Matematika

Készítette:Szinai Adrienn

Tartalom:

Komplex számok Vektorok Mátrixok

Komplex számok I.

A komplex számok halmaza a valós számhalmaz olyan bővítése, melyben elvégezhető a negatív számból való négyzetgyökvonás (a valós számok halmazával ellentétben, ahol negatív számnak nincs négyzetgyöke), valamint ennek folyományaként más, valósokon belül nem értelmezett műveletek is értelmezhetővé válnak. A valós szám fogalmának ilyen általánosítását a 17. századi algebrai problémák vetették fel, később a komplex számok a matematika más területein és a fizikában is alkalmazhatónak bizonyultak.

x+i*y írásmódot használjuk, ahol x= a komplex szám valós rész, y =pedig a képzetes rész (i=√-1 )

A z=x+i*y ún. algebrai alakban megadott komplex szám felírható trigonometrikus alakban vagy exponenciális alakban is, azaz:

z=x+i*y= r(cosγ+i*sinγ)

Komplex számok II.

Két komplex szám egyenlő, ha a valós részük is egyenlő és a képzetes részük is egyenlő.

A z és k komplex számok összege, ill. különbsége:z+k=(x1+i*y1)+(x2+i*y2)=x1+x2+i(y1+y2) ill.

z+k=(x1+i*y1)-(x2+i*y2)=x1-x2+i(y1-y2) A z és k komplex számok szorzat:

z*k=(x1+i*y1)*(x2+i*y2)=x1*x2-y1*y2+i*(x1y2+x2y1)

A z és k komplex számok osztása:z/k= x1+i*y1/x2+i*y2 * x2-i*y2/x2-

i*y2=x1*x2+y1*y2+i(x2*y1-x1*y2)/x2*x2-y2*y2

√-1+√-1/ √-1= ? Mivel √-1= i -> i+i/i = 2i / i

Vektorok I.

A vektorokon irányított szakaszt értünk. Jelölése: a, b, c stb.

A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza. Ha a vektor hossza egységnyi, akkor azt egységvektornak nevezzük.

A tér minden v vektora felírható:v=v1*i+v2*j+v3*k

módon, ahol i,j,k páronként egymásra merőleges egységvektorok, amelyek a térbeli derékszögű koordinátarendszer tengelyeivel párhuzamosak. Ezeket bázisvektornak nevezzük. A v1,v2,v3 számok a v vektor koordinátái. Ennek megfelelően a v vektor felírható:

v=(v1,v2,v3) alakban is.

Vektor II.

Az i,j,k bázisvektorok koordinátás alakja:i=(1,0,0) j=(0,1,0) k=(0,0,1)

A (0,0,0) vektor neve nulla vektor (zérus vektor). Jele=0

Két vektor egyenlő,ha koordinátáik rendre egyenlők.

Mátrixok I.

A mátrix egy téglalap alakú táblázat, melyben az adatok, a mátrix elemei, sorokban és oszlopokban vannak elhelyezve. Jele: A

Az n sorból és az n oszlopból álló mátrix neve n-edrendű négyzetes (vagy kvadratikus) mátrix.

Ha a mátrix sorait felcseréljük az oszlopaival, a mátrix transzponáltját. Jele: A*

Az A kvadratikus mátrix szimmetrikus, ha A=A*; ferdén szimmetrikus, ha A=-A*.

Ha a D kvadratikus mátrix főátlóján kívüli valamennyi eleme nulla, akkor D átlós mátrix.

Ha egy átlós mátrix főátlójában álló valamennyi elem 1, akkor annak neve egységmátrix. Jele: E

A csupa nulla elemből álló mátrixot zérusmátrixnak nevezzük. Az egyetlen oszloból, ill. egyetlen sorból álló mátrix neve

oszlopmátrix, illetve sormátrix. Ezeket általában kisbetűvel jelöljük.

Mátrix II.

Két mátrix egyenlő, ha mindkettő ugyanolyan típusú, és a megfelelő helyeken álló elemeik egyenlők.

Köszönöm a figyelmet!