OCENA KVALITETA LINEARNIH SISTEMA AUTOMATSKOG

UPRAVLJANJA

• Da bi se mogla dati ocena kvaliteta ponašanjaprojektovanog sistema, bilo bi potrebno da se u svakom trenutku može odrediti, greška izmeđustvarne vrednosti izlazne (upravljanje) veličinesistema i referentne vrednosti definisane ulaznomveličinom to jest omogući sticanje uvida u veličinu odstupanja vrednosti upravljane promenljive u odnosu na unapred zadane vrednosti.

• Ukoliko je ova vrednost poznata za svaki trenutak vremena tada postoji potpuna informacija o svojstvima sistema kojeg posmatramo.

• Poznato je da se sinteze ogleda u izboru strukture iodređivanju vrednosti podesivih parametara sistemaprema postavljenim kriterijumima tako da sistemupravljanja, dobije unapred zadate (željene), karakteristike u domenu stacionarnog i prolaznogrežima rada.

• Kod projektovanja obično se zahteva da sistemi budedovoljno tačan i da ima što veću brzinu reagovanja, da na svom izlazu što vernije reprodukuje date ulazne veličine sa što manje oscilovanja i što manjomosetljivošću na šumove.

• U literaturi predloženo je i više tipova kriterijuma, odnosno indeksa performansi, za ocenu kvaliteta ponašanja sistema koji se mogu svrstati u četiri grupe.

• Prvu grupu sačinjavaju kriterijumi koji služe za ocenu tačnosti rada sistema u stacionarnom režimu, gde se kao kriterijum daje veličina dopuštenog signalagreške u ustaljenom stanju.

• Drugu grupu čine kriterijumi za ocenu stepenarelativne stabilnosti, kojim se određuje rezervastabilnosti sistema u prelaznom režimu tj. koji služikao mera za procenu koliko je sistem udaljen odgranice (jer pri projektovanju uvek polazimo od toga da sistem treba da bude apsolutno stabilan).

• Treću grupu sačinjavaju kriterijumi koji služe za ocenu brzine odziva sistema na pobudu odgovarajućim ulazinim signalima i poremećajima.

• Četvrtu grupu kriterijuma čine integralni indeksiponašanja sistema u prelaznom režimu, kaosveobuhvatni kriterijum za ocenu nekih opštihperformansi sistema koje obuhvataju tačnost, rezervustabilnosti i brzinu reagovanja.

• Kriterijumi prve tri grupe omogućavaju uvid u pojedine performanse sistema.

• Za razliku od njuh integralni kriterijumi predstavljaju pokazatelje koji svojom vrednošću objedinjavaju informacije o relevantnim dinamičkim karakteristikama sistema kao što su pretek stabilnosti i brzina reagovanja.

• Određivanje rezerve stabilnosti i brzine reagovanjavrši se pomoću metoda u vremenskom i frekventnomdomenu. Obe ove metode našle su široku primanu ikoriste se paralelno kod projektovanja novih sistema.

• Nameće se pitanje da li je moguće ustanoviti vezuizmeđu kriterijuma u vremenskom i u frekventnomdomenu.

• Veza između kriterijuma u vremenskom ifrekventnom domenu ima složeni karakter i može se odrediti samo u nekim jednostavnim slučajevimasistema prvog i drugog reda tako da se praktično ne može koristiti.

gde je:

Kr [sec] - faktor pojačanja prenosne funkcije,r - stepen (eksponent) integratorskog člana s u imeniucu kojioznačava broj inte-gralnih elemenata u sistemu

• Kao što je u prethodnim metodskim jedinkamaistaknuto da se prenosna funkcija sistema A.U. saotvorenim kolom može se uvek svesti na sledeći opštioblik:

11 1

11 1

( ... 1)( )( ... 1)

m mr m m

r n r n rn n

K b s b s b sW ss a s a s a s

−−

− − −−

+ + + +=

+ + + +

• gde je N1(s) polinom u brojniku a D1(s) polinom u imeniocu.• U odnosu na stepen (eksponent) r za s u jednačini , sisteme se

klasifikuju u »tipove«. Pri tome moramo voditi računa o tome da se tip ne pomeša sa redom; red je jednak stepenupolinoma od s u imeniocu, a tip odgovara eksponentu rintegratorskog člana s u imeniocu.

• Tako se za sistem predstavljen jednačinom , u kojoj je r = 0, kaže da je nultog tipa, odnosno TIPA 0, za r = 1 kaže se da je sistem TIPA 1, za r = 2 da je TIPA 2, itd.

• Kod sistema tipa 0, nema integratora, kod sistema tipa 1, imajedan integrator, sistem tipa 2 ima dva integratora (dvaintegralna elementa).

Osobine stacionarnog stanja

• Kao što prilikom rešavanja linearne diferencijalnejednačine sa konstantnim koeficijentima rešenje čine dvasabirka, jedno potiče od takozvane homogenediferencijalne jednačine i njoj odgovarajuće homogenorešenje, dok je drugi sabirak takozvano partikularnorešenje.

• Ako je sistem koji opisuje ta diferencijalna jednačinastabilan, tada će posle izvesnog vremena homogenorešenje da isčezne, i ukupno rešenje diferencijalnejednačine će biti diktirano isključivo partikularnimrešenjem.

• Na sličan način, posmatranjem karakterističnog odzivasistema na jediničnu odskočnu pobudu, moguće je uvideti početni period u kome homogeno rešenjeisčezava i period posle u kome je partikularno rešenjedominantno.

Karakterističan odziv sistema na jediničnu odskočnupobudu

• Na ovoj slici se vidi da do desete, jedanaestesekunde homogeni deo rešenja diferencijalnejednačine dominira u odzivu, a već iza toga odziv počinje da liči na pobudni signal, štoznači da je homogeni deo u najvećoj meriisčezao i da je u odzivu sistema dominantničlan postao partikularno rešenje.

• Prilikom analize i sinteze sistema, postavljaju se posebnikriterijumi i zahtevi na ponašanje sistema i u prelaznomrežimu, takozvanom tranzijentu, ali i na svojstva sistemau stacionarnom, ili ustaljenom stanju.

• Prilikom analize i karakterizacije sistema u stacionarnomstanju, moramo biti sigurni da je tranzijent isčezao, i zbogtoga se uglavnom pretpostavlja da je vremenska varijablabeskonačno velika .

• U cilju ovakve analize pretpostavimo da smo na ulazsistema, koji je realizovan kao sistem sa jediničnomnegativnom povratnom spregom, doveli neke tipičnevremenske oblike

• Kod proučavanja performansi sistema obično se prvorazmatraju stacionarne karakteristike i određujustatičke greške za pojedine tipove sistema, pa se tekposle toga prelazi na razmatranje kvaliteta prelaznogrežima.

• Kako bi se obezbedilo jedinstveno određivanjestatičkih grešaka i omogućilo njihovo međusobnoupoređivanje radi davanja ocene tačnosti radasistema, potrebno je posmatrati greške ustaljenogstanja koje nastaju kao odziv na tipične ulazne(pobudne) ili poremećajne funkcije.

Šema sistema sa zatvoremm kolom i jediničnom povratnomspregom.

• Ocenu tačnosti rada sistema najlakše ćemo prikazatiuz pomoć jednostavne blok šeme sistema sajediničnom povratnom spregom date na slici uznapomenu da se izložena analiza može uopštiti i zasložene sisteme.

gde je kompleksni lik greške, u ustaljenom stanju:

• Prenosna funkcija ovakvog sistema sa zatvorenimkolom data je jednačinom

( )( )1 ( )e

W sW sW s

=+

Prema slici izlazna veličina Y(s) biće

Uvrštavanjem vrednosti za y(s) iz poslednje jednačine u pretposlednju jednačinu dobija se:

• Signal greške E(s) ovde je dat u funkciji kompleksnopromenjive s. Kako se ponašanje stabilnog sistemarazmatra u vremenskom području, kod kojeg prelazniproces posle pobude ulaznim signalom praktičnoiščezava sa vremenom jer prelazi u stacionarnostanje, to je potrebno izraz za grešku ustaljenogrežima prebaciti iz područja kompleksno promenljiveu vremensko područje.

• To se može jednostavno uraditi pomoću drugeteoreme granične vrednosti Laplasove transformacijekako je dato u prethodnim metodskim jedinicama:

• Iz poslednje jednačine vidi se da greška ustaljenogstanja zavisi od oblika prenosne funkcije otvorenogsistema W(s) i od vrste ulazne veličine X(s).

• Mogu se izvoditi greške za pojedine slučajeveJedinični odskočni signal na ulazu sistema(konstanta položajne greške)Jedinični nagibni signal na ulazu sistema (konstantabrzinske greške)Jedinični parabolični signal na ulazu sistema(konstanta greške ubrzanja)

• Konstantne greške kao i vrednosti grešakaustaljenog stanja za stabilne sisteme sajednačinom povratnom spregom tipa 0,1 i 2 , ipri tome karakterističnim ulaznim veličinama, pregledno su sređene u tabeli.

• Primetimo da su imena konstanti, i krajnjelogična.

• Konstanta pozicije govori o tome sa kakvom greškomsistem radi u stacionarnom stanju ukoliko od njegaočekujemo da izlazni signal drži na konstantnojpoziciji.

• Brzinska konstanta nam govori o grešsci u stacionarnom stanju ukoliko izlazni signal treba da se menja konstantnom brzinom i konačno

• konstanta ubrzanja je vezana za promenureferentnog signala sa konstantnim drugim izvodom(ubrzanje).

• Ovakvu analizu bismo mogli nastaviti tako što na ulazsistema dovodimo signale

međutim rezultati koje bismo dobili bi bili priličnoneupotrebljivi.Naime, vidimo da sa uvođenjem reference svevećeg i većeg reda, dobijamo zahtev da astatizamsistema bude sve viši.Sa druge strane, povećanje reda astatizma sistemaznačajno ugrožava stabilnost, te pitanje stacionarnogstanja postaje bespredmetno.Uobičajeno je da se operiše sa sistemima koji imajured astatizma najviše tri, mada, teorijski gledano, već za sisteme astatizma trećeg reda stabilnost možebiti samo uslovna.

Karakterizacija kontinualnih sistema u prelaznomrežimu

• Ponašnje sistema u prelaznom režimu možemoopisati sa većim brojem parametara koji pripadajurazličitim prostorima u kojima se sistemi moguanalizirati:

• vremenski• frekvencijski• kompleksni

Karakterizacija kontinualnih sistema u prelaznom vremenskom području

• U analizi i sintezi sistema upravljanja vrlo je važno naći metod specifikacije performansisistema automatskog upravljanja.

• Takva specifikacija se prirodno daje u vremenskom domenu. U opštem slučajuspecifikacije sistema se odnose na specifikacijetranzijentnog i ustaljenog ponašanja sistema.

• Odziv svakog linearnog sistema je u opštemslučaju sastavljen iz dve komponente:

)()()( tytyty sstr +=

• gde je:

• - tranzijentni odziv sistema• - ustaljeni odziv sistema

)(tytr

)(tyss

Pri čemu za stabilne sisteme vredi: 0)(lim =∞→

tytrt

Najpogodnije je opisati dinamička svojstva sistema u vremenskom domenu vrednostima parametara njegovog odziva na pobudu odskočnim signalom kao što su : preskok, vreme kašnjenja, vreme uspona, vreme smirenja, period oscilacija i dominantna vremenska konstanta. Slika prikazuje karakteristične parametre odziva sistema drugog reda.

Standardne performanse sistema se obično definišu u odnosu na dzivsistema na odskočnu (step) funkciju kao što je to prikazano na sliciSlijedeći parametri definišu odziv sistema:

Ilustracija odziva sistema sa funkcijom prenosa drugog reda na pobudu jediničnom odskočnom funkcijom

Slijedeći parametri definišu odziv sistema:

• - vreme porasta (rise time) je vreme za koje odziv sistema prođevrednosti od 0 do 100 % vrednosti u stacionarnom stanju.

• - vreme porasta je vreme za koje odziv sistema prođe vrednosti od10% do 90% vrednosti u ustaljenom stanju. Ovakva definicija se koristi za nadkritično prigušene sisteme

• - vreme preskoka (peak time) je vreme za koje se desi maksimalnipreskok stacionarne vrijednosti.

• - vreme smirenja (settling time) predstavlja vreme neophodno daamplitude oscilacija u odskočnom odzivu opadne na vrednostmanju od 2-5 procenata od vrednosti u stacionarnom stanju.

• Preskok u oznaci OS (overshoot) se definiše kao razlikagdje je jedinična step funkcija

rT

1rT

pT

sT

)()( max trty − )(tr

Zavisnost odziva sistema od rasporeda polova i nula funkcije prenosa

• Specificirati odziv nije ništa drugo nego zadavanje položaja polova i nula njegove funkcije spregnutog prenosa u kompleksnoj ravni.

• Dok neki polovi i nule imaju veliki, mogli bi reći dominantanuticaj na prelazni proces u sistemu, drugi toliko malo utiču naovaj proces, da se praktično mogu zanemariti.

• Ponašanje većine sistema, nakon korektno projektovanog regulatora, najčešće se može opisati funkcijom prenosa drugog ili trećeg reda.

• Zbog toga je od posebnog interesa detaljnije razmatranje nekih tipičnih i relativno prostih sistema.

Odziv sistema kada funkcija prenosa ima samo jedan realan pol

• Neka je sistem prvog reda opisan diferencijalnom jednačinom

( ) ( ) ( )dy ta by t cu tdt

+ =

U slučaju kada su svi početni uslovi jednaki nuli Laplasovom transformacijom ove jednačine te nakon uvođenja supstitucija

bcK =

baT =

dobije se prenosna funkcija sistema

.1

)(+

=Ts

KsG

1. Vremenski odzivi sistema prvog reda1

)(+τs

K = sG

(1) Stepenasti odziv

0( ) ( )

0p 0, t <

x t = A h t = A, t ≥

{ }( ) L ( ) AX s = A h t = s

τ

τ 1/+s

1-s1 K A =

1+sK

sA = Y(s)

τ+−

= −−

/111)( 11

ssAKty p LL

( )e-1 K A y= ty / ts

τ−+)(

t τ 2 τ 3 τ 4 τ 5 τ

y/KA 0.632 0.865 0.950 0.982 0.993

A = dt x(t) i t=t,

tt0, =)t-(t A = (t)x

-0

00

p ∫∞

∞

∞

≠δ

{ } A = (t) A = X(s) δL

ττ

τ 1/+sK/ A = A

1+sK = = Y(s)

e K Ay = y(t) / t-

sτ

τ+

bt = (t)x p

sb = X(s) 2

τττ

τ 1/+sbK +

sbK -

sbK =

1+sK

sb = Y(s) 22

)e-(1Kb - t Kb y= y(t) -t/s

ττ+

(2) Impulsni odziv (3) Odziv na linearnu promenu ulaza

Odziv sistema kada funkcija prenosa ima dva pola a nema konačnih nula

Neka je sistem drugog reda opisan diferencijalnom jednačinom

)()()()(2

2

teutcydt

tdybdt

tyda =++

U slučaju kada su svi početni uslovi jednaki nuli Laplasovom transformacijom ove jednačine i nakon sređivanja ekvivalentnaprenosna funkcija je određena izrazom:

22

2

2 2)()()(

nn

n

ssTK

Tss

TK

sUsYsG

ωξωω

++=

++==

pri čemu je:

TK

n =ω prirodna učestanost sistema

Tnωξ

21

= faktor prigušenja sistema

Ukoliko se radi jednostavnijeg zapisa ponovo pretpostavi jedinični koeficijent statičkog pojačanja u slučaju pobude sistema signalom čiji opis odgovara jediničnoj odskočnoj funkciji dobija se kompleksni odziv definisan jednačinom

2

2 2

1( )2

n

n n

Y ss s s

ωξω ω

=+ +

Za odredjivanje odziva sistema u vremenskom domenu neophodno je prepisati prikazani zapis u vidu sume parcijalnih razlomaka kako bi se dobili tablični oblici odgovarajućih Laplasovih transformacija.

Oblik ekvivalentne sume parcijalnih razlomaka zavisi od položaja polova karakterističnog polinoma

2 2( ) 2 n nD s s sξω ω= + +

Odziv na jediničnu odskočnu funkciju u tom slučaju se lako dobija kao suma odziva dva sistema prvog reda. Vremenske konstante tih sistema upravo su odredjene vrednostima ovih polova 2

1,2 1n ns jξω ω ξ= − ± −

Polovi sistema II reda u kompleksnoj ravni

tako da se nakon primene adicione toreme dobija odziv sistema drugog reda na jediničnu step pobudu u konačnom obliku

2

2( ) 1 sin( 1 )

1

nt

ney t t

ξω

ω ξ αξ

− = + − − −

Promenom i menja se položaj polova u kompleksnojravni i u zavisnosti od toga, odziv sistema.

U zavisnosti od vrednosti parametra mogu se pojaviti sledećikarakteristični slučajajevi:

ξ nω

tzv. kritično aperiodičan prigušen sistemtzv. nadkritično prigušen sistemtzv. podkritično prigušen sistemsistem je kritično stabilan

Na slici su prikazani odzivi sistema za različite vrednostiparametra prigušenja

1=ξ1>ξ1<ξ0ξ =

ξ

Odskočni odziv sistema drugog reda za različite vrednosti faktorarelativnog prigušenja

Izgled impulsnog odziva pri raznim vrednostima faktora relativnogprigušenja prikazan je na slici .Kao što znamo, impulsni odziv ili težinska funkcija sistema jednakaje inverznoj Laplasovoj transformaciji prenosne funkcije sistema.

Impulsni odziv sistema drugog reda za različite faktore relativnogprigušenja

Stepenasti odziv sistema II reda - pregled

Stabilan, nedovoljno prigušenodziv

- Period oscilovanja:ξω

π

ξ

πτ2

n2 -1

2 = -1

2 = P

ξ

πξ2-1

- = DB = PR exp- Prekoračenje

- Odnos slabljenja PR = -1

2- = BC = O.S. 2

2

ξ

πξexp

- Vreme uspona

ξ

ξ

ξ

τ22u,100%

-1

-1 = t arctan

- Vreme smirenja ts

Iz izraza za odziv sistema u vremenskom domenu se vidi datranzijentni deo nestaje sa vremenskom konstantom . Običnose uzima da je svaki prelazni proces završen za pa se vreme smirenja često definiše kao:

ττ 53 ÷

nsT

ξω3

=

Dakle, za zadato vreme smirenja i maksimalni prekok, koeficijentprigušenja i prirodna učestanost se može dobiti iz izraza zapreskok i vreme smirenja.Na ovaj način je uspostavljena veza između parametara kojikarakterišu vremenski odziv sistema i lokacija polova u kompleksnomdomenu.

ξ