Højere HandelseksamenHandelsskolernes enkeltfagsprøveMaj 2009

HHX091-MAA

Tirsdag den 19. maj 2009kl. 9.00-10.00

Matematik A

Delprøven uden hjælpemidler

Dette opgavesæt består af 5 opgaver, der indgår ibedømmelsen af den samlede opgavebesvarelse med lige stor vægtning.

Undervisningsministeriet

082319.indd 1 13/03/09 11:41:19

Matematik A Prøven uden hjælpemidler

Prøvens varighed er 1 time.

Hjælpemidler, bortset fra skrive- og tegneredskaber, må ikke benyttes.

Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet med tydelig skrift.

I bedømmelsen lægges vægt på, at eksaminandens tankegang klart fremgår.

Besvarelsen skal dokumenteres ved hjælp af beregninger, uddybende tekst samt brug af figurer og grafer med en tydelig sammenhæng mellem tekst og illustration.

082319.indd 2 13/03/09 11:41:19

Side 1 af 1 side

A

B

C

a

b = 4

Side 1 af 1 side Opgave 1 For en vare gælder, at de variable enhedsomkostninger er 10 kr. pr. stk. De samlede omkostninger ved produktion af 10 stk. er 112 kr. a) Bestem en forskrift for den lineære funktion ,f der beskriver de samlede omkostninger

som funktion af antal stk.

Opgave 2 Vektorerne a og b er givet ved

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=1

2a og ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

tt

b3

Bestem de værdier af ,t for hvilke a og b er:

a) Ortogonale.

b) Parallelle.

Opgave 3 a) Bestem ),(xF når det oplyses, at ∫ −+= dxxexF x )73()( 2

Opgave 4 Trekant ABC er ikke retvinklet. Arealet af trekant ABC er 6, siden 4=b og 2

1)sin( =C . a) Bestem længden af siden a .

Opgave 5 En funktion f har forskriften

a) Bestem monotoniforholdene for funktionen .f

xxxxf 83)( 2331 +−=

082319.indd 3 13/03/09 11:41:19

Undervisningsministeriet

Op

gave

n er

pro

duc

eret

med

anv

end

else

af k

valit

etss

tyrin

gssy

stem

et IS

O 9

001

og m

iljøl

edel

sess

yste

met

ISO

140

01

082319.indd 4 13/03/09 11:41:19

Højere HandelseksamenHandelsskolernes enkeltfagsprøveMaj 2009

HHX091-MAA

Tirsdag den 19. maj 2009kl. 9.00-14.00

Matematik A

Delprøven med hjælpemidler

Dette opgavesæt består af 8 opgaver, hvor hvert delspørgsmål indgår i bedømmelsen af den samlede opgavebesvarelse med lige stor vægtning.

Undervisningsministeriet

082319.indd 5 13/03/09 11:41:19

Matematik A

Prøven med hjælpemidler

Prøvens varighed er 5 timer.

Af opgaverne 8A og 8B må kun den ene afleveres til bedømmelse. Hvis begge opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen af opgave 8A.

I prøvens første time må hjælpemidler, bortset fra skrive- og tegneredskaber, ikke benyttes. I prøvens sidste 4 timer er alle hjælpemidler tilladt.

Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet med tydelig skrift.

I bedømmelsen lægges der vægt på, at eksaminandens tankegang klart fremgår.

Besvarelsen skal dokumenteres ved hjælp af beregninger, uddybende tekst samt brug af figurer og grafer med en tydelig sammenhæng mellem tekst og illustration. Hvor hjælpemidler, herunder IT-værktøjer, er benyttet, skal mellemregninger erstattes af forklarende tekst.

082319.indd 6 13/03/09 11:41:19

Side 1 af 8 sider Side 1 af 8 sider

Opgave 1

Følgende to punkter er givet:

)0,6(A og )4,2(B

Det oplyses, at

a er defineret som stedvektoren til punktet A .

b er defineret som stedvektoren til punktet B .

bac −=

-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

2

3

4

5

6

7

8

xA

B

i

j

y

a) Bestem .c

b) Bestem vinklen mellem vektorerne a og b .

c) Bestem arealet af den trekant, der udspændes af vektorerne a og b .

5

4

3

2

1

-1

-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9-2-3-4

-2

-3

-4

-5

x

y

b

aj

i

A

B

082319.indd 7 13/03/09 11:41:19

Side 2 af 8 siderSide 2 af 8 sider

Opgave 2

I perioden 1/9 2006 – 1/8 2009 har Emil sparet op til sine studier. Hver måned i de 3 år har han indsat 1.000 kr. på en opsparingskonto.

Renten har i hele perioden været på 0,25 % pr. måned med månedlig rentetilskrivning.

a) Vis, at Emil umiddelbart efter de 3 års opsparing den 1/8 2009 har 37.620,56 kr. stående på sin opsparingskonto.

b) Hvor meget har Emil fået i effektiv rente pr. år?

Som supplement til Emils opsparing sætter hans forældre 50.000 kr. ind på kontoen den 1/8 2009. Emil vil bruge det samlede beløb på sin konto til i de kommende 4 år fra den 1/9 2009 at hæve et fast beløb hver måned. Renten er uændret 0,25 % pr. måned.

c) Hvor stort et beløb kan Emil hæve på sin konto hver måned i de kommende 4 år?

Opgave 3

Funktionen f har forskriften

24 6)( xxxf −=

a) Bestem )('' xf , og gør rede for at grafen for f har to vendetangenter.

b) Bestem en ligning for én af vendetangenterne.

082319.indd 8 13/03/09 11:41:19

Side 3 af 8 sider

Side 3 af 8 sider

Opgave 4

Udbudskurven og efterspørgselskurven for en bestemt vare er vist på figuren nedenfor.

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

650

700

750

x

y

f(x) = 0,04x2 + 100

g(x) = 0,04x2 - 8x + 500

Pris

Mængde (stk.)

Udbudskurven kan beskrives ved funktionen

1000,10004,0)( 2 <<+= xxxf

hvor )(xf angiver prisen ved en udbudt mængde på x stk.

Efterspørgselskurven kan beskrives ved funktionen

1000,500804,0)( 2 <<+−= xxxxg

hvor )(xg angiver prisen ved en efterspurgt mængde på x stk.

a) Bestem ligevægtsprisen og den tilsvarende mængde, svarende til at udbuddet og efterspørgslen er lige store.

Den gevinst, producenten opnår ved ligevægtsprisen, kaldes producentoverskuddet eller ”Producer surplus”. På figuren svarer det til arealet af det vandret skraverede område (skraveret med blå farve).

b) Bestem størrelsen af producentoverskuddet.

Den gevinst, forbrugeren opnår ved ligevægtsprisen, kaldes forbrugeroverskuddet eller ”Consumer surplus”. På figuren svarer det til arealet af det lodret skraverede område (skraveret med rød farve).

c) Bestem størrelsen af forbrugeroverskuddet.

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130

50100150200250300350400450500550600650700750

x

y

f(x) = 0,04x2 + 100

g(x) = 0,04x2 - 8x + 500

Pris

Mængde (stk.)

082319.indd 9 13/03/09 11:41:20

Side 4 af 8 sider

Side 4 af 8 sider

Opgave 5

Nedenfor ses løsningen til ligningen: 0)ln( =−⋅ xxx

Forklaring til løsning af ligningen er givet til de to første og den sidste linje.

a) Forklaring til løsning af ligningen skal gives for linjerne 3, 4 og 5. Benyt bilag 1.

Symbolet ∨ læses eller.

0)ln( =−⋅ xxx Vi ønsker at løse ligningen 0)ln( =−⋅ xxx

0)1)(ln( =−⋅ xx Vi sætter x udenfor en parentes.

01)ln(0 =−∨= xx _________

1)ln(0 =∨= xx ___________

10 exx =∨= _________

{ }eL= Ligningen har løsningen ex =

082319.indd 10 13/03/09 11:41:20

Side 5 af 8 sider

Side 5 af 8 sider

Opgave 6

Firmaet Sport-swim producerer og sælger 2 slags svømmedragter: skinKnee − , en kortbenet model og skinBody − , en langbenet model.

For svømmedragten skinKnee − er sammenhængen mellem afsætning og pris givet ved:

100050)( +−= xxp 200 << x

hvor x angiver afsætningen i stk., og )(xp er prisen i kroner pr. stk.

For svømmedragten skinBody − er sammenhængen mellem afsætning og pris givet ved:

4000200)( +−= yyq 200 << y

hvor y angiver afsætningen i stk., og )(yq er prisen i kroner pr. stk.

a) Gør rede for, at den samlede omsætning i firmaet Sport-swim kan beskrives ved

funktionen:

yyxxyxf 4000200100050),( 22 +−+−=

Firmaet Sport-swim har en øvre produktionsgrænse på 30 stk. pr. uge, det vil sige 30≤+ yx .

b) Gør rede for, at niveaukurven )20000(N bestemt ved 20000),( =yxf er en ellipse

og tegn denne samt begrænsningsområdet i et koordinatsystem.

c) Bestem hvor mange stk. skinKnee − og hvor mange stk. skinBody − der skal produceres og sælges pr. uge, for at den samlede omsætning pr. uge bliver størst mulig og bestem denne samlede omsætning.

082319.indd 11 13/03/09 11:41:20

Side 6 af 8 sider

side 6 af 8 sider

Opgave 7

Grafen for funktionen f er vist herunder.

-1 1 2 3 4

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

x

y

f

Bilag 2 viser 2 forskellige grafer: Graf 1 og Graf 2, som også er vist herunder.

a) Gør rede for hvilken af de 2 grafer, der viser grafen for '.f

Graf 1. Graf 2.

-2 -1 1 2 3

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

-2 -1 1 2 3

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

082319.indd 12 13/03/09 11:41:20

Side 7 af 8 sider

Side 7 af 8 sider

Af opgaverne 8A og 8B må kun den ene afleveres til bedømmelse.

Hvis begge opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen af opgave 8A.

Opgave 8A

Petersen ønsker at investere i aktier og har besluttet, at det enten skal være i Pulje I eller i Pulje II.

Nedenstående tabel viser kursudviklingen for hver af de to puljer.

År 2004 2005 2006 2007 2008

Pulje I 121 156 175 161 117

Pulje II 151 142 146 150 141

a) Bestem middelværdien for kursen i hver af de to puljer.

b) Bestem standardafvigelsen for kursen i hver af de to puljer og giv en vurdering af, hvilken pulje Petersen skal vælge.

082319.indd 13 13/03/09 11:41:20

Side 8 af 8 sider

Side 8 af 8 sider

Opgave 8B

Der er givet følgende kriteriefunktion

yxyxf 2525),( +=

under bibetingelserne

9143

21 +−≥+−≥

xyxy

og positivitetsbetingelserne

00

≥≥

yx

Polygonområdet, der fremkommer ud fra de nævnte betingelser, er vist som det ikke-skraverede område i koordinatsystemet herunder. Koordinatsystemet er tillige vist i bilag 3.

-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

x

y

y = -3x+14

y = -½ x+9

a) Bestem det punkt indenfor polygonområdet, hvor f antager sin mindsteværdi. b) Angiv det interval hvor koefficienten til x kan variere, så man stadigvæk fastholder

den optimale løsning fundet i spørgsmål a).

-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

1

-1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

x

y

y = –3x + 14

y = –1/2 x + 9

082319.indd 14 13/03/09 11:41:21

082319.indd 15 13/03/09 11:41:21

Op

gave

n er

pro

duc

eret

med

anv

end

else

af k

valit

etss

tyrin

gssy

stem

et IS

O 9

001

og m

iljøl

edel

sess

yste

met

ISO

140

01

082319.indd 16 13/03/09 11:41:21

Bilag 1 til opgave 5 (med hjælpemidler) – skal afleveres.

Skole: Hold:

Eksamensnr. Navn:

0)ln( =−⋅ xxx Vi ønsker at løse ligningen 0)ln( =−⋅ xxx

0)1)(ln( =−⋅ xx Vi sætter x udenfor en parentes.

01)ln(0 =−∨= xx _________

1)ln(0 =∨= xx ___________

10 exx =∨= _________

{ }eL= Ligningen har løsningen ex =

082319.indd 17 13/03/09 11:41:21

082319.indd 18 13/03/09 11:41:21

Bilag 2 til opgave 7 (med hjælpemidler) – skal afleveres. Skole: Hold:

Eksamensnr. Navn:

Graf 1.

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

y

Graf 2.

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

y

082319.indd 19 13/03/09 11:41:21

082319.indd 20 13/03/09 11:41:21

Bilag 3 til opgave 8B (med hjælpemidler) – skal afleveres.

Skole: Hold:

Eksamensnr. Navn:

-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

x

y

y = -3x+14

y = -½ x+9

-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

1

-1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

x

y

y = –3x + 14

y = –1/2 x + 9

082319.indd 21 13/03/09 11:41:21

082319.indd 22 13/03/09 11:41:21