Embed Size (px)
DESCRIPTION
Matematicki list
Citation preview
OBAVE STEN.'E PRE'I'PI,ATNIC IMA
Uredni5tvo poziva nastavnike i profesore matematike kao i ostale ditaoceda Salju svoje priloge za iist: ilanke, odabrane zadatke, zadatke sa prijemnih ispitai
-ma.tematidkih.takmiicnja, raznc zanrmljivosti. poZeljno je da svi'rukopisi (osimuceniikih reienja zadataka) budu pisani pisacom -aiino-, s proredom. Rukopisise ne vradaju.
2. Matenrutiiki /,.r/ namenjen je.ivi,r utenitirnu IV,-vlll raz. osnovne skole.Lisl izlazi 6 puta u roku ikolske godine i ro: l. X, 15. Xl, l. l, 15. Il, t. IVi 3r. v.
_ 3. GodiSnja pretplata (za svih 6 brojeva) iznmi 90 dinara. Narudiocima za viseod l0 kompleta odobravamc 11!,at (ZOjli, 15..:,, lO'..:,), zavisno od roka do kojeg seisplati celokupna pretplata (1. xll, l. lll, i. VI,l. Nikakvi drugi odbici ne uvaza'aju sc.
. Narudibine se mogu vriiti sarno pismcnim putem ilalju se samo neposrednona adresu lista. Novac za sve narudzbine se ialje na ziro-radun Drrstva matemati-iara, SR Srbije broj 60806-678-78700, Knez N,lihailor.a J5,'lV, sa nhznakom zaMaternatiiki /rsr. Pri tome treba obavezno navesri ru(nu tulresu na koju list trebadostaviti i jasno naznaiiri na Sta se narudZbina odnosno uplata oclnosi.
Narudzbine na nranje od l0 primeraka lista isporuduju se samo po izvrienojpretplati. ostale narudibinc_ treba da budu isplaiene ira.lkasn;je na 90 d'aua po pri-jemu orve isporudenc pciSiljke, a u svakom sluiaju najkasnije do 31. V l9g2 g.
Obave.itcnju se nrcgil clobiti preko t<,lclt;nu ,6r. 0l l-63g-263..l- Redakcija Matctnatiikog /i.r'ra raspolaze s'ima do sada izailim godiitima
Matarrnrrikog /r.r/c osim prygs,-rlrusos i petog grdr(ta. od o'ih godiiti proclajusc: godiita, lll, JV, vl, vll i Vlll po snizenoj ceni od 2,5 tlinara za kornpiet igodiiialX, X, XI, XII, XIll, XIV i XV po ceni od .10 clinata po kompletu._ Sem toga se od izdanja Mul<,tnaritkog /irlrz mogu do'ojti: Zbirka reienih zrt_
datako sa nat(nrutiikih laknriienlu u(.eniku o.\not.n? .iAolc (drugo, tlopunjcno izda_nje) po ceni od ,10 dinara i dodatne sveske ,4/a/erauri(,kog /i.ila-iz prciile 4 godine,i lct: llfutennriil,c tublice, ilIuli re<nik nutanntiiliih t(nninu,,l,lalit:hirka,i,t"^o-ti(ki/i :anintljiyosti i Ru:ni doALt:i Pitogrt.ina tertrcnrc, PLI ccni od g dinara.
5. Mole se po'c'it-rci llu/t',ruti(kog li:tu da izrnirc sva zaostala dugolan.;a.6. Sve priloge, prinredbe i narudZbine slati riA/jrrt'l.o na adresu:
l\Iatematiiki list, Knez Mihailova 35rI\,, p. p. 728, ll00I Beograd.
l. M. Zivkovii: Neka proSirenja
SADRZAJnejednakosti arirmetrikc i geometrijske
sredine2. D. MiloSevii: Ptolomejeva teorema i ncke njene primene3. Primeri zadataka za proveravanje steaen()g znanje .
4. Naloge . sa republi5kog takmiienja z-a. zlato Vegovo priznanje (SRSlovenijal
5. Zadaci sa pokrajinskog takmidenja SAP Kosova6. Re5enje konkursnih zadataka 735-717 iz ML XVI. 5......7. Spisak nagradenih i pohvaljenrh reiavaluca konkursnih zadataka.. ....8. Zanimljivosti i razno9. Ispravke i obave5tenja 3 srr.
l6t165
169
t'r4177
t80t87l9l
korice
MATEMATIETT LISTZA TJC\ENIKE OSNOVNE STOTE
XVI
6
REOCRAD1982.
li
I
SAVFZ DRUSTAVA MATEMATICARA, FIZICARA I ASTRONOMAJUGOSLAVIJE
MATEMATICKI LIST
ra uienike osnovne Skole
God. XVI, broj 6 (1982)
Izlazi Sest puta godi5nje
IZ,DAJE DRUSTVO MATEMATIEARA SR SRBIJE
Beograd, Knez Mihailova 35/IV' p.p. 728.
Urednici:Platon Dimit i Miroslav 2ivkovi6
Redakcioni odbor:
Bogumila Kolenko (Ljubljana), dr Zeliko Pauie (Zagreb),
Kosta Mijatovii (Sarajevo), Danilo Stepanovri (Titograd),
Slobodanka Georgievska (Skoplje), Velimir Sotirovri (Novi Sad),
Sinasi Korenica (Priitina), Vladimir Stojanovit (Beograd)
Glavni i odgovorni urednik: Miroslay Zivkovi|
Sva prava umnoZavanja, pre5tampavanja i prevodenja zadtlavaDrultvo matematidara SR Srbije
Oslobotteno pladanja poreza na promet na osnovu re$enja Republidkog sekretarrjataza kulturu SR Srbije br. 413-18643 od ll. l. 1973. godine
Stampa: Beogradski izdavadko-grafidki zavod, Beograd, Bul. vojvode MiSi6abr- 17
Miroslav Zivkovid (Beograd)
NEKA PROSIRENJA NEJEDNAKOSTI ARITI\{E'UEKEI GEOI\{ETRIJSKE SREDINE
1. Poznato je da za dva pozitivnabroja s i b vaZe nejednakosti
,ar! 7/ai , "r!-*l-r:!!' ,
gde znak : \aZi za a:b.Ove nejednakosti mogu se pro5i-
riti na vi5e nadina. Za njihovo jedno-stavnije prolirenje treba znati jo5 i nekedruge prostije nejednakosti, do kojih sedolazi lako, pomo6u poznate nejednako-sti a2+b122ab, iz koje proizalaze, uo-stalom, i prve dve navedene nejednako-sti. Tako, kada se obe strane poslednje
nejednako-"ti pomnoZe sa a + b, tada se dobija a3 + b3 + a2b + ab2>>-2sb(a+b\ ili a3-t- bt +ab(a+b))>2ab(a+/'), a odavde izlazi ne-jednakost a3 + b3> ab (a + b).
Ostavlja se ditaocu da ovo proveri, na primer, za a- 3, b:5.Na slidan nadin lako se moZe dokazati da za svaki prirodni
broj n je a"+b")ab7a"*z+bn-2). Za to jc dovoljno pokazati da jerazlika (a,+b,l-.ab1a"-z+b"-2) uvek pozitivna ili 0, a do toga sedolazi na sledeii nadin.
Primenom zakonase, redom:
an + bn - ab (an-z + bn-2): an * bn - an-t b - obo-r,
a' -l bn - ab (an- z + b'- 2) : a (an- | -.- b"- r\ - b 1sr- r - bn- t),
en + bn - ab (a'-2 I b"-2): (a - b) (an-r - $n-r1.
Kako su vrednosti razlike a-b i an-t-bn-L uvek istoga zna-ka (za alb obe su pozitivne, a za alb obe su negativne, dok suza a:D obe nula), to je proizvod na desnoj strani poslednje jedna-
r61
ko,;ti uvek pozitivan, pa je zato q,, * b, _ ab (an-z 1- b, \ ,;r0, a orla_tle sleduje
a' + bn>db (an-z ySn-21.
ditaocu se ostavlja da ovo proveri, na primer, za a:2,h 3in=7...Naporyinjemo d1 se poslednje nejednakosti mogu pro5iriti ina viSe pozitivnih bro.1eva.
2. U matematici se pojmovi aritmetidke i geometrijske sredinedva pozitivna broja prosiruju i d tl;- i vi5e pozitivnih brojeva.Tako ove sredine za 3 pozirivna broja a, b i c ru.gjry" odnosno
I abi, a za 4 pozitivna broja a, b, c i
f/6c-d, i tako dalje. Ovako pro5irenesredina. su u istoj relaciji kao i one odza pozitivne brojeve a,-b i c je
a+b+c- t-2li abc'
Zaista, kada se nejednakosti a2+bz)2ab, bz+c222bc i!'+o'Z7,:a pomnoie redoln sa: c, a i b, zatim saberu tako dobi-jene nejednakosti i na revoj strani'novl nejednakosti zbirovi oblikaxll r x72, zb-gl_ x2! + *yi : *y f, *yl il;+yr, smene sa odgovarajuiimzbirovima oblika x3 +y3, taia se aoUi;u nejednakost 2(a3] [t+cr)>):6abc ili a3 +6r l-c'323abc odnosno ar +b3 +cs
3 2abc. Kada se u
ovoj nejednakosti smene o, b i c redom sa fl;, fb i fli, tada onaprelazi usledeiu: !!b+-c "'_ -
1- -2f abc.
Ostavlja se ditaocu da ovo potvrdi, na primer, za e: l,b:2, c:3.Slidno ovome, uz kori5denje drugih nejednakosti, dolazi se do
toga da za pozitivne brojeve a, b, c i d ie Lt!t:t!2yaAA.
162
Primei'uje se da se do poslednjc nejednakosti moie doci i pomoiunejccl nakosti;
3
, a+b+c+dd su - -* - odnosno4
aritmetidka i geometrijskadva pozitivna broja. Tiko,
" * b
;rv'ob2
t'ii9,,yY !1t2
prethodr:a ncjednakost prelazi u
jed.nakout:
. 1:I-di
2
poslednje nejednakosti dobija se:
L:Ll.:ll7/"t _ l,ri2
Sabirenjem
a zbolr
y' ctl .> l!io ', l'ia > zV abid
"u-j; ! > zfi otid, a ad'avdt ittat'i
r b r c_+_(
4
Ostavlja se iitacrcu da ovo prove,ri. na primer, za dt=-L, b.=. 1.c.- 5 i ti-..j.
3. Nejedn*kost 1'l b.' l*+1" m.: <, V- ,
" moLe se pro5irivati
pravca: a) da sc na desnoj strani umesto kvadrata brojevanalaze njihovi kubovi, dctvrli stepeni i tako dalje; b) da sebiraka u njoj poreJava i c) rla se broj sabireka poveiavana desnoj stra.ni povefavajv izloiioci sabiraka.
Ovde :e daje pro5irivanje poslednje nejednakosti, navedenc pod
Zenjcm obe strane ove nejednakosti I - D onu prelazi u slededu
u tri
aibbroj sa-idase
a). Naime, irol-b,..1f':.;u' iztazi da :" (t.r!)'"*;!:. filn'-
(il)'*. Ltf tei!-+sul
Kako u brojiocu posiednjeg razlomkaa2b -l abz : qb(a-i-b)(a3 +rr, prerna onome
zaiz
zbir a2b+ob2 vaLitadke l, kada se u
r63
brojiocu poslednjeg razlomka zbk azb+ab2 smeni sa cf -Fb3,
se dobija da je utoliko n,. (91?)'n t:!#\! li, po.sre
denja i skracivanja sa 2, da ," (t'tu)'" t::u: ,a odavde izlazi
J
t+ b la3'+bj .da;e 2 \V- Z
Ostavlja se ditaocu da ovo potvrdi za a-3, b.'4.
Slidno ovome se iz prethodne nejednakosti dobija da je4
a*b li{+ba=J = ( V = -2t-, i tako dalje. Uop5te, lako je dokazati da za pri-
rodni broj n je,r __._,.
a-rb - la"+bnt*''V-- z '
Ostavlja se ditar:cu da ovo proveri za a=,2, b:4, n:5.Pro(irivanjem u pravcu b; dobija se, na primer, cla je
a+b+c3-
zbog xzy*xy2:yy1r+Jr)<.r3+Jr3 smene sa odgovarajuiim zbiro-
vima oblika x3*y3, dobija se tim pre nejednakost /gJ!lj\t---'-----'----\ g /=*3(43+13-lc) iii (g:Lb_+c),*4-Laif-r', a odavde je:e\31 3
3
a+b+c-- lF*6ut
=-\V----.Ostavlja se ditaocu da ovo proveri, na primer, za2 a:2,b:5, c:2.
Zxdaci
l. Dokazati da za pozitivne brojeve a i b je:, ab(a+b)r4}(d+ba'1.4
2. Dokazati da za pozitivne brojeve a, b i cje. -9-F-'j-c< ^:t":EFr :\- -{--'
,{paro*y6 MRaouennh (flpa*aHn)
NTOJIOMEJEBA TEOPE}TA H HEKN IbEHE NPI{Mf,HE
V ge:H ca cnojcrunrlla qerBopoyruroBa Mory ce I{ona3arr{ t\{HoreTeopetvle. Jegua o4 uoruarlriur Teoper{a, roja ce qel.uhe Kopr.tcT}rnplr peruaBalby pa3r{}rx ragaraKa, jecre rrn. flutottouejeea ifieapeua.
C-raporpvrn ac'rpot{or-{ flro;rouej (lI n.), y cBoM xajaeherr,i1ely ,,A;ir.ra[ecr", 4ao je gorar cleAehe reopeil{e: Y csaKo.tr Ko*4eKctroi, ue{uaopof ittlt, )'ilutanroit y Kpyziltu\u, upou36og .uepttux 6po-jeea gujaiouata jeguarc je $upy ilpoutuoga ilepHux ttpo,ietta ftelaruxcyDpowuux ti)pauu4a.
OnAe lietro flpi.rxa]arrr je,qan oa .qora3a flro.lrorraejete reope-Me, a 3a'fur!t heuo yl(a3irrl{ Ha rtetce lbene nplrMege.
tada
itd., gde su c, D, c i d pozitivni brojevi. Ova proiirivanja dobivajuse vrlo jcclnostavno.
Prolirivanjem u pravcu c)
u-fb+c ,. j61 thl rctj- '='V J
i tako daljc.
Tako, na primer, ,t "'\:t*\/t,t 1'62 v'; rztazi:(a : 'u)...
*1!t *--b' 'y "t. Ko,l* se obe strane poslerinje nejednakosti iromnoze sa
3
<lobija se , ua primcr, da'je4
a-r b -r c-; tl - la:-r hr -i-t': ..t|'4 '''V 4
ti'
t'r164 165
l'll
T{exa je AarrerHBIlI{ qe'rl}oPoyrao EIGI! ('cl' l]' Koncrpyn-
rrri'.i(, ylao GHK tK: ';;tl 'i"lt'' na 6ync r1')ir)l'1apa* yrry EIiF'
Urn,'*,i EFH tr EGtl ci noAy,taprtt'r' .Kao nepirSepi'jcxt't- yrnoBI'I
l1ii.;1. lic'rorr rerlllrorl tfUi' Yctri''i ''lo'a i" 'r 1-l:f{c'':(?frK' na je
EF.CK I'H:r'iII :'Et;'GII 'JK'FH'
K;rxt; je ''|EHK '; GlIf' t: '' llKll ' ''''''FGH''ro j* 'j16Ki1-*,i' tr:(;H. \a je
EK : FG - Et-l : F ll'> b'G' I:)iI''= IK " FH "
{a6Npirruev jerlriarocru Etr Clt 'GK'FH s EG'EH=-EK'FHg<,ftiajar'to
EF'GH -t I.G'EII : GK't''tl ' E[:'F'lI :' EF'GH +
j:C"EFl '^tfi 1OK i ,LK)
36or G,( -f E K "' EG , 113 n pc'i xoArre jc;''rla xocr r'{ }ienocpeAuo }!3-
Ia31{ Ia jeEt'.GH'iI(;' LFI [l{' E{i,
ui'r, , ]e i pc6a;ro IOKarilTit '
Bt{
C;r' I C;t' 2
llpuuep 1. V rpyxrtnrlu je yntlcall -jegxarocrpannilaH
rpoyrao
,,{BC. llporl3Borbua riqre 'ff rpulritAa JyIy BC rojeu rte npi{na'qa
tau*o .a. Aoxagarn Aa je BMI CI4 -AM'
Petue*e. Ha ocuouy flrolouejeue reopeMe' ilpl4lvlerbelle Ha re-
rlrBHE rlerBopoyrao ABMC,,qo6njalto
(l) BM'CAt CM'AB=-BC'AM'
166
Karo je .{arn Tpoyrao ABC je4uaxocrpan[qan, ro uMa]loAB:=BC --.CA..- u, ua je, 16or (l):
8M.a+ Cht . a == ALI .a.
flocne AerbellJa. J-reBe x aecue crpaHe nperxoAxe jegHaxoc:-aca c nefiocpe4Ho go6njaMo rpaxeuy je4nakocr
BII.+ Ch'i : AIr{.
flpuaep 2. Koplrcrehn ce flrorouejenou reopeMoM, Aor(a3arr{flnraropuHy reopeMy.
Pewerce. florpe6Ho je 4oxasarn ga je m2: n2+pz (cir. 3).
m
Cr.3
. \ - \ / ,'\ '-1.././
\r__*_=-raCn. 4
Koucrpymur{Mo onrcaHy xpyxnr{qy rpoyrna MNp, a noroMna roj rpyxHHrlr{ oIpeAHMO_ Ja.rKy p, cllvrerpur{Hy raqr(fi M y o*Hocy-Ha,Uenrap Kpyxl{Hue.36or rora je Me:Np:m, Ng: lip:na PQ:MN--p (cn. 4).
r_ 9ernopoyrao (npanoyraon[K) je rerrrBnr{, na je, Ha ocuoByrrTonoMeJeBe TeopeMe
MN. ep + Ne. Mp: Me. Np.
C o6eupor,r Ha yBeAeHe o3uare, go6nja ce
p. p +- n. fl : nt. m + pz * n2 : m2.
Ilpunep J. Vrnosz a, g u y rpoyrna ABC (cl. 5) o.qnoce cepe.qoM rao I : 2:4. ,{oraearr{ Aa Baxr.t
lllabc
167
Peutette. Ha rpyxHurqn onlrcanoj oxo rooyr.qa ABC oaperruvtorauxy D raro ga je <BCD- 4CAB- cc (c:r. 5). flpecer 4njaro-uana go6rrjeHor rerr.rBnor rrerBopoyrra ADBC o3Haqul.ro ca E. VIva-
jyhn y BlrAy xa cy nepu$epnjcru yr-JroBri HaA noAvAapHr{M nyqr{Ma r,rcTei(pyxiHflue noAyAapHt{, r.rMaMo
48/D:1BCD:a,+cDB:4CAB=-a,
c +ADC: JABC:2a.flperrla ycJroBy :agarra je
a:p:1:l:2:4, rj. 9:2x v ^i:4x.C o6suporu ga je :6up ynyr-
parxlblix yrJroBa y rpoyrury 180", ulravo o_*2u.1 4q.-:180", oguoclo7 u: 180", nt je {CEB:4 a.
,{ane, cnegw j.AEC : 4BED : .I,DBA -" 3 a.
Karo cy rpoyrJroBr{ ADB, ADC u DEC jeguaroxparu, ro jeBD:BC:a, CD:CA:.b, AD-- AB=.c.
flpnvenov flrolorvrejene reopeNre Ha rerr.rBuK qerBopoyraoADBC go6njalro b. c : a. c -i ct. b, o4aru.e, rraKor{ AeJbelba JreBe }r.rIecxe crpaHe re jeguaxocru ca a.b.c, cJreAl{:
llt-:__ +-abc
Sa,qaun
1. V je;lrraxorpaKorlr rpafle3y KBaApar .qnjarosa,re jeAnar je r6upy rnaepa-Ta r(paKa r{ npor.r3Bo,qa ayxr{Ha lseroBt{x ocHoBnrla.
2. V reueuy A tpoyrna ABC noayuewa je raHreHra onrcaHe KpyxuuqeTor rpoyrna. Axo npaea napaJrenna ca oBoM TarrreHroM ceqe npaBe Ab'u ACpeAoM y raqKaMa D n E, TaAa Baxr
I VarijantaPOVRSINA I ZAPREMINA KOCKEI KVADRA. VREDNOST IZR.AZA.RAZLOMCI I DECIMALNT BROJE-vI.1. SloZeno telo sastavljeno je od 3
podudarne kocke (sl. l). Izradunajnjegovu povr5inu i zapreminu, akoje osnovna ivica kocke c - I dm.
2. Napravi sloZeno telo od 4 podu-darne kocke. Izmeri ivicu kocke,pa izradunaj povr5inu i zapreminusloZenog tela.
3. Dimenzije bazena za plivanje su25m, I0m i2,5m. Sakolikohek-tolitara vode se moZe ovaj bazennapuniti? Koliko je potrebno kvad-ratnih plodica stranice I dm, da sesve strane bazena poplodaju?
4. Kocka ivice I dm obojena je sasvih strana zelenom bojom i po-deljena na kocke ivice I cm. Odkoliko se malih kockica sastojivelika kocka? Koliko ima kockica:a) Cija je jedna strana obojena ze-leno; b) dlje su dve strane obojenezeleno; i c) Cije su tri strane cbo-jene zeleno?
5. Petina duiine jednog kanapa iznosil5cm. Koliko cm iznosi preostalideo?
6. Izrazi u obliku razlomka:a) 5,4hl:......hI;b) 0,28kg:.....kg;c) 5,264rn-.....dm.
CD.BE:BD.CE-r BC.DE.
3. I4r ra.{re' M rpyra (,5, 10 cm) noBylrer.reb:25 cm, llgpaxynaj Ayxrluy retiae a) r6npa- N 6)nyKoBa.
168
cy rerr{Be a:.12 cm upa3,.rHXe ogroaapajyhnx
PRIMERI ZADATAKA*ZA PROYERAVANJE STECENOG ZNANJA U APRILU I MAJU
IV RAZREDII VarijantaOPSEG I PLOSTINA PRAVOKUT.NIKA I KVADRATA. RJESAVANJEJEDNADZBI I NEJEDNADZBI.
l. Naotanu figuru (sl. 2) podijeli nakvadratne centimetre. Izradunaj op.seg i plo5tinu te figure.
1cm
f--1t cnI 12 cmttlcnl Itt
st. 2
2. Opseg njive oblika pravokutnikaje 120 m, a duljina jedne stra-nice je za lOm veca od duljinedrugp stranice. Izradunaj plostinute njive.
3. Nacrtaj kvadrat diji je opseg 36 m.Izradunaj njegovu plo5tinu.
4. Napili rjeienje jednadZbe:
a) 25.x-10000:15000;b) r:200:38400;c) 1000-15.x-40.
5. Napi5i skup rje5enja ovih nejedna-dibi:a) 100.x+450<1000;b) 350+700..r>1050;c) x:50@<500.
6" Koji prirodni brojevi manji od 100zadovoljavaju dvostruke nejedna-dZbe:
a) 90<x< 1200;
b) 192<2x<35?7. Napi5i pet parova (x, y) koji zado-
voljavaju nejednadZbu
x-y< 150.
+ Zbog razlika u nastavnim planovima i prograrnima na5ih republika i po-krajina navedeni zadaci nisu mogli biti izabrani tako da svi odgovaraju uCenicimasvih na5ih Skola, ali medu njima svaki udenik moie naii one koji mu odgovaraju.
t69
PRIMERI ZADATAKAZA PROVERAVATTIJE STECENOG ZNANJA U APRILU I MAJU
V RAZREDI VarijantaCENTRALNA SIMETRIJA. UGAO1. Datoj duii MN konstrui5i sime-
tridnu figuru u odnosu na @ntarsimetrije .lf.
2. Datom trouglu IBC konstrui5i cen-tralno simetridnu figuru u odnosuna centar simetrije C,
3. Datom kvadratu konstrui5i sime-tridnu figuru u odnosu na taCku0 van kvadrata i u odnosu na jed-no teme kvadrata,
4. Datom krugu konstrui$i simetridnufiguru u odnosu na tadku M nakrugu i u odnosu na tadku .S vankroga.
5. Ako je alb i zf z (sl. l) pronadi:a) par komplementnih uglova.b) par podudarnih uglova.
st. I6. Ako je jedan od komplementnih
uglova pet puta veii od drugog,izradunaj te uglove.
7. Akoje jedan odsuplementnih uglo-va za 50" vedi od drugog, izradu-naj te uglove.
E. Da li o5tar i tup mogu biti uglo-vi sa paralelnim kracima?
t ffiliW*ao
suPlementan ostrom
10. Jesu Ii unakrsni uglovi suplemen-tni uglovi? i,Q
11. Izradunaj komplement uglu od5.o
II VarijantaMNOZENJE I DJELJENJE DECI.MALNIH BROJEVA. BROJEVNIIZF.AjZI.I. Odredi produkte:
a) 2.15.3,04; b) 21,6.30,4;c) 0,216.304; d) 0,216.3,04.
2. Odredi kvocijente:a) 87,444:2,52; b) 8744,4:25,2;c'1 87,444:,50,4; d) 8744,4:12,6.
3. Koristeci osobine produkta, izra-Cunaj na jednostavniji nadin!a) 5,26.o,25.4; b) 3,04.1,25.8;c) 0,8.6,3.12,5; d) 0,02.0,5.3,7.
4. Peterostruka vrijednost nekih pri-rodnih brojeva je veda od 2,5 a ma-nja od 30,5. Koji je od tih brojevanajveci a koji najmanji?
5. Kada se neki broj pomnoZi sa 0,4,a zatim se smanji za 0,5, dobijase 0,5. Koji je to broj?
6. Kvocijent izvjesnih brojeva se nala-zi izmetlu 0,3 i 7,2. Koji brojevisu u ovom sludaju djeljenici, akoje divizor 3?
7. Odredi vrijednost izraza:a) (3,25 + 0,1):0,5-0,1.2,4;b) 3,25 + (0,1 : 0,5 -0,1.2,4)lc) 3,25 +0,1 :(0,5-0,1.2,4).
E. Popuni tablicu:
a I b ia.bla:b--_3,2 I 10,64i_-lEI--Lj,'s,e lz,sl I
9. PrikaZi pomoiu duZina u omjerul:50000 visine ovih planinskih vrh-ova:
Triglav 2863 m Klek I 102 mUCka 1396 m PljeSivica 780 mSljeme 1035 m.
I VarijantaPOVRSINA TROUGLA, PARALE.LOCRAMA I TRAPEZAl. Izradunaj visinu koja odgovara
stranici c trougla ABC, ako ji tpoz-
^ Iratof a :_ 10 cm, 6 : 8 cm i h6: 5 crn.2. Izradunaj visinu koja odgovara hi-
potenuzi pravouglog trougla, ako sunjegove katete n: 12 cm, z': 5cm.
3. Ako se sredine stranica kvadrataABCD (s1.. f)..snoje D G_Cduiima, dobija sedetvorougao EFGH.cervorougao Etult. I
Izradunaj povrdinu Hktog Cetvolougla ako | \je stranica kvadrata4 ctn. Koji je to ,4detvorougao? Sl.
EBI,
d. Sf ranica romba je a - 4,5 cm, anjegov o5tar ugao je 60". Izradunajpovr5inu i visinu ovog romba.
5. Izradunaj visinu romba, ako sunjegove dilagonale t6cm i l2cm,
6. Stranice deltoida su d = l?cnr i 6-I0 cm, a dijagonala koja nije sime-trala njegovih uglova js dr:l2cm.Izradunaj njegovu povriinu.
7. lzatunaj povriinu pravouglog tra-peza a_ko je njegova krada dijago-nala b,"4cm, duZi Lrak 6Lm ioStar ugao .r.- 30o.
8. a) Konstruiii paralelogram koji imapovrSinu 24 crn2, visinu 3 cm i oS-tar ugao 45' b) Konstrui5i zatimtrougao jednake povr5ine, ako jenJegova osnovica jednaka straniciparaleicgrama, a druga stranica 9 cm.
9. Irradunaj obim i povr5inu figurepren:a podacinra sa slike 2.
t70t7t
I
PRIMERI ZADATATAZA PROVERAVANJE STECENOG ZNANJA U APRILU I MAJU
VI RAZREDII VarijantaTROKUT. PAR.ALELOGRAM,TRAPEZ. PROCENAT
t. Izradunaj kut koga grade raspolov.-nice dva susjedna kum paralelogra-ma,
2. Konstruiraj romb kojemu jednadijagonala iznosi 8 cm, a tui kutp: t50..
3. K.onstruiraj kvadrat ako je datanjcgova opisana kruinica i tbdka Ikoja predstavlja jedan vrh kva-drata.
4. Konstruiraj trokut ako je drta op!sana kruZnice, todka I na njc_i ko-ja je jedan vrh troluta, i tut;,= 39".
5, Konstruiraj trokut ako je zadano:4 D:48", c}:6crn, a:4,5Srn.Za-tint konstruiraj pravokutnik Luli c.eimati dvostruko vccu plojtiru odploitine trokuts /!l.BC-.
6. lzrazJ znakom procenta (%):
5142") ,oo; b) *; .) 2i0,,.
7. lzrazi znakon f,rc,cenia ii.iir:a) 0,34; b) 2,01; cl 0,I.a) l; b) l0: c) 100.
E. Izradunaj usrreno, bez ikakvog za-pisivanja:
4.!o ?%.neke surne iznosi iii6, ko-liko izosi 20..; te iste sume, a ko-liko 2l desel puta veie sume?
9. Jedno poduzede posluje :a 24)(gubitka godi5nje, a drugo sa l,5iigubitaka m.;eseino. Koje i:al ji pos-luje?
10. Nakupac prr:proda robu za 4 450dinara i tako zaradi I2%. Kolikoje tu robu platio?
PRIMERI ZADATAKAZA PROVERAVANJE STECENOG ZNANJA U APRILU I MAJU
VII RAZREDI VarijantaVALJAK, KUPA, LOPTAI. Konstruiii mreZu pravog valjka
ako je povr5ina njegore osnovC lo:t cm2, a visina dva pura reil odpoluprednika osno\e.
2. PovrSina osnog preseka pravog va-ljka je 32 cnr, a obim osnove je4a cm. lzraiunaj povr5inu i zap-rerninu tog valjka,
3. Od grede duZine 6 m dija jeosnova kvadrat stranice 20 cm is-tesati balvan oblika valjka najveiezapremine. Koji deo zaprenrinegrede zauzimii balvan?
4. Pravougaonik stranica 4,j cm i7 cnr obrie se oko ose koja je par-alelna sa rluZom stranicom na ra-stojanju 1,5 crn od nje. IzradunajPi Z nastalog iela.
5. Koja je raziika iznredu prave i ko-:c kupe?
6. Da li se kod rvake kupe visinapoklapa sa duii Ciji su krajevic'entar osnove i l.rh kupe?
7. U pravilnu ietvorostranu pir"amiduonovne iyice a--.5 cnr i visine .ff --9 cm upisana jei oko nje opis-ana prava kupa. Izradunaj odnosepovrlina i zapremina ove dve kupe.
8. Kvadrat stranice a obrce se okodijagonale. IzraCuruj f i Znasta-log obrtnog tela.
9. Osni prcsek kupe je jednakostra-nidni trougao, a irovrSina osnoveje 96;c cm2. .Izrattttaj povr5inu om-otada i zapreminu ove kupe.
10. Kako se menjaju povriina i za-premina lopte ako se a) njen po-Iuprednik smanji 3 puta, b) nJeu
- poluprednik poveca 5 puta?'ll..Oko valjka polupredni[a r -2,5 cmi visine H:12 cm opisana je lop-
ta. Izradunaj odnos zapremina va-ljka i lopte.
II VarijantaSKUP REALNIH BROJEVA. ELE.IVTENTI STATISTIKE.
1. Odredi najnranji elemert u skupu:a; prirodnih brojeva;b) cijelih negativnih brojeva;c) cijelih pozitivnih brojeva:d) racionalnih negirtivnih brejeva;e) skup realnih brojeva,
2. Odredi najveii element u skupu:a) prirodnih brojeva;b) cijelih negativnih brojeva;c) cijelih pozitivnih brojeva:d) racionalnih negativnih brojeva;e) realnih b'rojeva.
I VarijantaLINEARNA FUNKCIJAl. Predstavi grafidki linearnu funkciju
xY:-+1.'2a) U kojoj tadki serje grafik ovefunkcije x-osu, a u kojoj y-osu?b) Za koje vrednosti _r ova funk-cija ima pozitivnu vrednost, a zakoje negativnu vrednost?
2. Funkciju diji je grafik prikazan nasl. I izrazi u obliku v. k:c -n.
lv
)
st. I
3. Odredi za holiko naraste funkcija|-2 x+6 kad n naraste cd ,l na g.
4. Odred-i za koliko padne funkcijal:-2x+4 kad x naraste od -ldo -5.
5. Za koliko se uveCaju, odnosnopadnu funkcije:
3a) y: -; x-2 kad x padne od
4
-4 do -10; b) y:--1 -t+l3
kad .r naraste od -2 na 3.6. Nacrtaj pravu kojoj pripadaju taCke:
a) M(7,2) i N(-t, -2);b) 4$,5) i 8(-t, -3), pa, sma-trajudi ove prave graficima funk-cija, odredi koje su to funkcije.
7. Graf fuukcije zaklapa sa pozitivnimlmgr,om x-ose ugao od 45" i pro-lazi kroz koordinatni podetak. Ii.ojaje to funkcija?
3. U odnosu no koje radunske rad-nje jc skup realnih brojcve zatvo-ren? ObrazloZi i navedi prinrjere.
4. J-edan udenik je u toku ikolske go-dine Jobio sljedcce ocene na pis-menom zadatku iz matenratike: 3,4,3,4,4, l. Odredi srednju ocenu.
5. Odredi aritmetidku sredinu bro-jeva 0, 0, 0 0, l, S, 0,4,3, 2, 0, iodstupanje svakog broja od aritm-etidkc sredine. Koliko iznosi zbrojkvadrata tih odstr":panja ? -
6. Odredi udestalost (frekvenciju) izskupa ovih podataka: 2,d,:-1,*1, -1, -1, 0,0.2, -I, -1, -2,- l.
7. PrikaLi gr;rfidki udestalost (t'rekvc-nciju) svakog podatka iz niza: 3,7,7,7, 3, 3, 5, 3, 5, 7, 5, 5, 3,5' l, 0,
E. Odredi geometrisku sredinu bro-Jeva:a) 4,4; b) 3, 3, 3; c) l, 0, 0, 0, 0.d) 10, 160.
9. Sta je vede, aritmetidka sredinaa+9
brojeva 4,7,9 ili4 i;?
X
t72 t73
PRIMERI ZADATAKAZA PROVERAVANJE STECENOG ZNANJA U APRTLI, I MAJU
VtrI RAZREDII VarijantaGEOMETRIJSKA TIJELA. TRIGO.NOMETRIJSKE FUN KCIJE. RESA.VANJE PRAVOUGLOG TROUGLAl. Osnovka trostrane piramidc je
istokraian pravokutni - trokut tijije krak 6:5 cm, visina piramiri'eje l2cm, a njeno noziste jc vrhpralog kuta osnovke. Izradunaj po-bodne bridove te piramide i
-njen
volumen.2. Osnovka uspravne prizme je trapez
cue su stranice a:9 m, 6: lrl mi ":7 ^
(krak). Izradunaj oploljer__votumen ove prizme, ako je.6I- l5 m^
3. IzraCunaj polumjer osnovke i op-Io5je uspr-avnog valjka kojemu jevolumen 288 rs cmr, a duljina visi-ne E cm.
8. _O^p:.eC kruga. osnovke sbsca je62,8 cm, a duljina iz','odnice je i5cm. Izradunaj volurncn tog stoscai ploStinu njegovog osoog presjeka.
5. 9t.4i vrednosri trigonometrijskihrunKclla za uglove:
5n ll ra) l-; b) -l-
6. Odredi sve lukove izme<lu 0 i 3za koje je sinus jednak 0,5.
7. Odredi stranice i kutovepravokut-nog trokuta, ako je poznato:a) dve katete: a:2,61 i ,5:3,80:b) hjpotenuza i kateta: c:113,b:t2;c) kateta i njoj naspramoi kut:a:42, a:45aid) hipotenuza i Siljasti kut:c-0,798, b-45'30'.
t. Koje vrijednosti moZe imati zbroj:a) sinx+2; sin.r-4 c) cosx+f?
VII RAZRED
. -l...P-eter naj- bi prinese.l.iz trgovine za 50 din. kompirja. Krompir pa scje.podraZil za 251. Za koliko 'l manj krompirja 3e^uourt p"teii--tot i.pridakoval?
2. Dan veddlenik: !(x):4xr+xr-i.8x2+x+4. pokaZi da jc vrednost ved_dlenika za vsak xf*:.|y' sodo Stev.lo.
MAITMATICXI, TATPUCENJA
SR SLOVEMJANALOGE SA REPUBLISKOG
TEKMOVANJA ZA ZLATO VEGOVOPRIZNANJE, LETO I98I
Re5itve ndog
VII RAZRED
l. Prvotno ceno oznadimo z x din. Nova cena je r,2sx din. pred podra-
titvijo jc Peter lahko kupit I kg, a po podratitvi j}. -, m-oir;", tj.
f te. Razoeri,no 1, I 4; 'x x *: *' 50:0,8, kar pomeni da je Petcr dobilza 201manj krompirja.
2. oditno so vrednosti crenov 4x., gx2 in 4 soda stevila. xr+x ie sodoStevilo za vsak x sodo stevito. pokazati jl treba aa lil, +-i- ilao dtJuiri ,u "liho stevilo. vsota xr+r je sodo, ker je-vsota-i""tr iniii siJi,ii, i; i,i-il-^ - _ 3._-Zrymo. da je 2520-2t.j2.5.7. Vidimo da jeiskano najmanjSe Stevilo2. 5.7 : 70, ker je (2r. 3,. s.7). (2. S. 7) : (22. 3. S. 7)2, ii-iiid.iO :iit,. "
4. Dokazemo d'a je Bop enakokraki trikotnik, srika r. premica ro jel1T.lr.ull. kota. B, tako- da. je i pBo : <o Bc. potem* orC: +r,oa
-loi irrn"-nreni kotr med vsporednimi premicami. zaradi tega je j.pBo : j.poB in je ar::Po. Enako dokaZemo da je Ce-oe.Tako OJUimo:'AFi ca:FOi'tiA:pg.
Sl. I Sl. 2
15. Kot cr je
rt. reoo : toto. pormeri oit in o^s so normarni (pravokotni)na tangente.-rRr_{r qr' tako da so tudi koti .R in ,s 900, sr. 2. Vsota kotov vdetverokotniku oRST je 3600, rj. 1080 + 900 + 0 + 90' : 3oti'. iomenio"-3" ti': zz'.
VIII RAZRED
r. z urejevanjem uromka dobimo: t#$:ry*i*
de spremenrjiv-
ka y ni enaka nid, ulomak lahko krajla in ostane: 5::3a
Ulomak nima4x-ypomena de je y:0 in Ce je imenovalec 2x-y enak nid, tj. te je y:2a.
Ca dobimo kvadrat nekega naravnega itevila.
^ -. t. foCka O je srcdilde trikorniku l_BC vdrtanegaO, ki je vzporedna 3C, sede lB v todki p in AC iPQ.'.BP+QC.
5. Tangenti iz totke r razdelit:r krolnico & na dva loka. Koliksen kotol.lepata tangenti, de je kraj5i kot cr 1en clvch lok<:v
3 kro:nic., i?
VIIi RAZRET)
!' poenostavi uromek [1]r)t - rt-i']-- t" ugoiovi, pri karerih
'rednostihsrr*mentjivk r in y uiomck "t;:;,!;.i11?. Pri katerih vrednosiih spremenijivk a, b,c., iml vcddlcnlk p.-n2.6:.,-
'..:--10a-- l4b +75 najmanjio viedncst'.]-
- -3. \,' pravokotni trikotnik s kat*iam.] a in b vcrtamo kvadrat. tak\) {iasta d!1e njegovi stranici na k_aretah, enr: oglliie pa na h.ipqtenuzi-irihotuita.Iz:rf ,rnaj razmerje pioidin trikotnika. iir kvidrata. izraeunaj'pci;;;; k;;g;r.
4" Kvadratu s stranico a vdr-tamo krog i. pcien vrlrlarno v kvadratltiri krr:ge, tako da sc vsak od njih riotiha kioga t in dveh sLanici kvadrata.TzrrCuiraj polmere krogov.
5. Osnovna ploskev kva,lra ie kvadrat s stranico c. fe seiemo kvaderz ravnino,.ki gre skozi osrrovnr rol. in oklepa z osnovno ploskvi.yo kot 300, do_brcro teiesi, katerib prostornini sta v raznreiju 1:2. I:,rracunaj ptoiiorln". tvaara.
174
3. PoiSdi najmanjie naravno itevilo s katcrim moramo pornnoZiti ?520,
kroga. Premica skozitodki Q.. DokaZi da je
B
1h
rl
*l
175
2. P - a2 - lOa + 25 + b2 - l4b ;- 49 + cz + I : (a - 5), + (b -7)2 + c2 + l. Veedle-nik ima najmanj5o vrednost l, pri a- 5, b-7, c:0. '
3. Iz slidnosti trikotnika ACB.in, EDB;slika 3, dobimo: !:2-a. Slcdibxda ie ax: ab-bx, ozftoma ,: +. ptoidina trikotnika je t', a ploldina kvadra-a+b z
,o i. {h. Razmerje plosdin je 11:
ZADACI SA POKRAJINSKOG TAKMIEENJASAP KOSOVA
VII RAZRED
..1. Data je duZ 4B--8.: i krugovi kt.i k2,sa centrima A i B i polu-prednikom ,48. Ncka je M_ra(ka preseki kruznica'*, i *r. tziieunaii-pou.sinukruga upisanog u figuru AMB.
-*':--. 2. uienik je krenuo u Skoru izmedu g i 9 sati ujurru i to u trenutkukada su se verika i mara skazarjka pokropire. vratio se t,iei ir-eeu z i 3 satapopodne u trenutku kada su kazaljlie obiazovale ispruZen ,guo. --- -
Koliko je vremena proteklo od polaska do povratka?
3. !,a.$r1t je krug diji je centar M, tetiva AB i duiina poluprednika r.Na pravoj ABizvan kruga nalazi se radka c, tako aa:e itE,ElJiii!," tuetuB nalazi izmedu ta(aka A i c. prava MC sete kruinicu ,';iki a, Gu ne pri-pada duzi MC. Dokazati da je ugao AMD jednak trostrut
"- ,gri'7Fp.4. Dat je polinom pj_r) : xr + 5x2 + 3x:9. Dokazati da je za svaki nepa-ran prirodan broj x izraz p(x) deljiv sa g.
^,, .. ^1.__Zl,I_ne-kg8 {vocifrenog broja.i broja,-napisanog sa tim istim ciframa,arr u o'rnutom redu, 1e kvadrat nekog broja. Koji je taj dvocifreni broj?
VIII RAZRED
l..Dg!.jc_ trougao.ABC dija je stranica AB:6 cm, ugao I iznosi 600 iugao .B je 750. lzraCunati povr5inu iog trougla.
2. u razredu ima 20 dedlka. eetrnaestorica imaju plave odi, petnaestoricaramnu kosu, sedamnaesrorica teze vise od 40 kg, u oruiinu".io;i.-a-;; visi od160 cm. Dokazati da bar detvorica dedaka imaju-sve navedene osobini.
- 3. U trostranoj pli1yi,-dija je osnova pravougli jednakokraki trougao,moie se upisari ropta prednika 2 cm (koja dodiruje ru-" ri.io. prr,n.j.'Kolikaje zapremina te prizme?
4. odrediti sa koliko se nura zavrsava proizvod svih prirodnih u.oj."u )od I do 8r. "'--':./
Re5enja zadataka
VIT RAZRED
. !. Nela je O centar upisane kruZnice (sl. l). Dodirna taika D ove kr.u-injce_,i
tyfa. BM mora pripadati pravoj AO. fiodirna radka N ,piruni t ruZni."I .Jrzt AR -ie sredisrc date duii-. (zbog simctritnosti figure ABlvIT. primcnimoPitagorinu^teoremu na. pravo.ugli
'trorfuao INO: 1g_ ryz":rt+ai, CjOuuO-""iJraeu-narno: r*-3 cm. Povr5ina upisanog kruga je p:9n cm2.
azb2 ah.(a+b)2 _(a+b)22 a2b2 2ab
A
(a+ b)'z
B
Ba-xDxccsl. 3
Dsl. 4
4. Po skici 4 izradunamo: AS:r/- in AE:AS+SE:ry'Z+r, ker je riskani polmer. Na sliki 4 vidimo da je r, --OE:OF=, !- in eO : ,r/ Z:1/ Z.t"n
Ravno tako ie AE - OA - OE, oziroma ry' Z t- r : tVa -r (/ 2+t)-trVa-r, ter ie ,:!.'Ar- +a,_
-;.(V 2-!)'?, ali pribliino r:0,08a.
. . 5. Manj5e telo je tristrana prizma digar osno-vica je pravokotni trikotnik ABC'na sliki 6. Katetetega trikotnika so a in x, pri demer je a: x/toziroma , : -,!=, Prostornina trisrrane prizme je v, :
v/3laet=s.-.a= - _. Fo nalogi je prostornina kvadra2 Vt z/3tri krat vedja: Y:3Vt:t
#:+t
t76
f . oo tuoi dobimo:
/2-r V 1-rl/ 2+t y 2_l
st. 6
)
l
sl 5
t77
BA
Sl. I Sl. 2
^ . 2....Oznacimo sa x broj mi.nura za koliko je proSlo g sati u prvom sludaju.Dok vclika kazaljka prode ;eo trug, mata pro'A" Ouunu.rri-Oi"l J'," li podeokkoji odgovara petoj minuti. tvlata lazaijG'riui*1" sa broja g, tj. sa ierrdese_rog podeoka, a velika sa broja lz, t1. si poe.tnod porozaja. u m<imenru-potra-nja kazaljki vaziie jedr x 480rakost: 40 ,12:^, odakle je -:
;.U $1ugom sludaju, poloZaj_i kazaljki razlikuju se za 30 podeljaka, pa akosa )' oznadimo broj minuta korikoje- i.oiro posie t-;;,-l"ixi"ii'""IJafiakost:y-480
tu ,, :v--30' odavde je v: ,l:. Dakle r:v, pa je od potaska u iko-
lu do povratka pro5lo ravno 6 sati.3. U rrougtu BC\ le lM: B.C 7 r, pa je i j.BMC: 4BCM. rJsao ABMje spoljaSnji usao ovoa trougla,. pq je jeOnl[ 'riiru ,gloua BCM i BMC, pa je4 A B r{ : 2 i B C M. r, i"sao .2 E; rt.j"';"i-;;lJ iuror ror., jer
-je M A : M E = r, pajei.MBA: 4MAB. oru;a j_e 4ffii;:;;i;il: gg p_4!rro je sptjasnji ugao
!i3'fJ"' ",fYio.o^ je 4AMD - 4cAM - {edi':z&acu + <Eclfri"J\'{piu,
4. P(x) : xr + 5x2,i- 3x-9 :xj + 6x2_ x2 +9x_6x_9:xr+ 6x2 +9x_(xz +6x +9) =^ x(x2.+ 6x t 9)-(x2 - 61 +9):6f i- 6* igi(r*l ): (x+ 3)2 (x_ I ).^Ko Je x neparan bro.y, recimo x:2k_1. Cq:. je. kANi Aiee:'p(Z*_t):(2k 2)'1(2k--., : 2,(k, tf \r - I ) - sik_ rrtr_ill Dakre pori;omll iiir:iu o s.5. Neka su cifre traZenog broja x i'y. flO" se.ovaj broj moZe napisatikao l,x-v' a obrnuti broi kao-r'7i:'". zair-"i_.dva b^rojaje lt(xr-t), a pre-ma teksru zad,atka rreba, da bude jt(x+y) i-*1."zair.if";;,r;;;'iiizi airi
:eii.od 18 ni manji od 2, pr je oua iiAnaioii rnogu.u samo ako je x+y:It.Dakle, traieni broj je jedan od sredeiih b;;j;;;;'2t, ls, ai,-s6,'?si-li,'&, sz.
VIII RAZRED
L Visina BD deli trougao ABC na dva dela: trougao ABD, koji predsra_vlja polovinu jednakostraniinog trougra, ijeJnatotrat<i p"rouougti ,-"t"'.' aca,Sto se jasno vidi na slici 3. Stranice trougla ABD su: 6 cm, 3 .n., i3 / I
"rn.Kako je BD :3 V i i CD = BD, to duZina stranice AC iznosi (3 e 3y :; ._. l,r"*u
r78
tome, povrSina trougta eAc ie:n:t7(3+r /:).s y' j"^,_f,<sV t+27)cmr_
9
,'(V-l + 3) cm'.
2. Naimanie 9 uCenika moraju inrati plave odi i tamnu kosu, jer jeI4 + t5 -20.: e. od ovih s, ni.jmu"j"'i.r;;;l;; I"" i.zi"a' +o-iie, :"ilJ"i " lz_-20:6. r)d postednie scitoricg;;j_;;;;-r"" vrsr ocl 160 cm, ier je 6+18_- 20 : 4. Ova ietvoriia ima.iu sve'n]au,JA!i"-uulUr:n..
st. sl 4
tEst. 5
3. Visina priznre iednaka jc predniku upisanc loprc (:1. 4), tj. visina je 2 cm.Potupretnik upisanc lonte.rato.e'j"-i;;&i";ilpredniku upisanog kruga baze,(sl' 5)' Na sl' 5 ru, norid.trougra;ri.J"J".i"trakr pravo.ugri irrougrovi lBD,ACD i .4EO. U rrr:uslu AEO F.atere;;';;;l;i cm, pa je duZina hipotenuzeAC-'l''2 cin. Zbogroga je AD--l +1, Z, a rakorle jei BD:t+y'.i. povr5inab:rze prizrrt, ij. povrsina_Jlouefa ABC je,_prema rome: B : (l+/,ir, a zapre-mina priznre je I,,,.. { I : ;,
'ji:.2... (6 + 4l-\ cmt,
4' 'ALo se proizvod-r '2'3., 'g0'gl rastavi na proste dinioce. tada ie svakipar diirir:rcn ir'-s1 4r1; ictr'r; nulu "" G;;;;;;"".ri. o"itriii'i"i"ir"ir'^'r.e",onolrko L.rko irnr petica u ov^m- rasrav'rj"nju. p"ti..
^sg ciobrjaju r.astavrjanjemna pr:rstc ciniocc broievr: J. lg,. lS, jO, ji,'...,-?S, 80. Medu njima ,u bro_
ii"';"it;,'Ji'i"l';St:it;;",t-';li:.li'p"ir''''t"p"i'f'"i"p".,i;l'i;i;:3,p"
179
PEItrEIbA KOHI$/PCHIIX 3AAATAKA 735-747I13 NTATEMATI,IT{KOI JII4CTA XVI' 5
A) 3a yuenuxe IV u V PasPega
135. IIsa tueta xpehy ucfronpeJrre,,o ucwuu upua4ett u y uculo'tt cvepy' a'luje jegno og t,ux 6u.w y citutptuy sa 5 m ucfipeg gpyioi u xpehe- ce Poqtto'rrcpiloil'6ptuirou ig 3 m y ceKy*gu. l(pyio tilen xpche ce porlto'\reptlov 6pauuo"'t' o1tr 5 n yc'e.yrrqu. io *o.,i*o cixyttgu he gpyio uie,to c'riiultu iipsot u xo,tuxtt n1'tu he upehu
go itaoi taxenuta?Axo ca -r o6eJ-Iex[Mo BpeMe xoje npola:n I{oK apyro reto rle crurHe
rrpBo, oHAa he Ayxl.Ixa nyra Koj[ je nperu,ro Apyfo Teno 6nrn 5x, a JlyxI{Hatryra flpBor re,ra 3.t. .{pyro re.no je npeurro nyr Ayxt{ oA nyra lrpBor renala 2,r,' a ro fi3Hocl{ 5 m, ua MoxeMo nocraBnrt{ jeAlraxocr:, 2x:5, odatlego6njarr.ro: x:2,5. 3naua, 4pyro rei-Io je crllrxo flpao za 2,5 ceryulle { 3a To
BpeMe npelllllo nyT .uyxIIHe 12,5 uerapa.itaaio Jailthujesuli, y'I. V p. OII ,,X. Arocronoefih" IpcregtrK
I736. Ha wnortcKona aaKtuqerby w tnwerilailiuxe yuecfreoea.ta ie - 1'uenuxa
jegxoi ogemerca. Og :F,ux 3.t ouufru*cKo fraKiluqerr,e nie ce ilaacupa.to I yuenuxa,I
trtaKo ga je ua oilwfruncxo.'r laaxuuuercy ,qcitilsoea.rq 6. yqeiluKa u:.oi ogelbefta,
Ko:tuxo ,'veuuKa urtct y iuo^t ogenercy?-1331flourro je ---ucro ruro lr ;, ro fic nlpa:: : x- -'xr 9' 9 9
6poj yveHr.rxa xojn ce fincy tuacspa-nlr 13a
onrurflHcxo raxMilqelr; (rae je x
6poj yreur.rra ror oaere*a).^ttO*- gt:8 nponluaarn ar je __x:4' 3na-
yn, y ror{ oAeJberry uua 36.yveunxa'Ttypula Caeuq:nh. Y{. Vr P. OIII "iK. 3perllulrtl". Eax. Hoso Ceno
737. Ha gyxu (gyacutn) MN pacuopellete cy it)aurc A, B, C, D (aunpegov ), LiaKo ga je AB --- BC : C D. Pacriioiarbe cpegutuiia- -(iio'toctrwilla)
gpyrc'u",,eni'ptie oyiu ji 28cm, a paciiojane cpeguurua gt'tru MA u DN je 5l cnr.
Koturca je gytcuna (gYnma) gY*u MN?
rrpeAcTaBJbaTlI
DBA+-=#l"t ----il- -- N
C:r- I
flornro je AB:BC:CD. ro y pacrojaby cpeAuura .qpyre R-eeTBprc,f,yxH HMl qerxpH noroBxHe je4ne o,1 tlABeil,eHe rpu .lyxH (AB, BC, CD)' na je
nono"""a jeene-Ayxr 7 cm- Llt oBora npol'r3!r'1a3n aa pacrojatte Hrvefy rauaraA n D ,,rrro.n 41cm. I'acrojarre nrr'lefy cpeanxra rryxw MA n DN je 5l cm'a 'ro j: ra 9 cm ayxe oa pacrojarra ,'lD. 3ax,lyqyjeMo aa tbnp noloertragyxu MA x DN je 9cm. 3aro je ue;ra lyx MN:6Ocm.
la,+tjau Apcuh, yu, V, p. OIII ,,Kapabopbe", Tonora
180
738. tre cpwetu, ::,,":,:,r:,*;:;r:';'::":;,6Hu il3pa, 54.23.r,123.348.89 'voilce iiogenutuu 6pojc.st 10,
Uu$pa (3uaMeflxa) jeturruua npBor ca6xp(a je .1, a lpyr()r je 6, na lreqlr$pa jegurrurla e6npa 6nrw 0, 're ce Anrr :6up *roxc fio;lejnrra Gpojerrr l{).
O/bu lllar:cu,$oauli, yt. V, p. OilI ,,A. Can.urfi". B;rrl,eR,.r
739. n6e tipa,;e (ltpaug) ce cexy u ofpazyj.v +eruupu firu (xviiio). Ogpeiytrne yinolc txo je jegaa og tbux Il tiyrfua rrarbu o(J zSupa (fipoja1 o(utu.te utp.t.r't.tti.
l{r yc-loaa 3a1ar(a npol{3[na3lt.l(a cBa rreruprl yrira n.tnoce 12 jcaua-XttX AeIOBa [yHOr yrrla.
3aro je l2a=.160", cr:30o;p--r80"-30", g:150".
C,r. 2
lopan Bacuh, Jq. Vr F. OIII ,/1. Cla:rr6o,rntr", Cep*ul'
C) 3a yuenuxe YI u VII pa3pega
740. 3aueuuftiu tBe?gu,le qurjpa.ua (tuanenxava), itaKo ita 6S,ge Ftatuoltl4oCtceil'e: 38,t. *6: ***.
ilporreoa je qeo 6poj, txro 3raqn ;ra je npsft qBIrrJIaq flpc'ursojla ,]t1,5.
flpoursoA je rpouu$peu 6poj, a ro je woryhno caNlo aro .ie epyrl qlrttt{.qau 16.
'rf'axre' ravan npou3Boa
I:;;t;i;ti;riloi ,r. vr p. oru ,,8. flyrotueurh.., r,yna
741, Ha crt.3 ,puKaian je fipae yiao (ryitt) u r;pytcua.tyt< uuju 4enutap.iefrene (opx) itpa*ot j'ina, a vdl tio.4yilpewur (tio.ryujep) u.v.a g.tlcttu), (gy,r'al.t)lcm. IIz 6u.ro xoje ilaqre I'tyxa AII Koillu.ipyucaue (y Hopf,tarc (oxatu4e) Piv[u PN na ilo.tyilpeunw;c AO u 80. I[qauinuiuu g,vJtcuHy gy*cu (g1,ttcti;te) ivIN.
e _-rr;<_ d--' l, ----
B
M
C"t. -l
MACr. 4
r{eraopoyrao OMPN je npaaoyraoxux, Ma rAe nra6pa:rx ra.r(y P rlatryxy AB. .Il,njarona.ne npanoyraoElrKa cy jeArare ve[y co6ov, na je rpaxenapJx MN jearara gpyroj ar{jaroflzur4 npaBoyraolnra, rj. jeanaxa je nonynper-xnry OP (cx. 4), vnja ayacnxa je, xao urro je HaBeaeflo, jeAxara I cm. Axoje P:A, rtlu P:8, oHAa je nyx MN y crBapi{ noxyrpeqnrrK OA trttw OB unoHoBo je MN: I crr^.
Cona Kpciiioouh, yt. Yl, p. OUI ,,P. IVfurpoauh". 9aqax
r81
D) 3a yueuure VII u VIII pasPega
742. 3a xoje epegnocruu a u b ie gagoeonena jegnaxoctrt:
a2 +b'1:2(2b- 3a)- l3?
.{ara jeaaarocr Moxe ce Hanilca-r}I y o6,rrxy: a2 't b2-4h +6a -r 13:0.Kaxo je 13 :9 +4, aobuheuo: a2 )l6e+ 9 -t b2-' 4b + 4 :0, oitl{ocHo: (a+3): -F
+(b-2)'z:0. Jleea crpaua jeAxaxocrl{ Moxe 6nrr uyla caN{o axo jc al-3:0u b-2:0, rj. aro ie a== -3 vt b:2.
Axcexwuje Toutuh, yv. VIII, p. OIU ,,Ap [. Mnuronnh", qa.IaK
743. Taqre A, B, C geJe KpvwHu4)' ta lfipu gc.ta, uuje ce g)Drc!.tne (g!--murc) ognoce xao 2:3:4. Tanienwe aallte xp),ttctilt4c, iios)'tlcilc S' ulauta.ua A, B,C, ogpellyjy npoyiao (uipoxynt) K[-M. I[tpauynailiu 1,ny4,1Oo*rue yiloee (t'H)'titup-*e xyilieoe) -upoy'i.ta KLM,
flo:rynpe'lruqu OA, OB, OC' i{c;re xpyrHa yrnoBe xojx ce oaHoce xao 2:3:4. Xaxoje s6rp onrx yrrona 360' cneAl{ ra cy ro:4 AOB==80'. 4 BOC--.12A", 1 COA -16{J"(c-.r. 5).
Y .rersopoyr;ry OAKB yrtoau xoA re-uesa ,4 u B cy npaBx, rla je ylao Folr relrciti.tK je.quax 100'' (cyn;rerrrerraN je yrny AOB).CrnqHo, qerBopoyrxoBn OBLC tt OAMC |rua- *.-'iy no as:r npaga yura. florr,rohy max llrpavy- l--a
Har\{o yrjroae Koa -le:\rcr{a L N ltl, na ,rio6xj:rr"to ' '
!a cy ro yrnoBu oI 60' u 20'. 3traqu, :iH)']-parrrlbu yrrroBu rpcyrx a KL M cy : I 00''. 60' n 20'.
llrmg Ciloutul, Y.r. YII P. gff . 5
E) jc vutrtuxe '/ll[ patpeEt
..1,
.Az,v1 o V, //\\_:J-/_+
A I',
C;1. -q
Par*t.rennh". Flli,lrcoau
744. IIo gqtuua ilapa"tc'tkunt Ki1.!at."uluo xpthl' tr gqe Ko.uuozitutri: <7n:tu.r-
aotoea lotaxoaa) je(txa Spyioi l' <'y(pltt. .4ycx'iina (g1'.+,uria) upee xo.+ttiostt4uia jt'll/,75m, a !,v-JKsHu gp-vie ic 130.15m. Mtt:rtttu.ta:qtrae otit.:t;ttu|io;u4tiau;paja:to. ^7je ] .'eril'Hgl.4, AKO t>il ce rio'\tuo]ilrwla Kp('uta.ie ! il(l,t?)t {'$'ep)/, utt}ga oti ijpt''45iuttrtatat gp!,ie og crlipaitc iipee utpaia.itt 28-4 r't'x,sg1ri, Agpegtttttrr 61:tr;tt t' (.1t'hutaqe og
"o.v493at$ja",il"';xuila. rty-ra xojn xortn<r tptriit-i; lrrl*.iil-rfl ar.-r i-in!!cT".ij u{} :li:r-1rtiIIel K;-l MII-
MoHJIa)KerLa jeanar ;c :6i<py .'tyxtlu;r toui;ulrrlxja; s l lCl,?i , I i7,75 248.5 nr.7J
V rrpnov c,'ryuajy HMaMo: ?.43,5:.!,r- 7ii.* iniscc, rj. r', ; v., ?3-7-5 nr;'sec, l-rte cy
!"r u v. 6prnne KoMnoli.ttluJa, a v, I v. frprnna M{Mol{.'laxerLir. V rrpyroNt cly-qaiy je 2+8,5:28.4'- 1,.75 rnisec, : i. I'r -- f.. - I,T5 nr/sec. (Sirrvsa i', teha -ie oli r'..'
-iep npna xoruncrnqsja npecrltxe Apyry.) Peruaaajyhu flo ur H I" cHcl'eM jcaua*ttra
r, , u. -, 73,?5, ),r -r" " 3??5r
r82
ao6nhevo: vr:43,75m/sec lr vz:35m/sec. Axo ose 6pruxe E3pa3rMo y km/hUeAax car unaa 3600 sec), .qo6rheMo: vr:157,5 kmih N vr:l26kmlh.
CeMa Ea+euh, py. VIIIr p OIII ,,7 cexperapa CKOJ-a", Eeorpa.q
745. Iafr je owutap yiao (wurbacuu xytrr) Obc u wattKa A y oiaaclauyita. Hexa je A, iaauxa cuilenpuq*a ca A y og*ocy Ha xpax Ab u A, wavxa cu-uewpuuxa ca A y ogHocy Ha xpax Oc. Ilpaea (upaea4) AtA, ceqe KpaKe gawoayI.oa y trtaqnaua B u C. Axo je B, ilpou3sorbna waqKa KpaKa Ob, pazruuuwa agB, u C, upouseon*a fuaqna Kpat<a Oc, paztuuuuta og C, gorcazawu ga ie o6uuitpoyina (oucei tapoKyna) ABrC, eehu og o6una tupoyi'ra ABC.w 1 v4ee . 4Pv^t4u ) .'etv I ec,z6 vv vvqr?.t
36or cu*rerpNje raqara A u A, y oano-cy Ea npaBy Ob je ABr: ArBu a raxobe jeAB-Ap. Ha cnnqan HaqilH je ArCr:1C, ,ArC:AC. ObNrvr rpoyrna ABC, npeMa roMe,6Nhe je.qrar pyxu ArAr, jep je AB+BC+AC:: ArB + BC + CAr: ArAr. Obuv rpoyrra ,{8,C,je ABr+ BtC, + CrA : ArBl+ BtCt+ CrAr. 36uPly:xt AtBr+BrC,+CrA, npe,4craB.tba Ayxr{Hyr.r3.rroMJ6er{e r'nuwje ArBrC,l' Ilo:uaro je ,uaje xajrpahe pacrojalbe rcMeby Ase raqre jeA-HaKO AyXr{ KOja cnaja re ABe raqKe.36or roraje .qyx ArAryaex Marba oA ayxtfiHe r3rroMJbeHenunnje ArBrCrA, t:tro 3uaqll Aa je o6uu rpo-nunnje ArBrCrA, t:tro 3uaqll Aa je o6uu rpo-ytna ABlCl yner nehn oA obnMa rpoyrna ABC.ytna AB:CI C.n. 6
C,tofiogan lletupoeuh, yv. VIII p. OIII ,,8. Pagnrernh", CeArape
F) 3a yuenure csux paipega
746. Hoequhe ua ct.'7 wpe6a pacilopeguwu xao wuto je upegcaaslbeHo Ha
ct. 8, a,tu ga ce upuutoJt4 ilperuecne cauo wpu noeuuha. Octuatu uopajy ocutafiuua ceojun ,tecmuila,
ooooocoo o-oCn. 7
o^o^o^o oo?o oo-o! -o-o-do-o -o-jo-dCr. 8 Cr. 9
Ha cn. 9je upnxa3aro KaKo ce Bpmu npeMemrarse rpnjy n:abpannx nos.rilha.3opuya Joeuh, yv. VII, p. OUI ,,ILeroru", Korop
747. Iea culapa upujautema, lywan u Huxota, cpet Hy ce uocne auwe'io-guna. lywau ce itoxraruo ga u,+ta ,upu cuHa.
,,Ko'ruxo unajy ioguna?" yuuula Huxota.,,Ilpouzeog (ripogyxtu) ,tluxorux ioguna je 36, a sdup (s6poi) ioguaa ieg-
wx je 6pojy ayito6yca xoju yilpaao upoilasu ,opeg Hac."Huxoaa iioinega 6poj aywofyca u ctexrce par,eHuJila, iep Ha oclo+! u3JloJtce-
tux iiogawaxa nuje noiao ogpegurau cfrapocfr gevaKa.
183
,,Cauo naicfrapuiu og rrlux k '*!:-!1? id\ oooaee flvwaa'
,,3aucfra? Caga s;;" *onu*o 'y caapu-meoii ciHosu"' peqe Huxotta'
Kontxo cv cunpu i;*;;;t; 'i'o"u? {?:? i' Huxora BpaqvHao tosuHe
geuaxa? (foguue gruo*o iip*'H: cy lrpupoglui't 1poieeuna)'
floonrsoA tpn npipil"u 6poia i"r-ox3 6nra ieanar 36 y cleaerurM cny'
qaiesrva: l.l'36, r'z'1e,"'illlrlii't'g' ;a'6' i'2's' 2'3'6' 3'3'4' 3a ceaKn
oa o"u* cnvvajena,.36np ;;;H;1rc.lu*u '0"n" p6qot: 38' 2l' 16' 14' 13' l3'
ll, 10. Hnroau ttl" totuJli" tfr"-"v-opoja^iyro6yca Aa o'apean roAl{ne 'ue-
qaxa. na cnean Aa l" to'3io'ivii:svtisn'i4-tLl-ep cu*o raj r6up ce rolaBrbvle
y asa cryqaja. Kala-je Ayulan-aoaio '4a-5e- cavo'xajcrapljn gerax cue!-' 'Hrr-
rona je u''re[v *otoo"fi'"]fi'e:e; i'i'g vno apvrv' jep ce rv 3Ha xo:r Je
Ae.rar Hajcraprjn tV op"'iti"*Or-i"irr.in-"V.i"u Oritititiqu-crapuja os rpeher
treqaKa. a I(aKo ce cTapocT ',r3paxaBa
y ,,"nn' opo;"g'IMa roAIIHa'..]o.^"y 6n*.
salrqu jeaHaxo crapn)' flpeua^roue' ABa Aerraxa -j 6nnranuu lvajy no 2 ro'
ffi;;ffi;F;p'i,i,io;"iJ''{:::,;:'}r;::,:";:Uffi Hi'i,;i:ffi i.,H"*
SOPSTENJE
U toku protekle Skolske godine'. kao i-raniie' uredni5tvo Matematilkog
lista ielelc je da na *,riii".""il ii.-tu'"'ti*.i sd-;'ii; dlanaka novih saradnika'
ali u tome nije imalo ;i-t;'!+;;t-*;Y taradnlii su se javljali retko ili su
slali Clanke koii po 'uoioiioO'Ziiti
nisu odgovarali ovom listu' Zato i ove go-
dine na stranicama fiU"'i'"f""1jn,"'"gi"*".- efaliLe vee ranijih saradnika' iako
su urednici tista, na or,#i,Til.il""l.iii"ri-'it.:" elunt" tamo-kad nisu imali do-
voljno drugih-nih rubrika lista rubriku ,,zadaci.za proveravanjestedenog znanja
iz matematike" vodile J i?;"'fti:;1';; .,y':y;"- M'^ok i iutiia vukadinov it ;
za rubriku ,.odabrani tuioti'l '-Xontu'sni zadii" bili su zaduZeni llija Mirro-
vit. bIilorad zimonjit t"ii"vuailiii iiiianorit':t"itiru ,,llugradni zadatak" vodio
je Janiiije Davidovit," ,#iii.i ,,liitiririi;lii ; ;u;;; noiunjav ao ie PlatonoDimit'
OBAVESTENJE
1. Ovogodi5nje savezno takmiEenie iz matematike za uEenike naSih osnovnih
skola. koie organizuie i"'"'#iriisiliri-rriatematftaia. fiziEara i astronoma Jugosla-
viie. odrlade ,. u ."ttti'ii"ii i'iJlriil"' u n"atiiii e' e' o' g' smestai uresnika
;'##,;*i;Li;"'oti"r#il"iJireeuaipanaansim*l;*fot::lfjft'"'Jffi *::irrili""ti-u"i"it", kao i organizacione tro5kove ot
iffi i-iir33.,li'il-f-S3;'il:"ri*$iit.. pratiocima, treba da stignu u Koviriaiu u
toku 5.6. o. g.,, tlonoii"ftoii'itii"'n"irtlt"ii"- ao i t"to'" tog dana' Pratioci uEes-
nika. ukoiiko z.r" , *Jlf,i'u""d;;i,'ii"-'-J"ui rtot"rrri smeStaj, treba radi tuga
:iil!;;; t"""p"rii hotela ,,Guievo" u K-oviliaii'
2. Za n;rg,rrde tJ'iiiiii-st"rtkc.eidine ulisnicima koli su se ove gorline
oiltikovali u uEenlu ,"rt#riil" p.i'piirr"icr" sledede kniise nases izdania:
1) J' Pereljma"t l,7tii*rjii"-g"ot"tti;"" (284 str" 80 din')
ii i. p"'"ri**, :iA;iliil iitmetrtri ' ll3$iil-f|t1"Xfi;uf$ltft] ,'.,
ii V. -stli'j"""id:
,,odabrani zadaci sa m:
40 dio*oiin" se nilogu porutiti oilmah, s
-tim. da se isplate na kraiu Skolske godine'
kada se ti Etotama kupuiu nagrade za ucemKe'
SPISAK RESAVALACA KONKURSNIH ZADATAKA KOJI SU RESILINAJMANJE PO pET T,ADATAKA tZ ML XVII, l-5
(Zbog nedoslatka mesta u ovom broju ML objavljujemo Samo imena reiavalacaiz VIft razreda, dok temo imena ostalih reiavalaca objafiti u prvom narednom
broju ovog lista.
VIII rarred. Aiderpalid Senade, OS >M. Miljanov<, Titograd 690,693, 694,703-705,717.718, 72li Aleksid Violeta, OS >L Cundulii(, Bcograd 694,703,701, 708,634; Andti6 Deien, OS >Ka-rattorde<<, Beograd ?04, 708, 7f8, 72O, 72li Anti6 Linde, QS >I. Gundulii<, Beograd 694, 695,7O3-705, ?08, 718, i24t Alenin Svetlana, OS "M. Miloscvid Copo<, Mrdajevci 703-?05, 7O7,7O8,718iBabid Biliana, OS >M. Kosovac<, Sabac 703,704,706-708; Balvid Selme, OS D7 sekretara SKOJ-a(,Bcograd 69 1 , 693-695, 703-70-f, 71 6-7 1 8, 720, 721 , 729-732, 742-744, 746; Bekovid Trnir. OS>I. Gundulii<<, Beograd 693,694,703,7M,706, ?08,718,721,734,742,743,?46;BegovidVledrnkr.OS >I. Gundulid(, Bcograd 693-695, 7O3, 7o4, 7O8, 716-718, 721. i34, 742, 741, 746; BhcoierifJovan, OS r[, Cundulii(, Beograd 693, 694,7O3,7M,7O8,718, 734,746;-Bhgoierid Mira, OS rl.GundufiC<<, Beograd 693-695, 703, 704, 7O8, 134,746; Bcenin Suzene, OS >I. Gundulii<<, Beograd693, 694,7O3, 708, 717,718,72O,721,734, 743, 746i Brnzer Tenir,_OS r>Beljska mladost<<, Knc-zevo 693-695, 7O4, 7O7, 708, 617-718, 72O,i2l: Cvctiqovid Dcien, OS )Karadorde(, Topola, 703-7O5,797,708, 716-31_9, 720,12li Cvetkovid Ljubifu, OS >I._GunduliC<, Bcogred 693,694, 704, ?08,746; Corkovi6 tlko. OS Draeodai 703,7(X,70S,720,72t; Coloke ^Varinel, OS >rl. maj<, Vladimi-rovac 693-695, 704,7O7,718-721i Cukenovid Rrdi5e, OS )rD. Jerkovi!'(, T. Uricc 703, 704, 706,7O7,716-721,729,731-734,742-746i Dritmgn Bolidrr, OS >Grm(, N, Mesto 703, tU,ZOi,l,c,A,716,718,72O, 721,743,746,747; Drmjen Lidiie, OS DJ, Popovid(, N. Satt 703, 7O4,7O7,708, ?16-718,721; Delevski Yladimir, OS DMralj. bataljon(, K-raljelo 690, 693-695, 793,7O4,7O7,708,716, 717, 120, 721, 729, 733, 734; Dimid Alekmndre, OS >I. Gundulid(, Bcograd 693,694,7O3,7O4,7O8,721,734, 743,746; Dimovid Drasene, OS DB. Radiecvii<, Beograd 691,693-695,716,718,721',734; Drsgovid Vesna. OS Dl, Gundulid(, Bcograd 694,695.70J,704, ?08,734,746; Drrgrtingyid Mr-riir, OS DI. Gundulid(, Bcosrad 691, 694,707,704, ?08, 717,718,727;Deri6 Du5enka, OS DJ. Po-povic<, N. Sad 70-1,'104,7i7, ?08,718,12O,721,729-731,734,743,744,746; Dor-devidBobsn,Os>Karadorde<, Topola 690-695, ?03-705,7O7,708,716-721; Dordcvid Bretislevr, OS_)1. Gundulid((,Bcograd 693,694.703,7M,717,719,721,742,743,746,747; Dordevid Olivere, OS >S. VeljkovidZele(, Bojnik 693-695,703,704,7O7,7O8,716-721,730,731,733,734; Do-rdevi6 Zoren. OS r>J.
Gundulii<, Beograd 693-695, 703. 704, 7O8,721,746,747: DuriCid Zoricr, OS >I. Gundulii<, Deo-grad 693-695, 703, 704, 734, 746; Ferenlid Vesne, OS rI. Gundulid(, B€o8rad 693, 694, 7O3, 7M,7O8, 7l;, 718, 721, 734, 746, 747; Filipovi0 Alcksender, OS DL Cundulidrr, Beograd 693, 694, 703,7Zl, 734, 746; flander Liubo, OS rSpomcnik NOB<<, Cerkno 690, 691, 693, 695, 703, 704, 729-731iGalin Zoran, OS 2I kongres USAOJ-a<,Bihad69l.693-695,70J,704,707,708,716-621,7D-731;Gavrilovid Ane. OS DM, Kosovac(, Sabac 690,691,693-695, 7O3, 7M, 706-708; CiJic Nenad,OS >I. Gundulid(. Beograd 693, 694,718,72O,721,74J,746,747; Globgrevi6 Trnia, OS )M. Mi-ljanid(, Titograd 690, 693, 694,718,721; Gocev Dregen, OS )I. Gundulid(, Beoerad 694, 695, 703,1O4,7O7,708; Golid Denijele, OS >1. Gundulid<<, Bcograd 693, 694,7(X, 708, 7l8l 721,734,746iGordi6 NateSa, OS DD. Jerkovid(. T. Uzice 716, ?18,1tg, ZZt; Grelanin Rmko, OS >I. GunduliC<,Bcograd 694, 7O3, 704, 7O8,734: Grubor Senie, OS r'1. Gundulid(, Beosrad 693. 694, 7O3, 7(X,-708,734,743, ?46; Guconiid Zonne. 05 rM. Kosovac<<, Sabac 703, ?o4, 706-708; Hrmk Roia, OS >S.Markovid<, B. Gradiste 693-695, 7O3, 704,7O7, 7O8,729, 733,734, 742, 743, 746, 74?; HonrtDora, OS 25. Markovid(, B, Cradi5tc 693-695,7O3,704,7O7,7O8,718,721,729,733,734j lli6Snelma, OS DI. Gundulid(, Bcograd 693, 694, 70d..7O8,742, 743, 745-741i Igniec Drko, OS >8.Radieevii(, Beograd 691, 693, 6t4,717,71E,721,734|' lsrilovid Gordene, OS )M. Kosovac<, Sabac691, 693, 694,7O3,704,-706-708i lvrnovid Deiu, OS >1. Gundulid<, Bcograd 693-695, 7O3,7M,708; Ivanovid Mariie, OS DI. Gundulid(, BcoSrad 693-695,72O,721,734,743.746;Ivnouit.Tnrtn,OS )8, oktobar(, vlasotince 703,7U,706,7o8,716-721) IvkoJid Nrtrgr, oS >C. Milosavljcvii(,Pecka 694, 7U, 7o8,718,72o,721,734i Jedimovid Predreg, OS DI. Gundulid(, Bcograd 694, 695,703, 7M, 7O7, 746i Jsniid Mirianr, OS >L Gundutid<(, Beograd 693,694,703,704,706,708,734,742,743, 746i Jrnjid Rade, OS >I. Goran KovaEid<<, 7*nica 691-695,7O3-7O5,707,729-731,73f,7341Jerem lvene, OS >Spomenik NOB(, Cerkno 690,691,693,703,70d.,716,719,721,729-731,744'745; Jevrid Tatianr, OS nM. Kosovac{<, Sabac ?03, ?04,70G-708; Jezdimirovid Jclice, OS DM. Ko-sovic<<, sabac oso,'ogt, 693-695, 703,704,706-iOS, irc-12t,729-733; Jotid Otiverr, os >D.Jak5id(, Paradin 7O3,7U, 1O7, 716,721; Jovenovit Senig, OS _DI. Gundulid(, Bcograd 693-695,704,706,717,721,731,734,742-747i Jovrnovid Vlestimir, gS >1. Gundulid<, Beograd 694,695,7O3,7C4,7O7,716,734,746t Joviti6 Anica, OS DV. Karadtid<<, Srcmtica 693-695, 7O3,7M, 7O8;Krmdevid Kseniie. OS )r22. oktobar(, V. Mono5lor 703,704,706-708,716-718,72O,721'729,73O:Knclevid Dragan, OS >V. Dugo5evid<r, Bcograd 7O3, 7M,706,7O8,716-721; Iloii6 Vera, OS >M.Kosovac((, Sabac 690,691,693-695,7O3,7(X,706-708; XoveIevid Liilimr. O,S >D. Jerkovid(, T.ULicc 691-694, 7O3-7O5, 7O8,716-719,721,731-734l' Kovrlovrd Tetiur, OS >I. Gundulid<<, Bco.3rad 694,595,703,704, ?08,721,734,743,746l, Xnric Joie, OS Dspomcnik NOBr<, Ccrkno 690,
185
duli6". Beograd: Railoievld Zofica' Oq,,1!: 6uld*ulic", Beograd; Ranhovid Jelena'
o$ ,.1. Cundulie", neogric, n"ii"i Ziiltgr .oS "l' Cuncluli6"' Be''rsrad; Savid
;;;il;. oS--i. rasic'i Gsni"": Savic'Mirlanr, oS "D'- Jerkorii"' T' UZice:
il;iii;i"ffi#:bS.:i. r"Ie:;-'f".."i.r: Staniovictolaja. oi ..o. Petrov-Rediiic"-
Vr5ac: Stevid Vladan. OS ''.f
. Cunduiic ' .Be-oFriid; Stoianovid Ana. ()S^"Dr D'
iiisl"r;iJ,b,il"k;Ti;il"fi*"i"tiu", GS ,.i. Crinduiir.-' lie.rgrad: .Strhac orhideia'r)S .o- Perrov Radiii5';. V;;;a Petravid vesna' OS "l Cundulic"'-Beograd'V;'.;;'ic illi;", cr3-,i.'e"aiic'.- Prarsani; veskovii volimir' oS "l' Gundu-
rii.:.T'.,*ria; nlin"ie 'R*aoito, OS ',lu' Ivanovic"' Studenica'
VII razred. Arsencvi6 $ranko OS ,,C' lvlilosavljevii"' Pecka,:. Ballnt l\larta' OS
.:i. i,t";;;;F,.'i. c*axi.; s"si,iiii lteian. oS ,'I' Gundulic"' Beograd; cvlie-
irnovie Velibor. os .,v. pliier:,?.";"",'-diiire vii"' os "R' Mit-rgvic"' ta"ak;'d;"ffi;'ffi;,'-c;S'".oi-1;.'tntiion;.'. dadar: Grkovic smiliia, OS.,,l. CuIrd,tr.'
;il'ri;"il[-'Iirrit S"tiia,-OS ,.V. Viahovic"..Grsdaiac: Joranovid 'fania' CrJ
..i.'p"ltSilfivit! pinki,., 3]ivritioii.u; t-onfsrcvi6 Jetena. o$-,.I. GunJulri." bc-
oerad; Marjanovic RuzicJ, 6$;,d."]";kovii"., T-uzrce; l\{atir 'tan!a, os .,8.
;i:.;il",;;l'B-ograa: Mit'nili ilenlta. oS ,'Spon.renik N'JB"' (lerknor Mosu-
;;;ii;ii;;",bS",,v' p.?i.''vutt.''i'-piijtpoijc;'Flavsiq smila' u5 "f' Milosa'
vlievic". Pecka; Radole;J i;;t; ciS "il' qt'totut"' duprila; -.Radoniid .voikan'6S::L'M'-'-,*ln', C;;ot: niitie riaip, o-5. ',8' Radicevic"' Ileograd; Radova-
n'.i"ii-i.rnr, oS ';8. fuoii."lF;,-stogiui; Risti( J:rsna' oS "I' Gurr<lulii"' Beo-
srad: Senit Drago, oS ,li. cu"oJit;:Ceograd;..Simii Biliana-'.OS "C' Milosav-
Iievii.,, pecka; Sabanorii'brlri,'oS-.,1.-c,inouticl;--[;d;;;; UroSevrc Zorun.oS
.]t.'rtrllii"[i"tc;, p.tt", vutie ;tl"o', o.! .'I: Radicevic"' gsogradi Vukiievid
i;;;'oS-,:i1- cunou-rijli' tsG;gi t;iovid liulan' GS "Karadorde"' Beogrcd;
Zivanovid Jasmina, OS ,,1. Gunduiii" tseograo'
VIII razreit. Delayski vladimir" os lv kraljevalki balaljon", Kraijevo: Deki6
oi,s"iii."c,S i:-i';;"'ii;.'Fi.'sid: uorfe'ii.Boban, oS ,'Karatli''r-.tle"' Topolar
ffiffifi.'oilr;;, os,,s. v.i;r.*tg zete," tsojniki F{anak sioza, _os..-s_.-Marko-ri(.., B. Gradi5te;
"o.rii ri"z'u,''o5 ;;i. M",k-J'ii;:.-n--di"oiiG:'"laniid Rade' oS
:,i. b;;";'C;;"lie.;- z""i."l-j*i"*'i'"n, o5- _..Spo*enik NoB", cerkno: Krs'
manovi6 Jovanka, os ,';:"N;#l--irtuetua; Llacld rat;an1' oS "l''t.- locoviiOzren", Paraiin; Niliolii-'Sianka, bS r,4 Jerkovii"' 1" Uiice; .Pet*Igl Renata'
6$;il";tk--i.l-o- ;,-c"*."i, 1i6p'viri'vatentina. c)s..A. Saviic", vaijev.; Ra-
dovid stobodan, os ,,8. i"oli"ric-[.r.grad: Radorid vlasrimir, 0!..8_-Radia'e\id'.'
Beograd; Ran6if Alct+sanilar, ilS -i. ioia Ribar^, Babuinica: Rcjc Bogomir' OS
.,spomcnik rqon.., c.rilni;' nisrii, Jorira, ^o5 Jezerski; Ruiiiid Miroslava, os
..Braia Vilotij.ti.", x.uljJio; limovi;c-ril.Snciana, OS "B' Falkovlj-evic Pinki'"
s. Mitr.ovice; srlusar s;'"i;:'ds',.ii.'H."gir.'o;4.., 'n.osiad; -Tabid Liiliana, os
..M. clitii", valjevo; i"iii "rrotiitLa' OS="2'.Zrenjanin"' vrsac: vurkorii Si-
iiii, 63'ir.'*.j:'; ;',t narJ"'id Bitiana, oS ',v' Redun.vri''" lvangrad'
POSEBNO su sE ISTA4r,r u RESAVANJU -KONKURSNIHz.lnAr,Lx,q. utnnrcr SLEDECIH srol,'q'
OS I. Gundulid.., Beograd; OS e. Nlitosavlieri6", Pecka3 Qf ,,spomenik NOB"'
Cerkno: OS ,,O. Petrov Radilid", VrSac;,OS ,'B' RadiEevi6"' Sedlate; OS "R'i{"#;i;t"t"ri; oSl,o.l-.,rr"rid,., tr, i-lx".loS,,n. Ra3iievid", Beograd: oS
,,J. popovid*, N. Sad; bS'"5.'fiiiittrie.., b. Gradi5ie; OS ,,P. Trsid", LeSnica.
190
_-____--------
ZANIMLJIVOSTI I RAZNO
MAGIEN.{ KOCKA
Cak i mla<li udenici osnovne Skole obiCno znaju pone$to o magiinim kva-dratime. To su kvadrati izdeljeni na ny.n kvadratnih polja u kojima- je upisanpo jedan broj (obiCno od I do r?, na kakvim iemo se mi ovde i'zadiiati),tako- da zblJ _syih brojeva iz svakog reda koji je paralelan stranicama dal()gkvadrata, ili leii na njihovim dijagonalarna, predstavija isti broj. Od njih sunajp<znatiji lzv. ,,magidi kvadrat treieg reda.. (sl. l) i jedan od 880 mbgudihmagidnih kvadrata detvrtog reda, tzv. ,,Direrov* magidni kvadrat detvrtog reda..(sl. 2) koji, sem navedenih, ima i ditav niz drugih neobidnih osobina.
st. 2 sl. 3
Ti i takvi kvadrati su vei odavno poCeli zanimati matematidare i o nji-ma je bilo redi i u na5em listu (videti ML XIII, 3-4 i ML XIV, 3). Nei<eod posebnih osobina Direrovog kvadrata mogu otkriti i sami ditaoci.'
Meilutim, u vezi sa magidnirn kvadratima postavilo se pitanje: moie lise, moida, nadiniti i tzv, magiina kocka, tj, kocka izdeljena na ,rxnxa manjihkocki u kojima bi bili upisani brojevi od I do n3, a- koji bi imali osobineslidne onima koje imaju brojevi iz magidnih kvadrata. Ti brojevi bi trebalo dapu_{u., dlkle, tako rasporedeni da zbir brojeva iz svakog stupca sastavljenog odjedinidnih kockica (horizontalnog ili vertikalnog) koji jE paralelan kockinim ivi-cama., kao i onih brojeva koji se nalaze na njenim dijagonalama, predstavljaisti broj, - Prema tome, red je o tome da li se moie naliniti, recimo, kocliakoja bj bila izdeljena, na primer, na 27 manjih kocki (sl. 3), u kojima-bi biliupisani brojevi od I do 27, pa rasporedeni tako da zbir brojeva iz svakog odg_kup-no 27 moguiih stubaca, odnosno sa svake od 4 (velike) dijagonale, iinosi{l ..2+ . .. ... +26+27):9:42.
Da takvu kocku za n:2 nije moguie nadiniti, lako se uvitta. To bi bilakocka-sasiavljena od po 4 dvodlana stupca koji bi sadrzavali sve brojeve odI do 8, tako da bi zbir brojeva u svakom stupcu iznosio (l+2+... iZ+S;::4:9. No, ako se ovi brojevi rasporede tako da, na primei, zadovoljavaju po-
--Alb*h, Dire-r,(A-lbrecht D0rer), nemadki slikar i gravcr iz 16. veka, ostavio je za sobomslrlu sa naziyom ,,Melanholija., na kojoj je, pored ostaloS, predstavljcn i ovaj kvadrat,
l9l
ozia6lat
stavljeni zahtev u vertikalninr stupcima, oni neie moii zadovoljiti taj isti zahtcvu horizontainim stupcima. Isto tako se moZe dokazati da sc ovakva kocka ncmoie sastaviti ni za n:3.
sl. 4 sl. 5
Medutim, pokazalo se da se ovakva kocka moZe sastaviti za n:4, i onaje prcdstavljena (sa tri svoje strane) na sI.4. Zbir brojeva koji se nalaze u sva-kom stupcu iznosi u ovom sludaju (l+2+......'i-63-164):16:130. U potpu-nosti je raspored svih brojeva u ovoj kocki predstavljen pomoiu 4 njena hori-zontalna preseka na sl, 5, 6, 7 i 8. Posmatranjem datih preseka vidi se da sena dijagonalama date kocke nalaze brojevi: 13,39,26, 52; 16,38,27, 49; 61,23, 42, 4; 64, 22, 43, l. Prema tomc, vidi se da i zbir svih brojeva sa svakeod kockinih dijagonala iznosi 130.
5l t0 6 63
30 sgl, ts 18
lr6 23:27 31
3 58 51 l5
sr, 6 st. 7 sl. 8
Ovakva kocka mole biti - kao, uostalom, i magidni kvadrati - isko-riSiena iza izvesnu vrstu razono-de. Mogu se, na primer,'nadiniti od drveta iliod plastike 64 kocke, obeleZene svaka sa po jednim brcjem od I do 64, pa semoZe predloZiti nekom da ih sloZi u magidnu kocku, ne znajudi za ovde veiprikazani raspored brojeva, To bi dotidnom, istina samo vrlo tesko moglo poiiza rukom; ali ako se nadine od drveta samo 8 kocki od kojih svaka predstavljapo jednu osminu pomenute magidne kocke (tako da svaka od njih sadrZi po 8jedinidnih kocki) i ako se na svakoj od niih napi5u brojevi koji pripadaju od-govarajuiim jedinidnim kockama, onda se od tih kocki moZe vei znatno lak5esastaviti magidna kocka.
192
!)
t3 136 | 2A 60
lz,r,
13lss-_1--36 12 5--+-20 lt,t-+-61 | 8 491')
+-I
50 t1 7 t62I
32 38 12 19
17 22 26 35
2 59 55 t1
t 5 I 53 57 1
331,28 2/, 1s
/r4t7 40 29
61 5 9 52
OBAVESTENJE
Zbog nedostatka mesta -u.
oygm broju rista, rezurtati konkursa za nagradnezadarke br.76 i br.77 bice objavrjeni ter. u iJu?.m-;;;j;^n;il'il?'ilerua.dobitnicima biti dostavljene ve6 do- traja ove Skoirk" ;;;;.1"'
Nagrade reiavavcima ,kriprogramd,.koji su na vre.me posrari ispravna reienja,moti temo, iz tehniikih razrog6, a-a posirieio-tei- sa imeiim i"*iiiiiiii,.
Uredniitvo
ISPRAVKE
f. U ML XVI, 4 potkrale su se sledede gre5ke:Na st,ani 108, u zadatku 2, stoji a<b, keNo i k+0, a treba da stoji:a, b, keNo i b+O, k+0.Na strani 108 zadatak 3 treba dopuniri na: a) (955,35g;+. .. . . .;b) (327, 128, 824)!+. . . . . .
Na strani ll0, u zadatku 3, skup A tteba da bude zadan ovako:
e:{xlxeen(,_(+):*)lNa stranai ll2, u zadatku l_d), mesto R2 treba da stoji .R.
.. 2. y ML XVI, 5,.na st^rani.l3g, u Eetvrtom redu (od dole), treba dastoji ,,Zanimljiva geomerrija.. 180 din.).lzvinjavamo se zbog ovih propusta.
Uredriitvo
OBAVESTENJE
Kao I ranijih godina, Drustvo matematirara sR srbije organizovade u jurumcsccu ovc godine, u tetovatiltu_,,Suplja stena.. kod Beoerada, diriiiiiiii-titoirr"Letnje nkote mtadih matemotitira 'zi one oc"nir,e toii ;iir;il;l;d.ruiu ,"matematiku. Telajevl de se odrZavati:
l-I0 jula zr utenike VIt I VIU r. osnovne Skole;ll-20 ,, ,,2l-30 ,, ,,
,, V iW ,' ,r ,,,, Ikola srednieg usmerenog obrazovanja,
Na ovlm telaJevima, u toku.E dana, odrZavajude se svako pre podne po 3rasa predevanja i veibi iz mat_ematike pr.ir" -oaia.nom programu rada, dok jeostato vreme predviireno za rekreaciju itenil a.- s"atri--p"tfiri'i Jiitii?li" iuprc{vlden za jednodnevni izret, a svaii rreseti za oa.zavairje ,"oso" pi-iiuii". s,ooStaj urenlka le u trokfevetnim sobama, a ietJvafiste .esp6r"le ,portiiin-teienin aI lcpim bazenima za kupante.
cena za desetodnevni- boravak na tecaJu sa pansionskim usrugama ie 3200din. za urenike osnoyne skore_ i 3500 ain. za irenir;-;;;i;ilil;il'iiJiJnJ'p.ii"r"p_rlmaju se do 15.6. 1982. g. obavestenjrna tereion (0lr) 6i-E-r;J;'upi"i, n"'"or.r"f)rultva matematurara sns, neog4d; xoe"-rvrliiiloi" lslrV.'ni.-ii.o-i"tuo"60806-678-7-78700, sa naznairom ,,Ze ietniu Sk;il..
