Matematicki list 1980 XIV 5

7/22/2019 Matematicki list 1980 XIV 5

http://slidepdf.com/reader/full/matematicki-list-1980-xiv-5 1/18

OBAVESTENJE PRETPLATNICIMA

l. UredniStvo poziva nastavnike i pr.tfesore nratematike kao i ostale ditaoceda Salju svoje priloge za list:ilanke, odabrane zadatke, zildatke sa prijentnih ispitai matenratidkih takmidenja, razne zanimljivosti. PoZeljno je da svi rukopisi (osin-rudenidkih re5enja zadataka) budu pisani pisaiom maSinom, s proredonr- Rukopisise ne vradaju.

2. Malemaliiki /isl namenjen je svim uienicima IV--VIII raz. osnovne Skole.List izlazi 6 puta u toku Skolskegodine ito l. X, 15. XI, 1. I, 15. ll, l. IV i 25. V"

3. Godi5nja pretplata (za svih 6 brojeva)' iznosi 44 dinara. Narudiocrnra za vi5eod l0 konrpleta odobravamo rabat (20'1, 157;. l0%), zavisno od roka do kojeg se

isplati celokupna pretplata (1. XlI, l. III, 1. VI), Nikakvi drugi odbici ne uvaTavaju sc.NarudZb:ne se mogu vrSiti samo pismenim putem i 5alju se sanlo neposredno

na adresu lista. Novac za sve narudZbine se Salje na iiro-raiun Dru5tva matemati-iara, fiziiara i astronoma SR Srbije broj 60806-678-10766, Knez Mihailova 35/lV,sa naznakom za Matenatiiki list. Pri tone treba obavezno navesti tainu udresuna koju list treba dostaviti i jasno naznaditi na Sta se narudZbina odnosno uplataodnosi.

Narudibine na manje od 10 primeraka lista isporuduju se samo po izvrScncrjpretplati. Ostale narudZbine treba da budu isplaiene najkasnije na 90 dana poprijemu prve isponrdene po5iljke, a u svakom sludaju najkasnije do 31. V 1980. g.

Obaveitenja se mogu dobiti preko telefona redakcije, br. 0ll-638-263.4. RaspolaZemo kompletima lista iz Skolske 1968 169. god. (br. III, l--5),

5k. 1969/70. sod. (br. IV, 1--5), Sk. 1970171. god. (br. V, 3 i 4), Sk. 1971 112. god.(br. vI, 1-5), ik. 1972173. god. (br. VlI, 1-5), Xk. 1973 174. sod. (br. Vlll, l-5),!)k. 1974175. god. (br. IX, 1-6), 5k. 19751'16. sod. (br. X, 1-6), lk. 1976177. god.(br. XI, l-6), 5k. 1977 178. god. (br. XII, l-6), Sk. 1978/79. god (br. XlIl, l-6).Od ovih godista prodaju se: godista IIl, IV, VI VII i VIII po sniZenoj ceni od 15

dinaraza komplet,godiste V po ceni od6dinarai godiite IX,X,XI,XIIiXIIIceni od 20 din. Zbirka re5enih zadataka sa matematidkih taknriicnja udenikaosnovne Skole moZe se dobiti po ceni od 20 din.

5. Mole se poverenici Matematiikog listada izmire sva zaostala dugovanja.

6. Sve priloge, primedbe i narudZbe slati iskljutit,o na adresu:

Matematiiki list, Knez Mihailova 35/IV, p.p. 728, ll00l Beograd.

SADRZAJ

1. V. Mii'ii: Jedno pokrivanje trouglova i detvoruglova krugovima ......2. M. Zivkovic: Jedan nadin reiavanja jednadine prvog stepena sa dve

nepoznateuskupucelihbrojeva .........:..

I

I

Ii

ti

II

il

t\Ii

'j{

MATEMATIEKI LIST

ZA UCENIKE OSNOVNE STOTE

XW

5

3. Nagradni zadatak

4. D. Miloievic: Igra >Viktorija<

-

jedna primena permutacije

5. Zadaci za proveravanje stedenog znar,ja udenika .. .. .

6. Odabrani zadaci .

7. Konkrusni zadaci. .

8. Matematidka razonoda

129

135

138

139

t43l5l153

160

BEOGRAD1980.



sAvEZ DRUSTAVA MATEITATT_qARA, FTZICARA I ASTRONOMAJUGOSLAVIJE

MATEMATICKI LIST

za uienike osnovnih Skola

God. XIV, broj 5 (1980)

Izlazi Sest puta godilnje

IZDAJE DRUSTVO MATEMATLCARA, FIZTCARA I ASTRONOMASR SRBIJE

Beograd, Knez l\lihailova 35/IV, p, p.l7Jt.

Urcdnici:

platon Dimit i Miroslav Zivkovie

Rcdakcioni odbor:

BogumilaKolenko (Ljubljana), dr Zetjko pauie (Zagreb),Kosta Mijatovri (Sarajevo), Danilo Stepanovrc (Titograd),

Duiko Kovaier (Skopje), Velimir Sotirovit (Novi Sad),Vladimir Stojanovii (Beograd)

Glavni i odgovorni urednik: Miroslav Zivkovie

Sva prava umnoZavanja, preitampavanja i prcvodenja zadrtavaDru5tvo matematiEara, fizilara i astronoma SR Srbije

oslobodcno pladanja porcza na promct na osnovu resenja Repubtidkog sekrctarijataza kulturu SR Srbije br. 4t3-186-03 od ll. l.19i3. godine

S".p" B*er"drleogradski izdavadko-grafiCki zavod, S.og"d, Bul. vojvode MiSiia br. lZ

Iladimir Mi6i6 (Beograd)

JEDNO POKRIVANJE TROUGLOVA I CNTVONOUGLOVAKRUGOVIMA

Cesto se u svakodnevnom Zivotu nalazimou sit'Eciji da ne5to nedim pokrijemo (kaZe se i:prekrijemo); podsetimo se samo problema dase rupe na laktovima dZempera ili kolenimapantalona pokriju popularnim )zakrpama(,

dase mrlje od mastila ili masne mrlje na koricama

lvezaka i knjiga prekriju raznim nalepnicama.Pojam pokrivanja na5ao je svoje mesto i umatematici; tu je on strogo definisan a po-krivaju se razni skupovi, figure pomo6u neicihdrugih skupora ili figura.

U ovom dlanku_posmatrademo skupove tadaka u ravni; u daljemtekstu kad kaZemo skup uvek podrazumevamo da se radi o skuputadaka u ravni. Pretpostavljamo da su nam poznate osnovne geometrij-ske figure u ravni : krug, trougao, Cetvorougao. Da bi se izbegli moguininesporazumi, po5to iemo se koristiti pomenutim figurama i njihovimg.ranicama, upotrebljavademo redi kruZna linija, trougaona linila idetvorougaona linija za imena granica kruga, trougla I detvorougla;prema tome je

krug skup tadaka u ravni koje se nalaze unutar kru?nelinije- ili-na -kruZnoj

liniji, a sliino vaZi i za trougao i Cetvorougao. Akose-od neke figu-re odstrani (oduzme) njena granica, dobijamo o-dgovara-juta otvorenu figuru; da bismo na slici oznadili da se rldi o otiorenoj

OO;ff*i$#ffi,-''#?*'sl. lh Sl. lb trane figure.

- D.e f in i ci j a. Neka je S ograniden skup. Skupovi pyp2,...pnpglcriylju skup S ako i samo ako je skup S sadrZan u njihovojuniji, dakle, SCPTUPzU . .. UP.

_ _--_S_aglasno ovoj definiciji trougao ABC pokriva EetvorougaoMNPQ, detvorouglovi AQ1C1D1 i A2B2C2D2 pokrivaju krug .I( dokdetvorouglovi APrCrDr, A2B2C2D2 i A3ByC3D3 ne pokrivaju trou-gao MNP, na slikama 2a, 2b, 2c.

t29



:/Mre@\- 82

Sl. 2a st. 2b Sl. 2c

1. U Skoli smo naudili da je periferijski ugao nad prednikomprav. Ta je iinjenica sadrZana u tvrdenju slede6e, znatno op5tije teoreme,koju demo sada dokazati.

T e o r e m a. Neka je duZ lB prednik kruga r(, kruZna linija kgranica kruga K i neka taEka C ne pripada pravoj AB .Tada vaLi:

l" tadka C pripada kruZnoj liniji k ako i samo ako je ugao4ACB prav;

2" tntka Cje unutra5nja tadka kruga K ako i samo ako je ugao

{ACB tup;. 3" tadka C se nalazi izvan kruga K ako i samo ako je ugao{ACB oitar.

Dokaz. l" DokaZimo prvo: ako tadka C pripada kruZnoj liniji /<,

onda je \gao 4ACB prav; to je, u stvari, pomenuto tvrdenje o perife-rijskom uglu. ObeleZimo sa S centar kruga K. Imamo da je trbugaoISC jednakokrak jer su duZi l.S i CS podudarne; odatle sledi da je,uz oznake upotrebljene na slici 3, pri demu su velidine uglova merenestepenima,

Dokaiimo sada: ako je ugao 4ACB prav, onda tadka C pri-pada kruZnoj liniji k. Pretpostavimo suprotno da tadka C ne pri-pada kruZnoj liniji k. Onda postoje dve moguinosti: a) tadka Cje unutra5nja taEka kruga K; b) tadka C se nalazi izvan kruga K.

DokaZimo da nijedna od ovih mogu6nosti ne moZe biti ispu-

njena.a) Ako je C unutra5nja tadka kruga

K onda prava AC sede kruZnu liniju & u

nekoj tadki D (sl. 4); premaved dokazanom

pod l" ugao 4ADB je prav pa je u pravo-uglom trouglu BDC ugao 4BCD maniiod pravog ugla, odakle sledi da je njemusuplementni ugao 4ACB veii od pravog

ugla, Sto je suprotno pretpostavci da je

ugao '\ACB prav. Dakle, tadka C ne

mole leiati unutar kruZne linije k, od-nosno, nije unutra5nja tadka krpga K.

b) Ako je tadka C izvan kruga K, onda prava AC ili prava BC

sede kruZnu liniju k u nekoj tadki D koja se nalazi s iste strane prave

AB s koje se nalazi i tadka C (sl. 5). Neka, odredenosti radi, prava

sl- 4

SI. 5

c*2 9: l$Qo,

Na isti nadinIje

{:90'-VF va,po5to je or+B:180", to konadno do-bijamo da je g+{:99", dime je na5etvrdenje dokazano.

130

2' DokaLimo prvo: ako je taEka C unutra5nja tadka kruga K'onda je ugao 4ACB tup. U tom cilju moZemo se posluZiti slikom 4

i zatljueaf je, u stvari,- ve6 izveden prilikom dokaza tvrdenja lo,

sludaj a).

DokaZimo sada: akoje

ugao 4ACB tup; ondaje C unutra5nja

tadka kruga K. Pretpostavimo da taEka C nije unutra5nja tadka kruga

K. Onda tadka C pripada kruZnoj liniji & ili se nalazi izvan kruga K.

Ako C pripada liniji /<, onda je, prema dokazanom, ugao {-ACBprav, Sto-je suprotno pretpostavci da je taj ugao tup. Ako se tadka

AC sele kruZnu liniju k u tadki D. Ondaje, prema dokazanom pod 1", ugao i.ADB

prav, pa je u pravouglom trouglu BDCugao 4DCB o5tar; taj je ugao jednak

uglu i.ACB, koji je po pretpostavci prav,pa nije mogu6no da bude o5tar. Dakle,tadka C se ne moZe nalaziti izvan kru-ga K ako je ugao i.ACB Prav.

Na taj nadin smo dokazali: ako je

ugao i.ACB prav, onda tadka C pripada

kruZnoj liniji /<.

e:eoo -+".

.

st. 3

l3l



C nalazi izvan kruga K, onda se moiemo posluZiti slikom 5, i naisti nadin kao je to udinjeno u sludaju l"b), zakljuditi da je ugao4AQB o5tar, Sto je isto tako suprotno pretpostavci da je taj ugaotup.

Na taj nadin smo dokazali: ako je ugao {ACB tup, onda je Cunutra5nja tadka kruga K.

Time je tvrdenje 2o dokazano.

3'eitaocu ne6e predstavljati teSkodu da sam dokaZe tre6i deo

naSe teoreme.

Posledica. Neka je dui, AB prednik krugaKi neka tadka Cne pripada pravoj AB. Krug K pokriva trougao ABC ako i samo akoje ugao 4ACB ili tup ili prav.

2. Dodelimo proizvoljnom trouglu ABC krugove K1, K2, K3 dijisu prednici, tim redom, stranice BC, CA, AB trougla.

P r i m e r l. Dokazati da bilo koja dva od krugova K1, K2, K3pokrivaju trougao .,{.BC.

Reienje. Po5to su sve tri stranice trougla ravnopravne a samimtim su ravnopravna i sva tri kruga, to moZemo, ne naru5avajudiop5tost rasudivanja, dokazati da krugovi Kr i K2 pokrivaju trou-gao ABC.

Neka prava h prolazi kroz tadku C i normalna je na pravu AB.Oznadimo sa .EI presednu tadku prave AB i prave i. Postoje pet mogu6-nosti:

a) TaEka A se nalazi izmedu tadaka H i B (sl. 6); onda je ugao

{BAC tup pa krug K1, diji je prednik stranica 3C, pokriva trougaoABC, a samim tim pokrivaju ga krugovi K1 i K2.

b) Tadka 11 se poklapa s tadkom A (sl. 7); onda je ugao {BACprav, pa opet krug K1, a zbog toga i krugovi K1 i K2, pokriva trougaoABC.

AHst. 8

c) TaEka H se nalazi izmedu tadaka A i B (sl. 8); krug K1 po-

kriva trougao BCH a krug K2 pokriva trougao ACH pa opet krugoviKr i K2 pokrivaju trougao ABC.

d) Tadka // se poklapa s tadkom ,B (sl. 9); onda je ugao i.ABCprav, pa krug K2, diji je prednik stranica CA, pokriva trougao ABC,a samim tim pokrivaju ga krugovi Kr i K2.

e) Tadka -B se nalazi izmedu taEaka A i H (sl. l0); onda je ugao

4ABC tup pa krug K2 pokriva trougao ABC, a samim tim pokrivaju

ga krugovi K1 i K2.

St. 9 Sl. l0

Vidimo da krugovi K1 i K2 u svakom sludaju pokrivaju trbugao

ABC, Eime je na5e tvrdenje dokazano.

Primer 2. Dodelimo proizvoljnom konveksnom detvorougluABCD krugove Kb K2, Kt, & diji su prednici, tim redom, stranice

AB, BC, CD, DA Eetvorougla. Dokazati da krugovi Kr K2, KE, Ka

pokrivaju detvorugao ABCD (sl. ll).

Reflenje: Pretpostavimo da posmatrana detiri kruga ne pokrivaju

detvorougao; onda postoji bar jedna tadka detvorougla koja se nalaziizvan sva ta Eetiri kruga. Neka je totaEka T. Po5to je T izvan kruga K1,

to je ugao 4ATB oitar. Isto tako,po5to je tadka T izvan kruga K2,

i ugao 4BTC je o5tar. Na isti nadin su

i uglovi 4CTD i 4DTA oStri. Zbiruodena detiri ugla je zbir Cetiri o5tra

ugla, pa je manji od punog ugla. S drugestrane je odigledno da zbir ta detiri uglapredstavlja pun ugao, Sto je suprotnodokazanoj dinjenici da je on manji od

il

r33

st. 6

t32

sl ll.



pulog ugla. Dakle, ne-moZe

postojati tadka detvorougla koja nijepokrivena bar jednim od posmitranih krugova, dime jJ nase"ivrae-nje dokazano.

_Lako je videti da smo drugi primer mogli resavati koristedi se

rezultatom prvog primera. Dijagonaia deli kon-veksan detvoroujuo nudva trougla; svaki od tih trouglova pokriven je sa dva nuluii.;i ruprednici odgovarajude dve strinice detvorougia, pa je eet"vorougaopokriren sa posmatrana detiri kruga.

,- . Na.taj nadin upoznali smo se s jednim od mnogobrojnih problemapokrivanja figura u ravni figurama odredenog tipi. Zadaci [oii-steaetreba da pomognu daljem usvajanju pokazan6g metoda resavJnja tihproblema; Lelja je autora da oni podstaknu di-taoca i na postavijanjenovih problema posmatranog tipa i njihovo re5avanje.

Mrpocnan Xrsrornh (Eeorpa.q)

JEAAH HAqIH PEItrABABA .'EAHATIIIHE IIPBOT CTEIEHAcA ABE HETTO3HATE v CKvnv IIEJTTIX EPOJEBA

1. Csara je.ryra.rnHa npBor creleHa ca ABe nenosuare (xy),Kao rrrro je, ua npuvtep, je4narnrt3x-'ly:s, y xojoj cy roeQuqnjenru(3 ra - 7) n cno6ogHr.r qJraH (5) Ilerr 6pojenu, LIMa peruerra y cxyny ZKaAa cy roerfuqrajenru yrajauuo fipocrr 6pojeru tnn KaEa je wuon

uajnehra sajeAnuuru ,qeJrlIJIarI yje.qxo I{ AeJIilnaII cno6oAnor ulana Aareje4nauune, jep Aererreu o6e crpaHe raxne- je4uaql,IHe oRa npena3rl yrroj errunaneurHy je4narluHy y rojoj cy roeQuqr,rjenru ysajauxo upocru6pojenn. Y cny.rajy xaAa najrehu sajeAnu.rrl{ AenI{JIaII nuje genuraq

r.r cno6oAnor qJraHa, raxna jegHaquHa HeMa peuerba y cryny qenux

6pojena. Taro, na upuvrep, jegHaqvna+x*6y:13 oAnoqro 2(2x-t3y)::13 nevra peuerba y cKyny IIeJIrx 6opjena jep je lbeHa JIeBa crpaHa

AeJbr,rBa ca 2, a .qecHa crpaxa (13) xuje AeJbI,IBa ca 2. KaAa gara jegua-

{r{Ha HMa peuerba y cxyny rIeJrLIx 6pojeoa, TaAa ce lbeHa peurerba MoryoApe.qlrrr{ Ha Br{rle HarruHa; jenau o.q raKBIrx HaTILIHa je clegehu.

Aary jeanaqrHy, Ha rIpI{Mep 3x-7y:J, rpe6a npBo IlpeBecrrl(nanncarn) y rroj exonoanerrrHy jegHatmny raxo Aa ce na geuroj crpanl{none je.qna.rr{He HaJra3H nopeA cao6oAnor rulaHa u jeaau qJIaH ca

Herro3HaroM; rtoro.qHrjr je oxaj .rnjn je sJIaH no anconyrHoj BpeAHocrH

Marblr, jep ce raxo o6[.rHo 6pxe AoJra3I{ ,qo jeAnor peulelba gare je4-HaqrHe. 3a naru npuMep go6nja ce raxo noj exrunalenrna je4uauxna

-7y: -3x*5.3atnrvr rpe6a xory je4raunry Harrncarvl TaKo Aa cy

roeQuqujenu{ y3 Heno3Irate (x n y) x clo6oAsn .r.llaH no3I{TI{BH}I.

Taxo uocne4rra je4na.rl{Ha npena3u y cnegehy:7 (-y):3(-:r)*5..{ererrevr o6e crpane one jegna.rune xoerpuqujeHToM tLtIaHa xoju ce

HaJra3r{ xa 4ecnoj crpaHl{ (3) ao6uja ce

7(- y): 3: - x* I ca ocrarror'r 2

jep je 5:3:l ca ocrarKoM 2. Karo je y uspary 7(-y):3 Aelnnaq6poj 3, 3a cBaKy IIeJIy BpeAHocr oA Jr ocraraK he 6nrn 6poj ur cxyna

{0,1,2,} jep je ocrarar 0 uml npnpoAnrl 6poj rtaarru o,q ,qerroqa (3).

Taro

-!:0,7(-y):3:7.0:3:0: 3:0 ca octatrou 0,

- !:1, 7 (- y):3:7 'l:.3:7 : 3:2 ca octatxolt l,

-!:2,7(-y):3:7'2:3:14: 3:4 ca octarrou 2,

l. Proizvoljnom otvorenom konveksnom ietvorouglu ABCD (sl. 12) do_deljeni su otvoreni krugovi kao u primeiu 2.Mora li tim krugoviml posmatrani detvorougao

Zadzci

biti pokriven?

2. Konveksnom detvorouglu dodeljeni sukrugovi kao u Primeru 2. Dokazati da u tomdetvorouglu ne postoji tadka koja je unutra5njata(ka za sva detiri posmatrana kruga.

- 3. Za pokrivanje proizvoljnog trougla nemoraju se koristiti sva tri kruga diji su piednicistranic) tog trougla. Lako je videti- da p-ostoje ikonvetsni detvorouglovi za dije se pokrivanje ne

Sl. 12 moraju koristiti svi dgtiri truga ei:i iu prednici

detvorougrova).Dokazati g.1.*,:':13i::r,::n',j".xttfr"j3i$ligJ.*""H: J3t;,'lsa manje od detiri kruga diji su prednici stranicatog detvorougla.

l"**.li,lffT:l',j;,&,H?:'i$:i'"fil"t6 \..-7rugovima diji su prednici stranice tih detvo- \ \ \ /

rouglova; posebno razmotriti problem pok- / \ A.rivanja prostih nekonveksnih tetvorougjova / \ / \p ooqgp'no p'ourim

boii;i;;;j"';.;;il: I \ova -dij.a granica, odgovarajuii detvorougi- ---na linija, ima tadku samopresecanja. -

Sl. 13 Sl. 14

3a

3a

3a

134 135



Eygyhu Aa @ sa -y--?, 9y9"Ho y: -2,npn Aerberby 7(-y)ca 3 go6nja 7 (-y):3:7.2:3:14:3:4 ca ocrarolra 2, rj. xbnnunurca ocrarKoM 2, uztazu aa je 6qoj - 2 je4ua rlena BpeArrocr Hero3nare 3l;lls oBora n 7 (- y):3: - x* I ca ocraKoM 2 usiasn na je - x+l-J4',oAHocHo x: -.3. flpervra oBoMe, ypelenu nap (x,y):(-3, - 2) jecrepeurerbe 4are je4navune 3x-7y:5 y cxyrry rIeJrHx 6pojera; iaucra

3a .r: -3 u !:-2, 3x-7y:J.(-3) -7(-2): -5*14:5.Crn.rHo oBoMe Ao6nao 6u ce je4no, aJrlr HeKo Apyro peluerbe

gare je4na.ruue 3x- 7y:5 xala 6n ce na AecHy c1paHy npeHeo luraH

- 7y; ra&a 6n ,{aroj jeAHa.rnHr.r 6uta exnr{sareHiHa- je4naruna31:7y*5. floruro cy y noroj jegHa.ruxn o6a roeQuqujenia n cro-6o4un .r.lraH [o3urr.rBHrr, rrocJre4ny jegnavulry (reny

" alc"y crpaxy)rpe6a ogrraax noAenr{Tr{ roeQuqujenrou ?; raxo ce go6uja:

-

3x:7:! Ca OCraxOivr 5

jep je 5 :7:0 ca ocrarr(oM 5. Eyayhn Aa je y H3pa3y 3x:7 Aelrlrtau6poj 7, ocrarar he sa csaxy qeny BpeAHocr nenosnire x 6aru 6pojr{3 cxyna 0,1,2,3,4,5,6. Taxo

2. HaseAeun lpnMep je4raunne 3x-7 y:J tropeA go6njena gaapeluerba Aao 6n Apyra peruelbe KaAa 6n ce peruanao Apyrr'rM MeroAa-r'ra. Oeo HaBoArr r{a IIrITarbe Aa nn ce Mory oApe,qr{Tu cBa peuerba AaTeje4narune rrpBor creneua ca ABe Herro3nare o6rsra ax{by:s, ygg

cy a,b u c [porr3BoJbur[ rleJr[ 6pojesu, r(aAa ce sna je4uo rieHo petuene.

KaAa ce 3Ha jeAHo petuelbe jegnarnne axfby:g y cryrry rleJrfix6pojena, TaAa ce yBeK Mory o,qpe.qrrn rr cBa ocrrura rbena peruerba ycxyny qenrx 6pojeaa. Sancra, axo je ypelenn nap (x, y):(m, n),jegxo

perueneje4nauune

ax{by:g y cxyrry ueJlru( 6pojena, ou4aBaxrr: am{bn:c. C ,qpyre fipaue, BpeArrocrrr Hetro3HarrD( x 4 ycBaKor pburena 4are je4taunne Mory ce r{3pa3rrrr{, sa x, rao e6rpm*p ,t,3a Jr, Kao n*q, r4e cy p n q \eJm.6pojenu xojn ce Mory oApe-gnrn. Harnre, Aa 6wypelexu lllap (x,y):(m*p, nlq) 6no peruerre ga-re jegna.rune ax{by:s, uopajy p u q 6nr;a raxru 6pojenu ,q[ Baxu:a(m-tp)*b(n*q):c, IIJIn KaAa ce o6ase Ha3HaqeHa Mlroxelba Irrr3Bprrrr cpelnnarre go6ujeuor nporr3BoAa, am*bn*ap*bq:c. 36oram{bn:c,4a 6n ypefeHl{ nap (x,y):(mlp, n+q) 6uo peurerre jeana-qtrHe, Mopa W je ap*bq:0 nln bq; olasne u3Jla3u npouopUuja

p i e:(- b):a wm p : 8:b z (-a).

Ilpeua oBoMe, 6pojern p a q cy AnpeKrrro trpotropqtroHaJrntr ca

-b n annu p n q cy Aupexruo rlponopquouarnu ca b n -a,rj.p: -bt il l:at uJrrr p:bt n l: -at,

rAe je t trpon3BoJrarr qeo 6poj pasnr.rur oA Hyne.

I,Ig ngroxeuor lr3Jra3r{ cne.qehe: axo cy (xg):(m,n) jealro pe-

ruelbe Aare je.Iryra.rnne axlby:s y cKyrly qenEx 6pojena, oxga je sacBatrr{ qeo 6poj tlt ype$euu nap (x, y): (m - bt, n*at) unu (x, y)::(m!bt,n-at) mrole peluelre Aare jeAna.rnHe y crytry qennx6pojeaa.

Taro, na [ptrMep, fioruro je rpeua oAeJbKy l, ypefeun nap(x,y):(4,1)je,qro peruerre jeAnaquue 3x-7y:J, to he ga cBaxn qenr6poj t#0 petuene rcre jeggarr{He y cKyrry qenux 6pojena 6nru uypefpnu nap (x,y):(4ll t,1+3t) oIUIcoEo ypefenu nap (x,y):-(4-7 t, I -3t).

Vpefenn nap (x,y):(m- bt,n*at), otpocno (x,y):(mlbt,n-ct\ soBe ce onrure peuerbe jep ce Ir3 lbera, nouohy jegnor no3ua-

TOf peruel5a 4are jeguaruxe o6nuxa aclby:g, HaJIa3e cBa ocraJla

rbeua peruelra y c(yry rleJrr{x 6pojeaa. Eyayhn,ua je y orlureM peruelby t

sa x:1, 3x

ga x:2r 3x

Sa x:3, 3x

sa x:4, 3x

7:3'I7:3'27:3.37:3'4

7:3:7:0 ca ocrarrou 3;

7:6 :7:0 ca ocrarxou 6;

7:9:7:l

caocrarror'r

2;

7:12 :7:l ca, ocrarou 5.

{nlr ce 4o6uno 4a je sa x:4 xolnqruK ca ocrarxou 5, 4arece He Mopa pa4t4Tt4.,jep reh oAaBAe u us 3x . 'l:y ca ocrarxou.5 ngna-3Ir E? je za x:4, ./: I ruro 3Harru Aa je ypeileuu nap (x, y):(4,1)rarole jegHo peruerbe Aare je4na.rune y cryny qenux 6pojlad.-

ZsroxeH[ nocrynax Moxe ce npr{MeHHTH Ha cBar(y jeguauuuy[pBor cre[eHa ca ABe,Herro3Hare (x u y) o6aura ax]by:c, xaftacy roe0nqrjenru (a,r b) uenn 6pojenu pa3nrqurn oA I u

--l, a clo-

6o4ru vnan (c) 6nno xoju qeo 6poj +0.Ka4a je roe$uunjeHr je4ne uenosuare I r.rJrlr - l, a roe$uqujeHr

,qpyre Herro3nare h cao6oAsr qraH 6r.uro roju qelu 6poj 10, ra4ace 3a. cBar(y qeny BpeAnocr Herro3Hare y3 rojy xoe$nunjeur Hnje I.qo6uja uena BpeAHocr r 3a oHy Apyry Henosnaiy. Taro ni jegnavune?*-y:7, Ha rpnMe-p, sa x:3 ao6uja ce /:8 tlrro 3uaqr ,ua je ype-

!eu1t nap (x,y):(3,8) jegno peruene Aare jegna.rnue y cryuy qenrx6pojera.

136t37



npor{3BoJbaH rleo 6poj pa3Jrr{qHT oA HyJre, V3J[la3n cne,qehe: aKo jeAHa-rII{Ha o6JI}IKa ax{by:g xMa y c1yny qen[x 6pojena peIIJeIba, oHAa jerbl{xoB 6poj 6ecrona.ran.

Axo je c:0, oHAa je ornue4no jeAno peuerbe je4Haqune ax**by:a ypebeHn nap (x,y):(0,0), na je y rorvr cnyuajy rbeHo onulrepeurerbe ypeleHu uap (x, y):(-bt,at) oAHocHo (x,y):(bt, -at) za

cBaKrr rleJru 6poj t+0.Taro, onture pemerre je4na.rune 5x-2y:Q je ypelexu nap

(x,y):(-Zt,-5t) o.qHocHo (x,y):(2t,51), r4e je r npouarorbaH rleo

6poj pasauvur oA Hyne.

3aAaqn

. l. Pernrru y cKytry'qeru Epojesa jeguaumy:

a) 9x1-5y:-7' 6) 5x-11y:-3; B) +.-+r:+.2. Peusrn y cKytry qenux dpojesa jeArasrry:

a) 4x-5y:o; 6) -3x*7Y:0; ") 1*-1Y:0. 4 3-3. Epoj 37 utpazt xao e6np gra ca6npxa raroa Aa je jenan oA rizx AeJbrB

ca 5 a ,qpyru Aerrs ca 3.

x.lporirBxl

Clenek ,,Zanimliiyosti u primenrma Pitagorinog pravila", objevljen u proSlom brolu ovog lista,Dreuzet ie iz knjige: Bilimovid-Anilelid, Gmmetriia III, Beograd, 1938.

Prilikom Stampani! liotc sl. 2 iz ovog tlanka bila ie, oticledno, pogrelno postavliene' pa ietrebr zrmisliti u prevrnutom poloiaiu. Izvinjavano ce zbog ovog propustr.

Redakciir ML

NAGRADNI ZADATAK BR 67.

Goran je kupio loz Ciji je broj bio petocifren i to takav da je zbir niegovih

cifara bio jednak broju godina Goranovog oca. Kad je Goran rekao lo svome ocu, ovaije odmah odredio broj loza ,Kako ie moglo do tog da doile?

:ZataEnoreicnje ovog zadatka bide nagradeno knjigama ili priborom za pismje najmanje 20)6

onih koji po5alju tatna relenja. Izbor nagradenih bide izvrlen po porebi trebom.

Resmje poslati na adresu: Matematidki list, Beograd, Kne2'Mihailova 35lIY, ,p.p. 728'Na samom radir tieba obaveao napisati ime i prezime, razed, odeljenje, ime Skole i po5tu (sapoitan-skim brojem) poSiljaoca. Na koveitu (omotu) naznaeiti: Nagradni zadatak br. 67. ReSenje poslati

najkasnije do 1.5. 1980, godine.

Mole sc ditaoci da iz svake Skole lalju reScnja samo oni ulenici koji su zadatak rc5ili samo-

staloo.

138

Dragoljub Milo5evi6 (Pranjani)

IGRA )VIKTORIJA( _ JEDNA PRIMENA PERMUTACIJA

Verovatno ste zapazili u prodaji (ili ved imate) igradku zvanu)taken(. To je obidna kvadratna kutija formata 4x4 u kojoj je sme-Steno jedno do drugo 15 kvadratnih plodica, obeleZenih brojevima1,2,3......15 (sl. l). U upotrebi se, osim ove, nalaze i kutije for-mata 4 x 5, 4 x 8, itd. Igra, pomoiu pomenute igradke, poznata je podimenom >Viktorija< i spada u tzv. )igre strpuivosti(.

st. I sl, 2

Ta se igra sastoji u slededem. Polazeti od jedne podetne pozicije(podetnog rasporeda plodica), na primer one koja je predstavljena nasl. 2, treba postupnim pomicanjem plodica iste dovesti u neku drugu,datu poziciju, na primer onu koje je predstavljena na sl. 3, s tim Sto jeuobidajeno da kako kod podetne, tako i kod zavr5ne pozicije ostaneprazno samo poslednje (desno donje) pd5e. Dozvoljena iu samo takvapomicanja kojima se na slobodno polje dospeva translacijom plodicapo dnu kutije. Lako je uoditi da za jedno takvo pomeranje moZemoimati dve, tri ili detiri mogu6nosti, prema tome da li se slobodno poljekoje se javilo izmedu plo6ica nalazi u samom uglu kutije, pored jednenjene ivioe ili izmetlu detiri kvadratne plodice. Izbor najpodesnijegpostupka ostavlja se reiavaocu, a najde5ie se trazi da se sa date po-zicije prede na poziciju predstavljeni na sl. I (normalna pozicija).

Ovu igru izmislio je sadamdesetih godina proilog veka Ameri-

kanac Samuel Lojd, poanati sastavljad raznih zabavnih problema, ikada je prvi put o njoj pisao u novinama, izazvaoje u Americi i zapad-nim zemljama Evrope ditavu uzbunu. On je, naime, objavio da ie dati1000 dolara (u ono vreme ogromnu svotu) onom ko uspe da u kutiji

I 2 3 1

5 6 7 8

I l0 fi t?

t3 11 t5

t1 2 t5 5

I 7 3 I

n t0 5 9

4 13 t2

139



sa 4 x 4 polja dovede - drileti se pravila igre - u normalni poloZaj

sve plodice, polazeti od pozicije koja se od normalne razlikovala samopo tome Sto su poloZaji plodica sa brojevima 14 i 15 bili medusobnozamenjeni (sl. a). I ljudi su satima, danima i mesecima poku5avalito da postignu, sve dok nisu saznali da je matematidki dokazano daje to nemogu6e.

No, ima i sludajeva kada je prelazak iz jedne date u drugu datupoziciju mogu6. Tako, na primer, ba5 kada su u pitanju rasporediplodica predstavljeni na sl. 2 i sl. 3, sasvim se lako utvrtluje da je to

moguie. Zato se postavilo pitanje: kakav uslov mora biti ispunjenpa da se, polazeii od nekog datog rasporeda plodica, one mogu dovestiu neki drugi raspored?

st. 3 st. 4

Da bismo na ovo pitanje odgovorili, potrebno je da znamo ne5too tzv. >>permutacijama elemenata datog uredenog skupa<<?*

Neka je dat niz prirodnih brojeva 1,2,3,...n. Za svaki njihovrazliditi raspored u kojem udestvuju svi ti brojevi kaile se da predstav-

lja po jednu permutaciju datih brojeva. Tako, na primer, permutacijabrojeva l, 2 i 3 imamo ukupno Sest: 123, 132,213,231, 312,321.MoZe se dokazati da je broj permutacija koje se mogu nadiniti od n

razliditih prirodnih brojeva 1.2.3.....n: nl(dita se >n faktorijek<).

Ako se u nekoj permutaciji brojeva 1,2,3,...n dva od tih brojeva,na primer a i b, (a>b) poredani tako da je a levo od b, kaZe se da jetaj par brojeva u inverziji. Na primer, u permutaciji 43152 u inverzijisu brojevi: 4 i 3,4 i 2,4 i l, 3 i l, 3 i 2, 5 i 2. Navedena permutacija,

znadi, ima 6 inverzija. Z,a nju se, kao i za sve druge koje imaju paran

broj inverzija,kaile da je parna permutacija, dok se za one permuta-

tacije kod kojih se javlja neparan broj inverzija kaile da su neparne

permutacije.

I sad, u pogledu rasporedivanja plodica u

slededa teorema:

Dati raspored plodica moZe se prevesti u neki drugi raspored ako

i samo ako oba rasporeda predstavljaju po jednu parnu, odnosno pojednu neparnu permutaciju tih plodica.

Dokaz ove teoreme ne6emo ovde iznositi, jer ga smatramo teS-kim za udenike osnovne Skole. Inade, navedena teorema vaii za svaki

format kutije a xb (a)-2, b>2).Da prikaZemo ovo na primerima.

Kod normalne pozicije (sl. l) nemamo ni jednu inverziju i ona se

smatra za parnu permutaciju plodica. Kod pozicije prikazane na sl. 2

imamo 44inverzije, a kod pozicije prikazane na sl. 3 imamo 42inverzije.Prema tome, svaka od ove dve pozicije predstavlja po jednu parnu

permutaciju. Zato se, s obzirom na navedenu teoremu, sve tri ove

pozicije mogu prevesti jedna u drugu.

Medutim, pozicija predstavljena na sl. 4 sadrLi samo jednu in-

verziju. Zato ona predstavlja neparnu permutaciju plodica i ona se

ne moZe prevesti u podetnu, normalnu poziciju.

Naposletku, odgovorimo jo5 i na sledede pitanje: kako se moZeutvrditi da li se moZe preii sa jednog datog rasporeda plodica na drugi,

ako je jedan od njih, ili ako su oba takvi da se prazno polje ne nalazi

u desnom donjem uglu kutije, nego na nekom drugom mestu, izmedu

plodica. Ali je na to pitanje lako odgovoriti. U tom sludaju treba,

naime, najpre pomeriti plodice tako da one u kutiji leZe svugde jedna

do druge, tako da samo desno donje polje ostane ptazr.o; zatim treba

utvrditi da li su dobijene pozicije u oba sludaja iste parnosti, i akojesu, onda se i iz svake od datih pozicija moie pre6i u onu drugu, dok

u suprotnom sludaju to nije mogude udiniti.

Zadaci

l. Koliko ima razriditih rasporeda ploCica oznadenih brojevima l, 2 i 3 u

kutiji formrta 2x2,ako se pretpf,stavi da je uvek nepokriveno polje u desnom do'njem uglu. Prikaiite ih crteZom i odredite koje od njih predstavljaju parne, a kojeneplrne permutacije plodica.

Naposletku, pokuSajte da, polaze6i od koje bilo parne, predete u neku druguparnu, odnosno polazeii od neke neparne predete u neku <lrugu ueparnu poziciju.

* . Videti dlanak:ML XlI, 6

140

M. Zivkovii, Formiranje i broj nekih podskupova. . .

t4 2 t5 5

I 7 3 8

/. n t0 5

t3 t2 9

l4l



2. Nacrtajte kvadrat dimenzija 3x3,izdelite g,ana 9 kvadratnih polja i po-stavite na njih ceduljice sa brojevima l-8, po bilo kom redu..Ispitajte da li se sadatog rasporeda moie preCi na normalni raspored i, ako je to mogude, izvrsite toprevotlenje; a ako to nije moguie, izvrSite rasporedivanje ceduljica tako da samoposlednja dva broja na ceduljicama budu u inverziji.

3. Dovedite, ako je moguie, plodice iz pozicija koje su predstavljene na sl. 5i sl. 6 na pozicije sa normalnih rasporedom brojeva.

ZADACI*ZA PROVERAVANJE STECENOG ZNANJA IZ MATEMANKE

IV RAZRED

st.5 sL6MERENJE RASTOJANJA OD OBALE REXE DO ZAMKA

Varijanta IDIJELIENJE U'SKUPU NO

1. RijeSi jednadinu a-x-b:c ako je

a:8, b=27 i c:805.2. Kolidnik dva broja je 29, djeljenik

je 277O a ostatak 15. Koliki je dje-

lilac?3. Uvjeri se u istinitost jednakosti(a.k) :, b:ck za svaki a, b, ke No,b*O i a:6:c. Radi a) na prim-jerima i b) promjenom redoslijedaradunskih operacrja.

4. Kako se mijenja kolidnik najveieg'elementa skupr N3f1N2 i najvedegelementa skupa NzCtNl ako se

dj:ljenik: a) poveia & Puta i b)smanji k puta, pri demu je & naj-manji trocifren broj.

5. Knjiga ima 551 stranu a Ivan ju jepodeo Citati kad je Samir ved bioproditao 48 strana isto takve knji-ge. Da li 6e Ivan dosti6i Samira akoon dita 58, a Samir 53 strane

dnevno?6. Koliko ie dana trajati 3 t uglja

jednom domaiinstvu ako se u tokudva mjeseca tro5i Po 30 kg dnevno'a ostalo vreme Po 20 kg dnevno?

7. Iz jeJne cijevi istide 72 I vode u

minuti, a kroz drugu otide 56 I u

minuti. Za koliko ie se vremena

na taj nadin naPuniti bazen za'premine 36 608 l?

8. Iz jednog rezervoata crPu vodu 4

veie i 5 manjih PumPi. Veia crPe

2 100 I vode na sat, a manja I 600 l.Za 4 sata rezervoat je ispraZnjen.

Koliko je vode bilo u rezervoaru?

9. U Skoli je na nastavi bilo 585 ude-

nika, a toga dana je jedan nastavnidas skraden za 12 minuta. Kolikosu svi udenici zajedno izgubilinastavnih dasova zbog skradenja?

* Zadaci su pripremljeni u dve varijante, zbog razliditosti u nastavnim pla-

oovima i programima nalih republika i pokrajina'

143

NA OSTRVU

Varijanta IIMNOZENJE I DEIJENJEU SKUPU N

I. Popunite praznamesta tablice:

2. Za date brojevea:179, b:520Oodredite k:b.a', y:b : a'.

3. Odredite najveiu vrednost izraza:a) 1692 000 : x' i b) .r' : 18, ako jex€{35,359, 3 599}.

4. Odredite brojnu vrednost izrazana najjednostavniji naCin:

a) (125'48 '9) : 6:;b) (125'o'42):25:.

5. Koristeii osnovna svojstva koliC-nika ili distributivnost izraCunajte

brojnu v.'ednost izraza:.

a) 397 500 :,25O: ib) 9 720 000 : 27 000:;c) 5 201*19 '250+19'4 950:.

6. Koristedi se promenljivima i kvanti-

fikatorima izrazite izvodljivost ope-racije mnoZenja u skupu N.

7. U nekom voinjaku zasadene su

krulke, jabuke i breskve. Zasa-

deno je 495 kruiaka u svakom od60 redova, 587 jabuka u svakomod 6O redova i 259 bresaka u sva-

kom od 60 redova. Koristedi se

distributivno5iu mnoZenja Premasabiranju odredite broj vodaka u

tom voini.aku.

E. Ne izradunavajudi Proizvod, od-nosno kolienik, odredite njihovupromenu na osnovu Promene kom-ponenata, ako je a'b:P i a '- b:kza a:2O8 i b:16.

9.Odredite skup reSenja jednadina

oonosno nejednadina:a) 180.k:73 800; b) x : 60<49;c) 832000 :.x:650.

Uolite kakvi su uglovi kod D iuglove, odretluje duZina lD).

r42

Ci objasnite kako se, s obzirom na ovc

(Iz itolijotskog udibcnika XITIII v.)

t9 t8 ,l ,, t6 t5

t4 t3 t2 fi t0,

li

I I 7 6 5

4 3 2 I

I 2 3 1 5 6 7 I

20 2t 22 23 24 25 26 9

t9 3t 30 29 28 27 t0

t8 l7 t6 l5 t4 t3 l2 lt



ZADACIZA PROVERAVANJE STEEENOG ZNANJA IZ MATEMATIKE

V RAZRED

ZADACIZA PROVERAVANJE STECENOG ZNANJA IZ MATEMATIKE

VI RAZREDVarijabta ISIMETRALA DUZI I UGLA.SABIRANJE I ODUZIMANJECIJELIH BROJEVA. UGLOVI ISTRANICE TROUCLAl. TaCka P je sjeciste duzi AB i

ptave p (sl. l).

Da li za svaku tadku prave vrijedid (A, x) + d (8, x ) > d(A, P) + d(8, P)?Obrazlo1i odgovor.

s]. t sl.22. Zadane su prava q i ta(ke M i

N (sl. 2). Nacrtaj taiku X prave qza koju je zbir d(M, X)+d(N, X)najmanji.

3. Neka je PQ:QR i ugao B:136'(s|.3). Koliki su uglovi a,1, r2,8 i 9?

Varijanta IIOSNA SIMETRIJA. MNOZENJE IDELJENJE I.J SKUPU Z.

1. Nacrtati proizvoljan ugao i kon-struisati osno simetridan ugao tako:a) da teme ugla pripada osi simet-rije; b) da osa

simetrije sede krako-ve ugla; c) da je osa simetrije para-lelna sa j:dnim krakom ugla;d) da je osa simetrije istovremeno ijedan krak ugla.

2. Krug (o,3 cm) preslikajte osnomsimetrijom uzimajudi za osu si-metrije: a) tangentu kruga; b) se-dicu .S, gde je o€S; c) pravu kojojpripada prednik kruga; d) pravuvan kruga.

3. Tri jednaka kruga isecite od hartijei sastavite figuru tako da ona ima:a) tri ose simetrije; b) dve ose si-metrije; c) jednu osu simetrije.

4. Svaki pravilan mnogougao je osnosimetridan. Dokazati.

5. Odreditevrednost izraza: (- 3). lrl +* I 5x:(- 3) ako xe{ala e Z A la I

::2 no<Ol.

6. Dato je pridruZivarde po sledecempravilu: a) f:Z) x + (-45) (x--7)€2, b) f :Z)x +(45 :r--7)€2. Odredite: f(3), f(-3),f(ts), f(-s).

7. Napi5ite umesto zvezdice znak >,<tako da dobijene redenice budutadne:a) (vxQZ-\ (x'r0);b) (v v (v(z t1.v<o + xr * o);c) (vx) (v:t) (x€Z- A ye Z+ +

- xr'y*0).E. Napi5ite umesto zvezdiee Z*, Z-

tako da se dobiju tadne redenice);a) (v aez-) (-5.a€ +);b) (va) (v b) (a, bez- > a.b6 *);c) (vx) (xg2 Z 112<.x<6 + -20::x Q *).

Varijanta IPODUDARNOST TROUGLOVA.SIMETRALA DUZI I UGLA.KONSTRUKCIJA TROUGLA1. Prema podacima na sl. I odredi

Sirinu reke. ObrazloZi postupak.

oC.o

-/BoA

st. 2

2. Tadkom ,4 povuci onu pravu odkoje su tadke B i C jednako uda-ljene (sl. 2). Nacrtaj oba re5enja.

3. Konstrui5i tdake koje su od pravep i od prave a (sl. 3) udaljene po20 mm.

Varijanta IIARITMETIEKA SREDINA.PROCENAT

l. Odreciiti aritmetidke sredine bro-jeva:

a) -2,34; 1,26; -5,4;b) a,az.....,areQ.

2. Dati su racionalni brojevi - I i ]-.

a) Odredite tri racionalna brolu2ir-metlu njih; b) Koliko postoji racio-nalnih brojeva izmedu svaka dva; ic) Kako se zove svojstvo skupa Oiskazano u b)?

3. Data su bilo koja dvabrojao,bqQi neka je a<6. Odredite njihovuaritmetidku sredinu i dokaZite daje udaljenost brojeva a i b u nizuod njihove aritmetidke sredine jed-naka.

4. Radnik zaradi mesedno 5 124 din.

od toga potrosi 66+%.Koliko

dinara u5tedi?

5. Broj stanovnika jednog grada po-veiao se za 3 6fi) stanovnika. Toje 3%. Koliki je broj stanovnikabio pre toga?

6. U jednoj Skoli od ukupno 950 uCe-

nika ima 640 devojdica, a u drugojSkoli od ukupno I 100 udenika ima700 devojdica. lzrazite u procentimabroj devojdica u svakoj Skoli.

7. Jedan ugao trougla jeza257.manji

od drugog, a za 2t/" je vedi odtredeg. Izradunati uglove tog trougla.

E. Razlika dva brojaje T2.lzratunajtete brojeve ako je 4,57o veieg brojajednako 8,5% manjeg broja.

,/qM,/o/

,/ oy'y'

T

I

)

;I

L(n /q

#:i/l. 4

sr. 3

4. Konstrui5i tadkuudaljena od kraki od krajeva duZi

5. Zadane su pravap i tadka I (sl. 5).Nacrtaj jednako-stranidan trougaokome :je jedan vrhu tadki r{, a jedna

stranica leZi na

koja je jednakoova ugla MOCAB (s1.4).

/t/oo"

p

4. Prave p i q su okomite (sl. 4).Simetriju na prevu p ozna(itemosa f, a onu na pravu q sa g. Uvjerise da je gf centralna simetrija ravniu odnosu na tadku O.

5. lz skupa aviona koji lete na istojvisini odvoje se dva aviona i pro-mijene svoje visine leta jedan za620m a za drugi 850m. Kolika jevisinska razlika izmedu njih ako sumijenjali visinu ovako: a) oba se

. dizala; b) oba se sp.r5tala; c) prvi se

, dizao a drugi spu5rar i d) prvi sespuiteo a drugi dizao?

6. Ako je a:-6, b:+4, c:-5 id:-12, odredi vrijednost izrazaa*b-ctd i a-b*c-d.

Pravoj p. sl.5

6. KonstruiSi troug,ao ako su zadanestranice a:5 cm, c:7 cm i teZiSnaliniia to:6 cm na stranicu a.

7. Konstrui5i trougao ako je zadanoBC :24 cm, AB: 5 cm i *C: 120".

E. Konstrui5i pravougli trougao dija

je hipotenuza 5 cm i jedan ugao{C:120".9. Konstrui5i trougao ako je zadano:

stranica a:6 cm i ugao ol:75o avisina koja pada na stranicu a jeYa:3 cm'

st.t 1

st. I

t44 145



Z AD ACIZA PROVERAVANJE STECENOG ZNANJA IZ MAIEMATIKE

VU RAZRED

Varijanta ISTEPENI I POLINOMI

r. rzradunaj:"r

rt.(])'-+t (+)'-

-'' (+)'.0.(*)"

l7b) (3,45)3 + t.(3,45)' -7. (3,451'.

/_ r \'2. Koriko :", o\-1'

"(;)',

'(-TI' o -(-;l (-;)'

" [(+)'(+)1{+l3. Zadani su polinomi P:xz-2x*l

i Q:3x-2. IzraCunaj: P+Q,P-Q, P.Q, P2 i Q2.

4. Dat je izraz (2x2 !3x)s. (xz -2x t l).Ne mnoirii odredi: a) stepen Poli-

noma i b) zbir svih koeficijenatapolinoma.

x2 l-r5. Izradunaj: a)

1 _rr.1 n"

;

/ l\ a-b a+bb) (r+ t):(x-;Jr .) ,+a-,_t.Rastavi na faktore razliku kvadrata

6. a) (x-l)z-(x1-l)z;b) 25(x-Y)z-16(x*Y)z;c) (x-z\z-(y-2)2.Rastvori na faktore:

7. a) ?az-2bz; b) 1xf -6xy;c) x2-Bxi_16: d) 2OO-72a2.

tl 1\'E. Reduciraj: a) (t-;J {.r-a);

la-x \ ll+x2b) (;r_rj(a+x); c) (_,_, +

\+ x + t) (x'z- l).

Varijanta II

PITAGORINA TEOREMA

l. Izradunati povrSinu jednakokrakogtrapeza ve(e osnovice 28 cm,kraka 25 cm i visine 24 qn.

2. Konstrui3ite kvadrat: a) koji je dvaputa veii od datog kvadrata: b) kojije jednak razlici datih kvadrata; ic) dija je povr$ina 10 crn2.

3. Tadke m1,n, i p, polove stranicejednakokrakog trougla abc, pridemu je lmpf:la1pfi:2cm,lnrpi:l cm' Konstrui3ite trougaomnp; b) Izradunajte obim i povr-Sine trouglova mfl1p1 i nup.

4. Za koje vrednosti promenljive su

vrednosti funkcije a(x):!a, $(Y)::14-3x, c (x):5x-2 duZine stra-nica pravouglog trougla ako su ai 6 katete, a c hipotenuza trougla.

5. Dve breze udaljene su jedna od. druge 15 m. Visina rnanje brezei2nosi 7 m, a vede 22 m. Kolikosu udaljeni njihovi vrhovi?

6. PeSak i biciklista se podnu kretati'istovremeno po kracima Pravogugla, podev od temena. PeSakprelazi svakog dasa 5 km, a bici-klista 12 km. a) Koliko je njihovomedusobno ra;tojanje pcsle 3 dasa?

b) Posle kog vremena njihovo me-

dusobno rastojanje iznosi 52 km?

7. U krugu poluprednika 50 cm Po-povudene su dve paralelne tetiveduiine 96 cm i 80 cm. Kolika je

njihova udaljenost?8. Dva jednaka kruga poluPrednika

r seku se tako da svaki Prolazi krozcentar drugog. Natlite duZinu za-jednidke tetive.

t16 r47

ZA DA CIZA PROVERAVANJE STECENOG ZNANJA IZ MATEMATIXE

VIII RAZREDVarijanta I

PRIZME I PIRAMIDEl. Tadka A ravni rr spojena je sa

tadkom lfir. Odredi udaljenosttadke I od ravni rc, ako normalatadkom I na ravan n i prava p(T,A) zatvaraju: a) ugao od 30. ib) ugao ol 0o, i ako je udaljenostd(T,A):8 cm.

2. Tadka T izvan ravni zs udaljena jeod vrhova jednakostranidnog trouglaABC, koji leZi u ravni 4 za 2l/T.a) Izradunaj udaljenost tadke Zbd ravni r ako je d(A,B):2\/T;

tavljen je nacrtusjeka za pru-gu, Izradunaju m3 kolidinuiskopane zem-lje na t kmusjeka. sl. I

5. Zapremina pravilne trostrane pira-mide je 324/Tcfi. Kolika je po-vr3ina te piramide ako joj je visina

Varijanta IlPROSTORNE GEOMETRIJSKEFIGURE (I DEO)

l. a) Kako se zove pcliedar koji imanajmanji broj strana? Koliko onima ivica, a koliko temena?b) Koji je najmanji broj strana priz-me? Koliko prizma sa najmanjimbrojem strana ima temena, a ko-liko ivica? c) Koliko strana, temenai ivica ima n-tostrana prizma?

2. a) Koliko najmanje boCnih stranamoie imati piramida! Koliko naj-manje bodnih ivica? b) Kako senaziva piramida dija osnova ima nstranica? c) Koliko strana, ivica itemena ima n-tostrana piramida?

3. a) Koja se figura dobije preseca-njem valjka sa ravni paralelnomza njegovom osnovom? b) Koja sefigura dobije presecanjem valjka saravni koja prolazi kroz osu valjka,odnosno koja je paralelna sa osom

valjka? c) Kada se presecanjemkupe sa ravni dobija krug, a kadatrougao?

4. Odredite u kome odnosu su dijago-nalni presek pravilne detvorostraneprizrne i povr$ina njene botne strane?

5. Kolika je povr$ina i zapremina koc-ke ako je povr5ina figure dobijeneu preseku kocke i ravni koja prolazikrajnjirn tadkama triju ivica kojeizlaze iz jednog temena jednakalm2?

6. Ivice dve kocke odnose kao 2..3,a razJika njihovih povr5ina je jed-Daka 480 m2. Izradunajte duZinunjihovih ivica.

7. Osnova uspravtre trostratrc prian€je pravougli trougao kome je jedna

kateta 9 cm, a druga kateta za3cm manja od hipotenuzc. Kolika jcpovr5ina te prizme ako je najveda'bodna strana pravougaonik visine1,4 puta vede od osnovice?

9 cm?6. PovrSinaosnove

7. Od kocke iviceVI cm odteza-na je piramidakao na sl. 2.Koliki je om-jer volumenadobijenih dije-lova ako su

PovrSina osnove petostrane piramideje 72 cmz, a duZina visine je 12 cm.Izradunaj povr5inu presjeka dija jeovr5inu presjeka dija je

'alelna osnovi i od njeavan paralelna osnovi iudaljena z^ 4 crn.

A sl.2tadke I i Cpolovilta ivica?

t. Osnova prizrne je romb dije sudijagonale 30 crn i 16 crn. Kolika jepovr5ina i zapremina te prizmc akojoj jc visina 7,2 cm?



MAITMATICKA TAKMICENJA

TIETBPIU PENYBJI'IIIKI4 HATNPEBAPIIO MATEMATIIKA 3A YqEHUIITfEoA ocHoBHtITE vqnJruruTA IIA

CP MAKEAOHIIJA

oAlnirr f,a 6. Y 1979. rort

VII OAEIIEIf,E

l. .Iln0para co najroaeva M@Ha BpeaHocr raj neruu$penr{or 6poj e 7.Axo raa qn0pa ce r{3ocraBr, trpeocraxarl{or 6poj e l7 nars noM:ul oA AaAeH[or6poj. Koj e roj 6poj?

2. BenecrneAucr Irrro Bo3n co 6prura o,q l0 rhaouerpl{ Ha qac nnaHupa

Aa oTnAe Bo co@Axoro Mecro, tatra rrrro raMy Aa np[crnrHe no 15 vacor. Me[y-Toa, orrar(o rr3MllraJr [oroBgHa Ha rlaror, My ce pacxrlaJr BenoculreAor. Ocrana-Txor Aen oA traror ro Mr{HaJr ueur, ogej*n co 6p3uxa oA 5 xnlouerpu Ha qac rr

npxcrrruaJr Ea otrpeaeneHoro Mecro ro 14 {acor. Aa ce onpeAelu xorlry xrrJro-

MeTpr ri3MrrlaJr E Do Ko[(y qacoT TprHaJr.

3. Aaxen e traparenorpawor ABCD. Cnuerpannre lra Blrarpemmre anruna roj uapanenorpaM ce c€lrar Bo rollKf,Te M,N,P,Q.

a) ,{oxaxu AeKa trerlpnaroJllutnor MNPQ e [paBoaroJlrux.

6) Aoxarur Aexa Aujarosanara rra roj upasoaronrurr e csra,qga co pa3Jlf,-

raTa oA coceAErlTe crpaEMa llapajreJlorpaMor.

4. Ea ce Kolrcrpyupa npaloaroler TpEaroJIrIErc aro ce AaAers: Buclrrara

rou xanorerry3ara rl Encexrprcara na npaBuor aron.(Arannra,

xoncrpyxqnja,Aora3 tr nuctcycnja).

5. Aaneno e A:{xlxeN u l<x<30}. ,{a ce oupe4ean

4. lfparoaronen nncr xaprrja ce ArrMernrrrr 16 cm u 12 cm c rpeBrrrxarrTaKa rrlTo ABeTe cnpoT[BH[ TeM]|lsa ce coanaAHaTu.

,(a ce onpe4ear{ aolrx[Hara Ha orceqxara no xoja Jrncror e rrpnBnrxar.

5. Bo xoHyc e BrrlutaHa ronKa co paA[yc R, TaKa tuTo BfictlHara Ha KoHycore qerlrpfi [arr{ nororeMa oA paAsycor rra ronttara. 3a rne Ase reJr.a .qa ce onpeAenn:

a) O,qHocor Ha rrJlolurr{Hara Ha HrlBHrrre [oBprulHlt.6) Onnocor Ha HHBHlrTe BonyMeHu.

Peuenria Ha 3aAaqme

VII OAAENEHI4E

1. Hexa 6apannor 6poj 6nne m:7abcd:70000*2, xage rrrro e n--abcd;roraru oe Aoonsa m:l7n n orTyxa 7OO0O*n:17n, 16z:70000; n:4375, ot-uocno m:74375.

2. Ilonosrnara nar ruro ce Bo3eJr r{3HecyBa l0r, xane urro , e norpe6uoroBpeMe 3a n3MsnyBa*e xa roj gen oA naror. .(pyrara rronoBura oA rraror e 5(t+5),r(aAe urro, e sefte crroMeHaroro aperue. CnopeA roa ce Ao6usa l0t:5(t+2), oAHoc-to t:2 taca. 3uatr, Ha rlar ce 3aApxa[ t*(t-12):6 qaca, urro a6opyra gexa rojoA AOMa rprHiur no 8 xacor, a r3MuHiur s:2,10t:40 km.

sr. I3. a) {aRC=4BCRe4BAS (ca. l),

DE B

sl. 2npopaAn roe lSll.RC; crnnuro

A

MrroxecrBo n:(a, b)laaA a bq.Aj,ra(a rrro u3pa3or (+-r)'.1 Aa luvra

najr"rana BpeAEocr.

VIII OAAEJIEHITE

l. I{n$para co xajroneua Mecrra BpeAlrocr xaj nerqu$perrnor 6poj e 7.

Axo raa ryrOpa ce rl3ocraBl, [peocrarrartror 6poj e 17 uarn lroMar o,q AaAelrlror6poj. Koj e ro 6poj?

2. OA 4Supouesren rr 65-npoqexren pacrBop rra oqerlrara rnceauxa rpe6a

Aa cb npnortaT,5 nurpu 5S-npoqenrex pacrlop. flo roarcy Jurplr rpe6a Aa ce

3eMe.oA cBxoj pacrsop?

3. [pasara r-lx+n lvflrrpa Ess roqxara M(-3,6), Taa npaaa co

39spasara y:Zx+T f,.r-ocKara ro oEparyra rpraronurror ABC. Aa oe otrpc'

IGrE EeprMerapor x lutor[Trrlrara Ea rluraroJlrrlrrot ABC.

ltE

DTIIBV, taatn MNPQ e naparrerrorpaM i oA LBCz + 4.BVC-180"-("++):n

,vNc-t1o"-(a*9oo-'\nO"-Z,a LVNC+:\2

-;/ :90",rIIroAaBaf,+r/,ivR-

:90o, oAnocso nexa MNPQ e upaBoyroJrrrtrK.6) ARNQ e traparrenorpaM nopalu LRBC e paMrroxpa( u LA0D::LBNC: ARjV4o,q KaAe ntro AQeRN a AellRff, a oA os.qe ON:,{R:

-AB- RB:AB-BC.4. Hajxarpeg ce (oncrpynpa [paBoynroneu Tprarorurtrx

Iroroa anrrre 4ACE=4ECB:45".t 3 \2

5. I4rparor l;a-bl *1 rfte rrvra aajuaaa Elreruocr. \) I -

DEC (ctr. 2), a

3I n 7a-b:0,3

oruocEo b:Tn mro 6apa a€{5, 10, 15,20,25,30}. Co oureA Ea raEenara

al5ll0lt5l20l25l30b13l6lelr2lt5ll8

xMaMe: X:{(5,3), (10,6), (15,9), (20,12), (25,15), (30,18)}.

t49



VIII OA.(EIIEHIIE

l. llcro xaxo 3a rrpaBara caAa{a ro VIIOAACICHrlc.

2. OA nprnor pacrBop rpe6a.qa ce 3eMem nrrTpu, a oA DToploT n tl'iTpil TaXa, Aa e

m.4O n.65 7,5,55:+:-100 100 ImoI raAe a m-6 I n:4,5.

t53. On 6-

-. (-3)*n cneAyEa ,t: -r4 4

r pa'e'xa Ha trpaBara" ,=-|r*f n".r.

I

y-O

315yc

--r+-44

v:039

Y:-

.I+-'44

sr. 3

3 15y:_4x+ 4

39v:- x+-44---c?'J -

(os L BDC);

.B(5,0) / (-3,0)

AB':8; AC-5(oa AADC) a BC:S

r,- 18 eA., r:-l-.4.1- 12 kv. e.q.z

4. BD:2Ocm (cn.4) r BDLEF, oa xaAe D@:t0cm. Bqaejrr 6DFBe paMuoxpa(, AF:16-BF:16-DF, a ot LFAD, DF:12,5 cm x oA AFOD,

FO:7,5 cm. flopagu roa e FE:15cm.5. DS:4R (cn. 5); oA AOC,STDBS cneayBa OC:OS:BD:BS:

R:3h:r:l/FT76rc, r:n/TP* _2 R2 (l +3 tt) _ I + 3 rr

P7 4R2n 2rV,.84Y733

DEC

150 s.5 t5t

ZADACIODABRANI ZADACI

Ovi zadaci trcba da vam slule zt veabt i priprcmanjc zamalcmati6ka takmiCcnja, kao i za radtmatemati'koirekciji. Oda6ranizadaci nisu te5ki i moZc da rh reSi svaki udenik koji ridovno pratinaslavu matematike u skoli. Zadatke treba samostalno da rclite, anavedeni rezultati i uputstva ncka vam slule za kontrolu. Za udcnikckoji Salju tet,enia Konkutsnih zadatoka prcporudjivo jc da prethodnoreic- OdabtMe zadatake, jcr su. oni laksi od konkurs;ih, pt ovaj radpredstaylja korisno uyczbavanjc.

A) Za utenike IV i Y razreda

.. .. \465. Vmanjedk je 7 puta veii od diferencije (razlike). Sta je manje, uma-njitelj (umanjilac) ili diferencija?

1466. Kada je pje5ak pre5ao ] cijetog puta i jo5 2 km, ostalo mu je da preate2

IjoS

- cijelog puta i jo5 6 km. Koliki je cio put?4

- f{OJ.-a\o brojeve 826.i 4373 podijelimo istim brojem, tada redom dobijemoostatke 7 i 8. Odredi broj kojim su dijeljeni dati brojevi.

1468. u kvadrat stranice ll cm upisan je drugi kvadrat dije su stranice narastojanju I cm od stranica prvog kvadrata. Za koliko je op6eg (obih) prvog kvadratavedi od opsega drugog?

.1469, Zbir.dvije duZine (duZi) je 50 m. Ako prvu pove6amo pet puta, tadasuma (zbir) te dvije duZine iznosi 74 m. Odredl kolike su ie duZine.

- -

B) Za uEenike V i VI razreda

1470. Odrediti skup I diji elemenat x ima sljedeia svojstva: rf l<4 ix-l>-1, xQZ (2, skup cijelih brojeva).

. 1411. Urediti po apsolutnoj vrijedhosti izsaze A, B i C ako je:,4:lbl-2a-3; B:7-3 lal*Sb; C:la-tbl-ab*lt i ako je: a:__j; b:_7.

1472. Odrediti sve.parove prirodnih brojeva koji mogu biti duljine (duiine)slragicl ovog pravokutnika (pravougaonika), dija je plo5tlna bovrSina) jednakiplo5tini kvadrata stranice 6 crn.

C) Za udenike VI i mI razreda

- 1475:5!t (ugao) izrneilu krakova istokradnog trokuta (jednakokrakogtrougla) je !36'. Kroz vrh (teme) tog kuta povudena su dva pravca (prave), tako disvaki.od gjitr gdsjeca od osnovice duzinu (duz1 jednaku kraicu dato! trokuta. Izra-dunati koliki je kut izrnetlu tih pravaca.

D) Za uienike yII i l/lil razreda

1476. Dokazati dalltt-ll

I iTaz

-

ima cjelobrojnu wijednost.l4il7. u istokradnom (iednakokrakom) trapezu manja osnovica je za 12 an

dulja od-kraka, a krqk je 2a?2 crn kraii od duljebsnovice.bpseg (obiri) trapeza je86 cm. Izradunati ploStinu (povr5inu) trapezl,.



'1478. Daia je krulnica. Konstmirati todke koje tu kruZnicu dijele na tridijela q_ gmje{l (-r.?znreri) 3 : 4 :5. Zatim, ktoz todke bodjele konstriraii tangenten4 fu'rtnisu. Koliki su unutaroji kutevi trokuta (uglovi irougla) koji odri<lujuove tangente?

E) Za uEenike VIII razreda

1479. Ako.je 6znamenka (cifra) nekog troznamenkastog (trocifrenog) brojai_ ako ona pretle

_i_spTedznamenke stotina, tada ee dobiveni uro] 6iti za r rnrinSi dd

Cetvorostruke vrijednosti prvobitnog broja. Koji je taj Uroji

_ 1480. Ako se prirodno_m broju z pribroji (doda) 100, dobija se tadan kvadrat,a ako mu se pribroji 168, dobija se opet tadan kvad*tt. Koji je iaj prirodni broj ni

*1481. Kocka kojom.se igra poznata'igra >Ne

lastidne loDte. tako Sto ie sa 6 ravnina fravni) r.

-:l4qr. I(ocka kojom..seigra ooznataigra >Ne ljuti se, dovjedek< nadinjena

j-e od.plastidne lgple, tako Sto je sa 6 ravnina (ravni) odsjeceno o inuaonih (podu-_e od-plastrcne lopte, tako sto je sa 6ravnina (ravni) odsjeceno 6 sukladnih (pirdu-darnlh, kalota. Dobiveni presjeci (mali loptini krugovi) sukladni su i svaki doiiruiearmn, kalota. Dobiveni prgsj_eci (mali loptini krugovi) sukladni su i svaki dodirujedetiri-druga krtlga. Dokazati da je plostina (povrsioa) preostalog dijela lopte manjaijela lopte manjaod ploStine velikog loptinog kruga.

F) Za adenike svih razreda

DYA*TRI:PET zamijeniti slova znamenkama (ci-

odgovaraju radidite znamenke;

b) slovima IV i ? ne odgovara znamenka 0;c) broj koji odgovara rijeti PET ie najmanji. Odrediti sva rjeSenja.1483. Duljina (duZina) puta od A do F je 42 kilomerara (sl. t). Rastoianie

^ od A do B vede ie.neso rastoianie orl B do C rastniori. Ld-pd A do B v*eje nego rastojanje od.B do C, rastojanje od .B

Oax sa,qaqu cy EaMeEeFE npBcxcrgqro 3a caMocramf,paa oHxx yqennra rojn ce y aehoj vepn nnrcpecyjy 3a MarcMa-TnKy. Peuebe cBaror 3aaarra 6the o6jaaneao ia norlncorroxor peuaBaoqa rojt 6yac trocnao cacanM Tacxo n xaj6onco6paraoxeuo peuebc y rory npaax 20 aaxa no H:lacrcy rtncra.

lluena osxx peuaBzuraqa xojn noua*y 6ap 5 npa-BHffirx peueBa xoHxypcEHx 3aaaraKa 6ahe oEjaaiexa yacxtrouro ce oA Erx trpnMc tro yKytrHo 5 raxgrx pcueroa. CeuTora he y_nocne,upeM 6pojy nlcra 3a oBy uroncxy roaruy6nru nocebso o6jaanena ruexa xaj6o*ux peuaralaqa :axoje cy npelrulleHe noBqane Harpare.

- Peuaaajre nocraBrcHe 3aaarxe u uaDBTc f,x y uroreheu 6pojy MauetatuuaKot auctuy. PeuaBaour .oiy no-

claru pe4arqujn p€ueM caMo oHf,x 3aAaraxa xoju cy'Apeg-culteru za huxos pa?peg u so ycetuxe ccux pazpega. fu,airlcpeuarajTe caMocranHo, ne rpaxehn nouoh nn oA xora. ClurcqprajTe nperlE3Ho, a peueEa nf,uf,Te o6pa3noxeHo f, ctrTxo.Ha jeauou nHcry mntrpa rpe6a nanncirr ca ncrc crpaxcpeaHu bpo;, Texcr tr KoMtrrerxo peuebc caMo no je.qsor sa-

apc,utc,oil, nacosehu pa3pes u ,0"^X;:;"-X,;;:ii""trf,i\7u1j*ir::;.H:?;i"i!,i"{.J.Xi:tr"tf, pcue*a 6e3 o6pa3troxeba, oaHocxo 6el nyxe aapee nouunioqi. xihe ie yeuuaru y o6iup.-

€ra peuera xoja ra*ere trcroapeMeHo_crarzre y jcgax xoa€par n trouaDtrTe rx f,a aapeype,aaxuuje.ca Ha3raxoM,,Koxxypcnn_raqaqu". Ha noleSnrn xoaepri nare.axre caoje nvc, uxoayE pa3pea. Peuena 3aAaraKa tr3 oBor 6poja lrcra rpe6a trocnaru uijxacxuje,qo ZS-1. tSgO.,.

A) 3a yvenure IV u V paspega

_ 605. ,{yxnna (.qyrbuna) rryra usmefy uecra A u B je 595 km, y Z .racosayjyrpo, ucror AaHa, nofy nr oBa ABa rraecm jeAar, ApyroM y cycper raMnorr f, ayro-Mo6trn. cnaror cara (ar\4rron npeJra3u 45 km, a ayror"ro6un 60 km. nocne ra{Eo 3lraca Boxrbe HarrpaBr[nE cy oAMop oA noJra cara, a 3arfiM rrcroM 6prunou nacra-Bnnir Aaube. Kon:lro cy 6uau ygaJbeun jelax oa Apyror KaMnon r ayrouoEuay 13 'racora n 30 rrluryra?

. ^- 606. 36rp ayxura,(.qyrura) gujaroraaa npaBoyraosrxa (nparoxyrnura)je 20 cm, a :6up Ayxr{Ha o6urrla (oncera) .rerupu ipoyrna (rpoxirb) ra'roje jetrpaBoyraoHf,K noAejbeH cnojru 4njaronaaaua je 68 cm. Llrpavyxaru rroBprrrrrHy(unourrnry) upaBoyraoxur(a axo ce rb€roBe crpaxr{qe pagnuxyjy sa 2 cm.

607. .{re ruae, je.qna o6rurra rgaApara, Apyra odnnra nDaBoyraour{r@(nparoxyrnnxa) nr"rajy je4naxe odnvre (oncere). 36up (r6poi) tnr o'6nri r3nocu9_k- "

200 m. Illnpnna npaBoyraoruxaje asa nyra Marba oA crparuue (BaApara.llrparyuaru rroBpr[uly (ruroruruny) [paBoyraonr{Ka.

B) sa yuenuxe V u VI pa?pega

6i08. Pagnura (4urfepeauuja) ABa KoMrureMeHrua yrna (xyra) je I creuen.Konuru cy ru yrnort?

.609. .{orvrahuqa je ga 5 kg rpylrara nrarrura r{cro xao ra g kg ja6yxa. Ko-Jrf,r(a Je r{eEa xpyruaKa, a Korlrra ja6yxa, axo ce 3rra Aa je xuflorpaM r(pyrxar(a 3a15 aunapa cxyrubn oA (uJrorpaMa ja6yra?

C) 3a yuenuxe YI u VII itazpega

. 6!0.,(orasaru Aa y npox3BoJbnoM c(yny ny4n nocroje 6ap Asa qoseraroju lre[y qfiaHoBHMa ror cKyfia urvrajy ncrr-bpoj nporuaHuxa.

6ll. Y npaooyrnoM Tpoyrny (nparoxyrrorvr rpoxyry) ABC notyuexa jexrmorerry3r{Ha BucrrHa cD. Hexa cy cpeAxuJra (noaoaaurra) xarera ic u EcIteAoM ralr{e E a F. ,(oxasaruga je yrao (ryr) EDF npar.

KOHKyPCHTT 3AAATITI

*14E2. U jednakosti

Eama), tako da:a) razliditim slovima

do C vede jenego rastojanje od C do D, itd., svaka prethodna

C etapa puta dulja je od slijedede. Nadi duljine svih pet etapa,-ako se zna da svaka etapa iznosi cijeli broj kilometara, ar-astojanje od A do B dva puta je veie nego rastojanje od Edo F.

l48/'. Da bi se obojila jedna strana kocke,treba 5 sekun-di.-Za koje nljkrace vrijeme 3 dovjeka mogu da oboje t88jednakih kocki, ako svaki radi istom brzinom i svaku

-kocku

oboji samo jedan dovjek?

Rezultati odabranih zadatata t466.-l484

1465. Diferencija (razlika). 1466. 32 W^. 1457.9. 146E. 8 cm. 1469. 6 m i44r* 1470. a:{-5,-3,-4,-2,-l,O,l,Z,3l. l{Il. A--lO, B:---37, C:0 =>? lcl<lAl<lBl. t472. lt,3gl,{2,18}, {3,12), {4,9}. t4tti- zbroj je uvijekdjeljiv sa 5. 1474. Za 32\. l{tl. 22". iqiC. Viatii Na:prije rreba doicaiati da sell!1 zavrsava znamenkom (cifrom) I, itd. 1471. p:360 crip. l4ilg. 30",60", 90'.1479. 156._l4EQ. Ako je n+l@:a2 i n*168:b2, tada je a2-b2:68,'itd. lzlazida je z : I 56. 14{0i2. 2M + I 57 : 361, 207 * t54:361, 254* tM :361 i 257 * lA4 : 361.

1483. Duljine etapa u kilometrima iznose redom: 12, tl, lO,8 i 6. 1484. minuta30 sekundi.

-

t N"pt*r! Zadatke omacenc zvezdicama poslali su nasi ditaci, i to 1478 D. Arsit.nastahikiz Pa.racina, l4Bl K, Removit, nastavlik iz podgraba i l4a2 M, Mijatkoiit, udenik oS DR. vukiceyic(iz Ni5a.

152 153



D) 3a yueauxe ltII u yIil Wspega612. Ha ra6an je uarrf,caEo EexoJrrxo *y-ceBa E EexoJrtr(o Mrrrryca. .{orao-rero je Epucarr 6r.no xoja ABa 3rrara, sarmcy;ynu yM@To Jegrrarrrx 3HaK [nyc,

a yMecro pa3nrFrtrTr{x 3nar( MnFyc. ,{orararn Aa 3rraK rojr he uocJreArsr{ ocraTrr ,,ara6ar ne saBf,cx o,q rora xojnru peAoM ce siaqa 6pruly

613. y rpoyrny (poVrV) ABC je BC:IO, AC:14 s 4ABC:600. I{3pa_qyrarf, Ayxmy 4rxr (gyrnrry pyxlloae) AB.

E) 3a yueauxe VIII pazpega

614. Axo je 6poj 4x*2y*z ,reJbrrB ca g, oEAa je n rporgrfpenn (rposxa_uermacrn) 6poj xyz

nen:m ca 8. .[oxasarr.6f5. Ha.q (pyroM rrorrynpequnra (nqrtjyca) 5 cm nocrasrerr{ cy ca rrcrecrpaEe ycnpaBarr BaJLar f, yqrpaBEa ryna. ona ABa rena unajy je.qHaxe ionpuurre(onnomja) r je4xaxe sanper,nuib (aolyr"rere). rtipJ"y"ut" noBpr,,'fiy x 3arrpeMn'yoEor Aena xyne xojt nexx y BaJbry.

F) 3a yuenuxe cnux paspega

616. Ha uraxoncxoM Typxnpy 3opan u &-"" cy oArrrpruui cne naprrje rsnprm S-rona' a o'ra cy narrycruna rjpnrp.'36or to* .ii"i typ"rpv-i-oorpu*oyKytrHo 38 naprnja uraxa. ,{a cy oaa AB6jroia o,smpanx iapi"li':'"aif c-fryrrru?

^_- -6l7ZCbaruroner, oA rracrarrxa_oErraja pyftoliusa Ao ,qauac, pyr(oBao ce

oapelreu opoJ tryra. AoKa3arE aa je 6poj rygr, xoju cy ce uenapix--6poj

uyrapy(oBaJrf,, uapirE.

-- . P-ovrsina pravougaonika-pa, prefita tome, i powsioa kvadrata je p:g.2:r6 cm2.Usled toga je stranica kvadraia a:4 cm, i 'oUim

O:16 cm.Ljiljana Dukanovit, ud. V, r. OS. ,,A. Bogiievi6.., Loznie,a

B) Za uEenike V i W razreda

- .fs: Lldenik ie kupio kniigu, dve teke (sveske) i olovku i za sveplatio l4o dinara.za knjigu je platio 6o dinara_yif.e. ne.go 7a obe teke,'a y 9lovku tio iiiii minie negoza knjigu i obe teke zajedno. Koliko ji platio za knjigu, koliko ia teki i ii*o'ibtor*ut

.._Postojeucenikzaknjiguiôbesveskeplatio-l2odinaravise

..egozaolovku,pro,izilan da je za olovku plilio

r0dinara,

a ra knligu i oue su"st" ii6 aiil*. arc.!e lniiga 2a.60 dinara skuptja-od dve sveske, ondill3O___eOy-';-{^j;.-u,ri,, ,ro""ukoju je udenik dao za dve sveske. To je 35 dinara. prema tome, uc"rii jI'- m:iguplatio 95 dinara a za svaku svesku-I7 dinara i 50;;;.--'---'-'rJY.-

Draienka Petrovit, ud. Vo r. OS ,,N. Madkid,,, Kljud

* -5!16.fednaduiina(lu.1,) g.gajietieya-je tilma toikama na4 nejednaka dijela.

f: itt':1,:'t"f;i::;!y;fr!r;'d:i;,!::i i;u,u,:T;,;,;f,t;t" ',iaxtiiiiiiitiaiihoioje ggtojgnje sredi$ta unutrasnjih delova 6 crn, unutrasnji delovi iznose

zaJedno Izcm. usled toga polovina krajnjih delova iznosi 16-12:4 crn, a celaduZ iznosi 16*4:20 cm.

Goran Radovanovrc, ud. V, r. OS ,,M, pijade.., €ilevac

C) Za uCenike VI i WI razreda

597. Ako je n prirodan broj vetiod l, dokazati 4o ir*rl\-t! ima cjelo-

brojnu vrijednost.

. r.r.oj 1-0n*8 ima prvu cifru r i posrednju cifru g, a sve ostale su nure. prema

:lT:,:bjl:,_fl,rEtl:q 9, p,a lg i on deljiv sa 9. Osim toga, poslednje dve cifre su 08,pa Je oval broj deljiv i sa 4..Sledi da je broj 10"+g, za nll, deljiv sa 36, pa ztnitoga dati izraz ima celobrojnu vrednost.

Olivera Joiii, uE. VI, r. OS ,,D. Jaksi6.., paradin

. -.i9E. .u pravokutnom.trokutu (pravougrom trougru) ABC konstruirana ie krui-ylca itii ie liametar (preinik) kareta )c. oia *ruznici sietinipiiiiizi- it7'io*i n.Tangento lylnice loia prorazi totkom E sijede strantci ,eaii'iiiii-n.-6oiirott a"ie trokut EBD istokraian eednakokrak).

NBSBX.N KONKURSI\MI ZN)ATAKA 191"4IZ MATEMATTCKOG LISTA

XIV,4A) Za udenike Iy i y rozreda

-592,Bryt i sestra idu u istu ikolu. Brat u peti razred a sestra u treii. Brat odkur: aq .fkole stigne ,! 30 minuta. t; iliiir;;;ena ie brat stiii sestru ako onapotle od kuie u ikolu 5 minuta ore niepa?orle od kuie u 5 minuta pre njega?

Da prede put od kuce doskoli iestri treba l0 minuta vise nego bratu. Ako.l_l-o!la.t0.minuta.

pre brata, stigli .gi r.r Skolu u isio vreme. poSio sestri poiii sestra po5la l0 mi5 minuta-pre brata, on 66 je stidi iri,?ioi"ip,lii,'t3. poite ro m;;;;.

*--'Svetlana Milolevit, ud. lV, r. OS ,,Lj. Radosavljevii,,, Zaj&ar

. 593. Koje znamenke (cifre) treba.staviti umesto navedenih slova da bi bilaispravna jednakost

a595-4b2 *1c06:416d?

^ ,_ IlI:f!.remo.brojeve a 595 i tc06 i rako dobijemo (a*t) (6*c)_4b2:4t6d,a iz poslednje jednakosti proizilazi: (; . . .! -2-d) .:-(d:9); t. . .'O_A: Oj- - <t:lli(6*c)-(4*l):I) + (c:0); (a*i :4) + (a:3).

Predmg Markovit, ud. V, r. OS ,,J. popovii.., N. Sad

_^,,f:4,., lyuyya,<11Ziya1pravokutnika (pravougaonika) je B cm, a iirina mu je 2 cm.AottKt.Je opseg (obim) kvadrata iija je ploitina (povriina) jednaka ploiti-ni ovogpravokutnika?

t54

Uy79 |!C-ie grgv, \ag ugao nad prednikom AC (st. t).JBila aEv Je prav, Kao ugao nad precnikom lC (sl. l),Poluprednik ,SE kruZnice jednak je poiovini iipo1"nu. n,rravouglog trougla ACE. dakle- SE:i1,4- Zhoo tioe srr rrotnwirgyoJglgg trougla A.CE, dakte, SE:it 4. Zbog toga su uglovit SIE i qE4.jednaki medu sobom. Ugtovi rVAE:i BED-tro_ nAE t Ju, Jeonakt medu sobom. Uglovi NgE i BED tro-ugla BED je<l'naki su uglovima SAE i SEA, kao uglovi sa

normalnim kracima. Zaista, AEIBE, ier ie-ugao AEC orevormalnim kracima. Zaista, AEIBE, jer je-ugao pravr^.!-Dlfe,-1er je ugao nAc pnv,'iu ii- |Eao:4sAE.ljjeno je pE+pF (11e"."tu i ioluiricnii) i' ,qEtaE,' pa je

4BED:_4ssL Dakte, uslovi EED i aad:eonaki il-;"4;';ri;;,;'j"'?r;:ugao BED jednakokraki'

Bitjana Mirosavrjevit,ud. vII. r. os ,,T. Raji6.., cadak

sl. I

155



D) Za utenike mI i Wn razreda

s99. u kvadratitima yabl-ice lx3 napisano je 9 prirodnih brojena, tako da sedobio.,magiini kvadrat, ti. lbroigvi-(zbirovii brojeva u svakom ttipii,i'roiii rrt*ulvrsti) i-ra svakoj dijagonali jednaki su z. Dokazati da je z djeljivo sa'3.

Oznadimo_brojeve iz tabele s? g, !, g,4, e,.f, g, h,'i.'lrieia uslovima koji

vaZz.za magidni kvadrat, vaie sledeie j6Onat6stii i:a'*b*c, ,:ii"ij ,J:a.+e+i, z:cleIg, z:blelh. Ako saberemo prve tri jednakosti (levJ strane

:l,I"tt--l_tilryma,jpdykosti, a desne strane sa Oeshim stranamajlo.i-OoUi:""o!

zbra oduzmemo detvrtu i petu jednadinu, dobidemo z:b*d-tfin-e. oii:e{-li|g,tl 9j.' ^z:(b-te*h)*(d*elf\---3e,

pa kako ie t'l"lin:aili:r,goDUamo: z:22-3e, odnosno z:3e. Kako je e prirodan broi, izlazi da je z de-

ljivo sa 3.Uredni.itvo

ffi. Pravokutni trokut (pravougli trougao) ABC ima hipotenuzu AB:r m.Nad katetom AC kao dijanetron -(pitnikoi\ kbnstruisan je jotukrui, *oii ,tpc"hipotenuzu u toiki D. Ako je BD:36 cm, koriia je ptoitina (ioirsli\.'iii-iii enct

. Pravougli trouglovi ACD i BCD slidni su (sl. 2),jer su im odgovarajuce stranice uzajamno normatiri, pdsu im katete proporcionalne: AD : CD:CD: BD. Kaloje AD:& cm, to je (CD)z:lO.BD:64,36, paliCD:48 cm. Povr5ir

Ita trougla ABC ie P:2AB.CD:

:o4{X) crn2.

Sladana Teiii, uE. VII, r. OS ,,D. Jerkovi6.., T. Uiice

Q Za uEenike VIII razreda

sva cjelobrojna rjeienja jednaidbe: xy*3y-5x-12:0.preko r. Polazeci od y(.r{3):5x*12, dobijamo

5x+t2 5x+16_j 5(.r+3) 3

x+3 r+3 x+3 .r+3'1

odakle je v:5-x+3.Da bi .r i 7 bili celi brojavi. mora btrl (x*3)€{-3,

;1, l,3). Na. primer, ako je xf3: -3, tj, x:-6, tada je.y:6. Ostalare5e-nJa su: x:-4, y:8, zatim x:-2, y:2 i x:0, y-_4.

Uretlniilvo

F) Za uEenike svih razreda

.) 603. Deiifrirati mnoienje: GNU.GA7m-

GNU

c70s-Jednakim slo,ima odgovaraju jednake znamenke (ctfre), a razriiitim srovimaodgovaraju razliiite znamenke. ifioii ,ro ,ki;;j;.

. - K3k9 je G.GNU:.GN(/, ito vidimo u tredem redu, sledi da je G:l i4! l. U drugom redu vidimo ai je z.,rr-,,'r, Sto :" rnoeu,i;:"d-i"oli.il. lr:0.Ov.o--sernoZezakljudiriiiz_N*lJ:tJiA+N:i)._Trebajo5odrediti

cifreAiu,razlidite od r, tako da A'.Ir bude jednocifren broj: M.;;Ji" -t"-[i,i*i]"-, ,l:2,U-:3,.tti A_:2, Lr:4, iti-A.:3, t1:7, iti )J+, u?z. R"i*j;-;;;ika su:ro3 . t2:1236, 104. t2:1248, 702. t3:t326 t ioz . t+:I+ig. -- -*-Lada Sebii, ud. VI, r. OS ,,A. Santi6.., Vajska

604. Izvjestan broj 9d lp.lisnyg h.aytlie iskien je na lO dijelova, zatim se od(gbiveni! lis.tova isieku ios.l"lri na to dijet6ia,-'iii. No t orc, ji -Ziki''iiu"n,Iistove hartije i naiao da ih ima r98o. Dokaziti aali'ziri iirrr.;1r"r"t)oianju.

- -Akojedan list isedemo na ro-delova, tada ie se ukupan broj derova Dovedatiza e. svakim novim sedeniem broj listova;" i;k;d;6;;6;; Z"{Zi"&i^ro

"akupnog broja listova, dobijenih:ia traju, oduznremo to, ooui"".o uroi ttli moz"da se podeti sa 9 bez ostatla. Mertutini, 6;iitib ne moze ou ,.-pta-dti'Ji s u",ostatka. Prema tome, Zoran je u brojanju riadinio greSku.

Katarina Mutit, uE, VI, r. OS ,,A. Savdii.,, Valjevo

DOSTA\ITLI_SU PRAVILNA RESENJA KONKURSNIHZADATAKA I'Z ML XIV - I, 2

lrsrttp"ii rvica, oS >v. Dueolevic<l?oz"*rrl;;#l;,, 70,s77,s78:Mar.i6 Dusetr, oS >s. v. zere<,ojnik,566-570: Mrreiid V*n{ <iS ui.-io";ie;,iiidri'56?,1ip,!io$ai'i,r"ili'hii,.iliui,, ssr,54,556,565.s66.569.sio.su2,iia;.ut3irrgri"ii b"ii,i,l'<i5"r,v._p_ueq!erii<, polarevac, s66_520.

i{ft -*rH$iill#.#,r",'8fr rffir$:lir['"',:ri*;lii':$ri*i;;{ti*:g'\:F ji

li';*i"$'**tt'df"s-tE*iB?*T:f,-,.i

ffi--t Z"d"t t 603 sastavio je Goran Dor<tcvid. uEcoik iz Topolc.

sr. 2

@1. Odrediti

Iz.razidemo y

t57



:tl'll-5'9!9'tql'5-66,569,569,570,577,578: Stenkovid Qorrlme, oS DJ. Popovid(, N. sad, 5G6,567,569,57-0,578; Stgnkovi6 Vericr, OS'>R. Mitrovii<, Caeak, 566,569, S7O.'577,578:'sfevanovidf::tF".-9^S-,:Vr_lvllgviq(r uscc, isj,is6,566-,s68,s7i: stJli""ie -sG.*,'

ijS' ,16.'iirijrc"] zajetar565'56J'569'570'577'578; stevenovif,4onn, os )skcta< sketa, 566,567,56t,slo,sll,sle, StuticZii:{ior 99 'v. Dugosevic<. Poljaaa, s66=s7d,s77; stoiic Borko, bS ,ibiaiie'Fr"i,i;;A'Z*;l;"in 566,567'569,570,577i sloikoviE Gorrn, os oKarador<teo,__Beogtia, ssl,ss?,s64,56s,566,562.Jt'o'-s17,s1siseverdiie Neviie, os r>J. pandid<, Bribir, 566,567,569,570,5t,578r sp;t;-n;fi,-o-s-;v:iilraozi.<,Prjboj. 566-570: Terlid Goran, _o$ _>wt. Koiovai<, sauac, 5ooj'o7jas,szo,fi,sliii"o""'ie- srr"i"",o_S. >2. pop:vic<,_ vtadimirci, 553,5s6,565,s6b,567:s6s,116,s78:'T"ii.;;;6-rii;;;;'c,Tllil]puoieo,Milutovac, 565,508,570,577,57E; Tomelevid_ N_aor,. os >iz. _popovic(, 553-j55.isttiz,soo,sig,sio,sll,Tomi6. pragan,_o!

1,-I. Andrii<, Franjani, s66,i6s,s7o,s7:'s8s;'T.ilid .r-J;, os ]il. -ii,iJi,ri"iic-pi.r.i,Sr._Mitrovjca, 5q6,567,5_69,s70,522r52_t;

fo-s!i-6_r_y1rrs;, OS >N. Matii(, T. UZi"., iAo,iii,ilig,sro,Srs;To!i6 Danke, OS DB. Kapetan(. cuda,566,567-,569,S7O,S77,57SiT.eUoiac Nif.oii,

-O5"i]-Viiasorien,Ll'zrak, s66,569,57o-,577,578;

T.u!a: Jg,te, _OS >Spom'enik llCi.B,., Cerlro,"JiiJsi]SOo-,3oz,izO,Sts j

llirrevi{_!r9t_r-eq,.oS >v. petagic<<, z-:!ica',s6a_sio,57t,578; Urdsevid Z;;";-dS;t: }iiiislvr;eric<,

ffil?,,::::,,3',,f i$.g,.-r*lt'i!iiljl;-'i3.,,It,:,r'q.lft g!,::a*,?i9,hf,"."--.Tfi::i?:'StDr..Poprvid(, N. Sad, 553,564,56sJ70,566,569,s72,32t_; ytriie Snez."r, OSlii.'i"pl-ifri,'-s"rusic, sSr556'565'570,577: vrarevid Petra,

-Qf 11.- rqP6vic<<, 1t. s",i,106!-oi,s'oe-,52b-siiiV,iil"ir-i,is-,ill <i5>Karad)rd3(, Bsocrad. 566.56s,569:570. s77.578 j zoltsn peter,-os ;J-vriiiiJ,irc.-n*ii-r"-6odiliiW-stv,s77,578; Zori6 suzane, oS >M. Kosovi&, Sauic ,itz,s?i,sio,iiiiii, ZiiiJJi6'o1i,",.,OS >V. Dugosevid<, Poljana, 566-520.

_ (Spisak sc nastavlja u slededcm broju)

REZULTATI KONKURSA ZA NAGRADNI ZADATAK 8R.65

- 4"lq nje za catka.- srednji kip nije mogao predstavljati boga istine

.er, da je- bilo.tako, on ne bi rekao- o.s,ebi {a pieosta-vUa'u.g" airir"m"ffi otuaJproizilazi d-a ni qgv! kip nrje mogao biti bog istine, postole on?uiio""rrion:i tippredstavlja boga istine. prema tom-e,-boga iJtine je p:redstivrjao tr"ei tip, iij" :alto,s obzirom na ono Sto se od njega duro, s.eon;i tip ireastavljao uoJa-rJi,'u ri*i r,ipboga diplomatije.

D_o predvitlenog roka- stiglo je uliupno r 458 odgovora, od kojih je 920 bilotadno. U vezi s tim nagradeno je ukupno lg4 relavilaca.

NAGRADENI SU SLEDECI UEENICI

_IV rezred.Jovanovid2elilo,_ OS.>M.I(osovac<, Sabac; Luki6Jesminl, OS >Mileva Kosovac<<,

Sah_rc;.p111tr1,o",u Dragan, oS. ,p fatsjf5 4ra_rrp"a"j Xo"aL""ta.i;il:'ds. ,;fi:'il;r;;il S";;"1Petkovi6 Mitan. os >vozd Karattorde<<, Nis; st"l"no"ie_bi"irnl, oS ,rvr, irrr."uic.l'2.;"i"ij-sili.oorieIvene, oS >I. L. Ribar", Grdetica j snriie'cil:"ii,

'<ifoZ1-S-prnacn, v.rjeuo.

v razred. Berukrid lvenka, os >s. Rodicl, Lazarevo: Brkid Natase, os >F. Firipovic(, Beo-grad;.Cmi6.Neboisl,.oS DJ.J.z;i;", n"og-r"dl Dr"e"lir"ie-kg*ili, oS ]rb. o"ald",-nii-onrc";

oo-karovi6 Terjrna, oS DN. Tesla<, Be6giad; F.tid' ate*;dr;; oS-liil'p. ii.e"i",.itJzj;"ii""iie b"i""OS >D.P_o.povid<<, Dragovo; Leze_revid Verice, OS >S. MariC.i, Ugrinovci;-Lukid Srniri.-OS ,p-p-N-jego5<' Ilidla; Lukid svetlena, oS r>servo Mihalj(. Muttjar xiiengiit.l"r.o",bS-livld"tdni,'nii"r..;Markovid Biliana, OS nB. Krsmanovii<<, paradin; Markgvid Vm, OS >J. i. Zniaj"-, OU*"."""; Meameii4lmedina, os DD. Dtino(, orovo; Miikuri6_tvterio, os ,koc".in", xoi".in; ir,rhrs""it-l-"p1. ijs-,1g.Radicevic<'sedlare;IVtilikolvi6Tetiena.oS>Z.Zrenianin<,Beoeradi utlitiiitil-i,-<iS-oil*iiir.o"icn,913f1 ltkglT Zoricr,.o5,r>p.Tisid<, Leskovac;'oru.,iie o"*i;!l bs';i.-G;.,r"rzoia;"iievile"iaDonslevkt, OS >M. Koljensie(, Danilovgrad; P&ri6 Rsdenko, OS Dl4 oktobar(<, Draginac; perinac

RgsT.kr; os >t- Gûndutid<r, N..sad ; jrofoiclc, xir.or", o5 ', v. bug-osevic., ni-i;' ni,iriiilJiiid ooi.n,us. )J. J. Zmaj<, svitajnac; Risti6 Bojrnr,Os r>N popoviC<, Krusevac; Rirti6 iatiena, _OS ot-i. Ni-kolid<<, Aleksinac; Stoiadinovi6 Shdenli+ oS DM. Nik6tii(, a"r;*j-S'"rl[riiiri.ril,"-6fiS. s*-_::Ylc.(' Krasujgylc; slamrj zvgqko,-oS

11!. {azor1, Mirrovica; Tomitevid Dragrna, OS >D. Durdevid<,mradenovac: urbrn sild.' os DJ. Grdid( Milenko<, Beoein; lrrolevid violgta, bs >v. Nazor<<, ze.l_ezr.rik;. vidoievid liotete, o-s DA. Atcksid(, nursnorirmc;-zJizif s;ftr,'6s;;r.11 iiiur.,i?.runi;Zvkovid Juq OS DM.I. CiC?(, Aranttelorac.

158

VI rrred. Brulid Vml OS >A.Sabovljcv(, Stajidrvo; Cincovid Zoren OS >Mrali. ba-taljon<<, Kraljcvo; Cutkovi6 Borivoi-e, OS >Stcvan AIck_siC<, Ja(a Tomid; Dimitriievid Gorm, OSlJ.J.Zmaj<, Panacvo; Eri6 Mir_ohva, OS DVuk KaradZid(, Cuprija; Gslin Zorsn, OS >il Kongrcs USAOJ.a<,Bihad; Gecid Bjrirlev, oS >J, Popovii<, Kikinda; Ivkovid Nrtrh, oS >C. Milosavljevid<<, pecka; JFremi6 Srlh, OS >Karadordc<<, Topola; Jovuovid Aleksmd.r, OS >17 oktobar<, Svctoarevo; Jovr-novid Aleksudrr, OS Dl? oktobar(<, Sv€tozarcvo; Jovuovid Nikola, OS nM. lgumanovii<, Kosjerid;Jovi6 Anke, OS 2Kam<tortte Petrovii(, Kru5evica; Juku Admela, OS >Jusuf Ja--kubovid<, iuztaiXlemar Zvezdene, OS >Ivana B. Mazuranid<(, Zagreb; I(ostedinovid Vl;drnkr, OS >R. Rankovii<, Loiovik;Lau5evi6 Dregm, OS >S. Novak(, Beograd; Maksimovid Miodrag, OS Dj. Voikid<, Brdko; MrimoviiDt,ian, OS >Vuk Karadzid<<, Pozarevac; Mihi6 Snelene, OS >I. Andric<, Beograd; Milivoievi6 litaliSe.OS >S. Sintlelid<, Bagrdan ; Milojevid Jumine, -OS

>8. Jevtid<<, Kusadak; MiloieyiL. Zlrica, OS >V.Dugo5evid<, Poljana: MiloSevid Algkmdrr, OS >rM.Bursai<, Beogradi Milo5lvid Zorics, OS )A.Loma-((, Rudnik; Miti6 Snehqr, OS >l.Ribar<, Bezanija; Mitrovid Stsimir, OS >G.Tresnjica(, G.Tre5niica; Mulageta-Daniiel, OS DK, Dumbovit<<,Zagreb: Nikolid_Neboi5r, OS DE. Ostojii<, U. foziga;Popra Du5enka, OS rrK. ISttan(, Subotica; Popovid Zorica, OS D2 oktobar<, Lukiievo; ProduwidBo-iidsk_r, OS Dl.G.Kovatii<<, Foda; Radenorid cordana, OS DF,Kljajii(, B€ograd; Svoicu Brmke,

OS >A-. Santid<, SeCanj; Sevid Miriur, OS ,>V. Vlahovid((, Borea: Stenoievid Vojku, OS >D. Dragano-vii(, Zuekov&c; Stefmovid Goru, OS >J. Scrbanovii<. Krepoljin. d

VII rure{. Bogidev.id Ysna, OS >S.Visoki<, Despotovac; Bosnjek Tihrne, OS >Koderin<,Sggglini BuIek Zeliko, OS >S.Supanc<, Vukovar; BurEak Zvonko, OS >S. Supanc<,, Vukovar;Cebrilo Dregicr, OS >S. Pezo<<, M6tar; Csti6.Milmka, OS nll oktobar<(, dumiC; Dduovid Vledimir,oS >P, KoEid(, Temerin; Deni6-Dregue, oS >p. Kocic<, Indija; Dodeyid vesna, oS >9 oktobar<<,Zitni Potot; Durdevid Drrsu. OS Dt.L. Ribar<, Borina; Grgov Goren, OS >8. Ribar<<, Osiiek: IvuovidDragro, OS DPryi Sum.odred<<, D. Satornja; Jeremi6 Juminke, OS >Krnia Jela<, B. peircvac: JeIi6Goru, OS >J,Catid<, Stragari; Jevti6 Zeljko, OS >D.Jerv!ovid<, Fakoviii; Jukovi6 Dregri, OS>D,JerkoviC<, Indija; Jovuoyid Vmr, OS >L. Lazarevid<<, $abac; Juki6 Zdenko, OS >Sutjska<i, Za-v-idoviii; Kilibeldr Goiko, OS >l3.mart<, Konjic; KocijuIidJoie, OS DA.T.Linharta(, Radovljica;Kori6 Jcleoe, _OS nM. Kosoyac{<, Sabac; Kraniok Helena, O$ DS. Mihalj(, MuZlja; fre5ne Vana, OSDN.Jelidii<q Sabac; hntorevid- D-urrlice, g$ >M.Pijade<, atpanjai Liki6 lvs;, OS DB.Radidevii<,Beognd; Maistorovif Duilo, OS >2. Zrcnjanin<, i Vriic; Maksimovid Deian, OS >V, KaradZiC<, BeogradiMhdenovi6 Vera, OS >>B.Jankovii<, Kremna; Milinkoiid Milm, OS >V, I(aradZid<, Priboi; Mihai-iovi6Zorica, Q$ DB. Radiaevid(, Bot; Milanovid Slobodanka, OS DV. Karadzid<, Zaiaa^; Milivoievid Mi-lâgka. OS >Z.Popovie<, Loznica; Milmvlierid Neboi5a, oS >l.L.Ribar(i bZep; l{ilo5evi( Neboi5a,OS ,rD. JakSid(, Cuprija; Prvlovid Duiielr, OS >V. Karador<lg(, NiS; Prnid Slavba, OS DV. Stankovii(,Y._Silj€govac; Popov Jrsminr, OS->8. Radii<, Bataniste; pigac Biserko. Q$ r>B. Molek<, Prelog;Reljacki Mire. oS >v. streljanih<, Cavle; Radivoievid Daniie. oS >8. Radidevii<, Smcderevo; Srhertti6lgor, OS D8. Jedinstvd(, Vinkovci; Sentin Meia, OS DJ. poiovii(, N. Sad; Slomo lliia, OS >{. Popo-vic(, s. Mitrovica; Simid Milena, OS DC. Milosavljevid<, Pecka. Stmkov Paia, oS >ll oktobar<, srpski

rjebej; Stoimovid Ssie, OS >8. Radidevii<, Bujanovac; Sari6 Garrilo, OS >r29 novembar(, Krepsid;Sivaid BJsnlls, OS DN. Pekii(, Paprada; Surlan Tatiage, OS Dl.G. KovaCiC(, Borovo; Tomr5evid Mir-tr!r, OS DZ. Misid(, Rajkovid; Vrlovoc Zuzrnr. OS >M. Pokolenje<<, Kovacica; Vsilievi6 Biliua,OS nKaradorde(, Topola; ViBtrievrc Sini6e. OS DA.Sanrid(, Gajdobra; Vukoia Krrlo, OS DKoEerin,(Koeerin; Zrni6 Nenad, OS rV, Ribnikar<, Beograd; Zivkovid Nenad, OS DM. Pijadc(, Crvena Rijeka<;Zivkovid Neoad, OS >V. Radosavlievid(i Negotin.

VllI rezred. Bogut Mirr, OS >G. Krklec<, Zagreb; Cigulov Branislev, OS DB. Vrebalov(,Melenci; Cveti€ Mirclav, OS >M. Blagoievid(, Basta: Dautovid Nsihr, oS >R. Kondid<, Kozarac;Di5id Zorka, OS nKadinjada<, Loznici: Dordevi6 Olsa. OS DL. Hajdin(, Sijerinska Banja; Duicelrisko, oS >F. osojnik<, ptuj; Ivuovi6 Vecna, OS >8. Mastarii<<, Datj; Jrnedkoyi6 sa!r, oS >LjupeeSpanac<, B. Palanka; Jovanovid Bolidar, OS >lsa Bajic<, Kula; Jovmovit Svetlana, OS >M. Pupin<'veternik; Kuaiko Vtedo, OS >J. Kozarac<<, Semelici; Konorec Mrrin., oS >7. mai(, Vrbovec; Kora[e!Valentino, oS iii. prok6vici . N.r"sinj": tiocttc ivai. oS ,it.L. Riba;<, Raska; i{isoja So6zua, OSDPinki(, Futog; Knaii Nenad, OS >R. Domanovii(, Vranie; Kntid Violete, OS DV. Zivkovii(, Mini.deto; Mrri6 Radcte, OS )rS. Markovid(, Sjenica; Mati6 Tamara, OS >P. Kodicci Temerin; MiheilovidDeian, OS >D.S. Vipki<, Despotovac; Dreien Mikulec, nll osn. Skola<, Koprivnica; Milolevi6 Dra-goliub, OS >S. Jovanovid<, Sabac: lVtilo5evid Miriang. OS DMarSal Tito(, Medvcda; Nikolid Dregm,oS DJ.J. Zmaj(, Stopanja; Nikoli6 Vena, OS >Karadordeci Jakovo; Obredovid Verna, OS >N. Tesla(,MikleuS; Puteli6 Brrnko, g$ v1..1. $panac(, Valjevo; Pelizari Ljiljma, Q$ DV. Nazor<i Daruvar;Peruiid Dragoslev, OS "2. Popovid(, Vladimirci; Puba{a Jesmina, OS >S. Rodid(, Banat. v. Selo;SDrsjeyid vlsaen, OS >>L.Lazirevit<<, i Sabac; Stmkovid Ruia. OS >1. Sckulii<<, Mosorin; Stef.novidVladm, OS DZ. Apostolovid<, Trstenik; Stevmori6 Snelane, OS >R. Lazid<i Aanja; Stojanovid Milil'CiS >ll.Todorcviiu, Knjazerac; Subode Mileniis, OS >P. Vragolic<, Ljubovija;'subotil Shvica. OS

Dl.L.Ribar(, Kaka;j; S6epmovid Dgnoila, oS;M. vltjanovi&,, litogiad; Iiaieta smilikr, oS >8.Radicevid(, Velike Livadc; Rebec Boris, OS DB. Radiievic<, llidZa; Terzi6 Andrijr, OS >S. Kerkovid<,Ljrg; Todorovid Trtjrne. OS >1.L. Ribar<, RabuSnica; Velikovid Shdan, OS )tS. Markolid(, Lapovo;Veljoyid Sneimr, OS DV. Karadzid<(, Kralj€vo; Videotijevi6 Vcua, OS >S. Filipovid<, Divci; VukovidAlekriie. OS DZ. Ljujid(, N. VeoS.

159



Rebusi sa kartama

SaSa i RaSa su dva dobra drugara.Osim Sto se zajedno igraju, oni zajednoi ude, a desto se i medusobno takmiCe,SaSa je, obidno, zadatke sastavljao, aRaIa ih re5avao. Takojejednom Ra5adoiao kod SaSe....

S: Imam neke karte. Hoie5 li daodigramo jednu novu igru?

R: Jesu Ii to pave ka.te?S: Nisu prave, ve6 >rpravljene<

Ja sam ih napravio. Evo jedne:

R: Ne ume5 da nacrtal sliku, pasi pisao samo slova.

S: Ne, nije to u pitanju. Svakakarta, pa i ova, predstavlja neki rebusili deo rebusa!

R: Opet neki tvoj trik!S: Odlidno, pa ti si red i relio

rebus koji predstavlja ova kartaTri >K<- odnosno trik!

R: Ovaj . . . pa da-. . . to je lakoza mene! A Sta predstavljaju ove deti-ri rupice na tvojim kartama?

S: To je da bi se karte moglespojiti, jedna >s<< drugom, iti jedna>o<< drugu.

R: BaS da vidim.S: Evo, ovo su dve spojene karte.

t..tt-,Ei

H60

MATEMATICKA RAZONADA

R: Ova spajalica se dita Do((?

S: Da.

R: Dakle: R >>o< MB, to je romb.

S: Dobro, romb.

R: ImaS li joS ne5to da majstorreSi?

S: Naravno. ReSi ovo:

mrll'aa'l l' * 'l

bAl L-rR: Ali ove karte nisu spojene!

S: Pa kad se ne spoje, dita se re-dom.

R: Onda znam: Sestar (Sest >a<R).

S: TaCno, zanima li te joS?

R: Pa, zanimljivo je, redaj karte.

S: Dobro, evo jo5 detiri sloga:

mr#tLi'l

riH

mm

m

R: Ovo su nelto teZi rebusi, trc-ba mi malo vi5e vremena.

S: Razmi5ljaj koliko hoieS.

R: Hoie5 li malo da pomogne5?S: Pa, re5enje jednog od rebusa

jc:binom!R: Binom? Sad znam: monom,

binom,.trinom i polinom!

S: Tako je. Hajde sad da otkrivamokoje su poznate lidnosti sakriveneu ovim rebusima:

R: To sad nije te5ko: >Nikola

Tesla< i >Petar Petrovid -Njego5<

S: Po$to lako re5ava5, mogli bis-mo da prestanemo, vi5e ti neie bitizanimljivo. Ove preostale rebuse 6e-mo dati drugima da re5avaju.

IIIt..tLJlN=_ll.+.1

LJ

w._ll. + .l

L-EitR-rRll.n.lt&.Bl

tr.]Lrl

ru

ru

HrFhl. R.l

tB-Bl

Hil

HE

R: Ovaj poslednji je wlo lep. BaS

da vidimo kako ie drugi moii da gare5e.

Miroslav Srojrc (Veliki Popovii).

Documents

Matematicki list 1980 XIV 5