Mandag den 19. december 2011kl. 9.00 - 14.00hhx113-MAT/A-19122011

Matematik AHøjere handelseksamen

1. Delprøve, uden hjælpemidlerkl. 9.00-10.00

110168.indd 1 31/10/11 12.23

Matematik APrøven uden hjælpemidler

Prøvens varighed er 1 time.

Dette opgavesæt består af 5 opgaver, der indgår i bedømmelsen af den samlede opgavebesvarelse med lige stor vægtning.

Hjælpemidler, bortset fra skrive- og tegneredskaber, må ikke benyttes.

Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet med tydelig skrift.

I bedømmelsen lægges vægt på, at eksaminandens tankegang klart fremgår.

Besvarelsen skal dokumenteres ved hjælp af beregninger, uddybende tekst samt brug af

figurer og grafer med en tydelig sammenhæng mellem tekst og illustration.

110168.indd 2 31/10/11 12.23

Side 1 af 1 side

Opgave 1Funktionen F er den stamfunktion til funktionen f (x) = –3x2 + 2x, der opfylder at F(1) = 2.

a) Bestem en forskrift for F.

Opgave 2Prisen i kr. på en liter benzin efter år 1990 kan med god tilnærmelse beskrives ved funktionen B med forskriften

B(x) = 0,30x + 4,33

hvor x er antal år efter 1990.

a) Forklar betydningen af de to tal i forskriften.

Opgave 3Funktionen f er givet ved f (x) = 3x5 + 2x3 – 5x + 1

a) Bestem f ' (x).

Opgave 4Ligningen (2x + 4) · (x2 – 2x) = 0 har tre løsninger.

a) Gør rede for, at x = –2 er en løsning og bestem de to andre løsninger til ligningen.

Opgave 5For en vare kan sammenhængen mellem efterspørgslen x og prisen d(x) beskrives ved funktionen

d(x) = 0,09x2 – 6x + 70 , 1 ≤ x ≤ 14

hvor x angiver efterspurgt mængde.

For samme vare beskrives sammenhængen mellem udbuddet x og prisen s(x) ved funk-tionen

s(x) = 0,09x2 + x + 7 , 1 ≤ x ≤ 14

hvor x angiver udbudt mængde.

Ligevægtsmængden er den mængde x, hvor d(x) = s(x).

a) Bestem ligevægtsmængden for varen.

kilde: http://www.eof.dk/Priser-og-Forbrug/Benzin.aspx

5

5 10 15 20

10

år efter 1990

pris i kr.

B(x) = 0,30x + 4,33

20

40

60

mængde

pris

s

d

5 10 15

110168.indd 3 31/10/11 12.23

hhx113-MAT/A-19122011Op

gave

n er

pro

duc

eret

med

anv

end

else

af k

valit

etss

tyrin

gssy

stem

et IS

O 9

001

og m

iljøl

edel

sess

yste

met

ISO

140

01

Undervisningsministeriet

110168.indd 4 31/10/11 12.23

hhx113-MAT/A-19122011

Matematik AHøjere handelseksamen

2. Delprøve

Op

gave

n er

pro

duc

eret

med

anv

end

else

af k

valit

etss

tyrin

gssy

stem

et IS

O 9

001

og m

iljøl

edel

sess

yste

met

ISO

140

01

Mandag den 19. december 2011kl. 9.00 - 14.00

110168.indd 5 31/10/11 12.23

110168.indd 6 31/10/11 12.23

Matematik APrøven med hjælpemidler

Prøvens varighed er 5 timer.

Dette opgavesæt består af 8 opgaver, hvor hvert delspørgsmål indgår i bedømmelsen af den samlede opgavebesvarelse med lige stor vægtning.

Af opgaverne 8A og 8B må kun den ene afleveres til bedømmelse. Hvis begge opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen af opgave 8A.

I prøvens første time må hjælpemidler, bortset fra skrive- og tegneredskaber, ikke benyttes.I prøvens sidste 4 timer er alle hjælpemidler tilladt.

Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet med tydelig skrift.

I bedømmelsen lægges der vægt på, at eksaminandens tankegang klart fremgår.

Besvarelsen skal dokumenteres ved hjælp af beregninger, uddybende tekst samt brug af figurer og grafer med en tydelig sammenhæng mellem tekst og illustration. Hvor hjælpemidler, herunder IT-værktøjer, er benyttet, skal mellemregninger erstattes af forklarende tekst.

110168.indd 7 31/10/11 12.23

Side 1 af 7 sider

Opgave 1

En skosælger har i en sommerperiode registreret at have solgt 700 par herresko i forskellige størrelser. Fordelingen af antal solgte sko i forskellige størrelser fremgår af nedenstående tabel.

Størrelse 38 39 40 41 42 43 44 45 46

Antal 2 35 42 113 183 170 102 41 12

a) Tegn et diagram, der beskriver fordelingen.

Fordelingen kan beskrives ved forskellige statistiske deskriptorer, som f.eks. typetal median kvartilsæt gennemsnit varians standardafvigelse

b) Beskriv fordelingen ved hjælp af 3 statistiske deskriptorer.

Opgave 2

To vektorer er givet ved

−

=1

3a

og

=

5t

b

a) Bestem skalarproduktet cb

a , når t = 0.

b) Bestem vinklen mellem vektorerne cb

a og cb

a , når t = 0.

En tredje vektor er givet ved

+=

tt

c10

.

c) Bestem de to værdier af t, der gør, at vektorerne cb

a og cb

a er parallelle.

110168.indd 8 31/10/11 12.23

Side 2 af 7 sider

Opgave 3

Grafen for efterspørgslen for en bestemt vare er vist på figuren nedenfor.

Efterspørgselskurven kan beskrives ved funktionen

1100,160705,10035,0)( 2 <<+−= xxxxd

hvor d (x) angiver prisen pr. kg i kr. ved en efterspørgsel på x kg af varen.

a) Bestem den pris p, der giver en efterspørgsel på 50 kg af varen.

Den gevinst forbrugerne opnår ved prisen p kaldes Consumer Surplus. Denne størrelse kan for varen bestemmes som arealet af det grå område på figuren ovenover.

b) Bestem Consumer Surplus for varen.

50

100

150

kg af varen

d

p

pris pr. kg i kr.

25 50 75 100

110168.indd 9 31/10/11 12.23

Side 3 af 7 sider

Opgave 4

Produktionsvirksomheden NEWLOGIC producerer og afsætter høreapparater.

Omsætningen R ved en afsætning på x stk. høreapparater er bestemt ved

R(x) = 2 200x , x ≥ 0

Omkostningerne C ved afsætning af x stk. høreapparater er bestemt ved

0,49002

133001)( 23 ≥+−= xxxxxC .

Overskuddet ved salg af x stk. høreapparater kan bestemmes ved

Overskud = omsætning – omkostninger

a) Gør rede for, at overskuddet P er givet ved forskriften

0,2 7002

13300

1)( 23 ≥−+−= xxxxxP

b) Bestem den afsætning, der giver størst muligt overskud.

Grænseomkostningerne GROMK er defineret ved GROMK (x) = C ' (x) .

c) Bestem den afsætning, der gør grænseomkostningerne mindst mulige.

200 400 600 800 1000 1200 1400

1000000

2000000

3000000

afsætning

kr.

C(x)

R(x)

P(x)

110168.indd 10 31/10/11 12.23

Side 4 af 7 sider

Opgave 5

En virksomhed producerer og afsætter en vare i to versioner A og B.

Prisen i kr. pr. stk. A er givet ved funktionen p med forskriften

1500,84019)( ≤≤+−= xxxp

hvor x angiver den ugentlige afsætning i antal stk. A.

Prisen i kr. pr. stk. B er givet ved funktionen q med forskriften

2500,40014)( ≤≤+−= yyyq

hvor y angiver den ugentlige afsætning i antal stk. B.

De variable enhedsomkostninger ved produktionen er 400 kr. pr. stk. A og 200 kr. pr. stk. B.Dækningsbidraget pr. vare kan bestemmes ved

dækningsbidrag = afsætning · (pris pr. stk. – variable enhedsomkostninger)

a) Gør rede for, at det samlede dækningsbidrag pr. uge kan bestemmes ved funktionen DB med forskriften

yyxxyxDB 1200414409),( 22 +−+−=

Niveaukurven N(t) er givet ved DB(x, y) = t .

b) Gør rede for, at niveaukurven N(57 600) er en ellipse. Ud over begrænsningerne på x og y er produktionen begrænset af, at virksomheden maksimalt kan producere 300 stk. pr. uge, hvilket betyder x + y ≤ 300.

c) Bestem det antal stk. af version A og det antal stk. af version B, der skal produceres og afsættes pr. uge for at opnå det størst mulige samlede dækningsbidrag.

110168.indd 11 31/10/11 12.23

Side 5 af 7 sider

Opgave 6

Linjen l går gennem punkterne )2,( 21P og ),2( 2

1Q og skærer y-aksen i punktet A og x-aksen i punktet B.

a) Bestem forskriften for linjen l og bestem koordinaterne til punkterne A og B.

x

y

A

BC

f

P

Q

l

Trekant ABC gennemskæres af grafen for funktionen f med forskriften

0,1)( ≠= xx

xf .

b) Bestem arealet af det grå område.

110168.indd 12 31/10/11 12.23

Side 6 af 7 sider

Opgave 7

Ligningen x3 – 8x2 + 16x = 0 er løst nedenfor.

a) Forklaringer til løsningen af ligningen skal gives. Benyt eventuelt bilag 1.

0168 23 =+− xxx Ligningen er skrevet op.

0)168( 2 =+−⋅ xxx

01680 2 =+−∨= xxx

0)4(0 2 =−∨= xx

}4,0{=L

110168.indd 13 31/10/11 12.23

Side 7 af 7 sider

Af opgaverne 8A og 8Bmå kun den ene afleveres til bedømmelse.

Hvis begge opgaver afleveres,bedømmes kun besvarelsen af opgave 8A.

Opgave 8A

En lineær funktion i to variable er givet ved

f (x, y) = 15x + 10y

For de to variable gælder betingelserne:

00

2005,060035002

≥≥

+−≥+−≥+−≥

yx

xyxyxy

Disse betingelser definerer et polygonområde, der er vist som det grå område på figuren. Figuren er gengivet i bilag 2.

a) Bestem det punkt inden for polygonområdet, hvor f antager sin mindsteværdi.

b) Bestem det interval, hvor koefficienten til x i forskriften for f kan variere, når punktet fundet i spørgsmål a) fastholdes som det punkt, hvor f antager sin mindsteværdi.

Opgave 8B

Line ønsker at låne penge til en andelsbolig. Hun modtager et tilbud fra banken, hvor den månedlige rente er 0,62%.

a) Vis, at den effektive rente p.a. er 7,7%.

Line vælger at låne 428 000 kr. Den månedlige rente er 0,62%, og Line skal betale en månedlig ydelse på 6 552,12 kr.

b) Bestem antallet af ydelser, som Line skal betale.

100

100 200 300 400

200

300

400

500

600

x

y

5002 +−= xy

2005,0 +−= xy

6003 +−= xy

110168.indd 14 31/10/11 12.23

110168.indd 15 31/10/11 12.23

Op

gave

n er

pro

duc

eret

med

anv

end

else

af k

valit

etss

tyrin

gssy

stem

et IS

O 9

001

og m

iljøl

edel

sess

yste

met

ISO

140

01

Undervisningsministeriet

110168.indd 16 31/10/11 12.23

Bilag 1 til opgave 7 (med hjælpemidler).

Skole: Hold:

Eksamensnr. Navn:

0168 23 =+− xxx Ligningen er skrevet op.

0)168( 2 =+−⋅ xxx

01680 2 =+−∨= xxx

0)4(0 2 =−∨= xx

}4,0{=L

110168.indd 17 31/10/11 12.23

110168.indd 18 31/10/11 12.23

Bilag 2 til opgave 8A (med hjælpemidler).

Skole: Hold:

Eksamensnr. Navn:

100

100 200 300 400

200

300

400

500

600

x

y

5002 +−= xy

2005,0 +−= xy

6003 +−= xy

110168.indd 19 31/10/11 12.23