Matematiki modeli sistema

U analizi i sintezi SAU se koriste kvantitativni matematiki modeli koji opisuju fiziku sistema. Generalno, dinamika sistema je opisana obinim diferencijalnim jednainama. Klasa sistema koja e se prouavati u toku ovog kursa su: kontinualni, linearni, stacionarni sistemi sa koncentrisanim parametrima. Takvi sistemi se opisuju sistemima linearnih diferencijalnih jednaina sa konstantnim koefeicijentima. Obzirom da je veliki broj fizikih sistema nelinearan, u okviru ove teme e se govoriti i o linearizaciji, koja omoguava primenu Laplasove transformacije (Laplace). Takoe, bie rei i o Laplasovoj transformaciji kao veoma korisnom alatu za reavanje problema opisanih diferencijalnim jednainama. Obradie se relacije ulaz-izlaz (RUI) i funkcija prenosa sistema, a u okviru grafikih metoda predstavljanja sistema blok dijagram, graf toka signala i njihove transformacije (simplifikacija, uproavanje).

Uvod

Da bi se razumela dinamika i projektovalo upravljanje za neki kompleksan sistem prvo mora biti poznat njegov matematiki model. Poto su razmatrani sistemi u prirodi dinamiki, za njihovo opisivanje se koriste sistemi diferencijalnih jednaina (DJ). Pri reavanju sistema diferencijalnih jednaina pogodno je koristiti Laplasovu transformaciju (LT) koja pojednostavljuje odreivanje reenja. Ukoliko je SAU opisan sistemom nelinearnih DJ pre primene LT je potrebno izvriti linearizaciju. U praksi, sistemi koji se razmatraju mogu biti veoma komplikovani, ili njihova priroda nije u potpunosti poznata te je u procesu modelovanja potrebno uvesti (usvojiti) odreene pretpostavke, zanemarenja i uproenja. Nakon zavrenog modelovanja SAU je opisan sistemom linearnih DJ. Na kraju se na osnovu postavljenog modela, primenom LT, odreuje ponaanja sistema u razliitim uslovima i za razliite pobude. Analiza dinamikih sistema se prema dosad navednom moe ralaniti na sledee korake:

1. Definisanje sistema i njegovih komponenti; 2. Formulisanje matematikog modela uz nabrajanje usvojenih pretpostavki; 3. Pisanje sistema DJ koji opisuje model (sistem); 4. Reavanje postavljenog sistema jednaina po eljenim izlaznim promenljivima; 5. Provera tanosti reenja i usvojenih pretpostavki; 6. Ako je potrebno, ponovo proanalizirati sistem i ponovo formulisati model.

Primer: Van der Polov oscilator Elektrino kolo sa slike 1 proizvodi oscilacije u prisustvu nelinearnog elementa triode. U triodi elektroni se emituju sa grejaa (katode) i prelaskom na anodu (pozitivnog potencijala ep) formiraju struju kroz triodu (ip). Negativan potencijal mreice (eg) se upotrebljava za upravljanje tom strujom. Struja kroz mreicu se zanemaruje.

1

+

ep

R

ipM

+

Ebb

+ iR

iC

ieg

L C

Slika 1.

Slika 2 prikazuje tipinu karakteristiku triode:

ip=(ep+ed) (1) gde je faktor pojaanja (m>>1). Sa P je oznaena radna, a ujedno i prevojna taka.

ip

(Ebb)

Ebb

P

ep+eg

Slika 2.

Na osnovu elektrinog kola sa slike 1 mogu se napisati sledei izrazi:

ip=i+ic+iR (2)

Ldidt=RiR (3)

Ldidt=

1C

0

tiC(t)dt L

d2idt2=

1CiC. (4)

Nakon deljenja jednaine (2) sa C i smene (4) u (2) sledi:

Ld2idt2+

1Ci=

1C(ip-iR). (5)

Nakon mnoenja jednaine (5) sa C i smene (1) (3) u (5) sledi:

LCd2idt2+

LR

didt+i=(eg+ep). (6)

Poto je struja kroz mreicu zanemariva, vai sledei izraz:

eg=Mdidt, (7)

a na osnovu slike 1 se moe napisati:

ep=Ebb-Ldidt. (8)

Definie se nova promenljiva e, iji je definicioni izraz (uz uvaavanje jednaina (7) i (8)):

2

e=ep+eg=Ebb-Ldidt+M

didt=Ebb+(M-L)

didt. (9)

Sada se uvodi smena: y=i-(Ebb) (10)

Nakon uvoenja smene (10) izraz (6) se moe napisati u obliku:

LCd2ydt2+

LR

dydt+y+(Ebb)=

Ebb+(M-L)

dydt . (11)

Ako je:

f

dy

dt =

Ebb+(M-L)

dydt -(Ebb), (12)

izraz (11) se moe napisati u obliku:

LCd2ydt2+

LR

dydt+y=f

dy

dt . (13)

Razvojem (12) u Tejlorov red dobija se izraz:

f

dy

dt =(Ebb)(Ebb)+'(Ebb)(M-L)dydt+

12''(Ebb)

(M-L)

dydt

2+16'''(Ebb)

(M-L)

dydt

3+...

(14) Poto je P prevojna taka vai:

''(Ebb)=0. (15a) Dodatnom analizom slike 2 moe se zakljuiti:

'(Ebb)>0, '''(Ebb)0 za >>1 (15c) Uz uvaavanje izraza (15) i uz zanemarivanej lanova vieg reda, izraz (14) se moe napisati u obliku:

f

dy

dt ='(Ebb)(M-L)dydt+

16'''(Ebb)

(M-L)

dydt

3 (16)

Nakon zamene (16) u (13) sledi:

LCd2ydt2+

LR

dydt+y='(Ebb)(M-L)

dydt+

16'''(Ebb)

(M-L)

dydt

3. (17)

Ako se definiu veliine i na sledei nain: LR-'(Ebb)(M-L)=-, >0 za >>1; (18)

16'''(Ebb)(M-L)

3=-3, >0; (19)

izraz (17) se moe napisati u obliku:

LCd2ydt2 -

dydt+

3

dy

dt3

+y=0. (20)

Uvode se sledee oznake: 2=1

LC; =t; y=

z; = pa se izraz (20) moe napisati u

obliku: d2zd2-

dz

d

-13

dz

d

3+z=0 (21)

Ako se izvri diferenciranje izraza (21) po i uvede smena: dzd=x, dobija se Van der Polova

jednaina: d2xd2+(x

2-1)dxd+x=0 (22)

3

Jednaina (22) je ime dobila po danskom fiziaru i elektro inenjeru Balthasaru Van der Polu (1889-1959) koji je istraivao oscilovanje i prvi je matematiki opisao pojave iz laboratorije. Jednainu je prvi analizirao lord Leyleigh istraujui probleme akustike.

Opisivanje fizikih sistema diferencijalnim jednainama

Diferencijalne jednaine koje opisuju pojedine sisteme se postavljaju na osnovu fizikih zakona koji opisuju pojedine procese. Ovakav pristup se jednako primenjuje na mehanike, elektrine, hidro, pneumatske i termodinamike sisteme. U nekim sluajevima se fiziki razliite pojave opisuju jednainama istog oblika i tada se uspostavljaju analogije. Sledei primer e pokazati uspostavljanje elektro - mehanikih analogija. Primer Posmatra se mehaniki sistem na slici 1.

Kf(t)

b

M

y(t)

Slika 1.

Sila f(t) vue telo mase M u desno, pri emu se telo pomera i njegov se poloaj, y(t), menja. Ovom kretanju se odupiru sledee sile: sila u opruzi nastala usled stezanja (proporcionalna koeficijentu krutosti K), inercija tela (proporcionalna masi M) i trenje o podlogu (proporcionalno koeficijentu trenja b). Ako se ovo izrazi matematiki, sledi jednaina

f(t) = Md2y(t)

dt2 + b

dy(t)dt + Ky(t) (1)

Izraz (1) je diferencijalna jednaina koja opisuje dinamiku posmatranog sistema. Dalje, posmatra se elektrino kolo prikazano na slici 2.

4

G = 1/Ri(t) L C

ig il ic

u(t)

Slika 2.

Elektrino kolo sa slike 2 se moe opisati sledeim izrazom

i(t) = ig + il + ic = Gu(t) + 1L

0

tu(t)dt + IL0

0 + Cdu(t)

dt

Poto je: u(t) = d(t)

dt , prethodni izraz se moe napisati

i(t) = Cd2(t)

dt2 + G

d(t)dt +

iL(t). (2)

Ako se posmatraju jednaine (1) i (2) vidi se da su one istog oblika, iako opisuju fiziki razliite pojave (sisteme). Na osnovu istog oblika jednaina uspostavljaju se sledee analogije:

Mehanike veliine Elektrine veliine sila f(t) struja i(t)

poloaj y(t) fluks (t) masa M kapacitivnost C trenje b provodnost G

krutost (elastinost) K reciprona vrednost induktivnosti 1/L Jednaine (1) i (2) se mogu reiti nekom od metoda za reavanje DJ (metoda neodreenih koeficijenata). Neka je za DJ (1) y(t0)=Y(0)=0 i f(t)=F=const., tada je reenje

y(t) = K1e-1tsin(1t + 1), (3)

gde su K1, 1, 1 i 1 koeficijenti koje treba odrediti. Za reenje jednaine (2), uz uslove: u(t0)=0 i i(t)=I=const., se dobija:

u(t) = K2e-2tsin(2t + 2) (4)

5

gde su K2, 2, 2 i 2 koeficijenti koje treba odrediti. Grafiki se reenje moe predstaviti krivom na slici 3, i prokomentarisati na sledei nain. Za t , u(t) 0, odnosno nema napona na kalemu, otporniku i kondenzatoru. Kako se to objanjava? Za kalem je

konstitutivna relacija u(t) = Ldi(t)dt . Ako je i(t)=const, tada je ul=0, odnosno kalem e se

ponaati kao kratak spoj. Iz tog razloga struja ne tee kroz otpornik (ur=0), a ako je kondenzator ranije bio napunjen ispraznie se kroz kratak spoj (uc=0).

Slika 3.

vreme

e - 2t

u(t)

2 / 2

Primer Na slici je prikazan elektromehaniki regulator. Ulazna promenljiva je signal greke u obliku elektrinog napona e(t), a izlazna (upravljaka) veliina je pomeraj poluge u(t). Pretpostavlja se da je veza izmeu napona e(t) i elektromagnetne sile u jezgru linearna, preko koeficijenta razmere k. Zanemaruju se sve mase, a izmeu sila, pomeraja i brzina kod opruge i priguivaa primenjuju se linearni odnosi. Formirati diferencijalnu jednainu koja opisuje zavisnost izlazne promenljive u(t) od ulaza e(t). Koeficijent krutosti opruge je C, a koeficijenti viskoznog trenja u priguivaima (uljnim cilindrima) su D1 i D2.

eC D1

D2

u

x1

01

Reenje: Elektromotorna sila: Fm=ek (1) Sila koja deluje na krajevima opruge je: Fo=C(u-x1) (2)

Sila u prvom priguivau: dt

dxDF 111 = (3)

Sila u drugom priguivau: dtduDF 22 = (4)

Na osnovu ravnotee sila u takama 0 i 1 slede izrazi: Fm=F0+F2 (5)

Fo=F1. (6)

6

Nakon zamene desnih strana izraza (1)-(4) u izraze (5) i (6) sledi:

dtduD)xu(Cek 21 = (7)

dtdxD)xu(C 111 = (8)