Matematik-Økonomi...Forord Denne rapport er udarbejdet på 3. semester i Matematik-Økonomi uddannelsen på School of Engineering and Science ved Aalborg Universitet i efteråret

School of Engineering and ScienceMatematik-ØkonomiAalborg Universitethttp://www.ses.aau.dk

Titel:Dornbusch Modellen

Tema:Sædvanlige Differentialligninger

Projektperiode:Efterår 2016: 2. september - 21. december

Projektgruppe:G3-106

Gruppemedlemmer:Daniel Rytter SørensenNicolai Tandal DanielsenMathias Tokkesdal HenriksenThomas MortensenToke Christian Zinn

Vejledere:Nima Nonejad

Oplagstal: 8

Rapport sideantal: 95

Bilag sideantal: 0

Total sideantal: 100

Projekt færdiggjort den: 20-12-2016

Synopsis:

Dette projekt har til formål at undersøgeog belyse differentialligningssystemers an-vendelse inden for modellering af pris- ogvalutakursændringer. Specielt fokuseres pådynamikken i forbindelse med f.eks. æn-dringer i pengeudbuddet. Altså betragtesøkonomiens vej fra økonomien forlader enligevægt til den når en ny. Denne dynamikbelyses vha. Dornbusch modellen, som pådet punkt adskiller sig fra traditionel kom-parativ statik, hvor kun ligevægtene be-tragtes, men hvor der lægges mindre vægtpå dynamikken imellem dem.Inden førnævnte dynamik kan undersø-ges med henblik på økonomisk anvendelse,tilegnes viden om relevant bagvedliggen-de matematisk teori. Dette involverer pri-mært differentialligninger og systemer afdisse. I forlængelse af generel teori om disseligninger lægges meget vægt på at under-søge opførslen af homogene systemer af tolineære 1. ordens differentialligninger. Her-under undersøges blandt andet systemersstabilitetskriterier samt de forskellige ty-per af dynamik som forekommer, afhængigaf hvordan systemets egenværdi(er) ser ud.Til sidst anvendes den matematiske teorisamt teorien om Dornbusch modellen påforskellige numeriske eksempler for yderli-gere at illustrere dynamikken ved forskelli-ge typer af ændringer i en økonomi.

Rapportens indhold er frit tilgængeligt, men offentliggørelse (med kildeangivelse) må kun ske efter aftale

med forfatterne.

http://www.ses.aau.dk

Forord

Denne rapport er udarbejdet på 3. semester i Matematik-Økonomi uddannelsen påSchool of Engineering and Science ved Aalborg Universitet i efteråret 2016. Sædvanligedifferentialligninger er det overordnede tema for projektet.

Forudsætningerne for at læse rapporten er kurserne Analyse 1, Lineær Algebra, Calculusog Makroøkonomi 1.

Der vil igennem rapporten fremtræde kildehenvisninger, og disse vil være samlet ien kildeliste bagerst i rapporten. Der er i rapporten anvendt kildehenvisning efterHarvardmetoden, så i teksten refereres en kilde med [Efternavn, År, sidetal]. I tilfælde afat der er mere end en kilde udgivet af samme person i samme år, er disse kilder navngivet[Efternavn, År(bogstav), sidetal]. Henvisningerne fører til kildelisten, hvor bøger er angivetmed forfatter, titel, udgave og forlag, mens internetsider er angivet med forfatter, titel ogdato. Figurer, tabeller, definitioner, sætninger, eksempler og ligninger er nummereret ihenhold til afsnit, dvs. den første figur i afsnit 7.1 har nummer 7.1.1, den anden, nummer7.1.2 osv. Forklarende tekst til figurer og tabeller findes under de givne figurer og tabeller.

Til sidst rettes stor tak til vores vejleder Nima Nonejad for inspirerende vejledning ogkonstruktiv kritik.

Daniel Rytter Sørensen Nicolai Tandal Danielsen Mathias Tokkedal Henriksen

Thomas Mortensen Toke Christian Zinn

iii

Indholdsfortegnelse

1 Indledning 11.1 Problemanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Problemformulering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Problemafgrænsning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Differentialligninger af 1. og 2. orden 42.1 Lineære differentialligninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.1 Lineære 1. ordens differentialligninger . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.1.2 Løsning af n’te ordens lineære differentialligninger . . . . . . . . . . 112.1.3 Lineære 2. ordens differentialligninger . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2 Autonome differentialligninger og grafiske løsninger . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Systemer af 1. ordens lineære differentialligninger 223.1 Løsning af lineære systemer af 1. ordens differentialligninger . . . . . . . . . 243.2 Løsning af systemer af to 1. ordens differentialligninger . . . . . . . . . . . . 27

3.2.1 To reelle egenværdier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2.2 Én reel egenværdi med multiplicitet 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2.3 To komplekse egenværdier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3 Faseplan og -diagrammer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.3.1 Dynamikken af systemer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.4 Stabilitet af systemer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.5 Fasediagrammer for systemer af to lineære 1. ordens ligninger . . . . . . . . 38

3.5.1 Reelle forskellige egenværdier: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.5.2 To komplekse egenværdier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.5.3 Én reel egenværdi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.5.4 Generalisering af eksempler for fasediagrammer . . . . . . . . . . . . 47

4 Dornbusch modellen 504.1 Introduktion til Dornbusch modellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.1.1 Udledning af differentialligning for prisen . . . . . . . . . . . . . . . 524.1.2 Dynamik i Dornbusch modellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.2 Perfect foresight i Dornbusch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.2.1 Opstilling af fasediagram for Dornbusch modellen . . . . . . . . . . . 564.2.2 Differentialligningssystemet for Dornbusch modellen . . . . . . . . . 604.2.3 Dynamikken ved en ændring i pengeudbuddet . . . . . . . . . . . . . 624.2.4 Betragtninger vedrørende perfect foresight . . . . . . . . . . . . . . . 654.2.5 Parameterændringer i modellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

iv

Sædvanlige differentialligninger Gruppe G3-106

4.3 Offentliggørelser under perfect foresight . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.3.1 Offentliggørelse af ændring i pengeudbuddet med udførelse . . . . . 734.3.2 Minimumsdepreciering ved offentliggørelse . . . . . . . . . . . . . . . 774.3.3 Offentliggørelse og parameterændringer . . . . . . . . . . . . . . . . 784.3.4 Offentliggørelse af ændring i pengeudbuddet uden udførelse . . . . . 79

4.4 Dornbusch modellen med indkomstændringer . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.4.1 Dynamikken ved en indkomstændring . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.4.2 Offentliggørelse og indkomstændring . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5 Konklusion 92

Litteratur 94

v

1 Indledning

Efter 2. verdenskrig var faste kurser normen for stort set alle lande i verden. Dollaren varbundet til en værdi på 1/35 af en ounce guld, mens de fleste andre valutaer var bundettil dollaren. Dog viste det sig ikke at være optimalt. Gennem 1960’erne opstod en delproblemer med fastkurser i form af flere valutakriser. Dette ledte til, at dollaren blev enflydende valuta i marts 1973. Denne beslutning resulterede i, at flere andre lande ligeledesgjorde deres valutaer flydende, hvilket er baggrunden for den nuværende verdensøkonomi,hvor de fleste store valutaer, bl.a. dollaren og euroen, er flydende valutaer. [Andersen ogHolten, 1978]

Efter dollaren blev gjort flydende, opstod der grundlag for opstilling af nye makroøkono-miske teorier, der kunne beskrive effekten af en given politik på en given flydende valuta. Iden tid havde mange økonomer den opfattelse, at økonomien rykkede fra et ligevægtspunkttil et andet og blev der. Volatilitet i markedet kunne kun opstå, hvis der var asymmetriskinformation eller reguleringsmæssige problemer på markedet.[Wikipedia.org, 2016]

I 1976 introducerede tyskeren Rüdiger Dornhusch en model kaldet “The overshootingmodel” (også kaldet “Dornbusch modellen”), der betragtede problemstillingen anderledes.Den primære antagelse i denne model er, at priserne på varemarkedet er “sticky”,hvilket vil sige, at de er langsomme til at tilpasse sig, mens valutakurserne vil reageremed det samme ved økonomiske tiltag. Disse to antagelser bliver herefter sammenholdtmed købekraftpariteten, hvorefter modellen giver en teoretisk forklaring af højvolatilevalutakursers udvikling på både kort og langt sigt. [Wikipedia.org, 2016]

Det mest karakteristiske ved denne model er, at kursen på kort sigt “overshooter” detlangsigtede ligevægtsniveau, men derefter stabiliseres. For eksempel kunne valutakursenappreciere mere end den langsigtede ligevægt i første omgang for derefter at depreciere tildet langsigtede ligevægtsniveau. Desuden bidrager modellen, med en yderligere antagelseomkring perfect foresight, også med forståelsen af, hvordan volatile valutamarkederreagerer på offentliggørelser omkring ændringer i pengeudbuddet. Denne rapport vilderfor blandt andet undersøge, hvilken indflydelse en offentliggørelse har på økonomiensreaktion på en ændring, sammenlignet med økonomiens reaktion når ændringen ikke erkendt på forhånd. Det undersøges også, om det har indflydelse, hvornår offentliggørelsenbliver foretaget og om det offentliggjorte i det hele taget bliver udført. Dog er det mestinteressante ved Dornbusch modellen selve dynamikken. For at modellen kan forståsoptimalt kræver det derfor en matematisk grundforståelse.

1


1.1 ProblemanalyseDornbusch modellen er en dynamisk og kontinuert model, og da det netop erdynamikken i Dornbusch modellen, der er interessant, beskrives modellen bedst udfra differentialligninger. Først betragtes den originale Dornbusch model. Denne har enforholdsvis simpel dynamik omhandlende prisen og skaber motivation for at kigge på 1.ordens differentialligninger.

Derefter vil en udbygning af modellen blive tilføjet, hvori muligheden for at modellerevalutakursen dynamisk vil blive introduceret. For yderligere at se på samspillet mellempriserne og valutakursen, betragtes et differentialligningssystem.

Det er derfor relevant, at se på hvilken information et system kan give, samt se på hvilkefaktorer der påvirker systemet. Det er herunder relevant at anvende metoder og resultaterfra bl.a. lineær algebra, for at se, hvordan systemet, og derved økonomien som systemetrepræsenterer, udvikler sig. Under systemer inddrages desuden fasediagrammer, der brugestil at beskrive dynamikken og ligevægtene i systemet.

For at undersøge hvordan et marked reagerer, vil forskellige parametre, samt deresbetydning, blive undersøgt. Ydermere ses der på, hvordan modellen beskriver markedetefter et chok. Slutteligt betragtes, hvorvidt reaktionen på disse choks ændrer sig, hvis deoffentliggøres på forhånd, samt hvordan et lands økonomi bliver påvirket ved permanenteindkomstændringer.

1.2 ProblemformuleringHvordan kan differentialligninger anvendes til at modellere udviklingen afpriser og valutakurser for en økonomi med flydende kurser?

For at løse ovenstående problem betragtes følgende:

• Beskrivelse og analyse af relevant teori omkring differentialligninger, der kan knyttestil Dornbusch modellen.

• Beskrivelse og analyse af systemer af differentialligninger, der kan knyttes tilDornbusch modellen.

• Gradvis opbyggelse af Dornbusch modellen under passende økonomiske antagelser.

• Undersøgelse af påvirkninger på pris og valutakurser af forskellige politiske tiltagvha. Dornbusch modellen.

1.3 ProblemafgrænsningDen matematiske afgrænsning består primært i at udelade beviser for visse centralesætninger, da omfanget er disse er for store ift. fokuspunktet fort projektet. Generelleløsningsmetoder for lineære n’te ordens differentialligninger vil blive belyst, men der vildog kun opstilles numeriske eksempler på løsning af lineære differentialligninger til og med

2


2. orden. Derudover belyses kun 1. ordens autonome differentialligninger, da højere ordensautonome differentialligninger ikke anvendes i den økonomiske analyse i dette projekt.Ligeledes udelades arbejdet med ikke-lineære systemer af differentialligninger, da detteikke har relevans for dynamikken i Dornbusch modellen.

Den økonomiske afgrænsning er primært, at der kun kigges på Dornbusch modellen, hvilketleder til udeladelse af økonomisk teori, der ikke bygger på antagelserne bag Dornbuschmodellen.

3

2 Differentialligninger af 1. og 2. orden

Til denne sektion benyttes [Nielsen, 2011, s. 53-66, s. 93-97].

Mange problemer omhandler et forhold mellem størrelser, der ændres over tid. Indenformakroøkonomi kan dette f.eks. være vækst i BNP, valutakursændringer eller rentensudvikling. For at beskrive sådanne udviklinger kræves ofte modeller, der beskriveren dynamisk sammenhæng mellem stadiet af en given variabel og ændringsraten idette stadie. I matematik beskrives ændringer over tid vha. afledte funktioner. Derforkan differentialligninger bruges som et redskab til at belyse fænomener, der ændrersig over tid. Kort forklaret beskriver differentialligninger en kontinuert sammenhængmellem udviklingen af en funktions afledte og udviklingen af funktionen selv. En sådansammenhæng kan i et simpelt tilfælde skrives således:

dy

dt= f(y(t))g(t). (2.1)

Ligning (2.1) er et simpelt eksempel på en differentialligning. Denne type differentialligningkaldes en separabel differentialligning og vil blive brugt som eksempel for følgende generelledefinitioner. Differentialligninger består af afhængige variabler og uafhængige variabler.I ligning (2.1) er der én uafhængig variabel t og én afhængig variabel y(t), da y(t)

differentieres mht. t. Har en differentialligning kun én uafhængig variabel, kaldes det ensædvanlig differentialligning. Har den to eller flere, kaldes det en partiel differentialligning.I dette projekt betragtes kun sædvanlige differentialligninger. Derfor vil der altid menes“sædvanlige differentialligninger”, når der nævnes “differentialligninger” i den resterendedel af rapporten. Mere formelt defineres en differentialligning som følgende:

Definition 2.1. En n’te ordens differentialligning, hvor t er den uafhængige variabel,og y(t) er den afhængige variabel, kan skrives på formen:

F

(t, y(t),

dy

dt, . . . ,

dny

dtn

)= 0, (2.2)

hvor F : Rn+1 → R og er en funktion, der afhænger af t, y(t) og differentialerne af y(t)op til n’te orden.

Ordenen af en differentialligning betegnes som ordenen af den differentialkvotient medhøjeste orden i ligningen og vil altid tilhøre N. Løsningen til (2.2) vil være en funktion, derkan differentieres n gange, og som opfylder ligningen for alle t i et åbent interval I. Detteinterval specificeres for at sikre at funktionen er defineret og kan gå fra −∞ til ∞. Detteillustreres nu for en separabel differentialligning:

4


Eksempel 2.1. Løsningen til ligning (2.1) findes nu. Ligningen har inden nogenudførte regneoperationer formen:

dy

dt= f(y(t))g(t).

Der divideres med f(y(t)) for at opnå:

1

f(y(t))

dy

dt= g(t).

Integreres der med hensyn til t, fås:∫1

f(y(t))

dy

dtdt =

∫g(t)dt.

Fordi y(t) er en funktion af t, kan dydt dt skrives som dy. Derfor:∫1

f(y(t))dy =

∫g(t)dt+ c, (2.3)

hvor c er en arbitrær konstant. I dette tilfælde er det ikke muligt at regne videre, dade konkrete værdier for f(y(t)) og g(t) ikke kendes.

Havde de konkrete udtryk for f(y(t)) og g(t) været kendt i eksempel 2.1, ville det væremuligt at finde et udtryk for funktionen y(t). En sådan løsning ville være en eksplicitløsning, hvilket fører til følgende definition:

Definition 2.2. En funktion φ(t), der opfylder ligning (2.2) for alle t i intervallet I,når den substiueres ind på y(t)’s plads, kaldes en eksplicit løsning for ligningen i I.

I senere afsnit vil det blive uddybet, hvordan den eksplicitte løsning til andre typer afdifferentialligninger findes. En løsning af en differentialligning, der indeholder en eller flerearbitrære konstanter, kaldes for den fuldstændige løsning til differentialligningen. Løsnin-gen kaldes for fuldstændig, da den kan betragtes som en repræsentation af alle løsningertil ligningen. En løsning til ligning (2.2), der derimod ikke indeholder nogle arbitrære kon-stanter, kaldes for en partikulær løsning. At finde en partikulær løsning kræver dog, atder bliver stillet en begyndelsesbetingelse. Det vil sige, at differentialligningen vil væreopstillet sammen med nogle betingelser, som løsningen skal opfylde ved en given værdi afden uafhængige variabel. Dette kaldes et begyndelsesværdiproblem og defineres som:

Definition 2.3. Ved et begyndelsesværdiproblem for en n’te ordens differentialligningpå formen i ligning (2.2) menes der:

Find løsningen til differentialligningen på et interval I der ved t0 opfylder n

begyndelsesbetingelser:

y(t0) =y0,

dy

dt(t0) =y1,

5


...

dn−1y

dtn−1(t0) =yn−1,

hvor t ∈ I og y0, y1, . . . , yn−1 ∈ R.

Det kan bevises, at et begyndelsesværdiproblem har en entydig løsning. Beviset undladesgrundet dets størrelse. Der vises nu et eksempel for, hvordan en partikulær løsning for enseparabel differentialligning findes:

Eksempel 2.2. Betragt følgende separable differentialligning:

dy

dt=y(t)− 2

t+ 4, y(3) = 0 , t 6= −4.

Variablerne separeres og de to udtryk integreres:

dy

y(t)− 2=

dt

t+ 4, y(t) 6= 2

m∫dy

y(t)− 2=

∫dt

t+ 4

mln |y(t)− 2| = ln |t+ 4|+ c.

For at finde den fuldstændige løsning isoleres y i ovenstående udtryk:

eln |y(t)−2| = eln |t+4|+c

m|y(t)− 2| = ec|t+ 4| = c1|t+ 4| , c1 = ec

my(t) = 2± c1(t+ 4).

Da c1 = ec altid er positiv, kan udtrykket skrives som:

y(t) = 2 + c2(t+ 4).

hvor c2 er en arbitrær konstant, som er forskellig fra 0. Dette svarer til den fuldstændigeløsning. Den partikulære løsning findes nu ved hjælp af begyndelsesbetingelsen:

0 = 2 + c2(3 + 4) ⇐⇒ c2 = −2

7.

Den partikulære løsning bliver dermed:

y(t) = −2

7t+

6

7.

Metoderne til at løse en differentialligning giver dog ikke altid en eksplicit løsning. I nogle

6


tilfælde vil en løsning kun være defineret implicit. Dette vises ved følgende eksempel:

Eksempel 2.3. Betragt følgende separable differentialligning:

dy

dt=

6t5 − 8

cos(y(t)) + ey(t).

Dette udtryk separeres og integreres nu:

sin(y(t)) + ey(t) = t6 − 8t+ c. (2.4)

I ligning (2.4) er det ikke muligt at isolere y(t). Dog er udtrykket stadig en løsning,selvom det ikke kan skrives eksplicit.

Eksemplet leder til følgende definition:

Definition 2.4. En relation G(t, y(t)) = 0 kaldes en implicit løsning til ligning (2.2)på intervallet I, hvis den definerer en eller flere eksplicitte løsninger til ligningen i I.

En eksplicit løsning vil altså være en funktion af den uafhængige variabel, mens en implicitløsning vil være en relation mellem den afhængige og uafhængige variabel.

2.1 Lineære differentialligningerTil følgende sektion benyttes [Nielsen, 2011, s. 101-106 og s. 221-246], [Tseng, 2006, s. B-17], [Logan, 2015, s. 85-112] og [Edwards og Penney, 2008, s. 113-124].

En underart af ligning (2.2), der hyppigt andvendes, kaldes for lineære differentialligningerog defineres på følgende måde:

Definition 2.5. En lineær n’te ordens differentialligning er på formen:

an(t)dny

dtn+ an−1(t)

dn−1y

dtn−1+ . . .+ a1(t)

dy

dt+ a0(t)y(t) = f(t), an(t) 6= 0, (2.5)

hvor y(t) og ai(t), for i = 0, . . . , n er afhængige variable og t er den uafhængige variabel.

Ligning (2.5) kan også skrives vha. et summationstegn:n∑i=0

ai(t)diydti

= f(t). En lineær dif-

ferentialligning indeholder altså en afhængig variabel y(t) og dennes differentialkvotienteri forskellige ordner i en summeret følge. f(t) er altså en linearkombination af differential-kvotienterne. I ligning (2.5) afhænger koefficienterne af den uafhængige variabel t. Dennetype koefficienter kaldes for variable koefficienter. Derimod kaldes koefficienter, der ikkeafhænger af en variabel, for konstante koefficienter. I dette projekt arbejdes kun med reellekoefficienter.

Der skelnes yderligere mellem to typer af lineære differentialligninger. Hvis f(t) i ligning(2.5) er lig 0, kaldes ligningen for en homogen n’te ordens lineær differentialligning, mensligningen kaldes for inhomogen, hvis f(t) er forskellig fra 0. For lineære differentialligninger

7


gælder følgende eksistens- og entydighedssætning for begyndelsesbetingelser:

Sætning 2.1. Lad a0(t), a1(t), . . . , an(t) ∈ R og lad a være indeholdt i intervallet I. Givetb0, b1, . . . bn−1 ∈ R har en n’te ordens lineær differentialligning på formen:

an(t)dny

dtn+ an−1(t)

dn−1y

dtn−1+ . . .+ a1(t)

dy

dt+ a0(t)y(t) = f(t), an(t) 6= 0,

én unik løsning i intervallet I, der tilfredsstiller følgende begyndelsesbetingelser:

y(a) = y0,dy

dt(a) = y1, . . .

dn−1y

dtn−1(a) = yn−1.

Af sætningen ses, at et begyndelsesværdiproblem for en n’te ordens lineær differentiallig-ning med n begyndelsesbetingelser har en entydigt bestemt løsning. Sætningen bevises dogikke, da omfanget af dette er for stort ift. projektets fokus.

Strukturen af en fuldstændig løsning til en lineær differentialligning afhænger af ligningensorden. Først beskrives løsningen af 1. ordens differentialligninger, hvorefter det beskrives,hvordan den fuldstændige løsning for en n’te ordens lineær differentialligning findes.

2.1.1 Lineære 1. ordens differentialligningerDen mest simple type lineære differentialligninger er en lineær 1. ordens differentialligning.Denne har jf. definition 2.5 følgende opbygning:

Definition 2.6. En lineær 1. ordens differentialligning er på formen:

a1(t)dy

dt+ a0(t)y(t) = g(t), (2.6)

hvor y(t) er den afhængige variabel og t er den uafhængige variabel.

Eksempelvis er ligningen:

t2 − 3ty(t) = 6dy

dt

en inhomgen lineær differentialligning, da den kan skrives på formen:

6dy

dt+ 3ty(t) = t2,

hvor a1(t) = 6, a0(t) = 3t og g(t) = t2. Yderligere kan en lineær 1. ordensdifferentialligning skrives på normalform, som defineres således:

Definition 2.7. En lineær 1. ordens differentialligning af følgende form

dy

dt+ p(t)y(t) = q(t), (2.7)

siges at være på normalform, hvor p(t) =a0(t)

a1(t)og q(t) =

g(t)

a1(t)jf. definition 2.6.

8


At skrive en 1. ordens differentialligning på normalform, viser sig at gøre ligningen lettereat løse. Et specialtilfælde af (2.7), hvor p(t) = 0, kan løses hurtigt. I dette tilfælde bliverligningen:

dy

dt= q(t),

hvor det let ses, at løsningen er:

y(t) =

∫q(t)dt+ c.

Derudover er der en mere generel metode til at løse 1. ordens lineære differentialligninger,som præsenteres nu. Først betragtes tilfældet, hvor en ligning på formen (2.7) er homogen:

dy

dt+ p(t)y(t) = 0. (2.8)

Det ses at (2.8) er en separabel differentialligning, og løsningen bliver derfor:

y(t) = ce−∫p(t)dt.

Er ligningen inhomogen er løsningsmetoden lidt mere kompliceret. Betragt igen ligning

(2.6). Det bemærkes, at hvis a0(t) =da1dt

, så indeholder begge udtryk på venstre side aflighedstegnet det afledte af produktet a1(t)y, og kan skrives:

dy

dta1(t) + a0(t)y(t) = a1(t)

dy

dt+da1dty(t) =

d

dt[a1(t)y(t)].

Ligning (2.6) bliver derved til:

d

dt[a1(t)y(t)] = g(t). (2.9)

Målet er at få en ligning på formen (2.9). Dette gøres ved at indføre den såkaldte integre-rende faktor µ(t). Denne fremgangsmåde kræver, at den pågældende differentialligning erpå normalform. Herefter skal µ(t) bestemmes, så den venstre side af følgende ligning:

µ(t)dy

dt+ µ(t)p(t)y(t) = µ(t)q(t), (2.10)

er det afledte af produktet µ(t)y(t):

µ(t)dy

dt+ µ(t)p(t)y(t) =

d

dt[µ(t)y(t)] = µ(t)

dy

dt+dµ

dty(t).

Dette kræver selvfølgelig, atdµ

dt= µ(t)p(t). (2.11)

Til at finde en sådan funktion, ses det at (2.11) er en separabel differentialligning, der kanskrives som

1

µ(t)dµ = p(t)dt.

Integreres begge sider fåsµ(t) = c1e

∫p(t)dt.

Med dette valg af µ(t) bliver ligning (2.10) til:

d

dt[µ(t)y(t)] = µ(t)q(t), (2.12)

9


Bemærk at c1 helt kan undlades, da den optræder på begge sider og derfor blot kanelimineres. Løsningen til (2.12) er:

µ(t)y(t) =

∫µ(t)q(t)dt+ c

m

y(t) =1

µ(t)

(∫µ(t)q(t)dt+ c

),

hvor c er en arbitrær konstant. Denne løsning er en fuldstændig løsning. Er enbegyndelsesbetingelse givet, y(t0) = y0, kan den arbitrære konstant c findes, og dervedkan en partikulær løsning findes.

Eksempel 2.4. Lad en 1. ordens lineær differentialligning være givet ved

dy

dt+

1

ty(t) = 1, t 6= 0, (2.13)

hvor p(t) =1

tog q(t) = 1. Derved bliver den integrerende faktor

µ(t) = e

∫ 1

tdt

= eln(t) = t.

µ(t) multipliceres på begge sider af (2.13):

tdy

dt+ y(t) = t

md

dt(ty(t)) = t.

Herefter integreres ligningen:

ty(t) =1

2t2 + c,

hvilket reduceres tily(t) =

1

2t+

c

t, t 6= 0.

Dette er den fuldstændige løsning til (2.13). Lad y(1) =7

2være givet, da kan en

partikulær løsning findes:

y(1) =7

2=

1

2+ c,

hvor det ses at c = 3. Løsningen til begyndelsesværdiproblemet bliver da

y(t) =1

2t+

3

t, t 6= 0.

I stedet for at finde én partikulær løsning, kan der tegnes løsningskurver for forskelligec-værdier:

10


Figur 2.1: Løsningskurver til forskellige c-værdier

Det ses, at enhver værdi af c repræsenterer en partikulær løsning. På figur 2.1 er derillustreret syv forskellige grafiske repræsentationer af partikulære løsninger, men derkunne i princippet være tegnet uendeligt mange plot for partikulære løsninger. Afgrafen ses det også tydeligt, at ingen partikulær løsning er defineret i t = 0. Ydermerekan et bestemt tilfælde betragtes. Betragt f.eks. c = 1. Når t går mod −∞, bliver

udtrykket y(t) =1

2t+

1

t≈ 1

2t. I takt med at t nærmer sig nul, bliver leddet

1

tmere

og mere betydningsfuld, og når t går mod nul fra venstre, går leddet1

tmod −∞.

Modsat, når t går mod nul fra højre, er1

2t+

1

t≈ 1

t- dvs. et stort positivt tal. Når t

går mod ∞, går1

tmod nul, og udtrykket grænser mod

1

2t.

2.1.2 Løsning af n’te ordens lineære differentialligningerDet er ikke altid tilstrækkeligt kun at betragte stadiet af en given variabel samtændringsraten af dette. I nogle situationer, er det interessant at kigge på sammenhængenmellem forskellige ordener af differentialer for en given funktion. Hermed opstår behovetfor højere ordens differentialligninger. I forbindelse med at finde løsningen til enlineær differentialligning af orden højere end én, viser den karakteristiske ligning til endifferentialligning sig at være et nyttigt værktøj. Denne udledes nu.

Jf. def. 2.5 kan en differentialligning af orden n ∈ N skrives:

an(t)dny

dtn+ an−1(t)

dn−1y

dtn−1+ . . .+ a1(t)

dy

dt+ a0(t)y(t) = f(t), an(t) 6= 0 (2.14)

Betragt nu tilfældet af (2.14) hvor f(t) = 0 og a0, a1, ..., an er konstante, da er det en

11


homogen ligning på formen:

andny

dtn+ an−1

dn−1y

dtn−1+ . . .+ a1

dy

dt+ a0y(t) = 0. (2.15)

Det kunne være praktisk, hvis den originale funktion er indeholdt i dens afledte. En funk-tion, der opfylder dette, er eksponentialfunktionen. Ydermere fraskiller eksponentialfunk-tionen også den trivielle løsning y(t) = 0. Lad nu y(t) = ert være en løsning til (2.15).Derved ses det, at hver afledte er et produkt af y(t) på formen:

dny

dtn= rnert. (2.16)

(2.16) substitueres ind i (2.15). Da fås:

anrnert + an−1r

n−1ert + . . .+ a1rert + a0e

rt = 0. (2.17)

Ligning (2.17) kan nu faktoriseres med ert, hvilket giver:

ert(anrn + an−1r

n−1 + . . .+ a1r + a0) = 0.

Af dette sluttes:anr

n + an−1rn−1 + . . .+ a1r + a0 = 0. (2.18)

da ert 6= 0. ligning (2.18) vil fremover blive benævnt som differentialligningenskarakteristiske ligning.

Definition 2.8. For en lineær homogen differentialligning af orden n med konstantekoefficienter på formen:

andny

dtn+ an−1

dn−1y

dtn−1+ . . .+ a1

dy

dt+ a0y(t) = 0, an 6= 0,

hvor ai, i ∈ 0, 1...n er koefficienter, er den karakteristiske ligning givet ved:

anrn + an−1r

n−1 + . . .+ a1r + a0 = 0.

Ydermere kaldes venstresiden for det karakteristiske polynomium.

Heraf kan det ses, at ved at finde rødderne, r, i denne ligning, findes samtidig en løsning tily(t) = ert. Ordenen af differentialligningen er altså lig antallet af rødder i karakteristiskepolynomium talt med multiplicitet jf. algebraens fundamentalsætning. Følgende sætninger et meget vigtigt resultat angående antallet af løsninger til en n’te ordens lineærdifferentialligning:

Sætning 2.2. En n’te ordens lineær differentialligning har n lineært uafhængige løsninger.

Dette resultat bevises ikke på nuværende tidspunkt, da senere resultater under kapitlet“Systemer af 1. ordens lineære differentialligninger” afdækker denne sætning. Da dette erpå plads introduceres superpositionsprincippet:

12


Sætning 2.3. Ladn∑i=0

aidiydti

(t) = 0 være en lineær differentialligning af orden n og lad

y1(t), y2(t), . . . , yn(t) være løsninger, da er en linearkombination af dem også en løsning:

y(t) = c1y1(t) + c2y2(t) + . . .+ cnyn(t), (2.19)

hvor ci, i = 1, 2, .., n, er konstanter.

Bevis. Antag ligning (2.19) er en løsning. Beviset følger umiddelbart af lineariteten afdifferentiation, hvilket resulterer i:

dy

dt= c1

dy1dt

+ c2dy2dt

+ . . .+ cndyndt

,

...dny

dtn= c1

dny1dtn

+ c2dny2dtn

+ . . .+ cndnyndtn

.

Heraf følger:

andny

dtn+ . . .+ a1

dy

dt+ a0y(t)

= andn

dtn(c1y1(t) + c2y2(t) + . . .+ cnyn(t)) + . . .

+ a1d

dt(c1y1(t) + c2y2(t) + . . .+ cnyn(t)) + a0(c1y1(t) + c2y2(t) + . . .+ cnyn(t))

= an

(c1dny1dtn

+ c2dny2dtn

+ . . .+ cndnyndtn

)+ . . .+ a1

(c1dy1dt

+ c2dy2dt

+ . . .+ cndyndt

)+ a0(c1y1(t) + c2y2(t) + . . .+ cnyn(t))

= cn

(andnyndtn

+ . . .+ a1dyndt

+ a0yn(t)

)+ . . .+ c2

(andny2dtn

+ . . .+ a1dy2dt

+ a0y2(t)

)+ c1

(andny1dtn

+ . . .+ a1dy1dt

+ a0y1(t)

)= cn(0) + . . .+ c2(0) + c1(0) = 0.

Dette gælder netop, fordi y1(t), y2(t), ..., yn(t) er løsninger. Dermed er c1y1(t) + c2y2(t) +

. . .+ cnyn(t) også en løsning. �

Det vides altså nu, at givet et endeligt sæt af n lineært uafhængige løsninger til en homogenlineær n’te ordens differentialligning, vil enhver løsning være en linearkombination af dissen løsninger. Dette kaldes for ligningens fuldstændige løsning og skrives således:

y(t) = c1y1(t) + c2y2(t) + . . .+ cnyn(t),

hvor c1, c2, . . . , cn ∈ R er arbitrære konstanter. Det stemmer overens med tidligere generelledefinitioner, at en fuldstændig løsning indeholder arbitrære konstanter. Ønskes konkreteværdier for de arbitrære konstanter, hvilket svarer til en partikulær løsning, kræves det,at der bliver stillet n begyndelsesbetingelser. Løsningsmetoderne for løsning af lineæren’te ordens differentialligninger benyttes nu på lineære 2. ordens differentialligninger forat illustrere brugen af disse.

13


2.1.3 Lineære 2. ordens differentialligningerSom nævnt tidligere kan mange interessante emner modelleres vha. differentialligninger.En 1. ordens differentialligning, med én variabel som afhænger af egen afledte,er imidlertid ikke altid nok til at lave en tilfredsstillende model. I afsnit 2.1.2betragtedes differentialligninger af n’te orden, men for mange praktiske problemstillingerer det ofte tilstrækkeligt med 2. ordens differentialligninger. Derudover er 2. ordensdifferentialligninger, såfremt de er lineære, ofte relativt lette at arbejde med. Sådannedifferentialligninger beskrives i denne sektion.

Lineære 2. ordens differentialligninger har følgende generelle form:

a(t)d2y

dt2+ b(t)

dy

dt+ c(t)y(t) = f(t).

Homogene 2. ordens differentialligninger

Først betragtes det homogene tilfælde med konstante koefficienter, her skrevet pånormalform:

d2y

dt2+ b

dy

dt+ cy(t) = 0. (2.20)

Første del af løsningsprocessen er at løse ligningens tilhørende karakteristiske ligning, somjf. definition 2.8 kan skrives:

r2 + br + c = 0. (2.21)

Den karakteristiske ligning løses ved formlen r =−b±

√d

2, hvor d er givet ved d = b2−4c.

Det noteres at:

• Hvis d = 0 har den karakteristiske ligning én reel dobbeltrod.

• Hvis d > 0 har den karakteristiske ligning 2 reelle rødder.

• Hvis d < 0 har den karakteristiske ligning 2 komplekse rødder.

Én reel dobbeltrod:Her findes i første omgang kun en løsning, nemlig

y1(t) = er1t.

For at kunne finde den fuldstændige løsning til differentialligningen mangler endnu enløsning, som skal være lineært uafhængig af den første. Løsningen y2(t) = ter1t benyttes.

Disse to løsninger giver jf. sætning 2.3 den fuldstændige løsning:

y(t) = c1er1t + c2te

r1t.

To reelle rødder:I dette tilfælde fås to lineært uafhængige løsninger

y1(t) = er1t, y2(t) = er2t.

14


Samt den fuldstændige løsning (jf. sætning 2.3):

y(t) = c1er1t + c2e

r2t.

To komplekse rødder:Den karakteristiske ligning har to kompleks konjugerede rødder på formen:

r1 = α+ iβ ∧ r2 = α− iβ,

hvor α =−b2

og β =

√4c− b22

Dette giver de to lineært uafhængige løsninger:

y1(t) = er1t = e(α+iβ)t (2.22)

y2(t) = er2t = e(α−iβ)t. (2.23)

Disse løsninger indeholder stadig en imaginær del, men det er reelle løsninger, der søges.For at løse dette problem benyttes følgende sætning:

Sætning 2.4. Lad y(t) = g(t) + ih(t) være en løsning til ligning (2.20). Da er

y1(t) = g(t), y2(t) = h(t)

to reelle løsninger til (2.20).

Bevis. Først substitueres y(t) = g(t) + ih(t) ind i (2.20), så ganges ind i parenteserne,hvorefter i faktoriseres:

0 =d2

dt2[g(t) + ih(t)] + b

d

dt[g(t) + ih(t)] + c[g(t) + ih(t)]

=d2

dt2g(t) +

d2

dt2ih(t) + b

d

dtg(t) + b

d

dtih(t) + cg(t) + cig(t)

=d2

dt2g(t) + b

d

dtg(t) + cg(t) + i

(d2

dt2h(t) + b

d

dth(t) + ch(t)

).

Det ses at højresiden er kompleks og lig nul. Dermed er både den reelle og den imaginære

del lig nul. Det vil sige, atd2

dt2g(t) + b

d

dtg(t) + cg(t) = 0 og

d2

dt2h(t) + b

d

dth(t) + ch(t) = 0,

hvilket er det samme som, at g(t) og h(t) hver især er løsninger. �

Denne information er imidlertid ikke nok til at drage to reelle løsninger fra y(t) = eα+iβ .Til dette bruges følgende sætning.

Sætning 2.5. Eulers formel:

eix = cos(x) + i sin(x).

Bevis. Først deles igennem med eix:

cos(x) + i sin(x)

eix= 1. (2.24)

15


Venstresiden differentieres:

d

dx

(e−ix (cos(x) + i sin(x))

)= e−ix (− sin(x) + i cos(x))− ie−ix (cos(x) + i sin(x))

= e−ix (− sin(x) + i cos(x))− ie−ix cos(x) + e−ix sin(x)

= e−ix (− sin(x) + i cos(x)− i cos(x) + sin(x))

= e−ix · 0 = 0.

At dette resultat er nul, medfører at venstresiden i (2.24) er ens for alle x. Venstresiden i(2.24) udregnes for x = 0:

cos(0) + i sin(0)

e0=

1

1= 1.

Da dette udtryk konstant er 1 bekræftes eix = cos(x) + i sin(x) [ProofWiki, 2016] �

Betragt igen (2.22), som jf. sætning 2.5 kan skrives:

y(t) = e(α+iβ)t = eαteiβt = eαt cos(βt) + ieαt sin(βt).

Ud fra dette kan jf. sætning 2.4 drages to løsninger til (2.20):

y1(t) = eαt cos(βt) og y2(t) = eαt sin(βt). (2.25)

Da dette er to reelle og lineært uafhængige løsninger bliver den fuldstændige løsning, jf.sætning 2.3, til:

y(t) = c1eαt cos(βt) + c2e

αt sin(βt). (2.26)

Efter den fuldstændige løsning til en given ligning er fundet, kan konstanterne c1, c2 findesud fra en givne begyndelsesbetingelser. Løsning af en homogen 2. ordens ligning illustreresi følgende eksempel:

Eksempel 2.5. Betragt begyndelsesværdiproblemet:

d2y

dt+ 4y = 0, y(0) = 1,

dy

dt(0) = 4. (2.27)

Først findes rødderne til den karakteristiske ligning:

r2 + 4 = 0 =⇒ r = ±2i.

Det vil sige at følgende er en løsning:

y1(t) = e2it.

Ud fra denne kan følgende to reelle løsninger drages jf. sætning 2.4:

y1(t) = cos(2t), y2(t) = sin(2t).

Dette giver jf. sætning 2.3 den fuldstændige løsning:

y(t) = c1 cos(2t) + c2 sin(2t).

16


Den første begyndelsesbetingelse benyttes:

y(0) = c1 cos(0) + c2 sin(0) = 1 =⇒ c1 = 1.

Dette indsættes sammen med den anden begyndelsesbetingelse:

dy(0)

dt= −2 sin(0) + 2c2 cos(0) = 4 =⇒ c2 =

4

2 cos(0)= 2.

Dermed er den partikulære løsning til begyndelsesværdiproblemet:

y(t) = cos(2t) + 2 sin(2t).

Inhomogene 2. ordens differentialligninger

Lineære inhomogene 2. ordens differentialligninger er ligninger på formen:

d2y

dt2+ b

dy

dt+ cy(t) = f(t). (2.28)

For at løse sådanne ligninger betragtes følgende sætning.

Sætning 2.6. Den fuldstændige løsning til (2.28) er givet ved summen af den fuldstændigeløsning til problemets tilhørende homogene ligning, yh(t), samt en partikulær løsning, yp(t)til den inhomogene ligning. Løsningen skrives:

y(t) = c1y1(t) + c2y2(t) + yp(t). (2.29)

Bevis. Lad y(t) være en løsning til (2.28), og yp(t) en partikulær løsning til samme, såviser det sig, at y(t)− yp(t) er en løsning til den homogene ligning:

d2y

dt2− d2yp

dt2+ b

(dy

dt− dyp

dt

)+ c(y(t)− yp(t))

=

[d2y

dt2+ b

dy

dt+ cy(t)

]−[d2ypdt2

+ bdyp(t)

dt+ cyp

]= f(t)− f(t).

Dette vil sige, atyh(t) = y(t)− yp(t) = c1y1(t) + c2y2(t),

hvilket netop er (2.29). �

Løsningen til den tilhørende homogene ligning yh(t) kan findes jf. metoden beskrevet isektionen om homogene 2. ordens lineær differentialligning. Den partikulære løsning yp(t)kan ofte findes ved hjælp af ubekendte koefficienters metode. Metoden går ud på, at lave etkvalificeret gæt på en løsning yp(t) med ubekendte koefficienter. Koefficienterne findes såved at substituere yp(t) ind i (2.28). Metoden virker ofte, fordi venstresiden i (2.28) samletskal give f(t), hvilket betyder, at yp(t) skal have en form der ligner f(t)’s.

Denne metode gælder for alle ligninger, hvor f(t) har form som et af eksemplerne ivenstre kolonne i tabel 2.1, bortset fra det tilfælde, hvor den fundne yp(t) er magen tilen af de to fundamentale løsninger til den homogene ligning. I dette tilfælde multipliceres

17


f(t)’s form Gæt til yp(t)α A

αeβt Aeβt

n’te grads polynomium Antn +An−1t

n−1 + ...+A1t+A0

α cos(ωt) ; α sin(ωt) A cos(ωt) +B sin(ωt)

αert sin(ωt) ; αert cos(ωt) ert (A cos(ωt) +B sin(ωt))

Tabel 2.1: Ubekendte koefficienters metode, kilde: [Logan, 2015, s.102, tabel 2.2].

den partikulære løsning med t indtil ingen af de tre løsninger er ens. Efter gættet, kankonstanterne bestemmes ved at indsætte gættet i den oprindelige ligning, da gættet er enløsning til denne. Metoden illustreres i følgende eksempel:

Eksempel 2.6. Betragt begyndelsesværdiproblemet:

d2y

dt2− 2

dy

dt− 3y(t) = 5 cos(2t), y(0) = 0,

dy

dt(0) = 1. (2.30)

Først findes rødder til den karakteristiske ligning

r2 − 2r − 3 = 0

m

r =2±

√22 − 4(−3)2

= 3 ∨ −1.

Dermed bliver den fuldstændige løsning til den homogene ligning:

yh(t) = c1e3t + c2e

−t.

For at finde yp(t) betragtes højresiden i (2.30). f(t) er på formen α cos(ωt). Derforbenyttes jf. tabel 2.1 gættet:

yp(t) = A cos(2t) +B sin(2t).

Dette indsættes nu i (2.30):

−4A cos(2t)−4B sin(2t)−2(−2A sin(2t)+2B cos(2t))−3(A cos(2t)+B sin(2t)) = 5 cos(2t).

Venstre side reduceres:

− 4A cos(2t)− 4B sin(2t) + 4A sin(2t)− 4B cos(2t)− 3A cos(2t)− 3B sin(2t)

= (−7A− 4B) cos(2t) + (4A− 7B) sin(2t).

Dermed(−7A− 4B) cos(2t) + (4A− 7B) sin(2t) = 5 cos(2t).

Fra dette drages to ligninger med to ubekendte:

−7A− 4B = 5,

4A− 7B = 0.

18


Fra disse fås: B = − 4

13og A = − 7

13. Dette giver den fuldstændige løsning:

y = c1e3t + c2e

−t − 7

13cos(2t)− 4

13sin(2t). (2.31)

For at løse begyndelsesværdiproblemet indsættes begyndelsesbetingelserne y(0) = 0

ogdy

dt(0) = 1 i (2.31) en ad gangen, så der igen opstår to ligninger med to ubekendte:

c1 + c2 −7

13cos(0)− 4

13sin(0) = 0,

3c1 − c2 + 27

13sin(0)− 2

4

13cos(0) = 1.

Fra dette fåsc1 =

7

13, c2 = 0.

Indsættes dette i (2.31) fås løsningen til begyndelsesværdiproblemet:

y(t) =7

13e3t − 7

13cos(2t)− 4

13sin(2t).

2.2 Autonome differentialligninger og grafiske løs-ninger

Følgende sektion benytter [Logan, 2015, s. 55-67] og [Shone, 2002, s. 54-59].

Mange differentialligninger baseret på virkeligheden leder til modeller, der ikke har nogeneksplicit tidsafhængighed. Det vil sige, at ændringsraten i modellen kun afhænger af stadiety = y(t). Disse kaldes autonome differentialligninger. Bemærk at der i dette projektfokuseres på 1. ordens autonome differentialligninger, da højere ordener af autonomedifferentialligninger oftest opstilles som et system. En autonom 1. ordens differentialligningdefineres på følgende måde:

Definition 2.9. En autonom 1. ordens differentialligning har formen

dy

dt= f(y(t)), (2.32)

hvor y(t) er den afhængige variabel og t er den uafhængige variabel.

Det ses, at der ikke er nogen eksplicit tidsafhængighed på højresiden af lighedstegnet,hvilket gør ligningen autonom. Selve stadiet y(t) afhænger dog af t, hvilket gør, at tids-

afhængigheden kun er implicit. Det antages, at der findes en løsning tildy

dtfor alle t. Det

vil sige, at der for ethvert tidspunkt findes en værdi fordy

dt. At løse en autonom 1. ordens

differentialligning gøres lignende løsningsmetoden for separable differentialligninger:dy

dt= f(y(t)) ⇐⇒ dy

f(y(t))= dt ⇐⇒

∫dy

f(y(t))=

∫1dt.

Dog er det ved autonome differentialligninger ofte mere interessant at belyse ligningernemere kvalitativt, da der på den måde kan siges mere om systemets opførsel. Dette gøres ofte

19


grafisk. Løsningerne til forskellige stadier af y(t) repræsenteres ofte ved et tidsrækkeploti et t-y(t)-plan. Dette kaldes også for et retningsfelt. En anden måde at repræsentere en

autonom 1. ordens differentialligning er ved et y(t)-dy

dt-plot, hvor de forskellige stadier

af y(t) er langs den vandrette akse, mensdy

dt-værdierne er opad den lodrette akse. Den

vandrette akse i dette plot kaldes for ligningens faselinje. Til at lave faselinjen skalligningens ligevægtspunkter bruges:

Definition 2.10. De stadier i en autonom 1. ordens differentialligning, hvorom detgælder, at:

dy

dt= 0,

kaldes for ligningens ligevægtspunkter og noteres y∗.

Ligevægtspunkter kaldes også for hvilepunkter, da systemet ved disse stadier siges atvære i hvile. Hvis et system kommer i et ligevægtspunkt, vil det ikke komme ud afligevægtspunktet igen, hvilket er derfor, at systemet siges at være i hvile. Yderligere skelnesder mellem fire forskellige typer af ligevægtspunker:

Figur 2.2: Forskellige ligevægtspunkter [Shone, 2002, s. 56]

Det er meget væsentligt om et system bevæger sig væk fra eller imod et giventligevægtspunkt. Et punkt kaldes et tiltrækkende ligevægtspunkt, hvis y(t) → y∗, nårt → ∞. Denne opbygning ses ved pkt. 1) i figur 2.2. Det modsatte tilfælde ses ved pkt.2), hvor y(t) divergerer fra y∗, når t → ∞. Et ligevægtspunkt som i pkt. 2) kaldes for etfrastødende ligevægtspunkt. Det er også muligt, at systemet på den ene side af punktetgår mod ligevægtspunktet og på den anden side frastødes af ligevægtspunktet. Dette ses ipkt. 3) og 4) i figur 2.2. Yderligere kan der undersøges, om et ligevægtspunkt er stabilt.

Definition 2.11. Lad y∗ være et isoleret ligevægtspunkt til ligning (2.32). y∗ sigesat være lokalt stabilt, hvis der eksisterer et åbent interval I, der indeholder y∗, hvorenhver løsning y(t) ∈ I til (2.32) opfylder lim

t→∞y(t) = y∗.

Det vil sige, at hvis y∗ er lokalt stabilt, vil enhver løsning i I konvergere imod y∗. At etpunkt er lokalt stabilt, betyder desuden, at ligningen vil søge tilbage mod ligevægtspunktet,selv efter det udsættes for en ændring inden for I. Yderligere defineres global stabilitet:

20


Definition 2.12. Lad y∗ være et isoleret ligevægtspunkt til ligning (2.32). y∗ siges atvære globalt stabilt, hvis enhver løsning y(t) til (2.32) opfylder lim

t→∞y(t) = y∗.

Er et punkt globalt stabilt vil enhver løsning til ligningen konvergere imod y∗. Det vil ogsåsige, at hvis ligningen er i ligevægt, vil den altid søge tilbage til ligevægten ligegyldigt,hvor langt væk fra ligevægten løsningen skubbes.

Et eksempel på brugen af faselinjer og stabilitet for en 1. ordens autonom differentialligningopstilles nu:

Eksempel 2.7. Betragt følgende 1. ordens autonome differentialligning:

dy

dt= y(t)(1− y(t)). (2.33)

Ligningen plottes nu med y(t)-værdierne horisontalt ogdy

dt-værdierne vertikalt:

Figur 2.3: y(t)− dy

dt-plot og retningsfelt for systemet i eksempel 2.7.

Ud fra figur 2.3 ses det at y(t) = 0 er et frastødende ligevægtspunkt, da det opfylderpkt. 2) i figur 2.2, mens y(t) = 1 er et tiltrækkende ligevægtspunkt, da det opfylderpkt. 1) i figur 2.2. Den samlede faselinje for ligningen er da:

Figur 2.4: Faselinje fordy

dt= y(t)(1− y(t)).

Punktet y(t) = 1 er lokalt stabilt i intervallet I = (0,∞). Det vil sige, at hvissystemet skubbes ud af ligevægten y(t) = 1 til et givent sted i I, vil systemetgå imod ligevægtspunktet igen. Skubbes det derimod til et punkt udenfor I, f.eks.y(t) = −1, vil systemet divergere og dermed aldrig opnå ligevægt. Dette tydeliggøres iretningsfeltet i figur 2.3. I dette retningsfelt ses det desuden klart, at hvis systemet eri en ligevægt, hvilket i dette eksempel svarer til y(t) = 0 og y(t) = 1, bliver systemeti ligevægten.

21

3 Systemer af 1. ordens lineæredifferentialligninger

Denne sektion benytter [Trench, 2013, s. 516].

Det viser sig, at mange økonomiske problemstillinger kan opstilles som systemer afdifferentialligninger. Dette påkræver, at flere differentialligninger løses samtidig. Detteproblem betragtes nu. Et sådan system defineres således.

Definition 3.1. Et homogent system af lineære 1. ordens koblede differentialligningermed konstante koefficenter er et system på formen:

dx1dt = a11x1(t) + a12x2(t) + . . .+ a1nxn(t)dx2dt = a21x1(t) + a22x2(t) + . . .+ a2nxn(t)...

...dxndt = an1x1(t) + an2x2(t) + . . .+ annxn(t),

(3.1)

hvor x1(t), x2(t), ..., xn(t) er de afhængige variable af den uafhængige variabel t,og hvor differentialet af xj(t), j ∈ 1, 2, ..., n, er givet ved en linearkombination afx1(t), x2(t), ..., xn(t).

Det første, der er bemærkelsesværdigt, er, at systemet (3.1) kan skrives på formen:

x(t) = A~x(t),

hvor x(t) er vektoren(dx1dt

,dx2dt

. . . ,dxndt

)T, A er en koefficientmatrix, der indeholder

koefficienterne aij , 1 ≤ i, j ≤ n, og ~x er vektoren (x1(t), x2(t), . . . xn(t))T . At et system kan

opskrives ved hjælp af en matrix, muliggør brugen af værktøjer fra lineær algebra, hvilketviser sig, at være fordelagtigt i forbindelse med løsning af systemerne. Systemer af lineæredifferentialligninger er dog ikke altid homogene. Et inhomogent system skrives på formen

x(t) = A~x(t) + ~f(t),

hvor ~f(t) er en vektor, der indeholder n funktioner, der afhænger af t. Bemærk, at enlineær n’te ordens differentialligning altid vil kunne skrives som et system på denne form.Betragt følgende differentialligning af orden n:

dny

dtn+ an−1

dn−1y

dtn−1+ . . .+ a1

dy

dt+ a0y(t) = 0. (3.2)

22


Lad nu

x1(t) = y(t), x2(t) =dy

dt, . . . , xn(t) =

dn−1y

dtn−1,

og dermed

dx1dt

= x2(t),

dx2dt

= x3(t),

...dxn−1dt

= xn(t),

dxndt

= −an−1xn(t)− an−2, xn−1(t)− . . .− a0x1(t),

hvilket er samme form som (3.1). På matrix form bliver dette:

dx1dtdx2dt...

dxn−1

dtdxndt

=

0 1 0 · · · 0

0 0 1 · · · 0...

.... . .

...0 0 0 · · · 1

−a0 −a1 −a2 · · · −an−1

x1(t)

x2(t)...

xn−1(t)

xn(t)

.

Heraf kan det sluttes at en lineær n’te ordens differentialligning kan skrives som etsystem af n 1. ordens lineære differentialligninger. Af dette følger, at der kan defineres etbegyndelsesværdiproblem for et system analogt med definition af begyndelsesværdiproblemfor en n’te ordens differentialligning.

Definition 3.2. Et begyndelsesværdiproblem for et system af n 1. ordens differen-tialligninger på formen i ligning (3.1) defineres som en problemstilling på følgendeform:

Find løsningen til følgende system i et interval I, der ved t0 opfylder n

begyndelsesbetingelser:x(t) = A~x(t), ~x(t0) = ~y,

hvor

x(t) =

dx1dt...

dxndt

, A =

a11 . . . a1n...

. . ....

an1 . . . ann

, ~x(t) =

x1(t)...xn(t)

, ~x(t0) =

x1(t0)...xn(t0)

og ~y =

y1...yn

,og t0 ∈ I samt y1, y2, . . . , yn ∈ R.

Det kan bevises, at der til et sådant begyndelsesværdiproblem findes der én unik løsning.Dette udelades, da omfanget af dette bevis er for stort.

I de følgende afsnit vises, hvordan systemer som (3.1) løses, og hvordan dynamikken i dissesystemer, kan illustreres.

23


3.1 Løsning af lineære systemer af 1. ordens diffe-rentialligninger

Til denne sektion benyttes [Trench, 2013, s. 513-548].

I denne sektion beskrives, hvordan løsningen til et system af n lineære 1. ordensdifferentialligninger findes. Løsningen betegnes som de funktioner, x1(t), x2(t), . . . , deropfylder ligning (3.1) over et åbent interval. Heraf er det klart, at x1(t), x2(t), . . . erdifferentiable mht. t.

Det antages nu, at der til systemet er n lineært uafhængige løsninger. De kaldes i resten afsektionen ~u1(t), ~u2(t), . . . , ~un(t). Enhver løsning kan nu skrives som en linearkombination:

~x(t) = c1~u1(t) + c2~u2(t) + . . .+ cn~un(t).

Dette fører til sætningen:

Sætning 3.1. Lad x(t) = A~x(t) være et lineært differentialligningssystem, og lad~u1(t), ~u2(t), . . . , ~un(t) være lineært uafhængige løsninger, da er en linearkombination afdisse også en løsning.

Bevis. Sæt ~x(t) = c1~u1(t) + c2~u2(t) + . . . + cn~un(t), hvor c1, c2, . . . , cn er arbitrærekonstanter. Da ses det, at:

c1u1(t) + c2u2(t) + . . .+ cnun(t) = A(c1~u1(t) + c2~u2(t) + . . .+ cn~un(t)). (3.3)

Anvendes matrix-vektor multiplikationens distributive lov på højresiden af (3.3) bliverresultatet:

c1u1(t) + c2u2(t) + . . .+ cnun(t) = Ac1~u1(t) +Ac2~u2(t) + . . .+Acn~un(t)

= c1A~u1(t) + c2A~u2(t) + . . .+ cnA~un(t). (3.4)

Højresiden af (3.4) trækkes fra på begge sider.

c1u1(t) + c2u2(t) + . . .+ cnun(t)− c1A~u1(t)− c2A~u2(t)− . . .− cnA~un(t) = 0. (3.5)

Sorteres venstresiden af (3.5), sådan at hver løsning står sammen med dens differentialefås:

c1u1(t)− c1A~u1(t) + c2u2(t)− c2A~u2(t) + . . .+ cnun(t)− cnA~un(t) = 0. (3.6)

Ligning (3.6) omskrives igen vha. den distributive lov mht. c1, c2, . . . , cn

c1(u1(t)−A~u1(t)) + c2(u2(t)−A~u2(t)) + . . .+ cn(un(t)−A~un(t)) =

c1(0) + c2(0) + . . .+ cn(0) = 0. (3.7)

(3.7) kommer af, at ~u1(t), ~u2(t), . . . , ~un(t) er løsninger, hvilket vil sige at:

uj(t)−A~uj(t) = 0, j ∈ 1, 2, . . . , n.

Af dette sluttes, at en linearkombination af de lineært uafhængige løsninger også må væreen løsning. �

24


Dette bruges som motivation til at finde disse lineært uafhængige løsninger, hvilket ogsåkaldes det fundamentale løsningssæt.

Betragt nu følgende lineære og homogene system med konstante koefficienter:

dx1dt = a11x1(t) + a12x2(t) + · · ·+ a1nxn(t),dx2dt = a21x1(t) + a22x2(t) + · · ·+ a2nxn(t),...

......

dxndt = an1x1(t) + an2x2(t) + · · ·+ annxn(t).

(3.8)

Det antages nu, at xi(t) = vieλt. Dette medfører, som set fra sektion 2.1.2 på side 11

omkring den karakteristiske ligning, at de afledte bliver på formendxidt

= λvieλt.

Substitueres dette ind i (3.8) opnås:

λv1eλt = a11v1e

λt + a12v2eλt + . . .+ a1nvne

λt,

λv2eλt = a21v1e

λt + a22v2eλt + . . .+ a2nvne

λt,...

......

λvneλt = an1v1e

λt + an2v2eλt + . . .+ annv1e

λt.

(3.9)

Elimineres eλt er systemet givet ved:

λv1 = a11v1 + a12v2 + . . .+ a1nvn,

λv2 = a21v1 + a22v2 + . . .+ a2nvn,...

......

λvn = an1v1 + an2v2 + . . .+ annv1.

(3.10)

Venstresiden trækkes nu fra alle rækker i (3.10). Samtidig sorteres leddene, sådan at detkan faktoriseres til:

0 = v1(a11 − λ) + a12v2 + . . .+ a1nvn,

0 = a21v1 + v2(a22 − λ) + . . .+ a2nvn,...

......

0 = an1v1 + an2v2 + . . .+ vn(ann − λ).

(3.11)

Betragt nu (3.11) på matrixform.

~0 =

a11 − λ a12 . . . a1na21 a22 − λ . . . a2n...

.... . .

...an1 an2 . . . ann − λ

v1v2...vn

. (3.12)

Udtrykket kan alternativt skrives som ~0 = (A− λI)~v. Her er der selvfølgelig den trivielleløsning, ~v = ~0. Denne er dog ikke lineært uafhængig. Da dette vides, kan den ikke væremed i det fundamentale løsningssæt. Dermed ses der bort fra tilfældet ~v = ~0.

Opgaven lyder nu på at finde den eller de værdier af λ således at (3.12) er opfyldt. Nårdisse værdier kendes, kan den eller de tilhørende vektorer ~v også findes. Dette er selvfølgeligegenvektorer og egenværdier. Det, der kendetegner egenværdier og egenvektorer er, atfølgende lighed skal gælde:

A~v = λ~v.

25


Dette kunne omskrives på formen ~0 = (A−λI)~v. Det kan sluttes, at hver af egenvektorernemå udgøre en løsning, såfremt eλt bliver ganget på, da denne blev elimineret i (3.9).

For at finde disse egenværdier sættes determinanten lig 0:

det(A− λI) = 0.

Derefter kan de fundne egenværdier indsættes i (A− λI)~v = 0, og egenvektorerne kan daudledes.

Først introduceres en generel sætning, som skal bruges, såfremt der er n-særskilteegenværdier.

Sætning 3.2. Lad T ∈ L(V, V ) være en lineær operator, og lad λ1, λ2, ..., λn ∈ F væren særskilte egenværdier af T, med tilhørende egenvektorer ~v1, ~v2, ...~vn. Da er (~v1, ~v2, ...~vn)

lineært uafhængige.

Bevis. Sætning fra [Lankham et al., 2016]. Beviset undlades her, men kan findes i noternepå side 88. �

Det der er specielt ved denne sætning er netop, at når der er n særskilte egenværdier, så erde tilhørende egenvektorer lineært uafhængige over operatoren T , som blot er en matrix idette tilfælde. Sætningen omfatter både reelle og komplekse egenværdier, da F = {C,R}.

Dette betyder, at der ud fra disse egenvektorer kan konstrueres n lineært uafhængigeløsninger. Jf. sætning 3.1 samt ligning (3.9) kan løsningerne nu opskrives som:

~x(t) = c1eλ1t~v1 + c2e

λ2t~v2 + ...+ cneλnt~vn.

Dette omformuleres til en sætning:

Sætning 3.3. Lad A være en n×n matrix med n særskilte reelle egenværdier, λ1, λ2, ..., λn,med n lineært uafhængige egenvektorer ~v1, ~v2, ..., ~vn. Da danner funktionerne

~x1(t) = ~v1eλ1t, ~x2(t) = ~v2e

λ2t, ..., ~xn(t) = ~vneλnt

det fundamentale løsningssæt. Dvs. at et sådant system af n differentialligninger har nlineært uafhængige løsninger.

Bevis. Først huskes, at:xi(t) = λi~vie

λit. (3.13)

Bemærk ydermere, at egenværdierne var de værdier, hvorom det gælder, at λi~vi = A~vi.Dette substitueres ind i (3.13):

xi(t) = A~vieλit. (3.14)

Derfor gælder, at ~xi(t) = ~vieλit, hvilket substitueres ind i (3.14):

xi(t) = A~xi(t). (3.15)

26


Dette viser, at ~xi(t) er en løsning til xi(t) = A~xi(t). Betragt nu Wronsky-determinantenover denne løsningsmængde:∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

v11eλ1 v12e

λ2 . . . v1neλn

v21eλ1 v22e

λ2 . . . v2neλn

......

. . ....

vn1eλ1 vn2e

λ2 . . . vnneλn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= eλ1eλ2 · · · eλn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣v11 v12 . . . v1nv21 v22 . . . v2n...

.... . .

...vn1 vn2 . . . vnn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

Det vides at ∀λ, t ∈ F : eλt 6= 0 og pr. antagelse er ~v1, ~v2, ..., ~vn, som er søjlerne ideterminanten, lineært uafhængige. Ergo er Wronsky-determinanten forskellig fra 0, hvilketbetyder, at søjlerne og dermed løsningerne er lineært uafhængige. �

Sætning 3.3 gælder altså for alle systemer med særskilte reelle rødder. Sætning 3.3 kangeneraliseres til reelle, men ikke særskilte egenværdier samt systemer med komplekseegenværdier. Disse tilfælde vil dog ikke blive yderligere belyst for systemer af n lineære 1.ordens differentialligninger.

3.2 Løsning af systemer af to 1. ordens differential-ligninger

Følgende sektion er baseret på [Edwards og Penney, 2008, s. 374-375].

Tidligere blev det generelle tilfælde betragtet. Det er dog svært at illustrere ordner højereend tre visuelt, givet at de typisk opererer i et rum, som ikke kan illustreres. Faserum itre dimensioner bliver også ofte uoverskuelige, og derfor indsnævres der i denne sektion tilsystemer af to 1. ordens differentialligninger. Her kan fasediagrammer tegnes, og dermedkan et visuelt redskab til at analysere og forstå differentialligningssystemer opnås. Førstbeskrives det, hvordan en løsning til et sådan system findes.

Betragt følgende systemx(t) = A~x(t),

og lad A være givet ved:

A =

[a b

c d

].

Egenværdierne findes:∣∣∣∣∣a− λ b

c d− λ

∣∣∣∣∣ = λ2 − λ(a+ d) + (a · d− c · b) = 0

m

λ =(a+ d)±

√(a+ d)2 − 4(a · d− c · b)

2.

Af dette følger:(1) (a+ d)2 > 4(a · d− c · b) =⇒ To reelle egenværdier.

(2) (a+ d)2 = 4(a · d− c · b) =⇒ En reel egenværdi med multiplicitet 2.

(3) (a+ d)2 < 4(a · d− c · b) =⇒ To komplekse egenværdier.

27


3.2.1 To reelle egenværdierDet vides jf. sætning (3.3), at tilfælde (1) vil have to forskellige egenvektorer, og dermedkan to lineært uafhængige løsninger findes. Egenvektorerne findes:[

a− λ b

c d− λ

][v1v2

]=

[(a− λ)v1 bv2

cv1 (d− λ)v2

]= ~0.

Dette giver to ligninger:

(a− λ)v1 + bv2 = 0, (3.16)

cv1 + (d− λ)v2 = 0. (3.17)

Isoleres v1 i (3.16) fås:

v1 =b

λ− av2.

Indsættes v1 i (3.17) ses det at:

cv1 + (d− λ)v2 = cb

λ− av2 + (d− λ)v2

=−cba− λ

v2 +(d− λ)(a− λ)

a− λv2

=λ2 − (a+ d)λ+ (ad− cb)

a− λv2

= 0v2 = 0.

Heraf ses det altså at

[b

λ−a1

]er en egenvektor. Ligeledes kan v1 isoleres i (3.17), og da fås:

v1 =λ− dc

v2. (3.18)

Indsættes (3.18) i (3.16), ses det, at:

(a− λ)v1 + bv2 = (a− λ)λ− dc

v2 + bv2

= −((a− λ)(d− λ)

cv2

)+bc

cv2

= −((a− λ)(d− λ)− bc

cv2

)= −

(λ2 − (a+ d)λ+ (ad− cb)

cv2

)= 0v2 = 0.

Heraf ses det altså at

[λ−dc

1

]også er en egenvektor. Der er altså to måder at

repræsentere egenvektoren på, men disse må nødvendigvis være ækvivalente med hinandenjf. entydigheden af løsningen til differentialligninger. Dermed kan egenvektorerne skrivessom:

~v =

[b

λ−a1

]∨ ~v =

[λ−dc

1

]. (3.19)

28


Bruges den først fundne egenvektor er løsningen:

~y(t) = c1etλ1

[b

λ1−a1

]+ c2e

tλ2

[b

λ2−a1

].

Betragt nu tilfældet:

A =

[a b

0 d

].

Her er λ = a∨ λ = d og c = 0. Dermed er ingen af repræsentationerne af egenvektoren fratidligere anvendelige. Betragt derfor tilfældet hvor λ = a. Egenvektorer findes:

(A− aI)~v =

[0 b

0 d− a

]~v = ~0.

Dette løses af vektoren ~v =

[1

0

], dermed kan en egenvektor stadig findes. Tilsvarende kan

gøres for egenværdien d.

3.2.2 Én reel egenværdi med multiplicitet 2Betragt nu tilfælde (2). Jf. udregningen af egenvektorerne er det nu klart, at da der kuner en egenvektor i dette tilfælde, vil dimensionen af egenrummet være lig 1. Betragt igenegenvektoren:

~v =

[b

λ−a1

]=

b(a+d)±

√(a+d)2−4(ad−cb)

2−a

1

=

[b

d−a2

1

]=

[2bd−a1

]. (3.20)

Her kommer den næstsidste omskrivning af, at√(a+ d)2 − 4(ad− cb) = 0 i tilfælde

(2). Det ses, at egenværdien ikke indgår eksplicit i egenvektoren. Denne udregning afegenvektoren holder dog ikke i alle tilfælde. Betragt systemet:

x(t) =

[a b

c a

]~x(t).

Denne omfattes ikke af (3.20), da a = d, da dette medfører, at nævneren i (3.20) er lig0. Derfor kræves et udtryk for egenvektoren, der holder i tilfældet a = d. Først findesegenværdien: ∣∣∣∣∣a− λ b

c a− λ

∣∣∣∣∣ = λ2 + a2 − 2aλ− bc = 0

⇓

λ =2a±

√(−2a)2 − 4(a2 − bc)

2

= a±√4a2 − 4a2 + 4bc

2

= a± 2√bc

2

= a±√bc.

29


Heraf ses, at den eneste situation, hvor en egenværdi med multiplicitet forekommer, erhvis b = 0 ∨ c = 0. Da er matricen en øvre- eller nedre trekantsmatrix eller en skalering afidentiteten. Betragt et tilfælde hvor b 6= 0 og c = 0:

(A− λI)~v =

[0 b

0 0

]~v = ~0 =⇒ ~v =

[1

0

].

Analogt kan det vises, at hvis b = 0 og c 6= 0 fås en nedre trekantsmatrix med egenvektoren

~v =

[0

1

]. Betragt herefter specialtilfældet b = 0 ∧ c = 0, da fås matricen:

[a 0

0 a

].

Her er λ = a og egenvektorerne er da givet ved:

[0 0

0 0

]~v =

[0

0

].

Denne har enhedsvektorerne ~e1 og ~e2 som løsning og tydeligvis også en hvilken somhelst anden 2-dimensionel vektor. Da ~e1 og ~e2 er lineært uafhængige, har den to lineærtuafhængige løsninger. Det er desuden også den eneste matrix med dimension 2, der bådehar egenværdi med multiplicitet 2, og tilhørende egenrum med dimension 2. Dette ses daegenrummet er nulrummet for matricen:

A− λI. (3.21)

Hvis nulrummet har dimension to, betyder det, at (3.21)’s range har dimension 0. Detbetyder, at produktet af denne matrix og en vilkårlig vektor skal være 0. Dette giver:

∀~v ∈ R2\~0 : (A− λI)~v = ~0 ⇐⇒ A = λI. (3.22)

Af (3.22) ses, at hvis A = λI betyder det, at alle to-dimensionelle vektorer, bortset franulvektoren, er egenvektorer og dermed opfylder (3.21). Det vides nu også, at alle matricer,der ikke er en skalering af identiteten, med egenværdier med multiplicitet 2, har egenrummed dimension 1. Da dimensionen af egenrummet er lavere end det rum, der findes løsningeri, kan et fundamentalt sæt af løsninger ikke findes. Det er derfor nødvendigt at konstruereen vektor, ~u, som er lineært uafhængig med egenvektoren, ~v. Ydermere skal ~u stadig opfyldesystemet.

Det blev vist fra kapitlet om 2. ordens differentialligninger at løsningen i et lignendetilfælde, hvor kun én rod forekom, blot kunne multipliceres med t. Dette vil dog ikkegælde her. Betragt følgende eksempel.

Lad ~x1(t) være en løsning til et system af to 1. ordens differentialligninger. Hvis ~x2(t) =t~x1(t) fås:

~x1(t) =

[v1v2

]eλt =⇒ ~x2(t) = t

[v1v2

]eλt.

30


Dermed er løsningen til systemet:

x2(t) =

[v1v2

](tλeλt + eλt).

Fra de tidligere kendte forudsætninger fås nu:

x2(t) = A~x2(t)

A~x2(t) = A~x1(t)t

= λ~veλtt.

Dette er dog klart en modstrid, da: λ~veλtt 6= ~v(tλeλt + eλt). Derfor kan metoden medat multiplicitere med t ikke benyttes her. En ny metode er derfor påkrævet til at kunnebeskrive løsningsrummet. Betragt derfor vektorer på formen:

(A− λI)~u = ~v,

hvor ~v er en egenvektor. Givet tidligere resultater fås tre tilfælde. Første tilfælde er en øvretrekantsmatrix: [

0 b

0 0

]~u =

[1

0

]=⇒ ~u =

[11b

].

Det er trivielt, at ~u og ~v er lineært uafhængige her. Andet tilfælde er en nedretrekantsmatrix: [

0 0

c 0

]~u =

[0

1

]=⇒ ~u =

[1c

1

].

I tredje tilfælde er A hverken en øvre eller en nedre trekantsmatrix, og her fås:

(A− λI)~u =

[a− a+d

2 b

c d− a+d2

]~u =

[2bd−a1

]=⇒ ~u =

[02

d−a

].

Nu da denne ~u er fundet i alle tilfælde, kan en ny løsning opstilles. Lad ~x1(t) = eλt~v væreløsningen fundet med multiplicitet større end 1 og tilhørende egenrum med dimension 1.Da er ~x2(t) = ~ueλt + ~vteλt en løsning til samme differentialligningssystem.

x2(t)−A~x2(t) = λ~ueλt + ~veλt + λ~vteλt −A~ueλt −A~vteλt

= (λ~u+ ~v −A~u)eλt + (λ~v −A~v)teλt

= (λ~u+ ~v −A~u)eλt (3.23)

= −((A− λI)~u− ~v)eλt

= ~0. (3.24)

Her kommer (3.23) af, at da ~v er egenvektoren tilhørende λ er leddet (λ~v −A~v) netop 0.Heraf følger at (3.24) er lig 0, da ~u netop er den vektor der løser ligningen (A− λI)~u = ~v.Deres lineære uafhængighed vises nu. Betragt linearkombinationen af de to løsninger:

c1~veλt + c2(~u+ ~vt)eλt = 0.

eλt elimineres ved division og derved fås:

c1~v + c2(~u+ ~vt) = 0. (3.25)

31


Det vides, at ~v 6= ~0 da ~v er en egenvektor. Differentieres (3.25) mht. t fås:

c2~v = 0 =⇒ c2 = 0.

Af samme argument er c1 = 0, når c2 indsættes:

c1~v + 0(~u+ ~vt) = c1~v = 0 =⇒ c1 = 0.

3.2.3 To komplekse egenværdierBetragt nu tilfælde (3). Selvom egenværdierne er komplekse findes stadig to lineærtuafhængige reelle løsninger. Den eneste udfordring er, at da egenværdierne er komplekse,vil egenvektorerne også have komplekse værdier.

Da A kun har reelle indgange, medfører det, at den karakteristiske ligning kun indeholderreelle koefficienter. Da er det givet, at alle komplekse egenværdier kommer i konjugerede parfor alle reelle andengradsligninger. Det vil sige, hvis en egenværdi er givet ved λ = α+ iβ,da er λ også en egenværdi, og denne er givet ved: λ = α − iβ. Antag nu at λ og λ er etsådan par af egenværdier. Hvis ~v er en egenvektor til λ, som opfylder

(A− λI)~v = ~0,

da vil den kompleks konjugerede ligning være:

(A− λI)~v = ~0,

da A = A og I = I, eftersom matricerne er reelle, og det konjugerede af et komplekstprodukt er produktet af de konjugerede faktorer. Dvs. z1z2 = z1 · z2. Heraf må det gælde,at hvis ~v = ~w + i~z så er ~v = ~w − i~z. Da er den komplekse løsning associeret med λ og ~vgivet ved:

~x(t) = ~veλt = ~ve(α+iβ)t = (~w + i~z)eαt(cos(βt) + i sin(βt))

= ~weαt cos(βt) + i~zeαt cos(βt) + i ~weαt sin(βt) + i2~zeαt sin(βt)

= eαt(~w cos(βt)− ~z sin(βt)) + ieαt(~z cos(βt) + ~w sin(βt)).

Denne løsning indeholder stadig en imaginær del, men det er en reel løsning der ønskes.Til at løse dette problem bruges følgende sætning:

Sætning 3.4. Lad ~x(t) = ~g(t)+i~h(t) være en løsning til følgende differentialligningssystem

dx1dt

= ax1(t) + bx2(t),

dx2dt

= cx1(t) + dx2(t),

(3.26)

da er ~g(t) og ~h(t) hver især løsninger til systemet.

Bevis. Det vides, at en løsning opfylder (3.26). Indsæt nu ~x(t) = ~g(t) + i~h(t) i systemet,hvor x1(t) = g1(t)+ ih1(t) og x2(t) = g2(t)+ ih2(t). Det huskes først at (3.26) kan skrives:

0 =dx1dt− ax1(t)− bx2(t),

0 =dx2dt− cx1(t)− dx2(t).

32


Substitutionen giver da:

0 =d

dt[g1(t) + ih1(t)]− a[g1(t) + ih1(t)]− b[g2(t) + ih2(t)],

0 =d

dt[g2(t) + ih2(t)]− c[g1(t) + ih1(t)]− d[g2(t) + ih2(t)],

m

0 =

(dg1dt− ag1(t)− bg2(t)

)+ i

(dh1dt− ah1(t)− bh2(t)

),

0 =

(dg2dt− cg1(t)− dg2(t)

)+ i

(dh2dt− ch1(t)− dh2(t)

).

For at højresiderne til sidst kan være nul, må indholdet i begge parenteser i begge linjervære nul, og dermed også være løsninger til systemet. �

Jf. sætning 3.4 er løsningerne da:

~x1(t) = Re[~x(t)] = eαt(~w cos(βt)− ~z sin(βt)),~x2(t) = Im[~x(t)] = eαt(~z cos(βt) + ~w sin(βt)),

tilknyttet egenværdierne λ og λ.

3.3 Faseplan og -diagrammerDenne sektion er baseret på [Edwards og Penney, 2008, s. 488-490] og [Shone, 2002, s.149-156].

Mange fænomener er modelleret af to-dimensionelle 1.ordens systemer af formen

dx

dt= F (x(t), y(t)),

dy

dt= G(x(t), y(t)),

(3.27)

hvor t ikke fremgår eksplicit. Et sådant system siges at være autonomt. Det antages, atfunktionerne F og G er kontinuert differentiable på et område R i (x, y)-planen. På grundaf eksistens og entydigheds sætningen, vil (3.27), givet et begyndelsespunkt (x0, y0) tilt0, have en unik løsning x(t), y(t) over et åbent interval I = (a, b) indeholdende t0, deropfylder begyndelsesbetingelserne

x(t0) = x0,

y(t0) = y0.

x(t) og y(t) beskriver da en løsningskurve i planen. En sådan løsningskurve kaldes en banefor systemet i (3.27). Det næste, der er relevant at se på, er (3.27)’s kritiske punkter. Etkritisk punkt (x∗, y∗) for systemet, er et punkt der opfylder

F (x∗, y∗) = G(x∗, y∗) = 0.

Hvis (x∗, y∗) er et kritisk punkt for systemet, da har funktionerne

x(t) = x∗,

y(t) = y∗,

33


de afledtedx

dt=dy

dt= 0 og opfylder derfor ligningerne i (3.27). Denne type løsning kaldes

en ligevægtsløsning for systemet. Bemærk at banen for ligevægtsløsningen kun består afét punkt (x∗, y∗).

Hvis begyndelsespunktet (x0, y0) ikke er et kritisk punkt, så er den korresponderendebane en kurve i (x(t), y(t))-planen, der bevæger sig langs (x(t), y(t)) i takt med værdienaf t vokser. Samtlige løsninger til det autonome system (3.27) kan afbildedes i et plan,indeholdende systemets kritiske punkter sammen med et udvalg af systemets baner. Ensådan afbildning kaldes et fasediagram.

En anden måde at visualisere et system på er et retningsfelt. Ved at tegne vektorer, derhar samme retning som vektoren (F (x(t), y(t)), G(x(t), y(t)))T for hvert punkt (x(t), y(t)),fås et vektorfelt, der indikerer hvilken retning systemets baner bevæger sig, når t vokser.

3.3.1 Dynamikken af systemerDet vides nu, hvordan kritiske punkter findes, og derfor er det nu interessant at undersøge,hvordan et systems baner bevæger sig omkring de kritiske punkter. Til at vise dette,benyttes følgende system:

dx

dt= x(t) + 2y(t),

dy

dt= −3x(t) + y(t).

(3.28)

Fra tidligere vides det, at det kritiske punkt findes ved at løsedx

dt= 0 og

dy

dt= 0. Derfor

løses:

0 = x(t) + 2y(t), (3.29)

0 = −3x(t) + y(t), (3.30)

hvilket har løsningen x∗ = 0 = y∗. En anden måde at finde det kritiske punkt, er at se at(3.29) er ligevægtsbetingelsen for variablen x(t), mens (3.30) er ligevægtsbetingelsen fory(t). Det kritiske punkt er da det sted, hvor begge disse ligevægtsbetingelser er opfyldt.Først betragtes ligevægtsbetingelsen for x(t). Isoleres y(t) i (3.29) fås

y(t) = −x(t)2. (3.31)

(3.31) er ligevægtslinjen for x(t), da denne linje repræsenterer de kombinationer af x(t) og

y(t) hvorom det gælder atdx

dt= 0, altså at x(t) ikke ændrer sig. Da ligevægtslinjen nu er

fundet, analyseres linjens dynamik. Det ses at (3.31) er en aftagende linje. Dette medfører

at på højre side af linjen er y(t) > −x(t)2

. Det ses, at når y(t) > −x(t)2

, er ligning (3.29)

positiv, og dermed erdx

dt> 0, altså vokser x(t). På samme måde ses det, at på venstre

side af ligevægtslinjen er y(t) < −x(t)2

, hvilket medfører atdx

dt< 0, med andre ord aftager

x(t). Denne dynamik er illustreret i figur 3.1, hvor det tydeligt ses, at alle baner der ikkeligger på ligevægtslinjen vil divergere fra ligevægtslinjen.

34


Figur 3.1: Dynamik fordx

dt= x(t) + 2y(t).

Herefter betragtes ligevægtsbetingelsen for y(t). Isoleres y(t) i (3.30) fås

y(t) = 3x(t), (3.32)

som er ligevægtslinjen for y(t), da der langs linjen findes de kombinationer af x(t) og y(t),

hvorom det gælder atdy

dt= 0. Det ses at (3.32) er en voksende linje, og da er y(t) < 3x(t)

på højre side af linjen, og y(t) > 3x(t) på venstre side af linjen. Det ses, jf. (3.30), at når

y(t) < 3x(t) bliverdy

dt< 0, altså aftager y(t). Ligeledes omvendt, når y(t) > 3x(t), bliver

dy

dt> 0, dvs. y(t) vokser. Dynamikken illustreres i figur 3.2, hvor det ses, at alle andre

baner end ligevægtslinje divergerer fra ligevægtslinjen.

Figur 3.2: Dynamik fordy

dt= −3x(t) + y(t).

De to ligevægtslinjer for x(t) og y(t) kan nu samles til et fasediagram i figur 3.3. Skæringen

mellem de to linjer, punkt E, er systemets kritiske punkt, da det her gælder at bådedx

dt= 0

35


Figur 3.3: Fasediagram for systemet i (3.28).

ogdy

dt= 0. Desuden kan det beskrives, hvordan systemets baner vil opføre sig omkring

det kritiske punkt. Betragtes figur 3.3, ses det, at baner i området I er både x(t) og y(t)voksende. I område II er x(t) voksende og y(t) er aftagende. I område III er både x(t)og y(t) aftagende. Til sidst i område IV vil x(t) være aftagende og y(t) være voksende.På baggrund af denne konklusion vides det nu at enhver bane, der har begyndelsespunktforskellig fra origo, vil bevæge sig i en spiral med urets retning.

3.4 Stabilitet af systemerDenne sektion er baseret på [Edwards og Penney, 2008, s. 492-496] og [Logan, 2015, s.201].

Et kritisk punkt (x∗, y∗) for et autonomt system siges at være stabilt, hvis etbegyndelsespunkt (x0, y0) er tilstrækkeligt tæt på (x∗, y∗), så vil (x(t), y(t)) forblive tæt på(x∗, y∗) for alle t > 0. Bruges vektornotation med ~x(t) = (x(t), y(t)), vil afstanden mellembegyndelsespunktet ~x0 = (x0, y0) og det kritiske punkt ~x∗ = (x∗, y∗) være

||~x0 − ~x∗|| =√

(x0 − x∗)2 + (y0 − y∗)2.

Det kritiske punkt ~x∗ vil da være stabilt, hvis at for alle ε > 0, eksisterer der et δ > 0

således at||~x0 − ~x∗|| < δ =⇒ ||~x(t)− ~x∗|| < ε. (3.33)

for alle t > 0. I det tilfælde, hvor det kritiske punkt ikke er stabilt, kaldes det ustabilt.Det sidste tilfælde af stabilitet er, hvor et kritisk punkt ~x∗ er stabilt, og ydermere, at hverbane, der begynder tilstrækkeligt tæt på ~x∗, vil gå mod ~x∗ når t → ∞. I dette tilfældesiges det kritiske punkt at være asymptotisk stabilt. Det vil sige, at der eksisterer et δ > 0

sådan at:||~x0 − ~x∗|| < δ =⇒ lim

t→∞~x(t) = ~x∗.

De tre grupper af stabilitet er nu blevet introduceret, og kan baseret på det foregåendeformelt defineres på følgende måde:

36


Definition 3.3. Stabilitet af kritiske punkter opdeles i følgende tre grupper:

1. Et kritisk punkt ~x∗ kaldes asymptotisk stabilt, hvis der findes en åben cirkelBδ(~x∗), δ > 0, sådan at enhver bane, der begynder inden for Bδ(~x∗) til ethvertstarttidspunkt t = t0, vil bevæge sig mod det kritiske punkt når t→∞

2. Et kritisk punkt ~x∗ siges at være stabilt hvis, for enhver åben cirkel Bε(~x∗), ε >

0, findes en åben cirkel Bδ(~x∗), 0 < δ < ε, sådan at enhver bane der begynder icirklen Bδ(~x∗) til ethvert starttidspunkt t = t0 forbliver indenfor cirklen Bε(~x∗)for alle t > t0

3. Et kritisk punkt, der ikke er stabilt, siges at være ustabilt.

På baggrund af definitionen ses det, at ethvert asymptotisk stabilt punkt også er stabilt.Dette kan ses da det for det asymptotiske punkt gælder at enhver bane der begynder indenfor Bε(~x∗) vil bevæge sig mod ~x∗, når t→∞. Dette må nødvendigvis også opfylde kriterietfor det stabile punkt, nemlig at banen forbliver inden for Bε(~x∗).

Eksempel 3.1. Betragt systemet

dx

dt= x(t)− y(t),

dy

dt= 1− x(t)2.

Det ønskes at finde systemets kritiske punkter samt at afgøre, hvilken gruppe af

stabilitet disse tilhører. Først sættesdx

dtog

dy

dtlig nul. Ses der på den første ligning,

ses det at x(t) = y(t) og fra den anden kan det ses at x(t) = ±1. Systemet må dahave de to kritiske punkter (−1,−1) og (1, 1). Figur 3.4 viser, at banerne omkringdet kritiske punkt (−1,−1) bevæger sig i en spiral mod uret væk fra punktet. Daalle banerne bevæger sig væk fra det kritiske punkt, kan det ikke opfylde punkt 2 idefinition 3.3 og er derfor ikke stabilt. Det følger derfor af definitionens punkt 3, atpunktet er ustabilt. Ses der på banerne omkring det kritiske punkt (1, 1), ses det atbanerne enten søger mod (1, 1) eller væk fra (1, 1). Men da nogle baner bevæger sigvæk fra punktet, opfylder det ikke punkt 2 i definition 3.3 og må derfor være ustabiltjf. punkt 3 i definitionen.

Figur 3.4: Retningsfelt og fasediagram for systemet i eksempel 3.1.

37


For at tydeliggøre, hvorfor retningsfeltet ser således ud betragtes systemets afledte foret par punkter i (x(t), y(t))-planen. Betragt først punktet (−2, 0). Indsættes dette isystemet fås:

dx

dt= −2− 0 = −2,

dy

dt= 1− (−2)2 = −3.

Det vil sige, at i punktet (−2, 0) er systemet aftagende i både x(t) og y(t)’s retninghvilket forklarer pilen, som peger nedad mod venstre. Mere præcist i retning afvektoren (dxdt ,

dydt )

T = (−2,−3)T . Samme procedure udføres for punktet (0,−2).Indsættes dette i systemet fås retningsvektoren (dxdt ,

dydt )

T = (2, 1)T . Her er både x(t)og y(t) voksende, hvilket stemmer overens med figur 3.4.

3.5 Fasediagrammer for systemer af to lineære 1.ordens ligninger

Denne sektion er baseret på [Logan, 2015, s. 208-228] og [Shone, 2002, s. 166-178].

Siden mange økonomiske moddeller kan reduceres til et system af to lineære 1. ordensdifferentialligninger, er det interessant at kigge på de forskellige fasediagrammer, der opstårved forskellige løsninger af sådanne systemer for på den måde, at blive klogere på detøkonomiske fænomen, som modellerne beskriver.

3.5.1 Reelle forskellige egenværdier:Fra sektion 3.1 vides det, at et system:

x(t) = A~x(t) =

[a b

c d

][x1(t)

x2(t)

]. (3.34)

Har den fuldstændige løsning:

~x(t) = c1eλ1t~v1 + c2e

λ2t~v2, (3.35)

hvor λ1 og λ2 er egenværdierne til A, og ~v1 og ~v2 er de tilhørende egenvektorer, når de toegenværdier er reelle og forskellige.

For denne type systemer, altså homogene systemer med reelle og forskellige egenværdier,er der tre undertilfælde, der har væsentlig forskellige egenskaber.

1 Egenværdierne er positive og forskellige.

2 Egenværdierne er negative og forskellige.

3 Egenværdierne har forskellige fortegn.

Først betragtes de fasediagrammer, der opstår, når begge egenværdier har samme fortegn.

38


To forskellige egenværdier med samme fortegn

Hvis de to egenværdier i løsningen til et homogent system på formen i ligning (3.34),begge er negative og forskellige, vil løsningen i ligning (3.35) konvergere imod origo fraalle retninger. Dvs. at enhver partikulær løsning vil konvergere imod origo, hvilket giveret fasediagram, der har et asymptotisk stabilt knudepunkt. Et knudepunkt er, hvor allesystemets baner konvergerer mod eller divergerer fra origo. Et fasediagram med denne typeknudepunkt illustreres nu med et eksempel:

Eksempel 3.2. Betragt følgende system af 1. ordens differentialligninger:

x(t) =

[−4 4

4 −10

]~x(t). (3.36)

Egenværdierne findes:∣∣∣∣∣−4− λ 4

4 −10− λ

∣∣∣∣∣ = λ2 + 14λ+ 24 = 0.

Hvilket resulterer i, at:λ1 = −2 ∧ λ2 = −12.

Dette giver følgende egenvektorer:

~v1 =

[2

1

]og ~v2 =

[1

−2

],

hvilket giver følgende løsning til systemet:

x1(t) = 2c1e−2t + c2e

−12t,

x2(t) = c1e−2t − 2c2e

−12t,

hvor c1 og c2 er arbitrære konstanter. Begge egenværdier er negative, så derfor harfasediagrammet et asymptotisk stabil knudepunkt i origo. For at belyse, hvorfor denneknudestruktur opstår, undersøges hvad der sker for t → ∞. Ved store t-værdiervil udtrykkene med e−12t langt hurtigere udgå end udtrykkene, der indeholder e−2t.Derfor vil grænsen for den generelle løsning gå mod:

x1(t) ≈ 2c1e−2t for t→∞,

x2(t) ≈ c1e−2t for t→∞,

hvilket har den samme retning som den lineære bane associeret med v1. Derfor vil alleløsninger nærme sig origo med samme hældning som linjen x2(t) = 1

2x1(t) for t→∞.Modsat for t→ −∞, vil udtrykkene med e−12t indeholdt dominere. Dette medfører:

x1(t) ≈ c2e−12t for t→ −∞,x2(t) ≈ −2c2e−12t for t→ −∞.

39


Dette medfører at hældningen for alle baner vil blive parallelle med den lineære banex2(t) = −2x1(t) for t → −∞. Denne hældning svarer til retningen af v2. Detteindtegnes nu i et retningsfelt og fasediagram i figur 3.2. Betragt punktet (−4,−2).Dette punkt ligger på linjen x2(t) = 1

2x1(t). Da dette er en lineær bane for systemetigennem origo, skulle retningsvektoren her gerne pege mod origo. Indsættes punkteti (3.36) fås:

dx1dt

= −4(−4) + 4(−2) = 8,

dx2dt

= 4(−4)− 10(−2) = 4.

Dette giver retningsvektoren (dx1dt ,dx2dt )

T = (8, 4)T . Lægges denne vektor i punktet harden retning mod origo.


Af figur 3.5 er det tydeligt, at alle systemets baner konvergerer imod origo.Retningsfeltet viser desuden, at ligegyldigt, hvor langt væk systemet skubbes fraligevægtspunktet i origo, vil systemet konvergere imod origo, for t→∞.

Hvis det modsatte gør sig gældende, hvor begge egenværdier er forskellige og begge erpositive, vil der igen opstå et knudepunkt. Dog vil alle banerne i dette tilfælde divergerefra origo, og der er derfor tale om et ustabilt knudepunkt i origo. Banerne vil divergere,da løsningen bliver på formen:

~x(t) = c1eλ1t~v1 + c2e

λ2t~v2,

hvor både λ1, λ2 > 0. Dette medfører, at både eλ1t og eλ2t går mod uendelig for t → ∞,hvilket gør denne struktur ustabil.

To egenværdier med forskellige fortegn

Et homogent system på samme form som i (3.34) med egenværdier, der har forskelligefortegn, har den fuldstændige løsning (3.35). Det vil sige, at systemet har to løsninger påformen:

~x1(t) = ~v1ek1t, ~x2(t) = ~v2e

−k2t,

hvor k1 = λ1 er den positive egenværdi og k2 = |λ2|, λ2 < 0. Det bemærkes, at ek1t →∞for t → ∞. Dette vil sige, at ~x1(t)’s bane i planen vil bevæge sig væk fra origo mod

40


uendelig langs ~v1 og −~v1. Da k2 også er positiv vil e−k2t → 0 for t → ∞. Dette vilsige, at ~x2(t)’s bane i planen vil bevæge sig imod origo langs ~v2 og −~v2. Dette skaber ensaddelstruktur omkring origo i fasediagrammet, og systemet siges at være ustabilt. Origoer da et saddelpunkt. Systemet er ustabilt, da alle baner, som ikke ligger på den stabilelineære bane, vil divergere fra ligevægten.

Eksempel 3.3. Betragt systemet:

dx1dt

= x1(t) + 4x2(t),

dx2dt

= 4x1(t) + x2(t).

På matrix-vektor form bliver dette:

x(t) = A~x(t) =

[1 4

4 1

][x1(t)

x2(t)

]. (3.37)

Egenværdierne findes: ∣∣∣∣∣1− λ 4

4 1− λ

∣∣∣∣∣ = λ2 − 2λ− 15 = 0,

hvilket giver egenværdierne λ1 = 5 ∧ λ2 = −3.

For at finde egenvektorerne indsættes egenværdierne en af gangen i (A − λI)~v = 0.Dette giver for λ1:

~v1 =

[1

1

].

Tilsvarende gøres for λ2 og egenvektoren sættes til

~v2 =

[−11

].

Dette giver de to løsninger:

~x1(t) =

[1

1

]e5t, ~x2(t) =

[−11

]e−3t,

og dermed den fuldstændige løsning

~x(t) = c1

[1

1

]e5t + c2

[−11

]e−3t.

Det ses som ovenfor, at e5t → ∞ for t → ∞ samt at e−3t → 0 for t → ∞.Systemet får altså et saddelpunkt i origo, og er dermed ustabilt. Yderligere ses detud fra egenvektorerne, at de lineære baner ligger langs linjerne x1(t) = x2(t) ogx1(t) = −x2(t). Dermed bliver fasediagrammet som illustreret på figur 3.6. Linjenx1(t) = −x2(t) siges at være en stabil lineær bane, da baner med begyndelsespunkt på

41


denne linje vil konvergere mod det kritiske punkt. Ydermere siges linjen x1(t) = x2(t)

at være en ustabil lineær bane, da baner der har begyndelsespunkt på denne linjevil divergere væk fra det kritiske punkt. Alle andre baner som ikke ligger på linjenx1(t) = −x2(t), vil også divergere fra ligevægten.


3.5.2 To komplekse egenværdierFor homogene systemer med komplekse egenværdier, altså på formen: λ = α ± iβ, er deryderligere tre tilfælde der opfører sig væsentlig forskelligt.

1. Komplekse egenværdier, hvor den reelle del α < 0.

2. Komplekse egenværdier, hvor den reelle del α > 0.

3. Rent imaginære egenværdier, hvor α = 0.

Betragt igen systemet (3.34). Dette system vil også med komplekse egenværdier giveløsninger på formen ~x(t) = ~veλt. Da egenværdierne samt de tilhørende egenvektorer erkomplekse, kan dette også skrives ~x(t) = (~w + i~z)e(α+βi)t. Fra sektion 3.2.3 vides det, atdette giver følgende to reelle løsninger:

~x1(t) = eαt(~w cos(βt)− ~z sin(βt)),~x2(t) = eαt(~w sin(βt) + ~z cos(βt).

Hvor ~w og ~z er hhv. den reelle og den imaginære del af egenvektoren. Løsningerne ses,at være periodiske funktioner grundet tilstedeværelsen af de trigonometriske funktioner.Det er altså ikke muligt, at finde lineære baner i fasediagrammet, da sådanne banerikke eksisterer. I fasediagrammet er eαt banens afstand fra ligevægten. Hvis α > 0

er den periodiske banes afstand fra ligevægten eksponentielt voksende. Det vil sige, atbanens afstand fra ligevægten går mod ∞ for t → ∞, hvilket vil sige, at der dannes enspiral struktur, hvor banen divergerer fra centrum. Origo siges derfor at være et ustabiltspiralpunkt.

Hvis α < 0, bliver afstanden fra ligevægten eksponentielt aftagende, og går mod nul fort→∞, hvilket resulterer i en indadgående spiral mod origo. Der opstår altså et spiralpunkti origo, som i dette tilfælde er asymptotisk stabilt da banen konvergerer.

42


Hvis egenværdierne er rent imaginære, α = 0, ses amplituden at være konstant. Derfor vilder være tale om en lukket bane, enten på cirkel eller ellipseform. Origo siges at være etstabilt punkt, da baner nær origo forbliver nær origo, men der er desuden ingen baner somkonvergerer mod origo. Cirkelbaner opstår ved systemer på formen

dx1dt

= βx2(t),

dx2dt

= −βx1(t),

ellers vil banerne blive elliptiske for systemer med rent imaginære egenværdier. Teorien forsystemer med komplekse egenværdier illustreres nu med et par eksempler.

Eksempel 3.4. Betragt systemet:

dx1dt

= −4x1(t) + 8x2(t),

dx2dt

= −8x1(t)− 4x2(t).

(3.38)

Dette system har egenværdierne

λ1 = −4 + 8i, λ2 = −4− 8i,

og de tilhørende egenvektorer:

~v1 =

[−i1

], ~v2 =

[i

1

].

Dette giver de to løsninger:

~x1(t) = e−4t

([0

1

]cos(8t)−

[−10

]sin(8t)

),

~x2(t) = e−4t

([0

1

]sin(8t) +

[−10

]cos(8t)

).

Det ses, at afstandsfaktoren e−4t → 0 for t→∞. Derfor vil der opstå et asymptotiskstabilt spiralpunkt i origo. Derudover findes tangentvektoren i et punkt for atbestemme omløbsretningen. Her betragtes punktet (1, 1). Indsættes dette punkt i(3.38) fås tangentvektoren (dx1dt ,

dx2dt )

T = (4,−12)T , hvilket vil sige at banen ervoksende for x1(t) og aftagende for x2(t) i et punkt i første kvadrant. Banen bevæger

43


sig altså med urets retning. Dette er illustreret på figur 3.7.


Eksempel 3.5. Ligeledes betragtes et eksempel, hvor α er lig 0. Betragt følgendesystem.

dx1dt

= −4x1(t) + 8x2(t),

dx2dt

= −8x1(t) + 4x2(t).

(3.39)


λ = ±4√3i,

og de tilhørende egenvektorer:

~v1 =

[8

λ1+4

1

], ~v2 =

[8

λ2+4

1

].

λ1 og ~v1 deles op i reelle og imaginære dele og de to følgende løsninger findes:

~x1(t) =

([12

1

]cos(4

√3t)−

[−√32

0

]sin(4

√3t)

),

~x2(t) =

([12

1

]sin(4

√3t) +

[−√32

0

]cos(4

√3t)

).

Det ses, at afstandsfaktoren ikke er til stede, da α = 0. Dette medfører, at eαt

er konstant. Derfor fås en elliptisk bane med et stabilt punkt i origo. Igen findestangentvektoren i et punkt for at bestemme omløbsretningen. Igen betragtes punktetP (1, 1). Indsættes dette punkt i (3.39) fås tangentvektoren (dx1dt ,

dx2dt )

T = (4,−4)T ,hvilket vil sige at banen er voksende for x1(t) og aftagende for x2(t) i et punkt i førstekvadrant. Banen bevæger sig altså med urets retning. Dette illustreres på figur 3.8.

44



3.5.3 Én reel egenværdiSystemer med én reel egenværdi med multiplicitet 2, hvor λ1 = λ2 = λ, opdeles også iundertilfælde.

1. λ har to lineært uafhængige egenvektorer.

2. λ har kun en egenvektor.

Det første tilfælde, hvor der er to lineært uafhængige egenvektorer, forekommer hvissystemets koefficientmatrix er en diagonalmatrix. Da vil egenværdien forekomme i beggeindgange i hoveddiagonalen og de andre indgange være nul. Betragt da

(A− λI)~v =

[0 0

0 0

][v1v2

]=

[0

0

]. (3.40)

Der er ikke nogen restriktioner for hvad v1, v2 skal være, og dermed kan et arbitrært paraf lineært uafhængige egenvektorer vælges. I dette tilfælde fås derfor den fuldstændigeløsning:

~x(t) = c1~v1eλt + c2~v2e

λt.

For at undersøge lineære baner i systemet divideres komponenterne, som er hhv. x1(t) =c1e

λt og x2(t) = c2eλt, i den fuldstændige løsning:

x2(t)

x1(t)=c2e

λt

c1eλt=⇒ x2(t) =

c2c1x1(t). (3.41)

Der findes altså lineære baner med ligningen x2(t) =c2c1x1(t), ∀c1, c2 ∈ R. Altså vil der gå

en lineær bane igennem alle punkter i faseplanen. Om banerne går mod origo eller væk fraorigo, er afgjort af egenværdiens fortegn. Betragtes den fuldstændige løsnings komponenterses det, at x1(t), x2(t) → 0 for t → ∞, hvis λ < 0. Analogt ses, det at x1(t), x2(t) → ∞for t→∞, hvis λ > 0.

Når der kun er en egenvektor til systemet, fås som før den første løsning ~x1(t) = ~veλt. Denanden løsning er givet ved ~x2(t) = eλt(t~v+~u), jf. afsnit 3.2.2 på side 29. ~x1(t) repræsenterer

45


her en lineær bane langs egenvektoren ~v. ~x2(t) repræsenterer imidlertid ikke nogen lineærebaner, og der vil derfor kun være en lineær bane.

Som tidligere er egenværdiens fortegn der afgør stabiliteten af systemet. Først betragtestilfældet med to lineær uafhængige egenvektorer.

Eksempel 3.6. Lad

x(t) =

[−2 0

0 −2

]~x(t).

Da dette er en diagonalmatrix aflæses egenværdien λ = −2. Derudover vides det, atto vilkårlige egenvektorer kan vælges jf. ligning (3.40). Egenvektorerne vælges til

~v1 =

[1

0

], ~v2 =

[0

1

].

Dette giver den fuldstændige løsning

~x(t) = c1

[1

0

]e−2t + c2

[0

1

]e−2t.

Ud fra egenværdiens fortegn kan ses det, at der er et asymptotisk stabilt punkt i origo,og der er som bekendt uendelig mange lineære baner. Dette fører til fasediagrammetsom ses på figur 3.9.


Til sidst betragtes tilfældet med én egenvektor.

Eksempel 3.7. Betragt systemet

x =

[2 1

0 2

]~x(t).

Dette system har egenværdien λ = 2, og den dertilhørende egenvektor ~v =

[1

0

].

Dermed fås en fuldstændig løsning på formen:

46


~x(t) = c1

[1

0

]e2t + e2t

(t

[1

0

]+ ~u

),

hvor ~u findes ved ligningen

(A− Iλ)~u = ~v =⇒

[0 1

0 0

][u1u2

]=

[1

0

].

Vektoren vælges til ~u =

[0

1

]. Der bliver igen en lineær bane langs ~v. Den positive

egenværdi betyder, at systemet danner ustabilt knudepunkt; banerne bevæger sigvæk fra origo og mod uendelig. Fasediagrammet ses på figur 3.7.


3.5.4 Generalisering af eksempler for fasediagrammerFor at opsummere eksemplerne omkring fasediagrammer for systemer bestående af to1. ordens differentialligninger opstilles følgende skema, der beskriver hvordan forskelligeegenskaber for egenværdierne resulterer i forskellige karakteristika for det tilhørendefasediagram. De egenværdier, som der er tale om, er egenværdierne for matricen A iligningen x(t) = A~x(t). Det antages desuden, at detA 6= 0:

Egenværdier Systemets banerλ1, λ2 > 0 ∧ λ1, λ2 ∈ R ∧ λ1 6= λ2 Ustabilt knudepunktλ1, λ2 < 0 ∧ λ1, λ2 ∈ R ∧ λ1 6= λ2 Asymptotisk stabilt knudepunktλ1 < 0, λ2 > 0 ∧ λ1, λ2 ∈ R ∧ λ1 < 0 < λ2 Ustabilt saddelstrukturλ = ±ib Stabil cirkel- eller ellipsebaneλ = a± ib, a > 0 Ustabil spiralλ = a± ib, a < 0 Asymptotisk stabil spiralλ1 = λ2 > 0 Ustabilt knudepunktλ1 = λ2 < 0 Asymptotisk stabilt knudepunkt

Tabel 3.1: Skema over tilhørende fasediagrammer for forskellige typer egenværdier [Logan,2015, s.226 tabel 4.1]

Udfra tabel 3.1 kan det hurtigt identificeres ud fra et givent systems egenværdier, hvilkenstruktur systemets fasediagram har. Dette kræver dog, at egenværdierne først udregnes,hvilket kan være tidskrævende. Derfor opstilles følgende sætning, der gør det muligt at

47


afgøre strukturen for et givent systems fasediagram uden at udregne egenværdierne. Detbemærkes, at tr A er lig summen af hoveddiagonalen.

Sætning 3.5. Lad x(t) = A~x(t) være et todimensionelt homogent lineært system, hvordetA 6= 0. Da gælder:

1) Hvis detA < 0, vil (0, 0) være et saddelpunkt.

2) Hvis detA > 0 og tr A = 0, vil der dannes en cirkel eller ellipse omkring (0, 0).

3) Hvis detA > 0, tr A > 0 og 4 detA ≤ (tr A)2, så dannes et ustabilt knudepunktomkring (0, 0).

4) Hvis detA > 0, tr A > 0 og 4 detA > (tr A)2, så dannes en ustabil spiral omkring(0, 0).

5) Hvis detA > 0, tr A < 0 og 4 detA ≤ (tr A)2, så dannes et asymptotiskt stabiltknudepunkt omkring (0, 0).

6) Hvis detA > 0, tr A < 0 og 4 detA > (tr A)2, så dannes en asymptotisk stabilspiral omkring (0, 0).

Bevis. Til bevis af sætning 3.5 bruges at egenværdierne er på formen:

λ =(a+ d)±

√(a+ d)2 − 4(a · d− c · b)

2, (3.42)

for koefficientmatrixen A. Det bemærkes, at dette kan skrives på formen:

λ =tr A±

√(tr A)2 − 4 detA

2. (3.43)

1) Hvis detA er negativ, vil udtrykket√(tr A)2 − 4 detA være reelt og større end tr A,

hvilket medfører, at de egenværdier får forskellige fortegn og dermed opstår et saddelpunkt.

2) Når detA > 0 og tr A = 0, opnås to rent imaginære rødder som egenværdier. Detteresulterer i en cirkel eller elipse omkring (0, 0).

3) Dette tilfælde medfører, at egenværdierne er reelle, og det gælder at, |tr A| >√(tr A)2 − 4 detA), hvilket resulterer i to positive egenværdier, der skaber et ustabilt

knudepunkt. Det modsatte gør sig gældende i 5), hvor knudepunktet bliver stabilt, dabegge egenværdier her vil være negative.

4) I dette tilfælde bliver egenværdierne komplekse med en positiv reel del, hvilket skaberen ustabil spiral. Det modsatte gør sig gældende i 6), hvor spiralen bliver stabil grundeten negativ reel del. �

Af sætning 3.5 følger følgende korollar:

Korollar 3.6. Lad x(t) = A~x(t) være et todimensionelt homogent lineært system, hvordetA 6= 0. Origo er et asymptotisk stabilt kritisk punkt, hvis og kun hvis, detA > 0 ogtr A < 0.

48


Bevis. At origo vil være et asymptotisk stabilt kritisk punkt, hvis detA > 0 og tr A < 0

ses af sætning af sætning 3.5, da begge disse to egenskaber kun er gældende de steder,hvor der er asymptotisk stabilitet.

At detA > 0 og tr A < 0, hvis origo er et asymptotisk stabilt punkt følger af ligning 3.43i sætning 3.5. Hvis detA < 0 opnås to reelle egenværdier med forskelligt fortegn, hvorvedorigo ikke er et asymptotisk stabilt punkt. detA skal derfor være positiv. Hvis tr A ≥ 0

opnås enten to positive reelle egenværdier, to reelle egenværdier med forskelligt fortegn, torent imaginære egenværdier eller to komplekse egenværdier med en positiv reel del. Vedalle disse fire tilfælde er origo ikke et asymptotisk stabilt punkt. Derfor skal tr A < 0. �

Udfra sætning 3.5 og korollar 3.6 er det let at bestemme, hvilken struktur et fasediagramfor et todimensionelt system har, og om (0, 0) er et asymptotisk stabilt kritisk punkt.

Da differentialligninger og systemer af disse nu er afdækket, kan den økonomiske del afprojektet påbegyndes.

49

4 Dornbusch modellen

Indledningen til kapitlet “Dornbusch modellen” benytter [Shone 2002, s. 553-554].

Efter ændringen fra faste kurser til flydende kurser, for de fleste store økonomier i verden, istarten af 70’erne, blev en del nye økonomiske modeller formuleret, der ønskede at forstå denyligt opståede aspekter ved flydende kurser. En stor del af disse modeller var dynamiske.Typisk skelnede disse modeller mellem faste priser og varierende priser, hvoraf de sidstekaldes for flex-pris-modeller. En ofte anvendt flex-pris-model er Dornbusch modellen.

I Dornbusch modellen antages fuld beskæftigelse, hvilket vil sige, at den reelle indkomstholdes fast. På denne måde fokuseres der udelukkende på forholdet mellem priser ogvalutakurser, hvilket i 70’erne var et uafdækket emne, da det primært var teorien bagMundell-Flemming modellen, der dominerede makroøkonomisk teori.

Et vigtigt element i Dornbusch modellen er købekraftspariteten, der siger, at prisniveaueti et givent land er lig prisniveauet i et andet land efter korregering for kursforskelle. Denneantagelse forventes at holde totalt set for et givent land. Lad P (t) være det indenlandskeprisniveau, S(t) være kursen på udenlandsk valuta målt i indenlandsk valuta og lad P ∗

være det udenlandske prisniveau. Købekraftspariteten kan da opskrives som S(t)P ∗ = P (t)

og forkortes PPP (eng: Purchasing Power Parity).

Hvis det indenlandske prisniveau indekseres efter de udenlandske priser, kan detudenlandske prisniveau sættes lig 1. Herefter tages den naturlige logaritme på begge sider,og købekraftspariteten kan udtrykkes ved ln(S(t)) + ln(1) = ln(P (t)). Da ln(1) = 0,medfører det at ln(S(t)) = ln(P (t)). Lad s(t) = ln(S(t)) og lad p(t) = ln(P (t)), da erkøbekraftspariteten givet ved

s(t) = p(t).

Ligeledes vil andre variable i denne model, hvor den naturlige logaritme er taget, værebetegnet med et lille bogstav. Stort set alle variable beskrevet vil være angivet i naturligelogaritmer (dog ikke den indenlandske og udenlandske rente, der vil være angivet iprocent), da dette skaber et bedre sammenligningsgrundlag. En stigning i s(t) vil være enappreciering af udenlandsk valuta eller med andre ord en depreciering af den indenlandskevaluta. I denne model vil det være købekraftspariteten, der driver den langsigtede ligevægt.På kort sigt er det muligt, at s(t) 6= p(t), men på lang sigt, vil det altid gælde, at s(t) = p(t).

Grunden til at modellen på kort sigt overskyder sit langsigtede niveau er “price stickiness”,hvilket betyder, at priserne ikke ændrer sig øjeblikkeligt, når modellen bliver udsat foret chok. Denne antagelse skyldes, at varemarkedet er langsommere til at tilpasse sig endkapitalmarkedet. Priserne begynder altså først at ændres lidt tid efter et givent chok,

50


har fundet sted. Kapitalmarkedet antages derimod at reagere med det samme ved chok imodellen. Dette skyldes, at der er så mange aktører og transaktioner på kapitalmarkedet,at valutakursen ændres sig hurtigt og ofte. Grundet dette forhold på kapitalmarkedeter det også en rimelig antagelse, at betragte modellen under kontinuert tid, hvorveddifferentialligninger kan benyttes.

I det følgende betragtes Dornbusch modellen ud fra henholdvis en 1. ordens autonomdifferentialligning og et system af to lineære differentialligninger.

4.1 Introduktion til Dornbusch modellenFølgende sektion er baseret på [Shone 2002, s. 554-563].

Dornbusch modellen er bygget op omkring tre markeder: varemarkedet, pengemarkedet ogdet internationale kapitalmarked/valutamarked.

Varemarkedet beskrives af to ligninger. Den første ligning beskriver det totale forbrug,e(t). Det totale forbrug afhænger af den marginale forbrugstilbøjlighed, c ∈ (0, 1), afindkomsten, y, yderligere indgår det offentlige forbrug, g. Derudover påvirker renten, r,forbruget negativt; hvis renten er høj, er det f.eks. dyrere for aktørerne på varemarkedetat optage lån. Hvor meget renten påvirker forbruget, er beskrevet ved dens følsomhed,d > 0. Til sidst afhænger det totale forbrug også af betalingsbalancens løbende poster,som er givet ved forskellen mellem valutakursen, s(t), og prisen, p(t). Denne repræsentererdet udenlandske forbrug, e.g. en positiv forskel mellem kurs og pris, betyder, at der ergevinst for udlandet ved at købe indenlandske varer, hvilket hæver efterspørgselen efterindenlandske varer. Betalingsbalancens løbende posters påvirkning, h > 0, beskriver i hvorstor grad totalforbruget påvirkes af betalingsbalancens løbende poster. Summeret giverdette e(t) = cy + g − dr + h(s(t)− p(t)).

Den anden ligning på varemarkedet er en ligning der beskriver prisændringer. Hvis der erforskel mellem det totale forbrug og indkomsten, vil priserne ændre sig. Her er det oplagtat tænke det totale forbrug som efterspørgselen, og indkomsten som udbud. Dermed stigerpriserne, hvis det totale forbrug er højere end indkomsten, og vice versa. Hvor volatile disseprisændringer er, beskrives af koefficienten a > 0. Udtrykket for prisændringer er derfordp

dt= a(e(t)− y).

Pengemarkedet beskrives ligeledes vha. to ligninger. Den ene er pengeudbuddet,ms. Denneer bestemt af nationalbanken, og da pengeudbuddet er fast, ses den blot som en konstantm.Dvs. ms = m. Udover pengeudbuddet betragtes pengeefterspørgselen md. Denne afhængeraf priserne, p(t); hvis priserne er høje, er likviditetsbehovet større til det samme forbrug.Samtidig afhænger den af indkomsten, y. Da en højere indkomst medfører et højereforbrug, skal der ligeledes bruges mere likviditet til at understøtte det øgede forbrug.Her er der igen en vis følsomhed, k > 0, som bestemmer, hvor meget indkomsten påvirkerpengeefterspørgslen. Sidst afhænger denne også negativt af renten, r, da en stigning i rentengiver incitament til at profitere fra den øgede rente. Rentens påvirkning noteres u > 0.Dette giver samlet set md = p(t)+ky−ur(t). Ligeledes skal dette svare til pengeudbuddet.Dermed gælder, at ms = md = m.

51


På kapitalmarkedet antages perfekt kapitalmobilitet, hvilket medfører at den indenlandskerente, r(t), er lig den udenlandske rente, r∗, plus den forventede ændring i valutakursen,dse

dt. Renten udtrykkes derfor således: r(t) = r∗ +

dse

dt. Den forventede ændring i valuta-

kursen afhænger imidlertid af, hvor meget valutakursen, s(t), afviger fra dens værdi i

ligevægten, s. Den forventede ændring i valutakursen er derfor givet veddse

dt= v(s−s(t)),

hvor v > 0 beskriver valutakursens følsomhed over for afvigelser fra ligevægtskursen. Ers(t) mindre end s, forventes det, at s(t) stiger.

Forholdene for de tre markeder opsummeres i tabel 4.1.

Varemarked e(t) = Total forbruge(t) = cy + g − dr(t) + h(s(t)− p(t)) 0 < c < 1 h, d > 0 y = Samlet indkomst (exogent)dp

dt= a(e(t)− y) a > 0 g = Offentlige udgifter (exogent)

s(t) = Valutakursp(t) = Indenlandsk pris

Pengemarkeddp

dt= Prisens ændringsrate

md = p(t) + ky − ur(t) k, u > 0 md = Pengeefterspørgselms = md = m r(t) = Indenlandsk rente

ms = Pengeudbudm = Pengemængde (exogent)

Kapitalmarked r∗ = Udenlandsk rente

r(t) = r∗ +dse

dt

dse

dt= Forventet ændring i kurs

dse

dt= v(s− s(t)) v > 0 s = Ligevægtskursen

Tabel 4.1: Oversigt over markederne og de tilhørende variable [Shone, 2002, s. 555 tabel13.1].

4.1.1 Udledning af differentialligning for prisenDet ønskes nu at finde et udtryk for udviklingen af den indenlandske pris over tid samt forprisen i ligevægt. Dette gøres ved at opstille en differentialligning ud fra tabel 4.1. Førstindsættes udtrykket for den forventede ændring i valutakursen i udtrykket for renten:

r(t) = r∗ +dse

dt

= r∗ + v(s− s(t)).

Dette udtryk for renten substitueres nu ind i udtrykket for pengemarkedet:

m = p(t) + ky − ur(t) (4.1)

= p(t) + ky − u[r∗ + v(s− s(t))].

Af dette kan et udtryk for prisen findes ved at isolere p(t):

p(t) = m− ky + ur∗ + uvs− uvs(t). (4.2)

I ligevægt giver dette:p = m− ky + ur∗. (4.3)

52


Indsættes (4.3) i (4.2) fås:

p(t) = p+ uvs− uvs(t)m

s(t)− s = − 1

uv(p(t)− p). (4.4)

I tabel 4.1 ses det, at prisens ændringsrate er givet ved

dp

dt= a(e(t)− y). (4.5)

I en ligevægt er det totale forbrug lig den totale indkomst, og det ses derfor at prisens

ændringsrate er 0, hvilket medfører atdp

dt= 0 = a(e(t) − y). Derudover vides det jf.

betingelsen om købekraftsparitet, at i en langsigtet ligevægt er s(t) = p(t) = s. Lade betegne totalforbruget i en ligevægt: e = cy + g − dr∗ + h(s − p), hvor p betegnerligevægtsprisen. Det bemærkes, at i en ligevægten r(t) = r∗, da de forventede ændringerer lig nul. Da gælder det.

0 = a(e− y). (4.6)

Trækkes (4.6) fra (4.5) fås:

dp

dt= a(e(t)− e). (4.7)

Ses der på tabel 4.1 under pengemarkedet, kan r(t) skrives som:

r(t) =p(t)

u+ky

u− m

u. (4.8)

(4.8) sættes ind i ligning (4.7) for det totale forbrug.

dp

dt= a

(cy − d

(p(t)

u+ky

u− m

u

)+ g + h(s(t)− p(t))− cy + d

(p

u+ky

u− m

u

)− g − h(s− p)

)= a

(−h(p(t)− p) + h(s(t)− s)− d

u(p(t)− p)

).

(4.4) substitueres ind:

dp

dt= a

(−h(p(t)− p) + h

(− 1

uv(p(t)− p)

)− d

u(p(t)− p)

)= −a

(h+

h

uv+d

u

)(p(t)− p). (4.9)

Af (4.9) ses det at jo mere prisen afviger fra ligevægtsprisen, desto højere er prisensændringsrate; jo tættere prisen kommer på ligevægtsprisen, jo mere aftager ændringsraten.Det ses også, at hvis p(t) > p er hældningen negativ, og prisen vil således falde, indtilp(t) = p. Ligeledes ses det, at hvis p(t) < p er hældningen positiv, og prisen vil derfor stigeindtil p(t) = p. Dette betyder at prisen altid vil konvergere mod ligevægtsprisen, indtilprisen er i ligevægt, hvilket illustreres på figur 4.1.

53


Figur 4.1: p(t)-dp

dt-plot og retningsfelt for (4.9).

Det ses at p(t) = p er et tiltrækkende og globalt stabilt ligevægtspunkt, og faselinjen er dasom på figur 4.2.

Figur 4.2: Faselinje for prisens ændringsrate.

Udover at prisen altid bevæger sig mod ligevægten, kan det ses fra (4.9), attilpasningshastigheden afhænger af koefficienterne a, h, d, u og v. Koefficienterne a, h ogd påvirker tilpasningshastigheden positivt; en stigning i en af dem medfører at p(t) gårhurtigere mod p. Derimod påvirker en stigning i u og v tilpasningshastigheden negativt.

4.1.2 Dynamik i Dornbusch modellenDifferentialligningen (4.9) viser at prisen altid vil konvergere mod en ligevægtspris.Ligningen fortæller dog intet om de andre aspekter der indgår i modellen. For at undersøgehvordan disse udvikles, undersøges modellen fra et mere økonomisk synspunkt. Hertilbetragtes de tilfælde, hvor varemarkedet og kapitalmarkedet er i ligevægt, og derfor skaldisse udledes. Betragt først varemarkedet, der er i ligevægt ved de kombinationer af s(t)

og p(t), hvordp

dt= 0:

0 = a(e(t)− y)= acy − adr(t) + ag + ahs(t)− ahp(t)− aym

p(t) = −(1− c)yh

− dr(t)

h+g

h+ s(t). (4.10)

54


r(t) skrives igen som r(t) =p(t)

u+ky

u−mu, og sættes ind i (4.10), hvorved p(t) kan isoleres.

p(t) = −(1− c)yh

− d[(p(t)/u) + (ky/u)− (m/u)]

h+g

h+ s(t)

m

p(t)

(1 +

d

uh

)= −

[(1− c) + (dk/u)

h

]y +

g + (dm/u)

h+ s(t)

m

p(t) = −[(1− c) + (dk/u)

h+ (d/u)

]y +

g + (dm/u)

h+ (d/u)+

s(t)

1 + (d/uh). (4.11)

Dernæst skal kapitalmarkedets ligevægtslinje findes. Denne er dog allerede fundet i (4.2):

p(t) = m− ky + ur∗ + uvs− uvs(t). (4.12)

Ligevægterne for begge markeder er nu fundet. For at undersøge hvordan variablerneudvikler sig, udsættes modellen for et “chok”. Antag at der sker en forøgelse ipengeudbuddet. Da der er price stickiness på varemarkedet, og dette derfor tilpasser siglangsomt, betragtes først kapitalmarkedet, givet ved ligning (4.12). Når m forøges kræverdet, at uvs(t) stiger tilsvarende ved et fastholdt p(t). Dette skyldes, at de andre led iligning (4.12) er eksogene. Da u og v begge er konstanter, er s(t) steget, og dette medførerat totalforbruget, e(t), ligeledes stiger. Totalforbruget stiger, da betalingsbalancens løbendeposter er steget.

Af dette følger, at totalforbruget nu er større end indkomsten. Dvs. e(t) > y, hvilket

medfører, at prisen stiger, dadp

dt> 0. Stigningen i prisen får betalingsbalancens løb-

ende poster til at mindskes, hvilket mindsker totalforbruget, der ligeledes mindskerændringsraten. Desuden får en stigning i prisen valutakursen til at appreciere jf. ligning(4.4). Fra analysen af ligning (4.9) vides det, at ændringsraten af prisen bliver mindreog mindre, jo tættere prisen kommer på ligevægtsprisen. Denne dynamiske stigning i p(t)og fald i s(t) fortsættes, indtil købekraftspariteten er nået. Fra ligning (4.3) vides det, atligevægtsprisen er steget med præcis det samme, som m er steget med. Så p(t) vil altsåstige til det nye og højere ligevægtsniveau, mens s(t) først er steget, hvorefter den falder tildet nye ligevægtsniveau. Alt i alt betyder dette, at en stigning i pengeudbuddet medføreren højere ligevægtspris og -kurs.

Dog er det tydeligt, at det ikke er muligt at beskrive den økonomiske dynamik ud fra ligning(4.9). Det er især interessant, at kursen først overstiger det langsigtede ligevægtsniveau,hvorefter den aprecierer til ligevægten. Dette skaber derfor motivation for at kunne opstilleen model, der kan beskrive sammenhængen mellem s(t) og p(t) bedre samt illustrereovershooting mekanismen i Dornbusch modellen.

4.2 Perfect foresight i DornbuschFølgende sektion benytter [Shone 2002, s. 567-573] og [Groth 2012, s. 923-924].

For at bedre at kunne beskrive sammenhængen mellem prisen og valutakursen samtovershooting mekanismen, kræves et udtryk, der bedre beskriver ændringen i s(t).

55


Dette kræver en ændring af de bagvedliggende antagelser. Tidligere var ændringerne ivalutakursen ukendte. Dette nødvendiggjorde et udtryk, der beskrev forventningerne:

dse

dt= v(s− s(t)).

Nu ændres denne antagelse ved at tilføje perfect foresight til modellen. Dette vil sige, atdet antages, at ændringen i kursen er kendt. Dette giver følgende ændring:

dse

dt=ds

dt.

Perfect foresight betyder, at aktørerne på kapitalmarkedet ved præcis, hvad effekten afen given politik bliver på valutakursen. Perfect foresight er dog ikke så usandsynligt, somnavnet ellers kan indikere. Kausaliteten af perfect foresight kan i stedet forståes ved, atmarkedet handler rationelt, når der sker en ændring. Ved at de handler rationelt, vilændringerne i valutakursen netop blive baseret på, hvordan markedet handler, og dermedvil forventningerne blive indfriet.

Ydermere forsimples modellen nu; rentens påvirkning på varemarkedet fra forrige sektionbliver fjernet. Dette gøres, da det er udviklingen af pris og valutakurs, samt hvordan dissepåvirker hinanden, der ønskes belyst. Renten afhang af ændringen af valutakursen og iligevægten vil renten være det samme som den udenlandske rente. Den påvirker selvfølgeligdynamikken, men da den i forvejen afhang af ændringen i valutakursen, bliver det en slagsdobbelt effekt. Derfor kan renten fjernes uden at ændre på de mest væsentlige karakteristikaved dynamikken.

4.2.1 Opstilling af fasediagram for Dornbusch modellenFørst betragtes ændringen i prisen. Denne er givet ved:

dp

dt= a[h(s(t)− p(t))− (1− c)y + g], a, h > 0, 0 < c < 1. (4.13)

En ændring i prisen afhænger af følsomheden, noteret a, af betalingsbalancens løbendeposter fratrukket opsparing og tillagt det offentlige forbrug. Her ændrer antagelsen omperfect foresight ikke noget, men forsimplingen af modellen har fjernet renten. Derimodfremgår ændringerne tydeligt på pengemarkedet:

m = p(t) + ky − u(r∗ +

ds

dt

)k, u > 0.

Dette giver:ds

dt=ky −m

u− r∗ + p(t)

u. (4.14)

Her er ændringen, at ingen korrigering af kursens forskel fra ligevægtskursen er nødvendig,da ændringsraten er kendt. Perfect foresight gør, at udviklingen er præcist kendt. Nu findes

linjen fords

dt= 0:

0 =ky −m

u− r∗ + p(t)

u

= ky −m− r∗u+ p(t)

mp(t) = m+ r∗u− ky. (4.15)

56


Af dette ses, at p(t) er en konstant, da alle dens komponenter er faste. Dermed bliver detteen horisontal linje i faseplanen, hvilket også gør, at i en ligevægt vil p(t) = p = m+r∗u−ky.

For at finde en linje fordp

dt= 0 betragtes (4.13):

0 = a[h(s(t)− p(t))− (1− c)y + g]

= ahs(t)− ahp(t)− a(1− c)y + ag

m

p(t) = s(t) +−(1− c)y + g

h. (4.16)

Det ses at (4.16) er en ret linje i faseplanen. Yderligere ses det at der er en 1 til 1

sammenhæng mellem prisen og valutakursen; leddet−(1− c)y + g

her fast, og derfor vil

en stigning i s(t), lede til samme stigning i p(t). Af dette kan det sluttes, at (4.16) eren 45 graders linje. Givet købekraftspariteten holder vil denne linje gå gennem origo.Dette er dog mere en økonomisk betragtning end en matematisk betragtning. Dermed kanmodellen skitseres som på figur 4.3. Derefter ønskes punktet (s, p), kaldet E på figur 4.3,

Figur 4.3: Skitsering af ligevægten i Dornbusch modellen. [Shone, 2002, s. 569].

fundet, sådan at ligevægten kendes. Ligevægtsprisen kendes allerede, da denne opfyldte,at valutakursen ikke ændrede sig. Samtidig var denne konstant:

p = −ky +m+ r∗u. (4.17)

Ligevægtsprisen indsættes på p(t)’s plads i (4.16) og derefter isoleres s(t), og et udtryk forligevægtskursen fås:

s = m+ r∗u− ky + (1− c)h

y − g

h. (4.18)

Derefter betragtes dynamikken af valutakursen. Jf. (4.14) er ændringen i valutakursengivet ved:

ds

dt=ky −m− r∗u

u+p(t)

u.

57


Det ses, at p(t) = p = −ky +m + r∗u =⇒ ds

dt= 0. Samtidig må p(t) ≥ 0, da negative

priser ikke giver mening. Betragt nu udviklingen for p(t) > p. Dette medfører:

p(t) > p =⇒ ds

dt=ky −m− r∗u

u+p(t)

u>ky −m− r∗u

u+p

u= 0 (4.19)

for p(t) > −ky +m + r∗u. Analogt kan det vises, atds

dt< 0 for p(t) < −ky +m + r∗u,

dermed:

ds

dt> 0 ⇐⇒ p(t) > −ky +m+ r∗u,

ds

dt< 0 ⇐⇒ p(t) < −ky +m+ r∗u.

(4.20)

Heraf kan dynamikken i (4.20) visualiseres i et plot - se figur 4.4. Pilene indikerer, hvordans(t) udvikler sig, alt efter hvor prisen ligger.

Figur 4.4: Dynamik fords

dt.

Betragt derefter (4.13). Det ses at:

dp

dt= a[h(s(t)− p(t))− (1− c)y + g], a, h > 0, 0 < c < 1.

Samme betragtning som for valutakursen laves nu for prisen. Lad alt andet end prisenvære givet, herunder specielt valutakursen, og betragt en højere pris p(t) > p, hvor p er

den pris, der opfylder, atdp

dt= 0 for det givne s(t). Dermed:

p(t) > p =⇒ dp

dt= a[h(s(t)−p(t))−(1−c)y+g] < a[h(s(t)−p)−(1−c)y+g] = 0. (4.21)

Af (4.21) ses, at for en pris højere end den pris, der opfylder atdp

dt= 0, medfører det,

atdp

dt< 0. Med andre ord, hvis prisen er højere end købekraftparitetsprisen til en given

valutakurs, falder prisen. Analogt kan det vises, at p(t) < p =⇒ dp

dt> 0. Heraf fås

58


følgende dynamik:

dp

dt> 0 ⇐⇒ p(t) < s(t) +

−(1− c)y + g

h,

dp

dt< 0 ⇐⇒ p(t) > s(t) +

−(1− c)y + g

h.

(4.22)

Dynamikken fra (4.22) illustreres på figur 4.5.

Figur 4.5: Dynamik fordp

dt.

Det ses af figur 4.5, at p(t) < s(t)+ −(1−c)y+gh er ensbetydende med, at y < cy+g+h(s(t)−p(t)). Rent økonomisk skyldes dynamikken her, at prisniveauet stiger, når det totale forbrugoverstiger indkomsten. Omvendt ses det, at prisniveauet falder, når indkomsten overstigertotalforbruget.

Figur 4.6: Samlet dynamik for ligevægtslinjerne [Shone, 2002, s. 569 figur 13.10].

Dynamikken for både valutakursen og prisen samles nu i figur 4.6. Heraf ses at:

I I dette område er økonomien over begge linjer, hvilket medfører, at prisen aftager,mens valutakursen deprecierer.

59


II I dette område er økonomien overds

dt= 0-linjen, men under købekraftsparitetslinjen.

Dvs. at prisen vokser og valutakursen deprecierer.

III Her er prisen under begge linjer, og her tyder det igen på, at systemet søger modligevægten, da prisen vokser og valutakursen apprecierer.

IV Her ses igen at prisen ligger imellem de to linjer. Retningen ser nu ud til at divergereher, da prisen aftager og valutakursen apprecierer.

Yderligere ses det af figur 4.6, at i områderne I og III skubbes økonomien mod ligevægten,mens i områderne II og IV skubbes økonomien væk fra ligevægten, hvilket tyder på, at Eer et saddelpunkt.

4.2.2 Differentialligningssystemet for Dornbusch modellenSystemet kan nu opstilles, men før dette kan gøres, er det nødvendigt at opstille fællesafhængige variable. Dette kan gøres ved at trække de stationære punkter fra og dermed sepå afvigelser fra ligevægten:

dp

dt= ahs(t)− ahp(t)− a(1− c)y + ag, (4.23)

0 = ahs− ahp− a(1− c)y + ag. (4.24)

Nu trækkes (4.24) fra (4.23), hvilket giver:

dp

dt= −ah(p(t)− p) + ah(s(t)− s). (4.25)

Ligeledes fords

dt:

ds

dt=p(t) + ky −m− r∗u

u, (4.26)

0 =p+ ky −m− r∗u

u. (4.27)

(4.27) trækkes fra (4.26) fås:ds

dt=p(t)− p

u. (4.28)

Samlet giver (4.25) og (4.28) et system, der ser ud som følgende:[dpdtdsdt

]=

[−ah ah

1u 0

][p(t)− ps(t)− s

]. (4.29)

Det ses, at determinanten er lig −ahu, og da a, h, u > 0 medfører dette, at −ah

u< 0. Jf.

sætning 3.5 på side 48 medfører en negativ determinant, at systemet har et saddelpunkt,

60


hvilket stemmer fint overens med figur 4.6. Derefter kan egenværdierne findes:

0 = (−ah− λ)(−λ)− ah

u

= λ2 + ahλ− ah

u

= uλ2 + ahuλ− ahm

λ =−ahu±

√a2h2u2 + 4ahu

2u.

Da alle konstanter her er positive, fås reelle egenværdier. Nu findes egenvektorerne. For atgøre dette betragtes ligningssystemet:[

−ah− λ ah1u −λ

][v1v2

]= ~0. (4.30)

Herefter anvendes Gauss-elimination til at rækkereducere matricen:[−ah− λ ah

1u −λ

]∼

[1 −ah

ah+λ1u −λ

]∼

[1 −ah

ah+λ

0 −λ+ ahahu+uλ

].

Betragt den anden indgang i anden række:

−λ+ah

ahu+ uλ=−(λ(ahu+ uλ)− ah)

ahu+ uλ

=−(uλ2 + ahuλ− ah)

ahu+ uλ

=0

ahu+ uλ

= 0.

Dermed bliver systemet: [1 −ah

ah+λ

0 0

][v1v2

]= ~0.

Heraf følger:

v1 −ah

ah+ λv2 = 0 ⇐⇒ v1 =

ah

ah+ λv2.

Det betyder, at egenvektorerne er bestemt ved:

~vi =

[ah

ah+λi

1

], i ∈ {1, 2}. (4.31)

Dette giver følgende løsning til systemet, der beskriver afvigelser fra ligevægten:

p(t) = c1

[ah

ah+λ1

1

]etλ1 + c2

[ah

ah+λ2

1

]etλ2 . (4.32)

Det vil sige, at der er en relation mellem afvigelserne der ser ud som følgende:

(p(t)− p) = ah

ah+ λi(s(t)− s).

61


Herefter kan p(t) isoleres:

p(t) =ah

ah+ λis(t)− ah

ah+ λis+ p. (4.33)

De sidste to led er konstante led, men det interessante her er hældningen. Betragthældningen for egenvektoren tilhørende den positive egenværdi:

ah

ah+ −ahu+√a2h2u2+4ahu2u

=ah

2ahu−ahu+√a2h2u2+4ahu

2u

=2ahu

ahu+√a2h2u2 + 4ahu

.

Da alle led er positive gælder, at√a2h2u2 + 4ahu > ahu, hvilket medfører, at

2ahu

ahu+√a2h2u2 + 4ahu

<2ahu

ahu+ ahu= 1.

Dermed er hældningen for egenvektoren mellem 0 og 1. Ligeledes kan det vises foregenvektoren tilhørende den negative egenværdi, at:√

a2h2u2 + 4ahu > ahu =⇒ 2ahu

ahu−√a2h2u2 + 4ahu

< 0.

Ud fra dette ses, at hældningen for egenvektoren ikke er nedadtil begrænset. Betragtes(4.32), samt disse resultater, er det givet, at der dannes to lineære baner, hvorom detgælder, at den lineære bane tilhørende den negative egenværdi, vil konvergere modligevægten, mens den lineære bane tilhørende den positive egenværdi vil divergere.

Figur 4.7: Lineære baner [Shone, 2002, s. 571 figur 13.11].

På figur 4.7 er de to lineære baner indtegnet, samt retningsvektorer bibeholdt. Heraf sesdet, at den ene lineære bane SP 2 konvergerer mod ligevægten E, mens den anden lineærebane SP 1 divergerer. Fasediagrammet viser altså, at E er et ustabilt saddelpunkt.

4.2.3 Dynamikken ved en ændring i pengeudbuddetDa fasediagrammet og systemet for Dornbusch modellen nu er analyseret, kan Dornbuschmodellen bruges til at belyse effekterne af en stigning i pengeudbuddet. Systemet udsættes

62


altså for et chok. Umiddelbart virker et chok meget ødelæggende for opretholdelsen af enligevægt, da fasediagrammet er et ustabilt saddelpunkt. Dette viser sig dog ikke at bliveet problem, og perfect foresigt bliver her en afgørende faktor.

Før dynamikken ved en ændring i pengeudbuddet kan beskrives, er det nødvendigt at kendeden første og diskrete effekt ved denne ændring i pengeudbuddet. Før perfect foresight, ogdermed undladelse af renten på varemarkedet, var det tydeligt at se, hvor overshootingmekanismen kom fra. Det viser sig dog ikke at være så indlysende for systemet. Dettebelyses nu vha. antagelsen om price stickiness. Betragt det totale forbrug:

e(t) = cy + g + h(s(t)− p(t)).

Antag nu, at der laves en pengepolitisk ændring, hvor pengemængden m ændrer sig til m1.Antag desuden at systemet starter i en ligevægt. Dermed fås følgende to ligninger for dettotale forbrug:

e = cy + g + h(s− p), (4.34)

e1(t) = cy + g + h(s(t)− p(t)). (4.35)

Forskellen mellem disse to udtryk er givet ved:

e1(t)− e = h((s(t)− s)− (p(t)− p).

Antagelsen omkring price stickiness inddrages nu. Med denne antagelse inkluderet ændrerpriserne sig ikke umiddelbart efter ændringen i pengeudbuddet. Derfor må det gælde, atforskellen mellem p i ligning (4.34) og p(t) i ligning (4.35) er lig 0. Dvs. p(t) = p. Bemærk,at dette ikke er en indikator for at prisen er i ligevægt, men nærmere at prisen ikke harændret sig fra den gamle ligevægt. Dermed vil en ændring i det totale forbrug medføre enændring i s(t).

e1(t)− e = h(s(t)− s). (4.36)

Af dette ses, at det kun er s(t) der giver ændringen ved price stickiness. Her indgårændringen i pengeudbuddet ikke, men det ligger implicit; en ændring i m giver enny ligevægtspris jf (4.17). Den nye ligevægtspris medfører en ny ligevægtskurs jfkøbekraftpariteten. Betragt en ændring fra m0 til m1. Antag uden tab a generalitet, atm1 > m0. Dette medfører, at p1 > p0. Her benyttes price stickiness, og dermed er p(t) = p0.Heraf følger, at systemet ikke er i ligevægt, da ligevægtsprisen for pengemængden m1 erp1. Dette medfører, at e(t) 6= e, og da p(t) = p0, betyder det, at forskydningen sker ved enstigning i s(t) jf. (4.36).

Dette giver god mening økonomisk set, da en forøgelse af pengeudbuddet medfører et faldi renten, hvilket forårsager en depreciering af valutakursen. Da den første effekt af enstigning i pengeudbuddet nu er belyst, betragtes den videre dynamik nu. Betragt figur 4.8.Bemærk at retningspilene for de lineære baner er tilsvarende dem i figur 4.7, men undladtfor overskuelighedens skyld.

Som følge af en stigning i pengeudbuddet sker en direkte bevægelse fra E0 til A. PunktetA ligger på den nye stabile lineære bane grundet antagelsen om perfect foresight, hvorefterprisen og valutakursen vil bevæge sig mod det nye ligevægtspunkt E1 langs den nye stabilelineære bane SP 2

1 .

63


Figur 4.8: Effekt af ændring i pengeudbuddet [Shone, 2002, s. 573 figur 13.13].

Det ses meget tydeligt, at perfect foresight bliver årsagen til, hvorfor økonomien efterchokket vender tilbage til ligevægten. Det vides fra afsnit 3.5.1, at den eneste måde atkonvergere mod ligevægten ved en saddelpunktsstruktur er gennem den stabile linærebane. Perfect foresight sikrer, at økonomien rammer denne stabile linære bane.

Da pengeudbuddet er steget, fås en højere ligevægtspris, da denne er direkte givet af etsæt af konstanter. Dvs. for m1 > m er p1 > p0. Grundet price stickiness vil prisen somtidligere nævnt ikke ændre sig i første omgang, og dette medfører at valutakursen skyderover den langsigtede ligevægt jf. (4.36) samt, at økonomien skal ramme den nye stabilelineære bane.

Udover at kigge på den samlede dynamik er det interessant at kigge på udviklingen af hvervariabel enkeltvis. Først betragtes udviklingen af valutakursen over tid i figur 4.9.

Figur 4.9: Ændring i valutakurs over tid.

Det ses tydeligt i figur 4.9, at valutakursen først overshooter. Dvs. kursen stiger over den

64


nye ligevægt. Efter overskydelsen vil kursen løbende gå mod den nye ligevægt s1. Detteforløb skyldes, at den indenlandske valuta først deprecierer kraftigt som direkte reaktion påstigningen i pengeudbuddet, hvorefter den igen apprecierer løbende grundet en voksenderente. Herefter ses prisens udvikling ses i figur 4.10.

Figur 4.10: Ændring i pris over tid.

Figur 4.10 illustrerer, hvordan prisen ikke ændres diskret det øjeblik ændringerne sker.Først efter valutakursens diskrete ændring, vil prisen ændre sig. Ændringerne sker somfølge af, at valutakursen er deprecieret. Denne depreciering medfører, at det bliver mereattraktivt for udlandet at købe de indlandske varer, og dermed stiger eksporten. Da der erfuld beskæftigelse, betyder dette, at priserne stiger, som effekt af at den øgede efterspørgselikke kan mødes.

Af figurerne 4.9 og 4.10 ses det, at ligevægtsværdierne ikke numerisk opnås. Dette er dogmere en matematisk betragtning end en økonomisk. Fra et økonomisk synspunkt, vil kursenog prisen på et tidspunkt være så tæt på deres ligevægtsværdier, at det ikke økonomiskkan mærkes. Så selvom de rent matematisk kun konvergerer mod ligevægten, bliver denøkonomiske betragtning, at økonomien med tiden når ligevægten.

Herefter betragtes det totale forbrug ved en stigning i pengeudbuddet:

e(t) = cy + g + h(s(t)− p(t)). (4.37)

Det første der sker ved en stigning i pengeudbuddet, at valutakursen overshooter, mensprisen forbliver uændret. Lad s1 være valutakursen i det punkt der overshootes til,eksempelvis valutakursens værdi i punktet A på figur 4.8. Da s1 > s, og prisen er uændret,resulterer dette i en stigning i det totale forbrug. Herefter begynder varemarkedet at reagerepå deprecieringen af valutaen i form af af at prisen stiger. Prisstigningen får samtidigvalutakursen til at appreciere, og denne dynamik fortsætter indtil begge er i ligevægt. Ien ligevægt er s(t) = p(t), og dette resulterer i, at det totale forbrug vender tilbage tiludgangspunktet. Udviklingen af e(t) er illustreret i 4.11.

4.2.4 Betragtninger vedrørende perfect foresightIndtil videre ses det, at systemet altid når tilbage i ligevægt ved en ændring f.eks. i form aføget pengeudbud. Dette skyldes som bekendt, at økonomien foretager en diskret ændring,som gør, at når den stabile lineære bane flyttes, følger økonomien med. Dermed befinder

65


Figur 4.11: Ændring i forbrug over tid.

økonomien sig på den nye stabile lineære bane, i samme øjeblik som ændringen sker.Grunden til at denne diskrete ændring fører økonomien over på den nye stabile lineærebane er som bekendt at der er perfect foresight på markedet, så markedet kender denstabile lineære bane og flytter dertil. Antages det derimod at der ikke er perfect foresight,kunne der opstå situationer, hvor markedet enten overvurderer eller undervurderer en givendepreciering/appreciering. Dermed sker en diskret ændring, som flytter økonomien fra enligevægt til et punkt som ikke ligger på den nye stabile lineære bane. Da det vides afafsnit 3.5.1 på side 38, at systemer med saddelpunktsligevægt kun har én stabil lineærbane, vil økonomien da ikke bevæge sig mod den nye ligevægt, men vil derimod divergere.

Betragt figur 4.12. Her foretages en forøgelse af pengemængden. Hvis der som sædvanliger perfect foresight, vil økonomien som bekendt først bevæge sig fra E0 til C og derefter optil E1. Antages det derimod, at der ikke er perfect foresight vil markedet enten over- ellerundervurdere deprecieringen. Undervurderes deprecieringen kunne økonomien f.eks. endei punkt F på figur 4.12. De lineære baner i systemet på dette tidspunkt er SP 1

1 og SP 21 . F

ligger under begge lineære baner, og økonomien vil dermed bevæge sig op og mod venstre.Prisen vil stige lige indtil købekraftparitetslinjen skæres, hvorefter prisen igen vil aftage.

Det vides også, at valutakursen må appreciere, da økonomien ligger underds1dt

= 0-linjen.

Denne bane vil da nærme sig den ustabile lineære bane SP 11 og divergere i dennes retning.

Overvurderes deprecieringen flyttes økonomien fra punkt E0 til G, når pengemængdenøges. Da økonomien ligger under købekraftparitetslinjen vil priserne stige. Valutaen vil

derimod appreciere indtil banen krydserds1dt

= 0-linjen. Når banen så ligger overds1dt

= 0-linjen, vil valutaen depreciere, mens prisen fortsat stiger. Denne bane vil også nærme sigden ustabile linære bane SP 1

1 og divergere langs denne i modsat retning af banen frapunktet F .

For yderligere at udbygge forståelsen for af vigtigheden af perfect foresight undersøgesemnet videre med et numerisk eksempel.

66


Figur 4.12: Forøgelse af pengemængden uden perfect foresight [Shone, 2002, s. 572 figur13.12].

Numerisk eksempel til underbyggelse af betragtninger vedrørende perfectforesight

I dette eksempel tages udgangspunkt i følgende økonomi:

e(t) = 0.7y + 9 + 0.1(s(t)− p(t)) dse

dt=ds

dtdp

dt= 0.1(e(t)− y) r(t) = r∗ +

dse

dt

md = p(t) + 0.6y − 0.4r(t) ms = md = 150

y = 30 r∗ = 10

Først findes ligevægtskursen. Dette gøres ved at bruge det udledte udtryk fra tidligere,altså ligning (4.14) på side 56:

ds

dt=

0.6 · 30− 150− 10 · 0.40.4

+p(t)

0.4= 2.5p(t)− 340. (4.38)

Sættes dsdt lig nul ses det at ligevægtsprisen er p = 136. Betragt derefter

dp

dt:

dp

dt= 0.1((0.7 · 30 + 9) + 0.1s(t)− 0.1p(t)− 30 = 0.01(s(t)− p(t)). (4.39)

Det ses, atdp

dter lig 0, når s(t) = p(t), og da p = 136, medfører det, at s = 136, hvilket

giver ligevægtspunktet (s, p) = (136, 136). Det antages nu, at ms øges til 180. Dermed er

67


ds

dtgivet ved:

ds

dt= 2.5p(t)− 415, (4.40)

hvilket nu giver ligevægtspunktet (s, p) = (166, 166). Nu opstilles systemet. Dette erindtegnet i figur 4.13.

Figur 4.13: Ligevægten før og efter forskydning.

På figur 4.13 ses det, at den nye ligevægt ligger i en højere pris og en højere valutakurs,

grundetds

dt= 0-linjens forskydning opad. Koefficientmatricen, A, er givet ved:

A =

[−0.01 0.01

2.5 0

]. (4.41)

Egenværdierne findes:λ1 ≈ 0.1532, λ2 ≈ −0.1632.

Herefter findes egenvektorerne:

~v1 ≈

[0.0612

1

], ~v2 ≈

[−0.0653

1

].

Dette giver jf. (4.33) på side 62 de to lineære baner:

SP 1 : p(t) ≈ 0.0612s(t) + 155.8290,

SP 2 : p(t) ≈ −0.0653s(t) + 176.8360.

Her er SP 1 den ustabile lineære bane, mens SP 2 er den stabile lineære bane.

Betragt figur 4.14. Heraf ses det hvor meget valutakursen skyder over den langsigtedeligevægt. Valutakursen foretager en diskret depreciering fra E0 til A. Valutakursen liggernu over den langsigtede ligevægt, da kursen er deprecieret fra 136 til ca. 625.6, mens denlangsigtede ligevægt er 166. Det er selvfølgelig diskutabelt, om dette er realistisk. Dog

68


skal dette eksempel senere vise, hvordan alle andre punkter end de punkter, der liggerpå den stabile lineære bane vil divergere. Til dette formål er denne ekstreme forskydninguvæsentlig.

Figur 4.14: Ligevægten før og efter forskydning.

Der er nu fundet ligevægte, samt de lineære baner. Nu introduceres fasediagrammet forafvigelserne, med det formål at vise, hvordan en vilkårlig bane, der ikke ligger på denstabile lineære bane SP 2, vil divergere.

Først findes løsningen til systemet:[p(t)− ps(t)− s

]= c1

[0.0612

1

]e0.1532t + c2

[−0.0653

1

]e−0.1632t. (4.42)

Såfremt at et punkt på den stabile lineære bane antages, er c2 = 0. Betragtes et vilkårligtpunkt, hvorom det gælder, at c2 6= 0, bliver grænseværdierne:

limt→∞

c1e0.1532t =∞,

limt→∞

c2e−0.1632t = 0.

Jf. regneregler for grænseværdier, er grænseværdien for summen af de to udtryk blot ligsummen af hver af deres grænser, dvs. ∞. Da skalering af vektorer, blot skalerer alleindgange, vil leddet indeholdende ~v1 i (4.42) vokse uendeligt, mens leddet indeholdende ~v2vil gå mod nul vektoren. Derfor gælder det, at:

limt→∞

c1

[0.0612

1

]e0.1532t + c2

[−0.0653

1

]e−0.1632t = ~0 ⇐⇒ c1 = 0. (4.43)

Af (4.43) ses, at alle baner, hvor c1 er forskellige fra nul, divergerer. Dette illustreres ifasediagrammet i figur 4.15.

For at akserne er holdt identiske i fasediagrammet er der foretaget et basisskifte, såledesat priserne er på den lodrette akse, og valutakursen er på den vandrette akse. Dette sker

69


Figur 4.15: Fasediagram, der illustrerer divergens fra ligevægt.

ved at gange med

[0 1

1 0

]fra venstre på A. Ydermere er forholdene forvrænget, således

at forholdet mellem pris- og valutakursaksen er 1:10. Figur 4.15 viser fire baner ud overde to lineære baner. Disse baner divergerer, og fra (4.42) vides det, at alle andre banerend én vil divergere. Perfect foresight er altså derfor en meget afgørende antagelse for, atmodellen når sin ligevægt efter et chok, da modellen, som det ses af figur 4.15, divergereri alle andre baner end den stabile lineære bane SP 2.

4.2.5 Parameterændringer i modellenDet er nu interessant at se på, hvordan ændringer i forskellige parametre påvirker systemet.Det er naturligt at tage udgangspunkt i de parametre der indgår direkte i systemet afdifferentialligninger. Jf. (4.29) på side 60 er disse parametre a,h og u. Det bemærkes dogførst, at en parameterændring i dette projekt ikke betragtes som et chok, men i stedet somen sammenligning mellem to forskellige økonomier og ikke en økonomi, hvor en parameterbliver ændret. Dette skyldes, at parametrene a, h og u ikke direkte kan ændres ved depolitiske tiltag, der analyseres i dette projekt. Først betragtes disse parametres påvirkning

pådp

dt= 0-linjen:

p(t) = s(t) +−(1− c)y + g

h.

Det ses, at a og u ikke har noget indvirkning på denne linje. h indgår derimod. Det ses, ath ikke har nogen indvirkning på hældningen. Det ses også, at h ville have en påvirkningpå skæringen, hvis −(1− c)y+ g 6= 0, men det er dog givet fra købekraftspariteten, at detnetop må gælde, at −(1− c)y+ g = 0. Derfor har ingen af parametrene en indvirkning på

denne linje. Betragt nuds

dt= 0-linjen.

p(t) = m+ r∗u− ky.

Det ses her, at a og h ikke indgår og dermed ikke har nogen indvirkning. Dog vil en

positiv ændring i u have en positiv ændring på skæringspunktet fords

dt-linjen, og omvendt.

70


Hældningen ses fortsat at være nul uanset ændringer i u. En ændring i denne parametervil altså have en påvirkning på ligevægtspunktet.

Da ligevægtslinjerne er analyseret ved en parameterændring, betragtes systemetsegenværdier. Disse omskrives for lettere at kunne se indvirkingen ved en ændring af enparameter [GBaardink, 2016]. Først faktorises a2h2u2 under kvadratrodstegnet, hvorefterdet trækkes ud, hvilket er muligt da a, h, u > 0:

λi =−ahu±

√a2h2u2 + 4ahu

2u

=−ahu± ahu

√1 + 4

ahu

2u

=ah

2

(−1±

√1 +

4

ahu

).

Indsættes egenværdien nu i udtrykket for egenvektorerne fås:

~vi =

ah

ah+ λi1

=

ah

ah+ ah2

(−1±

√1 + 4

ahu

)1

=

2

1±√

1+ 4ahu

1

. (4.44)

Når egenvektorerne står skrevet på denne form, kan ændringen i hældningen for de lineærebaner ved en parameterændring evalueres. Dette skyldes, at hældningen på SP i netop erførste indgang i ~vi.

Betragt først den ustabile lineære bane SP 1, og dermed egenvektoren ~v1. Først betragtesen ændring i koefficienten a. Lad a→ 0. Da ses det, at

lima→0

4

ahu=∞. (4.45)

Dermed går hele nævneren mod uendelig, og da tælleren er konstant, resulterer dette i,at SP 1’s hældning går mod nul fra højre. Dette betyder at SP 1 tilnærmer sig dermed envandret position. Lad nu i stedet a→∞:

lima→∞

2

1 +√1 + 4

ahu

=2

1 + 1= 1,

altså nærmer linjens hældning sig 1 når a→∞. Det bemærkes i øvrigt ud fra (4.44), at alletre parametre har samme indvirkning på de lineære baners hældning. Altså konkluderes,at en forøgelse af en af de tre parametre øger hældningen på SP 1 så den bliver tættere på1, mens et fald i en af parametrene sænker hældningen så den nærmer sig vandret.

Betragt nu linjen SP 2. Her gør det sig igen gældende, at parametrene hver især har sammepåvirkning på hældningen. Det ses ud fra (4.45), at nævneren i (4.44) for v2 går mod −∞,hvilket resulterer i, at hældningen for SP 2 går mod 0 fra venstre når a→ 0. Lad nu a→ 0:

lima→∞

2

1−√

1 + 4ahu

= −∞.

71


Altså går hældningen for SP 2 mod −∞ når a → ∞. Og det samme gælder som bekendtfor h og u. Ud fra dette ses altså, at en stigning i parametrene giver stejlere lineære baner ihver deres retning, mens et fald i parametrene flader de lineære baner ud. Dette betragtesift. til overshooting i figur 4.16.

Figur 4.16: Overshooting og parameterændring.

Af figur 4.16 ses, at stejlere lineære baner har den effekt, at modellen ved en ændring ipengeudbuddet overshooter mindre. Dette ses ved at sammenligne punkterne B = (sB, p0)

og C = (sC , p0). Punktet C knytter sig til den lineære bane SP 21 , mens punktet B knytter

sig til den lineære bane SP 22 . Det bemærkes, at hældningen for banen SP 2

2 er stejlereend banen SP 2

1 . Det ses tydeligt, at sB < sC , hvilket vil sige, at overshootingen ved denstejleste bane er lavest. Dette skyldes, at afstanden fra ligevægtene til skæringspunktet

mellem ligevægtslinjends

dt= 0 og den stabile lineære bane er mindre, når den stabile

lineære bane er stejl.

Da dynamikken matematisk set er på plads, betragtes de økonomiske aspekter ved enparameterændring. At en stigning i h giver stejlere lineære baner giver god meningøkonomisk, da h bestemmer betalingsbalancens løbende posters indflydelse på det totaleforbrug. Dynamikken tilbage til ligevægtstotalforbruget afhænger primært af forskellenmellem s(t) og p(t) og dermed af betalingsbalancens løbende poster. Får disse derfor størreeffekt, er det klart, at systemet hurtigere når en ligevægt, hvilket stemmer overens medstejlere lineære baner. Ligeledes betragtes parameteren a, der betegner betydningen afforskellen mellem det totale forbrug og indkomsten på prisudviklingen. Da en stigningi a får prisen til at vokse hurtigere efter en depreciering, hvorved ligevægten hurtigererammes, giver det god mening, at en stigning i a skaber stejlere lineære baner. Slutteliggiver det igen god mening økonomisk at en stigning i u medfører, at de lineære banerbliver stejlere. Dette skyldes, at u bestemmer rentens indvirkning på pengeefterspørgselen.Dette betyder, at en højere u-værdi medfører, at renten, ved en ændring i pengeudbuddet,ændrer sig mindre, hvilket er ensbetydende med en mindre overshooting og dermed stejlerelineære baner.

72


Alle betragtninger omkring en stigning i pengeudbuddet i denne sektion har været underforudsætningen, at de økonomiske agenter ikke har kendt ændringen på forhånd. Derforvil det nu belyses, hvordan de ville agere, såfremt at ændringerne blev offentliggjort forudfor den faktiske ændring.

4.3 Offentliggørelser under perfect foresightTil følgende sektion benyttes [Shone 2002, s. 576-581].

Indtil videre er der kun betragtet pengepolitikken som redskab til at påvirke økonomien.Dette er dog ikke det eneste som en nationalbank kan gøre. De har også mulighed forat bruge et mere psykologisk værktøj, hvor det egentlig kun er aktørernes forventningerpå markedet, der påvirkes. En nationalbank har muligheden for at offentliggøre, at der ifremtiden foretages en ændring af pengeudbuddet. Givet at markedsdeltagerne har perfectforesight, har de nu mulighed for at korrigere deres beslutninger med denne nye viden tageti betragtning.

4.3.1 Offentliggørelse af ændring i pengeudbuddet med ud-førelse

Antag, at en kommende stigning i pengeudbuddet offentliggøres. Denne stigning vil flytteøkonomien fra et ligevægtspunkt E0 til et nyt ligevægtspunkt E1. Markedsdeltagerneved, at på lang sigt vil stigningen i pris og stigningen i valutakursen være ens. Desudenved de, at på kort sigt vil den indenlandske valuta depreciere kraftigt i form af enovershooting, hvorefter kursen apprecierer mod det langsigtede ligevægtsniveau. Givet disseinformationer vil nogen af aktørerne på kapitalmarkedet forsøge at sælge deres finansielleaktiver og skifte til ikke-finansielle aktiver såsom fast ejendom, guld, jord osv. Derudovervil aktørerne forsøge at skifte fra indenlandske aktiver til udenlandske aktiver. Begge dissetiltag gøres for at bibeholde værdien af deres aktiver.

Nogle aktører med meget kursfølsomme aktiver vil øjeblikkeligt flytte deres aktiver, nåroffentliggørelsen finder sted. Dette resulterer i, at så snart offentliggørelsen er foretaget,vil den indenlandske valutakurs depreciere, men dog ikke så meget, som hvis den sammepolitik havde været udført uden en offentliggørelse på forhånd. Det videre forløb illustreresbedst ved brug af et fasediagram. Betragt figur 4.17:

Linjerne SP 10 og SP 2

0 er hhv. den ustabile lineære bane og den stabile lineære bane omkringligevægten E0, mens linjerne SP 1

1 og SP 21 er de tilsvarende baner for ligevægten E1. Af

figur 4.17 ses det, at økonomien diskret er flyttet fra ligevægten E0 til et punkt F somfølge af offentliggørelsen. Punktet F ligger ikke på nogen stabil lineær bane, og systemetvil derfor begynde at divergere i retning af den ustabile lineære bane SP 1

0 . Da ændringeni pengeudbuddet ikke er indtruffet endnu, har SP 2

1 ingen indflydelse på dynamikken, dadenne bane ikke eksisterer endnu.

Det er overraskende, at økonomien divergerer, da Dornbusch modellen altid ender i enligevægt på lang sigt. Perfect foresight bliver igen den afgørende faktor for at nå ligevægten.Givet perfect foresight vil økonomien ramme banen SP 2

1 præcis på det tidspunkt, hvor det

73


Figur 4.17: s(t)-p(t)-plot ved offentliggørelse [Shone, 2002, s. 577 figur 13.16].

var offentliggjort at pengeudbuddet blev hævet. I det øjeblik, hvor politikken træder i kraft,vil banerne SP 1

1 og SP 21 nu bestemme dynamikken for systemet. Dermed har økonomien

ramt den stabile linære bane SP 21 og vil konvergere mod det nye ligevægtspunkt E1.

Dette er ligeledes illustreret i figur 4.17. For yderligere at betragte dynamikken ved enoffentliggørelse med udførelse foretages nu et numerisk eksempel.

Numerisk eksempel på offentliggørelse med udførelse

Et givent lands økonomi hænger sammen på følgende måde:

e(t) = 0.8y + 4 + 0.0085(s(t)− p(t)) md = ms = 100

dp

dt= 0.125(e(t)− y) r(t) = 10 +

dse

dt

md = p(t) + 0.5y − 0.4r(t)dse

dt=ds

dt

Det antages, at systemet starter med at være i ligevægten (s, p) = (100, 100), og atkøbekraftspariteten holder for et givent y. Fra ligning (4.29) på side 60 gælder, at detteresulterer i følgende dynamiske system:[

dpdtdsdt

]=

[−0.0010625 0.0010625

2.5 0

][p(t)− 100

s(t)− 100

].

Herefter findes systemets egenværdier:

λ1 ≈ 0.0510, λ2 ≈ −0.05207.

Jf. ligning (4.31) på side 61 bliver egenvektorerne:

~v1 ≈

[0.0204

1

], ~v2 ≈

[−0.0208

1

].

74


Derudover er det vha. egenværdierne muligt at opskrive to ligninger for sammenhængenmellem s(t) og p(t) jf. (4.33) på side 62:

SP 10 : p(t) ≈ 0.0204s(t) + 97.9596,

SP 20 : p(t) ≈ −0.0208s(t) + 102.0829,

hvor SP 10 er en ustabil lineær bane, mens SP 2

0 er en stabil lineær bane. Nu antages detat nationalbanken planlægger at lave en stigning i pengeudbuddet fra 100 til 105. Jf.ligning (4.18) på side 57 vides det, at ligevægtskursen ændres med præcis det samme, sompengeudbuddet ændres. Derfor stiger både s og p til 105. Denne ændring vil altså på langsigt flytte økonomien til punktet (s, p) = (105, 105). For at kunne forudsige vejen til dettepunkt på kort sigt kræver det, at de to lineære baner, der udgør saddelpunktet omkring(105, 105), igen udregnes:

SP 11 : p(t) ≈ 0.0204s(t) + 102.8576,

SP 21 : p(t) ≈ −0.0208s(t) + 107.1871.

Nationalbanken har nu flere muligheder for at nå punktet (105, 105). Den kan vælge atlave ændringen uden offentliggørelse eller offentliggøre at ændringen bliver foretaget. Denførste valgmulighed betragtes. Vælges denne vil der ske en kraftig depreciering af denindenlandske valuta ud til et punkt på linjen SP 2

1 , der er den stabile lineære bane forsaddelpunktet omkring (105, 105). Hvor denne præcis rammer udregnes nu:

−0.0208s(t) + 107.1871 = 100 ⇐⇒ s(t) ≈ 345.0485.

Så uden offentliggørelse vil økonomien altså først gå fra punktet (100, 100) til(345.0485, 100), hvorefter økonomien følger den stabile linære bane SP 2

1 op til (105, 105),hvilket stemmer overens med forrige afsnit. Herefter betragtes den anden mulighed, hvornationalbanken først offentliggører, at den vil lave en stigning i pengeudbuddet til etgivent tidspunkt. Forløbet bliver da væsentligt anderledes. Som tidligere beskrevet vil nogleaktører øjeblikkeligt efter en offentliggørelse udskifte deres indlandske finansielle aktivermed ikke-finansielle aktiver eller udenlandske finansielle aktiver.

Antag nu at den umiddelbare udskiftning ved offentliggørelsen forskyder økonomien tilpunktet (130, 100). Offentliggørelsen kan betragtes som et chok, der skubber økonomienvæk fra ligevægten og får den til at divergere. Som tidligere beskrevet vil økonomienramme den stabile lineære bane SP 2

1 præcis i det øjeblik, hvor det blev offentliggjort,at pengeudbuddet vil blive hævet. Dermed konvergerer systemet herfra mod ligevægtenlangs den stabile linære bane, SP 2

1 . Dette forløb blev illustreret i figur 4.17.

Det er tydeligt, at det har stor indflydelse på udviklingen af prisen og valutakursen, omnationalbanken vælger at offentliggøre en given ændring inden den sker. For at tydeliggøredet præcise forløb for dette eksempel med og uden offentliggørelse, opstilles et t-s(t)-ploti figur 4.18 og t-p(t)-plot i 4.19.

75


Figur 4.18: t-s(t)-plot for offentliggørelse [Shone, 2002, s. 579 figur 13.19].

Af venstre graf i figur 4.18 ses det tydeligt at kursens udvikling ved en offentliggørelseadskiller sig væsentlig fra forløbet af en stigning i pengeudbuddet uden offentliggørelse.Valutakursen starter med depreciere fra det punkt, som offentliggørelsen flyttedeøkonomien hen til. Dette sker indtil pengeudbuddet hæves, og den stabile lineære bane SP 2

1

følges. Det ses meget tydeligt, at når SP 21 rammes, begynder den indenlandske valuta at

appreciere og konvergere mod ligevægtskursen s1 = 105. Det er nu muligt at sammenlignevalutakursens udvikling med og uden en offentliggørelse. Disse to forløb ses i plottet ihøjre del af figur 4.18. Af dette plot ses, at deprecieringen, når nationalbanken laver enoffentliggørelse, er væsentlig mindre end uden en offentliggørelse. Dette skyldes, at denkraftige og øjeblikkelige depreciering undgås, da aktørerne har mulighed for at regulerederes aktiver på baggrund af offentliggørelsen, og derved udskifter deres aktiver løbende.Matematisk set, skyldes det, at den stabile lineære bane SP 2

1 rammes ved en højere prisgrundet divergeringen i retning af SP 1

0 , hvilket resulterer i en lavere kurs.

Tidsmæssigt er det bemærkelsesværdigt, at det ved en offentliggørelse samlet set tagerlængere tid at nå ligevægten end uden offentliggørelse. Dette skyldes, at vejen langs SP 1

0

er tidskrævende sammenlignet med den stabile vej på den linære bane SP 21 . Dette skyldes,

at systemet udvikler sig med aftagende hastighed, når ligevægten nærmes. Dette forklarerogså, hvorfor kursen uden offentliggørelse apprecierer meget hastigt lige efter den diskretedepreciering. Udviklingen af prisen ved en offentliggørelse betragtes nu i figur 4.19.

Figur 4.19: t-p(t)-plot for offentliggørelse [Shone, 2002, s. 579 figur 13.19].

Af venstre graf i figur 4.19 ses det, at prisen ved en offentliggørelse er stigende gennem heleudviklingen hen til ligevægten. Det er dog tydeligt, at der hvor den stabile lineære banerammes ændres væksthastigheden væsentligt og bliver derefter mere aftagende, jo tættere

76


prisen kommer på ligevægtsprisen. Sammenlignes prisudviklingen ved offentliggørelse ogprisudviklingen uden offentliggørelse ses det tydeligt, at prisen vokser senere, men meden større vækstrate end uden offentliggørelse. Dette skyldes, at prisen ved offentliggørelsestiger i hele tidsperioden, indtil den stabile lineære bane rammes, hvorimod prisen udenoffentliggørelse starter med at stige senere og længere væk fra ligevægten. Tidsperioden erligeledes længere ved en offentliggørelse end uden offentliggørelse, da prisen udvikler sighurtigere, jo længere fra ligevægtsprisen den er.

Af figur 4.18 og figur 4.19 er det tydeligt at se, hvad de potentielle økonomiske fordelekan være ved, at en given nationalbank offentliggør sine planer omkring pengepolitik. Enoffentliggørelse vil resultere i, at kursen deprecierer mindre på kort sigt, og at prisen stigermere jævnt. Befolkningen i givent land vil altså mærke den førte politik i mindre grad, nården på forhånd offentliggøres, da kapitalmarkedet igangsætter en tilpasningsperiode vedoffentliggørelsen. En ulempe ved at offentliggøre ændringer i pengeudbuddet er, at der gårlængere tid inden økonomien igen ender i ligevægt. Hvis en nationalbank har et mål om atnå en given pris og kurs indenfor en bestemt tidsperiode, er det ikke sikkert, at de kan nåat lave en offentliggørelse tilstrækkelig tid i forvejen. At foretage en offentliggørelse kræveraltså mere planlægning end blot at udføre politikken uden offentliggørelse.

4.3.2 Minimumsdepreciering ved offentliggørelseFra forrige eksempel var det bemærkelsesværdigt, at det kunne mindskes, hvor megetkursen skød over ligevægtsniveauet ved at foretage en offentliggørelse. Et tilbageliggendespørgsmål er derfor, hvor meget det er muligt at mindske overskydningen. For at undersøgedette betragtes figur 4.20.

Figur 4.20: Minimumsdepreciering.

Ud fra figur 4.20 er det tydeligt at se, at valutaen som minimum vil depreciere til denkurs, der er svarende til s(t)-værdien i punktet D, kaldet sD, der er skæringspunktetmellem SP 1

0 og SP 21 . Dette skyldes, at ligegyldigt hvor tidligt der sker en offentliggørelse,

77


vil denne altid flytte økonomien til et punkt under den ustabile lineære bane SP 10 . Set

ud fra differentialligningssystemet, betyder det, at systemet vil bevæge sig ud på en bane,der grænser mod den ustabile lineære bane SP 1

0 for t → ∞. Dog er det ikke muligt, atbevæge sig præcist ud på banen, men det er matematisk set muligt at komme uendeligttæt på. Betragt s(t)-værdierne i intervallet af I = (sD;∞). Da mængden I er ikke-tomog nedadtil begrænset har denne et infimum. Det er tydeligt at se, at inf I = sD. I dettidligere numeriske eksempel er infimum for denne mængde af s(t)-værdier følgende:

0.02040s(t) + 97.9596 = −0.0208s(t) + 107.1871

msD ≈ 223.9684.

Det ses, at kursen altid vil depreciere mere end 223.9684 i det tidligere numeriskeeksempel på offentliggørelse med udførelse. Denne information er interessant, da detviser, at det ikke altid er en god ide for en given nationalbank at offentliggøre enønsket politik endnu tidligere, da effekten af dette muligvis blot bliver en længeretilpasningsperiode. Overvejelserne bag en offentliggørelse indebærer altså et trade offmellem tilpasningsperioden og størrelsen af deprecieringen.

4.3.3 Offentliggørelse og parameterændringerDa effekten af en offentliggørelse og minimumsdeprecieringen ved denne er belyst, betragtesnu effekten af parameterændringer på dynamikken ved en offentliggørelse. I sektion 4.2.5på side 70 blev det belyst, at ved at ændre på parametrene a, h og u kunne hældningen påde lineære baner ændres. Det viste sig, at jo stejlere de lineære baner blev, jo mindre blevovershootingen. Da en stigning i a, h og u havde effekt med samme fortegn på hældningen afde linære baner betragtes kun forskellige værdier af h for at belyse parameterændringensbetydning for en offentliggørelse, da en ændring i a og u ville give en lignende effekt.Effekten af en ændring i h betragtes i figur 4.21.

Figur 4.21: t-s(t) og t-p(t)-plot for forskellige h-værdier.

I figur 4.21 er der fortsat betragtet økonomien for eksemplet tidligere i denne sektion. Denvenstre graf i figuren viser kursudviklingen ved offentliggørelse ved tre forskellige h-værdier.Alle forløb starter i en kurs på 130 som følge af offentliggørelsen. Det er tydeligt at se, atjo højere h-værdien er, jo mindre overshooter kursen. Dette skyldes, at en højere h-værdigør de lineære baner stejlere, hvilket gør, at den stabile lineære bane rammes ved en laveres(t)-værdi, efter økonomien begynder at divergere. Dette bekræftes ved, at betragte det

78


modsatte tilfælde, hvor en lavere h-værdi fører til en stor overshooting. Dette skyldes, atde stabile baner er blevet fladere, hvilket gør, at økonomien rammer den lineære stabilebane ved en højere s(t)-værdi. Ligeledes er det tydeligt at se, at en højere h-værdi giveren hurtigere opnåelse af ligevægten, mens en lavere h-værdi forlænger vejen mod ligevægt.

I højre graf i figur 4.21 betragtes prisudviklinger ved forskellige h-værdier. For priserne erdet kun det tidsmæssige aspekt, der ændres. Jo højere h-værdien er, jo hurtigere rammerprisen ligevægtsprisen. Dette skyldes igen, at en større h-værdi skaber en stejlere stabillineær bane og dermed en hurtigere vej mod ligevægtsprisen. Igen ses det modsatte tilfælde,at en lav h-værdi skaber en lang tilpasning mod ligevægten.

For både prisen og valutakursen er det bemærkelsesværdigt, at selvom forløbene vedforskellige h-værdier tydeligvis adskiller sig væsentligt fra hinanden, slutter alle forløb iden samme ligevægt. Det er altså kun tilpasningen mod ligevægten, der ændres og ikkeselve ligevægten.

Ved at sammenkoble tankerne bag minimumsdepreciering og parameterændring er detmatematisk muligt, at opstille et tilfælde, hvor en offentliggjort ændring i pengeudbuddetnæsten ikke forårsager en overshooting i valutakursen. Hvis den ustabile lineære bane i detoprindelige ligevægtspunkt, har en hældning, der er meget tæt på 1, vil denne blive tæt påparallel med linjen for købekraftspariteten. Hvis der i dette tilfælde laves en meget tidligoffentliggørelse, kan der opnås en minimal overshooting. Dette tilfælde er dog økonomiskuinteressant, da det kræver urealistisk store parameterværdier, og bliver derfor ikke belystyderligere.

4.3.4 Offentliggørelse af ændring i pengeudbuddet uden ud-førelse

Det er interessant at betragte dynamikken, hvis der laves en offentliggørelse uden atdenne udføres. For at se hvilke konsekvenser dette har, antages det derfor igen, atdet offentliggøres, at pengeudbuddet bliver forøget. Økonomien vil da bevæge sig påsamme måde som tidligere indtil punktet G på figur 4.22 nås. Da det er offentliggjortat pengemængden bliver forøget, forventes den stabile lineære bane at blive forskudt fraSP 2

0 til SP 21 , og G ligger derfor på SP 2

1 . Når økonomien rammer punktet G, opdageraktørerne på kapitalmarkedet, at der ikke bliver udført en ændring alligevel, og dermed erden stabile lineære bane ikke blevet forskudt til SP 2

1 alligevel. Grundet perfect foresightbliver økonomien øjeblikkeligt flyttet tilbage på den oprindelige stabile lineære bane, SP 2

0 ,og havner derfor i punktetH. Da SP 2

0 er en stabil lineær bane gennem saddelpunktet E0, viløkonomien bevæge sig ned langs banen, indtil økonomien igen er tilbage i ligevægtspunktetE0. Af figur 4.22 ses det at variationen i prisen er forholdsvis lille, hvorimod variationen ivalutaen er stor. Det ses at prisen stiger indtil det tidspunkt den offentliggjorte forøgelseaf pengemængden skulle træde i kraft, men ikke udføres alligevel. Herefter bevæger prisensig tilbage til sin tidligere ligevægtsværdi. Valutaen deprecierer også umiddelbart efteroffentliggørelsen, indtil det indses, at pengeudbuddet ikke forøges, hvorefter den apprecierertil en lavere værdi end ligevægtskursen. Herefter deprecierer den igen, og konvergerer modden forhenværende ligevægt. Derved ender økonomien tilbage i den originale ligevægt E0.

For yderligere at illustrere dynamikken, betragtes et numerisk eksempel, med udgangs-

79


Figur 4.22: Offentliggørelse uden udførelse [Shone, 2002, s. 581 figur 13.20].

punkt i tidligere eksempel. Antag derfor at det givne lands økonomi hænger sammen påsamme måde:

e(t) = 0.8y + 4 + 0.0085(s(t)− p(t)) md = ms = 100

dp

dt= 0.125(e(t)− y) r(t) = 10 +

dse

dt

md = p(t) + 0.5y − 0.4r(t)dse

dt=ds

dt.

Økonomien starter igen i ligevægten (s, p) = (100, 100), og har samme dynamiske systemsom tidligere med samme egenværdier og egenvektorer. Dette betyder at de lineære banerhar samme foreskrift som tidligere:

SP 10 : p(t) ≈ 0.0204s(t) + 97.9596,

SP 20 : p(t) ≈ −0.0208s(t) + 102.0829, (4.46)

hvor SP 10 igen er den ustabile lineære bane, mens SP 2

0 er den stabile lineære bane. Detoffentliggøres at det planlægges at hæve pengeudbuddet fra 100 til 105. Jf ligning (4.18)på side 57 medfører det at både s og p også stiger til 105 i den nye ligevægt. De to lineærebaner der udgør saddelpunktet omkring den nye ligevægt er givet ved samme foreskriftersom før:

SP 11 : p(t) ≈ 0.0204s(t) + 102.8576,

SP 21 : p(t) ≈ −0.0208s(t) + 107.1871.

Antag at offentliggørelsen igen forskyder økonomien til punktet (130, 100). Her begynderpunktet at divergere i retningen af den ustabile lineære bane SP 1

0 , indtil økonomien nårpunktet G i (224.04, 102.47). I punktet G indses det at pengemængden ikke hæves alligevel,og økonomien forskydes derfor til punktet H, som ligger på den stabile lineære bane SP 2

0 .

80


H har samme prisniveau som G, men en anden valutakurs. For at finde valutakursenindsættes prisen i (4.46) på side 80 og s(t) isoleres:

102.47 ≈ −0.0208s(t) + 102.0829 ⇐⇒ s(t) ≈ −18.6106,

altså ligger H i (−18.6106, 102.47). Bemærk at selvom valutakursen i dette tilfælde ernegativ, hvilket er umuligt, er valutakursens dynamik ved en offentliggørelse uden udførelsestadig illustreret i eksemplet. Den negative kurs skyldes, at tallene i det numeriske eksempeler valgt med fokus på at illustrere dynamikken, og ikke med fokus på at holde eksempletrealistisk. IH er økonomien igen på en stabil lineær bane, og økonomien bevæger sig da modden forhenværende ligevægt (100, 100). Det samlede forløb af både prisen og valutakursener illustreret på figur 4.23, hvor prisens udvikling ses til venstre, og valutakursens udviklingtil højre.

Figur 4.23: t-p(t)-plot og t-s(t)-plot for offentliggørelse uden udførelse [Shone, 2002, s. 582figur 13.21].

Effekten af offentliggørelse afhænger altså af om offentliggørelsen bliver udført eller ej.Udføres det offentliggjorte ikke, resulterer det i en midlertidig variation af prisen ogvalutaen, hvoraf valutakursen i denne tidsperiode er meget volatil.

4.4 Dornbusch modellen med indkomstændringerFølgende sektion er baseret på [Shone 2002, s. 582-586].

Teorien fra de forrige afsnit muliggør en analyse af, hvilke implikationer en ændring ivelstand og indkomst medfører. Ændringen i indkomsten tilføjes til modellen ved at læggeet led fxp, f > 0, til det totale forbrug. Her repræsenterer xp ændringen i indkomst, og fer en positiv koefficient, som bestemmer, hvor stor betydning ændringen har på forbruget.Funktionen for det totale forbrug ser derfor således ud:

e(t) = cy + g + h(s(t)− p(t)) + fxp. (4.47)

Udover en ændring i forbrug skaber ændringen i indkomst også en ændring i efterspørgslenefter penge. Dette kommer til udtryk på en tilsvarende måde, ved at lægge et led jx, j > 0,

til ligningen for pengeefterspørgsel. Det antages derudover, at det indenlandske prisniveau,Q(t), er et vægtet gennemsnit af prisen på indenlandske varer, P (t), og prisen på varerimporteret fra udlandet i indenlandsk valuta, S(t)P ∗. Prisniveauet kan derved udtrykkes:

Q(t) = P (t)α(S(t)P ∗)1−α, 0 < α < 1.

81


α betegner dermed, hvor stor vægt indenlandsk producerede varer har ifht. prisniveauet.Sættes P ∗ = 1, sådan at de indenlandske priser er indekseret ud fra de udlandske, kan P ∗

undlades i udtrykket. Tages den naturlige logaritme på udtrykket fås nu:

q(t) = αp(t) + (1− α)s(t). (4.48)

Erstattes prisen på indenlandske varer nu med det indenlandske prisniveau i pengeefter-spørgslen fås:

md = q(t) + ky − ur(t) + jx. (4.49)

Perfect foresight antages fortsat. Dvs. atds

dt

e

=ds

dt. Dermed er renten givet ved r(t) =

r∗ +ds

dt. Indsættes renten samt ligning (4.48) i ligning (4.49) fås:

m = αp(t) + (1− α)s(t) + ky − u(r∗ +

ds

dt

)+ jx (4.50)

mds

dt=α

up(t) +

1− αu

s(t) +ky + jx−m

u− r∗. (4.51)

Ligningen for prisændringen er stadig givet veddp

dt= a(e(t)− y), og er dermed jf. ligning

(4.47) givet ved:

dp

dt= −ahp(t) + ahs(t) + a [(c− 1)y + g + fxp] . (4.52)

Ligevægtsprisen og ligevægtsvalutakursen, p og s, for de to differentialligninger er deværdier for p(t) og s(t), hvor ændringsraterne er lig nul. Dvs:

dp

dt= 0 = −ahp+ ahs+ a [(c− 1)y + g + fxp] ,

ds

dt= 0 =

α

up+

1− αu

s+ky + jx−m

u− r∗.

(4.53)

Da (4.53) er lig nul, kan disse ligevægter trækkes fra systemet, hvilket giver ændringsraternesom funktion af afvigelsen fra ligevægten. Først betragtes prisændringsraten:

dp

dt= −ahp(t) + ahs(t) + a [(c− 1)y + g + fxp]− (−ahp+ ahs+ a [(c− 1)y + g + fxp])

= −ah(p(t)− p) + ah(s(t)− s).

Når denne differentialligning betragtes i forhold til afvigelsen fra ligevægten, bemærkesdet, at den er magen til differentialligningen for prisændringer i afsnit 4.2.2. Nu betragteskursændringen:

ds

dt=α

up(t) +

1− αu

s(t) +ky + jx−m

u− r∗ −

(α

up+

1− αu

s+ky + jx−m

u− r∗

)=α

u(p(t)− p) + 1− α

u(s(t)− s).

Dette system af differentialligninger kan skrives med matrix notation således:[dpdtdsdt

]=

[−ah ahαu

1−αu

][p(t)− ps(t)− s

]. (4.54)

82


Det ses at systemet er lineært og homogent, hvilket mulliggør brug af fasediagrammer.

Betingelserne for en ligevægt, altså hvordp

dt=

ds

dt= 0, er kendt fra systemet (4.53).

Ligevægtsværdierne findes ved at løse (4.53) for p og s. Dette gøres ved at skrive systemetstotalmatrix op og rækkereducere:−ah ah −a [(c− 1)y + g + fxp]

α

u

1− αu

−(ky + jx−m

u− r∗

)

∼

1 0

(−y + g − αg + αy + cy + fxp − αcy − αfxp

h+m− jx− ky + ur∗

)0 1

(−αg + αy − αcy − αfxp

h+m− jx− ky + ur∗

) .

Disse udtryk for ligevægtspris og -kurs omskrives til:

p = m−((1− α)(1− c)

h+ k

)y +

(1− α)(g + fxp)

h+ ur∗ − jx, (4.55)

s = m+

(α(1− c)

h− k)y − α(fxp + g)

h+ ur∗ − jx. (4.56)

For yderligere at tydeliggøre effekten af en indkomstændring betragtes ligevægtslinjerne.

Dvs. de linjer, hvor hhv.dp

dt= 0 og

ds

dt= 0. Disse linjer findes ved at sætte (4.51) og (4.52)

lig nul og isolere p(t).dp

dt= 0-linjen, er da givet ved:

0 = −ahp(t) + ahs(t) + a [(c− 1)y + g + fxp]

m

p(t) = s(t) +(c− 1)y + g + fxp

h, (4.57)

mensds

dt= 0-linjen er givet ved:

0 =α

up(t) +

1− αu

s(t) +ky + jx−m

u− r∗

m

p(t) = −1− αα

s(t) +m− jx− ky + ur∗

α. (4.58)

Det ses, atdp

dt= 0-linjen stadig er en 45 graders linje, selv med en indkomstændring

indregnet. Bemærk, at købekraftspariteten stadig gør sig gældende i (4.57), når fxp = 0,

da udtrykket da er helt magen til (4.16) på side 57.ds

dt= 0-linjen er der dog sket en større

ændring ved. Hvor denne før var vandret, har linjen nu fået en hældning på −1− αα

.Da 0 < α < 1 er hældningen negativ. Det ses også, at jo mindre α er, jo stejlere bliverhældningen. Dvs. hvis import har meget lav indflydelse på prisniveauet, vil kurven være

næsten vandret. Sættes α = 1 og jx = 0 så er (4.58) magen tilds

dt= 0-linjen fra de forrige

afsnit med perfect foresight.

83


Med henblik på at opstille et fasediagram for systemet, betragtes nu koefficientmatricensdeterminant: ∣∣∣∣∣−ah ah

αu

1−αu

∣∣∣∣∣ = −ahu .Da både a, h og u er postive må determinanten være negativ. Dette betyder jf. sætning 3.5på side 48 at ligevægten må være et saddelpunkt. Nu findes systemets egenværdier:∣∣∣∣∣−ah− λ ah

αu

1−αu − λ

∣∣∣∣∣ = uλ2 + (ahu+ α− 1)λ− ah = 0 (4.59)

m

λ =(−ahu+ 1− α±

√(ahu+ α− 1)2 + 4ahu

) 1

2u.

Nu mangles blot systemets egenvektorer, som findes ved:[−ah− λ ah

αu

1−αu − λ

]~v = 0.

Matricen rækkereduceres:[−ah− λ ah

αu

1−αu − λ

]∼

[1 ah

−ah−λαu

1−αu − λ

]∼

[1 ah

−ah−λ0 1−α

u − λ−(αu

ah−ah−λ

)] .Betragt den anden indgang i anden række. Skrives leddene i dette op på fælles brøkstregfås:

(1− α)(−ah− λ)− αah− (−ahu− uλ)λ−ahu− uλ

.

Dette omskrives tiluλ2 + (ahu+ α− 1)λ− ah

ahu− uλ.

Tælleren i dette udtryk genkendes fra (4.59), og dermed bliver udtrykket 0. Det vil sige,at: [

1 ah−ah−λ

0 0

]~v = 0.

Herfra udledes at egenvektorerne har formen:

~vi =

[ah

ah+λi

1

], i ∈ {1, 2}.

Der er nu fundet tilstrækkelig information til, at opstille ligninger for systemets lineærebaner i faseplanen. Det bemærkes inden de lineære baner opstilles, at egenværdier ogegenvektorer ikke er fundet for et system af p(t) og s(t), men snarere af p(t)−p og s(t)−s.Det betyder, at de lineære baner, læst ud fra egenvektoren, bliver på formen:

(p(t)− p) = ah

ah+ λi(s(t)− s)

m

p(t) =ah

ah+ λis(t)− ah

ah+ λis+ p. (4.60)

84


λ1 og λ2 har forskellige fortegn, og kan derfor gøre stor forskel på de to baners skæringermed p(t) aksen samt banernes hældninger.

Lad λ1 være den positive egenværdi og λ2 den negative. Den fuldstændige løsning tilsystemet bliver da: [

p(t)− ps(t)− s

]= c1

[ah

ah+λ1

1

]eλ1t + c2

[ah

ah+λ2

1

]eλ2t.

4.4.1 Dynamikken ved en indkomstændringDynamikken ved en ændring i indkomsten betragtes nu ud fra systemet i ligning(4.54). Systemet ses skitseret i figur 4.24. Det er givet ved koefficientmatricens negative

Figur 4.24: Fasediagram for system i ligning (4.54). [Shone 2002, s. 584 figur 13.22]

determinant, at den ene lineære bane er stabil, mens den anden er ustabil. Den stabile baneer den, som er associeret med den negative egenværdi, det vil altså være den lineære banesom også har negativ hældning der er stabil, SP 2 i figur 4.24. Banen associeret med denpositive egenværdi er derimod ustabil og kaldet SP 1. Det er i øvrigt givet, at de lineærebaner skærer hinanden i punktet (s, p), da det er i dette punkt, at følgende gælder:[

p(t)− ps(t)− s

]= ~0.

Dvs. punktet E i figur 4.24. I figur 4.24 befinder økonomien sig i stilstand i ligevægten.Sker der nu et større fald i den samlede indkomst, vil dette i modellen repræsenteres veden ændring i xp fra 0 til en negativ værdi. Betragtes figur 4.25 forskyder ændringen i

xp,dp0dt

= 0-linjen nedad tildp1dt

= 0. For at se denne forskydning betragt da ligning(4.47). Falder fxp-leddet, medfører det, at for et fastholdt s(t), er p(t) nu lavere, såledese(t) forbliver uændret. Den sænkede indkomst fører til et fald i pengeefterspørgslenrepræsenteret ved et fald i x fra 0 til en negativ værdi. Dette fører til en forskydning

85


opad afds0dt

= 0-linjen tilds1dt

= 0. For at seds0dt

= 0-linjen forskydes opad, betragt daligning (4.50). Falder jx-leddet, medfører det, at til samme s(t) er p(t) højere, såledesat m er uændret. På figur 4.25 er retningspilene undladt for overskuelighedens skyld.Retningspilene er dog ikke ændret fra figur 4.24, men er blot forskudt.

Figur 4.25: Indkomstændring - undershooting [Shone, 2002, s. 585 figur 13.23].

Grundet price stickiness ændrer priserne sig ikke med det samme, men da kapitalmarkedettilpasser valutakursen øjeblikkeligt, vil økonomien først bevæge sig fra punkt E0 til C,og valutakursen er da deprecieret fra s0 til sC . Økonomien befinder sig altså igen på enstabil bane, nu SP 2

1 . Faldet i indkomst medfører en sænkning af forbruget. Dette skaber etudbudsoverskud, da efterspørgslen pludselig falder. Dette lægger pres på prisen til løbendeat falde ned til en ny ligevægt i punktet E1. Her er prisen faldet til p1 og valutakursen blivers1. I dette tilfælde fremgår det tydeligt, at valutaen ikke skyder over ligevægten. Detteskyldes, at påvirkningen på varemarkedet er for stor i forhold til den på kapitalmarkedet.Hvis påvirkningen på kapitalmarkedet havde været større i forhold til påvirkningen påvaremarkedet kunne valutakursen have skudt over.

Grunden til at modellerne i de forrige afsnit altid vil skyde over den langsigtede ligevægt, erfordi købekraftspariteten ikke ændres, når økonomien udsættes for et chok. I denne model

forskydesdp

dt= 0-linjen ved en ændring i indkomst. Forskydes denne tilstrækkeligt, vil den

indledende diskrete ændring i valutakursen ikke overskyde den langsigtede ligevægt.

Da undershooting mekanismen er ret interessant, og ikke kunne forekomme i de forrigeafsnit, vises dynamikken fra eksemplet i figur 4.25 også vha. figurer, der viser udviklingover tid. Først betragtes valutakursens udvikling over tid på, se venstre side af figur 4.26.

Tiden t0 er det tidspunkt, hvor indkomstændringen sker. Her sker en diskret deprecieringaf valutaen, som flytter økonomien hen på den stabile lineære bane SP 2

1 . Den diskretedepreciering fører i dette tilfælde til en valutakurs som er lavere end den langsigtedeligevægtskurs. For t > t0 bevæger kursen sig mod den nye ligevægt s1. Prisen ændres

86


imidlertid ikke i første omgang, da priserne er antaget “sticky”. De falder dog løbende overtid, mod den nye ligevægt. Dette ses til højre på figur 4.26.

Figur 4.26: Valutakurs og pris ved undershooting.

Figur 4.27 viser et eksempel, hvor kapitalmarkedet påvirkes mere i forhold til varemarkedet,således at valuaen i første omgang overshooter. På figur 4.27 er retningspilene undladt foroverskuelighedens skyld. Retningspilene er dog ikke ændret fra figur 4.24, men er blotforskudt.

Figur 4.27: Indkomstændring - overshooting [Shone, 2002, s. 586 figur 13.24].

Dette er igen et eksempel på et pludselig fald i indkomsten. Efter indkomsten falder,flyttes økonomien fra punkt E0 til C. Der sker altså en depreciering af valutaen. I det hertilfælde, hvor kapitalmarkedet er meget påvirket, medfører faldet i indkomst et markant

fald i renten grundet faldet i efterspørgslen efter penge. Da r(t) = r∗+ds

dt

e

stadig skal gælde

87


må valutakursen nødvendigvis appreciere igen, da den udenlandske rente er exogen. Detteflytter økonomien opad langs SP 2

1 til punktet E1. Valutakursen deprecierer altså først ogskyder over den langsigtede ligevægt, for så at appreciere til ligevægten. Valutakursen erdog stadig samlet set deprecieret efter faldet i indkomst. Det er dog bemærkelsesværdigt,at et fald i xp medfører en prisstigning. Dette skyldes, at den lavere rente skaber endepreciering. Denne depreciering er i dette tilfælde så stor, at den øgede efterspørgsel fraudlandet og dermed stigningen i betalingsbalancens løbende poster opvejer det negativexp-led.

4.4.2 Offentliggørelse og indkomstændringForrige afsnit gennemgik, hvordan en økonomi reagerer på en uforudset ændring iindkomst. I dette afsnit forbindes teorien om offentliggørelse og Dornbusch modellenmed permanente indkomstændringer. Problemstillingen som betragtes i dette afsnit eraltså, hvilken påvirkning det vil have, hvis en given indkomstændring bliver kendt påforhånd, hvor forventningerne påvirkes anderledes end, hvis indkomstændringen skerpludseligt og overraskende. Der tages altså udgangspunkt i en økonomi i ligevægt, hvorkøbekraftspariteten stadig er opfyldt, da xp og x stadig er nul. Det antages i dette tilfælde,at indkomsten stiger.

Først betragtes udviklingen, hvis indkomstændringen ikke er kendt for markedet påforhånd. Dette er illustreret på figur 4.28. Det bemærkes, at retningsvektorerne er undladtpå figur 4.28 og 4.29 for overskuelighedens skyld. Først forskydes SP 2

0 ned til SP 21 ,

da stigningen i indkomst forskyder skæringen med p(t) aksen ned. Da der er perfectforesight, og valutaen tilpasser sig øjeblikkeligt befinder økonomien sig nu i C på figur 4.28.Valutakursen er altså apprecieret meget og er altså skudt over den langsigtede ligevægt.Prisen er derimod stadig uændret grundet price stickiness. Økonomien følger nu den stabilelineære bane fra punktet C mod den nye ligevægt i punktet E1, mens varemarkedet tilpassersig.

Figur 4.28: Uforudset indkomstændring. [Shone 2002, s. 586 figur 13.24]

Nu betragtes udviklingen, hvis indkomststigningen er forudset af markedet. Det antages, at

88


ændringen forudses i meget god tid. Der sker derfor en diskret appreciering fra punkt (s, p),svarende til E0 på figur 4.29 til punktet F på samme figur. Her er prisen stadig uændretifht. ligevægten. Dette sker imidlertid inden indkomsten ændrer sig, hvilket vil sige delineære baner ikke er forskudt endnu. Derfor befinder økonomien sig nu på en ustabilbane. Da økonomien befinder sig over SP 1

0 og til venstre for SP 20 vil banen bevæge sig

nedad og mod venstre, grundet dynamikken i systemer med saddelpunktsligevægt. Dettevar også illustreret i figur 4.24. Det vil sige, at valutaen apprecierer, mens prisen falder.Dette sker dynamisk. Denne udvikling stemmer overens med forventningen om at aktørernekøber op i indenlandske aktiver. Prisen presses ned, da den faldende valutakurs sænker dettotale forbrug ned under indkomsten. Denne udvikling fortsætter indtil indkomststigningenforekommer. I det øjeblik flyttes den stabile lineære bane fra SP 2

0 til SP 21 . Dette sker på

samme tidspunkt, som den ustabile bane, økonomien befinder sig på, rammer SP 21 .

Figur 4.29: Forudset indkomstændring [Shone, 2002, s. 587 figur 13.25].

Økonomien befinder sig nu i punktet C på figur 4.29. Dette punkt ligger på den stabilelineære bane SP 2

1 , og økonomien vil derfor konvergere mod den nye ligevægt, E1. Det vilsige, at priserne fortsat falder, hvorimod valutakursen nu deprecierer indtil ligevægten ernået.

Det ses altså, at slutresultatet er det samme uanset om ændringen offentliggøres påforhånd eller ej. Økonomien ender i samme ligevægt i begge tilfælde. Derimod er vejenfra udgangspunktet til den nye ligevægt meget forskellig i de to tilfælde. Denne dynamikundersøges nu yderligere ved et numerisk eksempel.

Numerisk eksempel på forudset indkomstændring

Som før betragtes en økonomi i ligevægt, hvor købekraftspariteten er opfyldt. Alle formlerer givet som i sektion 4.4. Lad økonomien være givet ved:

e(t) = 0.75y + 4.5 + 0.3(s(t)− p(t)) + 0.08xpdse

dt=ds

dtdp

dt= 0.3(e(t)− y) r(t) = 8 +

dse

dt

md = q(t) + 0.45y − 2r(t) + 0.9x q(t) = 0.8p(t) + (1− 0.8)s(t)

89


md = ms = m = 100 y = 18

Økonomien starter i ligevægt, og det antages, at i udgangspunktet er xp = 0, x = 0. Udfra denne samt ovenstående information kan ligevægten beregnes vha. (4.55) og (4.56).Ligevægts pris og valutakurs bliver da: s = 107.9 og p = 107.9.Nu kan systemet skrives oppå samme form som i (4.54). Dette giver:dpdtds

dt

=

[−ah ahαu

1−αu

][p(t)− ps(t)− s

]=

[−0.09 0.09

0.4 0.1

][p− 107.9

s− 107.9

].


λ1 ≈ 0.2172, λ2 ≈ −0.2072,

mens de tilhørende egenvektorer udregnes til:

~v1 ≈

[−0.7680

1

], ~v2 ≈

[0.2930

1

].

Systemets to lineære baner bliver iflg. (4.60) til hhv:

SP 10 : p(t) ≈ 0.2930s(t) + 76.2877,

SP 20 : p(t) ≈ −0.7680s(t) + 190.7647593.

Antag nu der sker en indkomststigning, så der nu gælder, at xp = 4, x = 7. Den nyelangsigtede ligevægt bliver da s1 ≈ 100.7467, p1 ≈ 101.8133, mens de nye lineære banerer givet ved:

SP 11 : p(t) ≈ 0.2930s(t) + 72.2968,

SP 21 : p(t) ≈ −0.7680s(t) + 179.1845.

Det antages først, at der er ikke er nogen offentliggørelse, eller at indkomstændringen påanden vis er kendt på forhånd. I dette tilfælde vil valutakursen først appreciere øjeblikkeligtog skyde over den langsigtede ligevægt. Dette skyldes, at den stabile lineære bane er flyttettil SP 2

1 . Dette svarer altså til punktet C på figur 4.28. Økonomien vil derefter følge dennye stabile bane, hvor valutakursen vil depreciere tilbage til den nye langsigtede ligevægt,mens varemarkedet tilpasser prisen til den nye ligevægt som svarer til punktet E1 på figur4.28.

Antages det derimod, at ændringen i indkomst er kendt før den egentlige ændring sker, vilder ske en appreciering af valutaen inden indkomstændringen forekommer. Denne dynamikbetragtes nu for det numeriske eksempel. Først flyttes økonomien til punktet (107.5, 107.9),svarende til F på figur 4.29. Igen falder både valutakursen og prisen, da økonomien befindersig på en ustabil bane. Udviklingen fortsætter igen indtil indkomststigningen forekommer.I det øjeblik flyttes den stabile lineære bane fra SP 2

0 til SP 21 . Dette sker i på samme

tidspunkt, som den ustabile bane økonomien befinder sig på, krydser SP 11 .

Økonomien befinder sig nu i punktet (98.56, 104.98), svarende til punktet C på figur 4.29.Dette punkt ligger på den stabile lineære bane SP 2

1 , og økonomien vil derfor igen konvergeremod den nye ligevægt, E1 i punktet (100.7467, 101.8133).

90


Det konkluderes, at resultatet på lang sigt er det samme uanset om indkomstændringener forudset eller ej, men banen hen til den langsigtede ligevægt er meget forskellig. Detses igen, at der i langt mindre grad skydes over den langsigtede ligevægtsvalutakurs.Dette illustreres til venstre figur 4.30. Det ses, at valutakursen først apprecierer med envoksende ændringsrate, indtil indkomstændringen sker. Her rammes den nye stabile lineærebane, og udviklingen vender. Valutaen deprecierer altså herfra og op mod den langsigtedeligevægt. Når ændringen ikke er forudset ses det til venstre på figur 4.30, at valutakursener konstant indtil ændringen sker. Her apprecierer valutaen meget pludseligt, og skyderlangt over den langsigtede ligevægt, hvorefter den deprecierer til den langsigtede ligevægt.Det konkluderes derfor, at i tilfældet, hvor ændringen er forudset, apprecierer valutaentidligere, men apprecieringen sker over en længere tidsperiode, og udviklingen vender veden valutakurs, som ligger tættere på ligevægten.

Figur 4.30: t-s(t)-plot og t-p(t)-plot for indkomststigning med offentliggørelse.

Lignende betragtninger kan gøres for prisens udvikling i de to tilfælde. Denne udviklingkan ses til højre på figur 4.30. Her følger de to tilfælde hinanden lidt bedre. Igen foregårtilpasningen mere pludseligt når ændringen ikke er forudset, mens den i tilfældet hvorændringen er forudset, tilpasser sig langsommere og mere løbende. Slutresultatet er dogdet samme. Hakket på prisudviklingskurven for en forudset ændring skyldes at figurener plottet ud fra datapunkter, som har to ens værdier for pris til to forskellige tider nårindkomstændringen sker, og den stabile lineære bane forskydes ud. Dette er altså ikke endel af modellens dynamik og kan ignoreres.

91

5 Konklusion

Formålet med rapporten var, at undersøge differentialligningers anvendelse ifht. udviklingaf valutakurser og priser i en økonomi med flydende kurser. For at være i standtil at undersøge dette, kræves en større baggrundsviden om relevante typer afdifferentialligninger samt systemer af disse. Dette involverede undersøgelser af, hvordanforskellige typer af lineære differentialligninger genkendes og løses. Derudover er engrundig forståelse af 1. og 2. ordens differentialligninger samt systemer af første ordensdifferentialligninger, blevet opnået vha. analyse af fasediagrammer og faselinjer. Forsystemer viser det sig, at egenværdierne har en stor indvirkning på dynamikken.

Efter tilegnelsen af relevant matematisk baggrundsviden, blev Dornbusch’s “OvershootingModel” betragtet. Denne model har fokus på valutakursers udvikling i økonomier medflydende kurser, og benytter differentialligninger til dette. Dornbusch modellen blevførst betragtet i sin oprindelige form, hvor prisen beskrives med en 1. ordens autonomdifferentialligning. Ud fra differentialligningen var det tydeligt, at prisen udvikler sighurtigere, jo længere væk fra ligevægten prisen er. Det blev dog hurtigt tydeligt, atdynamikken for valutakursen og overshooting mekanismen ved chok ikke kunne beskrivesud fra kun én differentialligning.

Herefter blev modellen betragtet i en version med perfect foresight, som var bygget opsom et system af to differentialligninger, der beskrev udviklingen omkring afvigelserne frakøbekraftspariteten mellem pris og valutakurs. Efter at have opstillet fasediagrammet ogsystemet for denne model, blev det tydeligt, at denne model kunne beskrive overshootingmekanismen. Perfect foresight blev her den altafgørende faktor for, at ligevægten blev ramtefter modellen blev udsat for et chok, da dette gjorde, at en stabil lineær bane blev ramt.Ligeledes blev det klart, at parametrene a, h og u alle har samme effekt på hældningen af delineære baner og dermed på størrelsen af overshootingen, men har forskellige påvirkningerpå ligevægten.

Derudover blev det også undersøgt, hvilke effekter det har på dynamikken, hvis en politikoffentliggøres på forhånd, kontra hvis politikken ikke blev offentliggjort. Udgangspunktetvar en ændring i pengemængden. Her kom dynamikken i differentialligningssystemetspecielt til udtryk, ved at valutakursen samt prisen fik lov til at flyde i en ustabil bane,indtil økonomien igen blev grebet af en forskudt stabil lineær bane i faseplanet og ført modligevægten. Det viste sig, at det har indflydelse på udviklingen, hvornår offentliggørelsenbliver foretaget. Derudover viste det sig, at valutakursen altid deprecierer strengt mereend kursen ved skæringspunktet af SP 1

0 og SP 21 , hvis en stigning i pengemængden

offentliggøres. Derudover viste det sig, at ændringer i parametrene a, h og u påvirker

92


overshootingen og udviklingsperioden ved en offentliggjort ændring i pengeudbuddet.Derudover har det stor betydning om den offentliggjorte ændring bliver udført eller ej.

Herefter blev modellen udvidet igen, så modellen blev i stand til at tage højdefor indkomstændringer, og i stand til at beskrive sådanne ændringers indvirkningpå valutakurs- og prisændringer. Dynamikken i denne model opstår på baggrund afforskydning af linjerne for vare- og kapitalmarkedet. Her viste det sig, at det bådeer muligt for modellen at underskyde og overskyde det langsigtede ligevægtsniveau forvalutakursen ved en indkomstændring. Derudover havde det også en effekt på denne model,når indkomstændringen blev offentliggjort før den fandt sted.

Alt i alt er konklusionen, at den dynamiske udvikling af kurserne og priserne somet differentialligningssystem kan opstille, er meget relevant og realistisk, da et sådantsystem beskriver udviklingen, fra økonomien forlader et ligevægtspunkt og til den når detnæste. I almindelig komparativ statik, som ellers ofte anvendes, belyses selve udviklingenmellem ligevægtene ikke tydeligt. Dette er ikke altid væsentligt, men netop i tilfældetmed valutakursudvikling, er dynamikken mellem ligevægtene netop interessant grundetvalutakursers tendens til “overshooting”. Denne mekanisme er differentialligninger et stærktredskab til at modellere.

93

Litteratur

Andersen og Holten, 1978. Bodil Nyboe Andersen og Henning Holten. Udviklingen idet internationale valutasystem siden 1945. Nationaløkonomisk Tidsskrift, 1978.

Edwards og Penney, 2008. C. Henry Edwards og David E. Penney. ElementaryDifferential Equations Sixth Edition. Pearson - Prentice Hall, 2008. ISBN0-13-239730-7.

GBaardink, 2016. GBaardink. Evalutating change in eigenvectors,Math.stackexchange.com, 2016. URL http://math.stackexchange.com/q/2058356.Besøgt d. 14/12 - 2016.

Groth, 2012. Christian Groth. Lecture Notes in Macroeconomics, University ofCopenhagen, 2012. URLhttp://www.econ.ku.dk/okocg/VM/VM-general/Material/Chapters-VM.htm. Besøgtd. 21/10 - 2016.

Lankham et al., 2016. Isaiah Lankham, Bruno Nachtergaele og Anne Schilling. LinearAlgebra - As an Introduction to Abstract Mathematics. University of Californaia, 2016.Lecture Notes for MAT67 - Noterne der bruges i Linear Algebra med Anvendelse.

Logan, 2015. J. David Logan. A First Course in Differential Equations Third Edition.Springer-Verlag, 2015.

Nielsen, 2011. Morten Nielsen. An Introduction to Complex Numbers and DifferentialEquations. Pearson Education Limited, 2011. ISBN 978-0-85776-478-2.

ProofWiki, 2016. ProofWiki. Bevis for Eulers sætning, ProofWiki, 2016. URLhttps://proofwiki.org/wiki/Euler%27s_Formula. Besøgt 22 - 09 - 2016.

Shone, 2002. Ronald Shone. Economic Dynamics, Phase Diagrams and their EconomicApplication. Cambridge University Press, 2002.

Trench, 2013. William F. Trench. Elementary Differential Equations. Brooks/ColeThomson Learning, 2013. ISBN Free Edition 1.01.

Tseng, 2006. Zachary S Tseng. Second Order Linear Differential Equations, Penn-StateUniversity, 2006. URL http://www.math.psu.edu/tseng/class/Math251/Notes-2nd%20order%20ODE%20pt1.pdf.Besøgt d. 21/9 - 2016.

94

http://math.stackexchange.com/q/2058356

http://www.econ.ku.dk/okocg/VM/VM-general/Material/Chapters-VM.htm

https://proofwiki.org/wiki/Euler%27s_Formula

http://www.math.psu.edu/tseng/class/Math251/Notes-2nd%20order%20ODE%20pt1.pdf

http://www.math.psu.edu/tseng/class/Math251/Notes-2nd%20order%20ODE%20pt1.pdf


Wikipedia.org, 2016. Wikipedia.org. Overshooting model, Wikipedia.org, 2016. URLhttps://en.wikipedia.org/wiki/Overshooting_model. Besøgt 08/12 - 2016.

95

https://en.wikipedia.org/wiki/Overshooting_model

Documents

Matematik-Økonomi...Forord Denne rapport er udarbejdet på 3. semester i Matematik-Økonomi uddannelsen på School of Engineering and Science ved Aalborg Universitet i efteråret