Matematik for fysikere - PSI.NBI.DK - psi.nbi.dkpsi/wiki/Formelsamlinger/files/z_Formelsamling... · Matematik for fysikere Formelsamling MatF Blok3-2012/2013 Helle Gormsen Lisbeth

Matematik for fysikereFormelsamling

MatFBlok 3 - 2012/2013

Helle GormsenLisbeth Tavs Gregersen

Version 1.0

Københavns UniversitetDet Natur- og Biovidenskabelige Fakultet

Niels Bohr Instituttet

Forord

Denne formelsamling er lavet i forbindelse med at vi har fulgt kurset Matematik for fysikere(MatF) på Københavns Universitet 2012/2013. Den er lavet primært for vores egen fornøjelsesskyld, men er videregivet til visse medstuderende. Der er medtaget eksempler fra bogen samt fraforelæsningerne.

PensumFeltteori og vektoranalyse (Gjevik og Fagerland):1.5 & 1.6 Eks. på skalarfelt og Skalering2 Gradientvektoren, vektorfelt, strømlinjer og feltlinjer3 Brug af MatLab4 Vektorfluks og cirkulation, divergens, rotation, strømfunktion5 En praktisk anvendelse af ∇-operatorene i meterologi6 Kurve-, flade- og volumenintegraler, beregning af trykkraft7 Integralsatser: Green, Stokes og Gauss8 Polarkoordinater9 Divergens- og rotationsfrie felter. Potentialstrøm10 Feltligninger for fluider

Essential mathematical methods for the physical sciences (Riley og Hobson):4 Fourier series5 (÷ 5.1.2) Integral transforms10 (pp. 387-405) Partial differential equations11 (pp. 421-449) Solution methods for PDEs14 (pp. 540-553) Complex variables

i

Indhold

Forord iPensum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

I Feltteori og Vektoranalyse (FV) 1

Kapitel 1. Gradientvektoren, vektorfelt, strømlinjer og feltlinjer 21.1 Gradientvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Retningsafledte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Vektorfelt. Strømlinjer og feltlinjer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Kapitel 2. Vektorfluks og cirkulation, divergens, rotation, strømfunktion 62.1 Vektorfluks og cirkulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Divergensen til et vektorfelt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Rotationen til vektorfeltet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.4 Rotationsfrie og divergensfrie og felter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.5 Strømfunktion for divergensfrit strømfelt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Kapitel 3. Kurve-, flade- og volumenintegraler 103.1 Kurveintegraler (linjeintegraler) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2 Kurveintegralet af gradientvektoren. Konservativt kraftfelt. Potentialfunktionen. . . . 123.3 Fladeintegraler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.4 Volumenstrøm gennem et strømrør . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.5 Volumenintegraler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Kapitel 4. Integralsætninger: Green, Stokes og Gauss 154.1 Greens sætning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.2 Stokes’ sætning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.3 Gauss’ sætning (divergensteoremet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.3.1 Gauss’ sætning for gradient- og rotationsvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Kapitel 5. Polarkoordinater 185.1 Koordinatuafhængige definitioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.2 Plane polarkoordinater . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.3 Cylindriske polarkoordinater . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.4 Sfæriske polarkoordinater (kuglekoordinater) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Kapitel 6. Divergens- og rotationsfrie felter. Potentialstrøm. 226.1 Hastighedspotentialet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226.2 Laplace-operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226.3 Potentialfelter i to dimensioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236.4 Eksempler på potentialfelter i to dimensioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Kapitel 7. Feltligninger for fluider 297.1 Partikeldifferentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297.2 Massebevarelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307.3 Bevægelsesligningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317.4 Bernoullis ligning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

ii

II Essential Mathematical Methods for the Physical Sciences (EMM) 33

Kapitel 8. Fourier rækker 348.1 Dirichlet betingelser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348.2 Lige og ulige funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348.3 Fourier række . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348.4 Symmetri overvejelser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358.5 Diskontinuerte funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358.6 Kompleks Fourier række . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358.7 Parseval’s sætning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Kapitel 9. Integral transformationer 379.1 Fourier transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379.2 Usikkerhedsprincippet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389.3 Diracs δ-funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389.4 Heaviside funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399.5 Relation mellem Dirac δ-funktion og Fourier transformation . . . . . . . . . . . . . . . 399.6 Fourier-transformation regneregler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409.7 Convolution og deconvolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409.8 Parseval’s teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419.9 Fourier transformation i højere dimensioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419.10 Laplace transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429.11 Generelt om integral transformationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Kapitel 10.Partielle differentialligninger (PDE) 4510.1 Generel løsning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4510.2 Generelle og partikulære løsninger til PDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

10.2.1 Første ordens PDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4510.2.2 Anden ordens PDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Kapitel 11.Løsningsmetoder til partiel differentialligninger 4811.1 Seperation af variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Kapitel 12.Komplekse variable 4912.1 Funktioner af komplekse variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4912.2 Cauchy-Riemann relationerne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4912.3 Potensrække . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5012.4 Elementære funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5112.5 Multivalued funktioner og branch cuts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Appendiks 52

Appendiks A. Almindelige konstanter og enheder 53A.1 Konstanter til relativitetsteori: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Appendiks B. Regneregler 54B.1 Regneregler for ∇-operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54B.2 ∇-operatoren som en vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

B.2.1 2. ordens differentialer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54B.3 Sinus og cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55B.4 Krydsprodukter af cylinder og sfæriske polarkoordinater . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Appendiks C. Strøm- og potentialfunktioner 56

iii

Del I

Feltteori og Vektoranalyse (FV)

Ka

pit

el 1

Gradientvektoren, vektorfelt, strømlinjer ogfeltlinjer

Kap. 2 i FV (pp. 27-40).

1.1 Gradientvektor

Definition 1.1 (Ekviskalarflader) Givet et skalarfelt β med funktionssammenhængen: β =β(x,y,z). Ekviskalarflader er flader med konstant værdi:

β(x,y,z) = β0

Definition 1.2 (Gradientvektor ∇β) Gradientvektoren er givet ved:

∇β = ∂β

∂xı+ ∂β

∂y+ ∂β

∂zk (1.1)

∇β: gradientvektor til skalarfeltet β, og der gælder at gradientvektoren:

B står vinkelret på ekviskalarfladerne.

B peger mod større værdier af skalaren.

B den angiver tilvæksten i skalarværdien pr. længdeenhed, i den retning hvor tilvæksten erstørst.

Sætning 1.3 (Tilvækst i skalarfelt) Tilvæksten i skalarfeltet er givet ved:

∆β = ∂β

∂x∆x+ ∂β

∂y∆y + ∂β

∂z∆z (1.2)

samt givet ved:

∆β = ∇β· ∆r (1.3)

hvor ∆r = ∆xı+ ∆y+ ∆zk.For ∆r→ 0 fås:

dβ = ∇β· dr (1.4)

2 Matematik for fysikere

Retningsafledte

dβ = ∂β

∂xdx+ ∂β

∂ydy + ∂β

∂zdz (1.5)

Formel (1.5) kaldes totalt differential.

1.1.1 RetningsafledteGradientvektoren kan benyttes til at finde ændringen i skalaren pr. længdeenhed i en hvilken somhelst retning. Hertil benyttes formel (1.2) og man lader ∆r =

[(∆x)2 + (∆y)2 + (∆z)2

]1/2

betegnelængden af ∆r.

Sætning 1.4 (Retningsafledte) Formel (1.2) divideres med ∆r, således

∆β∆r = ∂β

∂x

∆x∆r + ∂β

∂y

∆y∆r + ∂β

∂z

∆z∆r

= a ·∇β

hvor a er en enhedsvektor langs ∆r: a = ∆x∆r ı+ ∆y

∆r + ∆z∆r k .

For ∆x,∆y,∆z → 0 er den retningsafledte af skalarfunktionen givet ved ∂β

∂r= a ·∇β .

Sætning 1.5 (Regneregler for gradientvektoren) Hvor α(x,y,z) og β(x,y,z) er to skalarfelter,og c er en konstant skalar (fra opgave 2.7 i FV):

1. ∇(α+ β) = ∇α+∇β

2. ∇(cβ) = c∇β

3. ∇(αβ) = α∇β + β∇α

4. ∇( 1β

)= − 1

β2∇β

Opskrift 1 (Find skalarfunktionen når gradientvektoren kendes) Gradientvektoren:∇β = v(x,y,z) =vxı+ vy + vzk. Herfra fås y β(x,y,z).

∂β

∂x= vx ⇒ β(x,y,z) =

∫vx dx+ f1(y,z)

∂β

∂y= vy ⇒ β(x,y,z) =

∫vy dy + f2(x,z)

∂β

∂z= vz ⇒ β(x,y,z) =

∫vz dz + f3(x,y)

Bestem f1(y,z), f2(x,z) og f3(x,y) så:

β(x,y,z) =∫vx dx+ f1(y,z) + C1

=∫vy dy + f2(x,z) + C1

=∫vz dz + f3(x,y) + C1

Matematik for fysikere 3

Kapitel 1. Gradientvektoren, vektorfelt, strømlinjer og feltlinjer

Opskrift 2 ((Omvendt) Find gradient til skalarfunktion) Normal partiel differentiation: β y v.

∂β

∂x= vx

∂β

∂y= vy

∂β

∂z= vz

1.2 Vektorfelt. Strømlinjer og feltlinjer

Sætning 1.6 (Vektorfelt) Et vektorfelt består af mange vektorer, hvor hver vektor er knyttettil et bestemt punkt i rummet. Dvs. vektoren i vektorfeltet A kan opfattes som en funktion afrumkoordinaterne og tiden:

A = A(x,y,z,t) (1.6)

Såfremt vektoren er defineret i samtlige punkter i rummet og varierer gradvist fra punkt tilpunkt, kaldes vektorfeltet kontinuerlig.

Sætning 1.7 (Strømlinjer = feltlinjer) Givet et stationært strømningsfelt (som ikke forandrersig i tiden), hvor strømhastigheden er givet som:

v = vx(x,y)ı+ vy(x,y) (1.7)

Strømlinjerne (feltlinjerne) for feltet har strømhastighedsvektoren som tangent:

Lad et vektorelement dr = dxı+ dy pege i tangentretningen af strømlinjen, således dr ‖ v ogv× dr = 0, så fås:

v× dr =

∣∣∣∣∣∣ı kvx vy 0dx dy 0

∣∣∣∣∣∣ = (vxdy − vydx)k = 0 (1.8)

hvormed

vxdy = vydx (1.9)

Opskrift 3 (Beregning af strømlinjer ud fra strømhastighedsvektor) Givet strømfeltet med ha-stighedsvektor v = −ωyı+ ωx, hvor ω er en konstant. Ved brug af formel (1.9) fås:


1.2. Vektorfelt. Strømlinjer og feltlinjer

−ωydy = ωxdx⇒∫(−y) dy =

∫xdx⇒

− 12y

2 = 12x

2 + C ⇒x2 + y2 = 2C

som beskriver strømlinjerne (feltlinjerne), som cirkler med centrum i origo og radius√

2C.


Ka

pit

el 2

Vektorfluks og cirkulation, divergens, rotation,strømfunktion

Kap. 4 i FV (pp. 61-73).

2.1 Vektorfluks og cirkulation

Sætning 2.1 (Volumenstrømmen/Vektorfluksen Q) Volumenstrømmen (vektorfluksen) afvektoren v gennem fladen σ pr. tidsenhed er givet ved fladeintegralet:

Q =∫σ

v · n dσ (2.1)

hvor n er fladenormalen, v strømningshastigheden og skalarproduktet v · n er normalkom-posanten af v på fladen σ.

Enhed: [Q] = m3/s.

Sætning 2.2 (Cirkulation C) Cirkulationen af en vektor v om en lukket kurve λ er givet vedkurveintegralet:

C =∮λ

v · dr (2.2)

hvor dr er retningsvektoren for kurven. Dvs. skalarproduktet v · dr er komposanten af v ikurvens retning dr.

2.2 Divergensen til et vektorfelt


2.3. Rotationen til vektorfeltet

Definition 2.3 (Divergensen til vektoren v: div v) Divergensen til vektoren v (2D):

divv = ∇· v = ∂vx∂x

+ ∂vy∂y

(2.3)

Divergensen til vektoren A (3D):

divA = ∇· A = ∂Ax∂x

+ ∂Ay∂y

+ ∂Az∂z

(2.4)

Bemærk at divv er en skalar.

Sætning 2.4 (Sammenhæng ml. divergensen og volumenstrømmen /vektorfluksen Q)Volumenstrømmen af skiven pr. arealenhed er:

∆Q∆x∆y =

[∂vx∂x

+ ∂vy∂y

]⇒ (2.5)∫

∆σv · n dσ = (∇· v) ∆τ ⇒ (2.6)

∇· v = 1∆τ

∫∆σ

v · n dσ (2.7)

hvor ∆τ = ∆x∆y

Fysisk tolkning:

B (∇· v) > 0 : netto udstrømning (ekspansion)

B (∇· v) < 0 : netto indstrømning (kontraktion)

B (∇· v) = 0 : lige stor ind- og udstrømning (divergensfri)

2.3 Rotationen til vektorfeltet

Definition 2.5 (Rotationen til vektorfeltet) Rotationen til vektorfeltet (2D):

rotv = curlv = ∇× v =

∣∣∣∣∣∣ı k∂∂x

∂∂y 0

vx vy 0

∣∣∣∣∣∣ =(∂vy∂x− ∂vx

∂y

)k (2.8)

Rotationen til vektorfeltet (3D):

rotA = curlA = ∇×A =

∣∣∣∣∣∣ı k∂∂x

∂∂y

∂∂z

Ax Ay Az

∣∣∣∣∣∣=(∂Az∂y− ∂Ay

∂z

)ı+

(∂Ax∂z− ∂Az

∂x

)+

(∂Ay∂x− ∂Ax

∂y

)k (2.9)


Kapitel 2. Vektorfluks og cirkulation, divergens, rotation, strømfunktion

Sætning 2.6 (Sammenhæng ml. rotationen og cirkulationen C) Cirkulation pr. arealenheder:

∆C∆x∆y =

[∂vy∂x− ∂vx

∂y

]⇒ (2.10)∮

∆λi

v · dr = ∇× v · k∆σi (2.11)

hvor ∆σi = ∆x∆y og ∆λi er omkredsen af kurven.

2.4 Rotationsfrie og divergensfrie og felter

Sætning 2.7 (Rotationsfrie felter) Et felt v der kan skrives som gradienten til en skalarfunk-tion: v = ∇β (hvor β er et skalarpotential for vektor v) er automatisk rotationsfrit [rot v = 0],fordi:

∇× v = ∇×∇β ≡ 0

idet ∇ og ∇ er parallelle.Dvs.

v = ∇β ⇔ rot v = 0 (2.12)

Betydning: Ved ∇ × v = rot v = 0 er summen af rotationen i kurven lig nul. Fx. Lige megetmed- og modvind på cykelturen - ingen hvirvel. ("Konservativ kraft")

Generelt: Hvis ∇×A = 0 så eksisterer et skalarpotentiale ψ, hvis gradient er A:

A = ∇ψ

Rotationsfrie felter kaldes irrotationelle felter.

Sætning 2.8 (Divergensfrie felter) Et felt v der kan udtrykkes som rotationen til et andetvektorfelt A: v = ∇×A er automatisk divergensfrit [div v = 0], fordi

∇· v = ∇· (∇×A) ≡ 0

idet ∇ og ∇× er vinkelrette. A er et vektorpotentiale for v.Dvs.

v = ∇×A ⇒ div v = 0 (2.13)

Vektoren A er knyttet sammen med strømfunktionen ψ, ved:

v = ∇×A = −∇× ψk (2.14)

Betydning: Ved ∇· v = div v = 0 er indstrømningen og udstrømningen lige stor.

Divergensfrie felter kaldes solenoidfelter.


2.5. Strømfunktion for divergensfrit strømfelt

2.5 Strømfunktion for divergensfrit strømfelt

Definition 2.9 (Strømfunktion for et divergensfrit strømfelt) For et to-dimensionalt strøm-felt givet ved v = vx(x,y)ı + vy(x,y) kan man indføre strømfunktionen ψ = ψ(x,y) sådanat

vx = −∂ψ∂y

vy = ∂ψ

∂x(2.15)

Hvormed strømfeltet er divergensfrit:

∇· v = ∂vx∂x

+ ∂vy∂y

= − ∂2ψ

∂x∂y+ ∂2ψ

∂y∂x= 0 (2.16)

Fra formel (1.9) fås: vxdy − vydx = 0, hvormed:

−∂ψ∂y

dy − ∂ψ

∂xdx = 0⇒ (2.17)

∂ψ

∂ydy + ∂ψ

∂xdx = 0⇒ (2.18)

dψ = 0 (2.19)

hvilket betyder at tilvæksten i strømfunktionen er nul, hvilket giver anledning til en konstantstrømfunktion langs en strømlinje: ψ(x,y) = ψ0.Et vektorfelt der ikke er divergensfrit har stadig strømlinjer givet ved formel (1.9), som løberparallelt med vektoren dr. Men der eksisterer ikke en strømfunktion for et vektorfelt der ikkeer divergensfrit.

Opskrift 4 (Bestemmelse af strømfunktion) Givet strømfeltet med hastighedsvektor v = −ωyı+ωx, hvor ω er en konstant. Strømfunktionen kan findes ud fra formel (2.15):

−∂ψ∂y

= vx = −ωy ⇒ ∂ψ

∂y= ωy

∂ψ

∂x= vy = ωx

Disse differentialligninger løses, hvormed strømfunktionen er bestemt.


Ka

pit

el 3

Kurve-, flade- og volumenintegraler

Kap. 6 i FV (pp. 89-100).

3.1 Kurveintegraler (linjeintegraler)

En kurve beskrives ved retningsvektoren r = r(t), hvor t kan være tiden. Retningsvektoren erknyttet til et punkt: r = {x,y,z} og kan tolkes som positionsvektoren for en partikel, som bevægersig langs kurven.Bueelementet langs banen betegnes:

dr = dxı+ dy+ dzk (3.1)

som er tangent til kurven i ethvert punkt langs banen. x, y og z kan udtrykkes som funktioner aft, hvormed

dx = x′(t)dt = dxdt dt (3.2)

dy = y′(t)dt = dydt dt (3.3)

dz = z′(t)dt = dzdt dt (3.4)

Bueelementet kan så opskrives:

dr =(x′(t)ı+ y′(t)+ z′(t)k

)dt (3.5)

Definition 3.1 (Kurveintegraler (linjeintegraler)) Kurveintegralet af skalaren β(x,y,z):∫K

β dr = ı

∫K

β dx+ ∫K

β dy + k∫K

β dz (3.6)

hvilket giver en vektor.

Kurveintegralet af vektoren A = {A1,A2,A3}:∫K

A · dr =∫K

A1 dx+∫K

A2 dy +∫K

A3 dz (3.7)


3.1. Kurveintegraler (linjeintegraler)

hvilket giver en skalar.

Bemærk: Linjeintegralerne langs kurven K og L fra punkt P1 til punkt P2 er ikke ens:∫K(P1,P2)

A · dr 6=∫L(P1,P2)

A · dr

Lukket kurve: Integreres langs en lukket kurve λ betegnes dette:∮λ

A · dr

Husk at integrere i positiv omløbsretning, således mængden man integrerer omkring, altid liggertil venstre for kurven.

Opskrift 5 (Beregning af kurveintegral) Givet en konstant skalar: β = β0 og parameterform forx og y. Eksempelvis

b(x,y) = 1 og x(t) = t og y(t) = t2

Så fås:

dx = x′(t)dt = 1 dtdy = y′(t)dt = 2tdt

Dette indsættes i integralet (husk grænser) (her beregnes buelængden af kurven - derfor benytteslængden af dr): ∫

K

β |dr| =∫ 1

01·√

(dx)2 + (dy)2 (3.8)

=∫ 1

0

√(1 dt)2 + (2tdt)2 (3.9)

=∫ 1

0

√1 + 4t2 dt (3.10)

hertil kan der imidlertid ikke findes en analytisk løsning.

Eksempel 1 (Kurveintegral af vektorer) Givet F = x2ı+ y2 og y = 12 + 1

2x.Parameterform mht. t:

x(t) = t så y(t) = 12 + 1

2 t

og

dx = x′(t)dt = 1 dt og dy = y′(t)dt = 12 dt

Indsættes dette i kurveintegralet med grænserne [1; 2]:∫F · dr =

∫ 2

1Fx dx+

∫ 2

1Fy dy

=∫ 2

1t2 dx+

∫ 2

1

( 12 + 1

2 t)2 dy

=∫ 2

1t2 1 dt+

∫ 2

1

( 12 + 1

2 t)2 1

2 dt

=∫ 2

1t2 dt+

∫ 2

1

18 + 1

4 t+ 18 t

2 dt

=[ 1

3 t3]2

1 +[ 1

8 t+ 18 t

2 + 124 t

3]21

=( 1

323 − 1313)+

( 182 + 1

822 + 12423 −

( 18 + 1

812 + 12413))

= 258


Kapitel 3. Kurve-, flade- og volumenintegraler

Repræsenterer F kraften, så vil det samlede arbejde netop være∫

F · dr.

3.2 Kurveintegralet af gradientvektoren. Konservativt kraftfelt.Potentialfunktionen.

Sætning 3.2 (Kurveintegralet af gradientvektoren) Hvis vektoren A kan udtrykkes som gra-dienten til et skalarfelt β: A = ∇β (rotationsfrit felt), så fås kurveintegralet:

∫K

A · dr =∫K

∇β· dr (3.11)

=∫ β2

β1

dβ (3.12)

= β2 − β1 (3.13)

idet dβ = ∇β· dr og hvor β1 og β2 er værdien af skalaren i hhv. start- og slutpunkterne.

Et kurveintegral af en gradientvektor er uafhængig af kurven og kun afhængig afskalarværdien i start- og slutpunkterne for integrationen.

Bemærk, at hvis kurven hænger sammen (kurveintegrale), da er∮

A · dr = 0.

Sætning 3.3 (Konservativt kraftfelt) Et kraftfelt F, hvor arbejdet, som kraften udfører ml. topunkter, er uafhængig af vejen kaldes et konservativt kraftfelt.Kraften udtrykt som gradient til skalarfunktion V :

F = −∇V (3.14)

Dvs. V er en potentialfunktion for kraftfeltet.Arbejdet er lig forskellen i potentialet (−∆V ):

W =∫K

F · dr (3.15)

= −∫K

∇V · dr (3.16)

= −∫ V2

V1

dV (3.17)

= V1 − V2 (3.18)

Fortegn: negativt idet kraften ofte virker modsat vejen.

Opskrift 6 (Find potentialfunktion for et konservativt kraftfelt) En betingelse for at der eksi-sterer en potentialfunktion V er at kraftfeltet F er rotationsfrit:

For F = −∇V så ∇× F = ∇× (−∇V ) = 0


3.3. Fladeintegraler

Hermed kan potentialfunktionen findes fra differentialligningerne:

∂V

∂x= −Fx

∂V

∂y= −Fy

∂V

∂z= −Fz

3.3 Fladeintegraler

Sætning 3.4 (Fladeintegraler) En lukket flade i rummet σ som omslutter et volumen τ kandeles i infinitesimale fladeelementer dσ, hvis fladenormal betegnes n.Fortegn: Fladenormalen regnes positiv, når den peger ud af volumenet, som fladen omslutter.

De følgende tre fladeintegraler benyttes ofte:

B Integralet af en skalar β over en flade: ∫σ

βn dσ

B Integralet af normalkomposanten af en vektor A langs en flade:∫σ

A · n dσ

B Integralet af tangentkomposanten af en vektor A langs en flade:∫σ

A× n dσ

Sætning 3.5 (Opdeling af fladeintegraler) Fladeintegraler kan opdeles i delintegraler, såledesfladen σ opdeles i delflader σ1, σ2, σ3, . . . :

∫σ

A · n dσ =∫σ1

A · n dσ +∫σ2

A · n dσ +∫σ3

A · n dσ + . . . (3.19)

Eksempel 2 (Beregning af fladeintegral) Integralet af en skalar β(x,y) over et rektangel i xy-planet med sidekanter a,b og normalvektor n = k. Fladeintegralet bliver:


Kapitel 3. Kurve-, flade- og volumenintegraler

∫σ

βn dσ =∫ b

0

∫ a

0βk dx dy

= β0k

∫ b

0

∫ a

0dxdy

= β0abk

3.4 Volumenstrøm gennem et strømrør

Sætning 3.6 (Volumenstrøm) Volumenstrømmen gennem et strømrør er givet ved:

Q =∫ ψ2

ψ1

dψ = ψ2 − ψ1 (3.20)

hvor ψ1 og ψ2 er værdierne på de strømlinjer, som afgrænser strømrøret.

3.5 Volumenintegraler

Sætning 3.7 (Volumenintegrale af en skalar) Volumenintegrale af en skalar β = β(x,y,z) overet volumen τ er:

∫τ

β dτ =∫ ∫ ∫

τ

β(x,y,z) dxdy dz (3.21)

hvor dτ = dx dy dz.


Ka

pit

el 4

Integralsætninger: Green, Stokes og Gauss

Kap. 7 i FV (pp. 103-109).

4.1 Greens sætning

Sætning 4.1 (Greens sætning) En flade σ omkranses af en linje λ:

Greens sætning er da givet ved:∫σ

(∇× v) · n dσ =∮λ

v · dr (4.1)

Hvor venstre side er et fladeintegral over arealet, σ, og højre side er et linjeintegral langs denydre begrænsningskurve, λ, for fladeintegralet.Bemærk at Greens sætning giver en sammenhæng mellem cirkulationen: C =

∮λ

v · dr ogrotationen af vektorer i et plan.Integration foregår i positiv omløbsretning, så mængden der integreres om befinder sig på venstreside.

Eksempel 3 (Greens sætning for en to-dimensional vektor)For vektoren v = u(x,y)ı+ v(x,y) er Greens sætning skrevet på skalar form:∫ ∫

σ

(∂v∂x− ∂u

∂y

)dx dy =

∮λ

udx+ v dy (4.2)

Venstre side : Fladeintegralet bliver til et dobbeltintegral afvirvlingskomponenten over x og y.

Højre side : Linjeintegralet kan udtrykkes som integration afhastighedskomponenterne over x og y.

4.2 Stokes’ sætning


Kapitel 4. Integralsætninger: Green, Stokes og Gauss

Sætning 4.2 (Stoke’s sætning) Stoke’s sætning er en generalisering af Greens sætning til tre-dimensionale vektorer og krumme flader.

∫σ

(∇× v) · n dσ =∮λ

v · dr (4.3)

Eksempel 4 (FV s. 106)

4.3 Gauss’ sætning (divergensteoremet)

Sætning 4.3 (Gauss’ sætning) Givet et afgrænset volumen τ indenfor en begrænsningsflade σi et vektorfelt, hvor A er en vilkårlig vektor, og der ikke er huller i volumenet. Her fås Gauss’sætning:

∫τ

∇· A dτ =∫σ

A · n dσ (4.4)

Hvor venstre side er et divergensintegral over et volume, τ , og højre side er et fladeintegral overvolumets begrænsningsflade, σ.Bemærk sammenhængen mellem volumenfluksen Q =

∫σ

v · n dσ og divergensen af vektorenover det volumen, som fladen afgrænser.

Såfremt vektoren A er en strømvektor v, så vil fladeintegralet i (4.4) være dettotale volumenstrøm gennem fladen og Gauss’ sætning siger, at den er lig integraletaf divergensen i strømfeltet over volumenet, som fladen afgrænser.

4.3.1 Gauss’ sætning for gradient- og rotationsvektoren

Sætning 4.4 (Gauss’ sætning for gradient- og rotationsvektoren) Der findes to nyttige vari-anter af Gauss’ sætning som omhandler hhv. gradient- og rotationsvektoren:∫

τ

∇β dτ =∫σ

βn dσ (4.5)∫τ

∇×A dτ = −∫σ

A× n dσ (4.6)


Gauss’ sætning for gradient- og rotationsvektoren

Bemærk at fladeintegralet af en konstant (skalar), β(x,y,z) = k, over en vilkårlig lukket sammen-hængende flade σ er lig nul, fordi:

β(x,y,z) = k ⇔ ∇β = 0∫σ

βn dσ =∫τ

∇β dτ =∫τ

0 dτ = 0

vha. formel (4.5).

Opskrift 7 (Brug af integralsætningerne på cirkler eller kugler) Integralsætningerne bruges of-te på cirkler og rektangler i planen og på kugler og kasser i rummet. Til disse udregninger skalarealet af overfladen, σ, omkredsen af begrænsningskurven, λ, og volumet, τ , ofte bruges.Nyttige småformler for en cirkel og kugle:

Cirkel Omkreds : 2πr

Areal : πr2

Kugle Overfladeareal : 4πr2

Volume : 43πr

3


Ka

pit

el 5

Polarkoordinater

Kap. 8 i FV (pp. 113-120).

5.1 Koordinatuafhængige definitioner

Definition 5.1 (Koordinatuafhængige definitioner) Koordinatuafhængige definitionsligningerfor gradient, divergens og rotation:

∇β = 1∆τ

∫∆σ

β n dσ (5.1)

∇·v = 1∆τ

∫∆σv·n dσ (5.2)

∇× v = − 1∆τ

∫∆σv × n dσ (5.3)

når ∆σ → 0 og ∆τ → 0.

5.2 Plane polarkoordinater

Sætning 5.2 (Transformation for plane polarkoordinater) Transformation mellem kartesiskeog plane polarkoordinater:Sammenhæng mellem (r, θ) og (x,y):

x = r cos θ y = r sin θ (5.4)

[r2 = x2 + y2 og θ = arctan(yx

)]

Enhedsvektorer:

ı = cos θ ır − sin θ ıθ (5.5) = sin θ ır + cos θ ıθ (5.6)

ır = cos θ ı+ sin θ (5.7)ıθ = − sin θ ı+ cos θ (5.8)[

ır = r|r|

]18 Matematik for fysikere

5.3. Cylindriske polarkoordinater

Partielt afledede:

∂r

∂x= cos θ ∂r

∂y= sin θ ∂θ

∂x= − sin θ

r

∂θ

∂y= cos θ

r

Partielt afledede mht. (x,y) af β(r,θ):

∂β

∂x= cos θ∂β

∂r− sin θ

r

∂β

∂θ

∂β

∂y= sin θ∂β

∂r+ cos θ

r

∂β

∂θ(5.9)

Sætning 5.3 (∇-operatorer for plane polarkoordinater) ∇-operatorer i plane polarkoordina-ter:A = {Ar Aθ} er en vektor opgivet i plane polarkoordinater og k er enhedsnormalen til planet.

Gradient:

∇β = ∂β

∂rır + 1

r

∂β

∂θıθ (5.10)

Divergens:

∇·A = 1r

∂

∂r(r Ar) + 1

r

∂Aθ∂θ

(5.11)

Rotation:

∇×A = 1r

[∂

∂r(r Aθ)−

∂Ar∂θ

]k (5.12)

5.3 Cylindriske polarkoordinater

Sætning 5.4 (Transformation for cylindriske polarkoordinater) Transformation mellem kar-tesiske og cylindriske polarkoordinater:Sammenhæng mellem (r, θ, z) og (x,y,z):

- (r, θ) og (x,y) er som plane polarkoordinater.

- z har samme størrelse for kartesiske og cylindriske polarkoordinater.

z-koordinaten:

∂β(x,y,z)∂z

= ∂β(r,θ,z)∂z

, ız = k


Kapitel 5. Polarkoordinater

Sætning 5.5 (∇-operatorer for cylindriske polarkoordinater) ∇-operatorer i cylindriske po-larkoordinater:A = {Ar Aθ Az} er en vektor opgivet i cylindriske polarkoordinater.Gradient:

∇β = ∂β

∂rır + 1

r

∂β

∂θıθ + ∂β

∂zız (5.13)

Divergens:

∇·A = 1r

∂

∂r(r Ar) + 1

r

∂Aθ∂θ

+ ∂Az∂z

(5.14)

5.4 Sfæriske polarkoordinater (kuglekoordinater)

Vedtagelse:

θ: vinkel fra lodret (z-aksen). θ ∈ [0,π] .

φ: vinkel fra x-aksen. φ ∈ [0,2π[ .

Sætning 5.6 (Transformation for sfæriske polarkoordinater) Transformation mellem kartesi-ske og sfæriske polarkoordinater:Sammenhæng mellem (r, θ, ϕ) og (x,y,z):

x = r sin θ cosϕ y = r sin θ sinϕ z = r cos θ (5.15)

[r2 = x2 + y2 + z2]

Enhedsvektorer:

ı = sin θ cosϕ ır + cos θ cosϕ ıθ − sinϕ ıϕ (5.16) = sin θ sinϕ ır + cos θ sinϕ ıθ + cosϕ ıϕ (5.17)k = cos θ ır − sin θ ıθ (5.18)

Partielt afledede af r mht (r,θ,ϕ):

∂r

∂x= sin θ cosϕ, ∂r

∂y= sin θ sinϕ ∂r

∂z= cos θ (5.19)

∂θ

∂x= cos θ cosϕ

r

∂θ

∂y= cos θ sinϕ

r

∂θ

∂z= − sin θ

r(5.20)

∂ϕ

∂x= −1

r

sinϕsin θ ,

∂ϕ

∂y= 1r

cosϕsin θ ,

∂ϕ

∂z= 0


5.4. Sfæriske polarkoordinater (kuglekoordinater)

Sætning 5.7 (∇-operatorer for sfæriske polarkoordinater) ∇-operatorer i sfæriske polarkoor-dinater:A = {Ar Aθ Aϕ} er en vektor opgivet i sfæriske polarkoordinater.Gradient:

∇β = ∂β

∂rır + 1

r

∂β

∂θıθ + 1

r sin θ∂β

∂ϕıϕ (5.21)

Divergens:

∇·A = 1r2

∂

∂r(r2Ar) + 1

r sin θ∂

∂θ(sin θ Aθ) + 1

r sin θ∂Aϕ∂ϕ

(5.22)

Rotation:

∇×A = ırr sin θ

[∂

∂θ(Aϕ sin θ)− ∂Aθ

∂ϕ

]+ ıθ

r

[1

sin θ∂ Ar∂ϕ− ∂

∂r(r Aϕ)

]+ ıϕ

r

[∂

∂r(r Aθ)−

∂Ar∂θ

](5.23)

Eksempel 5 (FV s. 119)


Ka

pit

el 6

Divergens- og rotationsfrie felter. Potentialstrøm.

Kap. 9 i FV (pp. 123-136).

6.1 Hastighedspotentialet

For et rotationsfrit felt kan strømvektoren skrives som gradienten til en skalarfunktion:

v = ∇φ ⇔ rot v = 0

Hvor skalarfunktionen φ kaldes hastighedspotentialet eller potentialfunktionen.

Er feltet også divergensfrit kan hastighedspotentialet, φ, skrives:

∇· v = ∇·∇φ = ∇2φ = ∂2φ

∂x2 + ∂2φ

∂y2 + ∂2φ

∂z2 = 0

Sætning 6.1 (Laplace-ligningen) Hastighedspotentialet, φ, i et divergens- og rotationsfrit feltopfylder Laplace-ligningen:

∇2φ = 0 (6.1)

Vi siger, at hastighedsfeltet er et Laplaceisk felt og selve strømningsformen bliver ofte betegnetpotentialstrømning.

6.2 Laplace-operatoren

Sætning 6.2 (Laplace-operatoren)Laplace-operatoren ∇2 har i kartesiske koordinater (x,y,z) i tre dimensioner formen:

∇2 = ∂2

∂x2 + ∂2

∂y2 + ∂2

∂z2 (6.2)

Laplace-operatoren, ∇2, har i plane polarkoordinater (r,θ) formen:

∇2 = 1r

∂

∂r(r ∂∂r

) + 1r2

∂2

∂θ2 (6.3)


6.3. Potentialfelter i to dimensioner

6.3 Potentialfelter i to dimensioner

Et strømfelt eller vektorfelt i to dimensioner: v = vxı+ vy .For både divergens- og rotationsfrie felter er der både et tilhørende hastighedspotentiale og strøm-funktion.

φ : Hastighedspotentiale eller potentialfunktion for rotationsfrie felter

v = ∇φ ⇒ vx = ∂φ

∂xog vy = ∂φ

∂y

ψ : Strømfunktion eller feltfunktion for divergensfrie felter

v = ∇×A = −∇× ψk ⇒ vx = −∂ψ∂y

og vy = ∂ψ

∂x

Relation mellem hastighedspotentialet og strømfunktionen:

∂φ

∂x= −∂ψ

∂yog ∂φ

∂y= ∂ψ

∂x(6.4)

Sætning 6.3 (Cauchy-Riemann relationen) Relationen mellem hastighedspotentialet ogstrømfunktionenen kan skrives som en vektorligning:

∇φ = k ×∇ψ (6.5)

Hvor ligningen har navnet Cauchy-Riemann relationen. Den viser, at gradientvektorerne tilhastighedspotentialet og strømfunktionen står vinkelret på hinanden.

∇φ·∇ψ = ∂φ

∂x

∂ψ

∂x+ ∂φ

∂y

∂ψ

∂y= −∂ψ

∂y

∂ψ

∂x+ ∂ψ

∂x

∂ψ

∂y= 0 (6.6)

Ekviskalarlinjerne for φ og ψ er altså normale, eller ortogonale, til hinanden, φ ⊥ ψ.

Sætning 6.4 (Cauchy-Riemann relationen i plane polarkoordinater)Gradient til hastighedspotentialet og strømfunktionen:

∇φ = ∂φ

∂rır + 1

r

∂φ

∂θıθ og ∇ψ = ∂ψ

∂rır + 1

r

∂ψ

∂θıθ

Hvor:

k ×∇ψ = ∂ψ

∂rıθ −

1r

∂ψ

∂θır

Indsættes i Cauchy-Riemann relationen:

∇φ = k ×∇ψ ⇒∂φ

∂rır + 1

r

∂φ

∂θıθ = ∂ψ

∂rıθ −

1r

∂ψ

∂θır

Hvor komponenterne af strømvektoren v = {vr, vθ} er:

vr = ∂φ

∂r= −1

r

∂ψ

∂θog vθ = 1

r

∂φ

∂θ= ∂ψ

∂r(6.7)


Kapitel 6. Divergens- og rotationsfrie felter. Potentialstrøm.

6.4 Eksempler på potentialfelter i to dimensioner

Eksempel 6 (Retlinjet strøm) Strømvektoren v har konstante komponenter vx, vy (konstant somfunktion af stedet).Feltet er automatisk divergens- og rotationsfrit, da der ingen hastighedsgradienter er.Hastighedspotentiale og strømfunktion:

φ = vxx+ vyy og ψ = −vxy + vyx

For ekviskalarlinjerne er φ og ψ konstante:

y = −vxvyx+ φ

vyog y = vy

vxx− ψ

vx

Ekviskalarlinjerne er rette linjer, der står ortogonalt på hinanden, se figur 6.1.Feltet repræsenterer en uniform, retlinjet strøm, hvor strømretningen danner vinklen α med x-aksen:

tanα = vyvx

Figur 6.1: Retlinjet strøm: Ekviskalarlinjerne for φ og ψ er ortogonale.

Eksempel 7 (Stagnationsstrøm) Et eksempel på et strømfelt i nærheden af et stagnationspunkt.Stagnationspunkter er punkter hvor strømhastigheden er nul (v = 0).

Hastighedspotentiale og strømfunktion:

φ = A

2 (x2 − y2) og ψ = −Axy

Divergens- og rotationsfrit:

vx = ∂φ

∂x= Ax = −∂ψ

∂yog vy = ∂φ

∂y= −Ay = ∂ψ

∂x

For ekviskalarlinjerne er φ og ψ konstante:

y =√x2 − φ 2

Aog y = −ψ

A

1x

Ekviskalarlinjerne er hyperbler, der står ortogonalt på hinanden. Hvor fortegnet på A bestemmerstrømmens retning, se figur 6.2.I origo (0,0) er strømhastigheden 0, så det er et stagnationspunkt.


6.4. Eksempler på potentialfelter i to dimensioner

Figur 6.2: Stagnationsfelt med A = 1: strømlinjer med værdier til venstre, strømlinjer (heltrukne linjer)og feltlinjer for hastighedspotentialet (stiplede linjer) til højre. Hvor (0,0) er et stagnationspunkt i feltet.

Eksempel 8 (Kilde og dræn) Strøm rettet radielt væk fra eller ind mod et center. Her brugespolarkoordinater (r,θ).Hastighedskomponenter til feltet:

vr = A

rog vθ = 0

hvor A er en konstant.Hastighedspotentiale og strømfunktion:

φ = A ln r og ψ = −Aθ

Divergens- og rotationsfrit:

∇· v = 1r

∂

∂r(rvr) + 1

r

∂vθ∂θ

= 1r

∂

∂r

(rA

r

)= 0

∇× v = 1r

( ∂∂r

(rvθ)−∂vr∂θ

)k = 1

r

(− ∂

∂θ

A

r

)k = 0

Feltet er altså divergens- og rotationsfrit overalt udenom origo. I origo hvor r = 0 er hastighedenuendelig og punktet må udelades. Det vil sige, at r = 0 er et singulært punkt i feltet.Hastigheden: Aftager omvendt proportionelt med afstanden fra origo (vokser afstanden r bliver vmindre). For A > 0 vil det strømme væk fra origo (kilde), mens for A < 0 vil det strømme indmod origo (dræn), se figur 6.3.

Volumstrømmen Q udregnes ved at integrere om en cirkel med centrum i origo, der betegnes somstyrken af kilden eller drænet:

Q =∫σ

v · n dσ (n = ır)

=∫σ

A

rır · ır dσ (dσ = rdθ)

=∫ 2π

0A dθ

= 2πA

Eksempel 9 (Punkthvirvel) Strøm hvor hastighedsvektoren er vinkelret på radiusvektor fra origo,og aftager omvendt proportionelt med afstanden fra origo.Hastighedskomponenter til feltet:

vr = 0 og vθ = A

r



Figur 6.3: Kilde og sluk: strømlinjer med værdier til venstre, strømlinjer (heltrukne linjer) og feltlinjerfor hastighedspotentialet (stiplede linjer) til højre. Hvor (0,0) er et singulært punkt i feltet.

hvor A er en konstant.

Ekviskalarlinjerne: Strømlinjerne (ψ = A ln r) er cirkler med centrium i origo. Feltlinjerne forhastighedspotentialet (φ = Aθ) er rette linjer ud fra origo, se figur 6.4.

Punktvirvel: Et væskeelement vil i origo rotere med uendelig stor vinkelhastighed.

r = 0 er et singulært punkt, der udelades, da hastigheden er uendelig stor.

Overalt udenfor origo er feltet divergensfrit og rotationsfrit.

Figur 6.4: Punktvivelfelt for A = 1: strømlinjer med værdier til venstre, strømlinjer (heltrukne linjer) ogfeltlinjer for hastighedspotentialet (stiplede linjer) til højre.

Eksempel 10 (Superposition af felt) Felter, der repræsenterer potentialstrøm, kan adderes og re-sultatet er et nyt potentialfelt.For to potentialfelter:

∇· v1 = 0, ∇× v1 = 0∇· v2 = 0, ∇× v2 = 0

Hvor superpositionen af de to felter giver en ny strømvektor: v = v1 + v2.

∇· v = ∇· v1 +∇· v2 = 0∇× v = ∇× v1 +∇× v2 = 0

Det nye felt er altså også divergens- og rotationsfrit.


6.4. Eksempler på potentialfelter i to dimensioner

Hastighedspotentiale og strømfunktion for det nye felt:

φ = φ1 + φ2

ψ = ψ1 + ψ2

Eksempel 11 (Spiralhvirvel) Bruges superposition af felter kan vi addere feltet for et dræn medet punktvirvelfelt.Strømfunktion for det nye felt:

ψ = A1θ +A2 ln r

hvor A1 og A2 er konstanter. [φ = −A3 ln r +A4θ]

Ligning for en strømlinje, hvor værdien for strømfunktionen er konstant:

ψ0 = A1θ +A2 ln r ⇒

ln r = ψ0

A2− A1

A2θ ⇒

r = exp(ψ0

A2− A1

A2θ)⇒

r = exp(− a(θ − θ0)

)hvor a = A1

A2og θ0 = ψ0

A1, se figur 6.5.

Figur 6.5: Spiralfelt med a = 1 og θ = 0,π6 ,

π3 , . . ..

Eksempel 12 (Dipolfelt) Bruges superposition af felter kan vi addere feltet for en kilde og etdræn. Dipolfeltet fremkommer ved en grænseovergang, hvor en kilde og et dræn lægges uendelignært hinanden.

Hastighedspotentialet og strømfunktionen for det nye felt:

φ = Ax

x2 + y2 og ψ = Ay

x2 + y2

hvor A er en konstant.

Ligning for en strømlinje, hvor værdien for strømfunktionen er konstant:

x2 +(y − A

2ψ0

)2=( A

2ψ0

)2

Strømlinjerne er altså cirkler med centrum på y-aksen og med x-aksen som tangent. Man siger, atdipolen har x-aksen som dipolakse, se figur 6.6.



Figur 6.6: Dipolfelt med A = 1. Strømlinjer med værdier til venstre, strømlinjer (heltrukne linjer) ogfeltlinjer for hastighedspotentialet (stiplede linjer) til højre. For y > 0 vil strømmen gå med uret, for y < 0vil strømmen gå imod uret.


Ka

pit

el 7

Feltligninger for fluider

Kap. 10 i FV (pp. 141-157).Fluider er et fællesnavn for væsker og gasser. De har tilfælles, at de er flydende og tager form efterden beholder, de er i.

7.1 PartikeldifferentationFør : Betragtede den retningsafledte.Nu : Betragter en partikel i tiden.

Definition 7.1 (Ændringer i en parameter, når vi følger en partikel) Strømfelt som funktionaf positionsvektoren r og tiden t:

v(r,t) (7.1)

Forskydningen af en partikel i feltet i tidsintervallet ∆t:

∆r = v(r,t)∆t (7.2)

På komponentform, hvor v = {vx, vy, vz};

∆x = vx∆t, ∆y = vy∆t, ∆z = vz∆t

Ændringen af en skalarstørrelse θ(r,t) langs partiklens forskydningsretning i tidsrummet ∆t:

∆θ = θ(r + ∆r,t+ ∆t)− θ(r,t) (7.3)

Sætning 7.2 (Partikelafledede) Ved at benytte taylorudvikling kan ændringen af en skalar-størrelse ∆θ pr. tidsenhed skrives:

∆θ∆t = v ·∇θ + ∂θ

∂t(7.4)

Lader vi ∆t→ 0 vil ∆θ∆t gå mod den tidsafledede af θ:

∆θ∆t →

Dθdt = ∂θ

∂t+ v ·∇θ

Hvor differentialet Dθdt bliver kaldt den partikelafledede af funktionen θ.

Differentialoperator:

Ddt = ∂

∂t+ v ·∇ (7.5)


Kapitel 7. Feltligninger for fluider

Sætning 7.3 (Partikelacceleration) Partiklens acceleration er hastighedsændring pr. tidsen-hed. Hastighedsændringen:

∆v = v(r + ∆r, t+ ∆t)− v(r,t) (7.6)

Igen benyttes taylorudvikling i udledningen, og accelerationen for partiklen kan udtrykkes vedden partikelafledede af strømhastigheden:

a = Dvdt = ∂v

∂t+ v ·∇v (7.7)

hvor:

v ·∇v = vx∂v∂x

+ vy∂v∂y

+ vz∂v∂z

(7.8)

Accelerationen sætter sig altså sammen af to dele:

∂v∂t

: Den lokale ændring af hastighedsfeltet på stedetLokalaccelerationen

v ·∇v :Ændringen i accelerationen på grund af de rumligeændringer i hastighedsfeltetDen konvektive acceleration i feltet

Bemærk at man skal tage gradienten af en vektor!

7.2 Massebevarelse

I et strømfelt er der flere fundamentale fysiske betingelser, som må være opfyldt. Da masse ikkekan skabes eller ødelægges må massen være bevaret.Massetætheden i feltet:

ρ = ρ(r,t)

hvor enheden for ρ er [kg/m3].

Sætning 7.4 (Massestrøm) Massestrømmen pr. tidsenhed ud gennem en lukket flade σ er givetved integralet: ∫

σ

ρv · n dσ (7.9)

hvor n er normalvektoren til fladeelementet dσ. Massestrømmen har enheden [kg/s].(Beregning af volumenstrøm er tidligere defineret som: Q =

∫σ

v · n dσ)

Udstrømning : massestrøm > 0Indstrømning : massestrøm < 0

Sætning 7.5 (Ændring i masse pr. tidsenhed) Ændringen i masse pr. tidsenhed indenfor vo-lumet τ begrænset af fladen σ: ∫

τ

∂ρ

∂tdτ (7.10)


7.3. Bevægelsesligningen

Ændringen i masse indenfor volumet må tilsvare den masse, der strømmer ud og ind gennemoverfladen: ∫

τ

∂ρ

∂tdτ +

∫σ

ρv · n dσ = 0

Fladeintegralet omskrives til et volumeintegral vha. Gauss’ sætning:(∫τ

∇· Adτ =∫σ

A · n dσ)

∫τ

[∂ρ∂t

+∇· (ρv)]dτ = 0

Skal integralet være opfyldt må integranden være 0 i alle punkter i feltet:

∂ρ

∂t+∇· (ρv) = 0 (7.11)

hvor ρ og v er kontinuerlige funktioner af r og t.Denne differentialligning er en fundamental ligning, der knytter hastighedsfeltet og tæthedsfeltetsammen. Den kaldes kontinuitetsligningen.

Sætning 7.6 (Kontinuitetsligningen) Kontinuitetsligningen er i formel (7.11) givet som en dif-ferentialligning. Den kan også udtrykkes som den partikelafledede af tætheden:

1ρ

Dρdt = −∇· v (7.12)

Kontinuitetsligningen for en konstant massetæthed, ρ = ρ0 =konstant:

∇· v = 0

alle strømfelter hvor tætheden er konstant er altså divergensfrie.

Kontinuitetsligningen for et felt, hvor alle partikler bevarer sin tæthed:

Dρdt = 0

strømfeltet må dermed også være divergensfrit i dette tilfælde. Dette er ensbetydende medmassebevarelse.

7.3 Bevægelsesligningen

Newtons 2. lov: produktet af masse og acceleration for en partikel er lig summen af alle kræftersom virker på partiklen.Antager at bevægelsen er friktionsfri, så fluidet kun er påvirket af trykkraften, der virker langsoverfladen σ, og tyngdekraften, der virker på al masse indenfor begrænsningsfladen τ .Den totale kraft:

−∫σ

pn dσ +∫τ

ρg dτ

hvor p er trykket, n er fladenormalen for fladeelementet dσ, ρ er massetætheden, g er tyngdeacce-lerationen og dτ er et volumeelement indenfor volumet τ .


Kapitel 7. Feltligninger for fluider

Newtons 2. lov: ∫τ

ρa dτ = −∫σ

pn dσ +∫τ

ρg dτ (7.13)

hvor a er accelerationen for fluidpartiklerne indenfor volumet, defineret ved ligning (7.7).

Sætning 7.7 (Bevægelsesligningen) Ligesom for udledningen af massebevarelse bruges Gauss’sætning for ligning (7.13). Herved opnås bevægelsesligningen for en friktionsfri strøm af fluideri tyngdefeltet:

a = ∂v∂t

+ v ·∇v = −1ρ∇p+ g (7.14)

Dette er en vektorligning med tre komponenter, hvor hver af komponentligningerne er partielledifferentialligninger. Ligningen er kendt som Euler-ligningen for fluider.

7.4 Bernoullis ligning

For en væske hvor tætheden er konstant ved vi, at strømfeltet er divergensfrit. Derudover antagesdet, at strømfeltet er strationært, så ∂v

∂t = 0.Bevægelsesligningen (7.14) kan nu skrives:

v ·∇v = −∇pρ− gk

hvor z-aksen er lagt i vertikal retning.

Det kan skrives, at:

gk = ∇(gz) og v ·∇v = ∇( 1

2v2)+ c× v

hvor c = ∇× v er rotationen til strømfeltet (fordi strømfeltet er divergensfrit).

Bevægelsesligningen kan nu skrives:

∇[p

ρ+ 1

2v2 + gz

]+ c× v = 0 ⇒ ∇H·dr + (c× v) ·dr = 0

hvor skalaren H indføres: H = pρ + 1

2v2 + gz, og der multipliceres med bueelementet dr.Da c× v står normalt på v og dermed også på dr er sidste led 0.Det vil sige, at langs strømlingen er: dH = 0.

Sætning 7.8 (Bernoullis ligning) Bernoullis ligning for en inkompressibel væske:

H = p

ρ+ 1

2v2 + gz = H0 (7.15)

Skalaren H er konstant langs en strømlinje. Konstanten H0 kaldes Bernoullikonstanten.


Del II

Essential Mathematical Methods for thePhysical Sciences (EMM)

Ka

pit

el 8

Fourier rækker

Kap. 4 i EMM (pp. 170-185).

Fourier rækker udtrykker en funktion som en lineær sum af sinus og cosinus led.

8.1 Dirichlet betingelser

Betingelser en funktion f(x) må opfylde for at kunne blive skrevet som en Fourier række.Hvis disse krav er opfyldt, så konvergerer Fourier rækken til f(x) ved alle punkter, hvor f(x) erkontinuert.

Definition 8.1 (Dirichlets betingelser) 1. Funktionen skal være periodisk.

2. a Funktionen skal være entydig (kun én funktionsværdi for hvert x).b Funktionen skal være kontinuert (undtagen i et endeligt antal af diskontinuerte punk-

ter hvor diskontinuiteterne er endelig).

3. Et endeligt antal maksimum- og minimumspunkter pr. periode.

4. Integralet af |f(x)| over én periode skal konvergere.

8.2 Lige og ulige funktioner

Både sinus- og cosinusled er nødvendige:

Sinus, ulige funktion : f(−x) = −f(x)Cosinus, lige funktion : f(−x) = f(x)

Alle funktioner kan udtrykkes som en sum af en ulige og en lige del:

f(x) = 12[f(x) + f(−x)

]+ 1

2[f(x)− f(−x)

]= flige(x) + fulige(x)

Det bestemte integrale over én periode for en cosinus eller sinus funktion vil altid give 0. Forperioden L: ∫ x0+L

x0

cos(2πrx

L

)dx = 0

∫ x0+L

x0

sin(2πrx

L

)dx = 0

8.3 Fourier række


8.4. Symmetri overvejelser

Sætning 8.2 (Fourier række) Fourier række for funktionen f(x), hvor a0, ar, br er Fourierkoefficienterne.

f(x) = a0

2 +∞∑

r=1

[ar cos

(2πrxL

)+ br sin

(2πrxL

)](8.1)

Sætning 8.3 (Fourier koefficienter) For en periodisk funktion f(x) med perioden L er Fourierkoefficienterne (x0 er arbitrær men sættes oftest til 0 eller −L2 ):

ar = 2L

∫ x0+L

x0

f(x) cos(2πrx

L

)dx, (8.2)

br = 2L

∫ x0+L

x0

f(x) sin(2πrx

L

)dx (8.3)

8.4 Symmetri overvejelser

Sætning 8.4 (Symmetri overvejelser) Konsekvenser ved symmetri eller antisymmetri omkringorigo og omkring en kvart periode.

- Hvis f(x) er lige omkring x = 0 er br = 0 (⇒ kun cosinus led).

- Hvis f(x) er ulige omkring x = 0 er ar = 0 (⇒ kun sinus led).

- Hvis f(x) er lige omkring x = L/4 er a2r+1 = 0 og b2r = 0.

- Hvis f(x) er ulige omkring x = L/4 er a2r = 0 og b2r+1 = 0.

8.5 Diskontinuerte funktioner

Sætning 8.5 (Diskontinuitet) I et punkt med endelig diskontinuitet, xd, vil Fourier rækkenkonvergere mod:

12 limε→0

[f(xd + ε) + f(xd − ε)]

Gibbs’ fænomen: Meget tæt på en diskontinuitet vil Fourier række repræsentationen af funk-tionen skyde over den egentlige værdi. Jo flere led der er med i Fourier rækken, jo mindreforskel vil der være i værdien, men det forsvinder aldrig helt. Hvor størrelsen på forskellen erproportional med størrelsen af diskontinuiteten.

8.6 Kompleks Fourier række

Sætning 8.6 (Kompleks Fourier række) Kompleks Fourier række for funktionen f(x), hvor crer den komplekse Fourier koefficient.

f(x) =∞∑

r=−∞cr exp

(2πirxL

)(8.4)


Kapitel 8. Fourier rækker

For en periodisk funktion f(x) med perioden L er den komplekse Fourier koefficient (x0 erarbitrær men sættes oftest til 0 eller −L2 ):

cr = 1L

∫ x0+L

x0

f(x) exp(− 2πirx

L

)dx (8.5)

Relation mellem den komplekse Fourier koefficient og de reelle Fourier koefficienter:

cr = 12 (ar − ibr), (8.6)

c−r = 12 (ar + ibr) (8.7)

8.7 Parseval’s sætning

Sætning 8.7 (Parseval’s sætning) Relation mellem Fourier koefficienterne og funktionen debeskriver. Summen af den komplekse Fourier koefficient er lig den gennemsnitlige værdi for|f(x)|2 over en periode:

1L

∫ x0+L

x0

|f(x)|2dx =∞∑

r=−∞|cr|2 (8.8)

=( 1

2a0)2 + 1

2

∞∑r=1

(a2r + b2r

)(8.9)

Hvor den generelle form af teoremet er givet ved (Parseval’s sætning er det specielle tilfældehvor f(x) = g(x)):

1L

∫ x0+L

x0

f(x)g∗(x)dx =∞∑

r=−∞crγ∗r (8.10)

Hvor funktionerne f(x) og g(x) er givet ved:

f(x) =∞∑

r=−∞cre

2πirx/L and g(x) =∞∑

r=−∞γre

2πirx/L


Ka

pit

el 9

Integral transformationer

Kap. 5 i EMM (pp. 191-219) (÷ 5.1.2) .

Fourier række: Repræsenterer en periodisk funktion i et bestemt interval, som ensuperposition af cos- og sinus funktioner.

Fourier transformation: Repræsenterer funktioner, der er defineret over et ubestemt inter-val og uden en speciel periode, som en superposition af cosinus-og sinus funktioner.

9.1 Fourier transformation

Fourier transformation kan ses som en generalisering af Fourier rækken for periodiske funktioner.Da Fourier transformationer ofte repræsenterer tidsafhængige funktioner bruges f(t) ofte i stedetfor f(x).

Krav til funktionen: Integralet∫ ∞−∞|f(t)|dt skal være endeligt/bestemt.

Med udgangspunkt i den komplekse Fourier række udvikles Fourier transformationen.For perioden T → ∞ vil vinkelhastigheden ωr = 2πr/T blive forsvindende lille. Dermed vil denuendelige sum af led i Fourier rækken blive et integrale, og den komplekse Fourier koefficient, cr,blive en funktion af den kontinuerlige variable ω.

Sætning 9.1 (Fourier transformation) Fourier transformationen er funktionens frekvensdomæ-ne, der er en uendelig sum af tidsdomænet i periodiske cykler:

f(ω) = 1√2π

∫ ∞−∞

f(t)e−iωtdt (9.1)

med dets inverse (fra frekvensdomænet tilbage til tidsdomænet):

f(t) = 1√2π

∫ ∞−∞

f(ω)eiωtdω (9.2)

Sætning 9.2 (Fourier-integralet) Indsættes Fourier transformationen, (9.1) i den inverse trans-formation (9.3) fås Fourier-integralet:(Denne formel optræder ikke i lærebogen EMM)

f(t) = 12π

∫ ∞−∞

[ ∫ ∞−∞

f(u)e−iωudu]eiωtdω (9.3)


Kapitel 9. Integral transformationer

Sætning 9.3 (Fourier’s inversion teorem)

f(t) = 12π

∫ ∞−∞

dω eiωt∫ ∞−∞

du f(u)e−iωu (9.4)

9.2 Usikkerhedsprincippet

Gauss- eller normalfordelingen er en vigtig funktion, der her benyttes til at illustrere usikkerheds-princippet.

Normalfordeling (µ = 0, σ = τ = ∆t):

f(t) = 1τ√

2πexp

(− t2

2τ2

), −∞ < t <∞

Sætning 9.4 (Fourier transformation af normalfordelingen) Ny normalfordeling over fre-kvensdomænet (µ = 0, σ = ∆ω = 1/τ):

f(ω) = 1√2π

exp(− τ2ω2

2

)(9.5)

Sætning 9.5 (Usikkerhedsprincippet) Afvigelsen eller spredningen i t og ω er relateret, uaf-hængigt af τ :

∆ω∆t = 1 (9.6)

Dvs. lille spredning i tidsdomænet ⇒ stor spredning i frekvensdomænet. Og omvendt.Denne usikkerhedsrelation kan relateres til kvantemekanikken, som giver sammenhængene:

∆E∆t = ~/2 and ∆p∆x = ~/2

9.3 Diracs δ-funktion

δ-funktionen kan visualiseres som en meget skarp, smal puls.

Definition 9.6 (Diracs δ-funktion) Dirac δ-funktionen har størrelsen:

δ(t) = 0 for t 6= 0

og er defineret ved (hvor for t = a er integralet ikke lig 0):∫f(t)δ(t− a)dt = f(a) (9.7)

Sætning 9.7 (Areal af δ-funktionen) Arealet under funktionen ved integration over et interval,der indeholder t = 0: ∫ b

−aδ(t)dt = 1 for alle a,b > 0 (9.8)


9.4. Heaviside funktion

Arealet under funktionen defineret ved variablen a, hvor intervallet indeholder t = a:∫δ(t− a)dt = 1 for interval med t = a (9.9)

Sætning 9.8 (Øvrige egenskaber for δ-funktionen)For t 6= 0 er δ(t) = 0, og for t = 0 er også −t = 0:

δ(t) = δ(−t) (9.10)

Enten er t eller δ(t)=0:t δ(t) = 0 (9.11)

En konstant ganget med variablen:δ(at) = 1

|a|δ(t) (9.12)

Deltafunktionen differentieret:

δ′(t) =∫ ∞−∞

f(t)δ′(t) (9.13)

=[f(t)δ(t)

]∞−∞

+∫ ∞−∞

f ′(t)δ(t)dt (9.14)

= −f ′(0) (9.15)

9.4 Heaviside funktion

Heaviside funktionen er tæt forbundet med δ-funktionen og benyttes for eksempel til at beskriveen funktion med konstant værdi i et interval.

Definition 9.9 (Heaviside funktionen) Heaviside funktionen er diskontinuert i t = 0. Normaltsættes H(0) = δ(t).

H(t) ={

1 for t > 00 for t < 0

(9.16)

Sammenhængen mellem Heaviside funktionen og Diracs δ-funktion:

H ′(t) = δ(t) (9.17)

9.5 Relation mellem Dirac δ-funktion og Fourier transformation

Sætning 9.10 (Fourier transform defintion af Dirac δ-funktionen) Ved at relatere Fourier’sinversion teorem med δ-funktionen fås:

δ(t− u) = 12π

∫ ∞−∞

eiω(t−u)dω (9.18)

På denne form kan δ-funktionen anses som at være en superposition af et komplet spektrum afharmoniske bølger, hvor alle bølgerne danner resonans i t = u.



Sætning 9.11 (Egenskaber for δ-funktionen som Fourier transformation) Fourier transformaf en δ-funktion:

δ(ω) = 1√2π

∫ ∞−∞

δ(t)e−iωtdt = 1√2π

(9.19)

Hvor også:δ∗(t) = 1

2π

∫ ∞−∞

e−iωtdω = δ(−t) = δ(t) (9.20)

9.6 Fourier-transformation regneregler

Hvor Fourier transformationen af f(t) bliver skrevet f(ω) eller F [f(t)].

Sætning 9.12 (Fourier-transformation regneregler)

1. Differentation : F[f ′(t)

]= iωf(ω)

: F[f ′′(t)

]= iωF

[f ′(t)

]= −ω2f(ω)

2. Integration : F[ ∫ t

f(s)ds]

= 1iωf(ω) + 2πcδ(ω)

3. Skalering : F[f(at)

]= 1af(ωa

)4. Translation : F

[f(t+ a)

]= eiaω f(ω)

5. Eksponential multiplikation : F[eαtf(t)

]= f(ω + iα), hvor α ∈ F

6. Produkt : F[f(t)g(t)

]= 1√

2πf(ω) ∗ g(ω)

Sætning 9.13 (Fourier sinus transformation) Fourier transformation af en ulige funktion, hvorf(t) = −f(−t):

fs(ω) =√

2π

∫ ∞0

f(t) sinωtdt (9.21)

f(t) =√

2π

∫ ∞0

fs(ω) sinωtdω (9.22)

Sætning 9.14 (Fourier cosinus transformation) Fourier transformation af en lige funktion,hvor f(t) = f(−t):

fs(ω) =√

2π

∫ ∞0

f(t) cosωtdt (9.23)

f(t) =√

2π

∫ ∞0

fs(ω) cosωtdω (9.24)

9.7 Convolution og deconvolution

Et forsøg på at måle værdien af en fysisk egenskab er begrænset af opløsningen for det apparat,der benyttes.


9.8. Parseval’s teorem

Hvor f(x) er den sande funktion af variablen x, og funktionen g(y) er opløsningen af apparatet, derer benyttet til målingen. For at opnå gode resultater ønskes det, at g(y) er så tæt på en δ-funktionsom muligt.

Sætning 9.15 (Convolution) Convolution (foldning) for funktionen f og g, hvor f(x) er densande funktion og g(z) er opløsningens funktion for måleapparatet:

h(z) =∫ ∞−∞

f(x)g(z − x)dx (9.25)

Integralet skrives ofte: f ∗ gHvor foldningen både er kommutativ (f ∗ g = g ∗ f), associativ og distributiv.

Sætning 9.16 (Convolution teorem) Fourier transformationen af en convolution f ∗ g.

h(ω) =√

2πf(ω)g(ω) (9.26)

Eksempel 13 (EMM s. 207: Deconvolution)

f(x) = 1√2πF−1

[h(ω)g(ω)

](9.27)

9.8 Parseval’s teorem

Sætning 9.17 (Parsevals teorem) Ligesom der var en sammenhæng mellem integralet af stør-relsen af funktionen i anden og Fourier række koefficienterne er der en sammenhæng med Fouriertransformationen. ∫ ∞

−∞|f(x)|2dx =

∫ ∞−∞|f(ω)|2dω (9.28)

Hvis funktionen f fysisk angiver en amplitude vil integralet angive den totale intensitet i denfysiske proces.

9.9 Fourier transformation i højere dimensioner

Fourier transformationer kan udvides til mere end én dimension.

Definition 9.18 (Fourier transformation i tre dimensioner) Fourier transformationen aff(x, y, z):

f(kx,ky,kz) = 1(2π)3/2

∫ ∫ ∫f(x,y,z)e−ikxxe−ikyye−ikzz dxdy dz (9.29)

Den inverse Fourier transformation:

f(x,y,z) = 1(2π)3/2

∫ ∫ ∫f(kx,ky,kz)eikxxeikyyeikzz dkx dky dkz (9.30)



Definition 9.19 (Fourier transformation i højere dimensioner) Fourier transformationen afen funktion med flere dimensioner:Vektorer med komponenterne:(Eksempel med tre dimensioner, der kan udvides til flere)

k = {kx, ky, kz} , r = {x, y, z} (9.31)

Fourier transformation:f(k) = 1

(2π)3/2

∫f(r)e−ikr d3r (9.32)

Den inverse Fourier transformation:

f(r) = 1(2π)3/2

∫f(k)eikr d3k (9.33)

Dirac δ-funktion i tre dimensioner:

δ(r) = 1(2π)3

∫eikr d3k (9.34)

9.10 Laplace transformation

Laplace transformation er nyttigt, når man for eksempel betragter en funktion hvis integral derdefinerer Fourier transformationen ikke konvergerer.

Definition 9.20 (Laplace transformation) Laplace transformationen af f(t) skrives f(s) ellerL[ f(t) ], og er defineret ved:

f(s) =∫ ∞

0f(t)e−stdt (9.35)

forudsat at integralet eksisterer.Det antages at s er et reelt tal, hvor komplekse værdier vil indgå i et mere detaljeret studie affunktionen.I praksis vil der for en given funktion f(t) være et reelt tal s0, hvor:- Integralet eksisterer for s > s0.- Integralet divergerer for s ≤ s0.

Definition 9.21 (Lineær transformation L) Den lineære transformation L der konvertererfunktioner af variabel t til funktioner af den nye variabel s.

L[af1(t) + bf2(t)] = aL[f1(t)] + bL[f2(t)] = af1(s) + bf2(s) (9.36)

Definition 9.22 (Invers Laplace transformation) En eksplicit invers Laplace transformation erikke let givet ud fra f(s).Tabeller over Laplace transformationer kan dog være en hjælp. Når sådanne tabeller benyttesi praktisk brug er den inverse Laplace transformation unik og lineær:

L−1[af1(s) + bf2(s)] = af1(t) + bf2(t) (9.37)


9.10. Laplace transformation

Sætning 9.23 (Standard Laplace transformationer) Hvor transformationerne er gyldige fors > s0.

f(t) f(s) s0

c c/s 0

ctn cn!/sn+1 0

sin bt b/(s2 + b2) 0

cos bt s/(s2 + b2) 0

eat 1/(s− a) a

tneat n!/(s− a)n+1 a

sinh at a/(s2 − a2) |a|

cosh at s/(s2 − a2) |a|

eat sin bt b/[(s− a)2 + b2] a

eat cos bt (s− a)/[(s− a)2 + b2] a

t1/2 12 (π/s3)1/2 0

t−1/2 (π/s)1/2 0

δ(t− t0) e−st0 0

H(t− t0) ={

1 for t ≥ t00 for t < t0

e−st0/s 0

Sætning 9.24 (Laplace transformation regneregler)

1. Første differentierede : L[dfdt

]= −f(0) + sf(s), s > 0.

2. Anden differentierede : L[d2f

dt2]

= s2f(s)− sf(0)− dfdt (0), s > 0.

3. n’te differentierede : L[dnfdtn

]= snf(s)− sn−1f(0)− sn−2 df

dt (0)− . . .

. . .− dn−1f

dtn−1 (0), s > 0.

4. Integrerede : L[ ∫ t

0f(u)du

]= 1sL[f ]

5. Ganget med eat : L[eatf(t)

]= f(s− a)

6. Ganget Laplace med e−bs : e−bsf(s) : g(t) ={

0 for 0 < t ≤ bf(t− b) for t > b

7. Ganget med konstant : L[f(at)

]= 1af( sa

)8. Ganget med tn : L

[tnf(t)

]= (−1)n d

nf(s)dsn , for n = 1,2,3...

9. Divideret med t : L[f(t)t

]=∫ ∞s

f(u)du, når grænsen limt→0

[f(t)/t] eksisterer

10. Convolution teorem : L[ ∫ t

0f(u)g(t− u)du

]= f(s)g(s)

11. Invers trans af convolution : L−1[f(s)g(s)

]=∫ t

0f(u)g(t− u)du = f ∗ g



9.11 Generelt om integral transformationer

Hvor både Fourier og Laplace transformationer er eksempler på integral transformationer, kanman kigge på integral transformationer i en generel form.

Definition 9.25 (Generel integral transformation) En generel integral transformation af funk-tionen f(t):

F (α) =∫ b

a

K(α,t)f(t)dt (9.38)

Hvor F (α) er transformationen af f(t) med hensyn til kernen K(α,t), hvor α er transformationsvariablen.For eksempel i Laplace transformationen er K(s,t) = e−st, a = 0 og b = ∞ og i Fouriertransformationen er K(k,x) = e−ikx, a = −∞ og b =∞.

Ofte kan også den inverse transformation skrives direkte, og vi får et transformationspar ligesomfor Fourier transformationen.


Ka

pit

el 10

Partielle differentialligninger (PDE)

Kapitel 10 i EMM (pp. 387-405).

10.1 Generel løsning

Sætning 10.1 (Generel løsning til partielle differentialligninger) For funktioner, som kan pa-rameteriseres, således ui(x,y) = fi(p), gælder:

∂ui∂x

= ∂fi(p)∂p

∂p

∂x(10.1)

∂ui∂y

= ∂fi(p)∂p

∂p

∂y(10.2)

som kan omskrives til:

∂p

∂y

∂ui∂x

= ∂p

∂x

∂ui∂y

(10.3)

10.2 Generelle og partikulære løsninger til PDE

10.2.1 Første ordens PDE

Definition 10.2 (1. ordens PDE) Første ordens partielle differentialligninger er givet på for-men:

A(x,y)∂u∂x

+B(x,y)∂u∂y

+ C(x,y)u = R(x,y) (10.4)

Sætning 10.3 (For C(x,y) = R(x,y) = 0) Fra (10.1) og (10.2) fås

A(x,y)∂u∂x

+B(x,y)∂u∂y

= 0⇔ (10.5)

dxA(x,y) = dy

B(x,y) (10.6)

når man benytter:

dp = ∂p

∂xdx+ ∂p

∂ydy = 0 (10.7)


Kapitel 10. Partielle differentialligninger (PDE)

Eksempel 14 (s. 395) For x∂u∂x − 2y ∂u∂y = 0, er A(x,y) = x og B(x,y) = −2y, hvormed formel(10.6) giver:

dxx

= dy−2y

hvortil løsningen er x = Cy−1/2.

Sæt p1/2 = C, hvormed

p = x2y

Den generelle løsning til den partielle differentialligning er givet ved

u(x,y) = f(x2y) = f(p)

hvor f er en vilkårlig funktion.

(a) En partikulær løsning som opfylder: 2y+ 1 for linjen x = 1 (dvs. u(1,y) = 2y+ 1), kan fx væreu(x,y) = 2(x2y) + 1 = 2p+ 1.

Sætning 10.4 (For R(x,y) = 0) Løsningen for differentialligningen:

A(x,y)∂u∂x

+B(x,y)∂u∂y

+ C(x,y)u = 0 (10.8)

er givet på formen:

u(x,y) = h(x,y)f(p) (10.9)

hvor h(x,y) er en vilkårlig løsning til differentialligningen.

Eksempel 15 (s. 396)

Sætning 10.5 (Inhomogene ligninger og problemer) Inhomogen ligning: både u(x,y) ogλu(x,y) er en løsning. Inhomogent problem: randbetingelserne opfylder at både u(x,y) og λu(x,y)er en løsning.

Den generelle løsning for et inhomogent problem kan skrives som en sum af en vilkårlig parti-kulær løsning til problemet og af en generel løsning af det tilsvarende homogene problem.Dvs. for et problem på formen:

∂u

∂x− x∂u

∂y+ au = f(x,y) (10.10)

med betingelsen: u(0,y) = g(y), er løsningen på formen:

u(x,y) = v(x,y) + w(x,y) (10.11)

hvor v(x,y) er en vilkårlig løsning, som opfylder randbetingelserne, og w(x,y) er en generelløsning til den homogene ligning: ∂w

∂x− x∂w

∂y+ aw = 0.


10.2.2 Anden ordens PDE


Anden ordens PDE

Definition 10.6 (2. ordens PDE) Anden ordens lineære partielle differentialligninger er givetpå formen:

A(x,y)∂2u

∂x2 +B(x,y) ∂2u

∂x∂y+ C(x,y)∂

2u

∂y2 +D(x,y)∂u∂x

+ E(x,y)∂u∂y

+ F (x,y)u = R(x,y)

(10.12)

Sætning 10.7 (Klasser af 2. ordens PDE) De anden ordens lineære partielle differentiallignin-ger kan opdeles i klasserne:

B2 > 4AC Hyperbolsk

B2 = 4AC Parabolsk

B2 < 4AC Elliptisk

Bemærk at såfremt A, B og C er funktioner af x og y, da vil ligningen antage forskellige typeraf klasser afhængigt af (x,y)-positionen.

Sætning 10.8 (For R(x,y) = 0, A, B, . . . , F er konstanter og D = E = F = 0) For an-den ordens lineære partielle differentialligninger, hvor R(x,y) = 0, A, B, . . . , F er konstanterog D = E = F = 0, ser ligningen således ud:

A∂2u

∂x2 +B∂2u

∂x∂y+ C

∂2u

∂y2 = 0 (10.13)

Såfremt løsningen er på formen u(x,y) = f(p), må p være lineær, dvs. p = ax + by, hvormedu(x,y) = f(ax+ by).Løsningen til denne type PDE afhænger af klassen den tilhører:

Klasse Generel løsning LøsningsformB2 > 4AC Hyperbolsk u(x,y) = f(x+ λ1y) + g(x+ λ2y) x+ αyB2 < 4AC Elliptisk u(x,y) = f(x+ λ1y) + g(x+ λ2y) x+ iβyB2 = 4AC Parabolsk u(x,y) = f(x+ λy) + xg(x+ λy)

når A,B,C ∈ R og λi er løsning til A+Bλ+ Cλ2 = 0.




Ka

pit

el 11

Løsningsmetoder til partiel differentialligninger

Kap. 11 i EMM (pp. 421-449).

11.1 Seperation af variable

Sætning 11.1 (Seperation af variable: den generelle metode) Funktionen u(x,y,z,t) er enløsning til den partielle differentialligning. Der på produktform er givet ved:

u(x,y,z,t) = X(x)Y (y)Z(z)T (t) (11.1)

hvor en løsning på denne form siges at være seperabel i x, y, z og t.

Sætning 11.2 (Bølgeligningen) Eksempel på metoden, seperation af variable, ud fra den tre-dimensionale bølgeligning:

∇2u(r) = 1c2∂2u(r)∂t2

Ved at indsætte løsningen u = XY ZT i bølgeligningen fås:

X ′′

X+ Y ′′

Y+ Z ′′

Z= 1c2T ′′

T(11.2)

som kun kan være sandt for alle x, y, z og t, hvis alle leddene er lig en konstant.De fire seperate differentialligninger der fremkommer:

X ′′

X= −l2, Y ′′

Y= −m2,

Z ′′

Z= −n2,

1c2T ′′

T= −µ2 (11.3)

hvor l, m, n og µ er de tilhørende seperationskonstanter.

OBS! Se de generelle løsninger til de partielle ligninger formel (11.3) på side 423 i EMM.


Ka

pit

el 12

Komplekse variable

Kapitel 14 i EMM (pp. 540-553).

12.1 Funktioner af komplekse variable

Definition 12.1 (Funktion af komplekse variable) Funktioner af komplekse variable består afbåde en reel del (u(x,y)) samt en imaginær del (v(x,y)):

f(z) = u(x,y) + iv(x,y) (12.1)

hvor z = x+ iy og x,y ∈ R, z ∈ CNB: Der kan være én eller flere værdier af f(z).

Sætning 12.2 (Differentiabilitet) En funktion, f(z), som er entydig i et område R, er differen-tiabel i punktet z, såfremt

f ′(z) = lim∆z→0

[f(z + ∆z)− f(z)

∆z

](12.2)

eksisterer, og er unik og uafhængig af retningen for f → z. ∆z = ∆x+ i∆yNB: det er ikke trivielt at se om en kompleks funktion er differentiabel!


12.2 Cauchy-Riemann relationerne

Sætning 12.3 (Cauchy-Riemann relationerne) Såfremt en kompleks funktion, f(z), er diffe-rentiabel, så skal grænseværdierne være ens uanset vejen. Dette giver følgende sammenhæng:

∂u

∂x= ∂v

∂yog ∂v

∂x= −∂u

∂y(12.3)

Sætning 12.4 (Analytisk funktion) Hvis de partielle afledede for en funktion findes og er kon-tinuerte og overholder Cauchy-Riemann-relationerne, så er funktionen analytisk.En funktion kan godt være analytisk i nogle dele af det komplekse plan, uden at være det iandre dele.


Kapitel 12. Komplekse variable


Sætning 12.5 (Afledede af Cauchy-Riemann) Hvis man tager de afledede af Cauchy-Riemann-relationerne fås:

∂2u

∂x2 = −∂2u

∂y2 og ∂2v

∂x2 = −∂2v

∂y2 (12.4)

hvormed funktionerne opfylder Laplace’s ligning:

∇2u = 0 og ∇2v = 0 (12.5)

Dette betyder samtidigt, at u ⊥ v overalt.

Sætning 12.6 (Størrelsen af gradienterne for u(x,y) og v(x,y)) Hvis f = u+ iv er en ana-lytisk funktion, så vil størrelsen af gradienten for real- og imaginærdelen være lig hinanden:

|∇u| = |∇v| (12.6)

12.3 Potensrække

Definition 12.7 (Potensrække i en kompleks variabel) En potensrække i en kompleks varia-bel opskrives:

f(z) =∞∑n=0

anzn (12.7)

=∞∑n=0

anrn exp(inθ) (12.8)

idet z = r exp(iθ) og z, an ∈ C.

Sætning 12.8 (Konvergent) Potensrækken (12.7) er konvergent, hvis længden:

|f(z)| =∞∑n=0|an|· rn · 1 (12.9)

er konvergent.

Sætning 12.9 (Cauchy rodtest) Cauchy rodtest:

1R

= limn→∞

|an|1n (12.10)

hvor R kaldes konvergens radius.Funktionen er konvergent hvis |z| < R ⇔ |r exp(iθ)| < R ⇔ |r| < R og divergent hvis |z| > R.Hvis |z| = R må man tænke sig om!



12.4. Elementære funktioner

Sætning 12.10 (Analytisk potensrække) Potensrækken f(z) =∞∑n=0

anzn har en sum, som er

en analytisk funktion inden for konvergenscirklen.

Sætning 12.11 (Differentiation af potensrække) Enhver potensrække kan differentieres et vil-kårligt antal gange inden for konvergenscirklen:

f ′(z) =∞∑n=0

n· anzn−1 (12.11)

12.4 Elementære funktioner

Definition 12.12 (Eksponential funktion) Eksponential funktionen er defineret:

exp(z) =∞∑n=0

zn

n! (12.12)

Denne er konvergent for alle z (sålænge r 6=∞), hvormed den er en analytisk funktion over helexy-planet.

Sætning 12.13 (Kompleks eksponent) Den komplekse eksponent, z, af et reelt tal (a > 0) erdefineret ved:

az = exp (z ln(a)) (12.13)

For z = iy og a = e fås:

exp(iy) = cos(y) + i sin(y) (12.14)

Eulers formel:

exp(z) = exp(x+ iy) (12.15)= exp(x) exp(iy) (12.16)= exp(x) (cos(y) + i sin(y)) (12.17)

12.5 Multivalued funktioner og branch cuts

Sætning 12.14 (Branch cut) Analytiske funktioner skal være entydige. Dette er alle funktionerikke (fx log/ln, komplekse potensrækker og rødder).For at gøre f(z) entydig, kan et branch cut defineres i Argand diagrammet. Et branch cut er enlinje som ikke må krydses, således en funktion holdes entydig.


Appendiks

Ap

pe

nd

iks

AAlmindelige konstanter og enheder

Her er en række af de mest almindeligt anvendte konstanter og enheder. De er taget direkte frabogensi omslag.

navn enhed værdiLysets hastighed i vakuum c 2.99792458 · 108 m/sElektronens ladning e 1.602 · 10−19CGravitationskonstanten G 6.674 · 10−11N ·m2/kg2

Plancks konstant h 6.626 · 10−34 JsBoltzmanns konstant k 1.38 · 10−24 J/KAvogadro’s tal Na 6.002 · 1023molekyler/molGaskonstanten R 8.314 J/mol KElektronens masse me 9.109 · 10−31 kgProtonens masse mp 1.6726 · 10−27 kgNeutronens masse mn 1.6749 · 10−27 kgPermeabiliteten af det frie rum µ0 4π· 10−7Wb/A·mPermittiviteten af det frie rum ε0 = 1/µ0c

2 8.854 . . . · 10−12 C2/N ·m2

1/4πε0 8.9875 . . . · 109N ·m2/C2

Andre brugbare konstanter :

navn enhed værdiMekaniske varme ækvivalent 4.186 J/calStandard atm. tryk 1 atm 1.01325 · 105 PaAbsolutte nulpunkt 0 K −273.15◦CElektonvolt 1 eV 1.602 · 10−19 JAtomets masseenhed 1 u 1.6605 · 10−27 kgElektronens hvileenergi mec

2 0.51099 MeVDen ideale gas’ volumen 22.414 l/molTyngdeaccelerationen g 9.80665 m/s2

A.1 Konstanter til relativitetsteori:navn værdi enhedElektron hvilemasse me 0,511 MeV/c2

Proton hvilemasse mp 938,27 MeV/c2

Neutron hvilemasse mn 939,56 MeV/c2

Muon hvilemasse mµ 105,7 MeV/c2

Pion (±) hvilemasse mπ± 139,6 MeV/c2

Higgs hvilemasse mH 126 GeV/c2

Plancks konstant gange c hc 1420 MeVfm

iUniversity Physics

53

Ap

pe

nd

iks

BRegneregler

B.1 Regneregler for ∇-operatoren

∇ (κ+ β) = ∇κ+∇β (B.1)∇ (κβ) = κ∇β + β∇κ (B.2)

∇(

1β

)= − 1

β2∇β (B.3)

∇· (κA) = ∇κ· A + κ∇· A (B.4)∇× (κA) = ∇κ×A + κ∇×A (B.5)

B.2 ∇-operatoren som en vektor

Symbolsk vektor:

∇ = ı∂

∂x+ ∂

∂y+ k ∂

∂z(B.6)

Vektor:

∇β =(ı∂

∂x+ ∂

∂y+ k ∂

∂z

)β = ∂β

∂xı+ ∂β

∂y+ ∂β

∂zk (B.7)

Skalarprodukt:

∇· A =(ı∂

∂x+ ∂

∂y+ k ∂

∂z

)·(Axı+Ay +Azk

)(B.8)

= ∂Ax∂x

+ ∂Ay∂y

+ ∂Az∂z

(B.9)

Krydsprodukt:

∇×A =(ı∂

∂x+ ∂

∂y+ k ∂

∂z

)×(Axı+Ay +Azk

)(B.10)

=(∂Az∂y− ∂Ay

∂z

)ı+

(∂Ax∂z− ∂Az

∂x

)+

(∂Ay∂x− ∂Ax

∂y

)k (B.11)

B.2.1 2. ordens differentialer

∇(∇β) = ∇2β = ∂2β

∂x2 + ∂2β

∂y2 + ∂2β

∂z2 (B.12)

∇× (∇β) = 0 (B.13)∇(∇· v) = vektor - ikke vigtig (B.14)

∇· (∇× v) = 0 (B.15)∇× (∇× v) = ∇(∇· v)−∇2v (B.16)

∇2 kaldes Laplace operatoren.

54

B.3 Sinus og cosinus

Nyttige småformler for sinus og cosinus, for n ∈ N:

sin(nπ) = 0 : sin((n + 1

2 )π)

= (−1)n

cos(nπ) = (−1)n : cos((n + 1

2 )π)

= 0

sinA sinB = 12(

cos(A−B)− cos(A+B))

sinA cosB = 12(

sin(A−B) + sin(A+B))

cosA cosB = 12(

cos(A−B) + cos(A+B))

Eulers formler:

eiθ = cos θ + i sin θ sin θ = eiθ − e−iθ

2i cos θ = eiθ + e−iθ

2

B.4 Krydsprodukter af cylinder og sfæriske polarkoordinater

Cylinder:

ır × ıθ = k

k × ır = ıθ

k × ıθ = ır

Sfærisk:

ıθ × ıφ = ır

ır × ıφ = ıθ

ır × ıθ = ıφ

55

Ap

pe

nd

iks

CStrøm- og potentialfunktioner

φ og ψ Typeφ = vxx+ vyy Retlinjet strøm.ψ = −vxy + vyxφ = A ln r Kilde(dræn) med centrum i origo. A > 0 (A < 0)ψ = −Aθφ = Aθ Punkhvirvel med centrum i origo.ψ = A ln rφ = Ax

x2 + y2 Dipol med akse langs x-aksen og centrum på y-aksen.

ψ = Ay

x2 + y2

56

Documents

Matematik for fysikere - PSI.NBI.DK - psi.nbi.dkpsi/wiki/Formelsamlinger/files/z_Formelsamling... · Matematik for fysikere Formelsamling MatF Blok3-2012/2013 Helle Gormsen Lisbeth