Matematika 1 - ČVUT FSvmat.fsv.cvut.cz/Ivana/p3ver1.pdf · Matematika 1 3. pˇredn a´skaˇ 1 ... 2 Vlastnosti a pouzitˇ ´ı 3. pˇredn ´aˇska (6.10.2009) Matematika 1 1 / 16

Matematika 1

3. prednaska

1 Derivace

2 Vlastnosti a pouzitı

3. prednaska (6.10.2009) Matematika 1 1 / 16

1. zapoctovy test jiz behem 2 tydnu.

Je nutne se nej registrovat pres webove rozhranı na https://amos.fsv.cvut.cz.

Pri samotnem vyplnovanı testu - pozor na nechtene odhlasenı.

Prıkladova skripta.

Testovanı na webu katedry matematiky.

Prednasky, web, atd.

Skriptum Bubenık, Zindulka, Matematika 1:

1. prednaska - strany 67 - 76 a dodatky na stranach 136 - 148,2. prednaska - strany 77 - 99,3. prednaska - strany 100 - 106.

Ucebnice Budınsky, Charvat, Matematika 1.


0 0.5 1 1.5 2−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

y

xxk

f(xk)

f(0,5)

−0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Pripomenutı pojmu limity funkce v bode.

Bod a je hromadny bod mnoziny M,jestlize ∀δ > 0 ∃x ∈ M : |x − a| < δ

Ekvivalentnı definice limity funkce v bode:

Heineova definice limity funkce v bode

Necht x0 je hromadny bod D(f ). Funkce f ma v bode x0 limitu L jestlize pro kazdou posloupnost{xk}∞k=1 takovou, ze {xk}∞k=1 ⊂ D(f ) a limk→∞ = x0, platı

limk→∞

f (xk ) = L.

Prıklad.

Neexistence limx→0 sin 1x .

Zvolıme posloupnostixk = 1

2kπ , xk = 12kπ+π/4 .

Pakf (xk ) = sin 2kπ = 0,f (xk ) = sin(2kπ + π/4) =

√2/2.


0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

x

y

x0

x0+h

f(x0)

f(x0+h)

f(x0+h)−f(x

0)

h

α

Derivace funkce v bodeNecht je funkce f definovana na nejakem okolı bodu x0 ∈ D(f ). Jestlize existuje (vlastnı) limita

limh→0

f (x0 + h)− f (x0)

h,

rekneme, ze funkce f ma (prvnı) (vlastnı) derivaci v bode x0. Derivace je rovna hodnote uvedenelimity.

Derivaci funkce f v bode x0 znacıme

f ′(x0),d fd x

(x0), nebod

d xf (x0).

Prıklad.

f (x) = x2, x0 = 3

limh→0(3+h)2−32

h =

= limh→09+6h+h2−9

h =

= limh→06h+h2

h =

= limh→0(6 + h) = 6,

tedy f ′(3) = 6


0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

x

y

x0

x0+h

f(x0)

f(x0+h)

f(x0+h)−f(x

0)

h

α

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

0

0.5

1

1.5

2

x

y

x0 x

0+h

f(x0)

f(x0+h)

teènaseèna

0 0.5 1 1.5 2−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

y

x

γα

β

Smernicova rovnice prımky v rovine y = kx + q, kde k = tgα.

Derivace je smernice tecny grafu funkce f v bode x0.Rovnice tecny grafu funkce f v bode x0 je tedy

y = f ′(x0)x + q

y = f (x0) + f ′(x0)(x − x0).

Uhel dvou krivek (tedy uhel, pod kterym se protınajı dve krivky) γ - ze 2 smernic k1, k2 tecen 2krivek v bode pruniku

γ = arctg∣∣∣∣ k1 − k2

1 + k1k2

∣∣∣∣ ,jestlize k1k2 6= −1. (Jestlize k1k2 = −1, je uhel α = π/2.)Dukaz:

tg(γ) = tg(β − α) =sin(β − α)

cos(β − α)=

sinβ cosα− sinα cosβcosβ cosα+ sinβ sinα

=tgβ − tgα

1 + tgαtgβ.


−1 −0.5 0 0.5 1−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 D(f) = R

0

f’(0)+=1f’(0)

−=−1

f(x) = |x|

−1 0 1 2 3 4−0.5

0

0.5

1

1.5

D(f) = <0,π>

π

f(x) = sin(x)1/2

0

f’(0)+=∞

Jednostranna derivace.

Derivace funkce f v bode x0 zleva je f ′−(x0) = limh→0−f (x0+h)−f (x0)

h ,

derivace funkce f v bode x0 zprava je f ′+(x0) = limh→0+

f (x0+h)−f (x0)h .

Prıklad.(√

sin(x))′

+|x=0 = limh→0+

√sin(h)

h = limh→0+

√sin(h)

h · 1√h

= 1 · ∞ =∞.

Funkce f ma derivaci v bode x0, prave kdyz existujı obe jednostranne derivace v bode x0 a jsou sirovny. Potom

f ′(x0) = f ′−(x0) = f ′+(x0).


Zapamatujme si nasledujıcı dulezite tvrzenı.

VetaMa-li funkce vlastnı (konecnou) derivaci v bode x0 ∈ D(f ), je v tomto bode spojita. Opacnaimplikace neplatı.

Dukaz.Necht x0 ∈ D(f ) a necht f ′(x0) existuje. Pak funkce f je definovana na nejakem okolı bodu x0 aplatı

f ′(x0) = limx→x0

f (x)− f (x0)

x − x0,

tedy

limx→x0

f (x) = limx→x0

(f (x0) +

f (x)− f (x0)

x − x0(x − x0)

)= lim

x→x0f (x0)+ lim

x→x0

f (x)− f (x0)

x − x0· limx→x0

(x−x0) =

= f (x0) + f ′(x0) · 0 = f (x0).

Tım je spojitost dokazana.

Naopak napr. funkce g(x) = |x | je spojita, ale v bode x0 = 0 nema derivaci, resp. derivace zlevaje −1 a derivace zprava je 1, tedy derivace v bode x0 = 0 neexistuje.


Derivace na intervalu.Rekneme, ze funkce f ma derivaci na intervalu (a, b), jestlize ma derivaci v kazdem bode xintervalu (a, b). Derivaci na intervalu znacıme

f ′ nebod fd x

.

Jak derivaci spocıtat ?Pro elementarnı funkce lze odvodit vzorce. Prıklad.

(x2)′|x=x0 = limh→0

(x0 + h)2 − x20

h=

= limh→0

2x0h + h2

h=

= limh→0

2x0 + limh→0

h =

= 2x0,

(sin(x))′|x=x0 = limh→0

sin(x0 + h)− sin(x0)

h=

= limh→0

sin h2 · cos 2x0+h

2h2

=

= cos(x0)


Tabulka derivacı.x je promenna z definicnıho oboru dane funkce, a je realna konstanta, n je celocıselna konstanta,

(a)′ = 0,

x ′ = 1, (x2)′ = 2x , . . . , (xn)′ = nxn−1 pro x ∈ R

(xn)′ = nxn−1 pro x 6= 0, n < 0

(xa)′ = axa−1 pro x > 0

(sin x)′ = cos x , (cos x)′ = − sin x , (tg x)′ =1

cos2 x, (cotg x)′ =

−1sin2 x

(arcsinx)′ =1√

1− x2, (arccosx)′ =

−1√1− x2

, (arctgx)′ =1

1 + x2, (arccotgx)′ =

−11 + x2

,

(ex )′ = ex , (ax )′ = ax ln a, (ln |x |)′ =1x, (loga x)′ =

1x ln a

.


Pro vypocet derivacı platı nasledujıcı obecna pravidla (zde f , g jsou funkce, c je realna konstanta)

(cf )′ = cf ′,

(f + g)′ = f ′ + g′,

(fg)′ = f ′g + fg′,(fg

)′=

f ′g − fg′

g2.

Prıklad.(7x3)′ = 21x2,

(sin(x)−√

x)′ = cos(x)−12

1√

x,

(x5 ln x)′ = 5x4 ln x + x5 ·1x

= 5x4 ln x + x4,(e3x

x + 1

)′=

3e3x (x + 1)− e3x

(x + 1)2=

e3x (3x + 2)

(x + 1)2.


Vetaa) Jestlize existujı derivace g′(x) a f ′(g(x)), je derivace slozene funkce (f o g)(x)

(f o g)′ (x) = (f (g(x))′ = f ′(g(x))g′(x).

b) Jestlize existuje derivace f ′(f−1(x)), je derivace inverznı funkce (f−1)′(x)(f−1)′

(x) =1

f ′(f−1(x)).

Prıklad. a) (sin(x3))′ = cos(x3)3x2, b) (ln x)′ = 1eln x = 1

x

Dukaz.Pouze naznacenı dukazu. Pocıtejme limitu

limh→0

f (g(x + h))− f (g(x))

h= lim

h→0

f (g(x + h))− f (g(x))

g(x + h)− g(x)

g(x + h)− g(x)

h= · · · = f ′(g(x))g′(x).

Pocıtejme

limh→0

f−1(x + h)− f−1(x)

x + h − x= lim

s→0

y + s − yf (y + s)− f (y)

=1

f ′(y)=

1f ′(f−1(x))

.


Cvicenı.

(x2 + cos x)′,

(x2 cos x)′,

(ex tg x)′,

(x ex sin x)′,(sin xln x

)′,

(sin 4x)′,

(sin(ex + 2x))′,(4√

x)′,(

arctg1x

)′.


Cvicenı.

(x2 + cos x)′ = (derivace souctu) = 2x − sin x ,

(x2 cos x)′,

(ex tg x)′,


)′,

(sin 4x)′,

(sin(ex + 2x))′,(4√

x)′,(

arctg1x

)′.


Cvicenı.

(x2 + cos x)′ = 2x − sin x ,

(x2 cos x)′ = (derivace soucinu) = 2x cos x − x2 sin x ,

(ex tg x)′,


)′,

(sin 4x)′,

(sin(ex + 2x))′,(4√

x)′,(

arctg1x

)′.


Cvicenı.

(x2 + cos x)′ = 2x − sin x ,

(x2 cos x)′ = 2x cos x − x2 sin x ,

(ex tg x)′ = (derivace soucinu) = ex tgx + ex 1cos2 x

,


)′,

(sin 4x)′,

(sin(ex + 2x))′,(4√

x)′,(

arctg1x

)′.


Cvicenı.

(x2 + cos x)′ = 2x − sin x ,


(ex tg x)′ = ex tgx + ex 1cos2 x

,

(x ex sin x)′ = soucin 3 = ex sin x + x(ex sin x + ex cos x) = ex sin x + xex sin x + xex cos x ,(sin xln x

)′,

(sin 4x)′,

(sin(ex + 2x))′,(4√

x)′,(

arctg1x

)′.


Cvicenı.

(x2 + cos x)′ = 2x − sin x ,



,

(x ex sin x)′ = ex sin x + x(ex sin x + ex cos x) = ex sin x + xex sin x + xex cos x ,(sin xln x

)′= (derivace podılu) =

cos x ln x − sin x 1x

ln2 x,

(sin 4x)′,

(sin(ex + 2x))′,(4√

x)′,(

arctg1x

)′.


Cvicenı.

(x2 + cos x)′ = 2x − sin x ,



,


)′=


ln2 x,

(sin 4x)′ = (derivace slozene funkce) = 4 cos 4x ,

(sin(ex + 2x))′,(4√

x)′,(

arctg1x

)′.


Cvicenı.

(x2 + cos x)′ = 2x − sin x ,



,


)′=


ln2 x,

(sin 4x)′ = 4 cos 4x ,

(sin(ex + 2x))′ = (derivace slozene funkce) = cos(ex + 2x)) · (ex + 2),(4√

x)′,(

arctg1x

)′.


Cvicenı.

(x2 + cos x)′ = 2x − sin x ,



,


)′=


ln2 x,

(sin 4x)′ = 4 cos 4x ,

(sin(ex + 2x))′ = cos(ex + 2x)) · (ex + 2),(4√

x)′

= (derivace slozene funkce) =(

e√

x ln 4)′

= e√

x ln 4 ln 42√

x= 4√

x ln 42√

x,(

arctg1x

)′.


Cvicenı.

(x2 + cos x)′ = 2x − sin x ,



,


)′=


ln2 x,

(sin 4x)′ = 4 cos 4x ,

(sin(ex + 2x))′ = cos(ex + 2x)) · (ex + 2),(4√

x)′

= e√

x ln 4 ln 42√

x= 4√

x ln 42√

x,(

arctg1x

)′= (derivace slozene funkce) =

11 + 1

x2

·−1x2

=−1

x2 + 1.


Cvicenı.

(x2 + cos x)′ = 2x − sin x ,



,


)′=


ln2 x,

(sin 4x)′ = 4 cos 4x ,

(sin(ex + 2x))′ = cos(ex + 2x)) · (ex + 2),(4√

x)′ (

e√

x ln 4)′

= e√

x ln 4 ln 42√

x= 4√

x ln 42√

x,(

arctg1x

)′=

11 + 1

x2

·−1x2

=−1

x2 + 1.


Uzitecnym trikem pro vypocet derivace vyrazu typu f (x)g(x) je prevedenı vyrazu podle vztahu

ab = eb ln a

a (f (x)g(x)

)′=(

eg(x) ln f (x))′

= eg(x) ln f (x)

(g′(x) ln f (x) +

g(x)f ′(x)

f (x)

)=

= f (x)g(x)

(g′(x) ln f (x) +

g(x)f ′(x)

f (x)

).

Prıklad.(xsin x

)′=(

esin x ln x)′

= esin x ln x ·(

cos x ln x + sin x1x

)= xsin x

(cos x ln x +

1x

sin x).


Dva dulezite prıklady.

Funkcef (x) = |x |

je spojita na D(f ) = R, ale derivace f ′(x) je definovana pouze na D(f ′) = R \ {0}.Funkce

g(x) = x2 sin1x

je definovana na R \ {0}, ale lze spojite dodefinovat v bode x = 0, a to hodnotou 0. TedyD(g) = R. Pro derivaci platı

g′(x) = 2x sin1x− cos

1x

pro x 6= 0. V bode x = 0 je derivace

g′(0) = limx→0

g(x)− 0x − 0

= limx→0

x2 sin 1x

x= lim

x→0x sin

1x

= 0.

Tedy D(g′) = R, ale g′ nenı spojita v bode x = 0, protoze

limx→0

(2x sin

1x− cos

1x

)neexistuje.


Prıklad. Pozice bodu pohybujıcıho se po prımce s(t) v case t . Zmena pozice ku delce casovehointervalu udava prumernou rychlost bodu

vp =s(t2)− s(t1)

t2 − t1.

Limita tohoto podılu pro t2 → t1

limt2→t1

s(t2)− s(t1)

t2 − t1

(= lim

h→0

s(t1 + h)− s(t1)

h

)je hodnotou okamzite rychlosti v case t1, s′(t1). (Okamzite zrychlenı v case t1 je s′′(t1).)

Prıklad. Polomer kruhu se rovnomerne zvetsuje stalou rychlostı v[m

s

]. Jakou rychlostı (v

jednotkach[

m2

s

]) se zvetsuje obsah tohoto kruhu?

Oznacme r(t) polomer kruhu v case t .

Obsah kruhu v case t je pak S(t) = πr(t)2.

(Prırustek obsahu od casu t1 do casu t2 je S(t2)− S(t1).)

Okamzita rychlost zmeny obsahu v case t1 jeS′(t) = (πr(t)2)′ = pravidla . . . = 2πr(t)r ′(t) = 2πr(t)v .


−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.5

0

0.5

1

v

aS

Prıklad. Dostredive zrychlenı.Necht pozice bodu v case t ma souradnice (x(t), y(t)),

x(t) = r cos(ct)

y(t) = r sin(ct),

kde c, r jsou realne konstanty.

Pak vektor okamzite rychlosti je

v(t) = (−c r sin(ct), c r cos(ct))

a vektor okamziteho (dostrediveho) zrychlenı je

a(t) = (−c2r cos(ct), −c2r sin(ct)).

Prıklad. Rychlost a zrychlenı bodu bohybujıcıho se po sroubovici,x(t) = r cos(ct)y(t) = r sin(ct)z(t) = bt ,kde b, c, r jsou realne konstanty.


Documents

Matematika 1 - ČVUT FSvmat.fsv.cvut.cz/Ivana/p3ver1.pdf · Matematika 1 3. pˇredn a´skaˇ 1 ... 2 Vlastnosti a pouzitˇ ´ı 3. pˇredn ´aˇska (6.10.2009) Matematika 1 1 / 16