SAVEZ DRUSTAVA MATEMATICARA FIZICARA I ASTRONOMAJUGOSLAVIJE

MATEMATICTT T,TST

za uEenike osnovnih Skola

God. XV, broj 3 (1980)

Izlazi Sest puta godi5nje

IZ,D,.JE DRUSTVO MATEMATICARA, FIZICARA I ASTRONOMASR SRBIJE

Beograd, Knez Mihailova 35/IV' P. p.728.

Urednici:Plaron Dimit i Miroslav Zivkovii

Redakcioni odbor:

Bosumila Kolenko (Ljubljana), dr Zeliko Paule (7-agteb),

Kosta Mijatpvrc (Sarajevo), Danilo Stepanovrd (Titograd),

Duiko KovaEev (Skoplje), Velimir Sotirovri (Novi Sad)'

Vladimir Stoianovit (Beoerad)

Glavni i odgovorni urednik: Miroslav Zivkovi|

Sva prava umnolavanja, preitampavaqia i prer'rotler\ia zadrlavabruStvo matematidari, fizidara i astronoma SR Srbije

Oslodeno ptadanja poreza na promet na osnovuresenjaRepublidk_ogsekretarijatazakulturu-SR Srbije-br. 413-18G03 od ll. 1. 1973. godine

Stampa: Beogradski izdavadko-grafidki zavod, Beograd, Bul. vojvode Mi$i6a br. l?

Borisav Simi6 (Veliki PopoviC) l

OJLEROVA PRAYA I FOJERBAHOV KRUG

Upoznavanje svojstava- trougla iesto sezavrSava samo saznanjem da postoje Eetiri zna-dajne tadke trougla: qJntar opi.un""g trula qpre-sek simetrala stranica), centar upisanog kiuga(presek simetrala uglova), teZi5te lpresei teZiS-nih linija) i srtocentar (presek visina). Medutim,ved podetkom XVIII veka utvrdeno je da tro.ugao ima iEitav nizzanimljivih svojstava vezanihza oye njegove karakteristidne tadke. Stoga6emo ovde ukazati na dve takve teoreme od"kojih se prva odnosi na Ojlerovu prova, a drugana Fojerbahov krug.

I

Teorema l. - U trouglu teEiite, ortocentar i centar op.isanlg krugaw kolinearne taike. TeEiite se nqlazi izmedu ortocentra i ceitra opisanogkruga, a na dvaput je veflem rastojanju od ortocentra nego od ,"rrtro opi-sanog kruga.

Dokaz. Dopustimo da prava p, odredena centrom S opisanog'kruga i teii5tem ?, sede visinu lr4' u tadki O (sl. l), a da je .,{, sredi5testranice 8C. Tada je trougao ATO sli1an trouglu A1TS, jer su im jednaki

A1

st. I

65

odsovaraju6i uglovi: uglovi ATO i l1?S su una$1ni' a uglovi,TAo

i firs iir."ir-fraratetni krake. Kako Ju od€ovarajuie stranice slidnih

ttougionu pioporcionalne, to ie TO.:Tt=fA zTAv a s obzrrom na

svojstvo teZi$ta tlouglu jt.au;. da je TO:TS:TA:TA1:):1' od-

nosno TO:2'TS.Tako smo dokazali da je teZiste tfougla dvaput blize centru kruga

ooirurr-o"-ot o-iio,rgt" nego iadki O, u kojoj prava p sede visinu 1,4'.

i;i;;i;;; i., dukf",-jo5 ddkazati daje tadka o ortocentar trougla. Pret-

oostavimo suprotno, tj. da prava p preostale dve visine sede u tadkama

t"i" *'ri"rffil"l" .A'tiUte b.farlubi postojale tri, ili bar.dve- razlidite

tu8k" prun" p na istoj strani od teZista i na istom rastolan;u, sto Je ne-

ril'e;d". Ali:.iio j" io nemogude' onda je sigurno-.dy t9*1.O Plinada*n"[oi od viiina tiougla, a tol drugim redima, zna6i daje tadka O orto-

;ffi; ;.;;i;i aa si teziste, ort6centar.i centar opisanog kruga oko

;t-;;;""1;1fi"-o" tuet", tj. da pripadaju istoj pravoj' i time je teorema

dokazana.Kolinearnostcentraopisanogkruga,teiiStaiortocentratrougla

p*i j;;;i.;;;-erriju"i sv-ajcarskl rnatematidar pjler (.f. Euler, 1707.

'_ ti3l.), te se fo njemu pr-ava odretlena tim trima taikama i naziva

Ojlerova"prava. -

Neiednakostranidni i' jednakokraki trougao imaju -jedinstvenuoih'o;'-;;;;:-;;il;" 3t o;terova prava jednakokrakog troggla

;i;;;;;-"il;il"fiii". fuuirot iome, a zbos toga ito^*u se.znadajne

#i; ;i6;il1;.ir;k"strani6ni trougao ima pramen ojlerovih pravih.

sredista duzi.koje spajaju ortocentar trougla sa njegovim teme'

nimu to po ate kao bjt.ioui tadke trougla'

Radi dokaza'narednog ivrtlenja moramo imati u vidu sledeCe

Cinjenice:

a) Srednja linija trolgla-(duZ koja spaja sredine dveju stranica)

je paraietna trieoj stranici i]ednaka njenoj polovini'

b) Hipotenuza pravouglog trougla je prednik opisanog kruga okg

tog trougla.

Teorema 2. - U trouglu se sredilta stranica' podnoiia visina

i Oilerove taike nalaze na istom krugu'

'Dokaz.NekasutalkeAl,\iClsrediStastranicatrologlaABC(rl. 2;;;k;-i: u; i C; poo'iizii llegovitr visina, o-pje.se! visina' a

Y' i'; i7;j"st;t o:r"toi" tuer.i. o-o'i't trouglovi oBQ i oAD lmaia

56

zajedniEku stranicu BO, a kako su .du1i A1M ilinije paralelne stranici BO, to je: A1M*C1K

C1K njegove sredrjei AlM ll c6ll Bo.

tt.. l

.'i,,:l'.,:r:,i.t)i

' lf'l

.lit.

,;l,.i,

.ffi,1til.l

,l slxtri,lhtE[

tffim&

wfitrr

x;I^4

sl. 2

Stranica 4C je zajeclnidka za trouglove ABC i AOC, usled dega je:A1C1=dfi( i A1C1ll MK ll lC. No, s obzirom: da je BO!AC, ier ievisina trougla upravna na odgovarajuioj stanici, to je detvorougaoATMKCT pravougaonik. Njegove dijagonale se polove u tadki ,S1 ijednake su, tj. A1K:C1M.

Na sasvim istovetan nadin se dokazuje da je defvoroagao A1B1KLtakode pravougaonik. Presek dijagoiala itog iravouguooTku je-tadka51, jer dijagonala A1K ima samo jedno sredi5te - tadku 51 - pa jeona sredi5te i dijagonale B1L.

Prema tome, tadke Ab Bb Cb K, L i M su jednako udaljene odtadke 51, a to zna$i da se nalaze na istom krugu.

f konadno, duli A1K, Bg i C1M istovremeno su i preEnici do-tidnog $ruga i hipotenuze trouglova A1A'K, BILB' i CIMC', pa iz togsleduje da i tadke A', B' i C'pripadaju istom krugu. Dakle, teorema jedokazana.

Ovaj krug je poznat kao Fojerbahov krug. Kako tom krugu pri-padaju devet karakteristidnih tadaka trougla, to je on poznat pod ime-nom krug devet tadaka

67

Zadaci

Dokazati sledeca twtleqia:

a) Odstojarfe centra opisanog kruga od stranice trougla jednako je poloviniodstojanja nasprarnnog temena od ortocentra.

b) Prednik kruga devet tadaka je<lnak je polupredniku opisanog kruga oko tro-ugla, pridemumujecentarusrediStu odstojanja centra opisanog kruga od orto-centra, i to ba5 na Ojlerovoj pravoj,

IIEItrTO O JIABHPI,IHTIIMA

Jlarr.rpnrr, y umpeM cMlrcJry peq[, npeAcraBJba cBaKlI Behu cIUIerxolurrrKa u 4pocropuja ylryTari HeKe 3rpaAe, IIJII{ cIIJIer r{3yKpIIJTaHI{x

cTa3a yHyTap Herof orpafenor 3eMJblrlxra, aKo ce y Hcrlr Moxe AonpeTIIcaMo Kpo3jegan ynaa, u aro je raxaB, gaje.cnaxu rberoB Aeo,6ap Haje4an na.rnu,. rIoBe3aH ca ocraJrIIM AenoBrIMa ror cIUIera. Lluaue, npro-6firuo, Ta ce peq oAuocruIa caMo Ha one 3rpaAe rIJIE IIoA3eMHe rlpoc-ropuje Koje cy, Katro ce BepoBaJIo, 6une Eaporr.rro rpafene 3a ro Aa ce

y rsuMa 3anyra I{ MoxAa rI3 IbI{x HuKa.q u}r He rfiabe; a ca4a, y o6uuuorrroBopy, qecTo ce Kaxe, Ha npllMep, u 3a cBaKfi c[neT l{3yKpluTarruxynnqa y rpaAy .qa [peAcTaBJba qtrTaB naBI{pIIHT.

Vcrapou rexy nocrojana je lereu4a ga je npan naBupr{Er Aao car-pa4rTnxparr $uuoc Ha Kp[ry u ga r',ry ra je rpa4ronajrehn .nereugapnurorrcrpyKrop ror go6a AeAan, xbjn je racnnje, Aa 6n no6erao ca Kplrra,HaqluilIo ce6u u bsorue cllry I4rapy (prrJra, raKo Aa cy ce onr.r, npnno,q cBnx JbyArr, Blrnynu y Ba3Ayx. A cnnxa na nac.uoruoj crpaur.r oBorJrucra npeAcraBJba MaKery Xeuron-napKa KoA Jlorgona, rojr.uocrojuseh sRule oa 200 rolutrra, rr ro Ha trpocrpaucrBy oA cBera oro I 000 m2,a.nr ruje cy crage, ouBllqeHe rycrtrM 3eJrelrr{JroM, 'TaKo r{3yKprrrrarre,Aa ce y rbeMy Moxe a 3aJryTaTvr, aKo ce He na3H.

Jlauapnnrr.r cy ce, .qaKJIe, cuojeuper"reHo rpaArrJrn g6or ugsecuux

.norpe6a, a ca4a ce jour rajueruhe carvro qprajy Ha rranfipy, pagt sa6ateoHnx KoJIr ce [pnxBaTe Aa ]rl.rrjnna3e npoJla3 Kpo3 rlux, a;rr cy oHrI

, 3aHr{MJbr{Br.r u Kao MareMarr.rq(n npo6leu rr y Be3u ca rbr{Ma uauehyce npBeucrBeno cle4eha ABa nr{Tarba:

flpno - Moxe Jrr,r ce carpaIuT[ TaKaB naBr{prrHT Aa ce rr3. rbera,ceM caMo oHr{M I{crI(M uyrbu xojay ce yrruro, He Moxe yourxre usahu,raroga,.aro ce raj rryr ne o6enexn rrJru He ynaMrrr, Moxece AoroAr.r-TI,I Aa HeKO 3a yBeK OCTaHe y nervry ?

Apyro -- Moxe Jrrr ce xo,qarrr no cBaroM naBr.rprufl"y raro Aa ce,npe Hero rrrro ce nolroBo crr{rue Ao yJlaga, upefe craxu EeroB Aeo,I{aKo ce He pacnoJlaxe rberoB}IM rIJtaIroM, HI,ITa ce ua 6ruo roju naunxMOXe rrCTrI Carure,qaTrr y qernnul?

Crporo MareMarlrqxu o6pasloxeutr oAroBopu na oBa nr.rrarbaAocra cy KoMrururoBaHn u'rrlrx he onn qrrraoru.r rojr ce Hapoquro lln-' repecyjy 3a MareMarmy racuuje uohn uahn y crpyrxoj nr.rreparypr{.Ho, raxo rl yrreHr.rqu trecro, Maxap rr caMo, rrpa qr.rrarby pa3Hr.rx sa6an-Hr{x Jrl{croBa, EaI{JIa3e Ira JIaBIIpmrre, MH heuo onAe ultaK tr3xerl{ u3-Becna npaBana rojnx ce rpe6a Apxarr.r aro ce yJras4 urrr ce neh yuuroy naBlrptrHT, a xeJrrr ce Aa ce 6er nyrana uJrtr Harabarba urzafle aaIbera.

Ta npanuna cy cne4eha.Ilpaq, aKo ce xohe ga ce, iloruro ce na je"16ou Mecry ymno y

JIaBI{pr.rHT, .6es ayrama uau o6erexauatba nyra rrq rojeu ce yrunocrnrne [orroBo I{a rberoB ylao, rpe6a ce Apxarr{ ,,[paBr{Jra gecne pyxe!'(ognocro ,,npaBrlrl'a reue pyre") u nocrynrrrr{, Ha cnegehr.r Eaqnrr:norrlro ce yluno y npBa xoAHr{K, rpe6a nohu ,qyx .qecnor (oAuocroneror) 3v4a a Kperarff ce AaJbe cruurHo raKo va ce raj 3rr,q HnKaKo HeHanyrrrra. Taro he ce cnrypHo crnhr,r.Ao ynara (roju je u nrnar) narn-ptrHTa.

Taxo,.na npuMep; Ha cJr. l, uovrohy crpeJrurla, rrptrKa3ax je nyrxoju.rvr he ce xperarr{ [euraK gpxehn ce ,,npaBrIJIa rere pyxe", a Ha

68

Cn.2

69

r4ti+l

c-n. 2 upnxasan je nyr xojurrr he ce rperarr treurar 4pxehn ce ,,qpaBruIa4ecne pyre".

. Me$yrrr"r, y o6agaaegexa ctyraja na4a y oqrr Aa ce xpo3 JIaBIIpI{HrIlpoluno r[ cTrrHIo .qo FeroBor'rl3Jlai]ar a Aa ce HIrJe npouulo Kpo3 cBe

rberoBe AeJIoBe. 3aro, aKo ce xohe Aa ce I{ To nocrl{rxe' rpe6a ce AP.XarucreAeher yrryTcrBa.

IIp"g, no ynacKy y naBI{pHIrr rpe6a uohu 6nno xojur"r nyreMu uhu cse AoK ce-He crnme y hopcoxax vIJtvI ce ne aofe Ha pacKpcHl{Ily.

Aro ce yfe y hopcoxax, rpe6a ce BparItrI'I, I{ KoA rI3JIacKa Ir3 rberaHetrnM (na upNvep, nouohy ADa xarvrena) o6enexntr ga je raj rryr neh

ABa nyra npefeH. Ceu rora, jegnma KaMeHoM rpe6a o6enexlrrrr H rryT

rojurr,r ce AoIIffro .qQ ynacKa y hopcorar, Kao_r{ nyr rojura he ce rpeuyruAare. A axo ce crLIrHe Ha pacxpcnlrl{y, rpe6a o,4arJle uohn Aare 6nnoI(oJlrM ryreM, a.rn rpe6a ouer. He'InIu (na upnuep, no je4HuIvr KaMeIri

orta; oOenextnut xfaj rryra xojuu ce Aourllo' r,r noqeraK nyra rojuvr ce

KperryJlo Aare. 3aruvr rpe6a raKo nocrynllTl cBaKIr nyr KaA ce crflrnena pacxpcHlrlry Ha xojoj ce jour uuje 6nno.-

Apy"o, aro ce crlrrue Ira pacKpculrrry ua xojoj ce seh 6nno (ruroce upnrrnehyje IIo ocraBJbeHoM KaMeHy), rpe6a oAMtlx nohr'r narpar,u rparurn ce Ao naj6anxe pacKpcrl.rue rpor rojy ce rperxoAlrorrporuno. flpurovr rpe6a na o6a rpaja npefenor rlyra ocraBI'ITLr IIo

ABa KaMeHa.

Hanoueni. -Ha cr,l. 3 r cn. 4upegcraarcr jc qenr nyr rojt he eenpehr aro ce xohe aa ce npofe Kpo3-cBe xo.[Hrre (oalrocno cturi; nai"pr"ta,flpe Hero rrrro ce crtrrxe ao r{3Jra3a. 36or rora rlucy oEenexexa Mecra na rojnuarpe6a,'ycnyr, xa 6!py ocraBJbeue no je4ra, oarocro no aBe o3raxe! aro ce-xote,qa [ocerr{naq, xojn aeua nnan nanrpurra, 6es .nyrara-npefg mj nyr.

Ceu rora rpe6a nnrarr y rrtrry Aa_xo,uctrqtr, oAHocHo cra3e u npocropnjeJraBnpnrrra' xe rvropajy cByr.qe uMar[ rcrr o6nrr n Aa lflwa u raanpr[ara roj"ce Mory y trorrryHocrtr o6nhr r aKo ce rpo3 cBar(E rbrrxoB aeo npobe caMo nojeaar nyr, TaKo Aa onaj ro pemaBa rrrrarba npona3a rpo3 JraBrrpurrr urr.rajyh'npeg co6ou rrJtan" raB[priHTa, He Mopa yBex rrerlr upeAanDesu^nocr]Irar-AacrrpoBoAtr Ao rpaJa.

3aAaqu1. Ha larnpnrTnMa, npeAcraBJbextrM tra cn. 5 r cn. 6, rpe6a natuaunru

tryreBe no rojmvra he ce rperarr uernar roja .je ymao i narzprtrr, u ro:a) axo xean caMo.qa ne rpahajyhu ce, crararol ntige'ra ucio"; n'Oj aro xe-ntr Aa trpe n?JragKa npo$e rpor cBe AenoBe naBf,prtra,is

,t:

jii

irirl'

.ri

,iiitrit'

lrl:li,

,

#Ir^Jlru^

,rF

tr'.T

,Y'

: Cn. 5 Cn.6

2. Haqprajre uran Xenrox-flapKa, rrpeAcraBJ'.Hor Ha EacJroBrroj crpamJrscra, ua Ha3Haqrre rryr roJuM ne Ce Kperarfi ne[ratr, n ro: a) Apxehr ce caMo,,rrpaBrrrra 4ecne (arru lere) pyxe..; r 6) aro xenu ,qa npe mnacra npole rporcBe AeJroBe naBEprnHTa.

n. E.

Cn.3 Cr. 4

Tpehe, Ka.q ce Ha Taj HarIuH crl{rne [olroBo Ha pacrpcnllqy Ha

Kojoj ce Beh 6nno, rpe6a nacraBl{Tl{ rryr xoAIrIiIKoM rojurrt ce jour nnjeruUlo; a aKo TaKBor xoAHrIKa HeMa, OrrAa rpe6a nohr oHrlM xoAHi{KoM

KojuM ce Aorne flpouno cavro jeAal{nyr (rj. onurvr ua 'rujeu yna3y nexrrcavro je.qaH xalvren).

Taro he, ucrlrfla, cBrI xoAllflqw 6uru npe$eur Ir ABarryr' aJII{

nu jeAau nehe 6rarn HgosraBJbeu, rla he ce orler crnhu 4o usnasa (cn' 3

tr c.II. 4).

70

Cn6

7l

,rd,'i!:: tt*:i'

ZADA.CIZA PROVERAVANJE STECENOIC ZNATTIJA TZ MATEMAIIKE. V RAZRED

ZA PROVERAVANJE

Varijnata IODUZIMANJE. ZAVISNQST RAZ.LIKE OD UMANJENIKA I UMA-NJLIOCA. RESAVI NJE JEDNAEI.NA I NEJEDNAEINA. PRAVO-UGAONIK I KVADRAT1. Koristeii se zagradama napiSi izraz

koji odgovara zadatku:a)Zbir brojeva 518356 i 439999

umanjiti za njihovu razliku;b) Razliku brojeva 387 123 i 199 856

- uve6aj za njihov zbir, Izradunajvrednosti oba izraza.

2. Koristeii se jednako5iu7 83 9 56-382 7 69 : 4Ot 187,odgovori, bez prethodnog pismenogizradunavanja, .koliko je:a) 783 957-382769:b) 783 956-382770:c) 783 957-382770:d) 783 957-382769:e) 783 955-382768:f) 783 958-38277t:

3. Na primeru 10-3 objasni zaBtooduzimanje nema osobinu komuta-cue.

4. Od kog broja treba o&lzeti 78256da se dobije broj 394823?

5. Odredi sve prirodne brojeve r, takoda x*692<703.

6.' Podvuci taCne iskaze:a) Kvadrat je pravougaonik .sa

jednakim susednim stranicama.b) Uglovi kvadrata su tupi.c) Pravougaonik ima tri jednake

stranice.d) N:spramne stfanice kvadrata su

paralelne, a susedne stranice sumedu sobom normalne.

e) Pravougaonik ima dve ose simq-.t5ije, a kvadrat detiri.

Varijanra lIOPERACIJE SA SKUPOUMA. IS.TINITOSNE VREDNOSTI ISKAZAl. Osendi na d,j.gramu i a) A n B;

b) AOC; C)B'C; d) A'B.C,ako su:

A:{xlx€Ni4<x<8},B:{xlx(Nixq6},C:{rtx€Ni4<xq8}.

2. Osendi na dijagramu: a) M \) Nib)MUP;c) (M nP)UN;d) (M U N)P ako su:M:lxlx€Nixct0),N:{xlx€l/i4<x<9},P-{xlre N i 5<.x(15}.

3. Popuni tablicu u kojoj je upisan.proizvod dva skupa I i A (sl l):

Koji su elementi skupa l, a kojiskupa lt?

'4. Proveri istinitosnu vrijednost slijeldeiih tvrdenja: ,

a) 3*4:4*3T;b) 3*4:4*3r;c) {3,4} x{2,5}:{2,5} x {3,4}f ;d) {r, 2}:{2, l}Te) (1, 2):(2, l)4.

5. Odredi istinitosnu vrednost iskaza:a) Nje istina da je 2 prirodrn broj;b) Nrje istina da 2 nije prirodan broj,c) Istina je da je 2 prirodan broj;d) Istina je da 2 nfe prirodan broj.

Varjianta IRELACIJA. RAZVRSTAVANJE.BROJEVNA RAZMERAl. Navedi primer za relaciju >x jd

brat y-a< i utvrdi da Ii ta relacija imasvojstvo: a) simetridnosti; !) tran-zitivnosti.

2. Da li relacija >biti majka< imasvojstvo:. a) simetridnosti; b) tran-zitivnosti? Navedi primer.

3. Ispitaj osobinu relacije xRy; x jeblinr y-a.

4. Na koliko klasa ekvivalencije'serazvrstava skup prirodnih brojeva,ako se u njemu posmatra relacija'xRy: x je dva puta veCi od y.

.

5. Elemente skupa I razvrstaj u klaseuvotlenjern relacije: biti iste vred-nosti. Na koliko klash se rdzvrstava'ovaj.skup? Odredi predstavnika sva-ke klase..,1-{(2*D, (6+0); (5-t, (4+2r,

(t+l), (4+r), (3+3), (6-1),(3+2), (5-3), (3+4), (tl:2),

(0- 8), (0 : 8), (9-2), (2+3. I),(14 :2), (l-l), (10:2)1.

6. a : b se odnosi kao 3 :4. Sta jeveie: a) a od b;b) b od, a?

7. DuL A8:16 cm nacrtana je u raz-meri 1 : 2 i oztaEena lxao du?' AlBya zatim je dui Afir nacrtana u raz-meri I :4 i oznad€na liao drrt A"Br,a) Koliko cm iznosi dvi A282, a

koliko dui lrBr?b) Odredi raznere:

AB: 4282,

. AzBz: ArBr8. Kolika je razmera izrnedu dva uza-

stopna Clana niza 10,2O,40,80, 160?Na koliko se nadina ona moZeiskazati? Navedi ih.

Varijanta lIINVERS FUNKCIJE. SKIJP CELIHBROJEVA. KONVEKSNI SKUPOVITAEAKA. UGAOl. Neka je /: N+N definisao ovako:

f@):2x. Da li je ovo bijekcija?NapiSi invers..

2. Invers funkcije f(i ie funkcijafi x);r-2. Kako glasi /(x)?

3. Omali na brojnoj osi skup tadakakojima su pridruieni elementi skupa.l={xlx €.ZA-51x<4.

4. Odtedi lxl-x za: a) x: l0; b) x: '___r0.

5. Koji su od skupova datih na sliciI konveksni?

@KW6ffi@wffiMffiW6. Podvuci nazivg konveksnih skupo-

va: praV ugao, krug, kvadrat, krui-ni prsten, kocka, kvadar, poluprava,ugao vedi od opruZenog.

7. Akoje OBIOCi 4AOB:55" (s1.2)izradunaj 4COD. Ima li meduovim uglovima komplementnih ug-lova?

ZADACISTEEENOG ZNANJA IZ MATEMATIKE

IV RAZRED

il

1,i

st. 1

Zzdzci za proveravanje stedenog znanja iz matematike pripremleni su zasve razrede u dve varijante zbog radiditosti u Dastavnim programima i planovi-ma na5ih republika i pokrajina.

72

i)

lti,i:

'i,::

:i.

Fd,.{,,,ii

,li

i:

DOAst. 2

I <t,"l

7g

Varijant.a IRAZLOMAK. PROSIRIVANJE ISKRACIVANJE RAZLOMAKA1. PokaZi na sl. I one'delove njene

povr5i, kojc se mogu iztaziti ruz'lomkom diji je: a) brojilac l; b) ime-nilac 8.

st. rl2s

2. Razlomke ,, i, 12 Proliri tako

da u imeniocu imaju broj 60.

2353. Radomke i, i, 5 rro5iri tako

da u brojiocu bude broj 30.4

4. Radomak * "ro5iri tako da u ime'

niocu bude broj: a) l0; b) 14.6

5. Radomak i, nro5iri tako da u

brojiocubude: a)brojE; b)broj 22.

6. PokaZi da je:7 3 4 4 620

a) ra--?- 8 ' b) io:15:so'?. U demu je radika ako dobije! Pola

lubenice' ili deset dvadesetina istelubenice?

8. Na sl. 2 nacrtana su dva podudarnakvadrata-

ffi,,,,ffiUporedi po velidini:a)^osend,eni deo a i osendeni deo D;

b) osendeni deo c i osendeni deo a.

74

ZADACIZA PROVER.AVANJE STECENN-G* ZNANJA IZ MATEMATITE

VI RAZRED

Z AD ACIZA PROVERAVANJA STECENOG ZNAN.JA IZ MATEMATIKE

. VII RAZREDVarijanta IVarijanta II

PERIODIEAN RAZLOMAK,PODUDARNOST TROUGLOVA.KONSTRUKCIJA TROUGLA

1. PokaZi deljenjem brojioca sa ime-niocem da" je:

Ia)-:0,9090909090...;'9

Ib)

--0.1111111. ..'9

I2. Poka1i da je razlomak

71 izraten

u obliku decimalnog broja periodi-dan decimalan broj i da rfegovaperioda sadrZi l7 decimalnih mesta.

3. Neka je MN nPO:{s}, SQ:SPi SN:.SM (sI. 1). Sta zna5 za uglove

..4I

IZRAEUNAVANJE PRIBLIZNEVREDNOSTI IRACIONALNOGBROJA. PRIMENA PITAGORINETEOREME. TAEKA, PRAVA IRAVAN1. PokaZi, ne koristeCi digitron, da je:

a) 3,5<|/13<3,?; b) 4,lt<y'17<<4,13.

2. Ako je 3<x<3,14, u kojim grani-cama je 0,5 r?

3. Izradunaj duZinu tetive powdene ukrugu poluprednika r:10 cm kojojodgovara centralno odstojanje od8 cm.

4. Dat je krug poluprednika 3 cm. Iz-radunaj strariicu pravilnog Sestougladiji je obim jednak obimu kruga idokaZi da je powSin4 Sestouglamanja od povr5ine kruga.

5. Dimenzije kvadra su a:12 crn,6:4 cm i c:3 cm. tzradunaj dija-gonalu kvadra

6. Pcluprednik kruga upisanog u pravilan Sestougao je r:2 cm. Izradunajobim i pow5inu tog Sestou8la.

7. Podvuci talne iskaze:Ako se dve prave u prostoru ne se." ku, one su paralelne.

b) Kroz tadku,{ koja pripada pra-voj p mo1e se u prostoru kon-struisati samo jedna pr6va nor-malna na pravu p.

c) Prava koja sede jednu od dvejuparalelnih pravih sede i drugu(sve tri prave se nalaze u'ravni iliu prostoru).

d) Prava koja sede jednu od dvejupravihkojese seku seCe idrugu.

t. Tri prave prolaze kroz istu taCku,a ne pripadaju istoj ravni. Koliko seravui moie postaviti kroz ove prave?

Varijanta IISTEPENOVANJE KORENOVANJE.RELACIJE. FUNKCIJEI. Ako je l{a(10, u kojim granica-

ma su: a) az; $\ a3?2. Odredi usmeno, ,bez zapisivanja,

treii koren od: a) l; b) 27;c) 0,000027; d) 0,000000001.

3. Ako je 0,01 <x<0,04, u kojim gra-nicama je; a) xz; q Vfr

4. U skupu A:{2, 4, 6,8, 10, 12, 14,16) definisana je relacija aRb: a se

. sadrZi u D. Nacrtaj tabliCki dijagramte relacije i utvrdi da li je ona:a) refleksivna; b) iranzitivna.

5. Dat je skup z4:{a, b, c, d} i relacijan:(r, y) lQ, D Q Az.x:y|.a) Relaciju R napi5i kao skup i na-

crtaj streliCasti dijagram te re-lacije.

6. Funkcija je predstavljena streliCas-tim dijagramom na sl. l.

Pri ovom preslikavanju domen jeskup /----, a kodomenskup l:--.Na6i pravilo preslikavanja funkcije.Kako glasi invers ove funkcije?

7. Pravilo preslikavanja funkcije pred-stavljerte strelidastim dijagramomna sl. 2je >rslovu x se pridruZuje na-redno slovo abecede<<. Popuni dija-

IM

sl. sl. 2

4. Ako je AD:CD i 4ADB:4CDB(s1.2), dokaZi da je {,{:{C.

5. Konstrui3i trougao ako je data stra-nicac:4,8cm, ako ugao kod temenaA iznosi a:38' i teZi5na dui kojaodgovara s[anici c je t :3,6 cm.

6. Konstrui3i trougao ako je dato:stranica c:4,2 cm, ugao F:56' kodtemena I i duZina simetrale uglas:3,5 cm od temena .B do nas'pramne stranice.

?. Konstrui5i trougao ako je dato:stranica a, visina koja odgovara stra'nici c i ugao kod temena A, li.c:5 cm, hc:!,4 cm i { A:30". sl, 2

. r zaDAclZA PROVERAVAI\JE SIECDhIOG ZNANJA IZ MATEMATIIG

VIII RAZRED

MAITMATILTA TAKMILTNJA

zADAcr sA REPUBLICToc texurCENJAuCrNme osNovNrH Sxor,e sR rliH,

odrtonoc 24. rnaja 19&). g. u DoDsiu

Va"rijanta IAKSIOMA; TEOREMA. DEFINI-CUAl. Podvrri redenice koje su aksion*

a) Jedan je broj;b) Ako je b'roj deljiv sa 2 i 3, ondi

je deljiv sa 6;c) Kvadrat nad hipotenuzom jednat

jc zbiru kvadrata nad katetama.d) Na svakoj pravoj postoje najma-

nje dve tadke kojejoj pripadaju.

2. Koristeci pretpostavku da je svalatadka simetrale ugla jednako udaljqna od krakova ugla, dokaZi teoremuda je centg upisanog kruga trouetbu preseku simetrala njegovih uglov{.

3. DokaZi da jc ,

{1, 3, l, 1, 3, 1, 3}:{1,3}, I

{3, 4, 4,4, 4l c {3, 4, 5}.

a. l^^zi u obliku: >>Ako. . . .. . .

onda... .< sledeCe teorernc:a) Svaka taJka sirnctrale duZi jed

nako je udaljena od krajeva tbduti; j

b) Kvadrat nad hipotenuzomjednalje zbiru kvadrato nad katetamh

5. Navedi obratne tcoreme za sl*dc6e teorcnre: i

a) Ako je zbir cifara cnkog hoidelj-iv sa 3, tada je taj broj deljfsa3; i

b) Ako su dijagonale detvoroug$medusobno normalne i jednak{tada je taj detvorougao kvadrai.

5. Fodvrrci tadnu definiciju: ia) Visina piramide je duZ koja spa$

wh piramide sa centrom ocnov{b) Visina piramide je normalno o{

stojanje vrha piramide od ravilosnove piramide; ;

c). Visina piramide je rastojanje ifmedu wha piramide i ravni nje*osnov€.

Varijanta IIPROPORCIONALNOST. SLICNOST

1. Ako je AC ll BD (sl. l), izradunaj x.

O,Hsl. 2

2. Ako je EF ll GE (sl 2), izrabnaj y.3. Datu dui r{Bpodeli tadkom C u od-

nosu 3 :5.4. Ako je AC ll.BD (sl. 3), dokati da

st. 3 st. 45. Dat je trougao ABC (sl.a) Uadcnaj

lC, AE i AB.

sr. 5

6. Dati su trouglovi MNR i PNQ (sl. 5).Izralunaj r.

7. U trouslu MIVP (sl. 6) {P:90',PALMN- Izrad'naj ,r.

$'

. \rII RAZII.ED

1. Ukupna masa posudc aapunjene vodom (posude zajedno sa vodom) izaosi2 fiD grama.

-OAti*mo ii Ztl voa9, gkupna masa 6e se snranjiti na &81prvobitnenrase.

-Odrediti masu prazne posude i masu vode.

2. Dijagonale trap€za su duge po 5 cm i medusobno su normaloe {okomite).Izradunati povrsinu tog trapeza.

3. Dokazati -d1je za svaki ciftli broj z, izraz zs-523*42 djefiiv brojem 120.(UPuta: 523:23+423)'

4. Zadan 1e knrg diji je cefiar M, tetiva AB i duiina polupretnika r. Na.pravojAB mlazi se izvin kruga tacka C, tiko da je d (B'c):r i da se tadka B nalazi izrdutaEaka A i C. Prava CM siiefn kruZnicu u taeki D, koja ne pripada duti CM. Do-iazati da je ugao AMD iedne,k tro$trukom Wtu .4CD.

5. Zadau su racionalni inaa f k):J- i s'(x): - t

I*x l-ta) Re.dncirati iaraz h (x):f (x)*s k)-zf(x)' s ft).b) O&cdi wiiedmti Fdttciranog izraza za r:l i r:0.

VIII R,AZRED

. l. Voz je posao iz Doboja l5 mimrta kasnije nego !.to je b-ilo prcdvidleno. Zato

je povedao bizhru za zVl od- Wevitbne Szige, za wijeme _dok nije nado*n&djo-zatiaSnjenie. ?a koie vritw od poleska iz Doboja je voz nadoknadio zalca$qieaie?

2. J€dna b,rigada no?., &zavrsi Deki posao za I0, a druga za 15 dana. Natotrl poslu argalovaaa je treidina pnre i dio drug9 Qriga$, loliki da se posao rnoZe

' zawShi n l2-dam. Koii ie to dio druge brigade? Szraziti u procentima).

' 3. Dokazati da prava koia sadrti.presjek produtenih krakova trapeza i polo-vi5te jcdoe osnoviten sadrZi i polsvBte druge osnovice loc' Eape?,

t ' d.' U t.ostr*j pr.iani, Cija je osnova pravougli jednakokraki tro-u8po, moZ€\ se upisati lopta prednika dugos 2 csr. Kolika je zapremina te priznre? (Uputa: tupi-

., Eana l,opta dodiruje sve stnane prizme)'r'o

{ 5. Razlomak i prcdstayiti kao razliku dvaju pravih razlonraka diji su fune-

mioci (aazivaici) t ,tlr.o9N- sl.6

T6

M4

7?

Rie3enia zadataka

VII RAZRED

1. Odlivanjcm 2Ol vode ukupna masa se smanjila na I 760 grama, koliko iz-nosi 882" od 2.000 grama. Dakle, masa se smanjila za 240 grama, a to je upravo onih2O)( od mase vode, koji su odliveni. Znati da'je vode bilo 5 puta viSe, tadno 1.200g;rama. Prazna posuda ima magu od 800 grama,

VIII RAZRED

1. Oznadrmo sa v planiranu brzinu i sa t u €amvima iztaaeno vrijeme za koje6 U momentu t vati

Ovo

ie nadoknatteno zaka5njeqie. Povo6ana brzina iznosi ;r'

2. Neka je ABCD dati trapez. Na produietku duLi AB odredimo tadku 4tako da je d (B,E) : d (c,D). radani?j:il:,?fexff,r3" oif ,?iififr"gfl

i".f i

\vaLi za r:i-. Dakle, voz je nadoknadio zaka5njeqie za I sai i

1

2. Za jedan dan prva brigada bi zavr5ila i6 posla' a drusa ,,

posla. Tre-

dina prve brigade, za jedan dan, zavrSi fi no'tu, a zajedno sa dijelom druge bri-

I - -. l.x I ."ga.de, za dan, izradi I posla. Otuda dobijamo Jednadinu m+fS:ft' dije rj3e'

oJe Je .. DaHe, angaZovano ie 75%druge brigade'

3. Neka je tadka S presjekproduZenihkrakova'Mpolovi5te osn6vice AB i N presjek g.r-av.e SM i osno'iiri-ib. iati paralelnosti osnovica slilni su. trouglovi,b,lrff i SOiV,iao i trouglovi SMB i SCN metlu-soloIn,

(sl. 3). fz navedenih slidnosti izlazi da je-DN:AM::dt Si4 odakle' je i Clr : rrrr:,3iV : S)F, odatle je,

zbog jednakosti desnih strana proporcija: DN : AM-:ey : au- Kako su d.u1i Ffr i ,ffijednake, sledi da

je i DIV:fr Sto se i wrdilo.

4. Visina primre jednaka je preCniku lopte (sl' 4)' Ako natinimo-pr^esjek priz-

m" uJ" iiidiasG 'iil"'t, ;;i16fi;^;;;*usii-t-i'cuo u kome je upisana.kruZnica

ilt"hpil;ffi i;li j" j"lnufi-pi,rupr"eniku ldpte, (sl.5). Poluprednik lopte;

izrlatnn -: I

D*__-__--qC BCDsu podudarnime<lusobom.(videti sl. l)..Osimtoga, trouglovi BCD i ACD imajujednake visine !zajednidku osnovice CD, pa su im povr5inejednake.Samim tim, povrSina trougla BCE jednaka je povr-Sini'trougla'' ACE (imaju zajedniiki dio, trougaoABC). Kako je trougao ACE pravougli, sa kateta-ma AC i CE duLina 5 cm, to je traZena povriina

A B E *a*e?aP:?1.^'-Cn.I 2

3. Transformisanjem izraza 2s-J23!42, prema datoj uputi, dobijamo: z5-23-423+42:23 (22-l)--{2 (zz-t):2 (22*l} (zz-4):2 (2-l) (z*l) (z--2) (z12)

:{z---2) (z-l) z (z*l) (z*2). Dati izraz predstavlja produkt pet uzestppnihcijelih brojeva. Kako je svaki drugi cijeli broj djeljiv sa 2, svaki reii djoljiv sa 3, svakidetvrti djeljiv sa 4 i svaki peti djeljiv sa 5, 'to je ovaj produkt djeljiv sa 2'3 '4'5,tj. djeljiv je sa 120.

4. U trouglu BCM je BM:BC:r, paje i 4BMC:{BCM, Ueao ABM je spo-ljasnji ugao ovog trougla, pa je jednak zbi-ru uglova BMC i BCM, pa je 4ABM::4BCM. Trougao ABM je takode jednako-krak, jerje MA:MB:r,pa je 4M8,4:4MAB.Otuda je 4MAB:24BCM. Usao AMD jespolja5nji ugao fougla ACM, pa ie 4AMD::4 CAM * 4 ACM:2 4BCM + {BMC ::3 4BCM,Sto se i tvrdilo.

5.h0,\:*n*-2*':I +x l-r (l +r)(l-x)

_ 2x-2x2 _'2x(l-x) _2x .

(1 +,r) (l -x) (l + r) (l -x) I + r

h -2r

-- - er.5Cr .4 ,--rLJI .+

preko stranice trougla, ono"E?-"'Nidjeti rjesenje'konkursnog zadatkabr''"

641). Kako je c:al/T ir:2,k1e2:2a-ay'\adakJet ":;:yf' Akorado-

'\lldI

I

II,]

1

jednakost: l"',:n(t.+), koja se transforhri3e u jednakost T:t,15 minuta.

I

Cr.

3

4

. Cn.2

x(l-x)+r(l +x)-2x2(l + x) (1-x)

".}n

l.,i1j)

II

78

Za x:l je /i (.r):1, a za x:0 je n (r):0. mak pro5irimo sa 2*/T, dobicemo da ie a:21-lT'

Zapremina prizrre je: ,-+ r-QlY' .2:(6+4/ii,cfi.

5. Treba odrediti brojeve a i b, a<7,6<13, takve au i" l-^L-!^= ,tb a 9 7 13 9t__'-::+ . U prvom sludaju bice

ttT'u=:. Dakle, mora biti t3 a---7 b:9,I379l919l

7 b+9odakle ie 4:- 1--1-. od svih prirodnih brojeva b, b<r3, iedlno b:g daje cijeru_13

589. wrjednost za e, i to je a:5. Oatte ,-rr:;.

.U drugom sluea3u bi6e;.1114:3. "

ovom sludaju mora biti 76-7 b_g

91 9t

-.13a-9, odakle je a:-_-. Jedina odgovarajuia vrijednost b, .za koju je a"l3cijeli broj, jeste 6:S. Tada je a:2, pa n *-:,-:*

ZADACI

ODABRANI ZADACI

Ovi zadaci trcba da vam slulc za vclbu i Driprcmanjo zamatcmatiCka takmiEcoja, kao i za rad t matematidkoj sekcdr. Oda-Urantzadaci nisu t€lki i moZe da ih rcli svaki ulenik koji redovno gatinestavu matcmatike u Skoli;7.adatkc treba samostaino da reSiic, inavcdcni reultati i uputitva neka vam sluls za kontrolu. Za uienilokoji Salju resenja Konkurmih zadataka. preporuCljivo je da prcthodnoraic Od4bran zadatke; iet su oni laksi od konkursnih, pa ovaj radprcdstavlja kori'sno uvczbavaije.

iifI

kocke.

NAGRADNI ZADATAK BR. 70

Od ietiri nacrtane figure na sl. 1,2, 3 i 4 samo tri predstavljaju mreZu iste

Odrediti koja od njih ne predstavlja mreZu te kocke i obrazloiiti

)'Za utenike M V mzreda

1525. Kvocijient (kolidnik) dva broja je 32. Ako dividend (deljenik) uveiamozA 2Q0o, tada ie kvocijept biti.72. Odredi ta {va b1oja.

1526.'Na jednoj farmi ima 14700 kokoiaka vi5e nego iurki ili l0 puta viiekoko5aka nego iurki. Koliko je svega koko5aka, a koliko iurki?

1531..i1.o sejedan broj podiJeli sa 6, dobije se kvocijent (kotidnik) 15 i os-tatak 4. Koji je to broj?

1528. Plo5tina (povr5ina) pravougaonika je 168 cm2, a Sirina mu .1" iZ cm.Izradunaj ploitinu onog kvadrata diji je opseg-(obim) jednak obimu pravokutnika",

. 1529. Na parceli duljine (duZine) 50 m i Sirine 20 m napravljena je ku6a dijesu dimenzije.12 x 17 m. Kolika je plo5tina (povriina) dvori5ta?

..

'

fl

ilil

fl

:tj ,.lIif

n

If"

Ij

I

t

oo I o

tr

dati vof.

a)

Co a\n

Za uienike V i VI razreda

1530. Kojom znamenkom (cifrom) se zavrSavazbroj (zbir): 26. 27' 28+51. 52. 53. 54?

",1531. Udenik jeproiitao sedam desetioa knjige,a to je za 64 stane vi3e nego Sto mq je ostalo joS daproiita. Koliko strana ima knjiga?

1532. Kolika .je plo3tina (povriina) najmanjegkvadrata na sl. l" ako je duljina (duZina) stranice naj-

. sl.l sI.2 Sl.3 St.4

. ^^?.t t1-8"9 {ielenje,ovog- zadatki-bide nagradeno'.matematiEkim knjigama ili priborom za pi-sanje20"/" onih koji poSalju taCna reienja. lzbor nagra<ti:nih bide izvrSen-p,-o potrebi Zrebom.

Resenie poslati na adresu: Matematidki list, d, p. 728, f l00l Beoarad.Nasamommdu oba-vezno treba.napisati ime i.preime, razred; odeljenje, ime {kole i postu (sa poltanskim brojem).Na kovertu (omotu) naznaEiri: Nagradni zadatak br 62. Reseqie poslati najkanije do 15, 02. lg8l.i.

Mole se Citami iz svake 6kole da Satju reSenja samo oni ulenici.koji su zadatak lehli sa-mostalno.

_ - Naponeu. - U proSlom broiu ML, na str.45 pogrelno, ie obiavtjen tekstzadstks 7 (II variianta): Ispravka de izadi u slededem-broiu listi.

80

st. Ivedeg kvadrata 8 cm. Temena svakog manjeg kvadratasu u polovi5tima (srediStima) stranica veieg kvadrata.

C) Za udenike VI i WI razreda

1533. Tri automobila su po5la istodobno iz mjesta ,rl u mjesto B. Postije iz-

vesnog vremenajedan automobilje presao 62,5o/o-drugi l, a treii0,Sod rastojanja9

o

o r' no

8l

larfeCu ova dva miesta. Koliko je rastojaqie ova-dva mjesta, ako je automobil naj-blili rqiestu p u tom momentu bio od n{esta .B udaljen 36, km?

153{. Dat je kvadrat IBCD. Neka je todka K poloviSte (srediSte) stranice lBi todka M polovi3te stranice CD. Duiine (duili) AM i DK sijeku se u toCki d a du-\ Zitrc CK i 8M sijeku se u todki F. Kakav je detverolut (Crtvorougao) KFMW

1535. Data je kruinica k i duilina (dui:) AB. Konstruirati tobku M na kruZ-nici &, tako da je MA:MB. Prikazati sludajeve kada ne ma rjeSenja, kada ima jednorje5enje i kada iun dva rje$enja. MoZe li biti viSe od dva rje5enja?

, D> Za udenike Yn i Vm razreda

15.16. trzraCunati opseg i ploStinu (obim i powsinu) paralelograma kome sudva wha (temeoa) toCke ,1l (--6, 3) i B (--2,

-3) u koordinatnom sistemu, a koordi-oatni poCetak je centar simetrije tog paralelograma.

1537. U pravokutnbm trokutu (pravouglom trouglu) ABC je AB:BC. YisimBD podijeljena je todkom .8, tako da je BE t DE:3 : l. U kom omjeru (razmeri)je stranica .BC podijeljena pravcem (pravorn) koji prolazi todkama I i .6?

153E. Nad rnanjom dijagonalom romba kao dijametrom (prednikom) kon-struiran je krug. O5tar kut (ugao) romba iznosi 60'. Izraziti plo5tinu (povr5inu) za-jednidkog dijela kruga i romba, u funkciji stranice a romba.

E) Za uienike VIII razreda

1539. Neki broj je kvadrat prirodnog broja. Dokazati da je on ili djeljiv sa 9,ili da pri djeljenju sa 3 daje ostatak l.

t5{0. Tri jednaka kruga dodiruju se izvana, svaki sa svakim. Izradunati plo5-tinu trokuta (povrtinu trougla) odredenog presjecima zajednidkih vanjskih dirki tihkrugova.

l5fl. Frava trostrana prizrna, dija je osnovka pravokutni trokut (pravouglitrougao) Sa katetana duljina (duZina) 15 cm i 20 cm, presjeCena je ravninom (saravni) koja sadrZi hipotenuzu osnovke i sijeCe naspramni pobodni bri<i (ivicu) podkutom (uglom). od 30'. Izradunati volumen (zaprerninu) dobivene piramide.

"F) Za uienike svih razreda

1542. 7.a tri jedrnka para ienskih cipela i pet jednakih pari mu5kih cipelapladeno je 7 616 dinara. Par Zenskih cipela je za 256 dinara skuplji od para mu5kihcipela. Koliko je pladeno za svaki par cipela?

15,13. U Skolu je upisano 180 djedaka i t92 djevojdice. Od njih su formiranaodjeljenja, sa jednakim brojem udenika, tako da je broj djedaka u svirn odjeljenjimaisti" U{pnici su rasporedeni u odjeljenja sa najvi5e 50 mjesta. Koliko djedaka i dje-vojdica ima u svakom odjeljenju?

82

1544. lJ istokradnom.trokutu.(jednakostranidnom trouglu) duZina (dui) kojaspaja vrh._(teme) na osnovici i.polovi5te (srediSte) kpka dijeli-oliseg (oU;rijiomta1a.dre drjela iije su duljine (duzine) 36 cm i t8'cm'. rzraiunati'auijtne iiiiniiu t"gtrokuta.

Rezultati odabranih zadataka ISZS-1544

1525. I 600 i 50. 1526. 16 170 i r 470. rs27. 94. lszs. 169 cm2. rs29. 176 mz.1530. 8. 1531. 160 strana. 1532.,4 cm2. 1533. 180 cm. 1534. Romb. rsri. zaaatatima najvi5e dva rjeienja. 1536. 48. tSSl. S:2.1S38. r2 /l+i r2:^. 1539.

staviti-z:3& ili n:3k*1. 1540. 212(2/T+l>. 1541. 600 f3 cmr. 1542. 856 din.i I 112 din. 1543. 15 djedaka i t6 djevojdica. iSql. e,24 i 24.

REZULTATI KONKURSA ZA NAGRADNI ZADATAK BR. 68.

R.eSen j e-'zad.atka. * Trougao se moZe sastaviti na 4 nadina, onakokao Sto je to predstavljeno pomoiu stikJ la, b, c; 2q". b; 3a, b:

m4-_sl. 1bla

Sl. 2a

' Sl.3a ,Sl.3b

^ . . Do predvidenog roka stiglo je ukupno 240 odgovora, od kojih su 9g bili tadni.s_obzirom na srazmerno mali broj pristiglih odgovoia, nagradeno.ie orom p.ilitom50fo re5avalaca tadnih odgovora.

I

2

.sr. 3 b

83

KOHKPyCHLT 3AAATU

Onn raaaqs cy BaMcFcEE trprcBcracno 3a cak cr{f,a!paa onsx ycentrka xojn cc y Bchoj uepa mrcpecyjy ga fuarcua-ruxy. Peue*e Baror Sa.aara 6rihc oEjasncno ia rorsrcouogor p€[aBaor[l Eois 6yae nmao caorM rarao n xaj6orco6pasrro4cso pcuctL€ y roxy lprnx 20 .uua m rsJracry nncta.

llvcxa ornx pcuasanaqa xojt norany 6ap 5 trpa-Brnrrx IpEeBa xoml4cxtrr 3a.qarttra 6r\ o6jaurcna yrcr!{ttt ro cc o.q Eax trprilo-tro yrytrtro 5 ramix pcuana. Ccxrora hc y rocne,Ersc1ra Etrcjy ;ucra 3:r oBy uoncry rotrrf,y6crn uirccSro o6iaracnr xuoar raiborurx pclaatanaqs, 36rclc cy upc,urlcuc E(brada Barpaac.

Fcrg4rajrc uocra&rlcnc 3s.mrrc f, Ea.lutm rr( y morcltcx 6pojy Maac.a@nxot aucfry, Pclciaca,atg,- riory ro-cram p€rarqrjE pqlrc&a caMo omx sa,qarar(a xoJu ct farcg-

l culleaa za.ww paspeg u m yveauxe cw paapegn. hairrcparalrjTc caM@Tarrro, Ea rpaxeDa rouoh sic o.q xora. CrurrcrprajTc trpcqtrggor a peucba rrusrc o6pauoreBo ! smxo.Ha h,q8ou Jrf,cry traupa rlrc6a namiarr ca trcrc crDarcpc,ws Spoj; fficT tr NoMlJraEo lxucBc caMo tro jcaxor 3a-trarxe f, cBoro pcBclt€ Ttr6a. normBTn: Wrut utarct u

Apctun.floil, wogehu pawg u ogEftce, u&oty, nec&o u'xyhny agpecy. HetrortryEa tieueEa, raor trctucna 6er o6pasroxera, oaxsto &3 nla€ agpccc trouJbao[a, Eche cc y3ruarn y o63trp.

Cna pcucm roja umc Eqollrcffio s&trTc y jc.nar rorcpar r sorirmrrc fr B aapcypc'rNFr.ts ca aa3saroM ,,Komypcnr 3a.uaqg'. Ha ronclrm xoBpra EaDa.qf,To caojc ruc, uxolyr pa3pc.q. PcEcEa saAara*e Er oror 6poja rtr|cra rpc6a ngclarr xajraclr{o Ao 15. 02. 1981. r.

A) ?ayvenilre IY u V pspega

6d4. Konrro uMa ereMerara cKyn xBaApara cBrD( ABorp{Opeulrx (ABo3Ha-MenracrrDd 6pojera? Koju je eJreMerrr ror cxylle HajMarLE, a Koju je uajrehn?

645. V jemroj trrxoJrr f,Ma 760 y*nnxa lr EacraBuffxa. ,{eraxa xMa E tryraBtlIIIe trero EacTatBcura, a 6poj AeBoj,rxqa [peMa 6pojy Aerlara je 5 :4. Koruro jey Toj ruxorr EaciaBflnxa, xoJMxo Aetlara I{ roJrul(o ,qgBoj.lxqa?

646. Kaproq o6Jera rBaApara lyxrpre (4mrme) crpanrqe 4 cm rpeba cacaMo rpE ceqeba [3pe3aTtr.Ila 8 no,qyaaplln (cyMaAtsrx) rpoyrnora (rpoxyra);Objacrrrrr xaxo c€ To Mox-e ys{rrf,. (Moxe ce trprdroxf,Trr r MoAen).

B) 3a yasraaxs V u VI patpega

647. V arrrnjn caKyrubarba srapor rrarnrpa rpn oAerberLa V pagpe.qa trptrrync415 kg. .{pyro o4enere caxym 20.k9 rume oA npBor, a rpehe t5 kg rnme o.q Apyror.flo ronmo je ruaorpaua crapor nampa *y* cBaxo oAeJEeEe?

GlE. O6nrr (oncer) trpaBoyraornxa (trpaBoxyrrffia).ie 40 cm, a jesra crlraEgrra je rryxa (.ryrba) oA'Apyrc sa 2 cm. Ogp€m crparqe ror qpaBoyraoHtrxa.

C) 3a y+eulace YI u YII pazpega

649. Aoxagarn Aa ce Esvreby lgEl nporrrorsmx trpnpo.qunx Epojera yrcxMory f,3d6paru pa 6pqia, uja je pa3ru(a (ag{epenqaja) .qeJbf,Ba ca 1980.

84

..--: i;....:r,..:fr, .', . ..".::--!F

d50.- y rpogny (rporyry) ABC ie AC:BC. Ha npo.ryxcrry crpannqe l.BtrpeKo / r3a6pa[a je ra'rra D n sa upoAyxerry [cre crpaErrue llpef,o .B ri3a6pamje raxa E, raro Aaie AD:BE:BC. 3arurr,r, na upoaJmerKy crpaulrqe AC tpexo Ca3a6paua je rasxa M, rhxo ,qa je CM:BC,-n Ha trpolyxerxy f,cre crpanf,qe npeKoaaqxe 2{ rrca6pana je rauxa iV, raxo Ea je AN:AB. PigrtrKa yrnoBa (ryreBa) DCEn MNB n3rroctr 15 . Illspavynapr yrryrparrr*e.yrnoBe rpoyrna /.8C.

D).3a yqenuKe' Yil n WII paspega

55f. H€ra je a rcaaryat 6poja nauncasorca n jerya, n49.Aro s6ap rytD*pa (35poi3fr€lMerffi) 6poja a o3rravf,Mo ca b, ra4a je b: n2.,{orararr.

551!. flpervra crrf,ru oAlr€.ryTf, pa3Mepy(or'rjep) AB: ,4C: CE I BE.

A CEBCn. I

E) 3a yqerwKe YIII patBega

653. ABa paAEgxa cy lFa nyra lrcrrynaganf, Egr€ 3aAarre. flpan uyr, noorcp8.Ap, ,ql'iyrn p4,uMX ie sasplrEo oqraTar trocna 3a 15

Aasa, Apym trJ.T, trocJre sajeaErmor urccro,FcBEorpa.q& Ap).m palFf,x je saapwo ocraTar rpcna 3alO ,qaxa. 3a rormro A&Ea rdoxie claxtrpa,MciaMaa daDu trocao?

atL rtrerBopoyrao (qcrBepoxyr) ABCD nacn.z te xBa,qpar, a rporyrrroDu (rpoxyrr), ronc-TpyrcaurE EaA n€roBfM 6p8rffi4&[ro, cy JcAnaxo-crparsatnu (ucrocrpanr). llrparyrarx trolpmery(uxourrrry) ooesreEor Aora @ype.

n 3o yw*we eeux papegn

655. tlexr qoBeK rpene o.q xyh€ Ea xeJre,:rmrrrry cramury nernnle f, 3a Jeaancar rrpebe 3 km. Taaa r3pa{yHa Aa he 3aracHqrs lra Bo3 40 lrt[Eyra, ar(o EacraBnAa ce Kp€he trEroM 6p3nfioM. 36on rora noBeha Epernry na 4 km rra qac rr crnrrreEa Isene, EErl(y cTarers/ 45 rsu:rra upe troJracra Bo3a.Konmo rruroMerapa oA xeJre3rrnrxe cramrqe je y.qaJEe-Ea ryha oBor IIeEara?

G56. Bpojerr l, 2, 3, 4, 5, 6,7, ua cr. pep-tropeEem cy raxo aa 36Ep (g6poj) Epojera y rer"lcrmla(apxmra) cBaxor qerropoyr.ha (qemeporyrralnxocr13. Pacnopergrq oB€ 6pojeBc raKo ,ua s6np 6pojera yTeMerlmvrll craxor rrerBopoj/fJra tr3Hocr 16.

,6 _1

,/ ,/\I L-i74 J

Cn. 3

t5

RESENJA KONKURSNIH ZADATAKA 6T_64iIrz MATEMATICToc r,rsra xv, iA) Za uimike IV t V razrcda

9]:,3uf:j^l:!-:!^i:dfr..{, i:|*:!lyamen!1g*os ,(ietvorocifrenog) i jednog to_znamenkastog (trocifrenog),nroia ie z rr.s, a iii;iici;;'(;;;inz;';:r;i;r:"t;;r" d:;;.,:ry-x:!: znamenke (crfre) ova iva broia' napiiini' o6rniti* *;";,- i; iii:""ddreditijamo kada znamenke

iu ti brojevi: I 341 i 778.

le brijeve,Zbir i razliku tih brojeva sa ciframa.. a, b, c, d, e,f i C moZemo napisati kao:

ffifrf,1,!{!i;*i*'*t'',,*',f a:.j,:H:"1il,3;ll1l;,*#r;tiJiln*a moie biti cifra 2 ili r. Neka je 2. zboe, tieiT;-i u razrici dti 8. Ak;;;'e u zbiru.upisemo 8, tada b riora uiii5.-Z?H:-irei:.*o ou o-n. "i.z"t6iiiiiijf 1": 1.1):,'Til 9?, "," :f stu sl9va, ;*.' 6'i;i;'ii;;I.-N"sfifii,ct ;i.""

u nru& u*r crrra l llr r. Neka Je 2. zbog toga ie e u razlici biti g. Ako na mestue u zbiru upiSemo 8, tada b mora Uiti 5.2?Lli"ti,i"-^.t", na m^;- rr;+; 1 tz^_uprssuru o. Laua a mola Drtl J. zaklJuiujemo da a ne moze biti 2, (jerje 8*3:lt)' znadi da na_mestu_slovu ';*.'6'i;i;ii;;1. N;ilr:ffi ,""iio" u"ui-jamo da su ti broievi: l34l i 779.

632. s yi ^ "0,"

*, iI l,Jf , W rffil; T, " i;,f)#l;* ny^do.drugog (poklapaju im se po jedna.itrania) pi jiiioi p**i tinit.'i"- iiiiit iTr aoootakav p ut preiao btc ik lista'koj i svakoe aiii i,iii ii s' ciiii,- l'iiiii iir""pre taz i4O km{

_tj.kvadratnom kilome-tru ima 100000000 dm2, a poretlani na opisan nadindaju. duZinu od r00 000 000,dm, odnosno ro ooo t*. i'osio oiii[iisia air'"uio pr.oe200 km (40 km x 4), on 6e za 3O Ounu p."el tu.l pirt.Svetlana Stojnit, ud. IV1 r. OS ,,M. Gli5i6.., V. Kamenica

6p!, Duiinlt (du,) AB:4g cm uporedujemo sa manjom duiZtno,m CD. DuiinacD sadrii se u duiini AB 5 puta t priostoli'il:iiriio" iiiiri ib*."rtiiioliiutiino(duiina) Auiine CD?Poito pri uporedivanju. ostaje detvrtina d,uili cD, to ie se t dufii AB nalaziti2l detvrtina duii cD. Derjdnjeq ab c'o, oo"orno +to to*, sa 2r i mnoienjem sa 4

dobijamo da je duZina duii CD 9t mm i l rnrn.7

Aleknndr'a Milorado.vit, ud. IV, r. OS ,,I3 oktobar.,, Cuprija

B) Za atenike V i W razreda

sl. I

86

'Slavica KovadeviL, :uE, V. r. OS ,,S. Kerkovid.,, Ljig st. l0 sl. ll

87

Elizabeta Nemet, ud. V, r. OS ,,J. Popovi6", N. Sad

- C) Za udenike YI i WI razreda

6316. Na telefonsku centra[u prikljuieno je 55 telefona. Mogu li se telefoni po-vemti tako da svaki od njih ima direktnu vezu sa toino Ll drugih telefona?

Ako bi svaki od 55 telefonaimao direktnu vezu; sa lI drueih telefona, tada bi55 .11

bilo "":" linija. @elimo sa 2, jer 55.1I predstavlja ukupanbroj priicljudaka, az

na svakoj liniji imamo dva prikljuCka, sa oba kraja tinrje). Broj linija moZe biti samoceo broj, a 55,11 nije deljivo sa 2, Sto pokazuje da 55 telefona nije mogude pove-zati kako se zahteva.

, Yn? Morkovii, uC. VI r. OS ,,C. Milosavljevi6", Pecka

@7. Koristedi se samo lestarom i'rovnalom (lenjirom), izvriiti tisekciiu Qn-djelu na 3 jednoka diJela) datog kuta (ugla) od 27' (sl. l0').

6.35. Dati su skupovi 1:{1,2,3} i B:{a, b\. Odredi na preslikovanja skupaA u skup B.

Preslikavanja su, predstavljen4 pomodu slika .1-9.

M4 /3G e ^-p.wwwwsl.2 sl .3 . sl.4 sl.5

@m@@sl.'6 St. 7 Sl. 8 St. 9

il

-Koristedi se sestarom i lenjirom konstruisacemo polupraw nonnalnu na jedankrak datog ugla. Tako dobijemo prav ugao Opq (sl. il). Zatim uglu Opq Ooitamo2. Qpq_,_ tj. loristeii se Sestarom, prenes-rno unutir pravog ugla joS dvi'puta datiugao.Kompleinentdobrjenogugla-od8lojesteugaoode",t-oji;iojendennasl. ll,aon predstavlja trbdinu datog ugla. pomocir yslabd l'lzvisirio trisetci;u oatog ugia.

" Zde*a ldrotiii.,ttil VI6 r. OS ,,A. Senoa.., Zageb

D) Za. iie4ike VII i Wil raneda

938. Produkt (proizu@ jednog dvoznamenkahtbg (dvocifrercg) i Je&og tro-nnnenkastog broja iznosi 3 25o, a upravo tol*o tmos{ zliroi GttD i6s iitog trozna-.menkastog i je*ng Cetveroznamenkastog broja. Diferenciig eazlika) obrnittog tro-znamenkastog i otunutog dwzmmenkqsns bioja iziiosi qii. ii*iati iii'tiiieu".

Neka su traZeni brojevi: abc, xy i rmpq. poznati su usl,ovi: '

mnpq 459+&c '(2) +yx (3)TN ,q

- Posle oslobadanja od zagrada, izraz na levoj strani nejednakosti moZe setransformirati na slededi nadin:

xzy * xyz -2xyz * y2z * yzz -2xyz I x2z I xz2 -2*y, J 6r, -2rr, + y2z) + (x2y --2xyz * yz\ *(xyz - 2xyz + xz2) : z (x2 -2xy 4 yz) | y (xz -2xz + 22) +* x Qtz - 2t t, z2)

= z (x - y)z I y(x - z)z + x(y - z), >0.

Dobijeni izrazne moZe biti negativ-an,.jer je sv-aki kvadrat razlike, a to je nenega-t^lva2 i7ra7, pomlolen pozitivnim brojem pa je sve to je sabrano, a zbir nenela_tivnih brojeva takotle je nenegativan.

Biliana petrovit, ud. VI[, r. OS ,,M. Kosovac.,, Sabac

-' f4l. lQocijent duljina (koticnik..du2ing) $ateta pravokutnog trokuta (pravo,uglog trougla) iznosi 7,o5, .a diferenciia polumjero liai*a poliprecnika) ipisanei opisane kruZnice.ov6g trokuta je t7 cm. IzraCunati ptoitinu (povilinu) ti'e iiolruta.

Neka je IBC pravorigli trougao hipotenuze lB, u kojern je upisana kruinica

O$eledno je da. su cifte a, 9r x, ! 7 m razlitite od nule. Zbog toga Sto se proizvod(1) zavrS-ava iulom, mora biti c:5 i y je parna cifra, ili y-:51 c je parna cifra.Akobi bilo y:5, tada bi zbogzbira (3) bilo.i c:5, Ito niie rnogienb, jer bi ssu tom sludaju proizvod abc.x1, zavrSavao cifrbm 5. batte, t:S.-i y-Eii.e,A\Zbog.zbfta (3) j9 x>1, jer je a*O. Ako bi bito x>2, onda tji Uifo aii. l&i,tada bi proizvod abc - xy bio veci od 3 250. Dakle,- mora biti x:i i a:t'.!4azi da je broj xy ili 24, ili 26, ili 28. Od ovih brojeva jedino sc 26 sadr-ii bez ostatka u 3250. 7.,ngEi da k y:A, a kako ie iZS . ie:S Z54., io je ib:2, Prema tome, traleui brojevi su: ?rt, l?5 i 312ts.

Dragica Milovatavit, ud. VII, r. OS ,,2. popov-ii.., Vladimirci

- . 639. Ako dijag_onale t-rape4a obrazuju prave kuteve (Wtove) sa kracima, doka-zati da je to istokratni (jednakokrakiJ tapez.

sa centrorr O..Duii OM, OB i Op su polupreCniciupisane kruZnice, a hipotenuza je prednik bpisanekruZnice. Oznadimo sa r j R polupr6dnike upisane iopisane kruftrice. Pr4vougli trouglovi AON.| AOpzu podudarni, jer imaju zajednidku hipotenuzu Oli jednake katete: ON:OP. Zbog tog;aje i AN:Ap.Slidno se dokazuje da je BM:Bp i CM:CN. Ce-tv-orolrgao OMCN je kvadrat, pa je CM:CN:r(sl. l3).

Po.lazr,ti od jednakosti: BC + AC + Ab-CN-

6c, xy;3259tr):

Kako su uglovi ADB i ACB pravi, to je sredi5te O osnovice l.B centar krugaopisanog oko trapeza. IBCD. Neka su OZ- i

a*b a*b - 2l a

-. Prema datim uslovima jq c--=-:17 i b:l,O'a:-.

-9M:AB+AN+BM, uzimajudi u obzir da ieAN + B M : AP + BP: AB, dobijamo vezu: a + b * cl---2r:2c. Kako je c:2R, bi6e: 2R---2r:2c-t-b,

-.20

A

sl. 13

tj. R-r:c--:-.

osl. 12 Mirjatm Miodragovit, ud. V[, r. OS ,,2. Apostolovi6.., popina

CF visine ovog trapeza. Tada su pravougli tro-uglovi OCF i ODE podudarni, (sl. 12) jer jeCF:DE, a OC:OD, kao poluprednici istogkruga. Iz podudarnosti ovih trouglova izlazi daje OF:OE. Zbog toga je i BF:AE, pa su i pra-vougli trouglovi BCF i ADE podudarni medusobom. Sledi da je BC:AD, pa je dati trapezjednakokrak.

Prema Pitagorinoj teoremi je c:l/azatz,ru:", 16............ra4!:"*X. odav-

a:40. Dalje je b:42cm, pa je powsina trougla: p:\!:g46" r.

Nebojia Stankovii, ud. VI[, r. OS ,,T. RajiC.., Cadrk

F) Za u\enike svih razre(a

ffiz. Guska i po za dan i po snese jaje i po. Koliko jaja snesu 9 gusaka za g aanat

- . - 4ko guskq iB9 snese ieie.i po, tada ce 9 gusaka sneti 6 puta vi5ejaja, odnosno6.1,5, Sto iznosi 9 komada jaja, i to za.daii po. Za 9 Ciana, tj. i'A'puta viSe{1n9, euske snesu 6 puta vi5e jaja, a toje 54 komadia. oatte, s gusik:d

"u S diJ,oo,,

54'komada jaja.. r Zoran Sukovit, ud. VI. r..OS,,S. pejanovid.., Titograd

E) Za utenike YIII razreda

- @, Dokazati da ie xy(x*y--2zl*yz(y*z--2x)*xz{x*z--2y)>A, ako Jexl0, y20, z>O.

88 89

@3: 4cq, foyka, Vera, Gorana i Dara su svi jednl drugima bliski roilaci. Meitunj.ima postoje sledete veze: Borkina baba je Darina'sestra, ;'b;;" j; d;;;;; t;it;Acina-sestra je Borkina majka. u kakvom su srodstvu rir;.-i-G";;;i'oiiivor ot-razloZiti.

Koristicemo se grafidkim prikazom datih rodbinskih veza (videti sl. I4).

do. drugog, kva{raqe qa bro1eylm, l, 2, 3 i 4. posle" toga u drugom redu broj Ivei neie moii doi_i ni,ispod-broja I (ier bi u tcm siudaju u prv-om stupcu uetitioikvadrata.bila vec 2 polja sa brojem 1), ni ispod broja2 (ier bi se u tom sludajunijedloj j;j3egnali velikog kvadrata na5ao dvaput broj-t), nJgq ie maet stajail iti ispocbroja 3, ili.ispodbroja 4.^Prema tome, pokazuje se da otsada treba vei imati u viou,dv-e rnogudnosqi i nastaviti dalje ispitivanje pbhzeii od poziciia predstavljenih natabelilitabeli2.

@t4st.

T.sl. 15

Prema ovoj slici, Borkina b_aba.qoie biti samo vera. Acina sestra, koja je Borkinamajka, ne moze biti niko drugi do coran:a- iierni tome, vera je Goraniqa majka(sl. l5).Srtbn Markovid, ud. VII, r. OS ,,Heroj D. Vukasovii.., N, pazova

ZAIIIMIJIYOSTT I RAZNO

BROJEVI I BOJE

Pretpostavimo da imamo 4.komada kartona kvad-ratnog gblika, od kojih sudva crvene, a druea dva rl.av.e uqii.-ot"i.*rndllil"n-od crvenih i jedan od pravihkvadryla brojem r, a isto tako jidi" "d-o";;fl-ii"o- oo E""iir'6iil.ilz. lr*Zemo li od ova cetiri kvadrata sl6zitijeaan n""i-[""dot tato ta s. u."aiom ojego_vom redu. u svakom niegovom stup;u i na svatoi n;igovoj d-liili"iili;, brojeviI i. 2 po jedan put, ,. 6to. 1g!.. i_Ji u.i. rri.irid i" i.iis. i"ii, i" iJoriiiip." i osvake dijagonale budu razliCire? Lako je Ao["oiio" Je ro nemoguee.

Pretpostavimo, zatim, da imamo 9 kvadrata od kojih su 3 crvene, 3 plave i3 Zute boje. oberezimo sv3ka 3_ istobojna fra*t" u."i'Jiirr."i 2;il;Jkisrj.oda ih rasporedimo onako kao ito sm" tri"li ca-itinim6 u prethodno- it-ucrJu. No,videcemo da rq necemo mo6i.ni pd" dq &;il.;fi;;i"r, ffiffi;:iil"rXilr"ei_vanja brojeva i boja po redoYrnS i .tup.iti"-i"-i ioirigne.mo,-na jednoj od dijaginatapojavice se samo sve isti brojevi, a njOrugoj safio.i" istJ'Uoj.,----, -- -'-. Ali, ve6 sa 16 kvadrata,.ako

-su s.vqpo 4 od njih #;j; i ako se svakih 4istobojnih kvadrara obereze, Fd.nr d"j.ifi i,1] r-i 4, irn;Ja;;G-r-r"8. e"o,kako demo postupiti u tomiluihju.

Podnimo s tim Sto *.q y prvi mah obradati paZnju samo na brojeve, a nei na boje, i pootavimo i prvi red nae*a iiii{iilod.Gt";ffi', * pr#r,i"a"

90

. No, sad se vei lako yvjr! kalo se pos-le,tgga jedino moze postaviti broj lu tredem i eetvrtom redu tabele,l, odnosno tabele-L, ia iemo tako'doci oosiecioedve pozicije, predstavljene na tabeli 3'i tabeli 4:

T. 3 T.4

-Jspilaj1o posle toga; u prvi mah, samo Sta de se dalje dogattati u prvom slu-

l?Jy:,{"ldTl sa.brcjem 2,neie se 4o,tl u drugom redu postavili ispod broja l, jerDr o-nda broj 2 u tre6em redu morao dodi na trede polje, a u celwtomredu ni detwtopoue, m bi se dvaput naSbo na dijagonati velitog k'idr?A. Z;t.;i;;il;;;;;:Jem z u drugom redu mora postaviti ng. d€lwt-o polje. sto se pak tice treieg peda,broj J 19 moZe dodi na njegovci qrvo polje, ier bi bnia t j br.j;-&t"rto* i"?u *o-tj2_dgel,o3 trece polje,.p3 bi obe -dijagonale velikog kvadralta ostale bez braJa 2.zato broJ z mora zauzgti detwto polje drugog reda, a to povlaci za sobom da u tre-oem redu velkog kvadrata broj 2 mora pasti na trece polje, a u tredem redu na prvopolje.

I,.ako.se-ispitivanje svih.mggu6nosti nastavi i darje u ovom smiilu, i to'nes.amo polazeii od tabele 3, nego i od tabele 4, dolazi se ddslede6e oue iiGi6. ao sle-9€e1 gva rasporeda brojeva l, 2, 3 i 4, koji zadovoljavaju sve postavljeni uslove(t.5it.6):

T.2

9l

DA LI SlE DOVITLJTVI?

t. Kako treba oduzeti I od 19, pa da se dobije 2O?

2. Koji broj treba podeliti njegovom sedminom, pa da se dobije 7?

3. Tri ortaka imaju zajedniCku kasu, ali ne Zele da bilo koji od 4iih moZesam da je otvori, nego bi hteli da to mogu da udine tek svalia dvojica od njihzajedno. Koliko brava treba da ima ta .kasa i kako treba kljudevi tih bravada budu rasporecleni metlu njima?

4. Pomodu 16 Sibica, predstavljenih nadva velika i Sest malih. Kako treba pomeritibudeogranideno samo 6 trouglova?

z\

sr. I

5. Moie li se(sl. 2), trima bojamabojom?

obojiti qdbojkaika lopta, kojatako da ni dva susedna iseCka

Oilgovori.na pitanja postayljena u pro5lom broiu

l. Treba iz daSe koja je peta po redu presuti mleko utredu da5u.

2. Moie. Na primer, onako kao na sl. l. 3. 10, 8,11, 9, 12,10, l3i 11, 14, 12, 15. 4. 60". 5. 11.

6.

T. 5 T.6

Ostavlja sq Citaocu da sam proveri tadnost ove trndqje.Prema tome, polazedi od toga da u prvom redu velikog kvadrata stoje biojevi

1,2, 3 i d dolazimo do dva kvadrata koji imaju svojstvo da se u svakom njihovomredu, u svakom njihovom stupcu i na svakoj njihovoj dijagonali nalazi po jedanputjedan od brojeva l, 2, 3 i 4; i, kako se 4 broja mogu na 24 nadina medusobnorasporedivati (permutovati), znadi da moZemo dobiti ukupno 48 ovakvih kvadrata,ne uzimajuCi u obzirjo$ i one koji se, uz to, dobiju ako se.svaki od ovako sastav-ljenih kvadrata obrce oko svog @ntra ili, redom, oko sve Cetiri.svoje ose simetrije.

Ali kako demo postidi da se istovremeto u svakom redu, u svakom stupcui na svakoj dijagonali velikog kvadrata nade pojedan kvadrat svake, recimo, crvene,plave, Zute i zelene boje? To postiZemo ovako.' ' Sastavimo dve nbve tabele tako Sto bismo u tabeli 5 i tabeli 5, svugde umesioI stavili c(crveno), umesto 2 stavili p (plavo), urF.esto 3 stavili i (Zuto) i umesto 4stavili z (zeleno). Tako bismo dobiti dva nova velika kvadrata na kojima bi slovaoznadavala kakve boje treba da bude svako od njihovih polja, pa da se u svakomredu, u svakom stupcu i na svakoj dijagonali toga kvadrata nadu sve Cetiri boje,onako kao Sto se to u datom zadatku i zahteva, Zatim zamislirno da smo prvu odovih tatlela preneli na tattelu 6, a drugu na tabelu 5, i da smo sa qiih >preneli<< slovakoja se na njima nalaze pored cifara tabele 5, odnosno tabele 6. Tada bismo dobili

f,

sl. l, ogranideno je 8 trouglova:samo dve Sibice, pa da na slici

sl. 2

se sastoji'od 18 isedakane budu obojena istorn

bs

sledece dve tabele.

st. 3

Iz ovih tabela se vidi kako treba da bude sastavljen od 16 numerisanih i obo-jenih kvadrata jedan vedi kvadrat, pa da se u svakorn njegovom redu, u svakomnjegovom stupcu i na svakoj njegovoj dijagonali nade po jedan od sva detiri pome-nuta broja i po jedna od svo detiri pomenute boje. MoZe se, dalje, dokazati da po-stoji i kvadrat petog reda (sa 5 x 5 polja) ove vrste. Ali je, isto tako, dokazano dakvadrat Sestog reda ove vrste nije mogude sastaviti. n.h

92

fiV=ll+\ft-nf, X'..-[ =llff flV= \/* lT

,}{F-* flX =]1

.c)

\/ [=-X ]f \/= 11

t u1|4il

93

a)b)

3z

4p

-zz

T.8 T.9

d)XX

t.

t. a:1, D:9, c:9. g. 5.

MAGICNA FIGURA

Zadatak iz pro$log broja ima.viSe reSenja.

_ - _Ako svaki broj iz prvobitnog rasporeda podelimo sa 20 pa od toga oduzmemo18 dobidemo raspored prvih 13 prirodnih brojeva dli su pomenuti zbiiovi 27. zbir1981. moZemo dobiti ako sada svaki broj pomncZimo sa tri i tome dodamo 475 eerje 27 .3!475.4:1981)!

Evo jo$ jednog rasporeda brojeva.Ako razmenimo mesta brojevima l-13, 2-12,,. . dobiCemo raspored sa

zbirovima-po-29. Zhir l98l moZemo dobiti ako svakom broju dodamo po-4gg (jerje l98l:29t1!8 .4). Na ovaj nadin 6emo dobiti raspored uzastopnih prirodfuhbrojeva 489-501!

g4

NAGRADENI RESAVATELI NAGRADNOG ZADATKA BR. 68

^ .. lY..r-"-d..;lglie _ne{gni1,_OS DD_-_Jak5id(,.Cuplijq; 'Kotuevi6 Jelcnq O5 DD. Jak5id(,cuprija; Milorrvlievid Nrtssh, os Dv. Karadri6(, cuprija; stoinid svethn , os >M. clisii(, valj. Kalmcnica,

- V rezred.Doki6 Zoricr, OS >rF. Filipovft, Cgdlk; Gtriloft6 Zorica, OS >M. Kosovac<<, Sabac;Joyrnovi6-srlr' os-')D. Jakrid(, cueriix; ryrqoilovit rvmr, os >kaiaaoicii;B..s."Ati;r-;6iini";";os DUc. Tasa(, Nis; Sorid Svetlm, OS DI. L. Ribar<, Kakanj; Velikovi6 lloirn,-OS lKaracordj<, I.olpola.

-. . E rurert. Ak*ntijevid Z!tr, OS >BractvGjcdimtvo<. Alibunar; Bojiai6 Rriko, OS )C, MilGTvljcvidj, fgck3; C_rtovi6 Amr, OS >V. Karadlidc, p;boj: cnjidd 2rtrtinr, O5rg. iiAi"iwo., Ati6;;;;J_o3enovi6 Merto, oS >M. Kosova;<, Sabrc; Krrdi6 Biiirnr, oS DM. Klsid(. tvinjie: pobovid zoriOS )R. Mitrovid(, CaCak; pamnovid DuSko. OS >M. Ku5i6(.lvaniica: prudC nfura&i. OS >D. Fravica<-Zrcnjmin; Srradevi6 MiErda, OS >V. Karadtid(, Priboi; Stoilikoyid Jclen , OS DV- K;mdZid< ,Cuprija.

_VII rezred. Anrlri! Milartio, OS >I, L. RibaK, Krkanj; llrrid Sfufi& O_S >8, RadiCevid(, Buja-loYaj:_9v.et+!yi6 lvice, OS DK. Stamenkovid<, I:skovac: Dnagdd Vtlliuir, OS >S. Norak<, Bebgrrid:Doki6 Noboilr, QSlp. Vragotic<, Ljubovija; Grlin Zong, OS DI kongrcs'UsAoJ-a(, Bidd; Hodtidlloq' O.q )I, _L, Ribaru, Kakaqi; Jmkgvid Jdiirnr, OS >V. Dugolevid(, Potjila: Xelagid Nikotr,us DHeroj pinki(, Futog; Krgig Borivoi, OS >B. Radidevic(, N. Sad; f,ruemvid Jovrnke, OS >B. Nusii<,Eeograd; Milojevif Zorica, OS DV. Dugoscvid(, potjana; Prvidevid Inn, OS >S. peim6viC<, Tirograd;pililev zvonko, eS >T. x. terov<,_Kaiadarci; hrl6revliwid Zeljkg, oS rM. Kcovac<, Sa6ac; Fado:revlievi6 lvrn, OS >V. KaradZid<, Cuprija; Stoiilikovi6 Miomir, OS DB. Radidevid(, Bujanovac.

VIII rured.-Borhota Otgr, OS DD, Jak5ie(, Curugi CfnIeri6 Zoru, OS >D. MiSoviC<<, eadak;Irid.Din B[rtiltry, OS EJ. B. Titoq B€ograd; Mrr[ovi6 dorrn, OS >C. Miicrvljevid<, Peka:NikofiaDUIicr" OS >1, l. Znct<, N. BraEin; Petrovid Pledns, OS D7. oktobaK, Atcnica; Rrdoiifid Drrgua,OS DZ. Apostolovid(, Trstcnik; Sentiq Mrid OS DJ. Popovid<, N. Sad; Strnilovid lhrsrn, OS DV.Mitrovid(, Beogradi Stevi6 Trtjrnr, OS >V. Karadlida, Bor.

DOSTAVILI SU PRAVILNA RESENJA KONKRUSNIH ZADATAKAIZ MATEMTIEKOG LISTA XV_T

IV nzrert. Abdrhhovid Alm:s& OS DV. Vlahovid(, GradaEac 618,619, 620,629, 630; HerEi6Leile, OS DV. Vlahovid(, Gradaeac 618,6t9, 620,529,630; Jeltuijevid Alekrendr, OS >M. Kcovacv,Sabac 618, 619, 620, 629, 63O; Koii6 Yhdimir, OS >Popinski borci<, Vmjadka Banja 618, 619,62A,629,63Oi Lui6 Tatima, OS >D. Jerkovid(, T. Utice 618,619, 620,629,630; Luki6 Jelma" OS >M.Kosovac<(, Sabac 618. 619,620,629,630i Mskovid &ian. OS >D. Jerkovid<, T. Ufie 618,619,621,622,630; Milovuovi6 Slavics, OS >D. JakSiC(, Cuprija 618, 619,620,629, 630: Tolid Senir,OS Dl0. oktobaK, Donjo Babine 618, 619, 62Q,629,630; Veli.kovid Goru, OS >D. Jaksid<, Cuprija,

V rured. AJekeid Liiliana, OS DS. Penezid-Krcun<r, Poiekovina-618-, 619, 621 ,620,63o; Aniti6SaSa, OS Dl. Gundilii(, Beograd 618:622, 630; Botrnovid Deien, OS DZ. Apostolovid(, Trstenik,618-622,629,63O; Boiovic Sonia, OS >V,_Pclagid<, Zenica 618-622, 629, 63Ot Cveti6 GordillOS >R, Mitrovid<, eacak 618-622,630; -Ciki6 Shvic+ OS_>S. Penezid-Krcun<<, Pocckovina 618,619, 621, 622, 630i Damimrid Nued''QS >M. Kosovac<, Sabac 618-621, 629, 6J0; DamnianovidPredrce. OS >M. Kosovac<, Sabac 618,619, 621,629,63Oi Ilamiuovid Vrlentlnr, OS DD. DurdevidciMladen6vac 618, 6t9, 621, 622,630; Diklid Vuir OS >Dr D. Misovid<, Cacak 6rE-622,629,63oi,Dibrmi Enver. OS )I. Gundulid<(, N. Beograd 619-622,630; Durahovid Demir, OS DR, Mitrovid(,Ovdar Bania.'6t8-622,629,63O; Dafid ltfinrd, OS DI. Gundulid(, Beograd, 618-622,630; Doki6Jssmina. ciS'>2. Tomic<, D. Satornja 618, 619, 621, 622, 629, 63O: Dokid Zoric* OS DF. Filipovid(,CaCak 618, 619, 621,622, 629,630; Dodevi6 Alekruds, OS >S. Veljkovid-Zclc(, Bojldk 618-622,630: Dorilevi4 Liilirnr" OS Dl. Gundufie(, Beosrad 6t8-622,630; Dukid Liilienr, OS >P. Tasid<,v. tpsni€ 618---622,630: Durovi6 Miodrrg, Os >9. oktobar<. Proku.ljc 618-622,629,630; FilipovidGoru, OS >I. Gundutid(,'Beograd 619, 621,632,629, 630; Geii6 B6i;1sv, OS >Z Popovid<, Vladi-mirci 621. 630; Gavhlovid Sloboden, OS DR. Mitrovid<, Catak 618, 619, 621,622' 629' 630; Grv-rilovic Zoiica. OS >2. Tomii<<, pr. $atornja 618,619, O1,622,622; cLogovlc sdr, OS DJ, J. Zmaj(,Smederevo 618-622, 629. 63Oi Goei6 Du5ko, OS >V. Karadlid(, CaCak 618, 619, 621, 622, 6D,.630algnieti€ Tania, OS DV. P;lagid<, Znnica 618-622,629, 630; Ili6 Miriur' OS DJ. Vesclinovid(, Sabac618-622.619. 630; fli6 Srtr. OS DI. cundulii, B€ograd 6t8, 619, 622, 629,630: Jerenovid Slrrlanr,OS >R. Mitrovid, Cadak 6t8, 619, 621, 62?;629; Jertid Mile, OS DI. GunduliC(, B@grad 618-622,629, 63Oi Jokrimovi6 Sonie. OS )M. Jilid-Ci{a<, Am.tclovac 618-622, 629, 63Oi -Jovenleri6 Alerk-rtrlrr, OS >V. KaradtiC<, Ca{ak 618, 619,621,629,630; Jovrnovid Aleksuln' OS >D. Jcrkovidq,

95

T.. VZicc_618-622, 629, 630; Jovanovid.SrCg O_!_ >Z..Apostolovid<<,.Trstenikk 6t}=.6n,629,63Ot .Karanov Liiriua. os DJ. Jovanovid Zmaj<, soi 618-622; Ksrcn"rffi Aa4!;;;e;-bs"iv.hr"gico,7*nica 6t8-622, 629, 63o; rturid Mirirrin,'os >,r. cuno-Jii<,, E"-oe.io oie-?zi,' oiq- eioi i<erinovidGo^ro,_oS Dv. Karadzid<, Cgprrja 6ld,.6l'glktilirleiitiii"", O,!i,r. quna"ric,,, n""i.;'ui*_urr,629' 630. Knerevid Zoru. os >I. curoutici(, oeograo'a'18,-" 622, 629, oro;'rioeu8viJ'd"jrn, os>r. cundurid(, Beoerad 6ie_er!, 6?9, _6.30r ko-"arZ"ie x"iio, os'"!,r-iq.;A, ,i. tiiil-"o.rpozz,630; Koii6 ssva. 05 >poDioski-Bolc_i(, v..sanla 618,619; azt,ozz,630; KfliiidEtviri-6s',,v. vra_hoyid(" Gmdaeac 6t8-622- {30;.Kntovid Sa'n;a, OS ,n. Mit.o1?., -C";;i:;I8;:il"ozr,

Oto:T_!flrftii Miriur,.^oS->D.

-j-errovic,i, r. uzi""?ia_ezi,'oiil?io', ifuii,ii"sri,itutl'6S"i,r. cu"-duri(' Beosrad 618-622. 629, 630; Kumenovic Nenaa. cis >Ii. Ivridrcrico, cafai ois:oia Gzs.6ld;lavid smr:n* os DD. Jerkoviil, r.. uzi"i tra:6ii,6zg,63d;'i.k*'ililo-i'o2lTL.ic., o.Sa.omja 618, 619,621.622. 630;-.L.u&ri6 Smjtiara, OS irV. Nazor,, porpidan 6t8, Ag,GZI.iZZ,AZS:

fr m#"i":lry-sj'":;ti{s6;ktr;itJl:,;i1;il'cr.lg.H*i:al,iilfi ff :*;?f ;l;,{622, 6D: M*inkovi6 smnr. -O.S

>lr_Stoj_a-novic-o.iri"r.i., Mii:,i0. etg-:eZ.?i]i o"j6irirerr<ovidMirl.",-gs ?_D-. r-e-r!oyrg(, T.- UZice otit_gzz, izi,'ZlbJ-ivi,;k;;d -o";;,- its';:?;il;,t'.ilb:;:'"a!!

6!u2\_63o; Mmoilovic lyua, oS >karadorde<<, s"o_s-*t_ei8,-eD,i|t,'Gzl,-{ii"on: m;-doviE Nedie, os DR, Mitrovid<<,.ea(ai< 618,619,,6ti:dzz_o1o; uiliiio;rlZii",il-o5-i,i.'cundu_!i{I, Beosrad 618.-622,630: Miirt6i6 Radovan, CiS oi. Cuno"lieu, eeosrad-eit-;;;b,"iZi,"ozz, oto:rUihnoric stritur, oS >s. sto_ja-;ovii-D,;;iiiid&;a;eda-elg__022. elof riidii"Jie iiini,ru. oS>9. oktobaK, ProkuDrie 6tg-6?.2,629, 630: ruiue ronr"ra", o5 ,4r^cr4^riiq1. iii"rii"c*olilors, ezo,{z=t, lroiuil-oievie Milovm, o-S ;r--cundulid.,,- sioer;d 'ors_ezz, ozs, otbl it:i;"[iiii noj"o,o. s DB' +Irdiier-id(,-sedtare 6rg-622,629, 630;-Miro;vrievic Dreee;l, os','J. ll"iitli,T:il;jr,, S;;derevo.6_18-622, 62e, 530: MiroSevif-vene, oS >2. romie<<, o-l$aioiii^ 6id:'6i,'izfi!o, nr;nleno=uj Qr{l!, o,!->2. Tomidd, o. Satornj3r.eie_tn,azs,'63o:Nri."ii";ie ore",'65iri. r".icn,D.. Sato_rnia 619--4_22,630: Mirid.Strdsel.Cl^S >.,-q. Srgjanorii-O.renicti,! Miar.q"?TajZZZI'AZS, diO)Mitrovid Slevicr-,-OS >R. MitroviC(,618,6t9, OZl,_A2i,630; Mirkori6 d.rrL".-CSl,n f"r!-ii,, V, r.S-nica 618, 619, 62_1, 622,6loi Mhsitovi6Jetena, oS uri. reritoviiii,'r. ili""-ole_ o:2, a;9.;10,'fiil.tlol"^vg""A eS 1r^. !a1jr<.,-!. -r4sn!c_a

oir,'ors, izi, o3i, a.i; N;;iiil;if s".?}l.-oS",iijfimic(, fr. satornja 618-622.612,.730; Nemet.Fuzrbetr, OS >J. popo\ii(.-N. SuO OiA, O-lg.-622,630;,N.srorovid Mgi"q-.eS }-!. rJusid<, Biograd 6t8, ere,OZO=6ZZ; niLrit ri.",ii*r"i,C"i',ii. b"u.o",ieu,Mladenovac.6lS, 619,621,629,630i Nikolid Drasrn, os >22. drcemba.u, sar;li,! 6i8.:c'9, ozl,622, 63Oi Nikoli6 Dusko, oS >I. cmdutid<,p9"g.u.d c-OZ, opo; ia"t-""iid*;;'oS ;rp. iragolic<,Ljubovija 618,6_19, 6Zt,'622,629: peiakovij NitrtffrtA-li\i. petqsii<, zenici-66--oz-2, iis, oro;Ped6 Mircm, os >rp. Tisii<, v. r-esnici-01s.-oiifdir,7zz,-aio:' pli.he niiiit, bis ;i.'b;il.ii;i,:Beogmd 618-622, 630; petrovi6 rriilir"3r-oq_,i_uqit"rj riru?nis o=ie, ers,6zt ,612,-;30, irJi'ii:li,iiio-S- >I._ Gu_ndurii<, Beosmd 618-42i, 629, 61oi prei(i€ Darko, oS ,it. cl"auiie"l'a-eolr"a oig_oio,629'.630;xrdenkwid.Iyica, os >s- penczido, iotekovina otd, erg 621,622, ozb, eJdi'n"ior"oovidsvethnr' c,s DP. larid(, Lesnica 618,619,621,622,63oi Randid vestra, cs on. uition;c<c cacai6t8-622,630: Rrnkovic Jetenr, oS >iI. cirnduite<. ireogrga ols-ozz, ois,?t0;'n;ii;;,I Aiid, 6$4. pudulid<, Beoejao ere-0i2,_630; _Rimec Zeliro, bS ot. cunarilier.,'rieog..f'6ii.?z-em;IftlgryYf,.ll"l, oS >1. ouraevid<,_ iuraacnorac-6id 6ts,62t,622,oo6t li"ii"irii i*iii",-ii$pr. ciundulid(, Beog.rad 6t8-622, 629, 630i Rosi6 Milm. OS DZ. Tomid(, n. Satornia 6t8_Ai. elo.(oYc{u.uuuq OS >8. Stojanovid-Dre-nicki<, Medveda 6tB,622-629, 630; Roia peter. OS >S.){3tk""*i"e-L:,c.ludiste6l8' 6ts,dzt,.ezz.t.6z0:Rutici6-Jelem,o_s,>M'Pavi;vic,,,t"i"r,-Ele:-ozi,;olv' oJU; s-rvi6 Sloboen, OS >P. Tasii<, V. Le5nica 6_18._619, 621,622,_63Q: Simd SterrD. OS DM:5$9Y1"* sabac' 6t8-622, 6??, 6]ot Simi6_vcna,- oS >2. Tomid<, D.Jatornja,6r8- ezz, eig, ii6iDlef,oe r'rDrra. oS >8. Nuiid<, Beosrad 6t8_622, sketid Ljiljrye, eS >R. Mittrovid<, Cacali oll,6]!,-.12r;9?:

,9?0;-smokovi6-.suz;, s$ .>v. Nazor<; totpiian'lft,'6rg,-ezt-, ozi, ozsi 3p;'"i6 n"ii"ioS Dr. cundulid<, Beosrad 618-622,629,-630: Soasoievid Dneao, OS >2. Apostolorid<, trsteniti6^$--P:-V,63b:_st;;ki6 Radria, bS ,,2. Apostolovico, Tr.tenii iie-euz; Siliiroiit v.;n",9.S^

D9.^:tojltrovid-Drenicti<,_Medyede 618.-622, -63O; Staroieri6 Zdenka, OS >29. novembar<<, Boi6rE-ozzjx$temoyif Mililr2 OS >2, Tomid<, r'l_,_Sarornja 618, 6t9, 621, 622,629,-630; Steverprid?oricr' .urt )8. -stoianovid-f)renicl,'i<, Medveda 618-622, 629, 63o: stevid vladan, oS Dl. Gunduli'(,Eeo.Cmq.6l8, 619,621,6?2,630i Stojanovid Vl.dimir, OS DI. cundutii<, Beograd 6lS-622,629,$O;Stgilovi! Dngu, OS ))M. Kosovac(, Sabac 618-622, 629, 630; Siiakovid-Xatarina. OS'>I. cun-dulid(, Beo_gE-d- 6!9-622, 629, 63Ot Tadid TaaiaDa, OS >I. Gudulii<, Beograd 6 t 8_621 , 630; TeiekBisrke,^os-Dv. _Nazor<, potpiian 6lg, 619, 62_1,622,629; Todol.oyi6 Dani;ela, oS >v. ietagid<, Zc-nia,.618-6!2,^629,63O; Tova'evi6 Slevica, OS >M. kosovac<<, Sabac_61.8-622, 629,63O; VariilevieryJili8lrvr OS >9. sft16$alq,Prokuplje6tS-622,630:Vrsoyi(iSroiil.OSDV.Kar;dZid(i, dafat 6i8-s,2, 629_,630; Vtrhcrvtievid Svetislav, OS >D. Durdevid<. Mtadinovac 6t8, 619, 621, 622, 630;Vinee Robert, OS rS. Markovii<,8:cradiste_6t8,619,621,630:VisniidAte(senaai,,O5riV. peiagii<,4nic^ 6l+-622, 629. 6io: Vuiovid Miten, oS >r.'cu;d;ti;", seo;a[-6ir--62i. dzs]Cro:-vut ovidN-atei&--OS DI. Gundulid(, Beograd _6t8-622, 630: V.rukovl6 Tatfane, OS >I. cund;tid(, BeoFad9l$.n,_629,6301 Vuli6 Dmgan, OS >V. Karadtid(, Caaak 6l8-622,'630; Zu.bi6 Miroslev, OS->VPelagii(, 7*aica 618-622, 629, 630.

Cspisak sc lastavlja u slcde6sm broju)

96

'!

&

l{acnosxa crpaHa Hajcrapfijer cpllcKor yu6eHuKa apr'rrMer[Ke

OBAVESIBN.IB PRETPLATMCIMA

1. Uredni5tvo poziva nastavnike i profesore matematike kao i ostale ditaoceda Salju svoje priloge za list: dlanke, odabrane zadatke, zadatke sa prijemnih ispitai matematidkih takmidenja, razne zanimljivosti. PoZeljno je da svi rukopisi (osimudenidkih re5enj a zadataka) budu pisani pisadom maSinom, s proredom. Rukopisi sene wadaiu.

2. Matematitki list namenjen je svim uienicima IV-VllI taz. osnovne Skole.List izlazi 6 puta u toku Skolske godine i to 1. x, 15. xI, 1. r, 15. II, 1. IV i 25.v.

3. Godi5nia pretplata (za svih 6 brojeva) iznosi 44 dinara. Narudiocima za vi5eod 10 komada odobravamo rabat (20y", 15% i lV/r), zavisno od roka do kojeg seisplati celokupna pretplata (1. XII, 1. III, l. IV). Nikakvi drugi odbici ne uvaZavaju se.

NarudZbine se mogu vr5iti samo pismenim putem i Salju se samo neposrednona adresu lista. Novac za sve narudZbine se Salje na Ziro-raIun Dru5tva matemati-Cara, fiziCara i astronoma SR Srbiie, br. 60806-678-10766, Knez Mihailova 35/IV,sa naznakom za Matematiiki list. Pri tome treba obavezno navesti ta1nu adresuna koju list treba dostaviti i jasno naznaditi na Sta se narudZbina odnosno uplataodnosi.

NarudZbine na manje od 10 primeraka lista isporuduju se samo po izvrSenojpretplati. Ostale narudZbine treba da budu ispladene najkasnije na 90 dana po pri-jemu prve isporudene po5iljke.

Obaveitenja se mogu dobiti preko telefona redakcije, br 011-638-263.

4. Redlkcija Matematiikog lista raspolaZe svima do sada"iza5lim godi5timaMatematiikog lista osim prvog i drugog godi5ta i brojeva 1-3 petog gcdi5ta.Od ovih godi5ta prodaju se: godi5ta III, IV, W VII i VIII po sniZenoj ceni od 20dinara za komplet, godi5te V po ceni od l0 dinara i godi5ta, IX, X, XI, XII, XIUi Xry po ceni od 30 dinara po kompletu.

Sem toga se od izdlnja Matematiikog lista mogu dobiti: Zbirka redenihzadataka sa matematiikih takmiEenja uienika osnovne ikole (drugo, dbpunjenoizdanje) po ceni od 30 dinara i dodatne sveske MatematiCkog lista iz proSle trigodine, i to: Mali reinik matematiikih termirw, Iutala zbirka matemati\kih zanim-ljivosti i Razni dokazi Pitagorine teoreme, po ceni od 6 dinara.

5. Mole se poverioci ML da izmire sva zaostala dugovanja.

6. Sve priloge, primedbe i narudZbine slati iskljuiivo na adresu:

Matematidki list, Knez Mihailova 35/IVr F. p. 728, 11001 Beograd

SADRZAJ1. B. Simi6: Ojlerova prava i Fojerbahov krug........................2. P. Dimid: Ne5to o lavirintima .... .. o..o.. .... ... o ...... .... . o.. ..3. Zadrci zv proveravanje stedenog znanja iz matematike . . . . . . r . . . . . . .

4. Zadaci sa republidkog takmidenja udenika osnovnih Skola SR BiH5. Nagradni zadatak6. Odabrani zadaci

a a a a a a a a a a a a aa a a o a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a

a a a a oa aa a a a a a a a o a a a a a a t a aa a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a

65

68

72

77

808l84

9095

7. Konkursni zadaci.. .. . . . . .... .. .. .. .. .. . . . . .. .. o ... . . . . . . .. . . . . . .

8. Zanimljivosti i razno .. o. .... . o..,o.. o. . o...... .... ...... .. .. o...9. Spisak relavatelja nagradnog zadatka i konkursnih zadataka. . . . . . . . . .