Embed Size (px)
Citation preview
by frby fr 11
MATEMATIKAMATEMATIKAEKONOMIEKONOMI
Dosen Pengampu :Dosen Pengampu :
FachrurrozFachrurrozieie
Thanks for keeping silent your mobile phone
by frby fr 22
HimpunanHimpunan
Himpunan : suatu kumpulan atau gugusan dari Himpunan : suatu kumpulan atau gugusan dari sejumlah objek , objek-objek yang mengisi sejumlah objek , objek-objek yang mengisi atau membentuk sebuah himpunan disebut atau membentuk sebuah himpunan disebut anggota , elemen atau unsuranggota , elemen atau unsur
Sifatnya sangat bervariasiSifatnya sangat bervariasi A={1,2,3,4,5,6,7}A={1,2,3,4,5,6,7} A={x;0<x<9)A={x;0<x<9) A={x;1<x<8)A={x;1<x<8)
by frby fr 33
};{
};{
};{
BxtetapiAxxBABA
BxdanAxxBA
BxatauAxxBA
by frby fr 44
Pangkat,akar dan logPangkat,akar dan log
a
aa
b ab
a
x
y
x
y
x
xx
xx
xx
)(
00
0,11
0
by frby fr 55
ba
xx
xx
mxjikaxm
b a
bb
aa
1
,
by frby fr 66
mmx
mam
ax
x
x
xax
ax
x
x
log
loglog
log
01log
1log
by frby fr 77
Persamaan tingkat pertamaPersamaan tingkat pertama
Persamaan menyatakan Persamaan menyatakan keseimbangan dari dua keseimbangan dari dua pernyataan aljabarpernyataan aljabar
Persamaan bisa dinyatakan Persamaan bisa dinyatakan dengan satu atau lebih dengan satu atau lebih variabel :variabel :
165
1003
852
522103
2
ww
tsr
xx
by frby fr 88
Terdapat 3 macam Terdapat 3 macam persamaan :persamaan :
a.Persamaan identitasa.Persamaan identitas
b.Persamaan bersyaratb.Persamaan bersyarat
c.Persamaan yang salahc.Persamaan yang salah
5
5
53
55)(5
xx
xx
x
yxyx
by frby fr 99
Aturan dalam persamaanAturan dalam persamaan
Setiap sisi bisa ditambah dan dikurangi dengan suatu Setiap sisi bisa ditambah dan dikurangi dengan suatu bilangan bilangan
Setiap sisi bisa dikalikan dan dibagi dengan nilai Setiap sisi bisa dikalikan dan dibagi dengan nilai selain nolselain nol
Setiap sisi bisa dikalikan dengan bilangan yang Setiap sisi bisa dikalikan dengan bilangan yang melibatkan variabelmelibatkan variabel
Setiap sisi bisa dikuadratkanSetiap sisi bisa dikuadratkan
by frby fr 1010
Contoh :Contoh :
4
1245
2
523
danxdengantambahkan
xx
xdengankurangkan
xx
by frby fr 1111
LatihanLatihan
)5(3)3(5.
31625.
38210.
12426.
)4(3)3(2.
1642.
825.
xxg
xxf
xxe
ttd
xxc
xxb
xxa
by frby fr 1212
Persamaan derajat keduaPersamaan derajat kedua
Atau lebih dikenal dengan Atau lebih dikenal dengan persamaan kuadratpersamaan kuadrat
Mempunyai bentuk atau Mempunyai bentuk atau format umum :format umum :
Bisa dengan difaktorkan Bisa dengan difaktorkan atau dengan menggunakan atau dengan menggunakan rumus kuadrat atau rumus rumus kuadrat atau rumus abcabc
a
acbbx
cbxax
2
4
0
2
2,1
2
by frby fr 1313
PertidaksamaanPertidaksamaan
Berlaku juga untuk derajat Berlaku juga untuk derajat pertama dan derajat keduapertama dan derajat kedua
0152
065
10242
612
2
2
xx
xx
xxx
xxx
by frby fr 1414
(x-3) (x-2) Hasil(x-3) (x-2) Hasil
I =0 smb 0I =0 smb 0
II smb =0 0II smb =0 0
III >0 <0 <0III >0 <0 <0
IV <0 >0 <0IV <0 >0 <0
by frby fr 1515
Persamaan LinearPersamaan Linear
Bentuk persamaan yang Bentuk persamaan yang standar adalah:standar adalah:
Di mana a adalah tt.pot pada Di mana a adalah tt.pot pada sb.y, b adalah koefisien arah sb.y, b adalah koefisien arah atau gradien atau slope atau gradien atau slope
bxay
by frby fr 1616
a
bxay y
x
Δy / Δx= b
by frby fr 1717
ay = a
x = c
c
by frby fr 1818
Persamaan linearPersamaan linear
xc
aay
bxay
xxbyy
xx
xx
yy
yy
)( 11
12
1
12
1
by frby fr 1919
Sebuah perusahaan memproduksi 2 jenis produk yang Sebuah perusahaan memproduksi 2 jenis produk yang berbeda. Dalam waktu 1 minggu ke depan tersedia sebanyak berbeda. Dalam waktu 1 minggu ke depan tersedia sebanyak 120 jam kerja untuk memproduksi barang tersebut. Karena 120 jam kerja untuk memproduksi barang tersebut. Karena kedua produk menguntungkan, pihak manajemen memutuskan kedua produk menguntungkan, pihak manajemen memutuskan memproduksi kedua produk tersebut dengan menggunakan memproduksi kedua produk tersebut dengan menggunakan semua waktu jam kerja tsb. Setiap unit produk A memerlukan semua waktu jam kerja tsb. Setiap unit produk A memerlukan waktu sebanyak 3 jam kerja, dan setiap produk B memerlukan waktu sebanyak 3 jam kerja, dan setiap produk B memerlukan waktu sebanyak 2,5 jam kerja. waktu sebanyak 2,5 jam kerja.
by frby fr 2020
Tentukan persamaan yang menyatakan bahwa total jam kerja Tentukan persamaan yang menyatakan bahwa total jam kerja tadi dipergunakan untuk memproduksi kedua produk A dan B tadi dipergunakan untuk memproduksi kedua produk A dan B taditadi
Berapa unit produk A dapat diproduksi bila 30 unit B Berapa unit produk A dapat diproduksi bila 30 unit B diproduksi?diproduksi?
Bila pihak manajemen ingin memproduksi satu macam produk Bila pihak manajemen ingin memproduksi satu macam produk saja , berapa jumlah produk A dan berapa jumlah produk B saja , berapa jumlah produk A dan berapa jumlah produk B yang bisa dibuat?yang bisa dibuat?
by frby fr 2121
Soal :Soal : Bila produk A memerlukan waktu produksi 2 jam dan produk Bila produk A memerlukan waktu produksi 2 jam dan produk
B 4 jamB 4 jam Jumlah wanita yang bekerja di prediksi akan meningkat pada Jumlah wanita yang bekerja di prediksi akan meningkat pada
tahun 1990-an.Sebuah perusahaan konsultan menggunakan tahun 1990-an.Sebuah perusahaan konsultan menggunakan persamaan n=29,6+1,2t untuk memprediksi jumlah wanita usia persamaan n=29,6+1,2t untuk memprediksi jumlah wanita usia produktif (35-44 tahun) yang masuk dalam angkatan kerja. n produktif (35-44 tahun) yang masuk dalam angkatan kerja. n menunjukkan jumlah wanita usia produktif dalam jutaan jiwa, menunjukkan jumlah wanita usia produktif dalam jutaan jiwa, dan t menunjukkan waktu (tahun 1981 t=0 .Sb.vertikal adalah dan t menunjukkan waktu (tahun 1981 t=0 .Sb.vertikal adalah n, tentukann, tentukan
Gambar grafikGambar grafik
by frby fr 2222
(-1,4) ;(1,0) (0,0);(1,5)(-1,4) ;(1,0) (0,0);(1,5) (-1,-2) ; (-5,-2) (1,4) ; (2,3)(-1,-2) ; (-5,-2) (1,4) ; (2,3) Bentuk pers.linear yang garisnya melalui titik Bentuk pers.linear yang garisnya melalui titik
(-1,3) dan mempunyai slope sebesar : -1, 2, 5 , (-1,3) dan mempunyai slope sebesar : -1, 2, 5 , 00
Bila y=8 – 2x, hitung f(0), f(2), f(4), f(5)Bila y=8 – 2x, hitung f(0), f(2), f(4), f(5)
by frby fr 2323
Analisis Break EvenAnalisis Break Even
Penerimaan dan biaya merupakan variabel-Penerimaan dan biaya merupakan variabel-variabel penting dalam sebuah perusahaanvariabel penting dalam sebuah perusahaan
Penerimaan total : TRPenerimaan total : TR Biaya total : TCBiaya total : TC
by frby fr 2424
BEP ; laba=0
TR
TC
C,R
0
Laba<0
Laba>0
Q
by frby fr 2525
Analisis GrafisAnalisis Grafis
by frby fr 2626
Hubungan slope dan intersepHubungan slope dan intersep
solusibanyakadakkdanmmBila
solusiadatidakkkdanmmBila
tertentusolusiadammBila
kxmy
kxmy
2121
2121
21
22
11
.3
.2
.1
by frby fr 2727
2x+4y=202x+4y=20
3x+y=103x+y=10 y= 3x + 3y= 3x + 3
y= 3x + 1y= 3x + 1 -6x+12y= -24-6x+12y= -24
1,5x-3y = 61,5x-3y = 6
Latihan Soal…Latihan Soal…
by frby fr 2828
5x+5y=0 3x-9y=245x+5y=0 3x-9y=24
x=-y -x+3y=0x=-y -x+3y=0 2x-9y=108 x-3y=82x-9y=108 x-3y=8
8x+6y=48 -4x+12y=-248x+6y=48 -4x+12y=-24 4x-2y=8 4x-2y=364x-2y=8 4x-2y=36
x+2y=12 -2x+y=20x+2y=12 -2x+y=20
by frby fr 2929
2x-3y=-132x-3y=-13
4x+2y=-24x+2y=-2 3x+2y=83x+2y=8
x-y=1x-y=1 -x+2y=-2-x+2y=-2
3x=6y+63x=6y+6
by frby fr 3030
Fungsi PermintaanFungsi Permintaan
Variabel P dan variabel Q Variabel P dan variabel Q mempunyai tanda yang mempunyai tanda yang berlawanan, mencerminkan berlawanan, mencerminkan hukum permintaan hukum permintaan bPaQ
P
Q
kurva permintaan
by frby fr 3131
Kurva PenawaranKurva Penawaran
Variabel P dan Q Variabel P dan Q mempunyai tanda yang mempunyai tanda yang sama mencerminkan sama mencerminkan hukum penawaranhukum penawaran
bPaQ
P
Q
kurva penawaran
by frby fr 3232
Keseimbangan Pasar Keseimbangan Pasar
Pasar suatu macam barang dikatakan berada dalam Pasar suatu macam barang dikatakan berada dalam keseimbangan bila jumlah barang yang diminta di pasar keseimbangan bila jumlah barang yang diminta di pasar tersebut sama dengan jumlah barang yang ditawarkantersebut sama dengan jumlah barang yang ditawarkan
Dalam matematik Dalam matematik
sd QQ
by frby fr 3333
P
PeE
Qe
Qd
Qs
Q
by frby fr 3434
LatihanLatihan
Permintaan gula ditentukan dengan fungsi Qd=30-Permintaan gula ditentukan dengan fungsi Qd=30-0,6P, carilah Qd untuk P=3,P=15 dan 0,6P, carilah Qd untuk P=3,P=15 dan P=25;GambarkanP=25;Gambarkan
Diketahui Qd=15-0,2P dan Qs=-1+0,6P, hitung harga Diketahui Qd=15-0,2P dan Qs=-1+0,6P, hitung harga pasarnya dan gambarkan kedua kurva dalam satu pasarnya dan gambarkan kedua kurva dalam satu diagramdiagram
by frby fr 3535
Tentukan keseimbangan harga dan kuantitas untuk Tentukan keseimbangan harga dan kuantitas untuk fungsi berikut :fungsi berikut :
a. Qs= -20 + 3P dan Qd = 220 – 5Pa. Qs= -20 + 3P dan Qd = 220 – 5P
b. 13P – Qs = 27 dan Qd + 4P – 24 = 0b. 13P – Qs = 27 dan Qd + 4P – 24 = 0
by frby fr 3636
Pengaruh pajak spesifikPengaruh pajak spesifik
QP
QP
tbQaP
bQaP
5,02
11
Coba
gambarkan fungsi di samping dalam satu diagram bila produsen mengalihkan sebagian pajak kepada konsumen sebesar 4.Cari P eq.yang baru
by frby fr 3737
Pajak proporsionalPajak proporsional
Pajak proporsional sebesar t% dari harga jual,pajak Pajak proporsional sebesar t% dari harga jual,pajak ini ditetapkan oleh otoritasini ditetapkan oleh otoritas
Analogikan dengan contoh sebelumnya namun Analogikan dengan contoh sebelumnya namun dengan pengenaan pajak sebesar 20% dari harga jual, dengan pengenaan pajak sebesar 20% dari harga jual, tentukan Harga dan Kuantitas keseimbangan yang tentukan Harga dan Kuantitas keseimbangan yang baru.baru.
by frby fr 3838
Pengenaan subsidiPengenaan subsidi
bQsaP
sbQaP
bQaP
)(
Terdapat subsidi sebesar 2 atas setiap unit barang yang diproduksi, berapa harga dan kuantitas keseimbangan yang baru, beri interprestasi
by frby fr 3939
Fungsi Biaya dan PenerimaanFungsi Biaya dan Penerimaan
vQkVCFCQgC
vQQfVC
kFC
)(
)(
by frby fr 4040
0
k
VC=vQi
C=k+vQi
FC=k
by frby fr 4141
Fungsi Non-LinearFungsi Non-Linear
Persamaan kuadratPersamaan kuadrat
0
:0
0
22
22
edycxbyax
menjadibentuknyap
edycxbypxyax
by frby fr 4242
Jika a=b;Jika a=b;≠0, kurva : lingkaran≠0, kurva : lingkaran Jika a≠b, bertanda sama, elipsJika a≠b, bertanda sama, elips a dan b berlawanan tanda, hiperbolaa dan b berlawanan tanda, hiperbola a=0 atau b=0, hanya salah satu saja, kurva adalah a=0 atau b=0, hanya salah satu saja, kurva adalah
sebuah parabolasebuah parabola
by frby fr 4343
ParabolaParabola Persamaan umumPersamaan umum
horizontalsbcbyayx
vertikalsbcbxaxy
edycxbyax
.//,
.//,
0
2
2
22
by frby fr 4444
Parabola terbuka ke Parabola terbuka ke bawah jika a<0, dan bawah jika a<0, dan terbuka ke atas jika a>0terbuka ke atas jika a>0
Parabola terbuka ke kiri Parabola terbuka ke kiri a<0 dan terbuka ke kanan a<0 dan terbuka ke kanan jika a>0jika a>0
Penerapan untuk bisnis Penerapan untuk bisnis adalah yang sejajar adalah yang sejajar dengan sumbu vertikal.dengan sumbu vertikal.
Titik ekstrim parabolaTitik ekstrim parabola
)4
4,
2(
),(2
a
acb
a
b
ji
by frby fr 4545
Contoh soalContoh soal
Tentukan titik ekstrim Tentukan titik ekstrim parabola dan parabola dan perpotongannya dengan perpotongannya dengan sumbu-sumbu koordinatnyasumbu-sumbu koordinatnya
8123
1082
2
xxy
xxy
by frby fr 4646
Fungsi KubikFungsi Kubik
Bentuk umum Bentuk umum persamaanpersamaan
0
32
d
dxcxbxay
by frby fr 4747
Penentuan titik-titik ekstrim tadi bisa menggunakan Penentuan titik-titik ekstrim tadi bisa menggunakan kaedah derivatif atau turunankaedah derivatif atau turunan
Menggunakan uji tandaMenggunakan uji tanda Parabola : y=f(x), titik ekstrim : y’=0Parabola : y=f(x), titik ekstrim : y’=0
y”<0, parabola terbuka ke bawahy”<0, parabola terbuka ke bawah
tieks=timakstieks=timaks
y’’>0,parabola terbuka ke atasy’’>0,parabola terbuka ke atas
tieks=timintieks=timin
by frby fr 4848
Fungsi kubik y=f(x), mencapai ti.eks pada y’=0Fungsi kubik y=f(x), mencapai ti.eks pada y’=0 Jika y’’<0 pada y’=0,tieks=timaksJika y’’<0 pada y’=0,tieks=timaks Jika y’’>0 pada y’=0,tieks=timinJika y’’>0 pada y’=0,tieks=timin Fungsi kubik y=f(x) berada pada titik belok pada Fungsi kubik y=f(x) berada pada titik belok pada
y”=0y”=0 Masukkan nilai y’’=0 ke y=f(x),untuk menentukan Masukkan nilai y’’=0 ke y=f(x),untuk menentukan
koordinat titik belok.koordinat titik belok.
by frby fr 4949
Penerapan ekonomiPenerapan ekonomi
ElastisitasElastisitas
s
ss
d
dd
x
Q
P
dP
dQ
Q
P
dP
dQ
y
x
dx
dy
xx
yy
Ex
Ey
.
.
.)/(
)/(lim 0
by frby fr 5050
Fungsi EksponensialFungsi Eksponensial
konstckncney
nnykx
x
:,;0;
0
by frby fr 5151
0,1
xny
by frby fr 5252
0 0
Y=c Y=c
by frby fr 5353
Fungsi LogaritmikFungsi Logaritmik
Adalah fungsi kebalikan dari fungsi Adalah fungsi kebalikan dari fungsi eksponensial, variabel bebasnya adalah eksponensial, variabel bebasnya adalah bilangan logaritmabilangan logaritma
1;0log nnxy n
by frby fr 5454
1,0
0
xy n log
n=0,3
n=0,6n=0,8
by frby fr 5555
Penerapan ekonomiPenerapan ekonomi
Model bunga majemukModel bunga majemuk Model pertumbuhanModel pertumbuhan
rR
RPP
ePeF
m
iPF
tt
inn
mnn
1
72,2
)1(
11
by frby fr 5656
LimitLimit
Limit menggambarkan Limit menggambarkan seberapa jauh sebuah fungsi seberapa jauh sebuah fungsi akan berkembang apabila akan berkembang apabila variabel di dalam fungsi variabel di dalam fungsi yang bersangkutan terus yang bersangkutan terus menerus berkembang menerus berkembang mendekati suatu nilai mendekati suatu nilai tertentu.tertentu. ax
Lxf
)(lim
by frby fr 5757
-3 -2 -1 1 2 3
by frby fr 5858
Fungsi diferensi dan derivatifFungsi diferensi dan derivatif
Jika y=f(x) dan terdapat Jika y=f(x) dan terdapat tambahan variabel bebas x tambahan variabel bebas x sebesar delta x, maka sebesar delta x, maka bentuk persamaannya :bentuk persamaannya :
x
xfxxf
x
y
)()(
by frby fr 5959
Diferensiasi konstantaDiferensiasi konstanta Diferensiasi fungsi pangkatDiferensiasi fungsi pangkat Diferensiasi perkalian konstanta dengan fungsiDiferensiasi perkalian konstanta dengan fungsi Diferensisasi pembagian konstanta dengan Diferensisasi pembagian konstanta dengan
fungsifungsi Diferensiasi penjumlahan dan pengurangan Diferensiasi penjumlahan dan pengurangan
fungsifungsi
by frby fr 6060
Penerapan ekonomiPenerapan ekonomi
Biaya marjinalBiaya marjinal Penerimaan marjinalPenerimaan marjinal Utilitas MarjinalUtilitas Marjinal Produk marjinalProduk marjinal Analisis Keuntungan MaksimumAnalisis Keuntungan Maksimum
by frby fr 6161dX
dPPMP
dQ
dUUMU
dQ
dRRMR
dQ
dCCMC
'
'
'
'
by frby fr 6262
MatriksMatriks
Digunakan untuk merumuskan berbagai Digunakan untuk merumuskan berbagai masalah , bisnis, ekonomi secara singkat dan masalah , bisnis, ekonomi secara singkat dan jelasjelas
Dan tentunya dengan matriks pula dapat dcari Dan tentunya dengan matriks pula dapat dcari solusi permasalahan bisnis tadi.solusi permasalahan bisnis tadi.
by frby fr 6363
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
....
...
...
21
22221
11211
by frby fr 6464
Matrik satuan, matrik diagonal, Matrik satuan, matrik diagonal, matrik nolmatrik nol
00
000
50
03
10
01
32
2
x
I
by frby fr 6565
IntegralIntegral
Integral tak tentu:kebalikan dari diferensialIntegral tak tentu:kebalikan dari diferensial Integral tertentu: konsep yang berhubungan Integral tertentu: konsep yang berhubungan
dengan proses pencarian luas suatu area yang dengan proses pencarian luas suatu area yang batas-batas dari area tersebut sudah tertentubatas-batas dari area tersebut sudah tertentu
by frby fr 6666
Bentuk umum integral Bentuk umum integral
kxkxFdxXf
kxFdxxf
2)()(
)()(
by frby fr 6767
kxdxx
kn
xdxx
nn
ln1
1
1
by frby fr 6868
Fungsi biaya: biaya total, biaya marjinalFungsi biaya: biaya total, biaya marjinal Biaya total=integral dari biaya marjinalBiaya total=integral dari biaya marjinal Fungsi penerimaanFungsi penerimaan Fungsi utilitasFungsi utilitas Fungsi ProduksiFungsi konsumsi dan Fungsi ProduksiFungsi konsumsi dan
tabungantabungan
