Matematicki Modeli Hidraulickih Prenosnih Organa

7/25/2019 Matematicki Modeli Hidraulickih Prenosnih Organa

1/17

Poglave 6

Matematiqki modeli

hidrauliqnih prenosnih organa

Hidrauliqni prenosni organi se primarno koriste kao izvrxni organi zbog svoje osobine

da sa relativno malim gabaritima ostvaruju velike sile i momente u odnosu na pneumatskei elektriqne organe istih veliqina.

6.1 Osnovni elementi hidrauliqnih prenosnih organa

Osnovni elementi koji se koriste u sintezi hidrauliqnih prenosnih organa su:

poluga

hidrauliqni klipni razvodnik

hidrauliqni cilindar

elastiqna sprega (opruga sa priguxivaqem).

U nastavku se najpre odreuju ihovi matematiqki modeli.

6.1.1 Poluga

Razmatra se poluga sa slike 6.1. Ona je zglobno vezana u osloncu O. Ulazna veliqina xudeluje na polugu u taqki A na kraju poluge, a izlazna veliqina poluge xi je pomerae enogdrugog kraja, taqka B.

xu xil1 l2O

A B

Slika 6.1. Poluga sa osloncem.

Za polugu kao fiziqki sistem usvaja se en model odreen sledeim pretpostavkama(idealizacijama).

P r e t p o s t a v k a 6.1.1 Poluga je kruto telo.

P r e t p o s t a v k a 6.1.2 Masa poluge je zanemarivo mala, pa su samim tim i ene inerci-jalne sile zanemarivo male.

P r e t p o s t a v k a 6.1.3 Otpori u osloncu poluge O su zanemarivo mali.

Delovae ulaza u taqi A pomera taj kraj poluge po krunom luku, tako da taqka A

prelazi u poloaj Ak, slika 6.2. S obzirom da je prema Pretpostavci 6.1.1 poluga krutotelo onda e en drugi kraj, tj. taqka B, doi u poloaj oznaqen sa B k odreen krunimlukom polupreqnika l2 qiji je centar u taqki O.

115


2/17

116 Poglave 6. Matematiqki modeli hidrauliqnih prenosnih organa

xu

xil1

l2

A

A1

AkB

B1Bk

O

Slika 6.2. Poluga sa osloncem.

U sluqaju da su pomeraa poluge dovono mala, onda luqna pomeraa krajeva polugemogu da se aproksimiraju pravolinijskim pomeraima. U takvim sluqajevima vai sledeapretpostavka.

P r e t p o s t a v k a 6.1.4 Pomeraa krajeva poluge su pravolinijska, upravna na en nomi-nalni poloaj.

To znaqi da pri delovau ulazne veliqine xuu taqki A, taj kraj poluge prelazi u poloajodreen taqkom A1. Drugi kraj poluge tada dolazi u poloaj definisan taqkom B1.

Veza izmeu izlaza xi i ulaza xu ove poluge, moe da se uspostavi na bazi sliqnostitrouglova

AOA1 BOB1,

odakle se dobija sledei odnosAO

AA1=

BO

BB1

tj.l1xu

=l2xi

= l2

.

Na osnovu prethodne jednaqine dobija se matematiqki model poluge (za koju vae navedenepretpostavke):

xi =kxu, k =l2l1

. (6.1)

Dobijena algebarska jednaqina ukazuje da je poluga statiqki sistem i da je en izlazjednoznaqno odreen samo ulaznom veliqinom.

U sluqaju da poluga nema oslonac, slika 6.3, ona se razmatra kao vixestruko prenosnisistem, koji ima dve ulazne veliqine xu1 i xu2 i jednu izlaznu veliqinu xi.

xu1 xu2xil1 l2

A BV

Slika 6.3. Poluga bez oslonca.

Matematiqki model poluge bez oslonca se dobija na osnovu prethodno uvedenih pret-postavki. Oznaqimo sa xi1 promenu izlazne veliqine kada na polugu deluje samo ulaznaveliqinaxu1, dok je xu2 =0:

xi1 =xixu2=0

.

Novi poloaj koji zauzima poluga pri delovau samo ulazne veliqine xu1 je odreen taqkamaA1V1B, slika 6.4. Na osnovu sliqnosti trouglova

ABA1 VBV1,

se dobija da za ihove katete vaiAB

AA1=

VB

VV1


3/17

6.1. Osnovni elementi hidrauliqnih prenosnih organa 117

xu1

xu2=0xi1

l1 l2A

A1

Ak

BV

V1


odnosnol1+l2

xu1=

l2xi1

.

To znaqi da je uticaj ulazne veliqinexu1 na promenu izlazne veliqine xi opisan sledeomjednaqinom

xi1 =l2

l1+l2xu1. (6.2)

U sluqaju da na polugu deluje samo ulazna veliqina xu2, pri qemu je xu1 =0, slika 6.5,onda na bazi sliqnosti trouglova ABB2 AVV2 sledi

xu1=0

xu2xi2

l1 l2A B

B2

Bk

V

V2


AB

BB2=

AV

VV2

odnosnol1+l2

xu2=

l1xi2

,

pri qemu je sa xi2 oznaqena promena izlazne veliqine nastala usled delovaa samo ulazneveliqine xu2 (xu1 =0). Iz prethodne jednaqine proizilazi

xi2 =l1

l1+l2xu2. (6.3)

U sluqaju da na polugu deluju obe ulazne veliqine istovremeno, slika 6.6, onda je izlazna

xu1xu2

xi1

xi2xi

l1 l2A

A A1 2=

Ak

B B= 1

B2

G D

Bk

V

V1

V2


veliqinaxi odreena rastojaem VV2

xi =VV2 =VG + GV2 =xu1+ GV2. (6.4)


4/17


Iz sliqnosti trouglovaA2GV2 A2DB2,

proizilaziA2D

DB2=

A2G

GV2

odakle se dobija da je GV2

GV2 =DB2

A2DA2G =

xu2 xu1l1+l2

l1 =l1

l1+l2(xu2 xu1).

Kada se ovaj izraz uvrsti u (6.4) dobija se

xi =xu1+ l1

l1+l2(xu2 xu1) =

1

l1l1+l2

xu1+

l1l1+l2

xu2,

odnosno

xi =l2

l1+l2xu1+

l1l1+l2

xu2. (6.5)

Uporeivaem ove jednaqine sa (6.2) i (6.3) zakuquje se da za datu polugu, kada vaenavedene pretpostavke, vai zakon superpozicije

xi =xi1+xi2 =l2

l1+l2xu1+

l1l1+l2

xu2,

tj. data poluga je linearan sistem.

6.1.2 Hidrauliqni klipni razvodnik

Hidrauliqni ravodnik slui za razvoee hidrauliqnog ua u jednu od komora hidrocilindra i time obezbedi kretae cilindra na jednu ili drugu stranu. Funkcionalna

xu

x

q

q

pumpa

rezervoar

koxuica

deta A

ka cilindru

od cilindra

pomera

koxuicu

pomera

klipove

u e pod

pritiskom

Slika 6.7. Hidrauliqni klipni razvodnik.

xema hidrauliqnog klipnog razvodnika je prikazana na slici 6.7.

Hidrauliqna pumpa snabdeva razvodnik uem pod pritiskom. To ue moe da se prosledika cilindru jedino ako su klipovi i otvori na koxuici u takvom poloaju da je protoqnapovrxina razliqita od nule. Takav sluqaj moe da nastane bilo pomeraem klipova, bilo


5/17


pomeraem koxuice, odnosno ako postoji relativno pomerae xr meu ima. Deta kojije sa A oznaqen na slici 6.7 je analizovan na naredne tri slike.

Na slici 6.8 je prikazan sluqaj kada klip u potpunosti zatvara otvor i kada ne postojiprotok kroz razvodnik. Visina klipa je oznaqena sa h, a preqnik otvora sa d. Oqigledno je

h

n

n

xr

n

d

Slika 6.8. Deta A: potpuno zatvoreni hidrauliqni klipni razvodnik.

postojae preklopa qija je vrednost

n = h d2

.

Zbog postojaa preklopa postoji interval neosetivosti, tj. interval na kome promenaulazne veliqine ne prouzrokuje promenu izlazne:

n xr n q =0.

Kada je apsolutna vrednost relativnog pomeraa vea od intervala neosteivostidolazi do proticaa ua kroz razvodnik, slika 6.9. Zavisnost protoka q i relativnog

h

n

n

xr

n

dn d

+

0

Slika 6.9. Deta A: delimiqno otvoreni hidrauliqni klipni razvodnik.

pomeraa xr je u opxtem sluqaju nelinearna, pri qemu vai:

|xr| n+d |q| qmax.

Kako sve fiziqke veliqine imaju ograniqea tako je i ovde maksimalna vrednost protokaodreena preqnikom otvora i, kao xto slika 6.10 pokazuje, dae poveavae relativnogpomeraa xr ne izaziva dae poveae protoka q. Za |xr| = n+ d dolazi do zasieaprotoka i vai:

|xr| n+d |q| =qmax.

Na osnovu svih ovih analiza zavisnost protoka u funkciji od relativnog pomeraa moeda se predstavi i u grafiqkom obliku, slika 6.11. Ta zavisnost je dobijena na osnovu velikogbroja taqaka koje su odreene u stacionarnom radnom reimu i takve karakteristike sistemase nazivaju statiqke karakteristike sistema. One pokazuju zavisnost izlazne veliqinexisistema od egove ulazne veliqine xu u stacionarnom reimu rada. Poxto su vrednostiovih veliqina konstantne kada se sistem nalazi u stacionarnom reimu rada, zbog toga je

statiqka karakteristika sistema definisana algebarskom jednaqinom

xi =f(xu).


6/17


h

n

n

xr

n

d

n d+

0

q q= max

Slika 6.10. Deta A: potpuno otvoreni hidrauliqni klipni razvodnik.

xr

q

qmax

n n+dnn d

qmax

Slika 6.11. Statiqka karakteristika hidrauliqnog klipnog razvodnika.

Statiqka karakteristika je linearna ako je funkcija f linearna. U suprotnom sluqju onaje nelinearna. Za razmatrani razvodnik, qija je izlazna veliqina xi =q, a ulazna veliqinaxu = xr, statiqka karakteristika je nelinearna. Samim tim i razmatrani razvodnik je unajopxtijem sluqaju nelinearni sistem.

Meutim u posebnim konstruktivnim sluqajevima, ili u posebnim uslovima rada, raz-vodnik moe da se ponaxa i kao linearni sistem. Da bi to moglo da bude zadovoeno morajuda budu ispuene sledee pretpostavke.

P r e t p o s t a v k a 6.1.5 Visina klipah jednaka je preqniku otvorad, tj. ne postoji preklop.

Kada vai ova pretpostavka onda ne postoji interval neosteivosti n = 0, pa je statiqkakarakteristika razvodnika u tom sluqaju oblika sa slike 6.12.

xr

q

qmax

d

d

qmax

Slika 6.12. Statiqka karakteristika hidrauliqnog klipnog razvodnika pri n = 0.

P r e t p o s t a v k a 6.1.6 Ue je nestixiv fluid, = const.

P r e t p o s t a v k a 6.1.7 Pritisak napojnog ua, koji daje pumpa, je konstantan.


7/17


P r e t p o s t a v k a 6.1.8 Radni opseg klipnog razvodnika je d, tj.

d xr d.

P r e t p o s t a v k a 6.1.9 U radnom opsegu protok je linearna funkcija relativnog pomeraa.

Ove pretpostavke dovode do statiqke karakteristike prikazane na slici 6.13. Sa te

xr

qq =Kqxr

Slika 6.13. Statiqka karakteristika idealizovanog klipnog razvodnika.

slike se vidi da su protok i relativno pomerae u lineranoj vezi, tj. da je, kada vaesve prethodno navedene pretpostavke, matematiqki model hidrauliqnog klipnog razvodnikaoblika

q =Kqxr. (6.6)

Analizom uticaja ulazne veliqine xu - kojom se pomera klipaqa, a samim tim i klipovirazvodnika i ulazne veliqine x kojom se pomera koxuica tj. otvori na razvodniku, za-kuquje se da, prema usvojenoj orijentaciji za pozitivan protok, vai:

q =

Kq(xu x). (6.7)

6.1.3 Hidrauliqni cilindar

Hidrauliqni cilindar se prevashodno koristi kao izvrxni organ upravaqkog sistema.egova funkcionalna xema je prikazana na slici 6.14. Da bi se odredio egov matematiqki

xi

q

A

q

ka razvodniku

od razvodnika

Slika 6.14. Hidrauliqni cilindar.

model polazi se od modela kojeg definixu sledee pretposavke.


8/17


P r e t p o s t a v k a 6 . 1 . 1 0 Rezultujua inercijalna sila klipa, klipaqe i svih delovakruto vezanih za klipaqu je zanemarivo mala.

Ova pretpostavka je opravdana u sluqaju da su mase male ili da se one pomeraju malimubrzaima.

P r e t p o s t a v k a 6 . 1 . 1 1 Sila trea klipa o zid cilindra i klipa i ua je zanemarivomala.

P r e t p o s t a v k a 6 . 1 . 1 2 Curee izmeu doe i gore komore cilindra, kao i cureeizmeu komora i okoline je zanemarivo malo.

P r e t p o s t a v k a 6 . 1 . 1 3 Klip se slobodno zaustava u svojim krajim poloajima.

Ovom pretpostavkom se zahteva nulta brzina u krajim poloajima v =0. Ukoliko to nijesluqaj, tj. ukoliko je v = 0 tda klip udara u dance ili poklopac cilindra i prinudno sezaustava.

P r e t p o s t a v k a 6 . 1 . 1 4 Radne povrxine klipa su sa obe egove strane jednake.

Ispuenost svih ovih pretpostavki dovodi do toga da je matematiqki model hidrau-liqnog cilindra odreen jednaqinom kontinuiteta - zapremina ua koja ue u cilindar ujedinici vremena qjednaka je promeni zapremine ua izazvane pomeraem klipa Axi:

q =Adxidt

, (6.8)

odnosno

Axi =q, (6.9)

ili

xi = 1A t0

q()d. (6.10)

6.1.4 Elastiqna sprega

Elastiqna sprega ili poluga se sastoji od opruge i unog priguxivaqa, slika 6.15. Ova

A

B

V

xu1 xu2xi

co

cp

FpFo

Slika 6.15. Elastiqna poluga.

sprega je vixestruko prenosni sistem, koji ima jednu izlaznu veliqinu xi koja predstavapomerae taqke B, i dve ulazne veliqine: xu1 koja deluje u taqki A i xu2 koja deluje u taqkiV.

Za elastiqnu spregu mogu da se usvoje naredne pretpostavke.

P r e t p o s t a v k a 6 . 1 . 1 5 Inercijalne sile svih pokretnih delova su zanemarivo male.

P r e t p o s t a v k a 6 . 1 . 1 6 Otporna sila opruge Fo, slika 6.15, srazmerna je enoj deforma-ciji:

Fo =co(xi xu1).


9/17

6.2. Razliqiti tipovi hidrauliqnih prenosnih organa 123

P r e t p o s t a v k a 6 . 1 . 1 7 Otporna sila unog priguxivaqa Fp, slika 6.15, srazmerna je rel-ativnoj brzini izmeu klipa i zidova cilindra:

Fp =cp(xu2 xi).

Na osnovu uslova ravnotee sila u taqki B dobija se

Fi =0 Fo =Fp

odnosnoco(xi xu1) = cp(xu2 xi).

Ureivaem prethodne jednaqine sledi

cpxi+coxi =coxu1+cpxu2.

Ako se uvede vremenska konstanta T u obliku T =cpco

, onda prethodna jednqina moe da

se predstavi na sledei naqin

Txi+xi =xu1+Txu2. (6.11)

6.2 Razliqiti tipovi hidrauliqnih prenosnih organa

Kombinacijom osnovnih elemenata dobijaju se hidrauliqni prenosni organi (HPO) razli-qitih redova i tipova dejstava. Budui da su hidrauliqni prenosni organi sastavni deoupravaqkog sistema, onda ihove osobine direktno odreuju i dinamiqke osobine uprav-aqkog sistema. U nastavku e biti prikazano nekoliko osnovnih tipova HPO:

HPO bez povratne sprege

HPO sa krutom povratnom spregom

HPO sa elastiqnom povratnom spregom

HPO sa usporenom povratnom spregom.

6.2.1 HPO bez povratne sprege

Ovo je najjednostavniji HPO, slika 6.16, koji se sastoji od hidrauliqnog klipnog razvod-

xu

q

q

pumpa

rezervoar

xi

A

12

Slika 6.16. HPO bez povratne sprege.

nika i hidrauliqnog cilindra. egov matematiqki model se odreuje na osnovu prikazanihjednaqina (6.7) i (6.9):

q =Kqxu,


10/17


Axi =q.

Kombinacijom prethodne dve jednaqine (eliminacijom promenive q) dobija se:

Axi =Kqxu.

Da bi se na osnovu prethodne diferencijalne jednaqine ponaxaa utvrdio red i tip dejstvaHPO ona se dovodi u oblik

xi =KqA

t0

xu()d,

odakle se zakuquje da je dati HPO nultog reda integralnog dejstva, tj. nultog reda IIIvrste.

Blok dijagram HPO-a bez povratne sprege je prikazan na slici 6.17.

Q(s) Xi(s)Xu(s) Kq1

As

Slika 6.17. Blok dijagram HPO-a bez povratne sprege.

6.2.2 HPO sa krutom povratnom spregom

U ovom sluqaju HPO se sastoji od tri osnovna elementa, slika 6.18:

1. hidrauliqni klipni razvodnik

2. hidrauliqni cilindar

3. poluga sa osloncem.

xu

x

q

q

pumpa

rezervoar

xi

A

l1 l2

1

3

2

Slika 6.18. HPO sa krutom povratnom spregom.

Za svaki od tih elemenata moe da se napixe odgovarajui matematiqki model:

q =Kq(xu x), (6.12)

Axi =q, (6.13)

x =l2l1

xi. (6.14)


11/17


Kada se (6.14) uvrsti u (6.12) dobija se

q =Kq

xu

l2l1

xi

. (6.15)

Ovaj izraz za protok moe sada da se iskoristi u (6.13) odakle proistiqe

Axi =Kq

xu

l2l1

xi

. (6.16)

ili

Axi+Kql2l1

xi =Kqxu. (6.17)

Pomnoimo prethodnu jednaqinu sa l1/l2 i podelimo je sa b

A

Kq

l1l2

xi+xi =l1l2

xu. (6.18)

Ako se uvedu sledee oznake

T =l1A

l2Kq k =l1l2

gde jeTvremenska konstanta, ak poziciono pojaqae ovog HPO, prethodna jednaqina, postaje

Txi+xi =kxu. (6.19)

HPO sa krutom povratnom spregom predstava sistem prvog reda P dejstva (II vrste).Matematiqki model moe da se prikae i u obliku blok dijagrama, slika 6.19.

Q(s) Xi(s)Xu(s)

X(s)

Xr(s)

Kq1

As

l1l2

Slika 6.19. Blok dijagram HPO-a sa krutom povratnom spregom.

6.2.3 HPO sa elastiqnom povratnom spregom

Ovaj HPO se sastoji od qetiri osnovna elementa, slika 6.20. Pri tome je elastiqna spregaoznaqena elementno, preko unog priguxivaqa i opruge.


2. hidrauliqni cilindar3. uni priguxivaq

4. opruga


Nepoznate veliqine prikazne na slici 6.20 su: xi, , x i q. To znaqi da treba da napixemoqetiri jednaqine da bi smo mogli da odredimo sve nepoznate veliqine.

Za ravodnik moe da se napixe

q =Kq(xu x). (6.20)

Za cilindar vaiAxi =q. (6.21)

Elastiqna sprega je opisana sa (6.11). U ovom sluqaju izlazna veliqina sprege, spojnataqka opruge i priguxivaqa, je . Ulazna veliqina sa strane opruge xu1 je ovde nula jer je


12/17


xu

x

q

q

pumpa

rezervoar

xi

A

l1 l2

1

5

3

4

2

xi

co

cp

Slika 6.20. HPO sa elastiqnom povratnom spregom.

opruga ukextena na tom kraju. Ulazna veliqinaxu2 sa strane priguxivaqa je na slici 6.20oznaqena sa xi. Prema tome diferencijalna jednaqina ponaxaa elastiqne sprege je

cpc0

+ =cpco

xi. (6.22)

Elastiqna sprega u konfiguraciji prikazanoj na slici 6.20 se ponaxa kao diferencijalnielement prvog reda.

Jednaqina ponaxaa poluge sa osloncem je

x =l2l1

. (6.23)

Rexee koje treba da dobijemo je diferencijalna jednaqina u kojoj figurixu samo veli-

qine xi i xu. To znaqi da iz prethodnih jednaqina mora da se eliminixu ostale nepoznateveliqine x, i q.

Eliminiximo nepoznatu pomonu veliqinu x tako xto (6.23) uvrstimo u (6.20)

q =Kq(xu l2l1

), (6.24)

a zatim kombinacijom (6.24) i (6.21) eliminiximo i neopoznatu q

Axi =Kq(xu l2l1

). (6.25)

Sada su nam ostale dve jednaqine: (6.22) i (6.25) i dve nepoznate xi i . Odreivaem iz

(6.25) na sledei naqinl2l1

=xu A

Kqxi


13/17


i mnoeem te jednaqine sa l1/l2 dobija se

=l1l2

xu l1A

l2Kqxi. (6.26)

Na osnovu te jednaqine odreuje se i prvi izvod veliqine

=l1l2

xu l1A

l2Kqxi. (6.27)

Na kraju se jednaqine (6.26) i (6.27) uvrxuju u jednaqinu (6.22) odakle sledi

cpc0

l1l2

xu l1A

l2Kqxi

+

l1l2

xu l1A

l2Kqxi =

cpco

xi. (6.28)

Preureeem te jednaqine na uobiqajeni naqin kako prikazujemo diferencijalne jedna-qine dobija se

cpc0

l1A

l2Kqxi+

cpco

+ l1A

l2Kq

xi =

l1l2

xu+cpc0

l1l2

xu (6.29)

ili, preureivaem u potrebni oblik za odreivae reda i tipa dejstva:

cpc0

l1A

l2Kqxi+

cpco

+ l1A

l2Kq

xi =

l1l2

t0

xu()d+cpc0

l1l2

xu (6.30)

zakuquje sa da je razmatrani HPO sa elastiqnom povratnom spregom prvog reda PI dejstva,odnosno III vrste.

U ovom sluqaju matematiqki model u obliku blok dijagrama daje potpuniju sliku o sis-temu budui da blok dijagram pored matematiqkog modela prikazuje i strukturu sistema.Na osnovu blok dijagrama sa slike 6.21 mogu da se vide meusobna dejstva podsistema, tj.osnovnih elemenata ovog hidrauliqnog prenosnog organa.

Q(s) Xi(s)Xu(s)

Xr(s)

X(s)

(s)

(s)

Xi(s) Fo =Fp

Kq1

As

cps1

co

l1l2

Slika 6.21. Blok dijagram HPO-a sa elastiqnom povratnom spregom.

6.2.4 HPO sa usporenom povratnom spregom

HPO sa usporenom povratnom spregom ima iste elemente kao i HPO sa elastiqnom povrat-nom spregom. Jedina razlika je u elastiqnoj sprezi, tj. u poloaju opruge i priguxivaqa,slika 6.22.


2. hidrauliqni cilindar

3. opruga

4. uni priguxivaq


Nepoznate veliqine prikazne na slici 6.22 su: xi, , x i q. Sa qetiri jednaqine (zarazvodnik, cilindar, elastiqnu spregu i polugu) odrediemo sve nepoznate veliqine.

Jednaqina ponaxaa razvodnika je

q =Kq(xu x). (6.31)


14/17


xu

x

q

q

pumpa

rezervoar

xi

A

l1

l2

1

5

3

4

2

xi

co

cp

Slika 6.22. HPO sa usporenom povratnom spregom.

Hidrauliqni cilindar je opisan saAxi =q. (6.32)

Elastiqna sprega je opisana sa (6.11). U ovom sluqaju izlazna veliqina sprege, spojna taqkaopruge i priguxivaqa, je . Ulazna veliqina sa strane opruge xu1 je ovde oznaqena sa xi.Ulazna veliqina xu2 sa strane priguxivaqa je jednaka nuli budui da je uni priguxivaqfiksiran sa te strane. Prema tome diferencijalna jednaqina ponaxaa elastiqne sprege usluqaju prikazanom na slici 6.22 je

cpc0

+ =xi. (6.33)

Elastiqna sprega u konfiguraciji prikazanoj na slici 6.22 se ponaxa kao proporcionalnielement prvog reda.

Jednaqina ponaxaa poluge sa osloncem je

x =l2l1

. (6.34)

Rexee koje treba da dobijemo je diferencijalna jednaqina u kojoj figurixu samo veli-qine xi i xu. To znaqi da iz prethodnih jednaqina mora da se eliminixu ostale nepoznateveliqine x, i q.

Eliminiximo nepoznatu pomonu veliqinu x tako xto (6.34) uvrstimo u (6.31)

q =Kq(xu l2l1

), (6.35)

a zatim kombinacijom (6.35) i (6.32) eliminiximo i neopoznatu q

Axi =Kq(xu l2l1

). (6.36)


15/17

6.3. Hidrauliqni sistem automatskog upravaa 129

Sada su nam ostale dve jednaqine: (6.33) i (6.36) i dve nepoznate xi i . Odreivaem iz(6.36) na sledei naqin

l2l1

=xu A

Kqxi

i mnoeem te jednaqine sa l1/l2 dobija se

=l1l2

xu l1A

l2Kqxi. (6.37)

Na osnovu te jednaqine odreuje se i prvi izvod veliqine

=l1l2

xu l1A

l2Kqxi. (6.38)

Na kraju se jednaqine (6.37) i (6.38) uvrxuju u jednaqinu (6.33) odakle sledi

cpc0

l1l2

xu l1A

l2Kqxi

+

l1l2

xu l1A

l2Kqxi =xi. (6.39)

Preureeem te jednaqine na uobiqajeni naqin kako prikazujemo diferencijalne jedna-qine dobija se

cpc0

l1A

l2Kqxi+

l1A

l2Kqxi+xi =

l1l2

xu+cpc0

l1l2

xu (6.40)

odakle se zakuquje da je razmatrani HPO sa usporenom povratnom spregom drugog reda PDdejstva, odnosno II vrste.

Meusobna dejstva pojedinih elemenata u okviru HPO sa usporenom povratnom spregomnajboe ilustruje blok dijagram ovog HPO-a koji je prikazan na slici 6.23.

Q(s) Xi(s)Xu(s)

Xr(s)

X(s)

(s)

(s)

Xi(s) Fp =Fo

Kq1

As

co1

cpsl1l2

Slika 6.23. Blok dijagram HPO-a sa usporenom povratnom spregom.

6.3 Hidrauliqni sistem automatskog upravaa

Vrlo qesto Pretpostavka 6.1.10 i Pretpostavka 6.1.12 nisu prihvative. To se dexava u

sluqaju velikih masa koje se pomeraju hidrauliqnim cilindrom ili velikih sila koje naega deluju. Jedan takav primer je prikazan na slici 6.24. Masa kolica Mne moe da sezanemari.

Izloimo celokupni postupak za odreivae matematiqkog modela hidrauliqnogprenosnog organa koji je verodostojan prikazanom fiziqkom sistemu.

Protok ua na izlaznom otvoru razvodnika je odreen poznatom relacijom

q =Kqxr. (6.41)

U sluqaju kada je hidrauliqni cilindar optereen velikim silama, tada postoji cureeizmeu komora cilindra, kao i komora i okoline. Tada mora da se uzme u razmatrae istixivost ua, pa ni Pretpostavka 6.1.6 nema opravdae u takvim sluqajevima.

Odatle proistiqe da se protok koji izae iz razvodnika raspodeuje na protok koji ide u

hidrauliqni cilindar -qh, protok koji se gubi usled curea - qc i na protok za kompenzacijustixivosti hidroua - qs, tj.:

q =qh+qc+qs. (6.42)


16/17


M

xux

q q

ps

p1

p p pL 1 2= -

K pc Lp2

pumpa

rezervoar

xi

A

l1

l2 1

5

34

2

6 xi

co

cp

Slika 6.24. HPO koji uprava poziciju kolica.

Deo protoka qh proizvodi kretae klipa cilindra i kao xto je ve pokazano moe da seizrazi sledeom jednaqinom:

qh =Adxidt

. (6.43)

Komponenta protoka koji se gubi usled curea u sistemu qc moe da se izrazi prekokoeficijenta curea Kc i radnog pritiska hidroua pL:

qc =KcpL, (6.44)

pri qemu je radni pritisak ua jednak razlici pritisaka u komorama hidrocilindra pL =

p1 p2.Komponenta protoka za kompenzovae stixivosti hidroua qs zavisi od modula

stixivosti hidroua B i efektivne zapremine hidroua koje je pod pritiskom: uhidrocilindru i u vodovima izmeu razvodnika i cilndra V. To moe da se izrazi sledeomjednaqinom:

qs =V

B

dpLdt

(6.45)

Na osnovu (6.43), (6.44) i (6.45) jednaqina (6.42) moe da se napixe u obliku

q =Adxidt

+KcpL+V

B

dpLdt

, (6.46)

a budui da je taj protok jednak protoku razvodnika (6.41) onda vai i sledea jednaqina:

Kqxr =Adxidt

+KcpL+V

B

dpLdt

. (6.47)


17/17

6.3. Hidrauliqni sistem automatskog upravaa 131

Sila Fkoju hidroue pod pritiskom stvara delovaem na klip radnog cilindra je:

F =ApL. (6.48)

Da bi ta sila mogla da savlada sva inercijalna optereea mase Mi savlada viskoznotree, mora da vai:

ApL =Md2

xidt2

+ dxidt

, (6.49)

gde je koeficijent viskoznog trea klipa i zidova cilindra. Prvi izvod radnog pritiskaje

dpLdt

=M

A

d3xidt3

+

A

d2xidt2

, (6.50)

Ako se sada u (6.47) uvrsti izraz za pritisak pL i egov prvi izvod (6.49) i (6.50) dobijase:

Adxidt

+Kc

M

A

d2xidt2

+

A

dxidt

+

V

B

M

A

d3xidt3

+

A

d2xidt2

= Kqxr, (6.51)

odakle se preureeem jednaqine dobija diferencijalna jednaqina ponaxaa podsistemahidrauliqni klipni razvodnik - hidrauliqni cilindar:

V M

BA

...x i+

V

BA+Kc

M

A

xi+

A+Kc

A

xi =Kqxr . (6.52)

Prenosna fukcija tog sklopa je

Xi(s)

Xr(s) =W(s) =

Kq

s

V M

BAs2 +

V

BA+Kc

M

A

s+

A2 +Kc

A

, (6.53)

tj.

W(s) =Kq

s V M

BA

A

A2

+Kc

s2 +V

BA

+ KcM

A

A

A2

+Kc

s+ 1. (6.54)

Ako se uvedu sledee oznake

n =

B(A2 +Kc)

V Mi

=

V

BA+ Kc

M

A

A

A2 +Kc

2n

onda je n sopstvena uqestanost, a priguxee sklopa hidrauliqni klipni razvodnik hi-drauliqni cilindar, pa prenosna funkcija moe da se prikae na sledei naqin

W(s) =Xi(s)

Xr(s) =

Kq2n

s(s2 + 2ns+2n). (6.55)

Kompletan matematiqki model sistema qija je funkcionalna xema prikazana naslici 6.24 najboe ilustruje blok dijagram tog sistema, slika 6.25.

Q(s) Xi(s)Xu(s)

Xr(s)

X(s)

(s)

(s)

Xi(s) Fo =Fp

Kq

cps1

co

l1l2

2ns(s2 + 2ns+2n)

Slika 6.25. Blok dijagram HPO-a koji uprava kolica mase M.

Documents

Matematicki Modeli Hidraulickih Prenosnih Organa