je jedan s imeniocem54 koji se moZe skratiti: 45154:5/6 (koji je napred ve6 naden).

6'l Par 49163 i 56/63. Jedini razlomak (s imeniocem 63) izmeelu ova dva,koji zadovoljava uslove, jeste 54163:617.

7) Par 56172 i 64172. Od 7 razlomaka izmedu ova dva, samo se dvamogu skratiti. To su: 60172: S10 ttj. razlomak koji smo vei na5li ranije) i63172:7/8 - novi razlomak koji zadovoljava uslove zadataka.

ProSiravanje dvaju datih razlomaka sa 9, l0 itd. ne bi dalo nove taz-

lomke koji bi zadovoljili uslove zadatka.Prema tome, uslove zadatka zadovoljavaie samo 4 razlomka:

4ls, 516, 6t7 i 718.

Vojislav Maksimovii, VIII, r. OS ,,S. Nikolajevi6.., Beograd

82 83



59t lzratunati uglove trougla ABC ako ugao izmedu visine povu(ene izc i simetrale agla ACB iznosi 9", o ,sio izmedu simetrat tiiiiis"iiemena C i simetrale agla ACB- iznosi 9", a ulio amedu spoljaSnihuglova trougla kod temina A i B iznori 616.

Iz LACC' imamo: {ACC,:9O.-o. (vidi sl.)Dalje je +lC^S: 4 ACC, - +.9cf,, : (90._c)_9..S druge strane,

4 ACS : !- :180"-(a + f) : eo'- "JJ22'-2

Odatle sledi: 90.-a+fr

_4_e" :eo" _i_ , tj.

q+p*2t:o*9"'

Imamo datje: {lBS :! ,ruo

Isto tako, 4BAs:! (unakrsni uglovi), tj. *aes:l8t-o

. Kako je +AsB+

+ 4ABS+ 4BAS:180o, to je 61.+4'-4* lg0"-"_ 2 2

:l80',odakle

o* f :rr'.2

S obzirom na (l) i (2) imamo:

a+9o:61, odakle a:52".Na osnovu (2) je tada

t'"-*fl:ur,odakle je F:70". Treci ugao je tada

2

7 - 180"_(o + pl: t$o" _122", tj. 7:5t".Rade plaiai, VIII r. OS Mikleus

^, -,-69: 11.!"t1i-n.-ro.1 ! _e. s-liku!) nati talku C takvu da zbir rastojanjaoa nte cto darih tacaka A i B bude najmanji. Dati obrazroienje konsftukcije.

. Konstruisimo taiku l, simetridnu datoj taEki,{ u odnosu na datu pravu'p (v. sliku!: AA', i ;,17= FA).

preserena 'taeri -orizi -i,n" i''iri"i 'ileste traZena taika C.

L?, . Dokaiimo to. Uzmimo na pravoj p kojubrlo-taeku D i uporedimo zlrir raitoiania'od niedo_datih taEaka A i B, tj. zbir eO + Ijn ia zbirom

AC+CB._polto je ic-:1,C, to je Aa;iu::A9+CB:A,B. Zboe. AD:A.D imamo da irAD + BD: A,D + DB.:AQ+CB:ArB. Zbog AD:A,D imamo da ie4?,+!rD :llp+_D.8. Metlutim,' za stranice trdugla

. .91. Klji celi brojevi postaju 14 puta manji kada im se izostavi (precrta)poslednja cifra?

Neka je traieni broj l0x + y, gde je x - broj desetica, a y _ cifrajedinica.Ako se tom broju.precrta (izostavi) cifra y. dobiCe se Ur6j x toji Ce, premausloru zadatka, biti 14 puta manji-od traZinog broja, tj. mori biti lbxi'y=tlx,odakle-je y:4r. Merlutim, y je jednocifren-broj- (y-moZe biti najvi5e'g,Stdznadi da x mcra biti manje od_3. prema tome, ili'je x:2, ili r:i. poSib jel=1x'-to ig _odgovarajuie. vrednosti za y biti 8 i 4, te ie iraZeni brojevi biti:l0'2+8:28 i l0.l +4:14.

Lako se uveravamo da oba broja 28 i 14 zadovotjavaju uslove zadatka.

Duian Pagon, VIII6 r. OS ,,F. Modnik.., Cerkno

Re5ili konkursne zadatke iz ,,MatematiEkog lista.6 III. 2

Alek$i Ljubina.YIIIr r.os Dv.-Karadzid<< Rip_anj: 56; Aleksii Nenad,vIl2 r.os Dv. Dugosevid(Begrad_;55, 56,58; Ateksit-staitano, v2 r.OS Dv. ka,:iO4i,i nipmj :ie:iiL'";;Z;i,.-IvT--r.<iStEsr,i9:a1",."i):tlj:,fift i3:fJ:i?l1!,2it;i:i!":33;t*ljru:aiiii;;,vg{.,**i:iko-vit Lana, vrrr r.oS >V. !)ue_oFvic< b";t,ua, ja;irTl ;;,;i's,;;:Viii i.o$;i1'siiirii's"eun;,29i!':tit z9tqn,.vrtrr. r.o-S- >;B.stlnkovic<i vucje: Js ,'ia;'lipii'tiihrir",- viir- i.oS' ;i;."?o"ou".nJaDac: J6; Aziraj Jssmina, vua r.os >v,p. varter( Sarajevo: s7 i Aiarov Emin,-v ..os >K. Josifoski-Pitu< Skopje: 56, 57;

g:o^*, fiuii,!!r;rloil+!;![$l;"i$T-,$*l l'rT,'n:,"',2i0'l;,f;.;,:1iii,,:9glp,8.'il;[11il1".,,"#

16-, s8i Bettran cra, V5 r.os >Braca Jerk_ovii< lj"r".nik: Nt aiziiit,'oit;;, vi;6s;n:i;.,.1'eog,ao:l*-8,*"{tS..Srgii:a, v!ltt_!. oS nO. perrov-iaJisic,i v*rc,;e , 57; Biseftii Storcnir, vU.-?.d$DU.r. Radisid< vrsac: 56- 57- 5E:'_Blagojeuit Milkica, vI1 r. os >iBraia Jerkovii< zercr,ii_t: s'0, eo;l!?!:f::! z,asu!<9,)!tz,1.o-li'voia xiiaaoro* Nis,'sil'sesdonovit D,uitievka, vrrr,'i5'S l,i. viri-

joyit Rada. vrr r.oS >Dr D.M.<.Ca.ik:56;-aokatovii

cilaii,'in,;tjs;n;M:;'erill"ilso; ros-kovii Drusan, Vt3 r.os >D. saraj< Beograd:,6, ist-Boik;;i "r-rii, virrr-r<is ,,i,,i."rnrit-rli,ici, v.ru."Plana: 56. sz. se. oo, Boikivit ui*nz"iitts'ra3-,'ri,i.i.,; i"r"ouJa" io-o i^t""*",-iill?, sz, se,59,61; Boikovii rJroi,'yl1r.oS >v.k..< Cacak, sri, sz, id,-sb;

bozitkovin iorailViil'i.b-S'i,ir]'sur"ucnBeosrad: 56: Boiinoiit Radmito, vIr r.os 'nr"ei -iiu*iblJgrad: 5s, sa; droi"ii'i"'iiioreia, vrrr3;:fi$;UJiffi.ri,ij"'f,iffiiu,Eioi!$t;,\'ll.rt":.;$sI;i:;ti!,r,2'",t;*r:iiii1i:i,y,tiir.os >v.D.< Beograd: 56; Bugaiski -Snerana, yti..oS ,oiii.lr,r.. b;;i;:5;i6;*' "-*

carevi| sranimir- v, r-ol D7. oktobaK cacak: 55; cerovit Uroi, vlr r.os >N. Jerilid< sabac:

'6i,?:i;ii::f{:fts:xt?,1'gjl;",*.T:\i:?Wiir^r:i#;vji;i"?t3',,"'S:.+#1":"#;

cuetkovii stohodan,:,nu2 r.oS"v^.M.i-crc+i: ia)'iii:i,i'Lj"i,A:Vr;.dS';t;o"oji"i"iitilir"""tx,

56: Cvijeti| Miodrae, V; r.OS D25.maj( N. b";;ad,-l;;-'-_, _CmptRade,YtttrjgqyiqakodCaClg:56,STiCarnojevitVtas,imir,Vlfzr.OS>V.sevie< se;;;i;'5J,Ed,\Ti Ci"oit Branistav, oS >2,.A.( Trstenik:-59; Cernalogar zoru,y\iDl:8i

il,,lf:,tg$:'llli::"',fk:;y:#,giffiiy',:;z!*,"dy;,i,:i:i-;j$llij,:n;lz','gt:,tri-Ftjlv' . vI2 r'os >N. Grulovid<<'N.'piiii-i€;7i:i6"iii'aiiii,'iiii;..b3 ifr.'rrl,i'riiturin"i,

'{,aii;,?;jiotr';!;f:;,y,'lbig;i:';ij",,"iflE:*.:el{*lai,#d},:ii:,N,+i{ix$.'f.)E;yi[11;Davidovit Dracra- Vf_r.O_! >B, R.< Mihajlovac (Krajina): 56;_Da_vor iVora&, VIIIa r. OS>Bratstvo-iedi^tvo< Krzevci: s_9, j?, st,_!it D-;;;ijii s1";i;;:ntii i.6S-,,t2.i._bJ[i, i'sj,so, ss;Deyit Botico. vrr r.oS ou. r." piu,iici ,.'sg,

h, itit-iitiiiiiiic ijii,iLiifiir'ldsi,iilioii'Nx, so;Diminij_evit Ljubiia, yrul r.os >v. sayic.i ia"aieva'c: 'i6i biiroi"iti"ril rilrrii, vrlrr''.-."<iS ,,rxis,'sii, ii;;6i,i?,'d i;";:l;rii';.f;S';i\,r:i1iili'i<liioilll'so;Drogit Branistova, uu" ,.#t,"3'jPetrov-Radisii( vrsac: 56:'Drasii zi*", vti i.os rs: I\,ii:B;r" parqlka: 55, 56i Dramlit Jadranka,vII r.oS >Dr D. M.< dacaf: s6i Drcbnj;k !,Iitur-, vriiz .bs'b. 1." xonarevl_kdo-xiu'r-l*"i so, sz;Drobniak zoran. vt. r.os DDI_D. ru.( Carat*: sa;- iui;;,;"-iiii;,-il'r' i.dS-ii.tiffii"ogruo,

56; Dutovit seklle, yt r.oS >zs.mi;< x.-si&r":i: $.-'--

(l)

unakrsni uglovi), tj. +lrs:180:-P

2

(2)

<ArD+DB,'te Ce biti: AC+CB<AD+DB.A.DB vaLi relacija ArB<

84

A )ksandar Martit, VII, r. OS ,,Cibukov. part..., Kraljevo

85



Bcograd: 58,59i Rmilelovii LJubiSa, VIIa r.OS DB.-S.( Vudjc: 56,57; Redtepovi| Diana,Ylz r.OS >MGorki<< Titograd: 56, 59; Rirtovrc Mirjana, Y 1 r.OS >J. Pandid( Bsgrad: 55, 56: Rodii Radmila, Yllltr.OS DV.K,<( Ripanj:56; Rogovit Milit, VI3-r.OS >7,okt.( Caaak: 55, 56; Rokovii DzJica, V3 r.OS>V. M.<< Grocka: 56; Rupnik Nevo, Vlld r,OS DJ. M.< Idrija: 56, 5t; Ruleskovii Perica, VIII3 r.OS>V.M.< Graka: 56, 57.

Samardtii Miroslav, VI5 r.OS >A.S,(ScCanj: 56, 57:' Sondii Radovan, VIII3 r,OS >V.V.Savid<< Lazarevac: 56, 6l; Savit Miloi, VII2 r.OS >V. M,<< Grcka: 56,57; gedej,{zdrej, VIII6 r.OSDF. M.( Cerkno: 56, 58; Sedmak Aleksandar, VIIII r.OS )Sv. Sava(( B.cograd: 56, 57, 58; SibinovskiZoran, Ylll2 t.OS DJ. Cvijid( Bcograd: 56, 57i Simii LljiUona, Ylllt r.OS >V. K.< Ripanj: 56; SiuoyitVladana,Yl r.OS )V,D.( Bcograd: 56; Slavnit Mbjana, Vll3 r.OS DM.P.< V. Plana: 56; SlijepdevitMilorad, Ylln r.OS BrcziCani k/P: 55; Smajevit Aleksandar, Ylr r.OS >D.Salaj< Beograd: 56. 59;Smukoy Branko, VllI r.OS >rM.T.< Dobrinci: 56,57,58, 59; Solqtii N_ada, Vsr.OS Sedanj: 56; SpaiitMiodrug, VII3 r.OS >N. J.<< Sabac: 56,58; Spasojevit Milutin,Yllz r.OS >7. okt.<r CaEak:56,57; SpoilnStanko,yt r.OS DS.Marinkovid< Zrenjalin: 56; Sredojevii Dejan,Yllll r.OS >Sv.Sava< Beograd:56,57,59: Stomenkovii Duian,Ylll r.OS DVoZd Karadordc( NiS: 55; Stoz&ovii Dragan,

YIIIrr.OS

DB. S.( VuCje: 55, 56; Stamenkovit Snetana, Vt r,OS >V. D.< Bc-ograd: 56i Slelanovii Milenko, Vlllrr.OS nD,J,( Kon3revo k/K: 55, 57; Stevanovit Mica,Ylllt r.OS >V. K.< Srubal k/V: 55; StevanovitPrvoslqv, VIr r.OS >V. M.< G_rcka: 56, 57; Stevanovit Slodana, VIII3 r.OS >Njegos( NIS:_ 55, 55;Stevanovit Slobodan, VflIl r.OS >T. Rajid< Calak: 55, 56, 57, 58, igi Sijanovit Oisin,Yz r,OS DJ: K,<iVarvarin:55,56;SubotiiLjiljana,Ylllr r.OS>DrD.M.<Catak:55,56iStojanovitSlatlana,Ylr.OSDZ.A.( Trstenik: 56.

Sain Marino, VIII r.OS >N,Kirac< Pula:55.56.59,6l: Sajder Mitan, VIIL r.OS >V.D.<Jarko_vac: 56; Sirniit Nada, VIr r.OS D7. okt.( Cadak: 55, 56; Sipetii Diaean,Yls r.OS >7. okt.< CaCak:56i Soitafii Davor, VIII5 r.OS DBratoy PolanCilev<< Maribor: 56,573 Stavljanin Zorica, Ylll2 r.Ol>IV-kralj..bat.<( Kraljevo:55.56,5E; Strbevit ltesna,_Yl r.OS DV.Dug.( Biograd: 56i Strgus-SilviJ,V!!a 1OS >{. M.< ldrija: 56; Stucin Jotek, Yll6 r.OS DF. M.( Cerkno: 56, 5E; ^fajatii Zivan, Yi3r.OS >S. J.< Vlasotince: 56.

--T'q!*gElizqbeta, VIIr r.OS riV,Dugo5evid<<,Beograd:55,56,58,59; Tamindlii Slobodan,

V!3_ngl lP. Salaj< Beograd: 59;Tasit Zorica, V3 r.OS D25. maj( N. B_eograd: 56lTiiler Zaromi!,Ylllsr.OS >V,Nazor< Zagreb:56,57,5E, @;Todorovii Milena,Ylllt r.OS >M,S.( Umdari:56; Todorov*Milina, Ylll2 r.OS->V. M." Grmka. 56i Todorovii Milina, yt r.OS DM. S.( Umdari: 56; TodorovitStanislav, VII: r.OS >V. D-ug.< Beograd: 55, 56, 58; Tomaj Zoran, Vtll; r.OS >25. maj< N. Bcograd:56i-Tomit -Mirjana, V3 r.OS DV. M.( Grcka: 57; Tontii Slaf<o, QS )G. D.< Bosilegrad: 56; TopilovitLjiljana, Y_2 r.OS >V. M.< Grocka: 56i Topalovit Rura, Vllt r.OS >V. M.< Grcka: 56i Toiit Zoran.VIII1 r.OS >>V. D.< Jarkovac: 561' Toioyit Marija, Y1r.OS >2. A.< Trstenik: 56: Tot Rudi, VIz r.OSJrkovac: 56i Trajkovii Vesna. Y3 r.OS DB. S.i< Vudje: 56: Trilunovit Nenad, ylllz r.OS >,Sv.-Sava<Beograd: 56,57._6t; Uroievii Miroslav, VIltl r.OS DDrD. M.( Catak: 55,56,58,58, 6O,61; LlroieviiSlavica, Yl2 r.OS >O. P. R.( vrsac: 56, 52.

-

Varadi Vesna, VII3 r.OS >D. Salaj< Beograd: 56, 572 Vetitkovii Rajka, yl\ r.OS >S. M.<$jenica:56, 60i Veljovit Radomir, VII: r.OS >M.F.< Opovo: 56; Vesii zeljk;,ylla r.OS >DrD.M.<qqtlk: 56; Veitt Miomir, VII r.OS >M.J.eliEid< Sabac: 56; Virovac Darko, V1 r.OS Kumodral: 56;Viinjit Ruiico, VIl r.QS >BraCa JerkoviC< Zeleznjk:56, @i yrqneievii Veljko,y6 r.OS DF, V.( Sid: 56;Vranii Milojko, ? r.OS >V. Kandri5<< CaCak: 55, 56, 50, 60; vretica Siniia, Vttir.OS Generalski Stoli55, 56'.57, 5t, 59, 60, 6l i Vutkovit Brankica, VIIr r.OS >>M. P.< V. Plana | 56: yutkovit Duiica, Yllr.OS >J. ryl,( u MiloScvu: 56; Vutkovit Mito;ad,ill2 r,OS DNH Cajka< Trstenii: SSi Vu1kovie Slavica,VIII, r.OS >M. M. Copo< M_rdajevci: 6l; Vujanovit- Stobodan, VI6r.OS >F. Rozman-Stane< Maribor:Sj;-.Vuieyit Antun, Yll\ r.OS DB. J.< Sverozar,Mitetii: 56, 58, 59: Vujicit Bohidar, yill r.OS Vica kodCad,fa:56-' 57,58i.Yujovit Miroslav, VI1 r.OS 28.BoZoviC> Tit6grad: 56, 57,58; Vujovii Nada,Yst.99 ,4,S< S$anl: 59i I'ukelin Milan, Ya r.OS >p. Jerkovii< R--uma: 551 Vukitivit-Drogoslav, Ytsr.9S_>DI D. t!t.1-Cq!a! i 56; Vukoje Mira, Yla r.OS )A. S.<< Se.anl: 56; vukoje Radoslava] VIIa r.OS

it ?t $T$iili,Slfl T;.tt,Yuksanovit Branistova, v3 r.oS >v. Dus.<< Beograd: s6t yutera Darinka,

-- Zdruukovi| Milicq, V2 r.OS >V.Dugo5evid( Beogr4d: 56; Zlatii Dragica,Yll2 r.OS >D,J.(Konarcvo ko<l -Kraljeva: 56; Zobnenica Nebojia, ytllz r.bS >tV krati. bat.< kralievo:-55. SBi Zofie(loda, Yll6 r$ >S. B. Paja< P&inci: 56; Zabirac Goriano, VI r r.OS >V, K.< Veliko Orarie iS6 zeruvitZeljko, Ya r.OS >f. V.< Sid: 56; Zivanovit Vladimir, Vtr r.dS >M. Kosovac< Sabrci S6i 2ivkovi6Branislav, Yll3 r,OS )M. Buffad( Beograd: 56, 58; Zivkovit Svetolrk, VIII r r.OS DV. M.( Grcka: 56, 61.

Nepomena.

-

U re5avanju konkumnih zadataka 55-61. ulestvovalo je preko 70O utenika.

Bilo je i pogre5nih re3enja, naroCito u adacima 55, 57, 60. Komisija za pr€gld konkursnih zadatakanije priznavala neobrazlozene odgovorc i rezultate, Redni brojevi zadataka Cija su resenja kod pojedinihucenika naroCito uspela Stampani srt masno,

Molimo re5avatelje konkurilih zadalak^ da se u svemu pridrZavaju uputstva kojejenavedenou fusnoti ispod tekstova konkursniL tadataka (srr. 81.). Reienja Saljite obicnom postom (a nc preporu-Ceno) kako sc n€ biste izlagali nepotrebnin troSkovima!

88

MATEMATUqKA TAKMI,TIIETbA

3aAaqn Ha MebyotrurrnncrenM TalcMrr.relbrrMe

y CP Cp6r{r,5. V 1968.

VII pazpeg

l. Axo ce Mnoxerllx rroBeha 3a 2O%, a Mxoxr{rarl cMar$r{ 3a 2O/., nia he6nrN ca npoH3BoAoM?

'2. Oraq r.rMa 4l roarHy, crapnjr{ cnx 13 roAr.rHa, hepxa l0 rognna, a MJrabn

cIfH 6 roAnru. Kpos xonrxo roAHHa he orau r{Marf oHoJrHKo ro,qHHa Ko'lxKo cBa

lreroBa Aerla 3aje,qHo?

3, I4gpa.ryNaj:

4. floapurrxa rpolrna ABC uzuocu 18 cm2. Ta.{xa D ygera je Ha crpanrrlr{

AC raxo Aa je DC:Z'AD. Hahr noBpunrxe rpoyrnoBa ABD tt DBC.5. fiyxnna Kpyxnor nyKa je.quaxa je nonynpevHmry Kpyxut{qe, Koluxu je

o,4roBapajyhu Uexrp:rnHr{ yrao? (y3MH Aa je zcnz3,14l6),

Perytqemu u yiyucfuao.- l, Hosn MHoxcHuK je 1,20:6/5 crepor, a HoaH MEoxnna[

0,80:4/5 paxnjer; xoan trpotr3Bo.q je (615r.@15):?4/25 nplo6uruor, rj. cMaEno ce zactojy l!25wn sa 41. 2. I MquH: 4l

-(13+ l0 + 6) - 12. CBaKc roauHe pa3nrf,a s3Meby c{crHx roanrra t yxyn.

6poja ro,c. aelre cMaryje ce sa 3- I : 2. Xpo: 12 :2:6 roauxa orarr he HMarn ogonffio roAugaaonf,Ko cBa beroBa Aeua 3ajeAHo. /, wvux: Hexa ro 6yAe xaros r roAURa; rala 4l * : : (l 3 {. x) f* (10* x)* (6 * x), oraxae x:6. 3. Bpojnlau je ieAHaK -2l3, a nuexraarJ je jeasat

-76145issro

je Aaru pauouax jeauax-2l3

t(-76145): 15/38. 4. TpoF tr ABD u DBC uuajy xcry Dscngy ,,r,

a ocsoDf,qe nM ce o.aEoce xao I :2, Tj. ocHoBrua npaor je 2 nyta ua*a otr pcf,oBuqe lpyror. 3uaxrr,y roM oAHocy cy n b{xoBe troDpuluuc: xaA ce 18 cm2 troaentr y oaHocy I :2 po6fia ce ,qa cy rpaxef,e

doBpuatre: 6 cm2 s 12 cm2. 5.,{yxnxa"y*a

r:i#, aau s6or d :r, HMeMor: ffi oaaKre cc

ao6rja,4a je yrao c:180o/nx57o 17'45" (yrao oa I paAuana).

VIII patpeg

l.l4rpavyraj r{a HajjeAuocraBunju EaqilH

EyMeplqKy(6pojtty) Bpe,quocr

n3pa3a 2a2-2b2 axo je a:777778 u b:222223.

2. Hn\nre rexuHy pu6e axo je rreH pen rexax 2 KnnorpaMa, BeHa FraBarrMa Texnl{y xoJrrr(o pen u [oJroBHHa Tpyna, a Tpy[ uMa Texrilty Kunlffo DIaBa r{ pefl3ajeAHo.

{[-,.+-+ (-+i l' (-*)-, #]

(-3, +,s

[('-:-)'(-il)-j (-f).' zflezt* (+-4'

89



3. V je.qnavriru (k-5)x-(2k-l)(x-2):1-50 olpe4rrr k raxo Aara jegnavnna 6y4e exeunareHTHa ca jeAHa'rrHov:

MATEMATIEKA. RAZONODARAZGOVOR DVAJU BROJEVA

Sastao se jednom broj 12345679 s brojem 142857 i medu njima se raspreoslijedeCi razgovor:

12345679: Ba5 mi je drago da sam upoznao broj koji nastaje dijeljenjemI 000 000: 7?

142857: A meni je osobita East biti u dru5tvu s brojem kojismisla za poredak. Steta sto ti jo$ nedostaje 8.

123/5679'. Meni to ni5ta ne smeta. Ni ti se mnogo ne brineS za ostatak

dijeljenja 1000000:7.Nego znas

Sta! Hajde da ti nestopridam.

Zamisli, imajoi tako mnogo ljudi koji ne znaju Sta se u meni sve krije! Eto, na primjer, pomnoZime sa 36 (:4.9), dobiie5 444444444 (cifra 4 ponavlja se 9 puta); pomnoZi mesa 54(:6.9), dobiie5 666666666 (cifra 6 ponavlja se 9 puta), a ako mepomnoZi3 sa 63 (:7.9) dobiie5 777 177 777, itd.

142857l. To nije ni5ta! Ja imam mnogo boljih svojstava. Meni ne moZeniko niSta! Pomnoii me sa 2, 3, 4, 5 ili 6, pa ieS uvijek dobiti broj koji se

sastoji od svih mojih cifara u istom poretku samo Sto poEinje svaki pu1 drugomcifrom:

142857.2:285714

142857.3:428571

14285',t.4:571428142857 . s :714285

142857.6:857142

12345619:. A pomnoii mene sa 5! Dobiie5 61728395, dakle sve moje cifre,samo se namjesto 4 javlja 8.

142857,. E pa dobro! Onda Cu i ja tebi otkriti jednu svoju tajnu. Ako tiimaS mojih svojstava, imam i ja tvojih. Ako mene pomnoZi5 sa 7, iznenadiCeSse, jer de5 dobiti 999 999.

123456792 Gle iuda! A,la mi je i to neSto! Nisi Ii ti kadgod pokusao izra-dunati umnoZak (proizvod) 12345679.78? Naravno da nisi! A zna5 Sta bi dobioda si to udinio? 9629629621

148572 Zaista, mora ti se priznati da si momak od oka, No, poslu5aj tisad ovo: Ti, bez sumnje, misli5 da nije lako pomnoZiti dva Sestocifrena broja. Inije bai lako! Ali ako sam jedan od tih upravo ja, onda . .., eh, onda vidipa sudi! Uznri, naprimer. 142857 '367894.

Podijeli drugi faktor sa 7. Rezultatu dijeljenja 52556 pripiii moj produktsa 2, jer je kod dijeljenja sa 7 ostalo 2. (Da je ostatak dijeljenja bio 3, uzeobi moj produkt sa 3, itd.). Od tako dobivenog broja 52556?85714 oduzmi kolidnik

:t42857.252556, pa 6eS dobiti da je 142857.357894 : 52556285714-52556 : 52556233158

12345679: Vidim da me nadma5uje\. Pa . . . oprosti, ako sam te svojom

hvalisavo5Cu uvrijedio. Nego Sto misli5, kako bi bilo da nas udenici bolje upoznaju?142857: To je dobra ideja! Za5to da je ne ostvarimo. Ilajderno do ured-

nika pa da ga zamolimo da naS razgovot uvrsti u ,,Matematidki list".I po<lo5e zajedno do urednika.

3

- x-l4

25x-xt4 -x-l -+662

63124. Hag crpaHlrrlaMa AC n BC npaeoyrrror rpoyua ABC (C - je reMe rpaBor

yrna) xoucrpyt4canlr cy xBaAparr,I ACDE tr CBFG (ca crrorbrre crpane). a) floxa-sarr aa je lyx DG aBa nyra ayxa oA rexr.rrlne nrnrje rpoyrna ABC xoja oAroBapacrpanlrq!{ AB, b) I,Irpa.ryuarr Ayxnuy o6EMa rr noBprrrr{Hy drrype. ABFGDEA.

. 5. Koqxa.je npecevena je4HoM paBnr{ xoja je nocraarbeHa Kpoi xpajrce la.rreTpIIJy r{Bl.{qa KoJe Ce CaCTaJy y r{cToM TeMeHy KOUKe.

a) Koja $urypa je npecer? O6jacHu!b) I,Igpa:[ rroBprrruy ao6lljeuor npeceKa y SyuxqrjN oA Ayxr{He xBrrqe

r<orlKe a. Konnxa je ra norpuuua, axo je a:4 cm?c) flpecexorrl je xorlKa rroAeJLeHa sa ABa Aena. V rojeu oAsocy croje sanpe-

MIIHe TIIX .qeJrOSa ?

Pqyanqnu u liiywcuea, -l. I:2(az-bz):2(.a*b) (a-br:2.1000001 .555555:

:2.555555555555:i I1111l lll llo. 2. Axo je rexxHa rpytra .y, oHAa je ,.* t rnu"" \+2irexuHapena je2kp. I'IMaMo jeAHayEHyx:(.x/2+2)*2,oaaxne je,v:8(rex.rpyna).Pu6a je6nraTeuKa 16 Kunorpalra. HauoMexa.

-Moxe u 6ea jeaHarnua,3aKsyctraabeM: nonoBlna rpyna reura

je roruro'.qsa peua (4); ueo rpyn je 3gasu rexaK 8, a rnaaa 4*2:6. Hr.q.3. Aarejeanavuue wopajyHMarx 3aje,(Hucxo peueB€. ,IIpyra jequaquaa ffMa peuebe x:12, a ro Mopa 6nrn u peuene npnejeAuayune, re je ga.qororaaa: (k-5)'12-(2k-l) '10:&-50, uro ce cBolu sa

-9k:O,ri.

* : 0. 4. Upraj crnxy! a) Tpoyr.ru CGD y ABC cy uoAyAaprrn, re jc x : DG : AB. Tex. aunHja roja

o.llroBapa xanoreayzuAB jeCCl:nqr:66r:Jr-lB, jep je Cl HcroBpeMeHo u qeHTap onucaHe (pyxHtr-

qe oro rpoyua,4BC (sauro?).3xatu, x: AB : 2 CCt. b) AB : l3 (no n.T.).O6uu je O :2i13 -f l2*

+ 5) : 30. noBpuuEa P : ABC + CGD + ACDE + BEGC : Z.4Z + b2 + a2 : a2 -F ab -l b2 : 25 *

*6o*144:729(cmz).5.a)flpeg je je.qaaxocrpaxcqHs rpoyrao"rp"rrru.oy'T

(aujaroaara crpaxe

xouxe). b) florpuuHa ror npecexa tet P :!; /T ; n a : 4 cm je P : 8lT cm2x13,85 cm2. c) fiocraB-

DeHa paBax or(ceua oa KouKe rpocrpaHy ntpaMtray (c 6aioM noBpuuHe a2l2uzucutow a) rojoj je3aupeMuua all6.3Hass, n{paMuaa tay:qua 1/6 xoqxe. Oacrpanggabeilt re npIraMHAe, Dpeocraje5/6 xouxe. l-lpewa roue 3anpeM{He 4eroua croje y o,[Hocy I :5.

KAJIEHAAP MATEMATUAIKIIX TAKMI{AIEbA YIIEHI{KA OCHOBHITX IIIKOJIAv cP CPSI{JII 3A IrIKOJICKy 1968i69. TOAHHy

I crynarr ral(Mr4rleba (utxoacxa luaKLt,t4er6a) oApx{art{ y IrJKoJraMa Ao30.III 1969. roAutre. Taxunqe ce yregurrf cBr{x paspeAa.

1I crynan' TarMnqer6a (oilwtauucxa waxivtuvena) oap)I(ahe ce 13. tV 1969.roAr{He. Iloqerax y 9 vacona. Vuecrayjy yqe}rurlu VI, VII lr VIII parpeea.

III crynan raKMnqella ( uefiyoilutuiuucKa ulaKvuueit'al oqpxahe ce 4.V 1969.

roAfi[e. floqerax y f .iacoBa. Y'recrayjy yqeuruIu VII u VIII pa3peAa.

IV crynarr raxMr,rqeba (III peliyEauuxo iilaxuuuene) ogprrahe ce y Eeo-rpa4y 1. VI 1969. roArre. flo.ierax y 9'racoBa. Vrecrryjy yqeslrqu VIII parpega.

3aAarre 3a oBa rarcvnqerba (aryrea rdKorcKr.Ix) cacraBJba Peuybnmraxor"rucrja 3a MnaAe MaTeMaT[rrape.

90

toliko

(Prve cifre su

poretlane po velidini!)

lma

9l



3PHIIA

3a Aocer.nroe

1. Onaura ca 3aryrua{eM craje I aruap x l0 napa. Caua $naula je ral0 napa cKyrlJba oA 3anyuaqa, Kolruo craje sanyura.r?

2. Og xolra,qa rxaHr{He gyror 36 m npoAaBaq cBaKoM Kynqy o.qceqe tro

3 m. Koruxo nyra he npoAaBarr Moparlr Aa ceqe rxauuHy .qa 6tt cre npoAao.

3. Moxe nn pa3JroMax Koa l(ora je 6poju.nau MarLil oA xMeHr{oua 6r{TI{je4xax paraoMKy Ko,q xora je 6pojra.nau sehlr oA uuenNoqa?

4. Koluxo qBoltoBa he ce :aselau aKo KaHaIr 3arerxeMo (r, clnxy)

fluraropa, y noMoh!

,{,oragN MareMaruqap, Kaxy 3Jrrl jerurlq, a 6No je Mano rroBltcoK, y xoreJr

Aa npeuohn. Kperer, xoju uy je 6ao oapebeu. 6uo je npexparax 3a rberoBy

Br{cr{Hy. 14 urra he? flornahe y novoh MareNtarl{xy.-

I4rrlepu Ayx.y.ry a rlumprlHy D xpenera, yrBpal{ paqyHoM Ha roJrltKo I,I TonrKo Aeq}rMana raqno Aa

je rrerona Bracrnra Br{cilHa Maba oA /;40', ro he pehu og gnjaroualerpe-sera. 3aAosoJbno je xoxcraroBao ry {I.*beHlrqy ll caB Beceo nerao yr4yx gnja-

roHaJre norBpAl.rBrrn ero, H oBoM npu.rIHKoM, xaro je MareMartffa yorurlTe

Kop[cHa y ceojoj npr{Merx, a Hapoqxro xaxo je r<opucra fluraropuna reopeMa.

-3aucra, oH Huje lrorao 6e: paqylra N 6e: flnraroplIne reopeMe nparrl{quo

cavo rehn y xpeBer y npaBqy gr.rjaroxane r Bl,taerr Aa ce Moxe uc[pyxrlrl{'Hero ce u oH, KaKo ce xaxe 3a HeKe MaTeMaTI{{ape, Apxao npxHrl}lfla: qeMy

je4uocrauuo xaA Moxe u xollnnnrosaro!

REZULTATI KONKURSA ZA NAGRADNI ZADATAK BR. 7

(Specijalni novogodi5nji nagradni zadatak)

InIIIIVV

VI

vlIVIIIIXxXI

Radi bolje preglednosti, redove smo numerisali rednim brojevima od I do XI,Logidki rasuduju6i sada 6emo postepeno odrediti jednu po jednu od cifara

koje nedostaju, tj. utvrdiiemo koju cifru zamenjuje svako od napisanih slova.

Odmah vidimo da prva cifra (c) delioca (divizora) mora biti 1, po5todelimidni proizvod (produkt) koji stoji u VI redu

-a to je rezultat mnoZenja

7.apy67e - ima samo 6 cifara, jer kad bi bilo a:2, onda bi taj broj biosedmocifren; dakle je c: I

Delimidni ostaci deljenja koji stoje u III i VII redu su Sestocifreni brojevi,pa poSto svaki od njih mora biti manji od delioca aBy67e odnosno lBy67e, toje onda odigledno da mora biti K:l i U: l. No tada je takocle i k:u:t.

Delilac aBy67e najvi5e je jednak 199979, a poito q moie biti najvi5e 9,

to onda delimidni (parcijalni) proizvod u VIII redu moZe biti jednak najvi$e199979.9== 17998 I l, Sto znadi da je sigurno v<8. Meclutim, vidimo da se Vdobija kao razlika (diferencija) dvaju stubaca iznad V u kojima stoji ista cifra(ovde 7), te je jasno da V ne moie biti nijedna druga cifra osim 0 ili 9. Ali uIX redu vidimo da su prve dve cifre ostatka jedrrake nuli, tj. IJ-u:O i V-v:O,

OATOBOPI4 HA IMTAILA }I3 PYEPIIKE ,,3PHIIA*y ,,MATEMATHqKOM JIl4CTy,, lII.2

rl t3a Aocer.runse. - l. TpehraHa Hno :tt.,:t,rpehrna ].ruo oA 100:

I

- oA 100:5o.2.3a 9 Aaxa. 3. 8. 4' 4 qaca.S. Jeanove,4arxxopny2c ja6yxov. 6. Ilncr xaprr.rje Ha xoMe je uanncaH 6poj 666 rpeba orpenyru3a 180"; oH4a her"ro l{Marr{ rtanrcax 6poj 999. 7. ,{oe (ocrale rpu caehe

he caroperN). 8. 3 nuorpaua. 9. Penrerse je 4aro Ha cntrl{Il aecHo.

g2

i-nt-T-i

Tadatak je bio:. Rekonstruisati sledete deljenje, tj. umesto zvezdica stavitiodgovarajuie cifre. Postupak detaljno obrazloiiti.

* * 7 * * * * * r *:* * * * 7 *:* *'7 * *

1J *: J J

rr***7*****+**

*7****

r7+********+_**+7**

*t******t***

Navodimo detaljno re5enje tog zadatka.Ako cifre koje nedostaju oznaiimo slovima, onda de gornje

izgledati ovako:deljenje

A B 7 D E FC H I J :a py 67 e:Ap7 qatabcdef-xruNpl cklmnpog

-etnsrn

qTrsth

uvwxVZtuvwxTziETTJIAJ6 ignd j- 0--

93



pa mora biti Z:0 i r:0, jer smo vei napred zakljuEili da je v<8. Po5to je

V:O i U:1, to za V, VI i VII red mora biti Q-q: U, odnosno Q-q:l iliQ:q+1,Sto znaii da q ntoie biti najviSe jednako 8 (tj. s je manje od 8 ilinajvi5e jednako 8; to se zapisuje ovako: 4<8). To medutim, znadi da delimidniproizvod 7.lpy67t: u VI redu moie biti najvi5e 87rstl.

Opet pogledajmo delilac lBy67e. Njegova druga cifra (0) moLe biti samo

ili 0 ili I ili 2, jer kad bi bila 3 ili vi5e od 3, onda bi delilac bio najmanje

130070, pa bi proizvod 7.130070 prema5io broj \1rsth' Uzmimo .da je. d:0;tada je delilac najviSe jednak 1099?9, pa bismo mnoZenjem tog broja s najveiommoguiom cifrom kolidnika, tj. sa 9, dobili delimirlni proizvod od- 6 cifara, dokvidimo da u VIII redu delimiini proizvod ima 7 cifara; dakle, p je veie od 0,

tj. p: I iti p :2.Ako uzmemo da je 8.=1, tada y moZe biti jedino 0 ili I, jer kad bi biloy>1, tj. y:2 ili viSe od 2, onda bi delimiini proizvod 7'lly67e koji stoji uVI redu (qTrsth) na drugom mestu sleva imao cifru veiu od 7, Sto ne moZe

biti; znaEi, z.^ fl:l nije y21. Lako iemo videti da ne moZe biti ni 7==0, jer

tada dak ni delinriini proizvod 110979.9 ne bi imao 7 cifara kao Sto to mora

biti u VIII redu. Uzmimo ?;== 1; tada treba odrediti 6, e, g tako da delimiEniproizvod q'lllb7t bude broj sa 7 cifara (sedmocifreni broj, VIII red), u kojem

ie treia cifra sdesna biti 7. Za q:8 i q<8 dobio bi se Sestocifreni broj; znadi,

moramo uzeti g:9. Tada izlazi da bismo morali uzeti da je d:0 ili d:9. No'u prvom od ovi dva sluEaja delilac bi najvi5e bio jednak lll079 i njegov.proizvod(umnoZak) s najveiom cifrom 9 ne bi dao sedmocifren broj, kako bi- trebalo

iVfIt reai; u drugom sludaju delilac bi bio ll197e, pa bi tada njegov delimidniproizvod'sa 7 (onaj koji stoji u VI redu) bio783sth,5to biti ne moZe' jer druga

iifra sleva mora biti 7. To znaEi da ne moZe biti p: l. Prema tome mora biti

P:2.U tom sludaju (vidi VI red) izlazi da mora biti: q:8 i Q:9.Sada vidimo da mnoZenjem 7'12y67e dobijamo u VI redu delimidni

proizvod 87rst/r; odatle sledi da mora biti ili y:4 ili y:5, jer !i vgi- ?a y:9proizvod 7.12667e bio veci odSTrsth,azay:3 iak bi i proizvod "l'123979 bio manji

od i7rsth (a proizvod 7.123d7e tim pre). Proizvod 9'l2y67e mora biti sedmo-

cifren broj (l\wx7zi, VIII red). PoSto je 7'126979 Sestocifren brol' a 9'123979

bi bilo vece'od lowx7zi,to izlazi da mora biti 9:8. Tada bi delimiini proizvod

l\wxTzi u VIII redu za y:4 bio najvi5e jednak 8'124979, Sto je manje od

lOwxTzi. Prema tome, ostaje da mora biti 1':$.Meclutim, delimidni proizvod 8'125d7a, tj. low-r7zi, koji stoji. u VIII redu'

ima na trecem mestu sdesna cifru ?,5to rnoZe biti jedino kad je d-=4 ili d:9.(Naime, iz desetica proizvoda 12567e'8 za ,,prenos" imamo 5 ili 6, Sto zavisi

od e; buduii da 8'J+,,prenos" mora biti.neparan broj koji se ovde.zavrSava

sa 7, to ,,prenos" moZe biti samo 5; to uslovljava da nrora biti d:4 ili d:9).Istovremeno to znadi da je e<5. Medutinr, za 6=,9 dclimidni proizvod 7.12597e,

tj. broj koji stoji u VI ridu, bio bi sigurno veci od 87rsrlr, Sto ne nroZe biti;dakle,

-preostaje-da je d :4. Tada u Vl redu dobijamo 7 'l2t!79 - 87.8sth, te

)zlazi' da je i":S; ali tada delimidni proizvod (ljwx1zi) u VIII redu jeste

8-12547e ili l0037zi; dakle je ll:0 i x:3.Jasno je daljeda Emoie biti najmanje jednako I (tj. ili jgf=.1 ilii>l)'Tada iz VlI,-VflI i IX reda sledi da ni W nije manje od I' tj. ili je W:l ilr

W>1. S druge strane, po5to je r:8 i .R<9, to V, VI i VII red daju da mora

biti ili w:l-ili W<i.ViAimb da istovremeno mora biti i,7<l iW>l,odakleizlazi da moZe biti jedino W:1. No tada je R:9 (V' VI' VII red) i 6':l

94

(VII, VilI, IX red). DelimiEni proizvod u X redu, tj. a.12547e poEinje jedinicom(ltg,t6j, jer d--,5':1), Sto je moguie samo kad je ar:l; no, tada je f :t:2,JI:n:4, a:Q:7, J:j:e.

Prema tome, za sada imamo:

I AB 7 DEFGHIe:12547e:4p781il ab c d e filI ft-unVl cMlmnpogv -TTe ir nVI '8 7 8 s t lt

vrl 7 o tTnZrVIil I O 0 37 z irx -12-s+1,X 12547 e

XIODdimidni proizvod p.12547e daje sedmocifren broj koji stoji u IV redu;

to moZe bjti samo kad je p:8 ili p:9.Vec smo napred utvrdili,da e moZe biti jednako najviie 4. Uzimajtr6i da

je e jednako redlom 0, l,2,3 (pri p-8, a zatim i pri pr:9) nalazimo postepenodelimidne (parcijalne) proizvode u lV, VI i VIII redu i iduii dalje unatragutvrdiiemo da se u III redu kao druga cifra sdesna ni u jednom od tih sludajevine6e dobiti 7 (a vidimo da tu mora biti 7). Meclutim, samo kad je p:8 is:3 to uspeva. Zameniv5i 1r sa 8 i a sa 3lako pronalazimo i sve ostale cifreu brojevima od III do XI reda. Nalazimo da je: J: j:e:3, zi:84, sth:311,lmnpog:003784, a onda XYZI:6331, SfH:944 i LMNPTG:101778.

Ostalo je joS da rekonstrui5emo I i II red

i odredimo ,1. Keko to udiniti? Jasno je da ce namu tome pomoci sedmica na treicnt mestu sleva udeljeniku. Naime, prvi delimiini proizvod 1.125473,tj. broj koji stoji u l{ redu, nrora biti takav dasabran sa ll0l7'1 daje u deljeniku cifru 7 natre6em mestu sleva (dakle, i u II redu treia cifrasleva mora biti 7). To je moguie samo kad je l.:5.

Sada su narn kolidnik i delilac potpunopoznati, te nije teSko da deljenje rekonstndSemo dokraja. Dobijamo da je abcdef : 627365 i AB7 DEF :

737542.Prenra tome, posle rekonstruisanja celo de-

ljenjc izgleda ovako (vidi desno):

***Primljcno je ukupno 43 re5enja: 16 tadnih i obrazloZenih, l0 tadnih i

neobrazloZenih ili nedovoljno obrazloZenih i l7 pogre5nih.

Nagradena su sva tadna i obrazloZena reienja.Polto je iz nekih Skola odnosno mesta (BrEko, Sjenica, Subotica,Vukovar)bilo po nekoliko istovetnih re5enja (zajednidki dogovor grupe ditalaca-pretplat-nika), to su takva resenja tretirana kao jedno re5enje. Nepotpisana reienja nisumogla biti uzeta u obzir (Brdko, Dimitrovgrad).

'137 5428413: 12547 3 : 58781627365

rrbr77a1003784

9799448783 I I

I O ttrr- t1003784-'Izsqit

125473

0

95



Nagrade su zaokruZene na cele u novim dinarima. Zbog toga je nagradnifond poveian na 1120,00 n. dinara.

Dodeljeno je 16 nagrada po 70,00 n. dinara. Nagradeni su:

l. Barbirovi| Duianka, uE. VII, r. OS ,,O. Petrov-Radi5ii", Vr5ac2. Dorit Dragan, uE. VIII r. OS ,,M. Pijade", Vranii kod Beograda3. Ignjatovit Dragoljub, u6. VIII, r. OS ,,S. Jovanovii", Sabac4. Jasak Mirko, nast. OS ,,Novo BrEko", Briko5. Jovitit Goran, uE. VIII, r. OS ,,D. Jovanovid", Selevac6. Liiievit Vladimir, ud. VII, r. OS ,,2. J. Spanac", N. Beograd7. Maiak Munir, nast. OS ,,f'oe. oml. Eete", Brod kod Fote8. Marit Zlata, ut VIII, r. OS ,,8. Jevtii" Kusadak

9. Rudolf Janez, OS ,,Dr V. Kraigherja", LjubljanalO. Trlek Zelimir, OS Strosinci (SRH)ll. Vretica Srziia, ui. VIII r. OS Generalski Stol (SRH)12. Zdravkovit Jasntina, ud. VtI r. OS ,,Lj. Nesii", Zajetar13. Nagradu dele: Avdit Sead, Alibegovii Fahira, Bebit Zvonko, Husovi|

Zineta, Karanovit Dragan, Kovatevit Mehdija i Omerhodiit Fadila, uEenici VIII r.OS ,,Novo Brdko", Brdko

14. Nagradu dele: Diisal Mustafa, Diigal Osman, Filipovit Dragiia, Gre-bovit Dragoje - udenici VIII r. OS ,,S. Markovii" u Sjenici i Soljanin Sabahudin,uE. I raz. gimnazije ,,29. novembar" u Sjenici

.. 15. Nagradu dele: Durica Mirko i Prihaika Aleksandar, udenici VII" r.OS ,,I. G. Kovadid", Subotica i Tumbas Pajo, ut. VlIa r. OS ,,10. oktobar'.,Subotica

16. Nagradu dele:-Bilii LjiAana, Nogit Yladimir, Petrovii Marija i ZlatkoIvan - uienici VII r. OS ,,V. Nazor", Vukovar.

Kao ito ste videli, zadatak je bio u znaku broja 7! To se moZe redi iak

i za nagrade.Dobitnicima nagrada Eestitamo!

Nagrade su poslate po5tom.

REZULTATI KONKURSA ZA NAGRADNI ZADATAK BR. 8

zadatak je bio. Pravougaonik sa srranicama 16 cm i 9 cm poderiri (razre-:ati) no dva dela od kojih se moie sastaviti kyadrat.

Re5enje je dato na sledecoj slici (umanjeno).

-l_l_

I

l II

I I--i-

-1-r

Prinrljeno je viSe od 600 resenja, od toga 4g0 taEnih.

.zrebon-r je odludeno da se izmedu onih koji su posrali tadna reienjanagrade sa po 20 n. dinara slerjeci uienici:

l. Buhi( Dona, yll, r. OS ,.S. Markovii,,, Sjenica2. Babit Veljo, y, r. OS .,F. Fitipovii,., eadak

3. Borjanac Neda, VII16 r. OS ,,S. Sabii.,, Bjelovar4. Cirkot,it Ratlovan, VIII, r. OS ,,M. Blagojevii,,, Natalinci5. Joyanoyit trlilena, V, r. OS .,V. Dugobevic,,. Beograd6. Joyunoyii Velintir, V, r. Desete OS, Mostar7. Joyit lvan, YI r. OS ,,V. Karad2ic.., Vel. Grabovnica8. AIiiit Dragana, V. r. OS ,,V. Karad2ic.,, poZarevac

9. Puji! L'ojkan, VI. r. OS ,,2. Zrenjanin,, Boka (Banat)10. Perkoyit Jo.sip, yll r. OS, KriSpolje (SRH)I l. Pctrtn .Aleksundur, \/III, r. OS ,,V. Aksentijevic.,, Beograd'17. I,<'tntyi<" !\f iodralg. Vll" r. OS ,.Njegoi.., NiSl.\. l'tt.tkti llorut, ylly, r. VeZbaonica Udit. ikole. Subotica11. .ittlitt.qtr I.iiljuttu, V" r. OS .,J. Kostic,.. Leskovacl.5. ^\'trntAottt ^!rrl7rr. VIII6 r. OLI .,Karpoi.,, Skopje16. 'l-untiil(l:i[ .\lttlxnlan, VI, r. OS .,D. Salaj.., Beograd

17. 'lttttii tliliuru. VlI, r. OS ,.V. Milidevii,., Grocka18. L/tllori( l)ragun. Vl, r. OS ,.D. Lalovii.,, C. Koritnica19. L'u<".krt,i( tf ili.sov, Vlll, r. OS ,.G. Markovii,,, LopaS (pciekovina)20. Vu.ittril' l)nt.qan, Vl. r. OS .,llriko Novo.., Briko.Nagradc su p()slat0 poilont.

NAGRADNI ZADATAK BR.9

Nedaleko jedno od drugog nalaze se dva sela A i B. Svi stanovnici sela Agovore samo istinu, a svi slanovnici sela B laZu, Stanovnici ovih :'ela medusobnose posetuju. Prelpostavimo da se ti nalazii u nekom od tih sela (a ne znai u kojem).

Koje pitanje (ali samo jedno) treba da postavii prvom toveku kojeg susret-te!; u tom mestu (naravno, ne znai iz kleg je on mesta), da bi na osnovu njego-vog odgovora utvrdio da Ii si u selu A ili B? (Pretpostavuamo da u to vreme niu jednom od ovih sela nije bilo stanovnika iz drugih mesta).

Za pravilno reienje ovog zadatka biie nagradeno 20 udenika. Po potrebi

odludiie Zreb. Re5enje treba poslati najkasnije do 10. IV 1969. godine na adresu:MatematiCki list, Beograd, p. p. 728. Ne zaboravite da na samom radu navedetesvoje ime i prezime, razred, ikolu i mesto (za manja mesta i po5tu). Na kovertiobavezno naznadite: ,,Nagradni zadatak br. 9". Re5enja i imena nagradenih obja-vieemo u ,,Matematidkom listu" III. 5.

96

Documents

Matematicki list 1969 III 3